甘肃省兰州第一中学高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含解析
甘肃省兰州市高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案
兰州一中2016-2017-1学期高三年级期中考试数学试题（理科）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若集合{|0}1xA x x =≤-,2{|2}B x x x =<,则A B = （ ）A.{|01}x x <<B.{|01}x x ≤<C.{|01}x x <≤D.{|01}x x ≤≤ 2.已知复数12312z bi z i =-=-，，若12z z 是实数，则实数b 的值为 （ ）A ．0B ．32-C ．6-D ．63.以下判断正确的是( )A .函数()y f x =为R 上可导函数，则0()0f x '=是0x 为函数()f x 极值点的充要条件B .命题“2000,10x R x x ∃∈+-<”的否定是“2,10x R x x ∀∈+->”C.“()2k k Z πϕπ=+∈”是“函数()sin()f x x ωϕ=+是偶函数”的充要条件 D. 命题“在ABC ∆中，若A B >，则sin sin A B >”的逆命题为假命题4.一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积为( )A ．120 cm 3B ．100 cm 3C ．80 cm 3D ．60 cm 35.由曲线21y x =+，直线3y x =-+及坐标轴所围成图形的面积为( )A . 73B .83 C . 103D . 36.设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若21-=-m S ,0=m S ,31=+m S ，则=m （ ）A.3B.4C.5D. 67.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今 有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出的结果n = ( ) A. 4 B . 5 C . 2 D . 3 8.设123log 2,ln 2,5a b c -===，则 ( )A. a b c << B . b c a << C . c a b << D . c b a << 9.已知函数()ln f x x x=-，则()f x 的图象大致为( )A B C D10.函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤<的图象向右平移2π个单位后，与函数sin(2)3y x π=+的 图象重合，则ϕ的值为( ) A . 56π-B . 56πC . 6πD . 6π- 11.椭圆C : 22221(0)+=>>x y a b a b的左、右焦点分别为12,F F ,焦距为2c . 若直线)+x c 与椭圆C 的一个交点M 满足12212MF F MF F ??，则该椭圆的离心率等于 （ ） A.2B. 1 C.2D. 112.已知定义在R 上的函数()f x 满足：222,[0,1)()2,[1,0)x x f x x x ⎧+∈=⎨-∈-⎩且(2)()f x f x +=，25()2x g x x +=+，则方程()()f x g x =在区间[5,1]-上的所有实根之和为 （ ）A. 6- B .7- C. 8- D. 9- 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()()()()1,1,2,2,,==+=++⊥-m n m n m n λλλ若则 . 14.已知1sin 23α=，则2cos ()4πα-= . 15.已知0,,a x y >满足约束条件()133x x y y a x ⎧≥⎪+≤⎨⎪≥-⎩若2z x y =+的最小值为1,则a = .16.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知cos sin a b C c B =+,2b =， 则ABC ∆面积的最大值为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知函数2()2sin cos 1f x x x x =-++. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期及对称中心； （Ⅱ）若[,]63x ππ∈-，求()f x 的最大值和最小值.18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，11BC AB AC AA ====，D 是棱1CC 上的一点，P 是AD 的延长线与11A C 的延长线的交点，且1PB ∥平面1BDA ． （Ⅰ）求证：D C CD 1=；（Ⅱ）求二面角11A B D P --的平面角的正弦值．19．（本小题满分12分）1随着苹果7手机的上市，很多消费者觉得价格偏高，尤其是一部分大学生可望而不可及，因此“国美在线”推出无抵押分期付款的购买方式，某店对最近100位采用分期付款的购买者进行统计，统计结果如下表所示.已知分3期付款的频率为0.15，并且销售一部苹果7手机，顾客分1期付款，其利润为1000元；分2期或3期付款，其利润为1500元；分4期或5期付款，其利润为2000元，以频率作为概率.(Ⅰ)求a ，b 的值，并求事件A ：“购买苹果7手机的3位顾客中，至多有1位分4期付款”的概率；（Ⅱ）用X 表示销售一部苹果7手机的利润，求X 的分布列及数学期望EX . 20．（本小题满分12分）已知抛物线C ：22y x =，直线:2l y kx =+交C 于,A B 两点，M 是线段AB 的中点，过点M 作x 轴的垂线交C 于点.N（Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 的切线与AB 平行；（Ⅱ）是否存在实数k ，使以AB 为直径的圆M 经过点N ？若存在，求k 的值；若不存在，说明理由. 21．(本小题满分12分) 已知函数()2ln ()2a f x x x x x a a R =--+∈． （Ⅰ）当0a =时，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在其定义域内有两个不同的极值点. （ⅰ）求a 的取值范围；（ⅱ）设两个极值点分别为12,x x ，证明:212x x e ⋅>．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C 的参数方程为2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），曲线 2C 的极坐标方程为cos sin 40ρθθ-=．（Ⅰ）求曲线1C 的普通方程和曲线 2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设P 为曲线1C 上一点，Q 为曲线2C 上一点，求PQ 的最小值． 23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()|2|,f x m x m R =--∈，且(2)0f x +≥的解集为[]1,1-． （Ⅰ）求m 的值； （Ⅱ）若,,a b c R +∈，且11123m a b c++=，求证：239a b c ++≥．兰州一中2016-2017-1学期期中考试 高三数学试题参考答案（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
甘肃省兰州一中高三数学上学期期中考试 理
甘肃省兰州一中高三数学上学期期中考试 理说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡。
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若复数1322z i=-+，则z 2=（ ）A ．1322i -+B ．1322i --C ．3122i -D ．3122i + 2．已知集合A =6|1,1x x R x ⎧⎫≥∈⎨⎬+⎩⎭，B ={x |x 2-2x -3<0}，那么A ∩(C R B )为 （ ） A ．(-1，5)B ．(-1，3)C ．(-∞，-1) ∪[3，+∞)D ．[3，5] 3．与函数lg(1)10x y -=的图象相同的函数是（ ）A. y = x -1B. y = 112+-x xC. y = |x -1|D. y =2)11(--x x 4．若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=，则（ ）A ．1,1a b ==B ．1,1a b =-=C ．1,1a b ==-D ．1,1a b =-=-5．某个容量为100的样本的频率分布直方图如右， 则在区间[4, 5）上的数据的频数为 （ ） A ．70 B ．0.3 C ．30 D ．0.76．设随机变量ξ等可能取值1，2，3，…，n ， 如果P （ξ<4）=0．3，那么n 的值为 （ ） A ．3 B ．4 C ．9 D ．107．函数y =22 3 (0) 2 3 (02)5 (2)x x x x x x x +≤⎧⎪-++<≤⎨⎪-+>⎩的最大值是（ ）A ．3B ．4C ．8D ．58．设a =log 54，b =（log 53）2，c =log 45，则频率/组距数据0.400.150.100.05O145326（ ）A ．a < c < bB ．b < c < aC ．a < b < cD ．b < a < c9．若2()2f x x ax =-+与1)(+=x ax g 在区间（1，2）上都是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(1,0)(0,1)-B ．(1,0)(0,1]-C ．（0，1）D ．]1,0(10．已知函数3()2x f x +=，1()f x -是()f x 的反函数，若16mn =（m n R ∈+，），则11()()f m f n --+的值为（ ） A ．2- B ．4 C ．1 D ．1011．一元二次方程ax 2+2x +1=0（a ≠0）有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ ） A ．a <0 B ．a >0 C ．a <-1 D ．a >1 12．数列{a n }中，a 1=15，a n +a n+1=*16,5n n N +∈，则lim n →∞（a 1+a 2+…+a n ） =（ ）A ．25B ．41C ．27D ．425二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数f （x ）和g （x ）都是定义在R 上的奇函数，函数F （x ） = a f （x ）+bg （x ）+2在区间（0，+∞）上的最大值是5，则F （x ）在（－∞，0）上的最小值是 ． 14．等差数列{n a }中，10821=++a a a ，501514=+a a ，则此数列的前15项之和是 ．15．已知数列{n a }的前n 项和25n n S =+（*n N ∈），那么数列{n a }的通项n a = ． 16．若关于x 的不等式2－2x >|x －a | 至少有一个负数解，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：（本大题有6小题，共70分；应按题目要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题10分）解关于x 的不等式：22log (2)1log ()a a x x x a-->+- （a ＞0，a ≠1）．18．（本题10分）已知函数21()(,,0,*)ax f x a c R a b N bx c+=∈>∈+是奇函数，当x >0时，)(x f 有最小值2，且f （1）25<． （Ⅰ）试求函数)(x f 的解析式；（Ⅱ）函数)(x f 图象上是否存在关于点（1，0）对称的两点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．19．（本题12分）已知数列{a n }中，a 1=0，a 2 =4，且a n +2-3a n +1+2a n = 2n +1（*N n ∈），数列{b n }满足b n =a n +1-2a n ． （Ⅰ）求证:数列{1n b +-n b }是等比数列；（Ⅱ）求数列{n a }的通项公式；（Ⅲ）求2lim(32)nn nn a n b →∞⋅+⋅．20．（本题12分）某人抛掷一枚硬币，出现正反的概率都是21，构造数列{}n a ，使得1()1()n n a n ⎧=⎨-⎩当第次出现正面时当第次出现反面时，记)(*21N n a a a S n n ∈+⋅⋅⋅++=． （Ⅰ）求24=S 的概率；（Ⅱ）若前两次均出现正面，求426≤≤S 的概率．21．（本题12分）已知函数)(x f 对任意实数p 、q 都满足()()()f p q f p f q +=⋅ 1(1)3f =且．（Ⅰ）当*N n ∈时，求)(n f 的表达式；（Ⅱ）设*1(1)(),,()nn n k k nf n a n N S a f n =+=∈=∑求11nk kS =∑；（Ⅲ）设*()(),n b nf n n N =∈求证：134nk k b =<∑． 22．（本题14分）已知函数f （x ） = ax 3+x 2-ax ，其中a ，x ∈R ．（Ⅰ）若函数f （x ） 在区间（1，2）上不是单调函数，试求a 的取值范围；（Ⅱ）直接写出．．．．（不需给出运算过程）函数()()ln g x f x x '=+的单调递减区间；（Ⅲ）如果存在a ∈（-∞，-1]，使得函数()()()h x f x f x '=+， x ∈[-1, b ] （b > -1），在x = -1处取得最小值，试求b 的最大值．参考答案二、填空题：（每小题5分，共20分）13．-1； 14．180； 15．1*7(1)2(2,)n n n n N -=⎧⎨≥∈⎩； 16．9,24⎛⎫- ⎪⎝⎭ 三、解答题：（共70分）17．