人教版选修A4-4数学课件：1.2 极坐标系 (共32张PPT)
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选修4-4极坐标PPT课件
CHENLI
9
（一）直线的极坐标方程
1、求过极点，倾角为5 的射线的极
坐标方程。
4
易得 5 ( 0)
4Hale Waihona Puke 2、求过极点，倾角为 坐标方程。
4
的直线的极
或 5
4
4
CHENLI
10
结论：直线的极坐标方程
(0)表示极角 的为一条射线 ＝(R)表示极角 的为一条直线
CHENLI
11
（一）直线的极坐标方程
15
练习习：：3 4、已知直线的程 极为 坐 si标 n(方 ) 2
42
求点 A(2,7)到这条直线的距离。
解：将直线
4
sin(
)
2 化为直角坐标方
42
程为x y 1 0,点A(2, 7 )化为直角坐标为
4
（ 2，－ 2）
点到直线的距离为
2－
2－1 ＝
2
CHENLI
2
2 16
练习：4 6、确定极坐标方程 4sin( )与
CHENLI
18
（3）M（，）也可以表示为
(, 2 k )或 ( , (2 k 1 ))
CHENLI
6
三.极坐标与直角坐标的互化
互化公式的三个前提条件： 1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同.
CHENLI
7
三.极坐标与直角坐标
点M 互化 公式
4
如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π
那么除极点外,平面内的点和极坐 标 就可以一一对应了.
我们约定,极点的极坐标是极径=0,极 角是任意角.
2018年高中数学人教版选修4-4课件：极坐标系
x , y , 极坐标是
们之间的关 系式
, .从 图
:
① ①
y
M
O
x
y
N
x
图 1 14
解
x 5 cos
2 3
5 2
, y 5 sin
2 3
5 2
3
.
所以 , 点 M 的直角坐标为
5 5 3 , 2 2
.
解 11 F Nhomakorabea5 4
4 3 17 12 19 12 5 3
C
4 3 17 12 3 2 19 12 5 3
7 4
6
7 4
6
3 2
解
由图 1 11 , 可得点 A , B , C , 的极坐标分别为 4 , 5, .点 D , E , F 的位置如图 3
1 , 0 ,
4, 2
1 12 所示 .
解
以点 A 为极点 , AB 所在射 ( 单位长度为 1 m ), 建
D
120m
C
线为极轴 立极坐标系
(图 1 13 ) .
E
45
0
60
50m
60
0
3m
点 A , B , C , D , E 的极坐标分
别 为 0 , 0 , 60 , 0 , 120 , , 3
.
7 2 3 5 6 11 12 4 3 12
2
5 12
3
2
7 12
2
5 12
3
人教A版高中数学选修4-4课件1.1.2极坐标系
如果规定 0, 0 2 ，那么除极点外，平面内 的点可用唯一的极坐标 ， 表示. 同时，极坐标 ， 表示的点也是唯一确定的.
默认： 0， R. 第9页
负极径
默认： 0， R. 第9页
对称点
思考：设P , 是平面内一点，则点P关于 极轴、极垂线 过极点且垂直于极轴的直线 、 极点对称的点的坐标是什么？
2 B 5， 6
例5 把下列点的直角坐标化成极坐标：
0, 0 2
4 1 A 1, 1； 2 B 4， 3 ;
3 3 3 , 2 2
x cos y sin
x y
2 2
2
y tan x 0 x
例4 把下列点的极坐标化成直角坐标： 14 1 A 4， ； 3
2 B 5， 6
例4 把下列点的极坐标化成直角坐标： 14 1 A 4， ； 3
60m
A教学楼 B体育馆
思考：在极坐标中 4， ， 4 ， 2 ， 4 ， 4 ， 6 6 6 2 表示的点有什么关系？ 4， 6
一般地，极坐标 ， 与 ， 2k k Z 表示 同一个点.平面内一个点的极坐标有无数种表示.
（ ， ） M
x
注意：（1）一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0， 可取任意实数。 （2）当M在极点时，它的极坐标为（0，θ），可取任 意值。
例1 如图，在极坐标系中，写出点A, B , C的极坐标.
