【聚焦中考】2017版中考数学 考点聚焦 第3章 函数及其图象 跟踪突破12 反比例函数的图象和性质试题
2017版《聚焦中考》中考数学专题聚焦(人教版,课件 考点跟踪):
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速度 耗油量
30 0.15
40 0.14
50 0.13
60 0.12
∴当速度为50 km /h时,该汽车耗油量为0.13 L /km, 当速度为100 km /h时,该汽车耗油量为0.12+ 0.002×(100-90)=0.14 L /km.
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k的符号 b的取值
图象 b>0
k<0 b=0 b<0
经过象 限
性质
⑥ 一、二、四
二、四
⑦ 二、三、四
y随x的增大而⑧ 减小
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待定系数法求解析式
一次函数 解析式的 确定
1、设:设一次函数解析式的一般式: y=kx+b
2、代:把已知条件(关键是图象上两个点的 坐标)代入解析式得到关于待定系数k,b的方 程(组) 3、求:解方程(组),求出待定系数k,b的值
步骤
4、写:依据k,b值写出一次函数解析式
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由平移规律求解析式 一次函数 解析式的 确定
一次函数图象上下、左右进行平移,平移前 后的直线互相平行,因此其k值不变.平移前 后解析式之间有以下规律:将y=kx+b的图象
向上(下)平移m个单位,新图象对应的解
析式为y=kx+b±m; 将y=kx+b的图象向左(右)平移n个单位, 新图象对应的解析式为y=k(x±n)+b.
待定系数法求解析式
定义:如果y=k x +b(k、b为常数,且k≠0),那
么y 叫做 x 的一次函数.当b=0时,y=kx(k≠0),
这时称y是x 的正比例函数.正比例函数是一次函
2017年中考数学总复习第三章函数考点跟踪突破11二次函数的综合应用试题
考点跟踪突破11 二次函数的综合应用一、选择题1.在一幅长60 cm ,宽40 cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示,如果要使整个挂图的面积是y cm 2,设金色纸边的宽度为x cm 2,那么y 关于x 的函数是( A )A .y =(60+2x )(40+2x )B .y =(60+x )(40+x )C .y =(60+2x )(40+x )D .y =(60+x )(40+2x )2.(2015·铜仁)河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形,建立如图所示的平面直角坐标系,其函数的关系式为y =-125x 2,当水面离桥拱顶的高度DO 是4 m 时,这时水面宽度AB 为( C )A .-20 mB .10 mC .20 mD .-10 m3.一件工艺品的进价为100元,标价135元出售,每天可售出100件,根据销售统计,一件工艺品每降价1元,则每天可多售出4件,要使每天获得的利润最大,则每件需降价( B )A .3.6元B .5元C .10元D .12元4.(导学号 30042164)(2016·金华)用长8 m 的铝合金条制成如图形状的矩形窗框,使窗户的透光面积最大,那么这个窗户的最大透光面积是( C )A.6425 m 2 B.43m 2C.83m 2 D .4 m 2 点拨:设窗的高度为x m ,宽为(8-2x 3)m ,故S =x (8-2x )3.即S =-23(x -2)2+83.∴当x =2 m 时,S 最大值为83m 2.故选C二.填空题5.(2016·青岛模拟)如图,有长为24 m 的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度a 为10 m ),围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽AB 为x m ,面积为S m 2.则S 与x 的函数关系式__S =-3x 2+24x __;自变量的取值范围__143≤x <8__.,第5题图),第6题图)6.(2016·日照)如图,一抛物线型拱桥,当拱顶到水面的距离为2米时,水面宽度为4米;那么当水位下降1米后,水面的宽度为__26__米.7.(导学号 30042165)(2016·石家庄模拟)如图,小亮从斜坡的点O 处抛出一个沙包,沙包的轨迹抛物线的解析式为y =-x 2+12x ,斜坡OA 的坡度i =1∶2,则沙包在斜坡的落点A 的垂直高度是__234__.点拨:设A 点的坐标为(m ,n ),根据题意,得⎩⎪⎨⎪⎧n =-m 2+12m ,n m =12,解得:n =0(舍去),或n =234,故答案为:234三.解答题8.(2016·南京)如图是抛物线型拱桥,P 处有一照明灯,水面OA 宽4 m ,从O ,A 两处观测P 处,仰角分别为α,β,且tan α=12,tan β=32,以O 为原点,OA 所在直线为x 轴建立直角坐标系.(1)求点P 的坐标;(2)求水面上升1 m 后,水面的宽为多少.(2取1.41,结果精确到0.1 m ) 解:(1)过点P 作PH⊥OA 于H ,如图.设PH =3x ,在Rt △OHP 中,∵tan α=PH OH =12,∴OH =6x.在Rt △AHP 中,∵tan β=PHAH=32,∴AH =2x ,∴OA =OH +AH =8x =4,∴x =12,∴OH =3,PH =32,∴点P 的坐标为(3,32) (2)若水面上升1 m 后到达BC 位置,如图,过点O (0,0),A (4,0)的抛物线的解析式可设为y =ax (x -4),∵P (3,32)在抛物线y =ax (x -4)上,∴3a (3-4)=32,解得a =-12,∴抛物线的解析式为y =-12x (x -4).当y =1时,-12x (x -4)=1,解得x 1=2+2,x 2=2-2,∴BC =(2+2)-(2-2)=22=2×1.41=2.82≈2.8(m ).答:水面上升1 m 后,水面宽约为2.8米9.(导学号 30042166)如图,在平面直角坐标系中,OB ⊥OA ,且OB =2OA ,点A 的坐标是(-1,2).(1)求点B 的坐标;(2)求过点A ,O ,B 的抛物线的表达式;(3)连接AB ,在(2)中的抛物线上求出点P ,使得S △ABP =S △ABO . 