（本题10分）解：原不等式等价于)2(log )2(log 2->--ax x x a a ……① ……………1分①当1>a 时，①式可化为⎪⎩⎪⎨⎧->-->->--22,02,0222ax x x ax x x即 ⎪⎩⎪⎨⎧->-->-,22,022ax x x ax 亦即 ⎪⎩⎪⎨⎧+><>10,2a x x a x 或∴ x > a +1 ………………5分②当10<<a 时，①式可化为⎪⎩⎪⎨⎧-<-->->--22,02,0222ax x x ax x x即 ⎪⎩⎪⎨⎧-<-->--22,0222ax x x x x 亦即⎩⎨⎧+<<>-<1021a x x x 或∴∈x ∅ ………………9分综上所述，当1>a 时，原不等式的解集为}1|{+>a x x ；当10<<a 时，原不等式的解集为∅． ．………………10分 18．（本题10分）解：（Ⅰ）∵ f （x ）是奇函数 ∴f （―x ） =―f （x ）即2211ax ax bx c bx c++=-+-+.0bx c bx c c ∴+=-∴= ……………………1分22211)(0,0b abx x b a bx ax x f b a ≥+=+=∴>>当且仅当a x 1=时等号成立．则2222b a ba=∴= ……2分由5(1)2f <得 152a b c +<+，即2152b b +<，22520b b ∴-+<，解得122b <<； 又 b N *∈，11b a ∴==xx x f 1)(+=∴ ……………………………………………5分 （Ⅱ）设存在一点（x 0，y 0）在y =f （x ）图象上，则关于（1，0）的对称点（02x -，―y 0）也在y =f （x ）图象上， …………6分则 20002001(2)12x y x x y x ⎧+=⎪⎪⎨-+⎪=-⎪-⎩解得：001x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩001x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩∴函数f （x）图象上存在两点(1和(1-关于点（1，0） 对称． …………………………………10分19．（本题12分）解：（Ⅰ）由 a n +2-3a n +1+2a n = 2n +1 得 （a n +2-2a n +1）-（ a n +1-2a n ）= 2n +1；即 b n +1-b n = 2n +1，而 b 1=a 2-2a 1=4， b 2 =b 1+22=8；∴ { b n +1-b n }是以4为首项，以2为公比的等比数列．…………………3分（Ⅱ）由（Ⅰ），b n +1-b n = 2n +1， b 1=4，∴ b n = （b n -b n -1）+ （b n -1-b n -2）+···+（b 2-b 1） + b 1=2n + 2n -1 +···+22 +4 = 2n +1． ………………………6分即 a n +1-2a n =2n +1，∴ 11122n nn na a ++-=； ∴ {2nna }是首项为0，公差为1的等差数列，则12nn a n =-，∴(1)2n n a n =-⋅． ………………………9分 （Ⅲ） ∵ 2212(1)2(1)(32)(32)264n n n n n a n n n n n b n n +⋅-⋅-==+⋅+⋅+， ∴22(1)1limlim (32)646n n n nn a n n n b n →∞→∞⋅-==+⋅+． ………………………12分20．（本题12分）解：（Ⅰ）24=S ，需4次中有3次正面1次反面，设其概率为1P 则41)21(421)21(43341==⋅=C P ； ………………………6分 （Ⅱ）6次中前两次均出现正面，要使426≤≤S ，则后4次中有2次正面、2次反面或3次正面、1次反面，设其概率为2P ． 则2223324411115()()()22228P C C =+⋅=． ………12分 21．（本题12分）解：（Ⅰ）由已知得 211()(1)(1)(1)()(2)33f n f n f f n f n =-⋅=⋅-=⋅-=111()(1)()33n n f -=⋅=． ………3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知111(1).(12)336nn n k k n n a n S a n =+=∴==+++=∑； 于是16(1)n S n n =+ =116()1n n -+； 故11nk kS =∑111116(1)2231n n =-+-++-+=61(1)1n -+ =61nn +． ………………………7分 （Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知 ： 1()3nn b n =⋅，设n T =1nk k b =∑则211112()().333n n T n =⋅+⋅++⋅()231111111()2()1()33333nn n T n n +⎛⎫∴=⋅+⋅++-+⋅ ⎪⎝⎭．两式相减得232111()()3333n T =+++…+111()()33n n n +-⋅11111()()233n n n +⎡⎤=--⋅⎢⎥⎣⎦ ∴ n T =1131113()()443234nn n k k n a -==--⋅<∑． ……………………12分 22．（本题14分）解：（Ⅰ）解法一：2()32f x ax x a '=+-依题意知方程()0f x '=在区间（1，2）内有不重复的零点， 由2320ax x a +-=得2(31)2a x x -=- ∵x ∈（1，2）， ∴2(31)0x -≠∴2231xa x =--； 令 2231xu x =-- （x ∈（1，2）），则213u x x=--，∴2231x u x =--在区间（1，2）上是单调递增函数，其值域为4(1,)11--， 故a 的取值范围是4(1,)11--． ………………………5分解法二：2()32f x ax x a '=+-依题意知方程()0f x '=即2320ax x a +-=在区间（1，2）内有不重复 的零点，当a =0时，得 x =0，但0∉（1，2）；当a ≠0时，方程2320ax x a +-=的△=1+12a 2>0，120x x <,必有两异号根，欲使f （x ） 在区间（1，2）上不是单调函数，方程2320ax x a +-=在（1，2）内一定有一根，设2()32F x ax x a =+-，则F （1）·F（2）<0， 即 （2a +2）（11a +4）<0，解得 4111a -<<-， 故 a 的取值范围是 4111a -<<-． （解法二得分标准类比解法一）（Ⅱ）函数g （x ） 的定义域为（0，+∞），当 a ≥0时，g （x ）在（0，+∞）上单调递增，无单调递减区间；当 a <0时，g （x ）的单调递减区间是1()6a-+∞ ………………8分（Ⅲ）32()(31)(2)h x ax a x a x a =+++--； 依题意 ()(1)h x h ≥-在区间[-1, b ]上恒成立， 即 2(1)[(21)(13)]0x ax a x a ++++-≥ ① 当x ∈[-1, b ] 恒成立， 当 x =-1时，不等式①成立；当 -1< x ≤b 时，不等式①可化为2(21)(13)0ax a x a +++-≥ ②令 2()(21)(13)x ax a x a ϕ=+++-，由a ∈（-∞,-1]知，()x ϕ的图像是 开口向下的抛物线，所以，()x ϕ在闭区间上的最小值必在区间的端点处取得， 而(1)40a ϕ-=->，∴不等式②恒成立的充要条件是()0b ϕ≥， 即2(21)(13)0ab a b a +++-≥，亦即22311b b b a+-≤-+ a ∈（-∞,-1]； 当a ∈（-∞,-1]时，11a-≤， ∴ 22311b b b +-≤+ （b >-1）， 即 b 2+b-4 ≤ 0；解得1122b --≤≤；但b >-1， ∴112b --<≤；故 b ，此时 a =-1符合题意． ……………14分。
甘肃省兰州市第一中学2017-2018学年高三上学期期中考试理科数学试卷 Word版含解析
2017-2018学年甘肃省兰州市第一中学高三上学期期中考试理科数学试卷一、单选题（共12小题）1．若集合，，则（）A．B．C．D．2．已知复数，若是实数，则实数的值为（）A．0B．C．-6D．63．以下判断正确的是（）A．函数为上可导函数，则是为函数极值点的充要条件B．命题“”的否定是“”C．“”是“函数是偶函数”的充要条件D．命题“在中，若，则”的逆命题为假命题4．一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为（）A．120cm3B．100cm3C．80cm3D．60cm35．由曲线，直线及坐标轴所围成图形的面积为（）A．B．C．D．36．设等差数列的前项和为，若，，，则（）A．3B．4C．5D．67．我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出的结果（）A．4B．5C．2D．38．设，则（）A．B．C．D．9．已知函数，则的图象大致为（）A．B．C．D．10．函数的图象向右平移个单位后，与函数的图象重合，则的值为（）A．B．C．D．11．椭圆: 的左、右焦点分别为，焦距为．若直线与椭圆的一个交点M满足，则该椭圆的离心率等于（）A．B．C．D．12．已知定义在R上的函数满足：且，，则方程在区间上的所有实根之和为（）A．-6B．-7C．-8D．-9二、填空题（共4小题）13.已知向量，，则．14.已知，则．15.已知满足约束条件若的最小值为1，则．16.在中，内角的对边分别为，已知，，则面积的最大值为．三、解答题（共7小题）17.已知函数．（Ⅰ）求的最小正周期及对称中心；（Ⅱ）若，求的最大值和最小值．18.如图，在直三棱柱中，，是棱上的一点，是的延长线与的延长线的交点，且平面．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的平面角的正弦值．19.随着苹果7手机的上市，很多消费者觉得价格偏高，尤其是一部分大学生可望而不可及，因此“国美在线”推出无抵押分期付款的购买方式，某店对最近100位采用分期付款的购买者进行统计，统计结果如下表所示．已知分3期付款的频率为0．15，并且销售一部苹果7手机，顾客分1期付款，其利润为1000元；分2期或3期付款，其利润为1500元；分4期或5期付款，其利润为2000元，以频率作为概率．（Ⅰ）求，的值，并求事件：“购买苹果7手机的3位顾客中，至多有1位分4期付款”的概率；（Ⅱ）用表示销售一部苹果7手机的利润，求的分布列及数学期望．20.已知抛物线：，直线交于两点，是线段的中点，过点作轴的垂线交于点（Ⅰ）证明：抛物线在点的切线与平行；（Ⅱ）是否存在实数，使以为直径的圆经过点，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．21.已知函数（Ⅰ）当时，求的单调区间；（Ⅱ）若函数在其定义域内有两个不同的极值点．（i）求的取值范围；（ii）设两个极值点分别为，证明:．22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）设为曲线上一点，为曲线上一点，求的最小值．23.已知函数，且的解集为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，且，求证：．答案部分1.考点：集合的运算试题解析：因为，，所以，所以选A答案：A2.考点：复数综合运算试题解析：因为是实数，所以，所以答案：D3.考点：全称量词与存在性量词充分条件与必要条件试题解析：A：如，令得不是函数的极值点，所以A不对；B：命题“”的否定应该是C：根据诱导公式，前后能互推，所以C正确；D：在中，若，则是真命题，所以D不对．所以选C答案：C4.考点：空间几何体的三视图与直观图试题解析：直观图如图所示：答案：B5.考点：积分试题解析：根据题意作图如下：由得，所以所以答案：C6.考点：等差数列试题解析：因为，所以，所以，所以，因为当时，，代入上式得．答案：C7.考点：算法和程序框图试题解析：初始：第一次循环：第二次循环：第三次循环：第四次循环：输出答案：A8.考点：对数与对数函数试题解析：因为，所以，又因为，所以答案：C9.考点：函数图象试题解析：令得排除D；令得排除C;又因为排除B，所以选A．答案：A10.考点：三角函数图像变换试题解析：因为向右平移个单位后为，由题意得：，所以．答案：B11.考点：椭圆试题解析：由题意作图如下：由直线斜率为得所以，所以因为所以所以所以答案：D12.考点：函数综合试题解析：由已知得：，函数的周期为2，图象如下：由图象知：在区间上两函数有3个交点，其中一个由图象可得为（-3，1），另外两个交点关于对称，所以另外两个交点横坐标之和为所以所有实根之和为．答案：B13.考点：平面向量坐标运算试题解析：由题意得，所以，解得．答案：-314.考点：半角公式倍角公式试题解析：答案：15.考点：线性规划试题解析：如图：当目标函数经过点时，最小值为1，所以所以．答案：16.考点：解斜三角形试题解析：由已知及正弦定理得：又所以所以所以因为所以因为，所以所以由已知及余弦定理得：又因为所以所以答案：17.考点：三角函数综合试题解析：（Ⅰ）∴的最小正周期为，令，则，∴的对称中心为（Ⅱ）∵∴∴∴∴当时，的最小值为-1；当时，的最大值为2．答案：见解析18.考点：立体几何综合试题解析：（Ⅰ）连接交于，连接．∵平面，面，面面∴又∵为的中点，∴为中点，∴为中点∴，∴（Ⅱ）∵在直三棱柱中，∴以为坐标原点，以，所在直线建立空间直角坐标系如图所示由（Ⅰ）知为中点∴点坐标分别为，，，设平面的法向量∵且∴取∴同理：平面的法向量设二面角平面角为则，∴答案：见解析19.考点：随机变量的期望与方差试题解析：（Ⅰ）由，得因为所以（Ⅱ）设分期付款的分期数为，则的所有可能取值为1000，1500，2000．所以的分布列为答案：见解析20.考点：圆锥曲线综合试题解析：（Ⅰ）解法一：设，，把代入得，得．∵，点的坐标为．∵∴，即抛物线在点处的切线的斜率为．∵直线:的的斜率为，∴．解法二：设，，把代入得，得．∵，点的坐标为．设抛物线在点处的切线的方程为，将代入上式得，直线与抛物线相切，，，即．（Ⅱ）假设存在实数，存在实数使为直径的圆经过点．是的中点，．由（Ⅰ）知轴，．∵，∴，故存在实数，使为直径的圆经过点．答案：见解析21.考点：导数的综合运用试题解析：（Ⅰ）当时，；函数的定义域为，当时，；当时，．所以，在上单调递减；在上单调递增．（Ⅱ）（i）依题意，函数的定义域为，所以方程在有两个不同根．即，方程在有两个不同根．（解法一）转化为，函数与函数的图象在上有两个不同交点，如图．可见，若令过原点且切于函数图像的直线斜率为，只须．令切点，所以，又，所以，解得，，于是，所以．（解法二）令，从而转化为函数有两个不同零点，而若，可见在上恒成立，所以在单调增，此时不可能有两个不同零点．若，在时，，在时，，所以在上单调增，在上单调减，从而又因为在时，，在时，，于是只须：，即，所以．综上所述，．（ii）由（i）可知分别是方程的两个根，即，，不妨设，作差得，，即．原不等式等价于令，则，设，，∴函数在上单调递增，∴，即不等式成立，故所证不等式成立．答案：见解析22.考点：极坐标方程曲线参数方程试题解析：（1）由消去参数得，曲线的普通方程得由得，曲线的直角坐标方程为（2）设，则点到曲线的距离为当时，有最小值0，所以的最小值为0．答案：见解析23.考点：不等式证明试题解析：（Ⅰ）因为，所以等价于，由有解，得，且其解集为．又的解集为，故（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又，∴≥=9．（或展开运用基本不等式）∴答案：见解析。
