【数学】江苏省东海高级中学2010届高三12月份学情调查

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江苏省苏州市常熟中学2023-2024学年高一上学期12月学业水平调研数学试题

一、单选题二、多选题1. 某企业生产两种型号的产品，每年的产量分别为万支和万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的两种产品的年产量的增长率分别为和，那么至少经过多少年后，产品的年产量会超过产品的年产量（取）（）A．年B．年C．年D．年2. 已知分别是双曲线的左、右焦点，分别是双曲线的左、右支上关于轴对称的两点，且，则双曲线的两条渐近线的斜率之积为( )A．B．C．D．3. 小张接到4项工作，要在下周一、周二、周三这3天中完成，每天至少完成1项，且周一只能完成其中1项工作，则不同的安排方式有（）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种4. 下列函数中最小正周期为的函数是A．B．C．D．5.已知函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若函数的最小正周期为为函数的一条对称轴，则函数的一个增区间为（）A．B．C．D．6. 关于函数，，有以下四个结论：①是偶函数②在是增函数，在是减函数③有且仅有1个零点④的最小值是，最大值是3其中正确结论的个数是（）．A ．1B ．2C ．3D ．47. 设向量满足，则＝A ．2B．C ．4D．8. 函数在区间上是增函数，且，，则函数在区间上（）A ．是增函数B ．是减函数C ．可以取到最大值AD．可以取到最小值9. 若函数满足：①，恒有，②，恒有，③时，，则下列结论正确的是（）A．B ．的最大值为4C．的单调递减区间为D ．若曲线与的图象有6个不同的交点，则实数的取值范围为10. 筒车是我国古代发明的一种灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图1)，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图江苏省苏州市常熟中学2023-2024学年高一上学期12月学业水平调研数学试题三、填空题四、解答题画描绘了筒车的工作原理(图2).现有一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟旋转1圈，筒车的轴心距离水面的高度为2米，设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为(单位：米)(在水面下则为负数)，若以盛水筒P 刚浮出水面为初始时刻，经过t 秒后，下列命题正确的是（）(参考数据：)A ．，其中，且B ．，其中，且C ．当时，盛水筒再次进入水中D ．当时，盛水筒到达最高点11.已知点在圆上，点、，则（）A．点到直线的距离小于B．点到直线的距离大于C ．当最小时，D ．当最大时，12. 已知在棱长为2的正方体中，过棱BC ，CD 的中点E ，F 作正方体的截面多边形，则下列说法正确的有（）A ．截面多边形可能是五边形B．若截面与直线垂直，则该截而多边形为正六边形C．若截面过的中点，则该截面不可能与直线平行D．若截面过点，则该截面多边形的面积为13. 已知，为单位向量，，若，则___________.14. 已知函数，若函数仅有1个零点，则实数的取值范围为_____.15. 某校高二年级共有学生1000人，其中男生480人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从高二全体学生中抽出一个容量为100的样本，若样本按比例分配，则女生应抽取的人数为___________.16. 成都市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了成都市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如表所示（单位：吨)：“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾5005050可回收物3024030其他垃圾202060（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率：（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中，.当数据a，b，c的方差最大时，写出a，b，c的值(结论不要求证明），并求此时的值.注：，其中为数据，，，的平均数.17. 田忌赛马是《史记》中记载的一个故事,说的是齐国大将军田忌经常与齐国众公子赛马,孙膑发现田忌的马和其他人的马相差并不远,都分为上、中、下三等.于是孙膑给田忌将军献策:比赛即将开始时,他让田忌用下等马对战公子们的上等马,用上等马对战公子们的中等马,用中等马对战公子们的下等马,从而使田忌赢得了许多赌注.假设田忌的各等级马与某公子的各等级马进行一场比赛，田忌获胜的概率如下表所示:比赛规则规定:一次比赛由三场赛马组成,每场由公子和田忌各出一匹马参赛,结果只有胜和负两种,并且每一方三场赛马的马的等级各不相同,三场比赛中至少获胜两场的一方为最终胜利者.（1）如果按孙膑的策略比赛一次，求田忌获胜的概率；（2）如果比赛约定,只能同等级马对战,每次比赛赌注1000金,即胜利者赢得对方1000金,每月比赛一次,求田忌一年赛马获利的数学期望.18. 某机构为调查我国公民对申办奥运会的态度，随机选了100位市民调查，结果统计如下．支持不支持合计年龄不大于50岁30年龄大于50岁1025合计100(1)根据已有数据，把表格填写完整．(2)能否有的把握认为年龄不同与是否支持申办奥运会有关？(3)已知在被调查的年龄大于50岁的支持者中有6名男性，其中3名是医生，现从这6名男性中随机抽取3人，求至少有2名医生的概率．附：，．0.1000.0500.0250.0102.7063.841 5.024 6.63519. 在长方体中，是上的点,，且的长成等比数列，又是所在的直线上的动点.(1)求证：平面(2)若，求与平面所成的角的正弦值的最大值.20.如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，，、分别为、的中点．（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积．21. （理）某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在内，发布成绩使用等级制各等级划分标准见下表，规定：三级为合格等级，为不合格等级.百分制85分及以上70分到84分60分到69分60分以下等级为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照的分组作出频率分布直方图如图所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图所示.，（1）求和频率分布直方图中的的值；（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；（3）在选取的样本中，从两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研，记表示所抽取的名学生中为等级的学生人数，求随机变量的分布列及数学期望.。

常州市联盟学校 2024—2025 学年度第一学期学情调研高三年级数学试卷+答案

常州市联盟学校2024—2025学年度第一学期学情调研高三年级数学试卷2024.10出卷：宗冬娣审卷：张晨希王荣霞考试时间120分钟本试卷共19大题满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}3,2,1,0,1,2,3A =---，102x B xx ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，则集合A B ⋂的真子集的个数为（）A ．7B ．8C ．15D ．162．已知复数()()1i 2i m +-在复平面内对应的点位于第二象限，则实数m 的取值范围为（）A ．(),2-∞B ．()2,+∞C ．(),2-∞-D ．()2,2-3.在空间中，设m ，n 为两条不同直线，α，β为两个不同平面，则下列命题正确的是（）A ．若//m α且//αβ，则//m βB ．若m n ､是异面直线，,m m α⊂∥,,n n ββ⊂∥α，则α∥βC ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥D ．若m n ⊥，m α⊥，//αβ，则//n β4.函数f (x )的图象如图所示，设f (x )的导函数为)('x f ，则0)()('>x f x f 的解集为()A ．(1,6)B ．(1,4)C ．(－∞，1)∪(6，＋∞)D ．(1,4)∪(6，＋∞)5．已知6π2cos sin 3αα⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．59-B ．19-C ．19D ．596．已知0m >，0n >，直线1e y x m =+与曲线ln 4y x n =-+相切，则11m n +的最小值是（）A ．4B ．3C ．2D ．17．将函数π()sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标变为原来的1(0)ωω>，纵坐标不变，所得图象在区间2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个零点，且在ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为（）A ．9,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．9,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．11,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,64⎛⎤ ⎥⎝⎦8．若函数()f x 的定义域为，且有()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]0,1x ∈时，()x f x a b =-．若(2)(0)2f f -=，则()2log 200f 所在的区间是（）第4题图A ．(),1∞--B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ． ∞二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知π0π2αβ<<<<，()sin cos ααβ=+=）A．cos 5α=B ．()sinαβ+=C ．3cos 5β=-D ．()sin αβ-=10．如图，正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，P Q 、分别是棱1CC ，棱BC 的中点，点M 是其侧面11ADD A 上的动点（含边界），下列结论正确的是（）A ．沿正方体的表面从点A 到点P B ．过点,,A P Q 的平面截该正方体所得的截面面积为92C．当PM =时，点M 的轨迹长度为2π3D ．保持PM 与1BD 垂直时，点M 的运动轨迹长度为11.已知()()32231f x x x a x b =-+-+，则下列结论正确的是（）A ．若()f x 在()0,∞+上单调递增，则a 的取值范围是(),0-∞B ．当1a =且()0,πx ∈时，()()2sin sin f x f x ≤C ．若过点()1,m 可作出曲线()()1y f x a x b =+--的三条切线，则m 的取值范围是5,14⎛--⎫ ⎪⎝⎭D ．若()f x 存在极值点0x ，且()()01f x f x =，其中10x x ≠，则01322x x +=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的终边与以原点为圆心的单位圆相交于点34,55P ⎛⎫-⎪⎝⎭，则()()2cos πcos sin πααα-=-+．13．已知边长为2的菱形ABCD 中，π3DAB ∠=，点F 为线段BD （含端点）上一动点，点E 满足3DE EC = ，则AF DE ⋅的取值范围为．14．在平面直角坐标系xOy 中，M 为曲线xe y x=上一点且位于第一象限，将线段OM 绕x 轴旋转一周，得到一个圆锥的侧面，再将其展开成扇形，则该扇形的圆心角的最小值为．四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．Q第10题图15．(13分)在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量2cos ,sin 2C m C ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，cos ,2sin 2C n C ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，且m n ⊥ .(1)求角C 的值；(2)若3c =，6sin sin 2A B +=，求ABC V 的面积．16．(15分)已知函数2)1()(+-=x a x x f (1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)求函数f (x )的单调区间．17．(15分)如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，ACD 为等边三角形，24AD DE AB ===，F 为CD 的中点.(1)求证：//AF 平面BCE ；(2)求证：平面BCE ⊥平面CDE ；(3)求直线BF 和平面BCE 所成角的正弦值.第17题图18．(17分)如图，在平面四边形ABCD 中，点B 与点D 分别在AC 的两侧，对角线AC 与BD 交于点E ，2AB BC ==.(1)ABC V 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若ABC V的面积为()2224S b c a =--，23A A E C = ，求ABC ∠的大小和CBD ∠；(2)设BAC α∠=，已知2AD CD =，且π3ADC ∠=，求对角线BD 的最大值和此时α的值.19．(17分)对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x ，且00x ≠，满足()()00f x f x -=，则称()f x 为“弱偶函数”.若在定义域内存在实数0x ，满足()()00f x f x -=-，则称()f x 为“弱奇函数”.(1)判断函数()31,0,0x f x x x x ⎧<⎪=⎨⎪≥⎩是否为“弱奇函数”或“弱偶函数”并说明理由；(2)已知函数()()23234,14,1x x m x h x x ⎧-⋅-≥-⎪=⎨-<-⎪⎩，为其定义域上的“弱奇函数”，求实数m 的取值范围；(3)已知1a >，对于任意的31,2b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,函数()()2ln 1h x x a x x b =++++-都是定义域为[]1,1-上的“弱奇函数”，求实数a 的取值范围.第18题图常州市联盟学校2024—2025学年度第一学期学情调研高三年级数学试卷答案2024.10一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．A 2．C 3．B 4．D 5.B 6.D 7.C 8．C二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．ACD 10.BC 11．BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．12.613．⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,2314．2四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(13分)(1)0m n m n ⊥∴⋅=…………1分()()22222cos 2sin 1cos 2sin 1cos 21cos 2CC C C C C -=+-=+--22cos cos 10C C =+-=解得：cos 1C =-或1cos 2C =，()0,C π∈ ，3C π∴=；…………6分（2）因为2π3C =．由正弦定理，2sin sin sin a b c A B C ===，…………8分所以sin 2bB =，sin 2a A =．又因为sin sin 2A B +=，所以22a b +=，得a b +=由余弦定理有：2222cos c a b ab C =+-，所以1ab =．所以11sin 122ABC S ab C ==⨯⨯ ．…………13分16.(15分)(1)当a ＝0时，f (x )＝2)1(+x x(x ≠－1)，则f (0)＝0，因为3')1(1)(+-=x xx f ，所以f ′(0)＝1.所以曲线y ＝f (x )在(0，0)处的切线方程为y ＝x .…………5分(2)函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．3')1())12(()(++--=x a x x f ，令f ′(x )＝0，解得x ＝2a ＋1.…………7分①当2a ＋1＝－1，即a ＝－1时，0)1(1)1(1)(23'<+-=+--=x x x x f 所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，无单调递增区间；………9分②当2a ＋1<－1，即a <－1时，令f ′(x )<0，则x ∈(－∞，2a ＋1)∪(－1，＋∞)，令f ′(x )>0，则x ∈(a ＋1，－1)，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，2a ＋1)和(－1，＋∞)，单调递增区间为(2a ＋1，－1)；…12分③当2a ＋1>－1，即a >－1时，令f ′(x )<0，则x ∈(－∞，－1)∪(2a ＋1，＋∞)，令f ′(x )>0，则x ∈(－1，2a ＋1)，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)和(2a ＋1，＋∞)，单调递增区间为(－1，2a ＋1)．…14分综上所述：当a ＝－2时，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，无单调递增区间；当a <－2时，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，a ＋1)和(－1，＋∞)，单调递增区间为(a ＋1，－1)；当a >－2时，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)和(a ＋1，＋∞)，单调递增区间为(－1，a ＋1)．…………15分17.(15分)(1)证明：如图取CE 的中点G ，连接FG 、BG .F 为CD 的中点，//GF DE ∴且12GF DE =，由AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，//AB DE ∴，//GF AB ∴.又12AB DE =，GF AB ∴=，∴四边形GFAB 为平行四边形，则//AF BG ，AF ⊄ 平面BCE ，BG ⊂平面BCE ，//AF ∴平面BCE .…………5分(2)证明：ACD 为等边三角形，F 为CD 的中点，AF CD ∴⊥.DE ⊥ 平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，DE AF ∴⊥，//BG AF ，所以DE BG ⊥，BG CD ⊥，又CD DE E = ，CD 、DE ⊂平面CDE ，BG ∴⊥平面CDE ，BG ⊂ 平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE .…………10分(3)如图：在平面CDE 内，过F 作FH CE ⊥于点H ，连接BH ，平面BCE ⊥平面CDE ，平面BCE 平面CDE CE =，FH ⊂平面CDE ，FH ⊥ 平面BCE .FBH ∴∠为BF 和平面BCE 所成的角，因为4AD DE ==，2AB =，则sin 45FH CF =︒4BF ==，在Rt FHB 中，sin 4FH FBH BF∠==，∴直线BF 和平面BCE .…………15分（向量法略）18．(17分)(1)在ABC V 中，由余弦定理，2222cos b a c ac ABC =+-∠，因为2221)sin 2S b a c ac ABC =--=∠，所以sin ABC ABC =∠∠，即tan B =(0,180)B ∈︒︒，所以120ABC ∠=︒.…………4分26AB BC BAC ACB π==∴∠=∠=，设CBD θ∠=，则2π03θ<<，在BCE 中，由正弦定理得sin sin CE BE ACB θ=∠，在ABE 中，由正弦定理得2πsin sin 3BEAE BACθ=∠⎛⎫- ⎪⎝⎭，26AB BC BAC ACB π==∴∠=∠=，2πsin sin 3CEAE θθ∴=⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为23AE AC = ，则2AE CE =，所以，2πsin 32sin AE CE θθ⎛⎫- ⎪⎝⎭==，333cos sin tan 223θθθ=∴因为2π03θ<<，所以，π6θ=，即6CBD π∠=…………10分（2）解：2AD CD =，且π3ADC ∠=，BAC α∠=，由余弦定理可得22222cos 3AC AD CD AD CD ADC CD =+-⋅∠=，2222AC AC CD AD ACD π∴∴+=∴∠=在ABC △中，2AB BC ==，BAC ACB α∴∠=∠=由正弦定理得sin(2)sin AC AB παα=-，2sin(2)4cos sin AC πααα-∴==4cos AC α∴=，CD α=在BCD △中，2BC =，π2BCD α∠=+，由余弦定理可得2222π16432cos()4cos 22cos sin 233BD BC CD BC CD αααα=+-⋅+=++⋅⋅⋅，()2816π2041cos 2sin 2sin 23363BD ααα⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，易知π02α<<，则ππ5π2666α<+<，故当ππ262α+=时，即当π6α=时，BD取最大值，且最大值为 (17)分19.(17分)(1)若()()f x f x -=当0x <时，则0x ->，3411x x x ∴-=∴=-，无实数解，舍去；当0x >时，则0x -<，3411x x x ∴=∴=--，无实数解，舍去；则()f x 不是“弱偶函数”，…………2分若()()f x f x -=-当0x <时，则0x ->，3411x x x ∴-=-∴=，解得1x =-（正舍），当0x >时，则0x -<，若31x x -=-，解得1x =（负舍），则存在实数01x =±，满足()()00f x f x -=-，所以()f x 是“弱奇函数”.…………5分(2)()()23234,14,1x x m x g x x ⎧-⋅-≥-⎪=⎨-<-⎪⎩，定义域为R .①当在区间[]1,1-上存在0x ，满足()()00g x g x -=-时，则()()00022323432340x x x x m m ---⋅-+-⋅-=，即()()0000233233100x x x x m --+-⋅+-=.令0033x x t -=+，则2t ≥=，当且仅当00x =时取等号.又[]01,1x ∈-，所以1110333t -≤+=，即102,3t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()()00002233233102100x x x x m t mt --+-⋅+-=--=，所以210531,2226t t m t t -⎡⎤==-∈-⎢⎥⎣⎦②当在区间(),1∞--上存在0x ，满足()()00g x g x -=-时，则()0232344x x m ---⋅-=，即0014323x x m =-⋅⋅有解.因为0014323x x y =-⋅⋅在区间(),1∞--上单调递减，所以16m >.③当在区间()1,+∞上存在0x ，满足()()00g x g x -=-时，则()243234x x m ⎡⎤-=--⋅-⎢⎥⎣⎦，即003423x x m =-有解.因为03423x x y =-在区间()1,+∞上单调递增，所以16m >.综上所述，实数m 的取值范围为32m m ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭.…………11分(3)由题意知,31,2b ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦,()()h x h x -=-在[]1,1x ∈-上都有解,即31,2b ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦,()()22ln 1ln 1x a x x b x a x x b -+++--=-++--+在[]1,1x ∈-上都有解，即31,2b ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦,()222ln 122a x x b ⎡⎤+-+=⎣⎦在[]1,1x ∈-上都有解，令[]20,1x s =∈,令()()2ln 12s a s s ϕ⎡⎤=+-+⎣⎦，由题意知()s ϕ在[]0,1s ∈上的值域包含[]2,3，因为()()2121s a sϕ-=++-'，又因为[]()0,1,1,s a ∞∈∈+,所以()213a s +->，所以()0s ϕ'>,所以()s ϕ在[]0,1s ∈上单调递增，所以()()1021311e 111a e a a a a ϕϕ≤-⎧⎧≤⎪⎪≥⇒≥⇒<≤-⎨⎨⎪⎪>>⎩⎩综上:1e 1a <≤-．…………17分。

名校2014届高三12月月考数学试题分类汇编1：集合

答案：{4}
11、（江苏省兴化市安丰高级中学2014届高三12月月考）设集合， , ,则．
答案：
12、（江苏省张家港市后塍高中201பைடு நூலகம்届高三12月月考）设集合A＝｛x｜－＜x＜2｝，B＝｛x｜x2≤1｝，则A∪B＝▲．
答案：｛x｜－1≤x＜2｝
江苏省名校2014届高三12月月考数学试题分类汇编
集合
一、填空题
1、（江苏省扬州中学2014届高三上学期12月月考）已知集合，，则 ▲．
答案：
2、（江苏省南京市第一中学2014届高三12月月考）已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{x|－1≤x<1}，则A∩B＝
答案：{－1，0}
3、（江苏省诚贤中学2014届高三12月月考）已知集合，，则 =▲.
答案：
4、（江苏省东海县第二中学2014届高三第三次学情调研）
若集合，则 ▲.
答案：
5、（江苏省阜宁中学2014届高三第三次调研）若集合，则满足条件有▲个.
答案：3
6、（江苏省灌云高级中学2014届高三第三次学情调研）集合的所有子集个数为_________．
答案：8
7、（江苏省粱丰高级中学2014届高三12月第三次月考）已知集合，若 ,则实数的值为▲．
答案：1
8、（江苏省如东县掘港高级中学2014届高三第三次调研考试）
已知集合，则 .
答案：
9、（江苏省睢宁县菁华高级中学2014届高三12月学情调研）已知全集 ,集合 , ,则 =▲.
答案：{1}
10、（江苏省无锡市洛社高级中学等三校2014届高三12月联考）已知集合U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则＝________.

