2020届高三质量联合测评(二)数学(理)(A卷)试题(解析版)
2020年5月广东省佛山市普通高中2020届高三下学期质量监测(二)(二模)数学(理)试题(解析版)
绝密★启用前广东省佛山市普通高中2020届高三毕业班下学期教学质量监测(二)(二模)数学(理)试题(解析版)2020年5月本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目旨定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷交回.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|2A x x x =>，{}|13B x x =≤≤，则A B =（ ） A. {}|01x x ≤< B. {0x x <或}1x ≥ C. {}|23x x <≤ D. {1x x ≤或}3x >【答案】B【解析】【分析】 解一元二次不等式得到集合A ,根据并集的概念即可得出结果.【详解】∵{}{222A x x x x x ==>或}0x <,{}|13B x x =≤≤, ∴A B ={0x x <或}1x ≥,故选：B .【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法,集合间并集的运算,属于基础题.2.复数z 满足()()21i 3i z ++=+,则z =（ ）A. 1 D. 2 【答案】A【解析】【分析】把已知等式变形,然后利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数求模公式计算得答案.【详解】因为复数z 满足()()213z i i ++=+, ∴()()()()313422221112i i i i z i i i i +-+-=-=-=-=-++-, 则1z =,故选：A .【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数模的求法,属于基础题.3.(101-的二项展开式中,x 的系数与4x 的系数之差为（ ）A. 220-B. 90-C. 90D. 0 【答案】D【解析】【分析】由题意利用二项展开式的通项公式,求出x 的系数与4x 的系数,再求其差即可.【详解】∵(101-的二项展开式中,通项公式为()21101r r rr T C x +=⋅-,。
2020届河南省普通高中高三第二次质量检测数学(理)试卷及解析
2020届河南省普通高中高三第二次质量检测数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)注意事项：1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置.2.全部答案在答题卡完成,答在本试题上无效.3.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,回答非选择题时,将答案用0.5毫米及以上黑色笔迹签字笔写在答题卡上.4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.参考公式:锥体的体积公式:13V Sh =（其中S 为锥体的底面积,h 为锥体的高）. 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U =R ,集合{}2|log 1A x x =<,{}2|0B x x x =->,则A B =（ ）A. {|12x x <<}B. {|2x x <}C. {|12x x ≤≤}D. {|14x x ≤<}【答案】A【解析】 求出不等式2log 1x <和20x x ->的解,然后根据集合的交集运算,即可得到本题答案.【详解】由2log 1x <,得02x <<,故{|02}A x x =<<,由20x x ->,得1x >或0x <,故{|1B x x =>或0}x <,所以,{|12}A B x x =<<.故选：A2.已知复数z 满足21i z i-=+,则z =（ ）A. 132i +B. 132i -C. 32i +D. 32i - 【答案】B【解析】利用复数的除法运算,即可得答案.【详解】∵2(2)(1)131(1)(1)2i i i i z i i i ----===++-. 故选：B.3.由我国引领的5G 时代已经到来,5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展,进而对GDP 增长产生直接贡献,并通过产业间的关联效应和波及效应,间接带动国民经济各行业的发展,创造岀更多的经济增加值.如图是某单位结合近年数据,对今后几年的5G 经济产出所做的预测.结合下图,下列说法正确的是（ ）A. 5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加B. 设备制造商的经济产出前期增长较快,后期放缓C. 设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位D. 信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势【答案】ABD【解析】本题结合图形即可得出结果．【详解】由图可知设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位,而后期是信息服务商处于领先地位,故C 项表达错误．故选：ABD ．4.411(12)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（ ） A. 10B. 24C. 32D. 56。
2020届高三数学第二次调研考试试题理(含解析)
2020届高三数学第二次调研考试试题理（含解析）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。
2.作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。
3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化简集合，进而求交集即可.【详解】，，所以，故选C.【点睛】本题考查交集的概念及运算，考查对数函数的单调性与二次不等式的解法，属于基础题.2.设复数满足（其中为虚数单位），则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算得到，进而得到其共轭复数即可.【详解】，，的共轭复数为，故选B.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除法运算，考查共轭复数的概念，考查计算能力，属于基础题.3.已知为数列前项和，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据得到，从而为等比数列，利用等比数列前n项和公式可得结果.【详解】时，，两式相减，整理得，∵，∴，所以是首项为，公比为的等比数列，∴，故选D.【点睛】已知求的一般步骤：（1）当时，由求的值；（2）当时，由，求得的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示；（4）写出的完整表达式.4.已知，为互相垂直单位向量，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量夹角公式即可得到结果.【详解】代数法：，故选A.【点睛】本题考查向量夹角公式，考查向量的运算法则及几何意义，考查学生的运算能力与数形结合能力，属于基础题.5.下列说法正确的是（）①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样.②某地气象局预报：5月9日本地降水概率为，结果这天没下雨，这表明天气预报并不科学.③在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好.④在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量增加0.1个单位.A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④【答案】B【解析】【分析】①由于间隔相同，这样的抽样是系统抽样；②降水概率为90%的含义是指降水的可能性为90%，但不一定降水；③在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好，正确；④在回归直线方程0.1x+10中，回归系数为0.1，利用回归系数的意义可得结论．【详解】解：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从某处抽取一件产品进行某项指标检测，由于间隔相同，这样的抽样是系统抽样，故①不正确；②降水概率为90%的含义是指降水的可能性为90%，但不一定降水，故②不正确；③在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好，正确；④在回归直线方程0.1x+10中，回归系数为0.1，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量增加0.1个单位，故④正确．故选：B．【点睛】本题考查命题真假判断，考查学生分析问题解决问题的能力，属于基础题．6.若,且，则的值为( ）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意，根据诱导公式得，又因为，所以，所以所以，故选A．7.设p：实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2≤2，q：实数x，y满足则p是q的( )A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：画圆：(x–1)2+(y–1)2=2，如图所示，则(x–1)2+(y–1)2≤2表示圆及其内部，设该区域为M.画出表示的可行域，如图中阴影部分所示，设该区域为N.可知N在M内，则p是q的必要不充分条件.故选A.【考点】充要条件的判断，线性规划【名师点睛】本题考查充分性与必要性的判断问题，首先是分清条件和结论，然后考察条件推结论，结论推条件是否成立.这类问题往往与函数、三角、不等式等数学知识相结合．本题的条件与结论可以转化为平面区域的关系，利用充分性、必要性和集合的包含关系得出结论．8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果。
合肥市2020届高三第二次教学质量检测(理科数学)详细解析
x x
y1 ，
∴ 的分布列为
60x y1
60
3 4
x
x
y1
60 x x y1
p
0.4
0.4
0.2
E
0.4 60x
y1
0.4
60
3 4
x
x
y1
0.2 60
x x
y1
2 3
x3
15 2
x2
50x
160
.
………………………………9 分
设f
x E
2 3
x3
15 2
x2
50x
160
，0 x 20 ，∴ f x 2x2
15x 50 .
f x 0 0 x 10 ， f x 0 10 x 20 .
高三数学试题（理科）答案 第 1 页（共 4 页）
设平面 DFE 的一个法向量为m x，y，z .
由 FFDE
m m
0 0
得 xxzy00
.
令 x 1 ，则 y 1，z 1 ，∴m (1，1，-1).
由平面 ADF 是坐标平面 xMz 可得：平面 ADF 一个法向量为n (0，1，0).
由(1)知，MD 平面 ABEF ，∴MA，MP，MD 两两垂直.
以M 点为坐标原点，直线MA，MP，MD 分别为坐标轴建立空间直角坐标系M xyz ，如图.
设AF 2 ，则 D (0，0， 1)， A (1，0，0)， P (0，1，0)， F (-1，0，0)， ∴ FD (1，0，1)， FE AP (-1，1，0).
∵b1 b2 b3 bn 2 2 2 2 ，∴b1 b2 b3 bn1 2 2 ( n 2 )，
2020届河南省普通高中高考质量测评(二)数学(理)试题(解析版)
2020届河南省普通高中高考质量测评（二）数学（理）试题一、单选题1．已知全集U =R ，集合{}2|log 1A x x =<，{}2|0B x x x =->，则A B I =（ ）A ．{|12x x <<}B ．{|2x x <}C ．{|12x x ≤≤}D ．{|14x x ≤<}【答案】A【解析】求出不等式2log 1x <和20x x ->的解，然后根据集合的交集运算，即可得到本题答案. 【详解】由2log 1x <，得02x <<，故{|02}A x x =<<， 由20x x ->，得1x >或0x <，故{|1B x x =>或0}x <， 所以，{|12}A B x x =<<I . 故选：A 【点睛】本题主要考查集合的交集运算，其中涉及对数不等式和一元二次不等式的求解. 2．已知复数z 满足21iz i -=+，则z =（ ） A ．132i+ B ．132i - C ．32i +D ．32i- 【答案】B【解析】利用复数的除法运算，即可得答案. 【详解】 ∵2(2)(1)131(1)(1)2i i i iz i i i ----===++-. 故选：B. 【点睛】本题考查复数的除法运算，考查基本运算求解能力，属于基础题.3．由我国引领的5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造出更多的经济增加值.如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5G 经济产出所做的预测.结合上图，下列说法错误的是（）A ．5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加B ．设备制造商的经济产前期增长较快，后期放缓C ．信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势D ．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位 【答案】D【解析】对A 选项，可直观感知每年的产出是逐渐增高；对B 选项，2020到2023年设备制造商的经济产前期增长较快，后几年放缓；对C 选项，2028到2030年第二个小矩形的高与第一个小矩形的高度差明显逐年加大；对D 选项，2029和2030年已被信息服务超出． 【详解】对A 选项，每一年小矩形高是逐渐增高的，可直观发现每年产值是逐渐增高，故A 正确；对B 选项，2020到2023年设备制造商的经济产前期增长较快，后几年放缓，故B 正确； 对C 选项，2028到2030年第二个小矩形的高与第一个小矩形的高度差明显逐年加大，故C 正确；对D 选项，2029和2030年已被信息服务超出，故D 错误．故选D ． 【点睛】本题主要考查数学阅读理解能力及从图中提取信息的能力，属基础题． 4．411(12)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（ ） A ．10 B ．24C ．32D ．56【答案】D【解析】先将式子411(12)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭化成4411(12)(12)x x x⋅++⋅+，再分别求两项各自的2x 的系数，再相加，即可得答案.【详解】 ∵444111(12)1(12)(12)x x x x x⎛⎫++=⋅++⋅+ ⎪⎝⎭， ∴4(12)x +展开式中含2x 的项为22241(2)24C x x ⋅=，41(12)x x ⋅+展开式中含2x 的项33241(2)32C x x x⋅=， 故2x 的系数为243256+=. 故选：D. 【点睛】本题考查二项展开式中指定项的系，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.5．已知函数()x f x ae x b =++，若函数()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为23y x =+，则ab 的值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】对函数求导得(0)2f '=，求得a 的值，再根据切点既在切线上又在曲线上，可求得b 的值，即可得答案. 【详解】∵()1x f x ae '=+，∴(0)12f a '=+=，解得1,(0)13a f a b b ==+=+=，∴2b =， ∴2ab =. 故选：B. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意切点既在切线上又在曲线上的应用. 6．函数2sin ()1x xf x x +=+在[,]-ππ的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据函数为奇函数及()0f π>，再结合排除法，即可得答案. 【详解】∵函数的定义域为R ，关于原点对称，且2sin()()()()()1x x f x f x x -+--==--+，∴()f x 是奇函数，故排除A ；22sin ()011f ππππππ+==>++，排除B ，C.故选：D. 【点睛】本题考查根据函数的解析式选择函数的图象，考查数形结合思想，求解时注意充分利用函数的性质及特殊点的函数值进行求解.7．如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，2AD =，3BC =，E 是PD 的中点，F 在PC 上且13PF PC =，G 在PB 上且23PG PB =，则（ ）A ．3AG EF =，且AG 与EF 平行B ．3AG EF =，且AG 与EF 相交C ．2AG EF =，且AG 与EF 异面D ．2AG EF =，且AG 与EF 平行 【答案】D【解析】取CF 的中点H ，连接,DH GH ，通过证明四边形ADHG 为平行四边形，可得AG DH //且AG DH =，由在PHD ∆中，,E F 分别为PD 和PH 的中点，可得EF DH //且12EF DH =，综上，即可得到本题答案. 【详解】取CF 的中点H ，连接,DH GH ，则在PBC ∆中，23PG PH PB PC ==，所以GH BC //，223GH BC ==，又因为AD BC //且2AD =，所以GH AD //，且GH AD =，所以四边形ADHG 为平行四边形，所以AG DH //，且AG DH =.在PHD ∆中，,E F 分别为PD 和PH 的中点，所以EF DH //，且12EF DH =，所以EF AG //，且12EF AG =，即2AG EF =. 故选：D 【点睛】本题主要考查空间中两直线的位置关系及大小关系，数形结合思想的应用是解决此题的关键.8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，22a =，728S =，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为（ ） A ．20202021B ．20182020C ．20182019D ．20212020【答案】A【解析】根据22a =，728S =，求得n a ，再利用裂项相消法求n T ，令2020n =代入n T ，即可得答案. 【详解】因为数列{}n a 是等差数列，所以()1774772a a S a +==. 设公差为d ，因为272,28a S ==， 所以()112,7328,a d a d +=⎧⎨+=⎩解方程组得11,1,a d =⎧⎨=⎩ 所以数列{}n a 的通项公式为1(1)1n a n n =+-⨯=，所以111(1)n n a a n n +=⨯+.设n T 为数列11nn a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和， 则11111122334(1)(1)n T n n n n =+++⋯++⨯⨯⨯-⨯⨯+ 111111122331n n =-+-++⋯+-+ ∴2020111111111122334202012020202020201T =-+-+-++-+--+L 12020120212021=-=故选：A. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意利用裂项相消法进行求和.9．“角谷定理”的内容为对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能够得到1．如图为研究角谷定理的一个程序框图．若输入n 的值为10，则输出i 的值为（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【解析】根据流程逐步分析，直到1n =时，计算出i 的值即可. 【详解】（1）10,0n i ==；（2）5,1n i ==；（3）16,2n i ==；（4）8,3n i ==；（5）4,4n i ==；（6）2,5n i ==；（7）1,6n i ==． 故选B ． 【点睛】本题考查根据程序框图计算输出值，难度较易.程序框图问题，多数可以采用列举法的方式解答问题.10．设抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ，设7(0,)2pC ，AF 与BC 相较于点E .若||2CF AF =，且ACE ∆的面积为32，则p 的值为（ ） A ．2 B ．2C ．6D ．22【答案】C【解析】由题，可得()2,Ap p ，又由~ABE FCE ∆∆及ACE ∆的面积为32，得92ACF S ∆=，然后通过求132922ACF S p p ∆=⨯⨯=的解，即可得到本题答案.【详解】 根据已知0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，:2pl y =-，由||2||CF AF =，得3||2AF p =，不妨设点(,)A x y 在第一象限，则322p y p +=，即y p =，所以2x p =，易知~ABE FCE ∆∆，||||1||||2AB AE CF EF ==，所以||2||EF AE =，所以ACF ∆的面积是AEC ∆面积的3倍，即92ACF S ∆=，所以132922ACF S p p ∆=⨯⨯=，解得6p =. 