1.3.1圆的极坐标方程学案
直线和圆的极坐标方程教案
直线和圆的极坐标方程教案教案：直线和圆的极坐标方程目标：通过学习，学生能够理解直线和圆在极坐标系中的表示方法，并能够根据已知条件写出直线和圆的极坐标方程。
一、引入：老师可先给出一个问题：如何在极坐标系中表示直线和圆？二、学习与讨论：1. 直线的极坐标方程：直线可以用极坐标系中的一个点和倾斜角（与极轴的夹角）来表示。
- 若直线过原点，则其方程为r = θ- 若直线不过原点，我们需要先找到直线与极轴的交点，然后确定倾斜角。
设直线与极轴的交点为（a，b），倾斜角为θ，则直线的极坐标方程可以表示为：r = a/（cos(θ - b)）2. 圆的极坐标方程：圆在极坐标系中的方程为 r = a，其中a为圆的半径。
三、例题练习：根据已知条件，写出直线和圆的极坐标方程。
1. 直线的例题：已知直线过原点，倾斜角为30°，写出直线的极坐标方程。
解答：直线的方程为r = θ2. 圆的例题：已知圆心坐标为(2，π/3)，写出圆的极坐标方程。
解答：圆的方程为 r = 2四、总结：教师和学生共同总结直线和圆的极坐标方程的表示方法。
五、拓展：老师可引导学生进行拓展，讨论其他图形在极坐标系中的表示方法，并给出相应的例题进行练习。
六、作业：布置作业，要求学生根据已知条件写出直线和圆的极坐标方程，并解答相关问题。
课堂练习：给出一个直线的极坐标方程和一个圆的极坐标方程，让学生画出相应的图形。
七、检查与讨论：检查学生的作业并进行讨论，解答学生的问题。
八、总结：教师和学生共同总结本节课的内容，强调重点和难点。
以上是关于直线和圆的极坐标方程教案的叙述，通过本节课的学习，学生应该能够掌握直线和圆在极坐标系中的表示方法，并能够根据已知条件写出直线和圆的极坐标方程。
高中数学第一章坐标系三1圆的极坐标方程教学案新人教A版4
1．圆的极坐标方程[对应学生用书P6] 1．曲线的极坐标方程(1)在极坐标系中，如果曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f (ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f (ρ，θ)＝0的点都在曲线C 上，那么方程f (ρ，θ)＝0叫做曲线C 的极坐标方程．(2)建立曲线的极坐标方程的方法步骤是：①建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上任意一点． ②列出曲线上任意一点的极径与极角之间的关系式． ③将列出的关系式整理、化简． ④证明所得方程就是曲线的极坐标方程． 2．圆的极坐标方程(1)圆心在C (a,0)(a ＞0)，半径为a 的圆的极坐标方程为ρ＝2a cos_θ. (2)圆心在极点，半径为r 的圆的极坐标方程为ρ＝r .(3)圆心在点(a ，π2)处且过极点的圆的方程为ρ＝2a sin θ(0≤θ≤π)．[对应学生用书P6]圆的极坐标方程[例1] 求圆心在(ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程． [思路点拨] 结合圆的定义求其极坐标方程． [解] 在圆周上任取一点P (如图) 设其极坐标为(ρ，θ)． 由余弦定理知：CP 2＝OP 2＋OC 2－2OP ·OC cos ∠COP ，故其极坐标方程为r 2＝ρ20＋ρ2－2ρρ0cos(θ－θ0)．几种特殊情形下的圆的极坐标方程当圆心在极轴上即θ0＝0时，方程为r 2＝ρ20＋ρ2－2ρρ0cos θ，若再有ρ0＝r ，则其方程为ρ＝2ρ0cos θ＝2r cos θ，若ρ0＝r ，θ0≠0，则方程为ρ＝2r cos(θ－θ0)，这几个方程经常用来判断图形的形状和位置．1．求圆心在C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，半径为1的圆的极坐标方程．解：设圆C 上任意一点的极坐标为M (ρ，θ)，如图，在△OCM 中，由余弦定理，得|OM |2＋|OC |2－2|OM |·|OC |·cos∠COM ＝|CM |2， 即ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＋1＝0.当O ，C ，M 三点共线时，点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2±1，π4也适合上式，所以圆的极坐标方程为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＋1＝0.2．求圆心在A ⎝⎛⎭⎪⎫2，3π2处并且过极点的圆的极坐标方程．解：设M (ρ，θ)为圆上除O 、B 外的任意一点，连结OM 、MB ，则有OB ＝4，OM ＝ρ，∠MOB ＝θ－32π.∠BMO ＝90°，从而△BOM 为直角三角形． ∴有|OM |＝|OB |cos ∠MOB即ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－32π＝－4sin θ.极坐标方程与直角坐标方程的互化[例2] 进行直角坐标方程与极坐标方程的互化： (1)y 2＝4x ；(2)x 2＋y 2－2x －1＝0； (3)ρ＝12－cos θ.[思路点拨] 将方程的互化转化为点的互化：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x ≠0.[解] (1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y 2＝4x ， 得(ρsin θ)2＝4ρcos θ. 化简，得ρsin 2θ＝4cos θ.(2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y 2＋x 2－2x －1＝0， 得(ρsin θ)2＋(ρcos θ)2－2ρcos θ－1＝0， 化简，得ρ2－2ρcos θ－1＝0. (3)∵ρ＝12－cos θ，∴2ρ－ρcos θ＝1.