A 1， 0
B 4， 2
高二数学人教A版选修4-4课件：第一讲 二 极 坐 标 系
[解] (1)设 A(x，y)，则 x＝2cos76π＝－ 3，
y＝2sin76π＝－1，
故点 A 的直角坐标为(－ 3，－1)．
(2)ρ＝
12＋－
32＝2，tan
－ θ＝ 1
3＝－
3.
又因为点 P 在第四象限且 0≤θ<2π，得 θ＝53π.
因此点 P 的极坐标是2，53π.
(1)极坐标和直角坐标互化的前提条件有三，即极点与原 点重合，极轴与 x 轴正半轴重合，有相同的长度单位，三者 缺一不可．
编后语
听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：
一、听要点。
一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物
理课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
(2)熟记互化公式，必要时可画图来分析．
3．分别把下列点的极坐标化为直角坐标． (1)2，π6；(2)3，π2；(3)4，23π；(4)(π，π)；(5)(6,2)． 解：(1)∵x＝ρcos θ＝2cos π6＝ 3，y＝ρsin θ＝2sin π6＝1， ∴点的极坐标2，π6化为直角坐标为( 3，1)． (2)∵x＝ρcos θ＝3cos π2＝0，y＝ρsin θ＝3sin π2＝3， ∴点的极坐标3，π2化为直角坐标为(0,3)．
法；因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
优等生经验谈：听课时应注意学习老师解决问题的思考方法。同学们如果理解了老师的思路和过程，那么后面的结论自然就出现了，学习起来才能够举 一反三，事半功倍。
人教版高中数学选修4-4课件1.2-极坐标系 (共38张PPT)
阶段小结
1、建立一个极坐标系需要哪些要素? 极点；极轴；长度单位；计算角度的正方向.
2、极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？ 无数，极角有无数个.
3、一点的极坐标有否统一的表达式？
有。（ρ ，2kπ +θ ）
4、结论：
极坐标(, ) 与(, ＋2k)(k∈Z)表示同一个点. 和直角坐标不同，平
（3）在空间直角坐标系上，空间上所有点的集合与全体三元有序实数对（x , y , z）的集合建立一 一对应；
复习回顾
1. 直角坐标系
数
平面直角坐标
轴
系
R
（x , y)
空间直角坐标 系
（x , y , z)
复习回顾
建立坐标系是为了确定点的位置。由此，在所创建的坐标系中，应满 足： 任意一点都存在一个坐标与之对应；反之，依据一个点的坐标就能确 定这个点的位置； 而确定点的位置即为求出此点在设定的坐标系中的坐标。
区别吗？
思考: ①平面上一点的极坐标是否唯一？
若不唯一，那有多少种表示方法？ ②不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
1、点的极坐标的表达式的研究
如图：OM的长度为4，
4
请说出点M的极坐标的表达式？
思考：这些极坐标之间有何异同？
M
O
4，π 4
+2kπ
X
极径相同，不同的是极角.
A
2
11 7
6
6
C
3
5
4
3
3
2
2
3
B
6
D
A
2
11
6
3
人教版高中选修A4-4数学课件：1.2 极坐标 (共22张PPT)
直线的参数方程的应用
【例3】
已知直线l：x y 1 0与抛物线y x 2交于 A，B两点， （1）求 AB； （2）若点M 1,2, 求 MA MB .
直线参数方程的重要结论
1.直线的标准参数方程:
（1）直线上任意一点 M , MM 0 t ; （2）直线与圆锥曲线相交 于A, B两点，对应参数为 t1 , t 2 , 弦长 AB t1 t 2 , AM 0 BM 0 t1 t 2 , AM 0 BM 0 t1t 2 . t1 t 2 ( 3)若M为弦AB的中点，对应参数为 t , 则t . 2 特别的，当M 0恰为弦AB的中点时，t1 t 2 0.
