6.3_一元一次方程及其解法(1)
一元一次方程的解法与应用知识点总结
一元一次方程的解法与应用知识点总结一元一次方程是初中数学中的基本内容之一。
它是由一个未知数和该未知数的一次幂组成的方程。
解一元一次方程是数学学科中的基本技能之一，在实际生活中也有广泛的应用。
本文将总结一元一次方程的解法以及其应用的相关知识点。
一、一元一次方程的求解方法在解一元一次方程时，我们通常可以使用以下三种方法：试验法、等式法和图解法。
1. 试验法试验法是最简单的解一元一次方程的方法之一。
它适用于方程中的未知数的值比较小且能够通过试验得到准确答案的情况。
例如：假设方程为：2x + 3 = 9我们可以通过试验不同的x值，将其代入方程，直到找到满足等式的x值。
在本例中，试验x=3时，等式两边的值相等，即2×3+3=9，因此x=3是方程的解。
2. 等式法等式法是一种常用的解一元一次方程的方法，它可以通过变换方程，使未知数出现在等式的一侧，从而得到解。
例如：假设方程为：5x - 2 = 13我们首先将方程中的常数项移到等式的另一侧，变为：5x = 13 + 2。
然后，我们进一步进行化简计算：5x = 15。
最后，我们将方程两边除以系数5，得到：x = 3。
因此，x = 3是原方程的解。
3. 图解法图解法是通过在坐标系上绘制方程的图像，找到方程的解。
对于一元一次方程来说，图解法相对直观，特别适用于不太复杂的方程。
例如：假设方程为：3x - 4 = 8我们将方程转化为图像的形式，即斜率为3，截距为-4的直线，并将直线与y轴相交的点表示为解。
通过观察图像，我们可以得到解x=4的结论。
二、一元一次方程的应用知识点一元一次方程在实际生活中有着广泛的应用，特别是在问题求解中。
以下列举了几个常见的应用知识点。
1. 线性函数一元一次方程可以表示线性函数的关系，其中x代表自变量，方程的解代表因变量的取值。
线性函数在数学和自然科学中的应用广泛，例如物体的运动、电路中的电流和电压等。
2. 商业和经济问题一元一次方程可用于解决商业和经济领域的问题，例如成本、利润和销售等。
沪科版七年级上册数学精品教案之一元一次方程及其解法第1课时教案
3.1 一元一次方程及其解法(第1课时)-教案合肥琥珀中学七年级组 刘义一、教学背景1.教材分析：教材从实际问题入手，让学生经历通过对实际问题的分析、建立一元一次方程概念的过程，使学生认识方程来源于生活.从而体会学习方程的意义和作用，再提出根据等式的基本性质解方程。
2.学情分析：学生在小学已学过简单的方程和等式的基本性质，通过上一章整式加减的学习，学生能够通过对实际问题的分析和解决方法的探讨，自主构建方程模型解决问题，从而能自觉地进入一元一次方程概念及其解法的学习。
二、教学目标1.知道等式的基本性质，掌握利用等式的基本性质解一元一次方程;2.学会写一元一次方程的检验，理解解一元一次方程过程中的转化思想;3.通过解一元一次方程体验探索成功的乐趣。
三、教学重难点1.重点：利用等式的基本性质解简单的一元一次方程。
2.难点：理解解一元一次方程的实质是对等式的变形，变形的目的是将原方程变形为x=a （其中a 为常数）的形式.五、教学过程教师活动 学生活动设计意图一、创设情景，导入新课情境1：学生们除每人1个饭碗外，菜碗和汤碗都共用，菜碗是两人共用一个，汤碗4人共用1个，这样共用56个碗.你能帮我算算一共来了多少名学生？ 情境2：与生互动请一名学生说出自己的年龄，老师报出自己的的年龄.请同学们思考几年后老师的年龄是学生的2倍？积极思考，认真审题，根据题意设出未知数x ，再根据等量关系列出关于x 的等式。
通过生活实例，激发学生学习兴趣，让学生利用方程来刻画生活中的实际问题，感受数学来源于生活564121=++x x x通过以上所列含未知数的等式回顾小学所学的方程的有关概念.方程: 含有未知数的等式叫方程. 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值 ，一元方程的解也叫做方程的根. 解方程：就是求方程的解的过程.积极回顾并回答二、互动新授问题1：再观察上述两个方程有何特点？ 总结方程特点，引出一元一次方程概念. 一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，且等式两边都是整式的方程叫做一元一次方程牛刀小试：判断下列各式是不是一元一次方程？① x+3y=4 ②2x- =6③ -6x=0 ④ ⑤ 2x-x-8 ⑥2y+8=5y问题2：如何求方程的解呢？将方程变形，得到x=a （a 为常数）的形式 问题3：能根据什么知识将方程变形？ 等式的基本性质请同学们通过课件中天平演示回顾等式的 基本性质，并用数学符号语言描述.等式的基本性质： 性质1：等式的两边都加上（或减去）同一个数（或同一个整式），所得结果仍是等式。
一元一次方程的解法和应用
一元一次方程的解法和应用一元一次方程是数学中最基本的代数方程之一，它的解法和应用涵盖了许多实际问题的求解和解释。
在本文中，我们将探讨一元一次方程的解法和应用的相关内容。
一元一次方程的一般形式为ax + b = 0，其中a和b是已知实数，而x是未知数。
解一元一次方程的最常见方法是通过移项、整理以及代入求解的方式。
首先，我们来看一种常见的解法——移项法。
假设我们有一个一元一次方程2x + 3 = 0，我们可以通过移项的方式将方程化简为2x = -3，然后再通过对x进行运算，即可得到x = -3/2。
这个解法的关键在于将未知数的系数和常数项分别移到方程的两侧，使得方程能够简化求解。
其次，我们来介绍另一种解法——整理法。
以方程3x - 5 = 2x+ 1为例，我们可以通过整理方程的形式，将所有含有未知数x的项合并在一起，即3x - 2x = 1 + 5，进一步简化为x = 6。
整理法的好处在于可以对方程进行运算，将未知数的系数进行合并，从而得到简洁明了的解答。
除了上述基本解法外，我们还可以通过代入法来求解一元一次方程。
代入法一般适用于含有较为复杂的方程，可以通过将已知的数值代入方程，从而求得未知数的解。
例如，对于方程2x - 1 = x + 4，我们可以假设x = 0，代入方程得到2x = 5，因此x = 2.5。
再将x = 2.5代入方程进行验证，可以发现等式成立，从而验证了解的正确性。
解一元一次方程的方法不限于以上三种，实际上还有很多其他的解法，例如图解法、平衡法等。
然而，这些方法在特定情况下的适用性和有效性会有所不同，需要根据具体问题来选择合适的解法。
一元一次方程的应用十分广泛，几乎涵盖了各个领域。
例如在经济学中，一元一次方程可以用来解决成本、收入和利润等经济问题；在物理学中，一元一次方程可以用来求解力、速度和加速度等物理量的关系；在几何学中，一元一次方程可以用来求解直线的斜率和截距等相关问题。
此外，一元一次方程还可以应用于实际生活中的日常问题，比如计算购买商品所需的总花费、预测人口增长率、解决交通运输问题等。
解一元一次方程的基本方法
解一元一次方程的基本方法解一元一次方程是初中数学中的基础内容，它是解决实际问题和推导数学关系的重要工具。
本文将介绍解一元一次方程的基本方法，以及通过实例演示这些方法的具体应用。
一、一元一次方程的定义与形式一元一次方程是一个未知数和系数确定的代数等式，其一般形式为ax+b=0，其中a和b是已知数，x是未知数。
在解一元一次方程时，我们的目标是找到使等式成立的x值。
二、解一元一次方程的基本方法主要有两种，即代入法和消元法。
1. 代入法代入法是通过将一个已知数值代入方程中来求解未知数的方法。
具体步骤如下：（1）将未知数代入方程中，得到等式；（2）通过化简等式，求解出未知数的值；（3）检验所得解是否满足原方程。
例如，对于方程2x-3=7，我们可以使用代入法进行求解。
将x=5代入方程中，得到2(5)-3=7，化简得到10-3=7，即7=7。
因此，x=5是方程的解。
2. 消元法消元法是通过变换方程中的项，使得方程转化为较为简单的形式，从而求解未知数的方法。
具体步骤如下：（1）观察方程中的项，选择合适的变换方式；（2）对方程采取相应的变换操作，将方程转化为更简单的形式；（3）重复以上步骤，直到方程化简为ax=b的形式；（4）计算未知数的值；（5）检验所得解是否满足原方程。
例如，对于方程3x+5=2x+10，我们可以使用消元法进行求解。
通过将方程两边减去2x，得到x+5=10。
再将方程两边减去5，得到x=5。
因此，x=5是方程的解。
三、解一元一次方程的实际应用解一元一次方程不仅仅是数学中的一部分知识，它还具有广泛的实际应用。
下面将通过实例来展示解一元一次方程在实际问题中的具体应用。
例1：某商店举行打折促销活动，原价为x的商品打8折，最终售价为72元。
求原价x。
解：设原价为x，则打8折后的价格为0.8x。
根据题意可得方程0.8x=72。
通过解方程可得x=90。
因此，原价为90元。
例2：一架直升机以每小时192公里的速度直飞，从起飞地出发2.5小时后，到达了90公里外的目的地。
(完整版)一元一次方程及其解法
一元一次方程及其解法1．一元一次方程(1)一元一次方程的概念只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，且等式两边都是整式的方程叫做一元一次方程．如：7－5x＝3,3(x＋2)＝4－x等都是一元一次方程．解技巧正确判断一元一次方程判断一元一次方程的四个条件是：①只含有一个未知数(元)；②未知数的次数都是一次；③未知数的系数不能为0；④分母中不含未知数，这四个条件缺一不可．(2)方程的解①概念：使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解．一元方程的解，也叫做方程的根．②方法：要检验某个数值是不是方程的解，只需看两点：一看，它是不是方程中未知数的值；二看，将它分别代入方程的左边和右边，假设方程左、右两边的值相等，那么它是方程的解．如x＝3是方程2x－4＝2的解，而y＝3就不是方程2x－4＝2的解．(3)解方程求方程的解的过程叫做解方程．方程的解和解方程是不同的概念，方程的解是求得的结果，它是一个数值(或几个数值)，而解方程是指求出方程的解的过程．【例1－1】以下各式哪些是一元一次方程( )．11＝1；－1＝2；－5＝1；x2＋2x＋1A．S＝2ab；B.x－y＝0；＝0；D.2 x＋3＝0；＋2.解析：E中不含未知数，所以不是一元一次方程；G中未知数的次数是2，所以不是一元一次方程；A与B中含有的未知数不是一个，也不是一元一次方程；H虽然形式上字母的个数是一个，但它不是等式，所以也不是一元一次方程；D中分母中含有未知数，不是一元一次方程；只有C，F符合一元一次方程的概念，所以它们是一元一次方程．答案：CF【例1－2】x ＝－3是以下方程A ．－5(x －1)＝－4(x －2) ()的解．B ．4x ＋2＝11C ．3x ＋5＝5D ．