湖南省永州市2017届高考数学二模试卷(理科)-Word版含解析

2017年湖南省永州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={﹣1，1，4}，B={y|y=log2|x|+1，x∈A}，则A∩B=（）A．{﹣1，1，3，4} B．{﹣1，1，3}C．{1，3}D．{1}2．已知i为虚数单位，复数z满足（1+i）z=（1﹣i）2，则|z|为（）A．B．1 C．D．3．已知，均为单位向量，它们的夹角为，则|+|=（）A．1 B．C．D．24．四个大学生分到两个单位，每个单位至少分一个的分配方案有（）A．10种B．14种C．20种D．24种5．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）A．3 B．C．D．6．在等差数列{a n}中，2a7=a9+7，则数列{a n}的前9项和S9=（）A．21 B．35 C．63 D．1267．设F1，F2是双曲线的两个焦点，若点P在双曲线上，且∠F1PF2=90°，|PF1|•|PF2|=2，则b=（）A．1 B．2 C．D．8．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，E，F，H分别是棱PA，PB，AD的中点，且过E，F，H的平面截四棱锥P﹣ABCD所得截面面积为，则四棱锥P﹣ABCD的体积为（）A．B．8 C．D．9．有四人在海边沙滩上发现10颗精致的珍珠，四人约定分配方案：四人先抽签排序①②③④，再由①号提出分配方案，四人表决，至少要有半数的赞成票才算通过，若通过就按此方案分配，否则提出方案的①号淘汰，不再参与分配，接下来由②号提出分配方案，三人表决…，依此类推．假设：1．四人都守信用，愿赌服输；2．提出分配方案的人一定会赞成自己的方案；3．四人都会最大限度争取个人利益．易知若①②都淘汰，则③号的最佳分配方案（能通过且对提出方案者最有利）是（10，0）（表示③、④号分配珍珠数分别是10和0）．问①号的最佳分配方案是（）A．（4，2，2，2） B．（9，0，1，0） C．（8，0，1，1） D．（7，0，1，2）10．某几何体的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（）A．12πB．16πC．20πD．24π11．已知数列{αn}的前n项和s n=3n（λ﹣n）﹣6，若数列{a n}单调递减，则λ的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，3）C．（﹣∞，4）D．（﹣∞，5）12．如图是f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象，下列说法错误的是（）A．函数f（x）的最小正周期是B．函数g（x）=x的图象可由函数f（x）的图象向右平移个单位得到C．函数f（x）图象的一个对称中心是（﹣，0）D．函数f（x）的一个递减区间是（5，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．的展开式中各项系数的和为256，则该展开式的二项式系数的最大值为．14．已知实数x，y满足，则x+3y的最大值为．15．AB是圆C：x2+（y﹣1）2=1的直径，P是椭圆E：上的一点，则的取值范围是．16．已知f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣t有三个不同的零点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则﹣的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知且c＜b．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若b=4，延长AB至D，使BC=BD，且AD=5，求△ACD的面积．18．（12分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，侧面ABB1A1⊥底面ABC，D是BC的中点，∠BAA1=120o，B1D⊥AB．（Ⅰ）求证：AC⊥面ABB1A1；（Ⅱ）求二面角C1﹣AD﹣C的余弦值．19．（12分）某商场计划销售某种产品，现邀请生产该产品的甲、乙两个厂家进场试销10天．两个厂家提供的返利方案如下：甲厂家每天固定返利70元，且每卖出一件产品厂家再返利2元；乙厂家无固定返利，卖出40件以内（含40件）的产品，每件产品厂家返利4元，超出40件的部分每件返利6元．经统计，两个厂家的试销情况茎叶图如下：（Ⅰ）现从甲厂家试销的10天中抽取两天，求这两天的销售量都大于40的概率；（Ⅱ）若将频率视作概率，回答以下问题：（ⅰ）记乙厂家的日返利额为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（ⅱ）商场拟在甲、乙两个厂家中选择一家长期销售，如果仅从日返利额的角度考虑，请利用所学的统计学知识为商场作出选择，并说明理由．