解:(1)过点A 作AF⊥x 轴,垂足为点F ,过点B 作BE⊥x 轴,垂足为点E ,则AF =2,OF =1,∵OA ⊥OB ,∴∠AOF +∠BOE =90°,又∵∠BOE +∠OBE =90°,∴∠AOF =∠OBE ,∴Rt △AFO ∽Rt △OEB ,∴BE OF =OE AF =OBOA=2,∴BE =2,OE =4,∴B (4,2) (2)设过点A (-1,2),B (4,2),O (0,0)的抛物线为y =ax 2+bx +c ,∴⎩⎪⎨⎪⎧a -b +c =2,16a +4b +c =2,c =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =12,b =-32,c =0,∴所求抛物线的表达式为y =12x 2-32x (3)由题意,知AB∥x 轴,设抛物线上符合条件的点P 到AB的距离为d ,则S △ABP =12AB·d =12AB·AF =5,∴d =2,∴点P 的纵坐标只能是0或4,令y=0,得y =12x 2-32x =0,解得x =0或x =3,∴符合条件的点P 1(0,0),P 2(3,0),令y =4,得12x 2-32x =4,解得x =3±412,∴符合条件的点P 3(3-412,4),P 4(3+412,4),∴综上可得,符合题意的点有四个:P 1(0,0),P 2(3,0),P 3(3-412,4),P 4(3+412,4)10.(导学号 30042167)(2009·陕西)如图,一条抛物线经过原点,且顶点B 的坐标(1,-1).(1)求这个抛物线的解析式;(2)设该抛物线与x 轴正半轴的交点为A ,求证:△OBA 为等腰直角三角形;(3)设该抛物线的对称轴与x 轴的交点为C ,请你在抛物线位于x 轴上方的图象上求两点E ,F ,使△ECF 为等腰直角三角形,且∠ECF=90°.解:(1)由题意,设抛物线的解析式为y =a (x -1)2-1,则0=a (0-1)2-1,∴a =1,∴y =(x -1)2-1,即y =x 2-2x (2)证明:当y =0时,x 2-2x =0,解得x =0或x =2,∴A (2,0),又B (1,-1),O (0,0),∴OB 2=2,AB 2=2,OA 2=4,∴OB 2+AB 2=OA 2,∴∠OBA =90°,且OB =BA ,∴△OBA 为等腰直角三角形(3)如图,过点C 作CE∥BO ,CF ∥AB ,分别交抛物线于点E ,F ,连接EF ,过点F 作FD⊥x 轴于点D ,则∠ECF =90°,EC =CF ,FD =CD ,∴△ECF 为等腰直角三角形,令FD =m >0,则CD =m ,OD =1+m ,∴F (1+m ,m ),∴m =(1+m )2-2(1+m ),即m 2-m -1=0,解得m =1±52,∵m >0,∴m =1+52,∴F (3+52,1+52),∵点E ,F 关于直线x =1对称,∴E 的坐标为(1-52,1+52)11.(导学号 30042168)(2015·陕西模拟)如图,在平面直角坐标系中,已知点A 的坐标为(2,4),直线x =2与x 轴相交于点B ,连接OA ,抛物线y =x 2从点O 沿OA 方向平移,与直线x =2交于点P ,顶点M 到A 点时停止移动.(1)求线段OA 所在直线的函数解析式;(2)设抛物线顶点M 的横坐标为m ,①用关于m 的代数式表示点P 的坐标;②当m 为何值时,线段PB 最短;解:(1)设OA所在直线的函数解析式为y=kx,∵A(2,4),∴2k=4,∴k=2,∴OA 所在直线的函数解析式为y=2x(2)①∵顶点M的横坐标为m,且在线段OA上移动,∴y =2m(0≤m≤2),∴顶点M的坐标为(m,2m),∴抛物线函数解析式为y=(x-m)2+2m,∴当x=2时,y=(2-m)2+2m=m2-2m+4(0≤m≤2),∴点P的坐标是(2,m2-2m+4).②∵PB =m2-2m+4=(m-1)2+3,又∵0≤m≤2,∴当m=1时,PB最短。
2017河北中考数学《3.1函数及其图象》教材知识梳理
第三章函数及其图象第一节函数及其图象河北8年中考命题规律)年份题号考查点考查内容分值总分201316 函数图象的判断以梯形边上的动点为背景,判断符合时间与面积关系的函数图象3 3201111 函数图象的判断以矩形截取圆柱为背景,判断符合矩形长与宽的函数图象3 320109 函数图象的判断以轮船往返于甲乙两地为背景,判断行驶时间与路程关系的函数图象2 2命题规律纵观河北8年中考,只有三年考查了函数及其图象的内容,并且以选择题的题型出现,其中与实际问题结合的函数图象考查了1次,分值2分;与几何图形结合的图象考查了2次,其中与动点结合考查1次,与一般的几何图形结合考查了1次,分值3分.命题预测预计2017年河北中考,本课时的重点考查对象为函数图象的判断,可能会与其他知识结合,特别是与几何图形相结合的图象,题型以选择题为主.河北8年中考真题及模拟)与实际问题结合的函数图象(1次)1.(2010河北9题2分)一艘轮船在同一航线上往返于甲、乙两地.已知轮船在静水中的速度为15 km/h,水流速度为5 km/h.轮船先从甲地顺水航行到乙地,在乙地停留一段时间后,又从乙地逆水航行返回到甲地.设轮船从甲地出发后所用时间为t(h),航行的路程为s(m),则s与t的函数图象大致是(C),A),B),C),D)与几何图形结合的函数图象(2次)2.(2011河北11题3分)如图,在矩形中截取两个相同的圆作为圆柱的上、下底面,剩余的矩形作为圆柱的侧面,刚好能组合成圆柱.设矩形的长和宽分别为y和x,则y与x的函数图象大致是(A),A) ,B),C ) ,D )3.(2013河北16题3分)如图,在梯形ABCD 中,AB ∥DC ,DE ⊥AB ,CF ⊥AB ,且AE =EF =FB =5,DE =12,动点P 从点A 出发,沿折线AD —DC —CB 以每秒1个单位长的速度运动到点B 停止.设运动时间为t s ,y =S △EPF ,则y 与t 的函数图象大致是( A ),A ) ,B ) ,C ) ,D )4.(2016河北石家庄四十三中二模)小丽从家开车出发前去观看某比赛活动,途中发现忘了带门票,于是打电话让妈妈马上从家里送来,同时小丽也往回开,遇到妈妈后聊了一会儿,接着继续开车往比赛现场.设小丽从家出发后所用时间为t ,小丽与比赛现场的距离为s.下面能反映s 与t 的函数关系的大致图象是( B ),A ) ,B ) ,C ) ,D )5.(2016沧州八中一模)某栏目的一名记者乘汽车赴360 km 外的农村采访,全程的前一部分为高速公路,后一部分为乡村公路.若汽车在高速公路和乡村公路上分别以某一速度匀速行驶,汽车行驶的路程y(km )与时间x(h )之间的关系如图所示,则下列结论正确的是( C )A .汽车在高速公路上的行驶速度为100 km /hB .乡村公路总长为90 kmC .汽车在乡村公路上的行驶速度为60 km /hD .该记者在出发后4.5 h 到达采访地6.(2016石家庄二十八中一模)在平面直角坐标系中点P(-a 2-1,2),在( B ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限7.(2015石家庄二模)如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AB =5 cm ,BC =3 cm ,动点P 从点A 出发,以每秒1 cm 的速度,沿A →B →C 的方向运动,到达点C 时停止.若设y =PC 2,运动时间为t s ,则能反映y 与t 之间函数关系的图象大致是( A ),A ) ,B ),C ) ,D )8.(2016河北石家庄二十八中一模)点P(2,3)关于x 轴的对称点的坐标为__(2,-3)__.9.(2016承德一模)函数y =21-x +1x中,自变量x 的取值范围是__x<1且x ≠0__.10.(2016保定十七中二模)小明从家跑步到学校,接着马上原路步行回家.