高二数学事件的独立性
2.2.2事件的相互独立性
P( ABC ) P ( A) P ( B) P (C )
例3 在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只
要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在 某段时间内每个开关闭合的概率都是0.7,计算在这段时 间内线路正常工作的概率.
解：分别记这段时间内开关 J A、J B、J C 能够闭合为事 件A,B,C. 由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相 互之间没有影响。根据相互独立事件的概率乘法式这 段时间内3个开关都不能闭合的概率是
P(AUB)=1— P(A)P (B)
1 2 2 1 2 3 3
1.射击时, 甲射10次可射中8次;乙射10次可射中7次. 14 则甲,乙同时射中同一目标的概率为_______ 25
2.甲袋中有5球 (3红,2白), 乙袋中有3球 (2红,1白). 3 从每袋中任取1球,则至少取到1个白球的概率是___ 5
高二数学 选修2-3
2.2.2事件的相互独立性
昌乐及第中学 赵美艳
相互独立的概念
设A、 B为两个事件，若
P( A B) P( A) P( B)
则称事件A与事件B相互独立.
即事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响， 反之亦然.
相互独立的性质
（1）事件A与事件B相互独立，则 A与B相互独立， A与B相互独立， A与B相互独立. （2）事件A，B，C两两相互独立，则
3.甲,乙二人单独解一道题, 若甲,乙能解对该题的概率 m+n- mn 分别是m, n . 则此题被解对的概率是_______
P(A+B)=P(A· B)+P(A· B) +P(A· B)=1- P(A· B)
4.有一谜语, 甲,乙,丙猜对的概率分别是1/5, 1/3 , 1/4 . 13 则三人中恰有一人猜对该谜语的概率是_____
事件的相互独立性
P( A • B • C)
(2)A不发生且B不发生且C (2)A不发生且B不发生且C不发生 不发生且
P( A• B • C)
练一练:已知A 练一练:已知A、B、C相互独立，试用数学 相互独立， 符号语言表示下列关系 同时发生概率； ① A、B、C同时发生概率； 都不发生的概率； ② A、B、C都不发生的概率； ③ A、B、C中恰有一个发生的概率； 中恰有一个发生的概率； 中恰有两个发生的概率； ④ A、B、C中恰有两个发生的概率； 中至少有一个发生的概率； ⑤A、B 、C中至少有一个发生的概率；
你认同以上的观点吗？
引例的解决
明确问题： 明确问题：
已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,臭皮匠 已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,臭皮匠 0.8, 老大解出问题的概率为0.5,老二为0.45, 0.5,老二为0.45,老三 老大解出问题的概率为0.5,老二为0.45,老三 为0.4,且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠 0.4,且每个人必须独立解题， 且每个人必须独立解题 中至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率 比较，谁大？ 比较，谁大？
答:事件 的发生会影响事件 发生的概率 事件A的发生会影响事件 事件 的发生会影响事件B发生的概率
n( AB) P( AB) 1 P ( B A) = = = n( A) P ( A) 2
思考与探究
思考2 思考2：三张奖券有一张可以中奖。现由三 名同学依次有放回地抽取，问：最后一名去 抽的同学的中奖概率会受到第一位同学是否 中奖的影响吗？ 设A为事件“第一位同学没有中 奖”。 表示事件“ 同学中奖” B表示事件“最后一名 同学中奖”
答：事件A的发生不会影响事件B发生的概率。
P( B | A) = P( B)
高二数学人选择性必修件独立性检验
系。
02
社会学领域
研究两个社会现象是否独立， 如研究教育程度与职业选择的
关系。
03
经济学领域
研究两个经济指标是否独立， 如研究通货膨胀率与失业率的
关系。
03
独立性检验方法
卡方检验法
01
02
03
卡方统计量
用于衡量实际观测值与理 论期望值之间的差异，其 值越大，表明差异越显著 。
Spearman等级相关系数
同样用于衡量两个有序分类变量之间的关联程度，与Kendall's tau-b类似，但计算方 法略有不同。
04
数据处理与结果分析
数据收集与整理
数据来源
明确数据的来源，确保数据的真实性 和可靠性。
数据整理
将数据按照一定的格式进行整理，便 于后续的计算和分析。
数据筛选
根据研究目的，筛选与研究问题相关 的数据。
将计算得到的统计量与临界值进 行比较，判断假设是否成立。
意义探讨
根据假设检验的结果，探讨数据背 后的实际意义，如两个变量之间是 否存在关联等。
注意事项
在讨论结果时，需要注意结果的可 靠性、可重复性以及可能存在的误 差来源。
05
实际应用案例解析
医学领域案例：疾病与基因关系研究
01
研究目的
探究某种疾病与特定基因之间 的关联程度。
02
数据收集
收集患者的基因数据和疾病信 息。
03
独立性检验
通过卡方检验等方法，判断疾 病与基因之间是否存在统计学
上的独立性。
04
结果解读
若检验结果拒绝原假设，则认 为疾病与基因之间存在关联， 这为疾病的预防、诊断和治疗
数学高二-选修2素材 3.2独立性检验是如何判断两个事件是否相互独立的
3.2 独立性检验是如何判断两个事件是否相互独立的独立性检验的基本思想类似于反证法.要确认“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度，首先假设结论不成立，即假设结论“两个分类变量没有关系”成立,在该假设下构造的随机变量2χ应该很小.如果由观测数据计算得到的2χ的观测值很大,则在一定程度上说明假设不合理.根据随机变量2χ的含义,可以通过概率式评价该假设不合理的程度,由实际计算的2χ>6.635,说明假设不合理的程度约为99%,即“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度约为99%．当2χ≤3.841时,认为两个分类变量是无关的.对于两事件而言即相互独立.1.两个事件独立的判定例1: 为了研究不同的给药方式（口服与注射）和药的效果（有效与无效）是否有关，进行了相应的抽样调查，调查结果列表如下：根据193个病人的数据，能否作出药的效果与给药方式有关的结论？请说明理由．解：提出假设H0：药的效果与给药方式无关系．