九年级上期中考试--数学(解析版) (2)

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【初三数学】浙江省初中名校共同体2023-2024学年九年级上学期期中数学试题(解析版)

2023学年第一学期浙江省初中名校发展共同体九年级期中考试数学考生须知：1．本卷满分120分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息；3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷；4．参加联批学校的学生可关注“启望教育”公众号查询个人成绩分析．一、选择题（本大题共10题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1.若43a b =，则a b b -的值等于（）A.13B.13-C.73D.73-【答案】A 【解析】【分析】此题考查了比例，直接利用比例设参数，然后代入求值即可，解题的关键是熟练掌握比例的性质．【详解】由43a b =，设4a k =，3b k =（0k ≠），∴431333a b k k k b k k --===，故选：A ．2.已知在Rt ABC △中，90,5,12C AC BC ∠=︒==，则ABC V 的外接圆直径为（）A.5B.12C.13D.6.5【答案】C 【解析】【分析】本题考查了直角三角形的外接圆直径，勾股定理求得斜边的长即可求解．【详解】解：∵在Rt ABC △中，90,5,12C AC BC ∠=︒==，∴13AB ==，∴ABC V 的外接圆直径为13，故选：C ．3.若将函数23y x =的图象向右平移2个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线表达式为（）A.23(2)4y x =+- B.23(2)4y x =++ C.23(2)4y x =-- D.23(2)4y x =-+【答案】D 【解析】【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，解题的关键是根据函数图象平移规律：左加右减，上加下减进行变换．【详解】解：将函数23y x =的图象向右平移2个单位，再向上平移4个单位，可得()2324y x =-+，故选D ．4.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点M 表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O 为圆心，5m 为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB 长为8m ，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为（）A.1米B.2米C.3米D.4米【答案】B 【解析】【分析】过O 点作半径OD AB ⊥于E ，如图，由垂径定理得到4AE BE ==，再利用勾股定理计算出OE ，然后即可计算出DE 的长．【详解】解：过O 点作半径OD AB ⊥于E ，如图，∴11===8=422AE BE AB ⨯，在Rt AEO △中，3OE ===，∴532(m)ED OD OE =-=-=，∴筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m ．故选：B ．【点睛】本题考查了垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，能熟练运用垂径定理是解题的关键．5.关于二次函数()224y x =+-，下列说法正确的是（）A.函数图象的开口向下B.函数图象的顶点坐标是()24-，C.该函数的最大值是4-D.当2x ≥-时，y 随x 的增大而增大【答案】D 【解析】【分析】本题考查了()2y a x h k =-+的图象性质，根据顶点坐标为()h k ，，对称轴x h =，开口方向，进行逐项分析，即可作答．【详解】解：A 、因为()224y x =+-中的10a =>，函数图象的开口向上，故该选项是错误的；B 、因为()224y x =+-，所以函数图象的顶点坐标是()24--，，故该选项是错误的；C 、因为10a =>，函数图象的开口向上，该函数的最小值是4-，故该选项是错误的；D 、因为对称轴2x =-，10a =>，函数图象的开口向上，当2x ≥-时，y 随x 的增大而增大，故该选项是正确的；故选：D6.如图，在ABC 中，90A ∠=︒，6AB =，10BC =，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，与BC 的垂线CE 相交于点E ，则:BD DE 为（）A.3:2B.5:3C.4:3D.2:1【答案】A 【解析】【分析】过点D 作DF BC ⊥于点F ，由勾股定理得8AC =，再由角平分线的性质得DA DF =，进而由面积法求出3DF =，则5CD AC DA =-=，然后由勾股定理得4CF =，则6BF =，最后由平行线分线段成比例定理即可得出结论．【详解】解：过点D 作DF BC ⊥于点F ，∵90A ∠=︒，6AB =，10BC =，∴DA BA ⊥，8AC ===，∵BD 平分ABC ∠，DF BC ⊥，∴DA DF =，∵ABC ABD BCD S S S =+△△△，∴111222AB AC AB DA BC DF ⋅=⋅+⋅，∴68610DF DF ⨯=+，解得：3DF =，∴3DA =，∴835CD AC DA =-=-=，∴4CF =，∴1046BF BC CF =-=-=，∵DF BC ⊥，CE BC ⊥，∴DF CE ∥，∴6342BD BF DE CF ===，即:3:2BD DE =．故选：A ．【点睛】本题考查勾股定理，角平分线的性质，三角形面积，平行线的判定及平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握勾股定理、角平分线的性质及平行线分线段成比例定理是解题的关键．7.小舟给出如下题目：二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，点A 坐标为()1,0-，给出下列结论：①20b a +<﹔②240b ac -<；③3x =是方程20(a 0)++=≠ax bx c 的其中一个解；④30a b +>；其中正确的是()A.①B.②C.③D.④【答案】C 【解析】【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当0a >时，抛物线向上开口；当0<a 时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时，对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时，对称轴在y 轴右．常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于()0,c ．抛物线与x 轴交点个数由判别式确定：24>0bac ∆=-时，抛物线与x 轴有2个交点；240b ac ∆=-=时，抛物线与x 轴有1个交点；240b ac ∆=-<时，抛物线与x 轴没有交点．利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点坐标为()3,0，则利用对称轴即可对①进行判断；根据判别式的意义可对②进行判断；根据抛物线与x 轴的另一个交点坐标为()3,0可对③进行判断；由20a b +=，0<a ，即可对④进行判断．【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线1x =，即12ba-=，∴20b a +=，故①错误；∵抛物线对称轴是直线1x =，抛物线与x 轴的一个交点坐标为()1,0A -，∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为()3,0，即抛物线抛物线与x 轴有2个交点，∴24>0b ac =- ，故②错误；∵抛物线与x 轴的另一个交点坐标为()3,0，∴3x =是方程20(a 0)++=≠ax bx c 的其中一个解，故③正确；∵a<0，20a b +=，∴30a b +<，故④错误；故选：B ．8.如图，点A ，B ，C ，D 为O 上的四个点，AC 平分BAD ∠，AC 交BD 于点E ，2,3CE CD ==，则AC 的长为（）A.4B.4.5C.5D.5.5【答案】B 【解析】【分析】本题考查圆周角定理，相似三角形的性质与判定，方程思想，能够掌握相似三角形的性质是解决本题的关键．【详解】解：设AC x =2AC x =+，∵AC 平分BAD ∠，∴BAC CAD ∠∠=，∵CDB BAC ∠∠=（圆周角定理），∴CAD DB ∠∠=，∴ACD DCE ∽，∴CD ACCE DC =，即323x =，解得： 4.5x =，故选：B ．9.如图，已知△ABC ，O 为AC 上一点，以OB 为半径的圆经过点A ，且与BC ，OC 交于点D ，E ．设∠A =α，∠C =β（）A.若α+β=70°，则 DE 的度数为20°B.若α+β=70°，则 DE的度数为40°C.若α﹣β=70°，则 DE的度数为20° D.若α﹣β=70°，则 DE的度数为40°【答案】B 【解析】【分析】连接BE ，根据圆周角定理求出∠ABE =90°，∠AEB =90﹣α，再根据三角形外角性质得出90°﹣α=β+12θ，得到 DE 的度数为180°﹣2（α+β），再逐个判断即可．【详解】解：连接BE ，设 DE的度数为θ，则∠EBD =12θ，∵AE 为直径，∴∠ABE =90°，∵∠A =α，∴∠AEB =90﹣α，∵∠C =β，∠AEB =∠C +∠EBC =β+12θ，∴90°﹣α=β+12θ，解得：θ=180°﹣2（α+β），即 DE 的度数为180°﹣2（α+β），A 、当α+β=70°时， DE的度数是180°-140°=40°，故本选项错误；B 、当α+β=70°时， DE的度数是180°-140°=40°，故本选项正确；C 、当α-β=70°时，即α=70°+β， DE的度数是180°-2（70°+β+β）=40°-4β，故本选项错误；D 、当α-β=70°时，即α=70°+β， DE的度数是40°-4β，故本选项错误；故选：B ．．【点睛】本题考查了圆周角定理和三角形的外角性质，能灵活运用定理进行推理和计算是解此题的关键．10.定义平面内任意两点()()1122,,,P x y Q x y 之间的距离2121PQ d x x y y =-+-，称为这两点间的曼哈顿距离（简称为曼距）．例如，在平面直角坐标系中，点()3,2P --与点()2,2Q 之间的曼距3222549PQ d =--+--=+=，若点A 在直线122y x =-上，点B 为抛物线22y x x =+上一点，则曼距AB d 的最小值（） A.23540B.6940C.2316D.32【答案】C 【解析】【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合应用，二次函数的最值，根据定义表示出曼距AB d ，当A 、B 两点横坐标相等时，AB d 取得最小值，求解即可．【详解】解：由题意得：设1,22A a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2(,2)B b b b +，∴()21222AB a b b d a b =---++，当A 、B 两点横坐标相等时，AB d 取得最小值，∴()2223323224161222ABd b b b b b b ⎛⎫==---=++ ⎪⎝⎭--+，∴曼距AB d 的最小值为2316；故选：C ．二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）11.请写出一个开口向下并且顶点在y 轴上的二次函数表达式________．【答案】24y x =-+（答案不唯一）【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，先设出二次函数解析式方程，()()20y a x h k a =++≠，再根据图像开口向下可知0a <，再根据顶点在y 轴上，有0h =，即可求解．【详解】设该二次函数的解析式为()()20y a x h k a =++≠，∵抛物线的开口向下，∴0a <，又∵顶点在y 轴上，∴0h =，∴4k =时，有：24y x =-+，故答案为：24y x =-+（答案不唯一，满足上述条件即可）12.生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a 与全身b 的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中b 为4米，则a 约为________米．（结果精确到一位小数）【答案】2.5【解析】【分析】本题考查了黄金分割，根据0.618ab≈，4m b =，即可求出a 的值．【详解】解：雕像的腰部以下a 与全身b 的高度比值接近0.618，4m b =，∴0.618ab≈，2.472 2.5m a ∴≈≈，a ∴的值为2.5米；故答案为2.5．13.二次函数()()53y a x x =+-的图象如图所示，当0y >时，x 的取值范围是________．【答案】53x -<<##35x >>-【解析】【分析】本题主要考查抛物线与x 轴的交点、二次函数图象与性质．先求出抛物线与x 轴的交点坐标，进而根据函数图象即可解答．【详解】解：当0y =时，()()530x x +-=，解得：1253x x =-=，∴二次函数()()53y a x x =+-的图象与x 轴的交点为(50)-，，()30，，由函数图象可得0y >的x 的取值范围为：53x -<<．故答案为：53x -<<．14.如图，在扇形EOF 中放置有三个全等的矩形方格，点O 为扇形的圆心，格点A 、B 、C 分别在扇形的1，则阴影部分的面积为________．【答案】73π【解析】【分析】连接OC ，先求出OC 长，再利用三角函数求出AOB ∠的度数，再根据阴影面积等于扇形的面积减去梯形面积即可得解．熟练掌握扇形面积公式和利用三角函数求出30AOB ∠=︒是解题的关键．【详解】解：连接OC ，1，∴OC ==，ant AOB Ð=，∴30AOB ∠=︒，∴(230π73603EOF Sπ⨯==扇形，()1232ACBO S =⨯+=梯形，∴阴影部分的面积为：73A O EOF CB S S S π=-=梯阴影扇形形故答案为：73π15.如图，矩形纸片ABCD ，点E 在边A 上，连接BE ，点F 在线段BE 上，且13EF BF =，折叠矩形纸片使点C 恰好落在点F 处，折痕为DG ，若4AB =，则折痕DG 的长为________．【答案】【解析】【分析】此题考查了矩形的折叠问题，勾股定理．正确画出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．过点F 作MN AD ⊥于点M ，MN 交BC 于点N ，通过证明四边形ABNM 为矩形，四边形CDMN 为矩形，得出4AB MN CD ===，根据13EF BF =，推出13EF MF BF NF ==，则1,3MF NF ==，由折叠的性质得出4DF DC ==，CG FG =，即可根据勾股定理求出CN DM ===CG FG x ==，则GN x =-，根据勾股定理可得222GN NF FG +=，列出方程，求出4155x =，最后根据勾股定理可得：2DG =，即可求解．【详解】解：过点F 作MNAD ⊥于点M ，MN 交BC 于点N ，∵四边形ABCD 为矩形，∴90A ABN ∠=∠=︒，AD BC ∥，∵MN AD ⊥，∴四边形ABNM 为矩形，同理可得：四边形CDMN 为矩形，∴4AB MN CD ===，∵13EF BF =，∴13=EF BF ，∵AD BC ∥，∴13EF MF BF NF ==，∴1,3MF NF ==，∵CDG 由FDG △沿DG 折叠得到，∴4DF DC ==，CG FG =，根据勾股定理可得：CN DM ====设CG FG x ==，则GN x =，根据勾股定理可得：222GN NF FG +=，即)2223x x -+=，解得：5x =，根据勾股定理可得：2DG ===16.量角器和三角板是我们平常数学学习中常用的工具．有一天，爱思考的小聪拿着两块工具拼成了如图1的样子，计划让三角板的直角顶点始终在量角器的半圆弧上运动，紧接着小聪根据自己的想法画出了示意图（如图2）．已知点C 是量角器半圆弧的中点，点P 为三角板的直角顶点，两直角边PE 、PF 分别过点A 、B ．连结CP ，过点O 作OM CP ⊥交CP 于点M ，交AP 于点N ．若8AB =，则NB 的最小值为________；若点Q 为 BC的中点，则点P 从点Q 运动到点B 时，N 点的运动路径长为________．【答案】①.-②.22π【解析】【分析】如图，连接AC OC ，．证明点N T 在上，且运动轨迹是 OC，过点T 作TH AB ⊥于H ．求出BT TN ，，可得结论；连接PO ，TO ，结合图形可得，点P 从点Q 运动到点B ，点Q 为 BC的中点，运动的终点时，1452POB COB ∠=∠=︒，即有9045CTN POB ∠=︒-∠=︒，则有9045OTN CTN ∠=︒-∠=︒，根据弧公式即可作答．【详解】解：当点P 在 BC上时，点N 在线段OC 的右侧，如图，连接AC OC ，．∵C 是半圆的二等分点，∴=90AOC ∠︒，即1452APC AOC ∠=∠=︒，∵OA OC =，∴AOC △是等腰直角三角形，作AOC △的外接圆T e ，连接TN ，TB ．则有圆心T 为AC 中点，∵OM PC ⊥，∴CM PM =，∴NC NP =，∴45NPC NCP ∠=∠=︒，∴18090CNP PCN CPN ∠=︒-∠-∠=︒，∴90ANC PNC ∠=∠=︒，∴点N 在T e 上，运动轨迹是 OC，过点T 作TH AB ⊥于H ．∵8AB =，∴142AO AB ==，∵AO OC =，=90AOC ∠︒，∴45OAC OCA ∠=∠=︒，AC ==，∴12TA TN TC AC ====，在Rt ATH 中，122AH OH AO ===，45TAH ∠=︒，∴45ATH TAH ∠=∠=︒，∴2AH TH ==，即6BH AB AH =-=，在Rt BHT 中，BT ===，∵BN BT TN ≥-，∴BN ≥-∴BN 的最小值为-当点P 在 AC 上时，如图，可知点N 在线段OC 的左侧，此时的BN 显然大于综上：BN 的最小值为-如图，连接PO ，TO ，∵2CTN CAN ∠=∠，2POB PAB ∠=∠，45CAN PAB CAO ∠+∠=∠=︒，∴()24590CTN PAB POB ∠=︒-∠=︒-∠，∵点P 从点Q 运动到点B ，点Q 为 BC的中点，∴终点时，1452POB COB ∠=∠=︒，∴9045CTN POB ∠=︒-∠=︒，∴9045OTN CTN ∠=︒-∠=︒，∵TA TN TC ===∴点N 在T e 上，运动轨迹长为：4522ππ3602︒⨯=︒，故答案为：-，2π2．【点睛】本题考查点与圆的位置关系，弧长公式，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，轨迹等知识，解题的关键是正确寻找点N 的运动轨迹．三、解答题（本题有8小题，第17~19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题10分，第24题12分，共66分）17.已知线段a 、b 、c 满足::3:2:4a b c =，且211++=a b c ．（1）求a 、b 、c 的值；（2）若线段x 是线段a 、b 的比例中项，求x 的值．【答案】（1）3,2,4a b c ===（2）x 【解析】【分析】本题考查了比例和比例中项，（1）设比值为k ，然后用k 表示出a 、b 、c ，再代入等式进行计算即可得；（2）根据比例中项的定义列式求解即可得掌握比例和比例中项的定义“如果作为比例内项的是两条相同的线段，即a b b c=，那么线段b 是a 和c 的比例中项”是解题的关键．【小问1详解】解：∵::3:2:4a b c =，则设3,2,4a k b k c k ===，∵211++=a b c ，∴322411k k k +⨯+=，1111k =，1k =，∴3,2,4a b c ===；【小问2详解】解：∵线段x 是线段a 、b 的比例中项，∴a x x b=，2x ab =，232x =⨯，26x =，x =或x =（舍），即x 的值．18.如图，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是半圆O 上的两点，且∥OD BC ，OD 与AC 交于点E ．（1）若70B ∠=︒，求CAD ∠的度数；（2）若13,12AB AC ==，求DE 的长．【答案】（1）35︒（2）4【解析】【分析】（1）圆周角定理，得到90C ∠=︒， AC 的度数为140︒，平行得到90OEA ∠=︒，进而得到OE AC ⊥，垂径定理，得到 AD CD=，进而得到 CD 的度数为70︒，即可求出CAD ∠的度数；（2）勾股定理，求出OE 的长，OD OE -即可求出DE 的长．本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理．熟练掌握圆周角定理和垂径定理，是解题的关键．【小问1详解】解：∵AB 是半圆O 的直径，70B ∠=︒，∴90C ∠=︒， AC 的度数为140︒，∵∥OD BC ，∴90OEA C ∠=∠=︒，∴OE AC ⊥，∴ AD CD=，∴ CD的度数为70︒，∴170352CAD ∠=⨯︒=︒；【小问2详解】∵13,12AB AC ==，OE AC ⊥，∴131,622OA OD AE AC ====，∴52OE ==，∴135422DE =-=．19.已知二次函数223y x x =-+，当22x -≤≤时，求函数y 的取值范围．小胡同学的解答如下：解：当2x =-时，则()()2222311y =--⨯-+=；当2x =时，则222233y =-⨯+=：所以函数y 的取值范围为311y ≤≤．小胡的解答正确吗？如果正确，请在方框内打“√”：如果错误，请在方框内打“×”，并写出正确的解答过程．【答案】见解析【解析】【分析】此题考查了二次函数的性质，先将该二次函数解析式化为顶点式，根据开口方向向上，求出最小值为2，再求出当2x =-时和当2x =时的函数值，即可解答．【详解】解：小胡的解答不正确，正确的解答过程如下：∵()222312y x x x =-+=-+，10a =>，∴当1x =时，该二次函数有最小值2，∵当2x =-时，则()()2222311y =--⨯-+=；当2x =时，则222233y =-⨯+=：∴当22x -≤≤时，函数y 的取值范围为211y ≤≤．20.请用无刻度的直尺在以下两个图中画出线段BC 的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）（1）如图①，等腰ABC V 内接于O 中，AB AC =；（2）如图②，已知四边形ABCD 为矩形，点A 、D 在圆上，AB CD 、与O 分别交于点E 、F ．【答案】（1）见详解（2）见详解【解析】【分析】本题考查的是作图，主要涉及等腰三角形的性质、垂径定理、矩形的性质、线段的垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用相关的知识解决问题．（1）如图，作直线OA 即可，OA 即为所求；（2）连接AF DE 、交于点O ，连接EC BH 、交于点H ，连接OH 即可．【小问1详解】如图①，作直线OA 即可，OA 即为所求；【小问2详解】如图②，连接AF DE 、交于点O ，连接EC BH 、交于点H ，连接OH 即可，直线OH 即为所求．21.杭州亚运会期间，某网店经营亚运会吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”钥匙扣礼盒装，每盒进价为30元，出于营销考虑，要求每盒商品的售价不低于30元且不高于38元，在销售过程中发现该商品每周的销售量y （件）与销售单价x 32元时，销售量为36件；当销售单价为34元时，销售量为32件．（1）请求出y 与x 的函数关系式；（2）设该网店每周销售这种商品所获得的利润为w 元，①写出w 与x 的函数关系式；②将该商品销售单价定为多少元时，才能使网店每周销售该商品所获利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）2100y x =-+（2）①221603000w x x =-+-；②该商品销售单价定为38元时，才能使网店销售该该商品所获利润最大，最大利润是192元．【解析】【分析】本题主要考查二次函数的应用、待定系数法等知识点，灵活应用这些知识解决问题并构建二次函数解决问题成为解题的关键．（1）直接利用待定系数法求解即可；（2）①根据“总利润=每件产品利润×数量”即可列出函数关系式；②利用二次函数的性质求最值即可．【小问1详解】解：设y 与x 的函数关系式为y kx b =+，把3236x y ==，和3432x y ==，分别代入得，36323234k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得：2100k b =-⎧⎨=⎩．∴y 与x 的函数关系式为2100y x =-+．【小问2详解】解：①由题意可得()()230210021603000w x x x x =--+=-+-：，∴w 与x 的函数关系式为221603000w x x =-+-．②()2221603000240200w x x x =-+-=--+，∵20-<且对称轴为直线40x =∴抛物线开口向下，∵3038x ≤≤在对称轴左侧，即40x <时，w 随x 的增大而增大，∴当38x =时，()223840200196w =--+=最大（元）．答：该商品销售单价定为38元时，才能使网店销售该该商品所获利润最大，最大利润是192元．22.如图1，在正方形ABCD 中，12CE DE =，F 为BE 上的一点，连结CF 并延长交AB 于点M ，作MN CM ⊥交边AD 于点N ．（1）当F 为BE 中点时，求证：2AM CE =﹔（2）如图2，若23EF BF =，求AN ND 的值．【答案】（1）见解析（2）13【解析】【分析】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定；（1）先证明MBC ECB ≌得出BM EC =，根据12CE DE =，以及正方形的性质即可得证；（2）根据正方形的性质可得，AB CD ∥得出FBM FEC ∽，根据已知条件设3BM a =，则2EC a =，求得4DE a =，进而求得AM ，证明AMN BCM ∽，取得AN ，进而即可求解．【小问1详解】证明：F 为BE 的中点，BF EF ∴=，四边形ABCD 为正方形，90BCE ABC ∴∠=∠=︒，CF BF EF ∴==，FBC FCB ∴∠=∠，BC CB = ，MBC ECB ∴ ≌（AAS ），BM EC ∴=，AB CD = ，12CE DE =，12BM AM ∴=，2AM CE ∴=．【小问2详解】∵四边形ABCD 为正方形，∴AB CD ∥，∴FBM FEC ∽，∵23EF BF =，∴23EF EC BF BM ==设3BM a =，则2EC a =，∵12CE DE =，∴4DE a =，∴246CD DE EC a a a =+=+=，∴633AM AB MB CD MB a a a =-=-=-=，∵MN CM ⊥，∴90NMC ∠=︒，又∵90A MBC ∠=∠=︒，∴90AMN BMC MCB ∠=︒-∠=∠，∴AMN BCM ∽，∴AM AN BC BM =，即363a AN a a =，∴32AN a =，∴39622ND AD ND a a a =-=-=，∴AN ND 312932a a ==．23.根据以下素材，探索完成任务．绿化带灌溉车的操作方案灌溉车行驶过程中喷出的水能浇灌到整个绿化带吗，请说理由灌溉时，发现水流的上下两边缘冲击力最强，喷到针简容易造成针筒脱落．那么请问在满足最大灌溉面积的前提下对行道树“打针”是否有影响，并说明理由；若你认为有影响，请给出具体的“打针”范围．【答案】任务一：()213 2.510y x =-++；任务二：灌溉车行驶过程中喷出的水能浇灌到整个绿化带，理由见解析；任务三：在满足最大灌溉面积的前提下对行道树“打针”是否有影响，建议针一般打在离地面大于1.6米且小于或等于2米的高度．【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，求函数值，二次函数的性质；任务一：待定系数法求解析式，即可求解；任务二：根据题意，求得下边缘的抛物线解析式为：21 1.610y x =-+，分别令0y =，得出抛物线与坐标轴的交点，两交点的距离，即为所求；任务三：依题意，绿化带正中间种植了行道树，即8462x --==-处种植了行道树，令6x =-，求得y 的值，与题意比较，进而得出结论．【详解】解：任务一：依题意，设上边缘水流的抛物线的函数表达式为()23 1.60.9y a x =+++，将()0,1.6代入得，1.69 2.5a =+解得：110a =-∴抛物线的表达式为：()213 2.510y x =-++任务二：∵上边缘水流的抛物线解析式为：()213 2.510y x =-++当0y =时，()213 2.5010x -++=解得：8x =-或=2（舍去），则抛物线与x 负半轴的交点坐标为()8,0-；∵下边缘水流形状与上边缘相同，且喷水口是最高点．∴下边缘的抛物线解析式为：21 1.610y x =-+当0y =时，21 1.6010x -+=，解得：4x =-或4x =（舍去），则抛物线与x 负半轴的交点坐标为()4,0-；∵()484---=而路边的绿化带宽4米，∴灌溉车行驶过程中喷出的水能浇灌到整个绿化带；任务三：上边缘水流的抛物线解析式为：()213 2.510y x =-++，∵绿化带正中间种植了行道树，即8462x --==-处种植了行道树当6x =-时，()2163 2.5 1.610y =--++=米而园林工人给树木“打针”．针一般打在离地面1.5米到2米的高度（包含端点）．则在满足最大灌溉面积的前提下对行道树“打针”是否有影响，建议针一般打在离地面大于1.6米且小于或等于2米的高度．24.如图1，ABC V 是O 内接三角形，将ABC V 绕点A 逆时针旋转至AED △，其中点D 在圆上，点E 在线段AC 上．（1）求证：DE DC =﹔（2）如图2，过点B 作BF CD ∥分别交AC 、AD 于点M 、N ，交O 于点F ，连接AF ，求证：AN DE AF BM ⋅=⋅；（3）在（2）的条件下，若13AB AC =时，求BF BC 的值；【答案】（1）见解析（2）见解析（3）79【解析】【分析】（1）旋转的性质，得到,BC DE BAC EAD =∠=，根据弧，弦，角的关系，得到BC CD =，即可得证；（2）证明BCM AFM ∽，进而得到BC BM AF AM=，旋转得到,BC DE AC AD ==，根据BF CD ∥，推出AM AN =，等量代换，得到DE BM AF AN=，即可得证；（3）等量代换，得到13AB AD =，过点E 作,EP AB EQ AD ⊥⊥，角平分线的性质得到EP EQ =，等积法得到13AB E DE AD B ==，连接DF ，推出BC DF =，AB AF =，将ABD △绕点A 旋转至AB 与AF 重合得到AFD ' ，证明,,D F D '三点共线，设BE x =，则3DE x =，进而得到3BC DE DF x ===，推出7DD DF FD DF BD x ''=+=+=，证明BAF DAD ' ∽，得到13AB BF AD DD =='，得到1733BF DD x '==，再进行计算即可．【小问1详解】证明：∵将ABC V 绕点A 逆时针旋转至AED △，∴,BC DE BAC EAD =∠=，∴ BC CD =，∴BC CD =，∴DE DC =；【小问2详解】证明：∵ AB AB =，∴BCM AFM ∠=∠，∵BMC AMF ∠=∠，∴BCM AFM ∽，∴BC BM AF AM =，∵将ABC V 绕点A 逆时针旋转至AED △，∴,BC DE AC AD ==，∵BF CD ∥，∴AMN ACD ∽，∴AM AN AC AD =，∴AM AN =，∴DE BM AF AN =，∴AN DE AF BM ⋅=⋅；【小问3详解】∵13AB AC =，AC AD =，∴13AB AD =，ACD ADC ∠=∠，∴ AC AD =，∵ACB ADE∠=∠∴延长DE 必经过点B ，过点E 作,EP AB EQ AD ⊥⊥，∵BAC DAE ∠=∠，∴EP EQ =，∴1212ABE ADE AB EP S BE S DE AD EQ ⋅==⋅ （同高三角形）∴13AB E DE AD B ==，连接DF ，∵BF CD ∥，∴BDC DBF ∠=∠，∴ BCDF =，∴ ,BC DF AC BC AD DF=-=-，∴ AB AF =，∴AB AF =，将ABD △绕点A 旋转至AB 与AF 重合得到AFD ' ，则：ABD AFD '∠=∠，D F BD '=，DAD BAF '∠=∠，∵180ABD AFD ∠+∠=︒，∴180AFD AFD '∠+∠=︒，∴,,D F D '三点共线，∵13BE DE =，∴设BE x =，则3DE x =，∴3BC DE DF x ===，4BD BE DE x =+=，∴7DD DF FD DF BD x ''=+=+=，∵DAD BAF '∠=∠，ABF ADF ∠=∠，∴BAF DAD ' ∽，∴13AB BF AD DD =='，∴1733BF DD x '==，∴77339x BF BC x ==．【点睛】本题考查旋转的性质，圆周角定理，弧，弦，角的关系，相似三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，综合性强，难度大，属于压轴题，解题的关键是掌握相关知识点，进行线段和角的转化．。

江苏省徐州市邳州市2024—2025学年上学期期中考试九年级数学试卷(含答案)