如图是小明离家的路程y(m )与时间t(min )的函数图象,则小明回家的速度是__80__m /min .11.(2016保定十七中二模)在△ABC 中,点P 从B 点开始出发向C 点运动,在运动过程中,设线段AP 的长为y ,线段BP 的长为x[如图(1)],y 关于x 的函数图象如图(2)所示.Q(1,3)是函数图象上的最低点.请仔细观察图(1),图(2),解答下列问题:(1)请直接写出AB 边的长和BC 边上的高AH 的长; (2)求∠B 的度数;(3)若△ABP 为钝角三角形,求x 的取值范围.解:(1)由图(1)及Q(1,3)是函数图象的最低点,知AH =3,BH =1,∴AB =AH 2+BH 2=2;(2)当点P 运动到点H 时,此时BH =1,AH =3,在Rt △ABH 中,AH =3,BH =1,tan B =3,故∠B =60°;(3)①当∠APB 为钝角时,此时可得0<x<1;②如图:过点A 作AP ⊥AB ,则BP =ABcos B=4, 由题意,知BC =6.即当4<x ≤6时,∠BAP 为钝角.综上,可得0<x<1或4<x ≤6时,△ABP 为钝角三角形.,中考考点清单)平面直角坐标系及点的坐标1.有序实数对:坐标平面上任意一点都可以用唯一一对有序实数来表示;反过来,任意一对有序实数都可以表示坐标平面上唯一一个点.【方法技巧】一般地,点P(a ,b)到x 轴的距离为|b|;到y 轴的距离为|a|;到原点的距离为a 2+b 2.2.平面直角坐标系中点的坐标特征各象限点的坐标的符号特征第一象限(+,+);第二象限①__(-,+)__;第三象限(-,-);第四象限②__(+,-)__坐标轴上点的坐标特征 x 轴上的点的纵坐标为③__0__,y 轴上的点的横坐标为0,原点的坐标为(0,0)各象限角平分线上点的坐标特征第一、三象限角平分线上的横、纵坐标相等;第二、四象限角平分线上的横、纵坐标④__互为相反数__ 对称点的坐标特征点P(a ,b)关于x 轴对称的点的坐标为(a ,-b);点P(a ,b)关于y 轴对称的点的坐标为⑤__(-a ,b)__;点P(a ,b)关于原点对称的点的坐标为P′(-a ,-b) 平移点的坐标特征将点P(x ,y)向右或向左平移a 个单位,得到对应点的坐标P′是(x +a ,y)或(x -a ,y);将点P(x ,y)向上或向下平移b 个单位,得到对应点的坐标P′是(x ,y +b)或(x ,y -b);将点P(x ,y)向右或向左平移a 个单位,再向上或向下平移b 个单位,得到对应点P′是⑥__(x +a ,y +b)或(x -a ,y -b)__,简记为:左减右加,上加下减函数的相关概念3.变量:在一个变化过程中,可以取不同数值的量叫做变量. 4.常量:在一个变化过程中,数值保持不变的量叫做常量.5.函数:一般地,在某个变化过程中,有两个变量x 和y.如果给定x 的一个值,就能相应地确定y 的一个值,那么,我们就说y 是x 的函数.其中,x 叫做自变量.函数自变量的取值范围6.解析式 取值范围 整式型 取全体实数 分式型,如y =ax分母不为0,即x ≠0 根式型,如y =x 被开方数大于等于0,即x ≥0分式+根式型,如y =ax同时满足两个条件:①被开方数大于等于0即x ≥0;②分母不为0,即x ≠0函数的表示方法及其图象(河北中考10,11,13年考查了本考点)函数图象的判断近8年共考查3次,题型都为选择题,出题背景有:(1)与实际问题结合;(2)与几何图形结合;(3)与几何图形中的动点问题结合,设问方式均为“判断函数图象大致是”.7.表示方法:数值表、图象、解析式是函数关系的三种不同表达形式,它们分别表现出具体、形象直观和便于抽象应用的特点.8.图象的画法:知道函数的解析式,一般用描点法按下列步骤画出函数的图象.(1)取值.根据函数的解析式,取自变量的一些值,得出函数的对应值,按这些对应值列表;(2)画点.根据自变量和函数的数值表,在直角坐标系中描点;(3)连线.用平滑的曲线将这些点连接起来,即得函数的图象.9.已知函数解析式,判断点P(x,y)是否在函数图象上的方法:若点P(x,y)的坐标适合函数解析式,则点P(x,y)在其图象上;若点P(x,y)的坐标不适合函数解析式,则点P(x,y)不在其图象上.【方法技巧】判断符合题意的函数图象的方法(1)与实际问题结合:判断符合实际问题的函数图象时,需遵循以下几点:①找起点:结合题干中所给自变量及因变量的取值范围,对应到图象中找相对应点;②找特殊点:即指交点或转折点,说明图象在此点处将发生变化;③判断图象趋势:判断出函数的增减性;④看是否与坐标轴相交:即此时另外一个量为0.(2)与几何图形(含动点)结合:以几何图形为背景判断函数图象的题目,一般的解题思路为设时间为t,找因变量与t之间存在的函数关系,用含t的式子表示,再找相对应的函数图象,要注意的是是否需要分类讨论自变量的取值范围.(3)分析函数图象判断结论正误分清图象的横纵坐标代表的量及函数中自变量的取值范围,同时也要注意:①分段函数要分段讨论;②转折点:判断函数图象的倾斜方向或增减性发生变化的关键点;③平行线:函数值随自变量的增大而保持不变.再结合题干推导出实际问题的运动过程,从而判断结论的正误.中考重难点突破)平面直角坐标系中点的坐标特征【例1】(2016白银中考)已知点P(0,m)在y轴的负半轴上,则点M(-m,-m+1)在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】由坐标轴上点的坐标特征确定m的取值范围,再判断点M的坐标符号,从而判断点M在第几象限.【学生解答】A1.(2016重庆中考)在平面直角坐标系中,若点P的坐标为(-3,2),则点P所在的象限是(B)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限函数自变量的取值范围【例2】(2016内江中考)在函数y=x-3x-4中,自变量x的取值范围是()A.x>3 B.x≥3C .x>4D .x ≥3且x ≠4 【学生解答】D2.(2016保定二模)函数y =x +1+2x中,自变量x 的取值范围是__x ≥-1且x ≠0__.函数图象的判断【例3】(2016营口中考)如图,在矩形ABCD 中,AB =2,AD =3,点E 是BC 边上靠近点B 的三等分点,动点P 从点A 出发,沿路径A →D →C →E 运动,则△APE 的面积y 与点P 经过的路径长x 之间的函数关系用图象表示大致是( ),A ) ,B ) ,C ) ,D )【解析】∵在矩形ABCD 中,AB =2,AD =3,∴CD =AB =2,BC =AD =3,∵点E 是BC 边上靠近点B 的三等分点,∴CE =23×3=2.①点P 在AD 上时,△APE 的面积y =12x ·2=x(0≤x ≤3);②点P 在CD 上时,S △APE =S四边形AECD -S △ADP -S △CEP =12×(2+3)×2-12×3×(x -3)-12×2×(3+2-x)=5-32x +92-5+x =-12x +92,所以y =-12x +92(3<x ≤5);③点P 在CE 上时,S △APE =12×(3+2+2-x)×2=-x +7,所以y =-x +7(5<x ≤7),纵观各选项,只有A 选项图形符合. 【学生解答】A【方法指导】根据动点P 的运动路径A →D →C →E 可得,在计算△APE 的面积时应该分为3种情况,①当P 在AD 上时;②当P 在DC 上时;③当P 在CE 上时,分别计算出即可.