北师大版九年级(上)数学第一章特殊平行四边形讲义(二)(无答案)

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新北师大版数学九年级上第一章特殊平行四边形复习第一章 ppt课件

菱形新北师大版数学九年级上第一章特殊平是________．行四边形复习第一章
┃知识归纳┃
[总结] 顺次连接对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是__菱__形____；
顺次连接对角线互相垂直的四边形四
边中点所得的四边形是__矩__形____．
顺次连接对角线相等且互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是正__方__形___.
┃考点攻略┃ ► 考点二和矩形有关的折叠计算问题例2 如图, 将矩形ABCD沿直线AE折叠, 顶点D恰好落在BC边上的F点处.已知CE=3 cm, AB=8 cm，求图中阴影部分的面积．
[解析] 要求阴影部分的面积，由于阴影部分由两个直角三角形构成，所以只要根据勾股定理求出直角三角形的直角边即可．
新北师大版数学九年级上第一章特殊平行四边形复习第一章
┃考点攻略┃
► 考点一菱形的性质和判定
例1 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O, 点E, F 分别为边AB, AD的中点, 连接 EF, OE, OF. 求证: 四边形AEOF是菱形．
[解析] 由点E, F分别为边AB, AD的中点, 可知OE∥AD, OF∥AB, 而AE=AF, 故四边形AEOF是菱形. 新北师大版数学九年级上第一章特殊平
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2．菱形的判定方法 (1)有一组邻边相等的___平__行__四__边__形___ 是菱形(定义)； (2)对角线互相垂直的__平__行__四__边__形____ 是菱形； (3)四边相等的____四__边__形_____是菱形．
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新北师大版数学九年级上册期末总复习
第一章特殊平行四边形复习

新北师大版初中数学九年级上册第1章特殊平行四边形《第3课正方形的性质与判定》

满足什么条件的菱形是正方形？定理:有一个角是直角的菱形是正方形.
请证明你的结论，并与同伴交流．
正方形的判定（随堂练习1）
定理:有一个角是直角的菱形是正方形.
已知:四边形ABCD是菱形,∠A=900. A
D
求证:四边形ABCD是正方形.
证明:
∵四边形ABCD是菱形,∠A=900,
B
C
∴AB=BC,∠C=∠A=900,∠B=1800-∠A=900.
CG=DG=
1
2 CD，DH=AH=
1
AC
2
∴AE=BE2=BF=CF=CG=DG2=HG=AH
∴△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DHG
A
E
B
13 2
H
F
D
G
C
∴EF=FG=GH=HE∴四边形EFGH是菱形
∵∠1=∠2=45°∴∠3=90 °
∴四边形EFGH是正方形
（1）以菱形或矩形各边的中点为顶点可以组成一个什么图形？先猜一猜，再证明．如果以平行四边形各边的中点为顶点呢？
例1.如图 1-18，在正方形 ABCD
中，E 为 CD 边上一点，F 为 BC 延长线上一点，且 CE = CF．BE
M
与 DF 之间有怎样的关系？请说明
理由．
解：BE = DF，且 BE⊥DF．理由如下：
（2）延长 BE 交 DF 于点 M． ∵ △BCE ≌ △DCF，∴ ∠ CBE = ∠ CDF． ∵ ∠ DCF = 90°，∴ ∠ CDF + ∠ F = 90°． ∴ ∠ CBE + ∠ F = 90°． ∴ ∠ BMF = 90°．∴ BE⊥DF．
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第一章特殊平行四边形

九年级数学上册第一章特殊平行四边形知识点归纳(新版)北师大版

九年级数学上册：第一章特殊平行四边形1.菱形的性质与判定2.矩形的性质与判定3.正方形的性质与判定菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

※菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。

菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。

※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。

对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

四条边都相等的四边形是菱形。

※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。

矩形是特殊的平行四边形。

※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。

（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。

对角线相等的平行四边形是矩形。

四个角都相等的四边形是矩形。

※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。

※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。

（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；邻边相等的矩形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形。

正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)：※梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

※两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。

※一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。

※等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。

同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。

※多边形内角和：n边形的内角和等于（n－2）·180°※多边形的外角和都等于360°※在平面内，一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图开叫做中心对称图形。

※中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段被对称中心平分。

四种特殊四边形的性质四种特殊四边形常用的判定方法：面积公式： S 平行四边形=底边长×高=ah S 矩形=长×宽=ab S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半2221对角线边长正==S。

九年级数学上册第一章特殊平行四边形第2节矩形的性质与判定(第2课时)教案 (新版)北师大版-

第一章《特殊平行四边形》《矩形的性质与判定》(第2课时)【教学目标】（1）.经历矩形判定定理的探索过程，进一步发展合情推理能力.（2）.能够用综合法证明矩形的判定定理，进一步发展演绎推理能力.2.过程与方法在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究结果。

3.情感态度和价值观体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想.【教学重点】矩形的判定【教学难点】矩形的判定及性质的综合应用．【教学方法】合作、探究【课前准备】多媒体课件【教学过程】一、复习引入（1）矩形的定义；（2）矩形的特征；（3）矩形的特殊性质；提出问题引入新课：想一想我们可以怎样判定一个四边形是矩形？二、探究新知：定义法（有一个角是直角的平行四边形叫做矩形）制作一个如图所示的平行四边形的活动框架. 在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在两个相对的顶点上，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生什么变化？当 ︒=90α 时，平行四边形为矩形。