2024~2025学年度第一学期期中检测九年级数学试题注意事项1．本卷共6页，满分140分，考试时间100分钟。

2．答题前，请将姓名、文化考试证号用0.5毫米黑色字迹签字笔填写本卷和答题卡的指定位置。

3．答案全部涂、写在答题卡上，写在本卷上无效。

考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置）1．方程的解是（）A ．，B ．C ．，D ．，2．的半径长为4，若点P 到圆心的距离为3，则点P 与的位置关系是（）A ．点P 在内B ．点P 在上C ．点P 在外D ．无法确定3．方程的两根为、，则（）A ．6B ．－6C ．3D ．－34．下列函数的图象与的图象形状相同的是（）A ．B ．C ．D ．5．如图，A 、B 、C 、D 为一个正多边形的顶点，O 为正多边形的中心．若，则这个正多边形的边数为（）A ．7B ．8C ．9D ．10（第5题）6．如图，在半径为5的中，弦，点C 是弦AB 上的一动点，若OC 长为整数，则满足条件的点C 有（）240x x -=12x =-22x =4x =10x =24x =14x =-24x =O e O e O e O e O e 2261x x -=1x 2x 25y x =22y x=252y x =-+251y x x =++51y x =-20ADB ∠=︒O e 8AB =（第6题）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个7．为响应“坚持绿色低碳，建设一个清洁美丽的世界”的号召，已知某市一共有285个社区，第一季度已有60个社区实现垃圾分类，第二、三季度实现垃圾分类的小区个数较前一季度平均增长率为x ，要在第三季度将所有社医都进行垃圾分类，下列方程正确的是（）A ．B ．C ．D ．8．当时，函数的最小值为1，则a 的值为（）A ．0B ．2C ．0或2D ．0或3二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．不需写出解题过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置）9．一元二次方程的根是______．10．请在横线上写一个常数，使得关于x 的方程有两个相等的实数根．11．若是一元二次方程的一个根，则______．12．如图，是的内切圆，若，，则______°．（第12题）13．已知二次函数的图像经过点、，则______（填“>”“<”或“＝”）．14．如图，将一个圆锥展开后，其侧面是一个圆心角为108°，半径为12cm 的扇形，则该圆锥的底面圆的半径为______cm．()2601285x +=()2601285x -=()()2601601285x x +++=()()260601601285x x ++++=1a x a -≤≤221y x x =-+213x -=26______0x x -+=1x =20x mx n --=2024m n ++=O e ABC △60ABC ∠=︒50ACB ∠=︒BOC ∠=()()210y a x c a =-+<()11,y -()24,y 1y 2y（第14题）15．平面直角坐标系中，若平移二次函数的图象，使其与x 轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式为______．16．已知如图，二次函数的图像交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 点，连接BC ，点M 是BC 上一点，射线MN 与以A 为圆心，1为半径的相切于点N ，则线段MN 的最小值是______．（第16题）三、解答题（本大题共9小题，共84分，请在答题卡指定区域内作答，解答时写出相应文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题10分）解下列方程：（1）；（2）．18．（本题8分）已知关于x 的一元二次方程．求证：不论m 为何值，该方程总有两个实数根．19．（本题8分）如图，AB 是的直径，弦AD 平分，，垂足为E ．试判断DE 与的位置关系，并说明理由．（第19题）()()202420254y x x =--+2y =+A e 2420x x --=()()323x x x +=+210x mx m ++-=O e BAC ∠DE AC ⊥O e20．（本题8分）某小区有一块矩形绿地，长为20m ，宽为8m ．为美化小区环境，现进行如下改造，将绿地的长减少a m ，宽增加a m ，改造后的面积比原来增加，求a 的值．21．（本题10分）已知y 是x 的函数，下表中给出了几组x 、y 的对应值：x …－2－1.5－101 4.55…y…3m－2－31.3753…（1）建立直角坐标系，以表中各对对应值为坐标描出各点，用平滑曲线顺次连接，由图像可知，它是我们学过的哪类函数？求出函数表达式，并直接写出m 的值；（2）结合图像回答问题：当x 的取值范围是____________时，．（第21题）22．（本题10分）如图，在中，，以AB 为直径作，分别交AC 、BC 于点D 、E ．（1）求证：；（2）当时，求的度数；（3）过点E 作的切线，交AB 的延长线于点F ，当时，求图中阴影部分面积．（第22题）23．（本题10分）商场将进货价为40元每件的某商品以50元售出，平均每月能售出700件，调查表明：售价在50元至100元范围内，这种商品的售价每上涨1元，其销售量就将减少10件，设商场决定每件商品的售价为元．（1）该商场平均每月可售出______件商品（用含x 的代数式表示）；（2）商品售价定为多少元时，每月销售利润最大？227m 0y ≥ABC △AB AC =O e BE CE =40BAC ∠=︒ADE ∠O e 2AO BE ==()50100x x <<（3）该商场决定每销售一件商品就捐赠a 元利润给希望工程，通过销售记录发现，每件商品销售价格大于85元时，扣除捐款后每天的利润随x 增大而减小，求a 的取值范围．24．（本题10分）（1）如图①，点A 、B 、C 、D 在上，，则______°：（2）如图②，A 、B 两点分别在x 轴和y 轴上，是的外接圆，利用直尺和圆规在第一象限内作出一点P ，使，且；（保留作图痕迹）（3）如图③，已知线段AB 和直线l ，利用直尺和圆规在l 上作出点P ，使；（保留作图痕迹）（4）如图④，在平面直角坐标系的第一象限内有一点B ，坐标为，过点B 作轴，轴，垂足分别为A 、C ，若点P 在线段AB 上滑动（点P 可以与点A 、B 重合），使得的位置有两个，则m 的取值范围为______．（第24题）25．（本题10分）如图，二次函数的图像与x 轴交于点、，与y 轴交于点C ．连接AC 、BC ．（1）填空：______，______；（2）如图①，若点D 是此二次函数图像的第一象限上一点，设D 点横坐标为m ，当四边形OCDB 的面积最大时，求m 的值；（3）如图②，若点P 在第四象限，点Q 在PA 的延长线上，当时，求点P 的坐标．（第25题）()1a ≥O e 35BAC ∠=︒BOC ∠=C e AOB △OPA OBA ∠=∠OP AP =30APB ∠=︒()2,m AB y ⊥BC x ⊥45OPC ∠=︒212y x bx c =-++()1,0A -()4,0B b =c =45CAQ CBA ∠=∠+︒2024~2025学年度第一学期期中检测九年级数学参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）题号12345678答案CACBCCDD二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）9．，10．911．202512．12513．>14．3.615．向下平移4个单位长度16三、解答题（本大题共9小题，共84分）17．（本题10分）解：（1）移项，得配方，得即直接开平方，得∴（2）移项，得因式分解，得∴或∴，18．（本题8分）解：∵，，∴∵不论m 为何值∴不论m 为何值，该方程总有两个实数根．19．（本题8分）解：DE 与相切理由是：连接OD∵∴∵AD 平分∴∴∴∵∴∴DE 与相切．12x =22x =-242x x -=24424x x -+=+()226x -=2x -=12x =+22x =()()3230x x x +-+=()()230x x -+=20x -=30x +=12x =23x =-1a =b m =1c m =-()2²4411b ac m m -=-⨯⨯-²44m m =-+()22m =-()220m -≥O e OD OA =ODA OAD∠=∠BAC ∠OAD CAD ∠=∠ODA CAD ∠=∠AC OD ∥DE AC ⊥OD DE ⊥O e（第19题）20．（本题8分）解：根据题意得：即：解得：，答：a 的值为3或9．21．（本题10分）（1）描点、连线如图是二次函数，设函数的表达式为：把点，，代入得解得：∴函数得表达式为（2）或．22．（本题10分）（1）证明：连接AE∵AB 是直径∴∴∵∴()()20820827a a -+-⨯=212270a a -+=13a =29a =()20y ax bx c a =++≠()1,0-()0,2-()1,3-023a b c c a b c -+=⎧⎪=-⎨⎪++=-⎩12322a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩213222y x x =--1.375m =1x ≤-4x ≥O e 90AEB ∠=︒AE BC ⊥AB AC =BE CE=（第22题）（2）解：∵，∴∵四边形ABED 是的内接四边形∴∴．（3）解：连接OE 则∵∴∴是等边三角形∴∵EF 是切线∴∴∴∴∴阴影部分的面积．23．（本题10分）（1）（2）设每月销售利润为y 元则∵，∴当时，y 有最大值16000答：商品售价定为80元时，每月销售利润最大；（3）设每月销售利润为y 元则∴对称轴为直线∵∴当时，y 随x 得增大而减小∵每件商品销售价格大于85元时，扣除捐款后每天的利润随x 增大而减小∴解得：∵∴a 的取值范围是．24．（本题10分）（1）35，702分AB AC =40BAC ∠=︒180180407022BAC ABC ︒-∠︒-︒∠===︒O e 180ADE ABC ∠+∠=︒180********ADE ABC ∠=︒-∠=︒-︒=︒OE OA OB==2OA BE ==OA OB BE ==OBE △60BOE ∠=︒O e OE EF ⊥30F ∠=︒24OF OE ==EF ===2160π222π23603OEF BOE S S ⨯=-=⨯⨯=-扇形△101200x -+()()()224010120010160048000108016000y x x x x x =--+=-+-=--+100-<50100x <<80x =()()()24010120010160010480001200y x a x x a x a=---+=-++--()160010802102a a x +=-=+⨯-100-<802ax >+80852a+≤10a ≤1a ≥110a ≤≤（2）如图（3）如图（4）25．（本题10分）（1），2（2）∵点D 横坐标为m ，且点D 在二次函数的图像上∴点D 坐标为对于二次函数，当时，∴设BC ：则解得：∴BC ：21m ≤<32213222y x x =-++213,222m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭213222y x x =-++0x =2y =()0,2C y kx b =+402k b b +=⎧⎨=⎩122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩122y x =-+过点D 作轴，交BC 于点E 则∴∴到DE 的距离到DE 的距离（C 到DE 的距离到DE 的距离）∵，∴当时，有最大值8∴．（3）∵，，∴，，∴∴设，则∵∴∴DE y ∥1,22E m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭2213112222222DE m m m m m ⎛⎫=-++--+=-+ ⎪⎝⎭OBC BCD OCDB S S S =+四边形△△OBC CDE BDES S S =++△△△1122OC OB DE C =⨯⨯+⨯⨯12DE B +⨯⨯112422DE =⨯⨯+⨯⨯B +1442DE =+⨯⨯214222m m ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭244m m =-++()()22804m m =--+<<10a =-<04m <<2m =OCDB S 四边形2m =()1,0A -()4,0B ()0,2C 25AC =220BC =225AB =222AC BC AB +=90ACB ∠=︒ABC x ∠=90CAB x∠=︒-45CAQ CBA ∠=∠+︒45CAQ x ∠=+︒()()180459045PAB x x ∠=︒-+︒-︒-=︒设直线AP 交y 轴于F则∴设AP ：则解得：∴AP ：设∵点P 在二次函数的图象上∴解得：，（舍去）当时，∴点P 的坐标为．1OF OA ==()0,1F -y kx b =+01k b b -+=⎧⎨=-⎩11k b =-⎧⎨=-⎩1y x =--()(),10P n n n -->213222y x x =-++2132122n n n -++=--16n =21n =-6n =17n --=-()6,7-。

广东深圳2024-2025学年九年级上学期期中数学模拟试题(解析版)

2024-2025学年深圳市九年级上册期中考试模拟试卷数学试卷注意事项：1.答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好．2.本卷考试时间90分钟，满分100分．考试范围：九年级上册3.作答选择题时，选出每题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答写在答题卡指定区域内．作答综合题时，把所选题号的信息点框涂黑，并作答．写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效．4.考试结束后，将答题卡交回．第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（24分）1. 方程x 2=2x 的根是（） A. 0 B. 2C. 0 或 2D. 无解【答案】C 【解析】【详解】解：移项可得：22x 0x −=，因式分解可得：x (x -2)=0，解得：x=0或x=2，故选C ．2. 一元二次方程2230x x +−=的两根分别为12x x 、，则12x x ⋅的值为（） A. 2 B. 2−C. 3−D. 3【答案】C 【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．【详解】解：∵该一元二次方程为2230x x +−=，∴12331cx x a −⋅===−．故选C ．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系．熟记一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 根与系数的关系：12b x x a +=−和12c x x a⋅=是解题关键． 3. 关于x 的一元二次方程()21230k x x −−+=有两个不同的实根，则k 的取值范围是（） A. 43k <B. 43k <且1k ≠ C. 403k <<D. 1k ≠【答案】B 【解析】【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程200ax bx c a ++=≠（）的根与24b ac ∆=−有如下关系：当0∆＞时，方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，方程有两个相等的实数根；当0∆＜时，方程无实数根．根据题意可得()1044310k k −≠ =−×−>再解不等式组，从而可得答案；【详解】解：关于x 的一元二次方程()21230k x x −−+=有两个不相等的实数根， ()1044310k k −≠ ∴ =−×−>解得：43k <且1k ≠ ，故选：B ．4. 若关于x 的一元二次方程方程kx 2﹣2x ﹣1=0有实数根，k 的取值范围是（） A. k ＞﹣1 B. k ≥﹣1且k ≠0C. k ＜﹣1D. k ＜1且k ≠0【答案】B 【解析】【分析】根据一元二次方程根有实数根，可得ΔΔ≥0，代入系数解不等式，需要注意k ≠0. 【详解】∵一元二次方程有实数根 ∴()()2=2410k ∆−−⋅−≥ ，解得1k ≥−，又∵一元二次方程二次项系数不为0，∴0k ≠， ∴k 的取值范围是1k ≥−且0k ≠. 故选B.【点睛】本题考查一元二次方程的定义和根的判别式，当0∆>时，方程有两个不相等的实数根，当=0∆时，方程有两个相等的实数根，当∆<0时，方程无实数根，熟记概念是解题的关键.5. 对于一个位置确定的图形，如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内部或边上，且该图形与矩形每条边都至少有一个公共点（如图1），那么这个矩形水平方向的边长我们称为该图形的宽，矩形铅垂方向的边长我们称为该图形的高．如图2，已知菱形ABCD 的边长为1，菱形的边AB 水平放置，如果该菱形的高是宽的23，那么菱形的宽是（）A.1813B.139C.32D. 2【答案】A 【解析】【分析】先根据要求画图，设AF =x ，则CF =23x ，根据勾股定理列方程可得结论．【详解】解：在菱形上建立如图所示的矩形EAFC ，设AF =x ，则CF =23x ，在Rt △CBF 中，CB =1，BF =x -1，由勾股定理得：BC 2=BF 2+CF 2， 12＝（x −1）2+（23x ）2，解得：x =1813或0（舍），则该菱形的宽是1813，故选A ．【点睛】本题考查了新定义、矩形和菱形的性质、勾股定理，理解新定义中矩形的宽和高是关键．6. 设a 、b 是两个整数，若定义一种运算“ ”，2a b a ab =+ ，则方程()212x x −=的实数根是（） A. 12x =−，23x =B. 1 2x =，23x =−C. 11x =−，26x =D. 1 1x =，26x =−【答案】A 【解析】【分析】根据题目中的新定义的运算规则，将所求方程化为一元二次方程方程，解方程即可解答．【详解】解：∵2a b a ab =+ ， ∴x △（x-2）=x 2 +x （x-2）=12，整理得：2x 2-2x-12=0，解得：x 1=-2，x 2=3．故选A.【点睛】本题考查了新定义运算及一元二次方程的解法，根据新定义的运算规则将所求方程化为一元二次方程方程是解决本题的关键.7. 已知3是关于x 的方程220x ax a −+=的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长，则三角形ABC 的周长为（） A 9 B. 12C. 12或15D. 15【答案】D 【解析】【分析】把x ＝3代入已知方程求得a 的值，然后求出该方程的两根，即等腰△ABC 的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可．【详解】解：把x ＝3代入方程得：220x ax a −+=，解得a ＝9，则原方程为29180x x −+=，解得：123,6x x ==，因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC 的两条边长， ①当△ABC 的腰为3，底边为6时，不符合三角形三边关系②当△ABC 的腰为6，底边为3时，符合三角形三边关系，△ABC 的周长为6＋6＋3＝15，综上所述，△ABC 的周长为15．故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了解一元二次方程、等腰三角形的性质以及三角形三边关系．.8. .如图，在黄金矩形ABCD (AB BC >)的边AB 上取一点E ，使得BE BC =，连接DE ，则AEAD等于( )A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】利用黄金矩形的定理求出ADAB= ,再利用矩形的性质得1AE AB BE AB AD AB AD AD AD AD−−===−,代入求值即可解题. 【详解】解：∵矩形ABCD 中,AD=BC,根据黄金矩形的定义可知AD AB , ∵BE BC =，∴11AE AB BE AB AD ABAD AD AD AD −−===−=−= 故选B【点睛】本题考查了黄金矩形这一新定义,属于黄金分割概念的拓展,中等难度,读懂黄金矩形的定义,表示出边长比是解题关键.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（12分）9. 现有4种没有标签的无色溶液（蒸馏水、烧碱、稀盐酸、纯碱），任取其中两种滴加无色酚酞溶液（友情提示：酚酞遇蒸馏水、稀盐酸不变色，酚酞遇烧碱、纯碱变红色）颜色恰好都发生变化的概率是________．【答案】16【解析】【分析】蒸馏水、烧碱、稀盐酸、纯碱分别记为A B C D 、、、，画出树状图，找出颜色恰好都发生变化的等可能情况和所有等可能情况，根据概率公式进行求解即可．【详解】解：蒸馏水、烧碱、稀盐酸、纯碱分别记为A B C D 、、、，画树状图如下：∵颜色恰好都发生变化的是取到B D 、的情况有两种，共有12种等可能情况， ∴颜色恰好都发生变化的概率是21126=，故答案为：16【点睛】此题考查了树状图或列表法求概率，找出所有等可能情况数是解题的关键．10. 一元二次方程()()2311x x +−=的解为 __．【答案】1x =，2x =【解析】【分析】先化为一般形式，再用一元二次方程求根公式即可得到答案．【详解】解：()()2311x x +−=，化为一般形式得：2240x x +−=， ()2142433=−××−=△，∴x =∴1x =2x =故答案为：1x =2x = 【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的求根公式． 11. 已知a b ≠，且满足22510a a −+=，22510b b −+=，那么b aa b+的值为______. 【答案】212【解析】【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于ba −、两根之积等于c a”是解题的关键．由a 、b 满足的条件可得出a 、b 为方程22510x x −+=的两个实数根，根据根与系数的关系可得出52a b +=、12ab =，将其代入()22a b ab b a a b ab+−+=中可求出结论．【详解】解： a b ≠，且满足22510a a −+=，22510b b −+=，∴a 、b 为方程22510x x −+=的两个实数根，52a b ∴+=，12ab =，()222212221212252a b ab b a a b a b ab ab−× +−+ ∴+==== 故答案为：212． 12. 如图，矩形ABCD 中，15AD =，12AB =，E 是AAAA 上一点，且8AE =，F 是BC 上一动点，若将EBF △沿EF 对折后，点B 落在点P 处，则点P 到点D 的最短距离为______．【答案】13 【解析】【分析】连接PD ，DE，易得17DE ，4EB AB AE =−=，由翻折可得4PE EB ==，由EP DP DE +≥可知，当E ，P ，D 三点共线时，DP 最小，进而可得出答案．【详解】解：连接PD ，DE ，四边形ABCD 为矩形， 90A ∴∠=°，15AD = ，8AE=，17DE ∴=，12AB = ，4EB AB AE ∴=−=，由翻折可得PE EB =，4PE ∴=， EP DP DE +≥ ，∴当E ，P ，D 三点共线时，DP 最小， 17413DP DE EP ∴=−=−=最小值．故答案：13．【点睛】本题考查翻折变换(折叠问题)、矩形的性质，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键．三、解答题（62分）13. 某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50.7万个，求该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率．【答案】该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为30%．【解析】【分析】设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x ，根据一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50.7万个，列出方程，解方程即可得到答案．【详解】解：设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x ，由题意得，()230150.7x +=解得10.3x =，1 2.3x =−（不合题意，舍去）∴该厂家一月份到三月份口罩产量的月平均增长率为30%．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，准确列出方程是解题的关键．14. “当你背单词时，阿拉斯加的鳕鱼正跃出水面；当你算数学时，南太平洋的海鸥正掠过海岸；当你晚自习时，地球的极圈正五彩斑斓；但少年，梦要你亲自实现，那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现．”这是直播带货新平台“东方甄选”带货王董宇辉在推销鳕鱼时的台词．所推销鳕鱼的成本为每袋50元，当售价为每袋90元时，每分钟可销售100袋．为了吸引更多顾客，“东方甄选”采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每分钟可多销售10袋．（1）每袋鳕鱼的售价为多少元时，每分钟的销量为150袋？（2）“东方甄选”不忘公益初心，热心教育事业，其决定从每分钟利润中捐出500元帮助留守儿童，为为的了保证捐款后每分钟利润达到5500元，且要最大限度让利消费者，求此时鳕鱼销售单价为多少元？【答案】（1）每袋鳕鱼的售价为85元时，每分钟的销量为150袋．（2）鳕鱼的销售单价为70元．【解析】【分析】本题考查一元一次方程和一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意，找到等量关系，列出方程，进行解答．（1）设每袋鳕鱼的售价为x 元，根据题意，则()1090100150x −+=，解出x ，即可；（2）设此时鳕鱼的销售单价为y 元，根据题意，则方程为()()5010901005005500y y −×−+−=，解出方程，即可．【小问1详解】解：设每袋鳕鱼的售价为x 元，每分钟的销售量为150袋，∴()1090100150x −+=，解得：85x =，答：每袋鳕鱼的售价为85元时，每分钟的销售量为150袋．【小问2详解】解：设此时鳕鱼的销售单价为y 元，∴()()5010901005005500y y −×−+=，解得：170y =，280y =， ∵要最大限度让利消费者， ∴70y =，答：此时鳕鱼的销售单价为70元．15. 某公司去年10月份的营业额为2500万元，按计划12月的营业额要达到3600万元，那么该公司11月、12月两个月营业额的月均增长率是多少？（请列方程解答）【答案】20% 【解析】【分析】本题考查了一元二次方程应用中的增长率问题，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键；根据该公司10月份和12月份的营业额，即可得到关于x 的一元二次方程，解方程取其正值即可．【详解】解：设该公司11月、12月两个月营业额的月均增长率是x ，根据题意得：的的()2250013600x +=解得：10.220%x ==，2 2.2x =−（不合题意，舍去），答：该公司11月、12月两个月营业额的月均增长率是20%．16. 如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=°，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，点F 在BC 的延长线上，且CEF A ∠=∠．（1）求证：DE CF =；（2）若1BC =，3AB =，求四边形DCFE 的周长．【答案】（1）见解析（2）4 【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD AD BD ==，进而证明四边形DCEF 是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得证；（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD ，根据中位线的性质求得DE ，根据平行四边形的性质即可求解．【小问1详解】证明：90ACB ∠=° ，点D 是AB 中点，CD AD BD ∴==，DAC DCA ∴∠=∠，CEF A ∠=∠ ， CEF DCE ∴∠=∠，CD EF ∴∥，点E 是AC 中点，DE CF ∴∥，∴四边形DCEF 是平行四边形， DE CF ∴=；【小问2详解】解：1BC = ，3AB =，AD BD = ，AE CE =，1122DE BC CF ∴===， 3AB = ，四边形DCEF 是平行四边形，1322CD EF AB ∴===， ∴四边形DCFE 的周长为132422 +×=．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形中位线的性质，平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．17. 如图，ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点,E 点G 为AD 的中点，连接,CG CG 的延长线交BA 的延长线于点,F 连接FD ．（1）求证：AGF DGC ≌；（2）若,120,AG AB BAD =∠=°判断四边形ACDF 的形状，并证明你的结论．【答案】（1）见解析；（2）四边形ACDF 是矩形，理由见解析．【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质和平行线的性质得出FAG GDC ∠=∠，然后利用ASA 即可证明；（2）首先根据全等三角形的性质得出AF CD =，进而可证四边形ACDF 是平行四边形，然后利用平行四边形的性质和角度之间的关系得出AFG 是等边三角形，则有AG GF =，进而得出AD FC =，最后利用对角线相等的平行四边形是矩形即可证明．【详解】()1证明: 四边形ABCD 是平行四边形，//AB CD ∴，FAG GDC ∴∠=∠．点G 是AD 的中点，GA GD ∴=．又AGF DGC ∠=∠ ，()AGF DGC ASA ∴≅ ；()2解:四边形ACDF 是矩形.理由:AGF DGC ≌,AF CD ∴=，FG CG =．又//AB CD ，∴四边形ACDF 是平行四边形．四边形ABCD 是平行四边形，AB CD ∴=， AB AF ∴=．又AG AB = ，AG AF ∴=．120BAD ∠=° ，60FAG ∴∠=°，AFG ∴ 是等边三角形，AG GF ∴=．2,2AD AG FC FG == ，AD FC ∴=，∴四边形ACDF 是矩形．【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及性质，矩形的判定，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，掌握矩形的判定，全等三角形的判定及性质是解题的关键．。

2024-2025学年北师大版九年级数学上册期中考试一

2024-2025学年北师大版九年级数学上册期中考试一1.如果两个相似三角形的面积之比为，则它们的周长之比为（）A．B．C．D．2.一元二次方程的解是（）A．B．C．或D．3.关于双曲线，下列说法正确的是（）A．必经过点B．图象位于一、三象限C．随的增大而增大D．图象关于原点成中心对称4.如图，∥∥，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F．已知，则的值为（）A．B．C．D．5.用配方法解方程x2－4x＋3＝0，下列配方正确的是（）A．（x－2）2＝7B．（x＋2）2＝7C．（x＋2）2＝1D．（x－2）2＝1 6.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（）A．B．C．且D．且7.菱形的两条对角线长分别是12和16，则此菱形的周长是（）A．40B．50C．24D．328.反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．9.已知函数经过点，如果，那么（）A．B．C．D．10.如图，在中，，于D，，，则（）A．B．C．D．11.在某一时刻，测得一根高为m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为______________m．12.已知点都在反比例函数的图象上，则m的值为________．13.在一个不透明的袋子里有50个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复实验后，发现摸到红球的频率稳定在0.4，由此估计袋中红球的个数为________．14.如图，在四边形中，，平分，若，则的度数是___________．15.计算与解方程：(1)计算：(2)解方程：16.若关于的一元二次方程x 2+4x+2k=0有两个实数根，求的取值范围及的非负整数值.17.某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度．采用以下方法：如图，把支架放在离树适当距离的水平地面上的点处，再把镜子水平放在支架上的点处，然后沿着直线后退至点处，这时恰好在镜子里看到树的顶端．再用皮尺分别测量，观测者目高的长．利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知于点，于点于点米，米．米，米，求这棵树的高度（的长）．18.为了解今年初三学生的数学学习情况，某校对上学期的数学成绩作了统计分析，绘制得到如下图表．请结合图表所给出的信息解答下列问题：成绩频数频率优秀45b良好a0.3合格1050.35不合格60c （1）该校初三学生共有多少人？（2）求表中a，b，c的值，并补全条形统计图．（3）初三（一）班数学老师准备从成绩优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学做学习经验介绍，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．19.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，B两点．(1)求一次函数与反比例函数的表达式；(2)根据图象直接写出当时，与的大小；(3)连接，求的面积．20.在中，平分交于E．(1)若，求的长；(2)如图1，F是的中点，连接交于O，若，，求；(3)如图2，F是的中点，连接交于O，若，，求．21.已知一元二次方程的一个根为，则c的值为__________．22.有六张正面分别标有数字，0，1，2，3，4的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，则抽取的卡片上的数字为不等式组的解的概率为__．23.如图，在中，，，，则的值为___________．24.如图，在矩形中，，点P是边上一动点，连接，将沿翻折得到，过点A作于点E，直线与直线相交于点F，若，则的长为___________．25.如图，直线y＝﹣x+b与x、y轴的正半轴交于点A，B，与双曲线y＝﹣交于点C（点C在第二象限内），点D，过点C作CE⊥x轴于点E，记四边形OBCE的面积为S1，△OBD的面积为S2，若＝，则b的值为_____．26.某淘宝服装店购进一批甲、乙两种款式时尚T恤衫，甲种款式共用了元，乙种款式共用了元，甲种款式的件数是乙种款式件数的倍，甲种款式每件进价比乙种款式每件进价少元．(1)甲、乙两种款式的T恤衫各购进了多少件？(2)该网店在两种服装进价的基础上都提高销售，一段时间后，甲种款式全部售完，乙种款式还剩一半，商家决定对余下的乙种款式按标价的五折出售，售完后共获利元，求m的值．27.如图，在中，，，点为延长线上一点，连接，作于，交于点，作于，交于点Q．(1)求证：；(2)点E在的延长线上，且，连接，求证：；(3)在（2）的条件下，延长交于F，当时，求的值28.如图，一次函数（）的图象与坐标轴交于A，B两点，与反比例函数（）的图象交于M，N两点，过点M作MC⊥y轴于点C，已知CM=1．（1）求的值；（2）若，求反比例函数的解析式；（3）在（2）的条件下，设点P是x轴（除原点O外）上一点，将线段CP绕点P按顺时针或逆时针旋转90°得到线段PQ，当点P滑动时，点Q能否在反比例函数的图象上？如果能，求出所有的点Q的坐标；如果不能，请说明理由．。

山东济南市市中区实验教育集团度九年级上学期期中考试数学试题(解析版)