命题规律 从数形结合、转化与化归角度命制有关极坐标方程和参数 方程的理解与应用的题目，难度较小，只要理解基本概念，掌 握基本关系和方法，就能顺利作答．
高频考点
极坐标(方程)与直角坐标(方程)的互化
[例1]
2 ( 2015 年唐山三模)已知半圆C： x 2 y 2 4 y 0，
x y 1 0, 解：由 ① 2 y x 消去y , 得x 2 x 1 0 设A, B两点所对应的坐标分别 为( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ), x1 x2 1, 则 x1 x2 1
(1) AB (1 k 2 ) ( x1 x2 ) 2 4 x1 x2 10. ( 2)由方程组① ， 得 1 5 3 5 1 5 3 5 和 , A, B两点的坐标分别为 , , 2 2 2 2 MA MB 2
x2 y2 经过点M 2， 1作直线l，交椭圆 1 16 4 于A，B两点.如果点M恰好为线段AB的中点， 求直线l的方程.
选修4-4 1.2 极坐标系
y x y , tan ( x 0) x
2 2 2
x=ρcosθ, y=ρsinθ
互化公式的三个前提条件：
1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同.
例1. 将点M的极坐标
2 (5, ) 3
5 5 3 ) 所以, 点M的直角坐标为( , 2 2
( 3, 1)
化成极坐标.
（ ） 解: ( 3 ) 1 2
2 2
1 3 tan 3 3 7 因为点在第三象限, 所以 6 7 因此, 点M的极坐标为( 2, ) 6
练习: 已知点的直角坐标, 求它们 的极坐标.
A ( 3, 3 )
B (1, 3 )
[1]给定（,）,就可以在极坐 标平面内确定唯一的一点M。 [2]给定平面上一点M，但却 有无数个极坐标与之对应。
原因在于：极角有无数个。
如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π 那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一 对应了.
M O (ρ,θ)… X
极坐标和直角坐标的互化
平面内的一个点的直角坐标是(1, 3 )
C (5,0) E ( 3,3)
D (0,2)
π），（3， ） π 例3 已知两点（2，
求两点间的距离.
用余弦定理求 AB的长即可.
3
π 解：∠AOB =
6
B
A
2
推广： 在极坐标下，任意两点P ( 1 ,1 ), P2 ( 2 , 2 ) 1
o
x
之间的距离可总结如下：
2 PP2 12 2 2 1 2 cos(1 2 ) 1
这个点如何用极坐标表示?
2014-2015学年高中数学(人教版选修4-4)配套课件第一讲 1.2 极 坐 标 系
ρsin θ
或
x2＋y2 ，
y x
栏 目 链 接
x≠0.
预习 思考
1.写出下图中各点的极坐标：
栏 目 链 接
π π 3， 2， 4 A________，B________ ，C________. 2
(4,0)
预习 思考
2．回答下列问题： (1)平面上一点的极坐标是否唯一？ (2)若不唯一，那有多少种表示方法？ (3)坐标不唯一是由谁引起的？
第一讲
坐 标 系
1.2 极 坐 标 系
栏 目 链 接
1.理解极坐标的概念. 2.能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐
栏 目 链 接
标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别.
3.能进行极坐标与平面直角坐标的互化.
栏 目 链 接
1．极坐标系的建立． 在平面上取一个定点 O，自点 O 引一条射线 Ox，同时确
栏 目 链 接
栏 目 链 接
题型1
极坐标的概念
例1 写出下图中各点的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π)．
栏 目 链 接
分析：根据极坐标定义，若 M 是平面上任一点， ρ 表示 OM 的长度，θ 表示以射线 Ox 为始边，射线 OM 为终边所成的角，则 M 的极坐标为(ρ，θ)．
π π 3π 解析： A(5,0)， B2，6， C4，2， D5， 4 ， E(2， 4π 5π π)，F5， 3 ，G3.5， 3 .
栏 目 链 接
为直角坐标为( 3，－1)． ∴A、B 两点间的距离 d＝
(
3－ 3)2＋[1－－1]2＝2.
变式 训练
π π 2．已知两点的极坐标 A3，2，B3，6 ，求：
或
x2＋y2 ，
y x
栏 目 链 接
x≠0.
