传热学-第二章_3节

对上述方程(a)积分两次: 对上述方程(a)积分两次: (a)积分两次
第一次积分
第二次积分 应用边界条件 获得两个系数
dt r = c1 ⇒ t = c1 ln r + c2 dr
tw1 = c1 ln r1 + c2 ; tw2 = c1 ln r2 + c2
tw2 − tw1 c1 = ; ln( r2 r ) 1
通过平壁，圆筒壁， §2-3 通过平壁，圆筒壁，球壳和其它 变截面物体的导热 本节将针对一维、稳态、常物性、无内热源情况， 本节将针对一维、稳态、常物性、无内热源情况， 考察平板和圆柱内的导热。直角坐标系： 考察平板和圆柱内的导热。直角坐标系：
ρc
∂t ∂ ∂t ∂ ∂t ∂ ∂t & = (λ ) + (λ ) + (λ ) +Φ ∂τ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
t f 1 −t f 2
h1 t2 t3
h2 tf2
W 单位： 单位： m 2
？ ？
t1 t2 t3 t2
传热系数？ 传热系数？
tf1
tf2
三层平壁的稳态导热
3
单层圆筒壁的导热 圆柱坐标系： 圆柱坐标系：
∂t 1 ∂ ∂t 1 ∂ ∂t ∂ ∂t & ρc = (λr ) + 2 (λ ) + (λ ) +Φ ∂τ r ∂r ∂r r ∂ϕ ∂ϕ ∂z ∂z
圆筒壁内部的热流密度和热流分布
ln( r r ) 1 t = tw1 − (tw1 − tw2 ) ⇒ ln( r2 r ) 1
dt tw1 − tw2 1 =− dr ln(r r ) r 2 1
虽然是稳态情况，但 虽然是稳态情况， 热流密度 q 与半径 r 成反比！ 成反比！
dt λ t w1 − t w 2 q = −λ = dr r ln(r2 r1 )
W m2
tw1 − tw2 tw1 − tw2 = Φ = 2π rlq = ln( r2 r ) Rλ 1 2π λL
[W]
长度为 l 的圆筒 壁的导热热阻
4
n层圆筒壁
由不同材料构成的多层圆筒壁， 由不同材料构成的多层圆筒壁 ， 其导热热流量可按总温差和总 热阻计算
tw1 − tw(n+1) Φ= n 1 ri+1 ln ∑ ri i= 2 1 πλ L i tw1 − tw(n+1) ql = n 1 ri+1 ln ∑ ri i= 2 1 πλ i
dt tw1 − tw2 1 d t tw1 − tw2 1 =− ; = 2 dr ln(r2 r ) r dr ln(r2 r ) r2 1 1
圆筒壁内温度分布曲线的 圆筒壁内温度分布曲线的 形状？ 形状？ 2
d 2t 若tw1 > tw2 : > 0 向下凹 2 dr d 2t 若tw1 < tw2 : < 0 向上凸 2 dr
d 2 dt r =0 dr dr
r1
r2
1 r − 1 r2 t = t 2 + (t1 − t 2 ) 1 r1 − 1 r2
边界条件
r = r1 ; t = t1 ; r = r2 ; t = t 2
q=
两次积分， 两次积分，得温度分布 通过球壁的热流密度为
4πλ (t1 − t 2 ) Φ= 1 r1 − 1 r2
(1) 单层圆筒壁 思考：温度分布应如何求出 思考：温度分布应如何求出？ (2) 多层圆筒壁
t f 1 −t f 2 ql = n di+1 1 1 1 +∑ ln + h1πd1 i=1 2πλi di h2πdn+1
通过球壳的导热？ 通过球壳空心单层球壁 ， 内外半径分别为 1， r2 球壁材料的导热系数λ为常数 为常数， ， 球壁材料的导热系数 为常数 ， 无内 热源， 热源，球壁内外侧壁面分别维持均匀恒 定的温度t 定的温度 1和t2，球壁的导热微分方程
t f 1 −t f 2 ql = r 1 1 1 2 + ln + h2 r 2 πλ r h2 2 r π2 1 π1 1 = t f 1 −t f 2 R l
[W m]
通过单位长度圆筒壁传热过程的 热阻 [mK/W]
的概念, 有R的概念 可以用热电比拟法求解多层圆筒 的概念
r3
r1
r2
r4
t1 − t 4 Φ= ln(d 2 / d1 ) ln(d 3 / d 2 ) ln(d 4 / d 3 ) + + 2πλ1 L 2πλ2 L 2πλ3 L
dt Φ = −λA dx
当λ＝λ(t), A=A(x)时，
dt Φ = − λ (t ) A ( x ) dx
