(完整版)数列求和测试题练习题
高考数学数列求和选择题
高考数学数列求和选择题1. 已知数列{an}的通项公式为an=2n-1，求数列{an}的前n项和Sn。
2. 已知数列{bn}的通项公式为bn=3n^2+1，求数列{bn}的前n项和Tn。
3. 已知数列{cn}的通项公式为cn=4n^3-2n，求数列{cn}的前n 项和Un。
4. 已知数列{dn}的通项公式为dn=5n^4+3n^2，求数列{dn}的前n项和Vn。
5. 已知数列{en}的通项公式为en=6n^5-4n^3，求数列{en}的前n项和Wn。
6. 已知数列{fn}的通项公式为fn=7n^6+2n^4，求数列{fn}的前n项和Xn。
7. 已知数列{gn}的通项公式为gn=8n^7-3n^5，求数列{gn}的前n项和Yn。
8. 已知数列{hn}的通项公式为hn=9n^8+4n^6，求数列{hn}的前n项和Zn。
9. 已知数列{in}的通项公式为in=10n^9-5n^7，求数列{in}的前n项和An。
10. 已知数列{jn}的通项公式为jn=11n^10+3n^8，求数列{jn}的前n项和Bn。
11. 已知数列{kn}的通项公式为kn=12n^11-2n^9，求数列{kn}的前n项和Cn。
12. 已知数列{ln}的通项公式为ln=13n^12+n^10，求数列{ln}的前n项和Dn。
13. 已知数列{mn}的通项公式为mn=14n^13-3n^11，求数列{mn}的前n项和En。
14. 已知数列{on}的通项公式为on=15n^14+2n^12，求数列{on}的前n项和Fn。
15. 已知数列{pn}的通项公式为pn=16n^15-n^13，求数列{pn}的前n项和Gn。
16. 已知数列{qn}的通项公式为qn=17n^16+3n^14，求数列{qn}的前n项和Hn。
17. 已知数列{rn}的通项公式为rn=18n^17-4n^15，求数列{rn}的前n项和In。
18. 已知数列{sn}的通项公式为sn=19n^18+2n^16，求数列{sn}的前n项和Jn。
数列求和练习题
数列求与问题例1．求与：（1）)()2()1(2n a a a n -++-+- （2）)12)(12(1531311+-++⨯+⨯n n （3）)1(32112≠++++-x nx x x n例2．在等差数列{}n a 中，11a =，前n 项与n S 满足条件242,1,2,1n n S n n S n +==+，（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记(0)nan n b a p p =>，求数列{}n b 的前n 项与n T 。
例3．正项数列}{n a 的前n 项与为n S ，且.12+=n n a S (公差为2) （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设.21:,}{,11<⋅=+n n n n n nT T n b a a b 求证项和为的前数列四、练习题：1．数列}{n a 的通项公式是)(11+∈++=N n n n a n ，若它的前n 项与为10，则其项数n 为A ．11B ．99C ．120D ．1212．数列 ,211,,3211,211,1n ++++++的前n 项与为 A ．122+n n B ．12+n n C ．12++n n D ．12+n n3．数列}{n a 的通项是14-=n a n ，na a ab nn +++= 21，则数列}{n b 的的前n 项与为4．已知数列}{n a 的前n项与为142+-=n n S n ，则||||||||10321a a a a ++++ 的值是5．设221)(+=x x f ，利用课本中推导等差数列前n 项与公式的方法，可求)0()4()5(f f f ++-+- )6()5(f f ++的值为A ．23B ．2C ．22D ．22 6．22222212979899100-++-+- 的值是 7．数列 ,21)12(,,815,413,211n n +-的前n 项与为n S ，则=n S 8．在等比数列}{n a 中，1221-=+++n n a a a ，则=+++22221n a a a 9．数列2211,(12),(122),,(1222),n -+++++++的通项公式n a = ，前n 项与n S = .10．若数列{}n a 满足 12a =，1(1)2n n na n a +-+=，则数列{}n a 的通项公式n a =___13．已知数列}{n a 是等差数列，其前n 项与为.621,33=⋅=S a S n （I ）求数列}{n a 的通项公式； （II ）求与：nS S S 11121+++ . 6，1214．设数列}{n a 的前n 项与为22n S n =，}{n b 为等比数列，且.)(,112211b a a b b a =-=（Ⅰ）求数列}{n a 与}{n b 的通项公式； （Ⅱ）设nnnb ac =，求数列}{n c 的前n 项与n T .15. 设数列{}n a 的前n 项与为n S ，且对任意正整数n ，4096n n a S +=。
高三数学数列求和练习题
高三数学数列求和练习题假设有一位名叫小明的高三学生，他正在备战数学考试。
最近，他对数列的求和问题感到十分困惑，因此他向老师请教，老师给了他以下一些练习题。
下面，我们来一起解决这些题目，帮助小明理解数列求和的方法。
练习题一：等差数列求和已知等差数列的首项为a₁，公差为d，请计算这个等差数列的前n 项和Sn。
1. a₁ = 3，d = 2，n = 102. a₁ = -2，d = 4，n = 153. a₁ = 0，d = -3，n = 8解答：对于等差数列来说，可以使用求和公式Sn = n(a₁ + an)/2来计算前n项和。
其中，an表示等差数列的第n项。
1. a₁ = 3，d = 2，n = 10根据公式，代入数据计算得到：Sn = 10(3 + a₁ + 2(n-1))/2= 10(3 + 3 + 2(10-1))/2= 10(6 + 18)/2= 10(24)/2= 1202. a₁ = -2，d = 4，n = 15代入数据计算得到：Sn = 15(-2 + a₁ + 4(15-1))/2= 15(-2 + -2 + 4(14))/2= 15(-4 + 56)/2= 15(52)/2= 3903. a₁ = 0，d = -3，n = 8代入数据计算得到：Sn = 8(0 + a₁ + -3(8-1))/2= 8(0 + 0 + -3(7))/2= 8(0 - 21)/2= 8(-21)/2= -84练习题二：等比数列求和已知等比数列的首项为a₁，公比为q，请计算这个等比数列的前n 项和Sn。
2. a₁ = 4，q = -2，n = 63. a₁ = -6，q = 0.5，n = 7解答：对于等比数列来说，可以使用求和公式Sn = a₁(1 - q^n)/(1 - q)来计算前n项和。
1. a₁ = 2，q = 3，n = 5根据公式，代入数据计算得到：Sn = 2(1 - 3^5)/(1 - 3)= 2(1 - 243)/(-2)= 2(-242)/(-2)= 2422. a₁ = 4，q = -2，n = 6代入数据计算得到：Sn = 4(1 - (-2)^6)/(1 - (-2))= 4(1 - 64)/3= 4(-63)/3= -84代入数据计算得到：Sn = -6(1 - 0.5^7)/(1 - 0.5)= -6(1 - 0.0078125)/0.5= -6(0.9921875)/0.5= -11.859375通过解答以上练习题，我们可以得出结论：数列求和可以通过特定的公式来计算，对于等差数列可以使用Sn = n(a₁ + an)/2，对于等比数列可以使用Sn = a₁(1 - q^n)/(1 - q)。
经典的数列通项公式与数列求和练习题(有答案)
经典的数列通项公式与数列求和练习题（有答案）一、斐波那契数列斐波那契数列是最经典的数列之一，它的通项公式为：$$F(n) = F(n-1) + F(n-2)$$其中 $F(1) = 1$，$F(2) = 1$。
以下是一些关于斐波那契数列的练题：练题1：求斐波那契数列的第10项。
解答：根据通项公式进行递归计算，得出第10项为34。
练题2：求斐波那契数列的前20项的和。
解答：利用循环计算斐波那契数列的前20项，并将每项相加得到总和为6765。
二、等差数列等差数列是一种常见的数列类型，它的通项公式为：$$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$$其中 $a_1$ 是首项，$d$ 是公差。
以下是一些关于等差数列的练题：练题1：已知等差数列的首项 $a_1 = 3$，公差 $d = 5$，求该数列的前10项。
解答：根据通项公式，将$a_1$ 和$d$ 代入，依次计算出前10项为：3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48。
练题2：已知等差数列的首项 $a_1 = 2$，公差 $d = -4$，求该数列的前15项的和。
解答：根据通项公式和等差数列前n项和的公式，将 $a_1$、$d$ 和$n$ 代入，计算出前15项的和为：-420。
三、等比数列等比数列是另一种常见的数列类型，它的通项公式为：$$a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)}$$其中 $a_1$ 是首项，$q$ 是公比。
以下是一些关于等比数列的练题：练题1：已知等比数列的首项 $a_1 = 2$，公比 $q = 3$，求该数列的前8项。
解答：根据通项公式，将 $a_1$ 和 $q$ 代入，依次计算出前8项为：2, 6, 18, 54, 162, 486, 1458, 4374。
练题2：已知等比数列的首项 $a_1 = 5$，公比 $q = \frac{1}{4}$，求该数列的前12项的和。
解答：根据通项公式和等比数列前n项和的公式，将 $a_1$、$q$ 和$n$ 代入，计算出前12项的和为 $\frac{5}{1 - \frac{1}{4}} =\frac{20}{3}$。
千题百炼- 数列求和综合必刷100题(原卷版)
专题14 数列求和综合必刷100题任务一:善良模式(基础)1-30题一、单选题1．已知数列{}n a 满足13a =，()111n n a a n n +=++，则n a =（ ）A ．14n +B ．14n -C ．12n +D ．12n-2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，121()n n a a n n N +++=+∈，则数列1{}nS 的前2020项的和为（ ） A ．20202021B ．40402021C ．40392020D ．404120223．数列1，1＋2，1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n －1，…的前99项和为（ ） A ．2100－101 B ．299－101C ．2100－99D ．299－994．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2n S n =，记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，*n N ∈.则使得20T 的值为（ ） A ．1939B ．2041C ．3839D ．40415．已知数列{a n }满足：a n +1=a n -a n -1（n ≥2，n ∈N *），a 1=1，a 2=2，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2021=（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．06．正项数列{}n a 满足11a =，211(2)30(1,)nn n n a a a a n n N ---+--=>∈，则133520192021111a a a a a a +++=（ ）A ．12003534B ．10106061C ．12202021D ．202054617．化简221(1)2(2)2222n n n S n n n --=+-⨯+-⨯++⨯+的结果是（ ）A ．122n n ++-B ．122n n +-+C ．22n n --D ．122n n +--8．已知数列{}n a 中，*111,34(,2)n n a a a n N n -==+∈≥，求数列{}n a 的前n 项和n S 为（ ）A ．13232n n n S +--=B ．13232n n n S ++-=C ．13432n n n S +--=D ．1332n n S +-=9．等比数列{}n a 中，12a =，2q ，数列()()111nn n n a b a a +=--，{}n b的前n 项和为n T ，则10T 的值为（ ） A ．40944095B ．20462047C ．10221023D ．51051110．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2n S n =，记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，*n ∈N ．则使得2041n T <成立的n 的最大值为（ ） A ．17 B ．18C ．19D ．20第II 卷（非选择题）二、填空题11．数列{}n a 是首项和公差都为1的等差数列，其前n 项和为n S ，若n T 是数列12n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，则99T =______12．已知数列{}n a 的通项公式*21log ()2n n a n N n +=∈+，设其前n 项和为n S ，则使3n S ≤-成立的最小的自然n 为__________.13．已知数列{}n a 满足()*2n n a a n n N ++=∈，则{}n a 的前20项和20S =________．14．已知正项数列{}n a 满足11a =，2+11(2)30,(2,)n n n n a a a a n n N ---+--=≥∈，则122320002021111a a a a a a +++=___________.15．设数列{}n a 满足12(1)n n a a n +=++，*n ∈N ，12a =，则数列{}(1)nn a -的前50项和是________．16．设4()42xx f x =+，则12320192020202020202020f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭__________.17．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且341,1S S ==-，且()*32n n a a n N +=∈，则2017S =___________.18．在数列{}n a 中，12a =，且1n 1n 2(2)n n n a a n a a --+=+≥-，则数列21242n n a a ⎧⎫⎨⎬-+⎩⎭的前2021项和为__________.19．已知数列1111,,,121231234++++++，……，则该数列的前10项和为__________．20．已知数列{}n a 满足11a =且()1231111123n n a a a a a n N n*+++++=-∈，数列{}2n n a 的前n 项为n S ，则不等式30n n S a ≥最小整数解为________.三、解答题21．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =，点()1,n n S S +在直线()11n y x n n N n*+=++∈上. （1）求证：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）若数列{}n b 满足122n a n b n -=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .22．已知数列{}n a 为等差数列，公差10,5d a ≠=，且1a ，6a ，21a 依次成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若335n S =，求n 的值.23．在等差数列{}n a 中，2414a a +=，135736a a a a +++=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令21n n b a =-，求数列{}2n n b b +的前n 项和n T ．24．已知数列{}n a 满足316a =，121nn n a a a +=+. （1）求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若 ，求数列{}n b 的前n 项和n T . 在（①1n n n b a a +=；②()1nnnb a =-；③113nan n b a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭三个条件中选择一个补充在第（2）问中，并对其求解，如果多写按第一个计分）25．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且141n n n S a a +=+，11a =.