山东省济南市市中区实验教育集团2021－2021学年度第一学期期中质量检测九年级数学试题一．选择题（共12小题）1．下列方程中是一元二次方程的是（）A．（x+2）（x﹣3）＝x2B．y2＝6C．＝5 D．x2+3y＝1【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行判断．【解答】解：A、整理得﹣x﹣6＝0，它是一元一次方程，所以A选项错误；B、y2＝6为一元二次方程，所以B选项正确；C、﹣＝5为分式方程，所以C选项错误；D、x2+3y＝1为二元二次方程，所以D选项错误．故选：B．2．已知点（3，﹣4）在反比例函数y＝的图象上，则下列各点也在该反比例函数图象上的是（）A．（3，4）B．（﹣3，﹣4）C．（﹣2，6）D．（2，6）【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征进行判断．【解答】解：∵点（3，﹣4）在反比例函数y＝的图象上，∴k＝3×（﹣4）＝﹣12，而3×4＝﹣3×（﹣4）＝2×6＝12，﹣2×6＝﹣12，∴点（﹣2，6）在该反比例函数图象上．故选：C．3．如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已如OB＝3OB′，则△A′B′C′与△ABC的周长比为（）A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．l：9【分析】根据位似变换的概念得到△ABC∽△A′B′C′，A′B′∥AB，根据相似三角形的周长比等于相似比解答即可．【解答】解：∵以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，∴△ABC∽△A′B′C′，A′B′∥AB，∴△OA′B′∽△OAB，∴＝＝，∴△A′B′C′与△ABC的周长比＝＝，故选：A．4．抛物线y＝2x2，y＝﹣x2，y＝x2共有的性质是（）A．开口向下B．对称轴是y轴C．都有最低点D．y随x的增大而减小【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以解答本题．【解答】解：抛物线y＝2x2，y＝﹣x2，y＝x2共有的性质是顶点坐标是都是（0，0），对称轴都是y轴，故选项B符合题意，选项A、C、D不符合题意，故选：B．5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则cos B的值为（）A．B．C．D．【分析】利用同角、互为余角的三角函数关系式．【解答】解：∵A、B互为余角，∴cos B＝sin（90°﹣B）＝sin A＝．故选：D．6．关于x的方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（）A．m＞B．m＜﹣C．m＝D．m＜【分析】若一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式△＝b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，a＝1，b＝﹣3，c＝m，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×m＞0，解得m＜．故选：D．7．如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF ＝4：25，则DE：EC＝（）A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：2【分析】先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根据S△DEF：S△ABF＝4：25即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出DE：AB的值，由AB＝CD即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EAB＝∠DEF，∠AFB＝∠DFE，∴△DEF∽△BAF，∵S△DEF：S△ABF＝4：25，∴DE：AB＝2：5，∵AB＝CD，∴DE：EC＝2：3．故选：B．8．函数y＝x+m与（m≠0）在同一坐标系内的图象可以是（）A．B．C．D．【分析】先根据一次函数的性质判断出m取值，再根据反比例函数的性质判断出m的取值，二者一致的即为正确答案．【解答】解：A、由函数y＝x+m的图象可知m＜0，由函数y＝的图象可知m＞0，相矛盾，故错误；B、由函数y＝x+m的图象可知m＞0，由函数y＝的图象可知m＞0，正确；C、由函数y＝x+m的图象可知m＞0，由函数y＝的图象可知m＜0，相矛盾，故错误；D、由函数y＝x+m的图象可知m＝0，由函数y＝的图象可知m＜0，相矛盾，故错误．故选：B．9．如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（）A．B．1 C．D．【分析】连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形，即可求出所求．【解答】解：连接BC，由网格可得AB＝BC＝，AC＝，即AB2+BC2＝AC2，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°，则tan∠BAC＝1，故选：B．10．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H 在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（）A．2 B．3 C．5 D．6【分析】连接EF交AC于O，由四边形EGFH是菱形，得到EF⊥AC，OE＝OF，由于四边形ABCD是矩形，得到∠B＝∠D＝90°，AB∥CD，通过△CFO≌△AOE，得到AO＝CO，求出AO＝AC＝2，根据△AOE∽△ABC，即可得到结果．【解答】解；连接EF交AC于O，∵四边形EGFH是菱形，∴EF⊥AC，OE＝OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB，在△CFO与△AOE中，，∴△CFO≌△AOE，∴AO＝CO，∵AC＝＝4，∴AO＝AC＝2，∵∠CAB＝∠CAB，∠AOE＝∠B＝90°，∴△AOE∽△ABC，∴，∴，∴AE＝5．故选：C．11．如图所示，正方形ABCD中，BE＝EF＝FC，CG＝2GD，BG分别交AE，AF于M，N，下列结论：①AF⊥BG；②BN＝NF；③＝；④S四边形CGNF＝S四边形ANGD．其中正确的结论的序号是（）A．①③B．②④C．①②D．③④【分析】①易证△ABF≌△BCG，即可解题；②易证△BNF∽△BCG，即可求得的值，即可解题；③作EH⊥AF，令AB＝3，即可求得MN，BM的值，即可解题；④连接AG，FG，根据③中结论即可求得S四边形CGNF和S四边形ANGD，即可解题．【解答】解：①∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝CD，∵BE＝EF＝FC，CG＝2GD，∴BF＝CG，∵在△ABF和△BCG中，，∴△ABF≌△BCG，∴∠BAF＝∠CBG，∵∠BAF+∠BF A＝90°，∴∠CBG+∠BF A＝90°，即AF⊥BG；①正确；②∵在△BNF和△BCG中，∠CBG＝∠NBF，∠BCG＝∠BNF＝90°，∴△BNF∽△BCG，∴＝＝，∴BN＝NF；②错误；③作EH⊥AF，令AB＝3，则BF＝2，BE＝EF＝CF＝1，AF＝＝，∵S△ABF＝AF•BN＝AB•BF，∴BN＝，NF＝BN＝，∴AN＝AF﹣NF＝，∵E是BF中点，∴EH是△BFN的中位线，∴EH＝，NH＝，BN∥EH，∴AH＝，＝，解得：MN＝，∴BM＝BN﹣MN＝，MG＝BG﹣BM＝，∴＝；③正确；④连接AG，FG，根据③中结论，则NG＝BG﹣BN＝，∵S四边形CGNF＝S△CFG+S△GNF＝CG•CF+NF•NG＝1+＝，S四边形ANGD＝S△ANG+S△ADG＝AN•GN+AD•DG＝+＝，∴S四边形CGNF≠S四边形ANGD，④错误；故选：A．12．在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点P（x，y），我们把的P′（，）称为点P的“倒影点”．直线y＝﹣2x+1上有两点A、B，它们的倒影点A′、B′均在反比例函数y＝的图象上，若AB＝，则k的值为（）A．﹣B．﹣C．5 D．10【分析】设点A（a，﹣2a+1），B（b，﹣2b+1）（a＜b），则A′（，），B′（，），由AB＝可得出b＝a+1，再根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k、a、b的方程组，解之即可得出k值．【解答】解：设点A（a，﹣2a+1），B（b，﹣2b+1）（a＜b），则A′（，），B′（，），∵AB＝＝＝（b﹣a）＝，∴b﹣a＝1，即b＝a+1．∵点A′，B′均在反比例函数y＝的图象上，∴k＝•＝•，解得：k＝﹣，故选：A．二．填空题（共6小题）13．已知3x＝5y，则＝．【分析】根据两外项的积等于两内项的积，可得答案．【解答】解：∵3x＝5y，∴＝，故答案为：．14．抛物线y＝（x﹣1）2﹣3的顶点坐标是（1，﹣3）．【分析】根据抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（h，k）直接写出即可．【解答】解：抛物线y＝（x﹣1）2﹣3的顶点坐标是（1，﹣3）．故答案为（1，﹣3）．15．若x＝﹣2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+8＝0的一个解，则m的值是﹣6．【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x＝﹣2代入一元二次方程得到关于m的一次方程，然后解此一元一次方程即可得到m的值．【解答】解：把x＝﹣2代入方程x2﹣mx+8＝0得4+2m+8＝0，解得m＝﹣6．故答案为﹣6．16．如图，无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°，如果无人机距地面高度CD为米，点A、D、B在同一水平直线上，则A、B两点间的距离是100（1+）米．（结果保留根号）【分析】如图，利用平行线的性质得∠A＝60°，∠B＝45°，在Rt△ACD中利用正切定义可计算出AD＝100，在Rt△BCD中利用等腰直角三角形的性质得BD＝CD＝100，然后计算AD+BD即可．【解答】解：如图，∵无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°，∴∠A＝60°，∠B＝45°，在Rt△ACD中，∵tan A＝，∴AD＝＝100，在Rt△BCD中，BD＝CD＝100，∴AB＝AD+BD＝100+100＝100（1+）．答：A、B两点间的距离为100（1+）米．故答案为100（1+）．17．如图，在平面直角坐标系中，菱形形ABCD的顶点A、B在反比例函数y＝（k＞0，x ＞0）的图象上，横坐标分别为1，4，对角线BD∥x轴，若菱形ABCD的面积为9．则k 的值为10．【分析】根据题意，利用面积法求出AE，设出点B坐标，表示点A的坐标．应用反比例函数上点的横纵坐标乘积为k构造方程求k．【解答】解：连接AC分别交BD、x轴于点E、F．由已知，A、B横坐标分别为1，4，∴BE＝3，∵四边形ABCD为菱形，AC、BD为对角线∴S菱形ABCD＝4×AE•BE＝9，∴AE＝，设点B的坐标为（4，y），则A点坐标为（1，y+）∵点A、B同在y＝图象上∴4y＝1•（y+）∴y＝，∴B点坐标为（4，）∴k＝10故答案为10．18．已知正方形ABC1D1边长为1，延长C1D1到A1，以A1C1为边向右作正方形A1C1C2D2，延长C2D2到A2，以A2C2为边向右作正方形A2C2C3D3（如图），以比类推……若A1C1＝2，且点A、D2，D3，……D n在同一直线上，则正方形A n﹣1C n﹣1∁n D n的边长是．【分析】延长D4A和C1B交于O，根据正方形的性质和三角形相似的性质即可求得各个正方形的边长，从而得出规律，即可得出结果．【解答】解：延长D4A和C1B交于O，∵AB∥A2C2，∴△AOB∽△D2OC2，∴＝，∵AB＝BC1＝1，D2C2＝C1C2＝2，∴＝＝，∴OC2＝2OB，∴OB＝BC2＝3，∴OC2＝6，设正方形A2C2C3D3的边长为x1，同理证得：△D2OC2∽△D3OC3，∴＝，解得，x1＝3，∴正方形A2C2C3D3的边长为3，设正方形A3C3C4D4的边长为x2，同理证得：△D3OC3∽△D4OC4，∴＝，解得x2＝，∴正方形A3C3C4D4的边长为；设正方形A4C4C5D5的边长为x3，同理证得：△D4OC4∽△D5OC5，∴＝，解得：x3＝，∴正方形A4C4C5D5的边长为；以此类推…．正方形A n∁n C n+1D n+1的边长为，∴正方形A n﹣1C n﹣1∁n D n的边长是；故答案为：．三．解答题（共9小题）19．计算：2sin60°﹣3tan30°+（）0+（﹣1）2021．【分析】本题涉及零指数幂、有理数的乘方、特殊角的三角函数值三个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式＝2×﹣3×+1﹣1＝0．20．计算：x（x﹣2）＝x﹣2．【分析】先移项得到x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，（x﹣2）（x﹣1）＝0，x﹣2＝0或x﹣1＝0，所以x1＝2，x2＝1．21．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE ＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝，CD＝8m，求树高AB．【分析】先判定△DEF和△DBC相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC的长，再加上AC即可得解．【解答】解：在△DEF和△DBC中，，∴△DEF∽△DBC，∴＝，即＝，解得BC＝4，∵AC＝，∴AB＝AC+BC＝+4＝，即树高．22．在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年9月份的14000元/m2下降到11月份的12600元/m2．（1）问10、11两月平均每月降价的百分率是多少（参考数据：≈）（2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到12月份该市的商品房成交均价是否会跌破12000元/m2请说明理由．【分析】（1）设10、11两月平均每月降价的百分率是x，那么10月份的房价为14000（1﹣x），11月份的房价为14000（1﹣x）2，然后根据11月份的12600元/m2即可列出方程解决问题；（2）根据（1）的结果可以计算出11月份商品房成交均价，然后和12000元/m2进行比较即可作出判断．【解答】解：（1）设10、11两月平均每月降价的百分率是x，则10月份的成交价是14000﹣14000x＝14000（1﹣x），11月份的成交价是14000（1﹣x）﹣14000（1﹣x）x＝14000（1﹣x）（1﹣x）＝14000（1﹣x）2∴14000（1﹣x）2＝12600，∴（1﹣x）2＝，∴x1≈＝5%，x2≈（不合题意，舍去）．答：10、11两月平均每月降价的百分率是5%；（2）会跌破12000元/m2．如果按此降价的百分率继续回落，估计12月份该市的商品房成交均价为：12600（1﹣x）2＝12600×＝＜12000．由此可知12月份该市的商品房成交均价会跌破12000元/m2．23．如图，正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，过B点作BH⊥AE，垂足为点H，延长BH交CD于点F，连接AF．（1）求证：AE＝BF；（2）若正方形边长为5，BE＝2，求sin∠DAF的值．【分析】（1）证明△ABE≌△BCF即可；（2）由（1）可得CF＝BE＝2，则DF＝3，利用勾股定理求出AF值，借助DF与AF之比可求sin∠DAF值．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF．∵∠BAE+∠ABH＝90°，∠FBC+∠ABH＝90°，∴∠BAE＝∠FBC．∴△ABE≌△BCF（ASA）．∴AE＝BF．（2）∵△ABE≌△BCF，∴CF＝BE＝2．∴DF＝DC﹣FC＝5﹣2＝3．在Rt△ADF中，利用勾股定理可得AF＝，∴sin∠DAF＝＝．24．近几年，济南市不断加强道路交通建设，同时推进风景区开发，如图是南部山区新建景点．小明想测山高，他在B处仰望山顶A，测得仰角∠B＝30°，再往山的方向（水平方向）前进80m至C处，再仰望山顶A，测得仰角∠ACD＝45°．求这座山的高度AD．（取，结果精确到）【分析】设AC＝xm，根据正切的概念表示出CD、BD，根据题意列出方程，解方程即可．【解答】解：设AC＝xm，∵∠ACD＝45°，∴CD＝AD＝xm，tan B＝，∴BD＝x，则BD﹣CD＝BC，即x﹣x＝80，解得x＝40（+1）≈．答：这座山的高度为；25．如图，四边形ABCD为正方形．点A的坐标为（0，2），点日B的坐标为（0，﹣3），反比例函数y＝的图象经过点C，一次函数y＝ax+b的图象经过点C和点A．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）写出ax+b＞的解集；（3）点P是反比例函数图象上的一点，若△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求P点坐标．【分析】（1）先根据正方形的性质求出点C的坐标为（5，﹣3），再将C点坐标代入反比例函数中，运用待定系数法求出反比例函数的解析式；同理，将点A，C的坐标代入一次函数y＝ax+b中，运用待定系数法求出一次函数函数的解析式；（2）解析式联立，求得M的坐标，然后根据图象即可求得；（3）设P点的坐标为（x，y），先由△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，列出关于x的方程，解方程求出x的值，再将x的值代入反比例函数解析式，即可求出P点的坐标．【解答】解：（1）∵正方形ABCD，A（），B（0，﹣3）．∴C（5，﹣3），D（5，﹣3）．∵y＝的图象经过点C，∴﹣3＝，即k＝﹣15，∴反比例函数为y＝﹣；∵一次函数y＝ax+b的图象经过点C和点A，∴，解得，∴一次函数为y＝﹣x+2；（2）解得或，∴M（﹣3，5），C（5，﹣3），由图可得，ax+b＞的解集是：x＜﹣3或0＜x＜5；（3）设P点的坐标为（x，y）．∵S△OAP＝S正方形ABCD，∴×2|x|＝52，解得x＝±25当x＝25时，y＝﹣＝﹣；当x＝﹣25时，y＝＝，∴P点的坐标为（25，﹣）或（﹣25，）．26．已知∠EDF的顶点D在△ABC的边AB所在直线上（不与A，B重合），DE交AC所在直线于点M，DF交BC所在直线于点N，设AM＝x，BN＝y，记△ADM的面积为S1，△BND 的面积为S2．（1）如图（1），当△ABC是等边三角形，AB＝6，∠EDF＝∠A，且DE∥BC，AD＝2时，S1•S2＝12；（2）在（1）的条件下，将点D沿AB平移，使AD＝4，再将∠EDF绕点D旋转如图（2）所示位置，①求y与x的函数关系式；②求S1•S2的值；（3）当△ABC是等腰三角形时，设∠B＝∠A＝∠EDF＝α，如图（3），当点D在BA的延长线上运动时，设的AD＝a，BD＝b，直接写出S1•S2的关系式（用含a、b和α的三角函数表示）【分析】（1）首先证明△ADM，△BDN都是等边三角形，可得S1＝•22＝，S2＝•（4）2＝4，由此即可解决问题．（2）①如图2中，首先证明△AMD∽△BDN，可得＝，推出＝，推出xy＝8．②由S1＝•AD•AM•sin60°＝x，S2＝DB•BN•sin60°＝y，可得S1•S2＝x•y＝xy＝12．（3）如图3中，设AM＝x，BN＝y，同法可证△AMD∽△BDN，可得xy＝ab，由S1＝•AD•AM•sinα＝ax sinα，S2＝DB•BN•sinα＝by sinα，可得S1•S2＝（ab）2sin2α．【解答】解：（1）如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝CB＝AC＝6，∠A＝∠B＝60°，∵DE∥BC，∠EDF＝60°，∴∠BND＝∠EDF＝60°，∴∠BDN＝∠ADM＝60°，∴△ADM，△BDN都是等边三角形，∴S1＝•22＝，S2＝•42＝4，∴S1•S2＝12，故答案为12．（2）如图2中，①∵AM＝x，BN＝y，∠MDB＝∠MDN+∠NDB＝∠A+∠AMD，∠MDN＝∠A，∴∠AMD＝∠NDB，∵∠A＝∠B，∴△AMD∽△BDN，∴＝，∴＝，∴xy＝8，②∵S1＝•AD•AM•sin60°＝x，S2＝DB•BN•sin60°＝y，∴S1•S2＝x•y＝xy＝12．（3）如图3中，∵AM＝x，BN＝y，同法可证△AMD∽△BDN，可得xy＝ab，∵S1＝•AD•AM•sinα＝ax sinα，S2＝DB•BN•sinα＝by sinα，∴S1•S2＝（ab）2sin2α．27．如图，在矩形ABCD中，点O为坐标原点，点B的坐标为（4，3），点A、C在坐标轴上，点P在BC边上，直线11：y＝﹣2x+3，直线12：y＝2x﹣3．（1）分别求直线11与x轴、直线12与AB的交点D和E的坐标；（2）已知点M在矩形ABCD内部，且是直线12上的点，若△APM是等要直角三角形，求点M的坐标；（3）我们把直线11和直线12上的点所组成的图形称为图形F．已知矩形ANPQ的顶点N在图形F上，且在AP的上方，Q是坐标平面内的点，设N点的横坐标为x，请直接写出x的取值范围（不必说明理由）．【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征可求直线l1与x轴，直线l2与AB的交点坐标；（2）分三种情况：①若点A为直角顶点时，点M在第一象限；②若点P为直角顶点时，点M在第一象限；③若点M为直角顶点时，点M在第一象限；进行讨论可求点M的坐标；（3）根据矩形的性质和N在AP的上方，可求N点的横坐标x的取值范围．【解答】解：（1）直线l1：当y＝0时，2x+3＝0，x＝﹣，则直线l1与x轴坐标为（﹣，0）直线l2：当y＝3时，2x﹣3＝3，x＝3则直线l2与AB的交点坐标为（3，3）；（2）①若点A为直角顶点时，点M在第一象限，连结AC，如图1所示：∠APB＞∠ACB＞45°，∴△APM不可能是等腰直角三角形，∴点M不存在；②若点P为直角顶点时，点M在第一象限，如图2所示：过点M作MN⊥CB，交CB的延长线于点N，则∠PNM＝∠ABP＝90°，∠BAP＝∠NPM，在△ABP和△PNM中，，∴△ABP≌△PNM（AAS），∴AB＝PN＝4，MN＝BP，设M（x，2x﹣3），则MN＝x﹣4，∴2x﹣3＝4+3﹣（x﹣4），x＝，∴M（，）；③若点M为直角顶点时，点M在第一象限，如图3所示：设M1（x，2x﹣3），过点M1作M1G1⊥OA，交BC于点H1，同理：△AM1G1≌△PM1H1（AAS），∴AG1＝M1H1＝3﹣（2x﹣3），∴x+3﹣（2x﹣3）＝4，x＝2∴M1（2，1）；设M2（x，2x﹣3），同理可得x+2x﹣3﹣3＝4，∴x＝，∴M2（，）；综上所述，点M的坐标为（，），（2，1），（，）；（3）当点N在直线l2上时，∵点N的横坐标为x，∴N（x，2x﹣3），当点P和点B重合时，P（4，3），过N作NH⊥AB于H，则△NHG是直角三角形，如图4所示：∴AP的中点G坐标为（2，3），∵四边形ANPQ是矩形，∴∠ANB＝90°，∴NG＝AP＝2，∴（x﹣2）2+（2x﹣3﹣3）2＝4，∴x＝（点N在AB上方的横坐标）或x＝2（点N在AP下方的横坐标，不合题意舍去），当点P和点C重合时，连接NG′，过N作NH⊥G′H于H，则△NHG′是直角三角形，如图5所示：P（4，0），AP的中点G'坐标为（2，），同理：NG'＝AP＝，∴（x﹣2）2+（2x﹣3﹣）2＝，∴x＝（点N在AB上方构成的四边形是矩形的横坐标）或x＝（点N 在AP下方构成的四边形是矩形的横坐标，不合题意舍去），∴≤x≤，当点N在l1上时，点P和点B重合时，连接NG，过N作NH⊥AB于H，则△NHG是直角三角形，如图6所示：同理：（2﹣x）2+x2＝4，解得：x＝，∴0＜x≤，当点P和点C重合时，N在AP的下方，不合题意，∴x的取值范围为：0＜x≤或≤x≤．。

2023-2024学年全国初中九年级上数学人教版期中考试试卷(含答案解析)

20232024学年全国初中九年级上数学人教版期中考试试卷(含答案解析)一、选择题（每题2分，共40分）1. 下列选项中，哪个是方程的正确表示形式？A. 2x + 3 = 7B. x + y = 5C. 3x 4yD. 2(x + 1) = 62. 下列哪个选项是二元一次方程组？A. 3x + 4y = 7B. 2x y = 5C. 4x + 3y = 8D. 3x + 2y = 6, 2x y = 43. 下列哪个选项是二次方程？A. x^2 5x + 6 = 0B. 2x + 3 = 7C. x^2 + 3x + 2D. 3x^2 4x4. 下列哪个选项是一次函数的图像？A. y = x^2B. y = 2x + 3C. y = x^3D. y = 1/x5. 下列哪个选项是反比例函数的图像？A. y = x^2B. y = 2x + 3C. y = 1/xD. y = x^36. 下列哪个选项是二次函数的图像？A. y = x^2B. y = 2x + 3C. y = 1/xD. y = x^37. 下列哪个选项是等差数列的通项公式？A. a_n = a_1 + (n 1)dB. a_n = a_1 + ndC. a_n = a_1 + (n + 1)dD. a_n = a_1 + (n 2)d8. 下列哪个选项是等比数列的通项公式？A. a_n = a_1 r^(n 1)B. a_n = a_1 r^nC. a_n = a_1 r^(n + 1)D. a_n = a_1 r^(n 2)9. 下列哪个选项是概率的基本性质？A. 0 <= P(A) <= 1B. P(A) > 1C. P(A) < 0D. P(A) = 210. 下列哪个选项是勾股定理的表述？A. a^2 + b^2 = c^2B. a^2 b^2 = c^2C. a^2 + c^2 = b^2D. a^2 c^2 = b^2二、填空题（每题2分，共20分）1. 一元一次方程的解是________。

广东省广州市中山大学附属中学2022—2023-学年九年级上学期数学期中考试卷(解析版)

2022-2023学年上学期中大附中初三11月数学线上测评姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（共30分）1.下列美丽的壮锦图案是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据中心对称图形的定义逐项进行判断即可得．【详解】A、是中心对称图形，故此选项正确，符合题意；B、不是中心对称图形，故此选项错误，不符合题意；C、不是中心对称图形，故此选项错误，不符合题意；D、不是中心对称图形，故此选项错误，不符合题意，故选A．【点睛】本题主要考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键；把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．2.下列图形中，∠B＝2∠A的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据圆周角定理对各选项进行逐一分析即可．【详解】解：A中，∠A=∠B；B中，∠A与∠B的大小无法判定；C中，∠A+∠B=180°；D中，∠B=2∠A．故选D．【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．3.已知⊙O的半径为3，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与⊙O的位置关系是（）A.无法确定B.相切C.相交D.相离【答案】C【解析】【分析】判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r；②直线l和⊙O相切⇔d=r；③直线l和⊙O相离⇔d＞r．【详解】解：∵⊙O的半径为3，圆心O到直线L的距离为2，∴r=3，d=2，∴d＜r，∴直线与圆相交，故选C．【点睛】本题考查直线由圆位置关系，记住．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d=r③直线l 和⊙O相离⇔d＞r是解题的关键．4.如图，将含45°的直角三角板ABC绕着点A顺时针旋转到△ADE处（点C，A，D在一条直线上），则这次旋转的旋转角为（）A.45°B.90°C.135°D.180°【答案】C【解析】【分析】根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，据此即可求解．【详解】旋转角是∠BAD=180°﹣45°=135°．故选C．5.下列说法错误的是（）A.直径是圆中最长的弦B.长度相等的两条弧是等弧C.面积相等的两个圆是等圆D.半径相等的两个半圆是等弧【答案】B【解析】【分析】根据直径的定义对A进行判断；根据等弧的定义对B进行判断；根据等圆的定义对C进行判断；根据半圆和等弧的定义对D进行判断．【详解】解：A、直径是圆中最长的弦，所以选项的说法正确，不符合题意；B、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以选项的说法错误，符合题意；C、面积相等的两个圆的半径相等，则它们是等圆，所以选项的说法正确，不符合题意；D、半径相等的两个半圆是等弧，所以D选项的说法正确，不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了圆的认识，解题的关键是掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．6.如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，连接AC，BC，AD，CD．若∠CAB=55°，则∠ADC的度数为（）A.55°B.45°C.35°D.25°【答案】C【解析】【分析】证出Rt△ABC，求出∠B的度数，由圆周角定理即可推出∠ADC的度数．的直径，【详解】解：∵AB是O∴∠=︒，ACB90，∠=︒55CABB∴∠=︒，35∴∠=∠=︒35.ADC B故选C ．【点睛】本题考查了圆周角定理等及其推论，解题关键是能够灵活运用圆周角定理及其推论．7.如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，将Rt ABC 绕点C 按顺时针方向旋转一定角度得到DEC Rt △，点D 恰好落在边AB 上．若20B ∠=︒，则BCE ∠的度数为（）A.20︒B.40︒C.60︒D.80︒【答案】B【解析】【分析】根据直角三角形性质先求出70A ∠=︒，再利用旋转及等腰三角形性质求得40ACD ∠=︒，即可得出结论．【详解】解：∵90ACB ∠=︒，20B ∠=︒，∴70A ∠=︒．由旋转知，CA CD =，ACD BCE ∠=∠．∴70ADC A ∠=∠=︒．∴40ACD ∠=︒．∴40BCE ∠=︒．故选：B ．【点睛】本题主要考查了旋转性质，熟练掌握旋转及等腰三角形的性质是解答此题的关键．8.如图，等边三角形ABC 的边长为2，CD AB ⊥于D ，若以点C 为圆心，CD 为半径画弧，则图形阴影部分的面积是（）A.12π- B.π- C.43π D.23π-【答案】A【解析】【详解】在等边三角形中，边长为2，=阴影部分的面积为等边三角形的面积减去60°扇形的面积，即143462S ππ=⨯-⨯=.故选A.9.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，点I 是△ABC 的内心，∠AIC =124°，点E 在AD 的延长线上，则∠CDE 的度数为（）A.56°B.62°C.68°D.78°【答案】C【解析】【分析】由点I 是△ABC 的内心知∠BAC =2∠IAC 、∠ACB =2∠ICA ，从而求得∠B =180°﹣（∠BAC +∠ACB ）=180°﹣2（180°﹣∠AIC ），再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答案．【详解】解：∵点I 是△ABC 的内心，∴∠BAC =2∠IAC 、∠ACB =2∠ICA ，∵∠AIC =124°，∴∠B =180°﹣（∠BAC +∠ACB ）=180°﹣2（∠IAC +∠ICA ）=180°﹣2（180°﹣∠AIC ）=68°，又四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠CDE =∠B =68°，故选：C ．【点睛】本题主要考查三角形的内切圆与内心，解题的关键是掌握三角形的内心的性质及圆内接四边形的性质．10.如图，在平面直角坐标系中，A （0，3）、B （3，0），以点B 为圆心、2为半径的⊙B 上有一动点P ．连接AP ，若点C 为AP 的中点，连接OC ，则OC 的最小值为（）A.1B.﹣1 C. D.322﹣1【答案】D【解析】【分析】确定点C 的运动路径是:以D 为圆心,以1DC 为半径的圆,当O 、C 、D 共线时,OC 的长最小,先求 D的半径为1,说明D 是AB 的中点,根据直角三角形斜边中线是斜边一半可得所以OC 的最小值是1-.【详解】当点P 运动到AB 的延长线上时,即如图中点1P ,1C 是1AP 的中点，当点P 在线段AB 上时,2C 是中点,取12C C 的中点为D ，点C 的运动路径是以D 为圆心,以D 1C 为半径的圆(CA:PA=1:2,则点C 轨迹和点P 轨迹相似,所以点C 的轨迹就是圆),当O 、C 、D 共线时,OC 的长最小，设线段AB 交 B 于Q ，Rt AOB ∆中，OA=3,OB=3,A B ∴=.B 半径为2,112,BP AP ∴==1C 是1AP 的中点,11,2,AC AQ ∴==2C 是AQ 的中点,221,AC C Q ∴==12112,C C ⎫=-=⎪⎭即D 半径为1,111,2AD AB =+== 12OD AB ∴==1.OC ∴=故选D.【点睛】本题考查了图形与坐标的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、圆的性质、两点之间线段最短,确定出OC 最小时点C 的位置是解题关键,也是本题的难点二、填空题（共18分）11.正八边形的中心角等于______度【答案】45【解析】【分析】已知该多边形为正八边形，代入中心角公式即可得出360360458n ︒︒==︒．【详解】∵该多边形为正八边形，故n =8∴360360458n ︒︒==︒故答案为：45．【点睛】本题考查了正多边形的中心角，把一个圆分成n （n 是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，正n 边形的每个中心角都等于360n︒．12.如图AB 、AC 、BD 是圆O 的切线，切点分别为P 、C 、D ，若5AB =，2BD =，则AC 的长是______．【答案】3【解析】【分析】根据切线长定理得到AC ＝AP ，BP ＝BD ＝2，然后求出AP 即可．【详解】解：∵AB 、AC 、BD 是圆O 的切线，∴AC ＝AP ，BP ＝BD ＝2，∵AP ＝AB ﹣BP ＝5﹣2＝3，∴AC ＝3．故答案为3．【点睛】本题考查了切线长定理，解题关键是熟记切线长定理，得出线段的等量关系．13.已知二次函数23y x x m =-+（m 为常数）的图像与x 轴的一个交点为()1,0，则与x 轴的另一个交点的坐标为_______．【答案】(2,0)【解析】【分析】确定函数的对称轴322b x a =-=，即可求出与x 轴的另一个交点的坐标．【详解】解：函数的对称轴为322b x a =-=，该函数的图像与x 轴的一个交点为()1,0，则与x 轴的另一个交点的坐标为(2,0)．故答案为：(2,0)．【点睛】本题主要考查了抛物线与x 轴的交点，解题的关键是熟练掌握抛物线的对称性，根据对称性找到交点坐标．14.如图，圆锥的高4AO =，底面圆半径为3，则圆锥的侧面积为___________．【答案】15π【解析】【分析】先利用勾股定理计算出圆锥的母线长，然后利用扇形的面积公式计算．【详解】解：圆锥的高4AO=，底面圆半径为3，∴圆锥的母线长5==，∴圆锥的侧面积152π315π2=⨯⨯⨯=，故答案为：15π．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．15.如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（3，2）、（﹣1，0），若将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段BA′，则点A′的坐标为_____．【答案】（1，﹣4）【解析】【分析】作AC⊥x轴于C，利用点A、B的坐标得到AC=2，BC=4，根据旋转的定义，可把Rt△BAC绕点B顺时针旋转90°得到△BA′C′，如图，利用旋转的性质得BC′=BC=4，A′C′=AC=2，于是可得到点A′的坐标．【详解】解：作AC⊥x轴于C，∵点A、B的坐标分别为（3，2）、（﹣1，0），∴AC＝2，BC＝3+1＝4，把Rt△BAC绕点B顺时针旋转90°得到△BA′C′，如图，∴BC′＝BC＝4，A′C′＝AC＝2，∴点A′的坐标为（1，﹣4）．故答案为（1，﹣4）．【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．解决本题的关键是把线段的旋转问题转化为直角三角形的旋转．16.如图，已知△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC =将△ABC 绕点A 逆时针反向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B ，则C′B 的长为_____．【答案】1【解析】【分析】连接BB ′，设BC ′与AB ′交点为D ，根据∠C ＝90°，AC ＝BC =，得到AB ===2，根据旋转，得到∠AC ′B ′＝∠ACB ＝90°，AC ′＝AC ＝B ′C ′＝BC ，AB ＝AB ′＝2，∠BAB ′＝60°，推出BC ′垂直平分AB ′，△ABB ′为等边三角形，得到C ′D 12=AB ′＝1，'60ABB ∠=︒，推出1''302ABD B BD ABB ∠=∠=∠=︒，得到BD 32=AB ′=C ′B ＝C ′D ＋BD ＝1【详解】解：连接BB ′，设BC ′与AB ′交点为D ，如图，△ABC ＝BC =∴AB ===2，∵△ABC 绕点A 逆时针反向旋转60°到△AB ′C ′的位置，∴∠AC ′B ′＝∠ACB ＝90°，AC ′＝AC ＝B ′C ′＝BC ，AB ＝AB ′＝2，∠BAB ′＝60°，∴BC ′垂直平分AB ′，△ABB ′为等边三角形，∴C ′D 12=AB ′＝1，'60ABB ∠=︒，∴1''302ABD B BD ABB ∠=∠=∠=︒，∴BD ==∴C ′B ＝C ′D ＋BD ＝1故答案为1．【点睛】本题考查了旋转图形全等的性质，线段垂直平分线判定和性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，含30°角的直角三角形边的性质，作辅助线构造出等边三角形，求出'C D ，BD 的长是解题的关键．三、解答题（共72分）17.解方程：（1）240x x -=（2）24430x x --=（3）22(2)(23)x x -=+【答案】（1）120,4x x ==（2）1213,22x x =-=（3）1215,3x x =-=-【解析】【分析】（1）因式分解法解方程；（2）因式分解法解方程；（3）直接开方法解方程．【小问1详解】解：240x x -=()40x x -=，解得：120,4x x ==；【小问2详解】24430x x --=()()21230x x +-=，解得：1213,22x x =-=；【小问3详解】解：22(2)(23)x x -=+223x x -=+或()223x x -=-+，解得：5x =-或13x =-，∴1215,3x x =-=-．【点睛】本题考查解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．18.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠A =45°，BD 是直径，且BC =2，连接CD ，求BD 的长．【答案】【解析】【分析】先根据圆周角定理可求出∠D =45°，∠BCD =90°，再根据三角形内角和定理可知△BCD 是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义即可求出BC 的长．【详解】解：在⊙O 中，∵∠A ＝45°，∴∠D ＝45°.∵BD 为⊙O 的直径，∴∠BCD ＝90°，∴BC ＝BD ·sin45°＝2×22＝.19.如图，O 的直径AB 与弦CD 交于点E ，3026DEB AE EB ∠=︒==，，，求CD 的长．【答案】【解析】【分析】作OH CD ⊥，根据26AE EB ==，得到半径为4，进而得出2EO =，根据含30度角的直角三角形的性质得到1HO =，在Rt HOD 中，勾股定理求得HD =【详解】作OH CD ⊥，连接OD ，∵26AE EB ==，，∴O 的半径为4，∴422EO AO AE =-=-=，在Rt OHE △中，30HEO DEB ∠=∠=︒，∴112OH EO ==，在Rt HOD 中，HD ==∵OH CD ⊥，∴2CD HD ==【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．20.如图，在平面直角坐标系中，Rt △ABC 三个顶点都在格点上，点A ，B ，C 的坐标分别为A （﹣1，3），B （﹣4，1），C （﹣1，1）．解答下列问题：（1）画出△ABC 关于原点对称的△A 1B 1C 1，并写出点B 1的坐标；（2）画出△A 1B 1C 1绕点C 1逆时针旋转90°后得到的△A 2B 2C 1，并求出点A 1经过的路径长．【答案】（1）画图见解析，B 1(4,-1)（2）π【解析】【分析】（1）根据网格结构找出点A 、B 、C 关于y 轴的对称点1A 、1B 、1C 的位置，然后顺次连接即可；（2）根据弧长公式列式计算即可得解．【小问1详解】解：如图，()14,1B -；【小问2详解】解：如上图，1A 走过的路径长：1224ππ⨯⨯⨯=．【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，利用旋转变换作图，以及弧长的计算，解题的关键是熟练掌握网格结构，准确找出对应顶点的位置．21.如图，P 是正ABC 内的一点，若将PAC △绕点A 逆时针旋转到P AB '△，（1）求PAP '∠的度数；（2）若3,4,5AP BP CP ===，求APB ∠的度数．【答案】（1）60︒（2）150︒【解析】【分析】（1）根据旋转的性质：对应角相等，以及等边三角形的性质：三个角均为60︒，即可得解；（2）将ABP 绕点A 顺时针旋转60︒，得到，连接，可得：为等边三角形，利用勾股定理逆定理可得：是直角三角形，即可得解．【小问1详解】解：∵ABC 是等边三角形，∴60BAC ∠=︒，∵将PAC △绕点A 逆时针旋转到P AB '△，∴CAP BAP '∠=∠，∴CAP BAP BAP BAP '∠+∠=∠+∠，即：60PAP BAC '∠=∠=︒；【小问2详解】解：如图，将ABP ∆绕点A 顺时针旋转60︒，得到1ACP ∆，连接1PP ，则：111,,60BPA CP A AP AP PAP ∠=∠=∠=︒，∴1APP 为等边三角形，∴160APP ∠=︒，∵3,4,5AP BP CP ===，∴1113,4,PP AP AP CP BP =====∴22222113425,PP PC CP +=+==∴1PPC 是直角三角形，∴190CP P ∠=︒，∴1116090150BPA CP A PP A PPC ∠=∠=∠+=︒+︒=︒．【点睛】本题考查了图形的旋转，等边三角形的判定和性质，以及勾股定理逆定理．熟练掌握旋转前后的两个图形全等，是解题的关键．本题是旋转全等模型，遇到等腰（边）三角形内部一点，可以通过旋转构造全等三角形来解题．22.如图，O 是ABC 的外接圆，AB 是O 的直径，点D 在O 上，AC CD =，连接AD ，延长DB 交过点C 的切线于点E ．（1）求证：ABC CAD ∠=∠；（2）求证：BE CE ⊥．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）根据等弦对等弧，得到弧AC 等于弧CD ，再根据等弧所对的圆周角相等，即可得证；（2）连接OC ，根据切线的性质可得：OC EC ⊥，再根据圆内接四边形的外角等于内对角，以及ABC CAD ∠=∠，得到：CBE OBC OCB ∠=∠=∠，进而得到：OC BE ∥，即可得证．【小问1详解】证明：∵O 是ABC 的外接圆，点D 在O 上，AC CD =，∴ AC CD=，∴ABC CAD ∠=∠；【小问2详解】证明：连接OC ，则：OC OB =，∴OBC OCB ∠=∠，∵CE 是O 的切线，∴OC CE ⊥，∵CBE CAD ABC ∠=∠=∠，∴CBE OCB =∠∠，∴OC BE ∥，∴BE CE ⊥．【点睛】本题考查等弦对等弧，圆周角定理，切线的性质，以及圆内接四边形．熟练掌握等弧所对的圆周角相等，以及圆内接四边形的外角等于内对角，是解题的关键．23.在等腰三角形ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a、b、c，已知a＝3，b 和c 是关于x 的方程x 2+mx+2-12m=0的两个实数根．（1）求△ABC 的周长．（2）求△ABC 的三边均为整数时的外接圆半径．【答案】（1）△ABC 的周长为725或7；（2）△ABC 的三边均为整数时的外接圆半径为477．【解析】【分析】（1）此题分两种情况考虑：一是b 和c 中有一个和a 相等，是3；二是b=c ，即根据方程有两个相等的实数根，由△=0求解．最后注意看是否符合三角形的三边关系．（2）根据（1）中求解的结果，只需求得2，3，3的三角形的外接圆的半径，根据等腰三角形的三线合一和勾股定理求解．【详解】（1）若b 、c 中有一边等于3，则方程可化为193m 2m 02++-=，解得m=-225；原方程可化为x 2-222155+=0，解得x 1=3，x 2=75，所以三角形的周长为3+3+75=275；若b=c ，则△=m 2-4(12m 2-)=0，解得m=﹣4或2，当m=﹣4时，方程为x 2﹣4x+4=0，得x 1=x 2=2，所以三角形的周长为2+2+3=7；当m=2时，方程为x 2+2x+1=0，得x 1=x 2=﹣1；（不合题意，舍去）综上可知△ABC 的周长为725或7．（2）作△ABC 的外接圆⊙O ，连接AO 并延长交⊙O 于点D 、交BC 于E ，连接BO ，则有AE ⊥BC ．∵△ABC 的三边均为整数，∴AB=AC=2，BC=3，BE=12BC=32．==72，设AO=R ，在Rt △BOE 中，R 2=（32）2+（72﹣R ）2，∴R=7，∴△ABC 的三边均为整数时的外接圆半径为7．【点睛】此题考查解一元二次方程-因式分解法，三角形的外接圆与外心，三角形的外接圆及外心.注意（1）中的多种情况，能够熟练结合等腰三角形的三线合一和勾股定理求得等腰三角形的外接圆的半径．24.如图，在平面直角坐标系中，以(5,4)D 为圆心的圆与y 轴相切于点C ，与x 轴相交于A 、B 两点，且6AB =．（1）求经过C 、A 、B 三点的抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为F ，证明直线FA 与D 相切；（3）在x 轴下方的抛物线上，是否存在一点N ，使CBN △面积最大？若存在，求出CBN △面积的最大值，并求出此时点N 坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）215442y x x =-+（2）见解析（3）存在，(4,2)N -，CBN △面积的最大值为：16【解析】【分析】（1）连接,CD AD ，过点D 作DE AB ⊥于点E ，利用切线的性质和垂径定理，求出点,,C A B 三点的坐标，用待定系数法求解析式即可；（2）连接DF ，将二次函数转化为顶点式，求出F 的坐标，分别求出,,AF DF AD ，利用勾股定理的逆定理求出90DAF ∠=︒，即可得证；（3）过点N 作NP y 轴，交BC 于点P ，设点N 的坐标为215,442n n n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，则：点P 的坐标为1,42n n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，利用12BCN PNC PNB S S S PN OB =+=⨯⨯ 进行计算即可．【小问1详解】解：如图，连接,CD AD ，过点D 作DE AB ⊥于点E ，∴90DEO ∠=︒，∵以()5,4D 为圆心的圆与y 轴相切于点C ，且6AB =，90COB ∠=︒，∴DC y ⊥轴，13,2AE BE AB ===4DE =，∴90DCO ∠=︒，5DA ===∴四边形OCDE 是矩形，∴4,5OC DE OE CD ====，∴2,8OA OE AE OB OA AB =-==+=，∴)0,4,2,,()()0,0(8C A B ，设经过点,,C A B 三点的抛物线解析式为：2y ax bx c =++，有：42064804a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：145,24a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩∴抛物线的解析式为：215442y x x =-+；【小问2详解】证明：∵()221519454244y x x x =-+=--∴顶点F 的坐标为95,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，∵点D 为圆心，点A 在圆周上，由（1）知，5r DA ==，如图：连接DF，∵()5,4D ，∴925444DF =+=，154AF ==，∴22222215625255((4164DA AF DF +=+===∴90DAF ∠=︒，∴直线FA 与D 相切；【小问3详解】解：存在点N ，使CBN △如图，过点N 作NP y 轴，交BC 于点P，∵)0,4,()0(8,C B ，设直线BC 的解析式为：1y kx b =+，则：114,80b k b =⎧⎨+=⎩解得：1124k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC 的解析式为：142y x =-+；设点N 的坐标为215,442n n n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∵NP y 轴，交BC 于点P ，∴点P 的坐标为1,42n n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∴2211514422424NP n n n n n ⎛⎫=-+--+=-+ ⎪⎝⎭，12BCN PNC PNB S S S PN OB ∴=+=⨯⨯ ，222118(2)8(4)1624n n n n n =⨯⨯-+=-+=--+；∴当4n =时，CBN S 最大，最大值为16，此时(4,2)N -．【点睛】本题考查二次函数的综合应用．同时考查了切线的判定和性质，垂径定理，勾股定理逆定理．正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．。