2025届江苏省东海高级中学高三下学期联合考试数学试题含解析

2025届江苏省东海高级中学高三下学期联合考试数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知()()()[)3log 1,1,84,8,6x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨∈+∞⎪-⎩ 若()()120f m f x ⎡⎤--≤⎣⎦在定义域上恒成立，则m 的取值范围是（）A ．()0,∞+B ．[)1,2C ．[)1,+∞D ．()0,12．已知命题300:2,80p x x ∃>->，那么p ⌝为（） A ．3002,80x x ∃>-≤ B ．32,80x x ∀>-≤ C ．3002,80x x ∃≤-≤D ．32,80x x ∀≤-≤3．不等式42,3x y x y -⎧⎨+⎩的解集记为D ，有下面四个命题：1:(,),25p x y D y x ∀∈-；2:(,),22p x y D y x ∃∈-；3:(,),22p x y D y x ∀∈-；4:(,),24p x y D y x ∃∈-.其中的真命题是（）A ．12,p pB ．23,p pC ．13,p pD ．24,p p4．已知ABC 是边长为3的正三角形，若13BD BC =，则AD BC ⋅=A ．32- B ．152 C ．32D ．152-5．设i 为虚数单位，复数()()1z a i i R =+-∈，则实数a 的值是（） A ．1B ．-1C ．0D ．26．已知三棱锥P ABC -中，O 为AB 的中点，PO ⊥平面ABC ，90APB ∠=︒，2PA PB ==，则有下列四个结论：①若O 为ABC 的外心，则2PC =；②ABC 若为等边三角形，则⊥AP BC ；③当90ACB ∠=︒时，PC 与平面PAB 所成的角的范围为0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦；④当4PC =时，M 为平面PBC 内一动点，若OM ∥平面PAC ，则M 在PBC 内轨迹的长度为1．其中正确的个数是（）． A ．1B ．1C ．3D ．47．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围为（） A ．B ．C ．D ．8．圆柱被一平面截去一部分所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．12πB ．32π C ．2π D ．3π9．已知单位向量a ，b 的夹角为34π，若向量2m a =，4n a b λ=-，且m n ⊥，则n =（） A ．2B ．2C ．4D ．610．已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，若弦AB的长为254，则AF BF =（） A ．2或12B ．3或13C ．4或14D ．5或1511．已知椭圆22y a +22x b =1(a >b >0)与直线1y a x b -=交于A ，B 两点，焦点F (0，-c )，其中c 为半焦距，若△ABF 是直角三角形，则该椭圆的离心率为（） A ．5-12B ．3-12C ．314+ D ．514+ 12．如图，正四面体P ABC -的体积为V ，底面积为S ，O 是高PH 的中点，过O 的平面α与棱PA 、PB 、PC 分别交于D 、E 、F ，设三棱锥P DEF -的体积为0V ，截面三角形DEF 的面积为0S ，则（）A ．08V V ≤，04S S ≤B ．08V V ≤，04S S ≥C ．08V V ≥，04S S ≤D ．08V V ≥，04S S ≥二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省淮安市五校联盟2023-2024学年高三上学期10月学情调查测试数学试题(解析版)

2024届高三五校联盟10月学情调查测试数学试题试卷满分：150分考试时长：120分钟一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}2780,31,A x x x B x x k k =--<==-∈N ∣∣，则A B = （）A. {}2,5B. {}1,2,5- C. {}2,5,8 D. {}1,2,5,8-【答案】A 【解析】【分析】根据一元二次不等式化简集合A ，即可由交集运算求解.【详解】由{}2780A xx x =--<∣可得{}18,A x x =-<<∣又{}{}31,1,2,5,8,B x x k k ==-∈=-N ∣，所以A B = {}2,5，故选：A2. 已知复数z 满足()2i 2i z +=-，则z =（）A.54i 3+ B.C.34i 5+ D.34i 5-【答案】D 【解析】【分析】根据复数除法的运算法则进行求解即可.【详解】由()()()()22i 2i44i 1342i 2i i 2i 2i 2i 555z z ----+=-⇒====-++-，故选：D3. 已知m ∈R ，命题2:,420p x x x m ∀∈-+≥R ，命题:3q m ≥，则p 是q 的（）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据一元二次不等式恒成立，利用判别式即可求解2m ≥，利用集合间的关系即可求解.【详解】2:,420p x x x m ∀∈-+≥R 为真命题，则1680m ∆=-≤，故2m ≥，由于{}3m m ≥ {}2m m ≥，所以p 是q 的必要不充分条件，故选：B4. 数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列.其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列2,4,7,11,16从第二项起，每一项与前一项的差组成的新数列2,3,4,5是等差数列，则称数列2,4,7,11,16为二阶等差数列.现有二阶等差数列{}n a ，其前六项分别为1,3,6,10,15,21，则11n a n ++的最小值为（）A.12B. 34C. 1D.32【答案】C 【解析】【分析】先得出递推公式，叠加法求通项公式，再用基本不等式求最小值即可.【详解】数列{}n a 前六项分别为1,3,6,10,15,21，依题知21324312,3,4,,n n a a a a a a a a n --=-=-=-= ，叠加可得：()()()1122322n n n a a n n -+-=+++=≥ ，得()222n n na n +=≥，当1n =时，211112a +==，满足22n n na +=，所以22n n na +=，所以1111111212122n a n n n n n ++=+=+-≥-+++，当且仅当1121n n +=+时，即1n =时，等号成立，又n ∈*N ，所以等号取不了，所以最小值在1n =取得，当1n =时，111n a n +=+，所以最小值为1.故选：C5. 已知α为锐角，πcos 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A. 35-B.35C. 45-D.45【答案】D 【解析】【分析】根据二倍角公式以及诱导公式即可求解.【详解】由于πcos 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以22ππ4cos 22cos 1335αα⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，πcos 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭2π2π4cos 2πcos 2335αα⎛⎫⎛⎫+-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：D6. 已知函数()()ln 1f x x =-，则使不等式()()12f x f x +<成立的x 的取值范围是（）A. ()(),11,-∞-⋃+∞ B. ()2,1--C. ()(),21,-∞-+∞ D. ()()1,1,3-∞-⋃+∞【答案】C 【解析】【分析】根据函数的奇偶性以及单调性即可列不等式求解.【详解】由于()()ln 1f x x =-的定义域为()(),11,-∞-⋃+∞，关于原点对称，且()()()()ln 1ln 1,f x x x f x -=--=-=故()f x 为偶函数，而当()1,ln(1)x f x x >=-为单调递增函数，故当1x <-，()f x 单调递减，由()()12f x f x +<可得112x x <+<，平方得()22114x x <+<，解得<2x -或1x >，故x 的取值范围是()(),21,-∞-+∞ ，故选：C7. 已知等差数列{}n a 和等差数列{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且5633n n S n T n +=+，则使得n na b 为整数的正整数n 的个数为（）A. 6 B. 7C. 8D. 9【答案】B 【解析】【分析】根据等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可得()2121n n S n a -=-，进而可求解.【详解】由于()()()()12121212212122n n n na a n a n S n a --+--===-所以()21215216352924521311n n n n n S a b n T n n n ---++===-+=+++，要使nna b 为整数，则1n +为24的因数，由于12n +≥，故1n +可以为2,3,4,6,8,12,24，故满足条件的正整数n 的个数为7个，故选：B 8. 已知6644log log log log 49,96xxyyx y =-=+，则xy的值为（）A.B.C.1+D.1-【答案】B 【解析】【分析】根据对数和指数的互化关系可得,m n 均满足方程233122kk ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，进而根据一元二次方程210t t +-=的解，即可结合32xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性求解.【详解】令64log ,log x m y n ==，则6,4m n x y ==，由6644log log log log 49,96xx y y x y =-=+可得649,496m m m n n n =-=+，进而可得2331,22mm⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故233122mm⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，同理可得233122nn ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令210t t t +-=⇒=t =，故330,022m n⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，均为方程210t t +-=的实数根，故32m⎛⎫= ⎪⎝⎭，32n⎛⎫= ⎪⎝⎭由于函数32xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为单调递增函数，所以m n =，6342mm n x y ⎛⎫===⎪⎝⎭，故选:B二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知{}n a 为等比数列，n S 是其前n 项和.若375416,a a a a =与52a 的等差中项为20，则（）A. 11a = B. 公比2q =-C. 12n n a -= D. 21n n S =-【答案】ACD 【解析】【分析】根据等比数列基本量的计算即可求解公比和首项，进而由求和公式以及通项公式即可求解.【详解】由37516a a a =得52551616a a a ⇒==，又4a 与52a 的等差中项为20，则4454082a a a +=⇒=，所以公比为542a q a ==，故31411a q a a =⇒=，故1122,2112nn n n n a S --===--，故ACD 正确，B 错误，故选:ACD10. 已知正数,a b 满足21a b +=，则（）A. ab 的最大值为14B.12a b+的最小值为9C. 224a b +的最小值为14D. 24a b +的最小值为【答案】BD【解析】【分析】运用基本不等式逐一判断即可.【详解】A ：因为,a b 是正数，所以1128a b ab =+≥⇒≤，当且仅当2a b =时取等号，即当11,24a b ==时，ab 有最大值为18，因此本选项不正确；B ：因为,a b 是正数，21a b +=，所以()12222559b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当22b a a b =时取等号，即当13a b ==取等号，故本选项正确；C ：因为,a b 是正数，21a b +=，所以2221422a b a b +≤⇒+≥，当且仅当2a b =时取等号，即当11,24a b ==时， 224a b +有最小值12，因此本选项不正确；D ：因为,a b 是正数，21a b +=，所以24a b +≥=，当且仅当2a b =时取等号，即当11,24a b ==时，24a b +的最小值为因此本选项正确，故选：BD11. 已知函数()323f x x x =-，则（）A. ()f x 的图象关于原点中心对称B. ()f x 在区间[]2,1-上的最小值为C. 过点()2,10有且仅有1条直线与曲线()y f x =相切D. 若过点()1,P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，则实数t 的取值范围是()3,1--【答案】AD 【解析】【分析】根据奇函数的定义即可判断A ，求导得函数的单调性，即可求解函数的最值，进而判断B ，求解切点处的切线方程，将经过的点代入，利用方程的根即可判断DC.【详解】()323f x x x =-的定义域为R ，且()()()()332323f x x x x x f x -=---=-+=-，所以()f x 为奇函数，故图象关于原点对称，故A 正确，()2636f x x x x ⎛'=-= ⎝，令()0f x ¢>得x >或x <，故()f x 在,,⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭单调递增，在⎛ ⎝单调递减，故()f x 在区间2,⎡-⎢⎣单调递增，在⎛ ⎝单调递减，在⎫⎪⎪⎭单调递增，又()210f f =-=-，最小值为10-，故B 错误，设切点为()00,x y ，则切点处切线方程为()()2300006323y x x x xx =--+-，若切线经过()2,10，则将()2,10代入可得()()2320000340210x x x x -+=⇒--=，所以01x =或02x =，故经过()2,10会有两条切线，C 错误，若切线经过()1,P t ，则将()1,P t 代入()()2300006323y x x x xx =--+-得3200463x x t -+-=，令()()322463,()12121g x x x g x x x x x '=-+-=-+=--，则当01,()0,x g x '<<>因此()g x 在()0,1单调递增，在(),0∞-和()1,+∞单调递减，作出()g x 的图象如下：()()()()1103g x g g x g ==-==-极大值极小值，，要使过点()1,P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，则直线过点y t =与()g x 的图象有三个不同的交点，故3<1m -<-，D 正确，故选：AD12. 已知函数()()sin (0)f x x ωϕω=+>，则（）A. 12,x x 是方程()1f x =的两个不等实根，且12x x -最小值为π，则2ω=B. 若()π,6f x ϕ=在[]0,2π上有且仅有4个零点，则2329,1212ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭C. 若()π,6f x ϕ=在ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则()f x 在()0,2π上的零点最多有3个D. 若()1,f x ω=的图象与直线(01)y m m =<<连续的三个公共点从左到右依次为,,M N P ，若3PN MN =，则m =【答案】ABD 【解析】【分析】根据正弦函数性质和周期公式可判断A ；函数()f x 由小到大的第4个零点在区间[]0,2π内，第5个零点大于2π求解可判断B ；根据单调性和第3个零点在区间()0,2π内分别求出ω范围即可判断C ；数形结合可得π2MN =，然后可得π2π,4M x k k ϕ+=+∈Z ，即可求出m ，可判断D .【详解】A 选项：由题可知πT =，所以2π2π2πT ω===，A 正确；B 选项：若π6ϕ=，令()πsin 06f x x ω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭得ππ6x k ω+=，即ππ,6k x k ωω=-+∈Z ，所以，函数()f x 由小到大的第4个零点为π4π6ωω-+，第5个零点为π5π6ωω-+，由题知，π4π2π6π5π2π6ωωωω⎧-+≤⎪⎪⎨⎪-+>⎪⎩，解得23291212ω≤<，B 正确；C 选项：由πππ262x ω-≤+≤得2ππ33x ωω-≤≤，因为()f x 在ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以2ππ36ππ34ωω⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，解得403ω<≤，若()f x 在()0,2π上有3个零点，则π3π2π6ωω-+<，解得1712ω>，因174123>，所以C 错误；D 选项：由图可知，2πMP =，又3PN MN =，所以π2MN =，即π2N M x x -=，因为π2π,22MN x x k k ϕ++=+∈Z ，所以π2π,4M x k k ϕ+=+∈Z ，所以()πsin sin 2π4M m x k ϕ⎛⎫=+=+=⎪⎝⎭D 正确.故选：ABD .三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 数列{}n a 满足1111,2n na a a +=-=，则2024a =__________.【答案】12##0.5【解析】【分析】根据递推式得到数列的周期，应用周期性求对应项.【详解】由题设312411,2, (2)2,,a a a a =-===，所以{}n a 是周期为3的数列，则202436742212a a a ⨯+===.故答案为：1214. 已知函数()22ln f x x x =-，若()f x 在区间()2,1m m +上单调递增，则实数m 的取值范围是__________.为【答案】1[,1)4【解析】【分析】由导数求解函数的单调递增区间，即可列不等式求解.【详解】由()22ln f x x x =-得()21414x f x x x x-'=-=，由于函数()f x 的定义域为()0,∞+，故令()0f x '≥,解得12x ≥，故()f x 的单调递增区间为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，若()f x 在区间()2,1m m +上单调递增，则12212m m m ⎧≥⎪⎨⎪+>⎩，解得114m ≤<，故答案：1[,1)415. 在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c D 为BC 边中点，若222,24AD b c =+=，则ABC 面积S 的最大值为__________.【答案】【解析】【分析】根据向量模长公式即可2cos 8bc A =-，结合基本不等式即可求解12bc ≤，进而根据三角函数的单调性，结合面积公式即可求解.【详解】由于D 为BC 边中点,所以()12AD AB AC =+,平方2222242162cos AD AB AC AB AC c b bc A =++⋅⇒=++,因此2cos 8bc A =-,由于22242b c bc +=≥，所以12bc ≤，当且仅当b c ==时等号成立，故41cos 3A bc -=≤-，由于cos y x =在()0,π单调递减，故当1cos 3A =-时，A 最小，且为钝角，114sin sin 2tan 22cos ABC S bc A A A A-===- ,由于tan y x =在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，故当tan A 取最小值时，此时面积最大，故当1cos 3A =-时，此时A最小，进而tan A 最小，故面积最大，为由1cos 3A =-可得sin tan A A ==-，故面积的最大值为，故答案为：16. 已知函数()212ln 8f x a x a x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，若()0f x ≥恒成立，则满足条件的所有整数a 的取值集合为__________.（参考数据：ln20.6931,ln5 1.6094≈≈）【答案】{1,2,3,4}【解析】【分析】对函数求导，讨论0a ≤、0a >研究单调性，转化为极小值0f ≥恒成立，构造中间函数2()1ln 8a a a ϕ=+-研究使()0a ϕ≥对应a 的区间，即得答案.【详解】由题意()222(1)2ax f x ax x x-'=-=且,()0x ∈+∞，当0a ≤时()0f x '<，即()f x 在,()0x ∈+∞上递减，又()1(108af a =-≤，所以，定义域内存在()0f x <，不符合题意；当0a >时，0x <<时()0f x '<，()f x 递减；x >()0f x ¢>，()f x 递增；所以()21ln 8a f x f a ≥=+-，要使()0f x ≥恒成立，只需21ln 08a a +-≥，令2()1ln 8a a a ϕ=+-且0a >，则214()44a a a a aϕ-'=-=，所以，02a <<时()0a ϕ'>，()a ϕ递增；2a >时()0a ϕ'<，()a ϕ递减；由211717(0(1),(4)2ln 210(5)ln 5e8e 88ϕϕϕϕ=-<<==->>=-，所以()a ϕ在1(,1),(4,5)e各有一个零点，且a 取两个零点之间的值（含零点）时()0a ϕ≥，故整数{1,2,3,4}a ∈时()0f x ≥恒成立.故答案为：{1,2,3,4}【点睛】关键点点睛：利用导数研究()f x 单调性，特殊值判断0a ≤是否能使()0f x ≥恒成立，对于0a >求()f x 的极小值，构造中间函数研究极小值恒大于等于0的情况.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. 已知函数()sin (0)f x x x t ωωω=++>，且()f x 的最大值为3，最小正周期为π.（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在ππ,36-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域，并指出()f x 取得最大值时自变量x 的值.【答案】（1）π()2sin(213f x x =++ （2）值域为[1，()f x 取最大值时自变量x 值为π12【解析】【分析】（1）由辅助角公式化简()f x ，即可由周期公式求解2ω=，根据最值可得1t =，（2）由[]x ∈π6得ππ2π2[,]333x +∈-，即可结合三角函数的性质求解.【小问1详解】1()sin 2(sin cos 2sin(23f x x x t x x t x t ωωωωωπ=++=⋅++=++，所以()f x 的最小正周期2ππT ω==，则2ω=；且()f x 的最大值23t +=，则1t =.所以π()2sin(213f x x =++.【小问2详解】因为[]x ∈-ππ,36，所以ππ2π2[,]333x +∈-，则πsin(2)[3x +∈，则2sin(2)1[13x π++∈，所以()f x 的值域为[1.当()f x 取得最大值时，ππ2=32x +，所以自变量x 的值为π12.18. 已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且7943,3a S a =-=.（1）求数列{}n a 通项公式与前n 项和n S ；（2）若n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .的的【答案】（1）211210n n a n S n n =-=-，（2）2210,51050,6n n n n T n n n ⎧-≤=⎨-+≥⎩【解析】【分析】（1）根据等差数列基本量的计算可得公差和首项，进而根据公式即可求解，（2）根据当5n ≤时，0n a >，n n n b a a ==；当6n ≥时，0n a <，n n n b a a ==-，即可分类求解，结合等差数列求和公式即可.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则111639363(3)a d a d a d +=-⎧⎨+=+⎩，解得192a d =⎧⎨=-⎩.所以数列{}n a 的通项公式为9(1)(2)112n a n n =+-⋅-=-，数列{}n a 的前n 项和29112102n nS n n n +-=⋅=-.【小问2详解】由1120n a n =->得112n <，所以当5n ≤时，0n a >，n n n b a a ==；由1120n a n =-<得112n >，所以当6n ≥时，0n a <，n n n b a a ==-.所以，当5n ≤时，210n n T S n n ==-；当6n ≥时，1212567()n n n T b b b a a a a a a =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+1251252()()2n na a a a a a S S =++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+=-2222(1055)(10)1050n n n n =⨯---=-+.所以，2210,51050,6n n n n T n n n ⎧-≤=⎨-+≥⎩.19. 已知函数()()221ln ,f x x a x a x a =-++∈R .（1）若()f x 在1x =处取得极值，求()f x 的极值；（2）若()f x 在[]1,e 上的最小值为2a -，求a 的取值范围.【答案】（1）极大值为5ln 24--，极小值为2- （2）(,1]-∞【解析】【分析】（1）根据极值点可得()10f '=，进而可得1a =，利用导数即可求解函数的单调区间，进而可求解极值，（2）根据导数确定函数单调性，结合分类讨论即可求解.【小问1详解】2()(21)ln f x x a x a x =-++，()2(21)af x x a x'=-++，0x >.因为()f x 在1x =处取得极值，所以(1)2(21)0f a a '=-++=，则1a =.所以2()3ln =-+f x x x x ，21231(21)(1)()23-+--'=-+==x x x x f x x x x x，令()0f x '=得12x =或1，列表得所以()f x 的极大值为11315(ln ln 224224f =-+=--，极小值为(1)13ln12f =-+=-.【小问2详解】22(21)(21)()()2(21)a x a x a x x a f x x a x x x-++--=-++=='.①当1a ≤时，()[1,e],0x f x '∈>，所以()f x 在[1,e]上单调递增，()f x 的最小值为(1)2f a =-，满足题意；②当1e a <<时，令()0f x ¢>，则x a >或102x <<，所以()f x [1,]a 上单调递减，在[,e]a 上单调递增，此时，()f x 的最小值为()(1)2f a f a <=-，不满足题意；③当e a ≥时，()f x 在[1,e]上单调递减，()f x 的最小值为(e)(1)2f f a <=-，不满足题意.综上可知，实数a 的取值范围时(,1]-∞.20. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1342n n S n a -=-.在（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1n n b a =，求证：数列{}n b 的前n 项和32n T <.【答案】（1）131n n a -=+（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据,n n S a 的关系可得132n n a a -=-，进而可得{1}n a -为等比数列，即可求解，（2）利用放缩法，结合等比数列求和公式即可求证.【小问1详解】因为1342n n S n a -=-，所以322n n S a n =+-①当1n =时，1113122a S a ==+-，所以12a =；当2n ≥时，113(1)22n n S a n --=+--②①-②得133122n n n a a a -=-+，即132n n a a -=-，则113(1)n n a a --=-，所以数列{1}n a -构成以111a -=为首项，3为公比的等比数列，则113n n a --=，所以131n n a -=+.【小问2详解】因为131n n a -=+，所以11131n n n b a -==+，所以1221111111313131n n n T b b b -=++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+++++2111()111133133(11333223213nn n --<+++⋅⋅⋅+==-⋅<-.21. ABC 中，角,,A B C 的对边为()223,,,sin sin sin sin sin 222B A a b c a b c A B b A ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭.（1）求角C 的大小；（2）若3,c ABC =内切圆的半径r =ABC 的面积.【答案】（1）π3C =（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理的角边化及降幂公式，结合余弦定理的推论及三角函数的特殊值对应的特殊角即可求解；（2）根据（1）的结论及三角形的面积公式即可求解.【小问1详解】由正弦定理得223()(sinsin 222B A a b c a b ab +++=，因为221cos 1cos 1sinsin (cos cos )222222B A B A a b a b a b a B b A --++=⋅+⋅=-+2222221(22222a b a c b b c a a b ca b ac bc ++-+-+-=-⋅+⋅=，所以3()22a b c a b c ab +-++⋅=，则22()3a b c ab +-=，即222a b c ab +-=，由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==，又0πC <<，所以π3C =.【小问2详解】由（1）知22()3a b c ab +-=，因为3c =，所以2()93a b ab +-=（*）.又ABC 的面积11sin ()22S ab C a b c r ==++⋅，即11sin (3)232ab a b π⋅=++，则2(3)ab a b =++，代入（*）式得2()96(3)a b a b +-=++，即(3)(3)6(3)a b a b a b +++-=++，所以36a b +-=，则9a b +=，所以ABC 的面积11()1222S a b c r =++⋅=⨯=.22. 已知函数()()cos 1,x f x g x ax x x==-.（1）若函数()f x 在点π,02A ⎛⎫⎪⎝⎭处的切线与函数()g x 的图象有公共点，求实数a 的取值范围；（2）若函数()f x 和函数()g x 的图象没有公共点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）214a -π≥（2）1(,0)[,)2-∞⋃+∞【解析】【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解切线方程，联立方程转化为一元二次方程，利用判别式即可求解,（2）将问题转化为2()cos 10h x x ax =+-=没有实数根，求导，利用导数确定函数的单调性,分类讨论，进而结合零点存在性定理即可求解.【小问1详解】因为cos ()x f x x=，所以2sin cos ()x x xf x x --'=，则()f x 在点π,02A ⎛⎫⎪⎝⎭处的切线斜率为2()2f π'=-π，所以切线方程为2()2y x π=--π，即21πy x =-+.由21π1y x y axx ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得211x ax x -+=-π，即22(10a x x -+-=π.因为函数定义域为{|0}x x ≠，所以方程22()10a x x -+-=π有非零实数根，当2πa =时，1x =，符合题意，当2πa ≠时，则214()0a ∆=+-π≥，即214a -π≥，且2πa ≠，所以实数a 的取值范围是21π4a ≥-.【小问2详解】因为函数()f x 和函数()g x 的图象没有公共点，所以()()f x g x =，即cos 1x ax x x=-无实根，所以当0x ≠时，2()cos 10h x x ax =+-=无实根，因为()()h x h x -=，即()h x 是偶函数，所以2()cos 10h x x ax =+-=在(0,)+∞上无实根.()2sin h x ax x '=-，记()()2sin m x h x ax x '==-则()2cos m x a x '=-，,()0x ∈+∞.①当0a <时，20ax <，又1cos 1x -≤≤，则cos 10x -≤，所以2()cos 10h x x ax =+-<，满足()0h x =在(0,)+∞上无实根.②当0a =时，()cos 10h x x =-=在(0,)+∞上有实根，不合题意，舍去.③当12a ≥时，()2cos 0m x a x '=-≥，所以()2sin h x ax x '=-在(0,)+∞单调递增，则()(0)0h x h ''>=，所以2()cos 10h x x ax =+-=在(0,)+∞上单调递增，所以()(0)0h x h >=，满足()0h x =在(0,)+∞上无实根.④当102a <<时，因为()2cos m x a x '=-在π(0,)2单调递增，且(0)210m a '=-<，(202m a π'=>，则存在唯一的0π(0,)2x ∈，使00()2cos 0m x a x '=-=，列表得所以当0(0,)x x ∈时，()(0)0h x h ''<=，则()h x 在0(0,)x 单调递减，则()(0)0h x h <=，又因为2(2)40h a π=π>，且()h x 在(0,)+∞上连续，所以2()cos 10h x x ax =+-=在(0,2π)上有实根，不合题意.综上可知，实数a 的取值范围是1(,0)[,)2-∞⋃+∞.【点睛】方法点睛：1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.。