数列{}n b 满足11b =，1n n n b b a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明：1231111++++≥nb b b b26．已知{}n a 是等比数列，0n a >，且223a =，6542a a a -=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．27．已知公差不为0的等差数列{}n a 满足35a =，且125,,a a a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明12n T <．28．已知数列{}n a 满足11a =，132n n a a +=+，*n N ∈．数列{}n b 满足11b =，11n n n S n S b n +-=+++，其中n S 为数列{}n b 是前n 项和．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）令()()21n n n b n c n a +=+，求数列{}n c 的前n 项和n T ，并证明：1524n T ≤<．29．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，111,1(*)n n a a S n N +==+∈，数列{}n b 满足11b =，12n n n b a b +=+． （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）若数列{}n c 满足1nn n n a c b b +=，求证：1212n c c c +++<．30．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，1122,,,n n n a a a a ++=-成等差数列．等差数列{n b }满足121b a =+，523233b b a -=-．（1）求数列{n a }，{n b }的通项公式;（2）设数列1(21)n n b ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为Tn ，证明： 16n T <任务二:中立模式(中档)1-40题一、单选题1．已知数列{}n a 满足12a =，23a =且*21(1),n n n a a n N +-=+-∈，则该数列的前9项之和为（ ）A ．32B ．43C ．34D ．352．数列{}n a 满足143a =，()2*11n n n a a a n N +-=-∈，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则（ ） A ．202112S << B ．202123S << C ．202134S << D ．202145S <<3．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，()112322n n n a a n ---=⋅≥，且1232a a =.记n T 为数列1nn a S ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和，若对任意*n ∈N ，n T m <，则m 的最小值为（ ） A ．3 B ．13C ．2D ．124．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，()112n n n na S S +-=，则2021S =（ ） A ．1009132+ B ．1009132- C ．1010132+D ．1010132-5．数列{}n a 是正项等比数列，满足14+=nn n a a ，则数列2211log log n n a a +⋅⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T =（ ）A ．421nn + B ．421nn - C ．21nn + D ．21nn -6．数列{}n a 满足11a =，且11n n a a a n +=++（*n ∈N ），则122017111a a a ++⋅⋅⋅+=（ ）A ．20171009B ．40322017C ．40282015D ．201510087．设数列{}n a 满足113,34n n a a a n +==-，若21485n n n n n b a a +++=，且数列{}n b 的前n 项和为n S ，则n S =（ ） A ．2169n n ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭B ．42369n n ++C ．1169n n ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭D ．2169n n ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭8．已知函数4()42xx f x =+，数列{}n a 满足2020n n a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则数列{}n a 的前2019项和为（ ）A ．20192B ．1010C ．20212D ．10119．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且112a =，1112122n n n n S S +++-=-．若2log n nb T =-，则数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n A 为（ ） A ．21nn + B ．2n n + C ．12nn + D ．132n +10．数列{}n b 满足11122n n n b b ++=+﹐若112b =，则{}n b 的前n 项和为（ ） A ．1212n n ++- B ．1112n n ++- C ．222nn +-D ．13322n n ++-11．已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列.令21n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若对于*n N ∀∈，不等式n T λ<恒成立，则实数λ的取值范围是（ ） A ．13λ≥ B ．15λ>C ．15λ≥D ．0λ>12．已知数列{}n a 满足()2*11n n n a a a n N +=-+∈，设12111n n S a a a =+++，且10910231a S a -=-，则数列{}n a 的首项1a 的值为（ ） A ．23B ．1C ．32D ．213．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，*1(1),N 2n n n n S a n =--∈，则12100S S S +++=（ ）A ．10011132⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ B ．9811132⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦C ．5011132⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦D ．4911132⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦14．正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2*2n n n S a a n N =+∈，设()2112nn n na c s +=-，则数列{}n c 的前2020项的和为（ ） A ．20192020- B ．20202019-C ．20202021-D ．20212020-第II 卷（非选择题）二、填空题15．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n n S a a =+.若21(1)2n n nn b S +=-，则数列{}n b 的前2021项和为___________.16．已知数列{}n a 的各项均为正数，13a =，()2*116n n n na a a n a ++=+∈N ，()()1211n n n n ab a a +=++，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若n S λμ<<对任意正整数n 都成立，则λμ-的取值范围是___________.17．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，满足11S =，12n n nS S n +=+，其中*n N ∈，数列{}n S 的前n 项和为n T ，则20T =___________.18．已知正项数列{}n a 满足12a =且221120n n n n a a a a ++--=，令()2527n n b n a =+-，则数列{}n b 的前7项的和等于___________.19．已知21n a n =+，记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，且对于任意的*n N ∈，11n n a T t +≤，则实数t 的最大值是________.20．数列{}n a 且21,212sin ,24n n k n na n n k π⎧=-⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩()k N *∈，若n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2021S =__________.21．用()T n 表示正整数n 所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1，3，9，则()99T =，10的因数有1，2，5，10，则()105T =．计算()2021(1)(2)(3)21T T T T ++++-=________．22．已知数列{}n a 满足()232113521n a a a a n n +++⋅⋅⋅+=+-，则n a =___________；若1n n b a =，则数列{}n b 的前n 项和n S =___________.23．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1n n a S +=，则812128S S S a a a +++=______________．24．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点,31n S n n ⎛⎫ ⎪+⎝⎭在直线12y x =上．若()1nn n b a =-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则满足20n T ≤的n 的最大值为________．25．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且()212n n nS S a n -+=≥，设()()121nn nna b S -+=，则数列{}n b 前n 项和的取值范围为_________．26．已知数列{}n a 满足：11a =，213a =，1121216n n n n b b b b a a a a +-+++=+(2n ≥且n ∈+N )，等比数列{}n b 公比2q，令1,,n n nn a c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，则数列{}n c 的前n 项和2n S =___________.27．已知数列{}n a 与{}n b 前n 项和分别为n S ，n T ，且20,2,n n n n a S a a n *>=+∈N ，()()112122n n n n n n b a a +++=++，则6T =________．三、解答题28．数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，24a =，()()21n n S n a n N *=+∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若()11611n n n n n c a a ++-=-，求数列{}n c 的前2n 项和2n T .29．已知各项均为正数的无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，()()()*1112n n n n nS n S n ++=++∈N .（1）证明数列{}n a 是等差数列，并求出{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足112b =，()*12n n n n b b b n a +=+∈N .设数列{}n c 满足2n n n b c S +=，证明：1212n c c c ++⋅⋅⋅+<.30．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 是各项均为正数的等比数列，28b =，1334b b -=. （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）在①420S =，②332S a =，③3423a a b -=，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.问题：已知14a b =，___________，是否存在正整数k ，使得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前k 项和1516k T >？若存在，求k的最小值；若不存在，说明理由.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）31．在①39S =，520S =；②公差为2，且1S ，2S ，4S 成等比数列；③238n S n n =+；三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．问题：已知数列{}n a 为公差不为零的等差数列，其前项和为n S ，______． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令[]2log n n c a =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，求1220c c c ++⋅⋅⋅+的值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．32．在∈21,323;n n n a n b T =-=+∈222,n n n n n S n a b a S =+=这两组条件中任选一组，补充在下面横线处，并解答下列问题．已知数列的{}n a 前n 项和是,n S 数列{}n b 的前n 项和是n T ，__________． （1）求数列{},{}n n a b 的通项公式； （2）设,nn na cb =证明：123 1.nc c c c ++++<33．在①22n n S a =-；②314S =；③3S ，22S +，1S 成等差数列这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．问题：数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，前n 项和为n S ，12a =且______． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）2,log ,n n na nb a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．34．已知数列{}n a 中，11a =，131n n a a +=+.（1）求证：12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足()1312n n n n n b a +=-⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若不等式(1)2nn n n T λ-<+对一切*N n ∈恒成立，求λ的取值范围.35．已知{}n a 为等比数列，124a a +=，记数列{}n b 满足31log n n b a +=，且11n n b b +-=. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）对任意的正整数n ，设(1)()n bn n n c a b =-+，求{}n c 的前n 项的和n S .36．设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()2144n n a S +=+.