－3x －1＝0解析：对于选项A ，把x ＝－3代入所给方程的左右两边，左边＝－5×(－3－1)＝20，右边＝－4×(－3－2)＝20，因为左边＝右边，所以x ＝－3是方程－5(x －1)＝－4(x －2)的解；对于选项B ，把x ＝－3代入所给方程的左右两边，左边＝4×(－3)＋2＝－10，右边＝1，因为左边≠右边，所以x ＝－3不是方程4x ＋2＝1的解，选项C ，D 按以上方法加以判断，都不能使方程左右两边相等，只有A 的左右两边相等，故应选A.答案：A2．等式的根本性质 (1)等式的根本性质①性质1：等式的两边都加上 (或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式． 用式子形式表示为：如果a ＝b ，那么a ＋c ＝b ＋c ，a －c ＝b －c.②性质2：等式的两边都乘以 (或除以)同一个数(除数不能是零)，所得结果仍是等式． 用式子形式表示为： 如果a ＝b ，那么ac ＝bc ，a ＝b(c ≠0)．c c③性质3：如果a ＝b ，那么b ＝a.(对称性) 如由－8＝y ，得y ＝－8.④性质4：如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c.(传递性) 如：假设∠1＝60°，∠2＝∠1，那么∠2＝60°.(2)等量代换在解题过程中，根据等式的传递性，一个量用与它相等的量代替，简称等量代换．谈重点 应用不等式的性质的考前须知(1)应用等式的根本性质 1时，一定要注意等式两边同时加上 (或减去)同一个数或同一个 整式，才能保证所得结果仍是等式． 这里特别要注意： “同时〞和“同一个〞，否那么就会破坏相等关系．(2)等式的根本性质2 中乘以(或除以)的仅仅是同一个数而不包括整式，要注意与性质1的区别．(3)等式两边不能都除以 0，因为0 不能作除数或分母．【例2－1】以下运用等式的性质对等式进行的变形中，正确的选项是()．5A ．假设4y ＋2＝3y －1，那么y ＝1B ．假设7a ＝5，那么a＝7C ．假设x＝0，那么x ＝2D ．假设x－1＝1，那么x －6＝12 6解析：首先观察等式的左边是如何由上一步变形得到的， 确定变形的依据，再对等式的右边进行相应的变形，得出结论．A 根据等式的根本性质1，等式的两边都减去 3y ＋2，左边是y ，右边是－3，不是 1；C 根据等式的根本性质2，两边都乘以 2，右边应为 0，不是 2；D 根据等式的根本性质 2，左边乘以6，而右边漏乘 6，故不正确；只有B 根据等式的根本性质2，两边都除以7，得5 到a ＝7.答案：B【例2－2】利用等式的根本性质解方程：(1)5x－8＝12；(2)4x－2＝2x；(3)x＋1＝6；(4)3－x＝7.分析：利用等式的根本性质求解．先利用等式的根本性质1将方程变形为左边只含有未知数的项，右边含有常数项，再利用等式的根本性质2将未知数的系数化为 1.解：(1)方程的两边同时加上8，得5x＝20.方程的两边同时除以5，得x＝4.(2)方程的两边同时减去2x，得2x－2＝0.方程的两边同时加上2，得2x＝2.方程的两边同时除以2，得x＝1.(3)方程两边都同时减去1，得x＋1－1＝6－1，∴x＝6－1.x＝5.(4)方程两边都加上x，得3－x＋x＝7＋x,3＝7＋x，方程两边都减去7，得3－7＝7＋x－7，∴－4＝x，即x＝－4.3.解一元一次方程(1)移项①移项的概念及依据：把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项．因为方程是特殊的等式，所以移项的依据是等式的根本性质1.②移项的目的：把所有含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边．③移项的过程：移项的过程是项的位置改变和符号变化的过程．即对移动的项进行变号的过程，如，－ 2－3x＝7，把－2从方程的左边移到右边，－2在原方程中前面带有性质符号“－〞，移到右边后需变成“＋〞，在移动的过程中同时变号，没有移动的项那么不变号．所以由移项，得－3x＝7＋2.④要注意移项和加法交换律的区别：移项是把某一项从等式的一边移到另一边，移项要变号；而加法交换律中交换加数位置只是改变排列的顺序，符号随着移动而不改变．如，3＋5x＝1，把3从方程的左边移到右边要变号，得5x＝1－3，是属于移项；而把5x－15x＋11x＝11变成5x＋11x－15x＝11，是利用加法交换律，不是移项而是位置的移动，所以不变号．辨误区移项时应注意的问题在移项时注意“两变〞：一变性质符号，即“＋〞号变为“－〞号，而“－〞号变为“＋〞号；二变位置，把某项由等号的一边移到另一边．(2)解一元一次方程的步骤解一元一次方程的一般步骤有：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1.具体见下表：变形名称具体做法变形依据考前须知方程左右两边的每一项不能有漏乘不含分母的项；分子是多项式去分母都乘以各分母的最小公等式的根本性质2倍数的去掉分母后，要加小括号不要漏乘括号内的去括号可由小到大，或由大到分配律；去括号的项；括号前是“－〞小去括号法那么号的，去括号时括号内的所有项都要变号移项就是将方程中的某移项些项改变符号后，从方等式的根本性质1移项要变号程的一边移到另一边将方程化为ax＝b的最合并同类项的法那么只将系数相加，字母合并同类项及其指数不变简形式方程的左右两边同时除化系数为1以未知数系数或乘以未等式的根本性质2分子、分母不能颠倒知数系数的倒数解技巧巧解一元一次方程值得注意的是：(1)这些步骤在解方程时不一定全部都用到，也不一定按照顺序进行，可根据方程的形式，灵活安排步骤；(2)为了防止错误，可将解出的结果代入原方程进行检验．【例3－1】以下各选项中的变形属于移项的是A．由2x＝4，得x＝2B．由7x＋3＝x＋5，得7x＋3＝5＋xC．由8－x＝x－5，得－x－x＝－5－8D．由x＋9＝3x－1，得3x－1＝x＋9解析：选项A是把x的系数化成1的变形；选项()．B中x＋5变成5＋x是应用加法交换律，只是把位置变换了一下；选项C是作的移项变形；选项D是应用等式的对称性“a＝b，那么b＝a〞所作的变形．所以变形属于移项的是选项C.答案：C【例3－2】解方程2－x－5＝x－1 34.分析：方程有分母，将方程两边每一项都要乘以各分母的最小公倍数12，去掉分母得4(2－x)－60＝3(x－1)，再按照步骤求解，特别注意－5不能漏乘分母的最小公倍数12.解：去分母，方程两边都乘以12，得4(2－x)－60＝3(x－1)．去括号，得8－4x－60＝3x－3.移项，得－4x－3x＝－3－8＋60.合并同类项，得－7x＝49.两边同除以－7，得x＝－7.4．解复杂的一元一次方程解方程是代数中的主要内容之一，一元一次方程化成标准方程后，就成为未知数系数不是0的最简方程．一元一次方程不仅有很多直接应用，而且解一元一次方程是学习解其他方程和方程组的根底．解方程的过程，实际上就是把方程式不断化简的过程，一直把方程化为x＝a(a是一个数)．复杂的一元一次方程的解法与简单方程的解法其思路是一样的．方程中假设含有相同的代数式，可以把此代数式看作一个整体来运算；方程中假设含有小数或百分数，就要根据分数的根本性质，把小数或百分数化为整数再去分母运算．要注意把分母整数化和去分母的区别：分母整数化是在某一项的分子、分母上同乘以一个不等于零的数，而去分母是在方程两边同乘以分母的最小公倍数．【例4】解方程－9x－5＝＋－.2－9＋分析：由于和的分子、分母中含有小数，可利用分数的根本性质把－910，变为4x－90＋小数化为整数，在式子的分子、分母中都乘以5，在式子的分子、分母中都乘以100，变为3＋2x3，然后去分母，再按解一元一次方程的步骤求解．解：分母整数化，得4x－90x－53＋2x5－2＝3.去分母，得6(4x－90)－15(x－5)＝10(3＋2x)．去括号，得24x－540－15x＋75＝30＋20x.移项，得24x－15x－20x＝540－75＋30.合并同类项，得11x＝495.两边同除以－11，得x ＝－45. 5.与一元一次方程的解相关的问题方程的解不仅是方程的重要概念，也是考查方程知识时的主要命题点．解题的关键是理解方程的解的概念．(1)方程的解求字母系数：假设方程的解，将方程的解代入方程，一定使其成立，那么得到一个关于另一个未知数的方程，解这个方程，即可求出这个字母系数的值．同解方程：因为两方程的解相同，可直接解第一个方程，求出未知数的值，再把未知数的值代入第二个方程，求出相关字母的值．【例5－1】关于x 的方程3x ＋5＝0与3x ＋3k ＝1的解相同，那么 k ＝()． 4 4A ．－2B ．3C ．2D ．－ 35解析：解方程3x ＋5＝0，得x ＝－.35将x ＝－3代入方程3x ＋3k ＝1，得－5＋3k ＝1，解得k ＝2，故应选 C.答案：C【例5－2】假设关于x 的方程(m －6)x ＝m －4的解为x ＝2，那么m ＝__________.解析：把x ＝2代入方程(m －6)x ＝m －4，得(m －6)×2＝m －4，解得m ＝8.答案：86.一元一次方程的常用解题策略我们已经知道，解一元一次方程一般有五个步骤， 去分母，去括号，移项，合并同类项，化未知数的系数为 1，可有些一元一次方程，假设能根据其结构特征，灵活运用运算性质与解题技巧，那么不但可以提高解题速度与准确性， 而且还可以使解题过程简捷明快， 下面介绍解一元一次方程常用的几种技巧．有括号的一元一次方程一般是先去括号，去括号的顺序一般是由小到大去，但有些题目是从外向里去括号，计算反而简单，这就要求仔细观察方程的特点，灵活运用使计算简便的方法．(2)对于一些含有分母的一元一次方程，假设硬套解题的一般步骤，先去分母那么复杂繁琐，假设根据方程的结构特点，先移项、合并同类项，那么使运算显得简捷明快．有些特殊的方程却要打破常规，灵活运用一些解题技巧，使运算快捷、简便．巧解可激活思维，使我们克服思维定式，培养创新能力，从而增强学习数学的兴趣． 【例6－1】解方程 34 1 1 －4 ＝3x ＋1. x － 443 2 2 3 4 3 3 4 1 1 3分析：注意到4×3＝1，把4乘以中括号的每一项，那么可先去中括号，4×3 2x － 4－4×4＝3x ＋1，再去小括号为 1x － 1－3＝3x ＋1，再按步骤解方程就非常简捷了．2 2 4 2解：去括号，得1 1 32x －4－3＝2x ＋1.17移项，合并同类项，得－x ＝ 4.17两边同除以－1，得x ＝－4.【例6－2】解方程x ＋3－x ＋2＝x ＋1－x ＋47 5 6 4.分析：此题可按照解方程的一般步骤求解，但此题假设直接去分母，那么两边乘以最小公倍420，运算量大容易出错，我们可两边分别通分，5x ＋3－7x ＋22x ＋1－3x ＋4数 35＝12，把分子整理后再按照解一元一次方程的步骤求解．5x＋3－7x＋22x＋1－3x＋4.化简，得－2x＋1解：方程两边分别通分，得＝1235＝35－x－10.12去分母，得12(－2x＋1)＝35(－x－10)．去括号，得－24x＋12＝－35x－350.移项、合并同类项，得11x＝－362.362两边同除以11，得x＝－11.7．