∴2x 2＋y 2－x ＝1.化简，得3x 2＋4y 2－2x －1＝0.在进行两种坐标方程间的互化时，要注意：(1)互化公式是有三个前提条件的，即极点与直角坐标系的原点重合、极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合，两种坐标系的单位长度相同．(2)由直角坐标求极坐标时，理论上不是惟一的，但这里约定只在0≤θ＜2π范围内求值．(3)由直角坐标方程化为极坐标方程，最后要注意化简．(4)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常总要用ρ去乘方程的两端，应该检查极点是否在曲线上，若在，是等价变形，否则，不是等价变形．3．把下列直角坐标方程化为极坐标方程． (1)y ＝3x ；(2)x 2－y 2＝1.解：(1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y ＝3x 得ρsin θ＝3ρcos θ，从而θ＝π3.(2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2－y 2＝1， 得ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝1，化简，得ρ2＝1cos 2θ.4．把下列极坐标方程化为直角坐标方程． (1)ρ2cos 2θ＝1； (2)ρ＝2cos(θ－π4)．解：(1)因为ρ2cos 2θ＝1， 所以ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝1. 所以化为直角坐标方程为x 2－y 2＝1.(2)因为ρ＝2cos θcos π4＋2sin θsin π4＝2cos θ＋2sin θ，所以ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ.所以化为直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y ＝0.[对应学生用书P7] 一、选择题1．极坐标方程ρ＝1表示( ) A ．直线 B ．射线 C ．圆 D ．半圆解析：∵ρ＝1，∴ρ2＝1，∴x 2＋y 2＝1.∴表示圆． 答案：C2．极坐标方程ρ＝a sin θ(a ＞0)所表示的曲线的图形是( )解析：如图所示．设M (ρ，θ)是圆上任意一点，则∠ONM ＝∠MOx ＝θ， 在Rt△NMO 中，|OM |＝|ON |sin ∠ONM ， 即ρ＝2r sin θ＝a sin θ. 答案：C3．在极坐标系中，方程ρ＝6cos θ表示的曲线是( ) A ．以点(－3,0)为圆心，3为半径的圆 B ．以点(3，π)为圆心，3为半径的圆 C ．以点(3,0)为圆心，3为半径的圆 D ．以点(3，π2)为圆心，3为半径的圆解析：由ρ＝6cos θ得ρ2＝6ρcos θ，即x 2＋y 2－6x ＝0， 表示以(3,0)为圆心，半径为3的圆． 答案：C4．以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是( ) A ．ρ＝2cos(θ－π4) B ．ρ＝2sin(θ－π4)C ．ρ＝2cos(θ－1)D ．ρ＝2sin(θ－1)解析：在极坐标系中，圆心在(ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程为：r 2＝ρ20＋ρ2－2ρρ0cos(θ－θ0)，所以可得ρ＝2cos(θ－1)．答案：C二、填空题5．把圆的普通方程x2＋(y－2)2＝4化为极坐标方程为________．解析：将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入，得ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ－4ρsin θ＝0，即ρ＝4sin θ.答案：ρ＝4sin θ6．曲线C的极坐标方程为ρ＝3sin θ，则曲线C的直角坐标方程为________．解析：由ρ＝3sin θ，得ρ2＝3ρsin θ，故x2＋y2＝3y，即所求方程为x2＋y2－3y＝0.答案：x2＋y2－3y＝07．在极坐标系中，若过点A(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cosθ于A、B两点，则|AB|＝________.解析：由题意知，直线方程为x＝3，曲线方程为(x－2)2＋y2＝4，将x＝3代入圆的方程，得y＝±3，则|AB|＝2 3.答案：2 3三、解答题8．把下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化．(1)x2＋y2－2x＝0；(2)ρ＝cos θ－2sin θ；(3)ρ2＝cos2θ.解：(1)∵x2＋y2－2x＝0，∴ρ2－2ρcos θ＝0.∴ρ＝2cos θ.(2)∵ρ＝cos θ－2sin θ，∴ρ2＝ρcos θ－2ρsin θ.∴x2＋y2＝x－2y，即x2＋y2－x＋2y＝0.(3)∵ρ2＝cos2θ，∴ρ4＝ρ2cos2θ＝(ρcos θ)2.∴(x2＋y2)2＝x2，即x 2＋y 2＝x 或x 2＋y 2＝－x .9．从极点O 引定圆ρ＝2cos θ的弦OP ，延长OP 到Q 使OP PQ ＝23，求点Q 的轨迹方程，并说明所求轨迹是什么图形？解：设Q (ρ，θ)，P (ρ0，θ0) 则θ＝θ0，ρ0ρ－ρ0＝23，∴ρ0＝25ρ∵ρ0＝2cos θ0.∴25ρ＝2cos θ，即ρ＝5cos θ 它表示一个圆．10．若圆C 的方程是ρ＝2a sin θ，求： (1)关于极轴对称的圆的极坐标方程． (2)关于直线θ＝3π4对称的圆的极坐标方程．解：法一：设所求圆上任意一点M 的极坐标为(ρ，θ)． (1)点M (ρ，θ)关于极轴对称的点为(ρ，－θ)， 代入圆C 的方程ρ＝2a sin θ，得ρ＝2a sin(－θ)， 即ρ＝－2a sin θ为所求．