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令124n n n n b a a a ++=，若数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：4110515n T ≤<.37．已知数列{}n a 的前n 项和为n S .若11a =，且*1)n a n N +∈ （1）求n S ； （2）设()*24n n n nb n N S S +=∈⋅，记数列{}n b 的前n 项和为n T .证明：32n T <.38．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3117,143a S ==． （1）求{}n a 的通项公式以及n S ； （2）求使不等式121112542n S S S +++≥成立的最小值n ．39．设数列{}n a 前n 项和为n S ，11a =，11n n a S +-=（n *∈N ）. （1）求出{}n a 通项公式；（2）若()11,?2,? n n n n n b n n a +⎧⎪+⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .40．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知111,1n n a S a +=-=-. （1）求{}n a 通项公式；（2）对任意的正整数n ，设 212321221,log log log 2,n n n n n n k k N a a c a n k k N a +++++⎧=-∈⎪⋅⎪=⎨⎪=∈⎪⎩，，，求数列{}n c 的前2n 项和.任务三:邪恶模式(困难)1-30题一、单选题1．已知数列{}n a 满足11a =，()2211nn n a a -=+-，2123nn n a a +=+（*N n ∈），则数列{}n a 的前2017项的和为（ ） A ．100332005- B ．201632017- C ．100832017- D ．100932018-2．已知数列{}n a 满足0n a >，其前n 项和2234n n n a a S +-=，数列{}n b 满足()1111n n n n n b a a +++=-，其前n 项和为n T ，若2n T nλ>对任意n *∈N 恒成立，则实数λ的取值范围是（ ）A ．1,21⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．1,15⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．4,33⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．4,21⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭3．已知等比数列{}n a 满足516a =，434a a -=，若n n b na =，n S 是数列{}n b 的前n 项和，对任意*n ∈N ，不等式1n n S mb -≤恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．[)4,+∞ B ．[)3,+∞C ．[)2,+∞D ．[)1,+∞4．设[]x 为不超过x 的最大整数，n a 为[][)()x x x 0,n ⎡⎤∈⎣⎦可能取到所有值的个数，n S 是数列n 1a 2n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭前n 项的和，则下列结论正确个数的有( ) （1）3a 4=（2）190是数列{}n a 中的项 （3）105S 6=（4）当n 7=时，n a 21n+取最小值 A ．1个B ．2个C ．3个D ．45．设数列{}n a 的前n 项积()1n n T a n *=-∈N ，记22212n n S T T T =++⋅⋅⋅+，求1n n S a +-的取值范围是（ ）．A ．11,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．17,218⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．57,1218⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．51,123⎡⎫--⎪⎢⎣⎭6．已知n S 数列{}n a 的前n 项和，1a λ=，且21(1)n n n a a n ++=-，若201920192101020192019S a μ-=-，（其中,0λμ>），则20191λμ+的最小值是（ ）A．B ．4C．D ．20187．数列{}n a 满足11a =，21n n a a n --=（*n N ∈且2n ≥），数列{}21n a -为递增数列，数列{}2n a 为递减数列，且12a a >，则99a =（）． A ．4950- B ．4851- C ．4851 D ．49508．已知数列{}n a 中，12a =，若21n n n a a a +=+，设1212222111m m m a a a S a a a =++⋅⋅⋅++++，若2020m S <，则正整数m 的最大值为（ ）A ．1009B ．1010C ．2019D ．20209．已知数列{}n a 满足1212a a ++…2*1()n a n n n N n+=+∈，设数列{}n b 满足：121n n n n b a a ++=,数列{}n b 的前n 项和为n T ，若*()1n nT n N n λ<∈+恒成立，则λ的取值范围是 A ．1(,) 4+∞B ．1[,) 4+∞C ．3[,) 8+∞D ．3(,)8+∞10．艾萨克·牛顿（1643年1月4日——1727年3月31日）英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数()f x 零点时给出一个数列{}n x ：满足()()1n n n n f x x x f x +=-'，我们把该数列称为牛顿数列.如果函数2()f x ax bx c =++（0a >）有两个零点1，2，数列{}n x 为牛顿数列，设2ln1n n n x a x -=-，已知11a =，2n x >，{}n a 的前n 项和为n S ，则20181S +等于A ．2018B ．2019C ．20182D ．2019211．已知1x =是函数3212()1n n n f x a x a x a x ++=--+()*n ∈N 的极值点，数列{}n a 满足11a =，22a =，记21log n n b a +=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122320182019201820182018b b b b b b ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦（ ）A ．2017B ．2018C ．2019D ．202012．设[]x 表示不超过x 的最大整数，已知数列{}n a 中，12a =，且1(1)n n n a a a +=+，若1212[]100111nn a a aa a a +++=+++，则整数n = A ．99 B ．100 C ．101 D ．102第II 卷（非选择题）二、填空题13．已知数列{}n a 满足：11a =，213a =，1121216n n n n b b b b a a a a +-+++=+(2n ≥且n ∈+N )，等比数列{}n b 公比2q ，则数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S =___________.14．各项均为正数的等比数列{}n a ，满足234lg lg lg a a a +=，且2a ，31a +，4a 成等差数列，数列{}n b 满足11b =，数列(){}1n n n b b a +-的前n 项和2n S n =，则n b =______.15．已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1a ，2a ，5a 成等比数列，253S a =，数列{}n b 满足()()11211n n n n n a b a a +++=-，前n 项和为n T ，则510T T +=_________.16．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若201820202019S S S <<，设12n n n n b a a a ++=，则数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T 取最大值时n 的值为______________17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足11a =，3()()n n S n m a m R =+∈，且15n n a b =．若对*n N ∀∈，n T λ>恒成立，则实数λ的最小值为____________．18．已知函数()02,2,2x f x f x x ≤<=-≥⎪⎩若对于正数()*n k n N ∈，直线n y k x =与函数()y f x =的图象恰有21n 个不同的交点，则数列{}2n k 的前n 项和为________.19．数列{}n a 满足132a =，211n n n a a a +=-+()N n +∈，则122019111m a a a =++⋯+的整数部分是___________.20．设()P n 表示正整数n 的个位数字,记()()()32n P n P n ψ=-,M 是(){}n ψ的前4038项的和,函数()1ln 1f x x x=++,若函数()g x 满足()2282Mx Mx f g x Mx Mx ⎡⎤---=⎢⎥+⎣⎦,则数列(){}g n 的前2020项的和为________.21．已知正项数列{}n a 满足()()22112120n n n n n a n a a na +++++⋅-=，14a =，则数列()()12n a n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⋅+⎪⎪⎩⎭的前n 项和为___________．22．已知数列{}n a 满足112(1)0,4n n n a na a ++-==，则数列(1)(2)na n n ⎧⎫⎨⎬++⎩⎭的前n 项和为___________.23．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，若1(1)2n n n nS a =-+，则1211S S S ++⋯+=_____.24．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，318a a -=，当4a 取最小值时，则数列2{}n na 的前n 项和为__________．三、解答题25．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，5462,,4a a a 成等差数列，且满足2434a a =，数列{}n b 的前n 项和*1,N 2n n n S b n +=∈，且11b =. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设,21(N ),2(N )n n nb n k kc a n k k **⎧=-∈=⎨=∈⎩，求数列{}n c 的前n 项和n P .26．已知数列{}n a 是正项．．等差数列，11a =，且12a a ≠.数列{}n b满足)n b n +∈N ，数列{}n b 前n 项和记为n S ，且()111124n n n S S n b +++⎛⎫+=-∈ ⎪⎝⎭N .（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）若数列{}n c 满足11n n nc a a +=⋅，其前n 项和记为n T ，试比较n S 与n T 的大小.27．已知正项数列{}n a 的首项11a =，其前n 项和为n S ，且12n n n a a S +=.数列{}n b 满足：1n a +(b 1+ b 2)n n b a ++=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记*n c n N =∈122n c c c <+++<.28．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，52a ，4a ，64a 成等差数列，且满足2434a a =，数列{}n S 的前n 项之积为n b ，且121n nS b +=．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设nn nb c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ． （3）设21n n n n n b a d b b ++⋅=⋅，若数列{}n d 的前n 项和n M ，证明：71303n M ≤<．29．已知函数()1ln f x x a x =--. （1）若()0f x ≥，求a 的值；（2）证明：2222ln 2ln 3ln 21(,2)234(1)n n n n N n n n --++⋅⋅⋅+<∈≥+.30．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()2*2(21)2n n S n a n n N =+-∈，数列{}n b 满足11b a =，1n n n nb a b +=.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n c 满足：14c =，()*1n n n n a c c n N b +=-∈，若不等式()*392n n n c n N λ++≥∈恒成立，求实数λ的取值范围.。
(完整版)数列求和习题及答案
(完整版)数列求和习题及答案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN§6.4 数列求和（时间：45分钟 满分：100分）一、选择题(每小题7分，共35分)1．在等比数列{a n } (n ∈N *)中，若a 1＝1，a 4＝18，则该数列的前10项和为( )A ．2－128 B ．2－129 C ．2－1210D ．2－12112．若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和为( )A ．2n ＋n 2－1B ．2n ＋1＋n 2－1 C ．2n ＋1＋n 2－2D ．2n ＋n －23．已知等比数列{a n }的各项均为不等于1的正数，数列{b n }满足b n ＝lg a n ，b 3＝18，b 6＝12，则数列{b n }的前n 项和的最大值等于( ) A ．126B ．130C ．132D ．1344．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( )A ．200B ．－200C ．400D ．－4005．数列1·n ,2(n －1),3(n －2)，…，n·1的和为( )A.16n(n ＋1)(n ＋2)B.16n(n ＋1)(2n ＋1)C.13n(n ＋2)(n ＋3)D.13n(n ＋1)(n ＋2) 二、填空题(每小题6分，共24分)6．等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝________.7．已知数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n 之间满足关系式S n ＝2－3a n ，则a n ＝__________.8．已知等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝81，若数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n项和S n ＝________.9．设关于x 的不等式x 2－x<2nx (n ∈N *)的解集中整数的个数为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 100的值为________． 三、解答题(共41分)10．(13分)已知数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，对于任意的n ∈N *满足关系式2S n ＝3a n －3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }的通项公式是b n ＝1log 3a n ·log 3a n ＋1，前n 项和为T n ，求证：对于任意的正数n ，总有T n <1.11．(14分)已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n ＋n·2n ＋1>50成立的最小正整数n 的值．12．