定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 几何语言：∵四边形ABCD 是平行四边形且∠A=90° ∴四边形ABCD 是矩形2.矩形的判定2的探究：对角线相等的平行四边形是矩形活动内容1：工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你知道为什么吗？处理方式：先由学生独立思考，尝试解答，再采取小组合作的方式，交流讨论，进而得到结论:对角线相等的平行四边形是矩形.活动内容2：通过思考、交流，我们可以发现，对角线相等的平行四边形是矩形，你能证明这个命题吗？处理方式：鼓励学生积极探索，大胆猜想，在此基础上再进行严格地证明.证明过程中，学生可能会有一定的困难，教师要及时予以指导和规X.此处可安排学生板演证明过程.定理的证明：如图，在平行四边形ABCD 中，AC 、BD 是它的两条对角线，且AC=DB ，证明：四边形ABCD 是矩形. 分析:要证明□ABCD 是矩形,只要证明有一个角是直角即可. 证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形 ∴ AB=DC,AB//DC 又∵BC=CB,AC=DB ∴△ABC ≌△DCB ∴∠ABC=∠DCB ∵AB//DC∴∠ABC+∠DCB=180°， ∴∠ABC=∠DCB=90°∴平行四边形ABCD 是矩形几何语言：∵在□ABCD 中，AC=BD ∴□ABCD 是矩形3.矩形的判定3的探究：三个角是直角的四边形是矩形活动内容1：一同学用“边——直角、边——直角、边——直角、边”这样四步，画出了一个四边形，她说这就是一个矩形，她的判断对吗？为什么？处理方式：学生独立完成作图后可与课本作法进行对比，通过思考作法的正确性，探索得到矩形的另一种判定方法：三个角是直角的四边形是矩形.并对这一判定方法加以证明.已知:如图,在四边形ABCD 中, ∠A=∠B=∠C=90°，求证:四边形ABCD 是矩形. 分析:利用同旁内角互补,两直线平行来证明四边形是平行四边形,可使问题得证. 证明:∵∠A=∠B=∠C=90°, ∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180° ∴AD ∥BC,AB ∥CD.∴四边形ABCD 是平行四边形. ∴四边形ABCD 是矩形.几何语言：∵在四边形ABCD 中，∠A=∠B=∠C=90° ∴□ABCD 是矩形归纳：矩形的三个判定：1.有一个角是直角的平行四边形是矩形.2.对角线相等的平行四边形是矩形.3.有三个角是直角的四边形是矩形. 三、例题讲解例例1.判断题：（1）有一个角是直角的四边形是矩形。

北师大版九年级上册第一章特殊平行四边形知识点讲解(含例题及答案)