(2)点M (ρ，θ)关于直线θ＝3π4对称的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ，3π2－θ，代入圆C 的方程ρ＝2a sinθ，得ρ＝2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－θ，即ρ＝－2a cos θ为所求．法二：由圆的极坐标方程ρ＝2a sin θ得ρ2＝2ρa sin θ， 利用公式x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ＝x 2＋y 2， 化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝2ay ，即x 2＋(y －a )2＝a 2，故圆心为C (0，a )，半径为|a |. (1)关于极轴对称的圆的圆心为(0，－a )， 圆的方程为x 2＋(y ＋a )2＝a 2，即x 2＋y 2＝－2ay ，所以ρ2＝－2ρa sin θ， 故ρ＝－2a sin θ为所求．(2)由θ＝3π4得tan θ＝－1，故直线θ＝3π4的直角坐标方程为y ＝－x .圆x 2＋(y －a )2＝a 2关于直线y ＝－x 对称的圆的方程为(－y )2＋(－x －a )2＝a 2，即(x ＋a )2＋y 2＝a 2，于是x 2＋y 2＝－2ax ，所以ρ2＝－2ρa cos θ.故此圆的极坐标方程为ρ＝－2a cos θ.。
人教版选修4-4：1.3.1《圆的极坐标方程》PPT教学课件
（２）方程f(,)=0的所有解为坐标的 点都在曲线Ｃ上。
则曲线Ｃ的方程是f(,)=0 。
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曲线的极坐标方程
二、怎样求曲线的极坐标方程？
与直角坐标系里的情况一样，求 曲线的极坐标方程就是找出曲线 上动点Ｐ的坐标与之间的关系， 然后列出方程f(,)=0 ，再化简并 说明。
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教学目的
1、认识曲线的极坐标方程的条件， 比较与曲线与直角坐标方程的异同。
2、掌握各种圆的极坐标方程。 3、能根据圆的极坐标方程画出其对
应的图形
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教学重点： 总结怎样求极坐标方程的方法与步骤
教学难点：极坐标方程是涉及长度与角 度的问题，列方程实质是解直角或斜 三角形问题，要使用旧的三角知识。
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复习引入
一、复习： 曲线的方程概念：…… 二、讨论回答： 曲线的极坐标方程概念：……
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探究
如图，半径为a的圆的圆心坐 标为(a,0)(a>0)，你能用一个 等式表示圆上任意一点的极 坐标(,)满足的条件？
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O
C(a,0)
x
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思路分析
1、先和学生一齐在黑板上画出圆与极坐标轴
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例1 已知圆O的半径为r，建立怎样 的坐标系，可以使圆的极坐标方程 更简单？
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题组练习1
求下列圆的极坐标方程
（１）中心在极点，半径为２；
＝2
（２）中心在Ｃ（ａ，０），半径为ａ；
圆的极坐标方程教学设计
圆的极坐标方程教学设计教学目标：1.了解极坐标系的定义和基本特点；2.掌握圆的极坐标方程的推导方法；3.能够用极坐标方程描述圆。
教学内容：1.介绍极坐标系的定义和基本特点；2.解释如何用极坐标表示点的位置；3.推导圆的极坐标方程；4.给出一些实际问题，让学生应用极坐标方程描述圆。
教学步骤：步骤一：介绍极坐标系的定义和基本特点（10分钟）教师通过投影仪展示极坐标系的图像，解释其定义和基本特点。
说明极坐标系是由一个原点和一个极轴组成的，可以用角度和距离来表示点的位置。
步骤二：解释如何用极坐标表示点的位置（10分钟）教师通过示意图解释如何用极坐标表示点的位置，包括以极轴为参照，顺时针或逆时针方向的角度和与原点的距离。
步骤三：推导圆的极坐标方程（20分钟）1.教师引导学生思考如何用极坐标方程表示圆；2.教师提供一个已知条件，例如圆心为原点，半径为r；3.教师通过几何推导，由于圆是等距离于圆心的所有点的集合，可以推导出圆的极坐标方程为r=常数。
步骤四：完成一些练习题（20分钟）1.教师给出一些练习题，要求学生用极坐标方程表示圆，例如：a)半径为3的圆；b)圆心在(2,π/4)处，半径为4的圆。
2.学生独立完成练习题，并相互交流思路和答案。
步骤五：解答练习题并讲解（20分钟）1.教师解答学生的练习题，并解释答案的推导过程；2.教师引导学生思考和讨论，探究如何用极坐标方程描述特殊情况下的圆。
步骤六：应用极坐标方程描述圆的实际问题（20分钟）1.教师给出一些实际问题，要求学生用极坐标方程描述圆；2.学生独立或小组合作完成实际问题，并进行讨论。
步骤七：总结和评价（10分钟）教师总结本节课的重点内容并与学生互动交流，鼓励学生发表自己的观点。
教师可以提问学生如下问题：1.极坐标系有哪些特点？它有什么优势和应用领域？2.圆的极坐标方程是什么？如何推导出来的？3.你觉得极坐标方程对于描述圆形有什么优势或特殊应用？教学评价：1.教师对学生的课堂表现进行评价，包括是否积极参与讨论、对概念和推导过程的理解程度等。
人教版高中数学 选修4-4 1.3.1圆的极坐标方程教案设计