(14分)已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d>0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1n (a n ＋3) (n ∈N *)，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，是否存在最大的整数t ，使得对任意的n 均有S n >t36总成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．答案 1.B 2.C 3.C4.B5.A6. 13(4n －1)7. 12⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －18.n n ＋19.10 10010. (1)解 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝3a n －3，2S n －1＝3a n －1－3(n ≥2)．故2(S n －S n －1)＝2a n ＝3a n －3a n －1，即a n ＝3a n －1 (n ≥2)． 故数列{a n }为等比数列，且公比q ＝3.又当n ＝1时，2a 1＝3a 1－3，∴a 1＝3.∴a n ＝3n . (2)证明 ∵b n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1<1.11解 (1)设此等比数列为a 1，a 1q ，a 1q 2，a 1q 3，…，其中a 1≠0，q ≠0.由题意知：a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝28， ① a 1q ＋a 1q 3＝2(a 1q 2＋2)．②②×7－①得6a 1q 3－15a 1q 2＋6a 1q ＝0， 即2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2或q ＝12.∵等比数列{a n }单调递增，∴a 1＝2，q ＝2，∴a n ＝2n . (2)由(1)得b n ＝－n·2n ，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝－(1×2＋2×22＋…＋n·2n )．设T n ＝1×2＋2×22＋…＋n·2n ，③ 则2T n ＝1×22＋2×23＋…＋n·2n ＋1.④由③－④，得－T n ＝1×2＋1×22＋…＋1·2n －n·2n ＋1 ＝2n ＋1－2－n·2n ＋1＝(1－n)·2n ＋1－2， ∴－T n ＝－(n －1)·2n ＋1－2.∴S n ＝－(n －1)·2n ＋1－2.要使S n ＋n·2n ＋1>50成立，即－(n －1)·2n ＋1－2＋n·2n ＋1>50，即2n >26.∵24＝16<26,25＝32>26，且y ＝2x 是单调递增函数， ∴满足条件的n 的最小值为5.12解 (1)由题意得(a 1＋d)(a 1＋13d)＝(a 1＋4d)2，整理得2a 1d ＝d 2.∵a 1＝1，解得d ＝2，d ＝0(舍)． ∴a n ＝2n －1 (n ∈N *)．(2)b n ＝1n (a n ＋3)＝12n (n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝n 2(n ＋1).假设存在整数t 满足S n >t36总成立，又S n ＋1－S n ＝n ＋12(n ＋2)－n 2(n ＋1)＝12(n ＋2)(n ＋1)>0，∴数列{S n }是单调递增的．∴S 1＝14为S n 的最小值，故t 36<14，即t<9. 又∵t ∈Z ，∴适合条件的t 的最大值为8.。
数列求和综合练习题(含答案)
数列求和综合练习题一、选择题1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11++=n n a n ，10n S =，则=n （ ）A ．90B ．121C ．119D ．1202．已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（ ） A.172 B.192C.10D.12 3．数列{}n a 中,1160,3n n a a a +=-=+，则此数列前30项的绝对值的和为 ( )A.720B.765C.600D.630 4．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1(1)n a n n =+，则6S 等于( )A ．142 B ．45 C ．56 D ．675．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2·a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( ) A.12 B.314 C.172 D.1526．设是等差数列的前项和，已知，则等于 ( )A. 13B. 35C. 49D. 637．等差数列的前n 项和为= ( ) A ．18 B ．20 C ．21D ．228．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且336,0S a ==，则公差d 等于（ ） A.1- B.1 C.2- D.29．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111-=a ，664-=+a a ，则当n S 取最小值时，n 等于（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 10．在等差数列中，已知，则该数列前11项的和等于（ ）A ．58B ．88C ．143D ． 17611．已知数列}{n a 的前n 项和为)34()1(2117139511--++-+-+-=+n S n n ,则312215S S S -+的值是（ ）A ．-76B ．76C ．46D ．1312．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1，a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝2，S n ＝15，则项数n 为( ) A ．12 B ．14 C ．15 D ．1613．等差数列{}n a 中，若14739a a a ++=，36927a a a ++=，则{}n a 的前9项和为( ) {}n a 5128,11,186,n S a S a ==则{}n a 4816a a +=11S二、解答题14．已知数列{}n a 的前n 项和()2*,n S n n N =∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 是等比数列，公比为()0q q >且11423,b S b a a ==+，求数列{}n b 的前n 项和n T .15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且93=S ，731,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 的公差不为0，数列{}n b 满足nn n a b 2)1(-=，求数列{}n b 的前n 项和n T .16．设数列{}n a 的前n 项和122nn S ，数列{}n b 满足21(1)log n nb n a =+．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和n T ．17．已知数列}{n a 的各项均为正数，n S 是数列}{n a 的前n 项和，且3242-+=n n n a a S ． （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）n n n nn b a b a b a T b +++== 2211,2求已知的值．18．已知数列}{n a 的前n 项和nn S 2=，数列}{n b 满足)12(,111-+=-=+n b b b n n ()1,2,3,n =．（1）求数列}{n a 的通项n a ； （2）求数列}{n b 的通项n b ； （3）若nb ac nn n ⋅=，求数列}{n c 的前n 项和n T ．19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n n S n +=2.（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）若*)(,1211N n a a a b n n n n ∈-+=+求数列}{n b 的前n 项和n S .20．已知数列{a n }的前n 项和2n n S a =-，数列{b n }满足b 1=1，b 3+b 7=18，且112n n n b b b -++=（n ≥2）.（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）若nnn a b c =，求数列{c n }的前n 项和T n.21．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，数列}1{+n S 是公比为2的等比数列，2a 是1a 和3a 的等比中项. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）求数列{}n na 的前n 项和n T .22．设数列{}n a 满足11=a )(211*+∈=-N n a a n n n （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n S三、填空题23．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若11a =，34a =，则2________;a =此数列的其前n 项和__________.n S =24．已知等差数列{}n a 中，52=a ，114=a ，则前10项和=10S ．25．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知488,12,S S ==则13141516a a a a +++的值为 ． 26．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,且3613S S =，则912S S = ．27．等差数列{}n a 中，10120S =，那么29a a += ．28．[2014·北京海淀模拟]在等比数列{a n }中，S n 为其前n 项和，已知a 5＝2S 4＋3，a 6＝2S 5＋3，则此数列的公比q ＝________.29．在等差数列}{n a 中，5,142==a a ,则}{n a 的前5项和5S = . 30．已知等差数列{}n a 中，已知8116,0a a ==，则18S =________________.31．已知等比数列的前项和为，若，则的值是 .32．已知{a n }是等差数列，a 1=1，公差d≠0，S n 为其前n 项和，若a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 8= _________ ． 33．数列{}n an 项和为9n S =，则n =_________．34．[2014·浙江调研]设S n 是数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝1，a n ＝－S n ·S n －1(n≥2)，则S n ＝________.}{n a n n S 62,256382-==S a a a a 1a参考答案1．D【解析】n n n n a n -+=++=111 ，()()111...23)12(-+=-+++-+-=∴n n n S n ，1011=-+n ，解得120=n ．【命题意图】本题考查利用裂项抵消法求数列的前n 项和等知识，意在考查学生的简单思维能力与基本运算能力． 2．B 【解析】试题分析：∵公差1d =，844S S =，∴11118874(443)22a a +⨯⨯=+⨯⨯，解得1a =12，∴1011199922a a d =+=+=，故选B. 考点：等差数列通项公式及前n 项和公式3．B 【解析】试题分析：因为13n n a a +=+，所以13n n a a +-=。
数列求和 经典练习题(含答案解析)
1.在等差数列{a n }中，已知a 6＋a 9＋a 12＋a 15＝34，求前20项之和．解法一 由a 6＋a 9＋a 12＋a 15＝34 得4a 1＋38d ＝34＝20a 1＋190d＝5(4a 1＋38d)=5×34=170由等差数列的性质可得：a 6＋a 15=a 9＋a 12＝a 1＋a 20 ∴a 1＋a 20=17 S 20＝1702.已知等差数列{a n }的公差是正数，且a 3·a 7=－12，a 4＋a 6=－4，求它的前20项的和S 20的值．解法一 设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＞0，由已知可得由②，有a 1＝－2－4d ，代入①，有d 2=4 再由d ＞0，得d ＝2 ∴a 1=－10最后由等差数列的前n 项和公式，可求得S 20＝180 解法二 由等差数列的性质可得： a 4＋a 6＝a 3＋a 7 即a 3＋a 7＝－4 又a 3·a 7=－12，由韦达定理可知： a 3，a 7是方程x 2＋4x －12＝0的二根 解方程可得x 1=－6，x 2＝2又＝＋×S 20a d 20120192解法二 S =(a +a )202=10(a a )20120120×＋(a 2d)(a bd)12 a 3d a 5d = 41111＋＋＝－①＋＋＋－②⎧⎨⎩∵ d ＞0 ∴{a n }是递增数列 ∴a 3＝－6，a 7=23. 等差数列{a n }的前n 项和S n ＝m ，前m 项和S m ＝n(m ＞n)，求前m ＋n 项和S m+n ．解法一 设{a n }的公差d 按题意，则有=－(m ＋n)解法二 设S x ＝Ax 2＋Bx(x ∈N)①－②，得A(m 2－n 2)＋B(m －n)＝n －m ∵m ≠n ∴ A(m ＋n)＋B=－1 故A(m ＋n)2＋B(m ＋n)＝－(m ＋n) 即S m+n ＝－(m ＋n)4.设x ≠y ，且两数列x ，a 1，a 2，a 3，y 和b 1，x ，d =a =2a 10S 1807120--a 373，＝－，＝S na d m S ma d n (m n)a d =n mn 1m11＝＋＝①＝＋＝②①－②，得－·＋·－n n m m m n m n ()()()()--⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪-+-121212即＋－∴··a d =11m n S m n a m n m n d m n a m n d m n++=++++-=+++-+12121211()()()()()Am Bm n An Bn m22＋＝①＋＝②⎧⎨⎪⎩⎪b b y b 234，，，均为等差数列，求．b b a a 4321--5.在等差数列{a n }中，设前m 项和为S m ，前n 项和为S n ，且S m ＝S n ，m ≠n ，求S m+n ．且S m ＝S n ，m ≠n∴S m+n ＝06. 在等差数列{a n }中，已知a 1＝25，S 9＝S 17，问数列前多少项和最大，并求出最大值．解法一 建立S n 关于n 的函数，运用函数思想，求最大值．∵a 1=25，S 17＝S 9 解得d ＝－2∴当n=13时，S n 最大，最大值S 13＝169解法二 因为a 1=25＞0，d ＝－2＜0，所以数列{a n }是递减等分析解 d =y x 51(1)=y x52(2)可采用＝由a a m na ab b m n ----------21433264(2)(1)÷，得b b a a 432183--=解 S (m n)a (m n)(m n 1)d(m n)[a (m n 1)d]m+n 11∵＝＋＋＋＋－＝＋＋＋－1212∴＋－＝＋－整理得－＋－＋－ma m(m 1)d na n(n 1)d(m n)a (m n)(m n 1)=011112122d即－＋＋－由≠，知＋＋－＝(m n)[a (m n 1)d]=0m n a (m n 1)d 0111212根据题意：＋×，＝＋×S =17a d S 9a d 1719117162982∴＝＋－－＋－－＋S 25n (2)=n 26n =(n 13)169n 22n n ()-12∵a 1＝25，S 9＝S 17∴a n =25＋(n －1)(－2)=－2n ＋27即前13项和最大，由等差数列的前n 项和公式可求得S 13=169． 解法三 利用S 9=S 17寻找相邻项的关系． 由题意S 9=S 17得a 10＋a 11＋a 12＋…＋a 17=0 而a 10＋a 17=a 11＋a 16=a 12＋a 15=a 13＋a 14 ∴a 13＋a 14＝0，a 13=－a 14 ∴a 13≥0，a 14≤0 ∴S 13=169最大．解法四 根据等差数列前n 项和的函数图像，确定取最大值时的n ． ∵{a n }是等差数列 ∴可设S n ＝An 2＋Bn二次函数y=Ax 2＋Bx 的图像过原点，如图3．2－1所示∵S 9＝S 17，∴取n=13时，S 13＝169最大差数列，若使前项和最大，只需解≥≤，可解出．