北师大版九年级上册第一章特殊平行四边形知识点讲解（含例题及答案）【学习目标】1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系.2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行有关的证明和计算. 【知识关系】【知识点梳理】知识点一、平行四边形1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2．性质：（1）对边平行且相等；（2）对角相等；邻角互补；（3）对角线互相平分；（4）中心对称图形. 3．面积：4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形. 知识点诠释：平行线的性质：（1）平行线间的距离都相等；（2）等底等高的平行四边形面积相等. 知识点二、菱形高底平行四边形⨯=S1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质；（2）四条边相等；（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积：4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四边相等的四边形是菱形.知识点三、矩形1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形. （2）对角线相等的平行四边形是矩形. （3）有三个角是直角的四边形是矩形. 知识点诠释：由矩形得直角三角形的性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．知识点四、正方形1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 2．性质：（1）对边平行；（2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；（6）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：=S 正方形边长×边长＝12×对角线×对角线 4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形；（3）对角线相等的菱形是正方形；（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.【典型例题】类型一、平行四边形2对角线对角线高＝＝底菱形⨯⨯S 宽＝长矩形⨯S1、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC 交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F．（1）求证：DE=EF；（2）连结CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：∠B=∠A+∠DGC．【思路点拨】（1）首先证明四边形DBCF为平行四边形，可得DF=BC，再证明DE=1 2BC，进而得到EF=12CB，即可证出DE=EF；（2）首先画出图形，首先根据平行线的性质可得∠ADG=∠G，再证明∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，然后再推出∠1=∠DCB=∠B，再由∠A+∠ADG=∠1可得∠A+∠G=∠B．【答案与解析】证明：（1）∵DE∥BC，CF∥AB，∴四边形DBCF为平行四边形，∴DF=BC，∵D为边AB的中点，DE∥BC，∴DE=12BC，∴EF=DF-DE=BC-12CB=12CB，∴DE=EF；（2）∵DB∥CF，∴∠ADG=∠G，∵∠ACB=90°，D为边AB的中点，∴CD=DB=AD，∴∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，∵DG⊥DC，∴∠DCA+∠1=90°，∵∠DCB+∠DCA=90°，∴∠1=∠DCB=∠B，∵∠A+∠ADG=∠1，∴∠A+∠G=∠B．【总结升华】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，以及直角三角形的性质，关键是找出∠ADG=∠G，∠1=∠B．掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．类型二、菱形2、（2016•广安）如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．【思路点拨】连接AC，根据菱形的性质可得AC平分∠DAE，CD=BC，再根据角平分线的性质可得CE=FC，然后利用HL证明Rt△CDF≌Rt△CBE，即可得出DF=BE．【答案与解析】证明：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAE，CD=BC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=FC，∠CFD=∠CEB=90°．在Rt△CDF与Rt△CBE中，，∴Rt△CDF≌Rt△CBE（HL），∴DF=BE．【总结升华】此题考查了菱形的性质，角平分线的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．同时考查了全等三角形的判定与性质．举一反三：【变式】用两张等宽的纸带交叉重叠地放在一起，重合的四边形ABCD是菱形吗？如果是菱形请给出证明，如果不是菱形请说明理由．【答案】四边形ABCD是菱形；证明：由AD∥BC，AB∥CD得四边形ABCD是平行四边形,过A，C两点分别作AE⊥BC于E，CF⊥AB于F．∴∠CFB＝∠AEB＝90°．∵AE＝CF（纸带的宽度相等）∠ABE＝∠CBF，∴Rt△ABE≌Rt△CBF,∴AB＝BC,∴四边形ABCD是菱形.类型三、矩形3、已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC．①求证：CD＝AN；②若∠AMD＝2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．【思路点拨】①根据两直线平行，内错角相等求出∠DAC＝∠NCA，然后利用“角边角”证明△AMD和△CMN全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝CN，然后判定四边形ADCN是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；②根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和推出∠MCD＝∠MDC，再根据等角对等边可得MD＝MC，然后证明AC＝DN，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得证．【答案与解析】证明：①∵CN∥AB，∴∠DAC＝∠NCA，在△A MD和△CMN中，∵DAC NCAMA MCAMD CMN∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AMD≌△CMN（ASA），∴AD＝CN，又∵AD∥CN，∴四边形ADCN是平行四边形，∴CD＝AN；②∵∠AMD＝2∠MCD，∠AMD＝∠MCD＋∠MDC，∴∠MCD＝∠MDC， ∴MD＝MC ，由①知四边形ADCN 是平行四边形， ∴MD＝MN ＝MA ＝MC ， ∴AC＝DN ，∴四边形ADCN 是矩形．【总结升华】要判定一个四边形是矩形，通常先判定它是平行四边形，再根据平行四边形构成矩形的条件，判定有一个角是直角或对角线相等．4、如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8．将矩形ABCD 沿CE 折叠后，使点D 恰好落在对角线AC 上的点F 处，求EF 的长.【思路点拨】要求EF 的长，可以考虑把EF 放入Rt △AEF 中，由折叠可知CD ＝CF ，DE ＝EF ，易得AC ＝10，所以AF ＝4，AE ＝8-EF ，然后在Rt △AEF 中利用勾股定理求出EF 的值．【答案与解析】解：设EF ＝x ，由折叠可得：DE ＝EF ＝x ，CF ＝CD ＝6，又∵ 在Rt △ADC 中，． ∴ AF ＝AC －CF ＝4，AE ＝AD －DE ＝8－x ．在Rt △AEF 中，222AE AF EF =+，即，解得：x ＝3 ∴ EF ＝3 【总结升华】在矩形折叠问题中往往根据折叠找出相等的量，然后把未知边放在合适的直角三角形中，再利用勾股定理进行求解．举一反三：【变式】把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF ．若AB ＝ 3cm ，BC ＝ 5cm ，则重叠部分△DEF 的面积是__________2cm ．【答案】5.1.提示：由题意可知BF ＝DF ，设FC ＝x ，DF ＝5－x ，在Rt △DFC 中，，10AC =222(8)4x x -=+222DC FC DF +=解得x ＝，BF ＝DE ＝3.4，则＝×3.4×3＝5.1. 类型四、正方形5、如图，一个含45°的三角板HBE 的两条直角边与正方形ABCD 的两邻边重合，过E 点作EF ⊥AE 交∠DCE 的角平分线于F 点，试探究线段AE 与EF 的数量关系，并说明理由.【思路点拨】AE ＝EF ．根据正方形的性质推出AB ＝BC ，∠BAD＝∠HAD＝∠DCE＝90°，推出∠HAE＝∠CEF，根据△HEB 是以∠B 为直角的等腰直角三角形，得到BH ＝BE ，∠H＝45°，HA ＝CE ，根据CF 平分∠DCE 推出∠H＝∠FCE，根据ASA 证△HAE≌△CEF 即可得到答案．【答案与解析】探究：AE ＝EF证明：∵△BHE 为等腰直角三角形, ∴∠H ＝∠HEB ＝45°，BH ＝BE.又∵CF 平分∠DCE ，四边形ABCD 为正方形， ∴∠FCE ＝12∠DCE ＝45°， ∴∠H ＝∠FCE.由正方形ABCD 知∠B ＝90°，∠HAE ＝90°＋∠DAE ＝90°＋∠AEB, 而AE ⊥EF ，∴∠FEC ＝90°＋∠AEB ， ∴∠HAE ＝∠FEC.由正方形ABCD 知AB ＝BC ，∴BH －AB ＝BE －BC ， ∴HA ＝CE,∴△AHE ≌△ECF （ASA ）, ∴AE ＝EF. 【总结升华】充分利用正方形的性质和题目中的已知条件，通过证明全等三角形来证明线段相等.举一反三：【变式】（2015•黄冈）如图，在正方形ABCD 中，点F 为CD 上一点，BF 与AC 交于点E ．若∠CBF=20°，则∠AED 等于．【答案】 65°。

北师大版九年级上册数学复习知识点及例题

性角质
对角线
四个角都是直角
互相平分且相等
对角相等
四个角都是直角
互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角
互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角
判定
·有三个角是直角; ·是平行四边形且有一个角是直角; ·是平行四
·四边相等的四边形； ·是平行四边形且有一组邻边相等； ·是平行四边形
·是矩形，且有一组邻边相等； ·是菱形，且有一个角是直角。
边形且两条且两条对角线互对角线相等. 相垂直。
对称性
既是轴对称图形，又是中心对称图形
一．矩形矩形定义：有一角是直角的平行四边形叫做矩形．
【强调】矩形（1）是平行四边形；（2）一一个角是直角．
矩形的性质
性质1 矩形的四个角都是直角；性质2 矩形的对角线相等，具有平行四边形的所以性质。；
①有一组邻边相等的平行四边形（菱形） ②有一个角是直角的平行四边形（矩形）正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的矩形，又是特殊的
菱形．正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫
做正方形．正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，正方形
又是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线，共有四条对称轴；
因为正方形是平行四边形、矩形，又是菱形，所以它的性质是它们性质的综合，正方形的性质总结如下：
边：对边平行，四边相等；角：四个角都是直角；对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．注意：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，这是正方形的特殊性质．

北师大版9年级上第1章特殊的平行四边形单元练习题(无答案)(2021年整理)

