2014高考数学二轮复习素能训练：不等式(北师大版·数学理)

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2014高考数学二轮复习素能训练：不等式（北师大版·数学理）（120分钟 150分）一、选择题(本大题共10小题，每小题6分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(2013·福州模拟)设0<b<a<1，则下列不等式成立的是( ) (A)ab<b 2<1 (B)1122log b<log a <0(C)2b <2a <2 (D)a 2<ab<1 2.下列推理是归纳推理的是( )(A)A ，B 为定点，动点P 满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，则P 点的轨迹为椭圆(B)由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式(C)由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y2b2＝1的面积S ＝πab(D)以上均不正确3.(2013·潮州模拟)已知f(x)＝x ＋1x －2(x<0)，则f(x)有( )(A)最大值为0 (B)最小值为0 (C)最大值为－4 (D)最小值为－44.若集合A ＝{x|ax 2－ax ＋1<0}＝Ø，则实数a 的值的集合是( ) (A){a|0<a<4} (B){a|0≤a<4} (C) {a|0<a≤4} (D){a|0≤a≤4}5.设a ，b ，c∈(－∞，0)，则a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a ( )(A)都不大于－2 (B)都不小于－2 (C)至少有一个不大于－2 (D)至少有一个不小于－26.(2012·西安模拟)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x≥0x ＋6，x<0，则不等式f(x)>f(1)的解集是( ) (A)(－3,1)∪(3，＋∞) (B)(－3,1)∪(2，＋∞)(C)(－1,1)∪(3，＋∞) (D)(－∞，－3)∪(1,3)7.若x>0，y>0，且2x ＋8y ＝1，则xy 有( )(A)最大值64 (B)最小值164(C)最小值12 (D)最小值648.(预测题)设z ＝x ＋y ，其中x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y≥0x －y≤00≤y≤k，若z 的最大值为6，则z 的最小值为( )(A)－2 (B)－3 (C)－4 (D)－5 9.要证：a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( )(A)2ab －1－a 2b 2≤0 (B)a 2＋b 2－1－a 4＋b42≤0(C)(a ＋b)22－1－a 2b 2≤0 (D)(a 2－1)(b 2－1)≥010.已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4≥0x ＋2y －1≥03x ＋y －8≤0，若目标函数z ＝x ＋ay(a≥0)恰好在点(2,2)处取得最大值，则a 的取值范围为( ) (A)0＜a ＜13 (B)a≥13(C)a ＞13 (D)0＜a ＜12二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)11.(易错题)若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是 . 12.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0y ＋2≥0x －y ＋1≥0表示的区域为D ，z ＝x ＋y 是定义在D上的目标函数，则区域D 的面积为 ，z 的最大值为 . 13.(2013·宿州模拟)已知x>0，y>0，xy ＝x ＋2y ，若xy≥m＋2恒成立，则m 的范围是 .14.方程f(x)＝x 的根称为f(x)的不动点，若函数f(x)＝xa(x ＋2)有唯一不动点，且x 1＝1 000，x n ＋1＝1f(1x n )(n∈N *)，则x 2 012＝ .15.下表为某运动会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格，某球迷赛前准备1 200元，预订15张下表中球类比赛的门票.若在准备资金允许的范围内和总票数不变的前提下，该球迷想预订上表中三种球类比赛门票，其中篮球比赛门票数与乒乓球比赛门票数相同，且篮球比赛门票的费用不超过足球比赛门票的费用，求可以预订的足球比赛门票数为 .三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(10分)已知a>b>c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac ＜3a. 17.(12分)设不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为M ，如果M ⊆[1,4]，求实数a 的取值范围.18.(12分)(2012·南京模拟)某种商品定价为每件60元，不加收附加税时每年大约销售80万件，若政府征收附加税，每销售100元要征税p 元(即税率为p%)，因此每年销售量将减少203p 万件.(1)将政府每年对该商品征收的总税金y(万元)表示成p的函数，并指出这个函数的定义域；(2)要使政府在此项经营中每年收取的税金不少于128万元，问税率p%应怎样确定？