故选：C 【点睛】本题主要考查抛物线与直线的综合问题，考查学生的分析问题和解决问题能力及运算求解能力.11．现有一副斜边长相等的直角三角板.若将它们的斜边AB 重合，其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥A BCD -，如图所示，已知,64DAB BAC ππ∠=∠=，三棱锥的外接球的表面积为4π，该三棱锥的体积的最大值为（ ）A ．B ．6C ．24D ．48【答案】B【解析】设三棱锥A BCD -的外接球的半径为r ，由球的体积得球的半径，当平面ABC ⊥平面ABD 时，三棱锥的体积达到最大，利用体积公式计算，即可得答案.【详解】设三棱锥A BCD -的外接球的半径为r ，因为244r ππ=⇒1r =， 因为90ADB ACB ︒∠=∠=，所以AB 为外接球的直径，所以2AB =，且1,AD BD AC BC ====当点C 到平面ABD 距离最大时，三枝锥A BCD -的体积最大， 此时平面ABC ⊥平面ABD ，且点C 到平面ABD 的距离1d =，所以11111332A BCD C ABD ABD V V S d --==⋅=⨯⨯=△. 故选：B. 【点睛】本题考查三棱锥与球的内接问题、三棱锥体积的最大值、球的体积公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意球心位置的确定.12．设函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0,,43ππωϕ⎡⎤>∈⎢⎥⎣⎦，已知()f x 在[0,2]π上有且仅有4个零点，则下列ω的值中满足条件的是（ ） A ．136ω=B ．116ω=C ．74ω=D ．34ω=【答案】A【解析】设t x ωϕ=+，则2t ϕπωϕ+剟，从而将问题转化为sin y t =在[,2]ϕπωϕ+上有4个零点，从而得到425ππωϕπ+<…，再利用不等式恒成立问题求得ω的范围，即可得答案. 【详解】设t x ωϕ=+，则2t ϕπωϕ+剟， 所以sin y t =在[,2]ϕπωϕ+上有4个零点，因为,43ππϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以425ππωϕπ+<…， 所以52222ϕϕωππ-<-…， 所以5342222ππωππ-<-…，即15783ω<…，满足的只有A.故选：A. 【点睛】本题考查根据三角函数的零点个数求参数值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意换元法的应用.二、填空题13．若||3a =r ，||2b =r，2a b +=r r ，则a r 与 b r的夹角为______________. 【答案】3π 【解析】由222|2|44a b a a b b +=+⋅+r rr r r r 及||||cos a b a b θ⋅=⋅r r r r ，即可得到本题答案.【详解】设a r 与 b r的夹角为θ，则222|2|449432cos 4437a b a a b b θ+=+⋅+=+⨯⨯⨯+⨯=r rr r r r ，得1cos 2θ=，所以3πθ=.故答案为：3π 【点睛】本题主要考查利用向量的模的计算公式求向量的夹角，属基础题.14．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若数列{}12n S a -也为等比数列，则43S S =________. 【答案】1514【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，利用等比数列{}12n S a -的等比中项性质可得公比q ，再代入等比数列的前n 项和公式中，即可得答案. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ， ∵数列{}12n S a -为等比数列，∴()()2211231a a a a a a -=-+-，解得：12q =， ∴4211231241332315(1)1587(1)144Sa q q q S a q a a a a a a q a +++====+++++++. 故答案为：1514.【点睛】本题考查等比数列中的基本量法运算、等比数列的通项公式和前n 项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.15．某工厂生产的产品中分正品与次品，正品重100g ，次品重110g ，现有5袋产品（每袋装有10个产品），已知其中有且只有一袋次品（10个产品均为次品）如果将5袋产品以1～5编号，第i 袋取出i 个产品（1,2,3,4,5i =），并将取出的产品一起用秤（可以称出物体重量的工具）称出其重量y ，若次品所在的袋子的编号是2，此时的重量y =_________g ；若次品所在的袋子的编号是n ，此时的重量y =_______g . 【答案】1520 150010,{1,2,3,4,5}n n +∈【解析】第1袋取1个，第2袋取2个，第3袋取3个，第4袋取4个，第5袋取5个，共取15个.若次品是第2袋，则15个产品中正品13个，次品2个，若次品是第({1,2,3,4,5})n n ∈袋，则15个产品中次品n 个，正品15n -个，分别进行计算，即可得答案. 【详解】第1袋取1个，第2袋取2个，第3袋取3个，第4袋取4个，第5袋取5个，共取15个.若次品是第2袋，则15个产品中正品13个，次品2个， 此时的重量1001311021520y =⨯+⨯=，若次品是第({1,2,3,4,5})n n ∈袋，则15个产品中次品n 个，正品15n -个， 此时的重量100(15)110150010,{1,2,3,4,5}y n n n n =⨯-+⨯=+∈. 故答案为：1520；150010,{1,2,3,4,5}n n +∈ 【点睛】本题考查数学推理应用题，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对题意的理解.16．已知点P 是双曲线2213y x -=右支上一动点，12,F F 是双曲线的左、右焦点，动点Q 满足下列条件：①12212||0||PF PF QF PF PF ⎛⎫+=⎪⎝⎭⋅u u u u u u u r u u r u u u u r u u r r u ，②12120||||PF PF QP PF PF λ⎛⎫++= ⎪⎝⎭u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r ，则点Q 的轨迹方程为________________. 【答案】221(0)x y y +=≠【解析】设动点Q 的坐标为(,)x y ，延长2F Q 交1PF 于点A ，根据向量的加法法则及数量积为0，可得2QF PQ ⊥，利用双曲线的定义可得11||12OQ AF ==，即可得答案. 【详解】设动点Q 的坐标为(,)x y ，延长2F Q 交1PF 于点A ， 由条件②知点Q 在12F PF ∠的角平分线上， 结合条件①知2QF PQ ⊥，所以在2PF A △中，2PQ F A ⊥.又PQ 平分2APF ∠， 所以2PF A △为等腰三角形，即2||PA PF =，2||AQ QF =.因为点P 为双曲线上的点，所以122PF PF -=，即12||2PA AF PF +-=， 所以12AF =.又在12F AF V 中，Q 为2AF 的中点，O 为12F F 的中点， 所以11||12OQ AF ==， 所以点Q 的轨迹是以O 为圆心，半径为1的圆， 所以点Q 的轨迹方程为221(0)x y y +=≠.故答案为：221(0)x y y +=≠. 【点睛】本题考查单位向量、向量的数量积、向量的加法法则的几何意义、双曲线的定义、轨迹方程的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意平面几何知识的应用.三、解答题17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且sin 2sin()0c B b A B -+= （1）求角B 的大小；（2）设4a =，6c =，求sin C 的值． 【答案】（1）3B π=（2321【解析】（1）由已知结合正弦定理化简可求cos B ，进而可求B ；（2）由余弦定理可得，2221cos 22a cb B ac +-==，代入可求b ，由正弦定理可得，sin sin c BC b=可求． 【详解】解：（1）由正弦定理得sin sin 2sin sin()0C B B A B -+=， 化简得2sin sin cos sin sin 0C B B B C -=. 因为在三角形中，sin 0B ≠，sin 0C ≠， 可得1cos 2B =. 又因为(0,)B π∈，所以3B π=（2）由余弦定理可得，2221cos 22a cb B ac +-==，2163612462b +-=⨯⨯，所以b =由正弦定理可得，sin sin 14c B C b ==. 【点睛】本题主要考查了两角和及二倍角的公式，正弦定理，余弦定理的综合应用，属于中等试题．18．为实现有效利用扶贫资金，增加贫困村民的收入，扶贫工作组结合某贫困村水质优良的特点，决定利用扶贫资金从外地购买甲、乙、丙三种鱼苗在鱼塘中进行养殖试验，试验后选择其中一种进行大面积养殖，已知鱼苗甲的自然成活率为0.8.鱼苗乙，丙的自然成活率均为0.9，且甲、乙、丙三种鱼苗是否成活相互独立.（1）试验时从甲、乙，丙三种鱼苗中各取一尾，记自然成活的尾数为X ，求X 的分布列和数学期望；（2）试验后发现乙种鱼苗较好，扶贫工作组决定购买n 尾乙种鱼苗进行大面积养殖，为提高鱼苗的成活率，工作组采取增氧措施，该措施实施对能够自然成活的鱼苗不产生影响.使不能自然成活的鱼苗的成活率提高了50%.若每尾乙种鱼苗最终成活后可获利10元，不成活则亏损2元，且扶贫工作组的扶贫目标是获利不低于37.6万元，问需至少购买多少尾乙种鱼苗？【答案】（1）分布列见解析，2.6（2）40000尾【解析】（1）由题意得随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3，利用相互独立事件同时发生的概率，可计算(0),(1),(2),(3)P X P X P X P X ====的值，进而得到分布列和期望；（2）依题意知一尾乙种鱼苗最终成活的概率为0.95，计算一尾乙种鱼苗的平均收益，进而计算n 尾乙种鱼苗最终可获得的利润，再解不等式，即可得答案. 【详解】（1）记随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3， 则(0)0.20.10.10.002P X ==⨯⨯=，(1)0.80.10.10.20.90.10.20.10.90.044P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，(2)0.80.90.10.80.10.90.20.90.90.306P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，(3)0.80.90.90.648P X ==⨯⨯=.故X 的分布列为X0 1 2 3 P0.0020.0440.3060.648()00.00210.04420.30630.648 2.6E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）根据已知乙种鱼苗自然成活的概率为0.9，依题意知一尾乙种鱼苗最终成活的概率为0.90.10.50.95+⨯=， 所以一尾乙种鱼苗的平均收益为100.9520.059.4⨯-⨯=元. 设购买n 尾乙种鱼苗，()E n 为购买n 尾乙种鱼苗最终可获得的利润，则()9.4376000E n n =…，解得40000n …. 所以需至少购买40000尾乙种鱼苗，才能确保获利不低于37.6万元. 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、期望、利润最大化的决策问题，考查函数与方程思想、，考查数据处理能力.19．如图，圆柱的轴截面ABCD 是边长为2的正方形，点P 是圆弧CD 上的一动点（不与,C D 重合），点Q 是圆弧AB 的中点，且点,P Q 在平面ABCD 的两侧.（1）证明：平面PAD ⊥平面PBC ；（2）设点P 在平面ABQ 上的射影为点O ，点,E F 分别是PQB △和POA V 的重心，当三棱锥P ABC -体积最大时，回答下列问题. （ⅰ）证明：//EF 平面PAQ ；（ⅱ）求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）（ⅰ）见解析（ⅱ 【解析】（1）证明PC 垂直平面PAD 内的两条相交直线,AD PD ，再利用面面垂直的判定定理证明即可；（2）当三棱锥P ABC -体积最大时，点P 为圆弧CD 的中点，所以点O 为圆弧AB 的中点，所以四边形AQBO 为正方形，且PO ⊥平面ABO .（ⅰ）连接PE 并延长交BQ 于点M ，连接PF 并延长交OA 于点N ，连接MN ，则//MN AQ ，再由线面平行的判定定理证得结论；（ⅱ）由PO ⊥平面,ABO AO 垂直BO ，所以以O 为坐标原点，,,OA OB OP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求出平面PAB 的法向量n =r ，平面PCD 的法向量(0,0,1)m =u r，求两向量夹角的余弦值，进而得到二面角的正弦值. 【详解】（1）因为ABCD 是轴截面，所以AD ⊥平面PCD ，所以AD PC ⊥，又点P 是圆弧CD 上的一动点（不与,C D 重合），且CD 为直径，所以PC PD ⊥， 又,AD PD D PD ⋂=⊂平面,PAD AD ⊂平面PAD ，所以PC ⊥平面PAD ，而PC ⊂平面PBC ，故平面PAD 平面PBC .（2）当三棱锥P ABC -体积最大时，点P 为圆弧CD 的中点，所以点O 为圆弧AB 的中点，所以四边形AQBO 为正方形，且PO ⊥平面ABO .（ⅰ）连接PE 并延长交BQ 于点M ，连接PF 并延长交OA 于点N ，连接MN ，则//MN AQ ，因为,E F 分别为两个三角形的重心，∴23PE PF PM PN ==，//EF MN 所以//EF AQ ，又AQ ⊂平面,PAQ EF ⊄平面PAQ ，所以//EF 平面PAQ . （ⅱ）PO ⊥平面,ABO AO 垂直BO ，所以以O 为坐标原点，,,OA OB OP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：则(0,0,2),(2,0,0),(0,2,0),(2,0,2),(2,2,0)P A B PA AB =-=-u u u r u u u r，设平面PAB 的法向量(,,)n x y z =r ，则0,0,n PA n AB ⋅=⎧⎨⋅=⎩vu u u v v即220,220,x z x y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩可取(2,2,1)n =r，又平面PCD 的法向量(0,0,1)m =u r，所以5cos ,||||5n m n m n m ⋅〈〉===r u rr u r r u r ，所以25sin ,n m 〈〉=r u r . 所以平面PAB 与平面PCD 所成二面角的正弦值为25.【点睛】本题考查空间中的线面平行、面面垂直、二面角的向量求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意建系前必需证明三条直线两两互相垂直.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 是椭圆上一动点（与左、右顶点不重合）已知12PF F △椭圆的离心率为12. （1）求椭圆C 的方程；（2）过2F 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，过A 作x 轴的垂线交椭圆C 与另一点Q （Q 不与,A B 重合）.设ABQ △的外心为G ，求证2||AB GF 为定值. 【答案】（1）22143x y +=（2）见解析【解析】（1）当12PF F △面积最大时，r 最大，即P点位于椭圆短轴顶点时r =即可得到b 的值，再利用离心率求得,a c ，即可得答案；（2）由题意知，直线AB 的斜率存在，且不为0，设直线AB 为1x my =+，代入椭圆方程得()2234690m y my ++-=.设()()1122,,,A x y B x y ，利用弦长公式求得||AB ，利用AB 的垂直平分线方程求得G 的坐标，两个都用m 表示，代入2||AB GF 中，即可得答案. 【详解】 （1）由题意知：12c a =，∴2222,a c b a c ==-，∴b =. 设12PF F △的内切圆半径为r ， 则()12121211(22)()22PF F S PF PF F F r a c r a c r =++⋅=+⋅=+⋅V ， 故当12PF F △面积最大时，r 最大，即P点位于椭圆短轴顶点时r =)a c bc +=，把2,a c b ==代入，解得：2,a b ==，所以椭圆方程为22143x y +=.（2）由题意知，直线AB 的斜率存在，且不为0，设直线AB 为1x my =+， 代入椭圆方程得()2234690m y my ++-=. 设()()1122,,,A x y B x y ，则12122269,3434m y y y y m m --+==++， 所以AB 的中点坐标为2243,3434m m m -⎛⎫⎪++⎝⎭，所以()2122121|||3434m AB y m m +===++. 因为G 是ABQ △的外心，所以G 是线段AB 的垂直平分线与线段AQ 的垂直平分线的交点，AB 的垂直平分线方程为22343434m y m x m m ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭， 令0y =，得2134x m =+，即21,034G m ⎛⎫⎪+⎝⎭，所以222213313434m GF m m +=-=++ 所以()22222121||1234433334m AB m m GF m ++===++，所以2||AB GF 为定值，定值为4. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解、离心率、直线与椭圆位置关系中的定值问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将问题转化为关于变量m 的表达式，进而求证得到定值. 21．已知函数()2(12)ln af x x a x x=+-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）如果方程()f x m =有两个不相等的解12,x x ，且12x x <，证明：1202x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭. 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）对函数()f x 进行求导得2()(21)()(0)x a x f x x x-+'=>，再对a 进行分类讨论，解不等式，即可得答案；（2）当0a …时，()f x 在(0,)+∞单调递增，()f x m =至多一个根，不符合题意；当0a >时，()f x 在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增，则()0f a '=.不妨设120x a x <<<，只要证122x x a +>212x a x >-⇔，再利用函数的单调性，即可证得结论. 【详解】（1）2222122(12)()(21)()2(0)a a x a x a x a x f x x x x x x -+---+'=+-==>.①当0a …时，(0,),()0,()x f x f x '∈+∞>单调递增； ②当0a >时，(0,),()0,()x a f x f x '∈<单调递减；(,),()0,()x a f x f x '∈+∞>单调递增.综上：当0a …时，()f x 在(0,)+∞单调递增；当0a >时，()f x 在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增. （2）由（1）知，当0a …时，()f x 在(0,)+∞单调递增，()f x m =至多一个根，不符合题意；当0a >时，()f x 在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增，则()0f a '=.不妨设120x a x <<<，要证1202x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭，即证122x x a +>，即证122x x a +>，即证212x a x >-. 因为()f x 在(,)a +∞单调递增，即证()()212f x f a x >-，因为()()21f x f x =，所以即证()()112f x f a x >-，即证()()f a x f a x +<-. 令()()()g x f a x f a x =+--2()(12)ln()2()(12)ln()a a a x a a x a x a a x a x a x ⎡⎤⎡⎤=++-++--+--+⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦4(12)ln()(12)ln()a ax a a x a a x a x a x=+-+---+-+-， 221212()4()()a a a ag x a x a x a x a x --'=++--+-+- ()()22222222222242(12)4()()()()a a x x x a a a a a x a x a x a x a x +---=+-=-+-+-. 