高一数学 向量的减法运算导学案及跟踪作业答案
人教B版高一数学必修四导学案：2.1.3向量减法
2.1.3向量减法学习目标：1. 了解相反向量的概念；2. 掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；3. 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，理解事物间可以相互转化的辩证思想. 教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法. 教学难点：减法运算时方向的确定. 教学思路：一、 复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则，向量加法的运算定律：例：在四边形中，=++ . 二、新课1． 用“相反向量”定义向量的减法（1） “相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a 。
易知-(-a ) = a.（2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量. →→=-00 。
任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量，则a = -b ， b = -a ， a + b = 0 （3） 向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差. 即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.2． 用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算： 若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b 3． 求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量a - bA作法：在平面内取一点O ，作OA = a ， OB = b 则= a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量. 注意：1︒表示a - b . 强调：差向量“箭头”指向被减向量。
2︒用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b )OAaBb -ba +abOa bBa ba -b4．探究：１）如果从向量a的终点指向向量b的终点作向量，那么所得向量是２）若a∥b，如何作出a-b？三、例题：例1、已知向量a、b、c、d，求作向量a-b、c-d.例2、平行四边形ABCD中，=a，=b，用a、b表示向量、.变式一：当a，b满足什么条件时，a+b与a-b垂直？变式二：当a，b满足什么条件时，|a+b| = |a-b|？变式三：a+b与a-b可能是相等向量吗？A BD CbadcAB C5． 练习：1。
高一7-1向量概念、加减运算知识梳理、经典例题、课后练习带答案
环 球 雅 思 教 育 学 科 教 师 讲 义讲义编号： ______________ 副校长/组长签字： 签字日期：【考纲说明】1、理解平面向量的概念和几何表示，掌握向量的加、减、数乘运算及其几何意义，会用坐标表示.2、了解平面向量的基本定理，掌握平面向量的坐标运算.3、本部分在高考中占5分.【趣味链接】1、向量最初被应用于物理学，被称之为矢量。
很多物理量，如力、速度、位移、电场强度、磁场强度等都是向量.2、大约公元前350年，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示为向量，向量一词来自力学、解析几何中的有向线段.3、大陆与台湾在2008年12月25日开通了直航，在此之前乘飞机要先从台北到香港，再从香港到上海，这里发生了两次位移.【知识梳理】一、 向量的基本概念与线性运算 1、向量的概念（1）向量：既有大小又有方向的量，记作AB ；向量的大小即向量的模（长度），记作|AB|，向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．（2）零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0与任意向量平行.（3）单位向量：模为1个单位长度的向量，常用e 表示．（4）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，记作a ∥b，平行向量也称为共线向量（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量，相等向量经过平移后总可以重合，记为b a=，大小相等，方向相同),(),(2211y x y x =⎩⎨⎧==⇔2121y y x x .（6）相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量.记作a-,零向量的相反向量仍是零向量.若a 、b是互为相反向量，则a =b -,b =a -,a +b =0 .2、向量的线性运算（1）向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法.向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”.（2）向量的减法 ：求向量a 加上b 的相反向量的运算叫做a 与b的差．向量的减法有三角形法则，b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b有共同起点）.（3）向量的数乘运算：求实数λ与向量a 的积的运算，记作λa．①a a ⋅=λλ；②当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时，λa 的方向与a的方向相反； 当0=λ时，0 =a λ，方向是任意的.③数乘向量满足交换律、结合律与分配律. 二、平面向量的基本定理与坐标表示 1、平面向量的基本定理如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=，其中不共线的向量21,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2、平面向量的坐标表示（1）在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j作为基底. 由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a 可表示成a xi yj =+ ，由于a 与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a的坐标，记作a =(x,y)，其中x 叫作a在x 轴上的坐标，y 叫做在y 轴上的坐标.显然0 =（0,0），(1,0)i = ，(0,1)j =．（2）设OA xi y j =+.则向量OA 的坐标(x,y)就是终点A 的坐标，即若OA =(x,y)，则A 点的坐标为(x,y)，反之亦成立ECBA（O 是坐标原点）． 3、平面向量的坐标运算（1）若()()1122,,,a x y b x y == ，则()1212,a b x x y y ±=±±．（2）若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =-- ，AB =（3）若a =(x,y)，则λa=(λx, λy)．（4）若()()1122,,,a x y b x y == ，则1221//0a b x y x y ⇔-=． （5）若()()1122,,,a x y b x y == ，则1212a b x x y y ⋅=⋅+⋅．【经典例题】【例1】（2010全国）△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB a =，CA b =，1,2a b ==，则CD =（ ） A.1233a b +B.2133a b +C.3455a b +D.4355a b + 【例2】（2009湖南）如图，D ，E ，F 分别是∆ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则( )A ．0AD BE CF ++=B ．0BD CF DF -+=C ．0AD CE CF +-= D ．0BD BE FC --=【例3】（2009全国）设非零向量a 、b 、c 满足c b a c b a =+==|,|||||，则>=<b a , （ ）A ．150° B.120° C.60° D.30°【例4】（2012辽宁）已知两个非零向量a ,b 满足|a +b |=|a -b |,则下面结论正确的是（ ） A ．a ∥b B ．a ⊥b C ．{0,1,3} D ．a +b =a -b【例5】(2009广东)已知平面向量a =,1x （），b =2,x x （－），则向量+a b ( )A. 平行于x 轴B. 平行于第一、三象限的角平分线C. 平行于y 轴D. 平行于第二、四象限的角平分线【例6】（2012浙江）设a ,b 是两个非零向量，以下说法正确的是（ ）A ．若|a +b |=|a |-|b |,则a ⊥bB ．若a ⊥b ,则|a +b |=|a |-|b |C ．若|a +b |=|a |-|b |,则存在实数λ,使得a =λbD ．若存在实数λ,使得a =λb ,则|a +b |=|a |-|b |【例7】若向量,2,()a b a b a b a ==-⊥满足，则向量b a 与的夹角等于 .【例8】已知平面上的向量PA 、PB满足224PA PB += ,2AB = ，设向量2PC PA PB =+ ，则PC 的最小值是 .【例9】（2009湖南）已知向量(sin ,cos 2sin ),(1,2).a b θθθ=-=（1）若//a b ，求tan θ的值；（2）若||||,0,a b θπ=<< 求θ的值。
高中数学 2.1.3 向量的减法学案 新人教B版必修4(2021年整理)
2016-2017学年高中数学2.1.3 向量的减法学案新人教B版必修4 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学2.1.3 向量的减法学案新人教B版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2.1.3 向量的减法1。
掌握向量减法的运算，并理解其几何意义。
（重点)2。
理解相反向量的含义,能用相反向量说出向量相减的意义。