东海高级中学届高三奥赛班数学阶段测试题

江苏省东海高级中学2008届高三奥赛班数学阶段测试题一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）1、命题“对任意的01,23≤+-∈x x R x ”的否定是 ( C )A 不存在01,23≤+-∈x x R xB 存在01,23≤+-∈x x R xC 存在01,23>+-∈x x R xD 对任意的01,23>+-∈x x R x2、2|log |y x =的定义域为[, ]a b ，值域为[0, 2]则区间[, ]a b 的长度b a -的最小值为( B )A ．3B ．43 C ．2 D ．233、、等差数列{}n a 的通项公式是12+=n a n ，其前n 项和为n S ，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 的前10项和为（ A ）A ．75B ．70C ．120D ．100 4、已知A ，B ，C 是平面上不共线上三点，O 为ABC ∆外心，动点P 满足)1[(31λ-=)21()1(OC λλ++-+)0(≠∈λλ且R ,则P 的轨迹定过ABC ∆的（ D ）A 内心B 垂心C 重心D AB 边的中点 5、若()sin()sin()(0)44f x a x b x ab ππ=++-≠是偶函数，则点(,a b )的轨迹方程( B ) . 0(0)A x y x -=≠ . 0(0)B x y x +=≠. 20(0)C x y x -=≠ . 20(0)D x y x +=≠6、定义在(,)-∞+∞上的偶函数()f x ，满足(1)()f x f x -=-，且()f x 在[]0,1上是减函数．下面五个关于()f x 的命题中，命题正确．．的个数有( C ) ①()f x 是周期函数；②()f x 的图像关于1x =对称；③()f x 在[]1,0-上是减函数； ④()f x 在[]1,2上为增函数；⑤(2)(0)f f =．（A ）2个（B ）3个（C ）4个（D ）5个二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共5分）7、已知集合A ={—1，3，m }，B ={3，4}，若B ⊆A ，则实数m 的值是 4 ．8、在三角形ABC 中，若sin :sin :sin 2:3:A B C =23π. 9、已知关于x 的函数158)532()(--+-+-=b a x b a x f .如果[]1,1-∈x 时,其图象恒在x 轴的上方,则ab 的取值范围是),3()23,(+∞-∞Y .10、△ABC 的三内角A 、B 、C 所对的边的长分别为a 、b 、c ，设向量),(),,(a c a b q b c a p --=+=，若,//q p 则角C 的大小为60o11、若()f n 为21n +*()n N ∈的各位数字之和，如2141197+=，19717++=，则(14)17f =；记1()()f n f n =，21()(())f n f f n =，…，1()(())k k f n f f n +=，*k N ∈，则2008(8)f = 11 .12、若数列{a n }的通项公式a n ＝21(1)n +，记12()2(1)(1)(1)n f n a a a =--⋅⋅⋅-，试通过计算(1)f ，(2)f ，(3)f 的值，推测出()f n ＝21n n ++． 13、对于函数)(x f ，在使)(x f ≤M 成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值称为函数)(x f 的“上确界”，则函数1)1()(22++=x x x f 的“上确界”为 2 .14、函数)0(2sin >=A x A y ω在区间],0[ωπ上与直线2=y 只有一个公共点，且截直线1=y 所得的弦长为2，则满足条件的一组参数A 和ω的值可以是6,2πω==A .15、函数244,()43x f x x x -⎧=⎨-+⎩11x x ≤>的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数为 3 . 16、某校对文明班的评选设计了e d c b a ,,,,五个方面的多元评价指标，并通过经验公式样ed c b a S 1++=来计算各班的综合得分，S 的值越高则评价效果越好，若某班在自测过程中各项指标显示出a b e d c <<<<<0，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S 的值增加最多，那么该指标应为 c ．（填入e d c b a ,,,,中的某个字母）三、解答题（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本题满分12分）设命题:p 函数3()()2xf x a =-是R 上的减函数，命题:q 函数2()43f x x x =-+ 在[]0,a 的值域为[]1,3-．若“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，求a的取值范围. 解：由3012a <-<得3522a <<………………………………………………3分2()(2)1f x x =--Q ，在[0,]a 上的值域为[1,3]-得24a ≤≤ …………… 7分 Q p 且q 为假，p 或q 为真得p 、q 中一真一假．若p 真q 假得，322a << ……………………………9分若p 假q 真得，542a ≤≤． ………………………………………………11分综上，322a <<或542a ≤≤． ………………………………………………12分.18（本小题满分12分）在ABC ∆中，已知内角3A π=，边BC =设内角B x =,面积为y .(1) 求函数()y f x =的解析式和定义域；(2) 求y 的最大值.解：（1）ABC ∆的内角和A B C π++=Q 3A π=203B π∴<<………………………1分sin 4sin sin BC AC B x A ==Q 2sin 4sin()sin 3BC AB C x A π∴==-……………4分12sin sin()23y AB AC A x x π∴=⋅=- 2(0)3x π<<…………………6分（2）y =Q 21sin()(sin )322x x x x x π-=+……………8分26sin cos x x x =+7),(2)6666x x ππππ=--<-<…………11分当262x ππ-=即3x π=时，y 取得最大值 ………………………12分19（本小题满分13分）已知函数2()2sin sin cos f x a x x x b =-⋅+的定义域为[0,]2π，值域为[-5,4]；函数 ()sin 2cos ,g x a x b x x R =+∈.(Ⅰ) 求函数g (x )的最小正周期和最大值; (Ⅱ) 当[0,]x π∈, 且g (x ) =5时, 求tan x .解：f (x )=a (1－cos2x )sin2x ＋b=－a (cos2x x )＋a ＋b =－2a sin(2x ＋6π)＋a ＋b . ----------------------------2分 ∵x ∈[0,]2π，∴2x ＋7[,]666πππ=，sin(2x ＋6π)∈1[,1]2-. 显然a =0不合题意.--------3分(1) 当a ＞0时,值域为],2b a b a ⎡-+⎣,即5,3,24, 2.b a a b a b -=-=⎧⎧∴⎨⎨+==-⎩⎩-----------------------------5分(2) 当a ＜0时,值域为[]2,b a b a +-,即4,3,25, 1.b a a b a b -==-⎧⎧∴⎨⎨+=-=⎩⎩······························ 6分(Ⅰ) 当a ＞0时，g (x )=3sin x -4cos x =5sin(x +ϕ1), ∴T =2π, g (x )max =5;当a ＜0时，g (x )= -3sin x +2cos x =sin(x +ϕ2),∴ T =π, g (x )max ················································································ 8分 (Ⅱ)由上可知，当a ＞0时, 由g (x )=5sin(x +ϕ1)，且tan ϕ1=-43, g (x )max =5，此时x +ϕ1＝2k π +2π(k ∈Z).则x =2k π +2π-ϕ1(k ∈Z), x ∈(0, π)，∴tan x =cot ϕ1＝-34. ···································· 10分当a <0时, g (x )max ，所以不存在符合题意的x . ··································· 12分综上，tan x =－34. ------------------------------------------------------------------------------------13分 20（本题满分13分）已知向量m =(1,1),向量n 与向量m 的夹角为43π，且m ·n 1-=．（1）求向量n ；（2）若向量n 与向量a = (1,0) 的夹角为2π，向量b =（2cos 2,cos 2C A ），其中A ，C 是△ABC 的内角，且A ，B ，C 依次成等差数列，试求｜n + b ｜的取值范围．（1）解：设),(y x =，由1-=⋅，得1-=+y x ----------------------------------------2分 ∵向量n 与向量m 的夹角为43π，=43cos π22-= 又∵1,2||-=⋅= ∴1||=，则122=+y x ---------------------4分解得⎩⎨⎧=-=01y x 或⎩⎨⎧-==10y x ∴)0,1(-=或)1,0(-=----------6分（2）解：由向量与向量的夹角为2π，可知)1,0(-= 由2B =A+C 知B =3π，A+C =32π，0＜A ＜32π--------------------8分若)1,0(-=，则)cos ,(cos C A =+C A b n 222cos cos ||+=+)32cos(211π++=A --------------------10分∵0＜A ＜32π，3π＜2A ＜35π∴21)32cos(1<+≤-πA ，45)32cos(21121<++≤πA ， ----------------12分)45,21[||2∈+ ∴)25,22[||∈+----------------13分 21（本题满分15分）某公司有价值a 万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入，相应就要提高产品附加值．假设附加值y 万元与技术改造投入x 万元之间的关系满足：①y 与x a -和x 的乘积成正比；②当时2ax =，2a y =；③.)(20t x a x≤-≤其中t 为常数，且]1,0[∈t ．(1)设)(x f y =，求出)(x f 的表达式，并求出)(x f y =的定义域； (2)求出附加值y 的最大值，并求出此时的技术改造投入的x 的值解：(1)设()y k a x x =-．由2a x =，2a y =，得：k =4．于是，4()y a x x =-．---- ------3分解关于x 的不等式：02()x t a x ≤≤-，得0≤x ≤212att+．---- ------5分 ∴函数的定义域为2[0,]12att+，t 为常数，]1,0[∈t ．---- ------7分 (2)22)2(4)(4a a x x x a y +--=-= ．当2max ,2,121,2212a y a x t a t at ==≤≤≥+时即时；---- ------9分当]212,0[)(4,210,2212tat x x a y t a t at +-=≤≤<+在时即时上为增函数，故当212atx t=+时,2max 28(12)at y t =+．---- ------11分故112t ≤≤当时，投入2a x =时，附加值y 最大为2a 万元；---- ------13分当210<≤t 时，投入t atx 212+=时，附加值y 最大为22)21(8t at +万元---- ------15分22（本题满分15分）设函数f （x ）的定义域为R ，当x ＜0时，f （x ）＞1，且对任意的实数x ，y ∈R ，有f （x+y ）=f （x ）f （y ）（Ⅰ）求f （0），判断并证明函数f （x ）的单调性；（Ⅱ）数列{a n }满足a 1=f （0），且)()2(1)(*1N n a f a f n n ∈--=+①求{a n }通项公式。

江苏省连云港市东海高级中学2024-2025学年高一上学期开学质量检测数学试题(解析版)

