拓展练习2_相似三角形
初三相似三角形练习题及答案
初三相似三角形练习题及答案相似三角形是初中数学中一个重要的概念，它在几何形状比较相似的情况下，能够帮助我们快速推导出一些性质和结果。
为了帮助同学们更好地掌握相似三角形的相关知识，下面给出一些练习题及其详细答案，希望能够对大家的学习有所帮助。
1. 如图，已知△ABC与△ADE相似，其中∠B=∠D=90°，AB=10cm，BC=15cm，DE=6cm，求AD和AC的长度。
解析：由于∠B=∠D=90°，所以△ABC与△ADE是直角三角形。
根据直角三角形的性质，我们知道在两个直角三角形中，如果一个角相等，那么它们就是相似三角形。
因此，△ABC与△ADE相似。
根据相似三角形的定义，我们知道相似三角形的对应边的比例相等。
所以我们可以列出比例方程：AB/AD = BC/DE代入已知的数值，得到：10/AD = 15/6进一步计算，可以得到：AD = (10 * 6) / 15 = 4cm同理，我们可以使用相似三角形的对应边比例相等的性质，求解出AC的长度。
列出比例方程：AB/AC = BC/AE10/AC = 15/AD代入AD = 4cm，可以得到：10/AC = 15/4进一步计算，得到：AC = (10 * 4) / 15 = 8/3 cm所以，AD的长度为4cm，AC的长度为8/3 cm。
2. 如图，已知△PQR与△XYZ相似，PR = 12cm，YZ = 6cm，PQ = 9cm，求XZ的长度。
解析：根据相似三角形的性质，我们可以列出比例方程：PQ/PX = QR/XZ代入已知数值，得到：9/PX = 12/XZ进一步计算，得到：PX * XZ = 9 * 12PX * XZ = 108根据已知条件，我们可以得到两个三角形的一对边已知，它们分别是PR和YZ，由于两个三角形相似，我们可以列出另一个比例方程：PR/YZ = PQ/XZ12/6 = 9/XZ进一步计算，得到：2 = 9/XZ解方程，可以得到：XZ = 9/2 = 4.5cm所以，XZ的长度为4.5cm。
经典相似三角形练习题(附参考答案)
经典练习题相似三角形（附答案)一.解答题（共３０小题)１.如图，在△AＢC中，DE∥BC，EF∥AＢ，求证:△ＡDE∽△ＥＦＣ.2.如图，梯形ABCD中,AＢ∥CD,点F在BC上,连DF与AB的延长线交于点G.（1)求证:△CDF∽△BＧF;(２)当点F是BC的中点时，过Ｆ作EF∥ＣD交ＡD于点E，若ＡB＝6cm,EF=４cm,求CD的长.3.如图，点D，E在BC上,且FD∥ＡB,ＦＥ∥AC.求证:△ABC∽△ＦＤE.4.如图，已知Ｅ是矩形ABCD的边CD上一点,BＦ⊥AＥ于Ｆ,试说明:△ＡBF∽△EAD.５．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中,ＡB=AC，AD＝AE，∠BAＣ=∠DＡＥ,且点B,A，Ｄ在一条直线上，连接BE，ＣD,Ｍ,N分别为BE,CＤ的中点.(1)求证：①BE=ＣD;②△AMN是等腰三角形;（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°,其他条件不变,得到图②所示的图形．请直接写出（1)中的两个结论是否仍然成立；（３）在（２）的条件下,请你在图②中延长EＤ交线段BC于点P.求证:△PＢD∽△AＭN.6．如图,E是▱ABＣD的边BA延长线上一点,连接EＣ，交ＡD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形,并任选一对相似三角形给予证明．7．如图,在4×３的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（１)填空:∠AＢC＝_________ °，ＢC= ＿__＿＿____ ;(2)判断△AＢC与△DEＣ是否相似，并证明你的结论．8.如图,已知矩形ＡBCD的边长AB=3cm，BC=6cｍ．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以１cm/s 的速度向Ｂ点匀速运动;同时，动点N从D点出发沿ＤA方向以２ｃm/s的速度向A点匀速运动，问: (1)经过多少时间,△AMN的面积等于矩形ABＣD面积的？(２）是否存在时刻ｔ,使以A,M,N为顶点的三角形与△ACＤ相似?若存在,求t的值;若不存在，请说明理由.9．如图，在梯形ABCD中，若AB∥DＣ,AD=BＣ，对角线ＢＤ、AC把梯形分成了四个小三角形．（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；(注意：全等看成相似的特例)(2)请你任选一组相似三角形,并给出证明．1０．如图△ＡBC中,D为ＡC上一点，CD=2ＤA，∠ＢAＣ=45°,∠BＤＣ=60°,CE⊥ＢD于E,连接AE. (1)写出图中所有相等的线段，并加以证明；(2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由;(3）求△BEC与△BEＡ的面积之比．1１.如图，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边ＢC上的任意一点，过点M分别作AB、ＡC的平行线交ＡＣ于P，交AB于Q．（1)求四边形AQＭP的周长;（２)写出图中的两对相似三角形(不需证明);（3)M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论.12．已知：P是正方形ABＣD的边ＢC上的点,且BP=３PC,M是CD的中点，试说明：△ＡＤＭ∽△MCP．13．如图,已知梯形ABＣD中,AD∥BC,AＤ=2，AB=ＢC＝8，CD＝10．(1）求梯形ＡＢＣD的面积Ｓ;(2)动点Ｐ从点B出发，以1cｍ/s的速度,沿B⇒A⇒D⇒C方向,向点C运动；动点Q从点C出发，以１ｃm/s的速度,沿C⇒D⇒Ａ方向,向点A运动，过点Ｑ作QＥ⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发,当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒.问:①当点P在B⇒A上运动时,是否存在这样的t,使得直线PQ将梯形ABＣD的周长平分？若存在，请求出t 的值;若不存在，请说明理由;②在运动过程中,是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQＥ相似？若存在,请求出所有符合条件的t的值；若不存在,请说明理由;③在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形?若存在,请求出所有符合条件的ｔ的值；若不存在，请说明理由．１４．已知矩形AＢCＤ,长BC=１2cm,宽ＡB=8ｃm,P、Q分别是AB、BC上运动的两点.若Ｐ自点A出发，以1cｍ/ｓ的速度沿AB方向运动,同时，Q自点Ｂ出发以2cm/s的速度沿ＢC方向运动,问经过几秒,以Ｐ、Ｂ、Q为顶点的三角形与△BＤC相似？15．如图,在△ABC中,AB=10cm,BC＝20cm，点Ｐ从点A开始沿AB边向B点以2ｃｍ/s的速度移动，点Ｑ从点Ｂ开始沿BC边向点Ｃ以4cｍ/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发,问经过几秒钟，△ＰBQ与△ＡBC相似．16．如图,∠ＡＣB=∠ＡDＣ=9０°,AC=，AD=2．问当AＢ的长为多少时，这两个直角三角形相似.17．已知，如图,在边长为a的正方形ABCＤ中,M是ＡD的中点，能否在边AB上找一点N（不含A、Ｂ)，使得△ＣＤM与△ＭAN相似?若能，请给出证明,若不能，请说明理由．１8．如图在△AＢC中，∠C=９0°，BC=８cｍ,AC=6cm，点Q从B出发，沿BC方向以2ｃm/s的速度移动,点Ｐ从C出发,沿ＣA方向以1ｃm/s的速度移动.若Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBＡ相似?19.如图所示，梯形ＡBCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7,AD=２，BC=3,试在腰ＡB上确定点Ｐ的位置，使得以P,A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似．２0.△ＡＢC和△ＤEF是两个等腰直角三角形,∠A=∠D=90°，△DEF的顶点Ｅ位于边BC的中点上．（1）如图1,设DE与AＢ交于点M,EF与AＣ交于点N，求证：△BEＭ∽△CNE;（2）如图2,将△ＤEF绕点Ｅ旋转，使得DE与ＢA的延长线交于点M,EＦ与AC交于点N,于是，除(1）中的一对相似三角形外,能否再找出一对相似三角形并证明你的结论.2１.如图，在矩形ABCD中,AB=15ｃm，BＣ=1０cm，点P沿AＢ边从点Ａ开始向Ｂ以2cm／ｓ的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发，用t（秒)表示移动的时间，那么当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似.２2.如图,路灯(P点）距地面8米,身高1.6米的小明从距路灯的底部(Ｏ点)20米的A点，沿ＯA所在的直线行走１4米到Ｂ点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？23.阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度(这棵树底部可以到达,顶部不易到达),他们带了以下测量工具:皮尺,标杆,一副三角尺，小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具,设计一种测量方案.(1)所需的测量工具是: _____＿___ ;(2）请在下图中画出测量示意图；(3)设树高AB的长度为x，请用所测数据（用小写字母表示)求出x.24．问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息:甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为６0ｃｍ.乙组：如图2,测得学校旗杆的影长为900cm.丙组:如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体,灯杆为圆柱体,其粗细忽略不计）的高度为2０0cｍ，影长为１５6cm.任务要求：(1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度;（2)如图３,设太阳光线ＮH与⊙O相切于点M.请根据甲、丙两组得到的信息,求景灯灯罩的半径.(友情提示：如图3,景灯的影长等于线段NG的影长；需要时可采用等式1562＋2082＝26０2)2５．阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下2．７m宽的亮区（如图所示）,已知亮区到窗口下的墙脚距离ＥC=8．7m,窗口高ＡB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC.26．如图,李华晚上在路灯下散步.已知李华的身高AB=ｈ,灯柱的高OP＝Ｏ′Ｐ′=l,两灯柱之间的距离O Ｏ′=m．（1）若李华距灯柱OP的水平距离OA=a,求他影子AC的长;（2）若李华在两路灯之间行走,则他前后的两个影子的长度之和（DA+ＡC)是否是定值请说明理由;（3）若李华在点A朝着影子(如图箭头)的方向以v１匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度ｖ2．2７.如图①,分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S１，S２,Ｓ3表示,则不难证明S1=S２＋S３.(１）如图②,分别以直角三角形ABＣ三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，Ｓ２，S３表示，那么S １，S2，S3之间有什么关系；（不必证明)(２)如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1，S2，S3之间的关系并加以证明；(3)若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形,其面积分别用Ｓ1,Ｓ2,Ｓ3表示，为使Ｓ1,S2,S ３之间仍具有与(2）相同的关系,所作三角形应满足什么条件证明你的结论；(４）类比(1)，(2），(3）的结论,请你总结出一个更具一般意义的结论．２8．已知：如图,△AＢＣ∽△ADＥ,AＢ=1５,AC＝9,BＤ＝5.求ＡE.29．已知:如图Rt△ＡBC∽Rt△BＤC，若AB＝3,ＡC=4.(1）求ＢD、CＤ的长;（2)过Ｂ作ＢE⊥ＤＣ于E,求BE的长.30.（１)已知，且３x+4z﹣2y＝４０，求x,y,z的值；(2)已知：两相似三角形对应高的比为3：10，且这两个三角形的周长差为5６0cm,求它们的周长.参考答案与试题解析一．解答题(共３0小题）1.如图,在△ABC中，DE∥BC，EF∥AＢ，求证：△AＤＥ∽△EFC.考点：相似三角形的判定；平行线的性质。
相似三角形性质的练习题
相似三角形性质的练习题相似三角形的性质是指两个三角形的对应角度相等，对应边长成比例。
本题考查的是对相似三角形的判断，需要根据勾股定理求出各个三角形的边长，然后比较是否成比例，最终得出相似的三角形是①和③。
2．如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O，下列条件中不能使△ABE和△ACD相似的是（）A．∠B=∠C B．∠ADC=∠AEB C．BE=CD，AB=AC D．AD：AC=AE：AB解答】解：根据相似三角形的性质，如果两个三角形相似，则对应角度相等，对应边长成比例。
因此，我们只需要判断哪个条件不满足这个性质即可。
A选项∠B=∠C，这个条件是成立的，因为它是由题目中给出的△ABC是等腰三角形推出的。
B选项∠ADC=∠AEB，这个条件也是成立的，因为它是由题目中给出的CD与BE相交于点O推出的。
C选项BE=CD，AB=AC，这个条件也是成立的，因为它是由题目中给出的D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O推出的。
D选项AD：AC=AE：AB，这个条件不成立，因为题目中没有给出这个条件，也无法由其他条件推出。
因此，选D。
3．下列说法中，错误的是（）A．两个全等三角形一定是相似形 B．两个等腰三角形一定相似 C．两个等边三角形一定相似 D．两个等腰直角三角形一定相似解答】解：A选项两个全等三角形一定是相似形是正确的，因为全等三角形的对应角度和对应边长都相等，符合相似三角形的定义。
