例谈排列组合问题中的常用方法_黄俊峰
探析排列组合常见的十六种解题方法
探析排列组合常见的十六种解题方法ʏ福建省泉州市第七中学 彭耿铃高考排列组合试题能有效地考查同学们的阅读判断能力㊁转化与化归处理能力及应用意识㊂这类试题新颖别致,联系社会实际,贴近生活,反映了排列组合应用领域的广阔,体现了数学的应用价值㊂本文特精选一些排列组合例题予以分类探析,旨在探究题型及解题方法,希望同学们能决胜于高考㊂求解排列㊁组合问题的常见方法有以下几种㊂(1)限制条件排除法:先求出不考虑限制条件的个数,然后排除不符合条件的个数,相当于减法原理;(2)相邻问题捆绑法:在特定条件下,将几个相关元素当作一个元素来考虑,待整个问题排好之后再考虑它们 内部 的排列数,主要用于解决相邻问题;(3)插空法:先把不受限制的元素排列好,然后把特定元素插在它们之间或两端的空当中;(4)特殊元素㊁位置优先安排法:对问题中的特殊元素或位置优先考虑排列,然后排列其他一般元素或位置;(5)多元问题分类法:将符合条件的排列分为几类,根据分类计数原理求出排列总数;(6)元素相同隔板法:若把n 个不加区分的相同元素分成m 组,可通过n 个相同元素排成一排,在元素之间插入m -1块隔板来完成分组,此法适用于同元素分组问题;(7) 至多 ㊁ 至少 间接法: 至多 ㊁ 至少 的排列组合问题,需分类讨论且一般分类的情况较多,所以通常用间接法,即排除法,它适用于反面明确且易于计算的问题;(8)选排问题先取再排法:选排问题很容易出现重复或遗漏的错误,因此常先取出元素(组合)再排列,即先取再排;(9)定序问题消序法:甲㊁乙㊁丙顺序一定,采用消序法,即除法,用总排列数除以顺序一定的排列数;(10)有序分配逐分法:有序分配是指把元素按要求分成若干组,常采用逐分的方法求解㊂一㊁定位问题优先法(特殊元素和特殊位置优先考虑)例1 由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字的五位奇数?解析:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置㊂先排末位共有C 13种方法;然后排首位共有C 14种方法;最后排其他位置共有A 34种方法㊂由分步计数原理得,有C 14C 13A 34=288(个)满足要求的数㊂例2 6个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有( )㊂A.192种 B .216种C .240种D .288种解析:若最左端排甲,其他位置共有A 55=120(种)排法;若最左端排乙,最右端共有4种排法,其余4个位置有A 44=24(种)排法㊂所以共有120+4ˑ24=216(种)排法,选B ㊂小结:位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其他元素㊂若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其他位置㊂若有多个约束条件,往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其他条件㊂二㊁相邻元素捆绑法例3 7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法?解析:可先将甲乙两个元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其他元素进行排列,同时对相邻元素内部进行自排㊂由分步计数原理可得,共有A55A22A22=480(种)不同的排法㊂例4某人射击了8枪,命中4枪,4枪命中且恰好有3枪连在一起的情形共有种㊂解析:命中的3枪捆绑在一起,与命中的另一枪插入到未命中4枪形成的5个空位,共有A25=20(种)情况㊂小结:要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决㊂即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其他元素一起进行排列,同时要注意合并元素内部也必须排列㊂三㊁不相邻问题插空法例5某次联欢会要安排3个歌舞类节目,2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是()㊂A.72B.120C.144D.168解析:歌舞类节目设为a1,a2,a3,小品类节目设为b1,b2,相声类节目设为c㊂先排a1,a2,a3不相邻,顺序如ˑb1ˑb2ˑcˑ,共A33A34种方法,b1b2相邻前提下,ˑb1b2ˑcˑ插空法共A22A33A22种方法,所以同类节目不相邻的排法种数为A33A34-A22A33A22=A33㊃(A34-4)=6ˑ20=120,选B㊂例66把椅子摆成一排,3人随机就座,任何2人不相邻的坐法种数为()㊂A.144B.120C.72D.24解析:先把3把椅子隔开摆好,它们之间和两端有4个位置,再把3人带椅子插放在四个位置,共有A34=24(种)方法,故选D㊂例7(2022年新高考Ⅱ卷)有甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻的不同排列方式有()种㊂A.12B.24C.36D.48解析:因为丙丁要在一起,先把丙丁捆绑,看作一个元素,连同乙,戊看成三个元素排列,有A33种排列方式㊂为使甲不在两端,必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入,有2种插空方式㊂注意到丙丁两人的顺序可交换,有2种排列方式,故安排这5名同学共有A33ˑ2ˑ2=24(种)不同的排列方式,选B㊂小结:元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队,再把不相邻元素插入中间和两端㊂四㊁定序问题除序(去重复)㊁空位㊁插入法例87人排队,其中甲乙丙3人顺序一定,共有多少种不同的排法?解析:法一(除序法):对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是A77A33=840㊂法二(空位法):设想有7把椅子,让除甲乙丙以外的4人就座共有A47种方法,其余的三个位置甲乙丙共有1种坐法,则共有1ˑA47=840(种)方法㊂法三(插入法):先选三个座位让甲乙丙三人坐下,共有C37种方法,余下4个空座位让其余四人就座,共有A44种方法,则共有C37A44=840(种)方法㊂小结:定序问题可以用除序法,还可转化为空位法㊁插入法㊂五㊁重排问题求幂法例9把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法?解析:完成此事共分六步,把第一名实习生分配到车间有7种分法,把第二名实习生分配到车间也有7种分法, ,由分步计数原理知共有76种不同的分法㊂小结:允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象,元素不受位置的约束,可以逐一安排各个元素的位置㊂一般地,n个不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为m n ㊂六㊁环排问题线排法例10 8人围桌而坐,共有多少种坐法?解析:围桌而坐与坐成一排的不同点在于,坐成圆形没有首尾之分,所以固定1人并从此位置把圆形展成直线,其余7人共有(8-1)!=7!=5040(种)排法㊂小结:一般地,n 个不同元素作圆形排列,共有(n -1)!种排法㊂如果从n 个不同元素中取出m 个元素作圆形排列,共有1nA mn ㊂七㊁排列组合混合问题先选后排法例11 有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少种不同的装法解析:第一步从5个球中选出2个组成复合元素,共有C 25=10(种)方法;再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内,有A 44=24(种)方法㊂根据分步计数原理,装球的方法共有C 25A 44=240(种)㊂例12 (2021年全国乙卷)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰㊁短道速滑㊁冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有( )㊂A.60种 B .120种C .240种D .480种解析:根据题意,有一个项目中分配2名志愿者,其余各项目中分配1名志愿者,可以先从5名志愿者中任选2人组成一个小组,有C 25种选法;然后连同其余3人,看成4个元素,4个项目看成4个不同的位置,4个不同的元素在4个不同的位置的排列方法数为A 44㊂根据乘法原理,完成这件事共有C 25ˑA 44=240(种)不同的分配方案,选C ㊂例13 (2020年全国Ⅱ卷)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,则不同的安排方法共有种㊂解析:因为4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,所以先取2名同学看作一组,选法有C 24种㊂现在可看成是3组同学分配到3个小区,分法有A 33种㊂根据分步乘法原理,可得不同的安排方法有C 24A 33=6ˑ6=36(种)㊂小结:解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想,此法与相邻元素捆绑策略相似㊂八㊁元素相同问题隔板法例14 有10个运动员名额,分给7个班,每班至少1人,有多少种分配方案?