20．（12分）如图抛物线C：y2=4x的弦AB的中点P（2，t）（t≠0），过点P 且与AB垂直的直线l与抛物线交于C、D，与x轴交于Q．（Ⅰ）求点Q的坐标；（Ⅱ）当以CD为直径的圆过A，B时，求直线l的方程．21．（12分）已知函数，，其中a≥1．（Ⅰ）f（x）在（0，2）上的值域为（s，t），求a的取值范围；（Ⅱ）若a≥3，对于区间[2，3]上的任意两个不相等的实数x1、x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|成立，求实数a的取值范围．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为：，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线l1：，射线与曲线C 的交点为P，l2与直线l1的交点为Q，求线段PQ的长．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知函数f（x）=|kx﹣1|．（Ⅰ）若f（x）≤3的解集为[﹣2，1]，求实数k的值；（Ⅱ）当k=1时，若对任意x∈R，不等式f（x+2）﹣f（2x+1）≤3﹣2m都成立，求实数m的取值范围．2017年湖南省永州市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={﹣1，1，4}，B={y|y=log2|x|+1，x∈A}，则A∩B=（）A．{﹣1，1，3，4}B．{﹣1，1，3}C．{1，3}D．{1}【考点】交集及其运算．【分析】分别让x取﹣1，1，4，然后求出对应的y，从而得出集合B，然后进行交集运算即可．【解答】解：x=﹣1，或1时，y=1；x=4时，y=3；∴B={1，3}；∴A∩B={1}．故选D．【点评】考查列举法、描述法表示集合的概念，元素与集合的关系，对数式的运算，以及交集的运算．2．已知i为虚数单位，复数z满足（1+i）z=（1﹣i）2，则|z|为（）A．B．1 C．D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出．【解答】解：（1+i）z=（1﹣i）2，∴（1﹣i）（1+i）z=﹣2i（1﹣i），2z=﹣2﹣2i，即z=1﹣i．则|z|==．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知，均为单位向量，它们的夹角为，则|+|=（）A．1 B．C．D．2【考点】数量积表示两个向量的夹角；向量的几何表示．【分析】根据|+|2=，而，均为单位向量，它们的夹角为，再结合向量数量积的公式可得答案．【解答】解：由题意可得：|+|2=，∵，均为单位向量，它们的夹角为，∴|+|2==1+1+2×1×1×cos=3，∴|+|=，故选C．【点评】本题主要考查向量模的计算公式与向量数量积的公式，解决此类问题的关键是熟练记忆公式并且细心认真的运算即可得到全分．属于基础题．4．四个大学生分到两个单位，每个单位至少分一个的分配方案有（）A．10种 B．14种 C．20种 D．24种【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，假设2个单位为甲单位和乙单位，按照分配在甲单位的人数分3种情况讨论：即①、甲单位1人而乙单位3人，②、甲乙单位各2人，③、甲单位3人而乙单位1人，由组合数公式求出每一种情况的分配方法数目，由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，假设2个单位为甲单位和乙单位，分3种情况讨论：①、甲单位1人而乙单位3人，在4人中任选1个安排在甲单位，剩余3人安排在甲乙单位即可，有C41=4种安排方法；②、甲乙单位各2人，在4人中任选2个安排在甲单位，剩余2人安排在甲乙单位即可，有C42=6种安排方法；③、甲单位3人而乙单位1人，在4人中任选3个安排在甲单位，剩余1人安排在甲乙单位即可，有C43=4种安排方法；则一共有4+6+4=14种分配方案；【点评】本题考查排列、组合的应用，注意根据题意进行分类讨论时，一定要做到不重不漏．5．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）A．3 B．C．D．【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算S值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：x y z 是否继续循环循环前 1 1 0第一圈 1 3 7 是第二圈 3 7 17 否则输出的结果为．故选C【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，模拟程序的运行过程是解答此类问题最常用的办法．