人教版八年级下册数学二次根式PPT课件

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人教版八年级数学下册《二次根式的乘除》二次根式PPT精品课件

6
观察两者有什么关系？
4×9
36 6 ;
=_________
400 20 ;
16 × 25 =_________
900 30 .
25 × 36 = _________
知识讲解
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1)
4
(2)
16
(3)
25
9 = 4 9；
25= 16 25；

16a 4a 2 a 2 .
4
4
知识讲解
2. 若长为 24 ，宽为 8 ，求出它的面积.
解：它的面积为 24 × 8 = 24 × 8 =
82 × 3 = 8 3.
随堂训练
−6 = ⋅ −6
1.若
，则（ A ）
A．x≥6
B．x≥0
C．0≤x≤6
D．x为一切实数
（ D ）
6 2
（2） 6 × 12 = _______;
2 6
（3） 3 × 2 2 = _____.
4. 比较下列两组数的大小（在横线上填“＞”“＜”或“=”）：
（1）
5 4
＞
4 5；
（2） 4 2
＜
2 7.
随堂训练
5.计算：（1）2 3 × 5 21；
18
（2）3 3 × (−
);
4
（3）3 2 × 2 10 × 5;
（3） 3 ×
1
=
3
1
3
3 × = .
1
.
3
知识讲解
归纳：化简二次根式的步骤：
1.把被开方数分解因式(或因数) ；
2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因

人教版初二数学8年级下册第16章(二次根式)二次根式上课课件(22张PPT)

回忆
⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根.
a的平方根是
⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？
一个正数a的正的平方根叫做它的算术平方根. 0的算术平方根是0
用
(a≥0)表示正数a的算术平方根.
求下列各数的平方根和算术平方根.
9 的平方根 3 ，算术平方根 3 ；
计算：（1） (5)2 ；（2） (1 2)2 .
解：（1） (5)2 52 5
或 (5)2 -5 5
（2） (1 2)2 = 1- 2 =-（1- 2）= 2-1
例3 先化简再求值：
，其中 x=4.
解：
当 x=4时，x- 4- 4- .
∴当x=4时，
.
练习 1.计算：
2
8 =8
3 2=3
双重非负性
( 4)2 4
1 ( 1 )2 3
3
( 0.01)2 0.01
( 0)2 0
一般地，有
性质1
2
a a (a≥0)
例1.当x为何值时，下列各式在实数范围内Biblioteka 有意义？(1) x 3
(2) x2
解：（1）由题意，得 x+3≥0 ∴x≥-3
∴当x≥-3时， x 2 在实数范围内有意义.
2.当x取怎样的实数时， 2x 3 1 有意义？
x 1
解：由题意得
2x x 1
3 0
0，
∴
X≥
3 2
X ≠-1
∴ x 3，且x 1.
2
方法构想
一个式子中：
若含有几个二次根式，则要求所有被开方数大于等于0；若含有分式，则要求分母的值不等于0；若含有零指数或负指数次幂，则要求其底数不为0.

人教版八年级数学下册《二次根式的乘除》二次根式PPT精品教学课件课件

36
6
（2）
=(
7
49
),
4
16
(
);
5
25
6
36
(
);
49
7
a
a

b
b
活动探究
二次根式的除法法则：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.
a
a

( a 0，b＞0)
b
b
典例精讲
例1 计算：
（2） 3
（1） 24 ；
3
解： (1)
24
2
24
3
3
3
(2)

2
1
．
18
8 2 2
1 ＝ 3 1 ＝ 3 18
＝ 27 ＝3 3
2
18
2
18
活动探究
探究二：二次根式除法法则的逆运用
把
a
b

aห้องสมุดไป่ตู้
( a 0，b＞0) 反过来，就得到
b
a
a

( a 0，b＞0)
b
b
典例精讲
例2 化简：
(1)
3
100
解：（1）
75
27
(2)
3
=
100
75
（2） =
27
3
100
=
a
a

( a 0，b＞0)
解：原式=
− × −
= ×
解：原式= − × −
= ×××
=
× ×
=
4、计算： ∙ −
原式= ∙

人教版八年级下册数学 16.1二次根式 (共15张PPT)

