金融风险理论与模型 第3章

2. 如果远期的标的资产提供确定的红利。假 设红利是连续支付的，红利率为q。由于 具有红利率q，该资产的价格才为S0。若 没有这个红利存在，则该资产的价格为
S0eqT
故有红利率q的资产，当前价格为的S0，等 价于价格为S0eqT 的无红利资产。由无红利的 资产的定价公式可得
F0 (S0eqT )erT S0e(rq)T
第1天末盈亏的现值 第2天末盈亏的现值 第i天末盈亏的现值
(F1 F0 ) e
(F2 F1)e2 e (F2 F1) e
(Fi Fi1)e , i 1, 2,..., n
第i天末盈亏的终值
(Fi Fi1)e e(n1) (Fi Fi1)en , i 1, 2,..., n
vt st h ft
vt st h ft
套期保值模型
若已知
D(s)
2 s
,
D(f
)
2 f
t @Cov(s, f ) / D(s) D(f )
则有
D(v)
2 p
(h)
2 s
h2
2 f
2h s
f
套期保值者的目标是使组合的方差最小化
当hmin
s
/
f
,min
2 p
(h)
2 s
(1
2
)
▪ 最优套头比h：使得套期保值工具头寸与现 货头寸构成的投资组合风险最小的套头比h。
▪ 定理3.1（现货-期货平价定理）：假设期货的到 期时间为T，现货价格为S0，则远期价格F0满足 F0=S0erT。
▪ 证明：（反证法）我们可以采用套利定价的方法 来证明上述结论。
假设F0>S0erT ，考虑下述投资策略：
➢ 投资者在当前（0时刻）借款S0用于买进一个单位的标 的资产（long position）， 借款期限为T，同时卖出 一个单位的远期合约(short position)，价格为F0。
▪ 现货工具与套期保值工具的相关系数的平 方称为主导系数（或决定系数）
▪ 基差风险：若套期保值不能完全消除价格 风险，则投资者还必须承担剩余的风险， 把在采取套期保值措施以后剩余的风险称 为基差（basic）风险。
▪ 某个基金经理希望利用S&P500指数期货对他管 理的股票基金进行为期3个月的套期保值，但是 该组合只包含10种股票，故组合价值变化与指数 的变化不能保持完全一致，故需要计算套期保值 比率
该债券的单利率是rm，则对于现值为S0的债券，
其单利的终值为I (1 rm ) S0rm ,所以
I
S0rm 1 rm
S0 1
(eqT (eqT
1) 1)
S0
S0eqT
F0 (S0 I )erT S0e(rq)T
注意：债券的贴现率不等于无风险收益率？
2. 如果远期的标的资产提供确定的红利。假 设红利是连续支付的，红利率为q。由于 具有红利率q，该资产的价格才为St，它 等价于价格为
远期现金流 期货现金流
0
0
0
500
0
-500
讨论：期货与远期的差异
1. 如果利率固定，则期货合约和远期合约等 价。（CIR定理）
2. 如果利率浮动，则期货与远期可能不等价。
➢ 考虑例子中，2日的利息远高于3日，结果如 何？
▪ 显然，多方偏好期货合约，则期货合约价 值上升，反之则反。
▪ 一般来说，远期与期货存在一定的差异：
2. 该远期利率协议的价值是多少？
rf
rltl rsts tl ts
11% 3 10.5% 2 (3 2)
12.0%
Aek (tl ts )
0
ts
A
tl
f0 [ A A ek (tl ts ) erf ]e (tl ts ) rsts =A[1 e(k rf )(tl ts ) ]ersts
f0 Aersts [1 e(k rf ] )(tl ts ) 1, 000, 000 e10.52[1 e(0.110.12)(32) ]
8065.31
由此可见，由于协议利率低于远期利率（理论利 率），这实际上给了多方（借款方）的优惠，故合 约价值为正。反之，当协议利率高于远期利率的时 候，空方获利，这意味着远期合约的价值为负。
rUSD
1 5.469
rUK 6.121
St
1.539
ft
32684.19
2 5.379
6.063
1.531 32935.54
… … … …
99 5.469 100 5.469
6.0001 6.0003
1.536 33639.62 1.557 34106.44
3.3 交叉套期保值
▪ 利用现货价格和期货价格变化的相关性，通过在 期货市场和现货市场的相反操作来使它们的价格 变化相互抵消，从而消除现货投资的风险。
CIR定理：期货与远期等价
▪ CIR定理： 如果利率固定（Constant）， 那么远期价格与期货价格相同。