分离变量后积分，并注意到热流量Φ 无关(稳态) 分离变量后积分，并注意到热流量Φ与x 无关(稳态)， 得 dt Φ = −λ (t ) A( x)
dx
Φ∫
x2 t2 ∫t1 λ (t ) dt (t − t ) dx (t 2 − t1 ) = − ∫ λ (t )dt =− 2 1 t1 A( x) t 2 − t1 t 2 − t1 t2
δ Rλ = Aλ
热阻分析法适用于一维、稳态、 热阻分析法适用于一维、稳态、无内 热源的情况
2 多层平壁的导热 多层平壁： 多层平壁：由几层不同材料组成 白灰内层、 例：房屋的墙壁 — 白灰内层、水 泥沙浆层、红砖（青砖） 泥沙浆层、红砖（青砖）主体层 等组成 假设各层之间接触良好， 假设各层之间接触良好，可以近似 地认为接合面上各处的温度相等 边界条件：
dx ∫ x1 A ( x ) t1 + t2 λ = λ0 + a 2
x2
Φ =
λ ( t1 − t 2 )
一维稳态无内热源定温边界变导热系数 设
λ = λ0 (1 + at )
(1) 积分 积分
dt λ = c1 dx
d dt ( −λ ) = 0 dx dx x = 0, t = t1
x = δ , t = t2
x=0 x= t = t1
n i
t1 t2 t3 t4
t1
t2
t3
t4
∑δ
i =1
t = tn+1
三层平壁的稳态导热
热阻： 热阻：
δn δ1 r1 = , L , rn = λ1 λn
由热阻分析法： 由热阻分析法： q = t 1 − t n + 1 = t 1 − t n + 1 n n δ ∑ ri ∑ λi i=1 i=1 i 问：现在已经知道了q，如何计算其中第 i 层的右侧 壁温？ 壁温？ λ1 δ1 q= ( t1 − t 2 ) ⇒ t 2 = t1 − q 第一层： 第一层： δ1 λ1 第二层： 第二层：
(1 r1 − 1 r2 )r 2
1 1 1 − R= 4πλ r1 r2
λ (t1 − t 2 )
热阻
5 其它变面积或变导热系数问题 求解导热问题的主要途径分两步： 求解导热问题的主要途径分两步： (1)求解导热微分方程，获得温度场； (1)求解导热微分方程，获得温度场； 求解导热微分方程 (2)根据 Fourier (2)根据Fourier 定律和已获得的温度场计算热流 根据 Fourier定律和已获得的温度场计算热流 对于稳态、无内热源、 量；对于稳态、无内热源、第一类边界条件下 的一维导热问题，可以不通过温度场而直接获 的一维导热问题， 得热流量。此时，一维Fourier定律： Fourier定律 得热流量。此时，一维Fourier定律：
假设单管长度为l，圆筒壁的 外半径小于长度的1/10 1/10。 外半径小于长度的1/10。 一维、稳态、无内热源、常物性： 一维、稳态、无内热源、常物性：
d dt (r ) =0 dr dr
(a)
r = r 时 t = tw1 1 第一类边界条件： 第一类边界条件： r = r2时 t = tw2
二次曲线方程
t1 a<0 t2 0 δ
λ=λ0(1+at) a a>0
当a > 0时:
dt < 0 (下凹 ) 2 dx d 2t 当 = 0时: a = 0 (直线 ) 2 dx d 2t 当b < 0时: > 0 (上凹 ) 2 dx
2
x
其抛物线的凹向取决于系数a的 其抛物线的凹向取决于系数 的 正负？ 正负？
λ2 q = (t 2 − t3 ) δ2
⇒
δ2 t3 = t2 − q λ2
M
第 i 层：
λi q = (t i − t i +11 ) ⇒ δi
M
δi t i +1 = t i − q λi
M
多层平壁、 多层平壁、第三类边界条 件
tf1
q=
1 n δi 1 +∑ + h i=1 λi h2 1
dΦ （ dx = 0
t t1
）
代入边界条件
a 2 ∫ λ (1 + at )dt = ∫ c1dx λ0 (t + 2 t ) = c1 x + c2 x = 0, t = t1 x = δ , t = t2
t2 o
δ
x
可求得其温度分布
b 2 b 2 t1 − t2 b t + t = (t1 + t1 ) − 1+ 2 (t1 + t2 )x 2 2 δ
t2 o
δ
线性分布 t2 − t1 t = δ x + t1 t2 − t1 ∆t ⇒ q = −λ δ = δ λ 带入Fourier 定律 带入 dt = t2 − t1 ⇒ ⇒ ⇒ dx δ Φ = ∆t δ ( Aλ)