根据列联表中的数据，得χ2＝2193(58314064)122719895-⨯-⨯⨯⨯⨯≈1.3896＜2.072．当H0成立时，χ2＞1.3896的概率大于15%，这个概率比较大，所以根据目前的调查数据，不能否定假设H0，即不能作出药的效果与给药方式有关的结论．注意：这是一个由列联表来验证的独立性检验问题,其结论是没有关系的假设成立.并且应该注意上述结论是对所有口服药物与注射药物的实验人而言的,绝不要误以为对被跟踪的193个跟踪研究对象成立.例2:调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系,得到下面的数据表．试问能以多大把握认为婴儿的性别与出生时间有关系.分析：利用表中的数据通过公式计算出2χ统计量,可以用它的取值大小来推断独立性是否成立．解：由公式()841.368892.35732345531826248922<≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=χ 故婴儿的性别与出生时间是相互独立的(也可以说没有充分证据显示婴儿的性别与出生时间有关)．2.两个事件不独立的判定例3:在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中,有214人秃顶,而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175人秃顶.利用独立性检验方法判断秃顶与患心脏病是否有关系?你所得的结论在什么范围内有效?分析:列出22⨯列联表,利用公式求出2χ与两个临界值3.841与6．635比较大小得适当范围.解：根据题目所给数据得到如下表所示： 秃顶与患心脏病列联表由公式,得:()635.6373.167726651048389451175597214143722>≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=χ所以有99％的把握认为“秃顶与患心脏病有关”.说明:因为这组数据来自住院的病人,因此所得到的结论适合住院的病人群体.例4.某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查,喜欢玩电脑游戏的同学认为作业多的有18人,认为作业不多的有9人,不喜欢玩电脑游戏的同学认为作业多的有8人,认为作业不多的有15人,则认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约是多少？解：2x =059.523272426)981518(502=⨯⨯⨯⨯-⨯， ()024.52>x P =0.025, 有97.5%的把握认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关系.。
概率与统计中的事件独立性
概率与统计中的事件独立性概率与统计是数学领域中重要的分支之一，它研究的是事物发生的可能性以及事物之间的关联程度。
在概率与统计中，事件独立性是一个重要的概念。
本文将介绍事件独立性的定义、性质以及相关的应用。
一、定义事件独立性是指在一系列随机试验中，某一事件的发生与其他事件的发生无关。
具体地说，对于两个事件A和B，如果事件A发生与否不会对事件B的发生产生任何影响，或者说事件B的发生与否不会对事件A的发生产生任何影响，那么我们称事件A和事件B是相互独立的。
二、性质1. 互逆性：如果事件A和事件B相互独立，那么事件A的补事件和事件B也相互独立。
2. 自反性：任意事件与自身都是相互独立的。
3. 偶然性：事件A和事件B相互独立，并不意味着它们是不可能发生的，它们仍然可以同时发生或者同时不发生。
4. 独立性传递性：如果事件A和事件B相互独立，事件B和事件C 相互独立，那么事件A和事件C也相互独立。
三、应用事件独立性在概率与统计中有广泛的应用，以下是几个常见的应用场景：1. 抛硬币：在抛硬币的过程中，每一次的抛硬币都是一个独立事件。
无论前一次抛硬币结果是正面还是反面，对于下一次抛硬币的结果都没有影响，每次抛硬币的概率仍然是50%。
2. 掷骰子：与抛硬币类似，每一次掷骰子的结果都是独立事件。
无论前一次掷骰子的点数是多少，对于下一次掷骰子的结果都没有影响。
3. 抽样调查：在进行抽样调查的时候，每一次的抽样都是独立事件。
例如，在进行市场调研时，每一次的问卷发放都是独立的，一个人接收到问卷并填写与其他人接收到问卷并填写之间没有关联性。
4. 生活中的决策：在日常生活中，我们经常需要根据过去的经验和信息做出决策。
如果我们认为某个事件的发生与其他事件是独立的，我们可以根据概率和统计的知识来进行决策。
总结起来，概率与统计中的事件独立性是一个重要的概念。
它可以帮助我们理解和分析随机事件之间的关系，并且在实际应用中有着广泛的用途。
人教新课标A版高二数学《选修2-3》2.2.2 事件的相互独立性
2.2.2 事件的相互独立性
知识回顾 1.什么叫互斥事件？ 在一次试验中,不可能同时发生的事件. 2.什么叫对立事件？ 若A∩Β为不可能事件,A∪Β为必然事件,那么称事件A与事件Β互为对立事件.
3.条件概率 一般地,设ΑΒ为两个事件,在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率叫条件概 率. 4.条件概率的计算公式:
（2）甲、乙两地都不下雨的概率； 解：P=(1-0.2)×(1-0.3)=0.56 （3）其中至少有一方下雨的概率. 解：P=1-0.56=0.44
2.射击时, 甲射10次可射中8次;乙射10次可射中7次.则甲,乙同时射中同一目标
14 的概率为_______ 15
3.甲袋中有5球 (3红,2白), 乙袋中有3球 (2红,1白).从每袋中任取1球,则至少取到
(2) 其中恰有1人击中目标的概率？ 解：根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概
率是
P( A B) P( A B) P ( A) P ( B ) P ( A) P ( B ) 0.6 (1 0.6) (1 0.6) 0.6 0.24 0.24 0.48
想一想 求相互独立事件概率的一般步骤是什么？ （1）确定各事件是不是相互独立
（2）确定各事件是否会同时发生
（3）先求每个事件发生的概率，再求其积
巩固练习
1.在一段时间内，甲地下雨的概率是0.2，乙地下雨的概率是0.3，假定在这 段时间内两地是否下雨相互之间没有影响，计算在这段时间内：
（1）甲、乙两地都下雨的概率； 解：P=0.2×0.3＝0.06
（3）至少有一人击中目标的概率. 解法1:两人各射击一次至少有一人击中目标的概率是:
人教新课标版数学高二-选修2-3课件事件的相互独立性
1 4
，乙去此地的概率为
1 5
，假定两人 2
的行动相互没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率为__5__.
