动静法
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达朗贝尔原理动静法课件
静力学分析
动力学分析
振动分析
通过动静法的应用，可以将动力学问题转化为静态问题，例如求物体的加速度、速度等。
动静法也可以用于研究物体的振动问题，例如求物体的固有频率、振型等。
03
02
01
03
达朗贝尔原理在动静法中的应用
总结词：达朗贝尔原理在动力学中用于描述物体运动规律，特别是对于复杂系统或非线性系统的运动分析。
达朗贝尔原理动静法课件
目录
contents
达朗贝尔原理概述动静法的基本概念达朗贝尔原理在动静法中的应用动静法的实际应用案例动静法的优缺点及未来发展
01
达朗贝尔原理概述
达朗贝尔原理是经典力学中的一个基本原理，它指出一个完整的保守系统在平衡点附近的小振动可以用线性弹簧模型来描述。
达朗贝尔原理具有普适性，适用于各种保守系统，如单摆、弹簧振荡器等。它提供了一种将复杂的非线性振动问题简化为线性问题的有效方法。
详细描述
建筑结构的动静法分析包括对建筑物在地震、风载、雪载等动态载荷和静载荷作用下的响应进行分析。通过模拟和分析建筑物的动力和静力行为，可以评估建筑物的安全性和稳定性，并预测其在各种载荷下的性能。这对于建筑物的设计和维护具有重要的意义。
VS
机械设备的动静法分析利用达朗贝尔原理对机械设备进行动力学和静力学的分析，以确保机械设备的正常运行和安全性。
结合虚拟现实技术
利用人工智能技术，为学生提供个性化的学习指点和反馈。
智能化辅助教学
将动静法应用于其他学科，如化学、生物等，促进跨学科的学习和整合。
跨学科整合
随着教育理念和技术的不断更新，动静法也需要不断改进和完善，以适应时代发展的需求。
持续改进教学方法
THANKS
动力学分析
振动分析
通过动静法的应用，可以将动力学问题转化为静态问题，例如求物体的加速度、速度等。
动静法也可以用于研究物体的振动问题，例如求物体的固有频率、振型等。
03
02
01
03
达朗贝尔原理在动静法中的应用
总结词：达朗贝尔原理在动力学中用于描述物体运动规律，特别是对于复杂系统或非线性系统的运动分析。
达朗贝尔原理动静法课件
目录
contents
达朗贝尔原理概述动静法的基本概念达朗贝尔原理在动静法中的应用动静法的实际应用案例动静法的优缺点及未来发展
01
达朗贝尔原理概述
达朗贝尔原理是经典力学中的一个基本原理，它指出一个完整的保守系统在平衡点附近的小振动可以用线性弹簧模型来描述。
达朗贝尔原理具有普适性，适用于各种保守系统，如单摆、弹簧振荡器等。它提供了一种将复杂的非线性振动问题简化为线性问题的有效方法。
详细描述
建筑结构的动静法分析包括对建筑物在地震、风载、雪载等动态载荷和静载荷作用下的响应进行分析。通过模拟和分析建筑物的动力和静力行为，可以评估建筑物的安全性和稳定性，并预测其在各种载荷下的性能。这对于建筑物的设计和维护具有重要的意义。
VS
机械设备的动静法分析利用达朗贝尔原理对机械设备进行动力学和静力学的分析，以确保机械设备的正常运行和安全性。
结合虚拟现实技术
利用人工智能技术，为学生提供个性化的学习指点和反馈。
智能化辅助教学
将动静法应用于其他学科，如化学、生物等，促进跨学科的学习和整合。
跨学科整合
随着教育理念和技术的不断更新，动静法也需要不断改进和完善，以适应时代发展的需求。
持续改进教学方法
THANKS
达朗贝尔原理(动静法)
§ 14-1
惯性力· 质点的达朗贝尔原理
ma F FN
F FN ma 0 惯性力 令 F ma I
有
F FN FI 0
质点的达朗贝尔原理:作用在质点的主动力、
约束力和虚加的惯性力在形式上组成平衡力系.
例14-1 已知:
这就是钢球在任一位置 时所受的法向反力, 显然当钢球脱离筒壁 时, FN＝0 , 由此可求出其脱离角a为
rw 2 a arccos( ) g
§ 14-2
质点系的达朗贝尔原理
i 1,2,, n
Fi FNi FIi 0
质点系的达朗贝尔原理:质点系中每个质点上作用的主动
x
M A (F ) 0 :
代入FI 的数值, 有
l FI d cos P sin 0 2
Pl 2l 2 sin ( w cos 1) 0 2 3g 3g 故有＝0或 arccos( ) 2 2lw
§ 14-3
刚体惯性力系的简化
用质点系的达朗贝尔原理求解质点系的动力学问 题，需要对质点内每个质点加上各自的惯性力，这些 惯性力也形成一个力系，称为惯性力系。下面用静力 学力系简化理论，求出惯性力系的主矢和主矩。 以FIR表示惯性力系的主矢。由质心运动定理及质 点系的达朗贝尔原理
m 0.1kg, l 0.3m, 60
求: 用达朗贝尔原理求解
v , FT .