▪ 证明的思路：期货是一连串不断更新的远 期。根据无套利定价的原理，可以让远期 和期货相互复制。
▪ CIR的思路：以期货组合复制远期，由远 期推断期货。
➢ 远期：到期日结算（中间没有现金流） ➢ 期货：每日结算（每日都有现金流）
S eq(T t) t
的无红利资产。由无红利的资产的定价公 式可得
Ft
(Steq(T t) )er(T t)
S e(r q)(T t ) t
敏感性分析
Ft
(Steq(T t) )er(T t)
S e(r q)(T t ) t
dFt (St , r) dSte(rq)(T t) St e(rq)(T t) dr
金融风险理论与模型
第3章 衍生金融工具的风险分析（1）
3.1 远期与期货的定价
▪ 一个农民想把他的牛卖掉，若t时刻牛价格 为St，如果他签订一个在T （T>t）时刻卖 牛的期货合同，在t时刻这个牛期货应该如 何定价？若不计其他因素
Ft St er (T t )
▪若牛能够在今日卖掉，获得现金，以无风险 利率投资就获得利息。
➢ 如果期货和远期的到期时间只有几个月，那么， 在大多数情况下，二者价格的差异常常小到可 以忽略不计。
➢ 随着到期时间的延长，二者价格的差异可能变 得比较显著。
▪ 若标的资产价格与利率正相关，则期货合约 价值高于远期，反之则反
➢ 利率上升→标的资产价格上升→多头获利实现 （盯市）→再投资收益增加
➢ 利率下降→标的资产价格下降→期货多头亏损 →以低成本融资
➢ 例如以股指期货对股票指数基金进行套期保值 ➢ 问题：如果要保值的股票组合与指数组合不同，如何
进行套期保值？
▪ 交叉套期保值：当要保值的现货与期货合约的标 的资产的波动不完全同步时，需要确定合适的套 期保值比率。
▪ 套头保值比率h ：对1份现货资产的多头 （空头）头寸，要用h份期货的空头（多头） 进行套期保值。由此构造的套期保值组合 为： ➢1份现货资产的多头＋ h份期货合约的空 头 ➢在某个t时刻，该组合的价值为
因此，期货价格等于相同期限的远期价格，期货仅仅 是远期的标准化，远期的计算公式适用于期货。
Ft
S e(rq)(T t
t )
,
ft
S eq(T t) t
Ker (T t )
例子：外汇远期（期货）风险估计
▪ 假设一家美国公司持有3个月后到期的，以1500 万美元兑换1000万英镑的远期合约。从美国公司 的角度分析其风险，假设当前时刻t为1996年5月 20日，要预测5月21日的所有可能情形。
➢ 1、识别风险因子。
t
美元利率
美元
英镑利率
英镑
英镑/美元即期汇率
ft St AUK exp(rUK (T t)) AUSD exp(rUSD (T t)) St 106 exp(rUK 0.25) 1.5106 exp(rUSD 0.25)
▪ 2、市场因子预测5月21日合约的可能值：样本区间 1995年12月29日~1996年5月20日（100个交易日）
注意： （1）风险因素由两个，现货价格与无风险利率。 （2）由于是指数函数，敏感性方程为非线性方程。
例3.1
▪ 假设2年期即期年利率（连续复利，下同） 为10.5%，3年期即期年利率为11％，本金 为100万美元的2年×3年远期利率协议的 合同利率为11％，请问
1. 理论上,远期利率应为多少？该协议利率合理 吗？
ห้องสมุดไป่ตู้
证明：（by Cox，Ingersoll，Ross）
▪ 假第设天期i末货（合0<约i<的n-有1）效的期期为货n天价，格用，Fδ表i表示示 每天的无风险利率（常数）。不计交易费 用，考虑下述投资策略
1. 第0天末（即合约开始的时候）持有eδ单位的 期货多头
2. 第1天末把头寸增加到e2δ 3. 第2天末把头寸增加到e3δ 4. 第n-1天末把头寸增加到enδ
➢ 在远期合约到期时（T时刻），投资者用持有的标的 资产进行远期交割结算，因此获得F0，偿还借款本息 需要支出S0erT。
▪ 因此，在远期合约到期时，他的投资组合的净收 入无为 风F险0-的S0套er利T ，。而他的初始投入为0，这是一个
▪ 反之，若F0<S0e rT，即远期价格小于现货价格的 终值，则套利者就可进行反向操作，即卖空标的 资产S0，将所得收入以无风险利率进行投资，期 限为T，同时买进一份该标的资产的远期合约， 交S0割erT价，为并F以0。F0在现T金时购刻买，一套单利位者标收的到资投产资，本用息于归 还卖空时借入的标的资产，从而实现S0erT-F0的 利润。
s 13.47, f 0.964, 0.779,则
两个推论（可生息资产的远期价格）