求解一类Riccati-Bessel方程边值问题的新方法
一类指数型函数Riccati微分方程通解的求法
一类指数型函数Riccati微分方程通解的求法
王建锋;李先枝
【期刊名称】《西安文理学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2012(015)004
【摘要】讨论一类系数为指数函数的Riccati微分方程，得到了此类方程通解的一些求法，并给出其相关的应用．%The Riccati differential equations, a coefficient of which is exponential function, are discussed. Several general solutions are derived. The related applications are also addressed.
【总页数】2页(P49-50)
【作者】王建锋;李先枝
【作者单位】郑州师范学院数学系,郑州450044;郑州师范学院数学系,郑州450044
【正文语种】中文
【中图分类】O175.5
【相关文献】
1.一类Riccati微分方程通解的充要条件 [J], 陈冬君;叶永升;王慧;刘婉璐
2.一类特殊Riccati微分方程的通解公式 [J], 李松桦;张泽川
3.一类指数型函数Riccati微分方程特解的存在条件及应用 [J], 平根建;王明建
4.一类对数型函数Riccati微分方程特解的存在条件及应用 [J], 王建锋;王明建
5.一类Riccati微分方程通解的充要条件 [J], 陈冬君; 叶永升; 王慧; 刘婉璐
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（应用数学专业论文）一类非线性常微分方程边值问题的求解方法及其解的定性分析
烟台大学硕士学位论文一类非线性常微分方程边值问题的求解方法及其解的定性分析姓名：***申请学位级别：硕士专业：应用数学指导教师：***20080401摘 要 本文基于非线性弹性力学的有限变形理论，将不可压缩超弹性材料组成的球形结构（如实心球体、初始状态含有微孔的球体、球壳）内部的空穴生成和增长问题归结为一类非线性常微分方程的边值问题，并对其进行了比较系统的研究，得到了一些新的理论结果和数值计算结果． 主要的工作和结论如下：１． 研究了由各向同性不可压缩的超弹性材料组成的实心球体在给定的表面径向拉伸死载荷作用下的空穴分岔问题． 得到了描述球体内部空穴生成和增长的空穴分岔方程． 特别地，对于各向同性的Rivlin- Saunders材料，给出了此类材料中有空穴现象出现的条件． 证明了空穴分岔方程的非平凡解在分岔点附近可以局部向左或向右分岔，这与其它各向同性不可压缩的超弹性材料中的空穴生成和增长现象有明显的不同． 最后，利用最小势能原理分析了空穴分岔方程解的稳定性和实际稳定的平衡状态． ２． 研究了在给定的表面拉伸死载荷作用下，由横观各向同性不可压缩的neo-Hookean 材料组成的球体内部预存微孔的增长问题． 利用材料的不可压缩条件和边界条件，得到了描述拉伸死载荷与微孔增长量之间的平衡关系的方程，并结合数值例图详细讨论了材料参数和结构参数对微孔增长的影响． ３． 研究了由横观各向同性不可压缩的Ogden材料组成的球壳在其内、外表面分别受到突加恒定载荷作用下的径向有限变形问题． 讨论了材料参数和结构参数对球壳内表面半径增长的影响，同时给出了相应的数值模拟． 关键词：不可压缩超弹性材料；预存微孔；球壳；有限变形；稳定性 AbstractBased on the finite deformation theory of Nonlinear Elasticity, the problems of cavity formation and growth in the interior of the spherical structures (such as a solid sphere, a sphere with an initial micro-void, a spherical shell) are described as a class of nonlinear ordinary differential equations with boundary conditions, where the structures are composed of incompressible hyper-elastic materials. These problems are discussed systemically, and s ome new theoretical and numerical results are obtained. The main works and results are as follows:1. A cavitated bifurcation problem is examined for a solid sphere composed of a class of isotropic incompressible hyper-elastic material s, where the surface of the sphere is subjected to a prescribed radially tensile dead-load. A cavitated bifurcation equation that describes cavity formation and growth in the interior sphere is obtained. Particularly, for the isotropic Rivlin-Saunders materials, the conditions of cavitation in the interior of this class of materials are presented. It is proved that the nontrivial solution can bifurcate locally to the left or the right near the bifurcation point, which is quite different