甘肃省兰州第一中学高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含解析
本文由一线教师精心整理/word 可编辑1 / 92021届甘肃省兰州第一中学 高三上学期期中考试数学（理）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题1．设全集U 是实数集R ，集合M ＝{x |x <0或x >2}，N ＝{x |y =log 2(x －1) }，则(∁U M )∩N 为 A ． {x |1<x <2} B ． {x |1≤x ≤2} C ． {x |1<x ≤2} D ． {x |1≤x <2} 2．下列结论中正确的是A ． 命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的否命题是“若x 2－3x ＋2＝0，则x ≠1”B ． 命题p ：存在x 0∈R ，sin x 0>1，则⌝ p ：任意x ∈R ，sin x ≤1C ． 若p 且q 为假命题，则p 、q 均为假命题D ．“x 2＋2x －3<0”是命题．3．条件p ：－2<x <4，条件q ：(x ＋2)(x ＋a )<0；若q 是p 的必要而不充分条件，则a 的取值范围是A ． (4，＋∞)B ． (－∞，－4)C ． (－∞，－4]D ． [4，＋∞)4．已知f (x )＝且f (0)＝2，f (－1)＝3，则f (f (－3))等于A ． －3B ． 3C ． －2D ． 25．已知sin(π－α)＝－，且α∈(－，0)，则tan(2π－α)的值为 A ．B ． －C ． ±D ．6．设函数f (x )=sin(x +)，则下列结论错误的是A ． f (x )的一个周期为−4πB ． y =f (x )的图像关于直线对称x =C ． f (x +π)的一个零点为x =D ． f (x )在(,π)单调递增7．设f (x )＝x 3＋bx ＋c ，若导函数f ′(x )>0在[－1，1]上恒成立，且f (-)·f ()<0，则方程f (x )＝0在[－1，1]内根的情况是A ． 可能有3个实数根B ． 可能有2个实数根C ． 有唯一的实数根D ． 没有实数根8．将函数y =sin(2x +) 图象上各点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于直线对称，则m 的最小值为 A ．B ．C ．D ．9．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ) (ω>0, |ϕ|<)，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ()＝ A ．B ．C ． 2＋D ． 2－10．函数f (x )＝的图象如图所示，则m 的取值范围为A ． (－∞，－1)B ． (1,2)C ． (0,2)D ． (－1,2) 11．定义运算＝ad －bc ，若cos α＝，，0<β<α<，则β=A ．B ．C ．D ．12．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，其导函数为f ′(x )，若f ′(x ) < f (x )，且 f (x ＋1)＝f (3－x )，f (2 015)＝2，则不等式f (x )<2e x -1的解集为A ． (1，＋∞)B ． (e ，＋∞)C ． (－∞，0)D ． (－∞，) 二、填空题13．若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________． 14．若函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，则＝________.15．已知函数f (x )=x cos x ，现给出如下命题：① 当x ∈(-4,-3)时，f (x ) > 0； ② f (x )在区间(5,6)上单调递增； ③ f (x )在区间上有极大值； ④ 存在M >0，使得对任意x ∈R ，都有| f (x )|≤M ．其中真命题的序号是_________.16．若△ABC 的内角满足sin A ＋sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________．此卷只装订不密封姓名 准考证号 考场号 座位号本文由一线教师精心整理/word 可编辑2 / 9三、解答题 17．已知函数f (x )=.（I ）求函数f (x )的单调递减区间；（II ）若△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，f (A )=，a =，sin B =2sin C ，求c .18．如图，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 为矩形，且PA =AD =1，AB =2，∠PAB =120°,∠PBC =90°. （I ）平面PAD 与平面PAB 是否垂直？并说明理由； （II ）求平面PCD 与平面ABCD 所成二面角的余弦值．19．某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图如图所示，规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败．(I) 求图中a 的值；(II) 根据已知条件完成下面2⨯2列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？(III) 将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取3人进行约谈，记这3人中晋级失败的人数为X ，求X 的分布列与数学期望E (X )．晋级成功晋级失败 合计男 16 女50合计参考公式：，其中20．已知椭圆离心率为，点P (0,1)在短轴CD 上，且.（I ）求椭圆E 的方程；（II ）过点P 的直线l 与椭圆E 交于A ,B 两点.若，求直线l 的方程.21．已知函数.（I ）讨论的导函数的零点个数；（II ）当时，证明：.22．在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)，过点P (－2，－4)的直线l ： 222{242x ty t=-+=-+ (t 为参数)与曲线C 相交于M ，N 两点．(1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求实数a 的值． 23．已知函数f (x )＝|x －1|. (I) 解不等式f (2x )＋f (x ＋4)≥8； (II) 若|a |＜1，|b |＜1，a ≠0，求证：＞.2021届甘肃省兰州第一中学高三上学期期中考试数学（理）试题数学答案参考答案1．C【解析】【分析】先求集合M的补集，再与集合N求交集即可。
甘肃省兰州第一中学2022-2023学年高三上学期期中考试数学(理)试题含答案
兰州一中2022-2023-1学期期中考试试题高三数学（理）说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟. 答案写在答题卷(卡)上，交卷时只交答题卷(卡).第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知集合{3,1,0,2,4}U =--，{1,0}A =-，{0,2}B =，则()U A B ⋃=( ) A ．{3,1}- B ．{3,4}- C ．{3,1,2,4}--D ．{1,0,2}-2．已知a R ∈，()13ai i i +=+，(i 为虚数单位)，则=a ( ) A ．1-B ．1C ．3-D ．33．已知()f x 是R 上的偶函数，()g x 是R 上的奇函数，它们的部分图像如图，则()()⋅f x g x 的图像大致是( )A ．B ．C ．D ．4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且918S =，71a =，则1a =( ) A ．4B ．2C ．12-D ．1-5．已知x 、y 都是实数，那么“x y >”的充分必要条件是( )．A ．lg lg x y >B ．22x y >C ．11x y> D ．22x y >6．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一个原理“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件，若该圆锥的侧面展开图是半径为2的一个半圆，则该几何体的体积为( ) A 3π B 3πC 3πD 3π 7．设x ，y 满足约束条件23250y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，则z x y =-+的最小值为( )A ．2B ．1-C ．2-D ．3-8．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()x f x e x =+，则32(2)a f =-，2(log 9)b f =，(5)c f =的大小关系为( )A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．b a c >>9．设函数()f x 定义域为R ，()1f x -为奇函数，()1f x +为偶函数，当()1,1x ∈-时，()21f x x =-+，则下列结论错误的是( )A ．7324f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B ．()7f x +为奇函数C ．()f x 在()6,8上为减函数D ．()f x 的一个周期为810．已知函数222,2,()366,2,x ax x f x x a x x ⎧--≤⎪=⎨+->⎪⎩若()f x 的最小值为(2)f ，则实数a的取值范围为( ) A ．[2,5]B ．[2,)+∞C ．[2,6]D ．(,5]-∞11．已知双曲线2221x y a-=（0a >）的左､右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作一条渐近线的垂线，垂足为P 若12PF F △的面积为22率为( ) A 23B 32C ．3D 1412．已知函数3()5()R f x x x x =+∈，若不等式()22(4)0f m mt f t ++<对任意实数2t ≥恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(2,2-- B ．4,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ C ．((),22,-∞+∞D ．(,2-∞第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．有甲、乙、丙三项任务，甲、乙各需1人承担，丙需2人承担且至少1人是男生，现有2男2女共4名学生承担这三项任务，不同的安排方法种数是______．（用数字作答）14．已知()1,2a =，()1,1b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为______．15．已知()f x 是R 上的奇函数，()g x 是在R 上无零点的偶函数，()20f =，当0x >时，()()()()0f x g x f x g x ''-<，则使得()()lg 0lg f x g x <的解集是________16．已知0x >，0y >，且24x y +=，则112x y y ++最小值为________. 三、解答题(本大题共6小题，共70分)（一）必考题：共五小题，每题12分，共60分。
兰州市第一中学2021届高三上学期期中考试数学(理)试卷及答案
的值域为 R，则实数 a 的取值范围是
1 _0≤a< .___.
2
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分 12 分)已知 a，b，c 分别是△ABC 内角 A，B，C 的对边，且满足(a＋b＋ c)(sin B＋sin C－sin A)＝bsin C.
x
(1)讨论函数 f(x)的单调性；
(2)设 g(x)＝ex＋mx2－2e2－3，当 a＝e2＋1 时，对任意 x1∈[1，＋∞)，存在 x2∈[1，＋ ∞)，使 g(x2)≤f(x1)，求实数 m 的取值范围.
解 (1)由题意知 f(x)的定义域为(0，＋∞)，
a a－1 （x－1）（x－a＋1）
8
由 f′(x)>0 得 0<x<a－1 或 x>1，
所以函数 f(x)在(a－1，1)上单调递减，在(0，a－1)和(1，＋∞)上单调递增.
当 a＝2 时，a－1＝1，可得 f′(x)≥0，
此时函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增.
当 a>2 时，a－1>1，由 f′(x)<0 得 1<x<a－1，
3
(1)求角 A 的大小；
(2)设 a＝ 3，S 为△ABC 的面积，求 S＋ 3cos Bcos C 的最大值.
解 (1)∵(a＋b＋c)(sin B＋sin C－sin A)＝bsin C，
∴根据正弦定理，知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝bc，即 b2＋c2－a2＝－bc.
b2＋c2－a2 1
20
0.