列一元一次方程解题(1)利用方程的解求未知系数的值当方程的解求方程中字母系数或有关的代数式时，常常采用代入法，即将方程的解代入原方程，得到关于字母系数的等式(或者可以看作关于字母系数的方程)，再求解即可．(2)利用概念列方程求字母的值利用某些概念的定义，可以列方程求出相关的字母的取值，如根据同类项的定义或一元一次方程的定义求字母的值．列方程求值的关键是根据所学的知识找出相等关系．再列出方程，解方程从而求出字母的取值．谈重点列一元一次方程注意挖掘隐含条件许多数学概念、性质的运用范围、限制条件或使用前提有的是以隐含条件的形式出现在题目中，由此可开掘隐含的条件，列一元一次方程解题，开掘隐含条件时需要全面、深刻地理解掌握数学根底知识．【例7－1】(1)当a＝__________时，式子2a＋1与2－a互为相反数．(2)假设6的倒数等于x＋2，那么x的值为__________．解析：(1)根据互为相反数的两数和为0，可得一元一次方程2a＋1＋(2－a)＝0，解得a ＝－3；(2)由倒数的概念：乘积为1的两个数互为倒数，可得一元一次方程6(x＋2)＝1，解11得x＝－6.11答案：(1)－3(2)－6【例7－2】x＝－2是方程x－k＋3k＋2－x＝x＋k的解，求k的值．362分析：把x＝－2代入原方程，原方程就变成了以k为未知数的新方程，解含有未知数k的方程，可以求出k的值．解：把x＝－2代入原方程，得－2－k3k＋2－(－2)＝－2＋k3＋62.去分母，得2(－2－k)＋3k＋2－(－2)×6＝3(－2＋k)．去括号，得4－2k＋3k＋2＋12＝－6＋3k.移项、合并同类项，得2k＝－16.方程两边同除以－2，得k＝8.课后作业黑体小四【题01】以下变形中，不正确的选项是〔〕A．假设x25x，那么x5．B．假设7x7,那么x1．C．假设x1x，那么10x1x．D．假设xy，那么ax ay．2a a【题02】以下各式不是方程的是〔〕A．y2y 4B．m2nC．p22pq q2D．x0【题03】解为x2的方程是〔〕A．2x40B．5x362C．3(x2)(x3)5x D．x27x5462n23(n4)0是一元一次方程，求n的值．【题04】假设关于x的方程2x【题05】(2m3)x 2．(23m)x1是关于x的一元一次方程，那么m【题06】假设关于x的方程(2 |m|)x2(m 2)x (5 2m) 0是一元一次方程，求m的解．【题07】假设关于x的方程(k2)x k1．5k0是一元一次方程，那么k=【题08】假设关于x的方程(k2)x k15k0是一元一次方程，那么k=．假设关于x 的方程(k2)x24kx5k0是一元一次方程，那么方程的解x=．【题09】(3a8b)x25bx7a0是关于x的一元一次方程，且该方程有惟一解，那么x 〔〕A．21B．214040C．56D．561515【题10】解方程：1(33x) 52【题11】解方程：1 (4y) 3【题12】解方程：x x123(25x)3641(y3)42x233【题13】解方程：2x15x11 36【题14】解方程：1x 10.2x)1x31 (x4)【题15】解方程：35x19【题16】解方程：x 【题17】解方程：x14213【题18】解方程：2[x(x)]x3324【题19】解方程：1[1(1x1)6]20 343。
6.3一元一次方程及其解法
2
x x x 65 234
解： (1 1 1)x 65 234
( 6 4 3 )x 65 12 12 12
即 13 x 65 12
系数Байду номын сангаас为1，得 x 60
答：客人有60位。
回
x x x 65 234
5
2
下面是小马虎的过程，请找出各步变形中的错误，
并将其改正．
解：去分母，得
3 22x 1 5 x 1 30 22x 1 5 x 1
去括号，得 3 4x 2 5x 1 30 4x 2 5x 5
移项，得 4x 5x 1 3 2 4x 5x 5 30 2
将方程变形为 15x 15 10x 5 ，对吗？
6
20
作业：
所有同学都要完成A层； 有能力的同学选做B层、C层． A层：练习册26～27页(第10～ 12题） B层、C层见补充练习纸
谢谢各位老师莅临指导！
（3）由 4x 25 7x 1 去分母，正确的。
12
62
得4x 25 14x 6；
（4）化去11% x 42% = 18% x 3 中的百分号，不对，
得11x 42 = 18x 3. 11x 42 = 18x 300
纠错：2、解方程 3 2x 1 x 1
解：去百分号（每项乘100），得
5x 3112x 200
移项，得5x 12x 20031 试一试
化简，得 7x 231
解方程：
系数化为1，得 x 33
4%x 8% 6%x 0.4
一元一次方程的解法与应用
一元一次方程的解法与应用在数学中，一元一次方程是基本的线性方程形式，可以表示为ax +b = 0，其中a和b是已知的实数常数，x是未知数。
解一元一次方程的目标是确定x的值，使得方程成立。
解法一：移项法移项法是解一元一次方程最常用的方法之一。
其基本思想是通过移动项的位置来消除方程中的未知数，使得方程变为等效的形式。
具体步骤如下：1. 将方程ax + b = 0中的常数项移动到方程的另一侧，得到ax = -b。
2. 通过除以a来消除未知数的系数，得到x = -b/a。
解法二：等式性质法等式性质法是解一元一次方程的另一种常用方法。
它基于方程两边相等的性质，通过对方程进行等式变换来求出未知数的值。
具体步骤如下：1. 根据方程的形式，可以使用加减法、乘除法等等式变换规则，将方程变换为等效的形式。
2. 重复应用等式变换规则，直到未知数的系数被消除，得到未知数的值。
一元一次方程的应用：一元一次方程不仅仅是数学中的抽象概念，它在实际生活中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 价格计算：一元一次方程可以用于计算购买某种商品的总价格。
例如，假设一种商品的单价为p元，购买n个该商品，那么总价格可以表示为pn = total。
2. 距离计算：一元一次方程可以用于计算两地之间的距离。
例如，假设两地之间的速度为v km/h，经过t小时到达目的地，那么两地之间的距离可以表示为d = vt。
3. 时间计算：一元一次方程可以用于计算某个事件的发生时间。
例如，假设某项工作需要n个人合作完成，每个人的工作效率为w件/小时，那么完成工作所需的时间可以表示为t = n/w。
总结：一元一次方程是数学中最基本的线性方程形式，可以通过移项法或等式性质法来解决。
在实际应用中，一元一次方程可以用于解决价格计算、距离计算、时间计算等各种问题。
掌握一元一次方程的解法和应用，有助于我们更好地理解数学的实际意义，并在日常生活中灵活运用。
沪教版数学六年级下册6.3《一元一次方程及其解法》教学设计
沪教版数学六年级下册6.3《一元一次方程及其解法》教学设计一. 教材分析《一元一次方程及其解法》是沪教版数学六年级下册第六章第三节的内容。
本节课的主要内容是一元一次方程的定义、性质、解法以及应用。
这一部分内容是学生学习数学的重要基础，也是进一步学习代数和数学分析的基础。
教材通过具体的例子引入一元一次方程，使学生了解其意义和应用，然后引导学生通过代数方法解决方程，培养学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了代数的基本概念，如代数表达式、运算等，对代数有一定的认识。
但是，对于一元一次方程的定义、性质和解法可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要通过具体的例子和实际应用，使学生理解和掌握一元一次方程的知识。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解一元一次方程的定义和性质，学会解一元一次方程的方法，能够应用一元一次方程解决实际问题。
2.过程与方法：通过实际问题和代数方法，培养学生的抽象思维和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。
四. 教学重难点1.重点：一元一次方程的定义、性质和解法。
2.难点：一元一次方程的解法和应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实际问题和情境，引导学生理解和掌握一元一次方程的知识。
2.合作学习法：通过小组讨论和合作，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。
3.引导发现法：通过教师的问题和引导，激发学生的思考和发现，培养学生的抽象思维能力。
六. 教学准备1.教材和教案：准备沪教版数学六年级下册的教材和教案。
2.课件和教学资源：准备与教学内容相关的课件和教学资源，如图片、视频等。
3.练习题和作业：准备与教学内容相关的练习题和作业，以便巩固和检测学生的学习效果。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实际问题引入一元一次方程，如“小明买了一本书，原价是20元，他给了店员30元，店员应该找给他多少元？”引导学生思考和解答这个问题，引出一元一次方程的概念。
一元一次方程解方程的基本方法
一元一次方程解方程的基本方法解一元一次方程是数学中的基础内容，它是解决实际问题以及推导其他数学概念的重要工具。
本文将介绍解一元一次方程的基本方法，包括两种常用的解法：等式法和代入法。
一、等式法等式法是解一元一次方程最常用的方法之一，它基于等式的性质进行方程的变形和化简。
下面通过一个示例来说明等式法的具体步骤。
假设有一个一元一次方程：2x + 3 = 7，我们需要求解x的值。
1. 将方程中的常数项移到等式的右边，得到2x = 7 - 3。
2. 化简等式，计算右边的数值，得到2x = 4。
3. 除以系数，将2除以等式左边的系数2，得到x = 4 ÷ 2。
4. 计算结果，得到x = 2。
所以，方程2x + 3 = 7的解是x = 2。
需要注意的是，在应用等式法解一元一次方程时，我们可以使用各种数学运算，如加减乘除等，但需要确保等式的性质不变。
二、代入法代入法是解一元一次方程的另一种常用方法，它基于变量的代入和化简过程。
下面通过一个示例来说明代入法的具体步骤。
假设有一个一元一次方程：3x - 5 = 4x - 2，我们需要求解x的值。
1. 在方程中选择一个变量（通常选择系数较小的变量）将其表达式表示为其他变量的函数。
在这个方程中，选择x。
2. 将x的表达式代入另一个变量的表达式中。
在这个方程中，将3x - 5代入4x - 2中，得到3x - 5 = 4(3x - 5) - 2。
3. 化简等式，计算右边的数值。
根据等式，展开和计算右边的表达式，得到3x - 5 = 12x - 20 - 2。
4. 化简等式，整理并合并同类项。
按照等式的性质，将同类项合并，得到3x - 5 = 12x - 22。
