中考数学复习“1+1+3”专项训练(14) 苏科版
中考数学复习“1+1+3”专项训练13苏科版(1)
中考数学复习“1+1+3”专项训练13苏科版(1)1．观察下列图形：若图形（1）中阴影部分的面积为1，图形（2）中阴影部分的面积为，图形（3）中阴影部分的面积为，图形（4）中阴影部分的面积为，…，则第个图形中阴影部分的面积用字母表示为2．如图，在正方形ABCD 的对角线上取点E ，使得∠BAE=，连结AE ，CE ．延长CE 到F ，连结BF ，使得BC=BF ．若AB=1，则下列结论：①AE=CE ；②F 到BC 的距离为；③BE+EC=EF ；④；⑤．其中正确的个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3．金秋十月，某绿色种植基地种植的农产品喜获丰收，但由于同类农产品的大量上市，本地市场价格第一天为每千克4.8元，第二天降为每千克4.6元，且价格p （元／千克）与天数_（天）（1≤_≤7且_为整数）满足一次函数关系．销售量q （千克）与天数_（天）之间满足q=100_+1500（1≤_<7且_为整数）．（1）求价格p （元／千克）与天数_（天）之间的函数关系式：（2）第几天的销售收入最大?并求这个最大值．（3）若该农产品不能在7天内出售，将会因变质而不能出售．依此情况，基地将l0吨该农产品运往外地销售．已知在第五天将农产品运到了外地，并在当天全部销售完．外地销售这种农产品的价格比同一天在本地销售的价格高a ％（0<a<20），而在运输过程中有0.6a ％损耗，这样，除去各种费用l200元后收入40000元．请你参考以下数据，通过计算估算出a 的整数值． （参考数据：）4．如图，AB 是⊙O 的直径，点A 、C 、D 在⊙O 上，过D 作PF ∥AC 交⊙O 于F 、交AB 于E ，且∠BPF=∠ADC.（1）判断直线BP 和⊙O 的位置关系，并说明你的理由；（2）当⊙O 的半径为，AC=2，BE=1时，求BP 的长.5．如图a ，在平面直角坐标系中，A(0，6)，B(4，0). （1）按要求画图：在图a 中，以原点O 为位似中心，按比例尺1:2，将△AOB 缩小，得到△DOC ，使△AOB 与△DOC 在原点O 的两侧；并写出点A 的对应点D 的坐标为 ,点B 的对应点C 的坐标为 ；（2）已知某抛物线经过B 、C 、D 三点，求该抛物线的函数关系式,并画出大致图象；P OF E D C B A（3）连接DB ，若点P 在CB 上，从点C 向点B 以每秒1个单位运动，点Q 在BD 上，从点B向点D 以每秒1个单位运动，若P 、Q 两点同时分别从点C 、点B 点出发，经过t 秒，当t 为何值时，△BPQ 是等腰三角形？1．2.B 3、解：（1）设，而_=1时，p ＝4.8；_=2时，p ＝4.6,代入得： ，解得所以： （2）设每天的销售收入为w ，则w=pq=(100_+1500)(-0.2_+5)=-20_2+200_+7500(1≤_≤7且_为整数)所以，当_=5时，w 有最大值＝8000（3）由题意得，4（1+a%）_10000(1-0.6a%)-1200=40000设a%＝m ，整理得：60m2-40m+3=0解得：,，故4.(1)直线BP 和⊙O 相切.理由：连接BC,∵AB 是⊙O 直径,∴∠ACB=90°.∵PF ∥AC,∴BC ⊥PF, 则∠PBH+∠BPF=90°.∵∠BPF=∠ADC,∠ADC=∠ABC,得AB ⊥BP, 所以直线BP 和⊙O 相切. (2)由已知，得∠ACB=90°,∵AC=2,AB=2,∴BC=4.∵∠BPF=∠ADC,∠ADC=∠ABC,∴∠BPF=∠ABC,由(1),得∠ABP=∠ACB=90°,∴△ACB ∽△EBP,∴=,解得BP=2.即BP 的长为2.5.(1)画图1分; C (-2,0),D(0,-3).(2)∵C(-2,0),B(4,0).设抛物线y=a(_+2)(_-4),将D(0,-3)代入,得a=3/8.∴y=3/8(_+2)(_-4),即y=3/8_2-3/4_-3.大致图象如图所示.备用图图a A B O x y 6446y xO B AA B C D E FOP(3)设经过ts,△BPQ为等腰三角形，此时CP=t,BQ=t,∴BP=6-t.∵OD=3,OB=4,∴BD=5.①若PQ=PB,过P作PH⊥BD于H,则BH=1/2BQ=1/2t,由△BHP∽△BOD,得BH:BO=BP:BD,∴t=48/13s.②若QP=QB,过Q作QG⊥BC于G,BG=1/2(6-t).由△BGQ∽△BOD,得BG:BO=BQ:BD,∴t=30/13s.③若BP=BQ,则6-t=t,t=3s. ∴当t=48/13s或30/13s或3s时,△BPQ为等腰三角形.。
中考数学复习“1 1 3”专项训练(14) 苏科版【教案】
- 1 -2013年九年级数学中考复习讲义系列-----每周一练（14）时间：60分钟 姓名1、如图（1），A ，B ，C ，D 为圆O 的四等分点，动点P 从圆心O 出发，沿O —C —E —D —O 路线作匀速运动，设运动时间为x (秒)，∠APB ＝y (度)，图（2）表示y 与x 之间的函数关系图，则点M 的横坐标应为-----------------------------------------------------------（ ） A ．2 B ．πC ．1π+D ．π＋22、如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是AB 上的一点，将⊿BCE 沿CE 折叠至⊿FCE ，若CF ，CE 恰好与以正方形ABCD 的中心为圆心的⊙O 相切，则折痕CE 的长为_______ ； 3、如图，平面直角坐标系中，直线3+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于点B 、C ；抛物线c bx x y ++-=2经过B 、C 两点，并与x 轴交于另一点A ．（1）求该抛物线所对应的函数关系式；（2）设)(n m P ，是（1）中所得抛物线上的一个动点，且点P 位于第一象限。
过点P 作直线x l ⊥轴于点M ，交BC 于点N ．① 试问：线段PN 的长度是否存在最大值 ？若存在，求出它的最大值及此时m 的值；若不存在，请说明理由；② 若⊿PBC 是以BC 为底边的等腰三角形，试求点P 的横坐标。
4、如图1，一副直角三角板满足AB ＝BC=10，∠ABC ＝∠DEF ＝90°,∠EDF ＝30°，将三角板- 2 - DEF的直角边EF放置于三角板ABC的斜边AC上，且点E与点A重合。
▲操作一：固定三角板ABC，将三角板DEF沿A C方向平移，使直角边ED刚好过B点，如图2所示；【探究一】三角板D EF沿A C方向平移的距离为_________；▲操作二：将三角板DEF沿A C方向平移至一定位置后，再将三角板．．．．DEF．．．绕．点．E．旋转．．，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC交于点Q；【探究二】在旋转过程中，(1)如图3，当CE1EA＝时，请判断下列结论是否正确（用“√”或“×”表示）：① EP=EQ；（）②四边形EPBQ的面积不变，且是⊿ABC面积的一半；（）(2)如图4，当CE2EA＝时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并说明理由.(3)根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当CEEA＝m时，EP与EQ满足的数量关系式为_________；(直接写出结论，不必证明)QPDEFCBAQPDEFCBA（图2）（图1）（图3）（图4）5、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从点D出发沿DA向终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线AC向终点C运动。
苏科版数学中考专题复习：图形的相似综合压轴题 专项练习题汇编(Word版,含答案)
苏科版数学中考专题复习：图形的相似综合压轴题专项练习题汇编1．已知四边形ABCD中，M，N两点分别在AB，BD上，且满足∠MCN＝∠BDC．（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，①求证：△ACM∽△DCN；②求证：DN+BM＝CD；（2）如图2，当四边形ABCD为菱形时，若∠BAD＝120°，试探究DN，BM，CD的数量关系．2．在△ABC中，CA＝CB＝m，在△AED中，DA＝DE＝m，请探索解答下列问题．【问题发现】（1）如图1，若∠ACB＝∠ADE＝90°，点D，E分别在CA，AB上，则CD与BE的数量关系是，直线CD与BE的夹角为；【类比探究】（2）如图2，若∠ACB＝∠ADE＝120°，将△AED绕点A旋转至如图2所示的位置，则CD与BE之间是否满足（1）中的数量关系？说明理由．【拓展延伸】（3）在（1）的条件下，若m＝2，将△AED绕点A旋转过程中，当B，E，D三点共线．请直接写出CD的长．3．已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G．问题发现：（1）①如图1，若四边形ABCD是正方形，且DE⊥CF于G，则＝；②如图2，当四边形ABCD是矩形时，且DE⊥CF于G，AB＝m，AD＝n，则＝；拓展研究：（2）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，且∠B+∠EGC＝180°时，求证：；解决问题：（3）如图4，若BA＝BC＝5，DA＝DC＝10，∠BAD＝90°，DE⊥CF于G，请直接写出的值．4．在等边△ABC中，D，E分别是AC，BC上的点，且AD＝CE，连接BD、AE相交于点F．（1）如图1，当时，＝；（2）如图2，求证：△AFD∽△BAD；（3）如图3，当时，猜想AF与BF的数量关系，并说明理由．5．如图1，点D是△ABC中AB边上一点，∠ACD＝∠B，BC2＝AB•BD．（1）求证：∠ADC＝∠ACB；（2）求∠ACB的度数；（3）将图1中的△BCD绕点C顺时针旋转得到△ECF，BD的对应边EF经过点A（如图2所示），若AC＝2，求线段CD的长．6．在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点M为AB边上一个动点，连接DM，过点M作MN ⊥DM，且MN＝DM，连接DN．（1）如图①，连接BD与BN，BD交MN于点E．①求证：△ABD∽△MND；②求证：∠CBN＝∠DNM；（2）如图②，当AM＝4BM时，求证：A，C，N三点在同一条直线上．7．在△EFG中，∠EFG＝90°，EF＝FG，且点E，F分别在矩形ABCD的边AB，AD上，AB＝8，AD＝6．（1）如图1，当点G在CD上时，求AE+DG的值；（2）如图2，FG与CD相交于点N，连接EN，当EF平分∠AEN时，求证：EN＝AE+DN；（3）如图3，EG，FG分别交CD于点M，N，当MG2＝MN•MD时，求AE的值．8．【问题背景】如图1，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，由已知可以得到：①△≌△；②△∽△．【尝试应用】如图2，在△ABC和△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE ＝30°，求证：△ACE∽△ABD．【问题解决】如图3，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE ＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC上，，求的值．9．已知正方形ABCD中，点E是边CD上一点（不与C、D重合），将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，如图1，连接EF分别交AC、AB于点P、G．（1）请判断△AEF的形状；（2）求证：P A2＝PG•PF；（3）如图2，当点E是边CD的中点时，PE＝1，求AG的长．10．如图，等边△ABC的边长为12，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE＝4，点F 为BA延长线上一点，过点F作直线l∥BC，G为射线BC上动点，连接GD并延长交直线l于点H，连接FE并延长交BC于点M，连接HE并延长交射线BC于点N．（1）若AF＝4，当BG＝4时，求线段HF和EH的长；（2）若AF＝a（a＞0），点G在运动过程中，请判断△HGN的面积是否改变．若不变，求出其值（用含a的代数式表示）；若改变，请说明理由．11．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．（1）如图1，点D为AC上一点，DE∥BC交AB边于点E，若＝，求AD及DE的长；（2）如图2，折叠△ABC，使点A落在BC边上的点H处，折痕分别交AC、AB于点G、F，且FH∥AC．①求证：四边形AGHF是菱形；②求菱形的边长；（3）在（1）（2）的条件下，线段CD上是否存在点P，使得△CPH∽△DPE？若存在，求出PD的长；若不存在，请说明理由．12．如图①，AB∥MH∥CD，AD与BC相交于点M，点H在BD上．求证：．小明的部分证明如下：证明：∵AB∥MH，∴△DMH∽△DAB，∴．同理可得：＝，…．（1）请完成以上的证明（可用其他方法替换小明的方法）；（2）求证：；（3）如图②，正方形DEFG的顶点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，E、F在边BC 上，AN⊥BC，交DG于M，垂足为N，求证：．13．【问题情境】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，我们可以得到如下正确结论：①CD2＝AD•BD；②AC2＝AB•AD；③BC2＝AB•BD，这些结论是由古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》最先提出的，我们称之为“射影定理”，又称“欧几里德定理”．（1）请证明“射影定理”中的结论③BC2＝AB•BD．【结论运用】（2）如图2，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF．①求证：△BOF∽△BED．②若CE＝2，求OF的长．14．如图①，在正方形ABCD中，点P为线段BC上的一个动点，连接AP，将△ABP沿直线AP翻折得到△AEP，点Q是CD的中点，连接BQ交AE于点F，若BQ∥PE．（1）求证：△ABF∽△BQC；（2）求证：BF＝FQ；（3）如图②，连接DE交BQ于点G，连接EC，GC，若FQ＝6，求△GBC的面积．15．如图1，已知等边△ABC的边长为8，点D在AC边上，AD＝2，点P是AB边上的一个动点．（1）连接PC、PD．①当AP＝时，△APD∽△ACP；②若△APD与△BPC相似，求AP的长度；（2）已知点Q在线段PB上，且PQ＝2．①如图2，若△APD与△BQC相似，则∠ACQ与∠PDC之间的数量关系是；②如图3，若E、F分别是PD、CQ的中点，连接EF，线段EF的长是否是一个定值，若是，求出EF的长，若不是，说明理由．16．（1）如图①，点E，F分别在正方形边AB，BC上，且AF⊥DE，请直接写出AF与DE的关系．（2）如图②，点E，F，G分别在矩形ABCD的边AB，BC，CD上，且AF⊥EG，求证：．（3）如图③，在（2）的条件下，连接AG，过点G作AG的垂线与CF交于点H，已知BH＝3，HG＝5，GA＝7.5，求的值．17．【问题背景】正方形ABCD和等腰直角三角形CEF按如图①所示的位置摆放，点B，C，E在同一条直线上，其中∠ECF＝90°．【初步探究】（1）如图②，将等腰直角三角形CEF绕点C按顺时针方向旋转，连接BF，DE，请直接写出BF与DE的数量关系与位置关系：；【类比探究】（2）如图③，将（1）中的正方形ABCD和等腰直角三角形CEF分别改成矩形ABCD和Rt△CEF，其中∠ECF＝90°，且，其他条件不变．①判断线段BF与DE的数量关系，并说明理由；②连接DF，BE，若CE＝6，AB＝12，求DF2+BE2的值．18．在相似的复习课中，同学们遇到了一道题：已知∠C＝90°，请设计三种不同方法，将Rt△ABC分割成四个小三角形，使每个小三角形与原三角形相似．（1）甲同学设计了如图1分割方法：D是斜边AB的中点，过D分别作DE⊥AC，DF ⊥BC，请判断甲同学的做法是否正确，并说明理由．（2）乙同学设计了如图2分割方法，过点D作FD⊥AB，DE⊥BC，连结EF，易证△ADF∽△ACB，△DEB∽△ACB，但是只有D在AB特殊位置时，才能证明另两个三角形与原三角形相似，李老师通过几何画板，发现∠A＝30°时，，∠A＝45°时，，∠A＝60°时，．猜测对于任意∠A，当＝（用AC，BC或AB相关代数式表示），结论成立．请补充条件并证明．（3）在普通三角形中，显然连结三角形中位线分割成四个小三角形与原三角形相似．你能参考乙同学的分割方法找到其他分割方法吗？请做出示意图并作适当分割说明（不要求证明过程）．19．△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在AB边上，点E在AC边上，连接DE，取BC边的中点O，连接DO并延长到点F，使OF＝OD，连接CF，EF，令＝＝k．（1）①如图1，若k＝1，填空：＝；△ECF是三角形．②如图2，将①中△ADE绕点A旋转，①中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2所示情况给出证明；若不成立，请说明理由．（2）如图3，若k＝，AB＝AD，将△ADE由图1位置绕点A旋转，当点C，E，D三点共线时，请直接写出sin∠1的值．20．【基础探究】如图1，四边形ABCD中，∠ADC＝∠ACB，AC为对角线，AD•CB＝DC•AC．（1）求证：AC平分∠DAB．（2）若AC＝8，AB＝12，则AD＝．【应用拓展】如图2，四边形ABCD中，∠ADC＝∠ACB＝90°，AC为对角线，AD•CB ＝DC•AC，E为AB的中点，连结CE、DE，DE与AC交于点F．若CB＝6，CE＝5，请直接写出的值．参考答案1．（1）①证明：∵四边形ABCD为正方形∴∠ACD＝∠BDC＝∠BAC＝45°，又∵∠MCN＝∠BDC，∴∠MCN＝∠ACD＝45°，∴∠MCA+∠ACN＝∠ACN+∠DCN，∴∠MCA＝∠DCN，∴△ACM∽△DCN．②证明：由①可知：△ACM∽△DCN，∴，∴DN＝AM，∴AM+BM＝AB＝CD，∴DN+BM＝CD．（2）解：如图所示：连接AC，在DN上取一点P使∠PCD＝∠PDC＝30°，过P作PQ ⊥CD于Q，∴∠PCD＝∠PDC＝30°，∴∠NPC＝60°，又∵四边形ABCD为菱形且∠BAD＝120°，∴∠BAC＝60°，∴∠NPC＝∠BAC，又∵∠ACP＝∠ACD﹣∠PCD＝30°，∠MCN＝∠BDC＝30°，∵∠MCN＝∠ACP，∴∠MCA+∠ACN＝∠ACN+∠NCP，∴∠MCA＝∠NCP，∴△AMC∽△PNC，∴，∵，∴CD＝CP，∴，∴AM，∴AM＝PN，∴AM+MB＝AB＝CD，∴PN+MB＝CD，∴（DN﹣DP）+MB＝CD，∴（DN﹣CD）+MB＝CD，即DN﹣CD+MB＝CD，∴DN+MB＝2CD．2．