数学试题部分（本卷满分150分共4页考试时间120分钟）一、单选题（本题共8小题每小题5分共40分）1.已知集合1|,6M x x m m ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ，1|,23n N x x n ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭Z ，1|,26p P x x p ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ，则M 、N 、P 的关系满足（）．A.M N P =⊂B.M N P ⊂=C.M N P ⊂⊂D.N P M⊂⊂【答案】B 【解析】【分析】先将集合,,M N P 化简变形成统一形式，然后分析判断即可.【详解】因为1,6M x x m m ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z 61,Z 6m x x m ⎧⎫+==∈⎨⎬⎩⎭321,Z 6m x x m ⎧⎫⨯+==∈⎨⎬⎩⎭，1,23n N x x n ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭Z 3(1)1,Z 6n x x n ⎧⎫-+==∈⎨⎬⎩⎭31,Z 6k x x k ⎧⎫+==∈⎨⎬⎩⎭1,26p P x x p ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z 31,Z 6p x x p ⎧⎫+==∈⎨⎬⎩⎭所以M N P ⊂=．故选：B ．2.已知集合{}Z21M x a x a =∈≤≤-∣，若集合M 有15个真子集，则实数a 的取值范围为（）A.[)4,6 B.911,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.911,55,22⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭D.{}911,55,422⎡⎫⎛⎫⋃⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】根据真子集的定义，推断出集合M 含有4个元素，即不等式21a x a ≤≤-的解集中有且仅有4个整数解，由此进行分类讨论，列式算出实数a 的取值范围．【详解】若集合M 有15个真子集，则M 中含有4个元素，结合{}Z21M x a x a =∈≤≤-∣，可知21a a <-，即1a >，且区间[a ,21]a -中含有4个整数，①当14a <<时，[a ,21]a -的区间长度2113a a a --=-<，此时[a ,21]a -中不可能含有4个整数；②当4a =时，[a ,21][4a -=,7]，其中含有4、5、6、7共4个整数，符合题意；③当4a >时，[a ,21]a -的区间长度大于3，(i)若[a ,21]a -的区间长度1(3,4)a -∈，即45a <<．若21a -是整数，则区间[a ,21]a -中含有4个整数，根据21(7,9)a -∈，可知218a -=，92a =，此时[a ,921][2a -=,8]，其中含有5、6、7、8共4个整数，符合题意．若21a -不是整数，则区间[a ,21]a -中含有5、6、7、8这4个整数，则必须45a <<且8219a <-<，解得952a <<；(ii)若5a =时，[a ,21][5a -=,9]，其中含有5、6、7、8、9共5个整数，不符合题意；(iii)当5a >时，[a ,21]a -的区间长度14a ->，此时[a ,21]a -中只能含有6、7、8、9这4个整数，故2110a -<，即112a <，结合5a >可得1152a <<．综上所述，4a =或952a ≤<或1152a <<，即实数a 的取值范围是9[2,5)(5⋃,{}1142⋃．故选：D ．【点睛】关键点点睛：由真子集的个数可得1a >，且区间[a ,21]a -中含有4个整数，结合区间长度1a -，即可对a 讨论求解.3.设集合{}21,Z M x x k k ==+∈，{}31,Z N x x k k ==-∈，则M N = （）A.{}21,Z x x k k =+∈B.{}31,Z x x k k =-∈C.{}61,Z x x k k =+∈ D.{}61,Z x x k k =-∈【答案】D 【解析】【分析】利用最小公倍数排除A ，B ，利用奇数和偶数排除C ，求解即可.【详解】易知集合{}21,Z M x x k k ==+∈，{}31,Z N x x k k ==-∈，则M N ⋂中k 前面的系数应为2,3的最小公倍数，故排除A ，B ，对于C ，当1k =时，集合{}61,Z x x k k =+∈为{}7x x =，而令317k -=，可得k 不为整数，故{}31,Z N x x k k ==-∈不含有7，可得M N ⋂中不含有7，故C 错误，故选：D4.已知命题“2000{|11},30x x x x x a ∃∈-≤≤-++>”为真命题，则实数a 的取值范围是（）A.{}|2a a <- B.{}|4a a < C.{}2a a >- D.{}4a a >【答案】C 【解析】【分析】根据命题是真命题的意思求解即可.【详解】因为命题“{}200011,30x x x x x a ∃∈-≤≤-++>”为真命题，所以命题“{}200011,3x x x a x x ∃∈-≤≤>-”为真命题，所以{}011x x x ∈-≤≤时，()200min3a x x >-.因为2239324y x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，所以当{}11x x x ∈-≤≤时，min 2y =-，此时1x =.所以{}011x x x ∈-≤≤时，()200min32a x x >-=-，即实数a 的取值范围是{}2a a >-.故选：C.5.如果对于任意实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数.例如[]3.273=，[]0.60=.那么“1x y -<”是“[][]x y =”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据所给定义以及充分条件与必要条件的定义推导即可.【详解】如果1x y -<，比如 3.9, 4.1x y ==，则有0.21x y -=<，根据定义，[][][][]3,4,x y x y ==≠，即“1x y -<”不是“[][]x y =”的充分条件，如果[][],Z x y n n ==∈，则有[)1212,,,0,1x n d y n d d d =+=+∈，121x y d d ∴-=-<，所以“1x y -<”是“[][]x y =”的必要条件；故“1x y -<”是“[][]x y =”的必要而不充分条件.故选：B.6.已知实数0,0,2b a b a >>=，且25log 2b a +=，则以下说法正确的是（）A.log 21b a >B.2a b 的值为4或8C.log 93b a = D.a b +的值为92【答案】B 【解析】【分析】由0,0,2ba b a >>=，且25log 2b a +=可得2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩412a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，后验证各选项即可得答案.【详解】因0,0,2b a b a >>=，则log 2a b =，又25log 2b a +=，则2515log 2log log 2log 222log 22a a a a a +=⇒+=⇒=或12.则a =4，结合log 2a b =，得2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩412a b =⎧⎪⎨=⎪⎩.A 选项，当2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩23log 2log 12b a ==>；当412a b =⎧⎪⎨=⎪⎩时，12log 2log 831ba ==-<，故A 错误；B选项，当2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩24a b =；当412a b =⎧⎪⎨=⎪⎩时，28a b =，故B 正确；C选项，当2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩log 1log 932b a b a =⇒=；当412a b =⎧⎪⎨=⎪⎩时，log 1log 2981b ab a =-⇒=，故C 错误；D选项，当2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩2a b +=+412a b =⎧⎪⎨=⎪⎩时，92a b +=，故D 错误.故选：B7.“喊泉”是一种地下水的毛细现象.在合适的条件下，人们在泉口吼叫或发出其他声响时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生一系列物理声学作用.已知声音越大，涌起的泉水越高，声强m 与参考声强0m 之比的常用对数称作声强的声强级，记作L （单位：分贝），即0lgmL m =.若某处“喊泉”的声强级L （单位：分贝）与喷出的泉水高度x （单位：分米）满足关系式0.4L x =，,A B 两人分别在这处“喊泉”大喊一声，若A “喊泉”喷出泉水的高度比B “喊泉”喷出的泉水高度高5分米，则A “喊泉”的声强是B “喊泉”声强的（）A.5倍B.10倍C.20倍D.100倍【答案】D 【解析】【分析】根据对数的运算性质可求.【详解】设,A B 的声强分别为12,,,m m A B “喊泉”喷出泉水的高度分别为12,x x ，则121200lg0.4,lg 0.4m mx x m m ==，即101202lg lg 0.4,lg lg 0.4m m x m m x -=-=，从而()1212lg lg 0.40.452m m x x -=-=⨯=，即12lg 2m m =，所以12100mm =.故A “喊泉”的声强是B “喊泉”声强的100倍.故选：D8.已知0x >，0y >，且114xyx y +=，则x y +的最小值为（）A.1B.2C.4D.8【答案】C 【解析】【分析】先得出()()24x y xy +=，再利用基本不等式求解即可.【详解】因为114xyx y +=，所以()()()24224216x y x y x y xy ⎡⎤++⎛⎫+=≤=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以()364x y +≥，所以4x y +≥，当且仅当2x y ==时取等号，所以x y +的最小值为4.故选：C .二、多选题（本题共4小题每小题5分满分20分）9.设{}{}3,8,2A B x ax =-==，若B A ⊆，则实数a 的值为（）A.23-B.14C.23D.0【答案】ABD 【解析】【分析】分0a =、0a ≠两种情况讨论，分别确定集合B ，即可求出参数a 的值.【详解】因为{}{}3,8,2A B x ax =-==，且B A ⊆，当0a =时，B =∅，符合题意；当0a ≠时，2B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，又B A ⊆，所以28a =或23a =-，解得14a =或23a =-，综上，0a =或14a =或23a =-.故选：ABD10.当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合成“偏食”.对于集合12,0,,12A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，()(){}10B x ax x a =-+=，若A 与B 构成“全食”或“偏食”，则实数a 的取值可以是（）A.-2B.12-C.0D.1【答案】BCD 【解析】【分析】考虑0a =时，{}0B =，0a ≠时，1,B a a ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，依次将各个选项中的数据带入，计算集合B ，再判断A 和B 之间的关系得到答案.【详解】当0a =时，()(){}{}100B x ax x a =-+==∣，当0a ≠时，()(){}110,B x ax x a a a ⎧⎫=-+==-⎨⎬⎩⎭∣，对选项A ：若2a =-，12,2B ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，此时A B =∅ ，不满足；对选项B ：若12a =-，12,2B ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，此时B A ⊆，满足；对选项C ：若0a =，{}0B =，此时B A ⊆，满足；对选项D ：若1a =，{}1,1B =-，此时{}1A B =≠∅ ，满足；故选：BCD.11.下列说法正确的有（）A.x A ∈是x A B ∈⋃的必要不充分条件B.“1,1a b >>”是‘1ab >’成立的充分条件C.命题2:,0p x x ∀∈>R ，则2:,0p x x ⌝∃∈<R D.,x y 为无理数是x y +为无理数的既不充分也不必要条件【答案】BD 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断ABD ，根据全称量词命题的否定为特称量词命题的否定判断C.【详解】对于A ，若x A ∈，则x A B ∈⋃，但由x A B ∈⋃不能推出x A ∈，所以x A ∈是x A B ∈⋃的充分不必要条件，故A 错误；对于B ，1,1a b >>时，1ab >一定成立，所以1,1a b >>是1ab >成立的充分条件，故B 正确；对于C ，命题2:,0p x x ∀∈>R ，则2:,0p x x ⌝∃∈≤R ，故C 错误；对于D ，当x y ==0x y +=，当2,x y ==时，x y +为无理数，所以,x y 为无理数是x y +为无理数的既不充分也不必要条件，故D 正确.故选：BD.12.{|1}S x x =<，运算“⊕”为1a ba b ab+⊕=+，则（）A.()0a a -⊕= B.ab b a⊕=⊕C.()()a b c a b c ⊕⊕=⊕⊕D.若,a b S ∈，则a b S⊕∈【答案】ABCD 【解析】【分析】由运算“⊕”的定义分别计算判断A 、B 、C ，用分析法分别从条件和结论出发证明得到D.【详解】对于A ，()()()01a a a a a a-+-⊕==+-⨯，故A 正确；对于B ，11b a a bb a a b ba ab++⊕===⊕++，故B 正确；对于C ，11()11111a b a b c abcca b c abc ab ab a b c a b ab ac bc ab ac bc c ab ab ++++++++++⊕⊕===++++++++⨯++，11()11111b c a abc b c a a abc b c bc bc a b c b c bc ab ac bc ab ac a bc bc++++++++++⊕⊕===++++++++⨯++，所以()()a b c a b c ⊕⊕=⊕⊕，故C 正确；对于D ，若,a b S ∈，则1a <，1b <，要证a b S ⊕∈，只需要证11a bab+<+，即证1a b ab +<+，即证()()221a b ab +<+，即证222210a b a b +-->，即证()()22110a b -->，因为1a <，1b <，所以上式成立，所以a b S ⊕∈，故D 正确.故选：ABCD.三、填空题（本题共4小题每小题5分满分20分）13.设A 、B 是非空集合，定义*{A B x x A B =∈ ∣且}x A B ∉I .已知{}03A x x =≤≤∣，{}1B x x =≥∣，则*A B =________.【答案】{01xx ≤<∣或3}x >【解析】【分析】先求出A B ，再求出A B ⋂，从而可求*A B 。

连云港市新海高级中学2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题(原卷版)

则 a 的取值范围是（）
A.
0,
1 2
B.
1 2
,
3
C. 3,
D. 0,3
二、选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分.
9. 如图，已知矩形U 表示全集， A ， B 是U 的两个子集，则阴影部分可表示为（）
A. ðU A B
B. ðU A B
C. ðA B A B
D. ð AB A
10. 当两个集合中有一个集合为另一集合子集时称这两个集合之间构成“全食”，当两个集合有公共元素，
但互不为对方子集时称这两集合之间构成“偏食”．对于集合
A
1,
1 2
,1
，
B
x ax2 1, a 0
，若 A
C. 对每一个无理数 x ， x2 也是无理数
D. 所有能被 5 整除的整数，其末位数字都是 5
2. 已知集合 A x x 2 ， B x x 2m ，且 ðR B A，则实数 m 的取值范围是（）
A. 1,
B. 1,
C. ,1
，则实数 a 的取值范围是（）
ba
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江苏省新海中学 2023-2024 学年高一上学期学情检测一
数学试题
（满分 150 分，时间 120 分钟）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 下列全称量词命题为真命题是（）
A. 所有的质数都是奇数
. 的 B. xR，x2＋11
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

江苏省东海高级中学高三数学三模试题苏教版

江苏省东海高级中学高三数学三模试题(正题部分，本部分满分160分,考试时间120分钟)命制人：唐春兵审核人：王兴华、周振东一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.1、已知全集=I {∈x x |R }，集合=A {x x |≤1或x ≥3}，集合=B {|1x k x k <<+，k R ∈ }，且∅=B A C I )(，则实数k 的取值范围是 ▲ .2、某小卖部为了了解冰糕销售量y (箱)与气温x (C ︒)之间的关系，随机统计了某4天卖出的冰糕的箱数与当天气温，并制作了对照表（如左所示）：由表中数据算得线性回归方程a bx y+=ˆ中的2b ≈，预测当气温为25C ︒时，冰糕销量为__▲___箱． 3、如图所示,四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角6πθ=,现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖,求飞镖落在小正方形内概率 ▲ .4、点M （a,b ）（ab ≠0）是圆C ：x 2 + y 2 =r 2内一点，直线l 是以M 为中点的弦所在的直线，直线m 的方程是ax + by = r 2，那么直线l 与直线m 的关系是 ▲ .5、已知复数i z 24-=（i 为虚数单位），且复数2)(i a z +在复平面上对应的点在第一象限，则实数a 的取值范围为 ▲ .6、等差数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，2007200512008,2,20072005S S a =--=则2008S 的值为 ▲ ． 7、已知：圆M ：0222=-+y y x ，直线l 的倾斜角为︒120，与圆M 交于P 、Q 两点，若0=⋅→→OQ OP (O 为原点)，则l 在x 轴上的截距为 ▲ .8、在ABC ∆中，()()2cos ,2sin ,5cos ,5sin OA OB ααββ==，若5O AO B =-，则ABC S ∆= ▲ .9、已知椭圆2214x y +=的左右顶点分别为M 、,N P 为椭圆上任意一点,且直线PM 的斜率的取值范围是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则直线PN 的斜率的取值范围是 ▲ . 10、已知函数)3,2( , cos )(ππ∈=x x x f ，若方程a x f =)(有三个不同的根，且从小到大依次成等比数列，则a的值为 ▲ .11、已知)33(A ，O 是原点，点),(y x P 的坐标满足0200y x y -<-+<⎨⎪≥⎪⎩，则（1的最大值为 ▲ ；（2||OP 的取值范围为 ▲ .12、数列}{n a 是正项等差数列，若nna a a a b nn ++++++++=32132321，则数列}{n b 也为等差数列. 类比上述结论，写出正项等比数列}{n c ，若n d = ▲ ，则数列{n d }也为等比数列. 13、如图，有一圆柱形的开口容器（下表面密封），其轴截面是边长为2的正方形，P 是BC 中点，现有一只蚂蚁位于外壁A 处，内壁P 处有一米粒，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为__ _▲ ． 14、已知函数()f x 定义域为R ，则下列命题: ① ()y f x =为偶函数, 则(2)y f x =+的图象关于y 轴对称.② (2)y f x =+为偶函数, 则()(2)2f x f x -=+. ③ 若函数(21)f x +是偶函数, 则(2)f x 的图象关于直线21=x 对称.④ 若(2)(2)f x f x -=-, 则()y f x =关于直线2x =对称.⑤ (2)y f x =- 和(2)y f x =-的图象关于2x =对称. 其中正确的命题序号是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内. 15（本题满分１４分）、已知a 、b 、c 是△ABC 三边长，关于x 的方程)(02222b c a b x b c ax >>=---的两根之差的平方等于4，△ABC 的面积.7,310==c S （Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）求a 、b 的值.16（本题满分14分）、如图所示，在直三棱柱111C B A ABC -中，⊥=11,AC BB AB 平面D BD A ,1为AC 的中点．（Ⅰ）求证：//1C B 平面BD A 1；（Ⅱ）求证：⊥11C B 平面11A ABB ；（Ⅲ）设E 是1CC 上一点，试确定E 的位置使平面⊥BD A 1平面BDE ，并说明理由．D第13题C 1B 1A 1DCBA17（本题满分14分）、已知Ｏ为坐标原点，A （0,2），B （4,6），→-→-→-+=AB t OA t OM 21 . (Ⅰ) 求点M 在第二或第三象限的充要条件；(Ⅱ) 求证：当三点都共线、、为何实数，时，不论M B A 121t t =；(Ⅲ) 若.a 12 ABM ,21的值时的面积为且求当∆⊥=→-→-AB OM a t18（本题满分16分）、已知圆O :222x y +=交x 轴于A ，B 两点,曲线C 是以AB 为长轴,离心率为2的椭圆,其左焦点为F .若P 是圆O 上一点,连结PF ,过原点O 作直线PF 的垂线交椭圆C 的左准线于点Q . (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)若点P 的坐标为(1,1),求证:直线PQ 与圆O 相切；(Ⅲ)试探究:当点P 在圆O 上运动时(不与A 、B 重合),直线PQ 与圆O 是否保持相切的位置关系?若是,请证明；若不是,请说明理由.19（本题满分16分）、{}12(2)k A a a a k =，，，≥，其中(12)i a i k ∈=Z ，，，，由A 中的元素构成两个相应的集合：{}()S a b a A b A a b A =∈∈+∈，，，，{}()T a b a A b A a b A =∈∈-∈，，，．其中()a b ，是有序数对，集合S 和T 中的元素个数分别为m 和n ．若对于任意的a A ∈，总有a A -∉，则称集合A 具有性质P ．（I ）对任何具有性质P 的集合A ，证明：(1)2k k n -≤；（II ）判断m 和n 的大小关系，并证明你的结论．20（本题满分16分）、已知二次函数2()f x ax x =+（a R ∈）．（1）当０＜a ＜12时，(sin )f x （x R ∈）的最大值为54，求()f x 的最小值；（2）对于任意的R x ∈，总有|(sin cos )f x x |1≤．试求a 的取值范围；（3）若当*N n ∈时，记1231ni n i a a a a a ==++++∑，令1a =，求证：312()ni nif i =<<∑成立。

江苏省东海高级中学2013届高三第一学期期中考试数学文试题

东海高级中学2013届高三文科数学期中试题一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1.对于命题p :x R ,∃∈使得210x x .++<则p ⌝为____________2.若函数log (3)a y ax =-在[0,1]上是减函数，则a 的取值范围是3．若函数()2x f x e x a =--在R 上有两个零点，则实数a 的取值范围是_______ 4.函数42sin 1()1x y x R x x =-∈++的最大值与最小值之和为5.定义在R 上的函数()f x 满足0)()23(=++x f x f 且)43(-=x f y 为奇函数．给出下列命题：⑴函数()f x 的最小正周期为32； ⑵函数()y f x =的图象关于点)0,43(对称；⑶函数()y f x =的图象关于y 轴对称．其中真命题有．（填序号） 6. 已知函数1)32sin(4)(+-=πx x f ，给定条件p ：24ππ≤≤x ，条件q ：2)(2<-<-m x f ，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围为． 7．已知函数22()sintan(,).f 55xf x a x b x a b R ππ=+∈为常数，x 若f(1)=-1，则不等式(24)>log的解集为________.8．如图，平面四边形ABCD 中，若AC ＝5，BD ＝2，则(→AB ＋→DC )·(→AC ＋→BD )＝．9．若正六棱锥的底面边长为cm 3，侧面积是底面积的3倍，则这个棱锥的高是． 10. 设(,2)αππ∈，若tan()26πα+=，则cos(2)6πα-的值为11、设关于x 的不等式组2230|1|2x ax a x ⎧++-<⎨+<⎩解集为A ，Z 为整数集，且A Z 共有两个元素，则实数a 的取值范围为 .12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动。

2010江苏高考数学试卷含答案

2010年江苏高考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．. 1. 设集合，，，则实数的值为 ▲ .2. 设复数满足（其中为虚数单位），则的模为 ▲ .3. 盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是 ▲ .4. 某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有 ▲ 根在棉花纤维的长度小于20mm.5. 设函数是偶函数，则实数a = ▲ .6. 平面直角坐标系中，双曲线上一点M ，点M 的横坐标是3，则M 到双曲线右焦点的距离是 ▲ .7. 右图是一个算法的流程图，则输出S 的值是 ▲ . 8. 函数的图像在点(a k ,a k 2)处的切线与轴交点的横坐标为a k+1,k 为正整数，a 1=16，则a 1+a 3+a 5= ▲ . 9. 在平面直角坐标系中，已知圆上有且仅有四个点到直线的距离为1，则实数的取值范围是 ▲ .10. 定义在区间上的函数的图像与的图像的交点为P ，过点P 作PP 1⊥轴于点P 1，直线PP 1与的图像交于点P 2,则线段P 1P 2的长为 ▲ . 11. 已知函数,则满足不等式的的范围是 ▲ .12. 设实数满足，则的最大值是 ▲ .13. 在锐角三角形ABC ，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，，则= ▲ .14. 将边长为正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记,则S 的最小值是 ▲ .（第4题图）（第7题图）二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15.（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1).（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；（2）设实数t满足()·=0，求t的值.16. （本小题满分14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=900.（1）求证：PC⊥BC；（2）求点A到平面PBC的距离.17. （本小题满分14分）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：），如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度，仰角∠ABE=，∠ADE=.（1）该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值；（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离（单位：），使与之差较大，可以提高测量精确度.若电视塔的实际高度为125，试问为多少时，-最大？（第17题图）18. （本小题满分16分）在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左右顶点为A,B，右顶点为F ，设过点（）的直线与椭圆分别交于点，，其中,.（1）设动点P 满足,求点P的轨迹；（2）设，求点的坐标；（3）设,求证：直线必过轴上的一定点.（其坐标与无关）（第18题图）19.（本小题满分16分）设各项均为正数的数列的前n 项和为，已知，数列是公差为的等差数列.（1）求数列的通项公式（用表示）（2）设为实数，对满足的任意正整数，不等式都成立，求证：的最大值为.20.（本小题满分16分）设是定义在区间上的函数，其导函数为.如果存在实数和函数，其中对任意的都有>0，使得，则称函数具有性质. （1）设函数，其中为实数（ⅰ）求证：函数具有性质；（ⅱ）求函数的单调区间；（2）已知函数具有性质，给定，，且，若||<||,求的取值范围.。

江苏省扬州市高邮市2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题(含答案)