广东省深圳市南实集团麒麟中学2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试卷(解析版)

南实集团麒麟中学2022-2023学年第一学期九年级期中考试数学试卷一、选择题（每题3分，共30分）1. 如图所示的几何体，它的俯视图是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】通过判断几何体的三视图可得到结果．【详解】由题可得，从上往下看，有1个倒“L”形状的图形，下面靠右有1个小正方形，可得图形为：故选：B．【点睛】本题主要考查了简单组合图形的三视图，准确理解三视图的判断是解题的关键．2. 若58ab=，则b aa−等于（）A. 35 B.53 C.85 D.58【答案】A【解析】【分析】根据比例式，设a=5k，b=8k，代入分式，即可求解．【详解】解：∵58 ab=，∴设a=5k，b=8k，（k≠0），∴b aa−=85355k kk−=，故选A．【点睛】本题主要考查比例式的性质，掌握设k 值法是解题的关键．3. 如图，直线AB CD EF ，若AC =3，CE =4，则BD BF的值是（）A. 34B. 43C. 37D. 47【答案】C【解析】【分析】由平行线分线段成比例直接得到答案．【详解】解：∵AB CD EF ∴BD AC BF AE= ∵AC =3，CE =4 ∴37BD BF =，故选C ．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，解题的关键在于能够熟练掌握平行线分线段成比例． 4. 用配方法解一元二次方程x 2-8x +5=0，将其化成(x+a )2=b 的形式，则变形正确的是( )A. (x +4) 2=11B. (x -4) 2=21C. (x -8) 2=11D. (x -4) 2=11【答案】D【解析】【分析】将一元二次方程x 2-8x +5=0，移项，配方，即可得出答案．【详解】解：由题意得，285x x −=−， 2816516x x −+=−+，2(4)11x −=，故选D ．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是本题的关键．5. 如图，ABC 与DEF △是以点O 为位似中心的位似图形．若:2:3OA AD =，则ABC 与DEF △的周长比是（）A. 2：3B. 4：9C. 2：5D. 4：25【答案】C【解析】【分析】根据位似图形的性质，可知::AC DF OA OD = 及ABC DEF △△∽，根据:OA AD 的比值可得:AC DF 的比，根据相似三角形的性质：相似三角形周长比等于相似比，可得ABC 与DEF △的周长比．【详解】解： ABC 与DEF △是位似图形，点O 为位似中心， ∴==+AC OA OA DF OD OA AD且ABC DEF △△∽ ::OA AD =23 ∴DF OA AD AC OA +==+=35122又 ABC DEF △△∽∴:::ABC DEF ACDF C C ==△△25 故选：C ．【点睛】此题考查位似图形及相似三角形性质，正确找出对应线段的比是解题的关键．6. 已知点()()()123313A y B y C y -，，-，，，都在反比例函数()0k y k x =>的图像上，则123y y y ，，的大小关系正确的是（）A. 123y y y ＜＜B. 321y y y ＜＜C. 312y y y ＜＜D. 213y y y ＜＜【答案】D【解析】【分析】先根据反比例函数中0k >判断出函数象限所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可解答．的【详解】解：∵反比例函数()0k y k x=>， ∴函数图像的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y 随x 的增大而减小．∵3-10−＜＜，∴点()()12-3-1A y B y ，，，位于第三象限，∴210y y ＜＜，∵30＞，∴点()33C y ，位于第一象限，∴30y ＞，∴213y y y ＜＜．故选：D ．【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的增减性是解答本题的关键．7. 已知关于x 的一元二次方程标()22120kx k x k −−+−=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（） A. 14k >− B. 14k < C. 14k >−且0k ≠ D. 14k <且0k ≠ 【答案】C【解析】【分析】由一元二次方程定义得出二次项系数k ≠0；由方程有两个不相等的实数根，得出“△>0”，解这两个不等式即可得到k 的取值范围．【详解】解：由题可得：()()2021420k k k k ≠ −−−−>, 解得：14k >−且0k ≠；故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，解决本题的关键是能读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式（组）的解集等，本题对学生的计算能力有一定的要求．8. 如图，取一张长为a ，宽为b 的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a 、b 应满足的条件是（）A. abB. a ＝2bC. a ＝b D. a ＝4b【答案】B【解析】【分析】根据对折表示出小长方形的长和宽，再根据相似多边形的判定，对应边成比例列式计算即可．【详解】解：对折两次后的小长方形的长为b ，宽为14a ，要使小长方形与原长方形相似，只要满足14a b b a =即可， ∴2a b =．故选：B ．【点睛】本题考查了相似多边形的判定，准确表示出小长方形的长和宽是解题的关键．9. 函数y ax a =−与(0)a y a x=≠在同一平面直角坐标系中的图象可能是（） A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据一次函数的性质判断出a 取值，再根据反比例函数的性质判断出a 的取值，二者一致的即为正确答案．【详解】解：A 、函数y =ax ﹣a 的图象应该交于y 轴的负半轴，故不符合题意；B 、由函数y =ax ﹣a 的图象可知a ＜0，由函数y a x =（a ≠0）的图象可知a ＞0，故不符合题意； C ．由函数y =ax ﹣a 的图象可知a ＞0，由函数y a x =（a ≠0）的图象可知a ＜0，故不符合题意； D ．由函数y =ax ﹣a 的图象可知a ＜0，由函数y a x =（a ≠0）的图象可知a ＜0，故符合题意．故选D ．【点睛】本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题． 10. 如图，在边长为1正方形ABCD 中，E 、F 是AD 边上的两个动点，且AE FD =，连接,,,BE CF BD CF 与BD 交于点G ，连接AG 交BE 于点H ，连接DH ，下列结论：①AG BE ⊥；②HD 平分EHG ∠；③ABG FDG ；④1:2HDG HBG S S = ；⑤线段DH．正确的个数是（）A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个【答案】C【解析】的【分析】首先证明,,ABE DCF ADG CDG AGB CGB ≌≌≌ ，利用全等三角形的性质，相似三角形的性质，等高模型、三边关系一一判断即可．【详解】解：四边形ABCD 是正方形，AB CD ∴=，90BAD ADC ∠=∠=°，45ADB CDB ∠=∠=°，在ABE 和DCF 中，AB CD BAD ADC AE DF = ∠=∠ =， ()SAS ABE DCF ∴ ≌，ABE DCF ∴∠=∠，在ADG △和CDG 中，AD CD ADB CDB DG DG = ∠=∠ =， ()SAS ADG CDG ∴ ≌，DAG DCF ∴∠=∠，ABE DAG ∴∠=∠，90DAG BAH ∠+∠=° ，90ABE BAH ∴∠+∠=°，90AHB ∴∠=°，∴AG BE ⊥，故①正确；同法可证：AGB CGB ≌ ，∵DF CB ∥，∴CBG FDG ，∴ABG FDG ，故③正确；∵::::HDG HBG S S DGBG DF BC DF CD === ，又∵F 为动点，∴DF 长度不确定，∴:DF CD 值不确定，故④错误；取AB 的中点O ，连接OD 、OH ，正方形的边长为1，11122AO OH ∴==×=，由勾股定理得，OD == OH DH OD +≥ ，O ∴、D 、H 三点共线时，DH 最小，DH ∴最小值=，故⑤正确; 如图，连接AC 交BE 于K ，连接KD ，由正方形的对称性质可得KB KD =，∴KBD KDB ∠=∠，在点E 的运动过程中，当22.5EBD ∠=°时，22.5EBD KDB KDE EDH ∠=∠=∠=°>∠， ∵DEH BED ∠=∠，∴DHE BDE ∠>∠，即45DHE ∠>°，此时HD 不平分EHG ∠，故②错误；故选：C ．【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，三角形的三边关系，勾股定理，等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，难点在于⑤作辅助线并确定出DH 最小时的情况．二、填空题（每题3分，共15分）11. 在一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的3个红球和2个黑球，摸出一个不放回再摸一次，则两次都摸到红球的概率为______．【答案】3 10【解析】【分析】列举出所有情况，看两次都摸到红球的情况占总情况的多少即可．【详解】解：画树状图如图所示：一共有20种情况，两次都摸到红球的情况有6种，∴两次都摸到红球的概率是63 2010=；故答案为：3 10．【点睛】本题考查了列表法与树状图法，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．12. 设m、n是一元二次方程x2＋3x-7＝0的两个根，则m2＋4m＋n＝_____．【答案】4【解析】【分析】根据一元二次方程的根和根与系数关系，代入求解即可．【详解】解：∵m、n是一元二次方程x2＋3x-7＝0的两个根，∴m 2＋3 m-7＝0，即m 2＋3 m＝7；m＋n＝-3．∴m2＋4m＋n＝（m 2＋3 m）＋（m＋n）＝7-3＝4．故答案为：413. 如图，,AD BC为两路灯，身高均为1.8m的小明、小亮站在两路灯之间，两人相距6.5m，小明站在P 处，小亮站在Q处，小明在路灯C下的影长AP为2m，路灯BC高9m，则路灯AD的高为_______m．【答案】12【解析】分析】先证出EAP CAB ，求得AB ，进而求得BQ ，再证出BFQ BDA ，由此即可得．【详解】解：,EP AB CB AB ⊥⊥ ，EP BC ∴∥，EAP CAB ∴ ，AP EP AB BC ∴=，即2 1.89AB =，解得10AB =，()102 6.5 1.5m BQ AB AP PQ ∴=−−=−−=，又,FQ AB DA AB ⊥⊥ ，FQ AD ∴∥，BFQ BDA ∴ ，FQ BQ AD AB ∴=，即1.8 1.510AD =，解得12AD =，故答案为：12．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 14. 如图，已知平行四边形ABCD 中，,E F 分别是边,AB AD 上的点，EF 与对角线AC 交于P ，若1,2AE AF EB FD ==23，则PAD PCES S 的值为_______．【【答案】23【解析】【分析】作辅助线，构建相似三角形，根据已知的比得出65AP AF PG EG ==和527PG PC =，根据同高三角形面积比的关系得出PAD APF PEC 、、面积都与PEG △的面积有关，并得出相应等式，代入所求面积的比进行计算即可．【详解】解：过E 作EH AD ∥，交DC 于H ，交AC 于G ，如图：∵四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴∥，EH BC ∴∥，12AG AE GC EB ∴==， DC AB ∥12EG AG GH GC ∴==， 13EG EH ∴=， 13EG EH ∴=，23AF FD = ， 22,55APF APD S AF AD S ∴== ，225,552APD APF AF AD EH S S ∴=== ， AD EH ∥ ，AF EG ∴∥，265153EHAP AF PG EG EH ∴===，3625APF PEG S S ∴= ， 61,52AP AG PG GC == ， 522PG GC ∴=， 527PG PC ∴=， 527EPG EPC S S ∴= ， 275EPC EPG S S ∴= ，5553622272272535APFPAD PCEEPG S S S S ∴==××= ；故答案为∶23【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质与判定，还考查了平行四边形的性质；关键是找到与所求面积相关的EPG △和APF ，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方和同高两三角形面积的比等于对应底边的比得出相关三角形面积之间的关系，最后得出结论．15. 如图，在平面直角坐标系中，将反比例函数()60y x x=>的图象绕坐标原点O 逆时针旋转45°得到的曲线l，过点(A −，(B 的直线与曲线l 相交于点C 、D ，则COD △的面积为_______．【答案】8 【解析】【分析】由题意得点(A −，(B ，可知OA OB ⊥，建立如图新的坐标系（OA 为x ′轴，OB 为y ′轴，利用方程组求出D 、C 的坐标，根据COD OAD OAC S S S =−△△△计算即可．【详解】解：∵(A −，(B ，∴48OA OB ==，，AB ，∴222OA OB AB +=， ∴OA OB ⊥，如图所示，建立新的坐标系（OA 为x ′轴，OB 为y ′轴）．在新的坐标系中，()()4008A B ，，，， ∴直线AB 解析式为28y x ′′=−+，过点B 作BE x ⊥轴于E ， ∴OE BE ==， ∴45BOE ∠=°，∵将反比例函数()60y x x=>的图象绕坐标原点O 逆时针旋转45°得到的曲线l ， ∴曲线l 在x Oy ′′中解析式为6y x ′=′，联立286y x y x ′′′′=−+ =，解得16x y ′′= = 或32x y = = ，∴在x Oy ′′中，()()3216C D ，，， ∴114642822COD OAD OAC S S S =−=××−××=△△△，故答案为：8．【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理和勾股定理的的逆定理，正确建立先的坐标系是解题的关键．三．解答题（共55分）16. 解方程：（1）x2＋2x﹣8＝0；（2）﹣2x2＋6x﹣3＝0【答案】（1）x1=-4，x2=2（2）x1，x2【解析】【分析】（1）用分解因式法求即可；（2）用公式法求即可．【小问1详解】解：x2+2x-8=0，(x+4)(x-2)=0，x+4=0或x-2=0，∴x1=-4，x2=2；【小问2详解】解：-2x2+6x-3=0，∵a=-2，b=6，c=-3，∴Δ=b2-4ac=62-4×(-2)×(-3)=12，∴x=，∴x1x2【点睛】本题考查解一元二次方程，一元二次方程解法有：直接开方法，配方法，公式法，因式分解法，根据一元二次方程的特征，选择恰当解法是解题的关键．17. 先化简，再求值：2212(1)11x x xx x−÷−+−−，其中x满足270x x−=【答案】11x−+，18−【解析】【分析】先对括号内分式通分，合并同类项，化简，根据分式的除法运算法则，对分式进行约分化简，再利用因式分解法求出一元二次方程的解，把解代入即可．【详解】解：原式2212(1)(1)(1)1x x x x x x −−−÷−+− 221(1)(1)x x x x x −×−+−11x =−+ ()70x x −=0,7x x ∴==当0x =时，分式无意义，当7x =时原式18=−【点晴】本题主要是考查了分式的化解与一元二次方程的解法，本题一个易错点就是分式化简时，对括号内分式与整式的和运算时，符号处理问题．18. 在“双减”和“双增”的政策下，某校七年级开设了五门手工课，按照类别分别为：A ．剪纸；B ．沙画；C ．雕刻；D ．泥塑；E ．插花，每个学生仅限选择一项，为了了解学生对每种手工课的喜爱程度，随机抽取了七年级部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）本次共调查了__________名学生；扇形统计图中m =__________，类别A 所对应的扇形圆心角的度数是__________度；（2）请根据以上信息直接补全条形统计图；（3）在学期结束时，从开设的五门手工课中各选出一名学生谈感悟，由于这五名同学采用随机抽签的方式确定顺序，请用树状图或列表的方式说明剪纸（A）和雕刻（C）两人排在前两位谈感受的概率．【答案】（1）120，25，54（2）见解析（3）1 10【解析】【分析】（1）用类别D的人数除以其所占的百分比可求调查人数，用类别C人数除以调查人数再乘以百分之百即可求得m，用360°乘以A类所占的百分比即可；（2）先求出类别B的人数，然后再补全条形统计图即可；（3）先画树状图确定所有可能，再利用概率公式，即可求解．【小问1详解】解：（1）本次共调查的学生数为：36÷30%=120m％=30÷120×100%=25%；类别A所对应的扇形圆心角的度数为360°×18120=54°故答案为：120，25，54【小问2详解】解：类别B的人数为120×5%=6则补全的条形统计图如下图：【小问3详解】解：根据题意，画树状图如下：由树状图可知，共有20种等可能的结果，其中，剪纸（A ）和雕刻（C ）两人排在前两位的结果有2种，分别为(),A C ，(),C A ．∴P （剪纸（A ）和雕刻（C ）两人排在前两位）212010==．即：剪纸（A ）和雕刻（C ）两人排在前两位的概率是110．【点睛】本题主要考查了条形统计图、扇形统计图、运用画树状图求概率等知识点，正确读取统计图中的信息和画出树状图成为解答本题的关键．19. 如图，在ABC 中，90ABC ∠=°，BD 为AC 的中线，过点C 作CE BD ⊥于点E ，过点A 作BD 的平行线，交CE 的延长线于点F ，在AF 的延长线上截取FG BD =，连接BG 、DF ．（1）求证：四边形BDFG 是菱形；（2）若8AF =，6CF =，求四边形BDFG 的面积．【答案】（1）见解析（2）15 【解析】【分析】（ 1）首先可判断四边形BDFG 是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得BD FD =，则可证明四边形BDFG 是菱形；（ 2）由8AF =，6CF =，可利用勾股定理求得AC 的长，即可求得DF 的长，然后由菱形的性质求得5BG GF DF ===，再求出EF 的长即可解决问题．小问1详解】∵AG BD ，FG BD =， ∴四边形BDFG 是平行四边形， ∵CE BD ⊥， ∴CE AG ⊥，又∵BD 为AC 的中线，∴12BDDF AC ==， ∴四边形BDFG 是菱形，【小问2详解】【∵8AF =，6CF =，CF AG ⊥，∴10AC ，∴152DF AC ==， ∵四边形BDFG 是菱形， ∴5BD GF DF ===， ∵BD CF ⊥，CD DF =， ∴3CEEF ==， ∴15BDFG S GF EF =⋅=菱形．【点睛】本题考查菱形的判定与性质、勾股定理及直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质是解题关键．20. 尊老爱幼是中华民族的传统美德，九九重阳节前夕，某商店为老人推出一款特价商品，每件商品的进价为15元，促销前销售单价为25元，平均每天能售出80件；根据市场调查，销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出20件．（1）若每件商品降价5元，则商店每天的平均销量是________件（直接填写结果）；（2）不考虑其他因素的影响，若商店销售这款商品的利润要平均每天达到1280元，每件商品的定价应为多少元？（3）在（2）的前提下，若商店平均每天至少要销售200件该商品，求商品的销售单价．【答案】（1）280；（2）23元或19元；（3）19元【解析】【分析】（1）根据每天的平均销售量=80+降低的价格÷0.5×20，即可求出结论；（2）设每件商品降价x 元，则销售每件商品的利润为（25-15-x ）元，根据每天的总利润=销售每件商品的利润×平均每天的销售量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出结论；（3）由（2）的结论结合平均每天至少要销售200件该商品，可确定x 的值，再将其代入（25-x ）中即可求出结论．【详解】解：（1）80+5÷0.5×20=280（件）．故答案为：280．（2）设每件商品降价x 元，则销售每件商品的利润为（25-15-x ）元，平均每天可售出80+0.5x×20=（40x+80）件，依题意，得：（25-15-x ）（40x+80）=1280，整理，得：x 2-8x+12=0，解得：x 1=2，x 2=6， ∴25-x=23或19．答：每件商品的定价应为23元或19元．（3）当x=2时，40x+80=160＜200，不合题意，舍去；当x=6时，40x+80=320＞200，符合题意， ∴25-x=19．答：商品的销售单价为19元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用-利润问题，读懂题意，根据商品降价表示出商品销售件数从而列出方程是解题关键．21. 直线2y x =与反比例函数2y x=图象交于A ，B 两点，C 是第一象限内的反比例函数图象上A 点右侧任意一点；（1）如图1，求A ，B 两点坐标；（2）如图2，连接BC ，若=45ABC ∠°，求点C 的坐标；（3）如图3，设直线AC BC ，分别与x 轴相交于D ，E 两点，且AC mCD =，BC nCE =，求n m −的值．【答案】（1）(12)(12)A B −−，，，；（2）C 1(6)3，；（3）2 【解析】【分析】（1）当22x x=时，解方程可得点A 、B 的横坐标，从而得出答案；（2）过点A 作AD AB ⊥，交直线BC 于D ，过A 作x 轴的平行线HG ，作DG HG ⊥于G ，BH HG ⊥于H ，利用AAS 证明ABH DAG ≌△△，得42AG BH DG AH ====，，则D (5)0，，利用待定系数法求出直线BD 的解析式为1533y x =−，从而求出交点C 的坐标；（3）作AG x ⊥轴于G ，CH AG ⊥于H ，BQ CH ⊥，交CH 的延长线于Q ，设2()C a a，，利用平行线分线段成比例定理，即可得出答案．【小问1详解】解：当22x x=时，解得1x =±，∴(12)(12)A B −−，，，；【小问2详解】解：过点A 作AD AB ⊥，交直线BC 于D ，过A 作x 轴的平行线HG ，作DG HG ⊥于G ，BH HG ⊥于H ，∵45ABD ∠=°， ∴AB AD =，∵9090ABH HAB BAH DAG ∠°+∠=∠+∠=°，， ∴ABH DAG ∠=∠， ∵H G ∠=∠，∴()AAS ABH DAG ≌， ∴42AG BH DG AH ====，，∴D (5)0，，∴直线BD 的解析式为1533y x =−， ∴15233x x−=，解得1261x x ==−，（舍去），当6x =时，13y =， ∴C 1(6)3，；【小问3详解】解：作AG x ⊥轴于G ，CH AG ⊥于H ，BQ CH ⊥，交CH 的延长线于Q ，设C 2()a a，，∵CH CG ∥， ∴222222AC AH a a m CD HG a−−====，同理得，222222BC BQ a a n CE PQ a ++====， ∴2222222a a n m +−−=−=．【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理等知识，利用平行线分线段成比例表示出m 和n 是解题的关键． 22. 问题背景：如图（1），已知ABC ADE △△∽，求证：ABD ACE ∽；尝试应用：如图（2），在ABC 和ADE V 中，90BAC DAE °∠=∠=，30ABC ADE °∠=∠=，AC 与DE 相交于点F ．点D 在BC边上，AD BD=DF CF 的值；拓展创新：如图（3），D 是ABC 内一点，30BAD CBD °∠=∠=，90BDC °∠=，4AB =，AC =AD 的长．【答案】问题背景：见详解；尝试应用：3；拓展创新：AD =【解析】【分析】问题背景：通过ABC ADE △△∽得到AB AC AD AE =，AB AC AD AE=，再找到相等的角，从而可证ABD ACE ∽；尝试应用：连接CE ，通过BAC DAE ∽可以证得ABD ACE ∽，得到BD AD CE AE =，然后去证AFE DFC ∽△△，ADF ECF ∽△△，通过对应边成比例即可得到答案；拓展创新：在AD 的右侧作∠DAE=∠BAC ，AE 交BD 延长线于E ，连接CE ，通过BAC DAE ∽，BAD CAE ∽，然后利用对应边成比例即可得到答案．【详解】问题背景：∵ABC ADE △△∽，∴∠BAC=∠DAE ，AB AC AD AE= ， ∴∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC ，∴∠BAD=∠CAE ，∴ABD ACE ∽；尝试应用：连接CE ，∵90BAC DAE °∠=∠=，30ABC ADE °∠=∠=， ∴BAC DAE ∽，∴AB AD AC AE=， ∵∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC ，∴∠BAD=∠CAE ，∴ABD ACE ∽， ∴BD AD CE AE=，由于30ADE °∠=，90DAE °∠=，∴30AE tan AD °==即BDAD CE AE==，∵AD BD=， ∴3AD CE =， ∵90BAC DAE °∠=∠=，30ABC ADE °∠=∠=， ∴60C E °∠=∠=，又∵AFE DFC ∠=∠，∴AFE DFC ∽△△， ∴AF EF DF CF =，即AF DF EF CF=，又∵AFD EFC ∠=∠∴ADF ECF ∽△△， ∴3DFAD CF CE==；拓展创新：AD =如图，在AD 的右侧作∠DAE=∠BAC ，AE 交BD 延长线于E ，连接CE ，∵∠ADE=∠BAD+∠ABD ，∠ABC=∠ABD+∠CBD ，30BAD CBD °∠=∠=，∴∠ADE=∠ABC ，又∵∠DAE=∠BAC ，∴BAC DAE ∽， ∴ABAC BC AD AE DE==，又∵∠DAE=∠BAC ，∴∠BAD=∠CAE ，∴BAD CAE ∽，∴=BD AB AD CE AC AE ==，设CD=x ，在直角三角形BCD 中，由于∠CBD=30°，∴BD =，2BC x =， ∴32CE x =，∴DE x =， ∵AB BC AD DE=，∴4AD =，∴AD =【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．。