备四道题目，选手对其依次作答，答对两道就终
4
止答题，并获得一等奖，若题目答完仍然只答对
甘肃省兰州第一中学高三数学上学期期中试题
兰州一中2014-2015-1学期高三期中考试数学试题说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡. 第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．函数y = ( )A. [1,2]B. [1,2)C. 1(,1]2 D. 1[,1]22. 已知向量(1,2)a =-r ,(3,)b m =r ,R m ∈,则“6m =-”是“//()a a b +r r r”的( )A ．充要条件 B.充分不必要条件C ．必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 3. 若函数2()log (1)f x m x x =+≥存在零点，则实数m 的取值范围是 ( )A ． (,0]-∞ B. [0,)+∞ C ． (,0)-∞ D. (0,)+∞ 4．在等差数列{}n a 中，已知3810a a +=，则=+753a a ( )A ．10 B. 18 C ． 20 D ．28 5．给出如下四个命题：①若“p q ∨”为真命题，则,p q 均为真命题；②“若,221a b a b >>-则”的否命题为“若a b ≤，则221a b-≤”；③“2,1x R x x ∀∈+≥”的否定是“2000,1x R x x ∃∈+≤”；④“0x >”是 “12x x +≥”的充要条件．其中不正确的命题是 ( )A ．①② B.②③ C ．①③ D.③④6．已知函数2()cos f x x x=-，则(0.6),(0),(0.5)f f f -的大小关系是 ( )A ．(0)(0.6)(0.5)f f f <<- B. (0)(0.5)(0.6)f f f <-< C ．(0.6)(0.5)(0)f f f <-<D. (0.5)(0)(0.6)f f f -<<7.若G 是ABC ∆的重心，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且303aGA bGB cGC ++=u u u r u u u r u u u r r ，则角A = ( ) A ．90oB.60oC ．45oD.30o8．已知函数()sin cos f x a x b x =-在4x π=时取得极值，则函数3()4y f x π=-是( )A ．奇函数且图象关于点(,0)π对称B. 偶函数且图象关于点3(,0)2π对称C ．奇函数且图象关于点3(,0)2π对称 D. 偶函数且图象关于点(,0)-π对称9．函数)0)(sin(3)(>+=ωϕωx x f 的部分图象如图所示,若2||AB BC AB =⋅,则ω等于( )A ．12π B.4πC ．3π D.6π10．如图，A 是半径为5的圆O 上的一个定点，单位向量AB u u u r 在A 点处与圆O 相切， 点P 是圆O 上的一个动点，且点P 与点A 不重合，则AP u u u r ×AB u u u r的取值范围是( )A ．(5,5)- B. []5,5- C ．55(,)22- D. []0,5 11．定义在实数集R 上的函数()f x 满足()()20f x f x ++=，且(4)()f x f x -=.现有以下三种叙述：①8是函数()f x 的一个周期；②()f x 的图象关于直线2x =对称；③()f x 是偶函数.其中正确的是 ( )A ．②③ B. ①② C ．①③ D. ①②③12．(理)已知函数2014sin (01)()log (1)x x f x x x π≤≤⎧=⎨>⎩，若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则++a b c 的取值范围是 ( )A. (1,2014)B. [1,2014]C. (2,2015)D. [2,2015]（文）已知函数m x x e x f x -+-=)1()(2，若,,a b c R ∃∈，且a b c <<，使得 0)()()(===c f b f a f .则实数m 的取值范围是 ( )A ．)1,(-∞ B. ()31,e C ． )3,1(e D.)()1,(3∞+-∞e Y 第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分.）13.（理）11(2)1x dx x ++ò=_______________________.（文）已知直线21=+y x 与曲线3y x ax b =++相切于点(1,3)，则实数b 的值为______.14. 若将函数sin 2y x =的图象向右平移()0ϕϕ>个单位，得到的图象关于直线6x π=对称，则ϕ的最小值为_________.15．已知tan 4α=，则21cos 24sin sin 2++ααα的值为 .16．以下命题： ①若⋅=⋅r r r ra b a b,则//r ra b ；②向量(1,1)a =-r 在(3,4)b =r方向上的投影为15；③若ABC ∆中, 5,8,7a b c ===,则u u u r BC ×20=u u u rCA ；④若非零向量a r ,b r 满足+=r r r a b b ,则22>+r r rb a b.所有真命题的序号是______________.三、解答题（本大题共5小题，每小题12分,共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 且2,60c C ︒==.(Ⅰ)求sin sin a bA B ++的值；（Ⅱ）若a b ab +=，求ABC ∆的面积ABCS ∆.18. （本小题满分12分）已知集合}2|1||{<-=x x A ，()()()4{|0}12x x B x x x -=≤-- ，}012|{2<-+=mx x x C ,m R ∈.（Ⅰ）求B A B A Y I ,；（Ⅱ）若)(B A C Y ⊆，求m 的取值范围． 19. （本小题满分12分）已知函数1cos 4cos sin 34)(2+-=x x x x f ． （Ⅰ）求函数()f x 在]2,0[π上的值域； （Ⅱ）若对于任意的x R ∈，不等式0()()f x f x ≤恒成立，求0sin(2)3x π-． 20．（本小题满分12分） 已知{}n a 是公差为d 的等差数列，它的前n 项和为n S ，且4228S S =+．（Ⅰ）求公差d 的值；（Ⅱ）若11a =，n T 是数列11{}n n a a +的前n 项和，不等式21(5)18n T m m ≥-对所有的*n N ∈恒成立,求正整数m 的最大值.21．（本小题满分12分）已知函数()ln f x ax x =+，函数()xg x e =，其中e 为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若(0,)x ∃∈+∞，使得不等式()g x <m 的取值范围；（Ⅲ）当0a =时，对于(0,)x ∀∈+∞，求证：()()2f x g x <-．四、选考题（本大题10分.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号.） 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 已知,,,A B C D 为圆O 上的四点，直线DE 为圆O 的切线，//AC DE ，AC 与BD 相交于H 点.(Ⅰ)求证：BD 平分ABC ∠.(Ⅱ)若4,6,8,AB AD BD ===求AH 的长.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C ：4cos ,3sin ,x t y t =-+⎧⎨=+⎩ （t 为参数）， 2C ：8cos ,3sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）. (Ⅰ)化1C ，2C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； (Ⅱ)若1C 上的点P 对应的参数为2t π=，Q 为2C 上的动点，求PQ 中点M 到直线332,:2,=+⎧⎨=-+⎩x t C y t （t 为参数）距离的最小值.24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知,,,+∈a b c R 且1++=a b c .证明：（Ⅰ）22213++≥a b c ；（Ⅱ）2221++≥a b c b c a .兰州一中2014-2015-1学期高三期中考试数学 参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）题号 123456789101112答案CAACCBDADBDC二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分.）13. （理）2ln 1+（文）3 14. 512π 15．334 16． ①②④三、解答题（17-21每题12分,共60分.22-24为选考题，10分.）17．解：(Ⅰ)由正弦定理可得：2sin sin sin sin 60a b c A B C =====︒，所以sin sin a b A B+==+. …………………6分 （Ⅱ）由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，即2224()3a b ab a b ab =+-=+-， 又a b ab +=，所以2()340ab ab --=，解得4ab =或1ab =-（舍去），所以11sin 422ABC S ab C ∆==⨯= …………………12分18．解：（Ⅰ） A (1,3)=-Q ，B [0,1)(2,4]=?，A B [0,1)(2,3),∴=⋃I A B (1,4]=-U . …………………6分（Ⅱ）2C (1,4]2mx 10?\+-=Q x 方程小根大于或等于-1，大根小于或等于4， 令()221f x x mx =+-，则[]f (1)1m 031f (4)4m 310,m 1.4m 144ìïïï-=-?ïïïï=+?＃íïïïïï-<-<ïïïî解之得 …………………12分19．解：(Ⅰ)1)2cos 1(22sin 321cos 4cos sin 34)(2++-=+-=x x x x x x f1)62sin(4--=πx ， …………………3分∵20π≤≤x ，∴65626πππ≤-≤-x ，∴1)62sin(21≤-≤-πx ，∴3)(3≤≤-x f ，即函数)(x f 在]2,0[π上的值域是[－3，3] ． …………6分 （Ⅱ）∵对于任意的x R ∈，不等式0()()f x f x ≤恒成立，∴)(0x f 是)(x f 的最大值，∴由Zk k x ∈+=-,22620πππ，解得Z k k x ∈+=,32220ππ∴233sin )3322sin()32sin(0==-+=-πππππk x ．……12分 20．解：（Ⅰ）∵4228S S =+，即11462(2)8+=++a d a d ，化简得：48=d ，解得2=d ． ………………4分 （Ⅱ）由11,2,21===-得n a d a n ，∴ 11n n a a +=1111()(21)(21)22121n n n n =--+-+． …………………6分 ∴=n T 12233411111n n a a a a a a a a ++++⋅⋅⋅+=11111111(1)2335572121-+-+-+⋅⋅⋅+--+n n =11(1)221n -+≥13， ……………………8分 又∵ 不等式≥n T 21(5)18m m -对所有的*n N ∈恒成立∴13≥21(5)18m m -，化简得：2560--≤m m ，解得：16-≤≤m ．∴正整数m 的最大值为6．……12分21．解：(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为(0,)+∞，1()f x a x '=+(0)x >．①当0a ≥时，()0f x '>，()f x ∴在(0,)+∞上为增函数.②当0a <时，若1(0,)x a ∈-，()0f x '>,()f x ∴在1(0,)x a ∈-上为增函数； 若1(,)x a ∈-+∞，()0f x '<,()f x ∴在1(,)x a ∈-+∞上为减函数.综上所述，当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上为增函数.当0a <时，()f x 在1(0,)-a 上为增函数，在1(,)-+∞a 上为减函数 . ………4分(Ⅱ) Q (0,)x ∃∈+∞，使得不等式()g x <成立，∴(0,)x ∃∈+∞，使得3m x e<-+成立，令()3h x x e =-+，则()1x h x e '=-，当(0,)x ∈+∞时，Q 1xe >，+≥=，1x e ∴>，()0h x '∴<，从而()h x 在(0,)+∞上为减函数，()(0)3h x h ∴<=3m ∴< ………8分(Ⅲ)当0a =时，()ln f x x =，令()()()2x g x f x ϕ=--，则()ln 2xx e x ϕ=--， ∴1()x x e x ϕ'=-，且()x ϕ'在(0,)+∞上为增函数.设()0x ϕ'=的根为x t =，则1t e t =，即t t e -=.Q 当(0,)x t ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ在(0,)t 上为减函数；当(,)x t ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ在(,)t +∞上为增函数，min ()()ln 2ln 22t t t t x t e t e e e t ϕϕ-∴==--=--=+- Q (1)10e ϕ'=->，1()202ϕ'=-<，1(,1)2t ∴∈由于()2t t e t ϕ=+-在1(,1)2t ∈上为增函数，12min 11()()222022tx t e t e ϕϕ∴==+->+->+-=()()2f x g x ∴<-. …………………12分22．证：(Ⅰ)ACD CDE AC DE ∠=∠∴,//Θ又DE Θ切圆O 于点D ，CBD CDE ∠=∠∴CBD ACD ∠=∠∴，而ABD ACD ∠=∠（同弧） ABD CBD ∠=∠∴，所以，BD 平分ABC Ð. ………5分(Ⅱ)由（1）知ABD CBD ∠=∠，又CAD CBD ∠=∠Θ，CAD ABD ∠=∠∴ 又ADH ∠Θ为公共角，所以DBA ∆与DAH ∆相似.BD ADAB AH =∴，因为AB 4,AD 6,BD 8,===所以AH 3\= ………10分23.解：（Ⅰ）222212:(4)(3)1,:1649x y C x y C ++-=+=，1C 为圆心是(4,3)-，半径是1的圆.2C 为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆. …5分（Ⅱ）当2t π=时，(4,4)-P .设(8cos ,3sin )Q θθ，则3(24cos ,2sin )2M θθ-++，3Q C 为直线270x y --=，∴M 到3C 的距离4cos 3sin 13|d θθ=--43cos ,sin 55∴==-θθ时，d. .… ………10分24．解：（Ⅰ）222,+≥Q a b ab 222,+≥b c bc 222,+≥c a ac 222222222,∴++≥++a b c ab bc ac 222222333222∴++≥+++++a b c a b c ab bc ac2()1=++=a b c22213∴++≥a b c . ………5分（Ⅱ）22+≥Q a b a b ，22+≥b c b c ，22+≥c a c a ，2222()∴+++++≥++a b c a b c a b c b c a ，222∴++≥++a b c a b c b c a ,2221∴++≥a b c b c a . ………10分。
兰州市第一中学2021高三数学上学期期中试题理
甘肃省兰州市第一中学2021届高三数学上学期期中试题理本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分,考试时间120分钟. 请将答案填在答题卡上。
第Ⅰ卷（选择题共60分)注意事项：1。
答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚,并请认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后,再选择其它答案标号，在试卷上答案无效.一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1。
设集合A＝{(x，y）｜x＋y＝1｝,B＝{（x，y)|x－y＝3}，则满足M⊆(A∩B）的集合M的个数是( ）A。
0 B。
1 C。
2 D.32。
已知z＝错误!＋i （i为虚数单位），则|z|＝（)A.错误!B。
错误! C.错误! D.23。
某中学有高中生960人，初中生480人，为了了解学生的身体状况，采用分层抽样的方法，从该校学生中抽取容量为n 的样本，其中高中生有24人,那么n 等于( ）A 。