要注意转折点有x =3时和x =5时.3.(2016白银中考)如图,△ABC 是等腰直角三角形,∠A =90°,BC =4,点P 是△ABC 边上一动点,沿B →A →C 的路径移动,过点P 作PD ⊥BC 于点D ,设BD =x ,△BDP 的面积为y ,则下列能大致反映y 与x 函数关系的图象是( B ),A ) ,B ),C ),D ),中考备考方略)1.(2016襄阳中考)如图,是一台自动测温仪记录的图象,它反映了我市冬季某天气温T 随时间t 变化而变化的关系,观察图象得到下列信息,其中错误的是( C )A .凌晨4 h 气温最低为-3℃B .14 h 气温最高为8℃C .从0 h 至14 h ,气温随时间增长而上升D .从14 h 至24 h ,气温随时间增长而下降2.(2016石家庄四十二中模拟)在平面直角坐标系中,点P(-3,2)关于直线y =x 对称点的坐标是( C ) A .(-3,-2) B .(3,2) C .(2,-3) D .(3,-2)3.(2016福州中考)平面直角坐标系中,已知▱ABCD 的三个顶点坐标分别是A(m ,n),B(2,-1),C(-m ,-n),则点D 的坐标是( A )A .(-2,1)B .(-2,-1)C .(-1,-2)D .(-1,2)4.(2016烟台中考)如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形,且相似比为13,点A ,B ,E 在x 轴上,若正方形BEFG 的边长为6,则C 点坐标为( A )A .(3,2)B .(3,1)C .(2,2)D .(4,2)5.(2016济宁中考)匀速地向一个容器内注水,最后把容器注满.在注水过程中,水面高度h 随时间t 的变化规律如图所示(图中OABC 为一折线).这个容器的形状是下图中哪一个( C ),A ) ,B ),C ) ,D ) 6.(2016齐齐哈尔中考)在函数y =3x +1x -2中,自变量x 的取值范围是__x ≥-13且x ≠2__.7.(2016莆田中考)甲车从A 地驶往B 地,同时乙车从B 地驶往A 地,两车相向而行,匀速行驶.甲车距B 地的距离y(km )与行驶时间x(h )的函数关系如图所示,乙车的速度是60 km /h .(1)求甲车的速度;(2)当甲乙两车相遇后,乙车速度变为a(km /h ),并保持匀速行驶,甲车速度保持不变,结果乙车比甲车晚38 min 到达终点,求a 的值.解:(1)V 甲=280-1202=80(km /h ).(2)相遇时间为28080+60=2(h ).依题意得60×280+3860=80×2a,解得a =75.经检验:a =75是原分式方程的解.8.(2016自贡中考)小刚以400 m /min 的速度匀速骑车5 min ,在原地休息了6 min ,然后以500 m /min 的速度骑回出发地.下列函数图象能表达这一过程的是( C ),A ) ,B ),C ) ,D )9.(2016龙东中考)如图,直角边长为1的等腰直角三角形与边长为2的正方形在同一水平线上,三角形沿水平方向从左向右匀速穿过正方形.设穿过时间为t ,正方形与三角形不重合部分的面积为S(阴影部分),则S 与t 的大致图象为( A ),A ) ,B ),C ) ,D )10.(2016重庆中考)为了增强学生体质,某中学在体育课中加强了学生的长跑训练.在一次女子800 m 耐力测试中,小静和小茜在校园内200 m 的环形跑道上同时起跑,同时到达终点,所跑的路程s(m )与所用的时间t(s )之间的函数图象如图所示,则她们第一次相遇的时间是起跑后的第__120__s .11.(2016绍兴中考)小敏上午8:00从家里出发,骑车去一家超市购物,然后从这家超市返回家中.小敏离家的路程y(m )和所经过的时间x(min )之间的函数图象如图所示.请根据图象回答下列问题.(1)小敏去超市途中的速度是多少?在超市逗留了多长时间? (2)小敏几点几分返回到家?解:(1)小敏去超市途中的速度是3 000÷10=300(m /min );在超市逗留的时间为40-10=30(min ); (2)返回家途中的速度为(3 000-2 000)÷(45-40)=200(m /min ), ∴回家所用时间为3 000÷200=15(min ). ∴小敏从出发到回家共用40+15=55(min ). ∴小敏8点55分返回到家.12.(2016南宁中考)在一条笔直的公路上有A ,B 两地,甲骑自行车从A 地到B 地,乙骑自行车从B 地到A 地,到达A 地后立即按原路返回,下图是甲、乙两人离B 地的距离y(km )与行驶时间x(h )之间的函数图象,根据图象解答以下问题:(1)写出A ,B 两地之间的距离.(2)求出点M 的坐标,并解释该点坐标所表示的实际意义.(3)若两人之间保持的距离不超过3 km 时,能够用无线对讲机保持联系,请直接写出甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系时x 的取值范围.解:(1)x =0时,甲距离B 地30 km ,∴A ,B 两地的距离为30 km . (2)由图,可知甲的速度为30÷2=15(km /h ),乙的速度为30÷1=30(km /h ),30÷(15+30)=23(h ),23×30=20(km ),∴点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫23,20,表示23h 后两人相遇,此时两人距离B 地20 km . (3)设x h 时,甲、乙两人相距3 km ,①若是相遇前,则15x +30x =30-3,解得x =35;②若是相遇后,则15x +30x =30+3,解得x =1115;③若是到达B 地前,则15x -30(x -1)=3,解得x =95,所以当35≤x ≤115或95≤x ≤2时,甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系.。
【聚焦中考】2017版中考数学(甘肃地区) 复习资料第10讲 函数与及其图象
• 第三级
• 第四级 • 第五级
分析判断函数的图象
【例 2】 (2015· 十堰)如图, 一只蚂蚁从 O 点出发, 沿着扇形 OAB
的边缘匀速爬行一周,当蚂蚁运动的时间为 t 时,蚂蚁与 O 点的距离
s,则 s 关于 t 的函数图象大致是( B ) •为 第二级
A 【点评】
单击此处编辑母版标题样式 5.(2016· 甘肃)如图,△ABC 是等腰直角三角形,∠A=90° ,BC
=4,点 P 是△ABC 边上一动点,沿 B→A→C 的路径移动,过点 P 作 • 单击此处编辑母版文本样式 •⊥ 第二级 PD BC 于点 D,设 BD=x,△BDP 的面积为 y,则下列能大致反映
单击此处编辑母版标题样式 试题 周末, 小明骑自行车从家里出发到野外郊游. 从家出发 0.5
小时后到达甲地,游玩一段时间后按原速前往乙地.小明离家 1 小时 20 分钟后,妈妈驾车沿相同路线前往乙地,如图是他们离家的路程 • 单击此处编辑母版文本样式 y(km)与小明离家时间 x(h)的函数图象. 已知妈妈驾车的速度是小明骑 • 第三级 车速度的• 3第四级 倍.