v 解: F ma m I n l sin
mg FT FI 0
b
2
F
0, FT cos mg 0
F
解得
n
0, FT sin FI 0
第十四章 动静法
结论:刚体有质量对称面且平行于该平面运动时，其惯性力系向 转动质心C简化为一个力和一个力偶，力的作用线通过质心。
M Ic J C
由动静法可列出如下三个方程：
FIR m aC
F F 0 F F 0 M (F ) M
x Ix y Iy C
IC
0
动静法
d 2 xC M Fx 2 dt d 2 yC 刚体平面运 M F y dt 2 动微分方程 d 2 J C 2 M C (F ) dt
动静法
一 质点的达朗贝尔原理
m a F FN
F FN ma 0
令
FI ma
惯性力
有
F FN FI 0 质点的达朗贝尔原理：作用在质点的主动力、
约束力和虚加的惯性力在形式上组成平衡力系。
注意：惯性力不是力。 离心力？
达郎贝尔原理从形式上将动力学问题转化为静力学 问题，它并不改变动力学问题的实质，质点实际上也 并不平衡。
结论:刚体有质量对称面且绕与该面垂直轴转动时，其惯性力系 向转动中心O简化为一个力和一个力偶，力的作用线通过转轴 。 M J F ma
IR C
动静法
IO
z
三 刚体惯性力系的简化 分析几种特殊情况：
①转轴不通过质心，ω匀角速转动：
0; act 0
n c t c
n n FIO FIO -mac
Fi FNi FIi 0
(e)
i 1,2, , n
Fi
Fi ( i ) 分别为作用于第i个质点上的外力和内力。
e i F F i i FIi 0 e i M F M F 0 i 0 i
M Ic J C
由动静法可列出如下三个方程：
FIR m aC
F F 0 F F 0 M (F ) M
x Ix y Iy C
IC
0
动静法
d 2 xC M Fx 2 dt d 2 yC 刚体平面运 M F y dt 2 动微分方程 d 2 J C 2 M C (F ) dt
动静法
一 质点的达朗贝尔原理
m a F FN
F FN ma 0
令
FI ma
惯性力
有
F FN FI 0 质点的达朗贝尔原理：作用在质点的主动力、
约束力和虚加的惯性力在形式上组成平衡力系。
注意：惯性力不是力。 离心力？
达郎贝尔原理从形式上将动力学问题转化为静力学 问题，它并不改变动力学问题的实质，质点实际上也 并不平衡。
结论:刚体有质量对称面且绕与该面垂直轴转动时，其惯性力系 向转动中心O简化为一个力和一个力偶，力的作用线通过转轴 。 M J F ma
IR C
动静法
IO
z
三 刚体惯性力系的简化 分析几种特殊情况：
①转轴不通过质心，ω匀角速转动：
0; act 0
n c t c
n n FIO FIO -mac
Fi FNi FIi 0
(e)
i 1,2, , n
Fi
Fi ( i ) 分别为作用于第i个质点上的外力和内力。
e i F F i i FIi 0 e i M F M F 0 i 0 i
理论力学第十一章 达朗贝尔原理(动静法)
讨论：1）脱离角α与滚筒的角速度和滚筒半径有关，而与钢球质量无关。
2）
筒壁。此时转筒
的转速称为临界转速，对球磨机而言，要求n小于nL，否则球磨机就不能工作。
§11－2 刚体惯性力系的简化
刚体平移时惯性力系的简化
当刚体平移时,任一瞬时体内各点的加速度相等。若记某瞬 时刚体质心加速度为aC，则该瞬时体内任一质量为m的质点 的加速度ai=aC，虚加在该点上的惯性力Fgi=-miai=-miaC 。 刚体内每一点都加上相应的惯性力，由静力学知,该空间平 行力系可简化为过质心的合力，即
式中，Fgτ=-maτ，称为切向惯性力 Fgn=-man称为法向惯性力（也称离心力）
负号表示它们分别与切向加速度和法向加速度的方向相反。
§11－1 惯性力与质点的达朗贝尔原理
质点系的动静法
对由n个质点组成的非自由质点系,设其中任一质点的质量 为mi,某瞬时加速度为ai，作用其上的主动力F，约束反力 Fni，假想在该质点上加上惯性力Fgi=-mai，由质点达朗贝 尔原理，则
=－ maC
该力偶的力偶矩等于惯性力系对刚体惯性力系的简化
结论 当刚体有质量对称面，且绕垂直于质量对称面的定轴 转动时，惯性力系可以简化为对称面内的一个力和一个力偶。 该力等于刚体的质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速 度方向相反，且力的作用线通过转轴；
该力偶的力偶矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘 积，其转向与角加速度转向相反。惯性力系向点O简化的结 果如图b)所示。
Fg=-m a
质点的达朗伯原理:质点在运动的每一瞬时，作用 于质点上的主动力、约束反力与假想地在质点上 的惯性力，在形式上构成一平衡力系。
§11－1 惯性力与质点的达朗贝尔原理
理论力学第十四章达朗贝尔原理(动静法)课件