（难点）3。
能将向量的减法运算转化为向量的加法运算。
（易混点)[基础·初探］教材整理1 向量的减法阅读教材P84倒数“第7行”以上内容，完成下列问题.图2。
1。
191.向量减法的定义:已知向量a，b(如图2。
1.19),作错误!＝a,作错误!＝b，则b＋错误!＝a，向量错误!叫做向量a与b的差，并记作a－b,即错误!＝a－b＝错误!－错误!。
2。
向量减法的两个重要结论：(1）如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量.(2)一个向量错误!等于它的终点相对于点O的位置向量错误!减去它的始点相对于点O的位置向量错误!，或简记“终点向量减始点向量”。
在△ABC中，D是BC的中点,设错误!＝c,错误!＝b，错误!＝a，错误!＝d，则d－a＝________。
【解析】d－a＝d＋（－a)＝错误!＋错误!＝错误!＝c.【答案】c教材整理2 相反向量阅读教材P84倒数“第6行”～P85“例1”以上部分内容,完成下列问题.1。
相反向量的定义：与向量a方向相反且等长的向量叫做a的相反向量，记作－a。
《向量的减法运算》教学设计、导学案、同步练习
《6.2.2 向量的减法运算》教学设计【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第一册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课是第3课时。
向量的减法运算是平面向量线性运算的一种。
在学完向量的加法运算及几何意义后,本节课是对上节课内容的一个转换。
学生在上节课已经学习了平面向量的加法运算及几何意义,会运用三角形法则和平行四边形法则求两个向量的和向量,具备了一定的作图能力。
这为学习向量的减法运算打下了很好的基础。
类比数的减法运算时,应让学生注意对“被减数”的理解。
本节主要学习相反向量，向量的减法的三角形法则。
通过类比数的减法,得到向量的减法及几何意义,培养了学生的化归思想和数形结合思想。
这样,不但能帮助学生加深对向量加法运算及几何意义的理解,也为后面学习向量的数乘运算及几何意义提供了指导性的思想。
【教学目标与核心素养】A.掌握相反向量的概念及其在向量减法中的作用；B.掌握向量的减法，会作两个向量的差向量，并理解其几何意义；C.会求两个向量的差；D.培养学生的类比思想、数形结合思想及划归思想。
【教学重点】：向量减法的运算和几何意义；【教学难点】：减法运算时差向量方向的确定。
【教学过程】注意：各向量“首尾相连”，和向量由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点.2.向量加法的平行四边形法则？注意：起点相同.共线向量不适用。
二、探索新知思考1：你还能回想起实数的相反数是怎样定义的吗？【答案】实数a 的相反数记作-a .思考2.两个实数的减法运算可以看成加法运算吗？如何定义向量的减法呢？【答案】如。
1.相反向量的定义：设向量，我们把与长度相同，方向相反的向量叫做的相反向量。
记作：。
规定：的相反向量仍是。
练习：（1） ；（2） ； ； （3）设与互为相反向量，那么 ，= ，= 。
【答案】（1） （2） （3）2. 向量减法的定义：AC BC AB b a =+=+OC OB OA b a =+=+)(,,y x y x R y x -+=-∈设a a a a -00=--)(a =-+)(a a =+-a a )(a b =a b b a +a 00b -a -0向量加上向量的相反向量，叫做与的差，即。
高中数学《向量减法运算及其几何意义》导学案
2．2.2向量减法运算及其几何意义1.相反向量2．向量的减法1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量的差仍是一个向量．()(2)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算．()(3)向量a 与向量b 的差与向量b 与向量a 的差互为相反向量．( )(4)相反向量是共线向量．( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)√ 2．做一做(1)非零向量m 与n 是相反向量，下列不正确的是( ) A ．m ＝n B ．m ＝－n C ．|m |＝|n | D ．方向相反答案 A解析 相反向量是模相等、方向相反的向量，故B ，C ，D 都正确．(2)(教材改编P 87T 2)OB →－OA →＋BA →＝________. 答案 0解析 OB →－OA →＋BA →＝AB →＋BA →＝0.(3)四边形ABCD 是边长为1的正方形，则|AB →－AD →|＝________. 答案2解析 AB →－AD →＝DB →， ∵|AB →|＝|AD →|＝1，∴|BD →|＝2， ∴|AB →－AD →|＝|DB →|＝ 2.探究1 向量的减法运算例1 化简：(1)(AB →－CD →)－(AC →－BD →)；(2)(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →)． 解 (1)解法一(变为加法)：原式＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝AB →＋DC →＋CA →＋BD →＝(AB →＋BD →)＋(DC →＋CA →)＝AD →＋DA →＝0.解法二(利用公式AB →－AC →＝CB →)：原式＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(AB →－AC → )－CD →＋BD →＝CB →－CD →＋BD →＝DB →＋BD →＝0.解法三(利用公式AB →＝OB →－OA →，其中O 是平面内任一点)： 原式＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(OB →－OA → )－(OD →－OC → )－(OC →－OA →)＋(OD →－OB →)＝OB →－OA →－OD →＋OC →－OC →＋OA →＋OD →－OB →＝0.(2)(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →) ＝(AC →＋BA →)－(OC →－OB →)＝BC →－BC →＝0. 拓展提升(1)向量减法运算的常用方法(2)向量加减法化简的两种形式①首尾相连且为和； ②起点相同且为差．做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用． 【跟踪训练1】 化简下列各式： (1)AB →－AC →－DB →； (2)AB →＋BC →－AD →； (3)AB →－CD →－DB →.解 (1)AB →－AC →－DB →＝CB →＋BD →＝CD →. (2)AB →＋BC →－AD →＝AC →－AD →＝DC →.(3)AB →－CD →－DB →＝AB →＋DC →＋BD →＝AB →＋BD →＋DC →＝AC →. 探究2 向量减法的几何意义例2 如图，在五边形ABCDE 中，若四边形ACDE 是平行四边形， 且AB →＝a ，AC →＝b ，AE →＝c ，试用a ，b ，c 表示向量BD →，BC →，BE →，CD →及CE →.解 ∵四边形ACDE 为平行四边形， ∴CD →＝AE →＝c .BC →＝AC →－AB →＝b －a .BE →＝AE →－AB →＝c －a ，CE →＝AE →－AC →＝c －b ， ∴BD →＝BC →＋CD →＝b －a ＋c .[结论探究] 若例2条件不变，试用a ，b ，c 表示向量DA →. 解 解法一(应用三角形法则)： DA →＝EA →－ED →＝－AE →－AC →＝－c －b . 解法二(应用平行四边形法则)： DA →＝－AD →＝－(AC →＋AE →)＝－c －b . 拓展提升求作两个向量的差向量的两种思路(1)可以转化为向量的加法来进行，如a －b ，可以先作－b ，然后作a ＋(－b )即可．(2)也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．【跟踪训练2】 已知一点O 到平行四边形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 的向量分别是a ，b ，c ，则向量OD →等于( )A ．a ＋b ＋cB ．a －b ＋cC ．a ＋b －cD ．a －b －c答案 B解析 如图，点O 到平行四边形的三个顶点A ，B ，C 的向量分别为a ，b ，c ，结合图形有：OD →＝OA →＋AD →＝OA →＋BC →＝OA →＋OC →－OB →＝a ＋c －b .探究3 向量加法、减法的综合应用例3 如图，O 为△ABC 的外心，H 为垂心．求证：OH →＝OA →＋OB →＋OC →.证明 作直径BD ，连DA 、DC ，有OB →＝－OD →，DA ⊥AB ，DC ⊥BC ，AH ⊥BC ，CH ⊥AB ， 故CH ∥DA ，AH ∥DC .得AHCD 是平行四边形，进而AH →＝DC →. 又DC →＝OC →－OD →＝OC →＋OB →，得OH →＝OA →＋AH →＝OA →＋DC →＝OA →＋OB →＋OC →. 拓展提升用几个基本向量表示其他向量的一般步骤(1)观察待表示的向量位置； (2)寻找相应的平行四边形或三角形； (3)运用法则找关系，化简得结果．【跟踪训练3】 如图，已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，AC ，AB 的中点．求证：AD →＋BE →＋CF →＝0.证明 连接EF ，由题意知：AD →＝AC →＋CD →，BE →＝BC →＋CE →，CF →＝CB →＋BF →.由D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，AC ，AB 的中点可知：EF →＝CD →，BF →＝F A →.∴AD →＋BE →＋CF →＝(AC →＋CD → )＋(BC →＋CE → )＋(CB →＋BF → )＝(AC →＋CD→＋CE →＋BF → )＋(BC →＋CB → )＝(AE →＋EC →＋CD →＋CE →＋BF → )＋0＝AE →＋CD →＋BF →＝AE →＋EF →＋F A →＝0.1.向量减法的运算法则(1)向量的减法运算与向量的加法运算是互逆运算，可以灵活转化，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．