2024-2025学年第一学期高三年级10月学情调研测试数学试题一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，若，则实数的值为（）A. B. C.12D.62.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.关于实数的不等式的解集是或，则关于的不等式的解集是（A. B.C. D.4.若，则点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.6.将函数的图象向左平移个单位，所得的函数图象关于对称，则（）A. B. C. D.7.如图，在四边形中，的面积为3，{}{}21,2,3,4,70U Mx x x p ==-+=∣{}U 1,2M =ðp 6-12-,a b ∈R 1122log log a b >22a b <x 20x bx c ++>{2xx <-∣5}x >x 210cx bx ++>)11,,25∞∞⎛⎫⎛⎫--⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11,,52∞∞⎛⎫⎛⎫--⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11,25⎛⎫- ⎪⎝⎭11,52⎛⎫- ⎪⎝⎭ππ24α-<<-()sin cos ,tan sin P αααα+-()11,2,2x a x x f x xa x -⎧+-≥⎪=⎨⎪<⎩R a ()0,1(]1,2(]1,4[]2,4()()sin 2(0π)f x x ϕϕ=+<<π6π6x =ϕ=π6π32π35π6ABCD ,cos AB AD B ACB BC ACD ∠⊥===V则长为（）8.已知函数的定义域均是满足，，则下列结论中正确的是（）A.为奇函数B.为偶函数C.D.二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列各结论正确的是（）A.“”是“”的充要条件B.命题“，有”的否定是“，使”的最小值为2D.若，则10.某物理量的测量结果服从正态分布，下列选项中正确的是（）A.越大，该物理量在一次测量中在的概率越大B.该物理量在一次测量中小于10的概率等于0.5C.该物理量在一次测量中小于9.98与大于10.02的概率相等D.该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等11.已知函数，有下列四个结论，其中正确的结论为（）A.的图像关于轴对称CD ()(),f x g x (),f x R ()()()()40,021f x f x g g ++-===()()()()g x y g x y g x f y ++-=()f x ()g x ()()11g x g x --=-+()()11g x g x -=+0x y≥0xy ≥0x ∀>20x x +>0x ∃>20x x +≤+0,0a b m <<<a a m b b m+>+()210,N σσ()9.8,10.2()9.8,10.2()9.9,10.3()cos2cos f x x x =+()f x yB.不是的一个周期C.在区间上单调递减D.当时，的值域为三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.12.若命题“”是假命题，则实数的取值范围是__________.13.已知__________.14.若对一切恒成立，则的最大值为__________.四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知（1）化简；（2）若，求的值.16.（15分）已知三棱锥底面，点是的中点，点为线段上一动点，点在线段上.（1）若平面，求证：为的中点；（2）若为的中点，求直线与平面所成角的余弦值.17.（15分）在每年的1月份到7月份，某品牌空调销售商发现：“每月销售量（单位：台）”与“当年π()f x ()f x π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x 2⎤⎥⎦2,20x x x a ∀∈-+>R a πsin sin 3αα⎛⎫++= ⎪⎝⎭πsin 26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭ln 2ax x b ≥+()0,x ∞∈+b a()()()23ππsin cos tan π22πsin πcos 2f αααααα⎛⎫⎛⎫-+⋅-⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭()fα()2f α=3cos2sin2αα-,A BCD AD -⊥,,4,2BCD BC CD AD BC CD ⊥===P AD Q BC M DQ PM ∥ABC M DQ Q BC DQ ABC的月份”线性相关.根据统计得下表：月份123456销量101931455568（1）根据往年的统计得，当年的月份与销量满足回归方程.请预测当年7月份该品牌的空调可以销售多少台？（2）该销售商从当年的前6个月中随机选取2个月，记为销量不低于前6个月的月平均销量的月份数，求的分布列和数学期望18.（17分）已知锐角的内角，所对的边分别为，满足.（1）求角的大小；（2）若，求面积的取值范围.19.（17分）已知函数.（1）讨论在区间上的单调性；（2）若在上有两个极值点.①求实数的取值范围：②求证：.xy x y ˆ10yx t =+X X ABC V A B C ､､a b c ､､1cos c A b A=B 2b =ABC V ()()2e 23x f x x a x a ⎡⎤=-+++⎣⎦()f x R ()f x ()0,312,x x a ()()2124e f x f x <2024—2025学年第一学期高三年级10月学情调研测试参考答案1.C2.A3.C4.C5.B6.D7.B8.D9.BD 10.BC 11.ABD12. 13.14.13.（1）.（2）由（1）得，所以14.（1）连结因为平面平面，平面平面，所以，又因为是的中点，所以是中点.（2）方法一：因为底面，如图建立坐标系，则，可得，，设平面的法向量为，则，令，则，可得，(],1∞-19-12()()()()2cos sin tan tan sin sin f ααααααα-⋅⋅==--⋅-tan 2α=-()22223cos sin 2sin cos 3cos2sin2sin cos αααααααα--⋅-=+2233tan 2tan 31241tan 141ααα---+===-++AQPM∥,ABC PM ⊂ADQ ADQ ⋂ABC AQ =PM ∥AQ P AD M DQ AD ⊥,BCD BC CD ⊥()()()()2,0,0,0,2,0,2,0,4,0,1,0D B A Q ()2,1,0DQ =- ()()2,0,4,0,2,0CA CB == ABC (),,n x y z = 24020n CA x z n CB y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩ 0,20y x z ∴=+=1z =0,2y x ==-()2,0,1n =-，设直线与平面所成角为，又则.因此直线与平面所成角的余弦值为.方法二：过点作交于，连接，因为底面底面，则，且平面，则平面，由平面，可得，且，平面，所以平面，可知即为直线与平面所成角.在中，，则，所以，又则.所以直线与平面所成角的余弦值为.17.解：（1），，又回归直线过样本中心点，所以，得，4cos ,5DQ n DQ n DQ n⋅<>=== DQ ABC 4,sin cos ,5DQ n θθ∴=<>= π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦3cos 5θ=DQ ABC 35D DN AC ⊥AC N QN AD ⊥,BCD BC ⊂BCD AD BC ⊥,,,BC CD AD CD D AD CD ⊥⋂=⊂ACD BC ⊥ACD DN ⊂ACD BC DN ⊥AC BC C ⋂=,AC BC ⊂ABC DN ⊥ABC DQN ∠DQ ABC Rt ACD V 2,4CD AD ==AC =DN =DQ QN ==3cos 5QN DQN QD ∠==DQ ABC 35123456 3.56x +++++==101931455568386y +++++==()x y 3810 3.5t =⨯+3t =所以，当时，，所以预测当年7月份该品牌的空调可以销售73台；（2）因为，所以销量不低于前6个月的月平均销量的月份数为，所以所以所以的分布列为：012故数学期望18.（1）由，得，即根据正弦定理，得.因为，所以，即因为，所以，所以，又则.（2）在中由正弦定理得：所以，ˆ103yx =+7x =ˆ73y =38y =4,5,60,1,2X =()()()21123333222666C C C C 1310,1,2C 5C 5C 5P X P X P X ⋅=========X XP 153515()1310121555E X =⨯+⨯+⨯=1cos c A b A =1cos c b A =sin cos c A b A =+sin sin sin cos C B A B A =+()()sin sin πsin C A B A B ⎡⎤=-+=+⎣⎦sin cos cos sin sin sin cos A B A B B A B A +=+sin cos sin A B B A=()0,πA ∈sin 0A ≠tan B =()0,πB ∈π6B =ABC V sin sin sin a b c A B C ==4sin ,4sin a A c C ==215πsin 4sin sin 4sin sin 2sin cos 26ABC S ac B A C A A A A A ⎛⎫===-=+ ⎪⎝⎭V πsin22sin 23A A A ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭因为为锐角三角形，所以，即.所以，所以所以即面积的取值范围为19.（1）当，即时，恒成立，则在上单调递增；当，即或时，令，得或令综上所述：当时，单调递增区间是，无单调递减区间；当或时，的单调递增区间是和单调减区间是（2）①因为在有两个极值点，所以在有两个不等零点，所以解得，所以实数的取值范围为②由①知.所以同理.ABC V π025ππ062A A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩ππ32A <<ππ2π2,333A ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭πsin 23A ⎤⎛⎫-∈⎥ ⎪⎝⎭⎦(2ABC S ∈+V ABC V (2+()()2e 1,x f x x ax x '-=+∈R 2Δ40a =-≤22a -≤≤()0f x '≥()f x R 2Δ40a =->2a <-2a >()0f x '>x <x >()0f x '<x <<22a -≤≤()f x (),∞∞-+2a <-2a >()f x ∞⎛- ⎝∞⎫+⎪⎪⎭()f x ()0,312,x x ()21g x x ax =-+()0,312,x x ()()2Δ4003201031030a a g g a ⎧=->⎪⎪<<⎪⎨⎪=>⎪=->⎪⎩1023a <<a 102,3⎛⎫ ⎪⎝⎭1212,1x x a x x +==()()()()1112111111e 23e 123e 22x x x f x x a x a ax a x a x a ⎡⎤⎡⎤=-+++=--+++=-++⎣⎦⎣⎦()()222e 22x f x x a =-++所以.设所以，所以函数在区间上单调递减，所以，所以()()()()()()1212121212221e 2222e 422(2)x x x x f x f x x a x a x x a x x a ++⎡⎤⎣⎦=-++-++=-++++()()22e 422(2)e 8a a a a a a ⎡⎤=-+++=-⎣⎦()()210e 8,2,3x h x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭()()()e 420x h x x x =-+-<'()h x 102,3⎛⎫ ⎪⎝⎭()()224e h x h <=()()2124e f x f x <。

2024-2025学年江苏省南京市高三上学期第一次学情调研数学试题及答案

南京市2025届高三年级学情调研数学2024.09注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分.2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1.已知集合{}30A x x =->，{}2540B x x x =-+>，则A B = （）A.(,1)-∞ B.(,3)-∞ C.(3,)+∞ D.(4,)+∞2.已知4x a =，log 3a y =，则x y a +=（）A.5B.6C.7D.123.已知||a = ，||1b = .若(2)a b a +⊥，则cos ,a b = （）A. B.4.已知数列{}n a 为等差数列，前n 项和为n S .若36S =，63S =，则9S =（）A.18- B.9- C.9D.185.若α是第二象限角，4sin 2tan αα=，则tan α=（）A. B.6.甲、乙、丙、丁共4名同学参加某知识竞赛，已决出了第1名到第4名（没有并列名次）.甲、乙、丙三人向老师询问成绩，老师对甲和乙说：“你俩名次相邻”，对丙说：“很遗憾，你没有得到第1名”.从这个回答分析，4人的名次排列情况种数为（）A.4B.6C.8D.127.若正四棱锥的高为8，且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的侧面积为（）A.24B.32C.96D.1288.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，点P 在C 上，点Q 在l 上.若2PF QF =，PF QF ⊥，则PFQ △的面积为（）A.254 B.25 C.552D.55二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分.9.已知复数z ，下列命题正确的是（）A.若1z +∈R ，则z R ∈B.若i z +∈R ，则z 的虚部为1-C.若||1z =，则1z =± D.若2z ∈R ，则z ∈R10.对于随机事件A ，B ，若2()5P A =，3()5P B =，()14P B A =，则（）A.3()20P AB =B.()16P A B =C.9()10P A B +=D.1()2P AB =11.设函数18()|sin ||cos |f x x x =+，则（）A.()f x 的定义域为π,2k x x k ⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭Z B.()f x 的图象关于π4x =对称C.()f x 的最小值为D.方程()12f x =在(0,2π)上所有根的和为8π三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上12.01x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项是___________.13.与圆柱底面成45°角的平面截圆柱得到如图所示的几何体，截面上的点到圆柱底面距离的最大值为4，最小值为2，则该几何体的体积为___________.14.已知椭圆C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为B ，直线2BF 与C 相交于另一点A .当1cos F AB ∠最小时，C 的离心率为___________.四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）小王早晨7：30从家出发上班，有A ，B 两个出行方案供其选择，他统计了最近100天分别选择A ，B 两个出行方案到达单位的时间，制成如下表格：8点前到（天数）8点或8点后到（天数）A 方案2812B 方案3030（1）判断并说明理由：是否有95%的把握认为在8点前到单位与方案选择有关；（2）小王准备下周一选择A 方案上班，下周二至下周五选择B 方案上班，记小王下周一至下周五这五天中，8点前到单位的天数为随机变量X .若用频率估计概率，求()3P X =.附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++，()0P x χ≥0.100.050.0250.0100.0110x 2.7063.8415.0246.63510.82816.（本小题满分15分）如图，在四面体ABCD 中，ACD △是边长为3的正三角形，ABC △是以AB 为斜边的等腰直角三角形，E ，F 分别为线段AB ，BC 的中点，2AM MD = ，2CN ND =.（1）求证：//EF 平面MNB ；（2）若平面ACD ⊥平面ABC ，求直线BD 与平面MNB 所成角的正弦值.17.（本小题满分15分）已知数列{}n a ，{}n b ，(1)2n n n a =-+，1(0)n n n b a a λλ+=->，且{}n b 为等比数列.（1）求λ的值；（2）记数列{}2n b n ⋅的前n 项和为n T .若()*2115N i i i T T T i ++⋅=∈，求i 的值.18.（本小题满分17分）已知1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，12F F =T 在C上.（1）求C 的方程（2）设直线l 过点(1,0)D ，且与C 交于A ，B 两点.①若3DA DB =，求12F F A △的面积；②以线段AB 为直径的圆交x 轴于P ，Q 两点，若||2PQ =，求直线l 的方程.19.（本小题满分17分）已知函数2()e31x af x ax ax -=+-+，a ∈R .（1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处切线的方程；（2）当1a >时，试判断()f x 在[1,)+∞上零点的个数，并说明理由；（3）当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.南京市2025届高三年级学情调研数学参考答案2024.09一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.12345678DDABACCB二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分.91011ABBCDACD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.12.24013.3π四、解答题：本大题共5小题，共77分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）解：（1）假设0:8H 点前到单位与方案选择无关，则22100(28301230)40604258χ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯.8003.94 3.841203=≈>，所以有95%的把握认为8点前到单位与路线选择有关.（2）选择A 方案上班，8点前到单位的概率为0.7，选择B 方案上班，8点前到单位的概率为0.5.当3X =时，则分两种情况：①若周一8点前到单位，则22214210.7C (10.5)0.580P =⨯-⨯=.（2）若周一8点前没有到单位，则33246(10.7)(10.5)0.580P C =-⨯-⨯=.综上，1227(3)80P X P P ==+=.16.（本小题满分15分）解：（1）因为E ，F 分别为线段AB ，BC 中点，所以//EF AC .因为2AM MD = ，2CN ND = ，即13DM DN DA DC ==，所以//MN AC ，所以//EF MN .又MN ⊂平面MNB ，EF ⊄平面MNB ，所以//EF 平面MNB .（2）取AC 中点O ，连接DO ，OE 因为ACD △为正三角形，所以DO AC ⊥.因为平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD 平面ABC AC =，DO ⊂平面ACD ，所以DO ⊥平面ABC .因为O ，E 分别为AC ，AB 中点，则//OE BC .又因为AC BC ⊥，所以OE AC ⊥.以O 为坐标原点，OE ，OC ，OD 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则D ⎛ ⎝，33,,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，10,2M ⎛- ⎝，10,2N ⎛ ⎝，故(3,BM =-- ，(0,1,0)MN =，33,2BD ⎛=-- ⎝.设平面MNB 的法向量为(,,)n x y z =，直线BD 与平面MNB 所成角为θ，则0,0,n BM n MN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即320,0.x y y ⎧--+=⎪⎨=⎪⎩取n = .则sin cos ,BD n BD n BD nθ⋅=====，所以BD 与平面MNB.17.（本小题满分15分）解：（1）因为(1)2n n n a =-+，则11a =，25a =，37a =，417a =.又1n n n b a a λ+=-，则1215b a a λλ=-=-，23275b a a λλ=-=-，343177b a a λλ=-=-.因为{}n b 为等比数列，则2213b b b =⋅，所以2(75)(5)(177)λλλ-=--，整理得220λλ--=，解得1λ=-或2.因为0λ>，故2λ=.当2λ=时，1112(1)22(1)2n n n n n n n b a a +++⎡⎤=-=-+--+⎣⎦11(1)(1)22(1)23(1)n n n n n ++=-⨯-+-⨯--=-⨯-.则113(1)13(1)n n nn b b ++-⨯-==--⨯-，故{}n b 为等比数列，所以2λ=符合题意.（2）223(1)n n b n n ⋅=-⨯-⋅当n 为偶数时，222222223123456(1)n T n n ⎡⎤=-⨯-+-+-+---+⎣⎦33(12)(1)2n n n =-⨯+++=-+ 当n 为奇数时221133(1)(1)(2)3(1)(1)22n n n T T b n n n n n n ++=-+=-++++=+.综上，3(1),, 23(1),. 2n n n n T n n n ⎧+⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩为奇数为偶数因为20i i T T +⋅>，又2115i i i T T T ++⋅=，故10i T +>，所以i 为偶数.所以333(1)(2)(3)15(1)(2)222i i i i i i ⎡⎤⎡⎤-+⋅-++=⨯++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，整理得23100i i +-=，解得2i =或5i =-（舍），所以2i =.18.（本小题满分17分）解：（1）由题意可知c =，点T 在C 上，根据双曲线的定义可知122TF TF a -=，即24a =-=，所以2a =，则2222b c a =-=，所以C 的方程为22142x y -=.（2）①设()00,B x y ，()001,DB x y =-.因为3DA DB = ，所以()0033,3DA x y =-，所以A 点坐标为()0032,3x y -，因为A ，B 在双曲线C 上，所以()()220022001,423231,42x y x y ⎧-=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩解得03x =，0y =，所以A点坐标为7,⎛ ⎝，所以12121122F F A A S y F F =⨯=⨯=△②当直线l 与y 轴垂直时，此时4PQ =不满足条件.设直线l 的方程为1x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ，(),0P P x ，(),0Q Q x .直线l 与C 联立221,421,x y x ty ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩消去x ，得()222230t y ty -+-=，所以12222t y y t +=--，12232y y t =--.由()22241220,20.t t t ⎧∆=+->⎪⎨-≠⎪⎩，得232t >且22t ≠.以AB 为直径的圆方程为()()()()12120x x x x y y y y --+--=，令0y =，可得()21212120x x x x x x y y -+++=，则P x ，Q x 为方程的两个根，所以12P Q x x x x +=+，1212P Q x x x x y y =+，所以P Q PQ x x =-======2==.解得22t =-（舍）或253t =，即t=，所以直线l 的方程为：330x ±-=.19.（本小题满分17分）解：（1）当1a =时，12()e31x f x x x -=+-+，则1()e 23x f x x -=+-，所以曲线()y f x =在1x =处切线的斜率(1)0k f '==.又因为(1)0f =，所以曲线()y f x =在1x =处切线的方程为0y =.（2）1(1)e21af a -=-+，()e 23x a f x ax a -'=+-，则1(1)e a f a -'=-，当1a >时，()e 20x af x a -''=+>，则()f x '在(1,)+∞上单调递增.因为111(1)ee 10af a --'=-<-=，2()123(21)(1)0f a a a a a '=+-=-->，所以存在唯一的0(1,)x a ∈，使得()00f x '=.当()01,x x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在[)01,x 上单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在()0,x +∞上单调递增.又因为10(1)e21e 210af a -=-+<-+=，所以()0(1)0f x f <<.又因为3(3)e10af -=+>，所以当1a >时，()f x 在[1,)+∞上有且只有一个零点.（3）①当1a >时，10(1)e 21e 210af a -=-+<-+=，与当0x ≥时，()0f x ≥矛盾，所以1a >不满足题意.②当1a ≤时，(0)e10af -=+>，()e 23x a f x ax a -'=+-，()e 2x a f x a -''=+，(0)e 2a f a -''=+.记函数()e 2xq x x -=+，1x ≤，则()e2xq x -'=-+，当(ln 2,1)x ∈-时，()0q x '>，所以()q x 在(ln 2,1)-单调递增；当(,ln 2)x ∈-∞-时，()0q x '<，所以()q x 在(,ln 2)-∞-单调递减，所以()(ln 2)22ln 20q x q ≥-=->，所以(0)0f ''>.又因为()f x ''在[0,)+∞上单调递增，所以()(0)0f x f ''''≥>，所以()f x '在[0,)+∞上单调递增.（i ）若(0)e30af a -'=-≥，则()(0)0f x f ''≥≥，所以()f x 在[0,)+∞上单调递增，则()(0)0f x f ≥>，符合题意；（ii ）若(0)e30af a -'=-<，可得0a >，则01a <≤.因为1(1)e 0af a -'=-≥，且()f x '在[0,)+∞上单调递增，所以存在唯一的1(0,1]x ∈，使得()10f x '=.当()10,x x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在()10,x 上单调递减，当()1,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在()1,x +∞上单调递增，其中1(0,1]x ∈，且11e 230x aax a -+-=.所以()12111()e 31x af x f x ax ax -≥=+-+()22211111113231531531a ax ax ax ax ax a a x x =-+-+=-++=-++，因为1(0,1]x ∈，所以21153[1,3)x x -+∈-.又因为(0,1]a ∈，所以()211531a x x -+≥-，所以()0f x ≥，满足题意.结合①②可知，当1a ≤时，满足题意.综上，a 的取值范围为(,1]-∞.。

江苏省扬州市高邮市2023-2024学年高二上学期12月学情调研测试数学试卷(含解析)