12 B.18 C.24 D 。
364。
等比数列｛a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列｛lg a n }的前8项和等于（ ）A 。
6 B.5 C.4 D.35.已知向量a ,b 满足|a |＝1，|b ｜＝2,a －b ＝（错误!，错误!），则|2a －b |等于（ ) A.2 2 B 。
错误! C.错误! D.2错误!6.设123log 2,ln 2,5a b c -===,则 （ )A 。
a b c << B.b c a << C.c a b << D 。
c b a <<7.已知命题p ：x 2＋2x －3＞0；命题q ：x ＞a ，且q ⌝的充分不必要条件是p ⌝，则a 的取值范围是( ）A.[1，＋∞）B 。
甘肃省兰州一中高三数学上学期期中试题 理
数学试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分， 考试时间120分钟. 请将答案填在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其它答案标号，在试卷上答案无效.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合22{|20,},{|20,}M x x x x R N x x x x R =+=∈=-=∈，则 M N =( )A . {0}B . {0,2}C . {2,0}-D . {2,0,2}- 2. 若复数z 满足(34)43i z i -=+，则z 的虚部为 （ ）A ．45-B ．45C ．4-D ．4 3. 若3sin 5α=，α是第二象限的角，则tan 2α的值为 （ ） A . 247 B . 247- C . 724 D . 724-4. 已知向量,1),(0,1),,3)a b c ==-= ,若2a b -与c 共线，则k 的值为( ) A . 1B . 1-C . 2D . 2-5. 由曲线21y x =+，直线3y x =-+及坐标轴所围成图形的面积为( ) A . 73B .83 C . 103D . 36.“0a ≤”是“函数()(1)f x ax x =-在区间(0,)+∞内单调递增”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7. 设函数1()ln (0)3f x x x x =->，则()y f x = （ ）A ．在区间1(,1)e ， (1,)e 内均有零点B ．在区间1(,1)e ， (1,)e 内均无零点C ．在区间1(,1)e 内有零点，在区间(1,)e 内无零点D ．在区间1(,1)e内无零点，在区间(1,)e 内有零点8. 设123log 2,ln 2,5a b c -===则( )A .a b c <<B . b c a <<C . c a b <<D . c b a <<9. 函数c o s (2)(y x ϕπϕπ=+-≤<的图象向右平移2π个单位后，与函数sin(2)3y x π=+的图象重合，则ϕ的值为( ) A .56π B . 56π- C . 6π D . 6π- 10. 设,,a b c 是单位向量，且0a b ⋅= ，则()()a c b c -⋅-的最小值为( )A 1B . 1C .D 11. 已知函数()cos sin 2f x x x=，下列结论中错误的是（ ）A . ()y f x =的图象关于点 (,0)π中心对称B . ()y f x =的图象关于直线2x π=对称C . ()f x 的最大值为2D . ()f x 既是奇函数，又是周期函数12. 已知a 为常数，函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点12,x x 12()x x <，则 （ ）A . 121()0,()2f x f x >>-B . 121()0,()2f x f x <<-C . 121()0,()2f x f x ><-D . 121()0,()2f x f x <>-第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：本卷共10小题，用黑色碳素笔将答案答在答题卡上.答在试卷上的答案无效.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量(2,1),10,a a b a b =⋅=+=b = _ _.14. 若函数()sin (0)f x x ωω=>在区间[0,]3π上单调递增，在区间[,]32ππ上单调递减， 则ω= .15. 已知函数lg 010()16102x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是 .16. 在平面直角坐标系xOy 中，设定点(,)A a a ，P 是函数1(0)y x x=>图象上一动点. 若点,P A之间的最短距离为，则实数a 值为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分10分)设函数1()log (1)1axf x a x+=>-. （Ⅰ）判断()f x 的奇偶性；（Ⅱ）当[0,1)x ∈时，()f x m ≥恒成立，求实数m 的取值范围．18.（本小题满分12分）设向量,sin ),(cos ,sin ).[0,]2a x xb x x x π==∈（Ⅰ）若,a b =求x 的值；（Ⅱ）设函数()f x a b =⋅，求()f x 的值域.19.（本小题满分12分）已知函数2()()4x f x e ax b x x =+--，曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为44y x =+. （Ⅰ）求,a b 的值； （Ⅱ）求()f x 的极大值.20.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=（Ⅰ）求sin sin CA的值； （Ⅱ）若1cos ,24B b ==，求ABC ∆的面积S .21．（本小题满分12分）如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为min /50m .在甲出发min 2后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留min 1后，再B 从匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为min /130m ，山路AC 长为m 1260，经测量， 1312cos =A ，53cos =C . （Ⅰ）求索道AB 的长；（Ⅱ）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ （Ⅲ）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟， 乙步行的速度应控制在什么范围内？ 22．（本小题满分12分）已知函数()1ln ()f x ax x a R =--∈.（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若函数()f x 在1x =处取得极值，对(0,)x ∀∈+∞，不等式()2f x bx ≥- 恒成立. 求实数b 的取值范围；（Ⅲ）当1x y e >>-时，证明：ln(1)ln(1).x y e y e x +>+C B A兰州一中2013-2014-1学期期中考试 高三数学试题参考答案（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
2019届甘肃省兰州第一中学高三上学期期中考试数学
2019届甘肃省兰州第一中学高三上学期期中考试数学（理）试题一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请将正确的选项填在答题纸上)1．已知集合1{,},(),3xM y y x x x R N y y x R ⎧⎫==-∈==∈⎨⎬⎩⎭，则（）A ．M N =B ．N M ⊆C ．R M C N =D ．R C N M 2．已知角α终边上一点的坐标为9sin ,cos1010P ππ⎛⎫⎪⎝⎭，则角α可以是（ ） A ．10πB ．25πC ．10π- D ．25π- 3．已知11232755,,log 577-⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭a b c ，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A ．b<a <c B ．c <b <a C ．c <a <b D ．.b <c <a4．已知函数22()log f x x x =+，则不等式(1)(2)0f x f +-<的解集为（ ）A ．(,1)(3,)-∞-+∞B ．(,3)(1,)-∞-+∞C ．(3,1)(1,1)---D ．(1,1)(1,3)-5．在ABC ∆中， “sin sin A B >”是“cos cos A B <”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．函数xe x y -=cos 4（e 为自然对数的底数）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若3cos 2cos a C c A =，1tan 3A =，则角B 的度数为（ ）A ．120B ．135C ．60D ． 458．已知函数()()sin f x A ωx φ=+002πA ωφ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭，，的部分图象如图所示，若将()f x 图像上的所有点向右平移6π个单位得到函数()g x 的图像，则函数()g x 的单调递增区间为（ ）A ．Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,4,4ππππ B ．Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,42,42ππππ C ．Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,6,3ππππ D ．Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,62,32ππππ 9．若14tan ,(,)tan 342ππααα-=∈，则sin(2)4πα+的值为 ( ) AB．．D10．已知函数()2f x +=当(0,1]x ∈时，2()f x x =，若在区间(1,1]-内，()()(2)g x f x t x =-+有两个不同的零点，则实数t 的取值范围是 ( )A ．),0(+∞B ．103，⎛⎫⎪⎝⎭ C ．1,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D ． 103，⎛⎤⎥⎝⎦11．已知函数()()0f x sinwx w ->=，若方程()1f x =-在()0,π上有且只有三个实数根，则实数w的取值范围为（ ）A ．137,62⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．725,26⎛⎤ ⎥⎝⎦C.2511,62⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．1137,26⎛⎤⎥⎝⎦12．已知函数()ln ,11,12x x f x x x ≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若()()1F x f f x m =++⎡⎤⎣⎦有两个零点12,x x ，则12x x ⋅的取值范围是（ ）A．(-∞ B．)+∞ C ．(],42ln 2-∞- D ． [)42ln 2,-+∞二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分。
甘肃省兰州第一中学高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含解析
宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。
至元明清之县学一律循之不变。
明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。
到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。
其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。
而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。
“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。
于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。
在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。
死记硬背是一种传统的教学方式，在我国有悠久的历史。
但随着素质教育的开展，死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方式，渐渐为人们所摒弃；而另一方面，老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。
其实，只要应用得当，“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。
相反，它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。
要练说，得练听。
听是说的前提，听得准确，才有条件正确模仿，才能不断地掌握高一级水平的语言。
我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我特别重视教师的语言，我对幼儿说话，注意声音清楚，高低起伏，抑扬有致，富有吸引力，这样能引起幼儿的注意。
当我发现有的幼儿不专心听别人发言时，就随时表扬那些静听的幼儿，或是让他重复别人说过的内容，抓住教育时机，要求他们专心听，用心记。
平时我还通过各种趣味活动，培养幼儿边听边记，边听边想，边听边说的能力，如听词对词，听词句说意思，听句子辩正误，听故事讲述故事，听谜语猜谜底，听智力故事，动脑筋，出主意，听儿歌上句，接儿歌下句等，这样幼儿学得生动活泼，轻松愉快，既训练了听的能力，强化了记忆，又发展了思维，为说打下了基础。
观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。
随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。
甘肃省兰州第一中学2019届高三上学期期中考试数学(理)---精校解析Word版
兰州一中2018-2019-1学期高三年级期中考试试题数学理科本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 请将答案填在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设全集U是实数集R，集合M＝{x|x<0或x>2}，N＝{x|y=log2(x－1) }，则(∁U M)∩N为( )A. {x|1<x<2}B. {x|1≤x≤2}C. {x|1<x≤2}D. {x|1≤x<2}【答案】C【解析】【分析】先求集合M的补集，再与集合N求交集即可。
【详解】集合N为，为，所以(∁U M)∩N为，即，答案选C。
【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题。
在集合运算时，要注意运算的先后顺序，如本题中有括号，就应先算括号里面的补集运算，再算交集运算。
在运算时，可以借助数轴或图形，这样更直观，不易出错。
2.下列结论中正确的是( )A. 命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的否命题是“若x2－3x＋2＝0，则x≠1”B. 命题p：存在x0∈R，sin x0>1，则 p：任意x∈R，sin x≤1C. 若p且q为假命题，则p、q均为假命题D. “x2＋2x－3<0”是命题．【答案】B【解析】【分析】结合命题、否命题、命题的否定的定义及复合命题的真假判断方法，依次判断即可。
【详解】命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的否命题是“若x2－3x＋2≠0，则x≠1”否命题，选项A错误；若p且q为假命题，则p、q至少有一个为假命题，选项C错误；对于一个命题有题设和结论两部分构成，选项D，显然不符合，故错误。
所以答案选B。
【点睛】本题考查了命题、否命题、命题的否定的定义及复合命题的真假判断，综合性较强，此类问题的关键是掌握其定义和判断方法。