(2)两个向量的差也可用平行四边形法则及三角形法则求得：用平行四边形法则时，如图，两个向量也是共起点，和向量是起点与它们的起点重合的那条对角线(AC →)，而差向量是另一条对角线(DB →)，方向是从减向量指向被减向量；用三角形法则时，把减向量与被减向量的起点相重合，则差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点．2.非零向量a ，b 的差向量的三角不等式 (1)当a ，b 不共线时，如图①，作OA →＝a ，OB →＝b ， 则a －b ＝OA →－OB →＝BA →. (2)当a ，b 共线且同向时，若|a |>|b |，则a －b 与a ，b 同向(如图②)， 于是|a －b |＝|a |－|b |.若|a |<|b |，则a －b 与a ，b 反向(如图③)， 于是|a －b |＝|b |－|a |.(3)当a ，b 共线且反向时，a －b 与a 同向，与b 反向．于是|a －b |＝|a |＋|b |(如图④)．可见，对任意两个向量，总有向量不等式成立： ||a |－|b ||≤|a －b |≤|a |＋|b |.1．在菱形ABCD 中，下列等式中不成立的是( )A.AC →－AB →＝BC →B.AD →－BD →＝AB →C.BD →－AC →＝BC →D.BD →－CD →＝BC →答案 C解析 由向量减法法则知C 错误．2．如图所示，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则AF →－DB →等于( )A.FD →B.FC →C.FE →D.DF →答案 D解析 由图易知AF →＝DE →， ∴AF →－DB →＝DE →－DB →＝BE →， 又BE →＝DF →，∴AF →－DB →＝DF →.3．若O ，E ，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( ) A.EF →＝OF →＋OE → B.EF →＝OF →－OE →C.EF →＝－OF →＋OE →D.EF →＝－OF →－OE → 答案 B解析 由向量减法的三角形法则可知EF →＝OF →－OE →.故选B. 4．若a ，b 为相反向量，且|a |＝1，|b |＝1，则|a ＋b |＝________，|a －b |＝________.答案 0 2解析 若a ，b 为相反向量，则a ＋b ＝0，∴|a ＋b |＝0， 又a ＝－b ，∴|a |＝|－b |＝1，∵a 与－b 共线， ∴|a －b |＝2.5．已知O 为平行四边形ABCD 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，用a ，b ，c 表示OD →.解 解法一：如图所示，OD →＝OA →＋AD →＝a ＋BC →＝a ＋(OC →－OB →)＝a ＋c －b .解法二：OD →＝OA →＋AB →＋BC →＋CD →＝OA →＋BC →＋(AB →＋CD →)＝OA →＋BC →＋0＝OA →＋(BO →＋OC →)＝a ＋(－b ＋c )＝a －b ＋c .A 级：基础巩固练一、选择题1．下列运算中正确的是( ) A.OA →－OB →＝AB → B.AB →－CD →＝DB → C.OA →－OB →＝BA → D.AB →－AB →＝0答案 C解析 根据向量减法的几何意义，知OA →－OB →＝BA →，所以C 正确，A 错误；B 显然错误；对于D ，AB →－AB →应该等于0，而不是0.2．下列说法错误的是( )A ．若OD →＋OE →＝OM →，则OM →－OE →＝OD →B ．若OD →＋OE →＝OM →，则OM →＋DO →＝OE →C ．若OD →＋OE →＝OM →，则OD →－EO →＝OM → D ．若OD →＋OE →＝OM →，则DO →＋EO →＝OM → 答案 D解析 由向量的减法就是向量加法的逆运算可知，A ，B ，C 都正确．由相反向量定量知，共OD →＋OE →＝OM →，则DO →＋EO →＝－OD →－OE →＝－(OD →＋OE →)＝－OM →，故D 错误．3．有下列不等式或等式： ①|a |－|b |＜|a ＋b |＜|a |＋|b |； ②|a |－|b |＝|a ＋b |＝|a |＋|b |； ③|a |－|b |＝|a ＋b |＜|a |＋|b |；④|a |－|b |＜|a ＋b |＝|a |＋|b |. 其中，一定不成立的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 A解析 ①当a 与b 不共线时成立；②当a ＝b ＝0，或b ＝0，a ≠0时成立；③当a 与b 共线，方向相反，且|a |≥|b |时成立；④当a 与b 共线，且方向相同时成立．4.AC →可以写成：①AO →＋OC →；②AO →－OC →；③OA →－OC →；④OC →－OA →，其中正确的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④ 答案 D解析 由向量的加法及减法定义可知①④符合． 5．边长为1的正三角形ABC 中，|AB →－BC →|的值为( ) A ．1 B ．2 C.32 D.3 答案 D解析 如图所示，延长CB 到点D ，使BD ＝1，连接AD ，则AB →－BC →＝AB →＋CB →＝AB →＋BD →＝AD →.在△ABD 中，AB ＝BD ＝1，∠ABD ＝120°，易求AD ＝3，∴|AB →－BC →|＝ 3.二、填空题6．对于非零向量a ，b ，当且仅当________时，有|a －b |＝||a |－|b ||. 答案 a 与b 同向解析 当a ，b 不同向时，根据向量减法的几何意义，知一定有|a －b |>||a |－|b ||，所以只有两向量共线且同向时，才有|a －b |＝||a |－|b ||.7．如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 交于O 点，则BA →－BC →－OA →＋OD →＋DA →＝________.答案 CA →解析 BA →－BC →－OA →＋OD →＋DA →＝CA →＋AD →＋DA →＝CA →.8．如图，已知ABCDEF 是一正六边形，O 是它的中心，其中OB →＝b ，OC →＝c ，则EF →等于________．答案 b －c解析 EF →＝OA →＝CB →＝OB →－OC →＝b －c . 三、解答题9．如图，已知a ，b 不共线，求作向量a －b ，－a －b.解 如图(1)，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝OA →－OB →＝a －b .如图(2)，在平面内任取一点O ，作OA →＝－a ，OB →＝b ，则BA →＝OA →－OB →＝－a －b .10．设O 是△ABC 内一点，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，若以线段OA ，OB 为邻边作平行四边形，第四个顶点为D ，再以OC ，OD 为邻边作平行四边形，其第四个顶点为H .试用a ，b ，c 表示DC →，OH →，BH →.解 由题意可知四边形OADB 为平行四边形， ∴OD →＝OA →＋OB →＝a ＋b ，∴DC →＝OC →－OD →＝c －(a ＋b )＝c －a －b . 又四边形ODHC 为平行四边形， ∴OH →＝OC →＋OD →＝c ＋a ＋b ， ∴BH →＝OH →－OB →＝a ＋b ＋c －b ＝a ＋c .B 级：能力提升练1．设平面向量a 1，a 2，a 3满足a 1－a 2＋a 3＝0，如果平面向量b 1，b 2，b 3满足|b i |＝2|a i |，且a i 顺时针旋转30°后与b i 同向，其中i ＝1,2,3，则b 1－b 2＋b 3＝________.答案 0解析 将a i 顺时针旋转30°后得a i ′，则a 1′－a 2′＋a 3′＝0.又∵b i 与a i ′同向，且|b i |＝2|a i |，∴b 1－b 2＋b 3＝0.2．已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，M 是斜边AB 的中点，CM →＝a ，CA →＝b .求证：(1)|a －b |＝|a |； (2)|a ＋(a －b )|＝|b |.证明 因为△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°， 所以CA ＝CB .又M 是斜边AB 的中点，所以CM ＝AM ＝BM . (1)因为CM →－CA →＝AM →，又|AM →|＝|CM →|， 所以|a －b |＝|a |.(2)因为M 是斜边AB 的中点， 所以AM →＝MB →，所以a ＋(a －b )＝CM →＋(CM →－CA →)＝CM →＋AM →＝CM →＋MB →＝CB →， 因为|CA →|＝|CB →|， 所以|a ＋(a －b )|＝|b |.。
必修二《向量的减法运算》教案、导学案、同步练习
《6.2.2向量的减法运算》教案把大小相等方向相反的两个向量叫做相反向量。
问题三：两个实数的减法运算可以看成加法运算吗？的相反向量仍是 。
0问题七：非零共线向量怎样做减法运算？问题八：非零共线向量怎样做减法运算？ 1.共线同向2.共线反向小试牛刀判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的差仍是一个向量。
(√ )ba aO-bba -A意义。
这就是向量减法的几何的终点的向量的终点指向可以表示为从即由图得：a b b a b BA --=.a ba a O-bba -AB()ab b a AB BA AB b BA AB b a B b A a -=--=-=-=，则又因为由问题六可知：的终点的向量为的终点到则，的终点为，的终点为由图得：.a a注意：（1）起点必须相同。
（2）指向被减向量的终点。
1.共线同向abBAC2.共线反向abABC，求作向量。
作法：在平面内任取一点O ，作 则注意：起点相同，连接终点，指向被减向量的终点。
2、已知平行四边形,,,a b c d a b -c d -acdb OB ACD c d-c abda b-,OA a =,OB b =,OC c =,OD d =BA a b=-DC c d =-,,,b AD a AB ABCD ==。
