湖北省华师一附中2017届高三6月供题训练数学理试题Word版含答案
2017-2018学年湖北省华中师范大学第一附属中学高三上学期期中考试数学(理)(详细答案版)
2017-2018学年湖北省华中师范大学第一附属中学高三上学期期中考试数学（理）一、选择题：共12题1．已知复数z =21−i,则下列命题中正确的个数为①|z|=√2 ②z̅=1−i ③z 的虚部为i ④z 在复平面上对应点在第一象限 A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】本题考查复数的代数形式的运算.解答本题时要注意先对复数进行除法运算,然后对命题进行判断,确定真命题的个数.因为z =21−i =1+i ,所以|z|=√2,z̅=1−i,z 的虚部为1,z 在复平面上对应点(1,1)在第一象限.所以正确命题的序号为①②④,合计有3个.故选C.2．下列函数为偶函数且在(0,＋∞)上为增函数的是A.f(x)=(∫costdt x0)2 B.f(x)=x 2+3x 2C.f(x)=12x +x 2 D.f(x)=x(e x −e −x ) 【答案】D【解析】本题考查函数的基本性质.解答本题时要注意根据所给的函数进行逐一判断,确定满足条件的函数解析式.由题可得,因为f (x )=(∫costdt x 0)2=(sinx)2是偶函数但在(0,＋∞)上不单调,所以排除A;因为f(x)=x 2+3x 2是偶函数,但在(0,＋∞)上不单调,所以排除B.因为f(x)=12x +x 2不是偶函数,所以排除C;故选D.3．已知集合A ={x|y =lg2−x x+2},集合B ={y|y =1−x 2},则集合{x|x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B}为A.[−2,1]∪(2,+∞)B.(−2,1)∪(2,+∞)C.(−∞,−2)∪[1,2)D.(−∞,−2]∪(1,2)【答案】D【解析】本题考查集合的基本运算.解答本题时要注意先求得集合A,B,然后求得并集与交集,再求得结论.因为A ={x|y =lg 2−xx+2}={x |−2<x <2}, B ={y |y =1−x 2}={y|y ≤1}.所以A ∪B =(−∞,2),A ∩B =(−2,1].所以{x|x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B}=(−∞,−2]∪(1,2).故选D.4．下列说法正确的是A.“∀x,y ∈R ,若x +y ≠0,则x ≠1且y ≠−1”是真命题B.在同一坐标系中,函数y =f(1+x)与y =f(1−x)的图象关于y 轴对称.C.命题“∃x ∈R ,使得x 2+2x +3<0”的否定是“∀x ∈R ,都有x 2+2x +3>0”D.a ∈R ,“1a <1 ”是“a >1”的充分不必要条件【答案】B【解析】本题考查常用逻辑用语.解答本题时要注意对选项进行逐一判断,排除错误说法,确定正确说法.对于选项A,取x =1,y =0,则x +y ≠0,但x ≠1且y ≠−1不成立,所以是假命题,故排除A;对于选项C,命题“∃x ∈R ,使得x 2+2x +3<0”的否定是“∀x ∈R ,都有x 2+2x +3≥0”,故排除C;对于选项D,当1a <1时有a <0或a >1,所以是必要不充分条件,故排除D.所以说法正确的是选项B.故选B.5．如图,在△ABC 中,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13NC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,P 是BN 上的一点,若AP⃗⃗⃗⃗⃗ =mAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +29AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则实数m 的值为A.19B.13C.1D.3【答案】A【解析】本题考查平面向量的线性运算.解答本题时要注意利用平面向量的基本定理及其线性运算,表示向量,通过向量相等,求得实数的值.