江苏省扬州市高邮市2023-2024学年高二上学期12月学情调研测试数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．若两条直线与互相垂直，则实数a 的值为( )D.62．抛物线的焦点到点的距离为( )3．已知数列中，且，则为( )4．设函数在处存在导数为3，则( )A.1B.3C.6D.95．已知圆与圆，若与有且仅有一条公切线，则实数m 的值为( )A.D.6．已知等差数列的前n 项和为，，，则使得不等式成立的最大的n 的值为( )A.9B.10C.11D.12，，是它的两个焦点，O 为坐标原点，P是双曲线右支上一点，( )8．已知椭圆，P 是椭圆C 上的点，，分别是椭圆C 的左右焦点，若恒成立，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是( )2310x y +-=450ax y +-=628x y =(2,5){}n a 11a =12()2nn n a a n a *+=∈+N 10a ()f x 1x =()()Δ01Δ1lim 3Δx f x f x→+-=2221:2160C x y mx m +-+-=222:20C x y y +-=1C 2C 2±{}n a n S 60a <490a a +>0n S <214y -=1F 2F 12cos F PF ∠=()2222:10x y C a b a b+=>>()1,0F c -()2,0F c 122PF PF ac ⋅≤A. B. C. D.二、多项选择题9．下列说法正确的有( )A.若直线的斜率越大，则直线的倾斜角就越大；B.直线必过定点；C.直线与直线D.斜率为3，且在y 轴上的截距为2的直线方程为.10．下列求导运算正确的是( )A. C. D.11．已知点在抛物线的准线上，过抛物线C 的焦点F 作直线l 交C 于、两点，则( )A.抛物线C 的方程是B.C.当12．对于正项数列，定义：的“匀称值”.已知数列的“匀称值”为，的前n 项和为，则下列关于数列的描述正确的有( )A.数列为等比数列 B.数列为等差数列D.记为数列的前n 项和，则的焦距为14．已知为等比数列，公比，，，成等差数列，则通项公式________.⎫⎪⎪⎭)1,1-⎛ ⎝(1⎤-⎦230x ky k +-+=(3,2)-2410x y --=2x y -=32y x =±11x x '⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭)1lg x x'=()1kx b k '+=+()21tan cos x x'=(1,0)M -()2:20C y px p =>()11,A x y ()22,B x y 24y x=121x x =3AF = AMF BMF=∠{}n a n G =}n a {}n a 3n n G ={}n a n S {}n a {}n a {}n a 2025=n T 1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭34n T <212y m +=-{}n a 1q ≠1a =1a 22a 3a n a =15．已知平面内的动点P 到两定点，的距离的最大值为________.16．在数列中，，，若对于任意的，恒成立，则实数k 的最小值为________.四、解答题17．已知等差数列的前n 项和为，且满足，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前10项和.18．已知圆C 的圆心在直线上且与y 轴相切于点.（1）求圆C 的标准方程；（2）若直线l 过点且被圆C截得的弦长为19．已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）直线l 为曲线的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标.20．已知数列，，，，（1）令，求证：数列是等比数列；（2）若，求数列的前n 项和.21．在平面直角坐标系中，存在两定点，与一动点.已知直线与直线的斜率之积为8.（1）求点A 的轨迹方程；（2）记的左、右焦点分别为、，过定点的直线l 交于P 、Q 两点.若P 、Q 两点满足，求直线l 的方程.22．已知椭圆的长轴长为4，且点在椭圆E 上.（1）求椭圆E 的方程；(2,0)A B PA PB =460x y -+={}n a 14a =132n n a a +=-*n ∈N (1)27n k a n -≥-{}n a n S 3423a a =+749S ={}n a {}n b ,2,n n na nb n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数{}n b 10T 50x y --=(0,2)M -(1,0)P -3()2f x x x =+-()y f x =(1,0)()y f x ={}n a 12a =25a =2144n n n a a a ++=-12n n n b a a +=-{}n b n n c nb ={}n c n S xOy ()1,0M -()1,0N ),(y x A MA NA ΓΓ1F 2F ()0,1Γ1212()()33PF PF QF QF +⋅+=-2222:1(0)x y E a b a b+=>>31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）直线交E 于A ，B 两点，C ，D 为E 上的两点，若四边形的对角线，求四边形面积的取值范围.0x y +-=ACBD CD AB ⊥ACBD参考答案1．答案：C解析：由题意可知，两条直线斜率乘积为-1，则解得故选C 2．答案：B解析：由抛物线的焦点，焦点到点故选B.3．答案：D解析：，即，两边同时除以得：，，令，则是首项为，公差为1的等差数列，则，即，则故选：D 4．答案：A解析：由题意可得，则.综上所述，答案选择：A.5．答案：D解析：圆，可化为，圆心，半径；圆可化为2(134a-⋅-=-6a =-28x y =(0,2)F ∴=1n a +=()122n n n a a a ++=1122n n n n a a a a +++=1n n a a +1221n n a a ++=21n a -=n b =11n n b +-={}n b 1122b a ==2(1)1n b n n =+-=+21nn a =+n a =102101==+0(1)(1)lim3x f x f x ∆→+∆-=∆0(1)(1)1lim 3133x f x f x ∆→+∆-=⨯=∆2221:2160C x y mx m +-+-=221:()16C x m y -+=1(,0)C m 14r =222:20C x y y +-=，心，半径；因为与，解得故选：D.6．答案：C解析：根据题意，数列是等差数列，设其公差为d ，由等差数列的性质，可得，又，所以，公差，因此中，当时递减，是最小值，从开始，递增，又，所以使得的最大的n 为11，故选：C.7．答案：A 解析：设点P 坐标为，，由题意可知，，，则，，.在中，由余弦定理可得：222:(1)1C x y +-=2(0,1)C 11r =1C C 21C r =3=m =±{}n a 67490a a a a +=+>60a <70a >760d a a =->{}n S 6n ≤{}n S 6S 6n ={}n S ()111116111102a a S a +==<()()112126712602a a S a a +==+>0n S <(),p p x y 0p x >29a =24b =222c a b =+3a =2b =c =26a =12F PF △22212121212cos 2PF PF F F F PF PF PF +-∠==即.因为因为，所以，故选：A8．答案：B解析：设，，，因为，所以，又，所以时，取得最大值，恒成立，则，变形得，又，故解得，故选：B.9．答案：BC解析：对于A，当斜率为，故A错误；对于B，将直线化为，35-=512cos F PF∠=12F PF∠=121212111sin22F PFS PF PF F PF F=∠=△41552⨯=⨯214y-=22914ppyx⎛⎫=+⎪⎪⎝⎭====()00,P x y221yb=0a x a-≤≤2220021xy ba⎛⎫=-⎪⎝⎭()()22222222222120000000022,,11x bPF PF c x y c x y x c y x c b x b ca a⎛⎫⎛⎫⋅=---⋅--=-+=-+-=-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b>>2210ba->220x a≤≤22x a=12PF PF⋅22222221ba b c a ca⎛⎫-+-=-⎪⎝⎭122PF PF ac⋅≤222a c ac-≤2e2e10+-≥0e1<< 1e1-≤<︒230x ky k+-+=(2)30k y x-++=则，解得，即直线必过定点，故B 正确；对于C ，将直线化为，则这两平行直线间的距离为故C 正确；由斜截式方程的定义可知斜率为3，且在y 轴上的截距为2的直线方程为，故D 错误.故选：BC.10．答案：AD解析：由基本初等函数的求导公式以及导数运算法则可得：对A ，对B，对C ，，C 错误；对D ，故选：AD.11．答案：ABD解析：对于A 选项，抛物线C 的准线方程为在抛物线的准线上，则，可得，所以抛物线C 的方程为，A 对；2030y x -=⎧⎨+=⎩23y x =⎧⎨=-⎩230x ky k +-+=(3,2)-20x y -=240x y -=d ==32y x =+11x x '⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭(lg )x '=()kx b k '+=222sin cos sin (tan )cos cos x x x x x x '+⎛⎫'=== ⎪⎝⎭x =(1,0)-2:2(0)C y px p =>12p-=-2p =24y x =对于B 选项，抛物线C 的焦点为，若直线l 与x 轴重合，此时，直线l 与抛物线C 只有一个公共点，不合乎题意，所以直线l 不与x 轴重合，设直线l 的方程为，联立，可得，，则，所以，B 对；对于C 选项，因为，即，则，因为，可得，则，则对于D 选项，所以(1,0)F 1x my =+214x my y x=+⎧⎨=⎩2440y my --=216160m ∆=+>124y y =-2221212(4)14416y y x x -=⋅==3AF FB =()()11221,31,x y x y --=-123y y -=12224y y y m +=-=22y m =-22212233(2)124y y y m m =-=-⨯-=-=-2m =12122112x x my my ++=++++()()2121441413m y y m ⎛⎫=++=+=⨯+= ⎪⎝⎭111AM y k x ==+BM =()()()122112121222222(2)AM BM y my y my y y k k my my my my ++++=+=++++所以，D 对.故选：ABD.12．答案：BCD解析：由已知可得，所以，①当时，②，由①-②得即时，，当时，由①知，满足，所以数列是首项为3，公差为2的等差数列，故A 错误，B 正确；因为，故C 正确；，所以故选：BCD.13．答案：5解析：由于椭圆焦距为，所以，解得.故答案为5.解析：由，，成等差数列，且得，解得或，又，所以，所以..()()1212121222()880(2)(2)44my y y y m mmy my my my ++-+===++++AMF BMF ∠=∠112333n n n n a a a G n-+++== 11233•3n n n a a a n -+++= 2n ≥2112133(1)3n n n a a a n ---+++=-⋅ 11133(1)3(21)3n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+⋅2n ≥21n a n =+1n =13a =21n a n =+{}n a ()1(2)2n n n a a S n n +==+n =+202322025=+=1111(2)22n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭111111113231232411242(1)(2)n n T n n n n n n +⎛⎫=-+-++-+-=-< ⎪-++++⎝⎭ =1020m m ->->210(2)122m m m ---=-=5m =13n -13a 22a 3a 1a =222131114343430a a a a q a a q q q =+⇔⋅=+⇔-+=1q =3q =1q ≠3q =1132n n a -=⋅13n -解析：设动点为，由题意得，即轨迹是半径为的圆，根据圆心到直线的距离，可知点P到此直线的最大距离为解析：因为，故，设，则，，是首项为3，公比为3的等比数列，故，，，即，即的最大项为，则故17．答案：（1）；（2）；解析：（1）依题意，设数列的公差为d，因为，所以，解得：.所以.(,)P x yPAPB==2283x y x+-=2243x y⎛⎫-+=⎪⎝⎭r=4,03⎫⎪⎭3460x y-+=2d423d r+=+=132n na a+=-()1131n na a+-=-1n nb a=-13n nb b+=1113b a=-={}n b3nnb=131nn na b=+=+()127nk a n-≥-327nk n⋅≥-k≥n=}n c mc273273mmmm-⎧≥⎪⎪⎨-⎪≥⎪⎩m≤≤k≥21na n=-21,2,n nn nbn-⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数121409T={}na3472349a aS=+⎧⎨=⎩11712(2)33767492a d a dS a d+=++⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩112ad=⎧⎨=⎩1(1)12(1)21na a n d n n=+-=+-=-（2）因为，所以，所以18．答案：（1）；（2）或解析：（1）圆C 的圆心在直线上且与y 轴切于点，设圆心坐标为，则，解得，，圆心，半径，故圆的方程为.（2）.当l 的斜率不存在时，l 的方程为，不满足条件当l 的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，则方程为，即故，解得或所以直线方程为或.19．答案：（1）；（2），切点为解析：（1）由，得，所以所以曲线在点处的切线方程为，即（2）设切点为，由（1）得，所以切线方程为，因为切线经过原点，所以，所以，,2,n n n a n b n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数21,2,n n n n b n -⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数1212910T b b b b =++++ 241024101252172(1517)(222)=++++++=+++++++ 21225(117)224513641409212⨯+-=+=+=-22(3)(2)9x y -++=0y =4340x y ++= 50x y --=(0,2)M -∴(,)C a b 502a b b --=⎧⎨=-⎩3a =2b =-∴(3,2)C -3r MC ===22(3)(2)9x y -++= L ==2=1x =-4d =(1)y k x =+0kx y k -+=2d 0k =k =0y =4340x y ++=440x y --=4y x =(1,4)--3()2f x x x =+-2()31f x x '=+2(1)3114f '=⨯+=()y f x =(1,0)04(1)y x -=-440x y --=3000(,2)x x x +-200()31f x x '=+320000(2)(31)()y x x x x x -+-=+-320000(2)(31)x x x x -+-=-⋅+3022x =-01x =-所以，切点为，所以所求的切线方程为即过原点的切线方程为，切点为20．答案：（1）证明见解析；（2）；解析：（1）证明：因为，所以，即，又所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列；（2）由（1）得，则则，，两式相减得，所以21．答案：（1）；（2）或解析：（1）设，化简可得所以A 的轨迹方程为（2）由题设过定点的直线l 方程为，将其与联立有：，消去y 得：因l 交于P 、Q 两点，则解得：.2(1)3(1)14f '-=⨯-+=(1,4)--44(1)y x +=+4y x =(1,4)--12n n c n -=⋅(1)21n n S n =-+2144n n n a a a ++=-21122(2)n n nn a a a a+++-=-12n n b b +=12121b a a =-=≠2={}n b 12n n b -=12n n c n -=⋅01231122232422n n S n -=⨯+⨯+⨯+⨯++⨯ 12312122232(1)22n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ 2112222(1)21n n n n S n n --=++++-⨯=-⨯- (1)21n n S n =-+221(1)8y x x -=≠±21y x =+21y x =-+(,A x y 81y x =-2218y x -=221(1)8y x x -=≠±()0,11y kx =+221(1)8y x x -=≠±2211(1)8y kx y x x =+⎧⎪⎨-=≠±⎪⎩22(8)290k x kx ---=Γ2228044(8)(9)0k k k ⎧-≠⎪⎨∆=--->⎪⎩((()3,k ∈---设，，则由韦达定理有：又，，则，同理，又因为，所以又所以，解得，则直线l 的方程为：或.；（2）解析：（1）因为椭圆的长轴长为4，所以，又点，解得.（2）由，解得设直线的方程为，设，.由得.由，故()11,P x y ()22,Q x y 12x x +=12298x k -⋅=-1(3,0)F -2(3,0)F 12111122(,)(2,2)PF PF PO x y x y +==--=-- 12222222(,)(2,2)QF QF QO x y x y +==--=-- 1212()()33PF PF QF QF +⋅+=- 12124()33x x y y +=-212121212(1)(1)()1y y kx kx k x x k x x =++=+++=22222988184433888k k kk k ⎛⎫----+=⋅=- ⎪---⎝⎭2k =±21y x =+21y x =-+213y +=960343⎛ ⎝2222:1x a E y b+=2a =31,2P ⎛ ⎝229194144b b +=+=b =213y +=221430x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩x y ===CD y x n =+()33,C x y ()44,D x y 22143y x n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩22784120x nx n ++-=22264474(3)48(7)0n n n ∆=-⨯⨯-=->n <<又，的交点在A ，B 之间，故因为直线又四边形的面积当所以四边形面积的取值范围为.AB CDn <<4x -=ACBD 1122S AB CD =⨯==n <<S <≤ACBD 960343⎛ ⎝。

江苏省南通市2024-2025学年高三上学期10月调研考试数学含答案

2024/2025学年度高三第一次调研测试数学（答案在最后）2025.09一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“N x ∀∈，20x >”的否定为（）A.N x ∀∈，20x ≤B.N x ∃∈，20x ≤C.N x ∃∈，20x > D.N x ∀∈，20x <2.已知集合{}2,Z A x x x =<∈，(){}2ln 3B x y x x ==-，则A B = （）A.{}02x x << B.{}23x x -<< C.{1}D.{0,1,2}3.已知点(3,4)P -是角α终边上一点，则cos2α=（）A.725B.725-C.2425D.2425-4.已知函数()1,121,12xa x f x x x⎧⎛⎫+≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪>⎪⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围为（）A.0a < B.12a >-C.102a -<< D.102a ≤<5.已知函数()f x 部分图象如图所示，则其解析式可能为（）A.()()2ee xxf x x-=- B.()2()ee xxf x x-=+C.()()e exxf x x -=- D.()()e exxf x x -=+6.过点(3,1)作曲线ln(1)y x =-的切线，则这样的切线共有（）A.0条B.1条C.2条D.3条7.锐角α、β满足sin cos()sin βαβα=+，若1tan 2α=，则cos()αβ+=（）A.12B.2C.2D.2-8.若函数())2sin 20f x x x ωωω=->在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上只有一个零点，则ω的取值范围为（）A.14,33⎛⎤ ⎥⎝⎦B.14,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.17,66⎛⎤⎥⎝⎦D.17,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知011a b <<-<，则（）A .01b << B.a b> C.1a b -< D.14ab <10.已知1x ，2x ，3x 是函数32()1f x x a x =-+的三个零点（0a >，123x x x <<），则（）A.32a >B.120x x <<C .()()13f x f x ''= D.()()()1231110f x f x f x ''++='11.若定义在R 上的函数()f x 的图象关于点(2,2)成中心对称，且(1)f x +是偶函数，则（）A.()f x 图象关于0x =轴对称B.(2)2f x +-为奇函数C.(2)()f x f x += D.20()42i f i ==∑三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若函数()2sin cos 2x af x x +=-是奇函数，则π2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______．13.“1x y <<”是“ln ln x x y y <”的________条件．（选填“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要”）14.班上共有45名学生，其中40人会打乒乓球，30人会骑自行车，25人会打羽毛球，则三个运动项目都会的同学至少有________人．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知α、β为锐角，sin 10α=，1tan 3β=．（1）求tan 2α的值；（2）求2αβ+的大小．16.已知函数()e e 22x x f x x -=--+.（e 2.71828=⋅⋅⋅）（1）判断函数()2y f x =-的奇偶性并证明，据此说明()f x 图象的对称性；（2）若任意(1,)x ∈+∞，(ln )()4f m x f x +>，求实数m 的取值范围．17.若函数()()πcos 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭图象的相邻对称轴距离为π2，且π162f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（1）求()f x 的解析式；（2）将()f x 的图象向右平移5π12个单位，再将所得图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数=的图象．当∈0,π时，求不等式()24g x g x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭π的解．18.绿色、环保是新时代健康生活的理念，某一运动场馆投放空气净化剂净化场馆，已知每瓶空气净化剂含量为a ，投放后该空气净化剂以每小时10%的速度减少，根据经验，当场馆内空气净化剂含量不低于3a 时有净化效果，且至少需要持续净化12小时才能达到净化目的.现有9瓶该空气净化剂.（1）如果一次性投放该空气净化剂9瓶，能否达到净化的目的？如果能，说明理由；如果不能，最多可净化多长时间？（精确到0.1小时）（2）如果9瓶空气净化剂分两次投放，在第一次投放后间隔6小时进行第二次投放，为达到净化目的，试给出两次投放的所有可能方案？（每次投放的瓶数为整数，投放用时忽略不计）（参考数据：lg 30.477≈，60.90.53≈）.19.已知函数2()2ln 1f x x ax =-+，0a ≥．（1）若()f x 的最大值为0，求a 的值；（2）若存在(,)k m n ∈，使得()()()()f n f m f k n m '-=-，则称k 为()f x 在区间(,)m n 上的“巧点”．（ⅰ）当0a =时，若1为()f x 在区间(,)m n 上的“巧点””，证明：2m n +>；（ⅱ）求证：任意0a >，()f x 在区间(,)m n 上存在唯一“巧点”k ．2024/2025学年度高三第一次调研测试数学2025.09一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】A【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】ACD【10题答案】【答案】ABD【11题答案】【答案】BD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】1-【13题答案】【答案】充分不必要【14题答案】【答案】5四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）724（2）π4．【16题答案】【答案】（1）奇函数，理由见解析，()f x 图像关于(0,2)中心对称（2）e m >-．【17题答案】【答案】（1）()πcos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）11π012x <≤【18题答案】【答案】（1）不能达到净化目的，最多可净化10.4小时；（2）第一次投放6瓶，第二次投放3瓶；或在第一次投放7瓶，第二次投放2瓶.【19题答案】【答案】（1）1a =（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析。

2024届江苏南京市高三年级学情调研数学试题及答案

南京市2-024届高三年级学情调研数学2023.09 注意事项，1．本试卷共6页，包括单项选择题（第1题～第8题）、多项选择题（第9题～第12题）、填空题（第13题～第16题）、解答题（第17题～第22题）四部分．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位登．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦于净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位登，在其他位置作答一律无效．一、选择题：本题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．L已知集合A＝位1工s＿七十3�0},B={xl2<x＜心，则AnB=A．位13<工<4} B.{工|1竺3} C.位I z<工�3} D.(工\l�x<4}2．若z=－3l一+—i ，则％的虚部为A.2B.-2C.2iD.-2i3.（工－一工2 ）｀的展开式中常数项为A.-24B.一4C.4D. Z44在!::.ABC中，点D为边AB的中点．记忒＝m，击＝n，则啼＝A.Zm+nB.m+2nC. 2m-nD.-m+2n5．设0为坐标原点，A为圆C：夕十J－七十2=0上一个动点，则乙AOC的最大值为A工穴·12 B．工6 C.一D．王4 36．在正方体ABC D-A1B1C心中，过点B的平面G与直线A1C垂宜汛la截该正方体所得截面的形状为A．三角形B．四边形c．五边形D．六边形高三数学试卷第1页（共6页）7．新风机的工作原理是，从室外吸入空气，净化后输入室内，同时将等体积的室内空气排向室外假设某房间的体积为力。