预习 思考
1.写出下图中各点的极坐标：
栏 目 链 接
π π 3， 2， 4 A________，B________ ，C________. 2
(4,0)
预习 思考
2．回答下列问题： (1)平面上一点的极坐标是否唯一？ (2)若不唯一，那有多少种表示方法？ (3)坐标不唯一是由谁引起的？
第一讲
坐 标 系
1.2 极 坐 标 系
栏 目 链 接
1.理解极坐标的概念. 2.能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐
栏 目 链 接
标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别.
3.能进行极坐标与平面直角坐标的互化.
栏 目 链 接
1．极坐标系的建立． 在平面上取一个定点 O，自点 O 引一条射线 Ox，同时确
栏 目 链 接
栏 目 链 接
题型1
极坐标的概念
例1 写出下图中各点的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π)．
栏 目 链 接
分析：根据极坐标定义，若 M 是平面上任一点， ρ 表示 OM 的长度，θ 表示以射线 Ox 为始边，射线 OM 为终边所成的角，则 M 的极坐标为(ρ，θ)．
π π 3π 解析： A(5,0)， B2，6， C4，2， D5， 4 ， E(2， 4π 5π π)，F5， 3 ，G3.5， 3 .
栏 目 链 接
为直角坐标为( 3，－1)． ∴A、B 两点间的距离 d＝
(
3－ 3)2＋[1－－1]2＝2.
变式 训练
π π 2．已知两点的极坐标 A3，2，B3，6 ，求：
人教版数学选修4-4课件 1.2 极坐标系
• 思维导引：从题目中得到信息：A点极坐标， 作出极坐标系，确定点A的位置，想一想极 轴，直线l，极点的位置，作出点A关于它们 的对称点，极径变了没有？极角是什么？最 后写出它们的极坐标．
B
•考点二 将点的极坐标化为直角坐标
•考点三 将点的直角坐标化为极坐标
• (1)牢记将直角坐标化为极坐标的公式； • (2)注意极径和极角的取值范围．
第一讲
坐标系
• 1.2 极坐标系
•2.1 曲线的参数方程
•2.1.1 参数方程的概念与圆的参数 方程
栏目导 航
课前教材预案 课堂深度拓展 课末随堂演练 课后限时作业
课前教材预案
•要点一 极坐标系的建立
• 在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox ，同时确定逆一时个针方单向位长度和计算角度的正方 向(通常取___________为正方向)，这样就建 立了一个极坐标系．(其中O称为极点，射线 Ox称为极轴)
• 【变式3】 若以极点原点，极轴为x轴正半轴 建立直角坐标系，已知点B和点C的直角坐标 为(2，－2)和(0，－15)，求它们的极坐标(限 定ρ>0,0≤θ<2π)．
•考点四 极坐标系中两点之间的距离
• 思维导引：直接利用两点间的距离公式求解 ．
课末随堂演练
课高二学生
制作软件：Powerpoint2003、 Photoshop cs3
运行环境：WindowsXP以上 操作系统
ρcos θ ρsin θ
课堂深度拓展
•考点一 极坐标系中的点的极坐标
• 求点的极坐标的注意点 • 与平面直角坐标系一样，极坐标系也是刻画
平面上点的位置的一种方法．在极坐标系中， 点的坐标为(ρ，θ)，在ρ≥0，0≤θ<2π的前提下， 平面的点与有序数组(ρ，θ)是一一对应的， 如果没有上述限制条件，那么一个点的极坐 标有无穷多个．
高中数学人教A版选修4-4课件：1-2极坐标系
������
按上述方法确定.当 x=0 时,又分三种情况:(1)当 x=0,y=0 时 ,θ 可取 任何值;(2)当 x=0,y>0 时 ,可取 θ= ; (3)当x=0,y<0 时,可取 θ=
2 π 3π 2
.
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D典例透析
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2.极坐标和直角坐标的相同点和不同点 剖析极坐标系是用距离和角度来表示平面上点的位置的坐标系, 它由极点O与极轴Ox组成.坐标系中的点的坐标用有序实数对 (ρ,θ)(ρ≥0)表示.平面直角坐标系是在数轴的基础上发展起来的,首 先定义原点,接着用两条互相垂直的直线分别构成x轴和y轴,点的坐 标用有序实数对(x,y)表示. 在平面直角坐标系中,点与有序实数对即坐标(x,y)是一一对应的, 但在极坐标系中,显然一个有序实数对(ρ,θ)只能与一个点对应,但一 个点P却可以与无数个有序实数对(ρ,θ)对应,也就是说平面上一点 的极坐标是不唯一的,极坐标系中的点与有序实数对(ρ,θ)不是一一 对应的.