5. 移动变量，将同一方程中的变量移到一侧。
在这个方程中，将12x移到左侧，得到3x - 12x = -22 + 5。
6. 化简等式，计算左右两边的数值。
展开计算并整理得到-9x = -17。
7. 除以系数，将-9除以等式左边的系数-9，得到x = -17 ÷ -9。
新版沪教版六年级下册数学教案第六章(2018新教材)
沪教版六年级数学教案第六章6.1 列方程教学目标1.知道什么是方程，会区分方程和等式.2.会寻找未知数和已知数之间的等量关系，列方程.教学重点与难点：会寻找未知数和已知数之间的等量关系，列方程. 教学用具准备： 投影仪、电脑 教学流程设计教学过程设计 一、情景引入问题小丽2月份的零花钱花掉了25.4元，还剩下60元，那么小丽二月份有多少零花钱？ 分析一 列式可得25.4+60=85.4. 分析二 设小丽二月份有x 元零花钱.x-25.4=60.二、学习新课 1.概念辨析方程：含有未知数的等式叫做方程.在方程中,所含的未知数又称为元. 练习1判断：下列各式哪些是方程？哪些不是方程？并说明为什么. 列方程：为了求得未知数，在未知数和已知数之间建立一种等量关系式，就是列方程. 2．例题分析22(1)2; (2)0; (3)-1+2=1;34(4)32; (5)3507x x x x x x +-=+=--+=例题 1 根据下列条件列出方程：（1） 一个正方形的边长为x 厘米，周长为36厘米；（2） 25减去数x 的一半是56. 解（1）方程是436x =（2）方程是25652x-=例题2一个数与它的一半的和是34，求这个数. 分析 设这个数为x,那么它的一半是 2x ,两数的和为2xx +,根据题意可以列出等量关系式324x x +=.例题3某水果店有苹果与香蕉共152千克，其中苹果的重量是香蕉重量的3倍，求该水果店的苹果与香蕉各有多少千克？ 三、巩固练习 练习21.列方程： （1）x 的25与6的和为2； （2）x 的相反数减去5的差为5； （3）y 的3次方与x 的和为0； （4）x 、y 的积减去13所的差的一半为23. 2.在下列问题中引入未知数，列出方程：（1） 某数的两倍与-9的和等于15，求这个数. （2） 长方形的宽是长的13，长方形的周长是24厘米，求长方形的长. （3） 小明用10元钱买了15本练习本，找回了1元钱，求每本练习本的价格. 四、课堂小结 五、作业布置 练习册6.11、有一所寄宿制学校，开学安排宿舍时，如果每间宿舍安排住4人，将会空出5间宿舍；如果每间宿舍安排住3人，就有100人没床位，那么在学校住宿的学生有多少人？2、请你自编一道应用题，要求语句通顺，所编问题要具有一定的实际意义，且所列的方程应为x+(3x －6)=503、 甲仓库存粮200吨，乙仓库存粮70吨.若甲仓库每天运出15吨粮，乙仓库每天运进25吨粮，经过多少天，乙仓库的存粮是甲仓库的两倍？【分析】根据题意，设经过x 天，乙仓库的存粮是甲仓库的两倍，可得下表：解：设经过x 天，乙仓库的存粮是甲仓库的两倍.这时，甲仓库存粮为（200—15x ）吨，乙仓库存粮为（70+25x ）吨. 根据题意，得方程2(200－15x)=70+25x4、 甲步行，乙骑自行车，两人同时从相距45千米的A 、B 两地相向而行，2.5小时后两人相遇.已知骑自行车的速度是步行速度的2倍.求甲步行的速度.根据题意，得方程2.5x+2.5×2x =45, x=6.答：甲步行的速度为每小时6千米.6.2方程的解教学目标1、了解方程的解的定义.2、会判断某个数是否是一个方程的解.教学重点与难点：会判断某个数是否是一个方程的解，即学会检验. 教学用具准备：投影仪、电脑 教学流程设计教学过程设计 教学过程： 一、新课导入1）等式：用“=”表示相等关系的式子；如1+2=3，2x+3=37 2）方程：含有未知数的等式叫做方程 如2x+3=37， y+2=3 3）判断：下列各式哪些是方程？哪些不是方程？并说明为什么.2、学习新课六年级（2）班共有学生48人，其中女生比男生多8人，这个班的男生有多少人？分析：如果设男生有X 人，那么女生有（X+8）人，可以得到方程 X+（X+8）=48把1、2、3、4、5、6......代入方程，用1代替X 时，方程的两边的值不相等，那么1就不是方程X+（X+8）=48的解； ......用19代替X 时，方程的两边的值不相等，那么19就不是方程X+（X+8）=48的解； 用20代替X 时，方程的两边的值相等，那么20就是方程X+（X+8）=48的解，可以说这个方程的一个解是X=20；二、方程的解： 如果未知数所取的某个值能使方程左右两边都相等，那么这个未知数的值叫做方程的解．例1：-3、1是不是方程7x 29x42-=-的解？解：把x= - 3分别代入方程的左边和右边，得 左边=27 右边= -13 因为左边 ≠ 右边 所以x= -3 不是方程7x 29x42-=-的解.把X=1分别代入方程的左边和右边， 得 左边= -5 右边= -5 因为左边 = 右边 所以x= 1 是方程7x 29x42-=-的解.例2：检验下列各数是不是方程7x+1=10－2x 的解：⑴x=1； ⑵x=－2.解：⑴将x=1分别代入方程的左、右两边，得左边=7×1+1=8， 右边=10－2×1=8， ∵ 左边=右边，∴x=1是方程7x+1=10－2x 的解.22(1)3; (2)320; (3)3350;(4)4532; (5)578; (6)3537;(7)32x y x y x x x x x x y xy x y+-=-+=+=-+=+=--=⑵将x=－2分别代入方程的左、右两边，得 左边=7×（－2）+1=－13， 右边=10－2×（－2）=14， ∵ 左边≠右边，∴x=－2不是方程7x+1=10－2x 的解.三、练习1、检验下列各题括号里的数哪些是它前面的方程的解？ 1）12x-7=9x-4 （ 1，4） 2）18+x=4-x （5，-7）2、x=2是不是方程3x-9=x-5和方程84x2=+的解？3、写出一个方程，使它的解是 3，这样的方程可以写出多少个？ 四、小结：同学口答略.6．3（1）一元一次方程及其解法 教学目标1．会运用等式的两条基本性质对等式进行变形； 2．运用等式的性质和移项法则解一元一次方程；3．掌握一元一次方程的有关概念，并会检验一个数是不是方程的解. 教学重点及难点运用等式的基本性质对等式进行变形. 移项法则及方程解的检验.教学用具准备：黑板、粉笔、学生准备课堂练习本. 教学流程设计教学过程设计 一、引入新课一个长方形篮球场的周长为86米，长是宽的2倍少2米，这个篮球场的长与宽分别是多少米？我们如何通过设未知数列方程的方法来解决这道题目呢？ 设这个篮球场的宽为x 米，那么长为（2x-2）米，可以得到方程2（2x-2+x ）=86教师：下面我们来仔细观察一下这个方程含有几个未知数？含有未知数的项的次数是几次的？学生：含有一个未知数、含有未知数的项的次数是一次的.教师：同学们回答的很好，把同学们所找到的特点归纳在一起就是今天我们要学习的一元一次方程的概念.只含有一个未知数且含有未知数的项的次数是一次的方程叫做一元一次方程（linear equation in one variable ） 二、新课讲授例1、判断下列方程是不是一元一次方程，如果不是，请简要说明理由. （1）05=x（2）562=-y x（3）06212=-x（4）15)9(2=+-y y解：（1）是.（2）不是，这个方程含有两个未知数.（3）不是，这个方程中含有未知数的项的次数是二次. （4）是.巩固练习：判断下列方程是不是一元一次方程： （1）103=x（2）35745=-y x （3）0142=-x（4）1)2(34=+-z z2、寻找解一元一次方程的方法教师：如何求05=x 和159=-x 的解呢？请同学们分组讨论一下，选代表回答. 学生：对于05=x ，我们可以在方程的左右两边同时除以5；对于159=-x 我们可以在方程的左右两边同时加上9.教师：同学们回答的非常好，你们知道刚刚这几位同学的方法是运用了什么数学知识吗？学生：等式的基本性质.教师：很好，下面让我们一起回顾一下等式的基本性质：等式性质一：等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，所得结果仍是等式.等式性质二：等式两边同时乘以同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式.教师：运用等式性质和运算性质就可以求出方程的解. 3、解一元一次方程 例题2、解方程：x x 2184-=. 解： x x x x 221824+-=+1824=+x x 186=x 3=x教师：你能确定求得的结果是正确的吗？我们可以将3=x 分别代入原方程的左边和右边，看它们的值是否相等.格式如下： 检验：将3=x 分别代入原方程的两边1234=⨯=左边；126183218=-=⨯-=右边；左边=右边.所以3=x 是原方程的解.在以上方程的解的过程中：x x 2184-=→1824=+x xx 2-改变符号后从等号的一边移到另一边，这种变形过程叫做移项.求方程的解的过程叫做解方程. 三、巩固练习：练习6.3（1）2、3四、课堂小结：什么叫一元一次方程；等式的基本性质；如何检验一个数是不是方程的解；什么叫移项；什么叫解方程.6.3（2）一元一次方程及解法教学目标1.理解和掌握去括号的法则；2.会解含有括号的一元一次方程.教学重点及难点：掌握去括号的法则并应用这个法则求含有括号的一元一次方程的解. 教学用具准备：黑板、粉笔、练习本. 教学流程设计教过程设计一、复习旧知，引入新课 大家还记得去括号法则吗？去括号的法则是：括号前面带“+”号，去掉括号和“+”号，括号内各项都不变号.括号前面带“-”号，去掉括号和“-”号，括号内各项都变号.下面让我们来看看含有括号的一元一次方程该如何求解. 二、新课讲授例题3、解方程：)37(2015--=+x x x 解：372015+-=+x x x ,137205-=+-x x x , 28=-x ,41-=x ,检验：将41-=x 代入原方程的左右两边,左边=411)41(5-=+-⨯,右边=41)419(5]3)41(7[)41(20-=---=--⨯--⨯,所以41-=x 是原方程的解.下面请同学们自己解下面一道例题.例题4、解方程：)2(355)2(4--=+-x x 解：235584+-=+-x x ,582354-++=+x x ,405=x , 8=x ,检验：将8=x 代入原方程的左右两边, 左边=295245)28(4=+=+-, 右边=29635)28(35=-=--, 左边=右边,所以8=x 是原方程的解.教师：一元一次方程一定有解吗？（同学此时会有争论）现在让我们来看下面一道例题.例题5、解方程：)2(332--=-x x x 解：2332+-=-x x x ,23=-,这个等式不成立，所以原方程无解.三、巩固练习：练习6.3（2）1、2四、课堂小结：今天我们学了哪些内容？（去括号的法则） 五、回家作业：练习册习题6.3（2）6.3（3）一元一次方程及解法教学目标1.