(3)在所收税金不少于128万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则应如何确定p值？19.(12分)已知关于x的不等式(kx－k2－4)(x－4)>0，其中k∈R.(1)当k变化时，试求不等式的解集A；(2)对于不等式的解集A，若满足A∩Z＝B(其中Z为整数集). 试探究集合B能否为有限集？若能，求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值，并用列举法表示集合B；若不能，请说明理由.20.(12分)(2012·马鞍山模拟)已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋4x－5<0的解集为B，(1)求A∪B；(2)若不等式x2＋ax＋b<0的解集是A∪B，求ax2＋x＋b<0的解集.21.(12分)设数列{a n}满足：a n＋1＝a n2－na n＋1，n＝1,2,3，…(1)当a1＝2时，求a2，a3，a4，并由此猜测{a n}的一个通项公式；(2)当a1≥3时，证明对所有的n≥1，(i)a n≥n＋2；(ii)11＋a1＋11＋a2＋11＋a3＋…＋11＋a n<12.答案解析1.【解析】选C.≧y ＝2x 是单调递增函数，且0<b<a<1， ≨2b <2a <21，即2b <2a <2.2.【解析】选B.从S 1，S 2，S 3猜想出数列的前n 项和S n ，是从特殊到一般的推理，所以B 是归纳推理.3.【解析】选C.≧x<0，≨－x>0， ≨x ＋1x －2＝－[(－x)＋1(－x)]－2≤－2〃(－x)〃1(－x)－2＝－4，等号成立的条件是－x ＝1－x ，即x ＝－1.4.【解题指南】要对a 分a ＝0和a ≠0讨论.【解析】选D.由题意知，a ＝0时，满足条件；a ≠0时，由题意知a>0且Δ＝a 2－4a ≤0得0<a ≤4，所以0≤a ≤4.5.【解析】选C.因为a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a ≤－6，所以三者不能都大于－2.6.【解析】选A.由(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0x 2－4x ＋6>3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0(x －1)(x －3)>0得0≤x<1或x>3，由(2)⎩⎪⎨⎪⎧x<0x ＋6>3得－3<x<0，由(1)(2)可得－3<x<1或x>3.7.【解析】选D.≧x>0，y>0，2x ＋8y＝1，≨xy ＝xy(2x ＋8y )＝2y ＋8x ≥22y 〃8x ＝8xy ，即8xy ≤xy ，解得xy ≥64，故xy 有最小值64，当且仅当x ＝4，y ＝16时，“＝”成立. 8.【解析】选B.如图，x ＋y ＝6过点A(k ，k)，k ＝3，z ＝x ＋y 在点B 处取得最小值，B 点在直线x ＋2y ＝0上，B(－6,3)，≨z min ＝－6＋3＝－3.【方法技巧】解决线性规划问题的步骤： (1)画出可行域； (2)确定目标函数的斜率；(3)画出过原点、斜率与目标函数斜率相同的直线； (4)平移直线，确定满足最优解的点； (5)求满足最优解的点的坐标.9.【解析】选D.因为a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0 (a 2－1)(b 2－1)≥0. 10.【解题指南】画出可行域，可知目标函数截距最大时z 最大，可解.【解析】选C.画出已知约束条件的可行域为△ABC 内部(包括边界)，如图，易知当a ＝0时，不符合题意；当a ＞0时，由目标函数z ＝x ＋ay 得y ＝－1a x ＋za ，则由题意得－3＝k AC ＜－1a ＜0，故a ＞13.综上所述，a ＞13.11.【解题指南】本题实际就是分母不等于零恒成立问题，需分m ＝0或m ≠0讨论.【解析】≧y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，≨mx 2＋4mx ＋3恒不等于0.当m ＝0时，mx 2＋4mx ＋3＝3满足题意. 当m ≠0时，Δ＝16m 2－12m<0，解得0<m<34，综上，0≤m<34，即m ∈[0，34).答案：[0，34)12.【解析】图像的三个顶点分别为(－3，－2)、(2，－2)、(2,3)，所以面积为252，因为目标函数的最值在顶点处取得，把它们分别代入z ＝x ＋y ，得x ＝2，y ＝3时，有z max ＝5. 答案：252513.【解析】≧x>0，y>0，≨xy ＝x ＋2y ≥2x 〃2y ， 即(xy)2≥8xy ，解得xy ≥8或xy ≤0(舍去)， ≧xy ≥m ＋2恒成立，≨m ≤xy －2恒成立， 即m ≤(xy －2)min ＝6. 答案：(－≦，6]14.【解析】由xa(x ＋2)＝x 得ax 2＋(2a －1)x ＝0.因为f(x)有唯一不动点，所以2a －1＝0，即a ＝12.所以f(x)＝2xx ＋2.所以x n ＋1＝1f(1x n)＝2x n ＋12＝x n ＋12.所以x 2 012＝x 1＋12×2 011＝1 000＋2 0112＝2 005.5.答案：2 005.515.【解析】设预订篮球比赛门票数与乒乓球比赛门票数都是n(n ∈N *)张，则足球比赛门票预订(15－2n)张，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧80n ＋60n ＋100(15－2n)≤1 20080n ≤100(15－2n).