6．在等差数列{a n}中，2a7=a9+7，则数列{a n}的前9项和S9=（）A．21 B．35 C．63 D．126【考点】等差数列的前n项和．【分析】由已知得a1+4d=a5=7，从而利用数列{a n}的前9项和S9=，能求【解答】解：∵在等差数列{a n}中，2a7=a9+7，∴2（a1+6d）=a1+8d+7，∴a1+4d=a5=7，∴数列{a n}的前9项和S9==63．故选：C．【点评】本题考查等差数列的前9项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．7．设F1，F2是双曲线的两个焦点，若点P在双曲线上，且∠F1PF2=90°，|PF1|•|PF2|=2，则b=（）A．1 B．2 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设|PF1|=m，|PF2|=n，则mn=2，m2+n2=4c2，|m﹣n|=2a，由此，即可求出b．【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，则mn=2，m2+n2=4c2，|m﹣n|=2a，∴4c2﹣4a2=2mn=4，∴b2=c2﹣a2=1，∴b=1，故选A．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查勾股定理的运用，属于中档题．8．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，E，F，H分别是棱PA，PB，AD的中点，且过E，F，H的平面截四棱锥P﹣ABCD所得截面面积为，则四棱锥P﹣ABCD的体积为（）A．B．8 C． D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】取BC中点M，连结FM，HM，推导出平面EFMH是过E，F，H的平面截四棱锥P﹣ABCD所得截面，设PA=AB=a，则S梯形EFMH==，求出a=2，由此能求出四棱锥P ﹣ABCD 的体积．【解答】解：取BC 中点M ，连结FM ，HM ，∵在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ， PA=AB ，E ，F ，H 分别是棱PA ，PB ，AD 的中点， ∴EF ∥AB ∥MH ，∴EF ⊥EH ，MH ⊥EH ，平面EFMH 是过E ，F ，H 的平面截四棱锥P ﹣ABCD 所得截面， 设PA=AB=a ，∵过E ，F ，H 的平面截四棱锥P ﹣ABCD 所得截面面积为，∴S 梯形EFMH ===，解得a=2，∴四棱锥P ﹣ABCD 的体积V===．故选：A ．【点评】本题考查柱、锥、台体的体积的求法，考查空间想象能力与计算能力，是中档题．9．有四人在海边沙滩上发现10颗精致的珍珠，四人约定分配方案：四人先抽签排序①②③④，再由①号提出分配方案，四人表决，至少要有半数的赞成票才算通过，若通过就按此方案分配，否则提出方案的①号淘汰，不再参与分配，接下来由②号提出分配方案，三人表决…，依此类推．假设：1．四人都守信用，愿赌服输；2．提出分配方案的人一定会赞成自己的方案；3．四人都会最大限度争取个人利益．易知若①②都淘汰，则③号的最佳分配方案（能通过且对提出方案者最有利）是（10，0）（表示③、④号分配珍珠数分别是10和0）．问①号的最佳分配方案是（ ）A．（4，2，2，2）B．（9，0，1，0）C．（8，0，1，1）D．（7，0，1，2）【考点】进行简单的合情推理．【分析】若①②都淘汰，则③号的最佳分配方案（能通过且对提出方案者最有利）是（10，0）（表示③、④号分配珍珠数分别是10和0），可得结论．【解答】解：根据若①②都淘汰，则③号的最佳分配方案（能通过且对提出方案者最有利）是（10，0）（表示③、④号分配珍珠数分别是10和0），可知①号的最佳分配方案是（9，0，1，0），故选B．【点评】本题考查合情推理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．10．某几何体的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（）A．12πB．16πC．20πD．24π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何底是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出其外接球的半径，进而可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何底是一个以俯视图为底面的三棱锥，底面两直角边长分别为2，2，故斜边长为2，过斜边的侧面与底面垂直，且为高为3的等腰三角形，设其外接球的半径为R，则，解得：R=2，故它的外接球表面积S=4πR2=16π，故选：B【点评】本题考查的知识点是球的表面积和体积，球内接多面体，空间几何体的三视图，难度中档．