解析:10个名额没有差别,把它们排成一排,相邻名额之间形成9个空隙㊂在9个空隙中选6个位置插个隔板,可把名额分成7份,对应地分给7个班级,每一种插板方法对应一种分法,共有C 69=84(种)分法㊂小结:将n 个相同的元素分成m 份(n ,m 为正整数),每份至少一个元素,可以用m -1块隔板,插入n 个元素排成一排的n -1个空隙中,所有分法数为C m -1n -1㊂九㊁正难则反总体淘汰法例15 从1,3,5,7,9这5个数中,每次取出2个不同的数分别记为a ,b ,共可得到l g a -l gb 的不同值的个数是( )㊂A.9 B .10 C .18 D .20解析:l g a -l g b =l gab,从1,3,5,7,9中任取2个数分别记为a ,b ,共有A 25=20(种)结果㊂其中l g13=l g 39,l g 31=l g 93,故共可得到不同值的个数为20-2=18,选C ㊂例16 某学校安排甲㊁乙㊁丙㊁丁4位同学参加数学㊁物理㊁化学竞赛,要求每位同学仅报一科,每科至少有一位同学参加,且甲㊁乙不能参加同一学科,则不同的安排方法有种㊂解析:把4位同学分成3组,有C 24=6(种)方法,然后进行全排列,即有C 24A 33=36(种)方法,去掉甲㊁乙在一个组的情况,当甲㊁乙在一个组时,参加的方法有A 33=6(种)㊂故符合题意的安排方法有36-6=30(种)㊂小结:有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰㊂十㊁平均分组问题除法例17将5名同学分到甲㊁乙㊁丙3个小组,若甲小组至少2人,乙㊁丙组至少1人,则不同的分配方案种数为()㊂A.80B.120C.140D.50解析:先将5名同学分成3组,有两种分配方案,一是3组人数分别为2,2,1,分组方法有C25C23C11A22=15(种),然后将有2人的两组分给甲㊁乙或甲㊁丙,分配方法是15ˑ(A22+ A22)=60(种);二是3组人数分别为3,1,1,分组方法有C35C12C11A22=10(种),然后将有1人的两组分给乙㊁丙两组,分配方法有10ˑA22 =20(种)㊂共有60+20=80(种)方案,选A㊂小结:平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后一定要除以A n n(n为平均分的组数)避免重复计数㊂十一㊁合理分类与分步法例18甲㊁乙两人进行乒乓球比赛,先赢3局者获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有()㊂A.10种B.15种C.20种D.30种解析:由题意知比赛局数至少为3局,至多为5局㊂当局数为3局时,情况为甲或乙连赢3局,共2种㊂当局数为4局时,若甲赢,则前3局中甲赢2局,最后一局甲赢,共有C23=3(种)情况㊂同理,若乙赢,也有3种情况,共有3+3=6(种)情况㊂当局数为5局时,前4局,甲㊁乙各赢2局,最后1局胜出的人赢,共有2C24=12(种)情况㊂综上可知,共有2+6+12=20(种)情况㊂选C㊂十二㊁构造模型法例19马路上有编号为1,2,3,4,5, 6,7,8,9的9盏路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种㊂解析:把此问题当作一个排队模型,在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯有C35 =10(种)㊂小结:一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型,如占位填空模型,排队模型,装盒模型等,可使问题直观解决㊂十三㊁分解与合成法例2030030能被多少个不同的偶数整除?解析:先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2ˑ3ˑ5ˑ7ˑ11ˑ13,依题意可知偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积,所有的偶因数有C05+C15+C25+C35+C45+C55=32(个)㊂例21正方体的8个顶点可连成多少对异面直线解析:我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四面体,共有C48-12=58(个),每个四面体有3对异面直线,正方体中的8个顶点可连成3ˑ58=174(对)异面直线㊂例22从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60ʎ的共有()㊂A.24对B.30对C.48对D.60对解析:(1)方法一:与正方体的一个面上的一条对角线成60ʎ角的对角线有8条,故共有8对,正方体的12条面对角线共有8ˑ12 =96(对),且每对均重复计算一次,故共有962 =48(对)㊂选C㊂方法二:正方体的面对角线共有12条,两条为一对,共有C212=66(对)㊂同一个面上的对角线不满足题意,对面中的对角线也不满足题意,一组平行平面共有6对不满足题意的对角线对数,所以不满足题意的共有3ˑ6=18(对)㊂从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60ʎ的共有66-18=48(对)㊂选C㊂小结:分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决,然后依据问题分解后的结构,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,从而得到问题的答案,每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略㊂十四㊁复杂问题化归法例2325人排成5ˑ5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种?解析:将这个问题退化成9人排成3ˑ3方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少种选法㊂这样每行必有1人,从其中的一行中选取1人后,把这人所在的行列都划掉,如此继续下去㊂从3ˑ3方队中选3人的方法有C13C12C11=6(种)㊂再从5ˑ5方阵选出3ˑ3方阵便可解决问题㊂从5ˑ5方队中选取3行3列,有C35C35=100(种)选法,所以从5ˑ5方阵选不在同一行也不在同一列的3人,有C35C35C13C12C11=600(种)选法㊂例24用a代表红球,b代表蓝球,c 代表黑球,由加法原理及乘法原理,从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展开式1+a+b+a b表示出来,如: 1 表示一个球都不取㊁ a 表示取出一个红球,而 a b 表示把红球和蓝球都取出来㊂以此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从5个无区别的红球㊁5个无区别的蓝球㊁5个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是()㊂A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)㊃(1+c)5B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)㊃(1+c5)D.(1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5)解析:分三步:第一步,5个无区别的红球可能取出0个,1个, ,5个,则有(1+a+ a2+a3+a4+a5)种不同的取法;第二步,5个无区别的蓝球都取出或都不取出,则有(1+b5)种不同的取法;第三步,5个有区别的黑球看作5个不同色,从5个不同色的黑球任取0个,1个, ,5个,有(1+c)5种不同的取法㊂所以所求的取法种数为(1+a+a2+ a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5,选A㊂小结:处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简单的问题,通过先解决这个简单问题,从而下一步解决原来的问题㊂十五㊁数字排序问题查字典法例25用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40000大的偶数共有()㊂A.144个B.120个C.96个D.72个解析:首位填4时,比40000大的偶数有2ˑ4ˑ3ˑ2=48(个);首位填5时,比40000大的偶数有3ˑ4ˑ3ˑ2=72(个)㊂故共有48+72=120(个)数满足题意,选B㊂小结:数字排序问题可用查字典法,查字典的法应从高位向低位查,依次求出其符合要求的个数,根据分类计数原理求出其总数㊂十六㊁住店法例267名学生争夺五项冠军,每项冠军只能由一人获得,获得冠军的可能的种数为㊂解析:因同一学生可以同时夺得n项冠军,故学生可重复排列,将7名学生看作7家 店 ,五项冠军看作5名 客 ,每个 客 有7种住宿法,由乘法原理知有75种可能㊂小结:解决 允许重复排列问题 要注意区分两类元素:一类元素可以重复,另一类不能重复,把不能重复的元素看作 客 ,能重复的元素看作 店 ,再利用乘法原理直接求解㊂排列组合历来是高中学习中的难点,同学们只要对基本的解题策略熟练掌握,就可以选取不同的技巧来解决问题㊂对于一些比较复杂的问题,我们可以将几种策略结合起来应用,把复杂的问题简单化㊂请同学们对以上排列组合的几种常见的解题策略加以复习巩固,能举一反三,触类旁通,进而为后续的概率学习打下坚实的基础㊂(责任编辑徐利杰)。
解决排列组合问题的常用方法
故所求自然数共120+48+6+1=175个．
∴正因数之和为31×40×6=7440
【变式】1、72的正约数（包括1和72）共有__________个
解析：72=23×32
∴2m·3n（0≤m≤3，0≤n≤2，m，n∈N）都是72的正约数
m的取法有4种，n的取法有3种，由分步计数原理共3×4个。答案：12
用此法可以逐步计算：6个、7个、8个、……元素的错位排列问题
题型讲解
【例1】某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如下图），现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_____________种（以数字作答）