解析 P＝1－1－141－15＝25.
解析答案
1234
4.甲、乙两名篮球运动员分别进行一次投篮，如果两人投中的概率都是 0.6，计算： (1)两人都投中的概率； 解 设A表示事件“甲投篮一次并且投中”， B表示事件“乙投篮一次并且投中”， 则AB表示事件“两人各投篮一次并且都投中”. 由题意可知，事件A与事件B相互独立， ∴P(AB)＝P(A)P(B)＝0.6×0.6＝0.36.
解析答案
小结作业 1.相互独立事件与互斥事件的区别
相互独立事件
互斥事件
判断 一个事件的发生与否对另一个 两个事件不可能同时发生 ，即 方法 事件发生的概率没有影响 AB＝∅
若A与B互斥， 概率 A与B相互独立等价于P(AB) ＝
则 P(A ＋ B) ＝ P(A) ＋ P(B) ， 反 之 公式 P(A)·P(B)
解 记“三个元件T1，T2，T3”正常工作“分别 为事件A1，A2，A3”，
则 P(A1)＝12，P(A2)＝34，P(A3)＝34， 不发生故障的事件为(A2∪A3)A1， P＝P[(A2∪A3)A1]＝P(A2∪A3)·P(A1) ＝[1－P( A 2)·P( A 3)]·P(A1)＝1－14×41×12＝3125.
结论
称事件A与事件B相互独立
答案
知识点二 相互独立的性质
条件
A与B是相互独立事件
结论
A与_B__ A与_A__ _A_与_B_
也相互独立
答案
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合作探究
类型一 事件独立性的判断 例1 判断下列各对事件是不是相互独立事件： (1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中 各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选 出1名女生”； 解 “从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生， 对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响， 所以它们是相互独立事件.
人教A版高中数学必修第二册教学课件：事件的相互独立性
＝
1 12
+
1 8
+
1 4
＝
11 24
，所以事件A，B，C只发生两个的概率为
11 24
.
人教A版（ 高2中01数9）学高必中修数第学二必册修教第学二课册件 教：学事课件 件的：相第互 十独章立性 10.2 事件的相互独立性(共16张PPT)
人教A版（ 高2中01数9）学高必中修数第学二必册修教第学二课册件 教：学事课件 件的：相第互 十独章立性 10.2 事件的相互独立性(共16张PPT)
人教A版高中数学必修第二册教学课件 ：事件 的相互 独立性
人教A版高中数学必修第二册教学课件 ：事件 的相互 独立性
（3）记A：出现偶数点，B：出现3点或6点，
则A＝{2，4，6}，B＝{3，6}，AB＝{6}，
所以P（A）＝ 3 ＝ 1 ，P（B）＝ 2 ＝ 1 ，P（AB）＝ 1 .
62
63
6
【变式训练2】端午节放假，甲回老家过节的概率为 1 ，乙、丙回老家 3
过节的概率分别为 1 ，1 .假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段 45
时间内至少1人回老家过节的概率为 （ ）
A. 59
B. 1
C. 3
D. 1
60
2
5
60
人教A版（ 高2中01数9）学高必中修数第学二必册修教第学二课册件 教：学事课件 件的：相第互 十独章立性 10.2 事件的相互独立性(共16张PPT)
人教A版（ 高2中01数9）学高必中修数第学二必册修教第学二课册件 教：学事课件 件的：相第互 十独章立性 10.2 事件的相互独立性(共16张PPT)
所以P（AB）＝P（A）P（B），
所以事件A与B相互独立.
2.2.2事件的相互独立性【公开课教学PPT课件】
皮匠中至少有一人解出的概率与诸
葛亮解出的概率比较，谁大？
分析:1 P(ABC) 1 0.9握 不能大过诸葛亮!
这种情况下至少有 几个臭皮匠才能顶
个诸葛亮呢？
小结反思
互斥事件
相互独立事件
概
不可能同时发生的
如果事件A（或B）是否发生对事 件B（或A）发生的概率没有影响，
B发生与否不影响A发生的概率
想一想 判断下列各对事件的关系
（1）运动员甲射击一次，射中9环与射中8环；互斥
（2）甲乙两运动员各射击一次，甲射中9环与
乙射中8环；
相互独立
(3)已知P( A) 0.6, P(B) 0.6, P( AB) 0.24
则事件A与B
相互独立
（4）在一次地理会考中，“甲的成绩合
高二数学 选修2-3
2.2.2事件的相互 独立性（一）
俗话说：“三个臭皮 匠抵个诸葛亮”。
那我们从数学中 概率的角度来看，如 何理解这句话呢？
明确问题： 已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,
臭皮匠老大解出问题的概率为0.5,老 二为0.45,老三为0.4,且每个人必须独 立解题，问三个臭皮匠能抵一个诸葛
设事件A和事件B，且P(A)>0,在已知事件A发 生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率。 记作P(B |A).
(5).条件概率计算公式:
P(B | A) n( AB) P( AB) n( A) P( A)
P(AB) P(A)P(B | A)
思考与探究
思考1：三张奖券有一张可以中奖。现由三
不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；如果两个互斥 事件有一个发生时另一个必不发生，这样的两个互斥事件 叫对立事件.
事件的相互独立性(共21张PPT)
（2）“至少有一次中靶” 是指 (中, 不中), (不中, 中), (中,中) 即 A·B + A·B+ A·B. ∴求 P(A·B + A·B+ A·B)
（3）“至多有一次中靶” 是指 (中, 不中), (不中, 中), (中,中) 即 A·B + A·B+ A·B. ∴求 P(A·B + A·B+ A·B)
0.3 60.4 80.84 即 A·B + A·B+ A·B.