from other isotropic incompressible hyper-elastic materials. Finally, the stability of the solutions and the actual stable equilibrium state are discussed by using the minimal potential principle.2. Under a prescribed uniform tensile dead-load, the growth of the pre-existing micro-void at the center of the sphere composed of the transversely isotropic incompressible neo-Hookean materials is examined. By using the incompressibility constraint and the boundary condition, an equation that describes the equilibrium relation between the tensile dead-load and the measure of void growth is obtained. The effects of material a nd structure parameters on the growth of the micro-void are discussed in detail with numerical examples.3. The radial finite deformation problem is examined for a spherical shell composed of the transversely isotropic incompressible Ogden materials, where the inner and the outer surfaces of the shell are subjected to different suddenly applied constant loads. The effects of material and structure parameters on the growth of the inner-surface are discussed. Simultaneously, the corresponding numerical simulations are given.Keywords: incompressible hyper-elastic material; pre-existing micro-void; spherical shell; finite deformation; stability烟台大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。
连续时间代数riccati方程
连续时间代数riccati方程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：连续时间代数Riccati方程是一类重要的微分代数方程，广泛应用于控制理论、动力系统、信号处理等领域。
它可以描述系统状态随时间演化的动态过程，并在实际应用中发挥着重要作用。
本文将介绍连续时间代数Riccati方程的基本概念、求解方法和应用领域。
一、基本概念连续时间代数Riccati方程是一种特殊的矩阵微分方程，定义如下：\dot{P}(t) = -A^T P(t) - P(t)A - P(t)B R^{-1} B^T P(t) + QP(t)是一个对称矩阵，称为Riccati方程的解；A、B、R、Q分别是给定的矩阵，分别代表系统的状态矩阵、输入矩阵、状态-输入权重矩阵和状态-状态权重矩阵。
连续时间代数Riccati方程的特点在于，它不仅包含了状态矩阵的演化动态，还考虑了系统输入和权重矩阵对系统状态的影响。
Riccati 方程可以描述系统在连续时间下的状态演化规律，是控制理论中的重要工具。
二、求解方法对于一般的连续时间代数Riccati方程，其解并不容易求解。
针对特定情况下的Riccati方程，可以采用不同的方法进行求解。
常用的求解方法包括：1. Lyapunov方程法：将Riccati方程转化为Lyapunov方程进行求解；2. 反应敏感性法：通过求解线性化的Riccati方程，然后利用反应敏感性理论进行逼近求解；3. 近似法：将Riccati方程展开成级数，通过截断级数求解近似解。
这些方法在实际应用中都有其适用范围，可以根据具体问题的特点选择合适的方法进行求解。
三、应用领域连续时间代数Riccati方程在控制理论、动力系统、信号处理等领域有着广泛的应用。
一些典型的应用包括：1. 线性二次型控制：Riccati方程是线性二次型控制理论的核心工具，用于设计最优控制器，实现控制系统的性能优化；2. 动态系统稳定性分析：通过求解Riccati方程，可以分析系统的稳定性和受控性，评估系统的运动特性；3. 鲁棒控制设计：Riccati方程在鲁棒控制设计中起着重要作用，可以设计具有鲁棒性能的控制器。
一类Riccati方程的精确解
－ －
ａ ， 代 人方 程 （ ） （ Ｍ， ｄ ７ 得
对 于 万 程
ｙ ： ） ，
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，
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ｇ ｎ ｒ ｌｓ ｌ ｔ ｎ ｅ ａ ｔｓ ｌ ｔｏ ｓ ｅ ｅ ａ ｏ ｕ ｉ ｓ； ｘ ｃ ｏｕ ｉ ｎ ｏ
０ 引 言
一
Ｙ ＋ａ ｘ ｙ ” （ ） ＋ｂ ｘ ｙ ＝０ （）
（ ２
的通 解公式 ． 第一 节 ， 形 如 ： 在 讨论
２
般 的 Ｒｃａ 方 程 ｉ ｔ ｃｉ
摘
要 ： 文 主要 讨论在 一 类 Ｒｃａｉ 本 ｉ ｔ方程 的特 解基 础 上得 出一 类二 阶 变 系数 常微 分 ｃ
方程 的通 解公 式．
关键词 ：ｉ ａ 方程 ； Ｒｃ ｔ ｃｉ 二阶变系数常微分方程 ； 通解 ； 特解 中图分类 号 ： １ ５ １ ０ ７ ． 文献标 识码 ： Ａ