通过例题学习，归纳圆的极坐标方程类型，提高学生学习的兴趣
组
织
探
讨
类型二：圆心在极轴上且过极点的圆
例8：求圆心坐标为C(a,0)（a>0）、半径为a的圆的极坐标方程？
变式训练：课本p14页练习第2题
求圆心在A 、半径为3的圆的极坐标方程？
类型三：圆心在点 处且过极点的圆
世纪金榜p18教师引导学生什么知识解决归纳解题坐标方程设计逐步加深其中类型一二三是圆的极坐标方程的特例结合练习熟悉类坐标方程并能画出简单草图要求学生在教回答问题圆的极坐标方程的方法设出圆上动点m的极坐标再根据圆的几何特征利用已知的定理公式等得出满足的方程
课题
1.3.1圆的极坐标方程
课时
1
授课
时间
主备人：
师生共同
总结
掌握由圆心和半径写出圆的极坐标方程方法
布置
作业
课后思考：例9求圆心在A（2，0）、半径为1的圆的极坐标方程？
做在作业本上（课本p18页习题1-2第4题第（3）节，第11题第（1）节）
教师引导学生分析，讨论，根据圆的几何特征，发掘出用什么知识解决问题，归纳解题规律，图形与极坐标方程有什么规律。
要求学生在教师的引导下，自主发言，回答问题
设计逐步加深，其中类型一、二、三是圆的极坐标方程的特例，结合练习熟悉类型一、二、三圆的极坐标方程，并能画出简单草图
归
纳
总
结
圆的极坐标方程的方法
设出圆上动点M的极坐标 ,再根据圆的几何特征，利用已知的定理、公式等，得出 满足的方程。
教学难点：如何寻找条件列出圆的极坐标方程
教师活动
学生活动
设计意图
1.3.1圆的极坐标方程(学生学案)
SCH 南极数学高中同步教学设计人教A 版选修4-4《坐标系与参数方程》1.3.1圆的极坐标方程（学生学案）例1（课本P 例1）、已知圆O 的半径为r ，建立怎样的坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？()()12343,0,,,,,,22 .1C a C a C a C a πππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭变式训练分别写出以为圆心，且经过极点的圆的极坐标方程：例2.求圆心在(ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程2变已知一个圆的方程是ρ＝θ-5sin θ求圆心坐标.和半径。
38cos O C ON ON ρθ例：从极点作圆：＝的弦，求的中点的轨迹方程。
2123:2cos ,:sin 20,C C ρθρθ=-+=变：已知圆圆 试判断两圆的位置关系。
课堂练习：1.以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是（）()().2cos .2sin .2cos 1.2sin 144A B C D ππρθρθρθρθ⎛⎫⎛⎫=-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭么？化为直角坐标方程是什＝、曲线的极坐标方程θρsin 42少？的两个圆的圆心距是多＝和＝、极坐标方程分别是θρθρsin cos 34cos()4πρθ=-、极坐标方程所表示的曲线是( )（A ）双曲线（B ）椭圆（C ）抛物线（D ）圆SCH 南极数学高中同步教学设计人教A 版选修4-4《坐标系与参数方程》班级：______ 姓名：______________ 座号：_______ 等级：________510cos()3πρθ-、圆＝的圆心坐标是( )（A ）(5，0) (B)（5，-3π） (C)(5，3π) (D (5，23π)6(2,)2A π、写出圆心在点处且过极点的圆的极坐标方程，并把它化成直角坐标方程。
课时必记：圆心在(ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程分层作业：A 组：1．曲线的极坐标方程ρ＝4cos θ化成直角坐标方程为________．2．极坐标方程分别为ρ＝cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心距是________．3．极坐标方程ρ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ所表示的曲线是________．4、（课本P15习题1。
圆的 极坐标方程导学案
圆的极坐标方程学习目标：1、 知道极坐标方程的定义；理解极坐标系中曲线与方程的关系；2、 会求圆的极坐标方程，并理解求极坐标方程的一般步骤；3、 会进行直角坐标方程与极坐标方程的互化；4、体会转化思想。
学习重点：圆的极坐标方程的求法以及.与直角坐标方程的相互转化 学习难点：一般形式下圆的极坐标方程的推导. 一、复习旧知：1. 方程曲线和曲线的方程的定义2. 极坐标和直角坐标的互化公式3. 三角形中，余弦定理的内容。
二、课前准备阅读教材1213P P -的内容，思考下面的问题：1． 在直角坐标系中曲线上的点用（x,y ）表示，在极坐标系中曲线上的点的坐标用什么表示？那么，求曲线的极坐标方程究竟是求什么？2． 半径为2的圆，在极坐标系中的不同位置方程是一样的吗？ 3． 求曲线极坐标方程的基本步骤是什么？4． 对于在两种坐标系下的方程是否可以相互转化？怎样转化？三、新课导学：（一）自主探究：1. 已知圆C 的半径为a ，圆心在不同的位置上，探究出圆的极坐标方程.图3图2图1O设圆上的任意一点P 的坐标为P (,)ρθ，（二）典型例题：【例1】已知圆心在)0,(a M ，半径为R ，试写出圆的极坐标方程． 【解析】变式训练：若圆心的坐标为),(00θρM ，圆的半径为r ，求圆的方程.【例2】（1）化直角坐标方程0822=-+y y x 为极坐标方程， （2）化极坐标方程6cos ρθ= 为直角坐标方程. 【解析】变式训练：(1) 化直角坐标方程22240x y x y ++-=为极坐标方程， （2）化极坐标方程8sin()6πρθ=- 为直角坐标方程.四、反馈练习：1.圆4sin ρθ=的圆心和半径分别是 （ ） A ．(2,0)、2 B ．(2,)2π、2 C ． (2,)2π、4 D ．(2,)2π-、42. 在极坐标系中，已知圆C 的圆心)6,3(πC ，半径3=r ，求圆C 的极坐标方程..思考题：判断曲线ρ=2和曲线28cos 150ρρθ-+=的公共点的个数。