，分别表示向量用DB AC ,b aaDB证明：作直径BD ，连接DA ，DC ， 则有又因为DA ⊥AB ，DC ⊥BC ，AH ⊥BC ，CH ⊥AB ， 所以CH//DA ，AH//DC.所以四边形AHCD 是平行四边形， 所以 又所以提升训练1、 求下列向量的差（1）（2）（3）（4）（5）（6）2、根据右图，回答下列问题：（1）当 满足什么条件时，与垂直？（2）当满足什么条件时，？OD OB-=DC AH =OB OC OD OC DC+=-=OC OB OA DC OA AH OA OH ++=+=+=(1)AB AD -=(3)BC BA -=(2)BA BC -=(4)OD OA -=(6)AO BO -=(5)OA OB -=DB CA AC AD AB BA abABCDb a ,b a ,ba b a -=+《6.2.2 向量的减法运算》导学案【学习目标】素 养 目 标与1. 相反向量2. 向量的减法定义3. 向量减法的几何意义§6.2.2 平面向量的减法运算一、情境导入 2.减法作图 三、课堂小结二、探索新知 3.减法几何意义 四、作业布置减法定义 例1、2、 3,,|||3||||AB a AD b DAB a b a b a b ==∠===+-练习、如图已知向量，，求和120o a bABCO`|b a ||DB ||b a ||AC ba DBb a 3|AB ||AD |ABCD AD AB-=+=-=+===，，由向量的加减法知，故此四边形为菱形由于为邻边作平行四边形、解：以3||60120=∆=∠=∠AC ADC DAC DAB O O 是正三角形，则所以，所以因为333|||sin 60322o AOD OD AD ∆==⨯=由于菱形对角线互相垂直平分,所以是直角三角形，一．相反向量在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则向量a －b ＝_____.如图所示如果把两个向量a 、b 的起点放在一起，则a －b 可以表示为从向量b三．|a －b |与|a |，|b |之间的关系(1)对于任意向量a ，b ，都有 ≤ |a －b | ≤ ； (2)当a ，b 共线，且同向时，有|a －b |＝ 或 ； (3)当a ，b 共线，且反向时，有|a －b |＝____． 【小试牛刀】1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)相反向量一定是共线向量．( √ ) (2)两个相反向量之差等于0.( )(3)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算．( ) (4)两个向量的差仍是一个向量．( )2.设b 是a 的相反向量，则下列说法一定错误的是( )A ．a 与b 的长度相等B ．a ∥bC ．a 与b 一定不相等D ．a 是b 的相反向量【经典例题】题型一 向量加减法法则的应用 点拨：例1 化简(AB →－CD →)－(AC →－BD →)．【跟踪训练】1 化简： (1)OM →－ON →＋MP →－NA →；(2)(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →)．题型二 利用已知向量表示其他向量 点拨：三个技巧(1)搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道．(2)注意综合应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换律来分析解决问题．(3)注意在封闭图形中利用向量加法的多边形法则．例2 如图，O 为平行四边形ABCD 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则OD →＝________．【跟踪训练】2 如图，在五边形ABCDE 中，若四边形ACDE 是平行四边形，且AB →＝a ，AC →＝b ，AE →＝c ，则BD →＝________.题型三 向量减法的应用例3已知向量|a |＝2，|b |＝4，且a ，b 不是方向相反的向量，则|a －b |的取值范围是________．【跟踪训练】3（1）已知O 为四边形ABCD 所在平面外的一点，且向量OA →，OB →，OC →，OD →满足OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 的形状为 。
导学案1：2.1.3 向量的减法
必修四第二章平面向量2.1.3向量的减法教学目标1、使学生了解向量的物理实际背景，理解平面向量的一些基本概念，能正确进行平面向量的几何表示。
2、让学生经历类比方法学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法。
3、通过本节的学习，让学生感受向量的概念方法源于现实世界，从而激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣教学重点与难点1、重点：向量减法的定义及几何意义2、难点：向量减法的定义及几何意义。
[知识要点]．1.“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量.记作-aa 与-a 互为相反向量-(-a) = a规定：零向量的相反向量仍是零向量.任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a) = 0如果a、b互为相反向量，则a = -b，b = -a，a + b = 02.向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差.即：a-b = a + (-b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.3.求作差向量：已知向量a、b，求作向量a-b[预习自测]1．下列等式恒成立的是( )A.AB →＋BA →＝0B.AB →－AC →＝BC →C ．(a·b )·c ＝a (b·c )D ．(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c2．已知|a |＝23，|b |＝6，a·b ＝－18，则a 与b 的夹角θ是( )A ．120°B ．150°C ．60°D ．30°3．已知i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，则与2i ＋3j 垂直的向量是( )A ．3i ＋2jB ．－2i ＋3jC ．－3i ＋2jD ．2i －3j4．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为120°，那么|a ＋3b |的值为( ) A.7 B.10 C.13 D ．45．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(－3，－4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为( )A ．－2,1B ．1，－2C ．2，－1D ．－1,2 [归纳反思]能力提升6．已知向量a ＝(3，1)，b 是不平行于x 轴的单位向量，且a ·b ＝3，则b 等于( )A.⎝⎛⎭⎫32，12B.⎝⎛⎭⎫12，32C.⎝⎛⎭⎫14，334 D ．(1,0) 7．向量a 与b 不共线，AB →＝a ＋k b ，AC →＝l a ＋b (k ，l ∈R )，且AB →与AC →共线，则k ，l 应满足( )A ．k ＋l ＝0B ．k －l ＝0C ．kl ＋1＝0D ．kl －1＝08．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 夹角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，π6B.⎣⎡⎦⎤π3，πC.⎣⎡⎦⎤π3，2π3D.⎣⎡⎦⎤π6，π 9．如下图，已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6，下列向量的数量积中最大的是( )A.P 1P 2→·P 1P 3→ B.P 1P 2→·P 1P 4→ C.P 1P 2→·P 1P 5→ D.P 1P 2→·P 1P 6→10．在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，∠B ＝45°，AB ＝2CD ＝2，M 为腰BC 的中点，则MA →·MD →＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案预习自测:1.答案：D2.解析：∵cos θ＝a·b |a ||b |＝－1823×6＝－32，∴θ＝150°. 答案：B3.解析：2i ＋3j ＝(2,3)，C 中－3i ＋2j ＝(－3,2)．因为2×(－3)＋3×2＝0，所以2i ＋3j 与－3i ＋2j 垂直．答案：C4.解析：|a ＋3b |2＝(a ＋3b )2＝a 2＋6a·b ＋9b 2＝1＋9＋6·|a |·|b |·cos120°＝10＋6·cos120°＝7.所以|a ＋3b |＝7.答案：A5. 解析：因为c ＝λ1a ＋λ2b ，则有(－3，－4)＝λ1(1,2)＋λ2(2,3)＝(λ1＋2λ2,2λ1＋3λ2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ1＋2λ2＝－3，2λ1＋3λ2＝－4，解得λ1＝1，λ2＝－2. 答案：B6.解析：令b ＝(x ，y )(y ≠0)，则⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1， ①3x ＋y ＝3， ② 将②代入①得x 2＋(3－3x )2＝1，即2x 2－3x ＋1＝0，∴x ＝1(舍去，此时y ＝0)或x ＝12⇒y ＝32. 答案：B7.解析：因为AB →与AC →共线，所以设AC →＝λAB →(λ∈R )，即l a ＋b ＝λ(a ＋k b )＝λa ＋λk b ，所以(l －λ)a ＋(1－λk )b ＝0.因为a 与b 不共线，所以l －λ＝0且1－λk ＝0.消去λ得1－lk ＝0，所以kl －1＝0.答案：D8.解析：设a 与b 的夹角为θ，∵Δ＝|a |2－4a·b ≥0，∴a·b ≤|a |24，∴cos θ＝a·b |a ||b |≤|a |24|a ||b |＝12. ∵θ∈[0，π]，∴θ∈⎣⎡⎦⎤π3，π.答案：B9.解析：由于P 1P 2→⊥P 1P 5→，故其数量积是0，可排除C ；P 1P 2→与P 1P 6→的夹角是2π3，故其数量积小于零，可排除D ；设正六边形的边长是a ，则P 1P 2→·P 1P 3→＝|P 1P 2→|·|P 1P 3→|·cos30°＝32a 2，P 1P 2→·P 1P 4→＝|P 1P 2→|·|P 1P 4→|·cos60°＝a 2. 答案：A10.解析：由已知得BC ＝2，∠BCD ＝135°，所以MA →·MD →＝(MB →＋BA →)·(MC →＋CD →) ＝MB →·MC →＋MB →·CD →＋BA →·MC →＋BA →·CD → ＝22×22×cos180°＋22×1×cos135°＋2×22×cos45°＋2×1×cos0°＝2. 答案：B。
