导数在经济方面的应用

（2）
R(Q) 20 2 Q 5
（3） 令 R(Q) 0 ,得驻点Q 50。另外，函数中没有导数不
存在的点。它们将定义域分为两个区间：[0,50)及[50, ) 。
（4）列表判别：
Q
R(Q ) R(Q )
[0, 50)
+ ↗
(50, )
↘
2020/5/3
返回
案例2.10
案 例 2.10 已 知 某 产 品 的 总 收 益 函 数
f ( x) 均为正值，因而函数 f ( x) x3 在区间
(, ) 内是单调增加的。
2020/5/3
通常，需求函数 Q Q(P) 的导数是减函数，导
数 Q( P ) 0 ，也就是随着价格的上升，需求量会下
降。但 Q Q( P ) 表示供给函数时却是增函数，导数
Q( P ) 0 ，也就是随着价格的上升，供给量会增加。
R 10Q Q2 ，试问产量为何值时企业收益最 2大？最大收益多少？2020/5/3
案例2.10
解 （1）因产量非负，所以Q 0 。
（2）R(Q) 10 Q 得驻点为Q 10 ，无不可导点。
（3）这些点将定义域分为两个区间：[0,10) 及[10, )。
（4）列表判别：
Q
[0,10)
（1）若 f (x0) <0，则 f ( x0 ) 为极大值； （2）若 f (x0 ) >0，则 f ( x0 ) 为极小值。
2020/5/3
案例2.11
课堂练习
• 1、设有一块边长为a的正方形铁皮，从 四个角截去同样的小方块，作成一个无 盖的方盒子，问小方块的边长为多少才 能使盒子容积最大？
2020/5/3
§2.4 导数在经济方面的应用
（3）——最优化问题
• 假设一个商场需要从外面购进制成品进 行销售。每次进货都需要支付与进货量无关 的运送费。另外，为了不使销售中断，他还 需贮存一定数量的制成品，贮存费需按件支 付。商场现在考虑的问题是如使总费用最低 。很明显，如果制成品的运送费用高而贮存 费用低，应选择运货次数少一点而贮存得多 一些。但是，应如何安排运送才能使运输费 加贮存费最少呢？这就是我们将要学习的最 值问题。这类问题的解决，我们统称为最优 化问题。
3．指出 f ( x) 0 的点和 f ( x) 不存在的点，并
以这些点为分界点将定义域分为若干个子区间；
4．列表判别：确定 f ( x) 在各个子区间的符号，
从而判定函数 f ( x) 的单调性．
2020/5/3
案例2.9
§2.4.2函数的极值
定义 2.3 设 f ( x)在点 x0及其附近有定义，若在 点 x0附近，恒有 (1) f ( x) f ( x0 )，则称 f ( x0 )为极大值，x0为极大值点； (2) f ( x) f ( x0 )，则称 f ( x0 )为极小值，x0为极小值点．
(1) f ( x) 由正变为负，则 f ( x0 ) 为极大值； (2) f ( x) 由负变为正，则 f ( x0 ) 为极小值； (3) f ( x) 不变号，则 f ( x0 ) 不是极值．
2020/5/3
案例2.10
第二充分判别法 设 f ( x) 在点 x0 处具有二 阶导数，且 f (x0 ) 0：
驻点和不可导点都是极值点。例如： f ( x) x3 有驻点 x 0 ，但函数在(, ) 内严格单调增加，
不可能在 x 0 处达到极值．
2020/5/3
那么，究竟应怎样求取函数的极值点呢？我们有如 下两个判别法：
第一充分判别 设 f ( x) 在点 x0 连续，在点 x0 附近可导，x0 为 f ( x)的驻点或导数不存在的点．若 x x 当 x 在点 0 附近，从左变到右(不含 0 点)时，
（1） 若 f ( x) 0 ，则 f ( x) 在区间(a,b) 内是单
调增加
（2） 若 f ( x) 0 ，则 f ( x) 在区间(a,b) 内是单
