第12章 博弈论

特· 奥曼和美国人托马斯· 谢林，以表彰他们在博弈论 领域作出的贡献。
(三)博弈的分类
根据参与人的多少，可将博弈分为两人博弈或多人博 弈； 根据参与人是否合作ຫໍສະໝຸດ 可将博弈分为合作博弈或非合 作博弈；
根据博弈结果的不同，又可分为零和博弈、常和博弈 与变和博弈。
1、从行动的先后次序来分，博弈可以
a x v
ij i
( j 1,..., n)
线性规划求混合策略的纳什均衡
同理,当乙使用组合策略对付甲的纯 策略时,不论甲采取何种纯策略,乙的 损失都不大于双方都采取组合策略 的期望值v,即:
目标函数是期望损失最小,即 : min v y y2 ... yn 1 或写成: max max 1 v v yj 令 : yj , 则目标函数变为: v 1 y2 ... yn max y1 v
S1 {1 , 2 , 3} {剪刀, 石头, 布} S2 {1 , 2 , 3} {剪刀, 石头, 布}
赢得矩阵：
剪刀 石头 布 剪刀 0 1 1 A 石头 1 0 1 布 0 1 1
赢得矩阵
G={S1,S2,A} 局中人
–得益 对于任一策略组合（s1,…,sn），其总得益为 各博弈方得益之和 u(s1,..., sn ) ui (s1,..., sn ) 那么对于具有多个纳什均衡点的博弈，则对应的应有 最优纳什均衡的概念，而对应于最优纳什均衡的点为 全局最优点。此处最优的含义为稳定性而不是得益之 和最大。
线性规划求混合策略的纳什均衡
博弈模型的表达形式 基本式 扩展式 例1 囚徒悖论
例2
2.1 纳什均衡
定义 在博弈 G S1,..., Sn ; u1,..., un 中，如果策略组合
* * (s1 ,...sn ) 中任一博弈方i的策略 si* 都是对其余博 * * 弈方的策略组合 (s1 ,..., si*1, si* , si*1,..., sn ) 的最佳对策，也即
* * ui (s1* ,..., si*1, sij , si*1,..., sn ) ui (s1*,..., si*1, sij , si*1,..., sn )
* * 为G的一个纳什均 对任意 sij Si 都成立，则称 (s1 ,...sn ) 衡。
2.1.1博弈的解和纳什均衡
如果你们都选β，你们都得B+。
定义：如果你选α得到的结果严格优于β，那么α相对于 β是 个严格优势策略。 结论1.不要选择严格劣势策略。 原因：如果我选择优势策略，在每次博弈都得到更好的收益。 结论2.理性人的理性选择造成次优的结果。 囚徒困境
α β α （0，0） （3，-1） β （-1，3） （1, 1）
S1 {1 , 2 , 3} S2 {1 , 2 , 3}
A (aij )mn
策略集
1994年诺贝尔经济学奖授予了三位博弈论专家纳什、 泽尔腾和海萨尼。
1996年诺奖授予两位博弈论与信息经济学研究专家莫 里斯、维克瑞； 2001年诺奖授予阿克洛夫、斯彭斯、斯蒂格利茨，表 彰他们在柠檬市场、信号传递和信号甄别等非对称信 息理论研究中的开创性贡献。 2005年诺奖授予有以色列和美国双重国籍的罗伯
行动次序
信息
静态
纳什均衡 纳什 贝叶斯均衡 海萨尼
动态
子博弈精练 纳什均衡 泽尔腾 精炼贝叶斯均衡 泽尔腾等
完全信息
不完全信息
第二节
完全信息静态博弈
所谓完全信息静态博弈即各博弈方同时决策，且 所有博弈方对博弈中的各种情况下的得益都完全了解 的博弈问题. 静态：指博弈方同时采取行动，或虽不同时但后行动 者对前者采取的策略并不了解。 • 纳什均衡 • 无限策略博弈的解和反应函数 • 混合策略 • 纳什均衡的存在性
第12章 博弈论
(Game Theory)
对策论又称博弈论:主要研究策略形势
自由竞争的企业:企业是价格的接受者,不用关心对手的情况. 垄断企业:没有竞争对手,不是价格的接受者,但面对需求曲线. 介于两者之间的就是策略形势,即不完全竞争的情况:如汽车产业 少数几家公司的决策会互相影响. 策略形势书面定义:行为影响结果,然而结果不仅取决于你的行为, 还取决于其它人的行为. 适用领域:经济学、政治学、法学、生物学等
约束条件变为 : ... a1n yn 1 a11 y1 a12 y2 a y a y ... a y 1 2n n 21 1 22 2 s.t. ... ... ... ... ... ... a y a y ... a y 1 mn n m1 1 m 2 2 yj 0 ( j 1,..., n)