解：（1）∵∠ACB＝∠ADE＝90°，CA＝CB，DA＝DE，∴∠A＝∠B＝∠DEA＝45°，∴AB＝AC＝m，AE＝AD＝m，∴CD＝AC﹣AD＝m，BE＝AB﹣AE＝m，∴BE＝CD，∵∠A＝45°，∴直线CD与BE的夹角为45°，故答案为：BE＝CD，45°；（2）不满足，BE＝CD，直线CD与BE的夹角为30°，理由如下：如图2，过点C作CH⊥AB于H，延长CD、BE交于点F，∵CA＝CB，∴AH＝HB，∵∠ACB＝∠ADE＝120°，CA＝CB，DA＝DE，∴∠CAB＝∠CBA＝30°，∠DAE＝∠DEA＝30°，∴AC＝2CH，∠CAD＝∠BAE，由勾股定理得：AH＝AC，∴AB＝AC，同理可得：AE＝AD，∵∠CAD＝∠BAE，∴△CAD∽△BAE，∴＝＝，∠ACD＝ABE，∴BE＝CD，∠F＝∠CAB＝30°，∴BE＝CD，直线CD与BE的夹角为30°；（3）如图3，点E在线段BD上，∵m＝2，∴AD＝DE＝1，AB＝2，由勾股定理得：BD＝＝，∴BE＝BD﹣DE＝﹣1，∴CD＝BE＝，如图4，点D在线段BE上，BE＝BD+DE＝+1，∴CD＝BE＝，综上所述：当B，E，D三点共线．CD的长为或．3．（1）解：①∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°，∵DE⊥CF，∴∠DGF＝90°＝∠ADC，∴∠ADE+∠EDC＝90°＝∠EDC+∠DCF，∴∠ADE＝∠DCF，∴△ADE≌△DCF（ASA），∴DE＝CF，故答案为：1；②解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠FDC＝90°，AB＝CD＝m，∵CF⊥DE，∴∠DGF＝90°，∴∠ADE+∠CFD＝90°，∠ADE+∠AED＝90°，∴∠CFD＝∠AED，∵∠A＝∠CDF，∴△AED∽△DFC，∴＝，故答案为：；（2）证明：如图所示，∠B+∠EGC＝180°，∠EGC+∠EGF＝180°，∴∠B＝∠EGF，在AD的延长线上取点M，使CM＝CF，则∠CMF＝∠CFM，∵AB∥CD，∴∠A＝∠CDM，∵AD∥BC，∴∠B+∠A＝180°，∵∠B＝∠EGF，∴∠EGF+∠A＝180°，∴∠AED＝∠CFM＝∠CMF，∴△ADE∽△DCM，∴，即；（3）解：过C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延长线于M，连接BD，设CN＝x，∵∠BAD＝90°，即AB⊥AD，∴∠A＝∠M＝∠CNA＝90°，∴四边形AMCN是矩形，∴AM＝CN，AN＝CM，在△BAD和△BCD中，，∴△BAD≌△BCD（SSS），∴∠BCD＝∠A＝90°，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC+∠CBM＝180°，∴∠MBC＝∠ADC，∵∠CND＝∠M＝90°，∴△BCM∽△DCN，∴，∴，∴CM＝x，在Rt△CMB中，CM＝x，BM＝AM﹣AB＝x﹣5，由勾股定理得：BM2+CM2＝BC2，∴（x﹣5）2+（x）2＝52，解得：x1＝0（舍去），x2＝8，∴CN＝8，∵∠A＝∠FGD＝90°，∴∠AED+∠AFG＝180°，∵∠AFG+∠NFC＝180°，∴∠AED＝∠CFN，∵∠A＝∠CNF＝90°，∴△AED∽△NFC，∴＝＝．4．解：（1）如图，∵∠ABC＝∠C＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∵AD＝CE，∴△ABD≌△CAE（SAS），∴∠EAC＝∠DBA，∵，∴点D是AC中点，且△ABC是等边三角形，∴∠DBA＝30°，∴∠EAC＝30°，∴∠BAE＝∠DBA＝30°，∴AF＝BF，∴，故答案为：1；（2）由（1）可得△ABD≌△CAE，∴∠EAC＝∠DBA，∵∠ADF＝∠BDA，∴△AFD∽△BAD；（3）由（1）可得△ABD≌△CAE，∴BD＝AE，∠EAC＝∠DBA，∴∠BFE＝∠DBA+∠BAF＝∠EAC+∠BAF＝∠BAD＝60°，设AF＝x，BF＝y，AB＝AC＝BC＝n，AD＝CE＝1，BD＝AE＝m，∵∠EAC＝∠DBA，∠ADB＝∠ADB，∴△ADF∽△BDA，∴，∴①，∵∠BFE＝∠C＝60°，∠DBC＝∠DBC，∴△BFE∽△BCD，∴，∴②，①÷②得：，∴，∵，即n＝4，∴．5．（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACB．∴∠ADC＝∠ACB．（2）解：∵BC2＝AB•BD，∴．又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBD．∴∠ACB＝∠CDB．∵∠ADC+∠CDB＝180°，∠ADC＝∠ACB，∴∠ACB＝∠CDB＝∠ADC＝90°．（3）解：∵△BCD绕点C顺时针旋转得到△ECF，∴CE＝BC，∠E＝∠B．∵∠ACD＝∠B，∴∠ACD＝∠E．∴AC＝AE．∵∠ADC＝90°，∴CE⊥AB．∴CD＝DE＝CE．∴∵△ADC∽△ACB，∴．∴AD＝•AC＝1，在Rt△ADC中，．6．证明：（1）①∵四边形ABCD为矩形，DM⊥MN，∴∠A＝∠DMN＝90°，∵AB＝6，AD＝4，MN＝DM，∴，∴△ABD∽△MND；②∵四边形ABCD为矩形，DM⊥MN，∴∠ABC＝∠DMN＝90°，∴∠ABD+∠CBD＝90°，由①得△ABD∽△MND，∴∠ABD＝∠DNM，又∵∠MEB＝∠DEN，∴△MBE∽△DNE，∴，又∵∠MED＝∠BEN，∴△DME∽△NBE，∴∠NBE＝∠DME＝90°，∴∠CBN+∠CBD＝90°，∴∠CBN＝∠DNM；（2）如图②，过点N作NF⊥AB，交AB延长线于点F，连接AC，AN，则∠NF A＝90°，∵四边形ABCD为矩形，AD＝4，AB＝6，∴∠A＝∠ABC＝90°，BC＝AD＝4，，则∠ADM+∠AMD＝90°，∵AM＝4BM，AB＝6，∴AM＝AB＝，又∵DM⊥MN，∴∠DMN＝90°，∴∠AMD+∠FMN＝90°，∴∠ADM＝∠FMN，∴△ADM∽△FMN，∴，，∴MF＝6，FN＝，∴，∴，∵∠ABC＝∠AFN＝90°，∴△ABC∽△AFN，∴∠BAC＝∠F AN，∴A，C，N三点在同一条直线上．7．（1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，EF＝FG，∵∠EFG＝90°，∴∠AFE+∠DFN＝90°，∠AFE+∠AEF＝90°，∴∠DFN＝∠AEF．∴△DFG≌△AEF（AAS），∴AF＝DG，AE＝DF，∴AE+DG＝AF+DF＝AD＝6；（2）证明：如图，延长NF，EA相交于H，∴∠HFE＝90°，∠HAF＝90°，∵∠HFE＝∠NFE，EF＝EF，∠HEF＝∠NEF，∴△HFE≌△NFE（ASA），∴FH＝FN，HE＝NE，∵∠AFH＝∠DFN，∠HAF＝∠D，∴△HF A≌△NFD（AAS），∴AH＝DN，∵EH＝AE+AH＝AE+DN，∴EN＝AE+DN；（3）解：如图，过点G作GP⊥AD交AD的延长线于P，∴∠P＝90°，∵MG2＝MN•MD，∴＝，∵∠GMN＝∠DMG，∴△MGN∽△MDG，∴∠GDM＝45°，∠PDG＝45°，∴△PDG是等腰直角三角形，PG＝PD，∵∠AFE+∠PFG＝90°，∠AFE+∠AEF＝90°，∴∠PFG＝∠AEF，∵∠A＝∠P＝90°，EF＝FG，∴△PFG≌△AEF（AAS），∴AF＝PG，AE＝PF，∴AE＝PD+DF＝AF+DF＝AD＝6．8．【问题背景】∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴△ABC∽△ADE．∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE，故答案为：①△ABD≌△ACE；②△ABC∽△ADE．【尝试应用】∵△ABC∽△ADE，∴，∠CAB＝∠EAD，∴∠CAE＝∠BAD，∴△ACE∽△ABD；【问题解决】连接CE，由【尝试应用】知，△ABD∽△ACE，∴∠ACE＝∠ABD＝∠ADE＝30°，∵∠AFD＝∠EFC，∴△ADF∽△ECF，∴，∵，∴，∵，∴．9．（1）解：△AEF是等腰直角三角形，理由如下：由旋转的性质可知：AF＝AE，∠F AE＝90°，∴△AEF是等腰直角三角形；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∠CAB＝45°，由（1）知∠AFE＝45°，∴∠P AG＝∠AFP＝45°，又∵∠APG＝∠FP A，∴△APG∽△FP A，∴，∴P A2＝PG•PF；（3）解：设正方形的边长为2a，∵将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，∴∠ABF＝∠D＝90°，DE＝BF，∵∠ABC＝90°，∴∠FBC＝180°，∴F，B，C三点共线，∵DE＝EC＝BF＝a，BC＝2a，∴CF＝3a，EF＝＝＝a，∵BG∥EC，∴BG：EC＝FB：CF＝FG：FE＝1：3，∴BG＝，AG＝，GE＝a，∵∠GAP＝∠EG＝45°，∠AGP＝∠EGA，∴△AGP∽△EGA，∴，∴AG2＝GP•GE，∴（）2＝（）×，∴a＝或a＝0（舍去），∴AG＝．10．解：（1）如图1，由题意可得：BD＝DF＝8，∵HF∥BC，∴∠HFD＝∠B，在△HFD和△GBD中，，∴△HFD≌△GBD（ASA），∴HF＝BG＝4，连接DE，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠BAC＝60°，∵AD＝AE＝4，∴△ADE是等边三角形，∴DE＝AD＝4，∠ADE＝60°，∴∠ADE＝∠B，∴DE∥BC，∴DE∥FH，∵FH＝DE＝4，∴四边形DEFH是平行四边形，∴HE和DF互相平分，∵DA＝AF，∴HE经过点A，∴HE＝2AE＝8；（2）如图2，面积不变，理由如下：连接DE，作FK⊥BC于K，在Rt△BFK中，∠B＝60°，BF＝12+a，∴FK＝BF•sin60°＝，由（1）得，DE∥FH＝BC，∴△HDE∽△HGN，△HFD∽△GBD，∴，，∴，∴，∴，∴GN＝，∴S△HGN＝＝＝，11．解：（1）∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∴，∴AD＝2，；（2）①由翻折不变性可知：AF＝FH，AG＝GH，∠AFG＝∠GFH，∵FH∥AC，∴∠AGF＝∠GFH，∴∠AGF＝∠AFG，∴AG＝AF，∴AG＝AF＝FH＝HG，∴四边形AGHF是菱形；②∵FH∥AC，∴△FBH∽△ABC，∴，又∵BC＝6，AC＝8，AB＝10，∴BH：FH：BF＝3：4：5，∴设BH＝3a，则FH＝AF＝4a，BF＝5a，∴4 a+5a＝10，∴，∴FH＝，即菱形的边长为；（3）在点P使得△CPH∽△DPE，理由如下：∵△CPH∽△DPE，∴，∵BH＝，∴CH＝，∴，∴．12．证明：（1）∴＝，两边都除以MH，得，；（2）如图1，作AE⊥BD于E，MF⊥BD于F，CG⊥BD于G，∴AE∥MF∥CG，∴，∵HH∥AB，∴，∴，同理可得：，由（1）得，，两边乘以，得，（3）如图2，∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，∴，∵，∴，∵四边形DEFG是正方形，∴MN＝DE＝DG，∴，两边都除以DG，得，．13．（1）证明：∵CD⊥AB，∴∠BDC＝90°＝∠ACB，∵∠CBD＝∠ABC，∴△CBD∽△ABC，∴，∴BC2＝AB•BD；（2）①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OC⊥BO，∠BCD＝90°，∴BC2＝BO•BD，∵CF⊥BE，∴BC2＝BF•BE，∴BO•BD＝BF•BE，即，∵∠OBF＝∠EBD，∴△BOF∽△BED；②解：在Rt△BCE中，∵BC＝6，CE＝2，∴BE＝＝2，∴DE＝4，BO＝3，由①知△BOF∽△BED，∴，∴，∴OF＝．14．（1）证明：如图①中，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠C＝90°，AB∥CD，∴∠ABF＝∠CQB，由翻折的性质可知，∠E＝∠ABC＝90°∵PE∥BQ，∴∠AFB＝∠E＝90°，∴△AFB∽△BCQ；（2）证明：如图①中，设AB＝BC＝CD＝AD＝2a，∵Q是CD的中点，∴CQ＝QD＝a，∵∠C＝90°，∴BQ＝＝＝a，∵△AFB∽△BCQ，∴＝，∴＝，∴BF＝a，∴QF＝a，∴＝＝，∴BF＝QF；（3）解：如图②，建立如图平面直角坐标系，过点E作EH⊥AB于点T．∵BF＝FQ，FQ＝6，∴BF＝4，∴BQ＝BF+FQ＝4+6＝10，∴CQ＝2，AB＝BC＝CD＝AD＝4，∴Q（4，2），∴直线BQ的解析式为y＝x，∵∠EAT＝∠CBQ，∠ATE＝∠BCQ＝90°，∴△ATE∽△BCQ，∴＝＝，∴＝＝，∴AT＝8，ET＝4，∴BT﹣AB﹣AT＝4﹣8，∴E（4，4﹣8），∵D（4，4），∴直线DE的解析式为：y＝x+2﹣10，由，解得，∴G（4﹣4，2﹣2），∴S△BCG＝××（2﹣2）＝20﹣4．15．解：（1）①∵等边△ABC的边长为8，∴AC＝8，∵△APD∽△ACP，∴，∵AD＝2，∴，∴AP＝4，故答案为4；②∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝8，∠A＝∠B＝60°，∵△APD与△BPC相似，∴△APD∽△BPC或△APD∽△BCP，Ⅰ、当△APD∽△BPC时，，∴，∴AP＝，Ⅱ、当△APD∽△BCP时，，∴，∴AP＝4，即△APD与△BPC相似时，AP的长度为或4；（2）①∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝8，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，∵△APD与△BQC相似，∴△APD∽△BQC或△APD∽△BCQ，Ⅰ、当△APD∽△BQC时，∠APD＝∠BQC，∴∠PDC＝∠A+∠APD＝60°+∠APD＝60°+∠BQC，∴∠BQC＝∠PDC﹣60°，∴∠ACQ＝∠ACB﹣∠BCQ＝60°﹣（180°﹣∠B﹣∠BAC）＝∠B+∠BQC﹣120°＝60°+∠PDC﹣60°﹣120°＝∠PDC﹣120°，∴∠PDC+∠ACQ＝120°；Ⅱ、当△APD∽△BCQ时，∠APD＝∠BCQ，∴∠PDC＝∠A+∠APD＝60°+∠APD＝60°+∠BCQ，∴∠BCQ＝∠PDC﹣60°，∴∠ACQ＝∠ACB﹣∠BCQ＝60°﹣（∠PDC﹣60°）＝120°﹣∠PDC，∴∠ACQ+∠PDC＝120°，即满足条件的∠ACQ与∠PDC之间的数量关系是∠ACQ+∠PDC＝120°或∠PDC﹣∠ACQ＝120°；②线段EF的长是一个定值，为．如图，连接AE并延长至G，使AE＝GE，连接PG，QG，∵点E是DP的中点，∴DE＝PE，∵∠AED＝∠GEP，∴△AED≌△GEP（SAS），∴AE＝GE，PG＝AD＝2，∠ADE＝∠GPE，∴PG∥AD，∴∠QPG＝∠BAC＝60°，∵PQ＝2＝PG，∴△PQG为等边三角形，∴QG＝2，∠PQG＝60°＝∠B，∴QG∥BC，连接GF并延长交BC于H，∴∠FQG＝∠FCH，∵点F是CQ的中点，∴FQ＝FC，∵∠QFG＝∠CFH，∴△QFG≌△CFH（ASA），∴FG＝FH，CH＝QG＝2，连接AH，过点A作AM⊥BC于M，∴∠AMC＝90°，CM＝BC＝4，在Rt△AMC中，AC＝8，根据勾股定理得，AM2＝AC2﹣CM2＝82﹣42＝48，在Rt△AMH中，MH＝CM﹣CH＝2，根据勾股定理得，AH＝＝＝2，∵AE＝GE，FG＝FH，∴EF是△AHG的中位线，∴EF＝AH＝，即线段EF的长是一个定值．16．解：（1）∵AF⊥DE，∴∠ADE+∠DAF＝90°，∵∠ADE+∠AED＝90°，∴∠DAF＝∠AED，∵∠ADE＝∠ABF＝90°，AD＝AB，∴△ADE≌△DAF（AAS），∴AF＝DE；（2）过点G作GM⊥BA交于点M，∵AF⊥EG，∴∠F AB+∠AEG＝90°，∵∠F AB+∠AFB＝90°，∴∠AEG＝∠AFB，∵∠GME＝∠ABF＝90°，∴△GME∽△ABF，∴＝，∵AD＝GM，∴；（3）连接AH，∵AG⊥GH，∴△AGH是直角三角形，∵HG＝5，GA＝7.5，∴AH＝，在Rt△ABH中，BH＝3，AH＝，∴AB＝，∵∠AGH＝90°，∴∠DGA+∠CGH＝90°，∵∠DGA+∠GAD＝90°，∴∠GAD＝∠CGH，∴△DAG∽△CGH，∴＝＝，∴＝＝，∴AD＝6，由（2）知，∴＝＝．17．解：（1）如图②，BF与CD交于点M，与DE交于点N，∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCD＝90°，∵△ECF是等腰直角三角形，∴CF＝CE，∠ECF＝90°，∴∠BCD＝∠ECF，∴∠BCD+∠DCF＝∠ECF+∠DCF，∴∠BCF＝∠DCE，∴△BCF≌△DCE（SAS），∴BF＝DE，∠CBF＝∠CDE，∵∠BMC＝∠DMF，∠CBF+∠BMC＝90°，∴∠CDE+∠DMF＝90°，∴∠BND＝90°，∴BF⊥DE，故答案为：BF＝DE，BF⊥DE；（2）①如图③，，理由：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，∵∠ECF＝90°，∴∠BCD+∠DCF＝∠ECF+∠DCF，∴∠BCF＝∠DCE，∵，∴△BCF∽△DCE，∴＝；②如图③，连接BD，∵△BCF∽△DCE，∴∠CBF＝∠CDE，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝12，∵CE＝6，，∴＝，∴CF＝8，BC＝16，∵∠DBO+∠CBF+∠BDC＝∠BDO+∠CDE+∠BDC＝∠DBO+∠BDO＝90°，∴∠BOD＝90°，∴∠DOF＝∠BOE＝∠EOF＝90°，在Rt△DOF中，DF2＝OD2+OF2，在Rt△BOE中，BE2＝OB2+OE2，在Rt△DOB中，DB2＝OD2+OB2，在Rt△EOF中，EF2＝OE2+OF2，∴DF2+BE2＝OD2+OF2+OB2+OE2＝DB2+EF2，在Rt△BCD中，BD2＝BC2+CD2＝162+122＝400，在Rt△CEF中，EF2＝EC2+CF2＝62+82＝100，∴BD2+EF2＝400+100＝500，∴DF2+BE2＝500．18．解：（1）甲的做法正确，理由如下：∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴∠DEC＝∠DFC＝90°，∵∠C＝90°，∴四边形DECF是矩形，∴∠EDF＝90°，DE∥BC，DF∥AC，∴，△AED∽△ACB，△BFD∽△BCA，即：AE＝CE，同理可得：BF＝CF，∴DF∥AC，EF∥AB，∴四边形AEFD是平行四边形，△CEF∽△CAB，同理可得：四边形DEFB是平行四边形，∴∠EFD＝∠A，∵∠AED＝∠EDF，∴△AED∽△FDE，∴四个小三角形与△ABC相似；（2）当时，△EDF∽△AFD∽△FEC，理由如下：∵△ADF∽△ACB，△DEB∽△ACB，∴①，②，得，，∴DE＝EF，∵DE∥AF，∴四边形ADFE是平行四边形，由（1）可得，△DEF和△CEF与△ABC相似，故答案是：；（3）如图，根据和AC和AB及AB的长度找出点D的位置，然后作DE∥AC交BC于E，作EF∥AB交AC于F，连接DF即可．19．解：（1）①∵O是BC的中点，∴OB＝OC，在△BOD和△COF中，，∴△BOD≌△COF（SAS），∴CF＝BD，∠OCF＝∠B，∵AD＝AE，AB＝AC，∴BD＝CE，∴CE＝CF，即：，∵∠B+∠ACB＝90°，∴∠OCF+∠ACB＝90°，∴∠ECF＝90°，∴△ECF是等腰直角三角形，故答案是：1，等腰直角三角形，解：（2）如图1，仍然成立，理由如下：连接BD，由（1）得：CF＝BD，CF∥BD，∴∠CFO＝∠DBO，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，∴∠CAE＝∠BAD，在△CAE和△BAD中，，∴△CAE≌△BAD（SAS），∴CE＝BD，∠ACE＝∠ABD，∴CE＝CF，∵∠ACB+∠ABC＝90°，∴∠ACE+∠EAO+∠ABC＝90°，∴∠ABD+∠EAO+∠ABC＝90°，∴∠EAO+∠DBO＝90°，∴∠EAO+∠CFO＝90°，∴∠FCE＝90°，∴＝1，△ECF是等腰直角三角形；（3）如图2，连接BD，作AG⊥CD于G，设AD＝a，则AB＝，AC＝a，AE＝，由（2）得：∠CAE＝∠BAD，CF＝BD，∵，∴△CAE∽△BAD，∴，∠ACD＝∠ABD，∴，同理（2）得：∠CEF＝90°，∴∠ECF＝∠EAD＝90°，∴点C、A、B、D共圆，∴∠1＝∠ACG，∵AD＝a，AE＝，∠DAE＝90°，∴DE＝，由S△ADE＝得，AG＝a，∴sin∠ACD＝＝＝，∴sin∠1＝．20．（1）证明：∵∠ADC＝∠ACB，，∴△ADC∽△ACB，∴∠DAC＝∠CAB，∴AC平分∠DAB；（2）解：∵△ADC∽△ACB，∴，∴AC2＝AB×AD，∵AC＝8，AB＝12，∴64＝12AD，∴AD＝，故答案为：；（3）解：∵∠ACB＝90°，点E为AB的中点，∴AB＝2CE＝10，∴AC＝8，∵△ADC∽△ACB，∴AD＝＝6.4，由（1）知∠DAC＝∠EAC，∵CE＝AE，∴∠ECA＝∠EAC，∴∠DAC＝∠ECA，∴△AFD∽△CFE，∴．。