上海市普陀区2024-2025学年九年级上学期数学期中考试试卷(含答案)

2024学年第一学期九年级数学学科期中考试试卷2024.10（时间：100分钟，满分：150分）一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1.下列函数中，一定为二次函数的是（）A. B. C. D.2.已知点P是线段AB的黄金分割点，且，那么下列结论正确的是（）A. B.C.D.3.如图，在中，点D、E和F分别在边AB、AC和BC上，，，如果，那么下列结论中正确的是（）A. B. C. D.4.下列关于向量的说法中，正确的是（）A.如果，那么B.如果，，那么C.已知是单位向量，如果，那么D.如果，，其中是非零向量，那么5.在同一平面直角坐标系中，画出直线与抛物线，这个图形可能是（）A. B.21yx=()()11y x x=+-2y ax=()21y x x x=-+BP AP>2BP AP AB=⋅2AP BP AB=⋅APAB=BPAP=ABC△DE BC∥DF AC∥34ADBD=34DEBC=34BFCF=37CFBC=37DFAC=k=0ka=2a=1b=2a b=e4a=4ea=23a b c+=2b c=ca b∥y ax b=+2y ax b=+C. D.6.已知在中，点D 、E 分别在边AB 和AC 上，联结CD 、BE 交于点F ，下列条件中，不一定能得到和相似的是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】7.已知，且，那么_______.8.抛物线与y 轴的交点坐标为_______.9.已知二次函数的图像经过点、，那么该二次函数图像的对称轴为直线_______.10.已知二次函数的图像在对称轴的左侧部分是上升的，那么m 的取值范围是_______.11.如图，已知在中，，CD 是边AB 上的高，如果，，那么_______.12.如图，在中，，点D 和点E 在边BC 上，，，那么_______.13.如图，已知，且，那么_______.ABC △ADE △ABC △DF EF BF CF =DF EF CF BF=BDE BFC ∠=∠BDF CEFS S =△△234a b c k ===0k ≠c a c b-=+223y x x =+-()20y x bx c a =++≠()1,1A --()5,1B -()21y m x =+ABC △90ACB ∠=︒3AD =2BD =CD =ABC △3AB AC ==4BE =BAE ADC ∠=∠CD =AD EF BC ∥∥::2:5:7AD EF BC =:AE AB =14.如图，在中，点D 在边BC 上，线段AD 经过重心G ，向量，向量，那么向量______.（用向量、表示）15.如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔10米种一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆.小丽站在离南岸边15米的点P 处看北岸，发现北岸有两根相邻的电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有一棵树，那么这段河的宽度为_______米.16.如图，在中，点D 在边AB 上，，点E 和F 分别在边BA 和CA 的延长线上，且，如果，那么_______.17.定义：如果将抛物线上的点的横坐标不变，纵坐标变为点A 的横、纵坐ABC △BA a = BC b = AG =a b ABC △ACD B ∠=∠CD EF ∥::3:4:2EA AD DB =AEF ABCS S =△△()20y ax bx c a =++≠(),A x y标之和，就会得到一个新的点，我们把这个点叫做点A 的“简朴点”，已知抛物线上一点B 的简朴点是，那么该抛物线上点的简朴点的坐标为_______.18.如图，在矩形ABCD 中，，在边CD 上取一点E ，将沿直线BE 翻折，使点C 恰好落在边AD 上的F 处，的平分线与边AD 交于点M ，如果，那么_______.三、解答题（本大题共7题，满分78分）19.（本题满分10分）如图，已知两个不平行的向量、，求作，满足.（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的向量.）20.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）已知点在二次函数的图像上.（1）求二次函数图像的对称轴和顶点坐标；（2）将二次函数的图像先向左平移4个单位，再向上平移t 个单位后图像经过点，求的值.21.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）已知二次函数的图像经过原点，顶点坐标为.（1）求二次函数的解析式；（2）如果二次函数的图像与x 轴交于点A （不与原点重合），联结OP 、AP ，试判断的形状并说明理由.22.（本题满分10分，第1小题5分，第2小题5分）如图，已知在中，点D 在边AC 上，过点A 作，交BD 的延长线于点E ，点F 是BE 延长线上一点，联结CF ，如果.（1）求证：；（2）如果，，求的值.()1,A x x y +1A 241y ax x =-+()12,3B ()1,C m 1C 1AB =BCE △ABF ∠2AD MF =BC =a bx x ()2a x b x -=- ()3,1-2y x bx b =-++()1,5-t ()2,2P -AOP △ABC △AE BC ∥2BD DE DF =⋅AB CF ∥2DE =6EF =AB CF23.（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图，在中，CD 是AB 边上的高，点E 是边AC 的中点，联结ED 并延长交CB 的延长线于点F ，且.（1）求证：；（2）如果，求证：.24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数的图像与x 轴交于点，与y 轴交于点.（1）求该二次函数的解析式；（2）如果点是二次函数图像对称轴上的一点，联结AD 、BD ，求的面积；（3）如果点P 是该二次函数图像上位于第二象限内的一点，且，求点P 的横坐标.ABC △BD BF =ADE FDB ∽△△2DF AC CF AD=2BC BD AB =⋅22y x bx c =-++()2,0A -()0,4B (),1D m -ABD △PB AB ⊥25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）如图，在矩形ABCD 中，，，点E 是射线D A 上的一点，点F 是边AB 延长线上的一点，且.联结CE 、EF ，分别交射线DB 于点O 、点P ，联结CF 、CP .（1）当点E 在边AD 上时，①求证：；②设，，求y 关于x 的函数解析式；（2）过点E 作射线DB 的垂线，垂足为点Q ，当时，请直接写出DE 的长.2AB =1BC =2DE BF =DCE BCF ∽△△DE x =CP y =14OQ PQ =2024学年第一学期九年级数学学科期中考试卷2024.10参考答案及评分说明一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.B ；2.A ；3.C ；4.D ；5.D ；6.C.二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.；8.；9.；10.；；12.；13.；14.；15.；16.；17.；18.三、解答题：（本大题共7题，其中第19—22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）19.解：，20.解：（1）∵点在二次函数的图像上，∴把，代入，得.解得.∴二次函数的解析式为.∴对称轴为直线.顶点的坐标为.（2）二次函数的解析式化为.∵将二次函数的图像先向左平移4个单位，再向上平移t 个单位，∴平移后新二次函数的解析式为.∵平移后图像经过点，∴把，代入，得.解得.21.解：（1）∵二次函数图像的顶点坐标为，∴设二次函数的解析式为.∵二次函数的图像经过原点，∴把，代入得..27()0,3-2x =1m <-94352133a b -+ 45238()1,05322a x b x -=- 2x a b =- ()3,1-2y x bx b =-++3x =1y =-2y x bx b =-++193b b -=-++2b =222y x x =-++1x =()1,3()213y x =--+()233y x t =-+++()1,5-1x =5y =-()233y x t =-+++5163t -=-++8t =()2,2P -()222y a x =--0x =0y =()222y a x =--()20022a =--解得.∴这个二次函数的解析式为.（2）∵二次函数的图像与x 轴交于点A ，∴把，代入得，（舍去）.得点A 的坐标为.∴.∵，∴.∵，∴是等腰直角三角形.22.解：（1）∵，∴.∵，∴.∴∴.（2）∵，，∴.∵，∴.∵，∴，∴.23.证明：（1）∵，∴.∵CD 是AB 边上的高，点E 是边AC 的中点，∴在中.又∵，∴.∴.∵，∴.∴.（2）∵，∴.∴.∵，∴∴∴.∵，∴.∴.∴.24.解：（1）∵二次函数的图像与x 轴交于点，与y 轴交于点，12a =()21222y x =--0y =()21222y x =--14x =20x =()4,04OA =OP ==AP ==OP AP =222OP AP OA +=AOP △AE BC ∥AD DE CD BD=2BD DE DF =⋅DE BD BD DF=AD BD CD DF=AB CF ∥2DE =6EF =8DF DE EF =+=216BD DE DF =⋅=4BD =AB CF ∥AB BD CF DF =12AB CF =BD BF =F BD ∠=∠Rt ACD △12DE AC =12AE AC =AE DE =A ADE ∠=∠ADE BDF ∠=∠A F ∠=∠ADE FDB ∽△△2DF AC CF AD =DF AE CF AD =DF CF AE AD=A F ∠=∠ADE FCD ∽△△ADE FCD ∠=∠A FCD ∠=∠ABC CBD ∠=∠ABC CBD ∽△△BD BC BC AB=2BC BD AB =⋅22y x bx c =-++()2,0A -()0,4B得解得.∴二次函数的解析式为.（2）∵点是二次函数图像对称轴上的一点，又∵二次函数图像的对称轴为直线.∴，点D 坐标为.设直线AB 的表达式为.∵直线AB 经过，，得，解得，∴直线AB 的表达式为.设抛物线的对称轴与直线AB 交于点E ，得点E 坐标为.∴.∴.（3）过点P 作轴，垂足为H .设点.∴，.∵，又∵，∴.∵，∴.∴.∴.∴（舍去），.即点P 的横坐标是.25.解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴，，∵，∴.()202224b c c⎧=-⨯--+⎪⎨=⎪⎩2b =-2224y x x =--+(),1D m -12x =-12m =-1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭()0y px q p =+≠()2,0A -()0,4B 024p q q =-+⎧⎨=⎩24p q =⎧⎨=⎩24y x =+1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭4DE =1142422ABD ADE BDE S S S DE AO =+=⋅=⨯⨯=△△△PH y ⊥()2,224P t t t --+PH t =-222BH t t =--ABO ABP P PHB ∠+∠=∠+∠90ABP PHB ∠=∠=︒ABO BPH ∠=∠90AOP PHB ∠=∠=︒ABO BPH ∽△△PH BH BO AO =22242t t t ---=10t =234t =-34-2AB CD ==90CDE ABC ∠=∠=︒90CBF ∠=︒CDE CBF ∠=∠∵，∴.∵，∴.∴.∴.（2）∵，∴.即.∵，∴.∴.∴.∵，∴.∴.又∵且，∴.∴.∵，∴.∴.∴.∵在中，，，∴.同理可得∴∴（3）1BC =12BC CD =2DE BF =12BF DE =BF BC DE CD=DCE BCF ∽△△DCE BCF ∠=∠DCE BCE BCF BCE ∠+∠=∠+∠BCD ECF ∠=∠,CD CE CB CF =CD CB CE CF=DCB ECF ∽△△PEC BDC ∠=∠EOP DOC ∠=∠EOP DOC ∽△△OE OP OD OC=OE OD OP OC=DOE COP ∠=∠DOE COP ∽△△EDO PCO ∠=∠EDO DBC ∠=∠PCE DBC ∠=∠ECP DBC ∽△△PC EC BC BD=Rt CDE △DE x =2CD =CE =BD =1y =y =1DE =2DE =3DE =。

天津南开区九年级上期中数学考试卷(解析版)(初三)期中考试.doc

天津南开区九年级上期中数学考试卷（解析版）（初三）期中考试姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题评卷人得分（每空xx 分，共xx分）【题文】一元二次方程x（x+5）=0的根是（）A．x1=0，x2=5 B．x1=0，x2=﹣5C．x1=0，x2= D．x1=0，x2=﹣【答案】B．【解析】试题分析：利用分解因式法求解．∵x（x+5）=0，∴x=0或x+5=0，解得：x1=0，x2=﹣5．故选：B．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【题文】下列四个图形中属于中心对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】A．【解析】试题分析：A、是中心对称图形，故选项正确；B、不是中心对称图形，故选项错误；C、不是中心对称图形，故选项错误；D、不是中心对称图形，故选项错误．故选：A．【考点】中心对称图形．【题文】已知二次函数y=3x2+c与正比例函数y=4x的图象只有一个交点，则c的值为（）A． B． C．3 D．4【答案】A【解析】试题分析：由，消去y得到3x2﹣4x+c=0，∵二次函数y=3x2+c与正比例函数y=4x的图象只有一个交点，∴△=0，∴16﹣12c=0，∴c=．故选A．【题文】抛物线y=﹣3x2+12x﹣7的顶点坐标为（）A．（2，5） B．（2，﹣19）C．（﹣2，5） D．（﹣2，﹣43）【答案】A．【解析】试题分析：【分析】把抛物线解析式化为顶点式∵y=﹣3x2+12x﹣7=﹣3（x﹣2）2+5，∴顶点坐标为（2，5），故选A．【考点】二次函数的性质．【题文】由二次函数y=2（x﹣3）2+1可知（）A．其图象的开口向下B．其图象的对称轴为x=﹣3C．其最大值为1D．当x＜3时，y随x的增大而减小【答案】D．【解析】试题分析：∵y=2（x﹣3）2+1，∴抛物线开口向上，对称轴为x=3，顶点坐标为（3，1），∴函数有最小值1，当x＜3时，y随x的增大而减小，故选D．【考点】二次函数的性质．【题文】如图中∠BOD的度数是（）A．150° B．125° C．110° D．55°【答案】C．【解析】试题分析：如图，连接OC．∵∠BOC=2∠BAC=50°，∠COD=2∠CED=60°，∴∠BOD=∠BOC+∠COD=110°，故选C．【考点】圆周角定理．【题文】如图，点E在y轴上，⊙E与x轴交于点A、B，与y轴交于点C、D，若C（0，9），D（0，﹣1），则线段AB的长度为（）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】C．【解析】试题分析：连接EB，如图所示：∵C（0，9），D（0，﹣1），∴OD=1，OC=9，∴CD=10，∴EB=ED=CD=5，OE=5﹣1=4，∵AB⊥CD，∴AO=BO=AB，OB==3，∴AB=2OB=6；故选：C．【考点】垂径定理；坐标与图形性质；勾股定理．【题文】如图，AB是圆O的直径，C、D是圆O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC、OC相交于点E、F．则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC=∠ABC；③CB平分∠ABD；④AF=DF；⑤BD=2OF．其中一定成立的是（）A．①③⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．①③④⑤【答案】D．【解析】试题分析：①∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BD，正确；②∠AOC=2∠ABC，错误；③、∵OC∥BD，∴∠OCB=∠DBC，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴∠OBC=∠DBC，∴CB平分∠ABD，④、∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BD，∵OC∥BD，∴∠AFO=90°，∵点O为圆心，∴AF=DF．⑤、由l试题分析：根据勾股定理得：斜边为=17，则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径r==3（步），即直径为6步，故选C【考点】三角形的内切圆与内心．【题文】如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB ，则旋转角的度数为（）A．35° B．40° C．50° D．65°【答案】C．【解析】试题分析：∵CC′∥AB，根据两直线平行，内错角相等可得∴∠ACC′=∠CAB=65°，∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，根据旋转的性质可得∴AC=AC′，∴∠CAC′=180°﹣2∠ACC′=180°﹣2×65°=50°，∴∠CAC′=∠BAB′=50°．故选C．【考点】旋转的性质．【题文】以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（）A．B． C． D．【答案】D．【解析】试题分析：如图1，∵OC=2，∴OD=2×sin30°=1；如图2，∵OB=2，∴OE=2×sin45°=；如图3，∵OA=2，∴OD=2×cos30°=，则该三角形的三边分别为：1，，，∵（1）2+（）2=（）2，∴该三角形是直角边，∴该三角形的面积是×1××=，故选：D．【考点】正多边形和圆．【题文】如图，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t（s），△OEF的面积为s（cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】试题分析：由点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，得到BE=CF=t，则CE=8﹣t，再根据正方形的性质得OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，然后根据“SAS”可判断△OBE≌△OCF，所以S△OBE=S△OCF，这样S四边形OECF=S△OBC=16，于是S=S四边形OECF﹣S△CEF=16﹣（8﹣t）t，然后配方得到S=（t﹣4）2+8（0≤t≤8），∴s（cm2）与t（s）的函数图象为抛物线一部分，顶点为（4，8），自变量为0≤t≤8．故选：B．【考点】动点问题的函数图象．【题文】点P（2，﹣1）关于原点的对称点坐标为P′（m，1），则m=．【答案】﹣2．【解析】试题分析：∵点P（2，﹣1）关于原点的对称点坐标为P′（m，1），∴m=﹣2，故答案为：﹣2．【考点】关于原点对称的点的坐标．【题文】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，4），将OA绕坐标原点O逆时针旋转90°至OA′，则点A′的坐标是．【答案】（﹣4，3）．【解析】试题分析：如图，过点A作AB⊥x轴于B，过点A′作A′B′⊥x轴于B′，∵OA绕坐标原点O逆时针旋转90°至OA′，∴OA=OA′，∠AOA′=90°，∵∠A′OB′+∠AOB=90°，∠AOB+∠OAB=90°，∴∠OAB=∠A′OB′，在△AOB和△OA′B′中，，∴△AOB≌△OA′B′（AAS），∴OB′=AB=4，A′B′=OB=3，∴点A′的坐标为（﹣4，3）．故答案为：（﹣4，3）．【考点】坐标与图形变化-旋转．【题文】关于x的二次函数y=x2﹣kx+k﹣2的图象与y轴的交点在x轴的上方，请写出一个满足条件的二次函数的表达式：．【答案】y=x2﹣3x+1.【解析】试题分析：∵关于x的二次函数y=x2﹣kx+k﹣2的图象与y轴的交点在x轴的上方，∴k﹣2＞0，解得：k＞2，∴答案为：y=x2﹣3x+1答案不唯一．【考点】二次函数的性质．【题文】如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点是A（1，0），对称轴为直线x=﹣1，则一元二次方程ax2+bx+c=0的解是．【答案】x1=1，x2=﹣3．【解析】试题分析：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点是A（1，0），对称轴为直线x=﹣1，∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点是（﹣3，0），∴一元二次方程ax2+bx+c=0的解是：x1=1，x2=﹣3．故答案为：x1=1，x2=﹣3．【考点】抛物线与x轴的交点．【题文】某种植物的主干长出若干数目的支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91．设每个支干长出x个小分支，则可得方程为．【答案】x2+x+1=91．【解析】试题分析：由题意设每个支干长出x个小分支，每个小分支又长出x个分支，则又长出x2个分支，则共有x2+x+1个分支，根据题意列方程得：x2+x+1=91．故答案为x2+x+1=91．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【题文】如图，AB是⊙O的一条弦，C是⊙O上一动点且∠ACB=45°，E、F分别是AC、BC的中点，直线EF 与⊙O交于点G、H．若⊙O的半径为2，则GE+FH的最大值为．【答案】4﹣．【解析】试题分析：连接OA，OB，∵∠ACB=45°，∴∠AOB=90°．∵OA=OB，∴△AOB是等腰直角三角形，∴AB=2，当GH为⊙O的直径时，GE+FH有最大值．∵点E、F分别为AC、BC的中点，∴EF=AB=，∴GE+FH=GH﹣EF=4﹣，故答案为：4﹣．【考点】三角形中位线定理；圆周角定理．【题文】按要求解一元二次方程：（1）x（x+4）=8x+12（适当方法）（2）3x2﹣6x+2=0（配方法）【答案】(1)x=﹣2或x=6；(2)x1=，x2=．【解析】试题分析：（1）整理成一般式后利用因式分解法求解可得；（2）配方法求解即可．试题解析：（1）原方程整理可得：x2﹣4x﹣12=0，因式分解可得（x+2）（x﹣6）=0，∴x+2=0或x﹣6=0，解得：x=﹣2或x=6；（2）3x2﹣6x+2=0，3x2﹣6x=﹣2，x2﹣2x=﹣，x2﹣2x+1=1﹣，即（x﹣1）2=∴x﹣1=±，∴x=1±，∴x1=，x2=．【考点】解一元二次方程-配方法．【题文】在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1，﹣4），且过点B（3，0）．（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标．【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）（4，0）．【解析】试题分析：（1）有顶点就用顶点式来求二次函数的解析式；（2）由于是向右平移，可让二次函数的y的值为0，得到相应的两个x值，算出负值相对于原点的距离，而后让较大的值也加上距离即可．试题解析：（1）∵二次函数图象的顶点为A（1，﹣4），∴设二次函数解析式为y=a（x﹣1）2﹣4，把点B（3，0）代入二次函数解析式，得：0=4a﹣4，解得a=1，∴二次函数解析式为y=（x﹣1）2﹣4，即y=x2﹣2x﹣3；（2）令y=0，得x2﹣2x﹣3=0，解方程，得x1=3，x2=﹣1．∴二次函数图象与x轴的两个交点坐标分别为（3，0）和（﹣1，0），∴二次函数图象上的点（﹣1，0）向右平移1个单位后经过坐标原点．故平移后所得图象与x轴的另一个交点坐标为（4，0）．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与几何变换．【题文】如图，AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，且CD⊥AB于点E．（1）若∠A=48°，求∠OCE的度数；（2）若CD=4，AE=2，求圆O的半径．【答案】（1）6°；（2）3.【解析】试题分析：（1）首先求出∠ADE的度数，再根据圆周角定理求出∠AOC的度数，最后求出∠OCE的度数；（2）由弦CD与直径AB垂直，利用垂径定理得到E为CD的中点，求出CE的长，在直角三角形OCE中，设圆的半径OC=r，OE=OA﹣AE，表示出OE，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解即可得到圆的半径r的值．试题解析：（1）∵CD⊥AB，∠A=48°，∴∠ADE=42°．∴∠AOC=2∠ADE=84°，∴∠OCE=90°﹣84°=6°；（2）因为AB是圆O的直径，且CD⊥AB于点E，所以CE=CE=×4=2，在Rt△OCE中，OC2=CE2+OE2，设圆O的半径为r，则OC=r，OE=OA﹣AE=r﹣2，所以r2=（2）2+（r﹣2）2，解得：r=3．所以圆O的半径为3．【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理．【题文】如图，△ABC 中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，与BC交于点D，过D作AC的垂线，垂足为E．证明：（1）BD=DC；（2）DE是⊙O切线．【答案】详见解析【解析】试题分析：（1）连接AD，由于AB是直径，那么∠ADB=90°，而AB=AC，根据等腰三角形三线合一定理可知BD=CD；（2）连接OD，由于∠BAC=2∠BAD，∠BOD=2∠BAD，那么∠BAC=∠BOD，可得OD∥AC，而DE⊥AC，易证∠ODB=90°，从而可证DE是⊙O切线．试题解析：如右图所示，（1）连接AD，∵A B是直径，∴∠ADB=90°，又∵AB=AC，∴BD=CD；（2）连接OD，∵∠BAC=2∠BAD，∠BOD=2∠BAD，∴∠BAC=∠BOD，∴OD∥AC，又∵DE⊥AC，∴∠AED=90°，∴∠ODB=∠AED=90°，∴DE是⊙O的切线．【考点】切线的判定；圆周角定理．【题文】如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙足够长），如果用50m长的篱笆围成中间有一道篱笆墙的养鸡场，设它的长度为x（篱笆墙的厚度忽略不计）．（1）要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少米？（2）如果中间有n（n是大于1的整数）道篱笆墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米？比较（1）（2）的结果，要使鸡场面积最大，鸡场长度与中间隔离墙的道数有怎样的关系？【答案】（1）25米；（2）即要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为25米；【解析】试题分析：（1）根据题意可以得到鸡场的面积与鸡场的长度的函数关系式，从而可以解答本题；（2）根据题意可以求得当中间有n（n是大于1的整数）道篱笆墙，鸡场的最大面积，从而可以解答本题．试题解析：（1）设鸡场的面积为y平方米，y=x（）=﹣+=，∴x=25时，鸡场的面积最大，即要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为25米；（2）设鸡场的面积为y平方米，y=x（）=﹣=，∴x=25时，鸡场的面积最大，即要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为25米；由（1）（2）可知，无论鸡场中间有多少道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，其长都是25m．【考点】二次函数的应用．【题文】如图，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，直线AN、MC交于点E，直线BM、CN 交于点F．（1）求证：AN=MB；（2）求证：△CEF为等边三角形；（3）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在（2）中画出符合要求的图形，并判断（1）（2）题中的两结论是否依然成立．并说明理由．【答案】详见解析【解析】试题分析：（1）可通过全等三角形来得出简单的线段相等，证明AN=BM，只要求出三角形ACN和MCB全等即可，这两个三角形中，已知的条件有AC=MC，NC=CB，只要证明这两组对应边的夹角相等即可，我们发现∠ACN和∠MCB都是等边三角形的外角，因此它们都是120°，这样就能得出两三角形全等了．也就证出了AN=BM．（2）我们不难发现∠ECF=180﹣60﹣60=60°，因此只要我们再证得两条边相等即可得出三角形ECF是等边三角形，可从EC，CF入手，由（1）的全等三角形我们知道，∠MAC=∠BMC，又知道了AC=MC，∠MCF=∠ACE=60°，那么此时三角形AEC≌三角形MCF，可得出CF=CE，于是我们再根据∠ECF=60°，便可得出三角形ECF是等边三角形的结论．（3）判定结论1是否正确，也是通过证明三角形ACN和BCM来求得．这两个三角形中MC=AC，NC=BC，∠MCB 和∠ACN都是60°+∠ACB，因此两三角形就全等，AN=BM，结论1正确．如图，当把MC逆时针旋转90°后，AC也旋转了90°，因此∠ACB=90°，很显然∠FCE＞90°，因此三角形FCE绝对不可能是等边三角形．试题解析：（1）∵△ACM，△CBN是等边三角形，∴AC=MC，l（3）连接AN，BM，∵△ACM、△CBN是等边三角形，∴AC=MC，BC=CN，∠ACM=∠BCN=60°，∵∠ACB=90°，∴∠ACN=∠MCB，在△ACN和△MCB中，，∴△ACN≌△MCB（SAS），∴AN=MB．当把MC逆时针旋转90°后，AC也旋转了90°，因此∠ACB=90°，很显然∠FCE＞90°，因此三角形FCE绝对不可能是等边三角形，即结论1成立，结论2不成立．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【题文】如图，在平面直角坐标系中，圆M经过原点O，且与x轴、y轴分别相交于A（﹣8，0），B（0，﹣6）两点．（1）求出直线AB的函数解析式；（2）若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M，顶点C在圆M上，开口向下，且经过点B，求此抛物线的函数解析式；（3）设（2）中的抛物线交x轴于D、E两点，在抛物线上是否存在点P，使得S△PDE=S△ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解析式为y=﹣x﹣6；（2）详见解析（3）详见解析．【解析】试题分析：（1）利用待定系数法可求出直线AB的解析式；（2）先利用勾股定理计算出AB=10，再根据圆周角定理得到AB为⊙M的直径，则点M为AB的中点，M（﹣4，﹣3），则可确定C（﹣4，2），然后利用顶点式求出抛物线解析式；（3）通过解方程﹣（x+4）2+2=0得到D（﹣6，0），E（﹣2，0），利用S△ABC=S△ACM+S△BCM，可求出S△ABC=10，设P（t，﹣t2﹣4t﹣6），所以（﹣2+6）|﹣t2﹣4t﹣6|=20，然后解绝对值方程求出t即可得到P点坐标．【试题解析】（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+b，把A（﹣8，0），B（0，﹣6）代入得，解得，所以直线AB的解析式为y=﹣x﹣6；（2）在Rt△AOB中，AB==10，∵∠AOB=90°，∴AB为⊙M的直径，∴点M为AB的中点，M（﹣4，﹣3），∵MC∥y轴，MC=5，∴C（﹣4，2），设抛物线的解析式为y=a（x+4）2+2，把B（0，﹣6）代入得16a+2=﹣6，解得a=﹣，∴抛物线的解析式为y=﹣（x+4）2+2，即y=﹣x2﹣4x﹣6；（3）存在．当y=0时，﹣（x+4）2+2=0，解得x1=﹣2，x2=﹣4，∴D（﹣6，0），E（﹣2，0），S△ABC=S△ACM+S△BCM=8CM=20，设P（t，﹣t2﹣4t﹣6），∵S△PDE=S△ABC，∴（﹣2+6）|﹣t2﹣4t﹣6|=20，即|﹣t2﹣4t﹣6|=1，当﹣t2﹣4t﹣6=1，解得t1=﹣4+，t2=﹣4﹣，此时P点坐标为（﹣4+，1）或（﹣4﹣，0）；当﹣t2﹣4t﹣6=﹣1，解得t1=﹣4+，t2=﹣4﹣；此时P点坐标为（﹣4+，﹣1）或（﹣4﹣，0）．综上所述，P点坐标为（﹣4+，1）或（﹣4﹣，0）或（﹣4+，﹣1）或（﹣4﹣，0）时，使得S△PDE=S△ABC ．【考点】圆的综合题；二次函数；圆周角定理；解一元二次方程．。

九年级上学期数学期中考试试卷及答案解析

九年级上学期数学期中考试试卷及答案解析一、选择题（每题4分，共40分）1. 有下列四个数：-1, 0, 1, √2，其中无理数是（）A. -1B. 0C. 1D. √2答案：D解析：无理数是指不能表示为两个整数比的数，√2无法表示为两个整数的比，故选D。

2. 下列各数中，与-3的平方相等的是（）A. 3B. -3C. 9D. -9答案：C解析：-3的平方为9，故选C。

3. 已知a = 2，b = -3，则a² - 2ab + b²的值为（）A. 25B. -25C. 1D. -1答案：A解析：将a和b的值代入a² - 2ab + b²，得(2)² -22(-3) + (-3)² = 4 + 12 + 9 = 25，故选A。

4. 下列等式中，正确的是（）A. (a²)³ = a⁶B. (a³)² = a⁶C. (a²)³ = a⁹D. (a³)² = a⁹答案：B解析：幂的乘方规则，(a³)² = a³² = a⁶，故选B。