11．已知数列{αn}的前n项和s n=3n（λ﹣n）﹣6，若数列{a n}单调递减，则λ的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，3）C．（﹣∞，4）D．（﹣∞，5）【考点】数列的函数特性．【分析】由已知求出a n利用为单调递减数列，可得a n＞a n+1，化简解出即可得出【解答】解：∵s n=3n（λ﹣n）﹣6，①∴s n﹣1=3n﹣1（λ﹣n+1）﹣6，n＞1，②①﹣②得数列a n=3n﹣1（2λ﹣2n﹣1）（n＞1，n∈N*）为单调递减数列，∴a n＞a n+1，且a1＞a2∴﹣3n﹣1（2λ﹣2n﹣1）＞3n（2λ﹣2n﹣3），且λ＜2化为λ＜n+，（n＞1），且λ＜2，∴λ＜2，∴λ的取值范围是（﹣∞，2）．故选：A．【点评】本题考查了数列的单调性，考查了推理能力与计算能力．12．如图是f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象，下列说法错误的是（）A．函数f（x）的最小正周期是B．函数g（x）=x的图象可由函数f（x）的图象向右平移个单位得到C ．函数f （x ）图象的一个对称中心是（﹣，0）D ．函数f （x ）的一个递减区间是（5，）【考点】由y=Asin （ωx +φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据图象过（0，1），（2，0）求出ω 和φ，即可求函数f （x ）的解析式；根据函数解析式之间的关系判断各选项即可得结论．【解答】解：根据图象可知，f （x ）=cos （ωx +φ）（ω＞0）的图象过（0，1），（2，0）可得：f （0）=cos （φ）=1，解得：φ=+2kπ或φ=﹣+2kπ，（k ∈Z ）f （2）=cos （2ω+）=0，解得ω=+kπ或ω=+kπ．当k=﹣1时，|ω|为：，周期T==．故A 对．此时可得f （x ）=cos（）．函数g （x ）=x 的图象图象向右平移个单位可得：=cos （）．故B 对．当x=﹣时，函数f （）=cos （）．==1，故C 不对．由f （x ）=cos （）=cos （）．令0+2kπ≤）≤π+2kπ，可得：，（k ∈Z ）当k=2时，可得是单调递减．故D 对．故选C ．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象之间的变化关系．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．的展开式中各项系数的和为256，则该展开式的二项式系数的最大值为6．【考点】二项式系数的性质．【分析】由题意可得：令x=1，则（5﹣1）m=256，解得m=4．该展开式的二项式系数的最大值为．【解答】解：由题意可得：令x=1，则（5﹣1）m=256，解得m=4．该展开式的二项式系数的最大值为=6．故答案为：6．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．已知实数x，y满足，则x+3y的最大值为10．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=x+3y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得B（1，3），代入目标函数z=x+3y得z=1+3×3=10故答案为：10．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．15．AB是圆C：x2+（y﹣1）2=1的直径，P是椭圆E：上的一点，则的取值范围是[﹣1，] ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由，，得=（）•（===x2+（y﹣1）2﹣1=x2+y2﹣2y=﹣3y2﹣2y+4再结合y的范围即可求出结论【解答】解：设P（x，y），∵，，∴=（）•（===x2+（y﹣1）2﹣1=x2+y2﹣2y=﹣3y2﹣2y+4∵y∈[﹣1，1]，∴﹣3y2﹣2y+4，∴的取值范围是：[﹣1，]．故答案为：[﹣1，]【点评】本题主要考查椭圆的基本性质，向量数量积的基本运算技巧，选好基底是解决向量问题的基本技巧之一，及二次函数的值域问题，属于中档题，16．已知f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣t有三个不同的零点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则﹣的取值范围是．【考点】函数零点的判定定理．【分析】画出函数的图象，求出x≥0时f（x）的最大值，判断零点的范围，然后推出结果．