选修4-4,1.3.1圆的极坐标方程
§1.3.1圆的极坐标方程课时安排：1课时；编写人：李崇博；审核人：田清明；电子打版：郭君红；编写时间：2017.2.18教学目标：1.曲线的极坐标方程概念.2.求圆的极坐标方程.教学重点：圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化.教学难点：求圆的极坐标方程.教学过程：一、知识导读：1.曲线的极坐标方程：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程(,)0fρθ=并且坐标适合方程___________的点都在曲线C上，那么方程________叫做曲线C的极坐标方程.2.常见圆的极坐标方程例1.推导上述表中常见的圆的极坐标方程.变式1. (1)求圆心在(,)a π (0)a >半径为a 的圆的极坐标方程.(2)求圆心在,2a π⎛⎫- ⎪⎝⎭(0)a >半径为a 的圆的极坐标方程例2.已知圆心在11(,)C ρθ半径为r ，求此圆的极坐标方程.变式2.求以3,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭为圆心，半径为1的圆的极坐标方程.例3.把圆的直角坐标方程220x y y +-=化为极坐标方程.变式3.把圆的直角坐标方程22(5)25x y -+=化为极坐标方程.例4.将极坐标方程6sin ρθ=化为直角坐标方程.变式4.将极坐标方程cos 4sin ρθθ=-化为直角坐标方程.三、课堂练习：1.圆心在(1,0)且过极点的圆的极坐标方程为（ ）A.1ρ=B.cos ρθ=C.2cos ρθ=D.2sin ρθ= 2.圆sin ρθ=的面积为_________面积单位. 3.将下列直角坐标方程化成极坐标方程. （1）4x = (2)2216x y -=4.将下列极坐标方程化成直角坐标方程. （1）sin 2ρθ= （2）10sin ρθ=四、课堂小结：五、课后作业：P15 习题1.3 3,4题板书设计：课后反思：。
选修4-4 1.3.1 圆的极坐标方程
一、复习与自主学习
2.自主学习 P12~P13 【思考】在平面直角坐标系中，曲线与方程 满足如下关系：(1)纯粹性：曲线 C 上点的 坐标都是方程 f ( x, y ) 0 的解；(2)完备性：以 方程 f ( x, y ) 0 的解为坐标的点都在曲线 C 上. 那么， 在极坐标系中,平面曲线是否可以 用方程 f ( , ) 0 表示呢？
二、新授
1.圆的极坐标方程 回想下， 在直角坐标 系中， 圆心位于什么位置 圆的方程最为简洁呢？ 那么， 当圆心放在极点半 径为 a 时，圆的极坐标方 程又是怎样的呢？你能 用一个等式来表示圆上 的任意一点的极坐标 ( , ) 满足的条件吗？
二、新授
1.圆的极坐标方程 【探究 1】 如图半径为 a 的圆的圆心坐标为 C (a,0)(a 0) .你能用一个 等式来表示圆上的任 意 一 点 的 极 坐 标 ( , ) 满足的条件吗？
.
他们的极坐标方程吗？
三、课堂练习
1.若点 C 的直角坐标为 (1,1) ， 求以点 C 为 圆心,且经过原点 O 的圆的极坐标方程.
3 2 2 cos( ) 4
四、课堂小结
掌握求特殊位置的圆的极坐标方程，比 较直角坐标方程与极坐标方程的异同和各 自的优点.
五、课外作业
预习 P13—P14. 掌握直线的极坐标方程的求解方法，和 极坐标方程与直角坐标方程的互化.
选修4-4
1.3.1圆的极坐标方程
李吉文
一、复习与自主学习
1.复习 极坐标系的概念 (1)极坐标系的建立：在 平面内取一个定点 O，叫 做 极点 ,自极点 O 引一 条射线 Ox,叫做 极轴 ;再 选定一个 长度单位 , 一个 角度单位 (通常取弧度 )及 其正方向 (通常取逆时针方向)，这样就建立 了一个极坐标系．
三《简单曲线(圆和直线)的极坐标方程》导学案
三 《简单曲线（圆和直线）的极坐标方程》导学案1、《圆的极坐标方程》【学习目标】1、了解圆的极坐标方程的基本求法；熟练掌握利用极直互化求圆的方程。
2、会利用思维工具分析和解决问题。
【重难点】熟练掌握利用极直互化求圆的方程。
【预习案】一、课前预习，发现问题：1、求轨迹方程的一般方法？2、仔细阅读教材12—13页的探究以及教材上的探究过程，并写出圆心在()0,a ，半径为a 的圆的极坐标方程的求解过程。
极坐标方程为：3、探究中的圆的标准方程为 ，你能否通过极直互化公式把圆的标准方程转化为圆的极坐标方程？二、归纳出圆的极坐标方程：（1）圆心在()0,a ，半径为a 的圆的极坐标方程为： ；（2）圆心在()π,a ，半径为a 的圆的极坐标方程为： ；（3）圆心在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,πa ，半径为a 的圆的极坐标方程为： ； （4）圆心在⎪⎭⎫ ⎝⎛23,πa ，半径为a 的圆的极坐标方程为： ； （5）圆心在()π2,a ，半径为a 的圆的极坐标方程为： 。
极化直公式：⎩⎨⎧==y x 直化极公式：⎪⎩⎪⎨⎧==θρtan 2 三、巩固练习：把下列圆的方程化为极坐标方程：（1）4)2(22=-+y x （2）2)1()1(22=-+-y x☞我的疑惑：请将预习中不能解决的问题写下来，供课堂解决。
【探究案】探究1．求圆心在)2,2(π，半径为2的圆的极坐标方程。
法一：（基本方法） 法二：（直极互化）探究2．把下列直角坐标方程转化为极坐标方程。
（1）04222=-++y x y x （2）422=+y x探究3．把下列极坐标方程转化为直角坐标方程，并说明方程表示什么曲线。