5. 已知|a| = 5，且a < 0，则a的值为（）A. 5B. -5C. 10D. -10答案：B解析：绝对值表示一个数的非负值，|a| = 5表示a的绝对值为5，由于a < 0，所以a = -5，故选B。

6. 下列函数中，奇函数是（）A. y = x²B. y = x³C. y = |x|D. y = x² + 1答案：B解析：奇函数的定义是f(-x) = -f(x)，y = x³满足这个条件，故选B。

7. 下列关于x的不等式中，有解的是（）A. x² < 0B. x² ≤ 0C. x² > 0D. x² ≥ 0答案：D解析：任何数的平方都是非负数，所以x² ≥ 0对所有的x都有解，故选D。

四川省达州市高级中学校2024届九年级上学期期中考试数学试卷(含解析)

数学试卷本试卷分为第Ⅰ卷（选择题、填空题）和第Ⅱ卷（解答题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页．考试时间120分钟，满分150分．第Ⅰ卷一、选择题：（每小题4分，共40分；每小题选出正确答案后，请用2B 铅笔把机读卡上对应题号的答案标号涂黑．否则不得分．）1.下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（）A.2210x x+= B.20ax bx c ++= C.()()121x x -+= D.223250x xy y --=答案：C 解析：详解：解：A 、2210x x+=是分式方程，选项说法错误，不符合题意；B 、当0a =时，20ax bx c ++=不是一元二次方程，选项说法错误，不符合题意；C 、(1)(2)1x x -+=，即230x x +-=是一元二次方程，选项说法正确，符合题意；D 、223250x xy y --=是二元二次方程，选项说法错误，不符合题意；故选C ．2.已知四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC 与BD 相交于点O ，下列结论中不正确的是（）A.当AB BC =时，四边形ABCD 是菱形B.当AC BD ⊥时，四边形ABCD 是菱形C.当OA OB =时，四边形ABCD 是矩形D.当ABD CBD ∠=∠时，四边形ABCD 是矩形答案：D 解析：详解：解：如图：A 、∵四边形ABCD 是平行四边形，AB BC =，∴四边形ABCD 是菱形；A 选项正确；B 、∵四边形ABCD 是平行四边形，AC BD ⊥，∴四边形ABCD 是菱形；B 选项正确；C 、∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA OC =，OB OD =，又∵OA OB =，∴OA OB OC OD ===，∴四边形ABCD 是矩形；C 选项正确；D 、∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD ，∴ABD BDC ∠=∠，又∵ABD CBD ∠=∠，∴BDC CBD ∠=∠，∴BC CD =，∴四边形ABCD 是菱形；不能证明四边形ABCD 是矩形，D 选项错误，故选：D ．3.端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，妈妈买了2只红豆粽、3只碱水粽、5只干肉粽，粽子除内部馅料不同外其它均相同，小颖随意吃一个，吃到红豆粽的概率是（）A.110B.15C.13D.12答案：B 解析：详解：解：根据概率的定义，一共有10只粽子，其中红豆粽有2个，所以吃到红豆粽的概率是21105=．故选B ．4.如图，正方形ABCD 的边长是4，∠DAC 的平分线交DC 于点E ，若点P 、Q 分别是AD 和AE 上的动点，则DQ+PQ 的最小值（）A.2B.4C.D.答案：C 解析：详解：作D 关于AE 的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD 于P′，∵DD′⊥AE ，∴∠AFD=∠AFD′，∵AF=AF ，∠DAE=∠CAE ，∴△DAF ≌△D′AF ，∴D′是D 关于AE 的对称点，AD′=AD=4，∴D′P′即为DQ+PQ 的最小值，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DAD′=45°，∴AP′=P′D′，∴在Rt △AP′D′中，P′D′2+AP′2=AD′2，AD′2=16，∵AP′=P′D’，2P′D′2=AD′2，即2P′D′2=16，∴，即DQ+PQ 的最小值为2，故答案为C ．5.已知ABC 如图，则下列4个三角形中，与ABC 相似的是（）A. B. C. D.答案：D 解析：详解：∵由图可知，675AB AC B ==∠=︒，，∴75C ∠=︒，18030A B C ∠=︒-∠-∠=︒，A ．选项中三角形是等边三角形，各角的度数都为60︒，不与ABC 相似；B ．选项中三角形各角的度数分别是52.5︒，52.5︒，75︒，不与ABC 相似；C ．选项中三角形各角的度数分别为40︒，70︒，70︒，不与ABC 相似；D ．选项中三角形各角的度数分别为30，︒75︒，75︒，与ABC 相似；故选：D ．6.若578a b ck ===且323a b c -+=，则243a b c +-的值是（）A.14 B.42C.7D.143答案：D 解析：详解：解：578a b ck ===，5,7,8a k b k c k ∴===，323a b c -+= ，352783k k k ∴⨯-⨯+=，解，得13k =，578,333a b c ∴===578142432433333a b c ∴+-=⨯+⨯-⨯=，故选：D ．7.某市2020年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化、绿化面积逐年增加，到2022年底增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x ，由题意，所列方程正确的是（）A.()3001363x +=B.()23001363x +=C.()30012363x += D.()23631300x -=答案：B 解析：详解：解：设绿化面积平均每年的增长率为x ，根据题意得，()23001363x +=故选：B ．8.张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子1x x +（0x >）的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x ，则另一边长是1x，矩形的周长是12x x ⎛⎫+⎪⎝⎭；当矩形成为正方形时，就有1x x=（0x >），解得1x =，这时矩形的周长124x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭最小，因此1x x +（0x >）的最小值是2．模仿张华的推导，你求得式子225x x+（0x >）的最小值是（）A.10B.5C.15D.20答案：A 解析：详解：解：∵0x >，∴在原式中分母分子同除以x ，即22525x x x x+=+；在面积是25的矩形中设矩形的一边长为x ，则另一边长是25x，矩形的周长是252x x ⎛⎫+⎪⎝⎭；当矩形成为正方形时，就有25x x=（0x >），解得：5x =，这时矩形的周长25220x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭最小，因此225x x+（0x >）的最小值是10．故选：A ．9.如图，点C 是线段AB 的黄金分割点（AC BC >），下列结论错误的是（）A.AC BCAB AC= B.2•BC AC AB =C.12AC AB -= D.0.618≈BCAC答案：B 解析：详解：解：∵AC ＞BC ，∴AC 是较长的线段，根据黄金分割的定义可知：AB ：AC=AC ：BC ，故A 正确，不符合题意；AC 2=AB•BC ，故B 错误，12AC AB -=，故C 正确，不符合题意；0.618≈BCAC，故D 正确，不符合题意．故选B ．10.如图，在ABC 中60A ∠=︒，BM AC ⊥于点M ，CN AB ⊥于点N ，P 为BC 边的中点，连接PM PN ，，则下列结论：①PM PN =；②AM ANAB AC=；③PMN 为等边三角形；④当=45ABC ∠︒时，BN =．其中正确个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个答案：D 解析：详解：解：①∵BM AC ⊥于点M ，CN AC ⊥于点N ，P 为BC 边的中点，∴点P 是Rt MBC 和Rt NBC 的斜边的中点，∴12MP NP BC ==，故①正确；②∵BM AC ⊥于点M ，CN AC ⊥于点N ，∴90AMB ANC ∠=∠=︒，又∵A A ∠=∠，∴AMB ANC ∽ ，∴AM ANAB AC=，故②正确；③∵BM AC ⊥于点M ，CN AC ⊥于点N ，P 为BC 边的中点，∴点P 是Rt MBC 和Rt NBC 的斜边的中点，∴12MP NP BP CP BC ====，∴点M ，N ，B ，C 共圆，∴2NPM ABM ∠=∠，在Rt ABM 中，60A ∠=︒，∴30ABM ∠=︒，∴60NPM ∠=︒，∵PN PM =，∴PMN 是等边三角形，故③正确；④当=45ABC ∠︒时，BNC 为以BC 为斜边的等腰直角三角形，∴22BN BC =，故④正确；故选：D ．二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，满分24分，请把答案填写在答题卷上，否则不得分．）11.菱形的两条对角线长分别是方程214480x x -+=的两实根，则菱形的面积为______．答案：24解析：详解：解：x 2﹣14x +48=0，则有（x -6）(x -8)=0解得：x =6或x =8．所以菱形的面积为：（6×8）÷2=24．菱形的面积为：24．故答案为：24．12.已知关于x 的方程x 2+mx ﹣6=0的一个根为2，则m =___，另一个根是___．答案：①.1②.-3解析：详解：根据题意，得4+2m −6=0，即2m −2=0，解得，m =1，由韦达定理，知：12x x m +=-，∴221x +=-，解得：2 3.x =-故答案为：1，−3.13.关于x 的方程kx 2﹣2x +1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是_____．答案：k ＜1且k ≠0．解析：详解：解：∵关于x 的一元二次方程kx 2﹣2x +1＝0有两个不相等的实数根，∴k ≠0且△＞0，即(﹣2）2﹣4×k ×1＞0，解得k ＜1且k ≠0．∴k 的取值范围为k ＜1且k ≠0．故答案为：k ＜1且k ≠0．14.如图，△ABC 中，DE ∥BC ,23DE BC =,△ADE 的面积为8，则△ABC 的面积为______答案：18.解析：详解：∵在△ABC中，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∵23 DEBC=，∴2224()(39 ADEABCS DES BC===，∴9184ABC ADES S==．故选：18．15.将一副三角尺如图所示叠放在一起，则AEED的值是_______．答案：33133解析：详解：解：90BAC ACD∠=∠=︒，∴AB CD，∴30BAE EDC∠=∠=︒，45ABE ECD∠=∠=︒，∴ABE DCE∽，∴AE ABED CD=，∵AC AB=，∴AE ACED CD=，∵3tan 3AC D CD ∠==，∴3AE ED =，故答案为：33．16.在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为()1,0，点D 的坐标为()0,2．延长CB 交x 轴于点1A ，作正方形111A B C C ；延长11C B 交x 轴于点2A ，作正方形2221A B C C 1…按这样的规律进行下去，第2014个正方形的面积为______答案：4026352⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭解析：详解：解：∵正方形ABCD 的点A 的坐标为()1,0，点D 的坐标为()0,2．∴1OA =，2OD =，由勾股定理得，AD =12OA OD =，∵90ADO DAO ∠+=︒，190DAO BAA ∠+=︒，∴1ADO BAA ∠=，由题意得190DOA ABA ∠==︒，则1DOA ABA ∽，∴112A B OA AB OD ==，∵AD AB ==∴152A B =，则第二个正方形的面积为2221153522S A C ⎛⎫===⋅ ⎪⎝⎭⎭，同理可得第三个正方形的面积为2422215135352222S A C ⎛⎫⎛⎫==+⨯=⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，依此类推，第n 个正方形的面积为()21352n n S -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，则第2014个正方形的面积为：40262014352S ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭．故答案为：4026352⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭．第Ⅱ卷三、解答题：（本大题4个小题，共86分）解答时每小题需给出必要的演算过程或推理步骤．17.解方程：（1）22210x x --=（2）()()22320x x ---=答案：（1）112x +=，212x =（2）12x =，25x =解析：小问1详解：原方程变形为212x x -=配方得21344x x -+=，即21324x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴12x -=，∴1132x +=，2132x =．小问2详解：原方程可以变形为()()2230x x ---=，∴20x -=或230x --=，∴12x =，25x =．18.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A （﹣1，2），B （﹣3，4）C （﹣2，6）.（1）画出△ABC 绕点A 顺时针旋转90°后得到的△A 1B 1C 1；（2）以原点O 为位似中心，画出将△A 1B 1C 1三条边放大为原来的2倍后的△A 2B 2C 2．答案：（1）见解析；（2）见解析.解析：详解：（1）如图：△A 1B 1C 1即为所求；（2）如图：△A 2B 2C 2即为所求.19.已知关于x 的一元二次方程()22110x k x k +---=．（1）试判断此一元二次方程根的存在情况；（2）若方程有两个实数根x 1和x 2，且满足12111x x +=，求k 的值．答案：（1）有两个不相等的实数根（2）2k =解析：小问1详解：解：()()222Δ214144144450k k k k k k =----=-+++=+> ，()22110x k x k ∴+---=有两个不相等的实数根；小问2详解：由一元二次方程根与系数的关系可知：1212x x k +=-，121x x k ⋅=--，121212111x x x x x x ++==⋅ ，1211k k -∴=--，解得：2k =．20.第三届亚洲沙滩运动会服务中心要在某校选拔一名志愿者．经笔试、面试，结果小明和小颖并列第一．评委会决定通过抓球来确定人选．抓球规则如下：在不透明的布袋里装有除颜色之外均相同的2个红球和1个绿球，小明先取出一个球，记住颜色后放回，然后小颖再取出一个球．若取出的球都是红球，则小明胜出；若取出的球是一红一绿，则小颖胜出．你认为这个规则对双方公平吗？请用列表法或画树状图的方法进行分析．答案：见解析解析：详解：解：根据题意，用A 表示红球，B 表示绿球，列表如下：A A BAA A A AB A AA A A AB A B A B A B B B由此可知，共有9种等可能的结果，其中，两红球及一红一绿各有4种结果，(P ∴都是红球)=49，(1P 红1绿球)=49．(P 都是红球)(1P =红1绿球)，∴这个规则对双方是公平的．21.某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出400千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．（1）若商场只要求保证每天的盈利为4320元，同时又可使顾客得到实惠，每千克应涨价多少元？（2）若该商场经理想让这种水果每天的盈利为4600元，商场经理的想法能实现吗？如果能请求出每千克应涨价多少元，如果不能请说明理由．答案：（1）2元（2）不能，见解析解析：小问1详解：设每千克应涨价x 元，则()()10400204320x x =＋－，解得2x =或8x =，为了使顾客得到实惠，所以2x =，所以每千克应涨价2元．小问2详解：该商场经理想法不能实现．设每千克应涨价x 元，则()()10400204600x x =＋－，整理，得210300x x -+=，∵()2104130200∆=--⨯⨯=-<，∴该方程无解，∴不可能．22.如图，△ABC 中，AB =AC ，AD 是△ABC 的角平分线，点O 为AB 的中点，连接DO 并延长到点E ，使OE =OD ，连接AE ，BE ，（1）求证：四边形AEBD 是矩形；（2）当△ABC 满足什么条件时，矩形AEBD 是正方形，并说明理由．答案：（1）证明见解析；（2）当∠BAC =90°时，矩形AEBD 是正方形．理由见解析．解析：详解：（1）证明：∵点O 为AB 的中点，连接DO 并延长到点E ，使OE =OD ，∴四边形AEBD 是平行四边形，∵AB =AC ，AD 是∠BAC 的角平分线，∴AD ⊥BC ，∴∠ADB =90°，∴平行四边形AEBD 是矩形；（2）当∠BAC =90°时，理由如下：∵∠BAC =90°，AB =AC ，AD 是∠BAC 的角平分线，∴AD =BD =CD ，∵由（1）得四边形AEBD 是矩形，∴矩形AEBD 是正方形．23.如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AD 是CAB ∠的平分线，BE AE ⊥，垂足为点E ．求证：2BE DE AE =⋅．答案：见详解解析：详解：证明：∵AD 是CAB ∠的平分线，∴CAD BAD ∠=∠，∵90C ∠=︒，∴90CAD ADC ∠+∠=︒，又∵BE AE ⊥，∴90E ∠=︒，∴90EBD BDE ∠+∠=︒，而ADC BDE ∠=∠，∴CAD DBE BAE ∠=∠=∠，∴BDE ABE ∽△△，∴::BE AE DE BE =，∴2BE DE AE =⋅．24.阅读理解：如图1，在四边形ABCD 的边AB 上任取一点E （点E 不与点A 、点B 重合），分别连接ED ，EC ，可以把四边形ABCD 分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的强相似点．解决问题：（1）如图1，55A B DEC ∠=∠=∠=︒，试判断点E 是否是四边形ABCD 的边AB 上的相似点，并说明理由；（2）如图2在矩形ABCD 中，52AB BC ==，，且A ，B ，C ，D 四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD 的边AB 上的一个强相似点E ；拓展探究：（3）如图3，将矩形ABCD 沿CM 折叠，使点D 落在AB 边上的点E 处．若点E 恰好是四边形ABCM的边AB 上的一个强相似点，当BC =时，试求出AB 的值．答案：（1）是，理由见解析；（2）见解析；（3）2解析：详解：（1）点E 是四边形ABCD 的边AB 上的相似点．理由：55A ∠=︒ ，125ADE DEA ∴∠∠=︒＋，55DEC ∠=︒ ，125BEC DEA ∴∠∠=︒＋．ADE BEC ∴∠=∠，A B ∠=∠ ，ADE BEC ∴∽V V ，∴点E 是四边形ABCD 的AB 边上的相似点．（2）作图如下：点E 即为所求（下图中二选其一即可）（3）∵点E 是四边形ABCM 的边AB 上的一个强相似点，AEM BCE ECM ∴∽∽ ，BCE ECM AEM ∴∠=∠=∠,由折叠可知ECM DCM ：≌， ECM DCM CE CD ∴∠=∠=，，1303BCE BCD ∴∠=∠=︒，111222BE CE DC AB ∴===．在Rt BCE 中，设BE 为x ，CE 为2x ，根据勾股定理，222BC BE EC +=，可得2234x x +=，解得1x =±，0x >，1x ∴=，2CE =∴，即2AB =．25.如图，在平面直角坐标系内，已知点()0,6A 、点()8,0B ，动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，设点P 、Q 移动的时间为t秒．（1）求直线AB 的解析式；（2）当t 为何值时，APQ △与AOB 相似．（3）当t 为何值时，APQ △的面积为165个平方单位．答案：（1）y ＝－34x ＋6（2）3011秒或5013秒（3）1秒或4秒解析：小问1详解：解：设直线AB 的解析式为y kx b=+由题意，得680b k b =⎧⎨+=⎩，解得346k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩所以，直线AB 的解析式为364y x =-+．小问2详解：解：由68AO BO ==，得10AB =，∴102AP t AQ t ==-，，①当APQ AOB ∠=∠时，APQ AOB ∽．∴102610t t -=，解得3011t =②当AQP AOB ∠=∠时，AQP AOB ∽．∴102106t t -=，解得5013t =∴当t 为3011秒或5013秒时，APQ △与AOB 相似；小问3详解：解：过点Q 作QE 垂直AO 于点E ．在Rt AOB △中，4sin 5BO BAO AB ∠==在Rt AEQ △中，()48·sin 102855QE AQ BAO t t =∠=-=-，21184168422555APQ S AP QE t t t t ⎛⎫=⋅=⨯-=-+= ⎪⎝⎭ 解得，1t =（秒）或4t =（秒）∴当1t =秒或4t =秒时，APQ △的面积为165个平方单位．。

2022-2023学年上学期九年级期中考试数学试卷答案解析版

③∵b=2a，∴2a﹣b=0，所以③错误，不符合题意；
④∵x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞2，所以④正确，符合题意．
故选C．
12.【答案】B
【分析】首先判断出从点B到点C，△ABP的面积y与点P运动的路程x之间的函数关系是：y=x（0≤x≤1）；然后判断出从点C到点D，△ABP的底AB的高一定，高都等于BC的长度，所以△ABP的面积一定，y与点P运动的路程x之间的函数关系是：y=1（1≤x≤3），进而判断出△ABP的面积y与点P运动的路程x之间的函数图象大致是哪一个即可．
【详解】解：（1）由题意得， = = ；
（2）P= = = ，
∵x≥45，a=﹣20＜0，
∴当x=60时，P最大值=8000元，
即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元；
（3）由题意，得 =6000，
解得，，
∵抛物线P= 的开口向下，
∴当50≤x≤70时，每天销售粽子的利润不低于6000元的利润，
所以x1=x2=2.
23.【详解】（1）证明：如图1，连接，
是等边三角形，
．
，
．
，
．
．
．
于点．
点在上，
是的切线；
（2）解：如图2，连接，，
为直径，
．
，．
是等边三角形，
，．
，
．
．
24.【答案】（1）y=﹣20x+1600；
（2）当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元；
【详解】解：从点B到点C，△ABP的面积y与点P运动的路程x之间的函数关系是：y=x（0≤x≤1）；
因为从点C到点D，△ABP的面积一定：2×1÷2=1，

辽宁省大连市金州区2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题(含答案)

金普新区2024－2025学年度第一学期期中质量检测试卷九年级数学2024.11（本试卷共23道题满分120分考试时间共120分钟）注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效。

第一部分选择题（共30分）一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列方程中，是关于的一元二次方程的是（）A ．B ．C ．D ．2．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（）A ．B ．C ．D ．3．下面用数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A ．赵爽弦图B ．笛卡尔心形线C ．科克曲线D ．斐波那契螺旋线4．已知的半径为5，点在外，则的长可能是（）A ．3B ．4C ．5D ．65．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（）A ．B ．1C ．2D ．36．“读万卷书，行万里路．”某校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为，则可列方程为（）A ．B ．C ．D ．7．如图，为的直径，弦，垂足为点，若的半径为13，，则的长为（）x 310x -=23x y +=2210x x +-=410x -=()1,3()1,3--()1,3-()1,3-()3,1O P O OP x 220x x k -+=k 1-x ()21001121x +=()21001%121x +=()10012121x +=()()210010011001121x x ++++=AB O CD AB ⊥E O 24CD =AE（第7题）A ．5B ．6C ．7D ．88．抛物线的对称轴是直线，且经过点，则的值为（）A ．3B ．C ．6D ．9．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，点恰好在边上，连接，则的长为（）（第9题）A ．8B ．C ．D ．610．如图，在矩形中，，点从点出发以的速度沿向点运动，同时点从点出发以的速度沿向点运动，设经过的时间为的面积为，则下列图象中能大致反映与之间的函数关系的是（）（第10题）A ．B ．C ．D ．第二部分非选择题（共90分）二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）11．一天中，钟表时针从上午6时至上午9时旋转的度数为______．12．若是方程的一个实数根，则代数式的值为______．13．如图，是的切线，为切点，如果，则的长为______．221y x bx =++32x =()1,k k 3-6-Rt ABC △90,60,4ACB A AC ︒︒∠=∠==CAB △C CDE △D AB BEBEABCD 4cm,8cm AB BC ==P A 1cm /s AB B Q B 2cm /s BC C ,x s PBQ △2cm y y x x t =210x x --=22024t t -+,,AB AC BD O ,,P C D 8,5AB AC ==BD（第13题）14．如图是二次函数的部分图象，由图象可知，当时，自变量的取值范围是______．（第14题）15．如图，抛物线：与轴交于两点，点在第四象限的抛物线上，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，当点恰好落在轴上时，点的坐标为______．（第15题）三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程）16．（10分）（1）用配方法解方程：；（2）用公式法解方程：．17．（8分）如图所示，在正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给平面直角坐标系中按要求作图．2y ax bx c =++0y >x 223y x x =--x ,A B C BC CB C 90︒CD D y C 269x x -=-22340x x +-=ABC △（第17题）（1）以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得，画出，并写出的坐标；（2）直接写出线段与的关系：______．18．（8分）如图，四边形是的内接四边形，延长相交于点，且．求证：是等腰三角形．（第18题）19．（8分）如图，矩形画框由边框和内衬组成，其中画框的边框宽度相等，画框外框长为，宽为，且边框的面积为整个画框面积的，求这个矩形画框的边框宽度是多少厘米？（第19题）20．（8分）某商场以每件20元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于36元，经市场调查发现：该商品每天的销售量（件）与每件售价（元）之间符合一次函数关系，如图所示．（第20题）（1）求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；（2）设商场销售这种商品每天获利（元），当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？A ABC △A 90︒11ABC △11AB C △11,B C BC 11B C ABCD O ,DC ABE 2ABC E ∠=∠ADE △32cm 20cm 310y x y x x w21．（8分）如图1，是的直径，是弦，是的中点，与交于点，点在延长线上，且．（第21题图1）（1）求证：为的切线；（2）如图2，连接，若，求的长．（第21题图2）22．（12分）如图1，在中，，点是线段上一点（不与点重合），，以为旋转中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接．（第22题图1）（1）求（用含的式子表示）；（2）求证；；（3）如图2，当时，求的面积．（第22题图2）23．（13分）已知是自变量的函数，当时，称函数为函数的“相关函数”．AB O AC DAB CD AB E F AB CF EF =CF O BD 8,4CF BF ==BD ABC △,90AC BC ACB =∠=︒D AB ,A B ()045ACD αα︒∠=<<︒D DC 90︒DE EB EDB ∠αBE CB⊥2,AD CD ==BCD △1y x 213y xy =+2y 1y例如：函数，当时，则函数是函数的“相关函数”．（1）点在函数的图象上，判断点是否在函数的“相关函数”的图象上，并说明理由；（2）函数的“相关函数”为与的图象交于两点，点在点的左侧，的图象与轴交于点，点在的图象上，其横坐标为．①当点在第一象限时，过点作，垂足为点，当为何值时，线段的长度最大？最大值是多少？②当时，在的图象上，点与点之间部分（含点和点）的最大值与最小值之差为，求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围；③在②的条件下，函数图象上的点到直线的距离为时，直接写出自变量的值．（备用图）12y x =22132323y xy x x x =+=⋅+=+2223y x =+12y x =(),A m n 13y x =(),3B m mn +1y 2y 12y x =-+21,y y 2y ,A B A B 2y y C P 2y t P P PQ AB ⊥Q t PQ 0t >2y C P C P h h t t h 4h =72t金普新区2024－2025学年度第一学期期中质量检测九年级数学评分参考（※其他正确解法或证法请参照赋分）一，选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1．C 2．A 3．C 4．D 5．A 6．A 7．D 8．B 9．C 10．B二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）11．；12．2025；13．3；14．；15．．三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）16．（10分）（1）解：（2）解：∴方程有两个不相等的实数根∴17．（8分）90︒15x -<<269x x -=-26999x x -+=-+()230x -=30x -=123x x ==22340x x +-=2,3,4a b c ===-()22Δ43424410b ac =-=-⨯⨯-=>x ==12x x ==（1）如图即为所求作．；（2）且18．（8分）证明：∵，，∴，又∵四边形是的内接四边形，∴，又∵，∴，∴，∴，∴是等腰三角形．19．（8分）解：设这个矩形画框的边框宽度是厘米．由题意得，解得，（不符题意，舍去）答：这个矩形画框的边框宽度是2厘米．20．（8分）解：（1）设：与之间的函数关系式为．由图象，把代入得，解得，∴与之间的函数关系式为．（2）∵，∴∵，开口向下，对称轴为直线，∴当随的增大而增大，∴当时，答：当每件商品的售价定为36元时，每天销售利润最大，最大利润是768元．21．（8分）（1）证明：如图1，连接．∵，∴，∵，∴，∵是中点，∴，∴，又∵，∴，()()113,1,2,3B C --11BC B C =11BC B C ⊥2ABC E ∠=∠ABC E BCE ∠=∠+∠E BCE ∠=∠ABCD O 180A DCB ∠+∠=︒180DCB BCE ∠+∠=︒A BCE ∠=∠A E ∠=∠AD ED =ADE △x ()()33222023220110x x ⎛⎫--=⨯⨯- ⎪⎝⎭122,24x x ==y x ()0y kx b k =+≠()()25,70,35,50y kx b =+70255035k b k b =+⎧⎨=+⎩2120k b =-⎧⎨=⎩y x 2120,2036y x x =-+≦≦2x 120y =-+()20w x y=-()()202120x x =--+()2240800x =--+20a =-<40x =2036,x w ≤≤x 36x =()223640800768w =-⨯-+=最大值,OD OC CF EF =ECF CEF ∠=∠OC OD =OCD ODC ∠=∠DAB AD BD =AOD BOD ∠=∠180AOD BOD ∠+∠=︒90BOD ∠=︒∴在中，，又∵，∴，∴，即，∴，又∵是半径，∴是切线．（2）证明：如图2，连接．设，∵，∴，∴，∵由（1）得，，∴在中，根据勾股定理，即，解得，∴，∴在中，根据勾股定理，∴22．（12分）（1）解：∵线段顺时针旋转得到线段，∴，∵，∴，∴，∴，∴，．（2）证明：如图，过点作，交延长线于点．∴，由（1）得，，∴，∴，∴，∵线段顺时针旋转得到线段，Rt EOD △90ODE OED ∠+∠=︒OED CEF ∠=∠90ODE CEF ∠+∠=︒90OCD ECF ∠+∠=︒90OCF ∠=︒OC CF ⊥OC O CF O ,OD OC OE x =8,4CF EF BF ===844EB EF BF =-=-=4,8OC OB OE EB x OF OE EF x ==+=+=+=+90OCF BOD ∠=∠=︒Rt OCF △222OC CF OF +=()()222488x x ++=+2x =46OB OD x ==+=Rt OBD △222OB OD BD +=BD ===DC 90︒DE 90CDE ∠=︒,90AC BC ACB =∠=︒,90A CBA A CBA ∠=∠∠+∠=︒45A CBA ∠=∠=︒45CDB A ACD α∠=∠+∠=+︒()909045EDB CDB α∠=-∠=-︒︒+︒45α=︒-D MD DB ⊥BC M 90MDB ∠=︒45CBA ∠=︒18045M MDB CBA ∠=-∠-=︒∠︒M CBA ∠=∠MD BD =DC 90︒DE∴，∵，∴，即，∴，∴，∴，即．（3）证明：过点作，且使，连接．过点作，垂足为点．∴，∴，即，又∵由（1）得，∴，∴，∴，∵在中，根据勾股定理，∴，∵在中，根据勾股定理，∴，∵，∴是中点，又∵，∴，∴．23．（13分）（1）解：点是在函数的“相关函数”的图象上．∵点在函数的图象上，∴，∵，∴，∴当时，，,90DC DE CDE =∠=︒90MDB CDE ∠=∠=︒MDB CDB CDE CDB ∠-∠=∠-∠MDC BDE ∠=∠()SAS MCD BDE ≌△△45M DBE ∠=∠=︒90CBE CBA DBE ∠=∠+∠=︒BE CB ⊥C CN CD ⊥CN CD =,BN DN C CP AB ⊥P 90DCN ACB ︒∠==∠DCN DCB ACB DCB ∠-∠=∠-∠ACD BCN ∠=∠,AC BC CD CN ===∠45A CBA ∠=∠=︒()SAS ACD BCN ≌△△2,45AD BN A CBN ==∠=∠=︒454590DBN CBA CBN ∠=∠+∠=︒+=︒︒Rt DCN △222CD CN DN +=22220DN =+=Rt DBN △222DB BN DN +=4DB ===,AC BC CP AB =⊥P AB 90ACB ∠=︒()()111243222CP AB AD DB ==+=⨯+=1143622BCD S DB CP =⋅=⨯⨯=△(),3B m mn +1y 2y (),A m n 13y x =3n m =213y xy =+233y x x =⋅+,3x m n m ==2333y m m mn =⋅+=+∴点是在函数的“相关函数”的图象上．（2）解：①∵函数的“相关函数”为，∴，如图，过点作轴，垂足为点，交直线于点．∴，∵把代入得，，把代入得，，∴，∴又∵由题意得，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴在中，根据勾股定理，∴，∴，∵点在的图象上，其横坐标为．∴，∴，∴，∴，∵，开口向下，对称轴为直线，∴当时，(),3B m mn +1y 2y 12y x =-+2y ()21323y xy x x =+=-++223x x =-++()214x =--+P PN x ⊥N AB M 90PNF ∠=︒0x =1y 12y =10y =1y 2x =()()0,2,2,0E F 2OE OF ==90EOF ∠=︒,90OEF OFE OEF OFE ∠=∠∠+∠=︒45OEF OFE ∠=∠=︒18045NMF PNF OFE ∠=-∠-=︒∠︒45PMQ NMF ∠=∠=︒PQ AB ⊥90PQM ∠=︒18045QPM PQM PMQ ∠=-∠-=︒∠︒PMQ QPM ∠=∠PQ QM =Rt DBN △222PQ QM PM +=PM ===PQ PM =P 2y t ()2,23P t t t -++(),2M t t -+231PM t t =-++)223312PQ t t t ⎫=-++=-⎪⎭0a =<3,032t t -<<32t =PQ =最大值②令，∴，∵，抛物线顶点坐标，∴（ⅰ）当时，，∴，（ⅱ）当时，，∴（ⅲ）当时，，∴，综上，．③或．20,3x y ==()0,3C ()2,23P t t t -++()1,401t ≤<22223,3y t t y =-++=最大最小222332h t t t t =-++-=-+12t ≤<224,3y y ==最大最小431h =-=2t ≥2224,23y y t t ==-++最大最小()2242321h t t t t =--++=-+222,011,1221,2t t t h t t t t ⎧-+≤<⎪=≤<⎨⎪-+≥⎩1t =1+。