由题可得,AP⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +nBN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−n )AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +nAN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−n )AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n 4AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =mAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +29AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以n 4=29,解得n =89,所以m =1−n =19.故选A.6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有女子善织,日益功,疾,初日织五尺,今一月织七匹三丈(1匹=40尺,一丈=10尺),问日益几何?”其意思为:“有一女子擅长织布,每天比前一天更加用功,织布的速度也越来越快,从第二天起,每天比前一天多织相同量的布,第一天织5尺,一月织了七匹三丈,问每天增加多少尺布?”若这一个月有31天,记该女子一个月中的第n 天所织布的尺数为a n ,则a 1+a 3+⋅⋅⋅+a 29+a 31a 2+a 4+⋅⋅⋅+a 28+a 30的值为 A.2930B.1615C.13D.15【答案】B【解析】本题考查等差数列求和问题解答本题时要注意根据《九章算术》题中意思,构造等差数列,然后求和比较.由题可得,该问题可转化为等差数列求和问题.已知首项为5,设公差为d ,则31×5+31×322d =310,解得d =516.所以a 1+a 3+⋅⋅⋅+a 29+a 31a2+a 4+⋅⋅⋅+a 28+a 30=16×5+2+302×15×515×5+1+292×15×5=1615.故选B.7．若tanα−1tanα=32,α∈(π4,π2),则sin(2α+π4)的值为 A.±√210B.√25C.√210D.±√25【答案】C【解析】本题考查三角函数恒等变换.解答本题时要注意先根据条件求得tanα,再转化计算得到sinα及cosα.最后计算得到结论.因为tanα−1tanα=32,α∈(π4,π2),所以tanα=−12.所以sinα=√55,cosα=−2√55.所以sin (2α+π4)=√22sin2α+√22cos2α=√2sinαcosα+√22(2cos 2α−1)=√2×√55×(−2√55)+√22(2×25−1)=√210.故选C.8．某食品的保鲜时间y (单位:小时)与储存温度x (单位:°C )满足函数关系y =e kx+b (e =2.718⋯为自然对数的底数,k,b 为常数),若该食品在0°C 的保鲜时间是192小时,在22°C 的保鲜时间是48小时,则该食品在33°C 的保鲜时间是( )小时. A.22 B.23 C.24 D.33【答案】C【解析】本题考查函数模型的实际应用.解答本题时要注意根据条件确定函数关系式,然后求值计算.由题可得,{192=e b 48=e22k+b ,解得e 11k =12,所以当x =33时,y =e 33k+b =(e 11k )3∙e b=(12)3×192=24.故选C.9．已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如所示,为了得到y =f(x)的图象需将y =cos2x 的图象A.向右平移π3个单位长度 B.向左平移π3个单位长度 C.向右平移π6个单位长度 D.向左平移π6个单位长度【答案】A【解析】本题考查三角函数的图象与性质.解答本题时要注意先根据给出的函数的部分图象确定函数的解析式,然后考查函数图象平移问题.由图可知,T4=7π12−π3=π4,解得T =π=2πω,解得ω=2.由五点法可知,当x =π3时,2π3+φ=π2,解得φ=−π6.所以f (x )=sin (2x −π6)=cos(2x −π3).所以需将y =cos2x 的图象向右平移π3个单位长度即可得到y =f(x)的图象.故选A.10．已知定义在R 上的偶函数f(x),满足f (x +4)=f(x),且x ∈[0,2]时,f (x )=sin πx +2|sin πx |,则方程f (x )−|lg x |=0在区间[0,10]上根的个数是 A.18 B.19C.10D.9【答案】B【解析】本题考查函数与方程.解答本题时要注意利用函数的奇偶性及周期性,画出函数的图象,结合图象判断方程的根的情况.由题可得,因为f (x +4)=f(x),所以函数是周期为4的函数,因为当x ∈[0,2],f (x )=sin πx +2|sin πx |={3sinπx,0≤x ≤1−sinπx,1<x ≤2.因为函数是偶函数,所以可知函数的图象如图所示,在同一坐标系内画出函数y =|lg x |的图象.结合函数的图象可知,方程f (x )−|lg x |=0在区间[0,10]上根的个数是19个.