n a 0a 0n n n+1⎧⎨⎩∴×＋××＋×，解得－9252d =1725d d =29817162∴－＋≥－＋＋≥≤≥∴2n 2702(n 1)270n 13.5n 12.5n =13⎧⎨⎩⇒⎧⎨⎩∴对称轴 x =9+172=137．求数列的通项公式：(1){a n }中，a 1＝2，a n+1＝3a n ＋2(2){a n }中，a 1=2，a 2＝5，且a n+2－3a n+1＋2a n ＝0 思路：转化为等比数列．∴{a n ＋1}是等比数列 ∴a n ＋1=3·3n-1 ∴a n =3n －1∴{a n+1－a n }是等比数列，即 a n+1－a n =(a 2－a 1)·2n-1=3·2n-1再注意到a 2－a 1=3，a 3－a 2=3·21，a 4－a 3=3·22，…，a n －a n-1=3·2n-2，这些等式相加，即可以得到+2说明 解题的关键是发现一个等比数列，即化生疏为已知．(1)中发现{a n ＋1}是等比数列，(2)中发现{a n+1－a n }是等比数列，这也是通常说的化归思想的一种体现．8. 三个数成等比数列，若第二个数加4就成等差数列，再把这个等差数列的第3项加32又成等比数列，求这三个数．解法一 按等比数列设三个数，设原数列为a ，aq ，aq 2 由已知：a ，aq ＋4，aq 2成等差数列 即：2(aq ＋4)=a ＋aq 2①a ，aq ＋4，aq 2＋32成等比数列 即：(aq ＋4)2=a(aq 2＋32)解 (1)a =3a 2a 1=3(a 1)n+1n n+1n ＋＋＋⇒(2)a 3a 2a =0a a =2(a a )n+2n+1n n+2n+1n+1n －＋－－⇒a =3[1222]=3=3(21)n 2n-2n 1＋＋＋…＋·－21211n ----⇒aq 2=4a ＋②解法二 按等差数列设三个数，设原数列为b －d ，b －4，b ＋d由已知：三个数成等比数列 即：(b －4)2=(b －d)(b ＋d)b －d ，b ，b ＋d ＋32成等比数列 即b 2=(b －d)(b ＋d ＋32)解法三 任意设三个未知数，设原数列为a 1，a 2，a 3 由已知：a 1，a 2，a 3成等比数列a 1，a 2＋4，a 3成等差数列 得：2(a 2＋4)=a 1＋a 3②a 1，a 2＋4，a 3＋32成等比数列 得：(a 2＋4)2=a 1(a 3＋32)③①，②两式联立解得：或－∴这三数为：，，或，，．a =2q =3a =29q =52618⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎩⎪-29109509⇒8b d =162－①⇒32b d 32d =02－－②①、②两式联立，解得：或∴三数为，，或，，．b =269d =83b =10d =82618⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎩-29109509得：①a =a a 2213说明 将三个成等差数列的数设为a －d ，a ，a ＋d ；将三个成简化计算过程的作用．9.证 ∵S n =a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n-1 S 2n =S n ＋(a 1q n ＋a 1q n+1＋…＋a 1q 2n-1) =S n ＋q n (a 1＋a 1q ＋…＋a 1q n-1) =S n ＋q n S n =S n (1＋q n )类似地，可得S 3n =S n (1＋q n ＋q 2n )说明 本题直接运用前n 项和公式去解，也很容易．上边的解法，灵活地处理了S 2n 、S 3n 与S n 的关系．介绍它的用意在于让读者体会利用结合律、提取公因式等方法将某些解析式变形经常是解决数学问题的关键，并且变得好，则解法巧． 10．数列{a n }是等比数列，其中S n =48，S 2n =60，求S 3n ．解法一 利用等比数列的前n 项和公式若q=1，则S n =na 1，即na 1=48，2na 1=96≠60，所以q ≠1①、②、③式联立，解得：或a =29a =109a =509a =2a =6a =18123123-⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎩⎪等比数列的数设为，，或，，是一种常用技巧，可起到a aq aq (a aq)2aq＋＋．S S =S (S S )n 22n 2n 2n 3n ∴＋＋＋＋S +S =S [S (1q )]=S (22q q )n 22n 2n 2n n 2n2n 2nS (S S )=S [S (1q )S (1q q )]=S (22q q )S S =S (S S )n 2n 3n n n n n n 2n n 2n 2nn 22n 2n 2n 3n ＋＋＋＋＋＋＋∴＋＋∵S =a (1q )1n 1n --q=S n (1＋q n ＋q 2n )解法二 利用等比数列的性质：S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列 ∴ (60－48)2=48·(S 3n －60) ∴ S 3n =63． 解法三 取特殊值法取n=1，则S 1=a 1=48，S 2n =S 2=a 1＋a 2=60 ∴ a 2=12∵ {a n }为等比数列S 3n =S 3=a 1＋a 2＋a 3=6311．已知数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，并且S n+1=4a n ＋2(n ∈N*)，a 1=1(1)设b n =a n+1－2a n (n ∈N*)，求证：数列{b n }是等比数列；解 (1)∵ S n+1=4a n ＋2 S n+2=4a n+1＋2S =a (1)a (1)(1+)1q 2n 11--=--=+q qq q S q nn n n n 211()∴q =14S =a (1q )1qn 3n 13n --=-++-a q q q qn n n 12111()()∴S =48(1+116)=633n +14∴ q =a a a =3213=14(2)c =a 2(n N*){c }n nnn 设∈，求证：数列是等差数列．两式相减，得S n+2－S n+1=4a n+1=4a n (n ∈N*) 即：a n+2=4a n+1－4a n变形，得a n+2－2a n+1=2(a n+1－2a n ) ∵ b n =a n+1－2a n (n ∈N*) ∴ b n+1=2b n由此可知，数列{b n }是公比为2的等比数列． 由S 2=a 1＋a 2=4a 1＋2，a 1=1 可得a 2=5，b 1=a 2－2a 1=3 ∴ b n =3·2n-1将b n =3·2n-1代入，得说明 利用题设的已知条件，通过合理的转换，将非等差、非等比数列转化为等差数列或等比数列来解决(2) c =a 2(n N*)c =b 2n nnn+1n n+1∵∈∴-=-=-++++c a a a a n n n n n n nn 11112222c c =34(n N*)n+1n －∈由此可知，数列是公差的等差数列，它的首项，故＋－·即：{c }d =34c =a 2c =(n 1)C =34n 11n n =-12123414n。
数列求和综合练习题(含答案)
数列求和综合练习题一、选择题1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11++=n n a n ，10n S =，则=n （ ）A ．90B ．121C ．119D ．1202．已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（ ） A.172 B.192C.10D.12 3．数列{}n a 中,1160,3n n a a a +=-=+，则此数列前30项的绝对值的和为 ( )A.720B.765C.600D.630 4．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1(1)n a n n =+，则6S 等于( )A ．142 B ．45 C ．56 D ．675．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2·a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( ) A.12 B.314 C.172 D.1526．设是等差数列的前项和，已知，则等于 ( )A. 13B. 35C. 49D. 637．等差数列的前n 项和为= ( ) A ．18 B ．20 C ．21D ．228．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且336,0S a ==，则公差d 等于（ ） A.1- B.1 C.2- D.29．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111-=a ，664-=+a a ，则当n S 取最小值时，n 等于（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 10．在等差数列中，已知，则该数列前11项的和等于（ ）A ．58B ．88C ．143D ． 17611．已知数列}{n a 的前n 项和为)34()1(2117139511--++-+-+-=+n S n n ,则312215S S S -+的值是（ ）A ．-76B ．76C ．46D ．1312．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1，a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝2，S n ＝15，则项数n 为( ) A ．12 B ．14 C ．15 D ．1613．等差数列{}n a 中，若14739a a a ++=，36927a a a ++=，则{}n a 的前9项和为( ) {}n a 5128,11,186,n S a S a ==则{}n a 4816a a +=11S二、解答题14．已知数列{}n a 的前n 项和()2*,n S n n N =∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 是等比数列，公比为()0q q >且11423,b S b a a ==+，求数列{}n b 的前n 项和n T .15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且93=S ，731,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 的公差不为0，数列{}n b 满足nn n a b 2)1(-=，求数列{}n b 的前n 项和n T .16．设数列{}n a 的前n 项和122nn S ，数列{}n b 满足21(1)log n nb n a =+．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和n T ．17．已知数列}{n a 的各项均为正数，n S 是数列}{n a 的前n 项和，且3242-+=n n n a a S ． （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）n n n nn b a b a b a T b +++== 2211,2求已知的值．18．已知数列}{n a 的前n 项和nn S 2=，数列}{n b 满足)12(,111-+=-=+n b b b n n ()1,2,3,n =．（1）求数列}{n a 的通项n a ； （2）求数列}{n b 的通项n b ； （3）若nb ac nn n ⋅=，求数列}{n c 的前n 项和n T ．19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n n S n +=2.（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）若*)(,1211N n a a a b n n n n ∈-+=+求数列}{n b 的前n 项和n S .20．已知数列{a n }的前n 项和2n n S a =-，数列{b n }满足b 1=1，b 3+b 7=18，且112n n n b b b -++=（n ≥2）.（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）若nnn a b c =，求数列{c n }的前n 项和T n.21．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，数列}1{+n S 是公比为2的等比数列，2a 是1a 和3a 的等比中项. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）求数列{}n na 的前n 项和n T .22．设数列{}n a 满足11=a )(211*+∈=-N n a a n n n （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n S三、填空题23．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若11a =，34a =，则2________;a =此数列的其前n 项和__________.n S =24．已知等差数列{}n a 中，52=a ，114=a ，则前10项和=10S ．25．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知488,12,S S ==则13141516a a a a +++的值为 ． 26．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,且3613S S =，则912S S = ．27．等差数列{}n a 中，10120S =，那么29a a += ．28．[2014·北京海淀模拟]在等比数列{a n }中，S n 为其前n 项和，已知a 5＝2S 4＋3，a 6＝2S 5＋3，则此数列的公比q ＝________.29．在等差数列}{n a 中，5,142==a a ,则}{n a 的前5项和5S = . 30．已知等差数列{}n a 中，已知8116,0a a ==，则18S =________________.31．已知等比数列的前项和为，若，则的值是 .32．已知{a n }是等差数列，a 1=1，公差d≠0，S n 为其前n 项和，若a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 8= _________ ． 33．数列{}n an 项和为9n S =，则n =_________．34．[2014·浙江调研]设S n 是数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝1，a n ＝－S n ·S n －1(n≥2)，则S n ＝________.}{n a n n S 62,256382-==S a a a a 1a参考答案1．D【解析】n n n n a n -+=++=111 ，()()111...23)12(-+=-+++-+-=∴n n n S n ，1011=-+n ，解得120=n ．【命题意图】本题考查利用裂项抵消法求数列的前n 项和等知识，意在考查学生的简单思维能力与基本运算能力． 2．B 【解析】试题分析：∵公差1d =，844S S =，∴11118874(443)22a a +⨯⨯=+⨯⨯，解得1a =12，∴1011199922a a d =+=+=，故选B. 考点：等差数列通项公式及前n 项和公式3．B 【解析】试题分析：因为13n n a a +=+，所以13n n a a +-=。
数列的数项求和计算练习题
数列的数项求和计算练习题一、等差数列求和计算1. 求等差数列 2, 5, 8, 11, ...的前10项之和。
解析：这是一个公差为3的等差数列。
根据等差数列求和公式Sn = n/2(a + l)，其中Sn为和，n为项数，a为首项，l为末项。
首项a = 2，末项l可通过等差数列通项公式an = a + (n-1)d求得。
其中d为公差。
代入公式：l = a + (n-1)d= 2 + (10-1)3= 2 + 27= 29求和公式：Sn = n/2(a + l)= 10/2(2 + 29)= 5(31)= 155因此，等差数列2, 5, 8, 11, ...的前10项之和为155。
2. 求等差数列 3, 7, 11, 15, ...的前15项之和。
解析：这是一个公差为4的等差数列。
首项a = 3，末项l可通过等差数列通项公式an = a + (n-1)d求得。
代入公式：l = a + (n-1)d= 3 + (15-1)4= 3 + 56= 59求和公式：Sn = n/2(a + l)= 15/2(3 + 59)= 7.5(62)= 465因此，等差数列3, 7, 11, 15, ...的前15项之和为465。
二、等比数列求和计算1. 求等比数列 2, 4, 8, 16, ...的前5项之和。
解析：这是一个公比为2的等比数列。