2023年中考苏科版数学一轮复习专题提优练习-一次函数和二次函数综合
2023年中考数学一轮复习专题提优练习一次函数和二次函数综合一、选择题1．二次函数y 1＝ax 2+bx +c 与一次函数y 2＝mx +n 的图象如图所示，则满足ax 2+bx +c ＞mx +n 的x 的取值范围是（ ）A ．﹣3＜x ＜0B ．x ＜﹣3或x ＞0C ．x ＜﹣3D ．0＜x ＜3第1题 第2题2．如图，直线y ＝kx +b 与直线y ＝mx 相交于点A （﹣1，2），与x 轴相交于点B （﹣3，0），则关于x 的不等式组0＜kx +b ＜mx 的解集为（ ）A ．x ＞﹣3B ．﹣3＜x ＜﹣1C ．﹣1＜x ＜0D ．﹣3＜x ＜03．已知二次函数y=－(x －h)2(h 为常数)，当自变量x 的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y 的最大值为－1，则h 的值为（ ）A ．3或6B ．1或6C ．1或3D ．4或64．用列表法画二次函数y=x 2+bx+c 的图象时先列一个表，当表中自变量x 的值以相等间隔增加时，函数y 所对应的值依次为：20, 56, 110, 182, 274, 380, 506, 650. 其中有一个值不正确，这个不正确的值是（ ）A ．505B ．380C ．274D ．1825．若平面直角坐标系内的点M 满足横、纵坐标都为整数，则把点M 叫作“整点”. 例如：P （1，0），Q （2，－2）都是“整点”. 抛物线y=mx 2－4mx+4m －2（m>0）与x 轴的交点为A ，B ，若抛物线在点A ，B 之间的部分与线段AB 所围成的区域（包含边界）恰有7个“整点”，则m 的取值范围是（ ）A ．121<≤m B ．121≤<m C ．1<m ≤2 D ．1≤m<26．四位同学在研究函数y=x 2+bx+c （b, c 是常数）时，甲发现当x=1时，函数有最小值；乙发现－1是方程x 2+bx+c=0的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当x=2时，y=4. 已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁7．根据关于x 的一元二次方程x 2+px +q ＝0，可列表如下：则方程x 2+px +q ＝0的正数解满足（ ）x 0 0.5 1 1.1 1.2 1.3 x 2+px +q﹣15﹣8.75﹣2﹣0.590.842.29A ．解的整数部分是0，十分位是5B ．解的整数部分是0，十分位是8C ．解的整数部分是1，十分位是1D ．解的整数部分是1，十分位是28. 已知二次函数c bx x y ++=2中，函数y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所示：X … 0 1 2 3 … y…5212…点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在函数图象上，则当0<x 1<1，2<x 2<3时，y 1与y 2的大小关系正确性是（ ）A ．y 1≥y 2B ．y 1>y 2C ．y 1<y 2D ．y 1≤y 2二、填空题9．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的顶点坐标（﹣1，﹣3.2）及部分图象（如图），由图象可知关于x 的方程ax 2+bx +c ＝0的两个根分别是x 1＝1.3和x 2＝ ．10．如图，在抛物线y 1＝ax 2（a ＞0）和和y 2＝mx 2+nx （m ＜0）中，抛物线y 2的顶点在抛物线y 1上，且与x 轴的交点分别为（0，0）（4，0），则不等式（a ﹣m ）x 2﹣nx ＜0的解集是 ．第9题 第10题 第11题 第12题11．如图，二次函数y 1＝ax 2+bx +c 与一次函数y 2＝kx 的图象交于点A 和原点O ，点A 的横坐标为﹣4，点A 和点B 关于抛物线的对称轴对称，点B 的横坐标为1，则满足0＜y 1＜y 2的x 的取值范围是 ．12. 如图是抛物线y=c bx ax ++2(0≠a )的一部分，其对称轴为直线x=2，若其与x 轴的一个交点为B （5，0），则由图像可知，不等式02>++c bx ax 的解集是________. 13. 如图，抛物线y ＝ax 2与直线y ＝bx +c 的两个交点坐标分别为A （﹣2，4），B （1，1），则方程ax 2＝bx +c 的解是__________________．第13题 第14题14．已知点A （﹣2，0），点P 是直线y ＝x 上的一个动点，当以A ，O ，P 为顶点的三角形面积是3时，点P 的坐标为 ．15. 对于二次函数322-==mx x y ，有下列说法：①它的图像与x 轴有两个公共点；②如果当x≤1时，y 随x 的增大而减小，则m=1；③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=－1；④如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，则当x=2012时的函数值为－3. 其中正确的说法是___________（把你认为正确说法的序号都填上）. 三、解答题16．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A ，B 两点，其中点A （﹣1，0），点C （0，5），点D （1，8）都在抛物线上，M 为抛物线的顶点．（1）求抛物线的函数解析式； （2）求△MCB 的面积；（3）根据图形直接写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围．17．如图①，将抛物线y ＝ax 2（﹣1＜a ＜0）平移到顶点恰好落在直线y ＝x ﹣3上，并设此时抛物线顶点的横坐标为m ．（1）求抛物线的解析式（用含a 、m 的代数式表示）（2）如图②，Rt △ABC 与抛物线交于A 、D 、C 三点，∠B ＝90°，AB ∥x 轴，AD ＝2，BD ：BC ＝1：2．①求△ADC 的面积（用含a 的代数式表示）②若△ADC 的面积为1，当2m ﹣1≤x ≤2m +1时，y 的最大值为﹣3，求m 的值．18．如图1，平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝ax 2+4x 与x 轴交于O 、A 两点．直线y ＝kx +m 经过抛物线的顶点B 及另一点D （D 与A 不重合），交y 轴于点C ．（1）当OA ＝4，OC ＝3时．①分别求该抛物线与直线BC 相应的函数表达式；②连结AC ，分别求出tan ∠CAO 、tan ∠BAC 的值，并说明∠CAO 与∠BAC 的大小关系； （2）如图2，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，连接CE ．当a 为任意负数时，试探究AB 与CE 的位置关系？19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，其顶点的横坐标为1，且过点（2，3）和（﹣3，﹣12）．（1）求此二次函数的表达式；（2）若点P 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，若锐角∠PCO ＝∠ACO ，写出此时点P 的坐标；（3）若直线l ：y ＝kx （k ≠0）与线段BC 交于点D （不与点B ，C 重合），则是否存在这样的直线l ，使得以B ，O ，D 为顶点的三角形与△BAC 相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D 的坐标；若不存在，请说明理由．20. 如图，抛物线y=ax ax 22（a<0）位于x 轴上方的图象记为F 1，它与x 轴交于P 1，O 两点，图象F 2与F 1关于原点O 对称，F 2与x 轴的另一个交点为P 2，将F 1与F 2同时沿x 轴向右平移P 1P 2的长度即可得F 5与F 6；……；按这样的方式一直平移下去即可得到一系列图象F 1，F 2，…，F n ，我们把这组图象称为“波浪抛物线”.（1）当a=－1时， ①求图象F 1的顶点坐标.②点H （2014，－3）________（填“在”或“不在”）该“波浪抛物线”上；若图象F n 的顶点T n 的横坐标为201，则图象F n 对应的解析式为__________，其自变量x 的取值范围为_________.（2）设图象F m ，F m+1的顶点分别为T m ，T m+1（m 为正整数），x 轴上一点Q 的坐标为（12，0）.试探究：当a 为何值时，以O ，T m ，T m+1，Q 四点为顶点的四边形为矩形？并直接写出此时m 的值.21. 设二次函数)(2b a bx ax y +-+=（a ，b 是常数，a≠0）.（1）判断该二次函数图象与x 轴的交点的个数，说明理由.（2）若该二次函数图象经过A （－1，4），B （0，－1），C （1，1）三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式.（3）若a+b<0，点P （2，m ）（m>0）在该二次函数图象上，求证：a>0.22. 如图所示，已知二次函数c bx x y ++-=2的图像经过点C （0，3），与x 轴分别交于点A.点B （3，0）.点D （n, y 1）.E （n+t ，y 2）.F （n+4，y 3）都在这个二次函数的图像上，其中0<t<4，连接DE.DF.EF ，记ΔDEF 的面积为S.（1）求二次函数c bx x y ++-=2的表达式； （2）若n=0，求S 的最大值，并求此时t 的值；（3）若t=2，当n 取不同数值时，S 的值是否变化？如不变，求该定值；如变化，试用含n 的代数式表示S.23.如图，Rt△OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与x轴重合，∠OAB=90°，OA=4，AB=2，把Rt△OAB绕点O逆时针旋转90°，点B旋转到点C的位置，一条抛物线正好经过点O，C，A三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在x轴上方的抛物线上有一动点P，过点P作x轴的平行线交抛物线于点M，分别过点P，点M作x轴的垂线，交x轴于E，F两点，问：四边形PEFM的周长是否有最大值？如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明理由．（3）如果x轴上有一动点H，在抛物线上是否存在点N，使O（原点）.C.H.N四点构成以OC为一边的平行四边形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．。
中考数学复习“1+1+3”专项训练19苏科版(1)
中考数学复习“1+1+3”专项训练19苏科版(1)时间：60分钟总分：40分姓名得分1．点A、Ｂ均在由面积为1的相同小矩形组成的格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示．若P是_轴上使得的值最大的点，Q是y轴上使得QA十QB的值最小的点，则＝．2．如图，△ABC≌△ADE且∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED，BC．DE交于点O．则下列四个结论中，①∠1=∠2；②BC=DE；③△ABD∽△ACE；④A．O、C．E四点在同一个圆上，一定成立的有（）A． 1个 B. 2个C． 3个 D．4个3．某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4800元．设公司每日租出工辆车时，日收益为y元．（日收益=日租金收入一平均每日各项支出）（1）公司每日租出_辆车时，每辆车的日租金为1400﹣50_ 元（用含_的代数式表示）；（2）当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？（3）当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏？4．如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－4，0)、B(1，0)、C(－2，6)．(1)求经过A、B、C三点的抛物线解析式；(2)设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE=CE;(3)设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F，为顶点的三角形与△ABC相似吗？请说明理由．5. 如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在轴，轴上，四边形ABCO为矩形，AB=16，点D与点A关于轴对称，tan ∠ACB=，点E，F分别是线段AD，AC上的动点（点E不与点A，D重合），且∠CEF=∠ACB.（1）求AC的长和点D的坐标；（2）说明△AEF与△DCE相似；（3）当△EFC为等腰三角形时，求点E的坐标.1.52.D3. 解：（1）∵某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆；∴当全部未租出时，每辆租金为：400+20_50=1400元，∴公司每日租出_辆车时，每辆车的日租金为：1400﹣50_；故答案为：1400﹣50_；（2）根据题意得出：y=_（﹣50_+1400）﹣4800，=﹣50_2+1400_﹣4800，=﹣50（_﹣14）2+5000．当_=14时，在范围内，y有最大值5000．∴当日租出14辆时，租赁公司日收益最大，最大值为5000元．（3）要使租赁公司日收益不盈也不亏，即：y=0．即：50（_﹣14）2+5000=0，解得_1=24，_z=4，∵_=24不合题意，舍去．∴当日租出4辆时，租赁公司日收益不盈也不亏．4. 解：（1）∵抛物线经过A(－4，0)、B(1，0)，∴设函数解析式为：y=a（_＋4）（_－1）.又∵由抛物线经过C（－2，6），∴6=a（－2＋4）（－2－1），解得： a=－1.∴经过A、B、C三点的抛物线解析式为：y=－（_＋4）（_－1），即y=－_2－3_＋4.（2）证明：设直线BC的函数解析式为y=k_+b，由题意得：，解得：.∴直线BC的解析式为y=－2_+2．∴点E的坐标为（0，2）.∴. ∴AE=CE.（3）相似.理由如下：设直线AD的解析式为y=k1_+b1，则，解得：.∴直线AD的解析式为y=_+4.联立直线AD与直线BC的函数解析式可得：，解得：.∴点F的坐标为（）.则.又∵AB=5，，∴.∴.又∵∠ABF=∠CBA，∴△ABF∽△CBA.∴以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似.5. 解：（1）∵四边形ABCO为矩形，∴∠B=90°，在Rt△ABC中，BC=AB÷tan∠ACB=16÷=12，则AO=BC=12，∴ A（-12，0），点D与点A关于轴对称，∴D（12，0）；（2）∠AFE是△CEF的外角，∴∠AFE=∠FCE+∠CEF，∵∠CEF=∠ACB，∴∠AFE=∠FCE+∠ACB=∠BCE，∵BC∥AD，∴∠BCE=∠DEC，∴∠AFE=∠DEC①，∵点A与点D关于轴对称，而C，O在对称轴上，∴△ACO与△DCO关于轴对称，∴∠FAE=∠EDC②，由①，②得△AEF∽△DCE；（3）当FE=EC时，△EFC为等腰三角形，由（2），△AEF∽△DCE，∴FE:EC=AE:DC，此时，AE=DC=AC==20，则E（8，0）；当CF=CE时，∠CFE=∠CEF=∠ACB，则有EF∥BC，此时，点F与A重合，则点E在D处，与已知矛盾；当CF=FE时，∠FCE=∠CEF，又∵△AEF∽△DCE，∴∠AEF=∠DCE∴∠FCE+∠DCE =∠CEF+∠AEF，即∠ACD=∠AEC，而∠CAE=∠DAC，∴△AEC∽△ACD，AE:AC=AC:AD，而AD=18，∴AE=则E（，0），∴当△EFC为等腰三角形时，求点E的坐标为（8，0）或（，0）.。
2023年中考苏科版数学一轮复习专题讲义与练习-轴对称图形