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D典例透析
【做一做1-1】 若ρ1=ρ2≠0,θ1+θ2=0,则点M1(ρ1,θ1)与点M2(ρ2,θ2)的 位置关系是( ) A.关于极轴所在的直线对称 B.关于极点对称 C.关于过极点且垂直于极轴的直线对称 D.两点重合 答案:A
点 N 的极角分别是 θ1= , ������2 =
按上述方法确定.当 x=0 时,又分三种情况:(1)当 x=0,y=0 时 ,θ 可取 任何值;(2)当 x=0,y>0 时 ,可取 θ= ; (3)当x=0,y<0 时,可取 θ=
2 π 3π 2
.
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2.极坐标和直角坐标的相同点和不同点 剖析极坐标系是用距离和角度来表示平面上点的位置的坐标系, 它由极点O与极轴Ox组成.坐标系中的点的坐标用有序实数对 (ρ,θ)(ρ≥0)表示.平面直角坐标系是在数轴的基础上发展起来的,首 先定义原点,接着用两条互相垂直的直线分别构成x轴和y轴,点的坐 标用有序实数对(x,y)表示. 在平面直角坐标系中,点与有序实数对即坐标(x,y)是一一对应的, 但在极坐标系中,显然一个有序实数对(ρ,θ)只能与一个点对应,但一 个点P却可以与无数个有序实数对(ρ,θ)对应,也就是说平面上一点 的极坐标是不唯一的,极坐标系中的点与有序实数对(ρ,θ)不是一一 对应的.
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D典例透析
【做一做1-1】 若ρ1=ρ2≠0,θ1+θ2=0,则点M1(ρ1,θ1)与点M2(ρ2,θ2)的 位置关系是( ) A.关于极轴所在的直线对称 B.关于极点对称 C.关于过极点且垂直于极轴的直线对称 D.两点重合 答案:A
点 N 的极角分别是 θ1= , ������2 =
数学：《极坐标系的概念》课件(人教a版选修4-4)
变式:在极坐标系中,若等边三角形的两顶点
π 5π 是A(2, ) ,B(2, ) , 4 4
那么顶点C的坐标可能是(
)
3π A.(4, ) 4 C .(2 3, π )
3 π B.(2 3, π )或(2 3, ) 4 4 D .(3, π )
总结
这节课我们学到了什么？
极点 四 极轴 1.极坐标系的建立 要 单位长度 素 角度的正方向 2.极坐标系下点与它的极坐标的对应情况 [1]给定（,）,就可以在极坐标 平面内确定唯一的一点M. [2]给定平面上一点M，但却有无数个极 坐标与之对应.