B选项两个等腰三角形一定相似也是正确的，因为等腰三角形的底角相等，而顶角也相等，符合相似三角形的定义。
C选项两个等边三角形一定相似也是正确的，因为等边三角形的三个角都相等，而三个边长也相等，符合相似三角形的定义。
D选项两个等腰直角三角形一定相似是错误的，因为等腰直角三角形的底角相等，但是顶角不相等，不符合相似三角形的定义。
因此，选D。
4．如图，△ACD和△ABC相似需具备的条件是（）A． B． C．AC2=AD•AB D．CD2=AD•BD解答】解：根据相似三角形的定义，△ACD和△ABC相似需要满足两个条件：对应角度相等，对应边长成比例。
三角形相似练习题
三角形相似练习题三角形相似练习题在数学中，三角形相似是一个重要的概念。
相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的三角形。
相似三角形之间存在着特殊的比例关系，这对于解决各种几何问题非常有用。
在本文中，我将给出一些三角形相似的练习题，帮助读者熟练掌握这一概念。
练习题一：已知两个三角形ABC和DEF，且∠A=∠D，∠B=∠E，AB/DE=2/3。
问是否可以得出这两个三角形相似？解答：根据相似三角形的定义，我们需要满足两个条件：对应角相等，对应边成比例。
在这个问题中，已经给出∠A=∠D和∠B=∠E，所以只需要验证对应边是否成比例。
已知AB/DE=2/3，我们可以通过交叉相乘的方式得到AB/DE=BC/EF。
由此可得AB/BC=DE/EF=2/3。
因此，根据对应边成比例的条件，我们可以得出三角形ABC和DEF相似。
练习题二：已知三角形ABC和DEF相似，且AB/DE=3/5，AC/DF=4/7。
若BC=8，求EF的长度。
解答：根据相似三角形的定义，我们可以得知AB/DE=BC/EF。
已知AB/DE=3/5，BC=8，所以可以得到3/5=8/EF。
通过交叉相乘的方式可以得到3EF=40，因此EF=40/3。
练习题三：已知三角形ABC和DEF相似，且AC/DF=5/9，AB/DE=3/5，BC=12。
求EF的长度。
解答：根据相似三角形的定义，我们可以得知AC/DF=BC/EF。
已知AC/DF=5/9，BC=12，所以可以得到5/9=12/EF。
通过交叉相乘的方式可以得到5EF=108，因此EF=108/5。
练习题四：已知三角形ABC和DEF相似，且AB/DE=3/5，BC/EF=4/7，AC/DF=6/11。
求三角形ABC和DEF的周长比。
解答：根据相似三角形的定义，我们可以得知AB/DE=BC/EF=AC/DF。
已知AB/DE=3/5，BC/EF=4/7，AC/DF=6/11。
我们可以通过求这些比例的平均值来得到周长比。
相似三角形练习题及答案
相似三角形练习题及答案相似三角形是初中数学中的重要概念，它在几何形状的比较和计算中起着重要的作用。
通过相似三角形的练习题，我们可以加深对这一概念的理解，并提高解决几何问题的能力。
下面，我将给大家提供一些相似三角形的练习题，并附上详细的解答。
1. 题目：已知两个三角形ABC和DEF，已知∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，且AB/DE = BC/EF = AC/DF。
证明三角形ABC与三角形DEF相似。
解答：根据已知条件，我们可以得到三个比例关系：AB/DE = BC/EF = AC/DF。
根据相似三角形的定义，我们知道如果三个角分别相等，并且对应的边的比例相等，那么这两个三角形是相似的。
首先，由于∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，所以三个角分别相等。
其次，根据比例关系AB/DE = BC/EF = AC/DF，我们可以得到AB/DE = BC/EF，即AB/BC = DE/EF。
同理，AB/AC = DE/DF。
综上所述，根据相似三角形的定义，我们可以得出结论：三角形ABC与三角形DEF相似。
2. 题目：已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AB=6cm，BC=8cm，AC=10cm，DE=9cm，求EF的长度。
解答：根据相似三角形的性质，我们知道相似三角形的对应边的比例相等。
即AB/DE = BC/EF = AC/DF。
已知AB=6cm，BC=8cm，AC=10cm，DE=9cm，代入比例关系得：6/9 = 8/EF = 10/DF。
解方程可得EF = 8/6 × 9 = 12cm。
所以，EF的长度为12cm。
通过以上两个练习题，我们可以看到相似三角形的概念在解决几何问题时起到了重要的作用。
相似三角形的性质和定理可以帮助我们推导出一些几何关系，从而简化问题的求解过程。
在实际应用中，相似三角形的概念也经常被用于测量高度、距离等问题。
例如，通过测量一棵树的阴影和一个人的阴影的长度，可以利用相似三角形的原理计算出树的高度。
相似三角形练习题及答案
相似三角形练习题及答案在初中数学中，相似三角形是一个很重要的概念。
相似三角形具有相同的形状，但是尺寸不同。
理解相似三角形的性质对于解决几何问题和计算三角形的边长和角度非常有帮助。
下面是一些相似三角形的练习题，帮助你巩固对该概念的理解，并附有答案供参考。
练习题一：已知△ABC和△DEF相似，且AB = 6cm，AC = 8cm，BC = 12cm。
若DE = 9cm，求DF和EF的长度。
练习题二：△ABC和△PQR中，∠B = ∠Q，AB = 5cm，BC = 8cm，PQ = 6cm，若AC = 10cm，求PR的长度。
练习题三：已知△ABC和△DEF相似，DE = 4.5cm，EF = 6cm，BC = 12cm，若AC = 8cm，求△ABC和△DEF的周长比。
练习题四：在△ABC中，∠B = 90°，AB = 9cm，BC = 12cm。
点D是BC的中点，于BC上作DE ⊥ BC，DE = 3cm。
求△ADE和△ABC的周长比。
练习题五：已知△ABC和△DEF相似，AB = 10cm，BC = 12cm，AC = 15cm，EF = 6cm，若△DEF的面积为18平方厘米，求△ABC的面积。
答案及解析如下：练习题一：由相似三角形的性质可知，相似三角形的边长之比相等。
设DF = x，EF = y。
根据题意可写出比例：AB/DE = AC/EF = BC/DF代入已知值，得到：6/9 = 8/y = 12/x解得：x = 16cm，y = 12cm因此，DF = 16cm，EF = 12cm。
练习题二：由相似三角形的性质可知，相似三角形的边长之比相等。
设PR = x。
根据题意可写出比例：AB/PQ = AC/PR = BC/QR代入已知值，得到：5/6 = 10/x = 8/(6 + x)解得：x = 15cm因此，PR = 15cm。
练习题三：由相似三角形的性质可知，相似三角形的边长之比相等。
相似三角形拓展(含答案)
1．如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使BE＝AB，连接DE，分别交BC，AC交于点F，G．（1）求证：BF＝CF；（2）若BC＝6，DG＝4，求FG的长．2．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝12，点E在AD边上，且AE＝8，EF⊥BE交CD 于F．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）求EF的长．3．如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M．连接CM交DB于N．（1）求证：BD2＝AD•CD；（2）若CD＝6，AD＝8，求MN的长．4．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB＝∠BPC ＝135°．（1）求证：△P AB∽△PBC；（2）求证：P A＝2PC；（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12＝h2•h3．5．已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．（1）求证：EF＝AE﹣BE；（2）连接BF，如果＝．求证：EF＝EP．6．如图，已知B、C、E三点在同一条直线上，△ABC与△DCE都是等边三角形，其中线段BD交AC于点G，线段AE交CD于点F，求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）＝．7．如图，正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，DE＝CF，AF与BE相交于O，DG⊥AF，垂足为G．（1）求证：AF⊥BE；（2）试探究线段AO、BO、GO的长度之间的数量关系；（3）若GO：CF＝4：5，试确定E点的位置．8．（1）问题背景如图1，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分线交直线AC于D，过点C作CE⊥BD，交直线BD于E．请探究线段BD与CE的数量关系．（事实上，我们可以延长CE与直线BA相交，通过三角形的全等等知识解决问题．）结论：线段BD与CE的数量关系是（请直接写出结论）；（2）类比探索在（1）中，如果把BD改为∠ABC的外角∠ABF的平分线，其他条件均不变（如图2），（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）拓展延伸在（2）中，如果AB≠AC，且AB＝nAC（0＜n＜1），其他条件均不变（如图3），请你直接写出BD与CE的数量关系．结论：BD＝CE（用含n的代数式表示）．1．如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使BE＝AB，连接DE，分别交BC，AC交于点F，G．（1）求证：BF＝CF；（2）若BC＝6，DG＝4，求FG的长．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD∥CD，AD＝BC，得到△EBF∽△EAD，根据相似三角形的性质证明即可；（2）根据相似三角形的性质列式计算即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△EBF∽△EAD，∴＝＝，∴BF＝AD＝BC，∴BF＝CF；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CF，∴△FGC∽△DGA，∴＝，即＝，解得，FG＝2．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．2．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝12，点E在AD边上，且AE＝8，EF⊥BE交CD 于F．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）求EF的长．【分析】（1）由四边形ABCD是矩形，易得∠A＝∠D＝90°，又由EF⊥BE，利用同角的余角相等，即可得∠DEF＝∠ABE，则可证得△ABE∽△DEF；（2）由（1）：△ABE∽△DEF，根据相似三角形的对应边成比例，即可得，又由AB＝6，AD＝12，AE＝8，利用勾股定理求得BE的长，由DE＝AB﹣AE，求得DE的长，继而求得EF的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∴∠AEB+∠ABE＝90°，∵EF⊥BE，∴∠AEB+∠DEF＝90°，∴∠DEF＝∠ABE，∴△ABE∽△DEF；（2）解：∵△ABE∽△DEF，∴，∵AB＝6，AD＝12，AE＝8，∴BE＝＝10，DE＝AD﹣AE＝12﹣8＝4，∴，解得：EF＝．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及勾股定理等知识．此题难度不大，注意掌握有两角对应相等的三角形相似定理的应用是解此题的关键．3．如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M．连接CM交DB于N．（1）求证：BD2＝AD•CD；（2）若CD＝6，AD＝8，求MN的长．【分析】（1）通过证明△ABD∽△BCD，可得，可得结论；（2）由平行线的性质可证∠MBD＝∠BDC，即可证AM＝MD＝MB＝4，由BD2＝AD•CD 和勾股定理可求MC的长，通过证明△MNB∽△CND，可得，即可求MN的长．【解答】证明：（1）∵DB平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB，且∠ABD＝∠BCD＝90°，∴△ABD∽△BCD∴∴BD2＝AD•CD（2）∵BM∥CD∴∠MBD＝∠BDC∴∠ADB＝∠MBD，且∠ABD＝90°∴BM＝MD，∠MAB＝∠MBA∴BM＝MD＝AM＝4∵BD2＝AD•CD，且CD＝6，AD＝8，∴BD2＝48，∴BC2＝BD2﹣CD2＝12∴MC2＝MB2+BC2＝28∴MC＝2∵BM∥CD∴△MNB∽△CND∴，且MC＝2∴MN＝【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，求MC 的长度是本题的关键．4．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB＝∠BPC ＝135°．（1）求证：△P AB∽△PBC；（2）求证：P A＝2PC；（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12＝h2•h3．【分析】（1）利用等式的性质判断出∠PBC＝∠P AB，即可得出结论；（2）由（1）的结论得出，进而得出，即可得出结论；（3）先作出两个直角三角形，再判断出Rt△AEP∽Rt△CDP，得出，即h3＝2h 2，再由△P AB∽△PBC，判断出，即可得出结论．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝45°＝∠PBA+∠PBC又∠APB＝135°，∴∠P AB+∠PBA＝45°∴∠PBC＝∠P AB又∵∠APB＝∠BPC＝135°，∴△P AB∽△PBC（2）∵△P AB∽△PBC∴在Rt△ABC中，AC＝BC，∴∴∴P A＝2PC（3）如图，过点P作PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于点F，∴PF＝h1，PD＝h2，PE＝h3，∵∠CPB+∠APB＝135°+135°＝270°∴∠APC＝90°，∴∠EAP+∠ACP＝90°，又∵∠ACB＝∠ACP+∠PCD＝90°∴∠EAP＝∠PCD，∴Rt△AEP∽Rt△CDP，∴，即，∴h3＝2h2∵△P AB∽△PBC，∴，∴∴．