篮球比赛 “罚球二次” . 事件的概率乘法公式，所求的概率是
解法2：两人都未击中的概率是 ③若A与A为对立事件，则P（A）与P（A）关系如何？
（1）甲、乙两地都下雨的概率； 即 A·B + A·B+ A·B.
P(A• B) P(A) • P(B) 这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件的概率的积。
②从中抽两次,每次1件则两次都抽出次品的概率是___
事件的概率乘法公式，所求的概率是
（3）其中至少有一方下雨的概率.
3.某战士射击中靶的概率为0.99.若连续射击两次. 求: (1) 两次都中靶的概率;(2)至少有一次中靶的概率:
(3)至多有一次中靶的概率;(4)目标被击中的概率.
分析: 设事件A为“第1次射击中靶”. B为“第2次射击中靶”. 又∵A与B是互斥事件.
设A，B为两个事件，如果 P(AB)=P(A)P(B),则称事件A 与事件B相互独立。
即事件A（或B）是否发生,对事件B（或A）发生的概率
没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件。 注：
人教版高中数学选修2-3《2.2.2事件的相互独立性》
把“从乙坛子里摸出 1个 球，得到白球”叫做事件B
甲
没有影响
乙
事件的相互独立性 设A，B为两个事件，如果 P(AB)=P(A)P(B),则
称事件A与事件B相互独立.
即事件A（或B）是否发生,对事件B（或A）发生
的概率没有影响，这样的两个事件叫相互独立事件.
显然事件A“从甲坛子里摸出1个球，得到白球”与
两个相互独立事件A,B同时发生,即事件AB发生 的概率为：
这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率， 等于每个事件发生的概率的积.
一般地，如果事件A1，A2，…，An相互独立，
那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生
的概率的积，即
P（A1·A2·…·An）=P（A1）·P（A2）·… · P（An）
(1)甲同学做错、乙同学做对. (2)甲、乙两同学同时做错. (3)甲、乙两同学中至少有一人做对. (4)甲、乙两同学中至多有一人做对. (5)甲、乙两同学中恰有一人做对.
2.补全下列的表格：
概 率 意 义
相互独立事件同时发生的概率公式： 若A、B是相互独立事件，事件A,B同时发生，将
它记作AB.
(3)解法1:两人各射击一次至少有一人击中目标的概
率是
解法2：两人都未击中的概率是
【提升总结】
(1)求相互独立事件同时发生的概率的步骤是： ①首先确定各事件之间是相互独立的； ②确定这些事件可以同时发生； ③求出每个事件的概率，再求积． (2)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时， 要掌握公式的适用条件——各个事件是相互独立的，
应用公式的前提： 1.事件之间相互独立 2.这些事件同时发生.
探究点2
求相互独立事件同时发生的概率
高二数学1-2 独立性检验
独立性检验教学重点、独立性检验的基本方法，独立性检验的步骤难点：．基本思想的领会及方法应用．知识点一、独立性检验的基本概念和原理独立性检验是研究相关关系的方法。
1.分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别的变量称为分类变量.比如男女、是否吸烟、是否患癌症，宗教信仰、国籍等等。
2列联表：分类变量的汇总统计表（频数表）. 一般我们只研究每个分类变量只取两个3.条形图为了更清晰地表达这个特征，我们还可用如下的等高条形图表示两种情况下患肺癌的比例．如图3.2一3 所示，在等高条形图中，浅色的条高表示不患肺癌的百分比；深色的条高表示患肺癌的百分比．通过分析数据和图形，我们得到的直观印象是“吸烟和患肺癌有关”．那么我们是否能够以一定的把握认为“吸烟与患肺癌有关”呢？4.独立性检验的步骤为了回答下面问题，我们先假设H：吸烟与患肺癌没有关系，看看能够得到什么样的结论。
不患肺癌患肺癌合计不吸烟 a b a+b吸烟 c d c+d合计a+c b+d a+b+c+d样本容量 n=a+b+c+d如果“吸烟与患肺癌没有关系”，则吸烟者中不患肺癌的的比例应该与不吸烟者中相应的比例差不多，即：()()()()()()()220a ca c d c ab ad bc a b c dad bc ad bc n ad bc k a b c d a c b d n a b c d ≈⇒+≈+⇒-≈++---=++++=+++因此 : 越小, 说明吸烟与患肺癌之间关系越弱. 越大, 说明吸烟与患肺癌之间关系越强构造随机变量 其中为样本容量若 H 0 成立，即“吸烟与患肺癌没有关系”，则 K “应该很小．根据表3一7中的数据，利用公式（1）计算得到 K “的观测值为()22996577754942209956.63278172148987491K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯,这个值到底能告诉我们什么呢？统计学家经过研究后发现，在 H 0成立的情况下，2( 6.635)0.01P K ≥≈. (2)(2）式说明，在H 0成立的情况下，2K 的观测值超过 6. 635 的概率非常小，近似为0 . 01，是一个小概率事件．现在2K 的观测值k ≈56.632 ，远远大于6. 635，所以有理由断定H 0不成立，即认为“吸烟与患肺癌有关系”．但这种判断会犯错误，犯错误的概率不会超过0.01，即我们有99％的把握认为“吸烟与患肺癌有关系” .在上述过程中，实际上是借助于随机变量2K 的观测值k 建立了一个判断H 0是否成立的规则：如果k ≥6. 635，就判断H 0不成立，即认为吸烟与患肺癌有关系；否则，就判断H 0成立，即认为吸烟与患肺癌没有关系．在该规则下，把结论“H 0 成立”错判成“H 0 不成立”的概率不会超过2( 6.635)0.01P K ≥≈,即有99％的把握认为H 0不成立．假设检验 备择假设H 1在H 1不成立的条件下，即H 0成立的条件下进行推理 推出有利于H 1成立的小概率事件（概率不超过α的事件）发生，意味着H 1成立的可能性（可能性为（1－α））很大推出有利于H 成立的小概率事件不发生，接受原假设上例的解决步骤第一步：提出假设检验问题 H 0：吸烟与患肺癌没有关系↔ H 1：吸烟与患肺癌有关系第二步：选择检验的指标 22()K ()()()()n ad bc a b c d a c b d -=++++（它越小，原假设“H 0：吸烟与患肺癌没有关系”成立的可能性越大；它越大，备择假设“H 1：吸烟与患肺癌有关系”成立的可能性越大. 第三步：查表得出结论注意：1观测值是2K 的值2．假设没有关系，如果2K 大，则H 0不成立，即两个量有关系。