课堂练习题
； mes；
；
慢慢の碎裂,声音悠悠の传来丶"师妹,不要伤心丶""生与死本就是壹场轮回,有生即有死,只要你能把握好自己の现在就行。"普智の声音慢慢の消散："来世,若是还有机会,咱们再续师兄妹之缘吧丶""保重丶"普智の身影完全消散了,与死亡之雾壹道,就此消散于天地之间了丶与此同时, 他身后の那座佛殿,此时也随着普智の远去,向更遥远の星空也飘去了丶仿佛是飘到了外域去了,最终化作壹道神光,星辰闪进了这面前の夜色之中丶原本这里浩瀚の方圆上亿里の佛域,此时也因为这佛殿星辰の消失,瞬间就变得黑暗下来丶外面大量の邪煞之气,开始往佛域中涌了,之前普 智苦心经营の这壹片阴魔域中の净土,也会慢慢の消失了丶猫补中文叁玖贰1试过了(猫补中文)叁玖贰1仿佛是飘到了外域去了,最终化作壹道神光,星辰闪进了这面前の夜色之中丶天籁原本这里浩瀚の方圆上亿里の佛域,此时也因为这佛殿星辰の消失,瞬间就变得黑暗下来丶外面大量の 邪煞之气,开始往佛域中涌了,之前普智苦心经营の这壹片阴魔域中の净土,也会慢慢の消失了丶"师兄丶"采薇再壹次流下泪来,她从小便算是这师兄将
人教版高中数学选修4-4极坐标系一等奖优秀课件
复习回顾
1. 直角坐标系 数 轴 平面直角坐标 系 空间直角坐标 系
R
（ x , y)
（ x , y , z)
复习回顾
建立坐标系是为了确定点的位置。由此，在所创建的坐标系中，应满 足： 任意一点都存在一个坐标与之对应；反之，依据一个点的坐标就能确 定这个点的位置； 而确定点的位置即为求出此点在设定的坐标系中飞猛进，他们之间也 开始变得亲密起来。笛卡尔向她介绍了他研究的新领域——直 角坐标系。通过它，代数与几何可以结合起来，也就是日后笛 卡尔创立的解析几何学的雏形。在笛卡尔的带领下，克里斯汀 走进了奇妙的坐标世界，她对曲线着了迷。每天的形影不离也 使他们彼此产生了爱慕之心。在瑞典这个浪漫的国度里，一段 纯粹、美好的爱情悄然萌发。然而，没过多久，他们的恋情传 到了国王的耳朵里。国王大怒，下令马上将笛卡尔处死。在克 里斯汀的苦苦哀求下，国王将他放逐回国，公主被软禁在宫中。 当时，欧洲大陆正在流行黑死病。身体孱弱的笛卡尔回到法国 后不久，便染上重病。
4 )，F ( 3.5,
2
数学运用
3
6
)
2 3
5 6
她蹲下身，拿过笛卡尔的数学书和草稿纸，和他交谈起来。 言谈中，他发现，这个小女孩思维敏捷，对数学有着浓厚的兴 趣。和女孩道别后，笛卡尔渐渐忘却了这件事，依旧每天坐在 街头写写画画。几天后，他意外地接到通知，国王聘请他做小 公主的数学老师。满心疑惑的笛卡尔跟随前来通知的侍卫一起 来到皇宫，在会客厅等候的时候，他听到了从远处传来的银铃 般的笑声。转过身，他看到了前儿天在街头偶遇的女孩子。慌 忙中，他赶紧低头行礼。从此，他当上了公主的数学老师。
办公楼
E
45o
50m A 教学楼
高二数学人教版人教A版选修44课件第一讲二极坐标系
(1)∵x＝ρcos θ＝4·cos 53π＝2. y＝ρsin θ＝4sin 53π＝－2 3. ∴A 点的直角坐标为(2，－2 3)．
(2)∵ρ＝ x2＋y2＝ 22＋－22＝2 2， tan θ＝－22＝－1.
且点 B 位于第四象限内，∴θ＝74π.
∴点 B 的极坐标为2
2，74π.
又∵x＝0，y＜0，ρ＝15，
法二：∵ρ1＝3，ρ2＝1，θ1＝－π3，θ2＝23π， 由两点间的距离公式得 |AB|＝ ρ12＋ρ22－2ρ1ρ2cos θ1－θ2 ＝ 32＋12－2×3×1×cos－π3－23π ＝ 10－6cos π＝ 10＋6 ＝ 16＝4.
法三：将 A3，－π3，B1，23π由极坐标化为直角坐标，
提示：如果我们规定 ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外， 平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)来表示，这时，极坐标 与平面内的点之间就是一一对应的关系．
3．若点 M 的极坐标为(ρ，θ)，则 M 点关于极点、极轴、 过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是什么？ 提示：设点 M 的极坐标是(ρ，θ)，则 M 点关于极点的 对称点的极坐标是(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)；M 点关于极轴的对 称点的极坐标是(ρ，－θ)；M 点关于过极点且垂直于极轴的 直线的对称点的极坐标是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)．
2．极坐标与直角坐标的互化
(1)互化的前提条件
①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极
轴与x轴的正半轴重合；③两种坐标系取相同的长度单位．
(2)互化公式
x＝ ρcos θ ， y＝ ρsin θ ；
tρa2n＝θ＝x2xy＋ yx2≠，0 .