１一 ｅ ２ ‘
』 ｆ ） ｃ 一 ［ （ ｅ ＋ “ ｓ ｄ ］
（） １ ３
综合 式 （２ ， （３ 即可证 式 （ ） １ ）式 １ ） ９ 成立 ．
２ 二 阶变系数 方程 的通解
定 理 ２ 如 果 Ｒｃａｉ 程 ｕ ｉｃｔ方 ，： Ｍ ２一一 × ２
ａ ｘ ＋ （ 有 特解 ／ ＝Ｍ （ （ ） ６ ） ／ ， ）， 么方程 那 ｙ 口 ） ＋６ ） ”＋ （ ｙ （ ｙ 有通 解
ｃ ｘｃ ＋】 ） ２ ａ （ ８ ） 其 ６） ÷，） 口 ） ｃ 中 （ ： ＋ ： ＋ ｒ（ ｒ （ ． 。
一类Bessel方程在不同边界条件下
∞
进一步推导出
t 2 ∞ 1 1 1 t 2k k Y0 (t ) = ⋅ J 0 (t )(ln + C ) − ∑ (−1) ⋅ (1 + + ...... + )( ) 2 π π k =0 k 2 2 ( k! ) 2 2
…详细内容 详细内容
方程通解的求解过程
当为实数时, 是一个衰减振荡函数, 当为实数时 是一个衰减振荡函数 在有奇性。 都是Bessel方程的解，且 方程的解， 在有奇性。 、都是 方程的解 其中任意两个都是线性无关的。 其中任意两个都是线性无关的。所以 Bessel方程（4）的通解可写成： 方程（ ）的通解可写成： 方程
[
] [
]
…详细内容 详细内容
或右边界条件是 Y ( R) = 0
根据方程组求解A B
A=
B=
J 0 ( µ R) ⋅ aY0 ( µ ) − b µ ⋅ Y1 ( µ ) − Y0 ( µ R) ⋅ aJ 0 ( µ ) − b µ ⋅ J 1 ( µ ) Q ⋅ J 0 ( µ R)
J 0 ( µ R ) ⋅ aY0 ( µ ) − b µ ⋅ Y1 ( µ ) − Y0 ( µ R ) ⋅ aJ 0 ( µ ) − b µ ⋅ J1 ( µ )
化简整理后有
Q = A aJ 0 ( µ ) − b µ ⋅ J1 ( µ ) + B aY0 ( µ ) − b µ ⋅ Y1 ( µ )
…详细内容 详细内容
[
] [
]
右边界条件为
将右边界条件方程化简后与左边界条件方 程组成方程组求解A B
A aJ 0 ( µ Y (−) b0 µ ⋅ J1 ( µ ) + B aY0 ( µ ) − b µ ⋅ Y1 ( µ ) = Q )R= − AJ1 ( µ R) − BY1 ( µ R) = 0
riccati方程及其幂级数解法
riccati方程及其幂级数解法拉格朗日-比西利-米勒-科普特（Riccati）方程是一类常微分方程，其表达形式为：$$y'=a(x)y^2+b(x)y+c(x)$$其中，a(x), b(x), c(x)为连续函数，y'表示对y的导数。
拉格朗日-比西利-米勒-科普特（Riccati）方程在物理、化学和数学等领域有着重要的应用，其解可以用幂级数的方法求解。
幂级数的定义是：若存在一系列常数$a_0$,$a_1$,$a_2$,...,$a_n$，则有：$$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n$$这可以看作一种特殊的函数，称为幂级数。
设$y=\sum_{n=0}^\infty b_nx^n$，将$y$代入Riccati方程，可以得到：$$\sum_{n=0}^\inftyb_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n$$$$\sum_{n=1}^\inftynb_nx^{n-1}=a_0x+2a_1x^2+3a_2x^3+...+na_nx^n$$将上面两式相减，得：$$\sum_{n=1}^\infty (nb_n-a_n)x^{n-1}=a_0+a_1x+a_2x^2+...+(n-1)a_{n-1}x^{n-1}$$令$nb_n-a_n=0$，从而得到：$$b_n=\frac{a_n}{n}$$由此得到：$$y=\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n}x^n$$这样，就可以通过幂级数方法求解Riccati方程。
拉格朗日-比西利-米勒-科普特（Riccati）方程在物理、化学和数学等领域有着重要的应用，它的解可以用幂级数的方法求解，具体的求解过程为：首先将$y$代入Riccati方程，然后将两式相减，令$nb_n-a_n=0$，得到$b_n=\frac{a_n}{n}$，最后得到：$y=\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n}x^n$，这样就可以求出Riccati方程的解。
一类特殊类型的 Riccati方程的求解
一类特殊类型的 Riccati方程的求解张玮玮【摘要】Riccati equation is an important equation in the ordinary differential equations .However, for the soltions of the general Riccati ordinary differential equations, there is no elementary solution.The solution cannot be expressed in elementary function or integral.The general solutions of a special Riccati ordinary differential equations are discussed, and the formula of the general solution was obtained.Examples are given to illustrate the effectiveness in the end.%Riccati方程在常微分方程中占有重要的位置。
然而，对于一般形式的里卡蒂方程通解的求解一般没有初等解法，其解无法用初等函数或其积分表示。
本文讨论了一类特殊类型的里卡蒂方程解的求解方法，并得出了其通解的公式，最后举例说明求这类方程的通解。