Nhomakorabea方形的边长为
.
；面积为 S 的正
（2）一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，
则它的宽为
.
（3）一个物体从高处自由下落，落到地面所用的时间
t(单位：s)与开始落下时离地面的高度h（单位：m）满足
关系h = 5t 2 ，如果用含有h 的式子表示 t，那么t 为
.
观察：
上面几个式子中，被开方数的特点？
3.已知实数a满足（2012-a)2 a 2013 a, 求a 20122的值.
问题请比较 a 和0 的大小．
随堂练习
义务教育教科书（RJ）八年级数学上册
作业布置
教材：P5页习题16.1 第1、3、5、6、7题
安徽省巢湖市第七中学碧桂园分校
义务教育教科书（RJ）八年级数学下册
第十六章二次根式 16.1 二次根式
安徽省巢湖市第七中学碧桂园分校
知识回顾
什么叫做平方根? 一般地，如果一个数的平方等于a，那
么这个数叫做a的平方根.
什么叫做算术平方根? 如果 x2 = a（x≥0），那么 x 称为 a 的
算术平方根.
用 a (a 0)表示.
做一做
当x为何值时，下列各式在实数范围内有意义. (1) x 2 ; (2) 3 x x 2 ; (3) 1 . 2x 1
已知 a 2 b 1 0,求-a2b的值. 2
典例解析例1 下列各式中，一定是二次根式的有( )
① -3 ；②-2 a2 ;③ a2 1 ;④ a 1
1.填空题：（1）形如（2）负数
的式子叫二次根式；算术平方根（填“有”或者“没有”）
2.当x是怎样的实数时， x 2 在实数范围内有意义？

人教版八年级下册数学课件：16.1二次根式(1)(共19张PPT)

16.1二次根式（1）
数的数
学四统
家则治
的运着
全算整
部则个
装可量
备以的
。看世
作界
麦克斯韦
是
，而算数
获一数得组学结公是论设一－，门－经演－过绎－逻的陈辑学省的问身推，
理从
—-
麦克斯韦，英国物理学家、数学家。经典电动力学的创始人，与牛顿齐名。普遍认为是对二十世纪最有影响力物理学家。
练习2 当x 是什么实数时，下列各式有意义．
（1）
3- 4 x
；（2） x
x -1
；
（3） - x 2 ；（4） x-2- 2-x ．
练习3 若 16-4n 是整数，则自然数n 的值为 ___________.
畅谈收获发表感言
通过这节课的学习，你收获了什么？
当堂测验我不怕
学案纸第2页——达标测试
陈苏省步身青，，美中籍国华科裔学数学大师， 2院0 世院纪士，伟中大国的杰数出学家，继欧的几数里学德家、，高被斯誉、为黎曼之后几数何学学王又. 一曾获里1程97碑8式的人物。年全国科学大会奖.
回忆：
⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根。
当a＞0 时， a 表示a 的算术平方根，因此 a ＞0；当a =0 时， a 表示0 的算术平方根，因此 a =0；这就是说， a （a≥0）是一个非负数．
双重非负性
大显身手都能行
练习1 判断下列各式哪些是二次根式：
（1） - 1 6
× （ 3） a 2 + 1 √
（2） a+10（ a ＞ 0）√ （4） -x（x≤ 0）√

人教版八年级数学下册16.1《二次根式》课件(共23张PPT)

C. a＞-2或a≠ 0
【解析】选D.要使式子
D. a≥-2且a≠ 0
a2 a
有意义，须同时
满足a+2≥0，a≠0两个条件，解两个不等式
可得a≥-2且a≠0 。
巩固提高：
1.分别求下列二次根式中的字母的取值范围（1） (
3 2x )
2
（2） (1 x) 2
3 (1). 3 2 x 0 x (2).x为全体实数 2 (3).x 3 0且x 2 x 3且x 2
2
(5) xy (x,y 异号)， (7)
3
5
在实数范围内,负数没有平方根
1、判断下列代数式中哪些是二次根式？
⑴
⑶
1 2
2
⑵
16
x ( x 0)
a9
a 2a 2 ⑷
2
⑸ m 3
⑹
a 1 (a 3)
2．下列式子一定是二次根式的是（ A．
）
2
x 2
4. a≥0, a ≥0
( 双重非负性)
小结：
1.怎样的式子叫二次根式？
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式 .
2.怎样判断一个式子是不是二次根式？
（1）. 形式上含有二次根号
（2）.被开方数a为非负数， 3.如何确定二次根式中字母的取值范围？
从左看到右;从上看到下
看到分数线,分母不为0 看到偶次根式,被开方数大于等于0
2
2、如果 x 3，那么 x 3 ；
2
3、如果 x a(a 0) ，
2
那么 x a 。
用带有根号的式子填空，看看结果有什么特点：
1.面积为3的正方形的边长为—— 3。 2.如图所示的值表示正方形的面积，则正方形的边长是 b 3