动静法的物理意义
物理背景
实际应用
达朗贝尔原理反映了牛顿第二定律在 静力学中的应用，通过引入惯性力， 将动力学因素考虑到平衡问题中。
在工程实际中，达朗贝尔原理广泛应 用于分析高速旋转的机械、振动系统 以及瞬态动力学问题。
意义阐述
通过动静法，我们可以分析在某一瞬 时，运动系统由于惯性作用而产生的 力，从而更准确地描述系统的平衡条 件。
03
在应用动静法时，要确 保惯性力与主动力相平 衡，避免出现误差。
04
在求解方程时，要注意 解的物理意义和实际情 况是否相符。
04
CATALOGUE
达朗贝尔原理的应用实例
简单实例解析
总结词
通过一个简单的实例，介绍达朗 贝尔原理的基本应用。
详细描述
以一个单摆为例，运用达朗贝尔 原理分析其运动状态，通过对比 理论计算和实验结果，验证达朗 贝尔原理的正确性。
具体推导过程
在受力分析的基础上，列出系统的平 衡方程。
解出未知数，得到系统的运动状态。
将动静法应用于平衡方程，将惯性力 与主动力相平衡。具体来说，就是在 平衡方程中加入惯性力项，使得该力 与主动力相平衡。
推导过程中的注意事项
01
确定研究对象和系统时 要明确，避免出现混淆 。
02
在建立平衡方程时，要 确保所有力的方向和大 小都正确。
理论力学第十四章 达朗贝尔原理(动静 法)课件
contents
目录
• 达朗贝尔原理概述 • 达朗贝尔原理的基本概念 • 达朗贝尔原理的推导过程 • 达朗贝尔原理的应用实例 • 达朗贝尔原理的扩展与深化
01
CATALOGUE
达朗贝尔原理概述
达朗贝尔原理的定义
13动静法
系的惯性力系与其外力的平衡，而与内力无关。 质点系的动静法（第二种描述方法）：
在质点系运动的任一瞬时，作用于质点系的外力与虚加 的惯性力构成零力系。
12
F (e) i
FIi 0
MO (Fi(e) ) MO (FIi ) 0
FIi
miai
mi
dvi dt
d dt
(
mi
vi
任副主编。
• 达朗伯的著作被汇编成《达朗伯全集》，共5卷，1821 年出版，1967年重印。
第十三章 动静法
§13–1 惯性力的概念 §13–2 质点的动静法 §13–3 质点系的动静法 §13–4 刚体惯性力系的简化 §13–5 达朗伯原理的应用
§13-1 惯性力的概念
a
F ' F ma
a F' F
对于空间任意力系：
F (e) xi
FIix 0 ,
M x (Fi(e) ) M x (FIi ) 0
F (e) yi
FIiy 0 ,
M y (Fi(e) ) M y (FIi ) 0
F (e) zi
FIzi 0 ,
M z (Fi(e) ) M z (FIi ) 0
将质点系受力按内力、外力划分, 则： Fi(i) 0 , MO(Fi(i)) 0
F (e) i
FIi 0
MO (Fi(e) ) MO (FIi ) 0
11
F (e) i
FIi 0
MO (Fi(e) ) MO (FIi ) 0
说明： 对整个质点系来说，动静法给出的平衡方程，只是质点
FIy
m ay
m
d2y dt 2
FIz
FI
m a
在质点系运动的任一瞬时，作用于质点系的外力与虚加 的惯性力构成零力系。
12
F (e) i
FIi 0
MO (Fi(e) ) MO (FIi ) 0
FIi
miai
mi
dvi dt
d dt
(
mi
vi
任副主编。
• 达朗伯的著作被汇编成《达朗伯全集》，共5卷，1821 年出版，1967年重印。
第十三章 动静法
§13–1 惯性力的概念 §13–2 质点的动静法 §13–3 质点系的动静法 §13–4 刚体惯性力系的简化 §13–5 达朗伯原理的应用
§13-1 惯性力的概念
a
F ' F ma
a F' F
对于空间任意力系：
F (e) xi
FIix 0 ,
M x (Fi(e) ) M x (FIi ) 0
F (e) yi
FIiy 0 ,
M y (Fi(e) ) M y (FIi ) 0
F (e) zi
FIzi 0 ,
M z (Fi(e) ) M z (FIi ) 0
将质点系受力按内力、外力划分, 则： Fi(i) 0 , MO(Fi(i)) 0
F (e) i
FIi 0
MO (Fi(e) ) MO (FIi ) 0
11
F (e) i
FIi 0
MO (Fi(e) ) MO (FIi ) 0
说明： 对整个质点系来说，动静法给出的平衡方程，只是质点
FIy
m ay
m
d2y dt 2
FIz
FI
m a
理论力学达朗贝尔原理(动静法)
miri cosi zi (miri 2 sin i zi )
由
cos
i
xi ri
,
sin i
yi ri
有 MI x mix iz i2 m i y iz i
记 Jyz m i y iz i, Jxz m i x iz i
称对 y、z 轴的惯性积， 对x、z 轴的惯性积。
M Ix J xz J yz 2
已知: P, R, J , a, m.