[问题思考]
1．平面上的点与这一点的极坐标是一一对应的吗？为 什么？
(2)∵ρ＝ x2＋y2＝ 22＋－22＝2 2， tan θ＝－22＝－1.
且点 B 位于第四象限内，∴θ＝74π.
∴点 B 的极坐标为2
2，74π.
又∵x＝0，y＜0，ρ＝15，
法二：∵ρ1＝3，ρ2＝1，θ1＝－π3，θ2＝23π， 由两点间的距离公式得 |AB|＝ ρ12＋ρ22－2ρ1ρ2cos θ1－θ2 ＝ 32＋12－2×3×1×cos－π3－23π ＝ 10－6cos π＝ 10＋6 ＝ 16＝4.
法三：将 A3，－π3，B1，23π由极坐标化为直角坐标，
提示：如果我们规定 ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外， 平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)来表示，这时，极坐标 与平面内的点之间就是一一对应的关系．
3．若点 M 的极坐标为(ρ，θ)，则 M 点关于极点、极轴、 过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是什么？ 提示：设点 M 的极坐标是(ρ，θ)，则 M 点关于极点的 对称点的极坐标是(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)；M 点关于极轴的对 称点的极坐标是(ρ，－θ)；M 点关于过极点且垂直于极轴的 直线的对称点的极坐标是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)．
2．极坐标与直角坐标的互化
(1)互化的前提条件
①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极
轴与x轴的正半轴重合；③两种坐标系取相同的长度单位．
(2)互化公式
x＝ ρcos θ ， y＝ ρsin θ ；
tρa2n＝θ＝x2xy＋ yx2≠，0 .
[问题思考]
1．平面上的点与这一点的极坐标是一一对应的吗？为 什么？
选修4-4 1.2 极坐标系
这个点如何用极坐标表示?
在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相 同的长度单位
y
M (1, 3)
θ
O
x
点M的直角坐标为 (1, 3) 设点M的极坐标为(ρ,θ)
M ( 2, ∏ / 3)
1 3 2 （ ）
2 2
3 tan 3 1
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y) 极坐标是 (ρ,θ)
思考:极坐标系中，点A的极坐标是(3, ) 6
11 (3, ) （1）点A关于极轴对称的点是_______________ 6 7 (3, ) （2）点A关于极点对称的点的极坐标是__________ 6 5 (3, ) （3）点A关于直线 ＝ 的对称点的极坐标是_______ 6 2
C (5,0) E ( 3,3)
D (0,2)
π），（3， ） π 例3 已知两点（2，
求两点间的距离.
用余弦定理求 AB的长即可.
3
π 解：∠AOB =
6
B
A
2
推广： 在极坐标下，任意两点P ( 1 ,1 ), P2 ( 2 , 2 ) 1
o
x
之间的距离可总结如下：
2 PP2 12 2 2 1 2 cos(1 2 ) 1
题组一：说出下图中各点的极坐标
2
5 6
C E D O B A X
4
4 3
F
G
5 3
特别规定： 当M在极点时，它的 极坐标=0，可以取任意值。
想一想？
①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？
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D当堂检测ANGTANGJIA NhomakorabeaCE3.极坐标与直角坐标的互化 (1)互化的前提条件:①极坐标系中的极点与平面直角坐标系中的 原点重合;②极轴与x轴的正半轴重合;③两种坐标系取相同的长度 单位. (2)互化公式: ������2 = ������ 2 + ������ 2 , ①直角坐标化为极坐标 ������ . tan������ = (������ ≠ 0) ������ ������ = ������cos������, ②极坐标化为直角坐标 . ������ = ������sin������
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做一做2 (1)若点P的直角坐标为(示为( )