即：h12＝h2•h3．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，判断出∠EAP＝∠PCD是解本题的关键．5．已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．（1）求证：EF＝AE﹣BE；（2）连接BF，如果＝．求证：EF＝EP．【分析】（1）利用正方形的性质得AB＝AD，∠BAD＝90°，根据等角的余角相等得到∠1＝∠3，则可判断△ABE≌△DAF，则BE＝AF，然后利用等线段代换可得到结论；（2）利用＝和AF＝BE得到＝，则可判定Rt△BEF∽Rt△DF A，所以∠4＝∠3，再证明∠4＝∠5，然后根据等腰三角形的性质可判断EF＝EP．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∵BE⊥AP，DF⊥AP，∴∠BEA＝∠AFD＝90°，∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠3，在△ABE和△DAF中，∴△ABE≌△DAF，∴BE＝AF，∴EF＝AE﹣AF＝AE﹣BE；（2）如图，∵＝，而AF＝BE，∴＝，∴＝，∴Rt△BEF∽Rt△DF A，∴∠4＝∠3，而∠1＝∠3，∴∠4＝∠1，∵∠5＝∠1，∴∠4＝∠5，即BE平分∠FBP，而BE⊥EP，∴EF＝EP．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．也考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质．6．如图，已知B、C、E三点在同一条直线上，△ABC与△DCE都是等边三角形，其中线段BD交AC于点G，线段AE交CD于点F，求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）＝．【分析】（1）由三角形ABC与三角形CDE都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，一对角相等，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS即可得证；（2）由（1）得出的三角形全等得到对应角相等，再由一对角相等，且夹边相等，利用ASA得到三角形GCD与三角形FCE全等，利用全等三角形对应边相等得到CG＝CF，进而确定出三角形CFG为等边三角形，确定出一对内错角相等，进而得到GF与CE平行，利用平行线等分线段成比例即可得证．【解答】证明：（1）∵△ABC与△CDE都为等边三角形，∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），（2）∵△ACE≌△BCD，∴∠BDC＝∠AEC，在△GCD和△FCE中，，∴△GCD≌△FCE（ASA），∴CG＝CF，∴△CFG为等边三角形，∴∠CGF＝∠ACB＝60°，∴GF∥CE，∴＝．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．7．如图，正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，DE＝CF，AF与BE相交于O，DG⊥AF，垂足为G．（1）求证：AF⊥BE；（2）试探究线段AO、BO、GO的长度之间的数量关系；（3）若GO：CF＝4：5，试确定E点的位置．【分析】（1）由DE＝CF及正方形的性质，得出AE＝DF，AB＝AD，∠BAE＝∠ADF＝90°，证明△ABE≌△DAF，得出∠ABE＝∠DAF，而∠ABE+∠AEB＝90°，利用互余关系得出∠AOE＝90°即可；（2）由（1）的结论可证△ABO≌△DAG，得BO＝AG＝AO+OG；（3）过E点作EH⊥DG，垂足为H，则EH＝OG，由DE＝CF，GO：CF＝4：5，得EH：ED＝4：5，而AF⊥BE，AF⊥DG，则OE∥DG，∠AEB＝∠EDH，△ABE∽△HED，利用相似比得出AB：BE，由勾股定理得出AE：AB，从而得出AE：AD．【解答】（1）证明：∵ABCD为正方形，且DE＝CF，∴AE＝DF，AB＝AD，∠BAE＝∠ADF＝90°，在△ABE和△DAF，∵，∴△ABE≌△DAF，∴∠ABE＝∠DAF，又∵∠ABE+∠AEB＝90°，∴∠DAF+∠AEB＝90°，∴∠AOE＝90°，即AF⊥BE；（2）解：BO＝AO+OG．理由：由（1）的结论可知，∠ABE＝∠DAF，∠AOB＝∠DGA＝90°，AB＝AD，在△ABO和△DAG中，∵，则△ABO≌△DAG，所以，BO＝AG＝AO+OG；（3）解：过E点作EH⊥DG，垂足为H，由矩形的性质，得EH＝OG，∵DE＝CF，GO：CF＝4：5，∴EH：ED＝4：5，∵AF⊥BE，AF⊥DG，∴OE∥DG，∴∠AEB＝∠EDH，△ABE∽△HED，∴AB：BE＝EH：ED＝4：5，在Rt△ABE中，AE：AB＝3：4，故AE：AD＝3：4，即AE＝AD．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质．关键是利用正方形的性质证明全等三角形，相似三角形，利用线段，角的关系解题．8．（1）问题背景如图1，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分线交直线AC于D，过点C作CE⊥BD，交直线BD于E．请探究线段BD与CE的数量关系．（事实上，我们可以延长CE与直线BA相交，通过三角形的全等等知识解决问题．）结论：线段BD与CE的数量关系是BD＝2CE（请直接写出结论）；（2）类比探索在（1）中，如果把BD改为∠ABC的外角∠ABF的平分线，其他条件均不变（如图2），（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）拓展延伸在（2）中，如果AB≠AC，且AB＝nAC（0＜n＜1），其他条件均不变（如图3），请你直接写出BD与CE的数量关系．结论：BD＝2n CE（用含n的代数式表示）．【分析】（1）延长CE、BA交于F点，先证明△BFC是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质可得CF＝2CE，然后证明△ADB≌△AFC可得BD＝FC，进而证出BD＝2CE；（2）延长CE、AB交于点G，先利用ASA证明△GBE≌△CBE，得出GE＝CE，则CG ＝2CE，再证明△DAB∽△GAC，根据相似三角形对应边的比相等及AB＝AC即可得出BD＝CG＝2CE；（3）同（2），延长CE、AB交于点G，先利用ASA证明△GBE≌△CBE，得出GE＝CE，则CG＝2CE，再证明△DAB∽△GAC，根据相似三角形对应边的比相等及AB＝nAC即可得出BD＝CG＝2nCE．【解答】解：（1）BD＝2CE．理由如下：如图1，延长CE、BA交于F点．∵CE⊥BD，交直线BD于E，∴∠FEB＝∠CEB＝90°．∵BD平分∠ABC，∴∠1＝∠2，∴∠F＝∠BCF，∴BF＝BC，∵BE⊥CF，∴CF＝2CE．∵△ABC中，AC＝AB，∠A＝90°，∴∠CBA＝45°，∴∠F＝（180﹣45）°÷2＝67.5°，∠FBE＝22.5°，∴∠ADB＝67.5°，∵在△ADB和△AFC中，，∴△ADB≌△AFC（AAS），∴BD＝CF，∴BD＝2CE；（2）结论BD＝2CE仍然成立．理由如下：如图2，延长CE、AB交于点G．∵∠1＝∠2，∠1＝∠3，∠2＝∠4，∴∠3＝∠4，又∵BE＝BE，∠GEB＝∠CEB＝90°，∴△GBE≌△CBE（ASA），∴GE＝CE，∴CG＝2CE．∵∠D+∠DCG＝∠G+∠DCG＝90°，∴∠D＝∠G，又∵∠DAB＝∠GAC＝90°，∴△DAB∽△GAC，∴＝，∵AB＝AC，∴BD＝CG＝2CE；（3）BD＝2nCE．理由如下：如图3，延长CE、AB交于点G．∵∠1＝∠2，∠1＝∠3，∠2＝∠4，∴∠3＝∠4，又∵BE＝BE，∠GEB＝∠CEB＝90°，∴△GBE≌△CBE（ASA），∴GE＝CE，∴CG＝2CE．∵∠D+∠DCG＝∠G+∠DCG＝90°，∴∠D＝∠G，又∵∠DAB＝∠GAC＝90°，∴△DAB∽△GAC，∴＝，∵AB＝nAC，∴BD＝nCG＝2nCE．故答案为BD＝2CE；2n．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识点的应用，此题关键是正确找出辅助线，通过辅助线构造全等三角形或相似三角形解决问题，要掌握辅助线的作图根据．题目比较好，综合性也比较强．。
相似三角形练习题(超经典含答案)
1．如果△ABC∽△A′B′C′，相似比为k（k≠1），则k的值是A．∠A︰∠A′B．A′B′︰ABC．∠B︰∠B′D．BC︰B′C′2．如图，在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC，下列比例式不成立的是A．AD AEDB EC=BAD DEDB BC=．CAD AEAB AC=．DAB ACDB CE=．3．如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E，B、D、F，AC=4，CE=6，BD=3，则BF=A．7 B．7.5 C．8 D．8.54．如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD︰DB=3︰5，那么CF︰CB等于A．5︰8 B．3︰8 C．3︰5 D．2︰55．如图，已知在等腰△ABC中，顶角∠A=36°，BD为∠ABC的平分线，则一定相似的三角形是A．△ABC和△BAD B．△ABD和△BDCC．△BDC和△ABC D．△ABD和△BDC和△ABC6．在相同时刻的物高与影长成正比例，如果高为1.6米的竹竿的影长为2.0米，那么影长为30米的旗杆的高是A．25米B．24米C．20米D．18米7．△ABC和△A′B′C′相似，记作__________，相似三角形__________的比叫__________，当相似比为1时，两个三角形__________.8．如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=60°，∠B=40°，∠A′=60°，当∠C′=__________时，则△ABC∽△A′B′C′.9．若△ABC与△A′B′C′相似，一组对应边的长为AB=6cm，A′B′=8cm，那么△ABC与△A′B′C′的相似比为__________．10．如图，矩形ABCD中，点E是边AD的中点，BE交对角线AC于点F，则AFE△与BCF△的面积比等于__________．11．如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且14FC BC．图中相似三角形共有__________对．12．如图，要使△ABC 与△DBA 相似，则只需添加一个适当的条件是________．（填一个即可）13．如图，要测量池塘两端A 、B 的距离，可先取一个可以直接到达A 和B 的点C ，连接AC并延长到D ，使12CD CA =，连接BC 并延长到E ，使12CE CB =，连接ED ，如果量出DE 的长为25米，那么池塘宽AB 为________米．14．如图，在ABC △中，90C ∠=︒，在AB 边上取一点D ，使BD BC =，过D 作DE AB ⊥交AC 于E ，86AC BC ==，．求DE 的长．15．如图，在△ABC中，已知DE∥BC，AD=4，DB=8，DE=3.(1)求ADAB的值；(2)求BC的长．16．如图，△ABC∽△DEC，CA=CB，且点E在AB的延长线上．（1）求证：AE=BD；（2）求证：△BOE∽△COD；（3）已知CD=10，BE=5，OD=6，求OC的长．17．如图，甲、乙两人分别从A（1）、B（6，0）两点同时出发，点O为坐标原点，甲沿AO方向，乙沿BO方向均以4的速度行走．t h后，甲到达M点，乙到达N点．（1）请说明甲、乙两人到达O点前，MN与AB不可能平行；（2）当t为何值时，△OMN∽△OBA？18．如图，点F是ABCD的边AD上的三等分点（靠近A点），BF交AC于点E，如果△AEF的面积为2，那么四边形CDFE的面积等于A．18 B．22C．24 D．4619．在矩形ABCD中，点E、F分别在AD、CD上，且∠BEF=90°，则三角形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ一定相似的是A．Ⅰ和ⅡB．Ⅰ和ⅢC．Ⅰ和ⅣD．Ⅲ和Ⅳ20．如图，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，如果边AB上的点P使得以P，A，D为顶点的三角形和以P，B，C为顶点的三角形相似，则这样的P点共有A．1个B．2个C．3个D．4个21．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，△DEF的面积与△BAF的面积之比为9：16，则DE：EC=__________．22．如图1，正方形ABCD的边长为4，把三角板的直角顶点放置在在BC中点E处，三角板绕点E旋转，三角板的两边分别交边AB、CD于点G、F．（1）求证：△GBE∽△GEF．（2）设AG=x，GF=y，求y关于x的函数表达式，并写出自变量取值范围．（3）如图2，连接AC交GF于点Q，交EF于点P．当△AGQ与△CEP相似，求线段AG的长．23．（2018•绥化）两个相似三角形的最短边分别为5cm 和3cm ，它们的周长之差为12cm ，那么大三角形的周长为 A ．14cm B ．16cm C ．18cmD ．30cm24．（2018•毕节市）如图，在平行四边形ABCD 中，E 是DC 上的点，DE ：EC =3：2，连接AE 交BD 于点F ，则△DEF 与△BAF 的面积之比为A ．2：5B ．3：5C ．9：25D ．4：2525．（2018•巴中）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是边AC ，AB 的中点，BD 与CE 交于点O ，连接DE ．下列结论：①OE OB =OD OC ；②DE BC =12；③DOE BOC S S △△=12；④DOE DBES S △△=13．其中正确的个数有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个26．（2018•阜新）如图，在矩形ABCD 中，点E 为AD 中点，BD 和CE 相交于点F ，如果DF =2，那么线段BF 的长度为__________．27．（2018•吉林）如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，∠B=∠C=90°，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求得河宽AB=___________m．28．