根据等比数列求和公式Sn = a(1 - r^n) / (1 - r)，其中Sn为和，n为项数，a为首项，r为公比。
首项a = 2，公比r = 2。
求和公式：Sn = a(1 - r^n) / (1 - r)= 2(1 - 2^5) / (1 - 2)= 2(1 - 32) / (1 - 2)= 2(-31) / -1= 62因此，等比数列2, 4, 8, 16, ...的前5项之和为62。
2. 求等比数列 3, 6, 12, 24, ...的前6项之和。
解析：这是一个公比为2的等比数列。
(完整版)数列求和练习题
数列求和1.在等差数列}{n a 中，5,142==a a ,则}{n a 的前5项和5S =( ) A.7 B.15 C.20 D.252．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( )． A ．15B ．12C ．－12D ．－153．数列112，314，518，7116，…的前n 项和S n 为( )．A ．n 2＋1－12n －1B ．n 2＋2－12nC ．n 2＋1－12nD ．n 2＋2－12n －14．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项和为10，则项数n 为( )． A ．11B ．99C ．120D ．1215. 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，令b n ＝1n(a 1＋a 2＋…＋a n )，则数列{b n }的前10项和T 10＝( )A ．70B ．75C ．80D ．856．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn (a 、b ∈R)，且S 25＝100，则a 12＋a 14等于( )A ．16B ．8C ．4D ．不确定 7．若数列{a n }为等比数列，且a 1＝1，q ＝2，则T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1的结果可化为( )．A ．1－14nB ．1－12n C.23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n D.23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n二、填空题8．数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋n ＋1，其前n 项之和为10，则在平面直角坐标系中，直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0在y 轴上的截距为________．9．等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝________.10．已知等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝81，若数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1b n b n ＋1的前n 项和S n ＝________.11．定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，若数列{a n}满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1122 1＝1且⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 3a n a n ＋1＝12(n ∈N *)，则a 3＝________，数列{a n }的通项公式为a n ＝________.12．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，那么数列{b n }＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前n 项和S n 为________．三、解答题13．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＝5，S 15＝225. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋2n ，求数列{b n }的前n 项和T n .14．设{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝a 2＋4. (1)求{a n }的通项公式；(2)设{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n .15．设{a n }是等差数列，{b n }是各项都为正数的等比数列，且a 1＝b 1＝1，a 3＋b 5＝21，a 5＋b 3＝13.(1)求{a n }，{b n }的通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n b n 的前n 项和S n .16．等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝3，前n 项和为S n ，{b n }为等比数列，b 1＝1，且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960. (1)求a n 与b n ； (2)求1S 1＋1S 2＋…＋1S n.。
数列的通项与求和练习题
数列的通项与求和练习题数列是数学中一种常见的数学对象，涉及了数学中的许多重要概念与方法。
对于数列的通项与求和问题，我们需要通过理论知识与练习来加深理解与熟练运用。
本文将给出一些数列的通项与求和练习题，帮助读者加深对数列的理解与应用。
一、等差数列1. 设等差数列的首项为a1，公差为d。
该等差数列的第n项是多少？答案：an = a1 + (n-1)d2. 设等差数列的首项为a1，公差为d。
前n项的和是多少？答案：Sn = n/2 * (a1 + an)例题：已知等差数列的前5项分别为2、5、8、11、14。
求该等差数列的通项公式与前20项的和。
解答：首先，根据等差数列的定义可知，公差d=5-2=3。
又已知a1=2，代入等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d，可得通项公式为an = 2 + (n-1) * 3。
其次，利用等差数列前n项和的公式Sn = n/2 * (a1 + an)，代入已知条件，即可求得前20项的和。
二、等比数列1. 设等比数列的首项为a1，公比为q。
该等比数列的第n项是多少？答案：an = a1 * q^(n-1)2. 设等比数列的首项为a1，公比为q。
前n项的和是多少？答案：Sn = a1 * (q^n - 1)/(q-1)，当q不等于1时；Sn = n * a1，当q=1时。
例题：已知等比数列的第2项为3，公比为2。
求该等比数列的通项公式与前10项的和。
解答：首先，设该等比数列的首项为a1，代入等比数列的通项公式an =a1 * q^(n-1)，可得通项公式为an = a1 * 2^(n-1)。
其次，利用等比数列前n项和的公式Sn = a1 * (q^n - 1)/(q-1)，代入已知条件，即可求得前10项的和。
三、斐波那契数列1. 斐波那契数列的定义是：F(1) = 1，F(2) = 1，F(n) = F(n-1) + F(n-2)，n≥3。
求斐波那契数列的第n项。
数列求和-测试题-练习题汇编
数列求和 测试题 A 级 基础题1．数列{1＋2n －1}的前n 项和S n ＝________.2．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝________. 3．数列112，314，518，7116，…的前n 项和S n ＝________. 4．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项和为10，则项数n ＝________.5．数列{a n }，{b n }都是等差数列，a 1＝5，b 1＝7，且a 20＋b 20＝60.则{a n ＋b n }的前20项的和为________．6．等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝________.7．已知等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝81，若数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1b n b n ＋1的前n 项和S n ＝________.二、解答题(每小题15分，共45分) 8．已知{a n }为等差数列，且a 3＝－6，a 6＝0. (1)求{a n }的通项公式；(2)若等比数列{b n }满足b 1＝－8，b 2＝a 1＋a 2＋a 3，求{b n }的前n 项和公式．9．设{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝a 2＋4. (1)求{a n }的通项公式；(2)设{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n .10．已知首项不为零的数列{a n }的前n 项和为S n ，若对任意的r ，t ∈N *，都有 S r S t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫r t 2.(1)判断{a n }是否是等差数列，并证明你的结论；(2)若a 1＝1，b 1＝1，数列{b n }的第n 项是数列{a n }的第b n －1项(n ≥2)，求b n ； (3)求和T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n .B 级 创新题1．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为________．2．若数列{a n }为等比数列，且a 1＝1，q ＝2，则T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1的结果可化为________． 3．数列1，11＋2，11＋2＋3，…的前n 项和S n ＝________. 4．在等比数列{a n }中，a 1＝12，a 4＝－4，则公比q ＝________；|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝________.5．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 11＝35＋S 6，则S 17的值为________． 6．等差数列{a n }的公差不为零，a 4＝7，a 1，a 2，a 5成等比数列，数列{T n }满足条件T n ＝a 2＋a 4＋a 8＋…＋a 2n ，则T n ＝________.7．设{a n }是等差数列，{b n }是各项都为正数的等比数列，且a 1＝b 1＝1，a 3＋b 5＝21，a 5＋b 3＝13.(1)求{a n }，{b n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 的前n 项和S n .8．在各项均为正数的等比数列{a n }中，已知a 2＝2a 1＋3，且3a 2，a 4,5a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a n ，求数列{a n b n }的前n 项和S n . 参考答案 A 组1. 解析 S n ＝n ＋1－2n1－2＝n ＋2n －1.答案 n ＋2n －12. 解析 设b n ＝3n －2，则数列{b n }是以1为首项，3为公差的等差数列，所以a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝(－b 1)＋b 2＋…＋(－b 9)＋b 10＝(b 2－b 1)＋(b 4－b 3)＋…＋(b 10－b 9)＝5×3＝15. 答案 153. 解析 由题意知已知数列的通项为a n ＝2n －1＋12n ，则S n ＝n (1＋2n －1)2＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝n 2＋1－12n . 答案 n 2＋1－12n 4. 解析 ∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1.令n ＋1－1＝10，得n ＝120.答案 1205. 解析 由题意知{a n ＋b n }也为等差数列，所以{a n ＋b n }的前20项和为： S 20＝20(a 1＋b 1＋a 20＋b 20)2＝20×(5＋7＋60)2＝720.答案 7206. 解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1－(2n －1－1)＝2n －1，又∵a 1＝1适合上式．∴a n ＝2n －1，∴a 2n ＝4n －1.∴数列{a 2n }是以a 21＝1为首项，以4为公比的等比数列． ∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1·(1－4n)1－4＝13(4n－1)．答案 13(4n －1)7. 解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4a 1＝q 3＝27，解得q ＝3.所以a n ＝a 1q n －1＝3×3n －1＝3n ，故b n ＝log 3a n ＝n ，所以1b n b n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和为1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.答案nn ＋18. 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 3＝－6，a 6＝0，所以⎩⎨⎧a 1＋2d ＝－6，a 1＋5d ＝0.解得a 1＝－10，d ＝2.所以a n ＝－10＋(n －1)·2＝2n －12. (2)设等比数列{b n }的公比为q . 因为b 2＝a 1＋a 2＋a 3＝－24，b 1＝－8，所以－8q ＝－24，即q ＝3.所以{b n }的前n 项和公式为S n ＝b 1(1－q n )1－q＝4(1－3n )．9. 解 (1)设q 为等比数列{a n }的公比，则由a 1＝2，a 3＝a 2＋4得2q 2＝2q ＋4，即q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)，因此q ＝2. 所以{a n }的通项为a n ＝2·2n －1＝2n (n ∈N *) (2)S n ＝2(1－2n )1－2＋n ×1＋n (n －1)2×2＝2n ＋1＋n 2－2.10. 解 (1){a n }是等差数列． 证明如下：因为a 1＝S 1≠0，令t ＝1，r ＝n ，则由S r S t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫r t 2，得S nS 1＝n 2，即S n ＝a 1n 2，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n －1)a 1，且n ＝1时此式也成立，所以a n ＋1－a n ＝2a 1(n ∈N *)，即{a n }是以a 1为首项，2a 1为公差的等差数列． (2)当a 1＝1时，由(1)知a n ＝a 1(2n －1)＝2n －1， 依题意，当n ≥2时，b n ＝ab n －1＝2b n －1－1， 所以b n －1＝2(b n －1－1)，又b 1－1＝2，所以{b n －1}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以b n －1 ＝2·2n －1，即b n ＝2n ＋1.(3)因为a n b n ＝(2n －1)(2n ＋1)＝(2n －1)·2n ＋(2n －1)T n ＝[1·2＋3·22＋…＋(2n －1)·2n ]＋[1＋3＋…＋(2n －1)]，即T n ＝[1·2＋3·22＋…＋(2n －1)·2n ]＋n 2，①2T n ＝[1·22＋3·23＋…＋(2n －1)·2n ＋1]＋2n 2，② ②－①，得T n ＝(2n －3)·2n ＋1＋n 2＋6. B 组1. 解析 设数列{a n }的公比为q .由题意可知q ≠1，且9(1－q 3)1－q ＝1－q 61－q，解得q＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公比的等比数列，由求和公式可得S 5＝3116.答案 3116 2. 解析 a n＝2n －1，设b n ＝1a n a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －1，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n . 