九年级数学期中模拟卷02(全解全析)【测试范围：九年级上册第二十一章~第二十四章】(人教版)

2024-2025学年九年级数学上学期期中模拟卷02（人教版）（考试时间：120分钟试卷满分：120分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：人教版九年级上册第二十一章~第二十四章。

5．难度系数：0.75。

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【详解】解：A ．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；B ．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；C ．是中心对称图形，但不是轴对称图形，故此选项不合题意；D ．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：B ．2．方程2430x x ++=的两个根为（）A ．121,3x x ==B ．121,3x x =-=C ．121,3x x ==-D ．121,3x x =-=-【答案】D【详解】∵243=(1)(3)x x x x ++++∴(1)(3)=0x x ++∴12=1=3x x --，故选：D ．3．抛物线y=（x+2）2﹣3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是（）A ．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B ．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C ．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D ．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位【答案】B【详解】解：将2y x =的图象向左平移2个单位后得函数()22y x =+的函数图象，将()22y x =+的图象向下平移3个单位得到()223y x =+-的函数图象，∴平移过程为：先向左平移2个单位，再向下平移3个单位．故选：B ．4．如图，△AOB 中，25B Ð=°，将AOB V 绕点O 顺时针旋转60°，得到A OB ¢¢△，边A B ¢¢与边OB 交于点C （A ¢不在OB 上），则A CO ¢∠的度数为（）A ．105°B ．95°C ．85°D ．75°【答案】C【详解】解：∵将AOB V 绕点O 顺时针旋转60°，得到A OB ¢¢△，∴2560B B BOB ¢¢Ð=Ð=°Ð=°，，∴85A CO B BOB ¢¢¢Ð=Ð+Ð=°，故选：C ．5．若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（）A ．1k >-B ．1k <C ．1k >-且0k ¹D ．1k <且0k ¹【答案】C 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程 2210kx x --= 有两个不相等的实数根，2∴ 1k >- 且 0k ¹ ．故答案为：C ．6．如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，120AOC Ð=°，点B 是 AC 的中点，则D Ð的度数是（）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°【答案】A【详解】连接OB ，∵点B 是 AC 的中点，∴∠AOB ＝12∠AOC ＝60°，由圆周角定理得，∠D ＝12∠AOB ＝30°，故选：A ．7．抛物线()=-+2y 2x 31过()14,y ，()23,y ，()31,y -三点，则123,,y y y 大小关系是（）A ．231y y y >>B ．132y y y >>C ．213y y y >>D ．312y y y >>【答案】D【详解】在二次函数()2231y x =-+，对称轴3x =，20a =>，开口向上，在图象上的三点()14,y ，()23,y ，()31,y -，点()31,y -离对称轴的距离最远，点()23,y 离对称轴的距离最近，312,y y y \>>故选：D ．8．如图，90,25AOB B Ð=°Ð=°，A OB ¢¢△可以看做是由AOB V 绕点O 顺时针旋转α角度得到的，若点A ¢在AB 上，则旋转角α的大小是（）A ．50°B ．65°C ．30°D ．40°【答案】A【详解】解：Q A OB ¢¢△是由AOB V 绕点O 顺时针旋转α角度得到，\AO A O ¢=，A OA a =Ð¢，Q 点A ¢在AB 上，\AOA ¢△是等腰三角形，A OA A ¢\Ð=Ð，Q 90,25AOB B Ð=°Ð=°，18065A AOB B \Ð=°-Ð-Ð=°，65A OA A ¢\Ð=Ð=°，\18050AOA A OAA ¢¢Ð=°-Ð-Ð=°，50a \=°，故选：A ．9．如图，边长为1的正六边形ABCDEF 放置于平面直角坐标系中，边AB 在x 轴正半轴上，顶点F 在y 轴正半轴上，将正六边形ABCDEF 绕坐标原点O 顺时针旋转，每次旋转45°，那么经过第2026次旋转后，顶点D 的坐标为（）A ．3,2æ-çèB ．3,2æ-ççèC ．32æöç÷èøD ．32ö-÷ø【答案】D 【详解】解：连接BD ，OD ，把OD 绕点O 顺时针旋转90°至OD ¢，过点D 作DG y ^轴于点G ，过点D ¢作DH y ^轴于点H ，在正六边形ABCDEF 中，1AF AB BC CD ====，120FAB BCD Ð=Ð=°，60,30,FAO AFO \Ð=°Ð=°11,22OA AF BD BD OB \===^，33,(22OB OA AB D =+=，3,2DG OG ==将正六边形ABCDEF 绕坐标原点O 顺时针旋转，每次旋转45°，360458¸=Q ，即8次旋转一周，20268253¸=余2，45290°´=°，故经过第2026次旋转后，顶点D 在D ¢的位置，90,90,GDO DOG D OH DOG ¢Ð+Ð=°Ð+Ð=°Q ,90,,GDO D OH DGO OHD OD OD ¢¢¢Ð=ÐÐ=Ð=°=()≌A A S DGO OHD ¢V V ，3,2OH DG OG HD ¢====即3)2D ¢-，故选：D ．10．如图为二次函数2y ax bx c =++的图象，在下列说法中：①0ac <；②方程20ax bx c ++=的根是11x =-，23x =；③0a b c ++<；④当1x >时，y 随x 的增大而减小；⑤20a b -=；⑥240b ac ->．下列结论一定成立的是（）A ．①②④⑥B ．①②③⑥C ．②③④⑤⑥D ．①②③④【答案】B【详解】解：①由图象可得，00a c ><，，0ac \<，故①正确，②2y ax bx c =++与x 轴的交点是()()1,03,0-，，∴方程20ax bx c ++=的根是1213x x =-=，，故②正确，③当1x =时，0y a b c =++<，故③正确，④∵该抛物线的对称轴是直线1312x -+==∴当x >1时，y 随x 的增大而增大，故④错误，⑤12b a -=则2a b =-,那么20a b +=，故⑤错误，⑥∵抛物线与x 轴两个交点，∴240b ac ->，故⑥正确，正确的为. ①②③⑥故选：B ．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．若点3P m （，）与点32Q n -（，）关于原点成中心对称，则m n +的值是__________.【答案】2【详解】解：∵点3P m （，）与点32Q n -（，）关于原点成中心对称，∴323m n =--=-，，∴5n =，则352m n +=-+=．故答案为：2．12．已知m 为一元二次方程2310x x --=的一个根，则代数式2262023m m -+的值为__________.【答案】2025【详解】解：∵m 是一元二次方程2310x x --=的一个根，2310m m \--=，∴231m m -=，∴()222620232320232120232025m m m m -+=-+=´+=．故答案为：2025．13．二次函数y=ax2+bx+c 和一次函数y=mx+n 的图像如图所示，则ax2+bx+c≤mx+n 时，x 的取值范围是__________.【答案】21x ££﹣【详解】解：依题意得求关于x 的不等式2ax bx c mx n ++£+的解集，实质上就是根据图像找出函数2y ax bx c =++的值小于或等于y mx n =+的值时x 的取值范围，由两个函数图像的交点及图像的位置可以得到此时x 的取值范围是21x ££﹣．故答案为：21x ££﹣．14．如图，在菱形OABC 中，OB 是对角线，2OA OB ==，⊙O 与边AB 相切于点D ，则图中阴影部分的面积为【答案】p【详解】解：如图，连接OD ，∵AB 是切线，则OD ⊥AB ，在菱形OABC 中，∴2AB OA OB ===，∴△AOB 是等边三角形，∴∠AOB=∠A=60°，∴1AD =，OD ==，∴122AOB S D =´=，2p =，∴阴影部分的面积为：22pp ´=-；故答案为：p ．15．如图，已知正方形ABCD 中，两动点M 和N 分别从顶点B 、C 同时出发，以相同的速度沿BC 、CD 向终点C 、D 运动，连接AM 、BN ，交于点P ，再连接PC ，若4AB =，则PC 长的最小值为__________.【答案】2-【详解】解：由题意得：BM CN =，∵四边形ABCD 是正方形，90,4ABM BCN AB BC \Ð=Ð=°==，在ABM V 和BCN △中，AB BC ABM BCN BH CN =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ABM≅△BCN(SAS)，BAM CBN \Ð=Ð，90ABP CBN Ð+Ð=°Q ，90ABP BAM \Ð+Ð=°，90ABP \Ð=°，∴点P 在以AB 为直径的圆上运动，设圆心为O ，运动路径一条弧 BG ，是这个圆的14，如图所示：连接OC 交圆O 于P ，此时PC 最小，4AB =Q ，2OP OB \==，由勾股定理得：OC ==2PC OC OP \=-=-；故答案为：2．三、解答题（本大题共8小题，共75分）16．（7分）解下列方程：（1）()()121x x x +-=+；2【详解】解：（1）原方程可化为：()()130x x +-=，∴x+1=0或x ﹣3=0，解得：x1=﹣1，x2=3；（3分）（2）原方程可化为：22530x x +-=，∴（x+3）(2x ﹣1)=0，∴x+3=0，2x ﹣1=0，解得：x1=﹣3，x2=12．（7分）17．（7分）如图，将ABC V 绕点A 逆时针旋转一个角度a ，得到△ADE ，点B 的对应点D 恰好落在BC 边上．且点A 、B 、E 在同一条直线上．(1)求证：AD 平分BDE Ð；(2)若AC DE ^，求旋转角a 的度数．【详解】（1）证明：∵△ADE 是由△ABC 旋转得到，1B Ð=Ð∴，AD AB =，2B \Ð=Ð，12\Ð=Ð，AD \平分BDE Ð．（3分）（2）解：如图，由旋转可知：34a Ð=Ð=，C E Ð=Ð，∵AC ⊥DE ，90C E a \Ð=Ð=-°，（4分）∵在ABD △中，AB AD =，()111809022B a a \Ð=°-=°-，（5分）Q 点,,A B E 在同一条直线上，∴4B C Ð=Ð+Ð，即190902a a a °-=°-+，（7分）解得72a =°．（8分）18．（8分）已知关于x 的一元二次方程210x ax a -+-=．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若该方程有一实数根大于2，求a 的取值范围．【详解】（1）解：210x ax a -+-=，根据题意得：()()()222414420a a a a a D =---=-+=-³，∴方程总有两个实数根；（4分）（2）解：210x ax a -+-=，∴()()110x x a --+=，解得：121,1x x a ==-，∵该方程有一实数根大于2，∴12a ->，3a >19．（9分）某商场销售一种商品，进价为每个20元，规定每个商品售价不低于进价，且不高于60元.经调查发现，每天的销售量y(个）与每个商品的售价x(元）满足一次函数关系，其部分数据如下表所示：（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）设商场每天获得的总利润为w （元），求w 与x 之间的函数关系式；（3）不考虑其他因素，当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是多少？【详解】（1）∵y 与x 满足一次函数关系.∴设y 与x 的函数表达式为y kx b =+()0k ¹.将()30,100，()40,80代入y kx b =+中，得10030.8040.k b k b =+ìí=+î 解得 2.160.k b =-ìí=î（2分）∴y 与x 之间的函数表达式为2160y x =-+.（3分）（2）由题意，得()()()22021602022003200w y x x x x x =-=-+-=-+-.∴w 与x 之间的函数表达式为222003200w x x =-+-.（5分）（3）()22220032002501800w x x x =-+-=--+.（7分）∵20-<，∴抛物线开口向下.由题可知：2060x ££，∴当x =50时，w 有最大值，=1800w 最大元. （8分）答：当售价定为50元时，商场每天获得总利润最大，最大利润是1800元. （9分）20．（10分）如图，已知△ABC 中，90BAC AB AC D E Ð=°=，，、是BC 边上的点，将ABD △绕点A 旋转，得到ACD ¢△．(1)当45DAE =°∠时，求证：DE D E ¢=；(2)在（1）的条件下，猜想：BD DE CE 、、有怎样的数量关系？请写出，并说明理由．【详解】（1）证明：由旋转性质得，△ABD≌△ACD ′，,AD AD BAD CAD ¢¢\=Ð=Ð，（2分）90,45BAC DAE Ð=°Ð=°Q ，904545BAD EAC \Ð+Ð=°-°=°，45CAD EAC DAE \Ð+Ð=°=Ð¢，D AE DAE ¢\Ð=Ð，在EAD ¢△和EAD V 中AD =AD ′∠D ′AE =∠DAE AE =AE，()SAS EAD EAD ¢\△≌△，（3分）DE ED \=¢；（4分）（2）222DE BD CE =+，理由如下：（5分）AB AC =Q ，且90BAC Ð=°，45B ACB \Ð=Ð=°，（6分）由（1）得，45ACD B Ð=Ð=¢°，90ECD ACB ACD ¢\+Ð¢Ð=Ð=°，ECD \¢△是直角三角形，（7分）222D E CE D C \=+¢¢，（8分）22221．（10分）如图，AC 是四边形ABCD 外接圆O 的直径，,30AB BC DAC =Ð=°，延长AC 到E 使得CE CD =，作射线ED 交BO 的延长线与,F BF 交AD 与G ．(1)求证：△ADE 是等腰三角形；(2)求证：EF 与O e 相切；(3)若3AO =，求FGD V 的周长．【详解】（1）证明：∵AC 是四边形ABCD 外接圆O 的直径，30DAC Ð=°，∴90ADC Ð=°，60ACD Ð=°，(2分)∵CE CD =，∴E CDE Ð=Ð，∵E CDE ACD Ð+Ð=Ð，∴30E CDE DAC Ð=Ð=°=Ð，∴AD DE =，∴△ADE 是等腰三角形；(3分)（2）证明：如图，连接OD ，(4分)∵60OC OD OCD =Ð=°，，∴△OCD 是等边三角形，∴60DOC Ð=°，∴18090EDO E DOC Ð=°-Ð-Ð=°，(4分)又∵OD 是半径，∴EF 与⊙O 相切；(5分)（3）解：∵AC 为直径，AB BC =，∴BF AC ^，∴18060AGO DAC AOG Ð=°-Ð-Ð=°，(6分)∵3OD AO ==，∴30ODA DAC Ð=Ð=°，∴30GOD AGO ADO ADO Ð=Ð-Ð=°=Ð，∴GD OG =，(7分)∵30DOF Ð=°，90ODF Ð=°，∴12DF OF =，由勾股定理得，OD =3=，解得DF =∴OF =(8分)∴△FGD的周长为FD FG GD FD FG OG FD OF ++=++=+=∴△FGD的周长为(10分)22．（12分）已知AOB V 和MON △都是等腰直角三角形,90OM ON AOB MON ö<=Ð=Ð=÷ø°．(1)如图1：连,AM BN ，求证：AM BN =；(2)若将MON △绕点O 顺时针旋转，①如图2，当点N 恰好在AB 边上时，若1,2AN ON ==，请求出线段BN 的长；②当点,,A M N在同一条直线上时，若AB ON ==BN的长．【详解】（1）证明：Q △AOB 和MON △都是等腰直角三角形，\OA OB =，OM ON =，Q 90AOB MON Ð=Ð=°，\MON AON AOB AON Ð+Ð=Ð+Ð，\AOM BON Ð=Ð，(2分)在AMO V 和△BNO 中，OM ON AOM BONOA OB =ìïÐ=Ðíï=î，\AMO BNO ≌△△()SAS ，\AM BN =；(4分)（2）解：①如图，连接AM ，Q △AOB 和MON △都是等腰直角三角形，\OA OB =，OM ON =， 45OAB OBA Ð=Ð=°，\MN ==．(5分)Q 90AOB MON Ð=Ð=°，\MON AON AOB AON Ð-Ð=Ð-Ð，\AOM BON Ð=Ð，在AMO V 和△BNO 中，OM ON AOM BONOA OB =ìïÐ=Ðíï=î，\AMO BNO ≌△△()SAS ，(6分)\AM BN =，45OAM OBN °Ð=Ð=，\454590MAN OAM OAN °+°=°Ð=Ð+Ð=，在Rt △AMN 中，222A M A N MN +=，\AM ===，\BN AM ==(8分)②分两种情况，当点N 在线段AM 上时，连接BN ，过点O 作OH M N ^于点H ，同（1）可得AM BN =，Q △AOB 和MON △都是等腰直角三角形，AB =ON =，\4MN ==，OA =OB ==5，Q O H M N ^，\MH =NH =OH =12MN =2，\AH ===\BN =AM =AH +MH =+2；(10分)当点M 在线段AN 上时，连接BN ，过点O 作O H M N ^于点H ，同①可证AMO BNO ≌△△()SAS ，\AM BN =，Q △AOB 和MON △都是等腰直角三角形，AB =ON =，\4MN ==，5OA OB AB ===，Q O H M N ^，\122MH NH OH MN ====，\AH ==\2BN AM AH MH ==-=．(11分)综上可知，BN22．(12分)23．（12分）如图所示，抛物线2y ax bx c =++与x 轴相交于()()1,03,0A B -与y 轴相交于点C (0,―3)，点M 为抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式及顶点M 的坐标；(2)如图2，若点N 是第四象限内抛物线上的一个动点，过点N 作x 轴的垂线，垂足为D ，并与直线BC 交于点Q ，连接BN CN 、．求BCN △面积的最大值及此时点N 的坐标；(3)若点P 在y 轴上，PBC △为等腰三角形，请直接写出P 点的坐标．【详解】（1）解：把点(1,0)A -和点(0,3)C -，点(3,0)B 代入抛物线2(0)y ax bx c a =++¹，则09303a b c a b c c -+=ìï++=íï=-î，解得123a b c =ìï=-íï=-î，∴抛物线的解析式为：2=23y x x --，故()1,4M -；(3分)（2）由（1）知抛物线的顶点为()1,4M -，设直线BC 的解析式为令y kx b ¢=+，将()(3,0),0,3B C -代入，得303k b b ¢¢+=ìí=-î，解得13k b =ìí=-¢î，设点2(,23),N m m m --，则(,3),Q m m -∴223233,NQ m m m m m =--++=-+∴CBN △面积22211393327(3)32222228QN OB m m m m m æö=××=-+×=-+=--+ç÷èø，∵302-<，∴当32m =时，CBN △面积的最大值为278．此时315,24N æöç÷èø；(6分)（3）设点P 坐标为()0,t ，∵(3,0),(0,3)B C -，∴222223318,9BC BP t =+==+，22(3)CP t =+，(7分)①当BC BP =时，即22BC BP =，∴2189t =+，解得123,3t t ==-(不合题意，舍去)，∴点P 的坐标为(0,3)；(8分)②当BC CP =时，即22BC CP =，∴()2183t =+，(9分)解得123,3t t ==()，∴点P的坐标为3)或3)；(10分)③当CP BP =时，即22CP BP =，∴()2293t t +=+，解得0t =，∴点P 的坐标为()0,0.(11分)综上，存在，点P 的坐标为(0,3)或3)或3)+或()0,0．(12分)。

新疆师范大学附属中学2023届九年级上学期期中考试数学试卷(含解析)

数学期中考试考试时间：120分钟满分：150分形式：闭卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题（本题共10小题，共50分）1.若方程2(1)1m x m x -+=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（）A.m 1≥B.0m ≥C.1m ≠ D.m 为任意实数答案：C 解析：详解：若方程2(1)1m x m x -+=是关于x 的一元二次方程，则m-1≠0，解得m≠1，故选：C ．2.下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.答案：A 解析：详解：解：A ．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；B ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C ．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；D ．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：A ．3.下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A.220x x -+=B.2310x x -+= C.2210x x --= D.24410x x -+=答案：A 解析：详解：解：A.220x x -+=中，24141270b ac -=-⨯⨯=-＜，故方程没有实数根；B.2310x x -+=中，24941150b ac -=-⨯⨯=＞，故方程有实数根；C.2210x x --=中，()24142190bac -=-⨯⨯-=＞，故方程有实数根；D.24410x x -+=中，24164410b ac -=-⨯⨯=，故方程有实数根.故选：A.4.抛物线()222y x =--的顶点坐标是（）A.()2,2- B.()2,2- C.()2,2 D.()2,2--答案：B 解析：详解：解：抛物线()222y x =--的顶点坐标是()2,2-；故选：B.5.如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，AC ∥OB ，∠BAO=25°，则∠BOC 的度数为（）A.25°B.50°C.60°D.80°答案：B 解析：详解：试题分析：先根据OA=OB ，∠BAO=25°得出∠B=25°，再由平行线的性质得出∠B=∠CAB=25°，根据圆周角定理即可得出结论．∵OA=OB ，∠BAO=25°，∴∠B=25°．∵AC ∥OB ，∴∠B=∠CAB=25°，∴∠BOC=2∠CAB=50°．故选B ．考点：圆周角定理及推论，平行线的性质.6.将22y x =向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线为（）A.()2241y x x =+- B.()2241y x =++C.()2241y x =-+ D.()2241y x =--答案：D解析：详解：解：将22y x =向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线为()2241y x =--．故选：D ．7.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？若设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，那么x 满足的方程是（）A.(1)121x x +=B.1(1)121x x ++=C.(1)121x x x ++= D.1(1)121x x x +++=答案：D 解析：详解：解：设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，则第一轮传染后患流感的人数是：1+x ，第二轮传染后患流感的人数是：1+x+x （1+x ），因此可列方程，1+x+x （1+x ）=121．故选：D ．8.在半径为４的圆中，垂直平分半径的弦长为（）A.B.C.D.答案：D 解析：详解：解：根据题意，画出图形，如左图由题意知，OA =4，OD =CD =2，OC ⊥AB ，∴AD =BD ，在Rt △AOD 中,AD =2，∴AB =2×2=4.故选D.9.如图，矩形ABCD 的顶点A ，B 分别在x 轴，y 轴上，2OA OB ==，A D =，将矩形ABCD 绕点O 顺时针旋转，每次旋转90︒，则第2021次旋转结束时，点D 的坐标为（）A.(4,6)B.(6,4)C.(6,4)-D.(4,6)-答案：A 解析：【详解：如图，过点D 作DE x ⊥轴于点E ，连接OD ，2OA OB == ，45ABO BAO ∴∠=∠=︒，四边形ABCD 是矩形90ABC ∴∠=︒，45DAE ∴∠=︒，B C A D ==4AE DE ∴==，6OE OA AE ∴=+=，(6,4)D ∴-，矩形ABCD 绕点O 顺时针旋转，每次旋转90︒，则第1次旋转结束时，点D 的坐标为(4,6)；则第2次旋转结束时，点D 的坐标为(6,4)-；则第3次旋转结束时，点D 的坐标为(4,6)--；则第4次旋转结束时，点D 的坐标为(6,4)-；…发现规律：旋转4次一个循环，202145051∴÷= ，则第2021次旋转结束时，点D 的坐标为(4,6)．故选：A ．10.如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++<图象的顶点为D ，其图象与x 轴的交点A ，B 的横坐标分别为3-和1，则下列结论正确的个数是（）①20a b -=；②20a b c ++<；③30a c -=；④当12a =-时，ABD △是等腰直角三角形A.1个B.2个 C.3个 D.4个答案：C 解析：详解：由题可得，图象与x 轴的交点A ，B 的横坐标分别为3-和1，则函数的对称轴为直线=1x -，12bx a∴=-=-，即2b a =，20a b ∴-=，故①正确；由开口可知，a<0，当1x =时，0y a b c =++=，2()0y a b c a a b c a ∴=++=+++=<，故②正确；当1x =时，0y a b c =++=，2b a = ，30a c ∴+=，即3c a =-，33(3)60a c a a a ∴-=--=<，故③错误；当12a =-时，函数的表达式为：211(1)(3)(1)222y x x x =--+=-++，(3,0)A ∴-,(1,0)B ,(1,2)D -，22(13)16AB =+=，222(13)(20)8AD =-++-=，222(11)(20)8B D =--+-=，AD BD ∴=且222AD BD AB +=满足勾股定理，ABD ∴ 是等腰直角三角形，故④正确．故选：C ．二、填空题（本题共6小题，共30分）11.一个二次函数解析式的二次项系数为1，对称轴为y 轴，且其图象与y 轴交点坐标为(0,1)，则其解析式为________．答案：21y x =+；解析：详解：解：设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c （a≠0），∵二次项系数为1，对称轴为y 轴，二次函数图像与y 轴交点坐标是（0，1），∴a=1，b=0，c=1，∴二次函数的解析式为y=x 2+1；故答案为y=x 2+1．12.若关于x 的一元二次方程240ax bx -+=的解是2x =，则20202a b +-的值是______．答案：2018解析：详解：把x =2代入方程ax 2﹣bx +4=0得：4a ﹣2b +4=0，所以2a ﹣b =﹣2，所以2020+2a ﹣b =2020﹣2=2018．故答案为2018．13.若点A （1，a ）关于原点的对称点是B （b ，﹣2），则ab 的值是__．答案：2-解析：详解：解：点A （1，a ）关于原点的对称点是B （b ，﹣2），1,2b a ∴=-=2ab ∴=-故答案为：2-．14.如图，AB 、AC 是⊙O 的弦，点D 是CA 延长线上的点．AD AB =，若25ADB ∠= ，则∠BOC 的度数是________°．答案：100解析：详解：解：∵AD =AB ，∠ADB =25°，∴∠ADB =∠ABD =25°，∴∠BAC =∠ADB +∠ABD =50°，∴∠BOC =2∠BAC =2×50°=100°．故答案为：100．15.飞机着陆后滑行的距离y （单位：m ）关于滑行时间量（单位：s ）的函数解析式是260 1.5y t t =-，那么，飞机着陆后滑行________m 才能停下来；着陆滑行中，最后2s 滑行的距离是________m ．答案：①.600②.6；解析：详解：解：当y 取得最大值时，飞机停下来，则y=60t-1.5t 2=-1.5（t-20）2+600，所以当t=20时，飞机停止，滑行距离为600米.最后2s 即为18s 到20s ，当t=18时，y=594，所以最后2s 滑行的距离为600-594=6（米）故答案是：600；6．16.在Rt ABC △中，90︒∠=C ，10AB =，8AC =，动点P 在AB 边上（不含端点A ，B ），以PC 为直径作圆．圆与BC ，CA 分别相交于点M ，N ，则线段MN 长度的最小值为________．答案：4.8．解析：详解：解：如图，设MN 的中点为O ，当⊙O 与AB 的切点为P 时，连接PO ，连接CP ，CO ，则有OP ⊥AB ．∵AB=10，AC=8，∴BC=6，∵MN=MO+NO ，NO=OC ，MO=OP ，∴OC+OP=MN ，∴OC+OP≥CP ，MN≥CP ．∴当MN=CP 时，MN 有最小值，∵OP ⊥AB ，∴CP ⊥AB ．∴=22ABC BC AC AB CPS ⨯⨯=△∴6810=22ABC CPS ⨯=△∴CP=4.8，即线段MN 长度的最小值为4.8．故选：D ．三、解答题（本大题共7题，共70分）17.解方程：（1）2280x -=；（2）210x x --=．答案：（1）12x =，22x =-；（2）1152x +=，2152x -=解析：详解：解：（1）2280x -=228x =24x =12x =，22x =-（2）210x x --=1,1,1a b c ==-=-()()22414115b ac -=--⨯⨯-=121x =⨯112x +=，212x -=答案：（1）k≤14；（2）k =-1解析：详解：（1）依题意∆=[-(2k -1)]2-4k 2．=-4k+1≥0解得，k≤14；（2）∵x 1+x 2=2k -1，x 1x 2=k 2，(x 1-1)(x 2-1)=x 1x 2-（x 1+x 2）+1=5，∴k 2-（2k -1）+1=5，解得，k =-1或3，∵3＞14，不合题意，舍去故k =-119.“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言可表达为：“如图，CD 为O 的直径，弦AB CD ⊥于点E ，1CE =寸，10AB =寸，则直径CD 的长为多少？答案：26寸解析：详解：解：连接OA ，∵10AB CD AB ⊥=，，∴5AE BE ==，设圆O 的半径OA 的长为x ，则OC OD x ==∵1CE =，∴1OE x =-，在直角三角形AOE 中，根据勾股定理得：()22215x x -=-，化简得：222125x x x -+-=，即226x =，解得：13x =所以26CD =（寸）．20.如图，铁路MN 和公路PQ 在点O 处交汇，∠QON ＝30°，在点A 处有一栋居民楼，AO ＝320m ，如果火车行驶时，周围200m 以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN 上沿ON 方向行驶时．（1）居民楼是否会受到噪音的影响？请说明理由；（2）如果行驶的速度为72km /h ，居民楼受噪音影响的时间为多少秒？答案：（1）居民楼会受到噪音的影响；（2）影响时间应是12秒．解析：详解：（1）如图：过点A 作AC ⊥ON ，∵∠QON ＝30°，OA ＝320米，∴AC ＝160米，∵AC ＜200，∴居民楼会受到噪音的影响；（2）以A 为圆心，200m 为半径作⊙A ，交MN 于B 、D 两点，即当火车到B 点时直到驶离D 点，对居民楼产生噪音影响，∵AB ＝200米，AC ＝160米，∴由勾股定理得：BC ＝120米，由垂径定理得BD ＝2BC ＝240米，∵72千米/小时＝20米/秒，∴影响时间应是：240÷20＝12秒．21.某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y （千克）与销售价x （元/千克）之间的函数关系如图所示：（1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）求每天的销售利润W （元）与销售价x （元/千克）之间的函数关系式．当销售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？答案：（1）y =-2x +60（10≤x ≤18）；（2）销售价为18元时，每天的销售利润最大，最大利润是192元．（3）15元．解析：详解：解：（1）设y 与x 之间的函数关系式y =kx +b ，把（10，40），（18，24）代入得1040{1824k b k b +=+=，解得2{60k b =-=，∴y 与x 之间的函数关系式y =-2x +60（10≤x ≤18）；（2）W =（x -10）（-2x +60）=-2x 2+80x -600，对称轴x =20，在对称轴的左侧y 随着x 的增大而增大，∵10≤x ≤18，∴当x =18时，W 最大，最大为192．即当销售价为18元时，每天的销售利润最大，最大利润是192元．（3）由150=-2x 2+80x -600，解得x 1=15，x 2=25（不合题意，舍去）答：该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为15元．22.正方形ABCD 的四个顶点都在⊙O 上，E 是⊙O 上的一点．（1）如图1，若点E 在 A B 上，F 是DE 上的一点，DF ＝BE ．①求证： ADF ≌ ABE ；②求证：DE ﹣BE＝AE ．（2）如图2，若点E 在 AD 上，直接写出线段DE 、BE 、AE之间的等量关系．答案：（1）①见解析；②见解析；（2）BE ﹣DEAE解析：详解：（1）①证明：在正方形ABCD 中，AB ＝AD，∵∠1和∠2都对»AE ，∴∠1＝∠2，在 ADF 和 ABE 中，12AB AD BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ ADF ≌ ABE （SAS ）；②由①有 ADF ≌ ABE ，∴AF ＝AE ，∠3＝∠4．在正方形ABCD 中，∠BAD ＝90°．∴∠BAF +∠3＝90°．∴∠BAF +∠4＝90°．∴∠EAF ＝90°．∴ EAF 是等腰直角三角形．∴EF 2＝AE 2+AF 2．∴EF 2＝2AE 2．∴EF ＝AE ．即DE ﹣DF AE ．∴DE ﹣BE AE ．（2）BE ﹣DE AE ．理由如下：在BE 上取点F ，使BF ＝DE ，连接AF ．∵AB ＝AD ，BF ＝DE ，∠ABE ＝∠EDA ，∴ ADE ≌ ABF （SAS ），∴AF ＝AE ，∠DAE ＝∠BAF ．在正方形ABCD 中，∠BAD ＝90°．∴∠BAF +∠DAF ＝90°．∴∠DAE +∠DAF ＝90°．∴∠EAF ＝90°．∴ EAF 是等腰直角三角形．∴EF 2＝AE 2+AF 2．∴EF 2＝2AE 2．∴EF ＝AE ．即BE ﹣BF ＝AE ．∴BE ﹣DE AE ．23.如图，抛物线2y ax bx =+过(4,0)A ，()1,3B 两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）点P 是抛物线上一点，且位于第一象限，当ABP 的面积为3时，求出点P 的坐标；（3）过B 作BC OA ⊥于C ，连接OB ，点G 是抛物线上一点，当BAG OBC BAO ∠+∠=∠时，请直接写出此时点G 的坐标．答案：（1）抛物线表达式为：24y x x =-+；（2）点P 坐标为(3,3)，(2,4)，517117,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭（3）点G 坐标为(3,3)，111,39⎛⎫⎪⎝⎭．解析：详解：解：（1）把点A （4，0），B （1，3）代入抛物线y=ax 2+bx得16403a b a b +=⎧⎨+=⎩解得14a b =-⎧⎨=⎩∴抛物线表达式为：y=-x 2+4x ；（2）设P 点横坐标为m ，当1＜m ＜4时，如图，过点P 作PM ∥y 轴，交AB 于点M ，连接BP 、AP ，由于A （4，0），B （1，3）∴3=32ABP PM S =△，∴PM=2，设直线AB 的解析式为y=kx+b ，将A （4，0），B （1，3）代入y=kx+b ，0=43k b k b+⎧⎨=+⎩，解得14k b =-⎧⎨=⎩，∴直线AB 的解析式为y=-x+4，设()2,4P m m m -+，()4M m,m -+，则PM=()2244=54m m m m m -+--+-+-，∴2542m m -+-=，解得，m=2或m=3，∴P 点坐标为()2,4或()3,3当0＜m ＜1时，如图，过点P 作PN ∥x 轴，交AB 于点N ，连接BP 、AP ，∴3=32ABP PN S =△，∴PN=2，设()2,4P m m m -+，则N 点横坐标为m+2，∴()22Nm ,m +-+，由于PN 两点纵坐标相同，∴24=2m m m -+-+，解得，152m =（舍去），252m =∴P 点坐标为5122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，综上所述，点P 坐标为(3,3)，(2,4)，5122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，.（3）如下图，过点A 作AE ⊥x 轴，过点G 作GE ⊥y 轴，交AE 于点E，易得∠BAC=45°，若BAG OBC BAO ∠+∠=∠，则∠OBC=∠GAE ，∴△BOC ∽△AGE ，即AE=3GE ，设()24G n,n n -+，则()2434n n n -+=⨯-解得，n=3或n=4（舍去）∴G (3,3)，如下图，连接AG 交BC 于点F，若BAG OBC BAO ∠+∠=∠，则∠OBC=∠GAO ，易得，△OBC ≌△FAC ，∴F （1,1）可得直线AF 的解析式为1433y x =-+联立解析式214334y x y x x⎧=-+⎪⎨⎪=-+⎩解得，x=4（舍去）或x=1 3，∴G111 ( 39，，综上所述，G(3,3)，G111 ( 39，.。