（2018•陕西）如图，已知：在正方形ABCD中，M是BC边上一定点，连接AM．请用尺规作图法，在AM上作一点P，使△DPA∽△ABM．（不写作法，保留作图痕迹）29．（2018•上海）已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．（1）求证：EF=AE–BE；（2）连接BF，如果AFBF=DFAD．求证：EF=EP．1．【答案】D【解析】对应边的比是相似比，且有顺序性，故△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比k 的值为BC ︰B ′C ′． 2．【答案】B【解析】∵DE ∥BC ，,,AD AE AD AE AB ACDB EC AB AC DB CE∴===，∴选项A ，C ，D 均正确；故选B ． 3．【答案】B【解析】∵a ∥b ∥c ，∴AC BD CE DF =，即436DF =．∴364.54DF ⨯==．∴BF =BD +DF =3+4.5=7.5．4．【答案】A【解析】∵DE ∥BC ，∴AE ︰EC =AD ︰DB =3︰5， ∵EF ∥AB ，∴BF ︰FC =AE ︰EC =3︰5， 故CF ︰CB =5︰8．故选A ． 5．【答案】C6．【答案】B【解析】设旗杆的高是x 米，则1.6230x=，解得x =24． 7．【答案】△ABC ∽△A ′B ′C ′；对应边；相似比；全等【解析】ABC △和'''A B C △相似，记作ABC A'B'C'△∽△，相似三角形对应边的比叫相似比，当相似比为1时，两个三角形全等.故答案为：ABC A'B'C'△∽△，对应边，相似比，全等. 8．【答案】80°【解析】60,40A B ∠=︒∠=︒，180604080C ∴∠=︒-︒-︒=︒，,ABC A'B'C'△∽△80C C'∴∠=∠=︒，∴当80C'∠=︒时 ，△ABC ∽△A ′B ′C ′.故答案为：80.︒ 9．【答案】34【解析】相似三角形的对应边的比叫做相似比，即相似比为6384AB A B ==''．故答案为：34． 10．【答案】14【解析】相似三角形的面积比等于相似比的平方，∵E 为AD 的中点，四边形ABCD 为矩形，∴12AE BC =，∴21124AEF BCFS S⎛⎫== ⎪⎝⎭．故答案为：1:4.11．【答案】312．【答案】∠ADB =∠BAC （或∠BAD =∠C 或BD BABA BC=） 【解析】∵∠B 是△ABC 与△DBA 的公共角，∴添加∠ADB =∠BAC 或∠BAD =∠C 都可根据“两角对应相等的两个三角形相似”得证；也可添加BD BABA BC=，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”得证． 13．【答案】50【解析】∵12CD CA =，12CE CB =，∴12CD CE AC CB ==．∵∠ACB =∠DCE ，∴△ACB ∽△DCE ．∴12DE CD AB AC ==． ∵DE =25米，∴AB =50米．故答案为：50． 14．【答案】3【解析】在ABC △中，9086C AC BC ∠===，，，10AB ∴==．又6BD BC ==，4AD AB BD ∴=-=．DE AB ⊥，90ADE C ∴∠=∠=︒．又A A ∠=∠，AED ABC ∴△∽△．DE ADBC AC∴=． ∴4638AD DE BC AC =⋅=⨯=． 15．【解析】(1)48,AD DB ==，4812.AB AD DB ∴=+=+=41.123AD AB ∴== (2)DE ∥BC ，,ADE ABC ∴△∽△1,3DE AD BC AB ∴==3,DE =31,3BC ∴=9.BC ∴=16．【解析】（1）∵△ABC ∽△DEC ，CA =CB ，17．【解析】（1）因为A点坐标为（1），所以OA=2，由题意知OM=2－4t，ON=6－4t，若246426t t--=，解得t=0．即在甲、乙两人到达O点前，只有当t=0时，△OMN∽△OAB，所以MN与AB不可能平行．（2）因为甲到达O点的时间为21h42t==，乙到达O点的时间为63h42t==，所以12t=或32时，O、M、N三点不能连接成三角形．①当12t<时，如果△OMN∽△OBA，则有246462t t--=，解得122t=>（舍去）；②当1322t<<时，∠MON>∠OAB，显然△OMN不可能相似于△OBA；③当32t>时，424662t t--=，解得322t=>．所以当t=2时，△OMN∽△OBA．18．【答案】B【解析】∵AD∥BC，∴∠EAF=∠ACB，∠AFE=∠FBC；∵∠AEF=∠BEC，∴△AEF∽△BEC，∴AFBC=AEEC=13，∵△AEF与△EFC高相等，∴S△EFC=3S△AEF，∵点F是ABCD的边AD上的三等分点，∴S△FCD=2S△AFC，∵△AEF的面积为2，∴四边形CDFE的面积=S△FCD+S△EFC=16+6=22.故选B．19．【答案】B20．【答案】C【解析】若点A，P，D分别与点B，C，P对应，即△APD∽△BCP，∴AD APBP BC=，∴273APAP=-，∴AP2−7AP+6=0，∴AP=1或AP=6，当AP=1时，由BC=3，AD=2，BP=6，∴AP AD BC BP=，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BCP．当AP=6时，由BC=3，AD=2，BP=1，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BCP．若点A，P，D分别与点B，P，C对应，即△APD∽△BPC．∴AP ADBP BC=，∴273APAP=-，∴AP=145．检验：当AP=145时，BP=215，AD=2，BC=3，∴AP ADBP BC=，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BPC．因此，点P的位置有三处，故选C．21．【答案】3【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴DE∥AB，DC=AB，∴△DEF∽△BAF．∵△DEF的面积与△BAF的面积之比为9：16，∴3=4 DEBA，∵3=343DE DEEC CD DE==--．故答案为：3：1．22．【解析】（1）如图1，延长FE交AB的延长线于F'，∵AG=x，∴BG=4–x，∴242xCF-=，∴CF=44x-，由（1）知，BF'=CF=44x-，由（1）知，GF'=GF=y，∴y=GF'=BG+BF'=4–x+44x-，当CF=4时，即：44x-=4，∴x=3，（0≤x≤3），即：y关于x的函数表达式为y=4–x+44x-（0≤x≤3）；。
相似三角形练习题
相似三角形练习题题目一已知三角形ABC中，∠A = 60°，AC = 6 cm，BC = 8 cm。
将三角形ABC沿着边BC剪开，使得三角形ABD与三角形ACD相似，连接BD。
求BD的长度。
解答一由已知条件可知∠A = ∠ADC = 60°，而∠ABD与∠ACD互为对应角，故∠ABD = ∠ACD = 60°，说明三角形ABD与三角形ACD相似。
根据相似三角形的性质，相似三角形中对应边的比例相等，即有：BD/AD = AC/CD将已知数值代入，得到：BD/AD = 6/8进一步化简，可得：BD/AD = 3/4将上式两侧同乘以AD，可得：BD = (3/4) * AD由直角三角形ADC中，利用三角函数可得AD的值：AD = AC * sin(60°) = 6 * √3 / 2 = 3√3 cm代入上式，可得：BD = (3/4) * 3√3 = 9√3 / 4 cm所以，BD的长度为9√3 / 4 cm。
题目二已知∆ABC与∆DEF相似，∠B = 40°，∠E = 20°，AB = 5 cm，FE = 3 cm。
求BC、DE的长度。
解答二由已知条件可知∠B = ∠F，即∠B = 40°。
而∆ABC与∆DEF相似，根据相似三角形的性质，相似三角形中对应边的比例相等，即有：AB/FE = BC/DE将已知数值代入，得到：5/3 = BC/DE进一步化简，可得：5DE = 3BC根据已知条件，我们还可以得到∠E = ∠C。
联立上述两个条件，可以列出方程组：{5DE = 3BC∠E = ∠C}要求BC和DE的长度，需要求解以上方程组。
我们可以通过求解方程组来得到BC和DE的长度。
题目三AG和EK是∆ABC和∆EFD的高，点G和点K分别位于边BC和边DE上，且∆AGK和∆EKG相似。
已知∠B = 45°，AB = 12 cm，BC = 10 cm，ED = 8 cm。
相似三角形经典例题(练习)
一、如何证明三角形相似例1、如图：点G 在平行四边形ABCD 的边DC 的延长线上,AG 交BC 、BD 于点E 、F ，则△AGD ∽ ∽ 。
例2、已知△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 是角平分线，求证：△ABC ∽△BCD例3：已知，如图，D 为△ABC 内一点连结ED 、AD ，以BC 为边在△ABC 外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD求证：△DBE∽△ABC例4、矩形ABCD 中，BC=3AB ，E 、F ，是BC 边的三等分点，连结AE 、AF 、AC ，问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。
二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式例5、△ABC 中，在AC 上截取AD ，在CB 延长线上截取BE ，使AD=BE ，求证：DF AC=BC FE例6：已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=900，M 是BC 的中点，DM⊥BC 于点E ，交BA 的延长线于点D 。
例7：如图△ABC 中，AD 为中线，CF 为任一直线，CF 交AD 于E ，交AB 于F ，求证：AE ：ED=2AF ：FB 。
过D 点作DG∥AB 交FC 于G 则△AEF∽△DEG。
（平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线所得三角形与原三角形相似） （1）∵D 为BC 的中点，且DG∥BF∴G 为FC 的中点则DG 为△CBF 的中位线，（2）将（2）代入（1）得：三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。
边AB 和AD 上的点，且。
求证：例8：已知：如图E 、F 分别是正方形ABCD 的∠AEF=∠FBD例9、在平行四边形ABCD 内，AR 、BR 、CP 、DP 各为四角的平分线，••DG AFDE AE =BF DG 21=FBAF BF AF DE AE 221==31==AD AF AB EB A B C D E FG 1234ABC D AB C D E FK A B CD E FCDRAC E ABCDEFO 123ABCDFGE求证：SQ ∥AB ，RP ∥BC例10、已知A 、C 、E 和B 、F 、D 分别是∠O 的两边上的点，且AB ∥ED ，BC ∥FE ，求证：AF ∥CD例11、直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，BCDE 是正方形，AE 交BC 于F ，FG ∥AC 交AB 于G ，求证：FC=FG例12、Rt △ABC 锐角C 的平分线交AB 于E ，交斜边上的高AD 于O ，过O 引BC 的平行线交AB 于F ，求证：AE=BF（答案）例1分析：关键在找“角相等”，除已知条件中已明确给出的以外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角。
相似三角形练习题及答案
相似三角形练习题及答案一、选择题1. 若两个三角形的对应角相等，且对应边成比例，则这两个三角形是相似的。
这种说法正确吗？A. 正确B. 错误2. 三角形ABC和三角形DEF相似，AB=6cm，DE=3cm，那么AC的长度是多少？A. 4cmB. 6cmC. 9cmD. 12cm3. 在三角形ABC中，∠A=60°，∠B=40°，那么∠C是多少度？A. 40°B. 60°C. 80°D. 100°二、填空题4. 若三角形ABC与三角形DEF相似，且AB:DE=2:3，BC=8cm，求DE的长度。
5. 在三角形ABC中，若∠A=30°，∠B=70°，求∠C的度数。
三、解答题6. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AC=4cm，DF=6cm，AB=5cm，求EF的长度。
7. 在三角形ABC中，已知AB=6cm，AC=4cm，BC=8cm，判断三角形ABC 是否为直角三角形，并说明理由。
四、证明题8. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且∠A=∠D，∠B=∠E，证明∠C=∠F。
9. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AB/DE=2/3，AC/DF=2/3，证明BC/EF=2/3。
五、应用题10. 在平面直角坐标系中，点A(-3,4)，B(1,-2)，C(5,6)，点D(-1,1)，E(3,-6)，F(7,3)，判断三角形ABC与三角形DEF是否相似，并求出相似比。
答案：1. A2. B3. C4. 6cm5. 80°6. 7.5cm7. 是直角三角形，因为AB²+AC²=BC²。
8. 由于三角形ABC与三角形DEF相似，根据相似三角形的性质，对应角相等，所以∠C=∠F。
9. 根据相似三角形的性质，对应边的比值相等，所以BC/EF=AB/DE=2/3。
10. 三角形ABC与三角形DEF相似，相似比为3/2。
相似三角形经典题(含答案)