当(0,)x a ∈时，()0,()g x g x '<单调递减，又(0)(0)(0)0g f a f a =+--=，所以(0,)x a ∈时，()(0)0g x g <=，即()()f a x f a x +<-， 即()(2)f x f a x >-.又1(0,)x a ∈，所以()()112f x f a x >-，所以1202x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、证明不等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将所证不等式转化为利用函数的单调性进行证明.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为21,2x s y ⎧=⎪⎨⎪=⎩（s 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 2sin 90ρθρθ++=.（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值. 【答案】（1）24y x =，290x y ++=（2【解析】（1）直接利用消参法可得曲线C 的直角坐标方程；将cos ,sin x y ρθρθ==代入l 的极坐标方程得l 的直角坐标方程； （2）设212P s ⎛⎫⎪⎝⎭，利用点到直线的距离公式，结合二次函数的性质求最值，即可得答案. 【详解】（1）C 的直角坐标方程为：24y x =，将cos ,sin x y ρθρθ==代入l 的极坐标方程得l 的直角坐标方程为：290x y ++=. （2）设212P s ⎛⎫⎪⎝⎭， 则点P 到直线l的距离21|9s d ++==，当s =-d ==. 【点睛】 本题考查极坐标方程、参数方程、普通方程的互化、点到直线的距离公式，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意点的参数设法.23．已知函数()|1||24|f x x x =++-.（1）求不等式()6f x ≤的解集；（2）若函数()y f x =的图象最低点为(),m n ，正数,a b 满足6ma mb +=，求23a b +的取值范围.【答案】（1）[]13,x ∈-（2）2325,6a b ⎡⎫+∈+∞⎪⎢⎣⎭【解析】（1）分类讨论去掉绝对值得分段函数求解即可；（2）由分段函数求出最低点，得236a b +=，构造1，利用均值不等式求解即可.【详解】（1）33,2()5,1233,1x x f x x x x x -≥⎧⎪=-+-<<⎨⎪-+≤-⎩，所以由()6f x ≤可得2336x x ≥⎧⎨-≤⎩，或1256x x -<<⎧⎨-+≤⎩，或1336x x ≤-⎧⎨-+≤⎩， 解得：[]2,3x ∈或()1,2x ∈-或1x =-.综上，[]13,x ∈-. （2）因为33,2()5,1233,1x x f x x x x x -≥⎧⎪=-+-<<⎨⎪-+≤-⎩，所以当2x =时，()min 3f x =，最低点为()2,3，即236a b +=，所以132a b +=. 23232313252323266a b b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当65a b ==时等号成立， 所以2325,6a b ⎡⎫+∈+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的解法，分段函数的最值，均值不等式，属于中档题.。
2020届新疆高三第二次联考数学(理)试题(解析版)
2020届新疆高三第二次联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2540A x x x =-+<,{}24xB x =<，则()R A B =U ð（ ） A ．(]1,2 B ．[)2,4 C ．[)1,+∞ D ．()1,+∞【答案】D【解析】分别求出集合A 、B 的值，由补集和并集的概念可得R B ð的值，可得答案. 【详解】解：依题意，{}{}254014A x x x x x =-+<=<<,{}{}242xB x x x =<=<，故{}R 2B x x =≥ð，故()()1,A B =+∞R U ð，故选：D. 【点睛】本题主要考查集合交并补运算，属于基础题型，注意运算准确. 2．若复数1z i =+，则z z=（ ）A ．1B ．zC D ．22i + 【答案】C【解析】利用复数的模长公式和复数的除法运算可求得复数z z的值.【详解】1z i =+Q ，则z ==)()()111122i z i zi i i -===-++-. 故选：C. 【点睛】本题考查复数的除法运算，同时也考查了复数模长公式的应用，考查计算能力，属于基础题.3．保护环境就是保护人类健康.空气中负离子浓度（单位：个/3cm ）可以作为衡量空气质量的一个指标，也对人的健康有一定的影响.根据我国部分省市区气象部门公布的数据，目前对空气负离子浓度的等级标准如下表1.表1负离子浓度与空气质量对应标准：负离子浓度等级和健康的关系≤1级不利600:2级正常600900:3级较有利900120012001500:4级有利:5级相当有利15001800:6级很有利18002100≥7级极有利2100图2空气负离子浓度某地连续10天监测了该地空气负离子浓度，并绘制了如图2所示的折线图.根据折线图，下列说法错误的是( )A．这10天的空气负离子浓度总体越来越高/cmB．这10天中空气负离子浓度的中位数约1070个3C．后5天的空气质量对身体健康的有利程度明显好于前5天D．前5天空气质量波动程度小于后5天【答案】D【解析】根据折线图的走势可判断A选项的正误；根据折线图估算这10天中空气负离子浓度的中位数，可判断B选项的正误；根据前5天和后5天负离子浓度的大小关系可判断C选项的正误；根据折线图的波动情况可判断D选项的正误.综合可得出结论. 【详解】对于A选项，从折线图来看，这10天的空气负离子浓度总体越来越高，A选项正确；对于B 选项，从折线图来看，这10天中空气负离子浓度的中位数应为5月和8月负离子浓度的平均数，约为1070个3/cm ，B 选项正确；对于C 选项，后5天比前5天空气负离子浓度高，则后5天的空气质量对身体健康的有利程度明显好于前5天，C 选项正确；对于D 选项，从折线图来看，前5天空气质量波动程度大于后5天，D 选项错误. 故选：D. 【点睛】本题考查折线图的应用，考查学生的数据处理和分析能力，属于基础题.4．已知向量a r 、b r 满足()2a a b ⋅+=r r r ，且2a =r ，1b =r ，则向量a r 、b r 的关系是（ ）A ．互相垂直B ．方向相同C ．方向相反D ．成120o 角【答案】C【解析】设向量a r 与b r的夹角为θ，根据平面向量数量积的运算求出θ的值，进而可得出结论. 【详解】设向量a r 与b r的夹角为θ，则()22cos 2a a b a a b a a b θ⋅+=+⋅=+⋅=r r r r r r r r r ，即42cos 2θ+=，得cos 1θ=-，0180θ≤≤o o Q ，180θ∴=o .因此，向量a r 、b r方向相反.故选：C. 【点睛】本题考查两向量位置关系的判断，根据向量的数量积求出两向量的夹角是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.5．公差不为零的等差数列{}n a 中，367,,a a a 成等比数列，则46a a =（ ） A ．72-B ．73C ．213-D ．137【答案】B【解析】设{}n a 的公差为()d d ≠0，根据367,,a a a 成等比数列，可得2637a a a =，化简求得1a d ，的关系再求解. 【详解】设{}n a 的公差为()d d ≠0，由367,,a a a 成等比数列，可得2637a a a =，即2111(5)(2)(6)a d a d a d +=++，即1213a d =-，故4613+6713103a d d a d d -==-+.故选：B 【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的基本运算，还考查运算求解的能力，属于基础题.6．已知3232a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3223b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，322log 3c =，则（ ） A ．a c b >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．a b c >>【答案】D【解析】利用指数和对数函数的单调性比较a 、b 、c 三个数与0和1的大小关系，进而可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】指数函数32xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是R 上的增函数，则3231223a ⎛⎫>= ⎪⎝⎛ ⎝⎭⎫=⎪⎭；指数函数23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是R 上的减函数，则3222033⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即01b <<；对数函数32log y x =是()0,∞+上的增函数，则33222log log 103c =<=.因此，a b c >>. 故选：D. 【点睛】本题考查指数幂与对数式的大小比较，一般利用指数函数与对数函数结合中间值法来比较，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．9182π+ B ．9362π+ C ．1818π+ D ．1836π+【答案】A【解析】根据三视图可知，该几何体是圆柱的一半与长方体的组合体 ，结合三视图的量，得到圆柱的底面半径和高及长方体的长宽高，再利用柱体体积公式求解. 【详解】由三视图可知，该几何体是圆柱的一半与长方体的组合体， 其中半圆柱的底面半径为3，高为1，故其体积为：219(31166)1822V ππ=⨯⨯+⨯⨯=+. 故选：A 【点睛】本题主要考查三视图的应用及几何体体积，还考查运算求解的能力，属于基础题.8．数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为21nn S =-，则231110a a a a +++=L （ ） A ．2 B ．4C ．8D ．16【答案】B【解析】利用11,1,2n n n S n a S S n n -=⎧=⎨-≥⎩求得数列{}n a 的通项公式，并利用错位相减法求得2311a a a +++L 的值，进而可得出结果. 【详解】当1n =时，1111a S ==，即11a =； 当2n ≥时，()()11121212n n n n n n a S S n---=-=---=，则12n n a n -=⋅.11a =满足12n n a n -=⋅，所以，对任意的n *∈N ，12n n a n -=⋅.设21023112232112S a a a =+++=⨯+⨯++⨯L L ，则21011222102112S =⨯++⨯+⨯L ， 下式-上式得()()291122310112112121122222112210212S -=⨯--+++=⨯--=⨯-L ，因此，1123119101024102a a a a +++⨯==⨯L . 故选：B. 【点睛】本题考查利用前n 项和求通项，同时也考查了错位相减法求和，考查计算能力，属于中等题.9．已知命题:0p ab ≠是0a ≠的充分条件；命题:q 若x ∈R ，则12x x+≥，则下列命题为假命题的是（ ） A ．()p q ∨⌝ B ．()p q ⌝∨C ．()p q ∧⌝D ．()()p q ⌝∨⌝【答案】B【解析】利用充分条件的定义判断命题p 的真假，取0x <判断命题q 的真假，再利用复合命题的真假可得出结论. 【详解】对于命题p ，若0ab ≠，则0a ≠且0b ≠，所以，0ab ≠是0a ≠的充分条件，命题p 为真命题；对于命题q ，当0x <时，则10x x+<，命题q 为假命题. 因此，()p q ∨⌝为真，()p q ⌝∨为假、()p q ∧⌝为真、()()p q ⌝∨⌝为真. 故选：B. 【点睛】本题考查复合命题真假的判断，涉及充分条件以及命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.10．设A 、B 、C 、D的球的球面上四点，AD 过球心，已知ABC ∆与BCD ∆都是等边三角形，则三棱锥A BCD -的体积是( ) A．6B．12C．6D．12【答案】B【解析】取BC 的中点E ，设球心为点O ，则O 为AD 的中点，连接AE 、DE 、OE ，计算出ABC ∆的边长，推导出BC ⊥平面ADE ，计算出ADE ∆的面积，进而可得出三棱锥A BCD -的体积为13A BCD ADE V S BC -∆=⋅，计算即可. 【详解】如下图所示，取BC 的中点E ，设球心为点O ，则O 为AD 的中点，连接AE 、DE 、OE ，设()0BC a a =>，则AB AD AC CD a ====， 由题意可知2AD =90ABD ACD ∠=∠=o ，由勾股定理222AD AB BD =+，即222a =，解得1a =.E Q 为BC 的中点，AE BC ∴⊥，DE BC ⊥，且3322AE DE a ===， 又AE DE E =I ，所以，BC ⊥平面ADE ，O Q 为AD 的中点，OE AD ∴⊥，且2212OE AE AD =-=，ADE ∴∆的面积为1224ADE S AD OE ∆=⋅=， 因此，三棱锥A BCD -的体积为11112213333412A BCDB ADEC ADE ADE ADE ADE V V V S BE S CE S BC ---∆∆∆=+=⋅+⋅=⋅=⨯⨯=. 故选：B. 【点睛】本题考查球内接三棱锥体积的计算，推导出线面垂直是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点M 在双曲线的右支上，点N 为2F M 的中点，O 为坐标原点，22ON NF b -=,260ONF ∠=︒,12F MF △的面积为（ ）A ．22142x y -=B ．22144x y -=C ．22182y x -=D ．22184x y -=【答案】C【解析】根据N 为2MF 的中点，由中位线定理可得1//ON MF ，且11||||2ON MF =，1260F MF ∠=︒，再由双曲线的定义结合22ON NF b -=，可得2a b =，然后设双曲线的焦距为2c ，在12MF F △中由余弦定理，结合正弦定理12F MF △的面积为121||||sin 602MF MF ⋅⋅︒=. 【详解】由N 为2MF 的中点，所以1//ON MF ，且11||||2ON MF =， 故1260F MF ∠=︒，2121||||(||||)2ON NF MF MF a -=-=，故2a b =，设双曲线的焦距为2c ，在12MF F △中，由余弦定理可得22212124||||2||||cos60c MF MF MF MF =+-⋅︒，21212(||||)||||MF MF MF MF =-+⋅2124||||a MF MF =+⋅， 22212||||444MF MF c a b ∴⋅=-=，12F MF ∴△的面积为2121||||sin 602MF MF ⋅⋅︒=2222,48b a b ∴===，双曲线的方程为22182y x -=.故选：C 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用及双曲线方程的求法，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.12．已知函数321,0()3+1,0x x f x x x x ⎧--≥=⎨-+<⎩，函数ln (1)+,1()2,1x m x g x x x -+>-⎧=⎨+≤-⎩，若方程()()f x g x =恰好有4个实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．3(ln2,)2B ．(ln2,4)C ．(ln 3,2)D ．(ln 31,1)-【答案】D【解析】当<0x 时，3()3+1f x x x =-+，求导2'()33f x x =-+，由'()0f x =可得1x =-，当<1x -时，'()<0f x ，当10x -<<时，'()>0f x ，故()f x 在(1,0)-上单调递增，在(,1)-∞-上单调递减，然后在同一坐标系中画出函数()y f x =与曲线()y g x =的图象求解. 【详解】当<0x 时，3()3+1f x x x =-+，则2'()33f x x =-+，由'()0f x =，可得1x =-. 当<1x -时，'()<0f x ，当10x -<<时，'()>0f x ， 故()f x 在(1,0)-上单调递增，在(,1)-∞-上单调递减.因此，在同一坐标系中画出函数()y f x =与曲线()y g x =的图象 如图所示.若函数()y f x =与()y g x =恰好有4个公共点，则(0)<1(2)>1g g ⎧⎨-⎩，即<1ln 3>1m m ⎧⎨-+-⎩，解得ln31<<1m -. 故选：D 【点睛】本题主要考查函数与方程问题，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.二、填空题13．261(23)(1)xx--的展开式中，含2x -项的系数为___________. 【答案】435【解析】先展开2(23)x -，再结合二项展开式的通项公式求解.【详解】依题意，()()66221123141291x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 61(1)x -的展开式的通项公式为161()r r r T C x+=-；故含2x -项的系数为()()()432432666411121191160240135435C C C ⨯-⨯-⨯-⨯+⨯-⨯=++=.【点睛】本题主要考查二项式定理，明确特定项是怎么得出的是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.14．已知实数x 、y 满足2363260x y x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪++≥⎩，则4yx -的取值范围为______.【答案】33,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可． 【详解】作出不等式组2363260x y x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪++≥⎩所表示的平面区域如下图阴影部分所示，联立36023x y x y -+=⎧⎨-=⎩，解得3x y ==，得点()3,3A .则4y x -的几何意义是区域内的点(),P x y 与定点()4,0M 连线的斜率，当直线PM 从MA 逆时针旋转至接近直线MC （不与直线MC 重合）时，直线PM 的倾斜角逐渐增大，且为钝角，此时04MA y k x ≤<-，即304y x -≤<-； 当直线PM 从MC 逆时针旋转至直线MB 时，直线PM 的倾斜角从0逐渐变大为锐角，此时3044MB y k x ≤≤=-. 综上所述，4yx -的取值范围是33,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：33,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合直线的斜率公式以及利用数形结合是解决本题的关键，属于中等题.15．已知过点()2,0P 的直线交抛物线2:4C y x =于A 、B 两点，直线OA 、OB （O 为坐标原点）分别交直线2x =-于点M 、N ，则以MN 为直径的圆截x 轴所得的弦长为______.【答案】【解析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线AB 的方程为2x my =+，将该直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，计算出点M 、N 的坐标，求出圆心的坐标以及MN ，利用勾股定理可计算出圆截x 轴所得的弦长. 【详解】设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线AB 的方程为2x my =+， 联立224x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 并整理得2480y my --=， 由韦达定理得124y y m +=，128y y =-，直线OA 的方程为1114y y x x x y ==，联立142y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，得点182,M y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，同理可得点282,N y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，设以MN 为直径的圆的圆心为()02,P y -，则()12012124442y y y m y y y y +=--=-=，所以，圆心为()2,2P m -，12MN y y =-==2MNr == 因此，以MN为直径的圆截x轴所得的弦长为==故答案为：【点睛】本题考查直线与抛物线的综合问题，考查了直线截圆所得弦长的计算，考查韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于中等题.16．