3.条件p：－2<x<4，条件q：(x＋2)(x＋a)<0；若q是p的必要而不充分条件，则a的取值范围是( )A. (4，＋∞)B. (－∞，－4)C. (－∞，－4]D. [4，＋∞)【答案】B【解析】【分析】q是p的必要而不充分条件等价于，建立不等式求解即可。
甘肃省兰州市第一中学2017届高三上学期期中考试理科数学试卷 Word版含解析
2017届甘肃省兰州市第一中学高三上学期期中考试理科数学试卷一、单选题（共12小题）1．若集合，，则（）A．B．C．D．2．已知复数，若是实数，则实数的值为（）A．0B．C．-6D．63．以下判断正确的是（）A．函数为上可导函数，则是为函数极值点的充要条件B．命题“”的否定是“”C．“”是“函数是偶函数”的充要条件D．命题“在中，若，则”的逆命题为假命题4．一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为（）A．120cm3B．100cm3C．80cm3D．60cm35．由曲线，直线及坐标轴所围成图形的面积为（）A．B．C．D．36．设等差数列的前项和为，若，，，则（）A．3B．4C．5D．67．我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出的结果（）A．4B．5C．2D．38．设，则（）A．B．C．D．9．已知函数，则的图象大致为（）A．B．C．D．10．函数的图象向右平移个单位后，与函数的图象重合，则的值为（）A．B．C．D．11．椭圆: 的左、右焦点分别为，焦距为．若直线与椭圆的一个交点M满足，则该椭圆的离心率等于（）A．B．C．D．12．已知定义在R上的函数满足：且，，则方程在区间上的所有实根之和为（）A．-6B．-7C．-8D．-9二、填空题（共4小题）13.已知向量，，则．14.已知，则．15.已知满足约束条件若的最小值为1，则．16.在中，内角的对边分别为，已知，，则面积的最大值为．三、解答题（共7小题）17.已知函数．（Ⅰ）求的最小正周期及对称中心；（Ⅱ）若，求的最大值和最小值．18.如图，在直三棱柱中，，是棱上的一点，是的延长线与的延长线的交点，且平面．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的平面角的正弦值．19.随着苹果7手机的上市，很多消费者觉得价格偏高，尤其是一部分大学生可望而不可及，因此“国美在线”推出无抵押分期付款的购买方式，某店对最近100位采用分期付款的购买者进行统计，统计结果如下表所示．已知分3期付款的频率为0．15，并且销售一部苹果7手机，顾客分1期付款，其利润为1000元；分2期或3期付款，其利润为1500元；分4期或5期付款，其利润为2000元，以频率作为概率．（Ⅰ）求，的值，并求事件：“购买苹果7手机的3位顾客中，至多有1位分4期付款”的概率；（Ⅱ）用表示销售一部苹果7手机的利润，求的分布列及数学期望．20.已知抛物线：，直线交于两点，是线段的中点，过点作轴的垂线交于点（Ⅰ）证明：抛物线在点的切线与平行；（Ⅱ）是否存在实数，使以为直径的圆经过点，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．21.已知函数（Ⅰ）当时，求的单调区间；（Ⅱ）若函数在其定义域内有两个不同的极值点．（i）求的取值范围；（ii）设两个极值点分别为，证明:．22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）设为曲线上一点，为曲线上一点，求的最小值．23.已知函数，且的解集为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，且，求证：．答案部分1.考点：集合的运算试题解析：因为，，所以，所以选A答案：A2.考点：复数综合运算试题解析：因为是实数，所以，所以答案：D3.考点：全称量词与存在性量词充分条件与必要条件试题解析：A：如，令得不是函数的极值点，所以A不对；B：命题“”的否定应该是C：根据诱导公式，前后能互推，所以C正确；D：在中，若，则是真命题，所以D不对．所以选C答案：C4.考点：空间几何体的三视图与直观图试题解析：直观图如图所示：答案：B5.考点：积分试题解析：根据题意作图如下：由得，所以所以答案：C6.考点：等差数列试题解析：因为，所以，所以，所以，因为当时，，代入上式得．答案：C7.考点：算法和程序框图试题解析：初始：第一次循环：第二次循环：第三次循环：第四次循环：输出答案：A8.考点：对数与对数函数试题解析：因为，所以，又因为，所以答案：C9.考点：函数图象试题解析：令得排除D；令得排除C;又因为排除B，所以选A．答案：A10.考点：三角函数图像变换试题解析：因为向右平移个单位后为，由题意得：，所以．答案：B11.考点：椭圆试题解析：由题意作图如下：由直线斜率为得所以，所以因为所以所以所以答案：D12.考点：函数综合试题解析：由已知得：，函数的周期为2，图象如下：由图象知：在区间上两函数有3个交点，其中一个由图象可得为（-3，1），另外两个交点关于对称，所以另外两个交点横坐标之和为所以所有实根之和为．答案：B13.考点：平面向量坐标运算试题解析：由题意得，所以，解得．答案：-314.考点：半角公式倍角公式试题解析：答案：15.考点：线性规划试题解析：如图：当目标函数经过点时，最小值为1，所以所以．答案：16.考点：解斜三角形试题解析：由已知及正弦定理得：又所以所以所以因为所以因为，所以所以由已知及余弦定理得：又因为所以所以答案：17.考点：三角函数综合试题解析：（Ⅰ）∴的最小正周期为，令，则，∴的对称中心为（Ⅱ）∵∴∴∴∴当时，的最小值为-1；当时，的最大值为2．答案：见解析18.考点：立体几何综合试题解析：（Ⅰ）连接交于，连接．∵平面，面，面面∴又∵为的中点，∴为中点，∴为中点∴，∴（Ⅱ）∵在直三棱柱中，∴以为坐标原点，以，所在直线建立空间直角坐标系如图所示由（Ⅰ）知为中点∴点坐标分别为，，，设平面的法向量∵且∴取∴同理：平面的法向量设二面角平面角为则，∴答案：见解析19.考点：随机变量的期望与方差试题解析：（Ⅰ）由，得因为所以（Ⅱ）设分期付款的分期数为，则的所有可能取值为1000，1500，2000．所以的分布列为答案：见解析20.考点：圆锥曲线综合试题解析：（Ⅰ）解法一：设，，把代入得，得．∵，点的坐标为．∵∴，即抛物线在点处的切线的斜率为．∵直线:的的斜率为，∴．解法二：设，，把代入得，得．∵，点的坐标为．设抛物线在点处的切线的方程为，将代入上式得，直线与抛物线相切，，，即．（Ⅱ）假设存在实数，存在实数使为直径的圆经过点．是的中点，．由（Ⅰ）知轴，．∵，∴，故存在实数，使为直径的圆经过点．答案：见解析21.考点：导数的综合运用试题解析：（Ⅰ）当时，；函数的定义域为，当时，；当时，．所以，在上单调递减；在上单调递增．（Ⅱ）（i）依题意，函数的定义域为，所以方程在有两个不同根．即，方程在有两个不同根．（解法一）转化为，函数与函数的图象在上有两个不同交点，如图．可见，若令过原点且切于函数图像的直线斜率为，只须．令切点，所以，又，所以，解得，，于是，所以．（解法二）令，从而转化为函数有两个不同零点，而若，可见在上恒成立，所以在单调增，此时不可能有两个不同零点．若，在时，，在时，，所以在上单调增，在上单调减，从而又因为在时，，在时，，于是只须：，即，所以．综上所述，．（ii）由（i）可知分别是方程的两个根，即，，不妨设，作差得，，即．原不等式等价于令，则，设，，∴函数在上单调递增，∴，即不等式成立，故所证不等式成立．答案：见解析22.考点：极坐标方程曲线参数方程试题解析：（1）由消去参数得，曲线的普通方程得由得，曲线的直角坐标方程为（2）设，则点到曲线的距离为当时，有最小值0，所以的最小值为0．答案：见解析23.考点：不等式证明试题解析：（Ⅰ）因为，所以等价于，由有解，得，且其解集为．又的解集为，故（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又，∴≥=9．（或展开运用基本不等式）∴答案：见解析。
2020届甘肃省兰州市第一中学高三上学期期中数学(理)试题(解析版)
2020届甘肃省兰州市城关区第一中学高三上学期期中数学（理）试题一、单选题1．若集合{}12A x x =-<，{13}B y Z y =∈-≤<，则A B = （ ）A ．∅B ．{}1,0,1,2-C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1-【答案】C【解析】先求出集合A ，B 中元素的范围，再求A B【详解】解：由已知{}{}12=13A x x x x =-<-<<，{}{13}1,0,1,2B y Z y =∈-≤<=-， 所以{}0,1,2AB =，故选：C 。
【点睛】本题考查交集的求法，要注意细节y Z ∈，是基础题。
2．设1i2i 1iz -=++，则||z =（ ） A ．2 B ．12C ．2D ．1【答案】D【解析】先由复数的除法运算可得1i2i 1iz i -=+=+，再结合向量模的运算可得||1z =，得解. 【详解】解：因为21i (1)2i=221i 2i z i i i i --=++=-+=+，则22||011z =+=， 故选：D. 【点睛】本题考查了复数的运算，重点考查了复数模的运算，属基础题. 3．已知2sin cos αα=，则2cos 2sin 21cos ααα++=( )A ．32B ．3C ．6D ．12【答案】B【解析】根据已知条件求得tan α的值，利用二倍角公式化简所求表达式为只含tan α的表达，由此求得所求表达式的值. 【详解】由2sin cos αα=得1tan 2α=.故222cos 2sin 212cos 2sin cos 122tan 223cos cos 2αααααααα+++==+=+⨯=，故选B. 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式，属于基础题. 4．下列说法错误的是( ) A ．命题“若，则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则”B ．“1x >”是“1x >”的充分不必要条件C ．若p 且q 为假命题，则p 、q 均为假命题D ．命题p ：“0x R ∃∈，使得20010x x ++<”，则p ⌝：“x R ∀∈，均有210x x ++≥”【答案】C【解析】试题分析：若“p 且q ”为假命题，则p q 、中至少有一个是假命题，而不是p q 、均为假命题．故C 错．【考点】1.四种命题；2.充分条件与必要条件；3.逻辑连接词；4.命题的否定. 5．已知平面向量,a b 满足1,13a b ==，且2a b a b +=+，则a 与b 的夹角为( ) A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 【答案】C【解析】设a 与b 的夹角为θ，由题意求得cos θ的值，可得θ的值． 【详解】因为2a b a b +=+，所以222a b a b +=-，即2222442a a b b a a b b +⋅+=+⋅-，因为113a b ==，所以32a b ⋅=-， 记a 与b 的夹角为θ，则1cos 2a b a bθ⋅==-，解得23πθ=，即a 与b 的夹角为23π. 故选C. 【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题． 6．设0,0a b >>，若2是2a 与2b 的等比中项，则19a b+的最小值为（ ） A ．16 B ．8C ．4D ．2【答案】B【解析】先由等比中项的运算可得2a b +=，则19a b +=119()()2a b a b++，然后利用重要不等式可得：1191919()()[10()]528222a b a ba b a b b a b a++=++≥+⋅⋅=，一定要注意取等的条件. 【详解】解：因为2是2a 与2b 的等比中项，所以224a b ⋅= ，即24a b +=，所以2a b +=， 又0,0a b >>， 所以19a b +=1191919()()[10()]52538222a b a ba b a b b a b a++=++≥+⋅⋅=+=，当且仅当9a b b a =，即13,22a b ==时取等号， 则19a b+的最小值为8， 故选:B. 【点睛】本题考查了等比中项的运算，重点考查了利用重要不等式求最值，属基础题.7．若双曲线2222:1x y C a b-= (0,0)a b >>的一条渐近线被圆22(2)4x y -+=所截得的弦长为2，则C的离心率为 （ ）A ．2B ．12C ．22D ．3【答案】A【解析】求得双曲线的一条渐近线方程，求得圆心和半径，运用点到直线的距离公式和弦长公式，可得a ，b 的关系，即可得到所求离心率公式． 【详解】 取渐近线by x a=，化成一般式0bx ay -=， 圆心()2,0到直线的距离2223b a b=+，得224c a =，24e =，即2e =. 故选：A 【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 8．某程序框图如图所示，则输出的结果S 等于（ ）A ．7B ．16C ．28D ．43【答案】C【解析】执行程序：S 1=，k 1=,k 2=,S 1327=+⨯=,判断不符合条件， k 3=, S 73316=+⨯=,判断不符合条件， k 4=,S 163428=+⨯=,判断符合条件， 故选：C9．函数e4xy x=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】利用已知函数的对称性及特殊点进行判断即可. 【详解】函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B ， 当1x =时，14ey =<，排除A ； 当x →+∞时，4xex→+∞，排除D ．故应选C ．【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.10．我国古代数学名著《九章算术》记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无丈.刍，草也；甍，屋盖也.”翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”如图，为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形.则它的体积为( )A ．1603B ．160C ．2563D ．64【答案】A 【解析】【详解】分析：由三视图可知该刍甍是一个组合体，它由成一个直三棱柱和两个全等的四棱锥组成，根据三视图中的数据可得其体积.详解：由三视图可知该刍甍是一个组合体，它由成一个直三棱柱和两个全等的四棱锥组成， 根据三视图中的数据，求出棱锥与棱柱的体积相加即可，11444+2244=23⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯6416032+=33，故选A. 点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状. 11．若函数()1sin2 sin 4f x x x a x =--在(),-∞+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]1,1-D ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】根据题意函数()1sin2 sin 4f x x x a x =--在(),-∞+∞上单调递增，转化为()0f x '≥在(),-∞+∞恒成立，利用换元法，结合一元二次函数的性质，列出相应的不等式，即可求解出a 的取值范围。
甘肃省兰州第一中学2020届高三数学上学期期中试题理