【期刊名称】《安庆师范学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(000)002【总页数】2页(P110-111)【关键词】微分方程;里卡蒂方程;特殊;通解【作者】张玮玮【作者单位】安庆师范学院数学与计算科学学院，安徽安庆246133【正文语种】中文【中图分类】O175.1非线性微分方程在理论和实践中有着极其广泛的应用，而且越来越引起人们的研究兴趣。
但是，求解非线性微分方程问题，却往往是很困难的。
谈几种Riccati方程的特解及解法
谈几种Riccati方程的特解及解法作者：高金萍来源：《中国教育与教学研究》2013年第05期【摘要】本文对于有些Riccati方程，根据其系数函数的特殊内在关系，借助初等变换，讨论了其求解问题。
【关键词】Riccati方程；特解；Bernoulli方程；行列式；初等变换On the Solving methods for some kinds of Riccati equationGao Jin-ping【Abstract】this essay mainly discusses the solving methods some kinds of Riccati equations according to the special inner relations of their coefficient functions and the usage of elementary transformation.【Key words】Riccati Equation； Particular Solution； Bernoulli Equation； Determinant；Elementary Transformation.一、引言由牛顿（Newton，1642-1727）和莱不尼兹（Lenbinz，1646-1716）所创立的微积分，是人类科学史上重大的发现，而微积分的产生与发展，和人们求解微分方程有密切关系。
所谓微分方程，就是联系着自变量、未知函数以及未知函数的导数的方程。
在物理学、化学、生物学、工程技术和某些社会科学中的大量问题一旦加以精确的数学描述，往往会出现微分方程，这说明，微分方程的确有十分广泛的应用。
一般的微分方程不一定有初等解法，如曾Bessel方程就没有初等解法，对于形式上十分简单的Riccati方程dydx =P（x） y2+Q（x） y+R（x）（1）其中P（x）、 Q（x）、 R（x）∈c[a，b]， P（x）≠0。
常微分方程第三版课本 (2)
常微分方程第三版课本概述“常微分方程第三版课本”是一本由X编写的教材，主要介绍了常微分方程的基本概念、理论和解析方法。
本教材内容丰富、结构清晰，适用于高等院校的常微分方程课程教学，也可以作为自学的参考资料。
目录1.基本概念– 1.1 常微分方程的定义– 1.2 解的定义及存在唯一性定理– 1.3 初值问题和边值问题2.一阶常微分方程– 2.1 可分离变量方程– 2.2 齐次线性方程– 2.3 一阶线性常微分方程– 2.4 Bernoulli 方程和 Riccati 方程– 2.5 可降阶的高阶微分方程3.高阶线性常微分方程– 3.1 高阶常微分方程的一般理论– 3.2 同解、通解和特解– 3.3 常系数齐次线性方程– 3.4 常系数非齐次线性方程及其特解– 3.5 变系数线性方程4.线性常微分方程组– 4.1 二阶齐次线性方程组– 4.2 二阶非齐次线性方程组和线性常系数方程组– 4.3 三阶及三阶以上线性方程组内容简介基本概念本章介绍了常微分方程的基本概念，包括常微分方程的定义、解的定义及存在唯一性定理、初值问题和边值问题。
通过对这些概念的学习，读者可以对常微分方程有一个基本的认识。
一阶常微分方程本章主要介绍了一阶常微分方程的解析方法，包括可分离变量方程、齐次线性方程、一阶线性常微分方程、Bernoulli方程和 Riccati 方程、可降阶的高阶微分方程等。
通过对这些解析方法的学习，读者可以熟练地解决一阶常微分方程的问题。
高阶线性常微分方程本章主要介绍了高阶线性常微分方程的理论和方法。
包括高阶常微分方程的一般理论、同解、通解和特解、常系数齐次线性方程、常系数非齐次线性方程及其特解、变系数线性方程等。
通过对这些理论和方法的学习，读者可以掌握高阶线性常微分方程的解法。
线性常微分方程组本章主要介绍了线性常微分方程组的解法。
包括二阶齐次线性方程组、二阶非齐次线性方程组和线性常系数方程组、三阶及三阶以上线性方程组等。
一类广义代数Riccati方程的数值求解算法
于牛顿迭代 法设计 了一种 求解代数 Ｒｉ ｃ ｃ ａ ｉ方程 的预 条件 共轭算法 ，数值 实验验证 了该方法具有 良好 的收敛性。 ｆ 关键词 ：代数 Ｒｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ 方程 ；牛顿迭代 法；预条件共轭梯度法
中 图分 类 号 ：０ ２ ４ １ ． ６ ／ ０ １ ５ １ ． ２ １ 文 献 标 识 码 ：Ａ 文章编号 ：１ ６ ７ ３ — ２ ２ １ ９（ ２ ０ １ ７ ）０ ６ － ０ ０ ０ １ － ０ ４
ｌ 引 言
本文 旨在研究如下一类广义代数 Ｒｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ方程（ Ａ Ｒ Ｅ ） 的数值解 ：
０＝Ａｒ ＋ Ｅቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
一Ｅ
一 ｒ ＋Ｃ ｒ ０ｃ
其中 ，Ｅ∈ 口 ” ， Ｂ∈口 ，Ｃ∈口ｐ × ， Ｒ∈口 和ａ∈口 ｐ 分别为对称正定和对称半正定矩阵。
收 稿 日期 ２ ０ ｌ ７ ｜ ，０ ３ ÷２ Ｏ
基金项 目：湖南省教 育厅资助科研项 目 （ 项 目编号 １ ２ Ｃ ０ ６ ８ ８ ） 。
作者 简介 ：周 立平 （ １ ９ ７ ８ － 一） ，男，湖 南永州人 ，副教 授 ， 硕士 ，研究方 向为数值代数和偏微分 方程数值解 。
一
类广义代数 Ｒ ｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ 方程 的数值 求解算法
周立平
（ 湖 南科 技学院 理学院 ，湖 南 永州 ４ ２ ５ １ ９ ９ ）
摘