掌握含有分母的一元一次方程的解法；2.通过一元一次方程三节内容的学习，归纳出解一元一次方程的一般步骤. 教学重点及难点掌握含有分母的一元一次方程的解法及解一元一次方程的一般步骤. 教学用具准备 黑板、粉笔、练习本. 教学流程设计教学过程设计一、通过问题，引入新课 教师：如何解方程35207+=xx 呢？ 学生：根据等式的基本性质，方程两边同乘以20，得：32052020720⨯+⨯=⨯xx , 即6047+=x x .二、新课讲授教师：同学们说的非常好.在以上求方程解的过程中，在方程两边同时乘以20，去掉分数的分母的变形过程，我们把它叫做去分母.我们就是利用化归的思想，利用去分母把含有分母的一元一次方程转化成不含分母的一元一次方程，然后利用我们学过的知识求解.下面让我们一起看一道例题： 例题6 解方程：285416++=x x . 解：32)54(2++=x x ,32108++=x x ,427-=x , 6-=x ,所以6-=x 是原方程的解. 三、巩固练习 练习6.3（3）1、2 四、课堂小结同学们已经学习了普通的一元一次方程，带有括号的一元一次方程及带有分母的一元一次方程的解法，下面让我们一起来归纳一下解一元一次方程的一般步骤：1、 去分母；2、 去括号；3、 移项；4、 化成)0(≠=a b ax 的形式；5、两边同除以未知数的系数，得到方程的解ab x =.五、布置回家作业 练习册6.3（3）6．4（1）一元一次方程的应用教学目标1.在解决实际问题的过程中，初步掌握一元一次方程解简单应用题的方法和步骤；并会列出一元一次方程解简单的应用题.2.能正确的分析问题，从问题中找出已知量和未知量之间的数量关系.3.具有一定的观察能力，提高分析问题和解决问题的能力.4.初步养成正确思考问题的良好习惯． 教学重点及难点1．元一次方程解简单的应用题的方法和步骤． 2．找等量关系.3．于未知量之间存在比的关系如何设元 教学用具准备：奥运图片 教学流程设计一、情景引入，了解列方程解应用题优越性看一看：北京奥运的会标和吉祥物. 想一想：2008年中国将举办北京奥运会.中国政府提出了“节俭办奥运”的新理念，将建造国家体育馆的预算资金调整为26亿元，比原预算节约资金35%，问原建造国家体育馆的预算资金为多少亿元？ （学生独立完成，选择用算术方法解题和列方程解题的同学板演.）解法一：26÷（1-35%）=40（亿元）解法二：设原建造国家体育馆的预算资金为x 亿元.x-35%x=26 解方程，得x=40答：原建造国家体育馆的预算资金为40亿元. 想一想：在小学算术中，我们已经学习了用算术方法解决实际问题的有关知识，而实际问题也能应用一元一次方程来解决呢.用一元一次方程解应用题与用算术方法解应用题相比较，它有什么优越性呢？ 归纳：算术方法不易思考，而应用设未知数，列出方程并通过解方程求得应用题的解的方法，有一种化难为易之感，这就是我们学习运用一元一次方程解应用题的目的之一．方程是一个含有未知数的等式，而等式表示了一个相等关系．因此对于任何一个应用题中提供的条件，应首先从中找出一个相等关系，然后再将这个相等关系表示成方程．本节课，我们就通过实例来说明怎样寻找一个相等的关系和把这个相等关系转化为方程的方法和步骤．二、研究列方程解应用题的一般步骤和方法图片引出问题：在2004年雅典奥运会闭幕式上，中国表演队必须用8分49秒表演舞动北京、中华武术、少儿京剧等节目，其中表演的时间之比是10：8：5，那么舞动北京、中华武术、少儿京剧等节目表演的时间各是多少秒？师生共同分析：1．本题中给出的已知量和未知量各是什么？2．已知量与未知量之间存在着怎样的相等关系？舞动北京的表演时间+中华武术的表演时间+少儿京剧的表演时间=8分49秒3．若设舞动北京的表演时间为x秒，那么中华武术的表演时间和少儿京剧的表演时间如何用x表示？4．若设舞动北京的表演时间为10x秒，那么中华武术的表演时间和少儿京剧的表演时间如何用x表示？这里的x表示什么？5．在解决这个实际问题时还需要注意哪个问题？（单位问题）解：设舞动北京的表演时间为10x秒，那么中华武术的表演时间和少儿京剧的表演时间分别为8x秒和5x秒.10x+8x+5x=52923x=529x=23所以，10x=230，8x=184，5x=115.答：舞动北京的表演时间为230秒，中华武术的表演时间为184秒，少儿京剧的表演时间为115秒.练一练：书P49 1、2三、列方程解应用题方法归纳1、想一想：你能根据刚才列方程解应用题的过程说一说列方程解应用题的一般步骤吗？设未知数（元）列方程解方程检验并作答把这种等量关系式写出来，得到方程的解，通过检验获得实际问题的解，称这样的方法为方程的思想方法.2、想一想：当实际问题中未知量之间存在比的关系时，我们如何设元？四、自主小结：今天这节课你最大的收获是什么？五、布置作业：略6．4（2）一元一次方程的应用教学目标1.在解决储蓄问题和折扣问题的过程中，进一步掌握列一元一次方程解简单应用题的方法和步骤.2.能正确的分析问题，从问题中寻找已知量和未知量之间的数量关系.3.养成一定的观察能力，提高分析问题和解决问题的能力.4.初步养成正确思考问题的良好习惯．教学重点及难点1.正确的寻找储蓄问题和折扣问题中的等量关系.2.能正确的求出方程的解.教学用具准备：多媒体教学流程设计一.复习方法1．列方程解应用题的一般步骤是什么？其中最关键的是哪一步？2．当未知量之间存在比的关系时我们如何设元？二.学习新课1、热身操：（1）小杰2月初到银行将积攒的300元零用钱定期储蓄一年，到期时小杰得到的税前本利和是多少？税后本利和是多少？（2）永乐商场以700元的进价购入一批MP3，商场加价20%的作为售价，那么这款MP3的实际售价是多少？（学生独立完成）归纳：储蓄问题中的一些基本数量关系：利息=（本金）×（利率）×（期数）税前本利和=（本金）+（利息）税后本利和=（本金）+（税后利息）=（本金）+（利息）×（1-适用税率）销售问题中的基本数量关系售价=（成本价）+（盈利）=（成本价）×（1+盈利率）折后售价=（原售价）×（折扣）（问题以填空形式出现）2、牛刀小试问题一：小明的妈妈在银行里存入人民币5000元，国家规定存款利息的纳税办法是：利息税=利息×20%，储户取款时由银行代扣代收，存期一年，到期可得人民币5090元，求这项储蓄的年利率是多少？分析：（1）问题中给出的已知量和未知量各是什么？（2）已知量与未知量之间存在着怎样的相等关系？本金+利息×1-适用税率=税后本利和解设这项储蓄的年利率是x.根据题意，得 5000+5000×x×1×（1-20%）=50905000+4000x=50904000x=90x=0.0225所以x=2.25%答：这项储蓄的年利率是2.25%.问题二：一种节能型冰箱，商店按原售价的九折出售，降价后的新售价是每台2430元，因为商店按进价加价20%作为售价，所以降价后商店还能赚钱，请问，这种节能型冰箱的进价是多少元？按降价后的新售价出售，商店每台还可赚多少元？分析：（1）问题中给出的已知量和未知量各是什么？（2）已知量与未知量之间存在着怎样的相等关系？原售价×折扣=折后售价（3）如果设这种节能型冰箱的进价是x元，那么这台节能型冰箱的原售价如何用x表示呢？解设这种节能型冰箱的进价是x元，那么每台冰箱原售价是（1+20%）x.根据题意，得（1+20%）x·90%=24301．08x=2430x=22502430-2250=180（元）答：这种节能型冰箱的进价是2250元.按降价后的新售价出售，商店每台还可赚180元.1、练一练：P51 1、2三.学习心得交流1、今天我学会了解决哪些实际问题？2、这些实际问题中存在哪些基本数量关系？四.布置作业：1、基本作业：略2、拓展作业：请自编一道有关储蓄问题和销售问题的应用题.6．4（3）一元一次方程的应用教学目标1.在解决行程问题的过程中，进一步掌握列一元一次方程解简单应用题的方法和步骤.2.在不同类型的行程问题中能正确的分析问题，从问题中寻找已知量和未知量之间的数量关系.3.提高分析问题和解决问题的能力，初步体会分类讨论的数学思想.4.初步养成正确思考问题的良好习惯．教学重点及难点：在不同类型的行程问题中能正确的分析问题，从问题中寻找已知量和未知量之间的数量关系.教学用具准备：多媒体设备、课前体育课中的跑步竞赛教学过程设计一.复习旧知识1、在小学你会解决哪些实际问题？在行程问题中的基本数量关系是什么？路程=速度×时间 速度=路程÷时间=时间路程时间=路程÷速度=速度路程（S=vt 、t S v =、v St =其中，S ：路程，v ：速度，t ：时间）2、看你行不行（学生独立完成）甲，乙两地相距162千米，甲地有一辆货车，速度为每小时48千米，乙地有一辆客车，速度为每小时60千米，求：（1）若两车同时相向而行，多长时间可以相遇？（2）若两车同时背向而行，多长时间两车相距270千米？（3）若两车相向而行，货车先开1小时，再过多长时间可以相遇？ 分析：在行程问题，我们可以先画示意图，从图中就可以得到等量关系解（1）设x 小时可以相遇则由题意可列：48x+60x=162 解得x=1.5答：1.5小时后可以相遇. （2）设x 小时两车相距270千米则由题意可列：48x+162+60x=270 解得x=1答：1小时后两车相距270千米. （3）设再过x 小时两车可以相遇则由题意可列：48(x+1)+60x=162解得1819x答：1819小时两车可以相遇.二.学习新课1、回顾跑步比赛：在环行跑道上游戏，老师安排了几种比赛形式？这两种不同的的形式有什么区别？2、解决新问题： 问题一：如右图：小杰、小丽分别在400米环形跑道上练习跑步与竞走，小杰每分钟跑320米，小丽每分钟跑120米，两人同时由同一点出发，问几分钟后，小丽与小杰第一次相遇？ 分析：（1） 问题中给出的已知量和未知量各是什么？ （2） 图中给出了什么信息？（3）如果设x 分钟后，小丽与小杰第一次相遇，请试着完成下表：（4）已知量与未知量之间存在着怎样的相等关系？小杰跑的路程-小丽走的路程=环形跑道一周的长解：设x 分钟后，小丽与小杰第一次相遇.320x-120x=400解方程得 x=2答：2分钟后，小丽与小杰第一次相遇. 问题二：小杰、小丽分别在400米环形跑道上练习跑步与竞走，小杰每分钟跑320米，小丽每分钟跑120米，两人同时由同一点反向而跑，问几分钟后，小丽与小杰第一次相遇？ 分析：已知量与未知量之间存在着怎样的相等关系？ 小杰跑的路程+小丽走的路程=环形跑道一周的长 解：设x 分钟后，小丽与小杰第一次相遇.320x+120x=400 解方程得 x=1110 答：1110分钟后，小丽与小杰第一次相遇. 问题三：小杰、小丽分别在400米环形跑道上练习跑步与竞走，小杰每分钟跑320米，小丽每分钟跑120米，两人同时由同一点出发，问几分钟后，小丽与小杰第一次相遇？分析：此问题会有几种情况出现？已知量与未知量之间存在着怎样的相等关系？情况一：小杰跑的路程-小丽走的路程=环形跑道一周的长情况二：小杰跑的路程+小丽走的路程=环形跑道一周的长3、练一练：P 51 3、4三.自主小结1.今天我学会解决了哪一类的行程问题？2.在分析行程问题中的等量关系时我们有哪几种方法？3.在解决行程问题中我们要注意什么？（单位换算问题）四、布置作业1.基本练习：略2.拓展练习：甲，乙两地相距162千米，甲地有一辆货车，速度为每小时48千米，乙地有一辆客车，速度为每小时60千米，求：（1）若两车同时相向而行，货车在路上耽误了半小时，多长时间可以相遇？（3）若两车相向而行，同时出发，多长时间两车相距54千米？6.5不等式及其性质教学目标：掌握不等式的基本性质，并能正确运用它们将不等式变形；体验观察、比较、归纳的过程，渗透类比的思维方法，形成一定的语言表达能力；形成团结协作能力。