相似三角形经典习题例1 从下面这些三角形中，选出相似的三角形．例2 已知：如图，ABCD 中，2:1:=EB AE ，求AEF ∆与CDF ∆的周长的比，如果2cm 6=∆AEF S ，求CDF S ∆．例3 如图，已知ABD ∆∽ACE ∆，求证：ABC ∆∽ADE ∆．例4 下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？（1）所有的直角三角形都相似． （2）所有的等腰三角形都相似． （3）所有的等腰直角三角形都相似． （4）所有的等边三角形都相似．例5 如图，D 点是ABC ∆的边AC 上的一点，过D 点画线段DE ，使点E 在ABC ∆的边上，并且点D 、点E 和ABC ∆的一个顶点组成的小三角形与ABC ∆相似．尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE 的画法．例6 如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．例7 如图，小明为了测量一高楼MN 的高，在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜，小明沿NA 后退到C 点，正好从镜中看到楼顶M 点，若5.1=AC m ，小明的眼睛离地面的高度为1.6m ，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m ）．例8 格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由．例9 根据下列各组条件，判定ABC ∆和C B A '''∆是否相似，并说明理由：（1）,cm 4,cm 5.2,cm 5.3===CA BC AB cm 28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A ． （2）︒='∠︒='∠︒=∠︒=∠35,44,104,35A C B A ．（3）︒='∠=''=''︒=∠==48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB ．例10 如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据．例11 已知：如图，在ABC ∆中，BD A AC AB ,36,︒=∠=是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AC DC AD ⋅=2．例12 已知ABC ∆的三边长分别为5、12、13，与其相似的C B A '''∆的最大边长为26，求C B A '''∆的面积S ．例13 在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法．小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C 处（如图），然后沿BC 方向走到D 处，这时目测旗杆顶部A 与竹竿顶部E 恰好在同一直线上，又测得C 、D 两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高．你认为这种测量方法是否可行？请说明理由．例14．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A ，再在河的这一边选点B 和C ，使BC AB ⊥，然后再选点E ，使BC EC ⊥，确定BC 与AE 的交点为D ，测得120=BD 米，60=DC 米，50=EC 米，你能求出两岸之间AB 的大致距离吗？例15．如图，为了求出海岛上的山峰AB 的高度，在D 和F 处树立标杆DC 和FE ，标杆的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），并且AB 、CD 和EF 在同一平面内，从标杆DC 退后123步的G 处，可看到山峰A 和标杆顶端C 在一直线上，从标杆FE 退后127步的H 处，可看到山峰A 和标杆顶端E 在一直线上．求山峰的高度AB 及它和标杆CD 的水平距离BD 各是多少？（古代问题）例16 如图，已知△ABC 的边AB ＝32，AC ＝2，BC 边上的高AD ＝3．（1）求BC 的长；（2）如果有一个正方形的边在AB 上，另外两个顶点分别在AC ，BC 上，求这个正方形的面积．相似三角形经典习题答案例1． 解 ①、⑤、⑥相似，②、⑦相似，③、④、⑧相似例2． 解 ABCD 是平行四边形，∴CD AB CD AB =,//，∴AEF ∆∽CDF ∆，又2:1:=EB AE ，∴3:1:=CD AE ，∴AEF ∆与CDF ∆的周长的比是1：3． 又)cm (6,)31(22==∆∆∆AEF CDF AEF S S S ，∴)cm (542=∆CDF S ． 例3 分析 由于ABD ∆∽ACE ∆，则CAE BAD ∠=∠，因此DAE BAC ∠=∠，如果再进一步证明AECAAD BA =，则问题得证．证明 ∵ABD ∆∽ACE ∆，∴CAE BAD ∠=∠．又DAC BAD BAC ∠+∠=∠ ，∴CAE DAC DAE ∠+∠=∠， ∴DAE BAC ∠=∠．∵ABD ∆∽ACE ∆，∴AEACAD AB =． 在ABC ∆和ADE ∆中，∵AEACAD AB ADE BAC =∠=∠,，∴ABC ∆∽ADE ∆ 例4．分析 （1）不正确，因为在直角三角形中，两个锐角的大小不确定，因此直角三角形的形状不同．（2）也不正确，等腰三角形的顶角大小不确定，因此等腰三角形的形状也不同． （3）正确．设有等腰直角三角形ABC 和C B A '''，其中︒='∠=∠90C C ，则︒='∠=∠︒='∠=∠45,45B B A A ，设ABC ∆的三边为a 、b 、c ，C B A '''∆的边为c b a '''、、， 则a c b a a c b a '=''='==2,,2,，∴a ac c b b a a '=''=',，∴ABC ∆∽C B A '''∆． （4）也正确，如ABC ∆与C B A '''∆都是等边三角形，对应角相等，对应边都成比例，因此ABC ∆∽C B A '''∆．答：（1）、（2）不正确．（3）、（4）正确． 例5．解：画法略．例6．分析 本题所叙述的内容可以画出如下图那样的几何图形，即60=DF 厘米6.0=米，12=GF 厘米12.0=米，30=CE 米，求BC ．由于ADF ∆∽ACAF EC DF AEC =∆,，又ACF ∆∽ABC ∆，∴BC GFEC DF =，从而可以求出BC 的长． 解 EC DF EC AE //,⊥ ，∴EAC DAF AEC ADF ∠=∠∠=∠,，∴ADF ∆∽AEC ∆．∴ACAFEC DF =． 又EC BC EC GF ⊥⊥,，∴ABC AGF ACB AFG BC GF ∠=∠∠=∠,,//， ∴AGF ∆∽ABC ∆，∴BC GF AC AF =，∴BCGFEC DF =．又60=DF 厘米6.0=米，12=GF 厘米12.0=米，30=EC 米，∴6=BC 米．即电线杆的高为6米． 例7．分析 根据物理学定律：光线的入射角等于反射角，这样，BCA ∆与MNA ∆的相似关系就明确了．解 因为MAN BAC AN MN CA BC ∠=∠⊥⊥,,，所以BCA ∆∽MNA ∆．所以AC AN BC MN ::=，即5.1:206.1:=MN ．所以3.215.1206.1≈÷⨯=MN （m ）． 说明 这是一个实际应用问题，方法看似简单，其实很巧妙，省却了使用仪器测量的麻烦．例8．分析 这两个图如果不是画在格点中，那是无法判断的．实际上格点无形中给图形增添了条件——长度和角度．解 在格点中BC AB EF DE ⊥⊥,，所以︒=∠=∠90B E ， 又4,2,2,1====AB BC DE EF ．所以21==BC EF AB DE ．所以DEF ∆∽ABC ∆． 说明 遇到格点的题目一定要充分发现其中的各种条件，勿使遗漏．例9．解 （1）因为7128cm 4cm ,7117.5cm 2.5cm ,7124.5cm 3.5cm ==''==''==''A C CA C B BC B A AB ，所以ABC ∆∽C B A '''∆； （2）因为︒=∠-∠-︒=∠41180B A C ，两个三角形中只有A A '∠=∠，另外两个角都不相等，所以ABC ∆与C B A '''∆不相似；（3）因为12,=''='''∠=∠C B BC B A AB B B ，所以ABC ∆相似于C B A '''∆．例10．解 （1）ADE ∆∽ABC ∆ 两角相等； （2）ADE ∆∽ACB ∆ 两角相等；（3）CDE ∆∽CAB ∆ 两角相等； （4）EAB ∆∽ECD ∆ 两边成比例夹角相等； （5）ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等； （6）ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等．例11．分析 有一个角是65°的等腰三角形，它的底角是72°，而BD 是底角的平分线，∴︒=∠36CBD ，则可推出ABC ∆∽BCD ∆，进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系．证明 AC AB A =︒=∠,36 ，∴︒=∠=∠72C ABC ． 又BD 平分ABC ∠，∴︒=∠=∠36CBD ABD ．∴BC BD AD ==，且ABC ∆∽BCD ∆，∴BC CD AB BC ::=，∴CD AB BC ⋅=2，∴CD AC AD ⋅=2． 说明 （1）有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边．（2）要说明线段的乘积式cd ab =，或平方式bc a =2，一般都是证明比例式，b dc a =，或caa b =，再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式．例12分析 由ABC ∆的三边长可以判断出ABC ∆为直角三角形，又因为ABC ∆∽C B A '''∆，所以C B A '''∆也是直角三角形，那么由C B A '''∆的最大边长为26，可以求出相似比，从而求出C B A '''∆的两条直角边长，再求得C B A '''∆的面积．解 设ABC ∆的三边依次为，13,12,5===AB AC BC ，则222AC BC AB += ，∴︒=∠90C ．又∵ABC ∆∽C B A '''∆，∴︒=∠='∠90C C ．212613==''=''=''B A AB C A AC C B BC ， 又12,5==AC BC ，∴24,10=''=''C A C B ． ∴12010242121=⨯⨯=''⨯''=C B C A S ．例13．分析 判断方法是否可行，应考虑利用这种方法加之我们现有的知识能否求出旗杆的高．按这种测量方法，过F作AB FG ⊥于G ，交CE 于H ，可知AGF ∆∽EHF ∆，且GF 、HF 、EH 可求，这样可求得AG ，故旗杆AB 可求．解 这种测量方法可行．理由如下：设旗杆高x AB =．过F 作AB FG ⊥于G ，交CE 于H （如图）．所以AGF ∆∽EHF ∆．因为3,30327,5.1==+==HF GF FD ，所以5.1,25.15.3-==-=x AG EH ．由AGF ∆∽EHF ∆，得HF GF EH AG =，即33025.1=-x ，所以205.1=-x ，解得5.21=x （米） 所以旗杆的高为21.5米．说明 在具体测量时，方法要现实、切实可行． 例14. 解：︒=∠=∠∠=∠90,ECD ABC EDC ADB ，∴ABD ∆∽ECD ∆，1006050120,=⨯=⨯==CD EC BD AB CD BD EC AB （米），答：两岸间AB 大致相距100米． 例15. 答案：1506=AB 米，30750=BD 步，（注意：AK FEFHKE AK CD DG KC ⋅=⋅=,．） 例16. 分析：要求BC 的长，需画图来解，因AB 、AC 都大于高AD ，那么有两种情况存在，即点D 在BC 上或点D 在BC 的延长线上，所以求BC 的长时要分两种情况讨论．求正方形的面积，关键是求正方形的边长． 解：（1）如上图，由AD ⊥BC ，由勾股定理得BD ＝3，DC ＝1，所以BC ＝BD ＋DC ＝3＋1＝4． 如下图，同理可求BD ＝3，DC ＝1，所以BC ＝BD －CD ＝3－1＝2．（2）如下图，由题目中的图知BC ＝4，且162)32(2222=+=+AC AB ，162=BC ，∴222BC AC AB =+．所以△ABC 是直角三角形．由AE G F 是正方形，设G F ＝x ，则FC ＝2－x ， ∵G F ∥AB ，∴AC FCAB GF =，即2232x x -=． ∴33-=x ，∴3612)33(2-=-=AEGF S 正方形． 如下图，当BC ＝2，AC ＝2，△ABC 是等腰三角形，作CP ⊥AB 于P ，∴AP ＝321=AB ，在Rt △APC 中，由勾股定理得CP ＝1， ∵GH ∥AB ，∴△C GH ∽△CBA ，∵x x x -=132，32132+=x ∴121348156)32132(2-=+=GFEH S 正方形 因此，正方形的面积为3612-或121348156-．。
相似三角形练习题(含解析)
相似三角形练习题一、选择题一、下列各组图形中不是位似图形的是（）A．B．C．D．二、若2：3=7：x，则x=（）A．2B．3C．3.5D．10.53、两个相似三角形的一组对应边别离为5cm和3cm，若是它们的面积之和为136cm2，则较大三角形的面积是（）A．36cm2B．85cm2C．96cm2D．100cm2 4、如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD，若B（1，0），则点C的坐标为（）A．（1，-2）B．（-2，1）C．（）D．（1，-1）五、如图，已知点A在反比例函数y=(x < 0)上，作Rt△ABC，点D是斜边AC的中点，连DB并延长交y轴于点E，若△BCE的面积为8，则k的值为( )A .8B .12C .16D .20六、如图，平面直角坐标系中，直线y=-x+a与x、y轴的正半轴别离交于点B和点A，与反比例函数y=-的图象交于点C，若BA：AC=2：1，则a的值为（）A．2B．-2C．3D．-37、如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，已知AB=4，则DE的长等于( )A .6B .5C .9D .八、如图，已知在△ABC中，点D、E、F别离是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB=3：5，那么CF：CB等于( )A .5∶8B .3∶8C .3∶5D .2∶5九、如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③=；④=AD•AB．其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为( )A .1B .2C .3D .410、如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=6，BD=8，动点P从点B动身，沿着B-A-D在菱形ABCD的边上运动，运动到点D停止，点P′是点P关于BD的对称点，PP′交BD于点M，若BM=x，△OPP′的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（）A．B．C．D．1一、在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）．平行于对角线AC 的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M，N，直线m运动的时间为t（秒）．设△OMN的面积为S，则能反映S与t之间函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．1二、如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，若是对角线AC与BD相交于点O，△AOB、△BOC、△COD、△DOA的面积别离记作S1、S2、S3、S4，那么下列结论中，不正确的是（）A．S1=S3B．S2=2S4C．S2=2S1D．S1•S3=S2•S4二、填空题13、如图，将边长为6的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在点Q处，EQ与BC交于点G，则△EBG的周长是 __________ cm．14、如图，在△PMN中，点A、B别离在MP和NP的延长线上，==，则= __________ ．三、解答题1五、已知=,求下列算式的值．（1）;（2）1六、如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，极点E、H别离在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．（1）求证：△AEH∽△ABC；（2）求这个正方形的边长与面积。