2.1.3 向量的减法 学案(含答案)
2.1.3 向量的减法学案（含答案）2.1.3向量的减法学习目标1.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则.2.掌握向量减法的几何意义.3.能熟练地进行向量的加.减运算.知识点一向量的减法1已知向量a，b如图，作a，作b，则ba，向量叫做向量a与b的差，并记作ab，即ab.2如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量.3一个向量等于它的终点相对于点O的位置向量减去它的始点相对于点O的位置向量，或简记“终点向量减始点向量”.知识点二相反向量1与向量a方向相反且等长的向量叫做a的相反向量，记作a如图.显然aa0.2从一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量.知识点三|a||b|，|ab|，|a||b|三者的关系当向量a，b不共线时，作a，b，则ab，如图1，根据三角形的三边关系，则有||a||b|||ab||a||b|.当a与b共线且同向或a，b中至少有一个为零向量时，作法同上，如图2，此时|ab||a||b|.当a与b共线且反向或a，b中至少有一个为零向量时，不妨设|a||b|，作法同上，如图3，此时|ab|||a||b||.故对于任意向量a，b，总有||a||b|||ab||a||b|.因为|ab||ab|，所以||a||b|||ab||a||b|，即||a||b|||ab||a||b|.将两式结合起来即为||a||b|||ab||a||b|.1.相反向量就是方向相反的向量.提示相反向量的方向相反.大小相等；方向相反的向量只是方向相反，大小没有关系.2.向量与是相反向量.提示与大小相等.方向相反.3.，aa.提示根据相反向量的定义可知其正确.4.两个相等向量之差等于0.提示两个相等向量之差等于0.题型一向量减法的几何作图例1如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量abc.解方法一如图，在平面内任取一点O，作a，b，则ab，再作c，则abc.方法二如图，在平面内任取一点O，作a，b，则ab，再作c，连接OC，则abc.引申探究若本例条件不变，则abc如何作解如图，在平面内任取一点O，作a，b，则ab.再作c，则abc.反思感悟在求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同始点，直接连接两个向量的终点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量；若两个向量的始点不重合，先通过平移使它们的始点重合，再作出差向量.跟踪训练1如图所示，已知向量a，b，c，d，求作向量ab，cd.解如图所示，在平面内任取一点O，作a，b，c，d.则ab，cd.题型二向量减法法则的应用例2化简下列式子1；2.解1原式0.2原式0.反思感悟向量减法的三角形法则的内容两向量相减，表示两向量起点的字母必须相同，这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点，以被减向量的终点字母为终点.跟踪训练2化简1；2.解1.20.题型三向量减法几何意义的应用例3已知||6，||9，求||的取值范围.解||||||||||||，且||9，||6，3||15.当与同向时，||3；当与反向时，||15.||的取值范围为3,15.反思感悟1如图所示，在平行四边形ABCD中，若a，b，则ab，ab.2在公式||a||b|||ab||a||b|中，当a与b方向相反且|a||b|时，|a||b||ab|；当a与b方向相同时，|ab||a||b|.3在公式||a||b|||ab||a||b|中，当a与b方向相同且|a||b|时，|a||b||ab|；当a与b方向相反时，|ab||a||b|.跟踪训练3在四边形ABCD中，设a，b，且ab，若|ab||ab|，则四边形ABCD的形状是A.梯形B.矩形C.菱形D.正方形答案B解析ab，四边形ABCD为平行四边形.又ab，|ab||ab|，||||.四边形ABCD为矩形.利用已知向量表示未知向量典例如图，已知O为平行四边形ABCD内一点，a，b，c，则________.用a，b，c表示答案abc解析因为，，，所以，，所以abc.素养评析本题主要考查平面向量的加法.减法运算，利用已知向量表示未知向量，这正体现了数学运算的核心素养.1.如图所示，在ABCD中，a，b，则用a，b表示向量和分别是A.ab和abB.ab和baC.ab和baD.ba和ba答案B解析由向量的加法.减法法则，得ab，ba.故选B.2.化简的结果等于A.B.C.D.答案B3.若菱形ABCD的边长为2，则||________.答案2解析2.4.若向量a与b满足|a|5，|b|12，则|ab|的最小值为________，|ab|的最大值为________.答案717解析由||a||b|||ab||a||b|，||a||b|||ab||a||b|可得.5.如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且a，b，c，试用a，b，c表示向量，，，及.解四边形ACDE是平行四边形，c，ba，ca，cb，bac.1.向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义，就可以把减法转化为加法.即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.如abab.2.在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”.解题时要结合图形，准确判断，防止混淆.3.平行四边形ABCD的两邻边AB，AD分别为a，b，则两条对角线表示的向量为ab，ba，ab，这一结论在以后应用中非常广泛，应该加强理解并掌握.。
《向量的减法运算》教案、导学案、课后作业
《6.2.2 向量的减法运算》教案【教材分析】减法运算是平面向量线性运算的一种，是向量加法的一种转换。
通过类比数的减法，得到向量的减法及其几何意义，培养学生的化归思想和数形结合思想。
这样即能加深学生对向量加法运算的理解，也为后面学习向量的数乘运算打下基础。
【教学目标与核心素养】课程目标1、了解相反向量的概念；2、掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；3、通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想.数学学科素养1.数学抽象：相反向量和向量减法的概念；2.逻辑推理：利用已知向量表示未知向量；3.直观想象：向量减法运算；4.数学建模：将向量减法转化为向量加法，使学生理解事物之间是可以相互转化的.【教学重点和难点】重点：向量减法的概念和向量减法的作图法；难点：减法运算时方向的确定.【教学过程】一、情景导入在数的运算中，减法是加法的逆运算，其运算法则是“减去一个数相当于加上这个数的相反数”.类比数的减法，向量的减法与加法有什么关系呢？怎样定义向量的减法？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本11-12页，思考并完成以下问题1.a的相反向量是什么？2.向量的减法运算及其几何意义是什么？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究 1.相反向量（1） “相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a （2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.- 0 = 0. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量，则a = -b ， b =-a ， a + b = 0 2、向量减法（“共起点，后指前”）（1）向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差. 即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法. （2） 作法：在平面内取一点O ，作OA⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ， 则BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a −b四、典例分析、举一反三 题型一 向量的减法运算例1 化简：(AB ―→－CD ―→)－(AC ―→－BD ―→)． 【答案】0【解析】法一：(AB ―→－CD ―→)－(AC ―→－BD ―→)＝AB ―→－CD ―→－AC ―→＋BD ―→＝AB ―→＋DC ―→＋CA ―→＋BD ―→＝AB ―→＋BD ―→＋DC ―→＋CA ―→＝AD ―→＋DA ―→＝0.法二：(AB ―→－CD ―→)－(AC ―→－BD ―→)＝AB ―→－CD ―→－AC ―→＋BD ―→＝(AB ―→－AC ―→)－CD ―→＋BD ―→＝CB ―→－CD ―→＋BD ―→＝DB ―→＋BD ―→＝0.法三：设O 是平面内任意一点，则(AB ―→－CD ―→)－(AC ―→－BD ―→)＝AB ―→－CD ―→－AC ―→＋BD ―→＝(OB ―→－OA ―→)－(OD ―→－OC ―→)－(OC ―→－OA ―→)＋(OD ―→－OB ―→)＝OB ―→－OA ―→－OD ―→＋OC ―→－OC ―→＋OA ―→＋OD ―→－OB ―→＝0.解题技巧（向量减法运算技巧） 1．向量减法运算的常用方法2．向量加减法化简的两种形式 (1)首尾相连且为和； (2)起点相同且为差．做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用． 跟踪训练一1、化简：(1) OA ―→－OD ―→＋AD ―→； (2) AB ―→＋DA ―→＋BD ―→－BC ―→－CA ―→. 【答案】(1) 0. (2) AB ―→.【解析】(1) OA ―→－OD ―→＋AD ―→＝DA ―→＋AD ―→＝0.(2) AB ―→＋DA ―→＋BD ―→－BC ―→－CA ―→＝AB ―→＋DA ―→＋BD ―→＋CB ―→＋AC ―→＝(AB ―→＋BD ―→)＋(AC ―→＋CB ―→)＋DA ―→＝AD ―→＋AB ―→＋DA ―→＝AD ―→＋DA ―→＋AB ―→＝0＋AB ―→＝AB ―→.