上海市金山区廊下中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题(解析版)

2023学年第一学期期中诊断评估九年级数学试卷（考试时间：100分钟满分150分）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1. 下列各组中的四条线段（单位：厘米）成比例线段的是（）A. 1、2、3、4；B. 1、2、4、8；C. 2、3、4、5；D. 5、10、15、20．【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了成比例线段的定义，熟练掌握对于给定的四条线段，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，则这四条线段叫做成比例线段是解题的关键．根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．【详解】解：A 、，故本选项不符合题意；B 、，故本选项符合题意；C 、，故本选项不符合题意；D 、，故本选项不符合题意；故选：B ．2. 在中，点、分别在边、上，如果，，那么下列条件中能够判断的是（）A.B.C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、平行线的判定等，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．先求出比例式，再根据相似三角形的判定得出，根据相似推出，根据平行线的判定得出即可．【详解】如图：4123⨯≠⨯1824⨯=⨯2534⨯≠⨯5201015⨯≠⨯ABC D E AB AC 3AD =6BD =DE BC ∥31AE AC =31DE BC =12AE AC =12DE BC =ADE ABC △△∽ADE B ∠=∠故A 选项符合题意．其它选项都不能判断出即不能判断出．故选：A ．3. 下列判断不正确的是（）A. ；B. 如果向量与均为单位向量，那么或；C. 如果，那么；D. 对于非零向量，如果，那么．【答案】B【解析】【分析】本题考查了平面向量、平行向量、单位向量，根据平面向量的性质逐一判断即可得出答案，解题的关键是熟练掌握基本知识．【详解】解：A 、，计算正确，原说法正确，故本选项不符合题意；B 、如果向量与均为单位向量，那么它们的模相等，即，原说法错误，故本选项符合题意；C 、如果，那么，原说法正确，故本选项不符合题意；D 、对于非零向量，如果，那么，原说法正确，故本选项不符合题意；13,6,,3AE AD =BD AC == 1,3AD AE AB AC ∴==,DAE BAC ∠=∠ ,ADE ABC ∴ ∽,ADE B ∴∠=∠,DE BC ∴∥,ADE ABC ∽DE BC ∥()222a b a b +=+ a b a b = a b =- a b = a b = b ()0a k b k =⋅≠ a b ()222a b a b +=+ a b a b = a b = a b = b ()0a k b k =⋅≠ a b4. 如图，点都是方格纸中的格点，为使（点和对应，点和对应），则点应是四点中的（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由图形可知△ABC 的边AB=4，AC=6 DE=2，当△DEM ∽△ABC 时，AB 和DE 是对应边，相似比是1：2，则AC 的对应边是3，则点M 的对应点是H ．【详解】解：根据题意，∵△DEM ∽△ABC ，AB=4，AC=6 DE=2∴DE ：AB=DM ：AC∴DM=3∴M 点的对应点应是H故选C ．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，相似三角形的对应边的比相等.5. 如图，下列条件中不能判断和相似的是（）A. B. C.D. ,,,,,,,,A B C D E F G H K 78⨯DEM ABC ∆∆ D A E B M ,,,F G H K FG H KACD ABC ACD B∠=∠ACB ADC ∠=∠AC AB CD BC=2AC AD AB =⋅【解析】【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握有两个角相等的两个三角形相似，两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，三边分别成比例的两个三角形相似．根据相似三角形的判定定理即可进行解答．【详解】解：A 、∵，，∴，故A 不符合题意；B 、∵，，∴，故B 不符合题意；C、由，不能判断和相似，符合题意；D 、∵，∴，又∵，∴，故D 不符合题意；故选：C ．6. 如图，在中，点是边延长线上的一点，交于点，下列各式中可能错误的是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据平行四边形的性质得到再利用平行线分线段成比例定理即可判断A 和B 选项，再利用平行线分线段成比例定理和等量代换即可判断C 选项，再证明，即可判断D 选项【详解】四边形是平行四边形，，，ACD B ∠=∠BAC CAD ∠=∠ACD ABC △△∽ACB ADC ∠=∠BAC CAD ∠=∠ACD ABC △△∽AC AB CD BC=ACD ABC 2AC AD AB =⋅AC AB AD AC=BAC CAD ∠=∠ACD ABC △△∽ABCD Y E BA CE AD F AE FE AB FC =AE AF AB DF =AE AF BE AD =BE CF BC FD= ABCD ∴AD BC ∥AB CD ∥，，，故选项A 和选项B 正确，不符合题意；故选项C 正确，不符合题意；四边形是平行四边形，，，，，故选项D 错误，符合题意；故选：D【点睛】此题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质．二、填空题：（本大题有12小题，每题4分，满48分）7. 如果，那么___________________．【答案】##【解析】【分析】根据分式的性质化简，再整体代入即可．【详解】解：∵，∴．故答案为：【点睛】本题考查了分式化简求值，注意整体代入思想的应用．8. 已知线段厘米，厘米，那么线段和比例中项_________厘米．的的∴AE FE AB FC =AF EF DF FC=∴AE AF AB DF =∴AB DF AE AF=∴AB AE AF DF AE AF++=∴BE AD AE AF=∴AE AF BE AD = ABCD ∴B D ∠=∠AB CD ∥∴E FCD =∠∠∴BEC DCF∽∴FBE BC DC D =23x y =x y y+=5321323x y =251133x y x y y +=+=+=532a =8c =a c b =【答案】【解析】【分析】本题考查了成比例线段，根据比例中项的定义，即可求解．详解】解：依题意，厘米，厘米，∴厘米，故答案为：．9. 在比例尺为的某市旅游地图上，某条道路的长为，那么这条道路的实际长度为_________．【答案】【解析】【分析】本题考查比例尺知识，能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换．根据比例尺图上距离实际距离，依题意列比例式直接求解即可．【详解】解：设这条道路的实际长度为，则：，解得．故答案是：．10. 线段长为，点在线段上，且满足，那么的长为_______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程的求解，根据题意设的长可以得出，利用给定的关系式可列出关于x 的方程求解即可．【详解】解：设，则，根据得代入得，解得（舍去），故答案为：．11. 若两个相似三角形周长比是4：9，则对应角平分线的比是______．【答案】4∶9【解析】【的4::a b b c =2a =8c =4b =41:500007cm km 3.5=:x 1750000x=()350000 3.5km x ==3.5AB 4cm P AB BP AP AP AB =AP cm 2AP BP =AP BP AB APAP x =4BP x =-=AP BP AB AP2AP AB BP =⋅()244x x =⨯-2x =-+2x =--2-【详解】试题解析：两个相似三角形的周长比是这两个三角形的相似比是对应角平分线的比等于相似比,是故答案是：点睛：相似三角形的周长比等于相似比.对应角平分线，中线，高之比都等于相似比.面积比等于相似比的平方.12. 如果向量与单位向量方向相反，长度为，那么向量用单位向量表示为 ___．【答案】【解析】【分析】由向量与单位向量方向相反，且长度为，根据向量的定义，即可求得答案．【详解】解：∵向量与单位向量方向相反，且长度为，∴＝−故答案为：＝−．【点睛】此题考查了平面向量的知识．此题比较简单，注意掌握单位向量的知识．13. 如图，，，，那么_________．【答案】6【解析】【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理和比例的基本性质，熟练掌握性质并用其求解是基本要求．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，再根据比例的基本性质进行计算．【详解】∵，，，∴，即∴．4:9.∴4:9.4:9.4:9.a e 12a e 12a e =-a e 12a e 12a 12ea 12e AD BC ∥E F ∥23AE BE =4cm DF =FC =cm AD BC ∥E F ∥23AE BE =4cm DF =23AE DF BE FC ==423FC =6FC =故答案为：6．14. 如图，在中，点、分别在边、上，如果，，那么与四边形的面积之比是_________．【答案】【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是本题的解题关键．利用平行判定，然后利用相似三角形的性质求得，从而求解．【详解】解：∵，∴．∵，∴．∴．故答案为：．15. 如图，在中，，，是的重心，那么点到直角顶点的距离_________．【答案】【解析】【分析】本题考查三角形的重心的概念和性质、直角三角形的性质、根据点G 是的重心，可得点ABC D E AB AC :3:5AD AC =ADE C ∠=∠ADE V BCED 9:16ADE ACB ∽925ADE ABC S S =△△A A ∠=∠ADE C∠=∠ADE ACB ∽:3:5AD AC =925ADE ABC S S =△△:9:16ADE BCED S S =四边形△9:16Rt ABC △90ACB ∠=︒15AB =G Rt ABC △G C GC =5ABCM 是的中点，且，问题随之得解【详解】如图所示，延长与交于点M ，∵在中，，∴是直角三角形，∵点G 是的重心，∴，∵点G 是的重心，∴．故答案为：5 ．16. 如图，在中，平分，，，，则________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等角对等边，平行线的性质，角平分线的定义，先由平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，设，则，证明，得到，即，解方程即可得到答案．【详解】解；∵平分，∴，∵，∴，∴，AB 23CG CM =CG AB ABC 90ACB ∠=︒ABC ABC 11522CM AB ==ABC 253CG CM ==ABC BE ABC ∠DE BC ∥3AD =6BC =DE =3DEB DBE ∠=∠DE BD =DE BD x ==3AB AD BD x =+=+ADE ABC △△∽AD DE AB BC =3336x =+BE ABC ∠ABE CBE ∠=∠DE BC ∥DEB CBE ∠=∠DEB DBE ∠=∠∴，设，则，∵，∴，∴，即，解得，经检验，是原方程的解，∴，故答案为；3．17. 如图，正方形的边在的边上，点、分别在边、上．如果的边长为6，面积为24，那么正方形的边长_________．【答案】##【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．由得，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求解．【详解】解：作交于点，交于点，由正方形得，即，，．DE BD =DE BD x ==3AB AD BD x =+=+DE BC ∥ADE ABC △△∽AD DE AB BC =3336x =+3x =3x =3DE =DEFG EF ABC BC D G AB AC ABC BC DEFG 247337∥DG BC △∽△ADG ABC AH BC ⊥BC H DG P DEFG DG EF ∥∥DG BC AH BC ⊥ AP DG ∴⊥由得，．，，，，即，∵的边长为6，面积为24，∴，∴，设正方形的边长，得，解得．故正方形的边长是．故答案为：．18. 如图，梯形中，，，，将梯形沿直线翻折，使得点与点重合，折痕与边、相交于点、．如果，那么的值是_________．【答案】【解析】【分析】先得出，再设，结合梯形性质以及矩形性质，得出，运用勾股定理得，证明。

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九年级上学期期中考试数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是（）A．B．C．D．3．如图，圆的两条弦AB，CD相交于点E，且＝，∠A＝40°，则∠CEB的度数为（）A．50°B．80°C．70°D．90°4．在平面直角坐标系xoy中，△OAB各顶点的坐标分别为：O（0，0），A（1，2），B（3，0），以原点O为位似中心，相似比为2，将△OAB放大，若B点的对应点B′的坐标为（﹣6，0），则A点的对应点A′坐标为（）A．（﹣2，﹣4）B．（﹣4，﹣2）C．（﹣1，﹣4）D．（1，﹣4）5．如图，在平行四边形ABCD中，点E在DC边上，连接AE，交BD于点F，若DE：EC＝3：1，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4B．9：16C．9：1D．3：16．如图是某一正方体的展开图，那么该正方体是（）A．B．C．D．7．下表是小红填写的实践活动报告的部分内容：设铁塔顶端到地面的高度FE为xm，根据以上条件，可以列出的方程为（）题目测量铁塔顶端到地面的高度测量目标示意图相关数据CD＝10m，α＝45°，β＝50°A．x＝（x﹣10）tan50°B．x＝（x﹣10）cos50°C．x﹣10＝x tan50°D．x＝（x+10）sin50°8．如图1，点P从△ABC的顶点A出发，沿A﹣B﹣C匀速运动，到点C停止运动．点P运动时，线段AP的长度y与运动时间x的函数关系如图2所示，其中D为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（）A．10B．12C．20D．24二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC．若AD＝2，AB＝3，DE＝4，则BC的长为．10．如图，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2米，在同一时刻，一棵大树的影长为8米，则这棵树的高度为米．11．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝8，OE＝3，则⊙O的半径为．12．如图，等边三角形ABC的外接圆⊙O的半径OA的长为2，则其内切圆半径的长为．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，有两点A（2，4），B（4，0），以原点O为位似中心，把△OAB缩小得到△OA'B'．若B'的坐标为（2，0），则点A'的坐标为．14．如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC＝105°，则∠C的度数是．15．一批上衣，每件原件500元，第一次降价后，销售甚慢，于是再次进行大幅降价，第二次降价后的百分率是第一次降价的百分率的2倍，结果这批上衣以每件240元的价格迅速出售，设第一次降价的百分率为x，则可列方程为16．如图，在△ABC中，AM：MD＝4，BD：DC＝2：3，则AE：EC＝．三.解答题（本题共68分，第17-23题，每小题5分，第24-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．（5分）计算：4sin30°﹣cos45°﹣tan30°+2sin60°18．（5分）下面是小明设计的“作平行四边形的高”的尺规作图过程已知：平行四边形ABCD．求作：AE⊥BC，垂足为点E．作法：如图，①分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；②作直线PQ，交AB于点O；③以点O为圆心，OA长为半径做圆，交线段BC于点E；④连接AE．所以线段AE就是所求作的高．根据小明设计的尺规作图过程（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：∵AP＝BP，AQ＝，∴PQ为线段AB的垂直平分线．∴O为AB中点．∵AB为直径，⊙O与线段BC交于点E，∴∠AEB＝°．（）（填推理的依据）∴AE⊥BC．19．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，3），B（4，0），C（0，﹣1）．（1）以点C为旋转中心，把△ABC逆时针旋转90°，画出旋转后的△A'B'C；（2）在（1）的条件下，①点A经过的路径AA'的长度为（结果保留π）；②点B'的坐标为．20．（5分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM⊥AB于M点，AM＝2，AC＝2，求BC及cos B的值．21．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACB，点E，F分别在AB，BC上，且∠EFB＝∠D．（1）求证：△EFB∽△CDA；（2）若AB＝20，AD＝5，BF＝4，求EB的长．22．（5分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC＝4，AC＝4．（1）求点O到AC的距离；（2）求∠ADC的度数．23．（5分）如图，在测量“河流宽度”的综合与实践活动中，小李同学设计的方案及测量数据如下：在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D（点B，C，D在同一条直线上），AB⊥BD，∠ACB＝45°，CD＝20米，且．若测得∠ADB＝25°，请你帮助小李求河的宽度AB．（sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，结果精确到0.1米）．24．（6分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AB上一点，以AE为直径作⊙O与BC相切于点D，连接ED并延长交AC的延长线于点F．（1）求证：AE＝AF；（2）若AE＝5，AC＝4，求BE的长．25．（6分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝40°，点D是线段BC上的动点，将线段AD绕点A顺时针旋转50°至AD'，连接BD'．已知AB＝2cm，设BD为x cm，BD'为y cm．小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整．（说明：解答中所填数值均保留一位小数）（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：x/cm00.50.7 1.0 1.5 2.0 2.3y/cm 1.7 1.3 1.10.70.9 1.1（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．（3）结合画出的函数图象，解决问题：线段BD'的长度的最小值约为cm；若BD'≥BD，则BD的长度x的取值范围是．26．（7分）在正方形ABCD中，BC＝2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点P．（1）求PD的长；（2）点E在DC上，点F在DP上，且∠DFE＝45°．若PF＝，求CE的长．27．（7分）如图，M为正方形ABCD内一点，点N在AD边上，且∠BMN＝90°，MN＝2MB．点E为MN的中点，点P为DE的中点，连接MP并延长到点F，使得PF＝PM，连接DF．（1）依题意补全图形；（2）求证：DF＝BM；（3）连接AM，用等式表示线段PM和AM的数量关系并证明．28．（7分）对于⊙C与⊙C上的一点A，若平面内的点P满足：射线AP与⊙C交于点Q（点Q可以与点P重合），且1≤≤2，则点P称为点A关于⊙C的“生长点”．已知点O为坐标原点，⊙O的半径为1，点A（﹣1，0）．（1）若点P是点A关于⊙O的“生长点”，且点P在x轴上，请写出一个符合条件的点P的坐标；（2）若点B是点A关于⊙O的“生长点”，且满足tan∠BAO＝，求点B的纵坐标t的取值范围；（3）直线y＝x+b与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN上存在点A关于⊙O的“生长点”，直接写出b的取值范围是．参考答案与试题解析1．【解答】解：A、不是中心对称图形，本选项错误；B、不是中心对称图形，本选项错误；C、不是中心对称图形，本选项错误；D、是中心对称图形，本选项正确．故选：D．2．【解答】解：由图可得，直角三角形的斜边长＝＝5，∴sinα＝，故选：A．3．【解答】解：∵＝，∴∠A＝∠C＝40°，∴∠CEB＝∠A+∠C＝80°，故选：B．4．【解答】解：如图所示：∵相似比为2，∴A'（﹣2，﹣4），故选：A．5．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴△DEF∽△BAF，∵DE：EC＝3：1，∴DE+DC＝DE：AB＝3：4，∴＝（）2＝．故选：B．6．【解答】解：根据正方体的展开图可得选：B．故选：B．7．【解答】解：过D作DH⊥EF于H，则四边形DCEH是矩形，∴HE＝CD＝10，CE＝DH，∴FH＝x﹣10，∵∠FDH＝α＝45°，∴DH＝FH＝x﹣10，∴CE＝x﹣10，∵tanβ＝tan50°＝，∴x＝（x﹣10）tan 50°，故选：A．8．【解答】解：根据图象可知，点P在AB上运动时，此时AP不断增大，由图象可知：点P从A向B运动时，AP的最大值为5，即AB＝5，点P从B向C运动时，AP的最小值为4，即BC边上的高为4，∴当AP⊥BC，AP＝4，此时，由勾股定理可知：BP＝3，由于图象的曲线部分是轴对称图形，∴PC＝3，∴BC＝6，∴△ABC的面积为：×4×6＝12，故选：B．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝，即＝，∴BC＝6．故答案为：6．10．【解答】解：∵同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，＝，∴＝，∴BC＝6.4米．故答案为6.4．11．【解答】解：连接OD，∵CD⊥AB于点E，直径AB过O，∴DE＝CE＝CD＝×8＝4，∠OED＝90°，由勾股定理得：OD＝＝＝5，即⊙O的半径为5．故答案为：5．12．【解答】解：过点O作OH⊥AB与点H，∵△ABC是等边三角形，∴∠CAB＝60°，∵O为三角形外心，∴∠OAH＝30°，∴OH＝OA＝1，故答案为：113．【解答】解：点B的坐标为（4，0），以原点O为位似中心，把△OAB缩小得到△OA'B'，B'的坐标为（2，0），∴以原点O为位似中心，把△OAB缩小，得到△OA'B'，∵点A的坐标为（2，4），∴点A'的坐标为（2×，4×），即（1，2），故答案为：（1，2）．14．【解答】解：∵∠AOC的度数为105°，由旋转可得∠AOD＝∠BOC＝40°，∴∠AOB＝105°﹣40°＝65°，∵△AOD中，AO＝DO，∴∠A＝（180°﹣40°）＝70°，∴△ABO中，∠B＝180°﹣70°﹣65°＝45°，由旋转可得，∠C＝∠B＝45°，故答案为：45°．15．【解答】解：设第一次降价的百分率为x，则第二次降价的百分率为2x，根据题意得：500（1﹣x）（1﹣2x）＝240，故答案是：500（1﹣x）（1﹣2x）＝24016．【解答】解：如图，过点D作DF∥BE交AC于点F．∴EF：FC＝BD：DC，AM：MD＝AE：EF．∵BD：DC＝2：3，∴EF：FC＝BD：DC＝2：3．设EF＝2a，则CF＝3a．∵AM：MD＝AE：EF，∵AM：MD＝4：1∴AE：EF＝4：1∴AE＝8a∴AE：EC＝8a：5a＝8：5．故答案是：8：5．三.解答题（本题共68分，第17-23题，每小题5分，第24-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．【解答】解：4sin30°﹣cos45°﹣tan30°+2sin60°＝4×﹣×﹣×+2×＝2﹣1﹣1+＝．18．【解答】解：（1）图形如图所示：（2）理由：连接AQ，BQ，AP，BP．∵AP＝BP，AQ＝BQ，∴PQ为线段AB的垂直平分线，∴O为AB中点，∵AB为直径，⊙O与线段BC交于点E，∴∠AEB＝90°．（直径所对的圆周角是直角），∴AE⊥BC．故答案为：BQ，90，（直径所对的圆周角是直角）．19．【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C即为所求；（2）①∵AC＝＝5，∠ACA′＝90°，∴点A经过的路径的长为＝，故答案为：；②由图知点B′的坐标为（﹣1，3），故答案为：（﹣1，3）．20．【解答】解：∵CM⊥AB，AM＝2，AC＝2，∴Rt△ACM中，CM＝＝4，在Rt△ACM中，tan A＝＝2，在Rt△ABC中，tan A＝＝＝2，∴BC＝4，在Rt△BCM中，根据勾股定理得，BM＝＝8 cos B＝＝＝．21．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∴∠B＝∠DAC，∵∠D＝∠EFB，∴△EFB∽△CDA；（2）∵△EFB∽△CDA，∴，∵AB＝AC＝20，AD＝5，BF＝4，∴BE＝16．22．【解答】解：（1）作OM⊥AC于M，∵AC＝4，∴AM＝CM＝2，∵OC＝4，∴OM＝＝2；（2）连接OA，∵OM＝MC，∠OMC＝90°，∴∠MOC＝∠MCO＝45°，∵OA＝OC，∴∠OAM＝45°，∴∠AOC＝90°，∴∠B＝45°，∵∠D+∠B＝180°，∴∠D＝135°．23．【解答】解：设河宽AB为x米．∵AB⊥BD，∴∠ABC＝90°，∵∠ACB＝45°，∴∠BAC＝45°，∴AB＝BC＝x，∵CD＝20，∴BD＝20+x．∵BD•tan25°＝AB，∴（x+20）tan25°＝x，∴x＝∴x≈17.7．答：河宽AB约为17.7米．24．【解答】证明：（1）连接OD，∵BC切⊙O于点D，∴OD⊥BC，∴∠ODC＝90°，又∵∠ACB＝90°，∴OD∥AC，∴∠ODE＝∠F，∵OE＝OD，∴∠OED＝∠ODE，∴∠OED＝∠F，∴AE＝AF；（2）∵OD∥AC∴△BOD∽△BAC，∴，∵AE＝5，AC＝4，即，∴BE＝．25．【解答】解：（1）如图1，在AC上取一点E使AE＝AB＝2，由旋转知，AD＝AD'，∠DAD'＝50°＝∠BAC，∴∠DAE＝∠D'AB，在△DAE和△D'AB中，，∴△DAE≌△D'AB（SAS），∴DE＝BD'＝y，在Rt△ABC中，AB＝2，∠C＝40°，∴∠BAC＝50°，AC＝＝≈＝3.13，BC＝＝≈≈2.40∴CE＝AC﹣AE＝3.13﹣2＝1.13，过点E作EF⊥BC于F，在Rt△CEF中，EF＝CE•sin C＝1.13×sin40°≈0.72，CF＝CE•cos C＝1.13×cos40°≈1.13×0.78≈0.88，当x＝1时，BD＝1，∴DF＝BC﹣BD﹣CF＝2.40﹣1﹣0.88＝0.52，在Rt△DEF中，根据勾股定理得，y＝DE＝≈0.9，故答案为：0.9．（2）函数图象如图2所示．（3）方法1、由图象和表格知，线段BD'的长度的最小值约为0.7cm，∵BD'≥BD，∴y≥x，由图象知，0≤x≤0.9，故答案为：0.7，0≤x≤0.9．（3）方法2、由（1）知，BC＝2.4，CF＝0.88，EF＝0.72，DF＝BC﹣BD﹣CF＝2.40﹣x﹣0.88＝1.52﹣x，根据勾股定理得，y＝＝，∵0≤x≤2.40，∴x＝1.52时，y最小＝0.72≈0.7，当BD'＝BD时，DE＝y＝x在Rt△DEF中，根据勾股定理得，DE2＝DF2+EF2，∴x2＝（1.52﹣x）2+（0，72）2，∴x≈0.9∴BD'≥BD，则BD的长度x的取值范围是0≤x≤0.9．故答案为：0.7，0≤x≤0.9．26．【解答】解：（1）如图作PK⊥AD于K，PH⊥AB于H．∵四边形ABCD是正方形，∴∠P AD＝∠P AB＝45°，∵PK⊥AD，PH⊥AB，∴PK＝PH，∴＝＝＝，∴AB＝AD＝2，AM＝BM＝1，∴DM＝，∴＝2，∴PD＝×＝．（2）∵PF＝，PD＝，DM＝，∴DF＝，PM＝，∵DE∥AM，∴∠AMP＝∠EDF，∵∠DFE＝∠MAP＝45°，∴△AMP∽△FDE，∴＝，∴＝，∴DE＝，∴EC＝2﹣＝．27．【解答】解：（1）如右图所示；（2）∵点P为线段DE的中点，∴DP＝EP在△MPE和△FPD中，∴△MPE≌△FPD（SAS），∴DF＝EM，∵E为MN的中点，∴MN＝2ME，∵MN＝2MB，∴MB＝ME＝DF，∴DF＝BM；（3）结论：，证明：连接AF，由（2）可知：△MPE≌△FPD，∴∠DFP＝∠EMP，∴DF∥ME，∴∠FDN＝∠MND，在正方形ABCD中，AD＝AB，∠BAD＝90°，又∵∠BMN＝90°，∴∠MBA+∠MNA＝180°，又∵∠MNA+∠MND＝180°，∴∠MBA＝∠MND，∴∠FDN＝∠MBA，在△F AD和△MAB中，，∴△F AD≌△MAB（SAS），∴∠F AD＝∠MAB，F A＝MA，∴∠F AM＝∠DAB＝90°，∴△F AM为等腰直角三角形，∴又∵FM＝2PM，∴．28．【解答】解：（1）（2，0）（答案不唯一）．（2）如图，在x轴上方作射线AM，与⊙O交于M，且使得，并在AM上取点N，使AM＝MN，并由对称性，将MN关于x轴对称，得M'N'，则由题意，线段MN和M'N'上的点是满足条件的点B．作MH⊥x轴于H，连接MC，∴∠MHA＝90°，即∠OAM+∠AMH＝90°．∵AC是⊙O的直径，∴∠AMC＝90°，即∠AMH+∠HMC＝90°．∴∠OAM＝∠HMC．∴．∴．设MH＝y，则AH＝2y，，∴，解得，即点M的纵坐标为．又由AN＝2AM，A为（﹣1，0），可得点N的纵坐标为，故在线段MN上，点B的纵坐标t满足：，由对称性，在线段M'N'上，点B的纵坐标t满足：，∴点B的纵坐标t的取值范围是或．（3）如图，Q是⊙O上异于点A的任意一点，延长AQ到P，使得P A＝2AQ，易知点P的运动轨迹是以K（1，0）为圆心2为半径的圆，当直线MN与⊙K相切于点R时，连接KR，在Rt△KMR中，易知∠KRM＝90°，∠KMR＝60°，KR＝2，∴KM＝2÷sin60°＝，∴OM＝1+，∴ON＝OM＝4+，∴b＝﹣4﹣，当直线MN经过G（0，﹣1）时，满足条件，此时b＝﹣1，观察图象可知：当﹣4﹣≤b≤﹣1时，线段MN上存在点A关于⊙O的“生长点”，根据对称性，同法可得当1≤b≤4﹣时，也满足条件．故答案为或．。