（1）θθρsin 2cos 4+= （2）θρcos 4-=四、问题小结，方法心得总结求圆的极坐标方程的两种方法，你觉得哪种方法更方便？2、《直线的极坐标方程》【学习目标】1、了解特殊直线的极坐标方程的基本求法；能够利用直极互化求直线的方程。
15圆的极坐标方程导学案
编号15 编制人：梁从军 审核人： 雷友会 审批人 班级 姓名 学号泸州外国语学校 ◆高2010级数学科导学案◆14.3.1圆的极坐标方程．1．重点：掌握一些特殊位置下的圆（如过极点或圆心在极点的圆）的极坐标方程． ．一、课前自主学习 1．教材助读（1）圆的极坐标方程是什么？怎么推导出来的？ 2．预习思考（1）圆122=+y x 的极坐标方程是 . （2）曲线θρcos =的直角坐标方是 . 3．我的疑惑二、探究·合作·展示 ※ 学习探究 【探究一】1．求圆心在点(3,0)，且过极点的圆的极坐标方程．2．求以点(,0)C a （0a >）为圆心，a 为半径的圆C 的极坐标方程．3．求以)2,4(π为圆心，4为半径的圆的极坐标方程．4．已知圆心的极坐标为),(00θρM ，圆的半径为r ，求圆的极坐标方程．【探究二】已知一个圆的极坐标方程是θθρsin 5cos 35-=，求圆心的极坐标与半径．三、我的收获 ※ 当堂检测：1．在极坐标系中，求适合下列条件的圆的极坐标方程：（1）圆心在)4,1(πA ，半径为1的圆； （2）圆心在)23,(πa ，半径为a 的圆.2．把下列极坐标方程化为直角坐标方程：（1）2=ρ；（2）θρcos 5=.3．求下列圆的圆心的极坐标：（1）θρsin 4=；（2）)4cos(2θπρ-=.※ 课后作业：1．设有半径为4的圆，它在极坐标系内的圆心坐标是),4(π，则这个圆的极坐标方程是 ． 2．两圆θρcos 2=和θρsin 4=的圆心距是 ．3．以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是（ ） A ．)4cos(2πθρ-= B. )4sin(2πθρ-=C. )1cos(2-=θρD. )1sin(2-=θρ4．已知点(2,)2A π，3)4B π，(0,0)O ，试判断ABO ∆的形状．。
选修4-4 §1.3.1 圆的极坐标方程教案1
§1.3 简单曲线的极坐标方程
§1.3.1 圆的极坐标方程
三维目标
1.了解认识极坐标方程的意义；
2.掌握几种特殊位置的圆的极坐标方程；
3.能利用极坐标方程解决实际问题；
4.经历几种特殊位置的圆的极坐标方程的推导过程，进一步提高学生分析、解决问题的的
能力，同时培养学生自主学习习惯和团队合作精神.
教学重难点
教学重点：几种特殊位置下的圆的极坐标方程.
教学难点：几种特殊位置圆的极坐标方程的推导与应用.
教学方法
教法：启发诱导、探究合作、讲练结合.
学法：自主探究和团队合作.
教学流程
圆心在C(1, 1)，半径为r 的圆的极坐标方
程是什么？
1
θθ
11(,)
C ρθ(,)P ρθρ
1ρr
x
O。
【高二】圆的极坐标方程学案
【高二】圆的极坐标方程学案第05时1.3.1圆的极坐标方程学习目标1.掌握极坐标方程的意义2.能在极坐标中求圆的极坐标方程学习过程一、学前准备1.极坐标方程的概念一般地，在极坐标系中，如果平面曲线上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程，并且坐标适合方程的点都在曲线上，那么方程叫做曲线的。
2.请告诉我们如何在直角坐标系下求解曲线方程？，以类比的方式思考如何在极坐标系中找到曲线的极坐标方程。
二、新导学◆ 探索新知识（预览教科书p12~p15，找出疑问）1.如图，半径为a的圆的圆心坐标为(a,0)(a>0)，你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标(r,q)满足的条吗？解决方案：建立极坐标系，如右图所示，以点为极点和极轴，设圆与极轴的另一个交点为，那么设置为圆上除点以外的任意点，然后在中，，即。
……①可以证明点的坐标满足方程①.于是，等式①就是圆上任意一点的极坐标满足的条。
，2.定义：一般来说，如果曲线上的任何一点有一个极坐标适合曲线上方程的点，则该方程称为曲线的极坐标方程，该曲线称为极坐标方程的曲线。
◆应用示例例1。
假设圆的半径为，可以建立什么样的极坐标系来简化圆的极坐标方程？（教科书P13示例1）例2.把下列的方程是极坐标方程的化成直角坐标系方程，是直角坐标系方程的化成极坐标方程。
（1）（2）◆ 反馈练习1、说明下列极坐标方程表示什么曲线，并画图。
（1）（2）2.以极坐标系中的点（1,1）为中心，1为半径的圆的方程为（）三、总结提升◆ 本节摘要1．本节学习了哪些内容？答：在极坐标系中求一个圆的极性方程学习评价一、自我评价你完成本节导学案的情况为（）a、 B.很好C.一般D.差后作业1.与直角坐标中的圆方程对应的极坐标方程为2、在极坐标系中，求适合下列条的直线或圆的极坐标方程：（1）圆心为1，半径为1的圆；（2）圆心在，半径为的圆。
3.将以下极坐标方程转换为直角坐标方程：（1）（2）。
2017_2018学年高中数学第一章坐标系三1圆的极坐标方程教学案新人教A版选修4_4
则θ＝θ0， ＝ ，∴ρ0＝ ρ
∵ρ0＝2cosθ0.
∴ ρ＝2cosθ，即ρ＝5cosθ
它表示一个圆．
10．假设圆C的方程是ρ＝2asinθ，求：
(1)关于极轴对称的圆的极坐标方程．
(2)关于直线θ＝ 对称的圆的极坐标方程．
解：法一：设所求圆上任意一点M的极坐标为(ρ，θ)．
利用公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ＝ ，
化为直角坐标方程为x2＋y2＝2ay，
即x2＋(y－a)2＝a2，故圆心为C(0，a)，半径为|a|.
(1)关于极轴对称的圆的圆心为(0，－a)，
圆的方程为x2＋(y＋a)2＝a2，
即x2＋y2＝－2ay，因此ρ2＝－2ρasinθ，
故ρ＝－2asinθ为所求．
∴ρ2－2ρcosθ＝0.
∴ρ＝2cosθ.
(2)∵ρ＝cosθ－2sinθ，
∴ρ2＝ρcosθ－2ρsinθ.