求：支座A，B受到的附加约束力。
解 ： FI ma
MI0
J
J
a R
M B 0 mgl2 FIl2 Pl3 M IO FAl1 l2 0
Fy 0 FA FB mg P FI 0
解得：FA
l1
1
l2
mgl2
Pl3
a
ml2
J R
第十五章 达朗贝尔原理(动静法)
§15-1 惯性力·质点的达朗贝尔原理
一、惯性力的概念
人用手推车 F ' F ma
力 F '是由于小车具有惯性，力图保持其原
有的运动状态，对于施力物体(人手)产生 的反抗力。称为小车的惯性力。
定义：质点惯性力
FI m a
质点惯性力的大小等于质点的质量与加速度的乘积，方
Fz 0 FBz FRz 0
M x 0 FB yOB FAyOA M x M I x 0
M y 0 FAxOA FBxOB M y M I y 0
解得
FAx
1 AB
M y FRxOB M Iy FIxOB
FAy
1 AB
M x FRyOB M Ix FIyOB
由 miar mi ar mar
由
cos
i
xi ri
,
sin i
yi ri
有 MI x mix iz i2 m i y iz i
记 Jyz m i y iz i, Jxz m i x iz i
称对 y、z 轴的惯性积， 对x、z 轴的惯性积。
M Ix J xz J yz 2
已知: P, R, J , a, m.
求：支座A，B受到的附加约束力。
解 ： FI ma
MI0
J
J
a R
M B 0 mgl2 FIl2 Pl3 M IO FAl1 l2 0
Fy 0 FA FB mg P FI 0
解得：FA
l1
1
l2
mgl2
Pl3
a
ml2
J R
第十五章 达朗贝尔原理(动静法)
§15-1 惯性力·质点的达朗贝尔原理
一、惯性力的概念
人用手推车 F ' F ma
力 F '是由于小车具有惯性，力图保持其原
有的运动状态，对于施力物体(人手)产生 的反抗力。称为小车的惯性力。
定义：质点惯性力
FI m a
质点惯性力的大小等于质点的质量与加速度的乘积，方
Fz 0 FBz FRz 0
M x 0 FB yOB FAyOA M x M I x 0
M y 0 FAxOA FBxOB M y M I y 0
解得
FAx
1 AB
M y FRxOB M Iy FIxOB
FAy
1 AB
M x FRyOB M Ix FIyOB
由 miar mi ar mar
第13章 动静法
二、关于惯性力的概念
FI ma
因该力与质点的惯性有关，故称为质点的惯性力；
但应注意：
1）质点并没有受到惯性力的作用，该原理中的
“平衡力系”实际上是不存在的。但假想地加上惯性力
后，就可将动力学问题借用静力学的理论和方法求解；
2）惯性力虽是虚加的力，但使该质点获得a的施力
物体受到的反作用力却与质点的惯性力有关，在某些情
(2)
该式表明，质点系中每个质点上作用的主动力、约
束力和虚加的惯性力构成“平衡”力系。
内力若Fi的把(e) 合作力用于质，点则的F所i(i有) 力分为外力的合力
，
Fi(e) Fi(i) FIi 0 ( i 1,2,......, n )
上式表明，质点系中每个质点上作用的外力、内力
和虚加的惯性力构成“平衡”力系。
解得 a g tanq q 角随着加速度 的a 变化而变化，当 不a 变时，q 角也不变。只要测出q 角，就能知道列车的加速
度 。摆a 式加速计的原理就是这样。
三、 质点系的动静法
设有一质点系由n个质点组成，对每一个质点i，有
Fi FNi FIi 0 ( i 1,2,......,n )
子的拉力。
a
FI2 P2
P1 FI1
Q
解：由 Fx 0 : Q F1 F2 FI1 FI 2 0
F2 N2
F1 N1
且F1
fP1、F
2
fP2、F
I1
P1 g
a、、F I 2
P2 g
a
求拉力T，可以P2为研究对象
a
Q P1 P2
f
g
由 Fx 0 : T F2 FI 2 0
FI2 P2
达朗贝尔原理(动静法)课件
惯性力问题
在研究具有加速度的物体时，可以利用达朗贝尔原理引入惯性力的概念，从而将 动力学问题转化为静力学问题，简化求解过程。
复杂系统的应用
多体系统动力学
在多体系统动力学中，达朗贝尔原理可以用于分析多个相互 作用的物体组成的复杂系统的运动规律。通过引入虚拟力， 可以将多体系统动力学问题转化为多个单体动力学问题的组 合。
案例二：机械设备的动静法优化
总结词
机械设备性能的优化是提高生产效率和降低能耗的关键，动静法能够分析机械设备的动态性能，提出 优化方案。
详细描述
在机械设备的运行过程中，动态性能对其稳定性和效率具有重要影响。达朗贝尔原理的动静法能够对 机械设备的动态性能进行深入分析，发现潜伏的问题并提出优化方案，从而提高设备的运行效率和稳 定性。