要 ： 广 义代数 Ｒ ｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ 方程 的数值 方法在 非稳 定 系统模 型降阶 ，滤 波和动 力系统控制 中有 十分 重要 的作 用。本文基
ＡＲ Ｅ （ １ ． １ ） 的求解在 非稳定系统模型降阶 ，滤波 ，线性二次校正 问题 和动力系统控制 中有十分重要 的作 用。ＡＲ Ｅ（ １ ． １ ）
谈几种Riccati方程的特解及解法
谈几种Riccati方程的特解及解法一、引言由牛顿（Newton，1642-1727）和莱不尼兹（Lenbinz，1646-1716）所创立的微积分，是人类科学史上重大的发现，而微积分的产生与发展，和人们求解微分方程有密切关系。
所谓微分方程，就是联系着自变量、未知函数以及未知函数的导数的方程。
在物理学、化学、生物学、工程技术和某些社会科学中的大量问题一旦加以精确的数学描述，往往会出现微分方程，这说明，微分方程的确有十分广泛的应用。
一般的微分方程不一定有初等解法，如曾Bessel方程就没有初等解法，对于形式上十分简单的Riccati方程其中是某一可微函数，则（1）有特解。
由命题可知，如果能找到满足（*）的函数，则（1）有一个形式相当简单的特解，下面给出两种特殊情况：1）当（常数），即时，（1）有特解。
2）当，即时，（1）有特解。
例6求方程的特解解因为，，，取，满足（*）式，故原方程的特解为。
前面已经提到变换的思想在求Riccati方程的不同解法中所起到的作用，下面也以变换作为解Riccati方程的主线来得到满足不同条件的Riccati方程的不同解法。
首先介绍几个引理及定理为下文做准备引理1一阶微分方程（5）有特解。
证明直接把代入（5）式即可证明引理1。
引理2方程（1）通过初等变换可化为如下形式（6）证明方程（1）配方得设，这是一个初等变换，那么，有，代入（1）得，其中定理3方程（6）有特解的充分必要条件是，满足微分方程组（7）证明（充分性）如果（7）有解，，则得（**）两端同除以，那么（**）化为即方程（6）存在特解。
（必要性）根据引理1，有, ，即得方程组（7）。
注1若方程（6）的特解不易求得时，可解方程组（7），有时求解方程组（7）的特解反而易求。
定理4方程组（7）的一个特解等价于二阶微分方程（8）的一个特解。
证明把（7）的解代入（8）有满足（8）的等式，故（7）的解是（8）的解；下面证（8）的解是（7）的解，引入新变量函数，则有，代入（8）就有（7）中的成立，故方程组（7）的一个特解等价于方程（8）的一个特解。
riccati微分方程特解新求法的研究
riccati微分方程特解新求法的研究本文将介绍对于riccati微分方程特解新的求法以及其研究。
riccati微分方程是一类非常重要的微分方程，其有着在控制系统、微分几何、数值分析、天体力学等领域中的广泛应用。
因此，对于它的求解方法有着很高的研究价值。
首先，我们来了解什么是riccati微分方程。
riccati微分方程是具有以下形式的一阶非线性微分方程：$$ y'+A(y)x+By^{\small 2}(x)+C(x)=0 $$其中，$A(y),B(x),C(x)$均是已知函数。
riccati微分方程通常很难求解，但对于它的特解，我们可以采用以下的新方法进行求解。
步骤一：寻找常解$y_1(x)$我们可以对于riccati微分方程的一般解做出假设$y=y_1+\dfrac1u$，其中$y_1$是常解，$u(x)$是待求函数。
将$y_1$代入原方程中，可以得到：$$y'_1+A(x)y_1+B(x)y^2_1+C(x)=0$$移项可得：$$y'_1=-A(x)y_1-B(x)y^2_1-C(x)$$进而，将$y=y_1+\dfrac1u$代入原方程中，我们可以得到：$$u'+A(x)u=-\dfrac{B(x)}{(y_1+\dfrac1u)^2}-C(x)$$这是一个一阶非齐次线性微分方程，利用已知的求解技巧，可以得到$u(x)$的 general solution。
步骤二：求解特解$y_0(x)$将刚才求得的$u(x)$代入$y=y_1+\dfrac1u$中，我们可得到riccati微分方程的特解，即：$$y_0(x)=y_1(x)+\dfrac{1}{u(x)}$$这时，$y_0(x)$就是我们要求的riccati微分方程的特解。
通过这个方法，我们可以比以往更快捷地求得riccati微分方程的特解。
此外，我们还可以将这种方法扩展到高阶riccati微分方程、变系数riccati微分方程以及含有延迟的riccati微分方程中，这样也将大大扩展riccati微分方程的研究广度和深度。
微分几何中的Ricci流方程求解新思路
微分几何中的Ricci流方程求解新思路微分几何是研究流形上的曲线、曲面和更高维度的弯曲空间的学科。
Ricci流是微分几何中的一个重要问题，它用于研究流形的几何特征和演化。
本文将介绍一种新的思路来求解Ricci流方程。
1. 背景介绍Ricci流是由意大利数学家Gregorio Ricci-Curbastro和Tullio Levi-Civita于20世纪初提出的，它是一种通过改变流形上的度量来研究其内在几何性质的方法。
Ricci流方程是一个偏微分方程，描述了度量的变化规律，其形式为：∂gij/∂t = -2Rij其中gij表示度量矩阵，Rij表示黎曼曲率张量的Ricci部分。
通过求解Ricci流方程，我们可以得到流形上的度量随时间演化的结果，从而揭示了流形的几何特征。
传统的求解Ricci流方程的方法通常是数值计算，但这种方法在计算复杂流形时往往效率低下。
因此，我们需要新的思路来求解Ricci流方程。
2. 新思路的提出最近，一些研究者提出了一种基于机器学习的方法来求解Ricci流方程。
这种方法的基本思想是利用神经网络来近似表示流形上的度量矩阵，并通过训练网络使其能够自动求解Ricci流方程。
具体而言，我们可以将流形上的度量矩阵表示为一个矩阵G，每个元素gij表示度量的强度。
然后，我们可以构建一个深度神经网络，将矩阵G作为输入，通过神经网络的前向传播过程得到一个近似的度量矩阵G'，其中每个元素g'ij表示网络对度量的估计。
接下来，我们可以通过最小化以下损失函数来训练网络：L = ∑(g'ij - 2Rij)^2其中Rij表示实际的Ricci张量。
通过反向传播算法，我们可以优化网络的参数，使其能够更好地逼近实际的度量和Ricci张量。