一元一次方程的解法与应用
一元一次方程的解法与应用一元一次方程（或简称一次方程）是代数学中最基本的方程类型之一，其形式为：ax + b = 0，其中 a 和 b 是已知数，x 是未知数。
解一元一次方程的方法有多种，下面将介绍其中常用的两种解法，并探讨一元一次方程在实际生活中的应用。
一、解法一：平衡法平衡法是最简单直接的解一元一次方程的方法，其核心思想是通过移项和合并同类项来达到将方程简化的目的。
例如，解方程3x + 5 = 11：首先，根据方程形式，将常数项 5 移到等号的另一侧得到：3x = 11 - 5，即 3x = 6；然后，将系数 3 移到等号的另一侧得到：x = 6 ÷ 3，即 x = 2；最后，得到方程的解 x = 2。
通过平衡法解一元一次方程可以快速简洁地求得解，适用于方程较为简单的情况。
二、解法二：代入法代入法是另一种常用的解一元一次方程的方法，其核心思想是通过将一个变量的值代入方程中，求得另一个变量的值。
例如，解方程2x - 3 = 5x + 4：首先，假设 x 的值为 a，将其代入方程中得到 2a - 3 = 5a + 4；然后，通过移项和合并同类项将方程简化为：2a - 5a = 4 + 3，即 -3a = 7；最后，得到方程的解 a = -7/3。
通过代入法解一元一次方程在某些情况下更加灵活，特别是当方程较复杂或涉及到多个变量时。
三、应用举例一元一次方程在实际生活中有广泛的应用，下面将以两个例子说明其中的应用。
例一：货币兑换假设当前汇率是1美元兑换7人民币，现有一笔货币兑换业务，需要将某人的100美元兑换成人民币。
此时，我们可以设定未知数 x 表示兑换后的人民币金额，根据汇率可以建立一元一次方程：1 * x = 7 * 100。
通过解方程可以得到 x = 700，即100美元可兑换成700人民币。
例二：速度计算车辆行驶的速度可以通过时间和路程之间的关系来计算。
假设一辆汽车行驶了200公里，耗时4小时，我们可以设定未知数 x 表示汽车的速度，根据速度与时间和路程之间的关系可以建立一元一次方程：x * 4 = 200。
6.3一元一次方程及其解法
6.3一元一次方程及其解法知识点讲解1、一元一次方程： 叫做一元一次方程；2、解方程：运用等式性质和运算性质可以求方程的解， 叫做解方程。
3、等式及其性质：等式性质1 等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍相等。
a=b ，那么a ±c=b ±c等式性质2 等式两边乘以同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
a=b ，那么ac=bc ；如果a=b ，那么a ／c=b ／c （c ≠０）。
注意：①等式两边除以一个数时，这个数必须不为０；②对等式变形必须同时进行，且是同一个数或式。
4、解一元一次方程的步骤：（1）去分母：方程含有分母时要先去分母，使过程简便，具体做法为：在方程的两边都乘以各分母的____________。
注意：方程的每一项都要乘以最简公分母（尤其不要漏掉不含分母的项） （2）去括号：按照去括号法则先去小括号，再去中括号，最后去大括号。
注意：括号前是负号时，去掉负号和括号，括号里的各项都要变号，括号前有数字因数时要注意使用分配律。
（3）移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边。
注意：移项要变号。
（4）合并同类项（化简）：把方程化成最简形式ax=b (a ≠0)。
注意：只要把系数合并，字母和它的指数不变。
（5）把未知数的系数化成1：在方程两边都除以未知数的系数a ，得到方程的解x=注意：相除时系数不等于0。
若为0，则方程可能无解或有无穷多解。
（解方程时上述步骤有些可能用不到，并且也不一定按照上述顺序，要根据方程的具体形式灵活安排求解步骤。
）例：解一元一次方程：32124x x+--=配套训练1.判断下列式子是不是一元一次方程，如果不是，请简要说明理由.（7）85x +> （8）0x =（9）1)2(34=+-z z2.（1）解方程507035x x -+= （2）解方程1213323x x x --+=-解：等号两边都乘以_____，去分母，得： 解：等号两边各项都乘以___，去分母，得： _____________________________________ _____________________________________ 去括号，得：_________________________ 去括号，得：_________________________ 移项，得： _________________________ 移项，得： _________________________ 合并同类项，得：_____________________ 合并同类项，得：_____________________ 系数化为“1”，得：___________________ 系数化为“1”，得：___________________3.解方程：（1）57313x x -=- （2）)2(355)2(4--=+-x x（3）352123x x +-= （4）3221211245x x x +-+-=-3542)1(+=-x x 1)2(=+y x 13)3(2=a 3)4(=x 13)5(-x xx 11)6(=+4.方程2395123y y y ++-=+去分母得： （ ） :3(23)951A y y y +-=++ :3(23)62(95)6B y y y +-=++:3(23)6951C y y y +-=++ :3(23)2(95)6D y y y +-=++5.方程1302x --=可变形为： （ ）:310A x --= :610B x --= :610C x -+= :612D x -+=6.把方程2113332x x x -++=- 去分母，正确的是（ ）:182(21)183(1)A x x x +-=-+ :3(21)3(1)B x x x +-=-+:18(21)18(1)C x x x +-=-+ :32(21)33(1)D x x x +-=-+7.若代数式4x ＋8与3 x －7的值互为相反数，求x 的值。
(完整版)一元一次方程及其解法
3.1 一元一次方程及其解法1．一元一次方程(1)一元一次方程的概念只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，且等式两边都是整式的方程叫做一元一次方程．如：7－5x ＝3,3(x ＋2)＝4－x 等都是一元一次方程．解技巧 正确判断一元一次方程判断一元一次方程的四个条件是：①只含有一个未知数(元)；②未知数的次数都是一次；③未知数的系数不能为0；④分母中不含未知数，这四个条件缺一不可．(2)方程的解①概念：使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解．一元方程的解，也叫做方程的根． ②方法：要检验某个数值是不是方程的解，只需看两点：一看，它是不是方程中未知数的值；二看，将它分别代入方程的左边和右边，若方程左、右两边的值相等，则它是方程的解．如x ＝3是方程2x －4＝2的解，而y ＝3就不是方程2x －4＝2的解． (3)解方程求方程的解的过程叫做解方程．方程的解和解方程是不同的概念，方程的解是求得的结果，它是一个数值(或几个数值)，而解方程是指求出方程的解的过程．【例1－1】 下列各式哪些是一元一次方程( )．A ．S ＝12ab ；B.x －y ＝0；C.x ＝0；D.12x ＋3＝1；E.3－1＝2；F.4y －5＝1；G .2x 2＋2x ＋1＝0；H.x ＋2.解析：E 中不含未知数，所以不是一元一次方程；G 中未知数的次数是2，所以不是一元一次方程；A 与B 中含有的未知数不是一个，也不是一元一次方程；H 虽然形式上字母的个数是一个，但它不是等式，所以也不是一元一次方程；D 中分母中含有未知数，不是一元一次方程；只有C ，F 符合一元一次方程的概念，所以它们是一元一次方程．答案：CF【例1－2】 x ＝－3是下列方程( )的解． A ．－5(x －1)＝－4(x －2) B ．4x ＋2＝1C ．13x ＋5＝5 D ．－3x －1＝0解析：对于选项A ，把x ＝－3代入所给方程的左右两边，左边＝－5×(－3－1)＝20，右边＝－4×(－3－2)＝20，因为左边＝右边，所以x ＝－3是方程－5(x －1)＝－4(x －2)的解；对于选项B ，把x ＝－3代入所给方程的左右两边，左边＝4×(－3)＋2＝－10，右边＝1，因为左边≠右边，所以x ＝－3不是方程4x ＋2＝1的解，选项C ，D 按以上方法加以判断，都不能使方程左右两边相等，只有A 的左右两边相等，故应选A.答案：A2．等式的基本性质(1)等式的基本性质①性质1：等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式． 用式子形式表示为：如果a ＝b ，那么a ＋c ＝b ＋c ，a －c ＝b －c .②性质2：等式的两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能是零)，所得结果仍是等式． 用式子形式表示为：如果a ＝b ，那么ac ＝bc ，a c ＝bc(c ≠0)．③性质3：如果a ＝b ，那么b ＝a .(对称性) 如由－8＝y ，得y ＝－8.④性质4：如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c .(传递性) 如：若∠1＝60°，∠2＝∠1，则∠2＝60°. (2)等量代换在解题过程中，根据等式的传递性，一个量用与它相等的量代替，简称等量代换． 谈重点 应用不等式的性质的注意事项(1)应用等式的基本性质1时，一定要注意等式两边同时加上(或减去)同一个数或同一个整式，才能保证所得结果仍是等式．这里特别要注意：“同时”和“同一个”，否则就会破坏相等关系．(2)等式的基本性质2中乘以(或除以)的仅仅是同一个数而不包括整式，要注意与性质1的区别．(3)等式两边不能都除以0，因为0不能作除数或分母．【例2－1】 下列运用等式的性质对等式进行的变形中，正确的是( )．A ．若4y ＋2＝3y －1，则y ＝1B ．若7a ＝5，则a ＝57C ．