2023年中考数学一轮复习专题讲义与练习轴对称图形【课标要求】1.进一步认识轴对称，了解它的基本性质，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质；2.能按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；3.了解轴对称与轴对称图形的区别和联系；4.进一步巩固和掌握基本图形（线段.角.等腰三角形.矩形.菱形.正多边形.圆）的轴对称性及其相关性质，并能运用这些性质解决问题；5.能利用轴对称进行图案设计.【要点梳理】1.把一个图形沿着一条直线折叠，如果它能够与另一个图形＿＿＿＿＿，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做＿＿＿＿＿；把一个图形沿着某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够＿＿＿＿＿，那么称这个图形是＿＿＿＿＿＿，这条直线就是对称轴.2.轴对称的性质：①＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；②＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.3.线段是＿＿＿＿＿图形，＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿是它的对称轴；性质：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；判定：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿4.角是＿＿＿＿＿图形，对称轴是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；性质：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；判定：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿5.等腰三角形是＿＿＿＿＿图形，对称轴是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；性质：①＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；②＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；判定：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.6.直角三角形的性质：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿7.等边三角形的性质：①＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；②＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 【规律总结】1.图形的轴对称与图形的平移.旋转是近两年的新题型.热点题型，在试题中的比重逐年上升.考查的形式以填空题.选择题为主，与其他知识如三角形.平行四边形综合的解答题也时有出现，分值在5～12分左右；2.解决与轴对称相关的问题时，一定要充分利用轴对称的性质，有时需要结合题目条件添加适当的辅助线来解决问题；3.轴对称知识的一个重要体现形式是折叠问题，此类问题常常需要联系全等三角形以及勾股定理，并结合方程思想来解题，故解题时一定要充分挖掘题目中的隐含条件；4.在解决等腰三角形的相关问题时，要运用其轴对称的本质特性来分析和解决问题. 【强化训练】一、选择题1.下列图形中，为轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2.如图所示，将矩形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折，接着将对折后的纸片沿虚线CD向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是（）3.下列轴对称图形中，对称轴条数最少的是（）A．等边三角形B．正方形C．正六边形D．圆4.如图，已知△ABC的周长是20，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD=3，则△ABC的面积是（）A．20 B．25 C．30 D．355.如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，下列结论错误的是（）A．∠C=2∠A B．BD=BCC．△ABD是等腰三角形D．点D为线段AC的中点第4题第5题第6题6.如图，△ABC是等边三角形，AQ=PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR=PS，则下列结论：①点P在∠A的角平分线上；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP．正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7.如图，在矩形ABCD中，连接BD，将△BCD沿对角线BD折叠得到△BDE，BE交AD于点O，BE恰好平分∠ABD，若AB＝2，则点O到BD的距离为（）A ．B．2 C ．D．3第7题第8题第9题8.如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A'处，点B落在点B'处，若∠2=40°, 则图中∠1的度数为（）A B C D E F A ．115° B ．120° C ．130° D ．140°9.图1为某四边形ABCD 纸片，其中∠B=70°, ∠C=80°. 若将CD 叠合在AB 上，出现折线MN, 再将纸片展开后，M.N 两点分别在AD.BC 上，如图2所示，则∠MNB 的度数为（ ）A ．90°B ．95°C ．100°D ．105°二、填空题10.等腰三角形中，有一个角是80°，则它的顶角是＿＿＿＿＿＿.11.直角三角形斜边上的中线和面积分别是5cm.20cm 2，则它斜边上的高是＿＿＿cm12.如图，将矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边F 点处，已知CE=3cm ，AB=8cm ，则图中阴影部分的面积为＿＿＿＿cm 2.第12题 第13题 第14题13.如图，正方形纸片ABCD 的边长为12，点F 是AD 上一点，将△CDF 沿CF 折叠，点D 落在点G 处，连接DG 并延长交AB 于点E ．若AE ＝5，则GE 的长 ． 14.如图，过边长为4的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA=CQ 时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为____________.三、解答题15.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC 和△DEF （顶点为网格线的交点），以及过格点的直线l ．（1）将△ABC 向右平移两个单位长度，再向下平移两个单位长度，画出平移后的三角形．（2）画出△DEF 关于直线l 对称的三角形．（3）填空：∠C+∠E=________________．16.如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线BD交AC边于点D，AE⊥BC于点E．已知∠ABC＝60°，∠C＝45°．（1）求证：AB＝BD；（2）若AE＝3，求△ABC的面积．17.已知：如图，△ABC.△CDE都是等边三角形，AD.BE相交于点O，点M.N分别是线段AD.BE的中点．（1）求证：AD＝BE；（2）求∠DOE的度数；（3）求证：△MNC是等边三角形．18.一张矩形纸片ABCD，其中AD＝8cm，AB＝6cm，先沿对角线BD对折，点C落在点C’的位置，BC’交AD于点G.（1）求证：AG＝C’G.（2）如图（2），再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M，求EM的长.19.如图，在矩形纸片ABCD中，点E.F分别在矩形的边AB.AD上，将矩形纸片沿CE.CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，点C.H.G恰好在同一直线上，若AB＝6，AD＝4，BE ＝2，求DF的长.。
2023年江苏中考数学一轮复习专题训练第14讲 四边形
第14讲四边形 2023年中考数学一轮复习专题训练（江苏专用）一、单选题1．（2022·南通）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BC，BC=4，∠ABC=60°，若EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E，F，设BE=x，OE2=y，则y关于x的函数图象大致为（）A．B．C．D．2．（2022·无锡）如图，在▱ABCD中，AD=BD，∠ADC=105∘，点E在AD上，∠EBA= 60∘，则EDCD的值是（）A．23B．12C．√32D．√223．（2022·无锡）下列命题中，是真命题的有（）①对角线相等且互相平分的四边形是矩形②对角线互相垂直的四边形是菱形③四边相等的四边形是正方形④四边相等的四边形是菱形A．①②B．①④C．②③D．③④4．（2022·连云港）如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上.小炜同学得出以下结论：；③GE=√6DF；④OC=2√2OF；⑤△COF∽△CEG.①GF∥EC；②AB=4√35AD其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①④⑤D．②③④5．（2022·海门模拟）如图，菱形ABCD的边长为4，∠A=60∘，E是边AD的中点，F是边AB上的一个动点，将线段EF绕着E逆时针旋转60∘，得到EG，连接EG、CG，则BG+CG的最小值为（）A．3√3B．2√7C．4√3D．2+2√3 6．（2021·无锡）如图，D、E、F分别是△ABC各边中点，则以下说法错误的是（）A．△BDE和△DCF的面积相等B．四边形AEDF是平行四边形C．若AB=BC，则四边形AEDF是菱形D．若∠A=90°，则四边形AEDF是矩形7．（2021·苏州）如图，在平行四边形ABCD中，将△ABC沿着AC所在的直线翻折得到△AB′C，B′C交AD于点E，连接B′D，若∠B=60°，∠ACB=45°，AC=√6，则B′D的长是（）A．1B．√2C．√3D．√628．（2021·秦淮模拟）百度百科这样定义凹四边形：把四边形的某边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形.关于凹四边形ABCD（如图），以下结论：①∠BCD=∠A+∠B+∠D；②若AB=AD，BC=CD，则AC⊥BD；③若∠BCD=2∠A，则BC=CD；④存在凹四边形ABCD，有AB=CD，AD=BC.其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①②③C．①②④D．①③④9．（2021·仪征模拟）将一个边长为4cn的正方形与一个长，宽分别为8cm，2cm的矩形重叠放在一起，在下列四个图形中，重叠部分的面积最大的是（）A．B．C．D．10．（2021·天宁模拟）下列命题中，真命题是（）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．有一个角是直角的平行四边形是矩形D．一组邻边相等的平行四边形是正方形二、填空题11．（2021·徐州）如图，四边形ABCD与AEGF均为矩形，点E，F分别在线段AB，AD上.若BE=FD=2cm，矩形AEGF的周长为20cm，则图中阴影部分的面积为cm.12．（2021·常州）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，其中点A在x轴正半轴上.若BC=3，则点A的坐标是.13．（2021·南京）如图，将▱ABCD绕点A逆时针旋转到▱AB′C′D′的位置，使点B′落在BC 上，B′C′与CD交于点E，若AB=3,BC=4,BB′=1，则CE的长为.14．（2021·扬州）如图，在▱ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，若∠EBC=30°，BE=10，则▱ABCD的面积为.15．（2021·连云港）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE⊥AD，垂足为E，AC=8，BD=6，则OE的长为.16．（2022·徐州）如图，将矩形纸片ABCD沿CE折叠，使点B落在边AD上的点F处．若点E在边AB上，AB＝3，BC＝5，则AE＝．17．（2022·无锡）如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE、BC于点H、G，则BG＝.18．（2022·泗洪模拟）如图，从一个大正方形中截去面积为3cm2和12cm2的两个小正方形，若随机向大正方形内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为.19．（2022·苏州）如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=3，AC=4，分别以A，C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与BC交于点E，与AD交于点F，连接AE，CF，则四边形AECF的周长为.20．（2022·宿迁）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点M、N分别是边AD、BC的中点，某一时刻，动点E从点M出发，沿MA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动；同时，动点F从点N出发，沿NC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接EF，过点B作EF的垂线，垂足为H.在这一运动过程中，点H所经过的路径长是.三、综合题21．（2022·徐州）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．求证：（1）△ABE≌△CDF；（2）四边形AECF是平行四边形．22．（2022·镇江）已知，点E、F、G、H分别在正方形ABCD的边AB、BC、CD、AD上．（1）如图1，当四边形EFGH是正方形时，求证：AE+AH=AB；（2）如图2，已知AE=AH，CF=CG，当AE、CF的大小有关系时，四边形EFGH是矩形；（3）如图3，AE=DG，EG、FH相交于点O，OE：OF=4：5，已知正方形ABCD的边长为16，FH 长为20，当△OEH的面积取最大值时，判断四边形EFGH是怎样的四边形？证明你的结论．23．（2022·南通）如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，点E在折线BCD上运动，将AE绕点A顺时针旋转得到AF，旋转角等于∠BAC，连接CF．（1）当点E在BC上时，作FM⊥AC，垂足为M，求证AM=AB；（2）当AE=3√2时，求CF的长；（3）连接DF，点E从点B运动到点D的过程中，试探究DF的最小值．24．（2022·无锡）如图，在▱ABCD中，点O为对角线BD的中点，EF过点O且分别交AB、DC于点E、F，连接DE、BF.求证：（1）△DOF≌△BOE；（2）DE=BF.25．（2022·无锡）如图，已知四边形ABCD为矩形AB=2√2，BC=4，点E在BC上，CE= AE，将△ABC沿AC翻折到△AFC，连接EF.（1）求EF的长；（2）求sin∠CEF的值.26．（2022·无锡）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）.（1）若矩形养殖场的总面积为36 m2，求此时x的值；（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？27．（2022·海陵模拟）如图，在矩形ABCD中，AD＝10，点E是AD上一点，且AE＝m （m是常数），作△BAE关于直线BE的对称图形△BFE，延长EF交直线BC于点G．（1）求证：EG＝BG；（2）若m＝2．①当AB＝6时，问点G是否与点C重合，并说明理由；②当直线BF经过点D时，直接写出AB的长；（3）随着AB的变化，是否存在常数m，使等式BG−12AE＝AB2总成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：过O点作OM⊥AB于M，∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∵∠ABC＝60°，∴∠BAC＝90°-60°=30°，∴AB＝2BC=8，AC＝√AB2−BC2=√82−42=4√3，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AO＝12AC＝2√3，∴OM＝12AO＝√3，∴AM＝√AO2−OM2＝3；设BE＝x，OE2＝y，则EM＝AB−AM−BE＝8−3−x＝5−x，∵OE2＝OM2＋EM2，∴y＝（x−5）2＋3，∵0≤x≤8，当x＝8时y＝12，符合解析式的图象为C.故答案为：C.【分析】过O点作OM⊥AB于M，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出AB的长，利用勾股定理求出AC的长；利用平行四边形的性质可求出AO的长，从而可得到OM的长，利用勾股定理求出AM的长；设BE＝x，OE2＝y，可表示出EM的长；然后利用勾股定理可得到OE2＝OM2＋EM2，可得到y与x之间的函数解析式及x的取值范围，即可得到符合题意的函数图象.2．【答案】D【解析】【解答】解：如图，过点B作BF⊥AD于F，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB，CD∥AB，∴∠ADC+∠BAD=180°，∵∠ADC=105∘∴∠A=75°，∵∠ABE=60°，∴∠AEB=180°-∠A-∠ABE=45°，∵BF⊥AD，∴∠BFD=90°，∴∠EBF=∠AEB=45°，∴BF=FE，∵AD=BD，∴∠ABD=∠A=75°，∴∠ADB=30°，设BF=EF=x，则BD=2x，由勾股定理，得DF= √3x，∴DE=DF-EF=（√3-1）x，AF=AD-DF=BD-DF=（2- √3）x，由勾股定理，得AB2=AF2+BF2=（2- √3）2x2+x2=（8-4 √3）x2，∴DE 2AB2=(√3−1)2x2 (8−4√3)x2=12∴DE AB=√22，∵AB=CD，∴DE CD=√2 2.故答案为：D.【分析】过点B作BF⊥AD于F，根据平行四边形的性质可得CD=AB，CD∥AB，由平行线的性质可得∠ADC+∠BAD=180°，结合∠ADC的度数可得∠A的度数，利用内角和定理可得∠AEB=45°，进而推出BF=FE，由等腰三角形的性质可得∠ABD=∠A=75°，则∠ADB=30°，设BF=EF=x，则BD=2x，由勾股定理，得DF=√3x，DE=DF-EF=( √3-1)x，AF=(2- √3)x，由勾股定理可得AB2，据此可得DE AB的值，然后结合AB=CD 进行求解. 3．【答案】B【解析】【解答】解：①对角线相等且互相平分的四边形是矩形，正确，故该命题是真命题； ②对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故原命题错误，是假命题；③四边相等的四边形是菱形，故原命题错误，是假命题；④四边相等的四边形是菱形，正确，故该命题是真命题.故答案为：B.【分析】根据矩形的判定定理可判断①；根据菱形的判定定理可判断②④；根据正方形的判定定理可判断③.4．【答案】B【解析】【解答】解：∵矩形ABCD 沿着GE 、EC 、GF 折叠，使得点A 、B 、D 恰好落在点O 处， ∴DG ＝OG ＝AG ，AE ＝OE ＝BE ，OC ＝BC ，∠DGF ＝∠FGO ，∠AGE ＝∠OGE ，∠AEG ＝∠OEG ，∠OEC ＝∠BEC ，∴∠FGE ＝∠FGO+∠OGE ＝90°，∠GEC ＝∠OEG+∠OEC ＝90°，∴∠FGE+∠GEC ＝180°，∴GF ∥CE ，∴①符合题意；设AD ＝2a ，AB ＝2b ，则DG ＝OG ＝AG ＝a ，AE ＝OE ＝BE ＝b ，∴CG ＝OG+OC ＝3a ，在Rt △AGE 中，由勾股定理得GE 2=AG 2+AE 2，即GE 2=a 2+b 2，在Rt △EBC 中，由勾股定理得CE 2=EB 2+BC 2，即CE 2=b 2+（2a ）2，在Rt △CGE 中，由勾股定理得CG 2＝GE 2+CE 2，（3a ）2＝a 2+b 2+b 2+（2a ）2，整理，解得：b ＝√2a ，∴AB ＝√2AD ，∴②不符合题意；设OF ＝DF ＝x ，则CF ＝2b-x ＝2√2a-x ，在Rt △COF 中，由勾股定理得OF 2+OC 2=CF 2，∴x 2+（2a ）2＝（2 a-x ）2，解得：x ＝√22a ， ∴OF ＝DF ＝√22a ，∴√6DF ＝√6×√22a ＝√3a ， 又∵GE 2=a 2+b 2，∴GE=√3a ，∴GE=√6DF ，∴③符合题意；∵2√2OF ＝2√2×√22a ＝2a ， ∴OC=2√2OF ，∴④符合题意；∵无法证明∠FCO ＝∠GCE ，∴无法判断△COF ∽△CEG ，∴⑤不符合题意；∴正确的有①③④.故答案为：B.