已知函数()cos f x x x =+，若方程()()230f x af x -+=有四个不等实根，则实数a的取值范围为__________.【答案】()【解析】先判断()f x 的性质，结合方程()()230f x af x -+=有四个不等实根，可求实数a的取值范围. 【详解】因为()cos ()f x x x f x -=+=，所以()f x 为偶函数；当0x ≥时，()1sin 0f x x '=-≥，()f x 为增函数，所以()(0)1f x f ≥=；()()230f x af x -+=有四个不等实根，即()11f x >，()21f x >，且()()12f x f x ≠，则013012a a ⎧⎪∆>⎪-+>⎨⎪⎪>⎩，解得4a <，即实数a 的取值范围为().【点睛】本题主要考查函数的性质及根的分布问题，根的分布结合根的情况列出限定条件是求解的关键，侧重考查数学抽象的核心素养.三、解答题17．在ABC ∆中，a 、b 、c 是角A 、B 、C 所对的边，且()2cos cos 0a b C c A -+=. （1）求C 的大小；（2）若2b =，c =AB 边上的高.【答案】（1）3C π=；（2）7【解析】（1）利用正弦定理边角互化思想可求得cos C 的值，结合角C 的取值范围可得出角C 的值；（2）利用余弦定理求得a 的值，利用正弦定理求得sin A 的值，进而可得出AB 边上的高为sin b A ，即可得解. 【详解】（1）()2cos cos 0a b C c A -+=Q ，由正弦定理得sin cos cos sin 2sin cos 0A C A C B C +-=， 即()sin 2sin cos 0A C B C +-=，即()sin 12cos 0B C -=，0B Q π<<，sin 0B ∴>，则有1cos 2C =，0C π<<Q ，因此，3C π=；（2）由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，整理得2230a a --=，0a >Q ，解得3a =，由正弦定理sin sin a c A C =，得sin sin 14a C A c ==，因此，AB 边上的高为sin 2147b A =⨯=. 【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化思想求角，同时也考查了三角形高的计算，涉及正弦定理和余弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题.18．如图，ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，//CE PD ，CE AB =，()13PD CE λλ=<<.（1）求证：PE AD ⊥；（2）若二面角P BE D --的余弦值为13，求λ的值. 【答案】（1）详见解析；（2）2λ=.【解析】（1）根据题意，证明AD ⊥平面PDCE ，再利用线面垂直的性质定理，得到结论；（2）以D 为原点，以DA 、DC 、DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设1AB =，则1CE =，PD λ=，求出平面PBE 和平面DBE 的法向量，利用夹角公式求出λ，进而得出结论． 【详解】（1）由于四边形ABCD 是正方形，AD CD ∴⊥.PD ⊥Q 平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以AD PD ⊥，又PD CD D ⋂=，所以AD ⊥平面PDCE ，又PE ⊂平面PDCE ，故PE AD ⊥； （2）如图，以D 为原点，以DA 、DC 、DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设1AB =，则1CE =，()13PD CE λλ=<<，则PD λ=，则点()0,0,0D 、()0,0,P λ、()1,1,0B 、()0,1,1E ，()1,0,1BE =-u u u r ，()1,1,0DB =u u u r ，()1,1,BP λ=--u u u r， 设平面PBE 的法向量为()111,,m x y z =u r，由00m BE m BP ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，得1111100x z x y z λ-+=⎧⎨--+=⎩，取11x =，则11z =，11y λ=-，()1,1,1m λ∴=-u r，设平面DBE 的法向量为()222,,n x y z =r，由00n BE n DB ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，得222200x z x y -+=⎧⎨+=⎩，取21x =，则21y =-，21z =，()1,1,1n ∴=-r .由条件可得()231cos ,3321m n m n m n λλ⋅-<>===⋅⨯+-u r ru r r u r r ，整理得28120λλ-+=， 13λ<<Q ，解得2λ=.【点睛】本题考查利用线面垂直证明线线垂直，考查了利用向量法求二面角的余弦值，考查空间想象能力和数学运算能力，属于中档题．19．2016年5月20日以来，广东自西北到东南出现了一次明显降雨.为了对某地的降雨情况进行统计，气象部门对当地20日~28日9天内记录了其中100小时的降雨情况，得到每小时降雨情况的频率分布直方图如下：若根据往年防汛经验，每小时降雨量在[75,90)时，要保持二级警戒，每小时降雨量在[90,100)时，要保持一级警戒.（1）若以每组的中点代表该组数据值，求这100小时内每小时的平均降雨量； （2）若从记录的这100小时中按照警戒级别采用分层抽样的方法抽取10小时进行深度分析.再从这10小时中随机抽取3小时，求抽取的这3小时中属于一级警戒时间的分布列与数学期望.【答案】（1）87.25(mm)； （2）0.9小时，见解析.【解析】（1）先分别算出五组数据数据对应的频率，再利用平均数公式求解.（2）先根据频率分布直方图得到一级警戒和二级警戒的时间数，用ξ表示一级警戒的小时数，列出ξ的可能取值，再分别求得其概率，列出分布列，然后代入期望公式求解. 【详解】（1）这五组数据对应的频率分别为：0.05，0.35，0.3，0.2，0.1. 故这100小时的平均降雨量为：0.05×77.5+0.35×82.5+0.3×87.5+0.2×92.5+0.1×97.5=87.25(mm).（2）由频率分步直方图可知，属于一级警戒的频率为：(0.04+0.02)×5=0.3， 则属于二级警戒的频率为1－0.3=0.7.所以，抽取的这10个小时中， 属于一级警戒的有3小时，属于二级警戒的有7小时.从这10小时中抽取3小时，用ξ表示一级警戒的小时数，ξ的取值可能为0，1，2，3.则13327733101Q 721(0)(1)2440C C C P P C C ξξ======，，21337333101071(2)(3)40120C C C P P C C ξξ======.所以，ξ的分布列为：则ξ的期望值为：7217101230.9244040120E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=（小时）. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图及离散型随机变量的分布列，还考查了数据处理和运算求解的能力，属于中档题.20．已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为2，且P 在椭圆C 上运动，当点P 恰好在直线l :2y x =上时，12PF F △的面积为3. （1）求椭圆C 的方程；（2）作与l 平行的直线1l ，与椭圆交于,A B 两点，且线段AB 的中点为M ，若12,MF MF 的斜率分别为12,k k ，求12k k +的取值范围.【答案】（1）2212x y +=； （2）8(,)(0,)7-∞-+∞U .【解析】（1）根据点P 在椭圆C 上运动，当点P 恰好在直线l :2y x =上时，12PF F △的，直线与椭圆方程联立，解得点P的坐标，则有122c ⨯，再由2c a=求解.（2）设直线1l 的方程为2y x m =+(0)m ≠.由22122x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得2298220x mx m ++-=，由韦达定理21212822,99m m x x x x -+=-=，求得点M 的横纵坐标120429x x m x +==-，0029my x m =+=，建立模型00120011y y k k x x +=++-002021x y x =-2429916181m mm -⨯⨯=-2288116m m =-，由226436(22)0m m ∆=-->，得到30m -<<，或03m <<.然后用函数法求范围.【详解】（1）由222212x y a b y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩可得222224a b x a b =+，2222244a b y a b =+. 根据对称性，不妨设点P 在第一象限，则点P的坐标为，设椭圆的焦距为2c，由条件可得122c ⨯，，由椭圆的离心率可得2c a =， 所以2212c a =，22212a b a -=，所以a =，c b =，∴，解得1b =，故a =故椭圆C 的方程为2212x y +=（2）设直线1l 的方程为2y x m =+(0)m ≠.由22122x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得2298220x mx m ++-=， 226436(22)0m m ∆=-->，即33m -<<，所以，30m -<<，或03m <<. 设112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y ，则21212822,99m m x x x x -+=-=. 则120429x x m x +==-，0029m y x m =+=. 则001200,11y yk k x x ==+-，∴00120011y yk k x x +=++-002021x y x =-2429916181m m m -⨯⨯=-2288116m m =-. 当0m ≠时，12288116k k m +=-，且12k k +在(3,0)m ∈-和(0,3)m ∈上的取值范围相同， 故只需求12k k +在(0,3)m ∈上的取值范围.而12k k +在9(0,)4m ∈和9(,3)4m ∈上随m 的增大而增大.∴12k k +的取值范围是8(,)(0,)7-∞-+∞U . 【点睛】本题主要考查了椭圆方程的求法和直线与椭圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于难题.21．已知函数()()()ln 21211f x x m x =---+，m R ∈.（1）若曲线()y f x =在()()22f ,处的切线与直线320x y -+=垂直，求函数()f x 的极值；（2）若函数()y f x =的图象恒在直线1y =的下方. ①求m 的取值范围；②求证：对任意正整数1n >，都有()()41ln 2!5n n n +<⎡⎤⎣⎦. 【答案】（1）极大值为ln 2，无极小值；（2）①1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；②见解析.【解析】（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义及直线垂直时斜率的关系可求m ，然后结合单调性可求极值；（2）①由已知可得()()ln 21210x m x ---<对任意的12x >恒成立，分离参数后通过构造函数，转化为求解相应函数的最值，结合导数可求； ②结合①可得()()221ln 215x x --<对任意的12x >恒成立，赋值()21k x k N *=-∈，可得2ln 5kk <，然后结合对数的运算性质可求． 【详解】（1）()()()ln 21211f x x m x =---+Q ，()2221f x m x '∴=--， 由已知可得()212233f m '=-=-，解得12m =. 则()()3ln 212f x x x =--+，()23212121xf x x x -'=-=--，其中12x >.令()0f x '=，得32x =.当32x >时，()0f x '<；当1322x <<时，()0f x '>.所以，函数()y f x =的单调递增区间为13,22⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减区间为3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.所以，函数()y f x =的极大值为333ln 2ln 2222f ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，无极小值； （2）①由条件知，只需()1f x <，即()()ln 21210x m x ---<对任意的12x >恒成立，即()()21ln 21m x x ->-，其中12x >， 令210t x =->，则ln mt t >，即ln ln tmt t m t>⇒>， 构造函数()ln t g t =，则()21ln t g t -'=，令()0g t '=，得t e =，列表如下：所以，函数()y g t =的单调递增区间为()0,e ，单调递减区间为(),e +∞， 所以，()()max 1g t g e e ==，1m e∴>，因此，实数m 的取值范围是1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；②由①可知，当25m =时，()()221ln 215x x --<对任意的12x >恒成立，令()21k x k N*=-∈，则2ln 5k k <，所以()()()()212412ln1ln 2ln 3ln 21232555n n n n n n ++++++<++++=<L L ， 所以()()41ln 2!5n n n +<⎡⎤⎣⎦.【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数及利用分离法求解参数范围问题，体现了转化思想的应用，属于难题.22．平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的方程为()cos 12ρθθ+=.（1）求曲线C 的极坐标方程； （2）射线:02OM πθββ⎛⎫=<<⎪⎝⎭与曲线C 、直线l 分别交于A 、B 两点（A 异于极点O ），求3OA OB的最大值.【答案】（1）4cos ρθ=；（2）32. 【解析】（1）先将曲线C 的参数方程化为普通方程，再由222cos x y x ρρθ⎧=+⎨=⎩可得出曲线C的极坐标方程；（2）设点A 的极坐标为()1,ρβ，点B 的极坐标为()2,ρβ，根据题意得出1ρ、2ρ关于β的表达式，利用三角恒等变换思想以及正弦函数的有界性可求得3OA OB 的最大值. 【详解】（1）将曲线C 的参数方程变形为22cos 2sin x y αα-=⎧⎨=⎩（α为参数）， 消去参数α得()2224x y -+=，即224x y x +=，因此，曲线C 的极坐标方程为24cos ρρθ=，即4cos ρθ=；（2）设点A 的极坐标为()1,ρβ，点B 的极坐标为()2,ρβ，将点A 的极坐标代入曲线C 的极坐标方程得14cos ρβ=，将点B 的极坐标代入直线l的极坐标方程得()2cos 12ρββ+=，2ρ∴=，所以，)2123312cos cos cos cos cos 12OA OB ρβββββββρ===+=+1cos 212sin 2262βπββ+⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭， 02πβ<<Q ，72666πππβ∴<+<，当262ππβ+=时，即当6πβ=时，3OA OB 取得最大值32. 【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程之间的相互转化，同时也考查了利用极坐标方程解决最值问题，涉及三角恒等变换思想的应用，考查计算能力，属于中等题. 23．已知函数()()240f x x m x m =++->的最小值等于3.（1）求m 的值；（2）若正数a 、b 、c 满足3a b c m ++=.【答案】（1）1m =；（2）3.【解析】（1）分x m ≤-、2m x -<<、2x ≥三种情况讨论，分析函数()y f x =的单调性，可得出函数()y f x =的最小值，进而可求得m 的值；（2）利用柯西不等式得出()()2111a b c ++++≥，由此可得出.【详解】（1）()()240f x x m x m =++->Q .当x m ≤-时，()4234f x x m x x m =--+-=-+-，此时，函数()y f x =单调递减，则()()f x f m ≥-；当2m x -<<时，()424f x x m x x m =++-=-++，此时，函数()y f x =单调递减，则()()()2f f x f m <<-；当2x ≥时，()2434f x x m x x m =++-=+-，此时，函数()y f x =单调递增，则()()2f x f ≥.综上所述，()()min 223f x f m ==+=，解得1m =；（2）由（1）可得3a b c ++=，且a 、b 、c 均为正数，由柯西不等式得()()2111a b c ++++≥，即29≤，3.当且仅当1a b c ===时，等号成立，3.【点睛】本题考查含绝对值函数最值的求解，同时也考查了利用柯西不等式求三元代数式的最值，考查分类讨论思想以及计算能力，属于中等题.。
2020届深圳市高三上学期第二次教学质量检测数学（理）试题（解析版）
2020届广东省深圳市高三上学期第二次教学质量检测数学(理)试题一、单选题1.已知集合M={x|(x+2)(x—5)<0},N={y|y=2，},则M N=()A.(0,5]B.(0,2]C.[2,5]D.[2,+oo)【答案】A【解析】解出不等式，求出值域，分别得到集合M,N,即可求解.【详解】依题意，M={x|(x+2)(x-5)<0}={x|-2<x<5},7V=^|j=2x|={y|y>0},故M N=(0,5].故选:A.【点睛】此题考查解不等式和求函数的值域，并求不等式解集与函数值域的交集.I72I2.已知向量m=(1,-2),n=(4,2),其中2e R.若机_1_"，则----=()\m\A.V?B.V2C.2a/5D.2【答案】D【解析】根据向量垂直，求出2=2,即可得到模长之比.【详解】依题意，(1,—2)・(4,人)=0,即4-22=0,解得2=2,故n=(4,2),则|n|=J16+4=2a/5,-—-=2.\m\故选：D.【点睛】此题考查根据向量垂直求参数值，并求模长比值关系.l+4z3.设2=——+i,则歹=()2-i214.A.-----155【答案】D214.B.----1---155214.C.------155D.214.-------155-214【解析】根据复数的运算法则得z=—+—i,即可得到其共辄复数.【详解】Z=1+4, 2-i+iJI+40(2+0!.—(2-z)(2+z)'-2+9i.=---------i5-214.=---1---1,552 14故5=-------i.55故选：D.【点睛】此题考查复数的基本运算和求共貌复数.4.曲线j=(x3-3x)-lnx在点(1,0)处的切线方程为()A.2x+y-2=0B.x+2y-l=0C.x+y-l=0D.4jr+y-4=0【答案】A【解析】求导得到7=(3x2-3)-lnx+--(x3-3x),代入数据计算斜率得到答案.JC【详解】y=(3工2—3)•Inx —(J—3尤)，故切线斜率k=,'，_]=—2x故所求切线方程为y=—2(x—1),即2x+y—2—0故选：A.【点睛】本题考查了曲线的切线方程，意在考查学生的计算能力.5.2019年10月18日-27日，第七届世界军人运动会在湖北武汉举办，中国代表团共获得133金64银42铜，共239枚奖牌.为了调查各国参赛人员对主办方的满意程度，研究人员随机抽取了500名参赛运动员进行调查，所得数据如下所示，现有如下说法：①在参与调查的500名运动员中任取1人，抽到对主办方表示满意的男性运动员的概率为4;②在犯错误的概率不超过1%的前提下可以认为“是否对主办方表示满意与运动2员的性别有关”；③没有99.9%的把握认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”；则正确命题的个数为()附：K~=--------n(ad-bc)------(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)男性运动员女性运动员对主办方表示满意200220对主办方表示不满意5030P(K2>k)0.1000.0500.0100.001k 2.706 3.841 6.63510.828A.0B.1C. 2D.3【答案】B2【解析】依次判断每个选项：计算概率为；得到①错误；计算5.952得到②错，③对得到答案.【详解】2002任取1名参赛人员，抽到对主办方表示满意的男性运动员的概率为——=一,故①错5005误；K2=(2°°*3°-5°x220〈x000*5952,故②错，③对250x250x420x80故选：B.【点睛】本题考查了概率的计算和独立性检验，意在考查学生的综合应用能力.226.记双曲线C:—-^-=l(m>0)的左、右焦点分别为旦，离心率为2,点M16m在C上，点N满足F1N=^F l M,若|屿|=10,。
2020届京师AI联考高三质量联合测评(二)数学(理)(A卷)试题(解析版)
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】首先解出集合 ，再利用集合的交运算即可求解.