调减少
若在 (a, b) 内个别点处 f ( x) =0，仍有上述结论。
例如，在区间(, ) 内，函数 f ( x) x3
的导数 f ( x) 3x2 在点 x 0 处为零，除此之外，
• 2、每日来回12次，每次拖6只小船能使 运货总量达到最大。
2020/5/3
返回
案例2.9
案例 2.9 在案例 2.4 中我们已经得到 产品的收益函数为
Q2 R Q P(Q) 20Q 5 ，试求收益函数的 增区间及减区间。
2020/5/3
案例2.9
解 （1）因为收益函数产量Q应是非负数，即定义域 为Q 0。
f ( x3 ) 0。 Y
y=f(x)
2020/5/3
x2
O
a x1
X x3 b
我们通常把导数为零的点称为驻点。当然，极值 点处也可能不可导。所以我们在寻找函数的极值点时 应在驻点及导数值不存在的点处寻找。也就是说，极 值点包含于驻点和导数不存在的点之中。用集合来表 示是：
{极值点} {驻点}U{导数不存在的点} 但值得注意的是，反过来并不成立，并非所有的
1200
600
非负数，所以边际成本大于零，也就是总成本函数为
增函数。
2020/5/3
一个函数可能在有些区间内增加，有些地方减少。 通常我们按如下步骤求函数的单调增区间和减区间：
1．指出函数的定义域；
2．求出 f ( x) (为了方便其符号的确定，通常应
将分子、分母整理为最简因式的乘积，其负指数次幂 也应化为分式的形式)；
R(Q ) 1
代入驻点 R( 1 0) 1 0 由第二判别法 R( 1 0) 5为0函数的极大值。
2020/5/3
返回
2020/5/3
§2.4.1 函数的单调性
在中学阶段已经学习了函数的单调性的判别方 法，这里我们将利用导数来判别函数的单调性。
一个函数在区间上单调增加（或单调减少），其
图形的特点是：沿 x 轴正方向曲线是上
升（或下降）的，如图：
Y
O
X
2020/5/3
Y
O
X
2020/5/3
定理 2.1 设函数 f ( x) 在区间(a,b) 内可导。
参考答案
课堂练习
• 2、用汽船拖载重相等的小船若干只， 在两港之间来回运送货物。已知每次拖 4只小船，一日能来回16次，每次拖7只 ，则1日能来回l0次，如果小船增多的只 数与来回减少的次数成正比。问每日来 回多少次，每次拖多少只小船能使运货 总量达到最大?
2020/5/3
参考答案
参考答案
• 1、将正方形的四个角各裁去一块边长 为a/6的小正方形后，能做成容积最大的 盒子。
10 (10, )
R(Q )
+
0
-
R(Q )
↗
极大值 点
↘
所以在产量为 10 时，收益达到极大值。最大收
100 益为 R(10) 1010 2 50 。 返回
2020/5/3
案例2.11
案例 2.11 重新求案例 2.10 中收益的极值。
解 在案例 2.10 中我们已经求得驻点Q 10 。由于没 有不可导点，我们采用第二判别法求极值。因为
极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值 点统称为极值点．
2020/5/3
如图，从图形上不难看出，函数的极值点通常在曲线
的升、降转折处取得，也就是在 “峰顶点”x1、x3和 “谷底点” x2等处取得．在右图中，如果 f ( x)在区
间a,b 内可导，则 f ( x1 ) 0 ， f ( x2 ) 0 ，
另外，总成本函数、变动成本函数都是增函数，随着 产量的增加，总成本和变动成本都会增加。
例如，在案例
2.4
中的需求函数为
P
20
Q 5
，
即Q 100 5P ， Q( P ) 5 0 ，所以需求函
数 为 减 函 数 。 在 案 例 2.1 中 ， 总 成 本 函 数 为
C(Q) 1100 Q2 ， C(Q) Q ，因为产量 Q 是