解得：5≤n ≤5514，又n ∈N *，可得n ＝5，≨15－2n ＝5.≨可以预订足球比赛门票5张. 答案：516.【证明】要证b 2－ac<3a ，只需证b 2－ac<3a 2， 因为a ＋b ＋c ＝0，只需证b 2＋a(a ＋b)<3a 2， 只需证2a 2－ab －b 2>0， 只需证(a －b)(2a ＋b)>0， 只需证(a －b)(a －c)>0.因为a>b>c ，所以a －b>0，a －c>0， 所以(a －b)(a －c)>0，显然成立. 故原不等式成立.17.【解题指南】此题需根据Δ<0，Δ>0，Δ＝0分类讨论，求出解集M ，验证即可，不要忘记M ＝Ø的情况.【解析】(1)当Δ＝4a 2－4(a ＋2)<0，即－1<a<2时，M ＝Ø，满足题意； (2)当Δ＝0时，a ＝－1或a ＝2.a ＝－1时M ＝{－1}，不合题意；a ＝2时M ＝{2}，满足题意；(3)当Δ>0，即a>2或a<－1时，令f(x)＝x 2－2ax ＋a ＋2，要使M ⊆[1,4]，只需⎩⎪⎨⎪⎧1<a<4f(1)＝3－a ≥0f(4)＝18－7a ≥0，得2<a ≤187；综上，－1<a ≤187.【变式备选】若关于x 的方程4x ＋a 〃2x ＋a ＋1＝0有实数解，求实数a 的取值范围.【解析】方法一：令t ＝2x >0，则原方程有实数解⇔t 2＋at ＋a ＋1＝0在(0，＋≦)上有实根得⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝a 2－4(a ＋1)≥0－a ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝a 2－4(a ＋1)≥0－a<0a ＋1<0得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－4(a ＋1)≥0－a ≥0，得a ≤2－2 2.方法二：令t ＝2x (t>0)，则原方程化为t 2＋at ＋a ＋1＝0，变形得a ＝－1＋t 21＋t ＝－(t 2－1)＋2t ＋1＝－[(t －1)＋2t ＋1] ＝－[(t ＋1)＋2t ＋1－2]≤－(22－2)＝2－2 2. ≨a 的取值范围是(－≦，2－22].18.【解析】(1)由题意，该商品年销售量为(80－203p)万件，年销售额为60(80－203p)万元，故所求函数为y ＝60(80－203p)〃p%.由80－203p>0，且p>0得，定义域为(0,12). (2)由y ≥128，得60(80－203p)〃p%≥128，化简得p 2－12p ＋32≤0，(p －4)(p －8)≤0，解得4≤p ≤8.故当税率在[4%，8%]内时，政府收取的税金不少于128万元.(3)当政府收取的税金不少于128万元时，厂家的销售额为g(p)＝60(80－203p)(4≤p ≤8). ≨g(p)为减函数，≨[g(p)]max ＝g(4)＝3 200(万元).即当p ＝4时厂家获得最大销售额.19.【解析】(1)当k ＝0时，A ＝(－≦，4)；当k>0且k ≠2时，A ＝(－≦，4)∪(k ＋4k，＋≦)； 当k ＝2时，A ＝(－≦，4)∪(4，＋≦)；当k<0时，A ＝(k ＋4k，4). (2)由(1)知：当k ≥0时，集合B 中的元素的个数无限；当k<0时，集合B 中的元素的个数有限，此时集合B 为有限集.因为k ＋4k≤－4，当且仅当k ＝－2时取等号，所以当k ＝－2时，集合B 的元素个数最少.此时A ＝(－4,4)，故集合B ＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}.20.【解析】(1)解不等式x 2－2x －3<0，得A ＝{x|－1<x<3}，解不等式x 2＋4x －5<0，得B ＝{x|－5<x<1}，≨A ∪B ＝{x|－5<x<3}.(2)由x 2＋ax ＋b<0的解集是(－5,3)，≨⎩⎪⎨⎪⎧ 25－5a ＋b ＝09＋3a ＋b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝－15，≨所求不等式为2x 2＋x －15<0，解得解集为{x|－3<x<52}. 21.【解析】(1)由a 1＝2，得a 2＝a 12－a 1＋1＝3，由a 2＝3，得a 3＝a 22－2a 2＋1＝4，由a 3＝4，得a 4＝a 32－3a 3＋1＝5，由此猜想{a n }的一个通项公式：a n ＝n ＋1(n ≥1).(2)(i)用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a 1≥3＝1＋2，不等式成立，②假设当n ＝k(k ∈N *)时不等式成立，即a k ≥k ＋2，那么a k ＋1＝a k (a k －k)＋1≥(k ＋2)(k ＋2－k)＋1＝2k ＋5>k ＋3. 也就是说，当n ＝k ＋1时，a k ＋1>(k ＋1)＋2.由①和②得对于所有n ≥1，有a n ≥n ＋2.(ii)由a n ＋1＝a n (a n －n)＋1及(i)，对k ≥2，有a k ＝a k －1(a k －1－k ＋1)＋1≥a k －1(k －1＋2－k ＋1)＋1＝2a k －1＋1 …迭代法a k ≥2k －1a 1＋2k －2＋…＋2＋1＝2k －1(a 1＋1)－1于是11＋a k ≤11＋a 1〃12k －1，k ≥2 nk 1k 11a =+∑≤11＋a 1＋11＋a 1n k 1k 212-=∑＝11＋a 1n k 1k 112-=∑＝21＋a 1(1－12n )<21＋a 1≤21＋3＝12.。