答案 23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n3. 解析 由于数列的通项a n ＝11＋2＋3＋…＋n ＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴S n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝ 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1. 答案 2n n ＋14. 解析 ∵a 4a 1＝q 3＝－8，∴q ＝－2.∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝12(1－2n )1－2＝2n －1－12.答案 －2 2n －1－125. 解析 因S 11＝35＋S 6，得11a 1＋11×102d ＝35＋6a 1＋6×52d ，即a 1＋8d ＝7，所以S 17＝17a 1＋17×162d ＝17(a 1＋8d )＝17×7＝119. 答案 1196. 解析 设{a n }的公差为d ≠0，由a 1，a 2，a 5成等比数列，得a 22＝a 1a 5，即(7－2d )2＝(7－3d )(7＋d ) 所以d ＝2或d ＝0(舍去)． 所以a n ＝7＋(n －4)×2＝2n －1.又a 2n ＝2·2n －1＝2n ＋1－1，故T n ＝(22－1)＋(23－1)＋(24－1)＋…＋(2n ＋1－1) ＝(22＋23＋…＋2n ＋1)－n ＝2n ＋2－n －4. 答案 2n ＋2－n －47. 解 (1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则依题意有q ＞0且⎩⎨⎧ 1＋2d ＋q 4＝21，1＋4d ＋q 2＝13，解得⎩⎨⎧d ＝2，q ＝2.所以a n ＝1＋(n －1)d ＝2n －1，b n ＝q n －1＝2n －1.(2)a n b n＝2n －12n －1，S n ＝1＋321＋522＋…＋2n －32n －2＋2n －12n －1，①2S n ＝2＋3＋52＋…＋2n －32n －3＋2n －12n －2.②②－①，得S n ＝2＋2＋22＋222＋…＋22n －2－2n －12n －1＝2＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n －1＝2＋2×1－12n －11－12－2n －12n －1＝6－2n ＋32n －1. 8. 解 (1)设{a n }公比为q ，由题意，得q ＞0，且⎩⎨⎧a 2＝2a 1＋3，3a 2＋5a 3＝2a 4，即⎩⎨⎧a 1(q －2)＝3，2q 2－5q －3＝0. 解得⎩⎨⎧a 1＝3，q ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－65，q ＝－12(舍去)．所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3·3n －1＝3n ，n ∈N *. (2)由(1)可得b n ＝log 3a n ＝n ，所以a n b n ＝n ·3n .所以S n ＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n ·3n . 所以3S n ＝1·32＋2·33＋3·34＋…＋n ·3n ＋1两式相减，得2S n ＝－3－(32＋33＋…＋3n )＋n ·3n ＋1＝－(3＋32＋33＋…＋3n )＋n ·3n ＋1＝－3(1－3n )1－3＋n ·3n ＋1＝3＋(2n －1)·3n ＋12.所以数列{a n b n }的前n 项和为S n ＝3＋(2n －1)·3n ＋14.。
数列求和数列的综合应用练习题
5. 已知二次函数f(x) 3x 2 2x ，数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，点(n,S n ) ( n * ) 在函数y f (x)的图像上.(1)球数列｛a n ｝的通项公式;(2)设b n—，T n 是数列｛b n ｝的前n 项和，求使「—对所有na n a n 1 20立的最小正整数m .数列 求和、 数列的 综合应用练习 题1.数列a 1 2, , a k 2k,,a 10 20共十项，且其和为240,则a 1a ka10的值为( )A.31B.120C.130D.1852.已知正数等差数列｛a n ｝的前20项的和为 ，100,那么a y a 14的最大值是 ()A.25B.50C.100D.不存在3.设函数 f(X) lOg m X(m 0，且 m 1)，数列｛a n ｝的公比是m 的等比数列，^若 f (a〔a 3a 2009)8， 则 f(a ；) f(a |) f(a ；010)的值等于( )A.-1974B.-1990C.2022D.2042a i a 3 a 94.设等差数列｛a n ｝的公差d 0 ,又a i ,a 2,a 9成等比数列,a 2 a 4 a io都成6.（2014广东湛江模拟）已知数列｛a.｝各项均为正，其前n项和为S n，且满足4S n （a. 1）2.（1）求｛a n｝的通项公式；（2）设b n 1，求数列｛b n｝的前n项和T n及T n的最小值.a n a n 17.（2014安徽，18,12分）数列｛a n｝满足印1,na. 1 （n 1总（1）证明：数列岂是等差数列；n（2）设b n 3n■ an，求数列｛b n｝的前n项和为S n .8. （2014湖北，19，12分）已知等差数列｛a n｝满足：32，比数列.（1）求数列｛a n｝的通项公式；n(n 1)，n且a1, a2, a5成等（2）记S n为数列｛a n｝的前n项和，是否存在正整数n，使得S n 60n 800 ?若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由9.（2014湖南师大附中第二次月考，19）甲、乙两超市同时开业，第一年的年销售额都为a万元.由于经营方式不同，甲超市前n （n *）年的总销售额为訶n 2）万元；从第二年起，乙超市第n年的销售额比前一年的销售额多（1）设甲、乙两超市第n年的销售额分别是a n,b n，求a n,b n的表达式；（2）若在同一年中，某一超市的年销售额不足另一个超市的年销售额的50% 则该超市将于当年年底被另一家超市收购.问：在今后若干年内，乙超市能否被甲超市收购？若能，请推算出在哪一年年底被收购；若不能，请说明理由.10.从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入比上年减少-，本年5度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今1后的旅游业收入每年会比上年增加 -.411.（1）设n年内（本年度为第一年）总投入为 a n万元，旅游业总收入为b n万元，写出a n , b n的表达式;（2）至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入?11. （2014四川，19，12分）设等差数列｛a n｝的公差为d，点⑶,^）在函数f（x） 2x的图像上（n *）.（1）证明：数列｛b n｝为等比数列；1 （2）若a1 1，函数f（x）的图像在点（a2,b2）处的切线在x轴上的截距为2 —，In 2 求数列｛a n b：｝的前n项和S n.12.(2014江西上饶六校第二次联考，18)已知等差数列｛a.｝的前n项和为S n ,1n 1且 a2 2,S5 13 14 15，数列｛b n｝满足 0 -， b n 1 一 -b n.22n(1)求数列｛a n｝, ｛b n｝的通项公式；(2)记T n为数列｛b n｝的前n项和，f(n) 空，试问f(n)否存在最大值，n 2若存在，求出最大值，若不存在请说明理由.13 (2012四川，12,5分)设函数f(x) (x 3)3x 1，数列©｝是公差不为0的等差数列，f(aj f(a2) f(a7)14，则 a a? a? ( )A.0B.7C.14D.2114 (2012山东,20,12分)已知等差数列｛a n｝的前5项和为105,且a?。
求和练习题
求和练习题一、基础求和题1. 计算下列各数列的和：1 +2 +3 + + 102 + 4 + 6 + + 203 + 6 + 9 + + 365 + 10 + 15 + + 502. 求下列等差数列的和：首项为2，末项为20，公差为2首项为3，末项为30，公差为3首项为4，末项为40，公差为4首项为5，末项为45，公差为5 3. 求下列等比数列的和：首项为2，公比为2，项数为5首项为3，公比为3，项数为4首项为4，公比为4，项数为3首项为5，公比为5，项数为2二、混合求和题4. 计算下列各数列的和：1 + 3 + 5 + + 19 + 212 + 4 + 6 + + 18 + 203 + 6 + 9 + + 24 + 274 + 8 + 12 + + 40 + 445. 求下列等差数列和等比数列的和：等差数列：首项为2，末项为20，公差为2；等比数列：首项为3，公比为3，项数为5等差数列：首项为3，末项为30，公差为3；等比数列：首项为4，公比为4，项数为4等差数列：首项为4，末项为40，公差为4；等比数列：首项为5，公比为5，项数为3等差数列：首项为5，末项为45，公差为5；等比数列：首项为6，公比为6，项数为26. 求下列混合数列的和：1 +2 +3 + + 10 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + + 2^103 + 6 + 9 + + 36 + 3^1 + 3^2 + 3^3 + + 3^64 + 8 + 12 + + 40 + 4^1 + 4^2 + 4^3 + + 4^55 + 10 + 15 + + 50 + 5^1 + 5^2 + 5^3 + + 5^4三、复杂求和题7. 求下列数列的和：1^2 + 2^2 + 3^2 + + 10^21^3 + 2^3 + 3^3 + + 5^31^4 + 2^4 + 3^4 + + 4^41^5 + 2^5 + 3^5 + + 3^58. 求下列数列的和：1/1 + 1/2 + 1/3 + + 1/101/2 + 1/4 + 1/6 + + 1/201/3 + 1/6 + 1/9 + + 1/271/4 + 1/8 + 1/12 + + 1/409. 求下列数列的和：sin(1) + sin(2) + sin(3) + + sin(10)cos(1) + cos(2) + cos(3) + + cos(10)tan(1) + tan(2) + tan(3) + + tan(5)cot(1) + cot(2) + cot(3) + + cot(4)四、四、多项式求和题10. 求下列多项式的和：(1 + 2x + 3x^2) + (4 + 5x + 6x^2) + + (10 + 11x + 12x^2)(x^3 + 2x^2 + 3x) + (4x^3 + 5x^2 + 6x) + + (10x^3 + 11x^2 + 12x)(1 + x + x^2 + x^3) + (2 + 2x + 2x^2 + 2x^3) + + (5 + 5x + 5x^2 + 5x^3)(x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 4x + 5) + (2x^4 + 3x^3 + 4x^2 + 5x + 6) + + (5x^4 + 6x^3 + 7x^2 + 8x + 9)五、分数求和题11. 求下列分数数列的和：1/1 + 1/2 + 1/3 + + 1/1001/2 + 1/4 + 1/6 + + 1/2001/3 + 1/6 + 1/9 + + 1/3001/4 + 1/8 + 1/12 + + 1/40012. 求下列分数数列的和：1/1 1/2 + 1/3 1/4 + + 1/99 1/1001/2 1/4 + 1/6 1/8 + + 1/198 1/2001/3 1/6 + 1/9 1/12 + + 1/297 1/3001/4 1/8 + 1/12 1/16 + + 1/396 1/400六、特殊数列求和题13. 求下列特殊数列的和：Fibonacci数列前20项的和（Fibonacci数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ）Catalan数列前10项的和（Catalan数列：1, 1, 2, 5, 14, 42, ）Lucas数列前15项的和（Lucas数列：2, 1, 3, 4, 7,11, ）Harmonic数列前30项的和（Harmonic数列：1, 1/2, 1/3, 1/4, ）14. 求下列数列的和：平方数的和：1^2 + 2^2 + 3^2 + + 50^2立方数的和：1^3 + 2^3 + 3^3 + + 20^3第四次幂的数列和：1^4 + 2^4 + 3^4 + + 10^4第五次幂的数列和：1^5 + 2^5 + 3^5 + + 8^5七、组合求和题15. 求下列组合数列的和：C(1,1) + C(2,1) + C(3,1) + + C(10,1)C(2,2) + C(3,2) + C(4,2) + + C(9,2)C(3,3) + C(4,3) + C(5,3) + + C(8,3)C(4,4) + C(5,4) + C(6,4) + + C(7,4)16. 求下列组合数列的和：C(5,0) + C(6,1) + C(7,2) + + C(10,5)C(6,0) + C(7,1) + C(8,2) + + C(11,6)八、函数求和题17. 求下列函数在指定区间内的和：f(x) = x 在区间 [1, 10] 上的和g(x) = x^2 在区间 [1, 5] 上的和h(x) = x^3 在区间 [1, 3] 上的和j(x) = sin(x) 在区间[0, π] 上的和18. 求下列函数在指定区间内的和：f(x) = e^x 在区间 [0, 1] 上的和g(x) = ln(x) 在区间 [1, e] 上的和h(x) = √x 在区间 [1, 10] 上的和j(x) = cos(x) 在区间[0, 2π] 上的和九、数列变换求和题19. 求下列数列变换后的和：原数列：1, 2, 3, , 100；变换后数列：1^2, 2^2, 3^2, , 100^2原数列：2, 4, 6, , 100；变换后数列：2^3, 4^3, 6^3, , 100^3原数列：3, 6, 9, , 99；变换后数列：3^4, 6^4, 9^4, , 99^4原数列：4, 8, 12, , 100；变换后数列：4^5, 8^5,12^5, , 100^520. 求下列数列变换后的和：原数列：1/1, 1/2, 1/3, , 1/100；变换后数列：1/1^2, 1/2^2, 1/3^2, , 1/100^2原数列：1/2, 1/4, 1/6, , 1/100；变换后数列：1/2^3, 1/4^3, 1/6^3, , 1/100^3原数列：1/3, 1/6, 1/9, , 1/99；变换后数列：1/3^4, 1/6^4, 1/9^4, , 1/99^4原数列：1/4, 1/8, 1/12, , 1/100；变换后数列：1/4^5, 1/8^5, 1/12^5, , 1/100^5十、综合求和题21. 求下列数列的和：1 + 3 + 5 + + 97 + 99 + 2/1 + 2/2 + 2/3 + + 2/502 + 4 + 6 + + 98 + 100 + 3/1 + 3/2 + 3/3 + + 3/333 + 6 + 9 + + 96 + 99 + 4/1 + 4/2 + 4/3 + + 4/254 + 8 + 12 + + 100 + 104 + 5/1 + 5/2 + 5/3 + +5/2022. 求下列数列的和：(1 + 2 + 3 + + 50) (1/1 + 1/2 + 1/3 + + 1/50)(1 + 2 + 3 + + 100) (1/1 + 1/2 + 1/3 + + 1/100)(1 + 2 + 3 + + 150) (1/1 + 1/2 + 1/3 + + 1/150)(1 + 2 + 3 + + 200) (1/1 + 1/2 + 1/3 + + 1/200)十一、矩阵求和题23. 求下列矩阵所有元素的和：3x3 矩阵：[ [1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9] ]4x4 矩阵：[ [1, 2, 3, 4], [5, 6, 7, 8], [9, 10, 11, 12], [13, 14, 15, 16] ]5x5 矩阵：[ [1, 2, 3, 4, 5], [6, 7, 8, 9, 10], [11, 12, 13, 14, 15], [16, 17, 18, 19, 20], [21, 22, 23, 24, 25] ] 6x6 矩阵：[ [1, 2, 3, 4, 5, 6], [7, 8, 9, 10, 11, 12], [13, 14, 15, 16, 17, 18], [19, 20, 21, 22, 23, 24], [25, 26, 27, 28, 29, 30], [31, 32, 33, 34, 35, 36] ]24. 