人教版八年级数学下册《二次根式》PPT

．
典例解析
例1 计算：
(1)( 8 3) 6; (2)(4 2 3 6) 2 2.
解：(2) (4 2 3 6) 2 2 4 22 23 62 2
多项式除以单项式法则
23 3 2
二次根式除法法则
算中思先与考乘有：除理(2，数)中后、，加实每减数一；运步算的一依样据，是在什混么合？运
例2 计算：
思考二次根式加减，分为几个步骤？
二次根式的加减主要归纳为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
探究1 由（x+y）·z=x·z+y·z=xz+yz，你能求出的值吗？你是怎样做的？
探究2 由，你能求出
的值吗？由此你有何发现？
典例解析
(1) ( 2 3)( 2 - 5) ； (2) ( 5 3)( 5 - 3)
解：(1)( 2 3)( 2 - 5) ( 2)2 3 2 5 2 15 2 2 2 15
13 2 2
思考：（1）中，每一步的依据是什么？第一步的依据是：多项式乘多项式法则；第二步的依据是：二次根式化简，合并被开方数相同的二次根式（依据是：分配律）；第三步的依据是：合并同类项．
(3)( 3 2)2 ( 3)2 2 2 3 22 7 4 3;
(4)(2 5 2)2 (2 5)2 2 2 5 2 ( 2)2 22 4 10
综合应用
(3 10)2015(3 10)2015 解： (3 10)2015(3 10)2015
(3 10)(3 10)2015 (9 10)2015
例3 计算下列各题：
练习
1.计算： (1) 2( 3 5); (3)( 5 3)( 5 2);

人教版数学八年级下册《二次根式的除法》ppt课件

不是“ a ”，而是“
a 3
a a”3刘敏说：哎呀，真抄错了，好在
不影响结果，反正a和a-3都在根号内．试问：刘敏说得对吗？
解：刘敏说得不对，结果不一样．理由如下：
按
a
a
3计算，则a≥0，a-3＞0或a≤0，a-3＜0,解得a＞3或a≤0；
而按 a 计算，则a≥0，a-3＞0,解得a＞3．
a 3
课堂小结
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1) 4 = 4 ； 99
(2) 16 = 16 ； 25 25
(3)
36 36 . 49 49
猜测你发现了什么规律？能用字母表示你所发
现的规律吗？猜测： a a bb
从上面的猜测的规律中，a，b 的取值范围有没有限制呢？
回顾上节课所讲的二次根式的乘法，我们知道
h 5
40时，此时
他看到的水平线的距离d2是多少？
解：d2 8 40 16 10.
问题3 他从海拔100米处登上海拔200米高的山顶，那么他看到的水平线的距离是原来的多少倍？
解：
d2 16 10 . d1 16 5
【思考】乘法法则是如何得出的？二次根式的除法该怎样算呢？
除法有没有类似的法则？
(3)若被开方数中含有小数,应先将小数化成分数后再进
行化简,如 0.3 3 30 30 .
10 100 10
巩固练习
在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是
最简二次根式的进行化简．
（1）
45
;
（2） 1 ;
3
（3） 5 ;
2
（4）
0.5
;（5） 1 4
5
.