解：记颜色为A、B、C、D四色，先安排1、2、3有A 种不同的栽法，不妨设1、2、3已分别栽种A、B、C，则4、5、6栽种方法共5种，由以下树状图清晰可见根据分步计数原理，不同栽种方法有N=A ×5=120
【变式】求不同的排法种数：
（1）6男2女排成一排，2女相邻；（2）6男2女排成一排，2女不能相邻；
（3）4男4女排成一排，同性者相邻；（4）4男4女排成一排，同性者不能相邻．
解：（1）是“相邻”问题，用捆绑法解决：
（2）是“不相邻”问题，可以用插空法直接求解．6男先排实位，再在7个空位中排2女，即用插孔法解决： 。另法：用捆绑与剔除相结合：
【例2】用0，1，2，3，4，5这六个数字，
（1）可以组成多少个数字不重复的三位数？
（2）可以组成多少个数字允许重复的三位数？
（3）可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数？
（4）可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？
高中数学排列组合问题的常见解题方法和策略(完整版)
高中数学排列组合问题的常见解题方法和策略江西省永丰中学陈保进排列组合问题是高中数学的一个难点，它和实际问题联系紧密，题型多样，解题思路灵活多变，学生不容易掌握。
下面介绍一些常见的排列组合问题的解题方法和策略。
1.相邻问题捆绑法：将相邻的几个元素捆绑成一组，当作一个大元素参与排列例1：A ,B ,C ,D ,E 五人站成一排，如果A ,B 必须相邻，则不同的排法种数为_____解析：把A ,B 捆绑，视为一个整体，整体内部排序，有22A 种情况,再将整体和另外三人排序，有44A 种情况，所以答案为22A ×44A =48注意：小集团问题也可以用捆绑法变式1：7人排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人，则不同的排法有_____种解析：把甲、乙及中间3人看作一个整体，答案为720333522=⨯⨯A A A 2.不相邻问题插空法:不相邻问题，可先把其他元素全排列，再把需要不相邻的元素插入到其他元素的空位或两端例2：七人并排站成一行，如果甲乙丙两两不相邻，那么不同的排法种数是_____解析：先将其它4人全排列，共44A 种情况，再将甲乙丙插入到其他4人的空位或两端，共35A 种情况，所以答案为44A ×35A =14403.定序问题用除法:若要求某几个元素必须保持一定的顺序，可用除法例3：A ,B ,C ,D ,E 五人站成一列，如果A 必须在B 前面，则不同的排法种数有_____解析：先将5人全排列，共55A 种情况，考虑A ,B 的顺序有22A 种，符合题意的只有一种，所以答案为602255=A A 4.特殊元素优先考虑例4：8名男生排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边，有种排法解析：①甲在最右边时，其他的可全排，有77A 种不同排法②甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有16A 种，再排乙，有16A 种排法，其余人全排列，共有77A ＋16A ×16A ×66A ＝30960种不同排法5.特殊位置优先考虑例5：从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有种解析：翻译工作是特殊位置，先选择一人参加翻译工作，14C 种情况，再从其他5人中选择5人参加导游、导购、保洁工作，有35A 种情况，答案为14C ×35A =2406.分组、分配问题：先分组后分配，如果是整体平均分组或部分平均分组，最后计算组数时要除以n n A (n 为均分的组数)，避免重复计数例6：将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中一人得1本，一人得2本，一人得3本，则有________种不同的分法解析：第一步把书按数量1，2，3分成三组，不是平均分组，有332516C C C 种情况，第二步将分好的3组分到3名学生，有33A 种方法，故共有3606033=⨯A 种情况A BC DE变式1：将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中有两人各得1本，一人得4本，则有________种不同的分法解析：第一步把书按数量1,1,4分成三组，为部分平均分组，有1522441516=A C C C 种情况，第二步将分好的3组分到3名学生，有33A 种方法，故有901533=⨯A 种情况变式2：将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，每人得2本，则有_______种不同的分法解析：第一步把书按数量2,2,2分成三组，为整体平均分组，有1533222426=A C C C 种情况，第二步将分好的3组分到3名学生，有33A 种方法，故有901533=⨯A 种情况变式3：某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有_____种解析：①按照人数2，2，1分成3组；②按照人数3，1，1分成3组答案为15033221112353322112325=⨯+⨯A A C C C A A C C C 7.正难则反，考虑反面：例7：从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为解析：493739=-C C 此法适用于至多、至少、有、没有这类问题8.分类法（含多个限制条件的排列组合问题、多元问题）例8：甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A ，B ，C 三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去A 社区，乙不去B 社区，则不同的安排方法种数为解析：分2种情况,①乙去A 社区，再将丙丁二人安排到B ，C 社区，有22A 种情况,②乙不去A 社区，则乙必须去C 社区，若丙丁都去B 社区，有1种情况，若丙丁中有1人去B 社区，则先在丙丁中选出1人，安排到B 社区，剩下1人安排到A 或C 社区，有2×2＝4种情况，所以答案为2＋1＋4＝7变式1：由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有个解析：元素多，取出的情况多种，个位数字可能是0、1、2、3和4共5种情况，分别有55A 、113433A A A 、113333A A A 、113233A A A 和1333A A 个数，合计为300个变式2：在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种解析：只需考虑三张奖券的归属情况，①有三人各得一张奖券，情况数为34A ；②一人获两张奖券一人获一张奖券,情况数为362423=A C ，故答案为609.可重复的排列求幂法例9：把6名实习生分配到7个车间实习，每个车间人数不限，共有种不同方法解析：每名实习生有7种分配方法，答案为7×7×7×7×7×7×7=76种不同的分法10.多排问题单排法例10：6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是解析：先排前排，36A 种情况，再排后排，33A 种情况，答案为720663336==⨯A A A如果没有条件限制，把元素排成几排和排成一排情况一样多变式1：8个人排成前后两排,每排4人,其中甲乙要排在前排,丙要排在后排,有种排法解析：先排甲乙和丙，还剩5个位置，让5个人做全排列，答案为5760551424=⨯⨯A A A 11.相同元素的分配问题隔板法（名额分配问题也可用隔板法）例11：将7个相同的小球放入四个不同的盒子，每个盒子都不空，放法有种解析：可以在7个小球的6个空位中插入3块木板，每一种插法对应一种放法，故放法有3620C =种变式1：把20个相同的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于其编号数，则有种放法解析：先向1，2，3号三个盒子中分别放入0，1，2个球后还余下17个球，然后再把这17个球分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有216120C =种放法12.选排问题先取后排例12：10名同学合影，站成了前排3人，后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为解析：首先从后排的7人中抽2人，有27C 方法；再将这2人安排在前排，第一人有4种放法，第二人有5种放法，答案为2745420C ⨯⨯=变式1：摄像师要对已坐定一排照像的6位小朋友的座位顺序进行调整，要求其中恰有3人座位不调整，则不同的调整方案的种数为______解析：从6人中任选3人有36C 种情况，将这3人位置全部进行调整，有1112112C C C ⨯⨯=种情况，答案为36240C ⨯=13.部分合条件问题排除法例13：以正方体的顶点为顶点的四面体共有个解析：正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成48C 个四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以答案为481258C -=变式1：四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有种A、150种B、147种C、144种D、141种解析：从10个点中任取4个的组合数为410210C =，其中4点共面的分三类：①4点在同一侧面或底面的共4组,即46460C ⨯=种②每条棱上的三点和它的对棱的中点共面,这样的共6种③所有棱的6个中点中,4点构成平行四边形共面的有3种答案为210-(60+6+3)=14114.构造模型，等价转化例14：马路上有编号为1，2，3…9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？解析：此问题相当于一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯种方法。