故选B.11．在△ABC 和△AEF 中,B 是EF 的中点,AB =EF =1,BC =6,CA =√33,若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2,则EF⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角的余弦值为A.12 B.23C.34D.−13【答案】B【解析】本题考查平面向量的数量积运算.解答本题时要注意利用已知的向量数量积,化简求值,再结合数量积的定义,求得向量的夹角.因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ )+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2,即AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙BE⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2.因为AB =1,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =√33×1×2×√33×1=−1,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以1+BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )−1=2,即BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2.设EF ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ,则有BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosθ=3cosθ=2.所以cosθ=23.故选B.12．设函数f(x)=e x (x −ae x )(其中e 为自然对数的底数)恰有两个极值点x 1,x 2(x 1<x 2),则下列说法中正确的是 A.0<a <13 B.0<x 2<1 C.−12<f(0)<0 D.f(x 1)+f(x 2)>0【答案】C【解析】本题考查导数及其应用.解答本题时要注意先对函数进行求导,然后利用函数恰有两个极值点,通过函数分解,考查函数图象的交点,判断选项的正确与否.由题可得,f ′(x )=e x (x −ae x )+e x (1−ae x )=e x (x +1−2ae x ).因为函数恰有两个极值点,所以f ′(x )=0有两个根,即x +1−2ae x =0有两个根x 1,x 2(x 1<x 2),所以函数y =x +1与y =2ae x 的图象有两个不同的交点.结合图形(图略)可知,要使满足条件,则0<2a <1,所以0<a <12.所以f (0)=−a ∈(−12,0).所以选项C 正确.故选C.二、填空题：共4题13．函数y =lg(−x 2−2x +3)的单调递增区间是________.【答案】(−3,−1]或(−3,−1)【解析】本题考查函数的单调性.解答本题时要注意根据复合函数的单调性的判断方式,求得函数的单调递增区间.由题可得,令−x 2−2x +3>0,解得−3<x <1.因为函数y =lgx 在定义域内单调递增,函数y =−x 2−2x +3在(-3,-1)上单调递增,在(-1,1)上单调递减,由复合函数的单调性判断方式可知,函数y =lg(−x 2−2x +3)的单调递增区间是(−3,−1)或(−3,−1].14．已知向量a =(6,−2),b =(1,m),且a ⊥b ,则|a −2b|= .【答案】4√5【解析】本题考查平面向量的数量积运算.解答本题时要注意先利用向量垂直,计算得到实数m的值,然后进行求模计算.因为向量a=(6,−2),b=(1,m),且a⊥b,所以6−2m= 0,解得m=3.所以a−2b=(4,-8),所以|a−2b|=√16+64=√80=4√5.15．已知数列{a n}的通项公式为a n=−n2+10n−194,当a1a2a3+a2a3a4+a3a4a5+⋯+a n a n+1a n+2取得最大值时,n的值为_________.【答案】9【解析】本题考查数列的求和.解答本题时要注意根据数列的通项公式,判断数列的项是正项的情况,然后判断使得结论取到最大值时的n的值.令a n=−n2+10n−194>0,由n∈N∗解得n≤9.且有a10<0,a11<0.因为a8a9a10+a9a10a11=−(16−194)(9−194)×19 4+(9−194)×194×(11+194)=(9−194)×194×(−5+192)>0,所以可知当n=9时,a1a2a3+a2a3a4+a3a4a5+⋯+a9a10a11取到最大值.16．