若x 2＝0，则x ＝2D ．若x 6－1＝1，则x －6＝1解析：首先观察等式的左边是如何由上一步变形得到的，确定变形的依据，再对等式的右边进行相应的变形，得出结论．A 根据等式的基本性质1，等式的两边都减去3y ＋2，左边是y ，右边是－3，不是1；C 根据等式的基本性质2，两边都乘以2，右边应为0，不是2；D 根据等式的基本性质2，左边乘以6，而右边漏乘6，故不正确；只有B 根据等式的基本性质2，两边都除以7，得到a ＝57.答案：B【例2－2】 利用等式的基本性质解方程：(1)5x －8＝12；(2)4x －2＝2x ；(3)x ＋1＝6；(4)3－x ＝7.分析：利用等式的基本性质求解．先利用等式的基本性质1将方程变形为左边只含有未知数的项，右边含有常数项，再利用等式的基本性质2将未知数的系数化为1.解：(1)方程的两边同时加上8，得5x ＝20. 方程的两边同时除以5，得x ＝4. (2)方程的两边同时减去2x ，得2x －2＝0. 方程的两边同时加上2，得2x ＝2. 方程的两边同时除以2，得x ＝1. (3)方程两边都同时减去1， 得x ＋1－1＝6－1，∴x＝6－1.∴x＝5.(4)方程两边都加上x，得3－x＋x＝7＋x,3＝7＋x，方程两边都减去7，得3－7＝7＋x－7，∴－4＝x，即x＝－4.3.解一元一次方程(1)移项①移项的概念及依据：把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项．因为方程是特殊的等式，所以移项的依据是等式的基本性质1.②移项的目的：把所有含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边．③移项的过程：移项的过程是项的位置改变和符号变化的过程．即对移动的项进行变号的过程，如，－2－3x＝7，把－2从方程的左边移到右边，－2在原方程中前面带有性质符号“－”，移到右边后需变成“＋”，在移动的过程中同时变号，没有移动的项则不变号．所以由移项，得－3x＝7＋2.④要注意移项和加法交换律的区别：移项是把某一项从等式的一边移到另一边，移项要变号；而加法交换律中交换加数位置只是改变排列的顺序，符号随着移动而不改变．如，3＋5x＝1，把3从方程的左边移到右边要变号，得5x＝1－3，是属于移项；而把5x－15x＋11x＝11变成5x＋11x －15x＝11，是利用加法交换律，不是移项而是位置的移动，所以不变号．辨误区移项时应注意的问题在移项时注意“两变”：一变性质符号，即“＋”号变为“－”号，而“－”号变为“＋”号；二变位置，把某项由等号的一边移到另一边．(2)解一元一次方程的步骤解一元一次方程的一般步骤有：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.具体变形名称具体做法变形依据注意事项去分母方程左右两边的每一项都乘以各分母的最小公倍数等式的基本性质2不能有漏乘不含分母的项；分子是多项式的去掉分母后，要加小括号去括号可由小到大，或由大到小去括号分配律；去括号的法则不要漏乘括号内的项；括号前是“－”号的，去括号时括号内的所有项都要变号移项移项就是将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边等式的基本性质1 移项要变号合并同类项将方程化为ax＝b的最简形式合并同类项的法则只将系数相加，字母及其指数不变化系数为1 方程的左右两边同时除以未知数系数或乘以未知数系数的倒数等式的基本性质2 分子、分母不能颠倒值得注意的是：(1)这些步骤在解方程时不一定全部都用到，也不一定按照顺序进行，可根据方程的形式，灵活安排步骤；(2)为了避免错误，可将解出的结果代入原方程进行检验．【例3－1】 下列各选项中的变形属于移项的是( )． A ．由2x ＝4，得x ＝2B ．由7x ＋3＝x ＋5，得7x ＋3＝5＋xC ．由8－x ＝x －5，得－x －x ＝－5－8D ．由x ＋9＝3x －1，得3x －1＝x ＋9解析：选项A 是把x 的系数化成1的变形；选项B 中x ＋5变成5＋x 是应用加法交换律，只是把位置变换了一下；选项C 是作的移项变形；选项D 是应用等式的对称性“a ＝b ，则b ＝a ”所作的变形．所以变形属于移项的是选项C.答案：C【例3－2】 解方程2－x 3－5＝x －14.分析：方程有分母，将方程两边每一项都要乘以各分母的最小公倍数12，去掉分母得4(2－x )－60＝3(x －1)，再按照步骤求解，特别注意－5不能漏乘分母的最小公倍数12.解：去分母，方程两边都乘以12， 得4(2－x )－60＝3(x －1)． 去括号，得8－4x －60＝3x －3. 移项，得－4x －3x ＝－3－8＋60. 合并同类项，得－7x ＝49. 两边同除以－7，得x ＝－7.4．解复杂的一元一次方程解方程是代数中的主要内容之一，一元一次方程化成标准方程后，就成为未知数系数不是0的最简方程．一元一次方程不仅有很多直接应用，而且解一元一次方程是学习解其他方程和方程组的基础．解方程的过程，实际上就是把方程式不断化简的过程，一直把方程化为x ＝a (a 是一个已知数)．(1)复杂的一元一次方程的解法与简单方程的解法其思路是一样的．方程中若含有相同的代数式，可以把此代数式看作一个整体来运算；方程中若含有小数或百分数，就要根据分数的基本性质，把小数或百分数化为整数再去分母运算．(2)要注意把分母整数化和去分母的区别：分母整数化是在某一项的分子、分母上同乘以一个不等于零的数，而去分母是在方程两边同乘以分母的最小公倍数．【例4】 解方程0.4x －90.5－x －52＝0.03＋0.02x0.03.分析：由于0.4x －90.5和0.03＋0.02x 0.03的分子、分母中含有小数，可利用分数的基本性质把小数化为整数，在式子0.4x －90.5的分子、分母中都乘以10，变为4x －905，在式子0.03＋0.02x0.03的分子、分母中都乘以100，变为3＋2x3，然后去分母，再按解一元一次方程的步骤求解．解：分母整数化，得 4x －905－x －52＝3＋2x3.去分母，得6(4x －90)－15(x －5)＝10(3＋2x )． 去括号，得24x －540－15x ＋75＝30＋20x . 移项，得24x －15x －20x ＝540－75＋30. 合并同类项，得 －11x ＝495. 两边同除以－11，得x ＝－45.5.与一元一次方程的解相关的问题 方程的解不仅是方程的重要概念，也是考查方程知识时的主要命题点．解题的关键是理解方程的解的概念．(1)已知方程的解求字母系数：若已知方程的解，将方程的解代入方程，一定使其成立，则得到一个关于另一个未知数的方程，解这个方程，即可求出这个字母系数的值．(2)同解方程：因为两方程的解相同，可直接解第一个方程，求出未知数的值，再把未知数的值代入第二个方程，求出相关字母的值．【例5－1】 关于x 的方程3x ＋5＝0与3x ＋3k ＝1的解相同，则k ＝( )．A ．－2B ．43C ．2D ．－43解析：解方程3x ＋5＝0，得x ＝－53.将x ＝－53代入方程3x ＋3k ＝1，得－5＋3k ＝1，解得k ＝2，故应选C. 答案：C【例5－2】 若关于x 的方程(m －6)x ＝m －4的解为x ＝2，则m ＝__________. 解析：把x ＝2代入方程(m －6)x ＝m －4，得(m －6)×2＝m －4，解得m ＝8. 答案：86.一元一次方程的常用解题策略 我们已经知道，解一元一次方程一般有五个步骤，去分母，去括号，移项，合并同类项，化未知数的系数为1，可有些一元一次方程，若能根据其结构特征，灵活运用运算性质与解题技巧，则不但可以提高解题速度与准确性，而且还可以使解题过程简捷明快，下面介绍解一元一次方程常用的几种技巧．(1)有括号的一元一次方程一般是先去括号，去括号的顺序一般是由小到大去，但有些题目是从外向里去括号，计算反而简单，这就要求仔细观察方程的特点，灵活运用使计算简便的方法．(2)对于一些含有分母的一元一次方程，若硬套解题的一般步骤，先去分母则复杂繁琐，若根据方程的结构特点，先移项、合并同类项，则使运算显得简捷明快．有些特殊的方程却要打破常规，灵活运用一些解题技巧，使运算快捷、简便．巧解可激活思维，使我们克服思维定式，培养创新能力，从而增强学习数学的兴趣．【例6－1】 解方程34⎣⎡⎦⎤43⎝⎛⎭⎫12x －14－4＝32x ＋1. 分析：注意到34×43＝1，把34乘以中括号的每一项，则可先去中括号，34×43⎝⎛⎭⎫12x －14－34×4＝32x ＋1，再去小括号为12x －14－3＝32x ＋1，再按步骤解方程就非常简捷了． 解：去括号，得12x －14－3＝32x ＋1.移项，合并同类项，得－x ＝174.两边同除以－1，得x ＝－174.【例6－2】 解方程x ＋37－x ＋25＝x ＋16－x ＋44.分析：此题可按照解方程的一般步骤求解，但本题若直接去分母，则两边乘以最小公倍数420，运算量大容易出错，我们可两边分别通分，5(x ＋3)－7(x ＋2)35＝2(x ＋1)－3(x ＋4)12，把分子整理后再按照解一元一次方程的步骤求解．解：方程两边分别通分，得5(x ＋3)－7(x ＋2)35＝2(x ＋1)－3(x ＋4)12.化简，得－2x ＋135＝－x －1012. 去分母，得12(－2x ＋1)＝35(－x －10)． 去括号，得－24x ＋12＝－35x －350. 移项、合并同类项，得11x ＝－362.两边同除以11，得x ＝－36211.7．列一元一次方程解题(1)利用方程的解求未知系数的值当已知方程的解求方程中字母系数或有关的代数式时，常常采用代入法，即将方程的解代入原方程，得到关于字母系数的等式(或者可以看作关于字母系数的方程)，再求解即可．(2)利用概念列方程求字母的值 利用某些概念的定义，可以列方程求出相关的字母的取值，如根据同类项的定义或一元一次方程的定义求字母的值．列方程求值的关键是根据所学的知识找出相等关系．再列出方程，解方程从而求出字母的取值．谈重点 列一元一次方程注意挖掘隐含条件许多数学概念、性质的运用范围、限制条件或使用前提有的是以隐含条件的形式出现在题目中，由此可发掘隐含的条件，列一元一次方程解题，发掘隐含条件时需要全面、深刻地理解掌握数学基础知识．【例7－1】 (1)当a ＝__________时，式子2a ＋1与2－a 互为相反数． (2)若6的倒数等于x ＋2，则x 的值为__________．解析：(1)根据互为相反数的两数和为0，可得一元一次方程2a ＋1＋(2－a )＝0，解得a ＝－3；(2)由倒数的概念：乘积为1的两个数互为倒数，可得一元一次方程6(x ＋2)＝1，解得x ＝－116.答案：(1)－3 (2)－116【例7－2】 已知x ＝－2是方程x －k 3＋3k ＋26－x ＝x ＋k2的解，求k 的值．分析：把x ＝－2代入原方程，原方程就变成了以k 为未知数的新方程，解含有未知数k 的方程，可以求出k 的值．解：把x ＝－2代入原方程，得 －2－k 3＋3k ＋26－(－2)＝－2＋k2. 