题型二 向量的减法及其几何意义例2 已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a -b 、c -d . 【答案】见解析【解析】 在平面上取一点O，作= a ， = b ， = c ， = d， 作， ， 则= a -b ， = c -d解题技巧： (求两个向量差向量的思路)(1)可以转化为向量的加法来进行，如a －b ，可以先作－b ，然后作a ＋(－b )即可．OA OB OC OD BA DC BA DC(2)也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．跟踪训练二1、如图，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b －c .【答案】见解析【解析】法一：如图①所示，在平面内任取一点O ，作OA ―→＝a ， AB ―→＝b ，则OB ―→＝a ＋b ，再作OC ―→＝c ，则CB ―→＝a ＋b －c .法二：如图②所示，在平面内任取一点O ，作OA ―→＝a ，AB ―→＝b ，则OB ―→＝a ＋b ，再作CB ―→＝c ，连接OC ，则OC ―→＝a ＋b －c .题型三 用已知向量表示未知向量例3平行四边形中，a ，b ，用a 、b表示向量、.【答案】= a + b ， = = a -b 【解析】 由平行四边形法则得：= a + b ， = = a -bABCD =AB =AD AC DB AC DB AD AB -AC DB AD AB -解题技巧（用已知向量表示未知向量的步骤） (1)观察待表示的向量位置； (2)寻找相应的平行四边形或三角形； (3)运用法则找关系，化简得结果． 跟踪训练三1.如图所示，四边形ACDE 是平行四边形，B 是该平行四边形外一点，且AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，AE ―→＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量CD ―→，BC ―→，BD ―→.【答案】CD ―→＝AE ―→＝c ，BC ―→＝b －a ，BD ―→＝b －a ＋c. 【解析】因为四边形ACDE 是平行四边形， 所以CD ―→＝AE ―→＝c ，BC ―→＝AC ―→－AB ―→＝b －a ， 故BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝b －a ＋c. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计七、作业课本12页练习，22页习题6.2的4，6，7，10题. 【教学反思】向量加法是加法运算的逆运算，所以本节课安排学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算，利用三角形做出减向量，然后进一步应用。
北师大版高中数学高一必修4课时跟踪检测(十六)向量的减法
课时跟踪检测（十六）向量的减法层级一学业水平达标1．AC可以写成①AO＋OC；②AO－OC；③OA－OC；④OC－OA.其中正确的是() A．①②B．②③C．③④D．①④解析：选D AO＋OC＝AC，OA－OC＝CA，OC－OA＝AC.2．在四边形ABCD中，设AB＝a，AD＝b，BC＝c，则DC＝() A．a－b＋c B．b－(a＋c)C．a＋b＋c D．b－a＋c解析：选A DC＝DA＋AB＋BC＝a－b＋c.3．化简以下各式：①AB＋BC＋CA；②AB－AC＋BD－CD；③OA－OD＋AD；④NQ＋QP＋MN－MP.结果为零向量的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：选D由三角形法则及向量加、减法的有关性质可知各式均为零向量．4. 如图，在四边形ABCD中，下列各式成立的是()A．BC－BD＝CDB．CD＋DA＝ACC．CB＋AD＋BA＝CDD．AB＋AC＝BD＋DC解析：选C BC－BD＝BC＋DB＝DC，故A错误；CD＋DA＝CA，故B错误；CB＋AD＋BA＝CB＋BD＝CD，故C正确；BD＋DC＝BC≠AB＋AC，故D错误．5．在△ABC中，|AB|＝|BC|＝|CA|＝1，则|BC－AC|的值为() A．0 B．1C. 3 D．2解析：选B|BC－AC|＝|BC＋CA|＝|BA|＝1.6. 如图，已知ABCDEF是一正六边形，O是它的中心，其中OB＝b，OC＝c，则EF＝________.解析：EF＝OA＝CB＝OB－OC＝b－c.答案：b－c7．化简AB＋DA－DB－BC－CA的结果是________．解析：原式＝AB＋(DA－DB)－(BC＋CA)＝AB＋BA－BA＝AB.答案：AB8．已知OA＝a，OB＝b，若|OA|＝12，|OB|＝5，且∠AOB＝90°，则|a－b|＝________.解析：利用向量减法的三角形法则，知|a－b|是Rt△AOB的斜边长．由勾股定理，得|a －b|＝52＋122＝13.答案：139. 如图，已知D，E，F分别为△ABC的三边BC，AC，AB的中点．求证：AD＋BE＋CE＝0.证明：连接EF，由题意知：AD＝AC＋CD，BE＝BC＋CE，CF＝CB＋BF.由平面几何可知：EF＝CD，BF＝FA.∴AD＋BE＋CF＝(AC＋CD)＋(BC＋CE)＋(CB＋BF)＝(AC＋CD＋CE＋BF)＋(BC＋CB)＝(AE＋EC＋CD＋CE＋BF)＋0＝AE＋CD＋BF＝AE＋EF＋FA＝0.10. 如图，解答下列各题：(1)用a，d，e表示DB；(2)用b，c表示DB；(3)用a，b，e表示EC；(4)用d，c表示EC.解：∵AB＝a，BC＝b，CD＝c，DE＝d，EA＝e，∴(1)DB＝DE＋EA＋AB＝d＋e＋a.(2)DB＝CB－CD＝－BC－CD＝－b－c.(3)EC＝EA＋AB＋BC＝a＋b＋e.(4)EC＝－CE＝－(CD＋DE)＝－c－d.层级二应试能力达标1．在四边形ABCD中，若AB＝DC，且|AB＋AD|＝|AB－AD|，则四边形ABCD的形状是()A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形解析：选B由AB＝DC，得AB∥DC且AB＝DC，则四边形ABCD为平行四边形，所以AB＋AD＝AC，AB－AD＝DB，所以|AC|＝|DB|，所以四边形ABCD是矩形．2. 如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则()A．AD＋BE＋CF＝0B．BD－CF＋DF＝0C．AD＋CE－CF＝0D．BD－BE－FC＝0解析：选A∵AD＝DB―→，∴AD＋BE＝DB―→＋BE＝DE＝FC，∴AD＋BE ＋CF＝FC＋CF＝0.3．边长为1的正三角形ABC中，|AB－BC|的值为() A．1 B．2C.32 D. 3解析：选D延长CB到点D，使BD＝1，连接AD，则AB－BC＝AB＋BC＝AB＋BD＝AD.在△ABD中，AB＝BD＝1，∠ABD＝120°，易求得AD＝3∴|AB－BC|＝ 3.4．已知OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则() A．a＋b＋c＋d＝0 B．a－b＋c－d＝0C．a＋b－c－d＝0 D．a－b－c＋d＝0解析：选B如图，a－b＝OA－OB＝BA，c－d＝OC－OD＝DC，又四边形ABCD为平行四边形，则BA＝CD，即BA－CD＝0，所以BA＋DC＝0，即a－b＋c－d＝0.故选B.5. 如图所示，已知点O为平行四边形ABCD内一点，OA＝a，OB＝b，OC＝c，则OD＝________(用a，b，c表示)．解析：OD＝OA＋AD＝OA＋BC＝OA＋OC－OB＝a＋c－b＝a－b＋c.答案：a－b＋c6．已知非零向量a，b满足|a|＝7＋1，|b|＝7－1，且|a－b|＝4，则|a＋b|＝________.解析：设OA＝a，OB＝b，则|BA|＝|a－b|.以OA与OB为邻边作平行四边形OACB，如图所示，则|OC|＝|a＋b|.由于(7＋1)2＋(7－1)2＝42，故|OA|2＋|OB|2＝|BA|2，所以△AOB是∠AOB为90°的直角三角形，从而OA⊥OB，所以平行四边形OACB是矩形，根据矩形的对角线相等有|OC|＝|BA|＝4，即|a＋b|＝4.答案：47．若向量a，b满足|a|＝4，|a－b|＝5，|a＋b|＝5，求|b|.解：如图，作OA＝a，OB＝b，再以OA，OB为邻边作▱OACB，则有OC ＝a ＋b ，BA ＝a －b .∵|a －b |＝|a ＋b |＝5，∴|BA |＝|OC |，∴平行四边形OACB 为矩形，∴|OB |2＝|BA |2－|OA |2＝52－42＝9，∴|b |＝|OB |＝3.8．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，|a －b |＝2，求|a ＋b |的值．解：如图，在平面内任取一点A ，作AD ＝a ，AB ＝b ， 则AC ＝a ＋b ，BD ＝a －b .由题意，知|AB |＝|BD |＝2，|AD |＝1.过B 作BE ⊥AD 于E ，过C 作CF ⊥AB 交直线AB 于F .∵AB ＝BD ＝2，∴AE ＝ED ＝12AD ＝12.在△ABE 中，cos ∠EAB ＝AE AB ＝14.在△CBF 中，∠CBF ＝∠EAB ，∴cos ∠CBF ＝14.∴BF ＝BC cos ∠CBF ＝1×14＝14.∴CF ＝154.∴AF ＝AB ＋BF ＝2＋14＝94.在Rt △AFC 中，AC ＝AF 2＋CF 2＝ 8116＋1516＝ 6.∴|a ＋b |＝ 6.。
高中数学 82 向量的减法导学案 苏教版必修2 学案
a
b
a
O
A
b
a -
b B
某某省某某市邳州市第四中学高中数学 8.2 向量的减法导学
案 苏教版必修2
高一 年级 数学 学科 b +→
x =a ，则向量a 与b 的差，记为a -b ，求两个向量差的运算，a -b =a +（-b ）
根据向量减法的定义和向量加法的三角形法则，我们可以得到向量a -b 的作图方法【思考】：已知a ,b ，怎样求作a -b ？
）三角形法则：已知a ,b ，在平面内任取一点O ，作=−→
OA a ，=−→
−OB b ，则−→−BA a -b 可以表示为从b （减向量）的终点，指向a （被减向量）的终点的向量．(强调：同起点时，a -b 是连结a ，b 的终点，并指向“被减向量a ”的向量．
a
O
A
b
a ，=−→
−OB b ，则由向量加法的平行四a +（-b ）=a -b .