3. 实验结果为了验证这种新思路的有效性，我们进行了一系列实验。
我们选取了不同维度和曲率特征的流形作为测试数据，并利用传统的数值方法求解了Ricci流方程的精确解作为对照。
微分几何中的Ricci流方程求解新思路
微分几何中的Ricci流方程求解新思路微分几何是数学的一个重要分支，研究的是曲线、曲面以及更高维度的流形上的几何性质。
Ricci流方程是微分几何中的一个重要研究方向，它描述了流形上的度量随着时间的推移而变化的规律。
本文将介绍一种新的思路，用于求解微分几何中的Ricci流方程。
I. 引言微分几何的发展历程中，Ricci流方程起到了至关重要的作用。
Ricci流方程是一种偏微分方程，描述了流形上的度量在时间上的演化。
研究Ricci流方程可以帮助我们理解流形的几何性质，并为其他领域的研究提供一种关键工具。
II. Ricci流方程的基本形式Ricci流方程可以描述为如下形式的偏微分方程：\[\frac{\partial g_{ij}}{\partial t} = -2 \text{Ric}_{ij}\]其中，\(g_{ij}\)代表流形上的度量，\(\text{Ric}_{ij}\)是Ricci曲率张量。
该方程表明度量在时间上的变化速率与Ricci曲率张量成正比，从而影响了流形的几何性质。
III. 传统方法的局限性传统的求解Ricci流方程的方法主要基于数值计算和数学分析。
然而，传统方法在处理高维度流形和复杂几何结构时存在一定的局限性。
因此，寻找更高效、精确的求解方法是非常有必要的。
IV. 新思路：使用机器学习方法近年来，机器学习的快速发展为求解微分几何中的Ricci流方程提供了新的思路。
机器学习可以通过学习大量的数据，提取数据中的规律，并应用于新的场景中。
在求解Ricci流方程中，机器学习可以用来发现度量的随时间变化的模式，并预测未来的度量。
V. 具体步骤基于机器学习的求解Ricci流方程的具体步骤如下：1. 数据采集：获取流形上的数据样本，包括初始度量以及随时间演化的度量。
2. 数据预处理：对采集得到的数据进行预处理，包括去除噪声、归一化处理等。
3. 特征提取：从预处理后的数据中提取有效的特征，用于描述度量的变化规律。
周期系数riccati方程之周期解
周期系数riccati方程之周期解周期系数Riccati方程，又被称为Riccati-Bessel方程，是一类重要的非线性方程，常用于物理学、力学、工程学等领域。
当求解周期系数Riccati方程的周期解时，许多学者依据它的特性对其进行了分类和分析。
Riccati方程的周期解是指该方程具有一个正确的解，其解的形式是满足一定的周期性性质的解。
在周期系数Riccati方程求解方程的时候，可以通过几种正确的解法得到它的解析解，以及计算机技术提供的通用解法，例如逐次函数组迭代求解方法，矩阵求解法和Runge-Kutta法等。
周期性解法，是指周期系数Riccati方程的解需满足一定的周期性的特性，即如果在时间t0处具有解x(t0)，那么在时间t0+T（其中T是周期）存在解x(t0+T)，它们都是一样的。
根据这种周期性特性，可以求出Riccati方程的周期解，从而获得一组正确的解。
对于寻求周期系数Riccati方程的周期解，学者们设计了各种求解方法，以此解决这个问题，其中最常用的两种方法是矩阵求解法和逐次函数组迭代求解法。
矩阵求解法是指把周期系数Riccati方程转化为一个指数矩阵方程的形式，然后用特征值和特征向量的方法求出周期解。
而逐次函数组迭代求解法，则是把周期系数Riccati方程写成一个指数级的逐次函数组，然后用指数级迭代法求出周期解。
此外，周期系数Riccati方程的周期解还可以通过Runge-Kutta 法来求解。
Runge-Kutta法是一种由Heinrich Rudolf提出的数值积分方法，它的主要思想是用一系列的二次曲线段来拟合曲线，以计算得到某一点的数值。
在计算Riccati方程的周期解时，可以先将它转化为一个常微分方程的形式，然后再使用Runge-Kutta法进行求解，从而得到周期系数Riccati方程的正确解。
近几年来，学者们已经成功地求出了周期系数Riccati方程的正确解，使得在物理学、力学、工程学等领域有了更广泛的应用领域。
ricatti贝塞尔函数
ricatti贝塞尔函数Riccati–Bessel函数是一种在工程中使用的特殊的函数，它由18世纪意大利数学家Giambattista Riccati首先发现并提出。
这些函数以两种形式出现，xn(z)和yn(z)，其中n是整数，z是实系数。
从基本的理解来看，Riccati–Bessel函数是特殊的Bessel函数，它们满足不同的边界条件。
因此，对于导数型椭圆型微分方程，可以使用Riccati–Bessel函数来求解其中的解决方案。
Riccati-Bessel函数的特点是，它们可以用另一种函数——Bessel函数——表示，这有助于简化求解椭圆型微分方程的过程。
因此，Riccati–Bessel函数在工程学中得到了广泛应用，其中包括解决随机振动问题、热传导问题和电磁场的传播问题等。
Riccati–Bessel函数的另一个重要性质是它们是齐次的，也就是说，它们满足线性微分方程。
齐次形式的Riccati–Bessel函数具有较好的稳定性，可以高效估计重复解，有助于改善求解过程中的性能。
此外，xn(z)和yn(z)两种形式的Riccati-Bessel函数可以很好地解决椭圆型微分方程中的问题，从而为工程学的应用提供了解决方案。
Riccati-Besse函数应用广泛，它们可以帮助解决各种微分方程，在工程学中得到了广泛的应用。
比如，可以用这个函数来求解随机振动问题、热传导问题和电磁场的传播问题等。
它们还可以用来处理无限张量、变换和积分。
此外，它们也可以用于自然计算中的优化算法。
总之，Riccati–Besse函数广泛应用于工程学，为微分方程提供了方便而有效的解决方案，从而使工程设计变得更加容易。
Riccati方程的新解法及其在最优控制中的应用
Riccati方程的新解法及其在最优控制中的应用
董继学;张虹
【期刊名称】《黑龙江八一农垦大学学报》
【年(卷),期】2004(016)003
【摘要】本文提出了一种简便易行的代数Riccati方程的新解法,并对该法的合理性给出了证明.在此基础上,本文又阐述了此法在线性二次型最优控制中的应用,以供相关研究及应用领域参考.