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第1章特殊的平行四边形单元练习一、选择题1．矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C,E共线,点C,D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，则GH＝（）A．1 B．C．D．2．如图，已知点P是矩形ABCD内一点（不含边界），设∠PAD＝θ1，∠PBA＝θ2，∠PCB＝θPDC＝θ4，若∠APB＝80°，∠CPD＝50°，则（）3，∠A．（θ1+θ4)﹣（θ2+θ3)＝30°B．（θ2+θ4）﹣（θ1+θ3)＝40°C．（θ1+θ2)﹣（θ3+θ4）＝70°D．（θ1+θ2）+(θ3+θ4）＝180°3．如图，在▱ABCD中，AM，CN分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件,仍无法判断四边形AMCN为菱形的是（）A．AM＝AN B．MN⊥ACC．MN是∠AMC的平分线D．∠BAD＝120°4．如图,在任意四边形ABCD中，AC，BD是对角线，E、F、G、H分别是线段BD、BC、AC、AD 上的点，对于四边形EFGH的形状，某班的学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（）A．当E，F，G，H是各条线段的中点时，四边形EFGH为平行四边形B．当E，F，G，H是各条线段的中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形C．当E，F，G，H是各条线段的中点，且AB＝CD时，四边形EFGH为菱形D．当E，F，G，H不是各条线段的中点时，四边形EFGH可以为平行四边形5．如图所示,在矩形ABCD中，AB＝6,BC＝8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC 交AD于点E，则DE的长是（）A．5 B．C．D．6．如图,已知正方形ABCD的边长为4，以AB为一边作等边△ABE，使点E落在正方形ABCD的内部，连接AC交BE于点F，连接CE、DE，则下列说法中：①△ADE≌△BCE；②∠ACE＝30°；③AF＝CF；④＝2+，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题7．如图，E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点,满足AE＝DF．连接CF交BD于点G,连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是．8．如图，在四边形ABCD中,∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是．9．如图，在平面直角坐标系中,边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y＝x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为(8，4），阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S1、S2、S3、…、S n,则S n的值为．（用含n的代数式表示，n为正整数）10．如图，P是矩形ABCD内的任意一点,连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论：①S1+S2＝S3+S4；②S2+S4＝S1+S3；③若S3＝2S1，则S4＝2S2；④若S1＝S2,则P点在矩形的对角线上．其中正确的结论的序号是（把所有正确结论的序号都填在横线上)．11．如图，有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD,将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A点，两条直角边分别与CD交于点F，与CB延长线交于点E．则四边形AECF的面积是．三、解答题12．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H,连接OH,求证:∠DHO＝∠DCO．13．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边上的中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC 交BE的延长线于F，连接CF．（1)求证：BD＝AF；（2）判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．14．已知：如图,在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连接BM、DN．（1）求证：四边形BMDN是菱形；（2）若AB＝8，AD＝16,求MD的长．15．如图,在△ABC中,D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF．（1）求证：BD＝CD；（2）如果AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．16．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E点,延长BC至F点使CF＝BE,连接AF，DE，DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若AB＝6，DE＝8，BF＝10，求AE的长．17．如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，且CE＝CD，过点E作EF⊥AC交AD 于点F，连接BE．（1)求证：DF＝AE；（2）当AB＝2时，求BE2的值．18．如图，已知E、F为平行四边形ABCD的对角线上的两点,且BE＝DF，∠AEC＝90°．求证:四边形AECF为矩形．19．如图，在▱ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE,并延长BE交CD的延长线于点F．（1)求证：△ABE≌△DFE；（2）连接BD、AF,当BE平分∠ABD时，求证:四边形ABDF是菱形．20．已知：如图，在矩形ABCD中,M、N分别是边AD、BC的中点,E、F分别是线段BM、CM的中点．（1）求证:△ABM≌△DCM;（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论．21．如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,DE∥AC，CE∥BD．（1）求证:四边形OCED为菱形；（2）连接AE、BE，AE与BE相等吗？请说明理由．22．四边形ABCD为正方形,点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE,交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）如图1,求证：矩形DEFG是正方形；（2)若AB＝2，CE＝,求CG的长度；（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数．。

北师大版九年级上册数学学案-第一章特殊平行四边形-复习讲义-无答案

平行四边形、矩形、菱形、正方形复习总结【知识要点】【典型例题】一般平行四边形特殊平行四边形矩形菱形正方形图形定义两组对边分别平行的四边形是平行四边形有一个角是直角的平行四边形是矩形有一组邻边相等的平行四边形是菱形有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形性质① 边：对边平行且相等 ② 角：对角相等，邻角互补 ③对角线：对角线互相平分除具有平行四边形的性质外，还有①角：四个角都是直角 ②对角线：对角线相等,且互相平分除具有平行四边形的性质外，还有 ①边：四条边相等 ②对角线：对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角具有矩形、菱形的所有性质（正方形=矩形+菱形） ①边：四条边相等 ②角：四个角是直角 ③对角线：对角线相等，互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；判定边：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形角：④两组对角分别相等的四边形是平行四边形对角线：⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形角：①有一个角是直角的平行四边形是矩形②有三个角是直角的四边形是矩形对角线:③对角线相等的平行四边形是矩形边：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ②四边都相等的四边形是菱形对角线：③对角线互相垂直的平行四边形是菱形①对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形②有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是菱形③有一组邻边相等的矩形是正方形 ④对角线互相垂直的矩形是正方形 ⑤有一个角是直角的菱形是正方形 ⑥对角线相等的菱形是正方形面积S=ah(a 为一边长，h 为这条边上的高)S=ab(a 为一边长，b 为另一边长) ①S=ah(a 为一边长，h 为这条边上的高)；②(b 、c 为两条对角线的长)①(a 为边长)；②(b 为对角线长)对称性中心对称图形，对称中线是两条对角线的交点既是中心对称图形（两条对角线的交点是对称中心），又是轴对称图形有2条对称轴，它们分别是过两组对边中点的直线有2条对称轴，对称轴是两条对角线所在的直线有4条对称轴，其中2条是过两组对边中点的直线，另外2条是两条对角线所在的直线四边中线连线平行四边形（任何四边形四边中点的连线都是一个平行四边形）菱形矩形正方形例1、如图，在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，△ABE是等边三角形，求证：四边形ABCD是矩形。