例析排列组合问题类型及解题常用方法
例析排列组合问题类型及解题常用方法排列组合问题是数学中的一个重要分支，广泛应用于概率论、统计学、组合数学等多个领域。
在解决排列组合问题时，我们需要明确问题类型，并选用适当的方法进行求解。
下面将介绍几种常见的排列组合问题类型及解题常用方法。
1.组合问题组合问题是在给定的元素集合中，选择出若干个元素的子集，并以不同的顺序来表示这些子集。
组合问题的典型例子有"从n个不同的元素中，选取m个元素的组合个数是多少"。
解题方法：1)使用组合数公式进行计算，公式为C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)，其中C表示组合数，n表示元素个数，m表示要选择的元素个数。
2)利用递归方法求解，即对问题进行拆解，递归地求解子问题，然后将子问题的解合并得到原问题的解。
2.排列问题排列问题是将一组元素进行有序的排列，即考虑元素的顺序。
典型例子有"从n个不同的元素中，选择m个元素进行排列，有多少种不同的排列方式"。
解题方法：1)使用排列数公式进行计算，公式为P(n,m)=n!/(n-m)!，其中P表示排列数，n表示元素个数，m表示要选择的元素个数。
2)利用递归方法求解，将问题分解成子问题，进行子问题的排列，然后按照不同的顺序进行合并，得到原问题的解。
3.重复元素的排列组合问题重复元素的排列组合问题是在给定元素集合中，包含有重复元素的情况下，选择出若干个元素的子集，并以不同的顺序来表示这些子集。
解题方法：1)使用重复组合数公式进行计算，公式为C'(n,m)=(n+m-1)!/(m!(n-1)!)，其中C'表示重复组合数，n表示元素个数，m表示要选择的元素个数。
2)使用重复排列数公式进行计算，公式为P'(n,m)=n^m，其中P'表示重复排列数，n表示元素个数，m表示要选择的元素个数。
4.包含条件的排列组合问题包含条件的排列组合问题是在给定一组元素和一组条件的情况下，选择满足条件的子集，并以不同的顺序进行排列。
解排列组合问题的常用技巧
解排列组合问题的常用技巧(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--解排列组合问题的常用技巧排列组合是高中数学的重点和难点之一，也是进一步学习概率的基础，事实上，许多概率问题也归结为排列组合问题，这一类问题不仅内容抽象，解法灵活，而且解题过程极易出现“重复”和“遗漏”的错误，这些错误甚至不容易检查出来，所以解题时要注意不断积累经验，总结解题规律，掌握若干技巧。
解答排列组合的问题，首先必须认真审题，明确是属于排列问题还是组合问题，或者属于排列与组合的混合问题。
其次，要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析解答，同时，还要注意讲究一些基本策略和方法和技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解，下面介绍几种常用的解题技巧。
一、 特殊元素“优先安排法”对于带有特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑元素，在考虑其他元素。
例⒈ 用0，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）Ａ．２４个 Ｂ．３０个 Ｃ．４０个 Ｄ．６０个分析：由于该三位数为偶数，故末尾数字必为偶数，又因为０不能排在首位，故０就是其中的特殊元素，应优先安排．按０排在末尾和０不排在末尾分为两类：①０排在末尾时，有24A 个，②0不排在末尾时，则有131312A A A 个，由分类计数原理，共有偶数3013131224=+A A A A 个，选B ． 二、总体淘汰法对于含有否定字眼的问题，还可以从总体中把不符合要求的除去，此时，应注意既不能多减也不能少减。
例⒉ 100件产品中有3件是次品，从中任取三件，其中不全是正品的选法有多少种？分析：从100件产品中选3件产品的选法有3100C 种，选好后发现3件产品都是正品的选法不符合题意，因此把这种排法除去，故有142603973100=-C C 种。
三、 合理分类与准确分布法解含有约束条件的排列组合问题，应按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清晰，不重不漏。
排列组合中的易错问题鉴赏
非 平均 分组 问题 ， 尽管第 （ １ ） 个 问题 中给 出
了甲 、 乙、 丙 三 个组 ， 而第 （ ２ ）个 问题 只是 给
出了各 组人 数 而没 有具 体 指定 组 名 ， 但 分 组
的方法数都 是一 样 的 ．
易错 点：误 把 （ １ ） 的 结 果 表 示 为
ｃ ｃ ； ｃ ； ４ ； ．
１ ． ２ 平 均 分 组 问 题
上 面的非 平均 分 组 问题 中 ， 是 否 给 出组
组合题时常出现以下几类易混淆问题 ：
１ 分组 问题
名对结果没有影响， 但在平均分组问题中一 定要注意问题是否给 出了具体的组名 ， 它们 的结果是 不 同的 ．
例２ 有 ６本 不 同 的 书 ， 按 下 列 要求 分
取２ 块， 一 共有 Ｃ ：６种 不 同的方 法 ．
错 因： ５个教 师是 互 不 相 同的 ， 而 用挡 板
时， 要 求 这些 元 素 必须 相 同 ． 即把 问题 改 为 ：
把５ 个 名额 分配 给 ３ 个班 ， 每班 至少 有 １ 人． 问有 几 种 不 同 的分 法 ？ ５个 名 额 是 没有 区 别
分法 ．
点评 ： 上 面例 子可 以看 出 ： 两个 问题都 是
分成 ３ 堆， 每 堆 ２本 ， 属 于 平均 分 组 问题 ， 而 （ １ ） 分到甲、 乙、 丙 三人 ， 属 于到 位 问题 ， 相 当 于给 出 了 甲 、 乙、 丙 三 个 指定 的组 ， 但（ ２ ）没
种选法 ， 再从余下 ５ 人中任选 ３ 人有 ｃ ； 种选
加 分析 而乱 套挡 板模 型 ， 则 极易 出现误 解 ． 例４ ５个教 师分 配 到 ３个班 参加 活动 ，
排列组合的5种方法
排列组合的5种方法排列组合是数学中一个重要的概念，用于解决许多实际问题。
在这篇文章中，我们将介绍五种常见的方法来解决排列组合问题。
第一种方法是使用乘法原则。
乘法原则是指如果一个事件有m种可能的方式发生，另一个事件有n种可能的方式发生，那么这两个事件同时发生的方式有m * n种。
例如，如果有3个人可以选择一个水果和2种颜色的衣服，那么总共有3 * 2 = 6种可能性。
第二种方法是使用加法原则。
加法原则是指如果一个事件有m种可能的方式发生，另一个事件有n种可能的方式发生，那么这两个事件至少有m + n种可能性。
例如，如果有3个人可以选择两种不同的水果，那么至少有3 + 3 = 6种可能性。
第三种方法是使用排列。
排列是指从一组对象中选择有序的一部分对象。
如果有n个对象，要从中选择r个对象进行排列，那么排列的数量可以用以下公式来计算：P(n, r) = n! / (n - r)!。
其中，n!表示n的阶乘，即n * (n - 1) * (n - 2) * ... * 2 * 1。
例如，如果有4个人要站成一排，那么有P(4, 4) = 4! / (4 - 4)! = 4! / 0! = 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24种可能性。
第四种方法是使用组合。
组合是指从一组对象中选择无序的一部分对象。
如果有n个对象，要从中选择r个对象进行组合，那么组合的数量可以用以下公式来计算：C(n, r) = n! / (r! * (n - r)!）。
例如，如果有4个人要从中选择2个人进行分组，那么有C(4, 2) = 4! / (2! * (4 - 2)!) = 4! / (2! * 2!) = (4 * 3 * 2 * 1) / ((2 * 1) * (2 * 1)) = 6种可能性。
第五种方法是使用二项式定理。
二项式定理是一个用于展开二项式的公式。
它可以用于计算排列和组合的值。
二项式定理可以表示为：(a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + C(n, 2) * a^(n-2) * b^2 + ... + C(n, n) * a^0 * b^n。
排列组合常见21种解题方法
排列组合常见21种解题方法排列组合是高中数学中的重要知识点，也是考试中常见的题型。
在解决排列组合问题时，我们可以运用多种方法来求解，下面将介绍常见的21种解题方法。
1. 直接法，根据排列组合的定义，直接计算排列或组合的个数。
2. 公式法，利用排列组合的公式进行计算，如排列公式P(n,m)=n!/(n-m)!，组合公式C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)。
3. 递推法，通过递推关系式求解排列组合问题，如利用排列数的递推关系P(n,m)=P(n-1,m)+P(n-1,m-1)。
4. 分类讨论法，将问题进行分类讨论，分别求解每种情况的排列组合个数，然后合并得出最终结果。
5. 组合数性质法，利用组合数的性质，如C(n,m)=C(n,n-m)，C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)，简化计算过程。
6. 二项式定理法，利用二项式定理展开式子，求解排列组合问题。
7. 二项式系数法，利用二项式系数的性质，如n个不同元素的排列个数为n!，n个相同元素的排列个数为1，简化计算过程。
8. 容斥原理法，利用容斥原理求解排列组合问题，排除重复计算的部分。
9. 对称性法，利用排列组合的对称性质，简化计算过程。
10. 逆向思维法，从问题的逆向思考，求解排列组合问题。
11. 生成函数法，利用生成函数求解排列组合问题，将排列组合问题转化为多项式求解。
12. 构造法，通过构造合适的排列组合模型，求解问题。
13. 图论法，将排列组合问题转化为图论问题，利用图论算法求解。