∴x2＋y2＝x－2y，
即x2＋y2－x＋2y＝0.
(3)∵ρ2＝cos2θ，
∴ρ4＝ρ2cos2θ＝(ρcosθ)2.
∴(x2＋y2)2＝x2，
即x2＋y2＝x或x2＋y2＝－x.
9．从极点O引定圆ρ＝2cosθ的弦OP，延长OP到Q使 ＝ ，求点Q的轨迹方程，并说明所求轨迹是什么图形？
答案：C
2．极坐标方程ρ＝asinθ(a＞0)所表示的曲线的图形是( )
解析：如下图．
设M(ρ，θ)是圆上任意一点，那么∠ONM＝∠MOx＝θ，
在Rt△NMO中，|OM|＝|ON|sin∠ONM，
即ρ＝2rsinθ＝asinθ.
答案：C
3．在极坐标系中，方程ρ＝6cosθ表示的曲线是( )
极坐标方程导学案
圆的极坐标方程学习目标：1. 能写出不同位置的圆的极坐标方程，已知圆的极坐标方程，能在极坐标系中画出圆的图形；2. 会将圆的极坐标方程与圆的直角坐标方程互化. 学习重点：圆的极坐标方程的求法.学习难点：一般形式下圆的极坐标方程的推导. 一、复习旧知1. 方程曲线和曲线的方程的定义2. 圆的标准方程及其圆心坐标3. 圆的一般方程及其圆心坐标4. 极坐标和直角坐标的互换公式二、课前准备阅读教材1213P P -的内容，并思考下面的问题： 1．直角坐标系中，单位圆221x y +=在极坐标系中如何表示？答：2．极坐标系中，圆心在极点，半径等于2的圆，能否用方程表示？ 答：三、新课导学： （一）新知：1. 已知圆C 的半径为a ，圆心在不同的位置上，试求出圆的极坐标方程.图3图2图1O设圆上的动点P 的坐标为(,)ρθ，（1）图1中，动点P 不论运动到什么位置，到极点的距离始终是a ，所以圆的极坐标方程是：a ρ=.（2）图2中，设圆与极轴交于点A ，在直角三角形OPA 中，cos 2aρθ=，即2cos a ρθ=，即为所求圆的极坐标方程.（3）图3中，设圆与垂直于极轴的直线交于点B ，则PBO θ∠=，在直角三角形PBO 中，sin 2PBO aρ∠=，即2sin a ρθ=，即为所求圆的极坐标方程.按照上面的思路，写出下面两种情况的圆的极坐标方程： 图5图4（4）（5）（二）典型例题：【例1】已知圆心在)0,(a M ，半径为R ，试写出圆的极坐标方程． 【解析】设圆上动点P 的坐标为(,)ρθ，如图 ，在O P M ∆中，||OP ρ=，||PM R =，||OM a =，POM θ∠=，由余弦定理可得：222cos 2a R a ρθρ+-=，即 0cos 2222=-+-R a a θρρ.即为所求圆的极坐标方程.动动手：若圆心的坐标为),(00θρM ，圆的半径为r ，求圆的方程. 运用此结果可以推出哪些特殊位置的圆的极坐标方程.【例2】（1）化在直角坐标方程0822=-+y y x 为极坐标方程，（2）化极坐标方程)3cos(6πθρ-= 为直角坐标方程.【解析】动动手：(1) 化在直角坐标方程22240x y x y ++-=为极坐标方程， （2）化极坐标方程8sin()6πρθ=- 为直角坐标方程.四、反馈练习：1.圆4sin ρθ=的圆心和半径分别是 （ ） A ．(2,0)、2 B ．(2,)2π、2 C ． (2,)2π、4 D ．(2,)2π-、42. 圆5cos ρθθ=-的圆心坐标是（ ）A ．5(5,)3π B ．4(5,)3π C ．2(5,)3π D ．(5,)3π3. 在极坐标系中，已知圆C 的圆心)6,3(πC ，半径3=r ，求圆C 的极坐标方程.。
圆的极坐标方程教学案例
圆的极坐标方程教学案例教学目标：1.理解极坐标系的概念和用途；2.掌握极坐标系下圆的极坐标方程的求解方法；3.运用极坐标方程分析圆形的特征和性质。
教学重点：1.极坐标系的概念和特点；2.圆的极坐标方程的推导和解题方法。
教学难点：1.如何从直角坐标系转换到极坐标系；2.如何用极坐标方程来表达圆形的特征和性质。
教学准备：1.一张白板和黑板笔；2.参考教材和课件。
教学过程：一、导入（10分钟）1.向学生介绍极坐标系的概念和用途，解释为什么有时候使用极坐标系更方便；2.让学生回顾直角坐标系到极坐标系的转换公式。
二、讲解（20分钟）1.解释圆的极坐标方程是什么，为什么要用极坐标方程来表示圆；2.通过推导，解释如何从直角坐标系转换到极坐标系，得到圆的极坐标方程；3.教学示例：给出一个圆的直角坐标方程，引导学生将其转换为极坐标方程。
三、练习（30分钟）1.给学生几个直角坐标方程，要求他们转换为极坐标方程；2.给学生几个极坐标方程，要求他们转换为直角坐标方程；3.给学生几个极坐标方程，要求他们根据极坐标方程分析圆形的特征和性质。
四、总结（10分钟）1.回顾本课学习的内容，强调极坐标方程的用途和重要性；2.总结极坐标方程的求解方法和圆形的特征。
五、拓展（10分钟）引导学生思考如何用极坐标方程表示其他形状的曲线，如椭圆、双曲线等。
六、作业布置（5分钟）1.练习册上的相关习题；2.思考如何用极坐标方程表示其他形状的曲线，并写出相应的方程。
教学反思：本节课主要讲解了圆的极坐标方程的求解方法和应用，通过例题和练习，学生对极坐标方程的应用有了一定的了解。
同时，通过拓展环节的引导，学生对极坐标方程还可以用来表示其他形状的曲线有了一定的认识。
然而，本节课的时间有限，课堂练习的时间有点紧张。
以后可以将课堂练习的时间适当延长，并在课后布置更多相关的习题，以巩固学生的知识点。
圆的极坐标方程教案