(北师版)九年级数学上册特殊的平行四边形辅导讲义

特殊的平行四边形辅导讲义目录：1、知识再现2——32、考点例析4——113、巩固练习12——144、培优训练15——195、课后检测20——216、综合训练22——247、面向中考25——31特殊的平行四边形辅导讲义1、知识再现一、特殊四边形1.平行四边形及特殊的平行四边形的性质2. 平行四边形及特殊的平行四边形的判定二、中点四边形1、中点四边形的概念：把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．2、（1）顺次连结四边形各边中点所得的四边形是；（2）顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是菱形；（3）顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是矩形；（4）顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是正方形。

三、要点诠释面积公式：S 菱形 =21ab=ch.（a 、b 为菱形的对角线 ,c 为菱形的边长，h 为c 边上的高） S 平行四边形 =ah. （a 为平行四边形的边，h 为a 上的高）2、考点例析考点一、平行四边形的性质和判定◆典例精析例1 （1）（湖北襄樊）如图，在中，于且是一元二次方程的根，则的周长为（）A ．B ．C ．D ．（2）如图，分别以Rt △ABC 的斜边AB 、直角边AC 为边向外作等边△ABD 和△ACE ，F 为AB 的中点，DE ，AB 相交于点G ，若∠BAC=30°，下列结论：①EF ⊥AC ；②四边形ADFE 为平行四边形；③AD=4AG ；④△DBF ≌△EFA ．其中正确结论的是（）． A ． ①②③④ B ． ①③④ C ．②③④ D ． ①②④例2 （四川达州）如图，一个四边形花坛ABCD ，被两条线段MN ，EF 分成四个部分，分别种上红、黄、紫、白四种花卉，种植面积依次是S 1，S 2，S 3，S 4，若MN AB DC ，EF DA CB ，则有（）A ．S 1=S 4B ．S 1+S 4=S 2+S 3C ．S 1S 4=S 2S 3D ．都不对ABCD AE BC ⊥E ，AE EB EC a ===，a 2230x x +-=ABCD 422+1262+222+221262++或ADCEB例3、（1）如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE=AF．请你猜想：BE 与DF有怎样的位置关系和数量关系？并对你的猜想加以证明．例4、（厦门）如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠ACD=90°，∠B=∠D．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；至A点停止，则从运动开始经过多少时间，△BEP为等腰三角形？考点二、矩形折叠问题1、求角度例1、（四川成都）如图1，把一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点C D ，分别落在C D ''，的位置上，EC '交AD 于点G ．已知58EFG ∠=°，那么BEG ∠= °．2、求线段长度例2、（山东东营）如图2，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若CD ＝6，则AF 等于（）（A ）34 （B ）33 （C ）24（D ）８3、求图形面积例3、（07贵阳）如图3-1所示，将长为20cm ，宽为2cm 的长方形白纸条，折成图3-2所示的图形并在其一面着色，则着色部分的面积为（）A ．234cm B ．236cm C ．238cmD ．240cmABE CDFG图1A BCD EF图 2图3-1图3-24、说明数量及位置关系例4、（宁夏）如图4，将矩形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠，点C 落在点E 处，BE 交AD 于点F ，连结AE ．证明：（1）BF DF ．（2）AE BD ∥．5、判断图形形状例5、（长春）如图5-1，将一组对边平行的纸条沿EF 折叠，点A 、B 分别落在A ’、B ’处，线段FB ’与AD 交于点M ．(1)试判断△MEF 的形状，并说明你的理由；(2)如图5-2，将纸条的另一部分CFMD 沿MN 折叠，点C 、D 分别落在C ’、D ’处，且使MD ’经过点F ，试判断四边形MNFE 的形状，并说明你的理由； (3)当∠BFE ＝_________度时，四边形MNFE 是菱形．ABCDEF图4A 图5-2BCEF D A ’B ’A BC E FD A ’ B ’ D ’C ’MMN 图5-1考点三、菱形的最值问题例1、（浙江台州）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（）A． 1 B C． 2 D＋1例2、如图，将两张长为9，宽为3的矩形纸条交叉，重叠部分构成的菱形周长的最大值是多少？例3、（四川自贡）如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC．CD上滑动，且E、F不与B．C．D重合．（1）证明不论E、F在BC．CD上如何滑动，总有BE=CF；（2）当点E、F在BC．CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．例4、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点C的坐标为(4,0)，∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l 与菱形OABC的两边分别交于点M、N(点M在点N的上方).1.求A、B两点的坐标；2.设∠OMN的面积为S，直线l运动时间为t秒(0≤t≤6)，试求S与t的函数表达式；3.在题(2)的条件下，t为何值时，S的面积最大？最大面积是多少？考点四、正方形中的旋转问题例1、如图，直角梯形ABCD中，AD BC， ADC=90°，l是AD的垂直平分线，交AD于点M，以腰AB为边作正方形ABFE，EP l于P。