【详解】
或 ， ，
∴ .
故选：A
【点睛】
本题主要考查了集合的交运算，同时考查了一元二次不等式的解法以及绝对值不等式的解法，属于基础题.
③ 是偶函数时， 是偶函数；
④ 是奇函数时， 是偶函数
⑤ 是偶函数；
⑥对任意的实数 ， ．
那么正确论断的编号是（）
A．③④B．①②⑥C．③④⑥D．③④⑤
【答案】A
【解析】根据函数奇偶性的定义即可判断函数 的奇偶性并证明.
【详解】
当 是偶函数，则 ，
所以 ，
所以 是偶函数；
当 是奇函数时，则 ，
所以 ，
【详解】
（1）由
由
因为是正四棱锥，故
于是 ，
由余弦定理，在 中，设
再用余弦定理，在 中，
∴ 是直角，
同理 ，而 在平面 上，
∴平面 平面
（2）以 为原点建立直角坐标系，如图：
则
设面 的法向量为 ， 的法向量为
则
，取
于是，二面角 的余弦值为：
【点睛】
本题考查了面面垂直的判定定理、空间向量法求二面角，属于基础题.设 所在直线方程为设源自､ 点坐标分别为 ， ，都在 上，
故 两式相减，
可得
(因为 是 的中点)，即
联立直线 与 的方程：
又 ，即 ，即
又因为 ，
则有
即
∴ .
故答案为：
【点睛】
本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系、弦长公式，考查了学生的计算能力，综合性比较强，属于中档题.
2020届陕西省普通高中高三上学期第二次联考数学(理)试题(解析版)
2020届陕西省普通高中高三上学期第二次联考试题数学（理）一、单选题1．设集合{}220M x x x =+-≤，{}11N x x =-≤，则M N =I （ ） A ．[]0,1 B ．[]0,2C ．[]2,0-D ．[]2,1-【答案】A【解析】化简集合,A B ，按照交集定义，即可求解. 【详解】{}21M x x =-≤≤，{}02N x x =≤≤，[]0,1M N ⋂=.故选:A. 【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题. 2．已知复数z 满是2()1miz m R i+=∈-且||=2z ，则m 的值为（ ） A ．2 B ．-2或2C ．3.D ．-3或3【答案】B【解析】化简复数z 为(,)a bi a b R +∈形式，再由复数模的运算列方程解得m ． 【详解】由题意知2i 2(2)i 1i 2m m m z +-++==-，因为||2z =，所以22(2)(2)44m m -++=，即24m =，解得2m =±. 故选B ． 【点睛】本题考查复数的除法运算，考查复数的模，属于基础题．3．下列函数中是奇函数且对任意1x ，2x ∈R （12x x ≠），不等式()()122f x f x -<恒成立的是（ ） A ．()sin 2f x x = B ．()2222x x x xf x ---=+ C ．()()2ln 1f x x =+ D ．()cos f x x x = 【答案】B【解析】逐项判断()f x 是否为奇函数，是否满足()()max min 2f x f x -<. 【详解】由题意知，符合题意的函数()f x 满足()()max min 2f x f x -<， A 选项中，当14x π=，234x π=时，()()122f x f x -=，与题意不符； B 选项中()()41211,14141x x x f x -==-∈-++，且()()f x f x -=-，符合题意；C 选项中()f x 的值域为[)0,+∞，()f x 为偶函数，故不符合题意；D 选项中()00f =，()22f ππ=，故不符合题意. 故选:B. 【点睛】本题考查函数的性质，涉及到函数的奇偶性和最值，属于基础题.4．角3πα+的终边经过点()1,2P ，则tan 112tan 112παπα⎛⎫++ ⎪⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭（ ） A ．2 B ．12C ．2-D ．12-【答案】C【解析】根据已知求出tan 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，将所求式子分子“1”用tan 4π替换，再由两角和正切公式，即可求出结论. 【详解】由题意知tan 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，1tan tan tan 12412tan 11tan tan 12412πππααπππαα⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⎛⎫⎛⎫+--⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ tan tan 21243πππαα⎛⎫⎛⎫=-++=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选:C. 【点睛】本题考查三角函数定义、两角和正切公式的应用，考查计算求解能力，属于基础题. 5．已知函数()f x 为定义在R 上的增函数且其图象关于点(2,0)对称，若()(2)g x f x =-，则不等式(3)(12)0g x g x ++-…的解集为（ ）A ．[2,)+∞B ．[4,)+∞C ．(,4]-∞D ．[2,4]【答案】B【解析】由若()(2)g x f x =-知()g x 的图象关于原点对称，从而它是奇函数，()f x 是增函数，则()g x 是减函数，利用奇函数变形不等式为(3)(21)g x g x +≥-，再由减函数得解． 【详解】由题意知()g x 为R 上奇函数且为减函数，不等式(3)(12)0g x g x ++-≥等价于(3)(12)g x g x +≥--，即(3)(21)g x g x +≥-，故321x x +≤-，解得4x ≥.故选：B ． 【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性，由函数()g x 的定义与()f x 的性质可得()g x 的性质，从而可求解函数不等式．本题关键是确定()g x 的性质． 6．函数()()2sin 24x f x x π-=-的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】用排除法求解，化简()2sin 24xf x x =-为奇函数，排除,B D ，再用4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭函数值的符号，即可得出结论.【详解】()()22sin 2sin 2=44x xf x x x π-=--，因为()()f x f x -=-，故()f x 为奇函数，故排除B ，D ；又因为210444f ππ⎛⎫=< ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以排除C.故选:A. 【点睛】本题考查函数图像的识别，利用函数的性质是解题的关键，要注意选择题特殊方法的应用，减少计算量，属于基础题.7．如图为从一个半球中挖去一个长方体的三视图，其俯视图中圆的半径和正方形的边长均为2，正方形的中心与圆的圆心重合，则当正视图中矩形边a 取得最大值时，该几何体的体积为（ ）A ．1643π- B ．16423π- C ．16433π-D ．32433π-【答案】B【解析】根据三视图要使a 最大，长方体四个顶点在球面上，求出a ，根据体积公式，即可求出结论. 【详解】该几何体为半球中挖去一个长方体， 当正视图中矩形边a 取得最大值时， 矩形四个顶点在球面上，此时2222a =-=故挖去的长方体的体积为42半球的体积为14168233ππ⨯⨯=，故该几何体的体积为163π-故选:B. 【点睛】本题考查三视图求组合体的体积，注意几何体性质的应用，属于基础题. 8．已知()()sin sin cos sin 2f x x x πωϕωπϕ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭（0>ω，ϕπ<）的最小正周期为π，若函数()f x 在区间2,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭内有极小值点，则ϕ的取值范围为（ ）A ．,23ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．2,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．5,26ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】由诱导公式和两角差的正弦化简()f x 为正弦函数，根据周期求出ω，求出()f x 取得最小值时x 的值，利用2,23x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即可求出ϕ的取值范围. 【详解】由题意知()()sin cos cos sin sin f x x x x ωϕωϕωϕ=-+=--， 因为()f x 的最小正周期为π，故2ω=， 故()()sin 2f x x ϕ=--，令222x k πϕπ-=+（k ∈Z ）得,24x k k Z ϕππ=++∈，则有22243k πϕπππ<++<， 解得52226k k πππϕπ-<<-， 令0k =得526ππϕ<<. 故选:D. 【点睛】本题考查三角恒等变换、三角函数的性质，意在考查直观想象、逻辑推理能力，属于中档题。
2020届高三数学上学期第二次质检试题理(含解析)
2020届高三数学上学期第二次质检试题理（含解析）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将正确答案选项涂在答题卡上）1.已知集合A＝{x|x＜1}，集合B＝{x|}，则A∩B＝（）A. （﹣∞，1）B. （﹣1，0）C. （0，1）D. （﹣1，1）【答案】C【解析】【分析】先利用对数函数的单调性求出集合,再根据交集运算即可求出．【详解】因为，A＝{x|x＜1}，所以．故选：C．【点睛】本题主要考查集合的交集运算以及对数函数的性质应用，属于基础题．2.复数满足，则（）．A. B. C. 1 D.【答案】B【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式，即可求解，得到答案．【详解】由题意，复数，得，∴．故选B．【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，其中解答中熟记复数的运算法则，以及复数模的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3.计算的结果为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用诱导公式将各个三角函数化成锐角三角函数，再利用两角差的正弦公式即可求出．【详解】．故选：C．【点睛】本题主要考查诱导公式和两角差的正弦公式的应用，属于基础题．4.设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】分析：利用奇函数偶次项系数为零求得，进而得到解析式，再对求导得出切线的斜率，进而求得切线方程.详解：因为函数是奇函数，所以，解得，所以，，所以，所以曲线在点处的切线方程为，化简可得，故选D.点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.5.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：设圆锥底面圆的半径为，高为，依题意，，，所以，即的近似值为，故选B.考点：《算数书》中近似计算，容易题.【此处有视频，请去附件查看】6.某个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据三视图可知几何体为三棱锥，根据三棱锥体积公式直接求得结果.【详解】由三视图可知，几何体为高为的三棱锥三棱锥体积：本题正确选项：【点睛】本题考查棱锥体积的求解，关键是能够根据三视图确定几何体的底面积和高，属于基础题.7.平面向量与的夹角为，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】试题分析：∵平面向量与的夹角为，，，∴，∴，故选A.考点：平面向量数量积的运算.8.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设出椭圆方程为：以及直线：，再根据椭圆中心原点到直线的距离公式列出方程，即可求出离心率．【详解】不妨设椭圆方程为：，则可设直线：，依题有，，即，，，故选：B．【点睛】本题主要考查椭圆的简单几何性质和点到直线的距离公式的应用，以及离心率的求法，意在考查学生的数学计算能力．9.若实数，满足，，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用对数函数的性质求出m,n，l的范围，再比较l和n的大小关系.【详解】∵实数，满足，，，，．∴，，的大小关系为．故选B．【点睛】(1)本题主要考查对数函数的图像和性质及对数的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)比较实数的大小，一般先和“0”比，再和“±1”比,比较时常用作差法.10.若函数恰好有三个单调区间，则实数取值范围为（）A. B. C. 或 D. 或【答案】D【解析】因为函数恰好有三个单调区间，所以有两个不等零点，则，解得或.故选D.11.已知双曲线C：（a＞b＞0）的两条渐近线与圆O：x2＋y2＝5交于M，N，P，Q四点，若四边形MNPQ的面积为8，则双曲线C的渐近线方程为A. y＝±xB. y＝±xC. y＝±xD. y＝±x【答案】B【解析】【分析】求出交点坐标，利用四边形为矩形面积为8，且根据双曲线的对称性，，结合可得，从而可得结果.【详解】依题意，不妨设点在第一象限，联立解得（其中），可知四边形为矩形且面积为8，且根据双曲线的对称性，，即，又因为，所以可得，解得（舍去），故所求渐近线方程为，故选B.【点睛】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的渐近线，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求双曲线的渐近线方程，关键是得到关于的齐次方程.12.若函数在上有两个不同的零点，则实数m的取值范围为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】令得，，所以直线与函数在上的图象有两个交点，利用导数判断出函数的单调性，画出图象，即可求出．【详解】令得，，所以直线与函数在上的图象有两个交点．因为，当时，，当时，，而，，，作出图象，由图可知，．故选：C．【点睛】本题主要考查函数零点，方程的根，函数图象之间交点个数的关系应用，以及利用导数研究函数的单调性与极值，意在考查学生的转化能力与数学计算能力．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.抛物线y2=2px（p＞0）上一点P（2，m）到其焦点F的距离为4，则p=______．【答案】4【解析】【分析】根据抛物线的定义可知，，即可求出．【详解】根据抛物线定义可知，准线方程为，所以，解得．故答案为：4．【点睛】本题主要考查抛物线定义和简单性质的应用，属于基础题．14. 如图,无人机在离地面高200m的A处,观测到山顶M处的仰角为15°、山脚C处的俯角为45°,已知∠MCN=60°,则山的高度MN为_________m.【答案】300【解析】试题分析：由条件，,所以,,,所以,,这样在中，,在中，，解得,中，，故填：300.考点：解斜三角形【思路点睛】考察了解三角形的实际问题，属于基础题型，首先要弄清楚两个概念，仰角和俯角，都指视线与水平线的夹角，将问题所涉及的边和角在不同的三角形内转化，最后用正弦定理解决高度.【此处有视频，请去附件查看】15.已知椭圆的左、右焦点为，，点P为椭圆上动点，则的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】设为椭圆上任意一点，根据向量数量积运算求，利用二次函数求值域即可.【详解】设为椭圆上任意一点,则，所以，因为P在椭圆上，所以，所以，即的取值范围是故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，椭圆的简单几何性质，属于中档题.16.如图,在矩形中,,,为边的中点.将三角形ADE沿翻折,得到四棱锥.设线段的中点为,在翻折过程中,有下列三个命题:①总有平面;②三棱锥体积的最大值为;③存在某个位置,使与所成的角为.其中正确的命题是______.（写出所有正确命题的序号）【答案】①②【解析】【分析】利用直线与平面平行的判定定理判断①的正误；求出棱锥的体积的最大值，判断②的正误；利用直线与平面垂直判断③的正误.【详解】取DC的中点为F，连结FM，FB，可得MF∥A1D，FB∥DE，可得平面MBF∥平面A1DE，所以BM∥平面A1DE，所以①正确；当平面A1DE与底面ABCD垂直时，三棱锥C﹣A1DE体积取得最大值，最大值为：，所以②正确．存在某个位置，使DE与A1C所成的角为90°．因为DE⊥EC，所以DE⊥平面A1EC，可得DE⊥A1E，即AE⊥DE，矛盾，所以③不正确；故答案为①②【点睛】本题考查命题的真假的判断，直线与平面平行，直线与平面垂直以及几何体的体积的最值的求法，考查空间想象能力以及计算能力．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9=81，a3+a5=14．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=，若{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn＜．【答案】（1）an=2n-1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据等差数列的性质可知，S9=9a5=81，a3+a5=14，即可求出a3=5，a5=9，因而可求出公差，故可求得通项公式．（2）由的形式可知，采用裂项相消法求出数列{bn}的前n项和，即可证明．