【分析】由矩形性质和折叠的性质可得DG ＝OG ＝AG ，AE ＝OE ＝BE ，OC ＝BC ，∠DGF ＝∠FGO ，∠AGE ＝∠OGE ，∠AEG ＝∠OEG ，∠OEC ＝∠BEC ，从而可得∠FGE ＝∠FGO+∠OGE ＝90°，∠GEC ＝∠OEG+∠OEC ＝90°，得∠FGE+∠GEC ＝180°，可判定GF ∥CE ；设AD ＝2a ，AB ＝2b ，则DG ＝OG ＝AG ＝a ，AE ＝OE ＝BE ＝b ，得CG ＝OG+OC ＝3a ，由勾股定理得GE 2=a 2+b 2，CE 2=b 2+（2a ）2，CG 2＝GE 2+CE 2，即得（3a ）2＝a 2+b 2+b 2+（2a ）2，解得b ＝√2a ，从而得AB ＝√2AD ；设OF ＝DF ＝x ，则CF ＝2b-x ＝2√2a-x ，由勾股定理得OF 2+OC 2=CF 2，即x 2+（2a ）2＝（2 a-x ）2，解得x ＝√22a ，从而得OF ＝DF ＝√22a ，进而求得GE=√6DF ；又2√2OF ＝2√2×√22a ＝2a ，从而可得∴OC=2√2OF ；因条件不足，无法证明∠FCO ＝∠GCE ，因而无法判断△COF ∽△CEG. 据此逐项分析即可得出正确答案.5．【答案】B【解析】【解答】解：取AB 与CD 的中点M ，N ，连接MN ，作点B 关于MN 的对称点E'，连接E'C ，E'B，此时CE'的长就是GB+GC 的最小值；∵MN ∥AD ，∴HM= 12AE，∵HB⊥HM，AB=4，∠A=60°，∴MB=2，∠HMB=60°，∴HM=1，∴AE'=2，∴E点与E'点重合，∵∠AEB=∠MHB=90°，∴∠CBE=90°，在Rt△EBC中，EB=2 √3，BC=4，∴EC=2 √7，故答案为：B.【分析】取AB与CD的中点M，N，连接MN，作点B关于MN的对称点E'，连接E'C，E'B，此时CE的长就是GB+GC的最小值；利用三角形的中位线定理可得到HM= 12AE，可求出HM的长；利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出AE的长，利用勾股定理求出BE的长；然后利用勾股定理求出EC的长.6．【答案】C【解析】【解答】解：∵点D、E、F分别是△ABC三边的中点，∴DE、DF为△ABC得中位线，∴ED∥AC，且ED＝12AC＝AF；同理DF∥AB，且DF＝12AB＝AE，∴四边形AEDF一定是平行四边形，故B正确；∴△BDE∽△BCA，△CDF∽△CBA∴S△BDE=14S△BCA，S△CDF=14S△BCA，∴△BDE和△DCF的面积相等，故A正确；∵AB=BC，∴DF＝12AB=AE，∴四边形AEDF不一定是菱形，故C错误；∵∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形，故D正确；故答案为：C.【分析】根据三角形中位线定理可得ED∥AC，且ED＝12AC＝AF，DF∥AB，且DF＝12AB＝AE，可证四边形AEDF一定是平行四边形，由∠A=90°，可证四边形AEDF是矩形；根据平行线可证△BDE∽△BCA，△CDF∽△CBA，利用相似三角形的性质可得S△BDE=14S△BCA，S△CDF=14S△BCA，据此判断A、B、D；由AB=BC，可得DF＝12AB=AE，从而得出四边形AEDF不一定是菱形，据此判断C.7．【答案】B【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD ∠B=∠ADC=60°，∠ACB＝∠CAD由翻折可知：BA＝AB′＝DC，∠ACB＝∠AC B′=45°，∴△AEC为等腰直角三角形∴AE=CE∴Rt△AE B′≌Rt△CDE∴EB′=DE∵在等腰Rt△AEC中，AC=√6∴CE=√3∵在Rt△DEC中，CE=√3，∠ADC=60°∴∠DCE=30°∴DE=1在等腰Rt△DE B′中，EB′=DE=1∴B′D= √2故答案为：B【分析】由折叠的性质可得△AEC为等腰直角三角形，结合平行四边形的性质可证Rt△AE B′≌Rt△CDE，由全等三角形的性质可得EB′=DE，在等腰Rt△AEC中，用勾股定理可求得CE的值，解Rt△DEC可求得DE的值，在等腰Rt△DE B′中，用勾股定理可求解.8．【答案】A【解析】【解答】解：①如图1，连接AC并延长到点E.∵∠BCE=∠BAC+∠B，∠DCE=∠DAC+∠D，∴∠BCE+∠DCE=∠BAC+∠B+∠DAC+∠D．即∠BCD=∠BAD+∠B+∠D．所以结论①正确；②如图2，连接BD，作直线AC.∵AB=AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上.∵CB=CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上.∴点A和点C都在线段BD的垂直平分线上.∴直线AC是线段BD的垂直平分线.∴AC⊥BD．所以结论②正确；③如图③，由①可知，∠BCD=∠A+∠B+∠D，当∠BCD=2∠A时，有2∠A=∠A+∠B+∠D，∴∠A=∠B+∠D．因再无其它已知条件证得BC=CD，所以结论③错误；④如图④，假设存在凹四边形ABCD，连接AC.当AB=CD，AD=BC时，∵AC=CA，∴△ABC≅△CDA(SSS)．∴∠1=∠4，∠3=∠2．∴AB∥CD，BC∥DA.∴四边形ABCD是平行四边形.∵平行四边形是凸四边形，这与“四边形ABCD是凹四边形”的假设相矛盾.∴不存在凹四边形ABCD，使得AB=CD，AD=BC．所以结论④错误.故答案为：A.【分析】①如图1，连接AC并延长到点E，利用三角形外角和定理可得∠BCD=∠BAD+∠B+∠D；②如图2，连接BD，作直线AC，根据线段垂直平分线的性质与判定，可得AC⊥BD；③由①得∠BCD=∠BAD+∠B+∠D，结合∠BCD=2∠A，可得∠A=∠B+∠D，无法证明BC=CD；④如图④，假设存在凹四边形ABCD，连接AC.证明四边形ABCD是平行四边形，由于平行四边形是凸四边形，据此判断即可.9．【答案】B【解析】【解答】解：A、重叠部分为矩形，长是4宽是2，所以面积为4×2=8；B、重叠部分是平行四边形，与正方形边重合部分的长大于2，高是4，所以面积大于8；C、图C与图B对比，因为图C的倾斜度比图B的倾斜度小，所以，图C的底比图B的底小，两图为等高不等底，所以图C阴影部分的面积小于图B阴影部分的面积；D、如图，BD= √42+42=4√2，GE=DE=2，HF=BF=2，∴GH= 4√2−4，，小于8；∴S重叠部分= 2×(4√2+4√2−4)2=8√2−4故答案为：B.【分析】A、阴影部分是长方形，根据长方形的面积公式即可求出阴影部分的面积=8；B、重叠部分是平行四边形，与正方形边重合部分的长大于2，高是4，根据平行四边形的面积公式即可求出阴影部分的面积＞8；C、图C阴影部分的倾斜度比图B阴影部分的倾斜度小，得出图C中平行四边形的底比图B中平行四边形的底小，高是4，从而得出图C阴影部分的面积小于图B阴影部分的面积；D、先求出BD的长，从而求出GH的长，利用梯形的面积公式求出阴影部分的面积＜8，即可得出重叠部分的面积最大的是图B.10．【答案】C【解析】【解答】解：A、一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形，本选项说法是假命题；B、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，本选项说法是假命题；C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，本选项说法是真命题；D、有一组邻边相等且有一个角是直角的四边形是正方形，本选项说法是假命题；故答案为：C.【分析】根据平行四边形的判定定理可判断A；根据菱形的判定定理可判断B；根据矩形的判定定理可判断C；根据正方形的判定定理可判断D.11．【答案】24【解析】【解答】∵矩形AEGF的周长为20cm，∴AE+AF=10，设AE=x，则AF=10−x，AB=x+2，AD=12−x，=S ABCD−S AEGF=AB×AD−AE×AFS阴影=(x+2)(12−x)−x(10−x)=12x+24−x2−2x−10x+x2=24，故答案为24.【分析】由矩形的性质及周长，可求出AE +AF =10，设 AE =x ，则 AF =10−x ， AB =x +2 ， AD =12−x ，由S 阴影=S 矩形ABCD −S 矩形AEGF ，利用矩形的面积公式代入计算即得结论.12．【答案】（3，0）【解析】【解答】解：∵四边形 OABC 是平行四边形，∴OA=BC=3，∴点A 的坐标是（3，0），故答案是：（3，0）.【分析】由平行四边形的性质可得OA=BC=3，据此不难得到点A 的坐标.13．【答案】98【解析】【解答】解：过点C 作CM// C ′D ′ 交 B ′C ′ 于点M ，∵平行四边形ABCD 绕点A 逆时针旋转得到平行四边形 AB ′C ′D ′∴AB =AB ′ ， AD =AD ′,∠B =∠AB ′C ′=∠D =∠D ′ ， ∠BAD =∠B ′AD ′∴∠BAB ′=∠DAD ′ ， ∠B =∠D ′∴ΔABB ′∽ΔADD ′∴BB ′DD ′=AB AD =AB BC =34, ∵BB ′=1∴DD ′=43∴C ′D =C ′D ′−DD ′=CD −DD ′=AB −DD ′=3−43=53∵∠AB ′C =∠AB ′C ′+∠CB ′M =∠ABC +∠BAB ′∴∠ CB ′M =∠BAB ′∵B ′C =BC −BB ′=4−1=3∴B ′C =AB∵AB =AB ′∴∠ ABB ′=∠AB ′B =∠AB ′C ′∵AB ′//C ′D ′ ， C ′D ′//CM∴AB ′//CM∴∠ AB ′C ′=∠B ′MC∴∠ AB ′B =∠B ′MC在 ΔABB ′ 和 ΔB ′MC 中，{∠BAB ′=∠CB ′M ∠AB ′B =∠B ′MC AB =B ′C∴ΔABB ′≅ΔB ′CM∴BB ′=CM =1∵CM//C ′D∴△ CME ∽ΔDC ′E∴CMDC ′=CE DE =153=35 ∴CE CD =38 ∴CE =38CD =38AB =38×3=98故答案为： 98.【分析】过点C 作CM// C ′D ′ 交 B ′C ′ 于点M ，利用旋转的性质可得AB=AB ＇，AD=AD ＇，同时可证得两平行四边形的对角相等，由此可推出∠BAB ＇=∠DAD ＇,∠B=∠D ＇，可推出△ABB ＇∽△ADD ＇，利用相似三角形的对应边成比例，可得出对应边的比；从而可求出DD ＇的值，即可求出CD ＇，B ＇C ；再证明△CME ∽△DC ＇E ，利用相似三角形的性质可求出CE 的长.14．【答案】50【解析】【解答】解：过点E 作EF ⊥BC ，垂足为F ，∵∠EBC=30°，BE=10，∴EF= 12BE=5， ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠DEC=∠BCE ，又EC 平分∠BED ，即∠BEC=∠DEC ，∴∠BCE=∠BEC ，∴BE=BC=10，∴四边形ABCD 的面积= BC ×EF = 10×5 =50，故答案为：50.【分析】过点E 作EF ⊥BC ，垂足为F ，由含30°角的直角三角形的性质得出EF= 12BE=5，根据平行四边形的性质及角平分线的定义得出∠BCE=∠BEC ，从而可得BE=BC=10，由平行四边形ABCD 的面积= BC ×EF ，据此计算即可.15．【答案】125【解析】【解答】解：∵菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC=8，DB=6，∴AO=4，DO=3，∠AOD=90°，∴AD=5，在 Rt △ADO 中，由等面积法得： 12AO ·DO =12AD ·OE ， ∴OE =AO·DO AD=3×45=125 故答案为： 125. 【分析】由菱形的性质得出AO=4，DO=3，∠AOD=90°，利用勾股定理求出AB=5，由△ADO 的面积=12AO ·DO =12AD ·OE ，据此求出OE 的长. 16．【答案】43【解析】【解答】解：由折叠性质可得CF=BC=5，BE=EF ，由矩形性质有CD=AB=3，BC=AD=5，∵∠D=90°，∴DF =√CF 2−CD 2=4，所以AF =AD −DF =5−4=1，所以 BE=EF=x ，则AE=AB-BE=3-x ，在Rt △AEF 中：AE 2+AF 2=EF 2，∴(3−x)2+12=x 2，解得x =53， ∴AE =3−53=43故答案为：43. 【分析】由折叠的性质可得CF=BC=5，BE=EF ，由矩形性质可得CD=AB=3，BC=AD=5，利用勾股定理可得DF ，由AF=AD-DF 可得AF ，设BE=EF=x ，则AE=3-x ，利用勾股定理可得x ，进而可得AE.17．【答案】1【解析】【解答】解：连接AG ，EG ，如图，∵HG 垂直平分AE ，∴AG=EG ，∵正方形ABCD 的边长为8，∴∠B=∠C=90°，AB=BC=CD=8，∵点E 是CD 的中点，∴CE=4，设BG=x ，则CG=8-x ，由勾股定理，得EG 2=CG 2+CE 2=（8-x ）2+42，AG 2=AB 2+BG 2=82+x 2，∴（8-x ）2+42=82+x 2，解得：x=1.故答案为：1.【分析】连接AG ，EG ，根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AG=EG ，根据正方形的性质可得∠B=∠C=90°，AB=BC=CD=8，由中点的概念可得CE=4，设BG=x ，则CG=8-x ，然后在Rt △CEG 、Rt △ABG 中，利用勾股定理计算即可.18．【答案】49【解析】【解答】解：∵两个空白正方形的面积分别为12和3，∴边长分别为2√3和√3，∴大正方形的边长为2√3+√3=3√3，∴大正方形的面积为(3√3)2=27，∴阴影部分的面积为27-12-3=12，∴米粒落在图中阴影部分的概率=1227=49. 故答案为：49. 【分析】根据空白正方形的面积可得边长分别为2√3和√3，则大正方形的边长为3√3，求出大正方形的面积，然后求出阴影部分的面积，接下来根据几何概率公式进行计算即可.19．【答案】10【解析】【解答】解：如图，设AC 与 MN 的交点为O ，根据作图可得MN ⊥AC ，且平分AC ，∴AO =OC ，∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠FAO =∠OCE ，又 ∵∠AOF =∠COE ， AO =CO ，∴△AOF ≌△COE ，∴AF =EC ，∵AF ∥CE ，∴ 四边形AECF 是平行四边形，∵MN 垂直平分AC ，∴EA =EC ，∴ 四边形AECF 是菱形，∵AB ⊥AC ， MN ⊥AC ，∴EF ∥AB ，∴BE EC =OC AO=1 ， ∴E 为BC 的中点，Rt △ABC 中， AB =3 ， AC =4 ，∴BC =√AB 2+AC 2=5 ，AE =12BC =52 ，∴ 四边形AECF 的周长为 4AE =10 .故答案为： 10 .【分析】设AC 与MN 的交点为O ，根据作图可得MN ⊥AC 且平分AC ，则AO=OC ，根据平行四边形以及平行线的性质可得∠FAO=∠OCE ，证明△AOF ≌△COE ，得到AF=EC ，推出四边形AECF 是平行四边形，结合EA=EC 可得四边形AECF 为菱形，易得EF ∥AB ，根据平行线分线段成比例的性质可得E 为BC 的中点，根据勾股定理可得BC ，由直角三角形斜边上中线的性质可得AE=12BC ，据此求解.20．【答案】√52π 【解析】【解答】解：∵点M 、N 分别是边AD 、BC 的中点，连接MN ，则四边形ABNM 是矩形，∴MN=AB=6，AM=BN=12AD==4， 根据题意知EF 在运动中始终与MN 交于点Q ，如图，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD//BC ，∴ΔAQM ∼ΔFQN ，∴NF EM =NQ MQ =12∴NQ =13MN =2当点E 与点A 重合时，则NF=12AM =2， ∴BF=BN+NF=4+2=6，∴AB=BF=6∴ΔABF 是等腰直角三角形，∴∠AFB =45°，∵BH ⊥AF ，∴∠HBF =45°由题意得，点H 在以BQ 为直径的HN ⌢上运动，运动路径长为HN ⌢长，取BQ 中点O ，连接HO ，NO ， ∴∠HON=90°，又∠BNQ =90°，∴BQ =√BN 2+NQ 2=√42+22=2√5，∴ON =OH =OQ =12BQ =√5， ∴HN ⌢的长为90π×√5180=√52π 故答案为：√52π. 【分析】连接MN ，则四边形ABNM 是矩形，MN=AB=6，AM=BN=4，根据矩形的性质可得AD//BC ，证明△AQM ∽△FQN ，根据相似三角形的性质可得NQ ，当点E 与点A 重合时，则NF=2，BF=BN+NF=6，推出△ABF 是等腰直角三角形，得到∠AFB=∠HBF=45°，由题意得：点H 在以BQ 为直径的HN ⌢上运动，运动路径长为HN ⌢长，取BQ 中点O ，连接HO ，NO ，利用勾股定理求出BQ ，有ON=OH=OQ 可得ON 的值，然后根据弧长公式进行计算.21．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AB =CD ，∴∠ABE =∠CDF ，又BE =DF ，∴△ABE ≌△CDF （SAS ）；（2）证明：∵△ABE ≌△CDF ，∴AE =CF ，∠AEB =∠CFD∴∠AEF =∠CFE∴AE ∥CF ，∴四边形AECF 是平行四边形.【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB ∥CD ，AB=CD ，根据平行线的性质得∠ABE=∠CDF ，结合BE=DF ，然后根据全等三角形的判定定理“SAS”进行证明；（2）根据全等三角形的性质可得AE=CF，∠AEB=∠CFD，结合邻补角的性质可得∠AEF=∠CFE，推出AE∥CF，然后根据平行四边形的判定定理“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”进行证明.22．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠A=∠B=90°，∴∠AEH+∠AHE=90°．∵四边形EFGH为正方形，∴EH=EF，∠HEF=90°，∴∠AEH+∠BEF=90°，∴∠BEF=∠AHE．在△AEH和△BFE中，∵∠A=∠B=90°，∠AHE=∠BEF，EH=FE，∴△AEH≌△BFE．∴AH=BE．∴AE+AH=AE+BE=AB；（2）AE=CF（3）解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB∥CD．∵AE=DG，AE∥DG，∴四边形AEGD为平行四边形．∴AD∥EG．∴EG∥BC．过点H作HM⊥BC，垂足为点M，交EG于点N，∴HNHM=HOHF．∵OE：OF=4：5，设OE=4x，OF=5x，HN=ℎ，则ℎ16=20−5x20，∴ℎ=4(4−x)．∴S=12⋅OE⋅HN=12⋅4x⋅4(4−x)=−8(x−2)2+32．∴当x=2时，△OEH的面积最大，∴OE=4x=8=12EG=OG，OF=5x=10=12HF=OH，∴四边形EFGH是平行四边形．【解析】【解答】解：（2）AE=CF ，证明如下：∵四边形ABCD为正方形，∴∠A=∠B=90°，AB=BC=AD=CD，∵AE=AH，CF=CG，AE=CF，∴AH=CG，∴△AEH≌△FCG，∴EH=FG．∵AE=CF，∴AB－AE=BC－CF，即BE=BF，∴△BEF是等腰直角三角形，∴∠BEF=∠BFE=45°，∵AE=AH，CF=CG，∴∠AEH=∠CFG=45°，∴∠HEF=∠EFG=90°，∴EH∥FG，∴四边形EFGH是矩形.