控制系统
在控制系统中，达朗贝尔原理可以用于分析系统的稳定性。 通过引入虚拟控制力，可以判断系统在受到干扰时是否能够 保持稳定。
04
达朗贝尔原理的案例分 析
案例一：桥梁结构的动静法分析
总结词
桥梁结构的稳定性与安全性是关键，动静法能够全面评估桥梁在不同载荷下的性能。
详细描述
桥梁作为交通要道，需要承受各种载荷，如车辆、风、地震等。达朗贝尔原理能够通过动静法分析桥梁在不同载 荷下的响应，从而评估其稳定性与安全性，为桥梁设计提供根据。
在振动分析中，动静法可用于 研究系统的自由振动和受迫振 动，分析系统的固有频率和振
型。
在稳定性分析中，动静法可用 于研究系统的稳定性和失稳条 件，预测系统的动态行为。
在控制系统分析中，动静法可 用于研究系统的动态响应和调
节性能，优化控制策略。
动静法的优缺点
动静法的优点在于其简单易行，能够 方便地引入虚拟惯性力，从而简化动 力学问题的分析过程。同时，动静法 能够直接得出系统的动力学方程，方 便进行数值计算和仿真分析。
在研究具有加速度的物体时，可以利用达朗贝尔原理引入惯性力的概念，从而将 动力学问题转化为静力学问题，简化求解过程。
复杂系统的应用
多体系统动力学
在多体系统动力学中，达朗贝尔原理可以用于分析多个相互 作用的物体组成的复杂系统的运动规律。通过引入虚拟力， 可以将多体系统动力学问题转化为多个单体动力学问题的组 合。
案例二：机械设备的动静法优化
总结词
机械设备性能的优化是提高生产效率和降低能耗的关键，动静法能够分析机械设备的动态性能，提出 优化方案。
详细描述
在机械设备的运行过程中，动态性能对其稳定性和效率具有重要影响。达朗贝尔原理的动静法能够对 机械设备的动态性能进行深入分析，发现潜伏的问题并提出优化方案，从而提高设备的运行效率和稳 定性。
控制系统
在控制系统中，达朗贝尔原理可以用于分析系统的稳定性。 通过引入虚拟控制力，可以判断系统在受到干扰时是否能够 保持稳定。
04
达朗贝尔原理的案例分 析
案例一：桥梁结构的动静法分析
总结词
桥梁结构的稳定性与安全性是关键，动静法能够全面评估桥梁在不同载荷下的性能。
详细描述
桥梁作为交通要道，需要承受各种载荷，如车辆、风、地震等。达朗贝尔原理能够通过动静法分析桥梁在不同载 荷下的响应，从而评估其稳定性与安全性，为桥梁设计提供根据。
在振动分析中，动静法可用于 研究系统的自由振动和受迫振 动，分析系统的固有频率和振
型。
在稳定性分析中，动静法可用 于研究系统的稳定性和失稳条 件，预测系统的动态行为。
在控制系统分析中，动静法可 用于研究系统的动态响应和调
节性能，优化控制策略。
动静法的优缺点
动静法的优点在于其简单易行，能够 方便地引入虚拟惯性力，从而简化动 力学问题的分析过程。同时，动静法 能够直接得出系统的动力学方程，方 便进行数值计算和仿真分析。
第十二部分动静法及应用
（1）小车以a0作铅垂向上的匀加速度运动； （2）小车以a0作水平向右的匀加速度运动； （3）小车以a0沿倾角为a的斜面作向上的匀加速度运动。
解： （1）小球有铅垂向上的加速度a0。惯性力Q=-ma0向下。
（2）小球有水平向右的加速度a0。惯性力Q=-ma0水平向左。
（3）小球有沿斜面方向的加速度a0。惯性力Q=-ma0沿斜面向下。
第三节 刚体动约束力分析
将动静法应用于刚体，就量重G=1.3kN的小车，自横梁上的光滑斜面籍自重下滑，当小车滑 行至M处时，h=0.6l，l=1.4m，a=30°
求：如图示位置时支座A、B处的约束力。 解： （1）先单独取小车为研究对象，求出它沿斜面下 滑的加速度。
Fk Qk Nk 0 Mo (Fk ) Mo (Qk ) Mo (Nk ) 0
即质点系的达朗伯原理：质点系在运动过程中的每一个瞬时，作用于质点 系上所有外力与假想地加在质点上的惯性力，在形式上构成平衡力系。
例、如下图所示，小车内有悬线挂一质量为m的小球。当小车作下列三种 不同方式的匀加速度直线运动时，求出悬线的拉力T值。
第一节 惯性力与动静法
一、质点的惯性力概念
任何物体都有保持静止或均速直线运动状态的属性，称为惯性。
当物体受到外力作用而产生运动状态的变化时，运动物体即对施力物体产生 反作用力，因这种反作用力是由于运动物体的惯性所引起的，故称为运动物体 的惯性力，以Q来表示。
其大小等于运动物体质量与加速度的乘积，方向与加速度相反，作用对象是 施力物体。
第二节 刚体运动时惯性力系的简化
一、平动刚体 刚体平动时，其惯性力系可简化为一个通过质心的合力，此合力的方向与
加速度方向相反，其值等于刚体的质量与加速度的乘积。即
二、定轴转动刚体 刚体绕垂直于对称平面的转轴转动
解： （1）小球有铅垂向上的加速度a0。惯性力Q=-ma0向下。
（2）小球有水平向右的加速度a0。惯性力Q=-ma0水平向左。