a
b
A
B
D O
a
b
a -
b =a +（-b ）吗？ a ，=−→
−DA b ,=−→
−OC c ，试证明：b +c -a =−→
−OA
a
b
a ，
b 都有||||||||||||a b a b a b -≤+≤+． ．掌握向量减法概念并知道向量的减法的定义是建立在向量加法的基础上的；
a ，=→
--BC b ，=→
--AC c ，求作向量：a b c -+；
．已知向量a ，b 的模分别是|a b -的取值X 围。
．预习向量的数乘。
高一数学(向量的减法)学案
江苏省淮安中学高一数学《向量的减法》学案一、学习目标与自我评估二、学习重点向量减法的三角形法则及运算律 三、学习难点四、学习活动与意义建构向量的减法实质是加法的逆运算，在学习时可类比实数的加减法运算性质， 作一个三角形和一个平行四边形，在图中标明各个向量，并注明向量之间 的运算关系，加深记忆。
五、重点与难点探究例1、如图，已知向量,a b 不共线，求作向量a b -例2、如图在平行四边形ABCD 中，,AB a AD b ==，用,a b 表示向量,,AC DB OA例3、(1)化简：()()AB CD AC BD ---(2)若OD OE OM +=,试判断下列结论是否正确 （1）OM OE OD -= (2) OM DO OE += (3) OD EO OM += (4) DO EO MO +=例4、已知正方形ABCD 的边长等于1，,,AB a BC b AC c ===，求作向 量a b c -+，并求模。
例5、判断题。
（1） 若非零向量a 和b 的方向相同或相反，则a b +的方向必与,a b 之一的方向相同 （ ） （2） 三角形ABC 中，必有0AB BC CA ++= （ ） （3） 若0AB BC CA ++=，则,,A B C 三点是一个三角形的三个顶点（ ）（4） a b a b +≥- （ ）例6、一自行车以36/m s 的速度向北行驶，这时骑车人感觉风自正西方向吹来，但站在地面上测得风自南偏西3π方向吹来，试求：（1）风相对于车 的速度（2）风相对于地的速度（文科可不做）ba六、自主体验与运用1、△ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 的中点，则AF DB -等于 （ ）A 、FDB 、EBC 、FED 、DF2、如图所示，点M 是△ABC 的重心，则MA MB MC +-为 （ ）BA 、0B 、4MEC 、4MD D 、4MF3、已知8,5,AB AC ==则BC 的取值范围是 （ ） A 、[3,8] B 、(3,8) C 、[3,13] D 、(3,13)4、在平行四边形ABCD 中，设12AE AB =，记,AB a AD b ==，则 EC 等于 （ ）A 、12a b + B 、12a b -- C 、12a b + D 、12a b -- 5、已知,a b 为非零向量，且a b a b +=-，作,AB a AD b ==，则以,AB AD 为邻边的四边形ABCD 是 （ ）A 、正方形B 、矩形C 、菱形D 、平行四边形 6、如果非零向量,a b 满足a b a b +=-，则a 与b7、边长为1的正方形ABCD 中，AB AD BC +-= 8、若,a b 是给定的不共线向量，试求满足下列条件的向量,x y ，使22x y ax y b⎧-=⎪⎨+=⎪⎩并作图用,a b 表示x 与y 。
苏教版数学高一-【学案导学设计】 必修4试题 向量的减法
2．2.2 向量的减法课时目标1．理解向量减法的法则及其几何意义.2.能运用法则及其几何意义，正确作出两个向量的差．向量的减法(1)定义：若b ＋x ＝a ，则向量x 叫做a 与b 的差，记为a －b ，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．(2)作法：在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则向量a －b ＝________.如图所示．(3)几何意义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为__________，被减向量的终点为__________的向量．例如：OA →－OB →＝__________.一、填空题1．若OA →＝a ，OB →＝b ，则AB →＝________.2．若a 与b 反向，且|a |＝|b |＝1，则|a －b |＝________. 3．化简(AB →－CD →)－(AC →－BD →)的结果是________． 4.如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 交于O 点，则BA →－BC →－OA →＋OD →＋DA →＝________.5．如图所示，已知O 到平行四边形的三个顶点A 、B 、C 的向量分别为a，b ，c ，则OD →＝____________(用a ，b ，c 表示)．6．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，|AB →|＝2，则|BC →＋DC →|＝________.7．已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，且四边形ABCD 为平行四边形，则a －b ＋c －d ＝________.8．若|AB →|＝5，|AC →|＝8，则|BC →|的取值范围是________． 9．边长为1的正三角形ABC 中，|AB →－BC →|的值为________．10．已知非零向量a ，b 满足|a |＝7＋1，|b |＝7－1，且|a －b |＝4，则 |a ＋b |＝________.二、解答题11.如图所示，O 是平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的交点，设AB →＝a ，DA →＝b ，OC →＝c ，求证：b ＋c －a ＝OA →.12.如图所示，已知正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，试作出下列向量并分别求出其长度(1)a ＋b ＋c ； (2)a －b ＋c .能力提升13．在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，先用a ，b 表示向量AC →和DB →，并回答：当a ，b 分别满足什么条件时，四边形ABCD 为矩形、菱形、正方形？14.如图所示，O 为△ABC 的外心，H 为垂心，求证：OH →＝OA →＋OB →＋OC →.1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－AB →＝BA →就可以把减法转化为加法．即：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a －b ＝a ＋(－b )．2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减数”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．3．以向量AB →＝a 、AD →＝b 为邻边作平行四边形ABCD ，则两条对角线的向量为AC →＝a ＋b ，BD →＝b －a ，DB →＝a －b ，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住．2．2.2 向量的减法知识梳理BA → 始点 终点 BA →作业设计1．b －a 2．23．0 4.CA → 5．a －b ＋c解析 OD →＝OA →＋AD →＝OA →＋BC →＝OA →＋OC →－OB →＝a ＋c －b ＝a －b ＋c . 6．2 3 解析如右图，设菱形对角线交点为O ， ∵BC →＋DC →＝AD →＋DC →＝AC →， 又∠DAB ＝60°， ∴△ABD 为等边三角形， ∴OB ＝1，在Rt △AOB 中， |AO →|＝|AB →|2－|OB →|2＝3，∴|AC →|＝2 3. 7．0解析 a －b ＋c －d ＝OA →－OB →＋OC →－OD →＝BA →＋DC →＝0. 8．解析 ∵|BC →|＝|AC →－AB →|且 ||AC →|－|AB →||≤|AC →－AB →|≤|A C →|＋|AB →|. ∴3≤|AC →－AB →|≤13. ∴3≤|BC →|≤13. 9. 3 解析如图所示，延长CB 到点D ，使BD ＝1，连结AD ，则AB →－BC →＝AB →＋CB →＝AB →＋BD →＝AD →.在△ABD 中，AB ＝BD ＝1， ∠ABD ＝120°，易求AD ＝3， ∴|AB →－BC →|＝ 3. 10．4解析 如图所示．设O A →＝a ，O B →＝b ，则|B A →|＝|a －b |. 以OA 与OB 为邻边作平行四边形OACB ， 则|O C →|＝|a ＋b |.由于(7＋1)2＋(7－1)2＝42. 故|O A →|2＋|O B →|2＝|B A →|2，所以△OAB 是∠AOB 为90°的直角三角形， 从而OA ⊥OB ，所以▱OACB 是矩形， 根据矩形的对角线相等有|O C →|＝|B A →|＝4， 即|a ＋b |＝4.11．证明 方法一 ∵b ＋c ＝DA →＋OC →＝OC →＋CB →＝OB →， OA →＋a ＝OA →＋AB →＝OB →，∴b ＋c ＝OA →＋a ，即b ＋c －a ＝OA →.方法二 ∵c －a ＝OC →－AB →＝OC →－DC →＝OD →， OD →＝OA →＋AD →＝OA →－b ，∴c －a ＝OA →－b ，即b ＋c －a ＝OA →.12．解 (1)由已知得a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →，又AC →＝c ，∴延长AC 到E ， 使|CE →|＝|AC →|. 则a ＋b ＋c ＝AE →， 且|AE →|＝2 2. ∴|a ＋b ＋c |＝2 2. (2)作BF →＝AC →，连结CF ， 则DB →＋BF →＝DF →，而DB →＝AB →－AD →＝a －BC →＝a －b ， ∴a －b ＋c ＝DB →＋BF →＝DF →且|DF →|＝2. ∴|a －b ＋c |＝2.13．解 由向量加法的平行四边形法则，得AC →＝a ＋b ， DB →＝AB →－AD →＝a －b .则有：当a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |时，平行四边形两条对角线相等，四边形ABCD 为矩形；当a ，b 满足|a |＝|b |时，平行四边形的两条邻边相等，四边形ABCD 为菱形； 当a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |且|a |＝|b |时，四边形ABCD 为正方形． 14．证明 作直径BD ，连结DA 、DC ，则OB →＝－OD →， DA ⊥AB ，AH ⊥BC ，CH ⊥AB ，CD ⊥BC.∴CH ∥DA ，AH ∥DC ， 故四边形AHCD 是平行四边形． ∴AH →＝DC →，又DC →＝OC →－OD →＝OC →＋OB →，∴OH →＝OA →＋AH →＝OA →＋DC →＝OA →＋OB →＋OC →. 故OH →＝OA →＋OB →＋OC →.。