【分析】（1）根据正方形的性质可得∠A=∠B=90°，EH=EF，∠HEF=90°，根据同角的余角相等可得∠BEF=∠AHE，证明△AEH≌△BFE，得到AH=BE，据此证明；（2）同理证明△AEH≌△FCG，得到EH=FG，根据线段的和差关系可得BE=BF，推出△EBF是等腰直角三角形，得到∠BEF=∠BFE=45°，易得∠AEH=∠CFG=45°，则∠HEF=∠EFG=90°，推出EH∥FG，然后根据矩形的判定定理进行解答；（3）根据正方形的性质可得AB∥CD，易得四边形AEGD为平行四边形，则AD∥EG，过点H作HM⊥BC，垂足为点M，交EG于点N，设OE=4x，OF=5x，HN=h，根据平行线分线段成比例的性质可得h，由三角形的面积公式可得S，根据二次函数的性质可得S的最大值以及对应的x的值，进而求出OE、OF，然后结合平行四边形的判定定理进行解答.23．【答案】（1）证明：如图1中，作FM⊥AC，垂足为M，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∵FM⊥AC，∴∠B＝∠AMF＝90°，∵旋转角等于∠BAC，∴∠BAC＝∠EAF，AE=AF ∴∠BAE＝∠MAF，在△ABE和△AMF中，{∠B＝∠AMF ∠BAE＝∠MAF AE＝AF∴△ABE≌△AMF（AAS），∴AB＝AM；（2）解：解：当点E在BC上，在Rt△ABE中，AB＝4，AE＝3√2，∴BE＝√AE2−AB2＝√(3√2)2−42＝√2，∵△ABE≌△AMF，∴AB＝AM＝4，FM＝BE＝√2，在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，∴AC＝√AB2＋BC2＝√42＋32＝5，∴CM＝AC−AM＝5−4＝1，∵∠CMF＝90°，∴CF＝√CM2＋FM2＝√12＋(√2)2＝√3．当点E在CD上时，过点F作FN⊥AC于点N，∵∠BAC=∠EAF，∴∠BAE=∠FAN，∵AB∥CD，∴∠BAE=∠AED=∠FAN，在△ADE和△ANF中，{∠D=∠ANF ∠AED=∠FAN AE=AF∴△ADE≌△ANF（AAS），∴AD=NF=3，AN=DE在Rt△ADE中DE=AN=√AE2−AD2=√(3√2)2−32=3，∴CN=AC-AN=5-3=2在Rt△CNF中CF=√FN2+CN2=√32+22=√13；∴CF的值为√3或√13.（3）解：当点E在BC上时，如图2中，过点D作DH⊥FM于点H，∵△ABE ≌△AMF ，∴AM ＝AB ＝4，∵∠AMF ＝90°，∴点F 在射线FM 上运动，当点F 与K 重合时，DH 的值最小，∵∠CMJ ＝∠ADC ＝90°，∠MCJ ＝∠ACD ，∴△CMJ ∽△CDA ， ∴CM CD ＝MJ AD ＝CJ AC ， ∴14＝MJ 3＝CJ 5， ∴MJ ＝34，CJ ＝54， ∴DJ ＝CD −CJ ＝4−54＝114； ∵∠CMJ ＝∠DHJ ＝90°，∠CJM ＝∠DJH ，∴△CMJ ∽△DHJ ，∴CM DH ＝CJ DJ ，∴1DH ＝54114， ∴DH ＝115， ∴DF 的最小值为115； 当点E 在线段CD 上时，如图3中，将线段AD 绕点A 顺时针旋转，旋转角为∠BAC ，得到线段AR ，连接FR ，过点D 作DQ ⊥AR 于点Q ，DK ⊥FR 于点K ，∵∠EAF ＝∠BAC ，∠DAR ＝∠BAC ，∴∠DAE ＝∠RAF ，在△ADE 和△ARF 中{AE ＝AF∠DAE ＝∠RAF AD ＝AR∴△ADE ≌△ARF （SAS ），∴∠ADE ＝∠ARF ＝90°，∴点F 在直线RF 上运动，当点D 与K 重合时，DF 的值最小，∵DQ ⊥AR ，DK ⊥RF ，∴∠R ＝∠DQR ＝∠DKR ＝90°，∴四边形DKRQ 是矩形，∴DK ＝QR ，∴AQ ＝AD •cos∠BAC ＝3×45＝125， ∵AR ＝AD ＝3，∴DK ＝QR ＝AR −AQ ＝35， ∴DF 的最小值为35， ∵35＜115， ∴DF 的最小值为35. 【解析】【分析】（1）作FM ⊥AC ，垂足为M ，利用矩形的性质和垂直的定义可证得∠B ＝∠AMF ＝90°，利用旋转角等于∠BAC ，可证得∠BAE ＝∠MAF ，AE=AF ，利用AAS 证明△ABE ≌△AMF ，利用全等三角形的性质可证得结论.（2）分情况讨论：当点E 在BC 上，在Rt △ABE 中，利用勾股定理求出BE 的长，利用全等三角形的性质可得到AB ，FM 的长；在Rt △ABC 中，利用勾股定理求出AC 的长，即可求出CM 的长，利用勾股定理求出CF 的长；当点E 在CD 上时，过点F 作FN ⊥AC 于点N ，易证∠BAE=∠AED=∠FAN ，利用AAS 证明△ADE ≌△ANF ，利用全等三角形的性质可证得AD=NF=3，AN=DE ，利用勾股定理求出AN 的长，即可得到CN 的长；然后在Rt △CNF 中，利用勾股定理求出CF 的长，综上所述可得到CF 的值.（3）分情况讨论：当点E 在BC 上时，如图2中，过点D 作DH ⊥FM 于点H ，利用全等三角形的性质可得到AM 的长，同时可得到点F 在射线FM 上运动，当点F 与K 重合时，DH 的值最小，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△CMJ ∽△CDA ，利用相似三角形的对应边成比例可求出MJ ，CJ 的长，由此可求出DJ ；再证明△CMJ ∽△DHJ ，利用相似三角形的性质可求出DH 的长；当点E 在线段CD 上时，如图3中，将线段AD 绕点A 顺时针旋转，旋转角为∠BAC ，得到线段AR ，连接FR ，过点D 作DQ ⊥AR 于点Q ，DK ⊥FR 于点K ，利用SAS 证明△ADE ≌△ARF ，可得到∠ADE ＝∠ARF ＝90°，即可证得点F 在直线RF 上运动，当点D 与K 重合时，DF 的值最小；易证四边形DKRQ 是矩形，利用矩形的性质可证得DK=QR ，利用解直角三角形求出AQ 的长，同时可求出DK 的长，由此可得到DF 的最小值，比较大小可求出DF 的最小值.24．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，O 是BD 的中点，∴AB ∥DC ，OB=OD ，∴∠OBE=∠ODF.在△BOE 和△DOF 中， {∠OBE =∠ODF OB =OD ∠BOE =∠DOF，∴△BOE ≌△DOF （ASA ）（2）证明：∵△BOE ≌△DOF ，∴EO=FO ，∵OB=OD ，∴四边形BEDF 是平行四边形.∴DE=BF.【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB ∥DC ，由中点的概念可得OB=OD ，根据平行线的性质可得∠OBE=∠ODF ，由对顶角的性质可得∠BOE=∠DOF ，然后根据全等三角形的判定定理ASA 进行证明；（2）根据全等三角形的性质可得EO=FO ，结合OB=OD 可推出四边形BEDF 是平行四边形，然后根据平行四边形的性质可得结论.25．【答案】（1）解：设 BE =x ，则 EC =4−x ，∴AE=EC=4−x，在RtΔABE中，AB2+BE2=AE2，∴(2√2)2+x2=(4−x)2，∴x=1，∴BE=1，AE=CE=3，∵AE=EC，∴∠1=∠2，∵∠ABC=90∘，∴∠CAB=90∘−∠2，∴∠CAB=90∘−∠1，由折叠可知ΔFAC≅ΔBAC，∴∠FAC=∠CAB=90∘−∠1，AF=AB=2√2，∴∠FAC+∠1=90∘，∴∠FAE=90∘，在RtΔFAE中，EF=√AF2+AE2=√(2√2)2+32=√17（2）解：过F作FM⊥BC于M，∴∠FME=∠FMC=90°，设EM=a，则EC=3-a，在 Rt △FME 中， FM 2=FE 2−EM 2 ，在 Rt △FMC 中， FM 2=FC 2−MC 2 ，∴FE 2−EM 2=FC 2−MC 2 ，∴(√17)2−a 2=42−(3−a)2 ，∴a =53， ∴EM =53 ， ∴FM =√(√17)2−(53)2=83√2 ， ∴sin∠CEF =FM EF =83√2√17=851√34 【解析】【分析】（1）设BE=x ，则AE=EC=4-x ，在Rt △ABE 中，根据勾股定理可得x ，据此可得BE 、AE 、CE 的值，根据等腰三角形的性质得∠1=∠2，由折叠得△FAC ≌△BAC ，得到∠FAC=∠CAB ，AF=AB ，结合∠1+∠CAB=90°可得∠FAC+∠1=90°，则∠FAE=90°，然后利用勾股定理可得EF ；（2）过F 作FM ⊥BC 于M ，设EM=a ，则EC=3-a ，在Rt △FME 、Rt △FMC 中，由勾股定理建立方程，求解可得a 及FM 的长，然后根据三角函数的概念进行计算.26．【答案】（1）解：∵BC=x ，矩形CDEF 的面积是矩形BCFA 面积的2倍，∴CD=2x ，∴BD=3x ，AB=CF=DE= 13(24-BD)=8-x ， 依题意得：3x(8-x)=36，解得：x 1=2，x 2=6(不合题意，舍去)，此时x 的值为2m ；（2）解：设矩形养殖场的总面积为S ，由（1）得：S=3x(8-x)=-3(x-4)2+48，∵-3<0，∴当x=4m 时，S 有最大值，最大值为48 m 2 ，【解析】【分析】（1）由题意可得CD=2x ，则BD=BC+CD=3x ，AB=CF=DE=8-x ，根据矩形的面积公式可得关于x的方程，求解即可；（2）设矩形养殖场的总面积为S，根据矩形的面积公式可得S与x的关系式，然后结合二次函数的性质进行解答.27．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AEB=∠EBG，∵△ABE与△FBE关于BE对称，∴∠AEB=∠BEF，∴∠EBG=∠BEF，∴EG=BG；（2）解：①点G与C重合；理由：如图1中，过点E作EH⊥BG于点H，则四边形ABHE是矩形，∴EH=AB=6．AE=BH=2，设BG=EG=x，在Rt△EHG中，EG2=EH2+HG2，∴x2=62+（x-2）2，∴x=10，∵BC=AD=10，BG=10，∴点G与C重合；②AB=2√15；3（3）解：如图1中，设BG=EG=y，在Rt△EHG中，EG2=EH2+HG2，∴y 2=AB 2+（y-m ）2，∴y =12m ⋅AB 2+m 2，∴BG-12AE=AB 2总成立，∴12m ⋅AB 2+12m −12m =AB 2，∴m=12．【解析】【解答】(2)②如图2中，由轴对称的性质可知AB=BF ，AE=EF=2，∵SΔABE S ΔBED =12×AB×AE 12⋅BD⋅EF=AE DE ，∴AB BD =14，∴可以假设AB=k ，BD=4k ，则DF=3k ，在Rt △DEF 中，DE 2=EF 2+DF 2，∴82=22+（3k ）2，∴k =2√153（负根已经舍去），∴AB =2√153；【分析】（1）先求出 ∠AEB=∠EBG ， 再求出 ∠EBG=∠BEF ，最后证明即可； （2）①利用勾股定理计算求解即可；②先求出AB BD =14，再求出k 的值，最后求解即可；（3）根据题意先求出 y =12m ⋅AB 2+m 2， 再求解即可。
中考数学复习“1 1 3”专项训练(8) 苏科版【教案】
2013年九年级数学中考复习讲义系列-----每周一练（8）时间：60分钟 总分 ：40分 姓名 得分1.如图，在等边ABC △中，9AC =，点O 在AC 上，且3AO =， 点P 是AB 上一动点，连结OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转60 得到线段OD ．要使点D 恰好落在BC 上，则AP 的长为 。
2.如图是一个由正方形ABCD 和半圆O 组成的封闭图形，点O 是圆心．点P 从点A 出发，沿线段AB 、弧BC 和线段CD 匀速运动，到达终点D ．运动过程中OP 扫过的面积（s ）随时间（t ）变化的图象大致是（ ）3．今年我国多个省市遭受严重干旱，受旱灾的影响，4月份，我市某蔬菜价格呈上升趋势，其前四周每周的平均销售价格变化如下表：数（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识直接写出4月份y 与x 的函数关系式；（2）进入5月，由于本地蔬菜的上市，此种蔬菜的平均销售价格y （元/千克）从5月第1周的2.8元/千克下降至第2周的2.4元/千克，且y 与周数x的变化情况满足二次函数y ＝－ 120x 2＋bx ＋c . ，请求出5月份y 与x 的函数关系式 （3）若4月份此种蔬菜的进价m （元/千克）与周数x 所满足的函数关系为m ＝ 14x ＋1.2，5月份此种蔬菜的进价m （元/千克）与周数x 所满足的函数关系为m ＝51-x ＋2．试问4月份与5月份分别在哪一周销售此种蔬菜一千克的利润最大？且最大利润分别是多少？4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，D为BC的中点．(1)若E、F分别是AB、AC上的点，且AE＝CF，求证：△AED≌△CFD；(2)当点F、E分别从C、A两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿CA、AB运动，到点A、B时停止；设△DEF的面积为y，F点运动的时间为x，求y与x的函数关系式；(3)在(2)的条件下，点F、E分别沿CA、AB的延长线继续运动，求此时y与x的函数关系式．5.如图所示, 在平面直角坐标系xoy中, 矩形OABC的边长OA、OC分别为12cm、6cm, 点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上, 抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B, 且18a + c = 0.(1)求抛物线的解析式.(2)如果点P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向终点B移动, 同时点Q由点B开始沿BC 边以2cm/s的速度向终点C移动.①移动开始后第t秒时, 设△PBQ的面积为S, 试写出S与t之间的函②当S取得最大值时, 在抛物线上是否存在点R, 使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形? 如果存在, 求出R点的坐标, 如果不存在,请说明理由.第5题图1.62.C3、（1）通过观察可见四月份周数y 与x 的符合一次函数关系式：y ＝0．2x ＋1．8;（2）将（1，2．8）(2，2．4)代入y ＝－ 1 20 x 2＋bx ＋c ．可得：12.82012.425b c b c ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩解之：143.1b c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩即y ＝120-x 2 14-x ＋3．（1）4月份此种蔬菜利润可表示为： W 1＝y －m ＝（0．2x ＋1．8）－（ 14 x ＋1．2），即： W 1＝－0．05x ＋0．6 5月份此种蔬菜利润可表示为： W 2＝y －m＝（120-x 2 14-x ＋3．1）－（ 1 5 x ＋2．），即： W 2＝120-x 2 920-x ＋1．1由函数解析式可知，四月份的利润随周数的增大而减小，所以应在第一周的利润最大，最大为：W ＝－0．05×1＋0．6＝0．55(元/千克)由函数解析式可知，五月份的利润随周数变化符合二次函数且对称轴为：x ＝922b a -=-，即在第1至4周的利润随周数的增大而减小，所以应在第一周的利润最大，最大为：W ＝120-920-＋1．1＝0．6(元/千克)4．(1)证明: ∵∠BAC ＝90° AB ＝AC ＝6,D 为BC 中点 ∴∠BAD ＝∠DAC ＝∠B ＝∠C ＝45° ····· 1分 ∴AD ＝BD ＝DC ············ 2分． ∵AE ＝CF ∴△AED ≌△CFD ······· 3分 (2)依题意有:FC ＝AE ＝x ········· 4分 ∵△AED ≌△CFD∴ADF CFD ADF AED AEDF S S S S S ∆∆∆∆+=+=四边形 ＝S △ADC ＝9∴9321)6(2192+-=--=-=∆∆x x x x S S S AEF AEDF EDF 四边形 ∴93212+-=x x y (3) 依题意有：AF ＝BE ＝x －6，AD ＝DB ，∠ABD ＝∠DAC ＝45° ∴∠DAF ＝∠DBE ＝135° ········· 8分 ∴△ADF ≌△BDE ············ 9分 ∴ADF BDES S ∆∆=··········· 10分第26题图1∴EDF EAF ADBS S S ∆∆∆=+········ 11分 211(6)93922x x x x =-+=-+ ∴93212+-=x x y5 答：（1）设抛物线的解析式为c bx ax y ++=2，由题意知点A （0，-12），所以12-=c ， 又18a+c=0，32=a , ∵AB ∥CD,且AB=6, ∴抛物线的对称轴是32=-=abx . ∴4-=b .所以抛物线的解析式为124322--=x x y . （2）①9)3(6)6(22122+--=+-=-⋅⋅=t t t t t S ，()60≤≤t . ②当3=t 时，S 取最大值为9。
苏科版数学中考复习专题练习—方程及其应用(含答案)
方程及其应用一、学习目标1．能够识别一次方程（组）、分式方程、一元二次方程，并熟练掌握各类方程（组）的解法；2．理解方程（组）的解的意义，探究含字母参数的方程的解的问题；3．会列方程（组）求解实际问题、数学问题．二、典型例题题型一、方程（组）有关的概念及解法例题1．关于x 的方程（m ＋1）x |m |＋1＋（m －3）x －1＝0．（1）m 取何值时，方程是一元二次方程，并求出此方程的解；（2）m 取何值时，方程是一元一次方程．例题2．解方程：x x －1＝4 x 2－1 ＋1借题发挥：1．用加减消元法解二元一次方程组 ⎩⎨⎧ x ＋3y ＝4 ①， 2x －y ＝1 ②，时，下列方法中无法消元．．．．的是（ ） A ． ①×2－② B ．②×(－3) －① C ． ①×(－2)＋② D ．①－②×32．用配方法解一元二次方程2x 2－3x －1＝0，配方正确的是（ ）A ．(x － 3 4 )2＝ 17 16B ．(x － 3 4 )2＝ 1 2C ．(x － 3 2 )2＝ 13 4D ．(x － 3 2 )2＝ 11 4题型二、方程的解的意义例题3．已知关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧ a x ＋23y ＝－103 x ＋y ＝4与⎩⎨⎧ x －y ＝2 x ＋b y ＝15 的解相同．求a 、b 的值.例题4．已知关x 的一元一次方程 1 2021 x ＋3＝2x ＋m 的解为x ＝2， 那么关于y 的一元一次方程 1 2021(y ＋1)＋3＝2 (y ＋1)＋m 的解为 ． 借题发挥：1．学校计划用200元钱购买A 、B 两种奖品，A 种每个15元，B 种每个25元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（ ）A ．2种B ．3种C ．4种D ．5种2．甲、乙二人同时解方程组⎩⎨⎧ a x ＋y ＝3 2x －b y ＝1 ，甲看错了a ，解得⎩⎨⎧ x ＝1 y ＝－1 ；乙看错了b ，解得⎩⎨⎧ x ＝－1 y ＝3．求a 、b 的值．题型三、含字母参数的方程的解的问题例题5．若关于x 的分式方程3x x －2＝m 2－x+5的解为正数，则m 的取值范围为（ ） A ．m ＜－10 B ．m ≤－10C ．m ≥－10且m ≠－6D ．m ＞－10且m ≠－6例题6．等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x 的方程x 2－4x ＋k ＝0的两个根，则k 的值为（ ）A ．3B ．4C ．3或4D ．7借题发挥：关于x 的方程kx 2﹣6x +9＝0有实数根，k 的取值范围是（ ）A ．k ＜1且k ≠0B ．k ＜1C ．k ≤1且k ≠0D ．k ≤1题型四、用方程思想解决问题例题7．第33个国际禁毒日到来之际，贵阳市策划了以“健康人生绿色无毒”为主题的禁毒宣传月活动，某班开展了此项活动的知识竞赛.学习委员为班级购买奖品后与生活委员对话如下：（1）请用方程的知识帮助学习委员计算一下，为什么说学习委员搞错了；（2）学习委员连忙拿出发票，发现的确错了，因为他还买了一本笔记本，但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出单价是小于10元的整数，那么笔记本的单价可能是多少元？。