经典相似三角形练习题(附参考答案)1
相似三角形一. 解答题（共30小题）1．如图, 在△ABC中, DE∥BC, EF∥AB, 求证：△ADE∽△EFC．2. 如图, 梯形ABCD中, AB∥CD, 点F在BC上, 连DF与AB的延长线交于点G. （1）求证: △CDF∽△BGF；（2）当点F是BC的中点时, 过F作EF∥CD交AD于点E, 若AB=6cm, EF=4cm, 求CD的长．3. 如图, 点D, E在BC上, 且FD∥AB, FE∥AC.求证：△ABC∽△FDE.4. 如图, 已知E是矩形ABCD的边CD上一点, BF⊥AE于F, 试说明: △ABF∽△EAD.5. 已知: 如图①所示, 在△ABC和△ADE中, AB=AC, AD=AE, ∠BAC=∠DAE, 且点B, A, D在一条直线上, 连接BE, CD, M, N分别为BE, CD的中点.（1）求证: ①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；（2）在图①的基础上, 将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°, 其他条件不变, 得到图②所示的图形. 请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下, 请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．6. 如图, E是▱ABCD的边BA延长线上一点, 连接EC, 交AD于点F. 在不添加辅助线的情况下, 请你写出图中所有的相似三角形, 并任选一对相似三角形给予证明.7. 如图, 在4×3的正方形方格中, △ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.（1）填空: ∠ABC=_________°, BC=_________；（2）判断△ABC与△DEC是否相似, 并证明你的结论．8. 如图, 已知矩形ABCD的边长AB=3cm, BC=6cm.某一时刻, 动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时, 动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动, 问:（1）经过多少时间, △AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否存在时刻t, 使以A, M, N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在, 求t的值；若不存在, 请说明理由．9. 如图, 在梯形ABCD中, 若AB∥DC, AD=BC, 对角线BD.AC把梯形分成了四个小三角形.（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况, 并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意: 全等看成相似的特例）（2）请你任选一组相似三角形, 并给出证明．10. 如图△ABC中, D为AC上一点, CD=2DA, ∠BAC=45°, ∠BDC=60°, CE⊥BD 于E, 连接AE.（1）写出图中所有相等的线段, 并加以证明；（2）图中有无相似三角形？若有, 请写出一对；若没有, 请说明理由；（3）求△BEC与△BEA的面积之比.11. 如图, 在△ABC中, AB=AC=a, M为底边BC上的任意一点, 过点M分别作AB.AC的平行线交AC于P, 交AB于Q.（1）求四边形AQMP的周长；（2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；（3）M位于BC的什么位置时, 四边形AQMP为菱形并证明你的结论.12. 已知: P是正方形ABCD的边BC上的点, 且BP=3PC, M是CD的中点, 试说明: △ADM∽△MCP.13. 如图, 已知梯形ABCD中, AD∥BC, AD=2, AB=BC=8, CD=10.（1）求梯形ABCD的面积S；（2）动点P从点B出发, 以1cm/s的速度, 沿B⇒A⇒D⇒C方向, 向点C运动；动点Q从点C出发, 以1cm/s的速度, 沿C⇒D⇒A方向, 向点A运动, 过点Q作QE⊥BC 于点E. 若P、Q两点同时出发, 当其中一点到达目的地时整个运动随之结束, 设运动时间为t秒. 问:①当点P在B⇒A上运动时, 是否存在这样的t, 使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在, 请求出t的值；若不存在, 请说明理由；②在运动过程中, 是否存在这样的t, 使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似？若存在, 请求出所有符合条件的t的值；若不存在, 请说明理由；③在运动过程中, 是否存在这样的t, 使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ 为一腰的等腰三角形？若存在, 请求出所有符合条件的t的值；若不存在, 请说明理由．14. 已知矩形ABCD, 长BC=12cm, 宽AB=8cm, P、Q分别是AB.BC上运动的两点. 若P自点A出发, 以1cm/s的速度沿AB方向运动, 同时, Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动, 问经过几秒, 以P、B.Q为顶点的三角形与△BDC相似？15. 如图, 在△ABC中, AB=10cm, BC=20cm, 点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s 的速度移动, 点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动, 如果P、Q分别从A.B同时出发, 问经过几秒钟, △PBQ与△ABC相似.16. 如图, ∠ACB=∠ADC=90°, AC= , AD=2. 问当AB的长为多少时, 这两个直角三角形相似.17. 已知, 如图, 在边长为a的正方形ABCD中, M是AD的中点, 能否在边AB上找一点N（不含A.B）, 使得△CDM与△MAN相似？若能, 请给出证明, 若不能, 请说明理由．18. 如图在△ABC中, ∠C=90°, BC=8cm, AC=6cm, 点Q从B出发, 沿BC方向以2cm/s 的速度移动, 点P从C出发, 沿CA方向以1cm/s的速度移动. 若Q、P分别同时从B.C出发, 试探究经过多少秒后, 以点C.P、Q为顶点的三角形与△CBA相似？19. 如图所示, 梯形ABCD中, AD∥BC, ∠A=90°, AB=7, AD=2, BC=3, 试在腰AB 上确定点P的位置, 使得以P, A, D为顶点的三角形与以P, B, C为顶点的三角形相似.20. △ABC和△DEF是两个等腰直角三角形, ∠A=∠D=90°,△DEF的顶点E位于边BC的中点上.（1）如图1, 设DE与AB交于点M, EF与AC交于点N, 求证: △BEM∽△CNE；（2）如图2, 将△DEF绕点E旋转, 使得DE与BA的延长线交于点M, EF与AC交于点N, 于是, 除（1）中的一对相似三角形外, 能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．21. 如图, 在矩形ABCD中, AB=15cm, BC=10cm, 点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动. 如果P、Q同时出发, 用t（秒）表示移动的时间, 那么当t为何值时, 以点Q、A.P为顶点的三角形与△ABC相似.22. 如图, 路灯（P点）距地面8米, 身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点, 沿OA所在的直线行走14米到B点时, 身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？23. 阳光明媚的一天, 数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达, 顶部不易到达）, 他们带了以下测量工具: 皮尺, 标杆, 一副三角尺, 小平面镜. 请你在他们提供的测量工具中选出所需工具, 设计一种测量方案.（1）所需的测量工具是: _________ ；（2）请在下图中画出测量示意图；（3）设树高AB的长度为x, 请用所测数据（用小写字母表示）求出x.24. 问题背景在某次活动课中, 甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量. 下面是他们通过测量得到的一些信息:甲组: 如图1, 测得一根直立于平地, 长为80cm的竹竿的影长为60cm.乙组: 如图2, 测得学校旗杆的影长为900cm. 丙组：如图3, 测得校园景灯（灯罩视为球体, 灯杆为圆柱体其粗细忽略不计）的高度为200cm,影长为156cm. 任务要求：（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；（2）如图3, 设太阳光线NH与⊙O相切于点M. 请根据甲、丙两组得到的信息, 求景灯灯罩的半径. （友情提示: 如图3, 景灯的影长等于线段NG的影长；需要时可采用等式1562+2082=2602）25. 阳光通过窗口照射到室内, 在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示）, 已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m, 窗口高AB=1.8m, 求窗口底边离地面的高BC.26. 如图, 李华晚上在路灯下散步. 已知李华的身高AB=h, 灯柱的高OP=O′P′=l, 两灯柱之间的距离OO′=m.（1）若李华距灯柱OP的水平距离OA=a, 求他影子AC的长；（2）若李华在两路灯之间行走, 则他前后的两个影子的长度之和（DA+AC）是否是定值请说明理由；（3）若李华在点A朝着影子（如图箭头）的方向以v1匀速行走, 试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2．27. 如图①, 分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆, 其面积分别用S1, S2, S3表示, 则不难证明S1=S2+S3.（1）如图②, 分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形, 其面积分别用S1, S2, S3表示, 那么S1, S2, S3之间有什么关系；（不必证明）（2）如图③, 分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形, 其面积分别用S1.S2.S3表示, 请你确定S1, S2, S3之间的关系并加以证明；（3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形, 其面积分别用S1, S2, S3表示, 为使S1, S2, S3之间仍具有与（2）相同的关系, 所作三角形应满足什么条件证明你的结论；（4）类比（1）, （2）, （3）的结论, 请你总结出一个更具一般意义的结论．28. 已知: 如图, △ABC∽△ADE, AB=15, AC=9, BD=5. 求AE.29. 已知: 如图Rt△ABC∽Rt△BDC, 若AB=3, AC=4.（1）求BD.CD的长；（2）过B作BE⊥DC于E, 求BE的长．30. （1）已知, 且3x+4z﹣2y=40, 求x, y, z的值；（2）已知：两相似三角形对应高的比为3：10, 且这两个三角形的周长差为560cm, 求它们的周长．一. 解答题（共30小题）2. 如图, 梯形ABCD中, AB∥CD, 点F在BC上, 连DF与AB的延长线交于点G.5. 已知: 如图①所示, 在△ABC和△ADE中, AB=AC, AD=AE, ∠BAC=∠DAE, 且点B, A, D在一条直线上, 连接BE, CD, M, N分别为BE, CD的中点.件不变, 得到图②所示的图形. 请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立； （3）在（2）的条件下, 请你在图②中延长ED 交线段BC 于点P ．求证：△PBD ∽△AMN ． 解答：（3）证明: 在图②中正确画出线段PD, 由（1）同理可证△ABM ≌△ACN, ∴∠CAN=∠BAM ∴∠BAC=∠MAN. 又∵∠BAC=∠DAE, ∴∠MAN=∠DAE=∠BAC. ∴△AMN, △ADE 和△ABC 都是顶角相等的等腰三角形. ∴△PBD 和△AMN 都为顶角相等的等腰三角形, ∴∠PBD=∠AMN, ∠PDB=∠ANM, ∴△PBD ∽△AMN ． ∴∠PBD=∠AMN ，∠PDB=∠ANM ，∴△PBD ∽△AMN. ∴∠PBD=∠AMN ，∠PDB=∠ANM ，∴△PBD ∽△AMN ． 6. 如图, E 是▱ABCD 的边BA 延长线上一点, 连接EC, 交AD 于点F. 