14. 动态规划法，利用动态规划算法求解排列组合问题，降低时间复杂度。
15. 贪心算法法，利用贪心算法求解排列组合问题，简化计算过程。
16. 模拟法，通过模拟排列组合过程，求解问题。
17. 枚举法，将所有可能的排列组合情况列举出来，求解问题。
18. 穷举法，通过穷举所有可能的情况，求解问题。
19. 数学归纳法，利用数学归纳法证明排列组合的性质，求解问题。
排列组合中的三种方法三
排列组合中的三种方法三在事业单位行测考试中，排列组合题型也是常考知识点之一，但是大多数考生对这种题型可谓望而却步。
中公教育团队，针对此类问题，总结归纳出这类题型的解题方法，希望对广大考生有所帮助!三、插板法所谓插板法，指在解决若干相同元素分组，要求每组至少一个元素时，采用将比所需分组数目少1的板插入元素之间形成分组的解题策略。
提醒：其首要特点是元素相同，其次是每组至少含有一个元素，一般用于组合问题中。
【例题】将8个完全相同的球放到3个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球，一共有多少种方法?解题思路：解决这道问题只需要将8个球分成三组，然后依次将每一组分别放到一个盒子中即可。
因此问题只需要把8个球分成三组即可，于是可以讲8个球排成一排，然后用两个板查到8个球所形成的空里，即可顺利的把8个球分成三组。
其中第一个板前面的球放到第一个盒子中，第一个板和第二个板之间的球放到第二个盒子中，第二个板后面的球放到第三个盒子中去。
因为每个盒子至少放一个球，因此两个板不能放在同一个空里且板不能放在两端，于是其放板的方法数是。
(板也是无区别的)【例题】有9颗相同的糖，每天至少吃1颗，要4天吃完，有多少种吃法?解题思路：原理同上，只需要用3个板插入到9颗糖形成的8个内部空隙，将9颗糖分成4组且每组数目不少于1即可。
因而3个板互不相邻，其方法数为。
【例题】将8个完全相同的球放到3个不同的盒子中，一共有多少种方法?解题思路：此题中没有要求每个盒子中至少放一个球，因此其解法不同于上面的插板法，但仍旧是插入2个板，分成三组。
但在分组的过程中，允许两块板之间没有球。
其考虑思维为插入两块板后，与原来的8个球一共10个元素。
所有方法数实际是这10个元素的一个队列，但因为球之间无差别，板之间无差别，所以方法数实际为从10个元素所占的10个位置中挑2个位置放上2个板，其余位置全部放球即可。
因此方法数为。
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排列组合常用方法技巧
排列组合常用方法技巧嘿，咱今儿就来唠唠排列组合常用方法技巧这事儿！咱先说说特殊元素优先法。
就好比你去参加个比赛，有个特别厉害的选手，那咱肯定得先关注他呀！在排列组合里，遇到那些有特殊要求的元素，咱就得优先考虑它们，给它们安排好位置，就像给大明星安排专属座位一样。
比如从一堆数字里选几个数组成一个数，要是有个数字特别特殊，咱就先把它的位置给定了，然后再去摆弄其他的数字，这样是不是就清楚多啦？还有呢，相邻问题捆绑法。
这就像一群好朋友要坐在一起，咱就把他们当成一个整体，一起安排座位。
先把这些相邻的元素捆绑起来，当成一个大块头，然后和其他元素一起进行排列组合，等都弄好了，再把捆绑的解开，让他们在自己的小范围内调整调整，这样不就搞定了相邻的问题嘛。
再说说不相邻问题插空法。
想象一下，有一些位置空着，等着一些不相邻的元素去填。
就像排队的时候，中间隔了几个空位，然后让特定的几个人去站进去，而且还不能挨着。
这时候咱就先把其他没要求的元素排好，排好之后就会出现一些空位，然后再把这些不相邻的元素插进这些空里，这不就妥妥的啦！分类分步计数原理那也是相当重要啊！做一件事，就像走一条路，如果有不同的走法，咱就得把每种走法都算上。
就好比去一个地方，可以走这条路，也可以走那条路，那总的走法就是这几条路的和。
要是分步骤走，第一步有几种选择，第二步又有几种选择，那总的可能性就是把每一步的选择数乘起来。
这就像搭积木，一层一层地往上搭，每一层都有不同的搭法，最后搭出来的样子可就多了去啦！还有平均分组问题呢！比如说把一些东西平均分成几组，这可不能简单地除以组数就行啦。
得考虑到分的过程中会有重复计算，得把重复的部分除掉，不然可就闹笑话啦！咱再举个例子哈，比如从 10 个不同的球里选 3 个球放到 3 个不同的盒子里，这。
解答排列组合问题的几种常用路径
排列组合问题经常出现在各类试题中，此类问题常与生活实际相结合，要求同学们根据已有的生活经验和所学的分类计数原理、分步计数原理来求解.那么求解排列组合问题有哪些途径呢？下面我们一起来探讨.一、利用插空法插空法是解答元素相邻问题的重要方法.运用插空法解题，要将问题中要求不相邻的元素插入其他元素排列之间的空隙中，再根据分步计数原理计数.其解题步骤为：①明确题目中要求不相邻元素的个数m ，以及其他没有要求的元素的个数n ；②对没有要求的n 个元素进行排列，这时n 个元素之间形成n -1个空位；③将m 个元素随机插入这n -1个空位和两端的位置中；④根据分步计数原理，将所得的排列数相乘，即可得出问题的答案.例1.公元5世纪，数学家祖冲之估计出圆周率π的范围是：3.1415926<π<3.1415927，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”.小明是个数学迷，在设置手机的数字密码时，打算将圆周率前6位数字“3,1,4,1，5,9”进行某种排列得到密码，并确保两个“1”不相邻，则小明可以设置的不同密码有()个.A.240B.360C.600D.720分析：题目中没有要求的数字有3、4、5、9共4个数字，要使两个“1”不相邻，需先分两步进行：首先排列3、4、5、9这4个数字的顺序；再将两个“1”插入其他4个数字之间的空位和两端的位置中即可.解：先排列3、4、5、9这4个数字的顺序，共有A 44种排法；然后将两个“1”插入之间的空位和两端的位置中，有C 25种方法，根据分步计数原理得，共有A 44C 25=240个不同的密码.例2.某音乐会的节目单上原定有3首歌曲，如果保持这3首歌曲的相对顺序不变，再安排2首歌曲A 、B 插入其中播放，则不同的安排方法有多少种？解：将所有的歌曲看作几个元素，则原有的3首歌曲之间形成2个空位，加上两端的位置，共有4个空位.先将首歌A 曲插入4个空位中，有C 14=4种插法.这样就排好了4首歌曲的顺序，它们之间形成3个空位，加上两端的位置，共有5个空位.再将首歌曲B 插入这5个空位中，有C 15=5种插法，故不同的安排方法有：C 14C 15=20种.按照题目要求，我们需将2首新歌曲插入到已有固定顺序的3首歌曲中间的空位或两端的位置，这就要求新增的2首歌曲不相邻，故需采用插空法求解.例3.某学校组织6×100接力跑比赛，某班级决定派出6位同学A 、B 、C 、D 、E 、F 参加比赛，要求同学D 和F 的参赛顺序不能相邻，则一共有____种排列方案.解：先排列A 、B 、C 、E 4名同学的顺序，有A 44=24种排列方案，此时4名同学之间形成3个空位，加上两端的位置，共有5个空位；然后将D 、F 2名同学插入这5个空位中，有A 25=10种方案，根据分步计数原理得，一共有A 44A 25=240种排列方案.分析问题可知，不相邻的元素有2个，即D 、F 两名同学，其他4名同学A 、B 、C 、E 没有要求，于是采用插空法，先排列其他4名同学的参赛顺序；然后将D 、F 2名同学插入5个空位中；最后根据分步计数原理求解.二、采用优先法解答元素有特殊要求的问题，常用优先法.运用该方法解题的思路为：①根据题意确定特殊元素的个数、位置、顺序；②将这些特殊元素分类进行排列；③对剩余的元素进行排列；④根据分类计数原理、分步计数原理进行求解.例4.用0,2,3,4,5这5个数字组成一个没有重复的3位数（一个数字只出现一次），则这个3位数是偶数的情况有种.解：①当0排在末位时，其他数字2,3,4,5有A 24种排列方式；②当0不排在末位时，其他的数字2,3,4,5有A 12A 13A 13种排列方式，根据分类计数原理可知，这个3位数是偶数的情况有：A 24+A 12A 13A 13=30种.要使这个3位数是偶数，需使个位数为0、2、4，其中0较为特殊，不能在首位，于是采用优先法，对0的位置进行分类讨论，并在排列各个数字的顺序时，需先对0的位置和末位数字进行排列，再排列其他的数字和位置.运用优先法解题，需先排列特殊元素的位置和顺序，再考虑其他元素的位置和顺序.三、运用间接法间接法适用于解答直接排列顺序或分类比较复杂的排列组合问题.运用该方法解题，需先讨论不满足题意的排列组合数，求得满足题意的所有排列组合数；然后用总数减去不满足题意的排列组合数，即可间接求得满足题意的排列组合数.46例5.某电影院的倒数第二排共有6个座位，最后一排共7个座位，现有2名学生购票选座，若倒数第二排中间的两个座位已被售出，且这两名学生不想相邻而坐，则有多少种不同的选座方法？解：电影院的最后两排共有11个座位，这2名同学有C 211A 22=110选法；2名同学相邻而坐，有(2+6)A 22=16种选法.因此，这两名同学不相邻而坐的选法有C 211A 22-(2+6)A 22=94种.若直接求两名同学不相邻，且倒数第二排中间两个位置不能坐的方案数，则需分几种情况进行讨论，解题的过程比较繁琐.于是采用间接法，分别求出2名同学随意选座位以及相邻而坐的方案数，然后将二者相减，即可快速解题.例6.某公司准备从4个重点城市和6个普通县区中各选择2处扩大规模进行建设，要求重点城市甲和普通县区A 至少有一个被选中，则有多少种不同的选择方法？解：从4个重点城市和6个普通县区中各任意选择2处，有C 24C 26=90种不同的方案，若重点城市甲和普通县区A 都没有被选中，则有C 23C 25=30种方案，故重点城市甲和普通县区A 至少有一个被选中的方案有90-30=60种.采用常规方法求解本题，需要分3种情况进行讨论，且容易重复计数，运用间接法求解更直接、简洁.分别求出从4个重点城市和6个普通县中各任意选择2处的方案数以及重点城市甲和普通县区A 都没有被选中的方案数，最后将两者相减，即可得到问题答案.四、使用捆绑法捆绑法是把几个要求相邻的元素捆绑在一起，看作一个整体，与其他元素一起排列的方法.