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2.2向量的减法运算（一）课前自主探究[教材提炼]知识点一相反向量预习教材，思考问题方向相同且模相等的两个向量称为什么向量？方向相反且模相等的两个向量称为什么向量？知识梳理定义如果两个向量长度，而方向，那么称这两个向量是相反向量．性质①对于相反向量有：a＋(－a)＝②若a，b互为相反向量，则a＝，a＋b＝③零向量的相反向量仍是零向量预习教材，思考问题(1)在实数的运算中，减去一个数，等于加上它的相反数，那么向量的减法运算能否转化为向量的加法运算呢？知识梳理定义a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的作法在平面内任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则向量a－b＝BA→.如图所示几何意义如果把两个向量a，b的起点放在一起，则a－b可以表示为从向量b的指向向量a的的向量1．设b是a的相反向量，则下列说法错误的是() A．a与b的长度必相等B．a∥bC．a与b一定不相等D．a是b的相反向量2．如图所示，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，则用a ，b 表示向量AC →和BD →分别是( ) A ．a ＋b 和a －b B ．a ＋b 和b －a C ．a －b 和b －a D ．b －a 和b ＋a3．在△ABC 中，|AB →|＝|BC →|＝|CA →|＝1，则|AB →－AC →|的值为________，|AB →＋AC →|＝________.4．化简：AB →－DC →－AD →＝________. 5．如图，已知a ，b ，求作a －b .（二）课堂互动探究探究一 向量减法的运算法则[例1] (1)在△ABC 中，BC →＝a ，CA →＝b ，则AB →等于( ) A ．a ＋b B ．－a ＋(－b ) C ．a －b D ．b －a(2)如图所示，O 为△ABC 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，求作向量b ＋c －a .1．如图，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b －c .探究二 向量加减法的运算律 [例2] 化简下列各向量的表达式： (1)AB →＋BC →－AD →； (2)(AB →－CD →)－(AC →－BD →)；(3)(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →)．2．化简下列向量的表达式： (1)OM →－ON →＋MP →－NA →； (2)(AD →－BM →)＋(BC →－MC →)．探究三 利用向量加减法判断平面图形的几何形状[例3] 已知O 为四边形ABCD 所在平面外的一点，且向量OA →，OB →，OC →，OD →满足OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 的形状为__________．3．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，若|AD →－AB →|＝|BC →－BA →|，则四边形ABCD 是( ) A ．菱形 B ．矩形 C ．正方形 D ．不确定4．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，若|AB →|＝|AD →|，则四边形ABCD 的形状为________． 5．若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →－OA →＋OC →－OA →|， 证明△ABC 是直角三角形．（三）课后素养培优一、弄错方向“两重天”——向量减法运算中的“陷阱”►直观想象、数学运算、逻辑推理向量减法的运算法则，口诀是：始点相同，连接终点，箭头指向被减向量．如果箭头指向弄反了，就变成了求相反向量，做题过程中要特别注意这一点．[典例1] 在五边形ABCDE 中，设AB →＝a ，AE →＝b ，BC →＝c ，ED →＝d ，用a ，b ，c ，d 表示CD →.二、非零向量a ，b 的差向量的三角不等式►直观想象、逻辑推理[典例2] 证明：对任意两个非零向量，总有不等式||a |－|b ||≤|a －b |≤|a |＋|b |成立．向量的减法运算一、复习巩固1.如图，在△ABC 中，D 为BC 的中点，则下列结论错误的是( ) A.AB →－AD →＝DB → B.AC →－AD →＝BD → C.DB →－DC →＝0 D.DA →－DB →＝BA →2．已知ABCDEF 是一个正六边形，O 是它的中心，其中OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则EF →＝( )A ．a ＋bB ．b －aC ．c －bD ．b －c3．下列不能化简为PQ →的是( ) A.QC →－QP →＋CQ → B.AB →＋(P A →＋BQ →) C ．(AB →＋PC →)＋(BA →－QC →) D.P A →＋AB →－BQ →4．如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则AF →－DB →等于( ) A.FD → B.FC → C.FE →D.DF → 5．平面上有三点A ，B ，C ，设m ＝AB →＋BC →，n ＝AB →－BC →，若m ，n 的长度恰好相等，则有( )A ．A ，B ，C 三点必在同一条直线上 B ．△ABC 必为等腰三角形，且∠B 为顶角 C ．△ABC 必为直角三角形，且∠B ＝90°D ．△ABC 必为等腰直角三角形6．若O 、E 、F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( ) A.EF →＝OF →＋OE → B.EF →＝OF →－OE → C.EF →＝－OF →＋OE →D.EF →＝－OF →－OE →7．如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论错误的是( )A.AB →＝DC →B.AD →＋AB →＝AC →C.AB →－AD →＝BD →D.AD →＋CB →＝08．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 交于O 点，则BA →－BC →－OA →＋OD →＋DA →＝________.9．如图，已知O 为平行四边形ABCD 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则OD →＝______________.二、综合运用10．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，|BC →|2＝16，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →|＝( )A ．8B ．4C ．2D ．111．四边形ABCD 是边长为1的正方形，则|AB →－AD →|＝________，|AB →＋AD →|＝________. 12．如图所示，在正六边形ABCDEF 中，点O 是正六边形中一点，若已知OA →＝a ，OF →＝b ，EO →＝c ，DO →＝d ，试用向量a ，b ，c ，d 表示ED →，AD →，DB →.13．已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，M 是斜边AB 的中点，CM →＝a ，CA →＝b ，求证：(1)|a －b |＝|a |； (2)|a ＋(a －b )|＝|b |.2.2 向量的减法运算答案一、复习巩固1.如图，在△ABC 中，D 为BC 的中点，则下列结论错误的是( ) A.AB →－AD →＝DB → B.AC →－AD →＝BD → C.DB →－DC →＝0 D.DA →－DB →＝BA →解析：DB →，DC →是相反向量，它们的和是零向量，但DB →－DC →＝CB →≠0. 答案：C2．已知ABCDEF 是一个正六边形，O 是它的中心，其中OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则EF →＝( )A ．a ＋bB ．b －aC ．c －bD ．b －c解析：EF →＝CB →＝OB →－OC →＝b －c . 答案：D3．下列不能化简为PQ →的是( ) A.QC →－QP →＋CQ → B.AB →＋(P A →＋BQ →) C ．(AB →＋PC →)＋(BA →－QC →) D.P A →＋AB →－BQ →解析：D 项中，P A →＋AB →－BQ →＝PB →－BQ →≠PQ →，故选D. 答案：D4．如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则AF →－DB →等于( )A.FD →B.FC →C.FE →D.DF → 解析：由题图易知AF →＝DE →，∴AF →－DB →＝DE →－DB →＝BE →， 又BE →＝DF →，∴AF →－DB →＝DF →. 答案：D5．平面上有三点A ，B ，C ，设m ＝AB →＋BC →，n ＝AB →－BC →，若m ，n 的长度恰好相等，则有( )A ．A ，B ，C 三点必在同一条直线上 B ．△ABC 必为等腰三角形，且∠B 为顶角 C ．△ABC 必为直角三角形，且∠B ＝90°D ．△ABC 必为等腰直角三角形 解析：如图，因为m ，n 的长度相等， 所以|AB →＋BC →|＝|AB →－BC →|，即|AC →|＝|BD →|，所以ABCD 是矩形，故△ABC 是直角三角形，且∠B ＝90°. 答案：C6．若O 、E 、F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( ) A.EF →＝OF →＋OE → B.EF →＝OF →－OE → C.EF →＝－OF →＋OE →D.EF →＝－OF →－OE →解析：由向量的减法的定义求解． 答案：B7．如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论错误的是( ) A.AB →＝DC → B.AD →＋AB →＝AC → C.AB →－AD →＝BD → D.AD →＋CB →＝0解析：A 项显然正确，由平行四边形法知B 正确；C 项中AB →－AD →＝DB →，故C 错误；D 项中AD →＋CB →＝AD →＋DA →＝0，故选C.答案：C8．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 交于O 点，则BA →－BC →－OA →＋OD →＋DA →＝________.解析：由题图知BA →－BC →－OA →＋OD →＋DA →＝CA →－OA →＋OA →＝CA →. 答案：CA →9．如图，已知O 为平行四边形ABCD 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则OD →＝______________.解析：由已知得AD →＝BC →，则OD →＝OA →＋AD →＝OA →＋BC →＝OA →＋OC →－OB → ＝a ＋c －b . 答案：a ＋c －b 二、综合运用10．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，|BC →|2＝16，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →|＝( )A ．8B ．4C ．2D ．1解析：以AB →、AC →为邻边作平行四边形ACDB ，则由向量加、减法的几何意义可知AD →＝AB →＋AC →，CB →＝AB →－AC →，因为|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，所以|AD →|＝|CB →|. 又四边形ACDB 为平行四边形， 所以四边形ACDB 为矩形，故AC ⊥AB . 则AM 为Rt △ABC 斜边BC 上的中线， 因此，|AM →|＝12|BC →|＝2.答案：C11．四边形ABCD 是边长为1的正方形，则|AB →－AD →|＝________，|AB →＋AD →|＝________. 解析：因为|AB →－AD →|＝|DB →|＝2，所以|AB →－AD →|＝2；|AB →＋AD →|＝|AC →|＝2，答案：2 212．如图所示，在正六边形ABCDEF 中，点O 是正六边形中一点，若已知OA →＝a ，OF →＝b ，EO →＝c ，DO →＝d ，试用向量a ，b ，c ，d 表示ED →，AD →，DB →.解析：ED →＝EO →＋OD →＝EO →－DO →＝c －d . AD →＝AO →＋OD →＝－OA →－DO →＝－a －d .DB →＝DC →＋CB →＝F A →＋EF →＝OA →－OF →＋OF →－OE →＝OA →＋EO →＝a ＋c .13．已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，M 是斜边AB 的中点，CM →＝a ，CA →＝b ，求证：(1)|a －b |＝|a |； (2)|a ＋(a －b )|＝|b |.证明：如图，在等腰Rt △ABC 中，由M 是斜边AB 的中点，得|CM →|＝|AM →|，|CA →|＝|CB →|.(1)在△ACM 中，AM →＝CM →－CA →＝a －b . 于是由|AM →|＝|CM →|， 得|a －b |＝|a |.(2)在△MCB 中，MB →＝AM →＝a －b ， 所以CB →＝MB →－MC →＝a －b ＋a ＝a ＋(a －b )． 从而由|CB →|＝|CA →|，得|a ＋(a －b )|＝|b |.。