去分母，得2(－2－k )＋3k ＋2－(－2)×6＝3(－2＋k )． 去括号，得－4－2k ＋3k ＋2＋12＝－6＋3k . 移项、合并同类项，得 －2k ＝－16.方程两边同除以－2，得k ＝8.【题01】下列变形中，不正确的是（ ） A ．若25x x =，则5x =．B ．若77,x -=则1x =-．C ．若10.2x x -=，则1012x x -=． D ．若x ya a=，则ax ay =． 【题02】下列各式不是方程的是（ ） A ．24y y -=B ．2m n =C ．222p pq q -+D ．0x =【题03】解为2x =-的方程是（ ） A ．240x -=B ．5362x +=C ．3(2)(3)5x x x ---=D ．275462x x --=- 【题04】若关于x 的方程223(4)0n x n -+-=是一元一次方程，求n 的值．课后作业【题05】已知2(23)(23)1m x m x ---=是关于x 的一元一次方程，则m = ．【题06】若关于x 的方程2(2||)(2)(52)0m x m x m -+---=是一元一次方程，求m 的解．【题07】若关于x 的方程1(2)50k k x k --+=是一元一次方程，则k = ．【题08】若关于x 的方程1(2)50k k x k --+=是一元一次方程，则k = ．若关于x 的方程2(2)450k x kx k ++-=是一元一次方程，则方程的解x = ．【题09】2(38)570a b x bx a ++-=是关于x 的一元一次方程，且该方程有惟一解，则x =（ ） A ．2140- B ．2140C ．5615-D ．5615【题10】解方程：135(3)3(2)36524x x ---=【题11】解方程：11 (4)(3) 34y y-=+【题12】解方程：122233x xx-+ -=-【题13】解方程：21511 36x x+--=【题14】解方程：11(0.170.2)1 0.70.03x x--=【题15】解方程：1(4)33519 0.50.125xxx+++=+【题16】解方程：0.20.450.0150.010.5 2.50.250.015x xx++-=-【题17】解方程：0.10.90.21 0.030.7x x--=【题18】解方程：4213 2[()] 3324x x x--=【题19】解方程：111[(1)6]20343x --+=。
一元一次方程的解法步骤
一元一次方程的解法步骤
一元一次方程解法的基本步骤
1.去分母：在观察方程的构成后，在方程左右两边乘以各分母的最小公倍数；
2.去括号：仔细观察方程后，先去掉方程中的小括号,再去掉中括号,最后去掉大括号；
3.移项：把方程中含有未知数的项全部都移到方程的另外一边,剩余的几项则全部移动到方程的另一边；
4.合并同类项：通过合并方程中相同的几项，把方程化成ax=b(a≠0)的形式；
5.把系数化成1：通过方程两边都除以未知数的系数a，使得x前面的系数变成1，从而得到方程的解。
一元一次方程等式的性质
（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。
a=b←→a+c=b+c
（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。
a=b←→ac=bc(c≠0)
一元一次方程的解法口诀记忆
先和方程照个面，看看方程长啥样？去分母，剥括号，分母括号要去掉。
去分母，莫急躁，先把分母倍数找。
两边同乘公倍数，谨防漏乘某一处。
约去分母括号补，再去括号障碍除。
去括号，有讲道，确定是否要变号？
正括号，白去掉，括号里面要照抄。
负括号，要变号，里边各项都变到。
分母括号全没了，考虑移项是首要。
未知移到左边来，常数右边去报到。
移项一定要变号，不动各项要照抄。
两边分别合并好．未知系数
再除掉。
一元一次方程的解法和应用
一元一次方程的解法和应用一元一次方程是数学中最简单的方程类型之一，它的表达形式为ax+b=0，其中a和b是已知数，x是未知数。
解一元一次方程的过程涉及到一些基本的数学概念和运算方法，同时也有广泛的实际应用。
本文将探讨一元一次方程的解法和应用。
解一元一次方程的方法通常有两种：代入法和消元法。
代入法是指将方程中的未知数x用已知数代入，从而求得方程的解；消元法则是通过运用数学运算，把方程转化为更简单的形式，进而求解。
下面分别介绍这两种方法。
代入法是解一元一次方程的常用方法之一。
其基本思想是将方程中的未知数用已知数进行替换。
例如，对于方程2x+3=7，我们可以将x 用4代入，即2*4+3=7，验证这个替换后的等式是否成立。
如果等式成立，那么x=4就是方程的解；如果等式不成立，则需要尝试其他的替换值，直到找到满足等式的解。
消元法是解一元一次方程的另一种常用方法。
它的基本思想是通过运用数学运算，将方程逐步化简为更简单的形式，最终求得解。
常用的消元法包括加减消元法和乘除消元法。
加减消元法是指通过添加或减去方程的等式，使得未知数的系数相互相消，求解出一个未知数的值，再进行代入求解另一个未知数；乘除消元法则是通过乘或除以方程的等式，使得未知数的系数相互相消，也可以得到方程的解。
一元一次方程的应用广泛存在于我们的日常生活中。
例如，在商业领域中，我们可以利用一元一次方程来解决成本、利润和销售量之间的关系。
假设某公司的成本是每件产品10元，每件产品的售价是20元，那么我们可以使用一元一次方程来计算出需要卖出多少件产品才能达到盈亏平衡点。
又如，在物理学中，一元一次方程可以用来描述速度、时间和距离之间的关系。
我们可以利用一元一次方程来计算物体的运动速度或者预测到达目的地所需要的时间。
此外，一元一次方程还可以应用于解决实际生活中的问题，例如解决购物打折、计算金融利息等。
通过建立方程模型，我们可以利用一元一次方程来解决这些实际问题，为我们的生活提供便利。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
6．3（1）一元一次方程及其解法
上海市尚文中学 王超
教学目标
1．会运用等式的两条基本性质对等式进行变形；
2．运用等式的性质和移项法则解一元一次方程；
3．掌握一元一次方程的有关概念，并会检验一个数是不是方程的解.
教学重点及难点
运用等式的基本性质对等式进行变形.
移项法则及方程解的检验.
教学用具准备
黑板、粉笔、学生准备课堂练习本.
教学流程设计
教学过程设计
一、引入新课
一个长方形篮球场的周长为86米，长是宽的2
倍少2米，这个篮球场的长与宽分别是多少米？
我们如何通过设未知数列方程的方法来解决这道
题目呢？
设这个篮球场的宽为x 米，那么长为（2x-2）米，
可以得到方程2（2x-2+x ）
=86
教师：下面我们来仔细观察一下这个方程含有几个未知数？含有未知数的项的次数是几次的？
学生：含有一个未知数、含有未知数的项的次数是一次的.
教师：同学们回答的很好，把同学们所找到的特点归纳在一起就是今天我们要学习的一元一次方程的概念.
只含有一个未知数且含有未知数的项的次数是一次的方程叫做一元一次方程（linear equation in one variable ）
二、新课讲授
例1、判断下列方程是不是一元一次方程，如果不是，请简要说明理由.
（1）05=x （2）562=-y x
（3）062
12=-x （4）15)9(2=+-y y 解：（1）是.
（2）不是，这个方程含有两个未知数.
（3）不是，这个方程中含有未知数的项的次数是二次.
（4）是.
巩固练习：判断下列方程是不是一元一次方程：
（1）103=x （2）35745=-y x
（3）0142=-x （4）1)2(34=+-z z
2、寻找解一元一次方程的方法
教师：如何求05=x 和159=-x 的解呢？请同学们分组讨论一下，选代表回答.
学生：对于05=x ，我们可以在方程的左右两边同时除以5；对于159=-x 我们可以在方程的左右两边同时加上9.
教师：同学们回答的非常好，你们知道刚刚这几位同学的方法是运用了什么数学知识吗？
学生：等式的基本性质.
教师：很好，下面让我们一起回顾一下等式的基本性质：
等式性质一：等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，所得结果仍是等式.
等式性质二：等式两边同时乘以同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式.
教师：运用等式性质和运算性质就可以求出方程的解.
3、解一元一次方程
例题2、解方程：x x 2184-=.
解： x x x x 221824+-=+
1824=+x x
186=x
3=x
教师：你能确定求得的结果是正确的吗？
我们可以将3=x 分别代入原方程的左边和右边，看它们的值是否相等.格式如下：
检验：将3=x 分别代入原方程的两边
1234=⨯=左边；
126183218=-=⨯-=右边；
左边=右边.
所以3
x是原方程的解.
=
在以上方程的解的过程中：
2
4=
+x
x
4-
x
=→18
x2
18
-改变符号后从等号的一边移到另一边，这种变形过程叫做移项.
x2
求方程的解的过程叫做解方程.
三、巩固练习
练习6.3（1）2、3
四、课堂小结
什么叫一元一次方程；等式的基本性质；如何检验一个数是不是方程的解；什么叫移项；什么叫解方程.
教学设计说明
在小学阶段，已学习了用算术方法解应用题，还学习了最简单的方程.本小节先通过一个具体行程问题，引导学生尝试如何用算术方法解决它，然后再一步一步引导学生列出含未知数的式子表示有关的量，并进一步依据相等关系列出含未知数的等式——方程.这样安排目的在于突出方程的根本特征，引出方程的定义，并使学生认识到方程是更方便、更有力的数学工具，从算术方法到代数方法是数学的进步.
1、在6.1列方程这一节中，课本中给出了项、未知数的系数、项的次数、常数项的浅显定义.虽然不是准确定义，但是为这一节一元一次方程概念的引出做好了铺垫.所以在这一节里对于“一元一次
方程”定义的结出，我在处理时把“只含有一个未知数且未知数的次数是一次的方程叫做一元一次方程”，改为“只含有一个未知数且含有未知数的项的次数是一次的方程叫做一元一次方程”.这样以避免学生在以后的学习中对于形如：8=+xy x 的方程是不是二元一次方程有一个清楚的认识.这样处理就要求教师在6.1一节中对于项、未知数的系数、项的次数、常数项的定义要夯实，为本节内容打下坚实基础.
2、在利用方程引导学生复习等式的基本性质时，课本上给出了159=-x 这样一个方程，我在处理的过程中补充了一个05=x ，这样等式性质一和等式性质二各有一道题目，有利于学生回顾等式的基本性质.
3、书中对于方程解的检验只是一带而过，我在处理这部分内容的时候，对于方程的解的检验进行了从方法到格式上的强调，让学生明确为什么要检验，如何检验，怎么样书写.
以上我在设计这节内容时的一点想法，一定有许多不妥之处，请各位同仁批评指正.。