在不添加辅助线的情况下, 请你写出图中根据平行线的性质和两角对应相等的两个三角形相似这一判定定理可证明图中相似三角形有：△AEF ∽△BEC ；△AEF ∽△DCF ；△BEC ∽△DCF. 所有的相似三角形, 并任选一对相似三角形给予证明. 分析：解答： 解: 相似三角形有△AEF ∽△BEC ；△AEF ∽△DCF ；△BEC ∽△DCF. （3分）如: △AEF ∽△BEC. 在▱ABCD 中, AD ∥BC, ∴∠1=∠B, ∠2=∠3．（6分） ∴△AEF ∽△BEC. （7分）7. 如图, 在4×3的正方形方格中, △ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.（1）填空: ∠ABC= 135° °, BC= ； （2）判断△ABC 与△DEC 是否相似, 并证明你的结论． 解答： 解: （1）∠ABC=135°, BC= ； （2）相似； ∵BC= , EC= = ； ∴ , ； ∴；又∠ABC=∠CED=135°, ∴△ABC ∽△DEC. ∴△ABC ∽△DEC ．8. 如图, 已知矩形ABCD 的边长AB=3cm, BC=6cm. 某一时刻, 动点M 从A 点出发沿AB 方向以1cm/s 的速度向B 点匀速运动；同时, 动点N 从D 点出发沿DA 方向以2cm/s 的速度向A 点匀速运动, 问: （1）经过多少时间, △AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否存在时刻t,使以A,M, N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在,求t的值；若不存在, 请说明理由解: （1）设经过x秒后, △AMN的面积等于矩形ABCD面积的,则有: （6﹣2x）x= ×3×6,即x2﹣3x+2=0, （2分）解方程, 得x1=1, x2=2, （3分）经检验, 可知x1=1, x2=2符合题意,所以经过1秒或2秒后, △AMN的面积等于矩形ABCD面积的. （4分）（2）假设经过t秒时, 以A, M, N为顶点的三角形与△ACD相似,由矩形ABCD, 可得∠CDA=∠MAN=90°,因此有或（5分）即①, 或②（6分）解①, 得t= ；解②, 得t= （7分）经检验, t= 或t= 都符合题意,所以动点M, N同时出发后, 经过秒或秒时, 以A, M, N为顶点的三角形与△ACD相似．（8分）所以动点M，N同时出发后，经过秒或秒时，以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似. （8分）所以动点M，N同时出发后，经过秒或秒时，以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似．（8分）（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况, 并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意: 全等看成相似的特例）（2）请你任选一组相似三角形, 并给出证明．解答：解: （1）任选两个三角形的所有可能情况如下六种情况:①②, ①③, ①④, ②③, ②④, ③④（2分）其中有两组（①③, ②④）是相似的．∴选取到的二个三角形是相似三角形的概率是P=（4分）证明: （2）选择①、③证明.在△AOB与△COD中,∵AB∥CD,∴∠CDB=∠DBA, ∠DCA=∠CAB,∴△AOB∽△COD（8分）选择②、④证明.∵四边形ABCD是等腰梯形,∴∠DAB=∠CBA,∴在△DAB与△CBA中有AD=BC, ∠DAB=∠CAB, AB=AB,∴△DAB≌△CBA, （6分）∴∠ADO=∠BCO.又∠DOA=∠COB,∴△DOA∽△COB（8分）.∴△DOA∽△COB（8分）．点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能, 而且这些事件的可能性相同, 其中事件A出现m种结果, 那么事件A的概率P（A）= , 即相似三角形的证明．还考查了相似三角形的判定．10. 附加题: 如图△ABC中, D为AC上一点, CD=2DA, ∠BAC=45°, ∠BDC=60°, CE ⊥BD于E, 连接AE. （2）图中有无相似三角形？若有,请写出一对；若没有, 请说明理由；（3）求△BEC与△BEA的面积之比.解答：解: （1）AD=DE, AE=CE.∵CE⊥BD, ∠BDC=60°,∴在Rt△CED中, ∠ECD=30°.∴CD=2ED. ∵CD=2DA,∴AD=DE, ∴∠DAE=∠DEA=30°=∠ECD．∴AE=CE.（2）图中有三角形相似, △ADE∽△AEC；∵∠CAE=∠CAE, ∠ADE=∠AEC,∴△ADE∽△AEC；（3）作AF⊥BD的延长线于F, 设AD=DE=x, 在Rt△CED中,可得CE= , 故AE= ．∠ECD=30°.在Rt△AEF中, AE= , ∠AED=∠DAE=30°,∴sin∠AEF= ,∴AF=AE•sin∠AEF= .∴．点评：本题主要考查了直角三角形的性质, 相似三角形的判定及三角形面积的求法等, 范围较广．11. 如图, 在△ABC中, AB=AC=a, M为底边BC上的任意一点, 过点M分别作AB.AC 的平行线交AC于P, 交AB于Q.（1）求四边形AQMP的周长；（2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；（3）M解: （1）∵AB∥MP, QM∥AC,位于BC 的什么位置时, 四边形AQMP 为菱形并证明你的结论. 解答： ∴四边形APMQ 是平行四边形, ∠B=∠PMC, ∠C=∠QMB.∵AB=AC, ∴∠B=∠C, ∴∠PMC=∠QMB ．∴BQ=QM, PM=PC ． ∴四边形AQMP 的周长=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a.（2）∵PM ∥AB, ∴△PCM ∽△ACB, ∵QM ∥AC, ∴△BMQ ∽△BCA ； （3）当点M 中BC 的中点时, 四边形APMQ 是菱形, ∵点M 是BC 的中点, AB ∥MP, QM ∥AC, ∴QM, PM 是三角形ABC 的中位线．∵AB=AC, ∴QM=PM= AB= AC ． 又由（1）知四边形APMQ 是平行四边形, ∴平行四边形APMQ 是菱形．又由（1）知四边形APMQ 是平行四边形，∴平行四边形APMQ 是菱形. 又由（1）知四边形APMQ 是平行四边形，∴平行四边形APMQ 是菱形． 12. 已知: P 是正方形ABCD 的边BC 上的点, 且BP=3PC, M 是CD 的中点, 试说明: △ADM ∽△MCP. 解答：证明: ∵正方形ABCD, M 为CD 中点, ∴CM=MD= AD. ∵BP=3PC,∴PC= BC= AD= CM. ∴．∵∠PCM=∠ADM=90°, ∴△MCP ∽△ADM. ∴△MCP ∽△ADM ． 13. 如图, 已知梯形ABCD 中, AD ∥BC, AD=2, AB=BC=8, CD=10. （1）求梯形ABCD 的面积S ； （2）动点P 从点B 出发, 以1cm/s 的速度, 沿B ⇒A ⇒D ⇒C 方向, 向点C 运动；动点Q 从点C 出发, 以1cm/s 的速度, 沿C ⇒D ⇒A 方向, 向点A 运动, 过点Q 作QE ⊥BC 于点E. 若P 、Q 两点同时出发, 当其中一点到达目的地时整个运动随之结束, 设运动时间为t 秒. 问:①当点P 在B ⇒A 上运动时, 是否存在这样的t, 使得直线PQ 将梯形ABCD 的周长平分？ 若存在, 请求出t 的值；若不存在, 请说明理由； ②在运动过程中, 是否存在这样的t, 使得以P 、A 、D 为顶点的三角形与△CQE 相似？ 若存在, 请求出所有符合条件的t 的值；若不存在, 请说明理由；③在运动过程中, 是否存在这样的t, 使得以P 、D 、Q 为顶点的三角形恰好是以DQ 为一腰的等腰三角形？若存在, 请求出所有符合条件的t 的值；若不存在, 请说明理由．解答： 解: （1）过D 作DH ∥AB 交BC 于H 点,∵AD ∥BH, DH ∥AB, ∴四边形ABHD 是平行四边形. ∴DH=AB=8；BH=AD=2．∴CH=8﹣2=6．∵CD=10, ∴DH2+CH2=CD2∴∠DHC=90°. ∠B=∠DHC=90°. ∴梯形ABCD 是直角梯形.∴SABCD= （AD+BC ）AB= ×（2+8）×8=40. （2）①∵BP=CQ=t, ∴AP=8﹣t, DQ=10﹣t, ∵AP+AD+DQ=PB+BC+CQ, ∴8﹣t+2+10﹣t=t+8+t.∴t=3＜8．∴当t=3秒时, PQ 将梯形ABCD 周长平分． ②第一种情况: 0＜t ≤8若△PAD ∽△QEC 则∠ADP=∠C∴tan ∠ADP=tan ∠C==∴ = , ∴t=若△PAD ∽△CEQ 则∠APD=∠C ∴tan ∠APD=tan ∠C= = , ∴ = ∴t=第二种情况: 8＜t ≤10, P 、A.D 三点不能组成三角形；第三种情况: 10＜t ≤12△ADP 为钝角三角形与Rt △CQE 不相似； ∴t= 或t= 时, △PAD 与△CQE 相似.③第一种情况：当0≤t ≤8时. 过Q 点作QE ⊥BC, QH ⊥AB, 垂足为E 、H. ∵AP=8﹣t, AD=2,∴PD= = .∵CE= t, QE= t, ∴QH=BE=8﹣t, BH=QE= t.∴PH=t﹣t= t. ∴PQ= = , DQ=10﹣t.Ⅰ：DQ=DP, 10﹣t= , 解得t=8秒.Ⅱ：DQ=PQ, 10﹣t= ,化简得: 3t2﹣52t+180=0解得：t= , t= ＞8（不合题意舍去）∴t=第二种情况: 8≤t≤10时. DP=DQ=10﹣t.∴当8≤t＜10时, 以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．第三种情况: 10＜t≤12时. DP=DQ=t﹣10.∴当10＜t≤12时, 以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立.综上所述, t= 或8≤t＜10或10＜t≤12时, 以DQ为腰的等腰△DPQ成立．14. 已知矩形ABCD, 长BC=12cm,宽AB=8cm, P、Q分别是AB.BC上运动的两点. 若P自点A出发, 以1cm/s的速度沿AB方向运动, 同时, Q自点B 出发以2cm/s的速度沿BC方向运动,问经过几秒, 以P、B.Q为顶点的三角形与△BDC相似？解答：解: 设经x秒后, △PBQ∽△BCD,由于∠PBQ=∠BCD=90°,（1）当∠1=∠2时, 有：,即；（2）当∠1=∠3时, 有: ,即，∴经过秒或2秒, △PBQ∽△BCD.15. 如图,在△ABC中,AB=10cm,BC=20cm,点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动, 点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动, 如果P、Q分别从A.B同时出发, 问经过几秒钟,解: 设经过秒后t秒后, △PBQ与△ABC相似, 则有AP=2t, BQ=4t,BP=10﹣2t,当△PBQ∽△ABC时, 有BP: AB=BQ: BC,即（10﹣2t）：10=4t：20,解得t=2.5（s）（6分）当△QBP∽△ABC时, 有BQ: AB=BP: BC,即4t: 10=（10﹣2t）: 20, 解得t=1.所以, 经过2.5s或1s时, △PBQ与△ABC相似（10分）.解法二：设ts后, △PBQ与△ABC相似, 则有, AP=2t, BQ=4t,BP=10﹣2t分两种情况:（1）当BP与AB对应时, 有= , 即= , 解得t=2.5s（2）当BP与BC对应时, 有= , 即= , 解得t=1s所以经过1s或2.5s时, 以P、B、Q三点为顶点的三角形与△ABC相似．所以经过1s或2.5s时，以P、B、Q三点为顶点的三角形与△ABC相似.所以经过1s或2.5s时，以P、B.Q三点为顶点的三角形与△ABC△PBQ 与△ABC 相似. 解答： 相似． 所以经过1s 或2.5s 时，以P 、B 、Q 三点为顶点的三角形与△ABC 相似． 16. 如图, ∠ACB=∠ADC=90°, AC= , AD=2. 问当AB 的长为多少时, 这两个直角三角形相似. 解答：解: ∵AC= , AD=2, 1） ∴CD= = . 要使这两个直角三角形相似, 有两种情况: 2） 当Rt △ABC ∽Rt △ACD 时, 3） 有 = , ∴AB= =3； 4） 当Rt △ACB ∽Rt △CDA 时, 有 = , ∴AB= =3 ． 故当AB 的长为3或3 时, 这两个直角三角形相似． 故当AB 的长为3或3 时，这两个直角三角形相似. 故当AB 的长为3或3时，这两个直角三角形相似． 17. 已知, 如图, 在边长为a 的正方形ABCD 中, M 是AD 的中点, 能否在边AB 上找一点N（不含A.B ）, 使得△CDM 与△MAN 相似？ 若能,证明: 分两种情况讨论:①若△CDM ∽△MAN, 则 = . ∵边长为a, M 是AD 的中点, ∴AN= a.②若△CDM ∽△NAM, 则 . ∵边长为a, M 是AD 的中点,∴AN=a, 即N 点与B 重合, 不合题意． 所以, 能在边AB 上找一点N （不含A 、B ）, 使得△CDM 与△MAN 相似．当AN= a 时, N 点的位置满足条件． 所以，能在边AB 上找一点N （不含A 、B ），使得△CDM 与△MAN 相似. 当AN= a 时，N 点的位置满足条件. 所以，能在边AB 上找一点N （不含A.B ），使得△CDM 与△MAN 相似．当AN= a时，N 点的位置满足条件． 所以，能在边AB 上找一点N （不含A 、B ），使得△CDM 与△MAN 相似．当AN=a时，N 点的位置满足条件． 请给出证明, 若不能, 请说明理由. 解答： 18. 如图在△ABC 中, ∠C=90°, BC=8cm, AC=6cm, 点Q 从B 出发, 沿BC 方向以2cm/s 的速度移动, 点P 从C 出发, 沿CA 方向以1cm/s 的速度移动. 若Q 、P 分别同时从B.C 出发, 试探究经过多少秒后, 以点C.P 、Q 为顶点的三角形与△CBA 相似？解答： 解: 设经过x 秒后, 两三角形相似, 则CQ=（8﹣2x ）cm, CP=xcm, （1分）∵∠C=∠C=90°,∴当 或 时, 两三角形相似. （3分） （1）当 时, , ∴x= ；（4分） （2）当 时, , ∴x= ．（5分）所以, 经过 秒或 秒后, 两三角形相似．（6分） 所以，经过 秒或 秒后，两三角形相似. （6分）所以，经过秒或秒后，两三角形相似．（6分）点评： 本题综合考查了路程问题, 相似三角形的性质及一元一次方程的解法．19. 