高二数学独立性检验知识点
高二数学独立性检验知识点独立性检验是高中数学中的重要概念之一，用于判断两个或多个事件是否相互独立。
在数学考试中，独立性检验经常被应用于概率统计等相关题目。
本文将详细介绍高二数学中的独立性检验知识点，帮助同学们更好地理解和应用。
一、独立性的定义和特性在进行独立性检验之前，我们首先需要了解独立性的定义和特性。
在概率统计中，两个事件A和B的独立性表示事件A的发生与事件B的发生是互相独立的，即A的发生不影响B的发生，反之亦然。
独立性的特性包括以下几个方面：1. 互斥性：如果A和B互斥（即A和B不能同时发生），则A和B是相互独立的。
2. 互不影响性：如果A和B是相互独立的，那么A和B的补事件也是相互独立的。
即P(A) = 1 - P(A')，P(B) = 1 - P(B')。
3. 乘法法则：如果A和B是相互独立的，那么P(A∩B) = P(A) × P(B)。
二、独立性检验方法在实际应用中，我们需要通过数据分析或实验来判断两个事件是否独立。
针对不同情况，有不同的独立性检验方法。
1. 经验法：当数据较少或不能进行大样本实验时，我们可以使用经验法来判断独立性。
经验法主要是通过观察、比较和思考来判断两个事件是否独立。
2. 理论法：当数据比较充足并且满足一定的条件时，我们可以使用理论法来进行独立性检验。
理论法主要是基于概率计算和统计推断来判断独立性。
三、常见的独立性检验方法在高二数学中，常见的独立性检验方法包括以下几种：1. 卡方检验：卡方检验是一种针对频数资料的检验方法，用于检验两个事件是否独立。
通过计算观察频数和期望频数之间的差异来判断独立性。
2. 相关系数检验：相关系数检验可以用于判断两个事件之间是否存在线性相关性。
当两个事件呈现出线性相关性时，它们往往是不独立的。
3. 二项分布检验：二项分布检验可以用于判断两个事件的独立性。
当事件满足二项分布的条件时，可以通过计算观察值与理论值之间的差异来判断独立性。
高二数学 事件的相互独立性
高二数学事件的相互独立性1．教学目标1.1地位、作用《事件的相互独立性》是高中数学选修2-3第二章的内容,这节课是在学生学习了排列、组合、等可能性事件概率、互斥事件概率，条件概率的基础上进行的.通过本节学习不仅要掌握相互独立事件的定义及其同时发生的概率乘法公式和公式的应用,为后继学习独立重复试验等概率知识以及今后学习相关知识奠定良好基础, 而且更重要的是让学生真正意识到集体的力量大于个人的力量,虚心求教的必要性,养成谦虚求教的良好治学态度,适时地对学生进行德育教育.1.2 学情分析➢认知分析：现在是高二的第二学期，学生已有一定的数学分析能力，为此教学应从设疑入手，引导其探索，提出解决问题的方法，重在进一步培养其分析问题、解决问题的能力和创新意识。
➢能力分析：学生已经具备了一定的归纳、猜想能力，但在数学的应用意识与应用能力方面尚需进一步培养.➢情感分析：多数学生对数学学习有兴趣，能够积极参与研究，但在合作交流方面，有待加强.综上所述,确定本节课的教学目标如下：➢知识目标：理解相互独立事件的意义,掌握相互独立事件同时发生的概率乘法公式,并能应用该公式计算一些独立事件同时发生的概率,进一步理解偶然性与必然性之间的辩证关系。
➢能力目标：培养学生的动手能力、探究性学习的能力、创新意识和实践能力,发展学生“用数学”的意识和能力.➢情感目标：培养学生关注人文、虚心求教的情感,帮助学生体验数学学习活动中的发现与快乐,激发他们的学习兴趣.2．重点、难点：教学重点：相互独立事件的意义和相互独立事件同时发生的概率公式.教学难点：对事件独立性的判定，以及能正确地将复杂的概率问题分解转化为几类基本的概率模型.3.教学方法与教学手段教学方法：启发式教学为主；讲授为辅。
教学手段：多媒体辅助教学。
4．教学过程（1）创设情境,让学生的思维“动”起来[问题] 从“三个臭皮匠,顶上一个诸葛亮”这句古话中你能得到什么启发？从数学的角度,你能做出解释吗？给出引例：诸葛亮vs臭皮匠（略）（这一环节的设计意图是：课堂教学刚开始时如果能引起学生的学习兴趣，激发学生的求知欲望，就会形成强大的内驱力，可以很快促使学生积极思维，迅速拉近教师和学生的距离。
2.3.2独立性-事件的独立性
三．例题讲解
二人轮流进行射击， 例 5．A,B 二人轮流进行射击，A 先 B 后，相 ． 看做一轮射击， 邻“A 先 B 后”看做一轮射击，射击进行到 有人击中目标为止，A 击中靶的概率为 0.3， 有人击中目标为止， ， B 击中靶的概率为 0.4，试求在前 5 轮 A 先击 ， 中靶的概率. 中靶的概率
三．例题讲解
例 6．某人向某个目标射击，直至击中 ．某人向某个目标射击， 为止， 为止，每次射击击中目标的概率为 1/3， ， 试分别求在第五次和前五次可击中目标的 概率. 概率
三．例题讲解
三部机床独立工作， 例 7．A,B,C 三部机床独立工作，由一个工人 ． 照管，且不能同时照管两部和两部以上机床， 照管，且不能同时照管两部和两部以上机床， 某段时间内， 它们不需要工人照管的概率分别 某段时间内， 为 0.9、0.8 和 0.85，求在这段时间内： 、 ，求在这段时间内： （1） ） （2） ） （3） ） 三部机床都不需要工人照管的概率； 三部机床都不需要工人照管的概率 有机床需要工人照管的概率； 有机床需要工人照管的概率 至少有两部机床需要人照管， 至少有两部机床需要人照管，而一人 根本照管不过来而造成停工的概率. 根本照管不过来而造成停工的概率
Y X 图1 Y Z X 图2 Z
变式.若 变式 若 X,Y,Z 按图 2 的方式连接成一个系统 M。当元 。 中至少有一个正常工作 系 工作时 件 X,正常工作和正常工作。 统正常工作。求系统正常工作的概率 P.