人教版八年级数学下册《二次根式》PPT课件

求此三角形的周长．
3 a≥0，
解：由题意得
2a 6≥0，
∴a=3，
∴b=4.
当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；
当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．
课堂检测
拓广探索题
先阅读，后回答问题：
当x为何值时， x x 1 有意义？
解：由题意得x(x-1)≥0
解得 m≥2且m≠-1，m≠2， ∴m＞2．
(2)无论x取任何实数，代数式
x2 6x m 都有意义，求
m的取值范围．
解：由题意得x2+6x+m≥0，即(x+3)2+m-9≥0.
∵(x+3)2≥0， ∴m-9≥0，即m≥9.
课堂检测
能力提升题
已知a，b为等腰三角形两条边长，且a，b满足b 3 a 2a 6 4，
双重非负性
二次根式的被开方数非负
二次根式的值非负
a ≥0.
探究新知
考点 1 利用二次根式的双重非负性求字母的值
若 a 3 b 2 (c 1)2 0 ，求2a -b+3c的值.
提示：多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.
初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
人教版数学八年级下册
16.1 二次根式
第1课时
导入新知
电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传播得越远，从而能收
看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位：km）与电视节
目信号的传播半径 r（单位：km）之间存在近似关系r= Rh ，
其中地球半径R≈6 400 km．如果两个电视塔的高分别是h1 km、

《最简二次根式》二次根式PPT课件

2．被开方数是分数的二次根式化简
例 2 化简 1125．分析：因为，125=5×5×5=52×5，所以，只需分子、分母同乘以 5 就可以了．
解法一： 1125＝ 513××55＝255．
3．被开方数是小数的二次根式化简
例 3 化简 1.5．
分析：被开方数是小数时，常把小数化成相应的分数，然后进行求解．
1 8x3
x
0
0.8 4 45 2 5 5 55 5
4 1 9 92 3 2 2 2 22 2
20a2b 4a2 5b c 2 a 5bc 2a 5bc
c
cc
c
c
x2
1 8x3
x2
1 2x x2 8x3 2x 4x2
2x
2x 4
1.最简二次根式的概念.
满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式。
(2) 1 6x 9x2 (x 1) 3
(2)3x 1
(3) x 32 1 x2 1 x 3 (3)2
2、如果 a3 a2 a a 1，那么a的取值范围是 ( D )
A． a 0 C． a 1
B． a 1
D． 1 a 0
3.化简 1 x3 x
错解：原式 1 x x2 x
18
32
被开方数不含开得尽方的因数
a 3
b2
(b 0)
9a
3a 3
ba
(b 0)
3a
被开方数不含分母
（１）被开方数各因式的指数都为1．（２）被开方数不含分母．
被开方数满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
如：1 x2 y √
4
6m(a2 b2 ) √
1 4
x2 y x 4

人教版八年级数学下册 16.1 二次根式课件(共21张ppt)

x-2 想一想：假如把题目改为：要使有意义， x-1 字母 x 的取值必须满足什么条件？ x≥2
想一想：一个正数的算术平方根是正数。零的算术平方根是
0。
没有负数有没有算术平方根？
做一做: 要使下列各式有意义，字母的取值必须满足什么条件？ 1、 x+3 3、 1 x 2、 2-5x 4、 a2+1 x-1 6、 x-2
原式 b c a a b c b c a 3b a c
这一类问题注意把二次根式的运算搭载在三角形三边之间的关系这个知识点上，特别要应用好。
x y 的值吗？ 1.已知 y x 4 4 x，你能求出 2
2.已知 x 2 y 9 与 x y 3互为相反数，求 x 、y 的值.
思考：若 (m 4) 4 m,
2
则m的取值范围是 _________
1.若
(1 x ) 1 x,则x的取值范围为 ( A
2
)
(A) x≤1 (B) x≥1 (C) 0≤x≤1 (D)一切有理数 2.实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简
a
2
b
c
2
(a b) (b c) c a
想一想： 10 、 -5 、 8
2
3
5 3 、 (-2)2
a (a＜0﹚、
a +0.1 、 -a (a＜0﹚是不是二次根式？
例1 : 判断，下列各式中那些是二次根式？
a 10,04 04,, 0
a a ,,
3
aa ,
2
2
,
8.
叫做二次根式.
a (a 0)
其中a叫做被开方式。