该方法适用于求解元素相邻的问题.若要求n 个元素中有m 个元素相邻排列，则需先把这m 个元素捆绑起来，并将其看作一个整体，与其他元素n-m 个元素，即n -m +1个元素一起排列；然后根据分步计数原理进行求解.例7.7个人一起排队，若小明、小红、小凯3人要求相邻，则不一样的排法有多少种？解：先将小明、小红、小凯3个人进行捆绑，有A 33种排法；然后将其看作一个“大元素”，与其余4个人，一共5个元素一起全排排列，有A 55种排法，因此符合题意的排法有A 55A 33=720种.分析题意可知，7名同学中有3个人要求相邻，于是采用捆绑法，先将小明、小红、小凯这3名同学捆绑，然后与其他同学一起排列.例8.A 、B 、C 、D 、E 5个小朋友并排站成一排，如果A 、B 必须相邻，且B 在A 的右边，则不同的排法有().A.60种B.48种C.36种D.24种解：要使A 、B 必须相邻，且B 在A 的右边，则只有BA 一种排法，此时可将A 、B 两个小朋友捆绑起来，当作一个元素，与另外3个小朋友一起排列，有A 44=24种排法.因此，满足题意的排列方式有24种.在运用捆绑法解题时，要先分别求得捆绑起来的“大元素”内部元素的排序以及外部元素的顺序，再运用分步计数原理求解.五、借助缩倍法缩倍法适用于求解部分元素的顺序固定的问题.若m 个元素中有n 个元素的顺序固定，则需分别求得m 、n 个元素全排列数，然后将二者相除，即可求得这m 个元素的排列数.例9.为纪念某活动顺利举办，现有12名工作人员排队留影.（1）若工作人员甲排在乙的左边（从左往右排列），有多少种排法？（2）若工作人员甲排在乙的左边，丙排在乙的右边（从左往右排列），有多少种排法？解：（1）12名人员排成一列，有A 1212种排法，甲排在乙的左边和右边的机会是均等的，故一共有A 12122种排法.（2）甲、乙、丙3人排列，有A 33种排法，“甲排在乙的左边，丙排在乙的右边”情况有A 33种，故一共有A 1212A 33种排法.本题中甲、乙、丙3人的顺序固定，于是采用缩倍法求解，分别求得12人的全排数，以及甲乙2人、甲乙丙3人有固定顺序的排列数，然后将所得的结果相除.一般地，作除法的目的是为消序.例10.某大学三年级某系一共有6个班级，这个学期来了4名留学生，现要将他们安排在其中的2个班级中，且每个班级有2名留学生，一共有____种安排方案.解：设4名留学生为A 、B 、C 、D ，若A 、B 为一组，C 、D 为另外一组，则有C 24C 22A 26=300种安排方案.由于C 、D 为一组和A 、B 为一组的分法相同，故一共有C 24C 22A 26A 22=150种不同的安排方案.本题实际上是要求对4名留学生进行平均分组，再分配到2个班级中，所以采用倍缩法，将总的排列数除以A 22，使得4名留学生均分成2组.在求解排列组合问题的过程中，同学们一定要先明确题目中是否存在相邻或不相邻元素，判断是否有特殊要求的元素或位置；然后选用捆绑法、优先法、插空法、间接法、缩倍法等方法进行求解.只有明确题目的类型和对应的解题方法，才能准确解题，有效地提高解题的效率.（作者单位：甘肃省礼县实验中学）47。
排列组合学习中的常用方法与技巧
排列组合学习中的常用方法与技巧1.排列与组合的定义排列是指从一组对象中选取一部分对象（有顺序地排列）的方法。
组合是指从一组对象中选取一部分对象（不考虑顺序）的方法。
设集合A包含n个元素，k是一个非负整数，排列的数量记作P(n,k)，组合的数量记作C(n,k)。
这里有两个重要的定理:P(n,k)=n!/(n-k)!C(n,k)=n!/(k!(n-k)!)2.乘法原理乘法原理是排列组合学中最基本的推理方法之一、它指出，如果一个任务可以被分解为几个独立的子任务，那么完成整个任务的方式数等于各个子任务方式数的乘积。
举例来说，如果一个班级有3个男生和4个女生，要从中选取一个男生和一个女生担任班级的代表，那么总共的方式数为3*4=12种。
3.加法原理加法原理是排列组合学中另一个基本的推理方法，它指出，如果一个任务可以通过几种不同的方式完成，那么完成任务的总方式数等于各个方式数的和。
举例来说，如果一个班级要在体育馆选取5个学生参加篮球比赛，班级有12个男生和8个女生，那么总的方式数为12+8=20种。
4.阶乘函数的应用阶乘函数在排列组合学中经常出现，我们可以利用它来计算排列和组合的数量。
阶乘函数定义为n!=n*(n-1)*...*2*1、这个函数有以下几个重要的性质:-0!=1-对于任意正整数n,n!=n*(n-1)!-P(n,k)=n!/(n-k)!-C(n,k)=n!/((n-k)!*k!)5.特殊问题的解决方法在排列组合学中，有一些特殊的问题需要使用特殊的解决方法。
例如，对于一些问题，我们可以使用集合的包含排除原理来求解。
对于其他问题，我们可以使用二项式系数和二项式定理来计算排列和组合的数量。
这些特殊的解决方法在实际问题中非常有用。
在学习排列组合学时，需要掌握的还有一些重要的概念和技巧，如容斥原理、鸽笼原理、分组问题的解决方法等。
此外，多做题目、理解概念和定理的证明，以及灵活运用解决问题的方法，都是学习排列组合学的关键。
解答排列组合问题常用的几种途径
体，即为一个“对象”，4 本不同年级的物理书也看成一
个整体，即为另一个“对象”，把两个“对象”排成一排
有
A2 2
种排法；
第二步，对数学书、物理书两个“对象”内部的元素
分别进行排列，数学书“对象”内部的元素有
A3 3
种排列
方法，物理书“对象”内部的元素有
A
4 4
种排列方法.
因此，符合题意的排列方法共有
同元素.将这 10 个相同元素排成一排，元素之间有 9 个
空，选出 2 个空插入隔板，可把 10 个元素分成 3 份，分
配给每个班级，所以共有
C2 9
=
36种
分配方案.
本题为相同元素的分配问题，可采用隔板法对问
题进行求解.隔板法的适用范围较窄，同学们在解题时
需首先确定问题是否为相同元素的分配问题，再采用
A22∙A33∙A
4 4
=
288种
.
本题中要求数学书必须相邻，物理书也必须相
邻，则本题即为相邻问题，可采用捆绑法对问题进行
求解.
二、运用插空法
若问题中要求几个元素不能相邻，则需采用插空
法，即先将无限制条件的元素全排列；再将指定的不
能相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置，从
而将各个元素按照题目要求排列好.
隔板法求解.
四、借助倍缩法
有些问题中要求部分元素有固定的顺序，此时我
们可用倍缩法进行求解.先将所有元素进行全排列；然
后用所有元素的全排列数除以定序元素的全排列数，
即可得到问题的答案.
例 4.现将 4 名男生、3 名女生（身高各不相同）这 7
名学生排成一行.若女生按照从矮到高的顺序排列（从
排列与组合问题的常用方法
排列与组合问题的常用方法排列与组合是组合数学中的两个重要概念。
它们在概率论、统计学、计算机科学、组合优化等领域中有广泛的应用。
本文将介绍排列与组合的基本概念、常用方法和应用。
一、排列排列是指从一组元素中按照一定的顺序选择若干元素的方式。
假设有n个元素，要求从中选择m个元素，且要按照一定的顺序排列。
则这样的选择方式叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用P(n, m)表示。
1.全排列全排列是指对n个元素进行排列，将它们按照不同的顺序排列的方法总数。
全排列的个数为n!（n的阶乘）。
2.有重复元素的排列当n个元素中有重复元素时，全排列的个数存在重复。
此时，需要除以重复元素的个数来去除重复的排列。
3.部分元素排列有时候，从n个元素中选择r个元素进行排列，即P(n, r)，其中r小于n。
这时，排列的个数为n*(n-1)*...*(n-r+1)，即n的降序排列的前r项的乘积。
二、组合组合是指从一组元素中选择若干元素的方式，不考虑其顺序。
假设有n个元素，要求从中选择m个元素，但不考虑它们的顺序。
则这样的选择方式叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C(n, m)表示。
1.递推公式组合数满足以下递推公式：C(n,m) = C(n-1, m-1) + C(n-1, m)，其中C(n, 0) = C(n, n) = 1。
2.全组合全组合是指从n个元素中选择0个、1个、2个......直到n个元素进行组合的方法总数。
全组合的个数为2^n。
3.有重复元素的组合当n个元素中有k个重复元素时，组合的个数存在重复现象。
此时，可以引入多重组合数的概念，表示从n个元素中选择m个元素的组合个数，但是允许每个元素选择的次数有上限。
多重组合数的计算可以通过动态规划等方法进行。
三、常用方法1.迭代法排列与组合问题可以通过迭代的方法求解。
可以使用递归或循环的方式进行迭代，根据问题的要求和具体情况选择合适的方法。
2.数学公式有时候，排列与组合问题可以通过数学公式进行求解。
例说排列组合问题常见处理方法