秋九年级数学上册第一章特殊平行四边形复习教案2(新版)北师大版-(新版)北师大版初中九年级上册数

第一章特殊平行四边形教学目标、重点、难点【学习目标】1、经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力．2、能运用综合法证明矩形、菱形、正方形性质定理和判定定理．3、体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学思想方法．【重点难点】掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定以及证明方法．知识概览图教材精华知识点1 菱形的性质定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．菱形的性质．菱形是特殊的平行四边形，除具有平行四边形的性质外，还有自己特有的性质，菱形的性质定理如下．（1）菱形的四条边都相等．用数学符号语言表示：如图3-45所示，若四边形ABCD是菱形，则AB＝BC＝CD＝DA．（2）菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角．用数学符号语言表示：如图3-46所示，若四边形ABCD是菱形，AC，BD是对角线，则AC⊥BD，且AC 平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC.拓展（1）菱形的面积等于两条对角线乘积的一半．用数学符号语言表示：如图3-47所示，在菱形ABCD中，AC，BD是对角线，则S菱形＝12AC·BD．（2）如果菱形有一个内角为60°或120°，则两边与较短对角线可构成等边三角形，这是非常有用的基本图形．另外，两条对角线把菱形分成了四个全等的含30°角的直角三角形．探索交流我们知道，若菱形的两条对角线长分别为a，b，则菱形的面积S＝12ab.那么在对角线互相垂直的四边形中，面积也为它的对角线长的乘积的一半吗? 为什么?点拔菱形的面积等于对角线乘积的一半，这一公式可以推广到对角线互相垂直的四边形中．如图3-48所示，在四边形ABCD中，AC⊥BD，则S四边形ABCD＝12AC·BD．理由如下：设AC，BD交于点O，∵AC⊥BD，∴S△ABD＝12AO·BD，S△BCD＝12OC·BD，∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝12A O·BD+12OC·BD＝12BD（AO+OC）＝12BD·AC即菱形的面积等于对角线乘积的一半，这一公式可以推广到对角线互相垂直的四边形中．知识点2 菱形的判定用定义判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．判定定理l：四条边都相等的四边形是菱形．判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．拓展（1）菱形的判定定理1，2的起点不同，一个是四边形，一个是平行四边形．判定的条件也不同，一个是四条边都相等，一个是对角线互相垂直．（2）注意这里的起点和条件不能X冠李戴，否则会得出错误的结论。

北师大版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形(同步+复习)串讲精品课件

A A E B D F C B F C E D
复习整理一
菱形定义
邻边相等的平行四边形是菱形有一组 ________
对称性菱形的性质
定理
菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴菱形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点 (1)菱形的四条边 ________ 相等；垂直平 (2)菱形的两条对角线互相 ________ 一组对角分，并且每条对角线平分 ________
第一单元：菱形的性质与判定
D A O C
B
Shuxue
想一想
一．菱形的定义和性质
1.
2. 3. 4.
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（把平行四边形从边上整容；割长补短）。两条件：平行四边形+邻边相等=菱形。定义的可逆性：既是性质，又是判定。菱形的性质
① ② ③ ④ ⑤ 看边：四条边都相等。看角：对角相等。看对角线：互相垂直平分，且平分内对角（是对称轴）。十二角分三组，每四个角一组且相等。看对称：两对角线是对称轴。轴对称和中心对称面积：菱形的面积等于对角线乘积的一半，特例：有一角为120或60，则内含两个正三角形一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。四条边都相等的四边形是菱形。点拨：
① 三个判定其中两个要先判定是平行四边形：平行四边形+邻边相等=菱形；平行四边形+对角线垂直=菱形。 ② 第三个判定是任意四边形只要四边相等就是菱形。 ③ 看清记清定理的条件和结论。 ④ 注意符号语言。
【典例1】
【典例2】
【典例3】四边形ABCD是边长为13cm 的菱形,其中对角线BD长10cm. 求:(1).对角线AC的长度; (2).菱形ABCD的面积. 解:(1)∵四边形ABCD是菱形, ∴∠AED=900,DE

北师大版九年级上册数学知识点复习课件(共46张PPT)

知识点八位似
(1) 如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心. (这时的相似比也称为位似比)
(2) 性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比；对应线段平行或者在一条直线上.
(3) 位似性质的应用：能将一个图形放大或缩小.
墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影. 投影所在的平面叫做投影面．
投影
投影面
2.中心投影指的是由同一点（知点识光源专）题发出的光线所形成的投影。
中心投影的投射线相交于一点，这一点称为投影中心。
3.中心投影的特点：
知识专题
1).物体离光源越远，影子越长。
2）.物体方向改变，影子方向随之改变。
3）.光源离物体越近，影子越短。 4）.光源方向改变，影子方向随之改变。
第一章特殊的平行四边形
本章小结
一、菱形、矩形、正方形的性质
对边
角
平行
对角相等
且四边相等邻角互补
平行且相等
四个角都是直角
平行
四个角
且四边相等都是直角
对角线
互相垂直且平分，每一条对角线平分
一组对角
互相平分且相等
互相垂直平分且相等，每一条对角线
平分一组对角
二、菱形、矩形、正方形的判定方法
(2) 反比例函数的性质
k＞0
图象 y
o yk
x
(k≠0) k＜0
y
o
所在象限性质
一、三象在每个象
限(x，y 限内，y
同号) 随 x 的增
x
大而减小
二、四象在每个象
限(x，y 限内，y

【教育资料】北师大版九年级上数学第一章特殊的平行四边形1.1菱形的性质与判定(2)教学案(无答案)学习精品

学习任务一：阅读教材第 17—19 页内容，思考并总结本节课学习的主要内容，写在下面的横线上：（要写得详细些）
第一阶段预学案
学习任务二：菱形及其性质
1. 平行四边形。
叫做菱形。菱形是________的
2.从菱形的意义可以探究菱形具有的性质：
（1）菱形具有平行四边形具有的一切性质。
（2）菱形与平行四边形比较又有其特殊的性质:
特殊在“边”上的性质是 _____________________________________________.
特殊在“对角线”上的性质是： _______________________________________.
学习任务三：从“对角线”和“角”两方面得到菱形的判定定理：
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北师大版九年级上数学第一章特殊的平行四边形 1.1 菱形的性质与判定 2
课题
1.1 菱形的性质与判定 2
授课时间
主备人
授课人
班级
审核人
目
1. 理解菱形的定义，探究归纳菱形的性质。
学习目标
标
2. 掌握菱形的判定方法。
导
理解菱形的定义；探究归纳菱形的性质；掌握菱形的判
学习重点
航
定方法。
【课前预习】
C.65°
D.60°
4.棱形的周长为 8.4cm，相邻两角之比为 5：1，那么菱形一组对边之间的距离为（）
A.1.05cm B.0.525cm
C.4.2cm
D.2.1cm
5.菱形 ABCD 中∠A=120°，周长为 14.4，则较短对角线的长度
为
。
6.菱形的面积为 50 平方厘米，一个角为 30°，则它的周长