•段 单击此处编辑母版文本样式 BO,OA 匀速运动到点 A,则 OP 的长度 y 与运动时间 t 之间的函
• 第二级
• 第三级 ( D ) 数图象大致是
• 第四级 • 第五级
单击此处编辑母版标题样式
• 单击此处编辑母版文本样式
• 第三级
4.(2014· 兰州)如图,在平面直角坐标系中,四边形 OBCD 是边
• 第二级 横坐标为 x,点 C 的纵坐标为 y,能表达 y 与 x 的函数关系的图象大 • 第三级
致是(
• 第四级 A )• 第五级
2017数学中考总复习第三章--函数及其图像.docx
第三章函数及其图像课时 11.平面直角坐标系与函数的概念【考点链接】1.坐标平面内的点与 ______________ 一一对应.2.根据点所在位置填表(图)点的位置横坐标符号纵坐标符号第一象限第二象限第三象限第四象限3.x 轴上的点______坐标为0,y 轴上的点______坐标为0.4.各象限角平分线上的点的坐标特征⑴第一、三象限角平分线上的点,横、纵坐标。
⑵第二、四象限角平分线上的点,横、纵坐标。
5.P(x,y)关于x轴对称的点坐标为__________,关于y轴对称的点坐标为________,关于原点对称的点坐标为 ___________.以上特征可归纳为:⑴关于 x 轴对称的两点:横坐标相同,纵坐标;⑵关于 y 轴对称的两点:横坐标,纵坐标相同;⑶关于原点对称的两点:横、纵坐标均。
6.描点法画函数图象的一般步骤是__________、 __________ 、 __________ .7.函数的三种表示方法分别是 __________ 、__________ 、__________ .8.求函数自变量的取值范围时,首先要考虑自变量的取值必须使解析式有意义。
⑴自变量以整式形式出现,它的取值范围是;⑵自变量以分式形式出现,它的取值范围是;⑶自变量以根式形式出现,它的取值范围是;例如: y x 有意义,则自变量x 的取值范围是.y 1x 的取值范围是。
有意义,则自变量x【河北中考试题】的顶点上,且它们的各边与正方形ABCD 各边平行或垂直.若小正方形的边长为x ,且0x ≤ 10 ,阴影部分的面积为y ,则能反映y 与x之间函数关系的大致图象是()xD y y y yA100100100100B C O10x x xO x图 4O10O 5 1010 A . B .C. D .2.( 2009 年, 2分)如图 6 所示的计算程序中,y 与 x 之间的函数关系输入 x 所对应的图象应为()y y y4-2O x- 2 O x O 2x- 4- 4取相反数y4×2 O 2x+4输出 yA B C D图 63.( 2010 年, 2 分)一艘轮船在同一航线上往返于甲、乙两地.已知轮船在静水中的速度为15 km/h,水流速度为 5 km /h.轮船先从甲地顺水航行到乙地,在乙地停留一段时间后,又从乙地逆水航行返回到甲地.设轮船从甲地出发后所用时间为t( h),航行的路程为s( km),则 s 与 t 的函数图象大致是()s s s sO t O t O t O tA B C D11.(2011)如图4,在长形中截取两个相同的圆作为圆柱的上、下底面,剩余的矩形作为圆住的侧面,刚好能组合成圆住.设矩形的长和宽分别为y 和 x,则 y 与 x 的函数图象大致是16.如图 9,梯形 ABCD中, AB∥ DC,DE⊥AB,CF⊥AB,且 AE = EF = FB = 5,DE = 12动点 P 从点 A 出发,沿折线 AD-DC-CB 以每秒 1 个单位长的速度运动到点 B 停止 . 设运动时间为 t 秒, y = S△EPF,则 y 与 t 的函数图象大致是课时 12.一次函数【考点链接】1.正比例函数的一般形式是__________ .一次函数的一般形式是__________________.2.一次函数 y kx b 的图象是经过和两点的一条.3.求一次函数的解析式的方法是,其基本步骤是:⑴;⑵;⑶;⑷.4.一次函数 y kx b 的图象与性质k、b 的符号k> 0b> 0k>0 b < 0k< 0 b > 0k< 0b< 0图像的大致位置经过象限第象限第象限第象限第象限性质y 随 x 的增大y 随 x的增大y 随 x 的增大y 随 x 的增大而而而而5.一次函数 y kx b 的性质k> 0直线上升y 随 x 的增大而;【河北中考试题】1. 2008 8 11l 1的解析表达式为y3x 3,且 l 1 与 x 轴交于点 D ,直线 l 2经过点 A , B ,( 年, 分)如图 ,直线直线l 1 , l 2 交于点 C .y( 1)求点 D 的坐标;l 1l 2( 2)求直线 l 2 的解析表达式;D 3( 3)求 △ ADC 的面积;Ox3A ( 4, 0)( 4)在直线 l 2 上存在异于点 C 的另一点 P ,使得2BC△ ADP 与 △ ADC 的面积相等,请直接写出点 P 的坐标. ..图 112.( 2009 年, 12 分) 某公司装修需用 A 型板材 240 块、 B 型板材 180 块, A 型板材规格是 60 cm ×30 cm ,B 型板材规格是 40 cm ×30 cm .现只能购得规格是 150 cm ×30 cm 的标准板材. 一张标准板材尽可能多地裁出 A 型、 B 型板材,共有下列三种裁法: (图 15 是裁法一的裁剪示意图)裁法一裁法二裁法三A 型板材块数120B 型板材块数2m n设所购的标准板材全部裁完,其中按裁法一裁x 张、按裁法二裁y张、按裁法三裁z 张,且所裁出的 A 、B 两种型号的板材刚好够用.( 1)上表中, m =,n =;( 2)分别求出y 与 x 和 z 与 x 的函数关系式;( 3)若用 Q 表示所购标准板材的张数,求Q 与 x 的函数关系式,并指出当 x 取何值时 Q 最小,此时按三种裁法各裁标准板材多少张?5.(2011)一次函数y=6x+ 1 的图象不经过...A.第一象限B.第二象限C.第三象限 D .第四象限24.( 2011)(本小题满分9 分)已知 A、B 两地的路程为240 千米,某经销商每天都要用汽车或火车将x 吨保鲜品一次性由 A 地运往 B 地,受各种因素限制,下一周只能采用汽车和火车中的一种进行运输,且须提前预订.