【解答】解：函数f（x）=，图象如图，函数g（x）=f（x）﹣t有三个不同的零点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，即方程f（x）=t有三个不同的实数根x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，当x＞0时，f（x）=，因为x+≥2（x＞0），所以f（x），当且仅当x=1时取得最大值．当y=时，x1=﹣2；x2=x3=1，此时﹣=，由=t（0），可得=0，∴x2+x3=，x2x3=1∴+=＞2，∴﹣=t+∵0，∴﹣的取值范围是．故答案为．【点评】本题考查函数的零点个数的判断与应用，基本不等式的应用，考查数形结合思想以及转化思想的应用．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2017•永州二模）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知且c＜b．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若b=4，延长AB至D，使BC=BD，且AD=5，求△ACD的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理化，即可求出sinC的值，从而求出C；（Ⅱ）根据图形设BC=x，利用余弦定理求出x的值，再求出AB的值，利用正弦定理求出sinA，再计算△ACD的面积．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，，由正弦定理得，，∴，又c＜b，∴；…（6分）（Ⅱ）如图所示，设BC=x，则AB=5﹣x，在△ABC中，由余弦定理得，求得，即，所以，…（8分）在△ABC中，由正弦定理得，∴，…（10分）∴△ACD的面积为=．…（12分）【点评】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，是基础题．18．（12分）（2017•永州二模）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，侧面ABB1A1⊥底面ABC，D是BC的中点，∠BAA1=120o，B1D⊥AB．（Ⅰ）求证：AC⊥面ABB1A1；（Ⅱ）求二面角C1﹣AD﹣C的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）取AB中点O，连接OD，B1O，推导出B1O⊥AB，B1D⊥AB，从而AB⊥面B1OD，进而AB⊥OD，再求出AC⊥AB，由此能证明AC⊥面ABB1A1．（Ⅱ）以O为坐标原点，分别以OB、OD、OB1方向为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C1﹣AD﹣C的余弦值．【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）取AB中点O，连接OD，B1O，△B1BO中，AB=2，B1B=2，∠B1BA=60°，故△AB1B是等边三角形，∴B1O⊥AB，又B1D⊥AB，而B1O与B1D相交于B1，∴AB⊥面B1OD，故AB⊥OD，又OD∥AC，所以AC⊥AB，又∵侧面ABB1A1⊥底面ABC于AB，AC在底面ABC内，∴AC⊥面ABB1A1．…（6分）解：（Ⅱ）以O为坐标原点，分别以OB、OD、OB1方向为x、y、z轴建立空间直角坐标系，C（﹣1，2，0），A（﹣1，0，0），D（0，1，0），B（1，0，0），B1（0，0，），∴，，，，设面ADC1的法向量为，依题意有：，令x=1，则y=﹣1，，∴，…（9分）又面ADC的法向量为，…（10分）∴，∴二面角C1﹣AD﹣C的余弦值为．…（12分）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19．（12分）（2017•永州二模）某商场计划销售某种产品，现邀请生产该产品的甲、乙两个厂家进场试销10天．两个厂家提供的返利方案如下：甲厂家每天固定返利70元，且每卖出一件产品厂家再返利2元；乙厂家无固定返利，卖出40件以内（含40件）的产品，每件产品厂家返利4元，超出40件的部分每件返利6元．经统计，两个厂家的试销情况茎叶图如下：（Ⅰ）现从甲厂家试销的10天中抽取两天，求这两天的销售量都大于40的概率；（Ⅱ）若将频率视作概率，回答以下问题：（ⅰ）记乙厂家的日返利额为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（ⅱ）商场拟在甲、乙两个厂家中选择一家长期销售，如果仅从日返利额的角度考虑，请利用所学的统计学知识为商场作出选择，并说明理由．【考点】离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）记“抽取的两天销售量都大于40”为事件A，利用等可能事件概率计算公式能求出这两天的销售量都大于40的概率．