若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(a−x)=2b(其中a2+b2≠0),则称函数y=f(x)为“中心对称函数”,称点(a,b)为函数f(x)的“中心点”.现有如下命题:①函数f(x)=sinx+1是“中心对称函数”;②若“中心对称函数”y=f(x)在R上的“中心点”为(a,f(a)),则函数F(x)=f(x+a)−f(a)是R上的奇函数;③函数f(x)=x3−2x2+6x−2是“中心对称函数”,且它的“中心点”一定为(1,2);④函数f(x)=2x−cos x是“中心对称函数”,且它的“中心点”一定为(π2,π).其中正确的命题是___ _____.(写出所有正确命题的序号)【答案】①②③【解析】本题考查函数的性质.解答本题时要注意根据中心对称函数的定义对命题逐一验证,得到正确的命题.由题可得,因为y=sinx图象关于点(0,0)对称,所以f(x)=sinx+1,图象关于点(0,1)对称,所以是中心对称函数,所以①正确;因为函数是中心对称函数,所以有f(a+x)+f(a−x)=2f(a),所以F(−x)=f(−x+a)−f(a)=2f(a)−f(a+x)−f(a)=f(a)−f(a+x)=−[f(a+x)−f(a)]=−F(x),所以函数是奇函数,所以②正确;因为f(1−x)+f(1+x)=(1−x)3−2(1−x)2+6(1−x)−2+(1+x)3−2(1+x)2+6(1+x)−2=1−3x+3x2−x3−2+2x−2x2+6−6x−2+1+3x+3x2+x3−2−2x−2x2+6+6x−2=4=2×2.所以可知函数f(x)=x3−2x2+6x−2是“中心对称函数”,且它的“中心点”一定为(1,2),所以③正确;因为f(π2−x)+f(π2+x)=2(π2−x)−cos(π2−x)+2(π2+x)−cos(π2+x)=2π−2sinx≠2π,所以函数不是中心对称函数,所以④错误.所以正确的命题是①②③.三、解答题：共6题17．已知向量a=(sinx,cos(π−x)),b=(2cosx,2cosx),函数f(x)=a⋅b+1.(1)求f(x)的对称中心;(2)求函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值,并求出相应x的值.【答案】(1)因为f(x)=a⋅b+1=2sin x cos x+cos(π−x)·2cos x+1=2sin x cos x−2cos2x+1=sin2x−cos2x=√2sin(2x−π4),所以f(x)的对称中心为(kπ2+π8,0)(k∈Z).(2)由(1)得,f(x)=sin2x−cos2x=√2sin(2x−π4),因为x∈[0,π2],所以2x−π4∈[−π4,3π4],所以当2x−π4=π2时,即x=3π8时,f(x)的最大值是√2;当2x−π4=π4时,即x=0时,f(x)的最小值是−1.【解析】本题考查三角函数的图象与性质.解答本题时要注意(1)利用平面向量数量积的坐标表示,结合三角恒等变换,化简函数的解析式,利用整体代换,求得函数的对称中心;(2)利用整体代换,结合函数y=sin x的图象与性质,求得函数在给定区间的最大值与最小值.18．已知函数f(x)＝log4(4x+1)＋kx(k∈R).(1)当k=−12时,若方程f(x)−m＝0有解,求实数m的取值范围;(2)试讨论f(x)的奇偶性.【答案】(1)由m＝f(x)＝log4(4x+1)−12x,∴m＝log44x+12x＝log4(2x+12x).∵2x+12x ≥2,∴m≥12.(2)依题意得定义域为R,关于原点对称∵f(x)=log4(4x+1)＋kx,f(−x)=log4(4−x+1)−kx,令f(x)=f(−x),得log44x+14−x+1＝−2kx,即log44x＝−2kx, ∴x=−2kx对一切k∈R恒成立.∴k=−12时f(x)=f(−x),此时函数f(x)是偶函数,∵f(0)=log 4(40+1)−k ×0=log 42=12,∴函数f(x)不是奇函数, 综上,当k =−12时,函数f(x)是偶函数; 当k ≠−12时,函数f(x)是非奇非偶函数.【解析】本题考查函数的性质及函数与方程.解答本题时要注意(1)利用方程有解,转化为函数值域问题,由此得到实数m 的取值范围;(2)根据实数k 的取值情况,利用函数奇偶性的定义,判断函数的奇偶性.19．已知数列{a n },{b n },S n 为数列{a n }的前n 项和,且满足a 2=4b 1,S n =2a n −2,nb n+1−(n +1)b n =n 2+n(n ∈N ∗). (1)求数列{a n }的通项公式;(2)试问{bn n}能否为等差数列,请说明理由;(3)若数列{c n }的通项公式为c n ={−a n bn 2,n 为奇数a nb n4,n 为偶数,令T n 为{c n }的前n 项的和,求T 2n .