例说排列组合问题常见处理方法(湖南省邵东三中 422819) 王向群 排列、组合是高中数学中的难点之一.这部分内容独特,思维抽象,题型繁多,并且容易产生由于思维不周而引起的重复或遗漏,而且这种错误往往又难以检验.因此,掌握一些常见排列组合问题的处理方法很有必要的.下面拟作一些介绍.一、特殊元素,优先考虑例1 6名学生站成一排,其中甲、乙两人既不站排头,也不站排尾有多少种不同的方法?分析:甲、乙两人为特殊元素,他们既不站排头,也不排排尾,那么他们只能站在中间4个位置上,有A24种方法,其余4人有A44种站法,因此共有N=A24A44= 288(种)站法.二、特殊位置,安排在前例2 6名学生站成一排,其中甲、乙两人既不站排头,也不站排尾有多少种不同的方法?分析:排头和排尾是两个特殊位置,甲、乙两人不能站,那么只能由其余4人中选2人去站,有A24种方法,其他4个位置由余下的4人去站,有A44种方法,因此共有N=A24A44=288(种)站法.三、合理分类,严防重复例3 写有0,2,4,6,8的5张卡片,如果6允许作9使用,从中抽取3张可组成多少个不同的3位数?分析:0,6是两个特殊元素,优先考虑,并正确分类,符合条件的取法可分为四类:(1)选0不选卡片6,由于0不能排首位,可组成3位数A12A23=12(个);(2)选0且选卡片6,需先从2,4,8中再选一卡片,由于0不能排百位且6可作9使用,可组成3位数C13(C12õA22)õ2=24(个);(3)不选0但选卡片6,这时还需从2,4,8中选二张卡片,由于6可作9使用,可组成3位数C23A33A22= 36(个);(4)0,6都不选,可组3位数A33=6(个).因此,符合条件的3位数有N=A12A23+A12õC13A22A22+C23A33A22+A33=78(个).四、恰当分步,谨防遗漏例4 从6双不同的手套中任取4只,其中恰有2只配成一双的取法有多少种?分析:事情可分四步完成:(1)从6双中取一双,有C16种方法;(2)从余下的5双中取两双,有C25种方法;(3)从取出的两双中的一双中取一只有C12种方法;(4)从取出的两双中的另一双中取一只有C12种方法.因此共有取法N=C16C25C12C12=240(种).五、排列方阵,直排处理例5 9人排成3行,每行3人,其中3人要排在同一行,有多少种不同的排法?分析:设这其中3人是a,b,c,他们在同一行中有A33种方法.且这行可能在3行中的任一行,有C13种可能.至于其余6人,可设想先排成一行有A66种方法,然后从中截断,成前后二行,这已经包括了所有可能情形. E E Ea b cE E E.故共有方法,A33õC13õA66=12960种.六、元素不邻,选空插入例6 3人坐有8个座位的长椅上,若每人左右都有空位,这样的坐法有多少种?分析:要求3人左右都要有空位,那么3人只能排在由5个空位排列所形成的4个空格之中的3个,故有排法N=A34=24(种).七、元素相邻,合并考虑例7 一条长椅上有10个座位,现有4人坐,问恰好有5个连续空位的坐法有多少种?分析:把5个连续空位看成大元素a,单个的空位为元素b,并设4人为c,d,e,f,则问题化为6个元素的排列,其中a,b不能相邻.因此,a,b只能排在由c,d,e,f 排列后所形成的3个空格及左,右两端上,故有不同的坐法N=A44A25=480(种).八、机遇均等,采用等分例8 从a,b,c,d,e,f,g七个元素中选取5个排成一排,其中a在b前面又在c前面的排法有多少种?其中a在b前面且b又在c前面的排法有多少种?分析:依题意,a,b,c必须选上,另两个元素从d,e, f,g中选取,有C24种方法.如果没有限制条件,含a,b,c 在内的5个元素的全排列有A55种.另一方面,a,b,c的位置关系只可能有以下两种情况:a,b,c或a,c,b.但a, b,c的全排列有6种.a在b,c前面的排法占整个排法的26,故符合条件的排法N=13C24A55=240(种).同理,a在b前面且b又在c前面的排法,只有a,b,c占整个排法的16,故这时符合条件的排法N=16C24A55=120(种).九、元素均分,须去重复例9 把6本不同的书平均分成三堆有多少种不同的方法?分析:若把6本不同的书平均分给甲、乙、丙三人,有C26C24C22种方法.可设想先把这6本不同的书平均分成三堆有x种方法,再将这三堆分给甲,乙,丙三人有A33种方法,∴xõA33=C26C24C22,∴x=C26C24C22 A33=15(种)方法.十、正难则反,间接排除例10 一条长椅上有7个座位,4人坐,要求3个空位有两个相邻,另一个空位不相邻有多少种不同的方法?分析:7个座位4人去坐有A47种方法,其中不符合题意的坐法有两类:(1)3个空位相邻,把它们看成大元素,有A55种不同的坐法;(2)3个空位彼此不相邻,那么3个空位只能插入由4人坐一排所形成的5个空档中的3个,有A44C35种方法.∴N=A47-A35-A44C35=480(种).别解:此4人有A44种坐法,再在他们形成的五个空隙中插入元素E E和E,故共有A44õA25=480种方法.十一、构造集合,辅元分类例11 车间有9个工人,有3人只会作钳工,有4人只会作车工,有2人既会钳工又会车工,现从中选派钳工,车工各2人去完成某一任务,有多少种不同的指派方法?分析:设会钳工的工人构成集合A,会车工的工人构成集合B,那么既会钳工又会车工的工人即为集合A ∩B,于是指派方法可分三类:(1)集合A中派只会钳工的工人2人,集合B中派2人,有C23C26种方法;(2)集合A中派只会钳工的工人1人,在集合A∩B中派1人作为钳工,再在集合B中余下的工人中派2人,有C13C12C15种方法.(3)在集合A∩B中派2人作为钳工,在集合B中余下的4人中派2人,有C22C24种方法.因此,不同的指派方法N=C23C26+C13C12C25+C22C24 =111(种).十二、构造模型,化为具体例12 大街上有编号为1,2,…,15的15盏灯,为了节约用电又不影响照明,可以关掉3盏灯,但不能同时关掉相邻的两盏或三盏,也不能关掉两端的灯,有多少种不同的关灯方法.分析:用“1”表示亮灯,用“0”表示熄灯.每一种关灯方法都对应着12个1和3个0的一个排列,其中3个0不能相邻,且既不排排头,也不排排尾.因此,3个0只能排在由12个1排列后所形成的11个空档之中,故有C311=165种不同的关灯方法.。
排列组合问题解题技巧
排列组合问题解题技巧稿子一嘿，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊排列组合问题的解题技巧。
你知道吗，这排列组合啊，有时候就像个调皮的小精灵，让人有点摸不着头脑。
但别怕，咱们有办法搞定它！比如说，遇到那种从一堆东西里选几个的问题，咱先得搞清楚是排列还是组合。
要是顺序重要，那就是排列；要是顺序无所谓，那就是组合。
这就像选衣服，款式重要那就是排列，颜色不重要那就是组合。
还有哦，分类讨论这个方法超有用！把问题分成不同的情况，一个一个来解决。
就像吃糖果，不同口味分开吃，清楚又明白。
有时候呢，咱们可以用间接法。
正面不好算，那就从反面入手，就像走迷宫，正面走不通，换个方向说不定就出来啦。
再就是特殊元素优先考虑。
那些特别的元素，就像班级里的班干部，先给他们安排好，剩下的就好办多啦。
稿子二亲人们，咱们来唠唠排列组合问题的解题小窍门！说起排列组合，一开始可能会觉得有点晕乎，但其实掌握了技巧，也就那么回事儿。
比如说插空法，想象一下一群人排队，中间有空位，咱们把新的元素插进去，是不是挺有意思？捆绑法也不错哦，把几个相关的元素当成一个整体，先处理这个整体，再处理内部，就像一家人一起行动，先安排一家人的位置，再管家里人的具体排列。
还有分步计数原理和分类计数原理，这俩可是基础中的基础。
一步一步来，别着急，就像爬楼梯，一层一层稳稳走。
遇到复杂的问题，别慌，画个图或者列个表，能让思路更清晰。
有时候脑子乱了，看看自己画的写的，一下子就明白啦。
而且呀，要细心细心再细心，可别数漏了或者数重了。
做完题多检查检查，保证答案的正确性。
好啦，相信大家掌握了这些技巧，排列组合都能轻松拿下！。
(完整版)排列组合问题常用方法(二十种)
解排列组合问题常用方法（二十种）一、定位问题优先法（特殊元素和特殊位置优先法）例1、由01,2,3,4,5，可以组成多少个没有重复数字五位奇数？ 分析：特殊元素和特殊位置有特殊要求，应优先考虑。
末位和首位有特殊要求。
先排末位，从1,3,5三个数中任选一个共有13C 种组合；然后排首位，从2,4和剩余的两个奇数中任选一个共有14C 种组合；最后排中间三个数，从剩余四个数中任选三个共有34A 种排列。
由分步计数原理得113344288C C A =。
变式1、7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？分析：先种两种不同的葵花在不受限制的四个花盒中共有24A 种排列，再种其它葵花有55A 种排列。
由分步计数原理得25451440A A =。
二、相邻问题捆绑法例2、7人站成一排 ，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法？分析：分三步。
先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，将丙丁两元素也捆绑成整体看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时在两对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理得522522480A A A =。
变式2、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 。
分析：命中的三枪捆绑成一枪，与命中的另一枪插入未命中四枪形成的五个空位，共有25A 种排列。
三、相离问题插空法例3、一个晚会节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈不能连续出场，则节目出场顺序有多少种？分析：相离问题即不相邻问题。
分两步。
第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种排列，第二步将4个舞蹈插入第一步排好后形成的6个空位中（包含首尾两个空位）共有46A 种排列，由分步计数原理得545643200A A =。
变式3、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新节目插入原节目单中且不相邻，那么不同插法的种数为 。
行测答题常见排列组合方法运用
行测答题常见排列组合方法运用
排列组合因其考查方式灵活，能够区分考生的能力，备受命题人的青睐。
排列组合历来也是考试中的难点，近年在考法上也呈现综合考查的趋势，难度加大。
一、排列组合问题常用方法
1、捆绑法：如果题目有相邻要求，需要先将要求在一起的部分视为一个整体，再与其他元素一起进行排列。
2、插空法：如果题目有不相邻要求，则需要先排列其他主体，然后把不能在一起的元素插空到已经排列好的元素中间。
3、优限法：如果题目有绝对限制要求，则需要先优先排列，再考虑其他的。
4、间接法：如果题目有至少字眼，可以考虑反面计算更简单。
二、综合应用，判断原则
例1：甲乙丙丁戊排队照相，甲乙必须相邻，丙不在排头和排尾，有几种组合情况?