现在有货运收费项目及收费标准表,行驶路程S(千米)与行驶时间t(时)的函数图象(如图13中①),上周货运量折线统计图(如图13 中②)等信息如下:货运收费项目及收费标准表运输工具运输费单价冷藏单价固定费用元 /(吨 ?千米)元/(吨?时)元/次汽车25200火车 1.652280⑴汽车的速度为__________千米 /时,火车的速度为_________ 千米 /时;设每天用汽车和火车运输的总费用分别为y 汽(元)和 y 火(元),分别求 y 汽、y 火与 x 的函数关系式(不必写出x 的取值范围)及x 为何值时 y 汽>y 火;(总费用 =运输费+冷藏费+固定费用)⑶请你从平均数、折线图走势两个角度分析,建议该经销商应提前下周预定哪种运输工具,才能使每天的运输总费用较省?26.(本小题满分 14 分)一透明的敞口正方体容器 ABCD - A′B′C′装D′有一些液体,棱 AB始终在水平桌面上,容器底部的倾斜角为(∠ CBE = α,如图 17-1所示).探究如图 17-1,液面刚好过棱 CD,并与棱 BB′交于点Q,此时液体的形状为直三棱柱,其三视图及尺寸如图 17-2 所示.解决问题:(1)CQ与BE的位置关系是 ___________,BQ的长是 ____________dm;(2)求液体的体积;(参考算法:直棱柱体积 V液 =底面积 SBCQ×高 AB)33( 3)求α的度数 .( 注: sin49 °= cos41°=4, tan37°=4)拓展在图 17-1 的基础上,以棱AB 为轴将容器向左或向右旋转,但不能使液体溢出,图 17-3 或图 17-4 是其正面示意图 . 若液面与棱 C′C或 CB交于点 P,设 PC = x,BQ = y. 分别就图 17-3 和图 17-4 求 y 与x的函数关系式,并写出相应的α的范围 .延伸在图 17-4 的基础上,于容器底部正中间位置,嵌入一平行于侧面的长方形隔板(厚度忽略不计),得到图 17-5,隔板高 NM = 1 dm, BM = CM,NM⊥BC. 继续向右缓慢旋转,当α= 60 °时,通过计算,判断溢出容器的液体能否达到 4 dm3.6、( 2014)如图,直线 l 经过第二,三,四象限,l 的解析式是y=( m-2) x+n,则 m 的取值范围则数轴上表示为()A BDC26.( 2014)(本小题满分 13 分)某景区的环形路是边长为800 米的正方形 ABCD ,如图,现有 1 号, 2 号两游览车分别从出口 A 和经典 C 同时出发, 1 号车顺时针, 2 号车逆时针沿环形路连续循环行驶,供游客随时乘车(上,下车的时间忽略不计),两车的速度均为200 米 /分。
2017版《聚焦中考》中考数学考点聚焦(人教版,课件 考点跟踪):
涂有阴影的小正方形的个数.
【解析】
序数 1 5 2 9 3 13 … n … 5+4(n-1) =4n+1
涂阴影的小 正方形个数
图形之间的 变化规律
…
5
5+4×1
5+4×2
…
【答案】 4n+1
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满分技法
解答图形累加规律探索的方法: 第一步,写序号:记每组图形的序数为“1,2,3,…,n”
一种符号,如果是交替出现的可用(-1)n或(-1)n-1表示数字
的符号,最后把数字规律和符号规律结合起来从而得到 结果;
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(2)当数字是分数和整数结合的时候,先把这组数据 的所有整数写成分数,然后分别推断出分子和分母的数
字规律(其方法同(1)),从而得出分子和分母的规
第二步,数图形个数:在图形数量变化时,要记出每组图
形的表示个数; 第三步,寻找图形数量与序数n的关系:针对寻找第n个图 形表示的数量时,先将后一个图形的表示个数与前一个图 然后按照定量变化推导出具体某个图形的个数; 第四步,验证:代入序号验证所归纳的式子是否正确.
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序数(1,2,3,4,…,n)之间的关系,把其蕴含的规 律用含序数的式子表示出来.通常方法是将式子进行拆分, 观察式子中数字与序数是否存在倍数或者乘方的关系; 第三步:根据找出的规律得出第n个等式,并进行检验.
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类型二 图形规律 一、图形累加规律探索
典例精讲
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满分技法
数式规律探索主要有以下3类:
1.数字规律探索:
(1)当所给的一组数是整数时,先观察这组数字是自然 数列、正整数列、奇数列、偶数列还是正整数数列经过 平方、平方加1或减1等运算后的数列,然后再看这组数 字的符号,判断数字符号的正负是交替出现还是只出现
2017中考数学函数及其图象总复习.doc
中考数学函数及其图象总复习教材教法分析海淀区教师进修学校方菁二、学习的章节第17章函数及其图象,第26章二次函数三、复习的依据以《课程标准》为纲,华东师范大学教材、海淀区中考说明为本,海淀教师进修复习指导为依据,抓好三基(基础知识、基本技能、基本能力)、重点内容的落实.注意《课程标准》与《教学大纲》的相同要求与不同点 降低要求之处:1. 对《距离》只要求点到坐标轴的距离及同一坐标轴上两点间的距离公式(不能转化为一元二次方程根系关系),不在同一数轴上两点间的距离公式不要求, (可用勾股定理转化为几何问题).2. 二次函数交点式不要求.3. 用待定系数法求函数解析式时,回避三元一次方程组,二元二次方程组,回避一元二次方程根与系数的关系.提高要求之处:1. 移动. 例9,例10,例18,例42,例43,例44 【图形的移动转化为点的移动】例10 ★★ (海口市课改实验区2004) (1)请在如图所示的方格纸中,将△ABC 向上平移3格,再向右平移6格,得△111C B A ,再将△111C B A 绕点1B 按顺时针方向旋转 90,得 △212C B A ,最后将△212C B A 以点2C 为位似中心放大到2倍,得△233C B A ;(2)请在方格纸的适当位置画上坐标轴(一个小正方形的边长为1个单位长度),在你所建立的直角坐标系中,点C 、1C 、2C 的坐标分别为:点C(_____)、点1C (_____)、 点2C (_____).2. 