求下列矩阵对角线元素的和：主对角线：3x3 矩阵：[ [1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8,9] ]副对角线：4x4 矩阵：[ [1, 2, 3, 4], [5, 6, 7, 8], [9, 10, 11, 12], [13, 14, 15, 16] ]主对角线：5x5 矩阵：[ [1, 2, 3, 4, 5], [6, 7, 8, 9, 10], [11, 12, 13, 14, 15], [16, 17, 18, 19, 20], [21, 22, 23, 24, 25] ]副对角线：6x6 矩阵：[ [1, 2, 3, 4, 5, 6], [7, 8, 9, 10, 11, 12], [13, 14, 15, 16, 17, 18], [19, 20, 21, 22, 23, 24], [25, 26, 27, 28, 29, 30], [31, 32, 33, 34, 35, 36] ]十二、多项式乘积求和题25. 求下列多项式乘积的和：(x + 1)(x + 2)(x + 3) + (x + 2)(x + 3)(x + 4) + +(x + 10)(x + 11)(x + 12)(x^2 + 1)(x^2 + 2)(x^2 + 3) + (x^2 + 2)(x^2 + 3)(x^2 + 4) + + (x^2 + 5)(x^2 + 6)(x^2 + 7)(x^3 + 1)(x^3 + 2)(x^3 + 3) + (x^3 + 2)(x^3 + 3)(x^3 + 4) + + (x^3 + 4)(x^3 + 5)(x^3 + 6)(x^4 + 1)(x^4 + 2)(x^4 + 3) + (x^4 + 2)(x^4 + 3)(x^4 + 4) + + (x^4 + 3)(x^4 + 4)(x^4 + 5)26. 求下列多项式乘积的和：(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x) + (2 + x)(2 + 2x)(2 + 3x) + + (10 + x)(10 +答案：一、基础求和题1. 552. 2103. 9454. 220二、混合求和题5. 1056. 2807. 330三、复杂求和题8. 3859. 9.6462510. 1.57079633四、多项式求和题11. 33012. 33013. 33014. 330五、分数求和题15. 2.8289682516. 1.48829558六、特殊数列求和题17. 1771018. 22019. 489520. 816七、组合求和题21. 20422. 204八、函数求和题由于函数求和通常涉及到定积分，这里只给出一些常见函数在指定区间内的和的近似值：17. f(x) = x 在区间 [1, 10] 上的和约为 55g(x) = x^2 在区间 [1, 5] 上的和约为 55h(x) = x^3 在区间 [1, 3] 上的和约为 36j(x) = sin(x) 在区间[0, π] 上的和约为 218. f(x) = e^x 在区间 [0, 1] 上的和约为 e 1g(x) = ln(x) 在区间 [1, e] 上的和约为 e 1h(x) = √x 在区间 [1, 10] 上的和约为 2.82896825 j(x) = cos(x) 在区间[0, 2π] 上的和约为 0九、数列变换求和题19. 945020. 9450十、综合求和题21. 429022. 4290十一、矩阵求和题23. 9, 34, 65, 13624. 15, 15十二、多项式乘积求和题25. 由于这些多项式乘积的和涉及到高阶多项式的展开和求和，通常需要使用数学软件或手动展开来计算，这里只给出一些近似值： (x + 1)(x + 2)(x + 3) + + (x + 10)(x + 11)(x + 12) 的和将是一个关于 x 的多项式，具体值需要展开后计算。
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数列求和 测试题 A 级 基础题1．数列{1＋2n －1}的前n 项和S n ＝________.2．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝________. 3．数列112，314，518，7116，…的前n 项和S n ＝________. 4．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项和为10，则项数n ＝________.5．数列{a n }，{b n }都是等差数列，a 1＝5，b 1＝7，且a 20＋b 20＝60.则{a n ＋b n }的前20项的和为________．6．等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝________.7．已知等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝81，若数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1b n b n ＋1的前n 项和S n ＝________.二、解答题(每小题15分，共45分) 8．已知{a n }为等差数列，且a 3＝－6，a 6＝0. (1)求{a n }的通项公式；(2)若等比数列{b n }满足b 1＝－8，b 2＝a 1＋a 2＋a 3，求{b n }的前n 项和公式．9．设{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝a 2＋4. (1)求{a n }的通项公式；(2)设{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n .10．已知首项不为零的数列{a n }的前n 项和为S n ，若对任意的r ，t ∈N *，都有 S r S t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫r t 2.(1)判断{a n }是否是等差数列，并证明你的结论；(2)若a 1＝1，b 1＝1，数列{b n }的第n 项是数列{a n }的第b n －1项(n ≥2)，求b n ； (3)求和T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n .B 级 创新题1．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为________．2．若数列{a n }为等比数列，且a 1＝1，q ＝2，则T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1的结果可化为________． 3．数列1，11＋2，11＋2＋3，…的前n 项和S n ＝________. 4．在等比数列{a n }中，a 1＝12，a 4＝－4，则公比q ＝________；|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝________.5．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 11＝35＋S 6，则S 17的值为________． 6．等差数列{a n }的公差不为零，a 4＝7，a 1，a 2，a 5成等比数列，数列{T n }满足条件T n ＝a 2＋a 4＋a 8＋…＋a 2n ，则T n ＝________.7．设{a n }是等差数列，{b n }是各项都为正数的等比数列，且a 1＝b 1＝1，a 3＋b 5＝21，a 5＋b 3＝13.(1)求{a n }，{b n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 的前n 项和S n .8．在各项均为正数的等比数列{a n }中，已知a 2＝2a 1＋3，且3a 2，a 4,5a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a n ，求数列{a n b n }的前n 项和S n . 参考答案 A 组1. 解析 S n ＝n ＋1－2n1－2＝n ＋2n －1.答案 n ＋2n －12. 解析 设b n ＝3n －2，则数列{b n }是以1为首项，3为公差的等差数列，所以a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝(－b 1)＋b 2＋…＋(－b 9)＋b 10＝(b 2－b 1)＋(b 4－b 3)＋…＋(b 10－b 9)＝5×3＝15. 答案 153. 解析 由题意知已知数列的通项为a n ＝2n －1＋12n ，则S n ＝n (1＋2n －1)2＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝n 2＋1－12n . 答案 n 2＋1－12n 4. 解析 ∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1.令n ＋1－1＝10，得n ＝120.答案 1205. 解析 由题意知{a n ＋b n }也为等差数列，所以{a n ＋b n }的前20项和为： S 20＝20(a 1＋b 1＋a 20＋b 20)2＝20×(5＋7＋60)2＝720.答案 7206. 解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1－(2n －1－1)＝2n －1，又∵a 1＝1适合上式．∴a n ＝2n －1，∴a 2n ＝4n －1.∴数列{a 2n }是以a 21＝1为首项，以4为公比的等比数列．∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1·(1－4n )1－4＝13(4n －1)． 答案 13(4n－1)7. 解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4a 1＝q 3＝27，解得q ＝3.所以a n ＝a 1q n －1＝3×3n －1＝3n ，故b n ＝log 3a n ＝n ，所以1b n b n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和为1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.答案nn ＋18. 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 3＝－6，a 6＝0，所以⎩⎨⎧a 1＋2d ＝－6，a 1＋5d ＝0.解得a 1＝－10，d ＝2.所以a n ＝－10＋(n －1)·2＝2n －12. (2)设等比数列{b n }的公比为q . 因为b 2＝a 1＋a 2＋a 3＝－24，b 1＝－8，所以－8q ＝－24，即q ＝3.所以{b n }的前n 项和公式为S n ＝b 1(1－q n )1－q＝4(1－3n )．9. 解 (1)设q 为等比数列{a n }的公比，则由a 1＝2，a 3＝a 2＋4得2q 2＝2q ＋4，即q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)，因此q ＝2. 所以{a n }的通项为a n ＝2·2n －1＝2n (n ∈N *) (2)S n ＝2(1－2n )1－2＋n ×1＋n (n －1)2×2＝2n ＋1＋n 2－2.10. 解 (1){a n }是等差数列． 证明如下：因为a 1＝S 1≠0，令t ＝1，r ＝n ，则由S r S t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫r t 2，得S nS 1＝n 2，即S n ＝a 1n 2，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n －1)a 1，且n ＝1时此式也成立，所以a n ＋1－a n ＝2a 1(n ∈N *)，即{a n }是以a 1为首项，2a 1为公差的等差数列． (2)当a 1＝1时，由(1)知a n ＝a 1(2n －1)＝2n －1， 依题意，当n ≥2时，b n ＝ab n －1＝2b n －1－1， 所以b n －1＝2(b n －1－1)，又b 1－1＝2，所以{b n －1}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以b n －1 ＝2·2n －1，即b n ＝2n ＋1.(3)因为a n b n ＝(2n －1)(2n ＋1)＝(2n －1)·2n ＋(2n －1)T n ＝[1·2＋3·22＋…＋(2n －1)·2n ]＋[1＋3＋…＋(2n －1)]，即T n ＝[1·2＋3·22＋…＋(2n －1)·2n ]＋n 2，①2T n ＝[1·22＋3·23＋…＋(2n －1)·2n ＋1]＋2n 2，② ②－①，得T n ＝(2n －3)·2n ＋1＋n 2＋6. B 组1. 解析 设数列{a n }的公比为q .由题意可知q ≠1，且9(1－q 3)1－q ＝1－q 61－q，解得q＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公比的等比数列，由求和公式可得S 5＝3116.答案 3116 2. 解析a n ＝2n －1，设b n ＝1a n a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －1，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n . 答案 23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n3. 解析 由于数列的通项a n ＝11＋2＋3＋…＋n ＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴S n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝ 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1.答案 2n n ＋14. 解析 ∵a 4a 1＝q 3＝－8，∴q ＝－2.∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝12(1－2n )1－2＝2n －1－12.答案 －2 2n －1－125. 解析 因S 11＝35＋S 6，得11a 1＋11×102d ＝35＋6a 1＋6×52d ，即a 1＋8d ＝7，所以S 17＝17a 1＋17×162d ＝17(a 1＋8d )＝17×7＝119. 答案 1196. 解析 设{a n }的公差为d ≠0，由a 1，a 2，a 5成等比数列，得a 22＝a 1a 5，即(7－2d )2＝(7－3d )(7＋d ) 所以d ＝2或d ＝0(舍去)． 所以a n ＝7＋(n －4)×2＝2n －1.又a 2n ＝2·2n －1＝2n ＋1－1，故T n ＝(22－1)＋(23－1)＋(24－1)＋…＋(2n ＋1－1) ＝(22＋23＋…＋2n ＋1)－n ＝2n ＋2－n －4. 答案 2n ＋2－n －47. 解 (1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则依题意有q ＞0且⎩⎨⎧ 1＋2d ＋q 4＝21，1＋4d ＋q 2＝13，解得⎩⎨⎧d ＝2，q ＝2.所以a n ＝1＋(n －1)d ＝2n －1，b n ＝q n －1＝2n －1. (2)a n b n＝2n －12n －1，S n ＝1＋321＋522＋…＋2n －32n －2＋2n －12n －1，①2S n ＝2＋3＋52＋…＋2n －32n －3＋2n －12n －2.②②－①，得S n ＝2＋2＋22＋222＋…＋22n －2－2n －12n －1＝2＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n －1＝2＋2×1－12n －11－12－2n －12n －1＝6－2n ＋32n －1. 8. 解 (1)设{a n }公比为q ，由题意，得q ＞0，且⎩⎨⎧a 2＝2a 1＋3，3a 2＋5a 3＝2a 4，即⎩⎨⎧a 1(q －2)＝3，2q 2－5q －3＝0. 解得⎩⎨⎧a 1＝3，q ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－65，q ＝－12(舍去)．所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3·3n －1＝3n ，n ∈N *.(2)由(1)可得b n ＝log 3a n ＝n ，所以a n b n ＝n ·3n . 所以S n ＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n ·3n . 所以3S n ＝1·32＋2·33＋3·34＋…＋n ·3n ＋1两式相减，得2S n ＝－3－(32＋33＋…＋3n )＋n ·3n ＋1 ＝－(3＋32＋33＋…＋3n )＋n ·3n ＋1 ＝－3(1－3n )1－3＋n ·3n ＋1＝3＋(2n －1)·3n ＋12.所以数列{a n b n }的前n 项和为S n ＝3＋(2n －1)·3n ＋14.。