（Ⅱ）（ⅰ）设乙产品的日销售量为a，推导出X的所有可能取值为：152，156，160，166，172，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．（ⅱ）求出甲厂家的日平均销售量，从而得到甲厂家的日平均返利，由（ⅰ）得乙厂家的日平均返利额，由此推荐该商场选择乙厂家长期销售．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）记“抽取的两天销售量都大于40”为事件A，则．…（4分）（Ⅱ）（ⅰ）设乙产品的日销售量为a，则当a=38时，X=38×4=152；当a=39时，X=39×4=156；当a=40时，X=40×4=160；当a=41时，X=40×4+1×6=166；当a=42时，X=40×4+2×6=172；∴X的所有可能取值为：152，156，160，166，172，∴X的分布列为∴．…（9分）（ⅱ）依题意，甲厂家的日平均销售量为：38×0.2+39×0.4+40×0.2+41×0.1+42×0.1=39.5，∴甲厂家的日平均返利额为：70+39.5×2=149元，由（ⅰ）得乙厂家的日平均返利额为162元（＞149元），∴推荐该商场选择乙厂家长期销售．…（12分）【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．20．（12分）（2017•永州二模）如图抛物线C：y2=4x的弦AB的中点P（2，t）（t≠0），过点P且与AB垂直的直线l与抛物线交于C、D，与x轴交于Q．（Ⅰ）求点Q的坐标；（Ⅱ）当以CD为直径的圆过A，B时，求直线l的方程．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）设AB直线方程，与抛物线C：y2=4x联立，利用韦达定理，求出直线l的方程，即可求点Q的坐标；（Ⅱ）（方法一）A，B，C，D四点共圆，有，即可求直线l 的方程．（方法二）利用参数方程求．【解答】解：（Ⅰ）易知AB不与x轴垂直，设AB直线方程为：y=k（x﹣2）+t，与抛物线C：y2=4x联立，消去y得：k2x2+（2tk﹣4k2﹣4）x+（t﹣2k）2=0，∴△=（4k2+4﹣2tk）2﹣4k2×（t﹣2k）2＞0（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是上述方程两根，∴x1+x2=，即tk=2，代入（i）中，求得且t≠0，∴直线l的方程为：y﹣t=（x﹣2），令y=0，得x=4，知定点坐标为（4，0）；…（Ⅱ）（方法一）|AB|===，…（7分）CD直线：，与抛物线y2=4x联立，消去y得：t2x2﹣（8t2+16）x+16t2=0，设C（x3，y3），D（x4，y4），∴x3+x4=，x3x4=16，…（8分）设CD的中点为M（x0，y0），∴x0=，y0=，|PM|=，∴|CD|====，∴A，B，C，D四点共圆，有，代入并整理得t4﹣12t2+32=0，求得t2=4或t2=8（舍去），t=±2．∴直线l的方程为y=x﹣4或y=﹣x+4．…（12分）（方法二）利用参数方程求：设AB直线的参数方程为：，代入抛物线C：y2=4x得，sin2θm2+2sinθmt﹣4cosθm+t2﹣8=0，，，则直线CD 的参数方程为：，或有，，sin 2β=cos 2θ，依题意有：|PA |•|PB |=|PC |•|PD |，sin 2θ=cos 2θ，则有或，∴直线l 的方程为y=x ﹣4或y=﹣x +4．…（12分）【点评】本题考查直线过定点，考查直线方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．（12分）（2017•永州二模）已知函数，，其中a ≥1．（Ⅰ）f （x ）在（0，2）上的值域为（s ，t ），求a 的取值范围；（Ⅱ）若a ≥3，对于区间[2，3]上的任意两个不相等的实数x 1、x 2，都有|f （x 1）﹣f （x 2）|＞|g （x 1）﹣g （x 2）|成立，求实数a 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）f′（x ）=x 2﹣（a +1）x +a ，令f′（x ）=0得x 1=1，x 2=a ，由题意函数f （x ）在区间（0，2）无最值，知f （x ）在（0，2）上要么有两个极值点或者没有极值点，即可求a 的取值范围；（Ⅱ）不妨设2≤x 1＜x 2≤3，由（Ⅰ）知：当a ≥3时，f （x ）在区间[2，3]上恒单调递减，有|f （x 1）﹣f （x 2）|=f （x 1）﹣f （x 2），分类讨论，构造函数，即可求实数a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x ）=x 2﹣（a +1）x +a ，令f′（x ）=0得x 1=1，x 2=a ，…（1分）依题意函数f （x ）在区间（0，2）无最值，知f （x ）在（0，2）上要么有两个极值点或者没有极值点，知1≤a ＜2，…（3分），，f （0）=﹣1，，（i ）若a=1，函数f （x ）在区间（0，2）上恒单调递增，显然符合题意；…（4分）（ii ）若1＜a ＜2时，有，即，，得；综上有．