【总页数】5页(P87-91)
【作者】董继学;张虹
【作者单位】黑龙江八一农垦大学文理学院,大庆,163319;黑龙江八一农垦大学文理学院,大庆,163319
【正文语种】中文
【中图分类】O231.4
【相关文献】
1.一类跟踪最优控制问题的次优解法及其应用 [J], 窦惠芳;陈阳泉
2.带有随机丢包的最优控制中Riccati方程解存在的条件 [J], 肖俊;徐红兵;祝颖
3.二阶非线性微分方程Riccati方程的解法及应用 [J], 李晓琴
4.M-矩阵代数Riccati方程的一类新的迭代解法 [J], 关晋瑞;任孚鲛;邵荣侠
5.方块脉冲函数应用于线性时变二次型最优控制的动态规划解法 [J], 贺昱曜
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三区间复合型Riccati-Bessel方程边值问题的相似构造法
三区间复合型Riccati-Bessel方程边值问题的相似构造法何荣娇;郑鹏社;钱雪;孙彩云;李顺初
【期刊名称】《理论数学》
【年(卷),期】2024(14)5
【摘要】针对三区间复合型Riccati-Bessel方程边值问题,通过对解式进行剖析和简化,发现该类边值问题的解具有连分数的形式且具有相似性,是由引解函数、相似核函数、内外边界和衔接条件系数组合而成。
由此得到求解该类三区间复合型Riccati-Bessel方程边值问题的一种新方法——相似构造法。
该方法极大地简化了求解过程,得到的解表达式简洁美观。
【总页数】10页(P41-50)
【作者】何荣娇;郑鹏社;钱雪;孙彩云;李顺初
【作者单位】西华大学理学院成都
【正文语种】中文
【中图分类】O17
【相关文献】
1.复合Riccati-Bessel方程边值问题的相似构造法
2.三区间复合型第二种Weber 方程边值问题的相似构造法
3.三区复合型Tschebycheff方程边值问题的相似构造法
4.三区间复合型超几何方程边值问题解的相似结构
5.三区复合型连带Legendre 方程边值问题的相似构造法
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ricatti贝塞尔函数
ricatti贝塞尔函数Ricatti-Bessel 函数是一类特殊函数，其在物理学，数学物理和其他科学领域中都有广泛的应用。
它们被广泛用于解决常微分方程的解，因此它们可以用来求解复杂系统的动态问题。
根据是它们的名字，可以看出ricatti-bessel 函数是joseph Louis Lagrange和Jon Riccati对Bessel函数的扩展，而Bessel函数具有优异的性能以及解决环境中的一些某些意外问题。
这个函数有两种形式，一种是简化的ricatti函数和另一种是riccati – bessel函数。
ricatti-bessel 函数的表达式是：R_n（z）= z^n \int_{0}^{∞} t^{-n-1}e^{-zt} J_n(t) dt其中z>0，J_n（t）是Bessel函数，n为负整数或者0.ricatti-bessel 函数可以用来求解椭圆型和球面谐波逼近问题，在解决多种边界值问题时也有广泛的应用。
ricatti-bessel 函数也可以用来分析电磁波传播，半导体介质中的电子动力学，电路中的电容和电感等。
在数学上，ricatti-bessel 函数可以用来求解Levi-Civita方程，Einstein方程和Klein-Gordon方程。
另外，它们还可以用来计算一些微分方程的局部解、通解和极值。
另外，ricatti-bessel 函数也常用于统计学和信号处理中，广泛应用于滤波器，自适应控制和自适应滤波器中。
总之，ricatti-bessel 函数在物理学，数学物理和其他多个科学领域都有重要作用。
它们不仅可以用来求解复杂系统的动态问题，还可以用来分析统计学和信号处理中的问题。
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分析 ， 发现 求解该 类边值 问题 可先利 用 Ｒ ｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ —Ｂ ｅ ｓ ｓ ｅ ｌ 方程的两个线性无关解构造 引解 函数 ， 再 结合 右边值 条件的 系数组装得到相似核 函数 ； 通过相似核 函数和左边值条件 的 系数组装 就可 以得到 Ｒ ｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ —Ｂ ｅ ｓ ｓ ｅ ｌ 方程 边值 问题 的 解， 由此 提 出 了解 决该 类 Ｒ ｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ — Ｂ ｅ ｓ ｓ ｅ ｌ 方程 边 值 问题 的 一 种 新 思路 — — 相 似 构 造 ． 关 键 词 ：边 值 问题 ；Ｒ ｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ —Ｂ ｅ ｓ ｓ ｅ ｌ 方程 ；相 似 核 函数 ；相 似 结 构 ；引 解 函 数
。作 ：
并得到相似核函数 ， 第三部分给出相似构造法 的步骤 ， 并举例说明相似构造法的优势 ．
１ 预 备 知 识
引 理 １ Ｒ ｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ — Ｂ ｅ ｓ ｓ ｅ ｌ 方 程 ２ ” ＋ ［ （ ） ２ 一 ｚ （ ｚ ＋ １ ） ］ ＝ 。 先 经 过 ＝ √ 事的 变 量 替 换 ， 再师范学院学报（ 自 然科学版）
・ ２・
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象 ＋ 唾＋ （ ｆ ＋