中考数学复习“1+1+3”专项训练1苏科版
中考数学复习“1+1+3”专项训练1苏科版“1+1+3”专项训练（1） 苏科版时间：60分钟 总分：40分 姓名 得分1．如图，在中，，，，经过点且与边相切的动圆与，分别相交于点、 ，则线段长度的最小值是（ ） A ． B ． C ． D ．2．某小型企业原来只生产A 产品，为响应国家“加快调整产业结构”的号召，又自主研发出一种高新产品B ．第一年B 产品投入占总投入的40%，第二年计划将B 产品投入增加30%，但总投入与第一年相同，那么第二年A 产品的投入将减少 %.3.小平所在的学习小组发现，车辆转弯时，能否顺利通过直角弯道的标准是，车辆是否可以行驶到和路的边界夹角是45°的位置（如图1中②的位置）．例如，图2是某巷子的俯视图，巷子路面宽4 m ，转弯处为直角，车辆的车身为矩形ABCD ，CD 与DE 、CE 的夹角都是45°时，连接EF ，交CD 于点G ，若GF 的长度至少能达到车身宽度，即车辆能通过．（1）小平认为长8m ，宽3m 的消防车不能通过该直角转弯，请你帮他说明理由；（2）小平提出将拐弯处改为圆弧（⌒ MM′和⌒ NN′是以O 为圆心，分别以OM 和ON 为半径的弧），长8m ，宽3m 的消防车就可以通过该弯道了，具体的方案如图3，其中OM ⊥OM ′，你能帮小平算出，ON 至少为多少时，这种消防车可以通过该巷子？4．上个月某超市购进了两批相同品种的水果，第一批用了20xx 元，第二批用了5500元，第二批购进水果的重量是第一批的2.5倍，且进价比第一批每千克多1元．（1）求两批水果共购进了多少千克？（2）在这两批水果总重量正常损耗10%，其余全部售完的情况下，如果这两批水果的售价相同，且总利润率不低于26%，那么售价至少定为每千克多少元？CB ADP5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，点D为AC边上一点，且AD=3cm，动点E从点A出发，以1cm/s的速度沿线段AB向终点B运动，运动时间为x s．作∠DEF=45°，与边BC相交于点F．设BF长为y cm．（1）当x= s时，DE⊥AB；（2）求在点E运动过程中，y与x之间的函数关系式及点F运动路线的长；（3）当△BEF为等腰三角形时，求x的值．1.A（本题3分）2.20（本题3分）3．（本题12分）解：（1）作FH⊥EC，垂足为H，∵FH＝EH＝4，∴EF＝42．且∠GEC＝45°，∵GC＝4，∴GE＝GC＝4．∴GF＝42－4＜3，即GF的长度未达到车身宽度，∴消防车不能通过该直角转弯．………………………6分（2）若C、D分别与M′、M重合，则△OGM为等腰直角三角形.∴OG＝4，OM＝42,∴OF＝ON＝OM－MN＝42－4.MM′上．∴FG＝8－42＜3．∴C、D在⌒（以上未说明不扣分）设ON＝x，连接OC．在Rt△OCG中，OG＝x＋3，OC＝x＋4，CG＝4，由勾股定理得OG2＋CG2＝OC2，即（x＋3）2＋42＝（x＋4）2．解得x＝4.5答：ON至少为4.5米…………………………12分4.（本题10分）（1）设第一批购进水果x千克，则第二批购进水果2.5千克，依据题意得：5500/（2.5x ）-20xx/x=1 解得x=200，经检验x=200是原方程的解， ∴x+2.5x=700，答：这两批水果共购进700千克； （2）设售价为每千克a 元，则：【700（1-0.1）a-20xx-5500】/(20xx+5500) ≥ 0.26 630a≥7500×1.26 ∴a≥15，答：售价至少为每千克15元． 5．（本题12分） 解：（1）3222分（2）∵在△ABC 中，∠C =90°，AC =BC =4．∴∠A ＝∠B ＝45°，AB =4 2 ，∴∠ADE ＋∠AED ＝135°； 又∵∠DEF ＝45°，∴∠BEF ＋∠AED ＝135°，∴∠ADE ＝∠BEF ；∴△ADE ∽△BEF 4分 ∴AD BE ＝AE BF， ∴3 4 2 －x＝x y ，∴y ＝－13 x 2+43 2 x5分 ∴y ＝－13 x 2+43 2 x ＝－13 ( x －2 2 )2+83∴当x ＝2 2 时，y 有最大值＝836分 ∴点F 运动路程为163cm 7分 （3）这里有三种情况：①如图，若EF ＝BF ，则∠B ＝∠BEF ； 又∵△ADE ∽△BEF ，∴∠A ＝∠ADE ＝45° ∴∠AED ＝90°，∴AE ＝DE ＝32 2 ，∵动点E 的速度为1cm/s ，∴此时x ＝32 2 s ；②如图，若EF ＝BE ，则∠B ＝∠EFB ； 又∵△ADE ∽△BEF ，∴∠A ＝∠AED ＝45°∴∠ADE＝90°，∴AE＝3 2 ，∵动点E的速度为1cm/s∴此时x＝3 2 s；③如图，若BF＝BE，则∠FEB＝∠EFB；又∵△ADE∽△BEF，∴∠ADE＝∠AED ∴AE＝AD＝3，∵动点E的速度为1cm/s∴此时x＝3s；综上所述，当△BEF为等腰三角形时，x的值为322 s或3 2 s或3s．（注：求对一个结论得2分，求对两个结论得4分，求对三个结论得5分）。
2023年中考苏科版数学一轮复习专题练习-一次函数与反比例函数综合应用
2023年中考数学一轮复习专题练习一次函数与反比例函数综合应用 一、选择题 1．下列式子：①y =3x −5；②y =x 1；③y=1-x ；④y 2=x ；⑤y =|x |，其中y 是x 的函数的个数是( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．点P （3，﹣1）关于x 轴对称的点的坐标是（ ）A ．（﹣3，1）B ．（﹣3，﹣1）C ．（1，﹣3）D ．（3，1） 3.下列函数是反比例函数的是（ ）A ．2x y =B ．x y 1-=C ．y ＝x 2D ．y ＝2x ＋1 4.在反比例函数x m y 31-=的图像上有A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，x 1＜0＜x 2，y 1＜y 2，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＞31B ．m ＜31C ．m≥31D ．m≤31 5．一次函数y ＝—2x ＋3的图象与坐标轴的交点是 （ ） A ．(3，1)(1，23) B ．(1，3)(23，1) C ．(3，0)(0，23) D ．(0，3)(23，0) 6．若函数y ＝（m +2）x |m |﹣3是反比例函数，则m 的值是（ ） A ．2 B ．﹣2C ．±2D ．不为2的实数 7．已知点A （﹣2，y 1）、B （﹣1，y 2）、C （3，y 3）都在反比例函数y ＝的图象上，则（ ）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 3＜y 2＜y 1C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 2＜y 1＜y 3 8. 函数y 1＝x 和y 2＝x1的图像如图所示，则y 1＞y 2的x 取值范围是（ ） A ．x ＜－1或x ＞1 B ．x ＜－1或0＜x ＜1C ．－1＜x ＜0或x ＞1D ．－1＜x ＜0或0＜x ＜1 9. 如图，函数y ＝－x 与函数y ＝－x4的图像相交于A ，B 两点，过A ，B 两点分别作y 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，则四边形ACBD 的面积为（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8第8题第9题二、填空题10．已知直线y＝k1x（k1≠0）与反比例函数y ＝（k2≠0）的图象交于M．N两点，若点M 的坐标是（1，2），则点N 的坐标是．11．如图，直线y 1＝x+2与双曲线y2＝交于A（2，m）、B（﹣6，n）两点．则当y1≤y2时，x的取值范围是．12．如图，一次函数y＝x与反比例函数y＝（k＞0）的图象在第一象限交于点A，点C在以B（7，0）为圆心，2为半径的⊙B上，已知AC长的最大值为7，则该反比例函数的函数表达式为．13．如图，直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+b分别交x，y轴的正半轴于点A，B，交反比例函数y＝﹣的图象于点C，D（点C在第二象限内），过点C作CE⊥x轴于点E，记四边形OBCE的面积为S1，△OBD的面积为S2，若，则CD的长为．14．点A（a，b）是一次函数y＝x﹣2与反比例函数y＝的交点，则a2b﹣ab2＝．三、解答题15．如图，点A和点E(2，1)是反比例函数y＝kx（x＞0）图象上的两点，点B在反比例函数y＝6x（x＜0）的图象上，分别过点A，B作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，AC＝BD，连接AB交y轴于点F．（1）k＝；（2）设点A的横坐标为a，点F的纵坐标为m，求证：am＝﹣2；（3）连接CE，DE，当∠CED＝90°时，直接写出点A的坐标：．第11题第12题第13题16．如图，反比例函数y ＝与一次函数y ＝ax +b 的图象交于点A (﹣2，6)、点B (n ，1)．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）点E 为y 轴上一个动点，若S △AEB ＝5，求点E 的坐标．（3）将一次函数y ＝ax +b 的图象沿y 轴向下平移n 个单位，使平移后的图象与反比例函数y ＝的图象有且只有一个交点，求n 的值．17．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线y ＝﹣x +3与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，二次函数y ＝ax 2+2x +c 的图象过B 、C 两点，且与x 轴交于另一点A ，点M 为线段OB 上的一个动点，过点M 作直线l 平行于y 轴交BC 于点F ，交二次函数y ＝ax 2+2x +c 的图象于点E ．（1）求二次函数的表达式；（2）当以C 、E 、F 为顶点的三角形与△ABC 相似时，求线段EF 的长度；（3）已知点N 是y 轴上的点，若点N 、F 关于直线EC 对称，求点N 的坐标．18．如图，在平面直角坐标系中．四边形OABC 为矩形，点C 、A 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，点D 为AB 的中点已知实数0k ≠，一次函数3y x k =-+的图像经过点C 、D ，反比例函数()0k y x x=>的图像经过点B ，求k 的值．19.已知一次函数y＝kx+b和反比例函数y＝图象相交于A（2，4），B（n，﹣2）两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出不等式kx+ b﹣＜0的解集；（3）点C（a，b），D（a，c）（a＞2）分别在一次函数和反比例函数图象上，且满足CD＝2，求a的值．20如图，已知反比例函数y＝（x＞0，k是常数）的图象经过点A（1，4），点B（m，n），其中m＞1，AM⊥x轴，垂足为M，BN⊥y轴，垂足为N，AM与BN的交点为C．（1）求出反比例函数解析式；（2）求证：△ACB∽△NOM．（3）延长线段AB，交x轴于点D，若点B恰好为AD的中点，求此时点B的坐标．21.如图，二次函数y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2的图象与一次函数y＝﹣2x的图象交于点A、B（点B 在右侧），与y轴交于点C，点A的横坐标恰好为a．动点P、Q同时从原点O出发，沿射线OB分别以每秒和2个单位长度运动，经过t秒后，以PQ为对角线作矩形PMQN，且矩形四边与坐标轴平行．（1）求a的值及t＝1秒时点P的坐标；（2）当矩形PMQN与抛物线有公共点时，求时间t的取值范围；（3）在位于x轴上方的抛物线图象上任取一点R，作关于原点（0，0）的对称点为R′，当点M恰在抛物线上时，求R′M长度的最小值，并求此时点R的坐标．22．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点（点A在点B左侧），已知A点的纵坐标是2；（1）求反比例函数的表达式；（2）将直线l1：y＝x沿y向上平移后的直线l2与反比例函数y＝在第二象限内交于点C，如果△ABC的面积为30，求平移后的直线l2的函数表达式．23．如图，在平面直角坐标系中，□ABCO的顶点A在x轴正半轴上，两条对角线相交于点D，双曲线y＝（x＞0）经过C，D两点．（1）求□ABCO的面积．（2）若□ABCO是菱形，请直接写出：①tan∠AOC＝．②将菱形ABCO沿x轴向左平移，当点A与O点重合时停止，则平移距离t与y轴所扫过菱形的面积S之间的函数关系式：．24．学习了图形的旋转之后，小明知道，将点P绕着某定点A顺时针旋转一定的角度α，能得到一个新的点P′，经过进一步探究，小明发现，当上述点P在某函数图象上运动时，点P′也随之运动，并且点P′的运动轨迹能形成一个新的图形．试根据下列各题中所给的定点A的坐标、角度α的大小来解决相关问题．【初步感知】如图1，设A（1，1），α＝90°，点P是一次函数y＝kx+b图象上的动点，已知该一次函数的图象经过点P1（﹣1，1）．（1）点P1旋转后，得到的点P1′的坐标为；（2）若点P′的运动轨迹经过点P2′（2，1），求原一次函数的表达式．【深入感悟】如图2，设A（0，0），α＝45°，点P是反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上的动点，过点P′作二、四象限角平分线的垂线，垂足为M，求△OMP′的面积．【灵活运用】如图3，设A（1，﹣），α＝60°，点P是二次函数y＝x2+2x+7图象上的动点，已知点B（2，0）、C（3，0），试探究△BCP′的面积是否有最小值？若有，求出该最小值；若没有，请说明理由．。
苏科版初三数学中考复习小专题系列1：最值问题 (精讲精练及参考答案)
xyBOMAxy CEO'BOMAD系列一：最值问题（1）—两线段之和的最值一、 【背景分析】 几何问题中的线段之和最值问题是中考复习问题常见情形，除了要运用最基本的“将军饮马”的原理之外，它最明显的特征：紧紧围绕“将军饮马”原理可以包含多种初中阶段的常用知识点，在不同的背景中，如直角坐标系中，各种特殊平行四边形，或圆中，可以全方位的考察必考知识点和常用方法，能有效考察学生对知识方法的分析能力，作图能力，计算能力等，故需要进行相应程度的训练与巩固。
二、 基本原理呈现:问题：已知在直线l 外有两定点A ，B ，试在l 上寻找点O ，使得AO ＋OB 的长度最短。
作法： ①从点A 作关于直线l 的对称点A'，连接A'B 与直线l 相交于点O ；②此时AO ＝A'O ，即AO ＋OB ＝A'O ＋OB ＝A'B ，根据“两点之间线段最短”可知此时AO ＋OB 的长度最短。
③点O 即为所求。
步骤简述：作对称点，连接产生交点。
三、课堂例题精讲例1则BO+BA 的最小值是 。
（图1） （图2）结合知识点：全等构造，勾股定理，一次函数直线思路与解析：如图2，过点B 作BC 垂直y 轴与点C ，构造“K 型”△BC M ≌△表示出点B （m,m+8），得出B 点运动路径为一次函数直线y=x +8，根据上ACAG述原理，作点O 关于直线y=x +8的对称点，再构建Rt △O ，EA 求出BO+BA 的最小值= O ，A=5816822=+。
【点评】：本题的难点之处是需分析出点B 的运动轨迹例2、已知如图3，在菱形ABCD 中，∠DAB=60°，AD=3，点E 、F 分别是AB ，AC 上的动点，且满足AE=CF ，则DE+DF 的最小值为（图3） （图考察点：全等构造，最值，对称，勾股定理思路与解析：如图4，因AE=CF 和30° ，在AC 上取点G ，使AG=AD=DC ，连GE ，易证：△DFC ≌△GEA ，通过构造全等形成转换，DF=EG ，因G 为定点，作点G 关于的对称点，连接DG ，，故DE+DF 的最小值转为熟悉的“将军饮马”ED+EG 的最小值=DG ，=233322=+。
中考数学复习“113”专项训练(7)苏科版【教案】