九年级数学上册第一章特殊平行四边形 2 矩形的性质与判定学习要点素材北师大版(2021年整理)

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《矩形的性质与判定》学习要点生活实例：工人师傅在做门窗或矩形零件时，首先测量两组对边的长度是否分别相等，其次再测量它的两条对角线是否相等，以确保所测图形是矩形．问题:测量两组对边的长度分别相等，可以说明这个四边形是平行四边形，如果再测量它的对角线相等，则这个平行四边形是矩形，为什么呢?在平行四边形的前提下，再加一个什么条件即可判定这个图形是矩形呢?让我们一起来学习矩形．一、认识矩形的定义有一个角是直角的平行四边形是矩形．注意:矩形的定义有两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角．二、掌握矩形的性质（1）矩形具有平行四边形的所有性质．（2）矩形的四个角都是直角．（3)矩形的对角线互相平分且相等．（4）矩形是轴对称图形,有两条对称轴．注意：利用矩形的性质可以证明线段的相等或倍分、证明直线的平行、证明角的相等等问题．三、掌握矩形的判定方法（1)根据定义判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形；(2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形；（3）定理2:对角线相等的平行四边形是矩形．注意：①用定义来判定一个四边形是矩形要满足两条：一是有一个角是直角；二是平行四边形，也就是说有一个角是直角的四边形不一定是矩形，必须加上平行四边形这个条件．②用定理2证明一个四边形是矩形也必须满足两个条件:一是对角线相等；二是平行四边形．也就是说：两条对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上平行四边形这个条件,它才是矩形．③矩形的判定可以通过以下思路进行:通过以上的学习，我们可以知道工人师傅前面的做法是符合矩形的判定方法的，由此可见，他作出的图形是矩形．。

XXXX北师大版初三数学上册第一章《特殊平行四边形》全)-

XXXX北师大版初三数学上册第一章《特殊平行四边形》全）- 《特殊平行四边形》复习巩固全章[学习目标]1。

掌握平行四边形、矩形、菱形和正方形的概念，并理解它们之间的关系。

2。

探索和掌握平行四边形、矩形、菱形和正方形的相关性质和常用判别方法。

并且可以用这些知识来证明和计算。

[键点梳]键点1，平行四边形1。

定义:两组对边平行的平行四边形称为平行四边形。

2.性质:(1)对边平行且相等；(2)对角线相等；相邻的角度是互补的；(3)对角线彼此等分；(4)中心对称图形。

3.面积:平行四边形？底部？高度4。

判断:边:(1)两组对边平行的平行四边形是平行四边形；(2)两组对边相等的四边形为平行四边形；(3)一组平行且对边相等的平行四边形是平行四边形。

角度:(4)两组对角相等的平行四边形是平行四边形；(5)任意两组邻角互补的平行四边形都是平行四边形。

边和角:(6)一组对边平行，一组对角相等的四边形为平行四边形；对角线:(7)对角线彼此平分的四边形是平行四边形。

重点说明:平行线的性质:(1)平行线之间的距离相等；(2)等底高等面积平行四边形。

第2点，钻石1。

定义:一组相邻边相等的平行四边形称为菱形。

2.性质:(1)平行四边形的所有性质；(2)四边相等；(3)两条对角线被平分并互相垂直，每条对角线平分一组对角线；(4)中心对称图，轴对称图。

3.面积:菱形=底部？高=对角线？对角线24。

判断:(1)一组相邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；(3)四等边四边形是菱形。

磅3，矩形1。

定义:直角平行四边形称为矩形。

2.性质:(1)平行四边形的所有性质；(2)的四个角都是直角；(3)条对角线被等分且彼此相等；(4)中心对称图，轴对称图。

3。

面积:长方形=长度？宽度4。

判断:(1)直角平行四边形是矩形。

(2)对角线相等的平行四边形是矩形。

(3)有三个直角的四边形是矩形。

关键注释:矩形的直角三角形的性质:(1)直角三角形斜边的中心线等于斜边的一半；在(2)直角三角形中，对应于30度角的直角边等于斜边的一半。

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第一章特殊平行四边形
1.2矩形的性质和判定
一．矩形的性质
1．矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
温馨提示
①对于矩形的定义要注意两点a.是平行四边形.b.有一个角是直角；
②定义说有一个角是直角的平行四边形才是矩形,不要错误地理解为有一个角是直角的四边形是矩形；
③矩形的定义既是矩形的性质,也提供了矩形的种判定方法。

2. 矩形的性质
（1）矩形具有平行四边形的所有性质 .
（2）矩形的四个角都是直角.
（3）矩形的对角线相等.
（4）矩形是轴对称图形,它有两条对称轴,对角线所在直线就是它的对称轴. 矩形又是中心对称图形,对角线的交点为对称中心.
菱形中相等的线段：AC=BD，OA = OC=OB = OD．
菱形中相等的角：∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°．
菱形中的全等三角形：
全等的等腰三角形有：，
全等的直角三角形有：
点拨：有关矩形问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决(转化思想).
温馨提示：
①矩形具有平行四边形的一切性质；
②利用矩形的性质可以推出直角三角形斜边中线的性质,即：在直角三角形中,斜边上的中
线等于斜边的一半；
③“矩形的四个角都是直角”这一性质可用来证两条线段互相垂直或角相等,“矩形的对角线相等”这一性质可用来证线段相等；
④矩形的两条对角线分矩形为面积相等的四个等腰三角形。