【答案】(1)当n =1时,S 1=2a 1−2⇒a 1=2,当n ≥2时,由{S n=2a n −2S n−1=2a n−1−2,得:a n =2a n −2a n−1,则a n =2a n−1, 综上,{a n }是公比为2,首项为2的等比数列,a n =2n ; (2){bn n}是等差数列,理由如下:∵a 2=4b 1,∴b 1=1,∵nb n+1−(n +1)b n =n 2+n ,∴bn+1n+1−b n n=1综上,{b nn}是公差为1,首项为1的等差数列,且bn n=1+n −1⇒b n =n 2; (3)令p n =c 2n−1+c 2n =−(2n−1)2⋅22n−12+(2n)2⋅22n4=(4n −1)⋅22n−2=(4n −1)⋅4n−1,{T 2n =3×40+7×41+11×42+⋯+(4n −1)×4n−14T 2n=3×41+7×42+11×43+⋯+(4n −5)×4n−1+(4n −1)×4n ①②①-②,得:−3T 2n =3⋅40+4⋅41+4⋅42+⋯+4⋅4n−1−(4n −1)⋅4n =3+16−4⋅4n 1−4−(4n −1)⋅4n ,所以T 2n =79+12n−79⋅4n .【解析】本题考查等比数列及其求和问题.解答本题时要注意(1)根据数列的前n 项和与通项之前的递推关系式,判断得到数列是等比数列,并由此表示得到通项公式;(2)根据递推关系式,判断得到数列{bnn}时等差数列,由此得到其通项公式;(3)通过化简得到数列的通项公式,结合错位相减法,求得数列的前n 项和.20．已知函数f(x)=e x −ax(a ∈R,e 为自然对数的底数).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若a =1,函数g(x)=(x −m)f(x)−e x +x 2+x 在(2,+∞)上为增函数,求实数m 的取值范围.【答案】(1)函数f(x)的定义域为R,f ′(x)=e x −a . 当a ≤0时,f ′(x)>0,∴f(x)在R 上为增函数; 当a >0时,由f ′(x)=0得x =lna ,当x ∈(−∞,lna)时,f ′(x)<0,∴函数f(x)在(−∞,lna)上为减函数, 当x ∈(lna,+∞)时,f ′(x)>0,∴函数f(x)在(lna,+∞)上为增函数 (2)当a =1时,g(x)=(x −m)(e x −x)−e x +x 2+x , ∵g(x)在(2,+∞)上为增函数;∴g ′(x)=xe x −me x +m +1≥0在(2,+∞)上恒成立, 即m ≤xe x +1e x −1在(2,+∞)上恒成立, 令ℎ(x)=xe x +1e x −1,x ∈(2,+∞),则ℎ′(x)=(e x )2−xe x −2e x(e −1)=e x (e x −x−2)(e −1),令L(x)=e x −x −2,L ′(x)=e x −1>0在(2,+∞)上恒成立,即L(x)=e x −x −2在(2,+∞)上为增函数,即L(x)>L(2)=e 2−4>0, ∴ℎ′(x)>0,即ℎ(x)=xe x +1e x −1在(2,+∞)上为增函数,∴ℎ(x)>ℎ(2)=2e 2+1e 2−1,∴m ≤2e 2+1e 2−1,所以实数m 的取值范围是(−∞,2e 2+1e 2−1].【解析】本题考查函数与导数的应用.解答本题时要注意(1)对函数进行求导,利用实数a 的取值情况,结合导数的正负,判断函数的单调性,求得函数的单调区间;(2)先确定函数的解析式,利用函数在给定区间的单调性,结合导数大于0恒成立,构造不等式,并参变分离,构造新的函数,求导,利用导数判断函数的单调性,求得最小值,由此计算得到实数m 的取值范围.21．如图所示,某住宅小区一侧有一块三角形空地ABO ,其中OA =3km,OB =3√3km,∠AOB =90∘.物业管理拟在中间开挖一个三角形人工湖OMN ,其中M,N 都在边AB 上(M,N 不与A,B 重合,M 在A,N 之间),且∠MON =30∘.(1)若M 在距离A 点2km 处,求点M,N 之间的距离;(2)为节省投入资金,三角形人工湖OMN 的面积要尽可能小.试确定M 的位置,使△OMN 的面积最小,并求出最小面积.