2013 九年级数学中考复习讲义系列-----每周一练（7）时间： 60 分钟总分：40分姓名得分1． Rt △ABC中， AB=AC,点 D为 BC中点. ∠MDN=90°，∠ MDN绕点 D 旋转，DM、DN分别与边 AB、AC交于 E、F 两点 . 以下结论①（BE+CF）=2BC ②S≤1③ S=AD·EF 2MA△ ABC△ AEF四边形 AEDFEN④ AD≥ EF⑤ AD与EF可能相互均分，此中正确结论的个数是（ C )FB DCA.1 个B.2个C.3个D.4个2.水管的外面需要包扎 , 包扎时用带子环绕在管道外面. 若要使带子所有包住管道且不重叠（不考虑管道两头的状况） , 需计算带子的环绕角度（指环绕中将部分带子拉成图中所示的平面ABCD时的∠ ABC,其中 AB为管道侧面母线的一部分）.若带子宽度为1,水管直径为 4 ,则的余弦值为.3．在锐角△ ABC 中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ ABC绕点 B 按逆时针方向旋转，获得△A1BC1．（1）如图 1，当点 C1在线段 CA的延伸线上时，求∠ CC 1A1的度数；（2）如图 2，连结 AA1， CC1．若△ ABA1的面积为 4，求△ CBC1的面积；（3）如图 3，点 E 为线段 AB中点，点 P 是线段 AC上的动点，在△ ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转过程中，点 P 的对应点是点 P1，求线段 EP1长度的最大值与最小值．4.如图，已知半径为 2 的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左边半圆上的动点，过点P 作直线 l 的垂线，垂足为 C，PC与⊙ O交于点 D，连结 PA、PB，设 PC的长为.B- 1 -PO⑴当时，求弦 PA、 PB的长度；⑵当 x 为什么值时，的值最大？最大值是多少？5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y x2bx c的图象与 x 轴交于 A、B 两点， A点在原点的左边，B 点的坐标为（ 3，0），与y轴交于（ 0，－ 3）点，点P是直线下方的C BC抛物线上一动点.（ 1）求这个二次函数的表达式．/（ 2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，获得四边形POP C，那么能否存在点P，使四/边形 POP C为菱形？若存在，恳求出此时点P的坐标；若不存在，请说明原因．（ 3）当点P运动到什么地点时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P 点的坐标和四边形ABPC的最大面积.1.C2.1 4- 2 -3.解：（1）由旋转的性质可得：∠A1C1B=∠ACB=45°， BC=BC1，1111111∴∠ CC B=∠C CB=45°，∴∠ CC A =∠CCB+∠A C B=45°+45°=90°．11111（ 2）∵△ ABC≌△A1BC，∴BA=BA， BC=BC，∠ ABC=∠A BC，∴111111，∠ ABC+∠ABC =∠A BC+∠ABC，∴∠ ABA =∠CBC，∴△ ABA1∽△ CBC1．∴，∵S△ABA1=4，∴S△CBC1=；（ 3）过点 B 作 BD⊥AC， D为垂足，∵△A BC为锐角三角形，∴点 D 在线段 AC上，在 Rt△BCD中，BD=BC×sin45 °=，①如图 1，当 P 在 AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B 旋转，使点 P 的对应点P1在线段 AB上时， EP1最小，最小值为： EP1=BP1﹣ BE=BD﹣ BE=﹣2；（ 9 分）②当 P 在 AC上运动至点 C，△ ABC绕点 B 旋转，使点 P 的对应点 P1在线段 AB的延伸线上时，EP1最大，最大值为： EP1=BC+AE=2+5=7．（ 10 分）4.解：⑴∵⊙ O与直线 l 相切于点 A， AB为⊙ O的直径，∴ AB⊥ l .又∵ PC⊥ l ，∴ AB∥ PC.∴∠ CPA=∠ PAB.∵AB 为⊙ O的直径，∴∠ APB=90°.∴∠ PCA=∠APB.∴△ PCA∽△ APB.∴.∵ PC=，AB=4，∴.∴在 Rt△APB中，由勾股定理得：.- 3 -⑵过 O 作 OE ⊥ PD ，垂足为 E .∵ PD 是⊙ O 的弦， OF ⊥ PD ，∴ PF =FD . 在矩形 OECA 中， CE =OA =2，∴ PE =ED =x － 2.∴.∴.∵，∴当时，有最大值，最大值是2.3bc 0 5．答案 : 解：（ 1）将 、 两点的坐标代入得c3B Cb 2 解得：c3因此二次函数的表达式为：y x 2 2x 3（ 2）存在点 P ，使四边形 POP / C 为菱形．设 P 点坐标为（ x ， x22x 3 ）， PP / 交 CO 于 E 若四边形 POP / C 是菱形，则有＝ ． 连结PP /则⊥ 于 ，PC POPE CO E∴ == 3∴ y =3．OEEC 22 ∴ x22 x3 =32解得 x 1 = 210， x 2 = 22 10（不合题意， 舍去）2∴ P 点的坐标为（ 2 210， 2）（ 3）过点 P 作 y 轴的平行线与 BC 交于点 Q ，与 OB 交于点 F ，3设 P （ x ， x 22x 3 ），易得，直线 BC 的分析式为 y x 3则 Q 点的坐标为（ x ， x － 3） .- 4 -S 四边形 ABPCS ABCSBPQSCPQ1AB OC1QP OF1QP FB112224 3 ( x 2 3x) 32 23 3 275=2x82当 x3时，四边形 ABPC 的面积最大2此时 P 点的坐标为3 , 15 ，四边形 ABPC 的面积 的最大值为 75248- 5 -。
中考数学复习“1+1+3”专项训练(16) 苏科版
2013九年级数学中考复习讲义系列-----每周一练（16）时间：60分钟 总分：40分姓名 得分1．如图，在直角坐标系中，以原点O 为圆心的同心圆的半径由内向外依次为1，2，3，4，…，同心圆与直线y=x 和y=﹣x 分别交于A 1，A 2，A 3，A 4…，则点A 30的坐标是（ ）A ．（30，30）B ．（﹣8，8）C ．（﹣4，4） D ．（4，﹣4）2.如图，在四边形ABCD 中，6AC BD ==，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则22EG FH += 。
3．感知：如图①，点E 在正方形ABCD 的BC 边上，BF ⊥AE 于点F ，DG ⊥AE 于点G .可知△ADG ≌△BAF .(不要求证明)拓展：如图②，点B 、C 在∠MAN 的边AM 、AN 上，点E 、F 在∠MAN 内部的射线AD 上, ∠1 、∠2分别是△ABE 、△CAF 的外角.已知AB =AC ，∠1 =∠2= ∠BAC .求证：△ABE ≌△CAF .应用：如图③，在等腰三角形ABC 中， AB =AC ，AB >BC .点D 在边BC 上，CD =2BD ，点E 、F 在线段AD 上，∠1=∠2=∠BAC .若△ABC 的面积为9，则△ABE 与△CDF 的面积之和为 .4．某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400 元，销售单价定为3000 元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这A BCDEFG H第2题图种新型产品不超过10 件时，每件按3000 元销售；若一次购买该种产品超过10 件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10 元，但销售单价均不低于2600 元． (1)商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600 元?(2)设商家一次购买这种产品x 件，开发公司所获的利润为y 元，求y(元)与x(件)之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．(3)该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况.为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元?(其它销售条件不变)5. 如图，抛物线923212--=x x y 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC 、AC 。
中考数学复习“1+1+3”专项训练(20) 苏科版
2013九年级数学中考复习讲义系列-----每周一练（20）时间：60分钟 总分：40分 姓名 得分1．用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图，用n 个全等的正六边形按这种方式拼接，如图，若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则n 的值为 ．2． 如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在坐标原点，边OA 在x 轴上，OC 在y 轴上，如果矩形OA ′B ′C ′与矩形OABC 关于点O 位似，且矩形OA ′B ′C ′的面积等于矩形OABC 面积的14，那么点B ′的坐标是（ ） A ．（-2，3）B ．（2，－3）C ．（3，-2）或（－2，3）D ．（-2，3）或（2，-3）3．大润发超市进了一批成本为8元/个的文具盒。
调查发现：这种文具盒每个星期的销售量y （个）与它的定价x （元/个）的关系如图所示：（1）求这种文具盒每个星期的销售量y （个）与它的定价x （元/个）之间的函数关系式（不必写出自变量x 的取值范围）；（2）每个文具盒定价是多少元时，超市每星期销售这种文具盒（不考虑其他因素）可获得的利润最高？最高利润是多少？200 160 12010 14 x销售量y （个） ABCO xy -464.如图，已知抛物线经过原点O 和 轴上一点A （4，0），抛物线顶点为E ，它的对称轴与 轴交于点D.直线 经过抛物线上一点B （-2，m ）且与轴交于点C ， 与抛物线的对称轴交于点F.（1）求m 的值及该抛物线对应的解析式；（2）P 是抛物线上的一点，若S △ADP =S △ADC ,求出所有符合条件的点P 的坐标； （3）点Q 是平面内任意一点，点M 从点F 出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M 的运动时间为t 秒，是否能使以Q 、A 、E 、M 四点为顶点的四边形是菱形.若能，请直接写出点M 的运动时间t 的值；若不能，请说明理由.5.如图，四边形ABCD 为矩形，C 点在x 轴上，A 点在y 轴上，D 点坐标是（0，0），B 点坐标是（3，4），矩形ABCD 沿直线EF 折叠，点A 落在BC 边上的G 处，E 、F 分别在AD 、AB 上，且F 点的坐标是（2，4）． （1）求G 点坐标； （2）求直线EF 解析式；（3）点N 在x 轴上，直线EF 上是否存在点M ，使以M 、N 、F 、G 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．x 12--=x y y ),(yx1.62.D3. 解：（1）设y ＝kx ＋b 由题意得：1020014160k b k b +=⎧⎨+=⎩解之得：k ＝－10；b ＝300。
中考数学复习“1+1+3”专项训练4苏科版
中考数学复习“1+1+3”专项训练4苏科版“1+1+3”专项训练（4）苏科版时间：60分钟总分40分姓名得分1．如图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为t，正方形除去圆部分的面积为S （阴影部分），则S与t的大致图象为（）2、如图，M为双曲线y＝3x上的一点，过点M作x轴、y轴的垂线，分别交直线y＝－x＋m于点D、C两点，若直线y＝－x＋m与y轴交于点A，与x轴相交于点B，则AD•BC的值为．3．如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED＝16m，AE＝8m，抛物线的顶点C到ED的距离是11m，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．(1)求抛物线的解析式；(2)已知从某时刻开始的40h内，水面与河底ED的距离h(单位：m)随时间t(单位：h)的变化满足函数关系h＝－ 1128(t－19)2＋8(0≤t≤40)且当水面到顶点C的距离不大于5m时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？4．已知：矩形纸片ABCD中，AB＝26厘米，BC＝18.5厘米，点E在AD上，且AE＝6厘米，点P是边上一动点．按如下操作：步骤一，折叠纸片，使点P与点重合，展开纸片得折痕MN（如图4（1）所示）；步骤二，过点P作，交MN所在的直线于点Q，连接QE（如图4（2）所示）（1）无论点P在边上任何位置，都有PQ QE（填“”、“”、“”号）；（2）如图4（3）所示，将纸片ABCD放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作：①当点在点时，PT与MN交于点Q1 ，Q1点的坐标是（，）；②当PA=6厘米时，PT与MN交于点Q2 ，Q2点的坐标是（，）；③当PA=12厘米时，在图4（3）中画出MN，PT（不要求写画法），并求出MN与PT的交点Q3的坐标；（3）点在运动过程中，PT与MN形成一系列的交点Q1 ，Q2，Q3 ，…观察、猜想：众多的交点形成的图象是什么？并直接写出该图象的函数表达式．4（1） 4（2） 4（3）5．如图，在□OABC中，点A在x轴上，∠AOC=60o，0C=4cm．OA=8cm．动点P 从点0出发，以1cm／s的速度沿线段OA→AB运动；动点Q同时从点O出发，以 acm／s的速度沿线段OC→CB运动，其中一点先到达终点B时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒．(1)填空：点C的坐标是(______，______)，对角线OB的长度是_______cm；(2)当a=1时，设△OPQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出当t为何值时，S的值最大?(3)当点P在OA边上，点Q在CB边上时，线段PQ与对角线OB交于点M.若以O、M、P为顶点的三角形与△OAB相似，求a与t的函数关系式，并直接写出t 的取值范围．参考答案1.A2.3．4. (1) =①点的坐标是（0，3）；②点的坐标是（6，6）；③依题意可知：与轴垂直，可证，是折痕∽（3）猜想：一系列的交点一系列的交点构成二次函数图象的一部分。
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2013年九年级数学中考复习讲义系列-----每周一练（14）
时间：60分钟 姓名
1、如图（1），A ，B ，C ，D 为圆O 的四等分点，动点P 从圆心O 出发，沿O —C —E —D —O 路线作匀速运动，设运动时间为x (秒)，∠APB ＝y (度)，图（2）表示y 与x 之间的函数关
系
图
，
则
点
M 的横坐标应为
-----------------------------------------------------------（ ） A ．2 B ．π
C ．1π+
D ．π＋2
2、如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是AB 上的一点，将⊿BCE 沿CE 折叠至⊿FCE ，若CF ，
CE 恰好与以正方形ABCD 的中心为圆心的⊙O 相切，则折痕CE 的长为_______ ； 3、如图，平面直角坐标系中，直线3+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于点B 、C ；抛物线
c bx x y ++-=2经过B 、C 两点，并与x 轴交于另一点A ．
（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）设)(n m P ，是（1）中所得抛物线上的一个动点，且点P 位于第一象限。
过点P 作
直线x l ⊥轴于点M ，交BC 于点N ．
① 试问：线段PN 的长度是否存在最大值 ？若存在，求出它的最大值及此时m 的值；若不存在，请说明理由；
② 若⊿PBC 是以BC 为底边的等腰三角形，试求点P 的横坐标。
4、如图1，一副直角三角板满足AB ＝BC=10，∠ABC ＝∠DEF ＝90°,∠EDF ＝30°，将三角板
DEF的直角边EF放置于三角板ABC的斜边AC上，且点E与点A重合。
▲操作一：固定三角板ABC，将三角板DEF沿
A C方向平移，使直角边ED刚好过
B点，如图2所示；
【探究一】三角板DEF沿A C方向平移的距离为_________；
▲操作二：将三角板DEF沿A C方向平移至一定位置后，再将三角板
．．．．DEF
．．．绕点
．．E．
旋转
．．，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC交于点Q；
【探究二】在旋转过程中，
(1)如图3，当
CE
1
EA
＝时，请判断下列结论是否正确（用“√”或“×”表示）：
① EP=EQ；（）
②四边形EPBQ的面积不变，且是⊿ABC面积的一半；（）
(2)如图4，当
CE
2
EA
＝时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并说明理由.
(3)根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当
CE
EA
＝m时，EP与EQ满足的数量关系式为_________；(直接写出结论，不必证明)
Q
P
D
E
F
C
B
A
Q
P
D
E
F
C
B
A
（图2）
（图1）
（图3）（图4）
5、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从点D出发沿DA向终点A运动，同时动点Q
从点A出发沿对角线AC向终点C运动。
过点P作PE∥DC，交AC于点E，动点P、Q的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为x秒，当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动。
设PE=y；
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）探究：当x为何值时，四边形PQBE为梯形？
（3）是否存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由。
（备用图）
1，D2、83
3
3、（1）可求B(3,0),C(0,3)；
∴⎩⎨
⎧==++-3
39c c b ，∴2=b ，3=c ，
∴所求函数关系式为
322
++-=x x y 。
（2）①∵点P （m,n ）在抛物线
322
++-=x x y 上，且PN ⊥x 轴， ∴可设点P （m, 2
23m m -++），同理可设点N （m ，3m -+）
∴PN=PM-NM=
()()2
2
2
39
233324m m m m m m ⎛⎫-++--+=-+=--+
⎪⎝⎭， ∴当
32m =
时，线段PN 的长度的最大值为49
．
②由题意知，点P 在线段BC 的垂直平分线上，又由①知，OB=OC ∴BC 的中垂线同时也是∠BOC 的平分线，
∴2
23m m m =-++，解得
12113113
,22m m +-=
=（不合题意舍去）。
∴点P 的横坐标为
113
2+. 4、 【探究一】52
【探究二】
(1) ① ( √ )
②（ √ ） (2)EQ=2EP
理由：过E 作EM ⊥BC 于M ，过E 作EN ⊥AB 于N ，
则EM=22EC ，EN=2
2AE
∵2CE EA = ∴2EM
EN =
∵∠1+∠MEP=∠2+∠MEP=90°
∴∠1=∠2
又∠EMQ=∠ENP ∴⊿EMQ∽⊿ENP
∴
2
EQ EM
EP EN
==
即：EQ=2EP
（3）EQ= mEP
5、解：（1）∴∠D=90°∴AC=
225 AD CD
+=
∵PE∥CD ∴⊿APE∽⊿ADC
∴AP AE PE
AD AC DC
==
即：
4
453
x AE y
-
==
∴
35
3,5 44
y x AE x
=-+=-+
（2）①显然，当QB∥PE时，四边形PQBE是矩形，非梯形，不合题意，舍去；
②当QP∥BE时，∠PQE=∠BEQ ∴∠AQP=∠CEB
∵AD∥BC ∴∠PAQ=∠BCE ∴⊿PAQ∽⊿BCE
∴PA AQ AQ
BC CE AC AE
==
-即：
44
5
45
5(5)
4
x x x
x
x
-
==
--+
∴
4
5
x=
----------- 8分
∴当
4
5
x=
时，QP∥BE而QB与PE不平行，四边形PQBE是梯形。
（3）存在。
分四种情况：
当Q在线段AE上时：QE=AE-AQ=
59
55
44
x x x -+-=-
①当QE=PE时，
93
53
44
x x
-=-+
∴
4
3
x=
②当QP=QE时，∠QPE=∠QEP
∵∠APQ+∠QPE=90°∠PAQ+∠QEP=90°∴∠APQ=∠PAQ ∴AQ=QP=QE
∴
9
5
4
x x
=-
∴
20
13
x=
③当QP=PE时，过P作PF⊥QE于F，
则FE=1
2QE=
19209
(5)
248
x
x
-
-=
∵PE∥DC ∴∠AEP=∠ACD
∴cos∠AEP= cos∠ACD=
3
5 CD AC
=
∵cos∠AEP=
209
3
8
35
3
4
x
FE
PE x
-
==
-+
∴
28
27
x=
④当点Q在线段EC上时，⊿PQE只能是钝角三角形，
∴PE=EQ 即：PE=AQ-AE
∴
35
3(5)
44
x x x
-+=--+
∴
8
3
x=
综上，当
4
3
x=
或
20
13
x=
或
28
27
x=
或
8
3
x=
时，⊿PQE为等腰三角形。