估算 利用函数图象交点求近似值,预测. 例17,例32(2)例17 新课程标准P36 例11(1)在同一个直角坐标系中画出上面两个函数的图象,比较它们有什么不同;(2)当x 从1开始增大时,预测哪一个函数的值先到达100.3. 直角坐标系坐标轴的选取,图形变换. 例104. 应用. 多道例题5. 直线与几何的结合(比例、勾股、面积等等).例25,例31,例44,例47,例49,例50,例51,例52 等等6. 解题方法成为重点多道例题四、教材教法分析(一)对直角坐标系的理解【数形结合】【知识要点】1. 特殊位置的点的坐标特点各象限内的点, 坐标轴上的点例1,例2,例3,例4【点所在区域决定点坐标的正、负、零, 点到轴的距离决定点坐标的绝对值】公式:点到x轴的距离= | y |点到y轴的距离= | x |(垂线段的长) = (点坐标的绝对值)几何(线段)函数(坐标)【转化为线段长用几何知识;转化为点的坐标用函数知识】例25象限角平分线上的点【利用坐标间的数量关系构造方程】例5,例7(2)第1、3象限角平分线上的点(x、y x = y第2、4象限角平分线上的点(x、y x = - y2. 例6(1)对称性(2)平行【利用坐标间的数量关系构造方程】【基本题型,基本方法】1.已知点的坐标★会求点到坐标轴的距离,会求同一坐标轴上两点间的距离.会求两坐标轴上两点间的距离, 会求点到原点的距离,会求仅有一点在坐标轴上的两点间的距离(用勾股定理)★由已知点的坐标求有关对称点的坐标例6★求图形变换后点的坐标,会用点的坐标刻化点的移动. 例102. 画点的坐标:(略)3. 求点的坐标:(1)定域定量法:例7(1)(2)构造方程法:例5,例7(2)(3)图象交点法:(4)观察图象法(含估算)1)观察点的坐标:例16,例28(2),例38等等2)观察已知点有关对称点的坐标:例63)观察函数图象与坐标轴交点的坐标:例16(1),例38,例394)观察两个函数图象交点的坐标:例32(2)5)观察点的坐标,求函数解析式:例28(2)(二)对函数有关概念的理解【知识要点】1. 函数定义2. 函数的图象【基本题型,基本方法】1. 函数自变量取值范围(1)解析式(使解析式有意义)例11,(2)图象(图象端点向x 轴引垂线,由垂足对应的数看x 的取值范围)例16(1)★★(3)列表(表中自变量取值)★★(4)应用(使实际问题有意义)2. 函数值(实质是求代数式的值):例12(1)3. 已知函数值,求自变量取值(实质是解方程):例12(2)4. 会画函数图象:例17会画直角坐标系(三要素:方向、原点、单位长度)会画函数图象:一列表(不能取到的值加括号)二描点(注意实心点与空心点)三连线(注意直线、射线、线段的区别;曲线、曲线段的区别)四标解析式(含自变量取值范围)5. 会求函数图象上的特殊点的坐标:(并到三类函数)(1)求与y 轴的交点坐标,( 0, c ) (看出来的)(2)求与x 轴的交点坐标,(算出来的)1)( x1,0 ),( x2,0 ) 令y = 0 解方程解出来的,(Δ≥ 0)2)已知( x1,0 )及对称轴,由对称性得( x2,0 ) (推出来的)(三)对三类函数的理解(数形结合)一次函数【基本题型,基本方法】1. 一次函数的解析式与它图象上的点【用方程思想】1)求函数解析式例15(1)(3)(4)(6)【将点的坐标代入解析式,是构造关于―系数‖方程的主要方法】【转化点的坐标是求函数解析式的重要方法】求函数解析式的步骤:一设(优选函数解析式,尽量用概念定系数,使待定的系数越少越好)二构(将点的坐标代入解析式,构造待定系数的方程或方程组,)(用已知等量关系或几何条件,构造待定系数的方程或方程组)三解(解方程或方程组)四回代(将解出来的系数代入所设的函数解析式)例15(3)若一次函数图象过A (2, -1)和B两点,其中点B是另一条直线y =﹣12x + 3与y 轴的交点,求这个一次函数的解析式. (定b待k)2)求点的坐标例15(2)(4)(5)(6)(7)例15(7)已知y = 3x– 2 的图象经过点(a,b ),且a + b = 6,求a、b的值.2. 一次函数中的数形结合【用数形结合的思想】(依形判数,由数思形)看一次函数的图象一看与y 轴交点( 0, b ),定常数项b。
2017版《聚焦中考》中考数学(山西地区)总复习(课件+考点练习):第三章 函 数
6
2021/6/1
7
命题点:直角坐标系与点坐标 1.(2016·山西11题3分)如图是利用网格画出的太原市地铁1,2,3号线 路部分规划示意图.若建立适当的平面直角坐标系,表示双塔西街点的 坐标为(0,-1),表示桃园路的点的坐标为(-1,0),则表示太原火车站 的点(正好在网格点上)的坐标是_(_3_,__0_) . (导学号 02052167)
2021的/6/函1 数,自变量取值范围还应使实际问题有意义.
5
8.函数的表示方法及图象: (1)函数的三种表示方法:列表法;__图__象__法___;解析式法. (2)函数图象的画法: ①描点法画函数图象的步骤:列表、_描__点___、连线. ②画函数图象时应注意该函数的自变量的取值范围.
2021/6/1
2021/6/路的点的坐标为 (-1,0),∴桃园路与理工大学所在的直线为x轴,双塔西街与长风街所 在的直线为y轴,其交汇处为坐标原点,且正方形网格的每个小正方 形边长为1,∵太原火车站在x轴上,且距离原点3个单位长度,∴表示太 原火车站的点的坐标为(3,0)
12
[对应训练] 1.(2016·临夏州)已知点P(0,m)在y轴的负半轴上,则点M(-m,-m
+1)在( A ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
(导学号 02052168) 解析:∵点P(0,m)位于y轴负半轴,∴m<0,∴-m>0,-m+1>0, ∴点M(-m,-m+1)的横坐标和纵坐标都大于0,所以在第一象限.故
6.函数
一般地,设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个确定
的值,y都有_唯__一___确定的值与它对应,那么就说x是自变量,y是x的函
数.