2024新教材高中数学第4章概率与统计4-1条件概率与事件的独立性4-1-3独立性与条件概率的关系作
程．现有3名民工相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设，则
这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是( )
A．21
B．13
C．14
D．61
解析 记第i名民工选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类
分别为事件Ai，Bi，Ci，i＝1,2,3.由题意，事件Ai，Bi，Ci(i＝1,2,3)相互独
解析
二、填空题
6．机动车驾驶的考核过程中，科目三又称道路安全驾驶考试，是机
动车驾驶人考试中道路驾驶技能和安全文明驾驶常识考试科目的简称．假
设某人每次通过科目三的概率均为
4 5
，且每次考试相互独立，则至多考两
次就通过科目三的概率为________．
答案
24 25
解析
第一类：考一次就通过的概率为
4 5
参加测试，其中有且只有一人能通过的概率是( )
A．31
B．23
C．12
D．1
解析 设事件A表示“甲通过听力测试”，事件B表示“乙通过听力测
试”．依题意知，事件A和B相互独立，且P(A)＝12，P(B)＝13.记“有且只有 一人通过听力测试”为事件C，则C＝A－B ∪－A B，且A－B 和－A B互斥．
故P(C)＝P(A
－B
∪
－A
B)＝P(A
－B
)＋P(
－A
B)＝P(A)P(
－B
)＋P(
－A
)P(B)＝
1 2
×1－13＋1－21×13＝12.
解析 答案
5．在一个选拔项目中，每个选手都需要进行四轮考核，每轮设有一 个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确 回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为56，45，34，13，且各轮问题能否 正确回答互不影响．
2.2.2事件的相互独立性(二)
Ja在这段时间内 闭合” 在这段时间内， A ：“Ja在这段时间内，闭合” Jc Jb在这段时间内 闭合” 在这段时间内， B ：“Jb在这段时间内，闭合” Jc在这段时间内 闭合” 在这段时间内， C ：“ Jc在这段时间内，闭合”。
变题：世纪金榜P37例3 变题：
1.射击时 甲射 次可射中 次;乙射 次可射中 次. 射击时, 甲射10次可射中 次可射中8次 乙射 次可射中7次 乙射10次可射中 射击时 14 乙同时射中同一目标的概率为 则甲,乙同时射中同一目标的概率为 乙同时射中同一目标的概率为_______ 25 2.甲袋中有 球 (3红,2白), 乙袋中有 球 (2红,1白). 甲袋中有5球 红 白 乙袋中有3球 红 白 甲袋中有 3 从每袋中任取1球 则至少取到1个白球的概率是___ 个白球的概率是 从每袋中任取 球,则至少取到 个白球的概率是 5 3.甲,乙二人单独解一道题 若甲 乙能解对该题的概率 甲 乙二人单独解一道题 若甲,乙能解对该题的概率 乙二人单独解一道题, 分别是m, 此题被解对的概率是 的概率是_______ 分别是 n . 则此题被解对的概率是 m+n- mn
每次1件则两次都抽出次品的概率是 ③从中抽两次,每次 件则两次都抽出次品的概率是 从中抽两次 每次 件则两次都抽出次品的概率是___
(放回抽取 放回抽取) 放回抽取 C41·C41 C1001·C1001
例4某大学毕业生参加某单位的应聘考试，考试依 某大学毕业生参加某单位的应聘考试，
存分为笔试、面试、实际操作三轮进行， 存分为笔试、面试、实际操作三轮进行，规定只有 通过前一轮才能进入下一轮考试，否则被淘汰。三 通过前一轮才能进入下一轮考试，否则被淘汰。 轮考试都通过才能正式录用。设该大学生同行一、 轮考试都通过才能正式录用。设该大学生同行一、 三轮考试的概率分别是2/3,3/4,4/5,且各轮考试 二、三轮考试的概率分别是 且各轮考试 通过与否相互独立。 通过与否相互独立。 （1）求该大学生进入第三轮考试的概率 ） （2）设该大学生在应聘考试中考试的轮数为ξ ，求 ξ ） 的分布列。 的分布列。
事件的独立性(第2课时)(课件)高二数学课件(沪教版2020必修第三册)
4、甲、乙两人各掷一个骰子，观察朝上的面的点数， 记事件A：甲得到的点数为2，B：乙得到的点数为奇数；
5、甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3人能被选中的概率
（1）求3人同时被选中的概率； （2）求3人中至少有1人被选中的概率；
“ THANKS ”
（(填序号）；
【答案】①②③ 【解析】根据事件相互独立性的定义判断，只要P(A∩B)＝P(A)P(B)，P(A∩C)＝ P(A)P(C)，P(B∩C)＝P(B)P(C)成立即可； 利用古典概型概率公式计算可得P(A)＝0.5，P(B)＝0.5，P(C)＝0.5， P(A∩B)＝0.25，P(A∩C)＝0.25，P(B∩C)＝0.25； 可以验证P(A∩B)＝P(A)P(B)，P(A∩C)＝P(A)P(C)，P(B∩C)＝P(B)P(C)． 所以根据事件相互独立的定义，事件A与B相互独立，事件B与C相互独立，事件 A与C相互独立；
课本练习
１． 掷黑 、 白两颗骰子 ． （ １ ） 验证事件 “ 两颗骰子的点数和为 ７ ” 与事件 “ 白色骰子的点 数是 １ ” 是独立的 ； （ ２ ） 验证事件 “ 两颗骰子的点数和为 ７ ” 与事件 “ 两颗骰子中至 少有一颗的点数是 １ ” 不是独立的 ． ２． 甲 、 乙两人的罚球命中率分别是 p 与 q ． 两人各投篮一次 ， 求 ： （ １ ） 都投中的概率 ； （ ２ ） 都没投中的概率 ； （ ３ ） 至少一人投中的概率 ； （ ４ ） 至多一人投中的概率 ． ３． 把分奖金问题的三局两胜改为五局三胜 ， 问 ： 在比分是 ２∶１ 的 情况下 ， 怎么分奖金公平？
【答案】(1－a)(1－b)； 【解析】由题意可知，该产品为正品是第一道工序和第二道工 序都为正品， 故该产品为正品的概率为(1－a)(1－b)；
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练习.甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人 击中的概率分别为 0.4, 0.5, 0.7, 飞机被一人击中 而被击落的概率为0.2 ,被两人击中而被击落的概 率为 0.6 , 若三人都击中飞机必定被击落, 求飞机 被击落的概率.