【详解】（1）设等差数列{an}的公差为d，由S9=9a5=81，得a5=9，又由a3+a5=14，得a3=5，由上可得等差数列{an}的公差d=2，∴an=a3+（n-3）d=2n-1；（2）由题意得，所以．【点睛】本题主要考查利用等差数列的性质求通项公式以及裂项相消法求和的应用，意在考查学生的数学计算能力，属于基础题．18.已知函数f（x）＝2sinx•cosx+2cos2x（1）求函数f（x）的最小正周期和单调减区间（2）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中a＝7，若锐角A满足f（），且b+c，求bc的值．【答案】（1）最小正周期,单调减区间为,Z （2）40【解析】【分析】（1）根据二倍角公式以及辅助角公式将函数化简成，即可利用周期公式求出周期以及利用代换法求出单调减区间；（2）先由可得，进而可求出锐角，再根据余弦定理即可求出．【详解】,,的最小正周期,令,Z,解得,的单调减区间为,Z；由,即,为锐角,，由余弦定理可知：，整理得：．【点睛】本题主要考查利用二倍角公式和辅助角公式进行三角恒等变换，余弦定理以及三角函数的性质应用，意在考查学生的转化能力和数学计算能力，属于中档题．19.如图1，梯形ABCD中，，，，，E为AD中点将沿BE翻折到的位置，如图2，为正三角形．（1）求证：平面平面BCDE；（2）求直线与平面所成角的正弦值；【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据面面垂直的判定定理，只需证明平面即可；（2）在平面内过E作ED的垂线，由平面，建立空间直角坐标系，由向量法即可求出直线与平面所成角的正弦值．【详解】证明：，，且，，平面，平面，平面BCDE，平面平面BCDE；解：在平面内过E作ED的垂线，由平面，建系如图．则，0，，1，，1，，0，．，，，设平面的法向量为，则，即，令，得，．与平面所成角的正弦值为．【点睛】本题主要考查面面垂直、线面垂直判定定理的应用以及利用向量法求直线与平面所成角，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力．20.已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，为椭圆上一动点（异于左右顶点），面积的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆相交于点两点，问轴上是否存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）由面积最大值可得，又，以及，解得，即可得到椭圆的方程，（2）假设轴上存在点，是以为直角顶点的等腰直角三角形，设，，线段的中点为，根据韦达定理求出点的坐标，再根据，，即可求出的值，可得点的坐标.【详解】（1）面积最大值为，则：又，，解得：，椭圆的方程为：（2）假设轴上存在点，是以为直角顶点的等腰直角三角形设，，线段的中点为由，消去可得：，解得：∴，，依题意有，由可得：，可得：由可得：，代入上式化简可得：则：，解得：当时，点满足题意；当时，点满足题意故轴上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形【点睛】本题考查了椭圆的方程，直线和椭圆的位置关系，斜率公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.21.已知函数为自然对数的底数.(1)当时,试求的单调区间;(2)若函数在上有三个不同的极值点,求实数的取值范围.【答案】（1）单调增区间为,单调减区间为；（2）【解析】试题分析：（1）借助题设条件运用导数的知识求解；（2）依据题设运用导数的有关知识进行分析探求.试题解析：（1）函数的定义域为,.当时，对于恒成立，所以，若，若，所以的单调增区间为，单调减区间为.（2）由条件可知，在上有三个不同的根，即在上有两个不同的根，且，令，则，当单调递增，单调递减，的最大值为，而.考点：导数与函数的单调性的关系等有关知识的综合运用.【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以函数解析式为背景,精心设置了两个问题,旨在考查导数知识与函数单调性和极值的关系等方面的综合运用以及分析问题解决问题的能力.本题的第一问是求函数的单调区间,求解时运用求导法则借助的范围及导数与函数的单调性的关系,分别求出求出其单调区间；第二问则通过构造函数,运用求导法则及转化化归思想,分析推证建立不等式,从而求出,使得问题获解.22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线相交于两点，若，求值．【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）根据极坐标与直角坐标互化原则即可求得结果；（2）将直线参数方程代入曲线直角坐标方程，可求得和，根据直线参数方程参数的几何意义可知，代入可求得结果.【详解】（1）由，得，即（2）将直线的参数方程代入曲线的方程得：设是方程的根，则：，∴，又或【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程、直线参数方程的几何意义的应用，关键是能够根据几何意义将已知弦长表示为韦达定理的形式，构造出关于的方程，属中档题．2020届高三数学上学期第二次质检试题理（含解析）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将正确答案选项涂在答题卡上）1.已知集合A＝{x|x＜1}，集合B＝{x|}，则A∩B＝（）A. （﹣∞，1）B. （﹣1，0）C. （0，1）D. （﹣1，1）【答案】C【解析】【分析】先利用对数函数的单调性求出集合,再根据交集运算即可求出．【详解】因为，A＝{x|x＜1}，所以．故选：C．【点睛】本题主要考查集合的交集运算以及对数函数的性质应用，属于基础题．2.复数满足，则（）．A. B. C. 1 D.【答案】B【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式，即可求解，得到答案．【详解】由题意，复数，得，∴．故选B．【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，其中解答中熟记复数的运算法则，以及复数模的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3.计算的结果为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用诱导公式将各个三角函数化成锐角三角函数，再利用两角差的正弦公式即可求出．【详解】．故选：C．【点睛】本题主要考查诱导公式和两角差的正弦公式的应用，属于基础题．4.设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】分析：利用奇函数偶次项系数为零求得，进而得到解析式，再对求导得出切线的斜率，进而求得切线方程.详解：因为函数是奇函数，所以，解得，所以，，所以，所以曲线在点处的切线方程为，化简可得，故选D.点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.5.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：设圆锥底面圆的半径为，高为，依题意，，，所以，即的近似值为，故选B.考点：《算数书》中近似计算，容易题.【此处有视频，请去附件查看】6.某个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据三视图可知几何体为三棱锥，根据三棱锥体积公式直接求得结果.【详解】由三视图可知，几何体为高为的三棱锥三棱锥体积：本题正确选项：【点睛】本题考查棱锥体积的求解，关键是能够根据三视图确定几何体的底面积和高，属于基础题.7.平面向量与的夹角为，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】试题分析：∵平面向量与的夹角为，，，∴，∴，故选A.考点：平面向量数量积的运算.8.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设出椭圆方程为：以及直线：，再根据椭圆中心原点到直线的距离公式列出方程，即可求出离心率．【详解】不妨设椭圆方程为：，则可设直线：，依题有，，即，，，故选：B．【点睛】本题主要考查椭圆的简单几何性质和点到直线的距离公式的应用，以及离心率的求法，意在考查学生的数学计算能力．9.若实数，满足，，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用对数函数的性质求出m,n，l的范围，再比较l和n的大小关系.【详解】∵实数，满足，，，，．∴，，的大小关系为．故选B．【点睛】(1)本题主要考查对数函数的图像和性质及对数的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)比较实数的大小，一般先和“0”比，再和“±1”比,比较时常用作差法.10.若函数恰好有三个单调区间，则实数取值范围为（）A. B. C. 或 D. 或【答案】D【解析】因为函数恰好有三个单调区间，所以有两个不等零点，则，解得或.故选D.11.已知双曲线C：（a＞b＞0）的两条渐近线与圆O：x2＋y2＝5交于M，N，P，Q四点，若四边形MNPQ的面积为8，则双曲线C的渐近线方程为A. y＝±xB. y＝±xC. y＝±xD. y＝±x【答案】B【解析】【分析】求出交点坐标，利用四边形为矩形面积为8，且根据双曲线的对称性，，结合可得，从而可得结果.【详解】依题意，不妨设点在第一象限，联立解得（其中），可知四边形为矩形且面积为8，且根据双曲线的对称性，，即，又因为，所以可得，解得（舍去），故所求渐近线方程为，故选B.【点睛】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的渐近线，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求双曲线的渐近线方程，关键是得到关于的齐次方程.12.若函数在上有两个不同的零点，则实数m的取值范围为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】令得，，所以直线与函数在上的图象有两个交点，利用导数判断出函数的单调性，画出图象，即可求出．【详解】令得，，所以直线与函数在上的图象有两个交点．因为，当时，，当时，，而，，，作出图象，由图可知，．故选：C．【点睛】本题主要考查函数零点，方程的根，函数图象之间交点个数的关系应用，以及利用导数研究函数的单调性与极值，意在考查学生的转化能力与数学计算能力．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.抛物线y2=2px（p＞0）上一点P（2，m）到其焦点F的距离为4，则p=______．【答案】4【解析】【分析】根据抛物线的定义可知，，即可求出．【详解】根据抛物线定义可知，准线方程为，所以，解得．故答案为：4．【点睛】本题主要考查抛物线定义和简单性质的应用，属于基础题．14. 如图,无人机在离地面高200m的A处,观测到山顶M处的仰角为15°、山脚C处的俯角为45°,已知∠MCN=60°,则山的高度MN为_________m.【答案】300【解析】试题分析：由条件，,所以,,,所以,,这样在中，,在中，，解得,中，，故填：300.考点：解斜三角形【思路点睛】考察了解三角形的实际问题，属于基础题型，首先要弄清楚两个概念，仰角和俯角，都指视线与水平线的夹角，将问题所涉及的边和角在不同的三角形内转化，最后用正弦定理解决高度.【此处有视频，请去附件查看】15.已知椭圆的左、右焦点为，，点P为椭圆上动点，则的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】设为椭圆上任意一点，根据向量数量积运算求，利用二次函数求值域即可.【详解】设为椭圆上任意一点,则，所以，因为P在椭圆上，所以，所以，即的取值范围是故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，椭圆的简单几何性质，属于中档题.16.如图,在矩形中,,,为边的中点.将三角形ADE沿翻折,得到四棱锥.设线段的中点为,在翻折过程中,有下列三个命题:①总有平面;②三棱锥体积的最大值为;③存在某个位置,使与所成的角为.其中正确的命题是______.（写出所有正确命题的序号）【答案】①②【解析】【分析】利用直线与平面平行的判定定理判断①的正误；求出棱锥的体积的最大值，判断②的正误；利用直线与平面垂直判断③的正误.【详解】取DC的中点为F，连结FM，FB，可得MF∥A1D，FB∥DE，可得平面MBF∥平面A1DE，所以BM∥平面A1DE，所以①正确；当平面A1DE与底面ABCD垂直时，三棱锥C﹣A1DE体积取得最大值，最大值为：，所以②正确．存在某个位置，使DE与A1C所成的角为90°．因为DE⊥EC，所以DE⊥平面A1EC，可得DE⊥A1E，即AE⊥DE，矛盾，所以③不正确；故答案为①②【点睛】本题考查命题的真假的判断，直线与平面平行，直线与平面垂直以及几何体的体积的最值的求法，考查空间想象能力以及计算能力．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9=81，a3+a5=14．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=，若{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn＜．【答案】（1）an=2n-1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据等差数列的性质可知，S9=9a5=81，a3+a5=14，即可求出a3=5，a5=9，因而可求出公差，故可求得通项公式．（2）由的形式可知，采用裂项相消法求出数列{bn}的前n项和，即可证明．【详解】（1）设等差数列{an}的公差为d，由S9=9a5=81，得a5=9，又由a3+a5=14，得a3=5，由上可得等差数列{an}的公差d=2，∴an=a3+（n-3）d=2n-1；（2）由题意得，所以．【点睛】本题主要考查利用等差数列的性质求通项公式以及裂项相消法求和的应用，意在考查学生的数学计算能力，属于基础题．18.已知函数f（x）＝2sinx•cosx+2cos2x（1）求函数f（x）的最小正周期和单调减区间（2）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中a＝7，若锐角A满足f （），且b+c，求bc的值．【答案】（1）最小正周期,单调减区间为,Z（2）40【解析】【分析】（1）根据二倍角公式以及辅助角公式将函数化简成，即可利用周期公式求出周期以及利用代换法求出单调减区间；（2）先由可得，进而可求出锐角，再根据余弦定理即可求出．【详解】,,的最小正周期,令,Z,解得,的单调减区间为,Z；由,即,为锐角,，由余弦定理可知：，整理得：．【点睛】本题主要考查利用二倍角公式和辅助角公式进行三角恒等变换，余弦定理以及三角函数的性质应用，意在考查学生的转化能力和数学计算能力，属于中档题．19.如图1，梯形ABCD中，，，，，E为AD中点将沿BE翻折到的位置，如图2，为正三角形．（1）求证：平面平面BCDE；（2）求直线与平面所成角的正弦值；【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据面面垂直的判定定理，只需证明平面即可；（2）在平面内过E作ED的垂线，由平面，建立空间直角坐标系，由向量法即可求出直线与平面所成角的正弦值．【详解】证明：，，且，，平面，平面，。
2020届高三数学下学期第二次质量检测试题理(含解析)