（3）小球有沿斜面方向的加速度a0。惯性力Q=-ma0沿斜面向下。
第三节 刚体动约束力分析
将动静法应用于刚体，就量重G=1.3kN的小车，自横梁上的光滑斜面籍自重下滑，当小车滑 行至M处时，h=0.6l，l=1.4m，a=30°
求：如图示位置时支座A、B处的约束力。 解： （1）先单独取小车为研究对象，求出它沿斜面下 滑的加速度。
Fk Qk Nk 0 Mo (Fk ) Mo (Qk ) Mo (Nk ) 0
即质点系的达朗伯原理：质点系在运动过程中的每一个瞬时，作用于质点 系上所有外力与假想地加在质点上的惯性力，在形式上构成平衡力系。
例、如下图所示，小车内有悬线挂一质量为m的小球。当小车作下列三种 不同方式的匀加速度直线运动时，求出悬线的拉力T值。
第一节 惯性力与动静法
一、质点的惯性力概念
任何物体都有保持静止或均速直线运动状态的属性，称为惯性。
当物体受到外力作用而产生运动状态的变化时，运动物体即对施力物体产生 反作用力，因这种反作用力是由于运动物体的惯性所引起的，故称为运动物体 的惯性力，以Q来表示。
其大小等于运动物体质量与加速度的乘积，方向与加速度相反，作用对象是 施力物体。
第二节 刚体运动时惯性力系的简化
一、平动刚体 刚体平动时，其惯性力系可简化为一个通过质心的合力，此合力的方向与
加速度方向相反，其值等于刚体的质量与加速度的乘积。即
二、定轴转动刚体 刚体绕垂直于对称平面的转轴转动
理论力学 第10章 达朗贝尔原理(动静法)
解： 取轮为研究对象
虚加惯性力系：
RQ maC mR
M QC JC m 2
O
由动静法，得：
23
X 0 , F T RQ 0
(1)
Y 0 , N mg S 0
(2)
mC (F )
0
, M
FR M QC
0
(3)
2
2
M F( R) T (4)
4
二、质点的达朗贝尔原理
非自由质点M，质量m，受主动力 F， 约束反力 N ，合力 R F N ma
F N ma 0
F N Q 0
质点的达朗贝尔原理
该方程对动力学问题来说只是 形式上的平衡，并没有改变动力学 问题的实质。采用动静法解决动力 学问题的最大优点，可以利用静力 学提供的解题方法，给动力学问题 一种统一的解题格式。
方向。 ④虚加惯性力。在受力图上画上惯性力和惯性力偶，一定要
在 正确进行运动分析的基础上。熟记刚体惯 性力系的简化结果。
26
⑤列动静方程。选取适当的矩心和投影轴。 ⑥建立补充方程。运动学补充方程（运动量之间的关系）。 ⑦求解求知量。
[注] RQ , MQO 的方向及转向已在受力图中标出，建立方程时， 只需按 RQ maC , MQO JO 代入即可。
5
[例1] 列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向
右作匀加速运动时，单摆左偏角度 ，相对于车厢静止。求车
厢的加速度 a 。 a
6
解： 选单摆的摆锤为研究对象 虚加惯性力 Q ma ( Q ma )
由动静法, 有
X 0 , mg sin Qcos 0
动静法
第十四章 动静法本章将介绍求解质点系动力学问题的另一种方法——动静法。
其做法是：通过达朗伯原理，将动力学问题在形式上转化为静力学问题，再由静力学中研究平衡的方法来研究动力学问题。
§14-1惯性力·质点的动静法设一质点，质量m ，加速度a ，作用于质点上的力有主动力F 和约束反力N ，则有a m N F =+即： 0=−+a m N F令 a m F g =，则有:0=++g F N F （1）上式在形式上一个平衡方程，把g F 作为一个力，方向与a 相反，因g F 与有关，故称质点的惯性力．．．。
于是得 m 在质点上除作用有真实的主动力和约束反力外，再假想地加上惯性力，则这些力在形式上组成一平衡力系。
这就是质点的达朗伯原理．．．．．。
应指出，惯性力是假想地加上的，“平衡力系”也是不存在的。
式（1）是牛顿第三定律的另一种表达形式，在形式上是静力学平衡方程。
这样就把动力学问题变成为静力学问题求解，这种方法称为动静法．．．。
例1．已知：半径为R 的光滑球顶置一重物，该重物由静止滑下。
求：1）ϕ角时；N 2）重物脱离球面时的m ϕ。
解：以重物为研究对象，受力为重力P ，约束反力N ，在图示位置，加速度为n a a ,τ。
n n g g a g P F a g P F −=−=∴,ττ（大小为n n g g a gP F a g P F ==,ττ） n g g F F N P ,,,τ在形式上组成平衡力系∑=0τi F ：0sin =−τϕg F P 0=∑inF ： 0cos =−−n g F N P ϕ即： 0cos 0sin =−−=−n a g P N P a g P P ϕϕτ ϕτsin g a =∴ （也可由此积分求出）v n a gP P N −=ϕcos 而,2R v a n = 由动能定理知 )cos 1(212ϕ−=PR v gP =2v )cos 1(2ϕ−gR)2cos 3(−=∴ϕP N令 1148,32cos ,0′===o m m N ϕϕ§14-2 质点系的动静法设质点系有个质点，第个质点质量，加速度n i i m i a ，作用力有主动力i F ，约束反力i N 。