…（6分）（Ⅱ）不妨设2≤x 1＜x 2≤3，由（Ⅰ）知：当a ≥3时，f （x ）在区间[2，3]上恒单调递减， 有|f （x 1）﹣f （x 2）|=f （x 1）﹣f （x 2），…（7分） （i ）若3≤a ≤4时，在区间[2，3]上恒单调递减，|g （x 1）﹣g （x 2）|=g（x 1）﹣g （x 2），则|f （x 1）﹣f （x 2）|＞|g （x 1）﹣g （x 2）|等价于f （x 1）﹣g （x 1）＞f （x 2）﹣g （x 2）， 令函数F （x ）=f （x ）﹣g （x ），由F （x 1）＞F （x 2）知F （x ）在区间[2，3]上单调递减，F′（x ）=x 2﹣（a +1）x +a ﹣（a ﹣4）x=x 2﹣（2a ﹣3）x +a ，当a ≥3时，x 2﹣（2a ﹣3）x +a ≤0，即，求得；…（10分）（ii ）若a ＞4时，单调递增，|g （x 1）﹣g （x 2）|=g （x 2）﹣g （x 1），则|f （x 1）﹣f （x 2）|＞|g （x 1）﹣g （x 2）|等价于f （x 1）+g （x 1）＞f （x 2）+g （x 2）， 令函数G （x ）=f （x ）+g （x ），由G （x 1）＞G （x 2）知G （x ）在区间[2，3]上单调递减，有G′（x ）=x 2﹣（a +1）x +a +（a ﹣4）x=x 2﹣5x +a ≤0，故当2≤x ≤3时，x 2﹣5x +a ≤0，即，求得4＜a≤6，由（i）（ii）得．…（12分）【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，有难度．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）22．（10分）（2017•永州二模）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为：，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线l1：，射线与曲线C的交点为P，l2与直线l1的交点为Q，求线段PQ的长．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）把参数方程消去参数，可得曲线C的普通方程，再根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得曲线C的极坐标方程．（Ⅱ）利用极坐标方程求得P、Q的坐标，可得线段PQ的长．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的参数方程为：，普通方程为（x﹣1）2+y2=7，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，可得曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣6=0；（Ⅱ）设P（ρ1，θ1），则有，解得ρ1=3，θ1=，即P（3，）．设Q（ρ2，θ2），则有，解得ρ2=1，θ2=，即Q（1，），所以|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2．【点评】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程的应用以及极坐标的意义，属于基础题．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．（2017•永州二模）已知函数f（x）=|kx﹣1|．（Ⅰ）若f（x）≤3的解集为[﹣2，1]，求实数k的值；（Ⅱ）当k=1时，若对任意x∈R，不等式f（x+2）﹣f（2x+1）≤3﹣2m都成立，求实数m 的取值范围．【考点】函数恒成立问题；其他不等式的解法．【分析】（Ⅰ）通过讨论k的范围，求出不等式的解集，从而求出k的值即可；（Ⅱ）令h（x）=f（x+2）﹣f（2x+1），根据h（x）的单调性求出h（x）的最大值，从而求出m的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）显然k≠0，k＞0时，f（x）≤3的解集是[﹣，]，∴﹣=﹣2且=1，但k无解，k＜0时，f（x）≤3的解集是[，﹣]，∴=﹣2且﹣=1，解得：k=﹣2，综上，k=﹣2；（Ⅱ）k=1时，令h（x）=f（x+2）﹣f（2x+1）=，由此可得，h（x）在（﹣∞，0]上递增，在[0，+∞）递减，∴x=0时，h（x）取最大值1，由题意得：1≤3﹣2m，解得：m的范围是（﹣∞，1]．【点评】本题考查了解不等式问题，考查函数的单调性以及分类讨论思想，是一道中档题．。