约束条件变为 : a21 x2 ... a1m xm 1 a11 x1 a x a x ... a x 1 12 1 22 2 2m n s.t. ... ... ... ... ... ... a x a x ... a x 1 nm n 1m 1 2 m 2 xi 0 (i 1,..., m)
E( X ,Y ) v
a x y
ij i i j
j
E( X ,Y ) v
当甲使用混合策略对付乙的纯策略时,不 论乙采取何种纯策略,甲的收入都不小于 双方都采取混合策略的期望值v,即:
目标函数是期望收入最大,即 : max v x x ... xm 1 或写成: min min 1 2 v v x 令 : xi i , 则目标函数变为: v 1 x2 ... xm min x1 v
a y
ij
j
v (i 1,..., m)
或写成:
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn v a x a x ... a x v 2n n 21 1 22 2 ... ... ... ... ... ... am1 x1 am 2 x2 ... amn xn v x1 x2 ... xn 1 xi 0 (i 1,..., m)
1.矩阵对策线性规划模型
y1 yn x1
甲赢得
或写成:
a11 a1n a1 j y j A xm am1 amn amj y j 乙损失 ai1xi ain xi
a x y
ij i i j
j
a11 x1 a12 x2 ... am1 xm v a12 x1 a22 x2 ... am 2 xm v ... ... ... ... ... ... a1m x1 a2 m x2 ... anm xm v x1 x2 ... xm 1 xi 0 (i 1,..., m)
2.1.1博弈的解和纳什均衡
• 划线法
囚徒2 不坦白 囚 徒 1 不坦白 坦白
－1，－1 0，－8
坦白
－ 8， 0 －3，－3
• 箭头法
囚徒2 不坦白 坦白 囚 徒 1 不坦白 坦白
－1，－1 0，－8 － 8， 0 －3，－3
练习
2.1.2严格下策反复消去法与纳什均衡
纳什均衡 总结
–纳什均衡点是一种局部均衡点，可以有很多个，也可 以不存在。 –来源于策略组合的策略可能有n！个（离散），也可 能无穷多个（连续），那么求解将会十分烦琐。
坏形势下最好的策略是减少损失。 有劣势策略吗？ 改变了收益，我们改变了目的，即改变了博弈，改变了结 果，因此收益很重要。 结论3. 汝欲得之，必先知之
α β α （0，0） （-1，-3） β （-3，-1） （1, 1）
合作型博弈
α 是优势策略，β 是劣势策略
α β α （0，0） （3，-3） β （-1，-1） （1, 1）
可见局中人甲与乙的线性规划 模型为一对对偶问题.
[例 ] 利用线性规划方法 求解赢得矩阵的最 优策略
[解]该问题可以化为两个线性规划问题:
局中人A : min
局中人B :
7 2 9 A 2 9 0 9 0 11
1 1 x2 x3 x1 y2 y3 max y1 v v 2 x2 9 x3 1 2 y2 9 y3 1 7 x1 7 y1 2 x 9 x 2 y 9 y 1 1 1 2 3 2 3 1 s.t. s.t. 1 1 11x3 11 y3 9 x1 9 y1 0 x1~3 0 y1~3
2.4
几个应用例子
划线法：先找出自己针对其他博弈方每种策略或策略组合（对多 方博弈）的最佳对策，即自己的可选策略中与其他博弈方的策略 或策略组合配合，给自己带来最大得益的策略（这种相对最佳对 策总是存在的，不过不一定唯一），然后在此基础上，通过对其 他博弈方策略选择的判断，包括其他博弈方对自己策略判断的分 析等，预测博弈的可能结果和确定自己的最有策略。 箭头法：对博弈中的每个策略组合进行分析，考察在每个策略组合 处各个博弈方能否通过单独改变自己的策略而增加得益。如能，则 从所分析的策略组合对应的得益数组引出一个箭头，到改变策略后 策略组合对应的得益数组。最后综合对每个策略组合的分析情况， 形成对策略结果的判断。
分为静态博弈和动态博弈。

静态博弈指在博弈中，参与人同时选择行动，或虽非
同时但后行动者并不知道前行动者采取了什么具体行 动；

动态博弈指的是参与人的行动有先后顺序，且后行动
者能够观察到先行动者所选择的行动的博弈。
2、从参与人对其他参与人的各种特征信息的获得差异来 分，博弈可分为完全信息博弈和不完全信息博弈。 • 完全信息指的是每一个参与人对所有其他参与人的特征， 如策略集合及得益函数都有准确完备的知识；否则就是不 完全信息。