【例1】已知四边形ABCD是矩形.
（1）若AB=8cm，AD=6cm，则AC=______cm，OB=______cm.
（2）若AC=10cm，BC=6cm，则矩形的周长=______cm.
【例2】如图所示，矩形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，
BC，CD，DA上，点P在矩形ABCD内.若AB=4cm，BC=6cm，
AE=CG=3cm，BF=DH=4cm，四边形AEPH的面积为5cm2，则
四边形PFCG的面积为_____________
【例3】吧如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE=CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC .
（1）求证OE=OF；
（2）若BC=，求AB的长.
【例4】如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC，∠EDO=15°.
（1）试比较线段AO与AE的大小，并证明你的结论；
（2）连接OE，求∠AOE的大小.
3.应用矩形性质求线段长
【例5】已知矩形对角线的夹角为120°，对角线长为24cm，则矩形较短的边长为________.
【例6】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB
= 60°，AB=4. 则矩形对角线的长为___________.
【例7】如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E.ED=5，
EC=3，求矩形的周长及对角线的长.
【例8】如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD
的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为_______.
4.利用矩形对角线性质进行推理证明
【例9】如图，在矩形ABCD中，AE∥BD，且交CB的延长线于点E.
求证：∠EAB=∠CAB.
【例10】如图，在矩形中，对角线相交于点O，且∠CDF=∠BDC，∠DCF=∠ACD.
求证：DF=CF .
5.矩形性质、勾股定理及方程思想的综合
【例11】如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，对角线AC的垂
直平分线分别交AD，BC于点E，F，连接CE，则CE=______.
【例12】如图，将一个边长分别为4，8的矩形纸片ABCD折叠，
使点A与点C重合，则折痕EF的长是__________
【例13】如图，矩形纸片ABCD 中，AB 3 cm，BC 4 cm，现
将A、C 重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF．重叠部分△AEF 的
面积为________．
6.直角三角形斜边中线性质的应用
【例14】如图四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E是AC中点，EF平分∠BED交BD 于点F. （1）猜想EF与BD具有怎样的关系？（2）证明你的猜想.
【例15】如图，BD，CE是的两条高，M，N分别为BC，DE的中点．
求证：（1）EM=DM；（2）MN⊥DE
.
二．矩形的判定
7. 矩形的判定定理
（1）有三个角是直角的四边形是矩形.
（2）对角线相等的平行四边形是矩形。

（3）有一个角是直角的平行四边形是矩形.
温馨提示
①若易证是平行四边形,则再证角为直角或对角线相等,即可得矩形；
②四个角均相等的四边形是矩形；
③有两条对角线相等的四边形不一定是矩形,必须加上“平行四边形”这个条件,它才是矩形；
④对角线相等且互相平分的四边形是矩形。

【例1】如图，四边形ABCD是平行四边形，AC、BD相交于点O，∠1=∠2.求证：四边形ABCD是矩形。

【例2】已知，BD，BE 分别是∠ABC 与它的邻补角的平分线，AE ⊥BE，AD ⊥BD．求证：四边形AEBD 是矩形．
【例3】如图，平行四边形ABCD 的四个内角的平分线分别相交于E，F，G，H．求证：四边形EFGH为矩形．
【例4】在△ABC 中，AB = AC，AD ⊥BC 于D，AE 是∠BAC 的外角平分线，DE∥AB 交AE 于E．
求证：四边形ADCE 是矩形．
【例5】如图，△ABC 中，点O 是AC 上一个动点，过点O 作直线MN∥BC，设MN 交∠BCA 的平分线于点E，交∠BCA 的外角平分线于点F．
(1)找出图形中相等的线段，并证明．
(2)当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形，并证明你的结论．
【例6】如图所示，在梯形ABCD 中，AD∥BC，∠B = 90°，AD = 24 cm，BC = 26 cm，动点P 从点A 出发沿AD 方向向点D 以1 cm/s 的速度运动，动点Q 从点C 开始沿着CB 方向向点B 以3 cm/s 的速度运动．点P，Q 分别从点A 和点C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．
(1)经过多长时间，四边形PQCD 是平行四边形？
(2)经过多长时间，四边形PQBA 是矩形？
8.中点四边形
【例7】已知：如图，点E，F，G，H 分别是四边形ABCD 各边中点．求证：四边形EFGH 是平行四边形．
【例8】如图，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O，且AC ⊥BD．E，F，G，H 分别是AB，BC，CD，AD 的中点．求证：四边形EFGH 是矩形．
【例9】阅读下列材料：
在数学课上，老师请同学们思考下列问题：如图1，我们把一个四边形ABCD的四边中点E. F. G、H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗?
小敏在思考问题时，有如下思路：连接AC.
点E. F分别是AB、BC的中点三角形中位线定理EF∥AC,EF=AC；
点H、G分别是AD、CD的中点三角形中位线定理HG∥AC,HG=AC
→EF∥HG，EF=HG→四边形EFGH是平行四边形。

结合小敏的思路作答：
(1)若只改变图1中四边形ABCD的形状(如图2)，则四边形EFGH还是平行四边形吗?请说明理由；
参考小敏思考问题的方法，解决以下问题：
(2)如图2,在(1)的条件下，若连接AC，BD.
①当AC与BD满足什么关系时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明；
②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论。

9.面积法
PE⊥，垂足为E，【例10】如图在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上一点，AC
PF⊥，垂足为F，求PE+PF的值。

BD
【例11】在矩形ABCD 中，P 是AD 上的一个动点，PE ⊥AC 于E，PF ⊥BD 于F，
AG ⊥BD 于G．试问，PE + PF 与AG 有什么关系？证明你的结论．。

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