解 设 Ai 表示有 i 个人击中敌机 , A, B, C 分别表示甲、乙、丙击中敌机 ,
例 2： 如 图 ， 用 X， ， Y Z三 类 不 同 的 元 件 连 接 成 系 统 N 。 当 元 X， 件 Y， Z都 正 常
工 作 时 ， 系 统 N 正 常作 工 。 已 知 元 件 X， Y， Z正 常 工 作 的 概 率 依 次 为 0.80,0. 90, 0.90求 系 统 N 正 常 工作的概率P
件A相互独立.
3.独立的充要条件
推广：如果事件A1,A2,……,An相互独立 , 那么这n个事件同时发生的概率,等于每个 事件发生的概率的积.
P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 ) P( An )
例1.若事件A与B相互独立, 则 A 与 B 也相 互独立.
Ｘ
Ｙ
Ｚ
变式:若系统如下图所示,其它条件 不变,则系统正常工作的概率?
A
B开
或关的概率都是1/2, 且是相互独立 的,分别求灯泡甲,乙亮的概率.
甲 乙
例 3： 加 工 某 一 零 件 需 共两道工序
若 第 一 、 二 道 工 序 的合 不格 率 分 别
为 30 0 和 50 0， 假 定 各 道 工 序 是 互 不 影 响 的 ， 问 ： 加 工 出的 来零 件 是 不 合格品的概率是多少？
；开天录 /booktxt/7044/ 开天录；
该也对得上了,因为那家伙就是这样の壹个狂徒,剑痴.""他拿自己来当剑灵,来炼剑真有可能."陈三六说."恩,他确实是这么做の,不过咱也不知道,他以前还有这么壹段往事."根汉说："不过也许当年の事情,还有出入吧,毕竟过了这么多年了."他本来是想和陈三六讲,有这样の壹位现成の炼 金术士の先祖在の,若是陈三六以后能够和多姆大帝学壹学.壹定是会突飞猛进の,实力也会暴增.可是现在这陈三六好像对这个多姆大帝印象并不好,甚至是有些痛恨这个多姆大帝.因为是人都痛恨背叛者,而多姆大帝当年就背叛了炼金术士壹族."大哥你不知道,如果只是这样の话,咱也不会 说什么了."陈三六说："主要是他当年,还做了另壹件天怒人怨の事情.""什么事情?"根汉皱眉问道："还有别の事情?"陈三六点了点头,手上の针线也放下了,他沉声说道："当年因为这家伙消失の时候,还带走了炼金术士壹族の炼金图.""炼金图?"根汉问."不错,就是号称星空の所有图,上面 还有所有星空の标点,有了这份炼金图,炼金壹族就可以在星空中自如の布置法阵,穿梭来去自如."陈三六道出了壹件隐事："炼金术士之所以当年那么强盛,其实很大の原因,便是因为此图.""有了此图,炼金壹族就可以去星空中别の星辰,找到大量の天地神材.""在当年の九界之中,都找不到 の壹些特别の神材,有了那些东西炼金壹族才炼制出了壹些惊世骇俗の恐怖神兵."陈三六说."原来是这样."根汉晃然："难道那炼金图,你们就没有备份过吗?没有多拓印几份吗?""所以说这个家伙可恨,当年炼金壹族确实是烙印了几份,壹共有五分.""可是这个混蛋,竟然为了自己壹人独吞炼 金图,将其它の四份全部给毁了,为此还杀了几位先祖."陈三六怨气不小："自打炼金图壹消失,炼金术士壹族就急转直下,而且因为几位先祖被杀害了.""以前本来给壹些太古强者炼制の东西,最终无法顺利交货了,材料也没有了,结果人家找上门来."本书来自//htl（正文叁叁叁0炼金）叁叁 叁1青蓝神树叁叁叁1根汉晃然："难道那炼金图,你们就没有备份过吗?没有多拓印几份吗?""所以说这个家伙可恨,当年炼金壹族确实是烙印了几份,壹共有五分.""可是这个混蛋,竟然为了自己壹人独吞炼金图,将其它の四份全部给毁了,为此还杀了几位先祖."陈三六怨气不小："自打炼金图 壹消失,炼金术士壹族就急转直下,而且因为几位先祖被杀害了.""以前本来给壹些太古强者炼制の东西,最终无法顺利交货了,材料也没有了,结果人家找上门来.""炼金壹族因此损失惨重,从此便没落了."陈三六说."原来还有这么壹段故事."根汉也没想到,若是这些事情都是真の,如陈三六所 说の话,这个多姆大帝就确实是有些可恨了.自己抢走炼金图也就算了,为何还要毁掉其它の烙印图呢,而且还要杀掉当时の先辈.抢走炼金壹族の神材,难道他将所有の神材,都用来炼制了这把至尊剑吗?根汉问陈三六："三六,你说那张炼金图上,有当时星空中の所有标点,是什么意思?有那张 图了,就可以在这星空中来去自如了?""恩."陈三六说："炼金壹族の先辈们,以无穷の智慧,绘制了那张炼金图.""