如图所示, 梯形ABCD 中, AD ∥BC, ∠A=90°, AB=7, AD=2, BC=3, 试在腰AB 上确解: （1）若点A, P, D 分别与点B, C, P 对应, 即△APD ∽△BCP, ∴ = , ∴ = , ∴AP2﹣7AP+6=0, ∴AP=1或AP=6,检测: 当AP=1时, 由BC=3, AD=2, BP=6, ∴ = , 又∵∠A=∠B=90°, ∴△APD ∽△BCP. 当AP=6时, 由BC=3, AD=2, BP=1, 又∵∠A=∠B=90°, ∴△APD ∽△BCP.（2）若点A, P, D 分别与点B, P, C 对应, 即△APD ∽△BPC. ∴ = , ∴ = , ∴AP= .检验: 当AP= 时, 由BP= , AD=2, BC=3, ∴ = , 又∵∠A=∠B=90°, ∴△APD ∽△BPC ．定点P 的位置, 使得以P, A, D为顶点的三角形与以P, B, C 为顶点的三角形相似. 解答： 因此, 点P 的位置有三处, 即在线段AB 距离点A 的1、 、6处．因此，点P 的位置有三处，即在线段AB 距离点A 的1、 、6处. 因此，点P 的位置有三处，即在线段AB 距离点A 的1. 、6处． 因此，点P 的位置有三处，即在线段AB 距离点A 的1、、6处．20. △ABC 和△DEF 是两个等腰直角三角形, ∠A=∠D=90°, △DEF 的顶点E 位于边BC 的中点上.（1）如图1, 设DE 与AB 交于点M, EF 与AC 交于点N, 求证: △BEM ∽△CNE ； （2）如图2, 将△DEF 绕点E 旋转, 使得DE 与BA 的延长线交于点M, EF 与AC 交于点N, 于是, 除（1）中的一对相似三角形外, 能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．解答： 证明: （1）∵△ABC 是等腰直角三角形,∴∠MBE=45°, ∴∠BME+∠MEB=135°又∵△DEF 是等腰直角三角形, ∴∠DEF=45° ∴∠NEC+∠MEB=135°∴∠BEM=∠NEC, （4分） 而∠MBE=∠ECN=45°, ∴△BEM ∽△CNE ．（6分）（2）与（1）同理△BEM ∽△CNE,∴ . （8分）又∵BE=EC, ∴ , （10分）则△ECN与△MEN中有, 又∠ECN=∠MEN=45°,∴△ECN∽△MEN. （12分）∴△ECN∽△MEN．（12分）21. 如图, 在矩形ABCD中, AB=15cm, BC=10cm, 点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动. 如果P、Q同时出发, 用t（秒）表示移动的时间, 那么当t为何值时, 以点Q、A.P为顶点的三角形与△ABC相似.解答：解: 以点Q、A.P为顶点的三角形与△ABC相似,所以△ABC∽△PAQ或△ABC∽△QAP,①当△ABC∽△PAQ时,, 所以, 解得：t=6；②当△ABC∽△QAP时, , 所以, 解得: t= ；③当△AQP∽△BAC时, = , 即= , 所以t= ；④当△AQP∽△BCA时, = , 即= , 所以t=30（舍去）．故当t=6或t= 时, 以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．故当t=6或t= 时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似.故当t=6或t= 时，以点Q、A.P为顶点的三角形与△ABC相似．故当t=6或t=时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．22. 如图, 路灯（P 点）距地面8米, 身高1.6米的小明从距路灯的底部（O 点）20米的A 点, 沿解: ∵∠MAC=∠MOP=90°,∠AMC=∠OMP,∴△MAC∽△MOP.∴, 即,解得, MA=5米；同理, 由△NBD∽△NOP, 可求得NB=1.5米,∴小明的身影变短了5﹣1.5=3.5米.OA所在的直线行走14米到B点时,身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？解答：23. 阳光明媚的一天, 数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达, 顶部不易到达）, 他们带了以下测量工具: 皮尺, 标杆, 一副三角尺, 小平面镜.请你在他们提供的测量工具中选出所需工具, 设计一种测量方案.（1）所需的测量工具是: ；（2）请在下图中画出测量示意图；（3）设树高AB的长度为x, 请用所测数据（用小写字母表示）求出x.解答：解: （1）皮尺, 标杆；（2）测量示意图如图所示；（3）如图, 测得标杆DE=a, 树和标杆的影长分别为AC=b, EF=c,∵△DEF∽△BAC,∴, ∴, ∴．（7分）24. 问题背景在某次活动课中, 甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量. 下面是他们通过测量得到的一些信息:甲组: 如图1, 测得一根直立于平地, 长为80cm的竹竿的影长为60cm.乙组: 如图2, 测得学校旗杆的影长为900cm.丙组：如图3, 测得校园景灯（灯罩视为球体, 灯杆为圆柱体, 其粗细忽略不计）的高度为200cm, 影长为156cm．任务要求：（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；（2）如图3, 设太阳光线NH与⊙O相切于点M. 请根据甲、丙两组得到的信息, 求景灯灯罩的半径. （友情提示: 如图3, 景灯的影长等于线段NG的影长；需要时可采用等式1562+2082=2602）解答：解: （1）由题意可知: ∠BAC=∠EDF=90°, ∠BCA=∠EFD.∴△ABC∽△DEF.∴, 即, （2分）∴DE=1200（cm）.所以, 学校旗杆的高度是12m．（3分）（2）解法一:与①类似得: , 即, ∴GN=208. （4分）在Rt△NGH中, 根据勾股定理得: NH2=1562+2082=2602,∴NH=260. （5分）设⊙O的半径为rcm, 连接OM,∵NH切⊙O于M, ∴OM⊥NH. （6分）则∠OMN=∠HGN=90°,又∵∠ONM=∠HNG,∴△OMN∽△HGN,∴（7分）,又ON=OK+KN=OK+（GN﹣GK）=r+8,∴，解得: r=12.∴景灯灯罩的半径是12cm. （8分）解法二：与①类似得: ,即，∴GN=208. （4分）设⊙O的半径为rcm, 连接OM,∵NH切⊙O于M,∴OM⊥NH. （5分）则∠OMN=∠HGN=90°,又∵∠ONM=∠HNG,∴△OMN∽△HGN.∴，即, （6分）∴MN= r,又∵ON=OK+KN=OK+（GN﹣GK）=r+8. （7分）在Rt△OMN中, 根据勾股定理得:r2+（r）2=（r+8）2即r2﹣9r﹣36=0,解得：r1=12, r2=﹣3（不合题意, 舍去）,∴景灯灯罩的半径是12cm. （8分）∴景灯灯罩的半径是12cm．（8分）25.（2007•白银）阳光通过窗口照射到室内, 在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示）, 已解: ∵AE∥BD,∴△ECA∽△DCB,∴．∵EC=8.7m, ED=2.7m,∴CD=6m.∵AB=1.8m,∴AC=BC+1.8m,∴，∴BC=4, 即窗口底边离地面的高为4m．知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m, 窗口高AB=1.8m, 求窗口底边离地面的高BC. 解答：∴BC=4，即窗口底边离地面的高为4m. ∴BC=4，即窗口底边离地面的高为4m ． 点评： 此题基本上难度不大, 利用相似比即可求出窗口底边离地面的高．26. 如图, 李华晚上在路灯下散步. 已知李华的身高AB=h, 灯柱的高OP=O ′P ′=l, 两灯柱之间的距离OO ′=m.（1）若李华距灯柱OP 的水平距离OA=a, 求他影子AC 的长；（2）若李华在两路灯之间行走, 则他前后的两个影子的长度之和（DA+AC ）是否是定值请说明理由；（3）若李华在点A 朝着影子（如图箭头）的方向以v1匀速行走, 试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2．解答： 解: （1）由已知: AB ∥OP,∴△ABC ∽△OPC.∵，∵OP=l, AB=h, OA=a, ∴ , ∴解得： ．（2）∵AB ∥OP, ∴△ABC ∽△OPC, ∴ , 即 , 即 .∴ ．同理可得: , ∴ = 是定值.（3）根据题意设李华由A 到A', 身高为A'B', A'C'代表其影长（如图）. 由（1）可知 , 即 , ∴ ,同理可得: , ∴ , 由等比性质得: ,当李华从A 走到A'的时候, 他的影子也从C 移到C', 因此速度与路程成正比 ∴，所以人影顶端在地面上移动的速度为 .27．如图①, 分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆, 其面积分别用S1, S2, S3表示, 则不难证明S1=S2+S3. （1）如图②, 分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正方形, 其面积分别用S1, S2, S3表示, 那么S1, S2, S3之间有什么关系；（不必证明）（2）如图③, 分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正三角形, 其面积分别用S1.S2.S3表示, 请你确定S1, S2, S3之间的关系并加以证明；（3）若分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个一般三角形, 其面积分别用S1, S2, S3表示, 为使S1, S2, S3之间仍具有与（2）相同的关系, 所作三角形应满足什么条件证明你的结论；（4）类比（1）, （2）, （3）的结论, 请你总结出一个更具一般意义的结论．解: 设直角三角形ABC 的三边BC.CA.AB 的长分别为a 、b 、c, 则c2=a2+b2 （1）S 1=S 2+S 3；（2）S1=S2+S3. 证明如下: 显然, S1= , S2= , S3= ∴S 2+S 3==S 1；（3）当所作的三个三角形相似时, S1=S2+S3. 证明如下: ∵所作三个三角形相似 ∴∴=1 ∴S 1=S 2+S 3；（4）分别以直角三角形ABC 三边为一边向外作相似图形, 其面积分别用S1、S2、S3表示, 则S1=S2+S3．（4）分别以直角三角形ABC 三边为一边向外作相似图形，其面积分别用S1、S2、S3表示，则S1=S2+S3.（4）分别以直角三角形ABC 三边为一边向外作相似图形，其面积分别用S1.S2、S3表示，则S1=S2+S3．（4）分别以直角三角形ABC 三边为一边向外作相似图形，其面积分别用S1、S2.S3表示，则S1=S2+S3．（4）分别以直角三角形ABC 三边为一边向外作相似图形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，则S 1=S 2+S 3．28. 已知: 如图, △ABC ∽△ADE, AB=15, AC=9, BD=5.解: ∵△ABC ∽△ADE, ∴AE: AC=AD: AB.∵AE: AC=（AB+BD ）: AB, ∴AE ：9=（15+5）：15. ∴AE=12. ∴AE=12． 求AE. 解答：29. 已知: 如图Rt △ABC ∽Rt △BDC, 若AB=3, AC=4. （1）求BD.CD 的长；（2）过B 作BE ⊥DC 于E, 求BE 的长． 解答： 解: （1）Rt △ABC 中, 根据勾股定理得: BC= =5,∵Rt △ABC ∽Rt △BDC, ∴ = = , = = , ∴BD= , CD= ； （2）在Rt △BDC 中,S △BDC= BE •CD= BD •BC, ∴BE= = =3.∴BE===3．30. （1）已知 , 且3x+4z ﹣2y=40, 求x, y, z 的值；（2）已知：两相似三角形对应高的比为3：10, 且这两个三角形的周长差为560cm, 求它们的周长． 解: （1）设 =k, 那么x=2k, y=3k, z=5k,由于3x+4z ﹣2y=40, ∴6k+20k ﹣6k=40, ∴k=2, ∴x=4, y=6, z=10. （2）设一个三角形周长为Ccm, 则另一个三角形周长为（C+560）cm, 则 , ∴C=240, C+560=800, 即它们的周长分别为240cm, 800cm 则，∴C=240，C+560=800，即它们的周长分别为240cm ，800cm。
相似三角形经典练习题及答案
相似三角形经典练习题及答案一、选择题1、若两个相似三角形的面积之比为 1∶4，则它们的周长之比为（）A 1∶2B 1∶4C 1∶5D 1∶16答案：A解析：相似三角形面积的比等于相似比的平方，相似三角形周长的比等于相似比。
因为两个相似三角形的面积之比为 1∶4，所以相似比为 1∶2，那么它们的周长之比为 1∶2。
2、如图，在△ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，DE∥BC，若 AD∶DB ＝ 1∶2，则下列结论中正确的是（）A AE∶EC ＝ 1∶2B AE∶EC ＝ 1∶3 C DE∶BC ＝ 1∶2 DDE∶BC ＝ 1∶3答案：B解析：因为 DE∥BC，所以△ADE∽△ABC。
因为 AD∶DB ＝1∶2，所以 AD∶AB ＝ 1∶3。
因为相似三角形对应边成比例，所以AE∶AC ＝ AD∶AB ＝ 1∶3，所以 AE∶EC ＝ 1∶2。
3、已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为 3∶4，△ABC 的周长为 6，则△A'B'C'的周长为（）A 8B 7C 9D 10答案：A解析：因为相似三角形周长的比等于相似比，所以△ABC 与△A'B'C'的周长之比为3∶4。
设△A'B'C'的周长为x，则6∶x ＝3∶4，解得 x ＝ 8。
4、如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 上的点，且DE∥BC，如果 AD ＝ 2cm，DB ＝ 1cm，AE ＝ 15cm，则 EC ＝（）A 05cmB 1cmC 15cmD 3cm答案：B解析：因为 DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，所以 AD∶AB ＝AE∶AC。
因为 AD ＝ 2cm，DB ＝ 1cm，所以 AB ＝ 3cm。
所以 2∶3＝ 15∶（15 ＋ EC)，解得 EC ＝ 1cm。
5、下列各组图形一定相似的是（）A 两个直角三角形B 两个等边三角形C 两个菱形D 两个矩形答案：B解析：等边三角形的三个角都相等，都是 60°，所以两个等边三角形一定相似。