甘肃省兰州第一中学2020届高三数学上学期期中试题 理说明：本套试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}12A x x =-<，{13}B y Z y =∈-≤<，则A B = （ ） A ．{}0,1,2 B ．{}1,0,1,2-C ．∅D ．{}1,0,1-2．设1i2i 1iz -=++，则 ||z = （ ）A ．2B ．12C D ．13．已知2sin cos αα=，则2cos 2sin 21cos ααα++= ( )A ．32B ．3C ．6D ． 124．下列说法不正确的是（ ）A ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”B ．“1x >”是“||1x >”的充分不必要条件C ．若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题D ．若命题：:p “0x R ∃∈，使得20010x x ++<”，则:p ⌝“x R ∀∈，均有210x x ++≥”5．已知平面向量,a b 满足1,13a b ==，且2a b a b +=+，则a 与b 的夹角为( )A ．6πB ．3πC ．23π D ．56π6．设0,0a b >>，若2是2a 与2b 的等比中项，则19a b+的最小值为（ ） A ．16B ．8C ．4D ．27．若双曲线2222:1x y C a b-= (0,0)a b >>的一条渐近线被圆22(2)4x y -+=所截得的弦长为2，则双曲线C 的离心率为 （ ）A ．2B ．12C．8．某程序框图如图所示，则输出的结果S 等于（ ） A ．43 B ．28 C ．16 D ．7 9．函数e4xy x=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．我国古代数学名著《九章算术》记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无丈．刍，草也；甍，屋盖也．”翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍字面意思为茅草屋顶．”如上图，为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形．则它的体积为( ) A ．1603 B ．160 C ．2563D ．64 11．若函数()1sin2 sin 4f x x x a x =--在(),-∞+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]1,1-D ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦12．已知函数221,2()1(2),23x x f x f x x ⎧--<⎪=⎨-≥⎪⎩，若函数()()F x af x x =-有6个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．92722a << B ．918922a << C ．922a -<<D ．4518922a <<第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．甲、乙两校各有3名教师报名支教．若从这6名教师中任选2名，选出的2名教师来自同一学校的概率为____ ___.14．直线l 与抛物线28y x =交于,A B 两点，且l 经过抛物线的焦点F ，已知(8,8)A ，则线段AB 的中点到准线的距离为__________．15．已知定义域为R 的奇函数()f x 满足(3)()0f x f x -+=，且当3,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2()log (26)f x x =+，则(2020)f =___ ____.16．已知向量,,a b c 满足4,22,,,4a b a b π==〈〉=()()·1c a c b --=-，则c a -的最大值为___ __.三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，第 22、23 为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分．17．（本题满分12分）已知函数()sin()(0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的图象的相邻两条对称轴的距离是2π，当6x π=时()f x 取得最大值2． （1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数6()()5g x f x =-的零点为0x ，求0cos 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭．18．（本题满分12分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为()*234,2,,4n S n N S S S ∈-成等差数列，且2341216a a a ++=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2(2)log n a n b n =-+，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .19．（本题满分12分）如图，在ABC ∆中，,3B BC π==D 在边AB 上，,AD DC DE AC =⊥，E 为垂足.（1）若BCD ∆CD 的长；（2）若DE =A 的大小. 20．（本题满分12分）设函数()()ln xe f x a x x x=--（a 为常数）.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若函数()f x 在()0,1内存在唯一极值点0x x =，求实数a 的取值范围，并判断0x x = 是()f x 在()0,1内的极大值点还是极小值点.21．（本题满分12分）已知函数()()ln 1f x ax x a =+-（a 为实数常数） （1）当0a <时，求函数()f x 在()1,+∞上的单调区间； （2）当1x >时，()()2f x ax <成立，求证：21a e >．（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本题满分10分）（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，满足16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为2,3π⎛⎫⎪⎝⎭，点B 在曲线2C 上，求ABO ∆面积的最大值．23．（本题满分10分）（选修4-5：不等式选讲） 已知函数()2145f x x x =++-的最小值为M ．（1）求M ；（2）已知实数,,a b c 满足2a b c M ++=，求222(1)(2)(3)a b c ++-+-的最小值．兰州一中2019-2020-1学期高三年级期中考试试题数学（理科）答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.25 14. 25415. 2-1 三、解答题：本大题共6小题，共70分. 17．（本题满分12分）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0,0,||2A πωϕ>><）的图象的相邻两条对称轴的距离是2π，当6x π=时取得最大值2．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数6()()5g x f x =-的零点为0x ，求0cos 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭．【解析】（1）由题意知，振幅A =2，周期T=222ππω=⨯，∴2ω=，∴()()2sin 2f x x ϕ=+．将点,26π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入得：2sin 2sin 133ππϕϕ⎛⎫⎛⎫+=⇒+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又||2πϕ<，故6πϕ=．∴()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． ……………………6分（2）由函数6()()5g x f x =-的零点为x 0知：x 0是方程6()5f x =的根，故06()5f x =， 得sin （2x 0+6π）=35,又（2x 0+6π）+（3π-2x 0）=2π， ∴0003cos 2cos 2sin 232665x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． ……………………12分18．（本题满分12分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为()*234,2,,4n S n N S S S ∈-成等差数列，且2341216a a a ++=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2(2)log n a n b n =-+，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，由23424,,S S S -成等差数列知，324224S S S =-+，所以432a a =-，即12q =-.又2341216a a a ++=，所以231111216a q a q a q ++=，所以112a =-，所以等比数列{}n a 的通项公式*1,2nn a n N ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭. ……………………6分（2）由（1）知1()22(2)log (2)nn b n n n =-+=+ ，所以11111(2)22n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭所以数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和：11111111111232435112n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭32342(1)(2)n n n +=-++ . (12)分 19．（本题满分12分）如图，在ABC ∆中，,3B BC π==点D 在边AB上，,AD DC DE AC =⊥，E 为垂足.（1）若BCD ∆CD 的长； （2）若DE =A 的大小. 【解析】（1）由已知得1sin 2BCD S BC BD B ∆=⋅⋅=又BC B ==解得 BD = 在BCD ∆中，由余弦定理得 2CD = 222cos BC BD BC BD B +-⋅⋅(221292=+-⋅= ∴3CD = 即CD 的长为3. ……………………6分 （2）由已知得，E 为AC 中点，∴2AC AE =，在ABC ∆=，所以3sin 2AE A ⋅=， 又sin tan cos DE A A AE A ==，所以sin cos AE A DE A A ⋅=⋅=， 32A =，∴cos A =，又0A π<<，∴4A π= . ………………12分20．（本题满分12分）设函数()()ln xe f x a x x x=--（a 为常数）.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若函数()f x 在()0,1内存在唯一极值点0x x =，求实数a 的取值范围，并判断0x x =是()f x 在()0,1内的极大值点还是极小值点.【解析】（1）当1a =时，()ln x e f x x x x=-+，()()()21110x e x f x x x x ⋅-'=-+>，所求切线的斜率(1)0f '=，又(1)1f e =-.所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为(1)y e =-. ……………………5分（2）()()()()221111xx x e ax e x f x a x x x --⋅-⎛⎫'=--= ⎪⎝⎭. 又()0,1x ∈，则要使得()f x 在()0,1内存在唯一极值点，则()()()210x x e ax f x x--'==在()0,1存在唯一变号零点，即方程0xe ax -=在()0,1内存在唯一解，即e xy x=与y a =在()0,1范围内有唯一交点.设函数()(),0,1x e g x x x=∈，则()()210x x e g x x -'=<，()g x ∴在()0,1单调递减，又()()1g x g e >=；当0x →时，()g x →+∞(),a e ∴∈+∞时，e xy x=与y a =在()0,1范围内有唯一交点，设为0x .当()00,x x ∈时，()x e g x a x => ，0xe ax ->，则()()()210x x e ax f x x--'=<，()f x 在()00,x 为减函数；当()0,1x x ∈时，0xe ax -<，则()()()210x x e ax f x x--'=>，()f x 在()0,1x 为增函数.即0x x =为函数()f x 的极小值点.综上所述：(),a e ∈+∞，且0x x =为函数()f x 的极小值点. ……………………12分 21．（本题满分12分）已知函数()()ln 1f x ax x a =+-（a 为常数） （1）当0a <时，求函数()f x 在()1,+∞上的单调区间； （2）当1x >时，()()2f x ax <成立，求证：21a e >． 【解析】（1）()()1ln 1ln f x a x a x a x a x ⎛⎫'=+-+⋅=+ ⎪⎝⎭，当0a <时，由()0f x '>得ln 0x a +<，解得1a x e -<<， 由()0f x '<得ln 0x a +>，解得a x e ->，所以函数()f x 在()1,+∞的单调递增区间是()1,a e -，单调递减区间是(),ae -+∞．……5分（2）当1x >时，由()()2f x ax <得()ln 10ax x ax a -+-<即()ln 10a x ax a -+-<恒成立（*），设()()ln 11g x x ax a x =-+->，则()()11g x a x x'=->，由题可知0a ≠ ①当0a <时，()0g x '>，所以()g x 在()1,+∞上单调递增， ()()11g x g >=-，可知01x ∃>且01x →时，()00g x <，使得()000ax g x ⋅>，可知（*）式不成立，则0a <不符合条件；②当1a ≥时，()0g x '<，所以()g x 在()1,+∞上单调递减， ()()110g x g <=-<，可知（*）式成立，则1a ≥符合条件，所以21a e >成立； ③当01a <<时，由()0g x '>得11x a<<，由()0g x '<得1x a >，所以()g x 在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，可知()g x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()max 1ln 2g x g a a a ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，由（*）式得ln 20a a --<， 设()ln 2h a a a =--，则()110h a a'=-<，所以()h a 在()0,1上单调递减， 而2211220h e e⎛⎫=+->⎪⎝⎭，()0h a <，可知21a e >． 综上所述，21a e >． ……………………12分 22．（本题满分10分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为2,3π⎛⎫⎪⎝⎭，点B 在曲线2C 上，求ABO ∆面积的最大值．【解析】（1）设点P 的极坐标为（,ρθ）（ρ＞0），M 的极坐标为()1,ρθ（10ρ＞），由题设知OP =ρ，OM =14cos θρ=.由16OM OP ⋅=得2C 的极坐标方程4cos 0ρθρ=（＞）因此2C 的直角坐标方程为()22x 2y 40x -+=≠（）. …………………5分 （2）设点B 的极坐标为(),αB ρ （0B ρ＞）.则4cos αB ρ=，于是ABO ∆面积1S AOB 4cos α|sin(α)|2|sin(2α)2233B OA sin ππρ∠=⋅=⋅-=-≤+当α12π=-时，ABO ∆的面积取得最大值2.所以ABO ∆面积的最大值为2+. ……………………10分 23．（本题满分10分）已知函数()2145f x x x =++-的最小值为M . （1）求M ；（2）若实数,,a b c 满足2a b c M ++=，求222(1)(2)(3)a b c ++-+-的最小值.【解析】（1）164,215()26,24564,4x x f x x x x x ⎧-+≤-⎪⎪⎪=-+-≤⎨⎪⎪-⎪⎩＜＞，如图所示：∴max 57()()42f x f ==， ∴72M = . ……………………5分(2) 由（1）知7a b c ++= ∴[]2(1)(2)(3)a b c ++-+-222(1)(2)(3)2(1)(2)2(1)(3)2(2)(3)a b c a b a c b c =++-+-++-++-+--∴[]2222()43(1)(2)(3)a b c a b c ⎡⎤++-≤++-+-⎣⎦ ∴[]2222743(1)(2)(3)a b c ⎡⎤-≤++-+-⎣⎦∴222(1)(2)(3)3a b c ++-+-≥，当且仅当0a =，3b =，4c =时值最小.∴222(1)(2)(3)a b c ++-+-的最小值为3. ……………10分（注：柯西不等式也可）。
兰州一中高三期中考试数学试卷(理)参考答案