圆的极坐标⽅程教案三简单曲线的极坐标⽅程课题: 1、圆的极坐标⽅程教学⽬标：1、掌握极坐标⽅程的意义2、能在极坐标中给出简单图形的极坐标⽅程教学重点、极坐标⽅程的意义教学难点：极坐标⽅程的意义教学⽅法：启发诱导，讲练结合。
教具：多媒体、实物投影仪教学过程：⼀、复习引⼊：问题情境1、直⾓坐标系建⽴可以描述点的位置极坐标也有同样作⽤？2、直⾓坐标系的建⽴可以求曲线的⽅程极坐标系的建⽴是否可以求曲线⽅程？学⽣回顾1、直⾓坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？2、曲线的⽅程和⽅程的曲线（直⾓坐标系中）定义3、求曲线⽅程的步骤4、极坐标与直⾓坐标的互化关系式:⼆、讲解新课：1、引例．如图，在极坐标系下半径为a 的圆的圆⼼坐标为(a ,0)(a >0)，你能⽤⼀个等式表⽰圆上任意⼀点，的极坐标(ρ,θ)满⾜的条件？解：设M (ρ,θ)是圆上O 、A 以外的任意⼀点，连接AM ，则有：OM=OAcos θ，即：ρ＝2acos θ①，2、提问：曲线上的点的坐标都满⾜这个⽅程吗？可以验证点O(0,π/2)、A(2a ,0)满⾜①式.等式①就是圆上任意⼀点的极坐标满⾜的条件.反之，适合等式①的点都在这个圆上.3、定义：⼀般地，如果⼀条曲线上任意⼀点都有⼀个极坐标适合⽅程0),(=θρf 的点在曲线上，那么这个⽅程称为这条曲线的极坐标⽅程，这条曲线称为这个极坐标⽅程的曲线。
例1、已知圆O 的半径为r ，建⽴怎样的坐标系，可以使圆的极坐标⽅程更简单？①建系；②设点；M （ρ，θ）③列式；OM ＝r ，即：ρ＝r④证明或说明.变式练习：求下列圆的极坐标⽅程(１)中⼼在Ｃ(a ,0)，半径为a ；(２)中⼼在(a,π/2)，半径为a ；(３)中⼼在Ｃ(a ,θ０)，半径为a答案：(1)ρ＝2acos θ (2) ρ＝2asin θ (3)0cos()a ρθθ-＝２例2．（1）化在直⾓坐标⽅程0822=-+y y x 为极坐标⽅程，（2）化极坐标⽅程)3cos(6πθρ-= 为直⾓坐标⽅程。
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第05课时
1.3.1圆的极坐标方程
学习目标
1．掌握极坐标方程的意义
2. 能在极坐标中求圆的极坐标方程
学习过程
一、学前准备
1、极坐标方程的概念
一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一
点的极坐标中至少有一个满足方
程 ，并且坐标适合方程
的点都在曲线C 上，那么方程 叫做曲
线C 的 。
2、请说说在直角坐标系下是如何求曲线方程的？，并类比思考在极坐标系下如何求曲线的极坐标方程。
二、新课导学
◆探究新知（预习教材P 12～P 15，找出疑惑之处） 1.如图，半径为a 的圆的圆心坐标为(a,0)(a>0)，你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标(ρ,θ)满足的条件吗？ 解：以点O 为极点，Ox 为极轴建立如右图所示的极坐标系， ),(θρM 设圆与极轴的另一个交点为A ，那么=||OA 设),(θρM 为圆上除点
O ，A 以外的任意一点，则⊥OM
在AMO RT ∆中，=||OM ，即=ρ 。
……①
可以验证，点O ，A 的坐标满足等式①。
于是，等式①就是圆上任意一点的极坐标),(θρ满
足的条件。
， 2.定义：一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程0),(=θρf 的点在曲线上，那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲线
称为这个极坐标方程的曲线。
◆应用示例
例1．已知圆O 的半径为r ，建立怎样的极坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？（教材P 13例1）
例2. 把下列的方程是极坐标方程的化成直角坐标系方程，是直角坐标系方程的化成极坐标方程。
（1）2216x y -=
（2）θθρsin 4cos 2-=
◆反馈练习
1、说明下列极坐标方程表示什么曲线，并画图。
（1）5=ρ （2）θρsin 2=
第一讲：坐标系 班级： 姓名： 时间： 年 月 日
- 10 -
2、以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是 （ ）
三、总结提升 ◆本节小结
1．本节学习了哪些内容？
答：在极坐标中求圆的极坐标方程
学习评价
一、自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ） A ．很好 B ．较好 C ． 一般 D ．较差
课后作业
1、直角坐标下圆的方程1622=+y x 对应的极坐标方程是
2、在极坐标系中，求适合下列条件的直线或圆的极坐标方程： （1）圆心在)4
,1(π
A ，半径为1的圆；
（2）圆心在)2
3,(π
a ，半径为a 的圆。
3、把下列极坐标方程化成直角坐标方程： （1）θρcos 10-= （2）3cos 2sin ρθθ=+
()
()1sin 2.1cos 2.4sin 2.4cos 2.-=-=⎪
⎭⎫ ⎝⎛
-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θρθρπθρπθρD C B A。