动静法课件10
这个力通过质心，其大小等于刚体质量与质心加速的 乘积，其方向与质心加速度方向相反；
这个力偶的矩等于对通过质心且垂直于对称平面的轴
的转动惯量与角加速度的乘积，其转向与角加速度的 转向相反。
例 如图所式，一质量为m，宽度为d，高度为h的
混凝土构件放置于小平车上，若构件与小平车之间的摩擦
因数为f，试求：
5、原理
如假想地把惯性力加在运动的
质点上，则质点将在主动力、约
束力和惯性力的作用下处于平衡。
6、这种方法称为动静法，
它实际上是将动力学的问
题在形式上转化为静力学问题，因此可用静力学的方法去求 解。
7、举例
例1 设飞球调速器的主轴O1y1以匀角速w转动，
试求调速器两臂的张角a。设重锤C的质量为m，飞球的质
离心浇铸的原理，就是利用 了
旋转时的离心力使铁水紧压 在圆筒形铸型的内壁上。
§14—1 达朗伯原理
一、质点的达朗伯原理
1、研究对象：非自由质点
设一质点的质量为m，加速度为a，作用于质点上的力有 主动力FA和约束力FN ，如图所示。
2、受力情况： FA、FN
3、动力学基本方程
ma=FA+FN
注意，惯性力FI并不是作用在车上，而是作用在人手上。
显然，车的质量愈大，
惯性力也愈大。若车的运动
变化愈烈，加速度愈大，
则惯性力也愈大。
又例如链球运动中，重球在链子一端，在水平面作圆周 运动。设球径为r。球受到链的拉力Fn（向心力）作用，
引起向心加速度。
v2 an r n
由对链牛的顿反第作二用定力律F，I＝Fn－＝mFan＝n。－同m时an，。由力牛F顿I是第因三为定链律要，改球
AB，用铰链A及绳CD与铅垂轴AD连接，杆与铅垂轴的夹 角为q，CD水平。如转杆以匀角速度w转动，求绳CD的拉
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12 g l
12-3 动静法的应用
(2) 取AB 杆为研究对象
∑MA =0
M Ι2
−
mg
l 2
+
FΙ 2
l 2
=
0
3α 1
+
2α 2
=
3g l
FI2
MI2
α2
A
B
FAx
α1
=
9g 7l
,
α2
=
−
3g 7l
FAy
mg
动静法优点：可以 取整体为研究对象。 可以向任一点取矩
12-3 动静法的应用
例题 12-6 三棱柱A，质量m1，斜面倾角θ，地面光
α
∑MA =0
Ａ
Ｂ
FBl
+
Jα
−
(P
+W
)
l 2
=
0
Jα
FB = 0
P +W
FA
α = (P +W ) l
J2
FB
例12-2 如图所示, 均质杆AB的质量m＝40 kg, 长l＝4 m, A点以铰
链连接于小车上。不计摩擦, 当小车以加速度a＝15 m/s2向左运动
时, 求D处和铰A处的约束反力。
(6) 补充方程。 （6） 解方程。
12-3 动静法的应用
动静法解题关键是惯性力系的施加. 施加惯性力的关键要明确刚体做什么运动，分析质 心的加速度和刚体的角加速度。 惯性力方向必须和对应的加速度（或角加速度）方 向相反。 列平衡方程时，需带入正值。 惯性力和真实力需要图示。
1.主动力 2.约束反力 3.惯性力 组成平衡力系 ——动静法
4、真实力系和惯性力系构成平衡力系。即：主
矢、主矩等于零。
∑ ∑ ⎪⎧
⎨
∑ ∑ ⎪⎩
v F
e
+
v M
O
+
v FI
= v
v 0
M IO
=
v 0
质点系的达朗 贝尔原理
动静法基本思想：加假的惯性力，写假的平衡方程
12-2 惯性力系的简化
1、平面运动刚体
FV
F1 Fn
F2
MC C
真实力和惯性力系组成平衡力系
12-2 惯性力系的简化 刚体平面运动惯性力施加
α
JCα
aC
F1
Fn C
0
maC
F2
12-2 惯性力系的简化
2、平动刚体
FV
F1
Fn
C
F2
真实力和惯性力系组成平衡力系
⎪⎨⎧mavC = ∑ Fv
⎪⎩0 = M C
ma
C
Fn
+ F1
C
0
F2
ma
2、平移刚体
⎪⎨⎧mavC = ∑ Fv
⎪⎩0 = M C
aCy
α
C
B
aaACx
aCA
∑ Fy = 0 − FIy − mg + FT sin 60° = 0(3)
6、补充运动学方程 剪断绳子OB，A点绕OA做圆周
运avC动x 且+法av向Cy 加=速av度A为+零av。CA
aCx = aA cos 30°(4) aCy = −aA sin 30° − aCA (5)