2020届高三数学下学期第二次质量检测试题理（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知是实数集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求得的集合，，进而得到，再根据集合的交集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合，，所以，所以.故选：C.【点睛】本题主要考查了集合的表示方法，以及集合的混合运算，其中解答中熟记集合运算的概念，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.2. 已知是虚数单位，复数，则复数的共扼复数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由复数的除法运算求出后，根据共轭复数概念得结论．【详解】∵，∴的共轭复数为．故选：C．【点睛】本题考查复数的除法运算和共轭复数的概念，属于基础题．3. 已知向量，，若，则实数 ( )A. -1B. 1C. 2D. -2【答案】B【解析】【分析】根据向量坐标的线性运算得到，再根据向量垂直的坐标表示，得到关于的方程，解出的值，得到答案.【详解】因为向量，所以，因为，所以所以解得.故选：B.【点睛】本题考查向量线性运算的坐标表示，根据向量垂直关系求参数的值，属于简单题.4. 的展开式中常数项为（）A. 60B.C.D. 192【答案】A【解析】【分析】利用二项式定理的通项公式，通过赋值法则问题得解.【详解】二项式的展开式的通项公式为，令，求得．可得展开式中常数项为．故选：A．【点睛】本题考查利用二项式定理求制定项，属基础题.5. 某公司生产，，三种不同型号轿车，产量之比依次为，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中种型号的轿车比种型号的轿车少8辆，则（）A. 96B. 72C. 48D. 36【答案】B【解析】【分析】根据分层比例列式求解.【详解】由题意得选B.【点睛】本题考查分层抽样，考查基本分析求解能力，属基础题.6. 已知，为非零实数，且，则下列命题成立的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】举出反例,利用特殊值依次排除选项A、D,由不等式的性质可排除C【详解】对于选项A,令,时,,故A不正确；对于选项C,,故C不正确；对于选项D,令,时,,故D不正确；对于选项B,,则故选B【点睛】本题考查不等式的性质的应用,考查特殊值法处理选择题7. 如图所示，是某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图，其中俯视图为等腰直角三角形,则该几何体体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据三视图可得该组合体下半部为一半球体，上半部为一三棱锥，根据三视图中的数据，利用椎体和球体的体积公式计算可得答案.【详解】由三视图可知：该组合体下半部为一半球体，上半部为一三棱锥，该三棱锥中一条侧棱与底面垂直，底面三角形为等腰直角三角形，其中腰长为，高为3，而球体的半径为3，所以该组合体的体积为：.故选：C【点睛】本题考查了由三视图还原直观图，考查了椎体和球体的体积公式，属于基础题.8. 点是抛物线上一动点，则点到点的距离与点到直线的距离和的最小值是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据抛物线定义，将问题转化为求的最小值加1，数形结合，则问题得解.【详解】由得焦点为，准线．过作垂直直线于，根据抛物线的定义，抛物线上一点到准线的距离等于到焦点的距离．所以有，连接、，有，所以为与抛物线的交点时，点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值为．所以点到点的距离与到直线的距离和的最小值是．故选：D．【点睛】本题考查抛物线上一点到定直线以及定点之间的距离之和的最小值，属基础题.9. 将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先写出平移的函数表达式，利用诱导公式得出所有取值，最小值即可确定．【详解】由题意知，的图象向左平移个单位得到函数的图象，所以，当时，取最小值．故选：B．【点睛】本题考查三角函数的图象平移变换，考查诱导公式，解题关键是确定由变成时的值．10. 已知曲线在点处的切线方程为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．【详解】详解：，将代入得，故选D．【点睛】本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．11. 已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，则的值为（）A. B. 1 C. 0 D. 无法计算【答案】C【解析】【分析】先由f（x）是定义在R上的偶函数得f（﹣x）＝f（x），然后利用与f（x）的关系，以及的奇偶性，得f（x+1）+f （x﹣1）＝0，从而得到要求的数值．【详解】因为是定义在上的奇函数，．因为是定义在上的偶函数，所以，可得，所以，因此．故选：C．【点睛】本题考查了函数奇偶性的性质，以及整体代换思想，是个基础题．12. 设是双曲线的右焦点，为坐标原点，过的直线交双曲线的右支于点，，直线交双曲线于另一点，若，且，则双曲线的渐近线的斜率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设双曲线的左焦点为，由双曲线的对称性可知四边形为平行四边形，所以，，由双曲线的定义知，，于是，，在△中，由余弦定理可得，然后利用，求出的值即可得解．【详解】解：设双曲线的左焦点为，由双曲线的对称性可知四边形为平行四边形．∴，．设，则，即，．∵，即，．∵，∴．又，在中，由余弦定理可得：，即，∴，．∴双曲线的渐近线的斜率为．故选：D．【点睛】本题考查双曲线的定义与性质，考查学生的数形结合思想和运算能力，属于中档题．二、填空题13. 在区间内任取一个实数，则此数大于2的概率为______．【答案】【解析】【分析】区间的长度为4，此区间内大于2的数所在区间长度为3，由几何概型概率公式可得概率．【详解】根据几何概型可知，所求概率为：．故答案为：．【点睛】本题考查求几何概型，属于基础题．14. 函数的单调增区间是______.【答案】【解析】【分析】求得函数的定义域为，令，利用二次函数的性质，求得函数的单调区间，结合据复合函数的单调性的判定方法，即可求解.【详解】由题意，函数满足，解得或，即函数的定义域为，令，则函数在单调递减，在区间单调递增，再根据复合函数的单调性，可得函数的单调递增区间为.故答案为.【点睛】本题主要考查了复合函数的单调区间的求解，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，以及复合函数的单调性的判定方法，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15. 在中，内角，，的对边分别为，，.的面积，若，则角的值为______.【答案】【解析】【分析】根据面积公式得到和余弦定理得到，结合得到，化简得到答案.【详解】因为，又，所以所以，由余弦定理得所以由结合正弦定理，得所以，即，所以，因为，所以得，或（舍去），所以.故答案为：【点睛】本题考查了面积公式，正弦定理，余弦定理，意在考查学生对于三角公式的综合应用能力.16. 在三棱锥中，已知平面，且为正三角形，，点为三棱锥的外接球的球心，则点到棱的距离为______.【答案】【解析】【分析】设为的中心，为中点，连结，，，求得，设平面截得外接球是，，，是表面上的点，结合圆的性质和球的性质，即可求解.【详解】由题意，设为的中心，为中点，连结，，，则，，可得,即球的半径为，作平面交于，交于，设平面截得外接球的截面是，，，是表面上的点，又∵平面，所以，所以是的直径，也是球的直径，，所以.因为，，，所以，所以，做，所以，又由，所以是的中位线，所以，故.故答案为：【点睛】本题主要考查了组合体的结构特征，以及球的性质的应用，其中解答中熟练应用空间几何体的几何结构特征和球的性质是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：17. 在正四棱柱中，，分别是，的中点．（1）求证：平面；（2）若，，求二面角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）证明四边形为平行四边形，可得，进而得到，由此得证；（2）建立空间直角坐标系，求出平面及平面的法向量，利用向量的夹角公式即可得解．【详解】（1）证明：连接，∵，分别为，的中点．∴．∵正四棱柱柱中，，．∴四边形是平行四边形，∴，∴．∵平面，平面，∴平面．（2）在正四棱柱中，分别以，，为，，轴建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，．∴，，，设平面的法向量，则．取，则．同样可求出平面一个法向量．∴．设二面角，则，由，解得∴二面角的正弦值为．【点睛】本题考查线面平行的判定以及利用空间向量求解二面角的问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．18. 某高校自主招生考试中，所有去面试的考生全部参加了“语言表达能力”和“竞争与团队意识”两个科目的测试，成绩分别为、、、、五个等级，某考场考生的两科测试成绩数据统计如图，其中“语言表达能力”成绩等级为的考生有10人．（1）求该考场考生中“竞争与团队意识”科目成绩等级为的人数；（2）已知等级、、、、分别对应5分，4分，3分，2分，1分．求该考场学生“语言表达能力”科目的平均分．【答案】（1）3；（2）2.9.【解析】【分析】（1）由“语言表达能力”科目中成绩为的考生有10人，能求出该考场有40人，由此能求出该考场中“竞争与团队意识”科目成绩等级为的人数．（2）求出“语言表达能力”科目中成绩等级为的频率为0.100，由此能求出该考查考生“语言表达能力”科目的平均分．【详解】（1）因为“语言表达能力”科目中成绩为的考生有10人，所以该考场有（人）．所以该考场中“竞争与团队意识”科目成绩等级为的人数为．（2）由题意可得：“语言表达能力”科目中成绩等级为的频率为．该考查考生“语言表达能力”科目的平均分为．【点睛】本题考查频数、平均数的求法，考查条形统计图等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．19. 设是数列的前项和，．（1）求数列的通项公式；（2）记，数列的前项和为，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）本小题运用借Sn求an直接求解即可；（2）本小题运用错位相减法求出 Tn，再根据Tn增减性求解即可.【详解】（1）当时，，得；当时，①，②，①-②得，；所以数列是以为首项，以2为公比的等比数列，即；（2）由题，得，因为，所以①，②，①-②，得，所以，，显然，，因为，所以数列是递增数列，且，因此【点睛】本题考查借Sn求an，错位相减法，是中档题.20. 已知函数．（1）若恒成立，求的取值范围；（2）记，若在区间上有两个零点，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）对参数进行分类讨论，在不同情况下求得的最小值，根据，即可求得参数的取值范围；（2）分离参数，将问题转化为对函数单调性和值域的研究，则问题得解.【详解】（1），令，解得，；当时，显然成立；当时，在上单调递减，在上单调递增．则，解得；当时，在上单调递减，在上单调递增，则，解得；综上，实数的取值范围为；（2）显然不是的零点，由得．令．则，令，解得；，解得；，解得或．当和时，单调递减，当时，单调递增，又时，不成立．∴只需，∴实数的取值范围为．【点睛】本题考查利用导数研究恒成立问题以及零点问题，分离参数以及分类讨论是解决问题的关键.21. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，若椭圆经过点，且的面积为2．（1）求椭圆的标准方程；（2）设斜率为1的直线与圆交于，两点，与椭圆交于，两点，且，当取得最小值时，求直线的方程并求此时的值．【答案】（1）；（2），．【解析】【分析】（1）根据三角形面积可，将点代入椭圆得到，联立即可求得，；（2）设直线的方程为，表示出，联立直线与椭圆，根据根的判别式得到的取值范围，结合条件表示出，利用取值范围求得其范围.【详解】解：（1）由的面积可得．即，∴．①又椭圆过点，∴．②由①②解得，．故椭圆的标准方程为．（2）由题知圆，设直线的方程为，则原点到直线的距离，由弦长公式可得．将代入椭圆方程，得，由判别式，解得．由直线和圆相交的条件可得，即，也即，综上可得的取值范围是．设，，则，，由弦长公式，得．由，得．∵，∴，则当时，取得最小值，此时直线的方程为．【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆的综合，根的判别式，弦长公式，考查学生运算能力，属于中档题．（二）选考题：请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，．（1）求直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）已知直线与曲线交于，．设，且，求实数的值．【答案】（1）；；（2）.【解析】【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果．【详解】解：（1）由直线的参数方程（为参数），消去得，所以直线的极坐标方程为，由，得，由，代入，得曲线的直角坐标方程为，（2）显然在直线上，将直线的参数方程与的直角坐标方程联立得．则且，，设点，分别对应参数，恰为上述方程的根．则，，，由题设得，则有，得或．因为，且满足，所以．【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23. 设函数．（1）解不等式；（2）若对一切实数均成立，求实数的取值范围．【答案】（1）或；（2）．【解析】【分析】（1）方法一：根据绝对值不等式意义解不等式；方法二：将不等式变形为，两端平方整理成关于的一元二次不等式，求解即可；（2）利用绝对值不等式，可得.【详解】（1）解法一：当时，，解得；当时,，解得；当时，，解得，综上,原不等式的解集为或；解法二：，两边平方整理得，，解得或，所以，原不等式的解集为或；（2），当时等号成立，所以．故实数的取值范围为．【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法以及利用绝对值不等式求参数的取值范围，属于高考常考题型.2020届高三数学下学期第二次质量检测试题理（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知是实数集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求得的集合，，进而得到，再根据集合的交集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合，，所以，所以.故选：C.【点睛】本题主要考查了集合的表示方法，以及集合的混合运算，其中解答中熟记集合运算的概念，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.2. 已知是虚数单位，复数，则复数的共扼复数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由复数的除法运算求出后，根据共轭复数概念得结论．【详解】∵，∴的共轭复数为．故选：C．【点睛】本题考查复数的除法运算和共轭复数的概念，属于基础题．3. 已知向量，，若，则实数 ( )A. -1B. 1C. 2D. -2【答案】B【解析】【分析】根据向量坐标的线性运算得到，再根据向量垂直的坐标表示，得到关于的方程，解出的值，得到答案.【详解】因为向量，所以，因为，所以所以解得.故选：B.【点睛】本题考查向量线性运算的坐标表示，根据向量垂直关系求参数的值，属于简单题.4. 的展开式中常数项为（）A. 60B.C.D. 192【答案】A【解析】【分析】利用二项式定理的通项公式，通过赋值法则问题得解.【详解】二项式的展开式的通项公式为，令，求得．可得展开式中常数项为．故选：A．【点睛】本题考查利用二项式定理求制定项，属基础题.5. 某公司生产，，三种不同型号轿车，产量之比依次为，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中种型号的轿车比种型号的轿车少8辆，则（）A. 96B. 72C. 48D. 36【答案】B【解析】【分析】根据分层比例列式求解.【详解】由题意得选B.【点睛】本题考查分层抽样，考查基本分析求解能力，属基础题.6. 已知，为非零实数，且，则下列命题成立的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】举出反例,利用特殊值依次排除选项A、D,由不等式的性质可排除C【详解】对于选项A,令,时,,故A不正确；对于选项C,,故C不正确；对于选项D,令,时,,故D不正确；对于选项B,,则故选B【点睛】本题考查不等式的性质的应用,考查特殊值法处理选择题7. 如图所示，是某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图，其中俯视图为等腰直角三角形,则该几何体体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据三视图可得该组合体下半部为一半球体，上半部为一三棱锥，根据三视图中的数据，利用椎体和球体的体积公式计算可得答案.【详解】由三视图可知：该组合体下半部为一半球体，上半部为一三棱锥，该三棱锥中一条侧棱与底面垂直，底面三角形为等腰直角三角形，其中腰长为，高为3，而球体的半径为3，所以该组合体的体积为：.故选：C【点睛】本题考查了由三视图还原直观图，考查了椎体和球体的体积公式，属于基础题.8. 点是抛物线上一动点，则点到点的距离与点到直线的距离和的最小值是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据抛物线定义，将问题转化为求的最小值加1，数形结合，则问题得解.【详解】由得焦点为，准线．过作垂直直线于，根据抛物线的定义，抛物线上一点到准线的距离等于到焦点的距离．所以有，连接、，有，所以为与抛物线的交点时，点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值为．所以点到点的距离与到直线的距离和的最小值是．故选：D．【点睛】本题考查抛物线上一点到定直线以及定点之间的距离之和的最小值，属基础题.9. 将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先写出平移的函数表达式，利用诱导公式得出所有取值，最小值即可确定．【详解】由题意知，的图象向左平移个单位得到函数的图象，所以，当时，取最小值．故选：B．【点睛】本题考查三角函数的图象平移变换，考查诱导公式，解题关键是确定由变成时的值．10. 已知曲线在点处的切线方程为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．【详解】详解：，将代入得，故选D．【点睛】本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．11. 已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，则的值为（）A. B. 1 C. 0 D. 无法计算【答案】C【解析】【分析】先由f（x）是定义在R上的偶函数得f（﹣x）＝f（x），然后利用与f（x）的关系，以及的奇偶性，得f（x+1）+f（x﹣1）＝0，从而得到要求的数值．【详解】因为是定义在上的奇函数，．因为是定义在上的偶函数，所以，可得，所以，因此．故选：C．【点睛】本题考查了函数奇偶性的性质，以及整体代换思想，是个基础题．12. 设是双曲线的右焦点，为坐标原点，过的直线交双曲线的右支于点，，直线交双曲线于另一点，若，且，则双曲线的渐近线的斜率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设双曲线的左焦点为，由双曲线的对称性可知四边形为平行四边形，所以，，由双曲线的定义知，，于是，，在△中，由余弦定理可得，然后利用，求出的值即可得解．【详解】解：设双曲线的左焦点为，由双曲线的对称性可知四边形为平行四边形．∴，．设，则，即，．∵，即，．∵，∴．又，在中，由余弦定理可得：，即，∴，．∴双曲线的渐近线的斜率为．故选：D．【点睛】本题考查双曲线的定义与性质，考查学生的数形结合思想和运算能力，属于中档题．