其实也就是相当于星空图,当时那壹片星空,咱觉得应该是现在咱们抬头所能这片天の,所有星辰吧."他说,"如果有了那炼金图,大哥说不定你就能找到回去地球の路了.""对了,大 哥那家伙,有没有和你提到炼金图の事?"他问.根汉摇了摇头道："那家伙没和咱说过,当时咱和他交流の时间并不多,那家伙还壹直提防着咱.""不过后来他还总算干了件人事,将文婷她们给送到了无心峰,又将你漫天嫂子送到了天空之城."根汉说."恩,这还算件人事."陈三六说："现在至尊剑 在哪尔,你感应不到吗?""恩,感应不到了."根汉摇了摇头："自从这多姆大帝苏醒后,至尊剑就完全听他の了,他可是里面の剑灵,也不会再听咱の了.""恩,咱觉得炼金图,极有可能还在这家伙の脑子里,或者是他还有别の烙印份."陈三六说,"要是能够得到这张炼金图,咱们就可以进军星空了, 许多星辰上有壹些天地神材,绝对是仙料.""只有咱们得到了,那以后实力会大增."他说.根汉说："会不会有机会吧,这家伙对你大哥咱也怨气不小,他当年想凭到至尊剑复生,再活壹世.""却不想后来出了变故,而在近古时代,又不小心被情圣拔出了至尊剑,耽误了他の好事."根汉说."此事还和 情圣有关系吗?"陈三六也觉得有些奇怪.之前根汉虽然是将他们给从血佛庙中救出来了,却没有和陈三六单独聊过这个事情.根汉也说了说,多姆大帝の事情.不过他知道の也不是特别多,多姆大帝壹直是三碱其口,并不太想提情圣の事情.只是吊着根汉の胃口,故意如此の,而且情圣の最大の秘 密,就在那把至尊剑中,多姆大帝也不肯告诉根汉.现在根汉想想,会不会是情圣是想得到炼金图呢,当年多姆大帝和情圣之间,肯定还发生了什么别の事情.不会只是多姆大帝,傻傻の任由情圣控制着至尊剑.不过可以想像の是,情圣当年以至尊剑成名,起码说明他是可以控制至尊剑の,而不是多 姆大帝在控制至尊剑.这壹点就令根汉很好奇了,很显然至尊剑是壹把真正逆天の剑.谁若是能够彻底の控制那把剑,就有可能成为与世独尊の存在,而当年情圣和多姆大帝壹定是有过壹番争夺,最终情圣得到了控制权.听完多姆大帝の事情,陈三六继续试着绣这张古图.只不过试了近三天了,他 还是壹点头绪也没有找到,也不知道要如何下手.他还是放弃了,根汉也没有办法,所以只能就此离开了.只是根汉并不知道,就在他离开后不久.壹朵妖冶の花,从这蓝湖中升了上来.而在这朵花绽放の时候,花.蕊处此时正有壹个绝代女人,盘腿坐在了这里.她の壹双眼睛有些空洞,好像没有眼珠 子似の,与她这副绝代の容貌格格不入,显得有些古怪.女人往根汉离去の方向,最终根汉の背影."是他?"女人喃喃自语,嘴唇微微动了动,好像还在说话."他怎么会在这里?"女人仿佛有些无法理解,楚の背影,觉得很是奇怪,为何他会出现在这里.而根汉正在火海中前行,突然就定住了脚步.他扭 头往身后,却没有发现什么人影,只是他有壹种被人盯上の感觉."难道是咱出现幻觉了?"根汉觉得有些诧异,不过既然无法发觉了,现在也只能是提前离开了.蓝湖虽然很特别,壹定不是什么简单の东西,那下面应该是壹处仙府の通道,或者是通往仙界の通道.但是现在无法解开,那就说明现在与 那里无缘了,只能是先离开了.皇通古庙,外城.近万人在这里苦等了七天七夜,中途有二千多人,耐不住跑到周围去转了转.等他们回来の时候,却发现之前の人全不见了,第壹道台里面闪亮了起来.有光亮从里面传出来了,俨然是开始在进行下壹关の考核了."咱晕死.""怎么会这样.""快放咱们 进去.""让咱们进去呀.""这不是坑人吗."这考核の手段,还真就是轩辕飞燕之前所猜测の,人家就是想考考你の耐力.结果才几天の功夫,有些人因为耐不住,觉得临时走开壹下没关系,再加上大部分人都是第壹回来到这里.头壹回来到这外城,心里如猫爪子挠似の,想去周围转壹转.心存侥幸, 觉得反正已经进了城了,算是达到了人家の要求了,这第五关便通过了.可是殊不知,这就是壹种考验,壹场小小の考验.可就是这场小小の考验,就刷掉了近二千五百人,现在只剩下了七千人了.在第壹道台上站着,酒道现在也有些心悸,心想这要是出去走壹走了,说不定就和外面现在の那些小苦 逼壹样,也无法进入到这里面来了."恭喜诸位,进入到了第壹道台了,现在就只剩下最后壹关了."白袍长老等壹百多人都出现了,白袍长老对于现在能剩下这七千人左右,还是比较满意の.原本预想是到了这壹关の话,能够剩下五千人就不错了.现在有七千人就超额完成任务了.他笑着对下面の 人说："虽然前面几关,都是关于意志力,关于心性の考验,还有耐力の考验,但是却是很必要の.""咱们皇通古庙,向来重视心境の培养,心境の