证： 对Ｒ ｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ －Ｂ ｅ ｓ ｓ ｅ ｌ 方程 Ｘ ２ Ｗ＂ ＋ ２ ．ｆ （ … ）
（ ２ ）
Ｂ ｅ ｓ ｓ ｅ ｌ 函数 ） 的所有 正根 ， ｚ 是非 负整 数 ， 且 Ｄ＃０， Ｇ ２ ＋ ≠０， ０＜ ＜ 卢 ． 接 下来 第一 部分 首先 对 Ｒ ｉ ｅ ｃ ａ ｔ ｉ — Ｂ ｅ ｓ ｓ ｅ ｌ 方 程进 行 变 量 替换 找 到方 程 两 个 线性 无 关 的解 来 构 造 引解 函 数， 第二 部分 给 出边值 问题 （ １ ） 左 边值 条件 在特 殊情 形下 的解 ， 然后 论证 边值 问题 （ １ ） 的解式 具有 相 似结 构
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ４—１ １—１ １ 基金项 目： 四 川 省 教 育 厅 自然科 学 重 点 项 目（ １ ２ Ｚ Ａ １ ６ ４） 作者简介 ： 王强（ １ ９ ９ ３一） ， 男， 硕 士研究生 ， 山西人 ， 研究方 向： 微分方程及其应用． 通信作者 ： 李顺初（ １ ９ ６ ３一） ， 男， 教授 ， 研究方 向： 微分方程和渗流力学及其应用
中 图分 类 号 ：Ｏ １ ７ ５ 文 献 标 志 码 ：Ａ 文章 编 号 ：１ ６ ７ ２ － ６ １ ２ ｘ （ ２ ０ １ ５ ） ０ ５ ４ ３ ０ ０ １ － ０ ７
０ 引言
在考 虑微 分方 程 问题 时 ， 首 先解决 的问题是 如何 给定 一 个微 分 方程 的通解 或 特解 ．至今 ， 人们 已经 给 出了很 多微分 方程 求解 的一 般方 法 … ， 例如 ： 一 阶微 分 方程 的 分离 变量 法 ．而微 分 方程 的边值 问题最 初 就 是通 过分 离变 量法 解决 数学 物理 方程 时 提 出 的 ， 由于 微 分 方程 的边 值 问题 在 相 应 的工程 实 际 问题 中有 着 广泛 的应 用 ， 近些 年对微 分方 程边 值 问题解 的研 究仍 然受 到广 泛 的关 注 Ｊ ．在数论 中 ， 我们知 道 任一 实 数 均可 表示 为连 分式 的形 式 ； 而在微 分方 程 中一些 边值 问题 的解 具有 相 似结 构 ， 即它 的解 也可 以写成 几 个 连分 式相 乘 的形式 ， 这 一结论 早 在 ２ ０ ０ ４年 以来文 献 ［ ６ ， １ ４ ］ 就 已经 证实 ， 那么 Ｒ ｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ —Ｂ ｅ ｓ ｓ ｅ ｌ 方 程边值 问题 的解 是否 也具 有相 似结 构 呢？ Ｒ ｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ —Ｂ ｅ ｓ ｓ ｅ ｌ 方程 被称 为特 殊 的 Ｒ ｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ 方程 ， 而且对 Ｒ ｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ 方 程 的求 解 很 多 人 已经做 过 大 量 的 研 究 ５ １ ］ ， Ｒ ｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ 方 程 在常微 分方 程 的积 分 法 中有 着 特 殊 的地 位 ， 并且 Ｒ ｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ —Ｂ ｅ ｓ ｓ ｅ ｌ 方 程 的解 Ｒ ｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ — Ｂ ｅ ｓ ｓ ｅ ｌ 函数在研 究球 体 的 电磁 散射 中有 着重 要意 义 ． 本 文研究 以下 Ｒ ｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ —Ｂ ｅ ｓ ｓ ｅ ｌ 方 程 的边值 问题 ：
绵阳师范学院学报
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｍｉ ａ ｎ ｙ ａ ｎ ｇ Ｎｏ ｒ ｍａ ｌ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ
Ｖｏ １ ． ３ ４ Ｎｏ ． ５
Ｍａ ｙ ．， ２ ０１ ５
求解 一 类 Ｒ ｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ —Ｂ ｅ ｓ ｓ ｅ ｌ 方 程 边 值 问题 的 新 方 法
接下来第一部分首先对riecatibessel方程进行变量替换找到方程两个线性无关的解来构造引解函数第二部分给出边值问题1左边值条件在特殊情形下的解然后论证边值问题1的解式具有相似结构并得到相似核函数第三部分给出相似构造法的步骤并举例说明相似构造法的优势
第３ ４卷 第 ５期 ２ ０ １ ５年 ５月
王 强 ， 李顺初 ， 蒲
（ 西华大学应用数学研究所 ， 四川成都
摘
俊
６ １ ０ ０ ３ ９ ）
要 ：针 对 Ｒ ｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ —Ｂ ｅ ｓ ｓ ｅ ｌ 方 程 一 类 边 值 问题 进 行 求 解 ， 获得 了解 式 的 相 似核 函数 和 相 似 结 构 ， 通 过 进 一 步
２ ” ＋ － ｆ （ … ） 。
［ Ｅ ｗ＋（ ｇ＋ ｇ Ｆ ）
【 Ｇ ｗ＋ ］ ： Ｂ ： 。
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（ １ ）
其中 ： Ｅ． Ｆ、 Ｇ、 Ｈ、 Ｄ、
是 已知 的实 常数 ， ｎ是 非 负数 ， （ ｎ为 正 整 数 ） 为Ｊ ｌ ＋ ｝（ ）＝ Ｏ（ Ｊ ｉ ＋ ｝（ ） 为第 一 类