，初始时刻室内空气中含有颗粒物的质惫为m.巳知某款新风机工作时，单位时间内从室外吸入的空气体积为v (v>l)，室内空气中颗粒物的浓度与时刻t的函4数关系为p(t)=(I－入）竺丑实一，其中常数入为过滤效率．若该款新风机的过滤效率为t·v 。

江苏省苏州园三2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题(解析版)

2023-2024学年高二年级12月三校联合调研测试数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知等比数列{}n a 中，11a =，48a=−，则公比q =（）A. 2B. 4−C. 4D. 2−【答案】D 【解析】【分析】根据等比数列的知识求得正确答案.【详解】依题意33418,2a a q q q ===−=−. 故选：D2. 已知过(,2),(,1)A m B m m −−两点的直线的倾斜角是45 ，则,A B 两点间的距离为（）A. 2B.C. D. 【答案】C 【解析】【分析】利用倾斜角求出1m =，然后利用两点间距离公式即可得出答案. 【详解】由题知，12tan 451m m m−−=°=−−，解得1m =，故(1,2),(1,0)A B −，则,A B 故选：C3. 直线320x my m +−=平分圆C ：22220x x y y ++−=，则m =（）A.32B. 1C. -1D. -3【答案】D 【解析】【分析】求出圆心，结合圆心在直线上，代入求值即可.【详解】22220x x y y ++−=变形为()()22112x y ++−=，故圆心为()1,1−，由题意得圆心()1,1−在320x my m +−=上，故320m m −+−=，解得3m =−.故选：D4. 设双曲线()222210,0x y a b a b−=>>的虚轴长为2，焦距为）A. y =B. 2y x =±C. y x =±D. 12y x =±【答案】C 【解析】【分析】根据题意得到1b =，c =a =.【详解】由题意得22b =，2c =1b =，c =故a故双曲线渐近线方程为b y x x a=±. 故选：C5. 椭圆22192x y +=中以点()21M ，为中点的弦所在直线斜率为（） A. 49−B.12C.D. −【答案】A 【解析】【分析】先设出弦的两端点的坐标，分别代入椭圆方程，两式相减后整理即可求得弦所在的直线的斜率．【详解】设弦的两端点为()11A x y ，，()22B x y ，，代入椭圆得22112222192192x y x y += += ，两式相减得()()()()12121212092x x x x y y y y −+−++=，即()()()()1212121292x x x x y y y y −+−+=−，即()()1212121229x x y y y y x x +−−=+−，即12122492y y x x −×−=×−，即121249y y x x −=−−，∴弦所在的直线的斜率为49−，故选:A ．6. 已知()1,0F c −，()2,0F c 是椭圆()2222:10x yC a b a b+=>>的左、右焦点，若椭圆C 上存在一点P 使得212PF PF c ⋅=，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】设点P .【详解】设()00,P x y ，则()22002210x ya b a b +=>>，∴2220021x y b a=−，由212PF PF c ⋅=，∴()()20000,,c x y c x y c −−−⋅−−=，化为2222x c y c −+=，∴22220212x x b c a+−=，整理得()2222023a x c a c=−， ∵220x a ≤≤，∴()2222203a c a a c≤−≤，e ≤≤，故选：B7. 过动点(),P a b （0a ≠）作圆C：(223x y +−=的两条切线，切点分别为A ，B ，且60APB ∠=°，则ba的取值范围是（）A.B.C. , −∞+∞D.(),−∞∪+∞【答案】D 【解析】【分析】求出PC =，确定动点(),P a b 的轨迹方程，从而结合ba表示圆(2212x y +−=上的点与坐标原点连线的斜率，利用距离公式列出不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知圆C：(223x y +−=因为A ，B 分别为两条切线PA ，PB 的切点，且60APB ∠=°，则30APC BPC ∠=∠=°，所以2PC AC ==，所以动点(),P a b在圆(2212x y +−=上且0a ≠，b a表示圆(2212x y +−=上的点与坐标原点连线的斜率，设bk a=，则直线y kx =与圆(2212x y +−=有公共点，≤，解得k ≤k ≥，即ba的取值范围是(),−∞∪+∞，故选：D8. 已知数列{}n a 满足()2123111N 23n a a a n n na n +++++=+∈ ，设数列{}nb 满足：121n n n n b a a ++=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若()N 1n nT n n λ+<∈+恒成立，则实数λ的取值范围为（） A. 1,4+∞B. 1,4+∞C. 3,8∞+D. 38 +∞,【答案】D 【解析】【分析】首先利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求数列的和，最后利用函数的单调性求出结果.【详解】数列{}n a 满足212311123n a a a a n n n++++=+ ，① 当2n ≥时，()2123111111231n n a a a a n n −++++−−=+− ，②①−②得，12n a n n=，故22n a n =，则()()2222121211114411n n n n n b a a n n n n +++===− ++，则()()22222211111111114223411n T n n n=−+−++−=− ++，由于()N 1n nT n n λ+<∈+恒成立，故()2111411nn n λ −< ++，整理得：()21144441n n n λ+>=+++，因()11441n ++随n 的增加而减小，所以当1n =时，()11441n ++最大，且38，即38λ>. 故选：D二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）为9. 下列说法正确的是（）A. 直线20x y −−=与两坐标轴围成的三角形的面积是2 B. 点()0,2关于直线1y x =+的对称点为()1,1 C. 过()()1122,,,x y x y 两点的直线方程为112121y y x x y y x x −−=−− D. 已知点()1,2P，向量()m =，过点P 作以向量m为方向向量的直线为l ，则点()3,1A 到直线l的距离为1【答案】ABD 【解析】【分析】由直线方程，求得在坐标轴上的截距，利用面积公式，可判定A 正确；根据点关于直线的对称的求法，求得对称点的坐标，可判定B 正确；根据直线的两点式方程的条件，可判定C 错误；根据题意，求得直线l 的方程，结合点到直线的距离公式，可判定D 正确.【详解】对于A 中，令0x =，可得=2y −，令0y =，可得2x =，则直线20x y −−=与两坐标轴围成三角形的面积12222S =××=，所以A 正确；对于B 中，设()0,2关于直线1y x =+对称点坐标为(),m n ，则212122n mn m − =−+ =+ ，解得1,1m n ==，所以B 正确；对于C 中，直线的两点式使用的前提是1212,x x y y ≠≠，所以C 错误；对于D中，以向量()m =为方向向量的直线l的斜率k =，则过点P 的直线l的方程为)12y x −+，即10x +−−=，则点()3,1A 到直线l的距离1d −，所以D 正确．故选：ABD ．的10. 已知椭圆221259x y +=上一点P ，椭圆的左､右焦点分别为12,F F ，则（）A. 若点P 的横坐标为2，则1325PF = B. 1PF 的最大值为9C. 若12F PF ∠为直角，则12PF F △的面积为9D. 若12F PF ∠为钝角，则点P的横坐标的取值范围为【答案】BCD 【解析】【分析】对A ，可直接解出点P 坐标，求两点距离；对B ，1PF 最大值为a c +对C ，设1PF x =，则210PF x =-，列勾股定理等式，可求面积；对D ，所求点P 在以原点为圆心，4c =为半径的圆内，求出椭圆与该圆的交点横坐标即可判断.【详解】椭圆的长半轴为5a=，半焦距为4=c ，∴()()124,0,4,0F F −对A ，2x =时，代入椭圆方程得，=，1175PF ==，A 错；对B ，1PF 的最大值为9a c +=，B 对；对C ，12F PF ∠为直角，设1PF x =，则210PF x =-，则有()222210810180x x x x +-=⇒-+=，则12PF F △的面积为()11810922x x −==，C 对；对D ，以原点为圆心，4c =为半径作圆，则12F F 为圆的直径，则点P 在圆内时，12F PF ∠为钝角，联立2222125916x y x y += +=，消y得x =，故点P的横坐标的取值范围为，D 对. 故选：BCD11. 已知数列{}n a 满足12a =，12,2,n n na n a a n ++ = 为奇数，为偶数，设2n n b a =，记数列{}n a 的前2n 项和为2n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则（）A. 520a =B. 32nn b =×C. 12632n n T n +=−−+×D. 2261232n n S n +=−−+×【答案】ACD 【解析】【分析】分析1n a +与n a 的递推关系，根据数列{}n a 的奇数项、偶数项以及分组求和法求得2,n n T S .【详解】依题意，2132435424,28,210,220a a a a a a a a =+====+===，A 选项正确. 112432b a ==≠×，所以B 选项错误.当n 为偶数时，2111222n n n n a a a a ++++==+=+，所以()2222n n a a ++=+，而226a +=，所以1122262,622nn nn a a −−+=×=×−，所以12242662622nn nT a a a n − ++++×++×−()16122263212n n n n +−=−=−−+×−，所以C 选项正确.当n 为奇数时，()211122224n n n n n a a a a a ++++++，所以()2424n n a a ++=+，而146a =，所以11122462,624n n nn a a +−−+=×=×−，所以1213521662624n n a a a a n −−+++++×++×−()16124463212n n n n +−=−=−−+×−，所以()()11224632263261232n n n n S n n n +++=−−+×+−−+×=−−+×，所以D 选项正确.故选：ACD【点睛】求解形如()11n n a pa q p +=+≠的递推关系式求通项公式的问题，可考虑利用配凑法，即配凑为()1n n a p a λλ++=+的形式，再结合等比数列的知识来求得n a .求关于奇数、偶数有关的数列求和问题，可考虑利用分组求和法来进行求解.12. 画法几何的创始人——法国数学家蒙日发现：在椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长、短半轴平方和的算术平方根，这个圆就称为椭圆C 的蒙日圆，其圆方程为2222x y a b +=+．已知椭圆C，点A ，B 均在椭圆C 上，直线:40l bx ay +−=，则下列描述正确的为（） A. 点A 与椭圆C 的蒙日圆上任意一点的距离最小值为bB. 若l 上恰有一点P 满足：过P 作椭圆C 的两条切线互相垂直，则椭圆C 的方程为2213x y +=C. 若l 上任意一点Q 都满足0QA QB ⋅>，则01b <<D. 若1b =，椭圆C 的蒙日圆上存在点M 满足MA MB ⊥，则AOB【答案】BCD 【解析】【分析】根据椭圆上点到原点最大距离为a ，蒙日圆上的点到椭圆上点的距离最小值为半径减去a 可判断A ，利用相切列出方程即可求得椭圆的方程，可判断B ，分析可得点Q 应在蒙日圆外，解不等式从而判断C ，依据题意表示出面积表达式并利用基本不等式即可求出面积最大值，可判断D.【详解】由离心率c e a ==，且222a b c =+可得223a b ，所以蒙日圆方程2224x y b +=；对于A ，由于原点O 到蒙日圆上任意一点的距离为2b ，原点O到椭圆上任意一点的距离最大值为a ，所以椭圆C 上的点A 与椭圆C的蒙日圆上任意一点的距离最小值为(2b −，即A 错误；对于B ，由蒙日圆定义可知：直线:40l bx ay +−=与蒙日圆2224x y b +=相切，则圆心到直线l422b b=，解得1b =；所以椭圆C 的方程为2213x y +=，即B 正确；对于C ，根据蒙日圆定义可知：蒙日圆上的点与椭圆上任意两点之间的夹角范围为π0,2，若若l 上任意一点Q 都满足0QA QB ⋅>，可知点Q 应在蒙日圆外，所以此时直线l 与蒙日圆2224x y b +=422b b >，解得11b −<<，又0a b >>，所以可得01b <<，即C 正确.对于D ，易知椭圆C 的方程为2213x y +=，即2233x y +=，蒙日圆方程为224x y +=，不妨设()0,Mx y ，因为其在蒙日圆上，所以22004xy +=，设()()1122,,,A x y B x y ，又MA MB ⊥，所以可知,MA MB 与椭圆相切，此时可得直线MA 的方程为1133x x y y +=，同理直线MB 的方程为2233x x y y +=；将()00,M x y 代入,MA MB 直线方程中可得101020203333x x y y x x y x +=+= ，所以直线AB 的方程即为0033x x y y +=，联立00223333x x y y x y +=+=，消去y 整理可得()2222000036990x y x x x y +−+−=；由韦达定理可得200121222220000699,33x y x x x x x y x y −+==++, 所以()20202122y AB y +=+，原点O 到直线AB的距离为d，因此AOB 的面积()2020********AOBy S AB d y +=⋅=×=+333222==≤=；，即201y =时等号成立，因此AOBD 正确；故选：BCD的【点睛】方法点睛：在求解椭圆中三角形面积最值问题时，经常利用弦长公式和点到直线距离公式表示出三角形面积的表达式，再利用基本不等式或函数单调性即可求得结果.三、填空题（本大题共4小圆，每小题5分，共20分）13. 在等差数列{}n a 中，n S 为前n 项和，7825a a =+，则11S =_________. 【答案】55 【解析】【分析】根据下标和性质求出6a ，再根据等差数列前n 项和公式及下标和性质计算可得.【详解】在等差数列{}n a 中7825a a =+，又7862a a a =+，所以65a =，所以()111611611112115522a a a S a +×====. 故答案为：5514. 已知点P 为椭圆C ：22195x y +=上一点，点1F ，2F 分别为椭圆C 的左、右焦点，若122PF PF =，则12PF F △的内切圆半径为_____【解析】【分析】首先求12,PF PF 的值，再求12PF F △的面积，再利用三角形内切圆的半径表示面积，即可求解．【详解】因为12||||26PF PF a +==，12||2||PF PF =，所以12||4,||2PF PF ==， 212954,||24c F F c −====，则121||||4F F PF ==，等腰12PF F △边2PF 上的高h =，所以12122PF F S =×= ，设22PF F 的内切圆半径为r ，则121211(||||||)1022PF PF F F r r ++×=××=所以r =15. 已知圆M经过((()2,,1,0,A C B −．若点()3,2P ，点Q 是圆M 上的一个动点，则MQ PQ ⋅的最小值为__________．【答案】4−【解析】【分析】先利用待定系数法求出圆的方程，再利用数量积的运算律转化结合数量积的定义求出. 【详解】设圆M 的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，由于圆经过(2,A，(B ，()1,0C −，所以有72072010D F D F D F ++=++=−+=，解得203D E F =− = =− ，所以圆M 的一般方程为22230x y x +−−=，即标准方程为()2214x y −+=. 则圆M 的圆心()1,0M ，半径2==r MQ ，且=MP，因为()2424 ⋅=⋅−=−⋅≥−×=−MQ PQ MQ MQ MP MQ MQ MP ，当且仅当MQ 与MP同向时，等号成立，所以MQ PQ ⋅的最小值为4−.故答案为：4−.16. 已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b−=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 作倾斜角为30 的直线l 与C 的左、右两支分别交于点P ，Q ，若()2222220F P F Q F P F Q F P F Q+⋅−=，则C 的离心率为______．【解析】【分析】由()2222220F P F Q F P F Q F P F Q+⋅−=，2PF Q ∠的平分线与直线PQ 垂直，结合图像，根据双曲线的定义，找出各边的关系，列出等式，求解.【详解】依题意，由()2222220F P F Q F P F Q F P F Q+⋅−=，得22220F P F Q QP F P F Q+⋅=，即2PF Q ∠的平分线与直线PQ 垂直，如图，设2PF Q ∠的平分线2F D 与直线PQ 交于点D ，则22PF D QF D ∠=∠，2290F DP F DQ ∠=∠= ，又22DF DF =，所以22PDF QDF ≌△△2QF ．由题得()1,0F c −，()2,0F c ，设2DF h =，2QF s =，1PF t =，在12Rt DF F △中，1290F DF ∠=，1230DF F ∠=，则h c =，1DF =，由双曲线的性质可得122122QF QF PQ t s a PF PF s t a −=+−=−=−= ，解得4PQ a =，则2PDQD a ==，所以在2Rt QDF△中，s=又12t DF PD a =−=−，2s t a −=)22a a −−=，，整理得222ac =，所以cea==四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 已知数列{}n a 满足：122,4a a ==，数列{}n a n −为等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求和：12nn S a a a =++⋅⋅⋅+．【答案】（1）12n n −+ （2）2112122n n n ++− 【解析】【分析】（1）首先求出11a −，22a −，即可求出等比数列{}n a n −的通项公式，从而求出{}n a 的通项公式；（2）利用分组求和法计算可得. 【小问1详解】因为12a =，24a =，数列{}n a n −为等比数列，所以111a −=，222a −=2=，即{}n a n −是以1为首项，2为公比等比数列，所以12n n a n −−=，则12n n a n −=+. 【小问2详解】12n n S a a a =++⋅⋅⋅+01211222322n n −=++++++++()()01211232222n n −=+++++++++()2112112121222n n n n n n +−=+=++−−. 18. 已知圆()()22:121M x y ++−=，直线l 过原点()0,0O ．（1）若直线l 与圆M 相切，求直线l 的方程；（2）若直线l 与圆M 交于P ，Q 两点，当MPQ 的面积最大时，求直线l 的方程．的【答案】（1）0x =或34y x =− （2）y x =−或7y x =−．【解析】【分析】（1）根据直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，结合圆心到直线的距离等于半径来求得直线l 的方程.（2）设出直线l 的方程，由点到直线的距离公式、弦长公式求得三角形PQM 面积的表达式，结合二次函数的性质求得MPQ 的面积最大时直线l 的方程. 【小问1详解】①当直线l 的斜率不存在时，直线l 为0x =，显然符合直线与圆相切， ②当斜率存在时，设直线为y kx =，圆M 的圆心坐标()1,2-，圆心到直线的距离d由题意得：直线l 与圆M1，解得：34k =−，所以直线l 的方程为：34y x =−，综上所述，直线l 的方程为：0x =或34y x =− 【小问2详解】直线l 的斜率不存在时，直线l 为0x =与圆相切，不符合题意，故直线l 斜率必存在，设直线l 的方程为：y mx =，圆心到直线的距离d，弦长PQ ==，所以12PQM S PQ d =⋅⋅=△当212d =时，面积S 最大，12=，整理得2870m m ++=，解得7m =−，或1m =−，所以直线l 的方程：y x =−或7y x =−．19.如图，已知A ，(0,0)B ，(12,0)C，直线:(20l k x y k −−=．（1）证明直线l 经过某一定点，并求此定点坐标；（2）若直线l 等分ABC 的面积，求直线l 的一般式方程；（3）若P ，李老师站在点P 用激光笔照出一束光线，依次由BC （反射点为K ）、AC （反射点为I ）反射后，光斑落在P 点，求入射光线PK 的直线方程．【答案】（1）证明见解析，定点坐标为(2,；（2170y +−=；（3）2100x −=．【解析】【分析】（1）整理得到(2))0k x y −+−=，从而得到方程组，求出定点坐标；（2）求出定点P 在直线AB 上，且||8AM =，由12AMD ABC S S =得到3||||94AD AC ==，设出00(,)D x y ，由向量比例关系得到D 点坐标，得到直线方程；（3）作出辅助线，确定P 关于BC 和AC 的对称点1,P 2P ，得到12P P k =由对称性得PK k =写成直线方程. 【小问1详解】直线:(20l k x y k +−−=可化为(2))0k x y −+−=，令200x y −= −=，解得2x y = = l经过的定点坐标为(2,；【小问2详解】因为A ，(0,0)B ，(12,0)C ，所以||||||12ABAC BC ===，由题意得直线AB方程为y =，故直线l经过的定点M 在直线AB 上，所以||8AM ==，设直线l 与AC 交于点D ，所以12AMD ABC S S =，即111||||sin ||||sin 222AM AD A AB AC A =××，所以3||||94AD AC ==，设00(,)D x y ，所以34AD AC = ，即003(6,(6,4x y −−=−，所以0212x =，0y =D ，将D 点坐标代入直线l的方程，解得k =，所以直线l 170y+−=；【小问3详解】设P 关于BC 的对称点1(2,P −，关于AC 的对称点2(,)P m n ，直线AC12612x −=−，即)12y x −，直线AC的方程为12)y x −，所以(12122m =−+ =− ，解得14,m n ==2P ，由题意得12,,,P K I P四点共线，12P P k =PK k =，所以入射光线PK的直线方程为2)y x −−，即2100x +−=．20.已知两定点()()12,2,0F F ，满足条件212PF PF −=的点P 的轨迹是曲线E ，直线1y kx =−与曲线E 交于A ，B （1）求曲线E 的方程；（2）求实数k 的取值范围；（3）若||AB =AB 的方程．【答案】20. ()2210x y x −=<21. ()1−22.10x y ++= 【解析】【分析】（1）由双曲线的定义得其方程为()2210x y x −=<；（2）由于直线和双曲线相交于左支，且有两个交点，故联立直线的方程和双曲线的方程，消去y 后得到关于x 的一元二次方程的判别式大于零，且韦达定理两根的和小于零，两根的积大于零，由此列不等式组，求解k 的取值范围；（3）由AB =，利用弦长公式，结合韦达定理列出关于k 的方程，解方程即可得结果. 【小问1详解】由双曲线定义可知，曲线E是以()1F，)2F为焦点的双曲线的左支，且c =由2122PF PF a −==，所以1a =，1b ，所以曲线E 的方程为()2210x y x −=<.故曲线E 的方程为：()2210x y x −=<.【小问2详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，由题意联立方程组2211x y y kx −= =− ，消去y 得()221220k x kx −+−=，又因为直线与双曲线左支交于两点，有()()222122122102810201201k k k k x x k x x k −≠ ∆=+−> − +=< −− => −，解得1k <<−. 故k的取值范围为()1−. 【小问3详解】因为2AB x =−====，整理化简得422855250k k −+=，解得257k =或254k =，因为1k<<−，所以k =AB 10x y ++=. 故直线AB 10x y ++=. 的【点睛】关键点睛：（2）（3）中根据直线与曲线联立后利用韦达定理，再结合弦长公式从而求解. 21. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且122n n n S a +=−，数列{}n b 满足2log 1nn a b n =+，其中*N n ∈. （1）证明2n n a为等差数列，求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列21n a n+的前n 项和为n T ；（3）求使不等式1321111111n m b b b −+⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+≥n 都成立的最大实数m 的值.【答案】（1）证明见解析；(1)2nn a n =+⋅ （2）188(4)4339n n T n =+⋅− （3【解析】【分析】（1）根据数列递推式可得122nn n a a −−=，整理变形结合等差数列定义即可证明结论，并求得数列的通项公式；（2）利用错位相减法即可求得答案；（3）将原不等式化为()111111321n+++≥ −调性，将不等式恒成立问题转化为函数最值问题，即可求得答案. 【小问1详解】当1n =时，11124a S a ==−，则14a =，当2n ≥时，11,22nn n n n n a S S a a −−∴=−−=，即11122n n n n a a −−−=，即2n n a 是以122a =为首项，公差为1的等差数列，故(1,22)1n n n n a n a n =++⋅∴= 【小问2详解】由（1）可得2(1)41n n a n n =+⋅+，故22434(1)4n n T n =×+×+++⋅ ，故231424344(1)4n n n T n n +=×+×++⋅++⋅ ，则231324444(1)4n n n T n +−=×++++−+⋅14(14)884(1)4(4)41433n n n n n +−=+−+⋅=−+⋅−，故188(4)4339n n T n =+⋅−；【小问3详解】22log log 21n n n a b n n ===+，则1321111111n m b b b − +⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+≥即()111111321n+++≥ −即11321n m −≤对任意正整数n 都成立，令()11111?·1321n f n +++−=则()111111?·11321211n n f n  ++++−++故()()11f n f n +=>，即(),N f n n +∈随着n 的增大而增大，故()()1f n f ≥m ≤，即实数m【点睛】关键点睛：第三问根据数列不等式恒成立问题求解参数的最值问题时，要利用分离参数法推得111111321n m +++−≤ 对任意正整数n 都成立，之后的关键就在于构造函数，并判断该函数的单调性，从而利用最值求得答案.22. 已知椭圆C 的中心在坐标原点，两焦点12,F F 在x 轴上，离心率为12，点P 在C 上，且12PF F △的周长为6．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点()4,0M 的动直线l 与C 相交于A ，B 两点，点B 关于x 轴的对称点为D ，直线AD 与x 轴的交点为E ，求ABE 的面积的最大值．【答案】（1）22143x y += （2【解析】【分析】（1）根据题意得到22212226c a a c a b c = +==+，再解方程组即可. （2）首先设出直线l 的方程，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理、点,B D 关于x 轴对称、,,A E D 三点共线得到()1,0E ，从而得到ABES = ，再利用换元法求解最值即可. 【小问1详解】由题知：2221222261c a a a c b a b c c == +=⇒ =+=，所以椭圆22:143x y C += 【小问2详解】如图所示：设直线():40l x ty t =+≠，()()1122,,,A x y B x y . ()222243424360143x ty t y ty x y =+ ⇒+++= += . ()()2224434360t t ∆−+×>，解得24t >.1222434t y y t −+=+，1223634y y t =+. 因为点,B D 关于x 轴对称，所以()22,D x y −. 设()0,0E x ，因为,,A E D 三点共线，所以AE DE k k =. 即121020y y x x x x −=−−，即()()120210y x x y x x −=−−. 解得()()()12211212122101212124424y ty y ty ty y y y y x y x x y y y y y y ++++++===+++ 2364124t t×=−+=. 所以点()1,0E 为定点，3EM =.1212ABE AME BME S S S EM y y =−=⋅−=令0m =>，则()22181818163163443ABE m m S m m m m===≤++++△ 当且仅当163m m =，即m =时取等号. 所以ABE。