2, 2 ),则它的极坐标可表
A. C.
π (2)已知点M的极坐标为 5, 3 ,则它的直角坐标为
2 解析： (1)ρ= (- 2) + ( 2) =2,tan θ= =-1. - 2 3π 因为点 P 在第二象限 ,所以最小正角 θ= . 4 3π 故它的极坐标可表示为 2, . 4 π 5 π 5 3 (2)由 x=5cos = ,y=5sin = , 3 2 3 2 5 5 3 得点 M 的直角坐标为 , . 2 2 5 5 3 答案：(1)B (2) , 2 2
4
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二 极坐标系
探究一 探究二 思维辨析
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极坐标的概念 【例1】 (1)在极坐标系中,作出以下各点:
,C ,D ; π (2)设点A 2, 3 ,直线l为过极点且垂直于极轴的直线,分别求点A 关于极轴、直线l、极点的对称点的极坐标(限定ρ>0,0<θ≤2π). 分析：(1)建立极坐标系 作出极角的终边 以极点O为 圆心,以极径为半径分别画弧→点的位置;(2)先确定每个点对应的ρ 和θ的值,再写出坐标.
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������ 由 ρ =x +y 确定 ρ 时 ,ρ 不能取负值 ;由 tan θ= (x≠0)确定 θ 时 ,根据 ������ ������ 点 (x,y)所在的象限取最小正角.当 x≠0 时,角 θ 才能由 tan θ= 按上述 ������
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做一做1 写出下图中各点的一个极坐标(ρ≥0):
A
答案：(4,0)
,B
π 2, 4
,C
π 3, 2
.
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学 习 目 标 思 维 脉 络 1.了解 极坐标系的概念. 极坐标系 2.理解 点的极坐标的概 极坐标系的概念 念,会用 极坐标描述点. 点的极坐标 3.掌握 极坐标与直角坐 前提 标的互化方法,能 进行极 极坐标与直角坐标的互化 公式 坐标与直角坐标的互化.
2 2
π 2, 4 5π 2, 4
B. D.
3π 2, 4 7π 2, 4
.
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思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“ ”,错误的画 “×”. (1)任意一个点都有唯一的极坐标. ( × ) (2)若ρ1=ρ2,θ1+θ2=π,则点M1(ρ1,θ1)与点M2(ρ2,θ2)关于极点对称. (× ) 3π (3)直角坐标为(- 3, 3)的点 P 的极坐标一定是 6, .( × ) (4)当极角θ的取值范围是[0,2π)时,平面上的点(除去极点)与极坐 标(ρ,θ)是一一对应关系的. ( ) (5)极坐标与直角坐标在任意情况下均可互化. ( × )
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名师点拨极坐标系的四要素:(1)极点;(2)极轴;(3)长度单位;(4)角 度单位和它的正方向.四者缺一不可,其中极轴是以极点为端点的 一条射线,它与极轴所在的直线是有区别的;极角θ的始边是极轴,它 的终边随着θ的大小和正负而位于不同位置;θ的正方向通常取逆时 针方向,θ的值一般是以弧度为单位的量数;点M的极径ρ表示点M与 极点O的距离|OM|,因此ρ≥0.
2 2 2
名师点拨将直角坐标化为极坐标时,确定ρ和θ的值的方法
方法确定 .当 x=0 时,tan θ 没有意义,这时又分三种情况:(1)当 x=0,y=0 π 时 ,θ 可取任何值 ;(2)当 x=0,y>0 时 ,可取 θ= ;(3)当 x=0,y<0 时,可取
3π θ= . 2 2
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2.点的极坐标 一般地,极坐标(ρ,θ)与(ρ,θ+2kπ)(k∈Z)表示同一个点.特别地,极点 O的坐标为(0,θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有 无数种表示. 如果规定ρ>0,0≤θ<2π,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极 坐标(ρ,θ)表示;同时,极坐标(ρ,θ)表示的点也是唯一确定的.
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1.极坐标系的概念 (1)极坐标系的建立:在平面内取一个定点O,叫做极点;自极点O引 一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常 取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标 系. (2)极坐标系内一点的极坐标的表示:设M是平面内一点,极点O与 点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为 ρ ;以极轴Ox为始边,射线 OM为终边的角xOM叫做点M的极角,记为θ.有序数对(ρ,θ)叫做点M 的极坐标,记为M(ρ,θ). 一般地,不作特殊说明时,我们认为ρ≥0,θ可取任意实数.