2011-2012学年度兰州一中高三期中考试数学试卷（理）参考答案一、选择题：（每小题5分，共60分）二、填空题：（每小题5分，共20分）13．-1； 14．180； 15．1*7(1)2(2,)n n n n N -=⎧⎨≥∈⎩； 16．9,24⎛⎫- ⎪⎝⎭ 三、解答题：（共70分） 17．（本题10分）解：原不等式等价于)2(log )2(log 2->--ax x x a a ……① ……………1分①当1>a 时，①式可化为⎪⎩⎪⎨⎧->-->->--22,02,0222ax x x ax x x即 ⎪⎩⎪⎨⎧->-->-,22,022ax x x ax 亦即⎪⎩⎪⎨⎧+><>10,2a x x a x 或 ∴ x > a +1 ………………5分②当10<<a 时，①式可化为⎪⎩⎪⎨⎧-<-->->--22,02,0222ax x x ax x x即 ⎪⎩⎪⎨⎧-<-->--22,0222ax x x x x 亦即⎩⎨⎧+<<>-<1021a x x x 或∴∈x ∅ ………………9分综上所述，当1>a 时，原不等式的解集为}1|{+>a x x ；当10<<a 时，原不等式的解集为∅．………………10分18．（本题10分）解：（Ⅰ）∵ f （x ）是奇函数∴f （―x ） =―f （x ）即2211ax ax bx c bx c++=-+-+.0bx c bx c c ∴+=-∴= ……………………1分22211)(0,0babx x b a bx ax x f b a ≥+=+=∴>>当且仅当a x 1=时等号成立。
则2222b a b a=∴= ……2分由5(1)2f <得 152a b c +<+，即2152b b +<， 22520b b ∴-+<，解得122b <<； 又 b N *∈，11b a ∴==xx x f 1)(+=∴ …………………………………………5分 （Ⅱ）设存在一点（x 0，y 0）在y =f （x ）图象上，则关于（1，0）的对称点（02x -，―y 0）也在y =f （x ）图象上， …………6分则 20002001(2)12x y x x y x ⎧+=⎪⎪⎨-+⎪=-⎪-⎩解得：001x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩001x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩∴函数f （x）图象上存在两点(1+和(1-关于点（1，0）对称。
高三上学期期中考试数学(理)试题含解析
2017-2018学年甘肃省兰州第一中学高三上学期期中考试数学（理）一、选择题：共12题1. 已知集合A={θ|sinθ>cosθ},B={θ|sinθ· cosθ<0},若θ∈A∩B,则θ所在的象限是A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】由sinθ· cosθ<0可得θ在第二或第四象限,又sinθ>cosθ可得θ在第二象限.2. 已知A(m,n)是直线l:f(x,y)=0上的一点,B(s,t)是直线l外一点,由方程f(x,y)+f(m,n)+f(s,t)=0表示的直线与直线l的位置关系是A. 斜交B. 垂直C. 平行D. 重合【答案】C【解析】因为A(m,n)是直线l:f(x,y)=0上的一点,所以f(m,n)=0,B(s,t)是直线l外一点,所以f(s,t)不等于0,所以方程f(x,y)+f(m,n)+f(s,t)=0表示的直线与直线l的位置关系是平行.3. 在(x2-1)(x+1)4的展开式中,x3的系数是A. 0B. 10C. -10D. 20【答案】A【解析】(x+1)4的展开式的通项,因此在(x2-1)(x+1)4的展开式中,x3的系数是4. 正四棱锥的底面边长为a,侧棱长为l,则的取值范围为A. (,+∞)B. (,+∞)C. (1,+∞)D. (2,+∞)【答案】B【解析】当顶点在底面上时,,则,所以.5. 设函数f(x)=log a x(a＞0且a≠1)的定义域为(,+∞),则在整个定义域上,f(x)＜2恒成立的充要条件充是A. 0＜a＜B. 0＜a≤C. a＞且a≠1D. a≥且a≠1【答案】B【解析】当a>1时,当x→+∞时,f(x) →+∞,则f(x)<2不成立;当0<a<1时,函数f(x)=log a x在(,+∞)上是减函数,由f() ≤2,可得0＜a≤6. 设,则a=,b=1+x,c=中最大的一个是A. aB. bC. cD. 不确定【答案】C【解析】因为b-a=1+x-,所以b>a;又c-b==,则c>b,所以最大的一个是c.7. 的值为A. 2B.C.D. 1【答案】D【解析】====点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.8. 设f(n)=cos(+),则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2006)=A. B. C. 0 D.【答案】A【解析】,当n=4k+1时,f(n)=cos(+)=;当n=4k+2时,f(n)=cos(+)=;当n=4k+3时,f(n)=cos(+)=;当n=4k+4时,f(n)=cos(+)=,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,又函数f(n)=cos(+)的周期为4,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2006)=f(1)+f(2)=.9. 已知O为坐标原点,抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A,B两点,则的值是A. B. C. 3 D. 3【答案】B【解析】抛物线的焦点为,当直线l与x轴垂直时，,所以10. 设P是椭圆上任一点,F1,F2是椭圆的两个焦点,若∠F1PF2≤,则这个椭圆的离心率e的取值范围是A. 0＜e＜1B. 0＜e≤C. ≤e＜1D. e=【答案】B【解析】在三角形F1PF2中,由余弦定理可得cos∠F1PF2=,所以,则椭圆的离心率e的取值范围是0＜e≤11. 函数y=e|ln x|﹣|x﹣1|的图象大致是A. B. C. D.【答案】D【解析】y=e|lnx|-|x-1|=当x≥1时,y=1,排除C,当x=时,y=,排除A,B,故选D.12. 对于任意实数x,定义[x]为不大于x的最大整数(例如:[3.6]=3,[-3.6]=-4等),设函数f(x)=x- [x],给出下列四个结论:①f(x)≥0;②f(x)<1;③f(x)是周期函数;④f(x)是偶函数.其中正确结论的个数是A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】由题意,作出函数的图象,如图所示,观察图象可知,(1),(2),(3)正确,(4)不正确,故答案为C.二、填空题：共4题13. 把复数z的共轭复数记作，i为虚数单位，若z＝1＋i，则____【答案】【解析】，.点晴：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念。
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第 1 页2019届甘肃省兰州第一中学 高三上学期期中考试数学（理）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题1．设全集U 是实数集R ，集合M ＝{x |x <0或x >2}，N ＝{x |y =log 2(x －1) }，则(∁U M )∩N 为 A ． {x |1<x <2} B ． {x |1≤x ≤2} C ． {x |1<x ≤2} D ． {x |1≤x <2} 2．下列结论中正确的是A ． 命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的否命题是“若x 2－3x ＋2＝0，则x ≠1”B ． 命题p ：存在x 0∈R ，sin x 0>1，则⌝ p ：任意x ∈R ，sin x ≤1C ． 若p 且q 为假命题，则p 、q 均为假命题D ． “x 2＋2x －3<0”是命题．3．条件p ：－2<x <4，条件q ：(x ＋2)(x ＋a )<0；若q 是p 的必要而不充分条件，则a 的取值范围是A ． (4，＋∞)B ． (－∞，－4)C ． (－∞，－4]D ． [4，＋∞) 4．已知f (x )＝{log 3x x >0,a x +b x ≤0. 且f (0)＝2，f (－1)＝3，则f (f (－3))等于A ． －3B ． 3C ． －2D ． 25．已知sin(π－α)＝－23，且α∈(－π2，0)，则tan(2π－α)的值为 A ．2√55B ． －2√55 C ． ±2√55 D ．√526．设函数f (x )=sin(x +π3)，则下列结论错误的是A ． f (x )的一个周期为−4πB ． y =f (x )的图像关于直线对称x =π6 C ． f (x +π)的一个零点为x =5π3D ． f (x )在(π2,π)单调递增7．设f (x )＝x 3＋bx ＋c ，若导函数f ′(x )>0在[－1，1]上恒成立，且f (-12)·f (12)<0，则方程f (x )＝0在[－1，1]内根的情况是A ． 可能有3个实数根B ． 可能有2个实数根C ． 有唯一的实数根D ． 没有实数根8．将函数y =sin(2x +π3) 图象上各点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于直线x =5π12对称，则m 的最小值为A ．7π6B ． π6C ． π8D ．7π249．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ) (ω>0, |ϕ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图，则f (π24)＝A ． √3B ． √33C ． 2＋√3D ． 2－√3 10．函数f (x )＝(2−m)x x 2+m的图象如图所示，则m 的取值范围为A ． (－∞，－1)B ． (1,2)C ． (0,2)D ． (－1,2)11．定义运算|a bc d |＝ad －bc ，若cos α＝17，|sinα s inβcosα c osβ|=3√314，0<β<α<π2，则β=A ． π12 B ． π6 C ． π4 D ． π312．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，其导函数为f ′(x )，若f ′(x ) < f (x )，且 f (x ＋1)＝f (3－x )，f (2 015)＝2，则不等式f (x )<2e x -1的解集为A ． (1，＋∞)B ． (e ，＋∞)C ． (－∞，0)D ． (－∞，1e )二、填空题13．若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________． 14．若函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，则∫f(x)dx 20＝________. 15．已知函数f (x )=x cos x ，现给出如下命题：① 当x ∈(-4,-3)时，f (x ) > 0；② f (x )在区间(5,6)上单调递增； ③ f (x )在区间(1,3)上有极大值； ④ 存在M >0，使得对任意x ∈R ，都有| f (x )|≤M ．其中真命题的序号是_________.16．若△ABC 的内角满足sin A ＋√2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________． 三、解答题17．已知函数f (x )=√3sin x2cos x2−cos 2x2+12.此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号（I ）求函数f (x )的单调递减区间；（II ）若△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，f (A )=12，a =√3，sin B =2sin C ，求c .18．如图，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 为矩形，且PA =AD =1，AB =2，∠PAB =120°,∠PBC =90°. （I ）平面PAD 与平面PAB 是否垂直？并说明理由； （II ）求平面PCD 与平面ABCD 所成二面角的余弦值．19．某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图(如图所示)，规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败．(I) 求图中a 的值；(II) 根据已知条件完成下面2⨯2列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？ (III) 将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取3人进行约谈，记这3人中晋级失败的人数为X ，求X 的分布列与数学期望E (X )．(参考公式：k 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n =a +b +c +d)20．已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)离心率为√22，点P (0,1)在短轴CD 上，且PC⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PD ⃑⃑⃑⃑⃑ =−1. （I ）求椭圆E 的方程；（II ）过点P 的直线l 与椭圆E 交于A ,B 两点.若PB⃑⃑⃑⃑⃑ =12AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ，求直线l 的方程. 21．已知函数f(x)=(1−2a)lnx +ax 2+x . （I ）讨论f(x)的导函数f′(x)的零点个数；（II ）当a <0时，证明：f(x)<−2aln(1−12a )+a −34a .22．在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)，过点P (－2，－4)的直线l ： 22{ 4x y =-+=-+ (t 为参数)与曲线C 相交于M ，N 两点．(1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求实数a 的值． 23．已知函数f (x )＝|x －1|. (I) 解不等式f (2x )＋f (x ＋4)≥8； (II) 若|a |＜1，|b |＜1，a ≠0，求证：f(ab)|a |＞f(ba).2019届甘肃省兰州第一中学高三上学期期中考试数学（理）试题数学答案参考答案1．C【解析】【分析】先求集合M的补集，再与集合N求交集即可。
【详解】集合N为(1,+∞)，C U M为[0,2]，所以(∁U M)∩N为(1,2]，即{x|1<x≤2}，答案选C。
【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题。
在集合运算时，要注意运算的先后顺序，如本题中有括号，就应先算括号里面的补集运算，再算交集运算。
在运算时，可以借助数轴或图形，这样更直观，不易出错。
2．B【解析】【分析】结合命题、否命题、命题的否定的定义及复合命题的真假判断方法，依次判断即可。
【详解】命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的否命题是“若x2－3x＋2≠0，则x≠1”否命题，选项A错误；若p且q为假命题，则p、q至少有一个为假命题，选项C错误；对于一个命题有题设和结论两部分构成，选项D，显然不符合，故错误。
所以答案选B。
【点睛】本题考查了命题、否命题、命题的否定的定义及复合命题的真假判断，综合性较强，此类问题的关键是掌握其定义和判断方法。
3．B【解析】【分析】q是p的必要而不充分条件等价于{x|－2<x<4}⊂{x|(x＋2)(x＋a)<0}，建立不等式求解即可。
【详解】因为q是p的必要而不充分条件所以{x|－2<x<4}⊂{x|(x＋2)(x＋a)<0}，所以−a>4，即a∈(－∞，－4)，答案选B。
【点睛】本题考查了充分必要条件求参数范围，解此类问题的关键是将q和p之间的条件关系转化为相应集合间的包含关系，列出关于参数的不等式，使抽象问题直观化、复杂问题简单化，体现了等价转化思想的应用。
4．D【解析】【分析】根据条件f(0)＝2，f(－1)＝3，可求a=12，b=1，得到f(x)={log3x(12)x+1，最后代入即可。
【详解】因为f(0)＝2，f(－1)＝3，所以a0+b=2，a−1+b=3所以a=12，b=1，所以f(x)={log3x(12)x+1把x=−3代入，f(−3)＝9，所以f(f(－3))=f(9)=log39=2。
答案选D。
【点睛】本题考查了分段函数求值，属于基础题。
分段函数求值时，一定要先看定义域，再把自变量的值代入相应的解析式，如果含多层求值的，则由内向外，依次进行。
5．A【解析】【分析】先由诱导公式得到sinα＝－23，同角三角函数关系得cosα＝√53，再计算tan(2π－α)。
【详解】因为sin(π－α)＝－23第 1 页所以sinα＝－23，因为α∈(－π2，0)，所以cosα＝√1−sin2α=√53tan(2π－α)=−tanα=−sinαcosα=－23√53=2√55。
答案选A。
【点睛】本题考查了诱导公式，同角三角函数关系及三角函数在各象限内的符号等知识点，都属于基本知识，比较容易，但在求三角函数的值时，较容易出现符号错误，需要注意。
6．D【解析】【分析】根据y=Asin(ωx+φ)的性质，从周期、对称轴、零点和单调性分别讨论，即可得到结果。