江苏省东海高级中学2014-2015学年高二上学期12月月考数学文试题苏教版

2014-2015学年度第一学期江苏东海高级中学第三次月考试卷高二12月学分认定数学科试题时间120分钟满分160分命题人张碧宇审核人王广伟注意事项：所有试卷的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上无效。

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分） 1.抛物线2x 4y =的焦点坐标为__________▲________.2.在1与2之间插入10个数使这12个数成等差数列，则中间10个数之和为__▲________.3.若等比数列}{a n 的前n 项和a 3S 1n-n +=，则a =_____▲_______.4.双曲线13yx 22=-的渐近线与右准线围成的三角形面积为____▲__________. 5.”）使（“01ax 1,1-x 2≥-∈∃为真命题，则a 的取值范围是____▲______. 6.若直线1+=x y :l 是y=f(x)在x=2处的切线，则(2)f'f(2)+=______▲_______.7.在ΔABC 中，角A ，B ，C 对应边分别a,b,c ，且a=5 ,b=6 ,c=4 ,角A 的平分线交BC 于D ，则线段AD 长度为______▲_____.8. 若双曲线)0(122<=+ab by ax 的渐近线方程为x y 2±=，则该双曲线的离心率为 ▲ .9.设1(5)'4,(5)3;(5)f'5,f(5)====g g 则5x 在(x)2)(f(x)h(x)=+=g x g 处的切线方程为___▲___. 10.若点A 、B 分别为椭圆的左顶点和上顶点，F B 、1分别为椭圆下顶点和右焦点，若直线F B 1的斜率为3，直线AB 与F B 1交于点)3P(4,3,则椭圆的标准方程为______▲______.11.若ΔABC 的三顶点是A(a,a+1), B(a-1,2a),C (1,3)且ΔABC 的内部及边界所有点均在2y x 3≥+表示的区域内，则a 的取值范围为_______▲_____.12.已知非空集合0}x-54x |{x B a},34x a 3|{x A ≥+=+≤≤+=若”“A x ∈是”“B x ∈的充分条件，则a 取值的范围是____▲__________.13.已知关于x 的一元二次不等式0112)2(2>+-+-x b x a 的解集为R ，若4≤a ，则2222b a aba ++的取值范围是 ▲ .14.已知椭圆C ：22221(0)x ya b a b+=>>的左、右焦点分别1F 、2F ，过点1F 的直线交椭圆C 于,A B 两点，若113AF F B =，且23cos 5AF B ∠=，则椭圆C 的离心率是 ▲ .二、解答题（本大题共5小题，计90分）15．（本题满分14分）在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且C B A ,,成等差数列。

问诊式述学：数学交流的理性实践

问诊式述学：数学交流的理性实践作者：杨静来源：《江苏教育·中学教学》 2017年第1期【摘要】笔者立足学情，对教学中的交流环节进行创新式探究，结合“学习金字塔”理论，提出“问诊式述学”，将交流活动转变成“诊断式”。

主要包括两个方面内容：一是讲述自己获得的知识，分享自己的体验，为其他同学解惑的同时巩固自己的知识体系；二是表达自己的疑问与困惑，在交流活动中勇于提出问题。

在此过程中，“问诊”作为检验方式，贯穿始终。

【关键词】问诊式述学；数学交流；理性实践【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2017）03-0039-03 【作者简介】杨静，江苏省东海高级中学（江苏东海，222300）教师，二级教师。

笔者所在学校的每间教室后墙上，都悬挂着一幅“学习金字塔”的框图，该框图从上到下依次为“听讲、阅读、声音或图片、示范、小组讨论、做中学、教别人或马上应用”七个层次。

此图出自美国缅因州国家训练实验室，它依据两周以后的学习保持率递增排列，其中对于处于金字塔基座的“教别人或马上应用”这一学习方式可以使得学习者记住高达90%的学习内容。

由此可见，知识的巩固需要学以致用，才能内化为技能。

对于高中数学教学，怎样才能让知识的保持率得到提升呢？笔者针对这一问题，展开对高中数学教学的一系列思索。

一、问题审视：数学交流活动的困局交流活动的意义在于让学生互助学习，在思维方式上互相启迪，通过表达自己的见解，表述学习中的疑问，达到知识与能力共升的目的。

然而，在数学课堂的实际交流中，呈现的课堂状态往往存在很多的问题。

1.交流的语言障碍。

（1）文字语言语意问题。

数学问题少不了文字语言的描述，交流活动中更少不了运用文字语言进行表述。

但是，在将文字语言转化为符号语言的过程中，学生常常不能准确地把握二者之间的联系。

例如，数列模块的一道高考题：“同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高。

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江苏省东海高级中学2010届高三12月份学情调查一、填空题（每小题5分，共70分）1．已知集合{}|1A x x a =-≤，{}2540B x x x =-+≥．若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是 .2．直线tan 07x y π+=的倾斜角是 .3．复数)21(2i i -的实部是 .4．已知角α的终边上一点的坐标为αππ则角),32cos ,32(sin 的最小正值为 5．每次抛掷一枚骰子（六个面上分别标以1，2，3，4，5，6）。

连续抛掷2次，则2次向上的数之和不小于10的概率为 . 6．为了在运行如右所示的伪代码后输出的y 值为16，应输入的整数=x .7．在ABC ∆中，若对任意的实数m ，有||||B A m B C A C - …，则ABC ∆形状为 . 8．已知向量a =（1，cos x -），b =（)(x f ，x sin ），且b a ⊥，则函数()f x （x ∈R ）的最小正周期是．9．已知不等式2210ax x +->的解集是A ，若⊆（3，4）A ,则实数a 的取值范围是． 10．已知周期函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)(x f 的最小正周期为3，,2)1(<f m m f 则,)2(=的取值范围为 .11．若椭圆3)0(12222ab a by a x 上横坐标为>>=+的点到左焦点的距离大于它到右准线的距离，则椭圆离心率e 的取值范围是 .12．心脏跳动时，血压在增加或减小.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，如血压标准值（收缩压是120，舒张压为80）在血压计上的读数120/80mmHg 。

设某人的血压满足函数式()11025sin(160p t t =+⋅，其中)(t p 为血压(mmHg),t 为时间(min)，则此人的血压在血压计上的读数为（mmHg ）.13．如图，半圆的半径OA ＝3，O 为圆心，C 为半圆上不同于A 、B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(PA →＋PB →)·PC→的最小值为．14．已知函数21()()log ,0,3x f x x a b c =-<<<()()()0f a f b f c <()d f x 实数是函数的一个零点。

给出下列六个判断： ①a d <②d a > ③d b < ④d b > ⑤c d < ⑥c d >其中可能成立的个数为 . 二、解答题15．（14分）已知函数)2lg(2++-=x x y 的定义域为A ，指数函数x a y =（a ＞0且a ≠1）（A x ∈）的值域为B ．（1）若2=a ，求A B ⋃；（2）若B A =（21，2），求a 的值16．（14分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，DC//AB ，∠BAD=90°，且AB=2AD=2DC=2PD=4（单位：cm ），E 为PA 的中点。

（1）证明：DE//平面PBC ；（2）证明：DE ⊥平面PAB ；OP CB AP E A B CD17．（14分）在OAB ∆中，（1）若C 为直线AB 上一点，且(1)AC CB =λλ≠-，求证：1OA OB OC +λ=+λ；（2）若0O AO B = ，OA OB a ==，且C 为线段AB 上靠近A 的一个三等分点，求OC AB的值；（3）若1OA = ，3OB =，且1P ，2P ，3P ，…，1n P -为线段AB 的(2)n n ≥个等分点，求121n OP AB OP AB OP AB -+++的值． 18．（14分）如图，1l 、2l 是通过某城市开发区中心O 的两条南北和东西走向的街道，连接M 、N 两地之间的铁路线是圆心在2l 上的一段圆弧．若点M 在点O 正北方向，且3MO km =，点N 到1l 、2l 的距离分别为4km 和5km ．（1）建立适当坐标系，求铁路线所在圆弧的方程；（2）若该城市的某中学拟在点O 正东方向选址建分校,考虑环境问题，要求校址到点O 的距离大于4km ，并且铁路线上任意一点到校址的距离不能少于26km ，求该校址距点O 的最近距离（注：校址视为一个点）．19．（16分）已知函数()(,0)1bf x ax a a a x =+-∈≠-R 在3x =处的切线方程为(21)230a x y --+= （1）若()g x =(1)f x +，求证：曲线()g x 上的任意一点处的切线与直线0x =和直线y ax =围成的三角形面积为定值；（2）若(3)3f =，是否存在实数,m k ，使得()()f x f m x k +-=对于定义域内的任意x 都成立；（3）若方程2()(23)f x t x x x =-+有三个解，求实数t 的取值范围．20．（16分）设数列{}n a 满足：24n n a S n =+，0n a >. （1）求{}n a 的表达式；（2）将数列{n a }依次按1项，2项，3项循环地分为123456789101112(),(,),(,,),(),(,),(,,),a a a a a a a a a a a a…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{}n b ，求2010b 的值；（3）如果将数列{n a }依次按1项，2项，3项，…，)3(≥m m 项循环；分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为}{n b ，提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？2lM N 1l东海高级中学高三答案一、填空题1．(2，3)； 2．67π； 3．—1； 4．611π； 5. 61； 6. 5-； 7. 直角三角形； 8. π； 9. ,)+∞7[-16；10. ),2(+∞-； 11. )1,27(-； 12. 135/85 ； 13. 92-； 14.5. 二、解答题 15．解：（1）依题意知A={}022>-+-x x x =（-1，2）．……………………2分若2=a ，则xa y ==x 2∈（21，4），即B=（21，4）， …………………4分∴A ∪B=（-1，4）． ……………………6分（2）由A={}022>-+-x x x =（-1，2），知①当a ＞1时，B=（a 1，a 2），若B A =（21，2），则必有21122a a ⎧=⎪⎨⎪≥⎩，2=a ……10分 (或112a =，2=a 此时B=（21，2），B A =（21，2），符合题意，故2=a 为所求)．②当0＜a ＜1时，B=（a 2，a 1），若B A =（21，2），则必有212=a ，22=a ，此时B=（21，2），B A =（21，2），不符合题意，舍去； …………13分综上可知2=a ． ……………………14分16．解：（1）设PB 的中点为F ，连接EF 、CF ，EF//AB ，DC//AB ，所以EF//DC ，且EF=DC=21AB ，故四边形CDEF 为平行四边形，可得ED//CF.……4分ED ⊄平面PBC ，CF ⊂平面PBC ，故DE//平面PBC. ………7分（2）PD ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以AB ⊥PD ，又因为AB ⊥AD ，PD ∩AD=D ，AD ⊂平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD. ………………………10分 ED ⊂平面PAD ，故ED ⊥AB ，又PD=AD ，E 为PA 之中点，故ED ⊥PA ；…………………………………………12分 PA ∩AB=A ，PA ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以DE ⊥平面PAB. …………14分17．解：（1）由AC CB =λ ，得()OC OA OB OC -=λ-.即(1)OC OA OB +λ=+λ，因为1λ≠-，所以1O A O B OC +λ=+λ. …………4分（2）2211()1111OA OB OC AB OB OA OA OB OB OA +λ-λλ=-=+-+λ+λ+λ+λ……………………………………………… 6分因为0OA OB = ，OA OB a ==，所以211OC AB a λ-=λ+ .由于C 为线段AB 上靠近A 的一个三等分点，故12λ=所以PE A B CD F213OC AB a =- ……………………………………………… 8分（3）121n OP AB OP AB OP AB -+++ =121()n AB OP OP OP -+++=112(1)12()12111112(1)n OA OB OA OB OA OB n n n n AB n n n n n -+++----+++-+++----……………………………………………… 10分 =121121[()()]n n n AB OA OB n n n n n n---++++++=1()()2n OB OA OB OA --+=221()2n OB OA -- =1n - …… 14分 18．解：（1）分别以2l 、1l 为x 轴，y 轴建立如图坐标系．据题意得(0,3),(4,5)M N ，531,402MN k -∴==- (2,4),MN 中点为∴线段MN 的垂直平分线方程为： 42(2)y x -=--），故圆心A 的坐标为（4，0），5)30()04(22=-+-=r 半径， …………5分∴弧 MN的方程为： 22(4)25x y -+=（0≤x ≤4，y ≥3）…………8分（2）设校址选在B （a ，0）（a ＞4），. 40,26)(22恒成立对则≤≤≥+-x y a x整理得：2(82)170a x a -+-≥，对0≤x ≤4恒成立（﹡）…………10分令2()(82)17f x a x a =-+-.∵a ＞4 ∴820a -< ∴()f x 在[0，4]上为减函数，……………………………………12分∴要使（﹡）恒成立，当且仅当{{244 5(4)0(8-2)4170a a a f a a >>⋅+-即解得………，…14分即校址选在距O 最近5k m 的地方．…………………………………………………………16分解: （1）因为 ,)1()(2'--=x b a x f 所以 '21(3)42a b f a -=-=，2b = …………………………… 2分又 2()(1).g x f x ax x=+=+设)(x g 图像上任意一点),,(00y x P 因为 '22()g x a x =-, 所以切线方程为0020022()()().y ax a x x x x -+=--………………………………… 4分令,0=x 得04x y =；再令,y ax =得 02x x =, 故三角形面积0014242S x x =⋅⋅=, 即三角形面积为定值.……………………… 6分（2）由(3)3f =得1a =，2()11f x x x =+-- 假设存在km ,满足题意,则有,121121k x m x m x x =--+--+-+- 化简,得m k x m x m -+=----2)1)(1()2(2对定义域内任意x 都成立,……………… 8分故只有⎩⎨⎧=-+=-.02,02m k m 解得⎩⎨⎧==.0,2k m所以存在实数,0,2==k m 使得k x m f x f =-+)()(对定义域内的任意x都成立.…11分2lOMN1lyx（3）由题意知,,)32(1212x x x t x x +-=-+- 因为,0≠x 且,1≠x 化简,得 ,)1(1-=x x t ………13分即⎪⎩⎪⎨⎧<+-≠>-=-=.0,,1,0,)1(122x x x x x x x x x t 且……………………15分如图可知,.0141<<-t所以,4-<t 即为t的取值范围.…………………………………………………… 16分20.解：（1）当n=1时，2211111,4404a S a a =+-+=，解得12a =，当2n ≥时，2211()(1)44n n n n n a a a S S n n --=-=+-+-，整理得11(2)(2)0n n n n a a a a --+---=，所以12n n a a --=，或12n n a a -+=（不合题意，舍去，否则20n a =与已知矛盾），∴数列{}n a 是等差数列，且公差为2，首项12a =，从而2n a n =.………………………5分（2）数列}{n a 依次按1项， 2项，3项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14），（16，18），（20，22，24），…，每一次循环记为一组.由于每一个循环含有3个括号，故b 2009是第670组中第2个括号内各数之和.由分组规律知，3682010,,,,,b b b b 组成一个首项为38101230b =++=，公差为d=36的等差数列. 所以2010b =30+（670-1）×36=24114.………………………………………10分（3）当n 是m 的整数倍时，求n b 的值。