【答案】(1)在△ABO 中,因为OA =3,OB =3√3,∠AOB =90∘,所以∠OAB =60∘, 在△OAM 中,由余弦定理得:OM 2=AO 2+AM 2−2AO ⋅AMcosA =7, 所以OM =√7, 所以cos∠AOM =OA 2+OM 2−AM 22AO⋅AM=2√77,在△OAN 中,sin∠ONA =sin(∠A +∠AON)=sin(∠AOM +90∘)=cos∠AOM =2√77, 在△OMN 中,由MNsin30∘=OMsin∠ONA ,得MN =√72√77×12=74;(2)设∠AOM =θ,0∘<θ<60∘ ,在△OAM 中,由OMsin∠OAB =OAsin∠OMA ,得OM =3√32sin(θ+60∘), 在△OAN 中,由ONsin∠OAB =OAsin∠ONA ,得ON =3√32sin(θ+90∘)=3√32cosθ,所以S △OMN =12OM ⋅ONsin∠MON =12⋅3√32sin(θ+60∘)⋅3√32cosθ⋅12＝2716sin(θ+60∘)cosθ＝8sinθcosθ+8√3cos 2θ＝4sin2θ+4√3cos2θ+4√3＝8sin(2θ+60∘)+4√30<θ<60∘.当2θ+60∘=90∘,即θ=15∘时,S △OMN 的最小值为27(2−√3)4.所以应设计∠AOM =15∘,可使△OMN 的面积最小,最小面积是27(2−√3)4km 2【解析】本题考查解三角形的实际应用.解答本题时要注意(1)在三角形中利用余弦定理求得OM 及cos∠AOM 的值,再利用正弦定理求得MN 的值;(2)利用正弦定理分别求得OM 和ON 的值,然后表示三角形的面积,结合三角函数的有界性,求得面积的最小值.22．已知数列{a n }满足a n =n t+1(n,t ∈N ∗,t ≥3,t 为常数,n ≤t).(1)设S n =∑1a ini=1=1a 1+1a 2+⋯+1a n,n ∈N ∗,证明:S n >(t +1)ln(n +1);(2)证明:a n <e a n −1(e 为自然对数底数);(3)设T n =∑(a k )t nk=1=(a 1)t +(a 2)t +(a 3)t +⋯(a n )t ,n ∈N ∗,试比较与T n 与1的大小关系,并说明理由.【答案】(1)即证:1(t+1)a 1+1(t+1)a 2+⋯+1(t+1)a n>ln(n +1),即证:1+12+13+⋯+1n >ln(n +1),设g(x)=x −ln(x +1),g ′(x)=1−1x+1=xx+1,∵当x >0时,g ′(x)>0,g(x)在(0,+∞)上单调递增,当−1<x <0时,g ′(x)<0,g(x)在(−1,0)上单调递减,∴g(x)=x −ln(x +1)≥g(0)=0(当且仅当x =0时等号成立),即x >0时,有x >ln(x +1),∴1+12+13+⋯+1n >ln 2+ln 32+ln 43+⋯+lnn+1n =ln(n +1), ∴1a 1+1a 2+⋯+1a n >(t +1)ln(n +1), (2)由(1)知:当x >−1且x ≠0时,有x >ln(x +1),即当x >0且x ≠1时,有x −1>lnx ,因为0<a n =n t+1≤t t+1<1,所以a n −1>lna n ,即a n <e a n −1(3)T n =∑(a k )t n k=1=(a 1)t +(a 2)t +(a 3)t +⋯+(a n )t <1,理由如下:由(2)知:(a 1)t +(a 2)t +(a 3)t +⋯+(a n )t <(e a 1−1)t +(e a 2−1)t +(e a 3−1)t +⋯+(e a n −1)t =(e t )a 1−1+(e t )a 2−1+(e t )a 3−1+⋯+(e t )a n −1=e −t 2t+1(1−e tn t+1)1−e t t+1≤e −t 2t+1(1−e t 2t+1)1−e t t+1=e −t 2t+1−11−e t t+1, 设e t t+1=q ,因为q =e t t+1≥e 34>2,∴e −t 2t+1−11−e t t+1=q −t −11−q =1−q −t q−1<1q−1<1,所以T n =∑(a k )t n k=1=(a 1)t +(a 2)t +(a 3)t +⋯+(a n )t <1.【解析】本题考查数列与不等式.解答本题时要注意(1)通过将问题转化,构造新的函数,求导,利用导数判断函数的单调性,求得最小值,通过构造,证明不等式成立;(2)根据(1)的结论,构造不等式,通过证明a n −1>lna n ,得到结论成立;(3)利用(2)的结论,结合放缩法,构造等比数列,利用等比数列求和及放缩法,比较得到T n 与1的大小关系.。
2020届湖北省武汉市2017级高三6月模拟考试(6月供题一)数学(理)试卷及答案
2020届湖北省武汉市2017级高三6月模拟考试
数学（理）试卷
★祝考试顺利★
本试卷共5页,23题(含选考题).全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡_上的指定位置.