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16.1二次根式
2020/10/19
自学指导
内容：精读课本 P2页的内容要求： 1.理解二次根式的概念 2.找出二次根式有意义的条件 a 0 3.二次根式的双重非负性是什么？ a 0(a 0)
2020/10/19
自学效果检测 1.面积为3的正方形的边长为
的正方形的边长为___S__。
，面积为S
? a a ( 0)2 0
2
(a≥0)
观测上述等式的两4边2 ,你4 能得 0.012 0.01 到什么启示?
1 2
1
3 3
02 0
a2 a (a≥0)
2020/10/19
( a)2与 a2有区别吗?
2020/10/19
1:从运算顺序来看,
2 a
先开方,后平方
a2 先平方,后开方
2.从取值范围来看,
2 a
a≥0
2020/10/19
a2
a取任何实数
3.从运算结果来看:
a 2 =a
a (a≥ 0)
a2 =∣a∣=
-a (a＜0)
思考：若 (m 4)2 4 m,则m的取值范围是 _m____4____
2020/10/19
例2:
(1)计算 2
2
3
(2)已知a,b, c为△ABC的三边长, 化简 (a b c)2 (b a c)2
解:
2 a 0， b 2 0
而 2a b2 0
b2 0
2a0 ， b20
a 2， b 2
原式 a2
2020/10/19
b1 2
2 2 21 2 21 3
已知 1 有意义,那A(a, a
在二象限.
∵由题意知a＜0 ∴点A(－,＋)
2020/10/19
a )
已知y 2 x x 2 5,
(1) a 1 (2) 1
1 2a
(3) (a 3)2
4 2 5x 5 2x 12 6 2x 1 1 x
7 x 5 3 2x （8）
你有什么收获？
①被开方数大于等于零；
202②0/10分/19 母中有字母时，要保证分母不为零。
1
( 4)2 4
(
0.01)2 0.01 (
3 1 )2
3
2.一长方形围栏，长是宽的2倍，
面积为130，则它的宽为 __6_5___
h 3.h=5t2,则t=_____5__
2020/10/19
自学效果检测
3S
h 65 5
你认为所得的各式有哪些共同点？
表示一些正数的算术平方根
2020/10/19
自学归纳形如 a(a 0) 的式子叫做二次根式. a叫被开方数定义包含三个内容:
则
y x
5
___2_
2-X≥0
x ≤2
∴x=2, y=5
X-2≥0
x≥2
2020/10/19
实数p在数轴上的位置如图所示，化
简
(1 p)2
2
2 p
1 p (2 p)
p 1 2 p
2020/10/19
1
在实数范围内分解因式:4 x2 - 3
解: ∵ 3
2
3
∴ 4x2 3 (2x)2
2
3
(2x 3)(2x 3)
2020/10/19
பைடு நூலகம்
一路下来，我们结识了很多新知识，你能谈谈自己的收获吗？说一说，让大家一起来分享。
2020/10/19
二次根式的定义:
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式 .
二次根式的性质:
a 0, a 0（. 双重非负性）
2 a a(a 0) a (a≥ 0) a2 =∣a∣= -a (a＜0)
1.必需含有二次根号 “ ”. 2.被开方数a≥0. 3.a可以是数,也可以是含有字母的式子.
2020/10/19
凭着你已有的知识, 说说对二次根式 a 的认识,好吗?
?
2020/10/19
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, a ≥0 ( 双重非负性)
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试一试
下列式子中，哪些一定是二次根式？
① 5
② 3x (x<0)③
14
④ a 1
⑤
a 32⑥
xy(x, y同号)
⑦二x次2 根1式根⑧号内字母4的取⑨值范围必须x2满1足:
被开方数大于或等于零.
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隋堂练习 1
练习1：求下列二次根式中字母的取值范围：
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下列式子 2x 6 1 中字母x的 2x
取值范围是__3_____x____0
∵
2x+6≥0 -2x＞0
∴
x≥-3 x＜0
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练习:用心算一算:
1 25 5 2 72 7
33
2
2
18
4
1
2
2
2 1
5 x2 2xy y2 (x﹤y) 2020/10/19
yx
已知a.b为实数，且满足 a 2b 1 1 2b 1 求a 的值.
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若a.b为实数,且 2 a
求 a2 b2 2b 1的值