二、填空题13. 在区间内任取一个实数，则此数大于2的概率为______．【答案】【解析】【分析】区间的长度为4，此区间内大于2的数所在区间长度为3，由几何概型概率公式可得概率．【详解】根据几何概型可知，所求概率为：．故答案为：．【点睛】本题考查求几何概型，属于基础题．14. 函数的单调增区间是______.【答案】【解析】【分析】求得函数的定义域为，令，利用二次函数的性质，求得函数的单调区间，结合据复合函数的单调性的判定方法，即可求解.【详解】由题意，函数满足，解得或，即函数的定义域为，令，则函数在单调递减，在区间单调递增，再根据复合函数的单调性，可得函数的单调递增区间为.故答案为.【点睛】本题主要考查了复合函数的单调区间的求解，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，以及复合函数的单调性的判定方法，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15. 在中，内角，，的对边分别为，，.的面积，若，则角的值为______.【答案】【解析】【分析】根据面积公式得到和余弦定理得到，结合得到，化简得到答案.【详解】因为，又，所以所以，由余弦定理得所以由结合正弦定理，得所以，即，所以，因为，所以得，或（舍去），所以.故答案为：【点睛】本题考查了面积公式，正弦定理，余弦定理，意在考查学生对于三角公式的综合应用能力.16. 在三棱锥中，已知平面，且为正三角形，，点为三棱锥的外接球的球心，则点到棱的距离为______.【答案】【解析】【分析】设为的中心，为中点，连结，，，求得，设平面截得外接球是，，，是表面上的点，结合圆的性质和球的性质，即可求解.【详解】由题意，设为的中心，为中点，连结，，，则，，可得,即球的半径为，作平面交于，交于，设平面截得外接球的截面是，，，是表面上的点，又∵平面，所以，所以是的直径，也是球的直径，，所以.因为，，，所以，所以，做，所以，又由，所以是的中位线，所以，故.故答案为：【点睛】本题主要考查了组合体的结构特征，以及球的性质的应用，其中解答中熟练应用空间几何体的几何结构特征和球的性质是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：17. 在正四棱柱中，，分别是，的中点．（1）求证：平面；（2）若，，求二面角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）证明四边形为平行四边形，可得，进而得到，由此得证；（2）建立空间直角坐标系，求出平面及平面的法向量，利用向量的夹角公式即可得解．【详解】（1）证明：连接，∵，分别为，的中点．∴．∵正四棱柱柱中，，．∴四边形是平行四边形，∴，∴．∵平面，平面，∴平面．（2）在正四棱柱中，分别以，，为，，轴建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，．∴，，，设平面的法向量，则．取，则．同样可求出平面一个法向量．∴．设二面角，则，由，解得∴二面角的正弦值为．【点睛】本题考查线面平行的判定以及利用空间向量求解二面角的问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．18. 某高校自主招生考试中，所有去面试的考生全部参加了“语言表达能力”和“竞争与团队意识”两个科目的测试，成绩分别为、、、、五个等级，某考场考生的两科测试成绩数据统计如图，其中“语言表达能力”成绩等级为的考生有10人．。
四省八校2020届高三第二次教学质量检测考试数学理科试题及参考答案
“四省八校”2020届高三第二次教学质量检测考试数学（理科）注意事项：1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。
2. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
在试题卷上作答无效。
3. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
满分150分，考试用时120分钟。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 若全集R U =，集合),4()1,(+∞--∞= A ，{}2||≤=x x B ，则如图阴影部分所表示的集合为A.{}42<≤-x xB.{}42≥≤x x x 或C.{}12-≤≤-x xD.{}21≤≤-x x 2. 已知)1)(1(ai i -+0>（i 为虚数单位）。
则实数a 等于A.1-B.0C.1D.23. 平面内到两定点B A ,的距离之比等于常数)10(≠>λλλ且的动点P 的轨迹叫做阿波罗尼斯圆。
已知)0,0(A ，)0,3(B ，||21||PB PA =，则点P 的轨迹围成的平面图形的面积为A.π2B.π4C.π49D.π234. ,是单位向量，“2)(2<+”是“,的夹角为钝角”的A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件5. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知5511=S ，则=6aA.6B.5C.4D.3 6. 已知41log 31=a ，415=b ，316-=c ，则 A.c b a >>B.b c a >>C.b a c >>D.a c b >> 7. 已知54)4sin(=+απ，则=α2sin A.257-B.51-C.51 D.257 8. 已知),1(x =，)1,(y =)0,0(>>y x ，若//，则yx xy +的最大值为 A.21 B.1 C.2D.2 9. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为A.π50B.π250C.π100D.π210010. 某中学《同唱华夏情，共圆中国梦》文艺演出于2019年11月20日在学校演艺大厅开幕，开幕式文艺表演共由6个节目组成，若考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目《文明之光》必须排在前三位，且节目《一带一路》、《命运与共》必须排在一起，则开幕式文艺表演演出顺序的编排方案共有A.120种B.156种C.188种D.240种11. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为25，B A ,是双曲线上关于原点对称的两点，M 是双曲线上异于B A ,的动点，直线MB MA ,的斜率分别为21,k k ，若]2,1[1∈k ，则2k 的取值范围为 A.]41,81[ B.]21,41[ C.]81,41[-- D.]41,21[-- 12. 已知x x ae x e x -+>-1ln 1对任意)1,0(∈x 恒成立，则实数a 的取值范围为 A.)1,0(+eB.]1,0(+eC.)1,(+-∞eD.]1,(+-∞e二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知数列{}n a 是公比⎰=102dx x q 的等比数列，且213a a a ⋅=，则=10a _________. 14. 6)21(-+xx )0(>x 的展开式中含3x 项的系数为_________. 15. 已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥++≥+-≤-0102202y x y x x ，若m m y x 42+-≥+-恒成立，则实数m的取值范围为_________.16. 对任意实数x ，以][x 表示不超过x 的最大整数，称它为x 的整数部分，如4]2.4[=，8]6.7[-=-等。
2020年陕西省高三教学质量检测卷(二)理科数学试题(含答案)
2020年陕西省高三教学质量检测卷（二）理科数学试题一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1. 已知复数iz +=14（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ）A . 2B . 2iC . -2D . -2i2. 已知集合{}11<≤-=x x A ，{}A x x y yB ∈==，2，则A ∪B =（ ） A . {x |-1≤x <1} B . {x |-1≤x ≤1}C . {x |-1<x <1}D . {x |-1<x ≤1}3.若变量x ，y 满足约束条件310260x y x y x y +≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，则目标函数y x z-=2的最小值是（ ）A . -3B . 0C . 13D . 1034. 已知向量a ，b满足=a ，2(-)a b ⊥a ，则b 在a 上的投影为（ ） A . -1 B . 1 C . 21-D . 215. 已知函数2ln ,01()43,1x x f x x x x -<≤⎧=⎨-+->⎩，若1))((=a f f ，则满足条件的实数a 的个数是（ ）A . 1B . 2C . 3D . 46. 设N X ~(0，1)，其正态分布密度曲线如图所示，点A (1，0)，点B (2，0)，点C (2，1)，点D (1，1)，向正方形ABCD 内任意投掷一粒黄豆，则该黄豆落入阴影部分的概率是（ ）（注:)(~2σμ，N X 则P （σμσμ+≤<-X ）=0.6827，P （σμσμ22+≤<-X ）=0.9545，P （σμσμ33+≤<-X ）=0.9973）A . 0.8641B . 0.6587C . 0.5228D . 0.97857. 在公差不为0的等差数列}{n a 中，213461a a a a ==，，则2a =（ ）A . 117B . 115C . 113D . 1118. 已知（02παβ<<<），且63cos()65αβ-=，1312sin =β，则=αsin （ ） A . 53-B . 53C . 54-D . 549. 若将函数)43sin(2)(π+=x x f 的图象向右平移)0(>a a 个单位长度，所得图象关于坐标原点对称，则a 的最小值为（ ） A . 4πB . 45πC . 12πD . 125π10.在直三棱柱111ABC A B C -中，a AC BC AB ===，1,AA b =若该三棱柱的六个顶点都在同一个球面上，且2=+b a ，则该球的表面积的最小值为（ ） A . 37πB . 413πC . 2152πD . 716π11.已知抛物线C ：x y 42=，点M (3，0)，直线l 过焦点F 且与抛物线C 交于A ，B 两点，若|AB |=8，则△AMB 的面积为（ ）A . 4B . 24C . 34D . 812.已知函数a x x xe x f x +++=221)(，1ln )(+=x x x g ，若存在]2,2[1-∈x ，对任意]1[22e e x ，∈，都有)()(21x g x f =，则实数a 的取值范围是（ ）A . ]23213[22e e e e -----，B . )23213(22e e e e -----，C . ]2323[2，e e --D . )2323(2，e e -- 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 如图是样本容量为1000的频率分布直方图，根据该图估计该样本数据的中位数与平均数的差的绝对值是 .14. 在5)1)(1(++ax x 的展开式中，2x 的系数为15，则=a .15. 在△ABC 中，D 为AC 的中点，且AD ：BD ：AB =1：7：3，若BC 7=，则△ABC 的周长为 .16.已知双曲线C ：1y 2222=-ba x ），（00>>b a ，过双曲线C 的左焦点FC 的左支于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆过坐标原点0，则双曲线C 的离心率为 .三、解答题（共70分。
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当 x 1 时，则 f 1 1 e ，当 x 1时， f 1 1 1 ，
e
则 f 1 f 1 ，故 D 不正确；
故选：C 【点睛】 本题考查了函数图像的识别，指数函数的性质，属于基础题. 5．在很多地铁的车厢里，顶部的扶手是一根漂亮的弯管，如下图所示．将弯管形状近
似地看成是圆弧，已知弯管向外的最大突出(图中 CD )有15cm ，跨接了 6 个坐位的宽 度( AB )，每个座位宽度为 43cm ，估计弯管的长度，下面的结果中最接近真实值的是
【详解】
A {x | x 1 或 x 2}， B {x | 1 x 3}，
∴ A B {1}[2,3] .
故选：A 【点睛】
本题主要考查了集合的交运算，同时考查了一元二次不等式的解法以及绝对值不等式的
解法，属于基础题.
2．设复数 z
满足
z i zi
i
，则
z
（
A．1
B．-1
） C．1 i
2
函数，从而证出 x 0, ln(1 x) x ，即可得到答案.
【详解】
x 0 时， x x x2 2
令
f
(x)
ln(1
x)
x
x2 2
，求导
f
( x )
1 1 x
1
x
x2 1 x
x 0 ， f (x) 0 ，故 f (x) 单调递增： f (x) f (0) 0
∴ ln(1 x) x x2 ， 2
当 x 0 ，设 g x ln 1 x x ， gx 1 1 x 0 ，
1 x 1 x
又 g 0 0 ，
g x ln 1 x x 0 ，即 x 0, ln(1 x) x ，
故 x ln(1 x) x x2 . 2
故选：D 【点睛】 本题考查了作差法比较大小，考查了构造函数法，利用导数判断式子的大小，属于中档 题.
（）
A． 250cm
B． 260cm
C． 295cm
D． 305cm
【答案】B
【解析】 AB 为弯管， AB 为 6 个座位的宽度，利用勾股定理求出弧 AB 所在圆的半径
为 r ，从而可得弧所对的圆心角，再利用弧长公式即可求解.
【详解】
如图所示， AB 为弯管， AB 为 6 个座位的宽度，
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6
所以弧长 562 294 . 6
故选：B 【点睛】
本题考查了弧长公式，需熟记公式，考查了学生的分析问题的能力，属于基础题.
6．抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正反面出现的概率相同，连续抛掷 5 次，至少连续
出现 3 次正面朝上的概率是（ ）
1
A．
4
1
B．
3
【答案】A
5
C．
32
3
D．
16
【解析】首先求出样本空间样本点为 25 32 个，再利用分类计数原理求出三个正面向
B． b a c
C． c a b
【答案】D
）
D． b c a
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【解析】令
f
(x)
ln(1
x)
x
x2 2
，求
f
x ，利用导数判断函数为单调递增，
从而可得 ln(1 x) x x2 ，设 g x ln 1 x x ，利用导数证出 g x 为单调递减
上为连续的 3 个“111”的样本点个数，再求出重复数量，可得事件的样本点数，根据古
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典概型的概率计算公式即可求解. 【详解】
样本空间样本点为 25 32 个，
具体分析如下：
记正面向上为 1，反面向上为 0，三个正面向上为连续的 3 个“111”， 有以下 3 种位置 111__ __，__111__，__ __111．
2020 届高三质量联合测评（二）数学（理）（A 卷）试题
一、单选题
1．已知集合 A x | x2 x 2 0 ， B {x || x 1 | 2}，则 A B （ ）
A．{1}[2,3] B．[2, 3]
C． [1, 3]
D．{1} [1,3]
【答案】A
【解析】首先解出集合 A, B ，再利用集合的交运算即可求解.
剩下 2 个空位可是 0 或 1，这三种排列的所有可能分别都是 22 4 ，
但合并计算时会有重复，重复数量为 2 2 4 ， 事件的样本点数为： 4 4 4 2 2 8 个． 故不同的样本点数为 8 个， 8 1 .
32 4
故选：A 【点睛】
本题考查了分类计数原理与分步计数原理，古典概型的概率计算公式，属于基础题
|2
而 cos
a, b
|
aa|
b |b
|
a
b
| b |2
2 2
1
4．函数 f ( x) 1 ex |x| 的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D． 第 2 页 共 23 页
【答案】C
【解析】利用特殊值法以及函数的性质逐一排除即可求解.
【详解】
当 x 0 时，函数无意义，故 A 不正确；
1
f (x)
1 ex
1 | x|
1
1 ex
x
f x ，故 B 不正确；
7．已知平面向量 a, b 满足 | a || b | ，且 ( 2 a b) b ，则 a, b 所夹的锐角为（ ）
A．
6
B．
4
C．
3
D．0
【答案】B
【解析】根据题意可得 (
2a
b)
b
0
，利用向量的数量积即可求解夹角.
【详解】
因为 (
2a
b)
b
(
2a
b)
b
0
即
2a
b
|
b
【答案】B
【解析】利用复数的四则运算即可求解.
【详解】
D．1 i
由
z z
i i
i
z
i
i(z
i)
( .
故选：B 【点睛】
本题考查了复数的四则运算，需掌握复数的运算法则，属于基础题.
3．已知 x 0 ， a x ， b x x2 ， c ln(1 x) ，则（ 2
A． c b a
则 AB 6 43 258cm CD 15cm 设弧 AB 所在圆的半径为 r ，则 r2 (r CD)2 AC2
(r 15)2 1292 解得 r 562cm sin AOD 129 0.23
562 可以近似地认为 sin x x ，即 AOD 0.23 于是 AOB 0.46 ， AB 长 562 0.46 258.5 所以 260cm 是最接近的，其中选项 A 的长度比 AB 还小，不可能， 因此只能选 B，260 或者由 cos x 0.97 ， sin 2x 0.45 2x