7.函数自变量的取值范围
中考数学命题研究第一编教材知识梳理篇第三章函数及其
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中考数学命题研究 第一编 教材知识梳理篇 第三章 函数
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中考数学命题研究第一编教材知识梳理篇第三章函数及其图象第一节函数及其图象(精讲)课件
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考点跟踪突破12 反比例函数的图象和性质
一、选择题
1.(2016·兰州)反比例函数y =2
x
的图象在( B )
A .第一、二象限
B .第一、三象限
C .第二、三象限
D .第二、四象限
2.(2016·毕节)如图,点A 为反比例函数y =4
x 图象上一点,过A 作AB ⊥x 轴于点B ,
连接OA ,则△ABO 的面积为( D )
A .-4
B .4
C .-2
D .2
3.(2016·杭州)设函数y =k x (k ≠0,x >0)的图象如图所示,若z =1
y ,则z 关于x 的函
数图象可能为( C )
4.(2016·大庆)已知A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3)是反比例函数y =2
x 上的三点,
若x 1<x 2<x 3,y 2<y 1<y 3,则下列关系式不正确的是( A )
A .x 1·x 2<0
B .x 1·x 3<0
C .x 2·x 3<0
D .x 1+x 2<0
5.(2016·长春)如图,在平面直角坐标系中,点P(1,4),Q(m ,n)在函数y =k
x (x >0)
的图象上,当m >1时,过点P 分别作x 轴,y 轴的垂线,垂足为点A ,B ;过点Q 分别作x 轴,y 轴的垂线,垂足为点C ,D.QD 交PA 于点E ,随着m 的增大,四边形ACQE 的面积( B )
A .减小
B .增大
C .先减小后增大
D .先增大后减小
二、填空题
6.(2016·常德)已知反比例函数y =k
x 的图象在每一个象限内y 都随x 的增大而增大,
请写出一个符合条件的反比例函数解析式___y =-1
x
(答案不唯一)___.
7.(2016·山西)已知点(m -1,y 1),(m -3,y 2)是反比例函数y =m
x (m <0)图象上的两
点,则y 1__>__y 2.(填“>”或“=”或“<”)
8.(2016·烟台)如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC 的面积为12,点B 在y 轴上,点C 在反比例函数y =k
x
的图象上,则k 的值为__-6__.
,第8题图) ,第10题图)
9.(2016·呼和浩特)已知函数y =-1
x ,当自变量的取值为-1<x <0或x ≥2,函数值
y 的取值为__y >1或-1
2
≤y <0__.
10.(2016·内江)如图,点A 在双曲线y =5x 上,点B 在双曲线y =8
x 上,且AB ∥x 轴,
则△OAB 的面积等于 __3
2
__.
三、解答题
11.(导学号:01262099)(2016·泉州)已知反比例函数的图象经过点P(2,-3). (1)求该函数的解析式;
(2)若将点P 沿x 轴负方向平移3个单位,再沿y 轴方向平移n(n >0)个单位得到点P ′,使点P ′恰好在该函数的图象上,求n 的值和点P 沿y 轴平移的方向.
解:(1)设反比例函数的解析式为y =k
x ,∵图象经过点P(2,-3),∴k =2×(-3)=-
6,∴反比例函数的解析式为y =-6
x
(2)∵点P 沿x 轴负方向平移3个单位,∴点P ′的横坐标为2-3=-1,∴当x =-1时,y =-6
-1
=6,∴n =6-(-3)=9,∴点P 沿着y 轴平移的方向为正方向
12.(导学号:01262100)(2016·湖北)如图,直线y =ax +b 与反比例函数y =m
x (x >0)
的图象交于A(1,4),B(4,n)两点,与x 轴,y 轴分别交于C ,D 两点.
(1)m =__4__,n =__1__;若M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)是反比例函数图象上两点,且0<x 1
<x 2,则y 1__>__y 2(填“<”或“=”或“>”);
(2)若线段CD 上的点P 到x 轴,y 轴的距离相等,求点P 的坐标.
解:(1)4 1 >
(2)设过C ,D 点的直线解析式为y =kx +b ,∵直线CD 过点A(1,4),B(4,1)两点,∴
⎩⎪⎨⎪⎧4=k +b ,1=4k +b ,解得:⎩
⎪⎨⎪⎧k =-1,b =5,∴直线CD 的解析式为y =-x +5.设点P 的坐标为(t ,-t +5),∴|t|=|-t +5|,解得:t =52,∴点P 的坐标为(52,52
)
13.(导学号:01262101)(2016·舟山)如图,已知一次函数y 1=kx +b 的图象与反比例函数y 2=4
x 的图象交于点A(-4,m),且与y 轴交于点B ,第一象限内点C 在反比例函数y 2
=4
x
的图象上,且以点C 为圆心的圆与x 轴,y 轴分别相切于点D ,B. (1)求m 的值;
(2)求一次函数的表达式;
(3)根据图象,写出当y 1<y 2<0时,x 的取值范围.
解:(1)把点A(-4,m)的坐标代入y 2=4x ,则m =4
-4
=-1,得m =-1
(2)连接CB ,CD ,∵⊙C 与x 轴,y 轴相切于点D ,B ,∴∠CBO =∠CDO =90°=∠BOD ,BC =CD ,∴四边形BODC 是正方形,∴BO =OD =DC =CB ,∴设C(a ,a)代入y 2=4x 得:a 2
=4,
∵a >0,∴a =2,∴C(2,2),B(0,2),把A(-4,-1)和(0,2)的坐标代入y 1=kx +b 中,
得:⎩⎪⎨⎪⎧-4k +b =-1,b =2,解得:⎩⎪⎨⎪⎧k =34,b =2,
∴一次函数的表达式为:y 1=34x +2
(3)∵A(-4,-1),∴当y 1<y 2<0时,x 的取值范围是:x <-4
14.(导学号:01262019)(2016·兰州)如图,在平面直角坐标系中,OA ⊥OB ,AB ⊥x 轴
于点C ,点A(3,1)在反比例函数y =k
x
的图象上.
(1)求反比例函数y =k
x
的表达式;
(2)在x 轴的负半轴上存在一点P ,使得S △AOP =1
2
S △AOB ,求点P 的坐标;
(3)若将△BOA 绕点B 按逆时针方向旋转60°得到△BDE.直接写出点E 的坐标,并判断点E 是否在该反比例函数的图象上,说明理由.
解:(1)∵点A(3,1)在反比例函数y =k
x 的图象上,∴k =3×1=3,∴反比例函数
的表达式为y =
3x
(2)∵A(3,1),AB ⊥x 轴于点C ,∴OC =3,AC =1,由射影定理得OC 2
=AC ·BC ,可
得BC =3,B(3,-3),S △AOB =12×3×4=23,∴S △AOP =1
2S △AOB = 3.设点P 的坐标为(m ,
0),∴1
2×|m|×1=3,∴|m|=23,∵P 是x 轴的负半轴上的点,∴m =-23,∴点P
的坐标为(-23,0)
(3)点E 在该反比例函数的图象上.理由如下:∵OA ⊥OB ,OA =2,OB =23,AB =4,
∴sin ∠ABO =OA AB =24=1
2,∴∠ABO =30°,∵将△BOA 绕点B 按逆时针方向旋转60°得到△
BDE ,∴△BOA ≌△BDE ,∠OBD =60°,∴BO =BD =23,OA =DE =2,∠BOA =∠BDE =90°,∠ABD =30°+60°=90°,而BD -OC =3,BC -DE =1,∴E(-3,-1),∵-3×(-1)=3,∴点E 在该反比例函数的图象上。