滑，匀质圆柱C，质量m2，半径R，在A上纯滚。求
三棱柱的加速度。
分析：三棱柱平移；
12-1 质点和质点系的动静法
v FI
=
−mav
大小
FI = ma
方向
与a方向相反
质点惯性力
FI m F
作用点
作用于质点上
达朗贝尔惯性力是假的力。不存在
FN
a
12-1 质点和质点系的动静法
2、质点系的动静法
1、对每个质点施加假的惯性力； 2、各个质点本身所受的力——真实力系 3、各个质点惯性力——惯性力系
刚体定轴转动惯性力系向转轴简化为一力和一力偶．
惯性力
v FI
惯性力偶M IO
大小 方向
F分In别=与mavaCnCn, avFCt I相t =反maCt
M IO = JOα 与α 转向相反
作用点 转轴O
JOα
定轴转动惯性力系简化说明
O点简化
JOα
C点简化
JCα
ω
ω Oα
4、施加惯性力
FIx = maCx
FIy = maCy
M IC
=
JCα
=
1 12
ml 2α
12-3 动静法的应用
5、列平衡方程
FT
A
aCy
∑ α
MC = 0
M
IC
−
FT
sin
60°
l 2
=
0(1)
C
B
∑ Fx = 0
− FIx + FT cos 60° = 0(2)
FIx
MIC
A
aA
aCx mg
FIy
刹前闸
η ∈[0,1] ξ ∈[0,1]
⎩⎨⎧FFBA
= <
fFNA fFNB
⎩⎨⎧FFBA
= fFNA
= ηfFNB
(2)
刹后闸
⎧ ⎨ ⎩
FA FB
< =
fFNA fFNB
⎩⎨⎧FFBA
= =
ξfFNA (3)
fFNB
由动静法，刹车问题的方程为
∑ Fx = 0 FA + FB − FI = 0
∑ Fy = 0 FNA + FNB −W = 0
FΙ1 = maC1
M
Ι1
=
1 3
ml 2α1
FΙ2 = maC 2
M Ι2
=
1 12
ml 2α 2
未知数
8个
平衡方程
6个
补充运动方程 2
12-3 动静法的应用
解: (1) 取系统为研究对象
FΙ1 = maC1
M Ι1
=
1 3
ml 2α1
FI1
MI1
α1
C1
FI2
MI2
α2
A
C2
B
FΙ2 = maC 2
=
JCα
=
1 12
ml 2α
∑ Fx = 0 ∑MO = 0
FOx = 0
JCα
+
FIt
l 2
−
mg
l 2
=
0
∑ Fy = 0
FIt + FOy − mg = 0
α = 3g / 2l
FOy
=
1 4
mg
12-3 动静法的应用 课下练习:利用动量法求解此题.比较动静法和动量法.
O
A
力学小魔术
魔术师首先把刚性板AB水平放置在圆球上，板和圆球都可以 保持平衡，且圆心O和接触点B的连线与垂线夹角为ϕ。然后 魔术师又把箱子固定在AB板的中间位置，系统仍可以保持平 衡。 魔术师用魔棒轻轻向右推了一下圆球，竟然轻易地就把 圆球推开了。更令人惊讶的是，当圆球离开AB板后，AB板及 其箱子仍能在水平位置保持平衡。
M Ι2
=
1 12
ml 2α 2
FOx O aC1 aA
aC2
aC1
=
1 2
lα1
基点A
aA = lα1
avC 2 = av A + avC 2 A
FOy
mg
mg
aC 2
=
lα1
+
1 2
lα 2
∑MO = 0
M Ι1
+
M Ι2
− mg
l 2
− mg
3l 2
+
FΙ 2
3l 2
=
0
11α 1
+
5α 2
=
mg
A
FAx
FAy
∑ Fx = 0 FAx + FI + FD sin 30o = 0 ∑ Fy = 0 FAy + FD cos 30o − mg = 0 代入数据, 解之得：
FAx = −617.9N FAy = 357.82N FD = 39.47N
B
a FD
y
x D
FI
mg
A
FAx
FAy
骑自行车的人在突然刹车时，刹前闸和刹后 闸的感觉不同，如何用力学知识解释。
a CA
=
lα
2
α = 18g
13l
FT
=2 13
3mg
定轴转动刚体
y C
ω
A
θ
B
质量对称面垂直于转轴，转 轴为一点，平面问题
质量对称面不垂直于转轴， 转轴为一线，空间问题
质量对称面不垂直于转轴， 不能用定轴转动动力学方程 求解。只能用动静法求解。
12-3 动静法的应用
例12-4 质量为m长l的等截面均 质细杆AB, 其A端铰接于铅直轴
Fn
+ F1
JCα
C
F2
maC
⎪⎨⎧mavC = ∑ Fv
⎪⎩JCα = M C
maC
JCα C
0
12-3惯性力系的简化
1、刚体平面运动惯性力系向质心简化为一力和一力偶
α
惯性力
v FI
JCα aC C
大小 方向
FI = maC
与aC方向相反
maC
作用点
质心C
惯性力偶M IC
M IC = JCα
与α 转向相反
O