中公解析：题目中捆绑法和优限法结合应用，究竟先用哪个好。
排列组合题的求解技巧
排列组合题的求解技巧
华腾飞
【期刊名称】《青苹果：高中版》
【年(卷),期】2011(000)003
【摘要】排列组合问题在近年来的高考试卷中屡见不鲜。
由于此类试题与实际联系紧密，生动而富有情趣，因而备受命题者的青睐。
不过由于其题型多样，思路灵活，因而不易掌握。
所以掌握常见题型和解法并归类总结，进而熟练应用是备考行之有效的方法。
下面举例说明，相信会对同学们有所启迪。
【总页数】3页(P30-32)
【作者】华腾飞
【作者单位】不详
【正文语种】中文
【中图分类】G633
【相关文献】
1.巧用概率的思想求解排列组合题 [J], 何秋琼;
2.排列组合题常用的技巧 [J], 王斌
3.高中数学排列组合题的解题技巧 [J], 王志光
4.例谈求解排列组合题的先与后 [J], 王敏
5.解答排列组合题的方针与技巧 [J], 王多谢
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力的平衡原理的数学模型是: / 同一平面上的
n
E 众合力为 0, 即 FÅi = 00 与/ 力 @ 力臂相等, 即 f 1 i= 1
@ l1 = f 2 @ l2 0. 运用力的平衡原理可以解决、解释 某些数学问题、数学现象. 大数学家庞加莱说过: / 物理学不仅给我们一个解题的机会, 而且也帮助 我们发现解题方法, 引导我们预测解答并提出必 要的论证方法. 0
55
解题研究
有
C
2 14
种取法,
若从
A,
B
中各取一个元素也满足
条件有C
C 1 1
14 86
种取法,
故共有
C214
+
C
1 14
C
1 86
=
12 95
种方法.
7 交叉问题集合法
某些排列组合问题几个部分之间有交集, 可
用集合中求元素个数公式 Card( A G B ) = CardA
+ Car dB - Card( A G B) 求解.
任务不同的选法种数有多少种?
解析:
先从
10
人中选
2 人 承担 甲任 务有
C
2 10
种
选法,
再从
8
人中选
1
人承担乙任务有
C
1 8
种选法,
最后从
7
人中选
1
人承担丙任务有
C
1 7
种选法,
故
共有 C210 C18 C17 = 2520 种选法.
5 标号排位问题分步法
把元素排到指定号码位置上, 可先把某个元 素按规定排入, 第二步再排另一个元素, 如此继续 下去, 依次即可完成.
随意入座, 再无其他条件, 所以两排座位可看作一
排处理,
其不同的坐法种数是
A
8 8
种.
10 / 至少0 问题间接法
例 10 从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任取
56
3 台, 其中至少要甲型和乙型电视机各一台, 有多
少种不同的取法种数?
解析: 逆向思考, 至少各一台的反面就是只取
一种型号的电视机, 故共有 C39 -
A
3 3
种排法.
故 共满足 条件 的排 法有
A
3 6
#
A
3 3
=
4320 种.
2 不相邻问题插空法
对于某几个元素不相邻的排列问题, 可先将
其他元素排好, 然后再将不相邻元素在这些排好
的元素之间及两端的空隙插入.
例 2 7 人站成一行, 如果甲乙两人不相邻,
则不同的排法种数是多少?
解析:
先让甲乙之外的5 人排成一行,
(
C
3 4
+
C
3 5
)
=
70
种.
11 选排问题先取后排法
从几类元素中取出符合题意的几个元素再安
排在一定的位置上可用先号为 1, 2, 3, 4
的四个盒子里, 则恰好有一个空盒的方法有多少
种?
解析: 因恰好有一个空盒, 所以必须有一个盒
子要放 2 个球. 故可分两步进行: 第一步先选, 从 4
解题研究
探析数学问题中的物理技巧与方法
( 浙江省绍兴鲁迅中学 312000 ) 虞关寿 宋新华
数学是一门基础性学科, 它广泛应用于自然 学科、计算机、经济学等学科之中, 它是一门工具 性较强的学科, 我们常常可以感悟到把数学的思 想方法嫁接到其他学科之后, 产生累累硕果的例 子. 如用函数方程的思想探求化学方程式; 用概率 思想解决生物学中的遗传问题; 把博弈论运用于 经济学; 把矩阵运用于量子力学, ,,. 反过来, 有 好多数学问题用纯的数学手段和方法解决难以奏 效, 而用物理学知识和其他学科方法却能较为简 捷地解答. 本文拟想通过具体的例子, 运用物理学 中的有关概念、公式、定理、原理、方法、性质去解 决. 供参考.
GB =
10x xA
B
+
10x A xB
>
2. 故
顾客所得的大米实际质量超过 20 kg, 因此粮店吃
亏.
第 i ( 1 [ i [ 10) 个区间的棋子对应第 i 个班级学
生的名额, 因此名额分配方案的种数与隔板插入
方法数相等,
因隔板插入方法数为
C
9 17
,
故名额分
配方案共有
C
9 17
=
24310 种.
对于某几个元素要求相邻的排列问题, 可先
将相邻的元素捆绑起来看作一个元素与其他元素
排列后再对相邻元素之间进行排列.
例 1 5 名学生和 3 名老师站成一排照相, 3 名
老师必须站在一起的不同排法有多少种?
解析: 将 3 名老师捆绑起来看作一个元素与 5
名学生排列,
有
A
6 6
种排法,
而
3
名老师之间又有
6 多元问题分类法
例 6 从 1, 2, ,, 100 这 100 个数字中任取 2 个数使它们的乘积能被 7 整除, 这两个数的取法 ( 不计顺序) 共有多少种?
解析: 被取的 2 个数至少有一个能被 7 整除时 它们的乘积就能被 7 整除, 将这 100 个数组成的集 合视为 1, 能被 7 整除的数组成的集合为 A , 则 A = { 7, 14, ,, 98} 共 14 个元素, 不能被 7 整除的数 组成的集合为 B = CAL = { 1, 2, ,, 99, 100} 共 86 个元素. 若从集合 A 中任取 2 个元素则满足条件,
之平衡后给顾客, 然后又将 10 kg 砝码放入右盘,
置大米于左盘, 平衡后再给顾客. 请问: 是顾客吃
亏还是粮店吃亏?
分析: 若顾客所得的大米多于 20 kg , 则粮店
吃亏. 因此解此题的关键是求顾客称得大米的实
际重量, 再与 20 kg 进行比较, 从而达到求解的目
的. 由天平很自然地联想物理中的杠杆原理即动
复数字的三位数, 其中偶数有多少个?
解析: 因组成的三位数为偶数, 故末尾数字必
须是偶数, 又 0 不能排在首位, 故 0 是其中的特殊
元素, 应优先安排. 按 0 排在末尾和 0 不排在末尾
分两类:
( 1)
当
0
排
在末
尾时
有
A
2 4
个;
( 2)
当 0不排
在末尾时有
A
1 2
A
1 3
A
1 3
个,
故共有
A
力 @ 动力臂 = 阻力 @ 阻力臂. 由此可建立数学模
型 ) 不等式. 设天平的支点为 O, 左盘 A 的臂长为
x A , 右盘 B 的臂长为 x B , 两次称得的实际重量为
GA , GB . 则有 GA # x A = 10x B , GB # x B = 10x A , 因
为 xA
X xB, 所以 GA +
( 2) 构造映射模型
例 14 4 封不同的信投到 5 个邮箱, 共有多少
种不同的投法?
解析: 此问题就相当于集合 A 中有 4 个元素,
集合 B 中有 5个元素, 则集合 A 到集合B 的映射个 数一样, 共有 54 个, 故4 封不同的信投到 5个邮箱, 共有 54 种不同的投法.
排列组合问题的解法, 既有一般的规律, 又有 很多的技巧. 它要求我们首先要认真审题, 弄清是 排列问题还是组合问题, 其次要抓住问题的本质 特征, 采用合理恰当的方法来处理.
问题 1: ( 费马问题) 在锐角三角形 vA BC 内 是否存在一点 P , 使其到三顶点的距离之和为最 短?
分析: 考虑此点是否存在, 用纯数学方法不好
得出结论, 但用力的平衡原理去思考, 此点一定存
在, 且这一点到三顶点连线的夹角均为 120b( 即对
每个边的视角均为 120b) . 因为作用在这一点的三
面直线的有多少对?
解析: 正面求解或反面考虑( 利用补集) 虽然
可行, 但容易遗漏或重复. 从正方体的 8 个顶点中
任取
4个,
有
C
4 8
种取法,
其中
4 点 共面 的有
12
种(
6
个表面正方形, 6 个对角面长方形) , 将不共面的 4
点
构成
一个
三棱
锥共
有
C
4 8
-
12 个三棱锥, 每个三
棱锥确定了 3对异面直线, 因而共有 3( C48 - 12) =
解析:
5
人全排有
A
5 5
种排法,
而甲乙有
A
2 2
种
顺序, 现甲在乙前面,
即甲乙已定序,
故共有
A A
5 5
2 2
=
60 种.
4 有序分配问题逐分法
有序分配问 题是指 把元素按 要求 分成若 干
组. 此问题可刚逐分法.
例 4 有甲乙丙三项任务, 甲需 2 人承担, 乙
丙各需 1 人承担, 从 10 人中选出 4 人承担这三项
2 4
+
A
1 2
A
1 3
A
1 3
=
30
个.
9 分排问题直排法
把几个元素排成若干排的排列问题, 若没有
其他特殊要求, 可采用统一排成一排的方法来处
理.
例 9 两排座位, 第一排 3 个座位; 第二排 5
个座位, 若 8 个学生坐( 每人一个座位) , 则不同的
坐法种数是多少?
解析: 因 8 名学生可在前后两排的 8 个座位中