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡.上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡指定的位置用2B 铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内,写在试卷、草稿纸和答题卡,上的非答题区域均无效.
5.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交.
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.
1.已知集合{}2230A x N x x *=∈--<,则满足条件B A ⊆的集合B 的个数为
A.2
B.3
C.4
D.8
2.已知复数2020z i i =-,则2z i
=
3.已知数列{}n a 的前n 项和为11,1,2n n n S a S a +==,则n S =
A. 12n -
B. 132n -（）
C. 123n -（）
D. 112
n - 4.二项式8211)x
-（的展开式中x 4的系数为 A. -28 B. -56 C.28 D.56
5.若0<a <b <1,,,b a b x a y b z b ===,则x 、y 、z 的大小关系为。
数学---湖北省华中师大一附中2017届高考押题卷(理)(解析版)
湖北省华中师大一附中2017届高考数学押题卷（理）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．若复数z满足（1+2i）z=1﹣i，则复数z的虚部为（）A．B．﹣C．i D．﹣i2．设集合M={﹣2，2}，N={x|＜2}，则下列结论正确的是（）A．N⊆M B．M⊆N C．N∩M={2} D．N∪M=R 3．设函数f（x）是以2为周期的奇函数，已知x∈（0，1）时，f（x）=2x，则f（x）在上是（）A．增函数，且f（x）＞0 B．减函数，且f（x）＜0C．增函数，且f（x）＜0 D．减函数，且f（x）＞04．已知向量，满足||=1，||=2，﹣=（，），则|2+|=（）A．2B．C．D．25．在“双11”促销活动中，某商场对11月11日9时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知12时到14时的销售额为14万元，则9时到11时的销售额为（）A．3万元B．6万元C．8万元D．10万元6．将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为（）图1 图2A．B．C．D．7．已知命题p：∀x∈（﹣∞，0），2x＞3x；命题q：∃x∈（0，），sin x＞x，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∨q C．（￢p）∧q D．p∧（￢q）8．函数f（x）=A sin（ωx+φ）满足：f（+x）=﹣f（﹣x），且f（+x）=f（﹣x），则ω的一个可能取值是（）A．2 B．3 C．4 D．59．已知双曲线C的中心在原点，焦点在y轴上，若双曲线C的一条渐近线与直线x﹣y ﹣1=0平行，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．10．公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n值为（）参考数据：，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305．A．12 B．24 C．48 D．9611．二面角α﹣AB﹣β的平面角是锐角θ，M∈α，MN⊥β，N∈β，C∈AB，∠MCB为锐角，则（）A．∠MCN＜θB．∠MCN=θC．∠MCN＞θD．以上三种情况都有可能12．已知函数y=x2的图象在点（x0，x02）处的切线为l，若l也为函数y=ln x（0＜x＜1）的图象的切线，则x0必须满足（）A．＜x0＜1 B．1＜x0＜C．＜x0＜D．＜x0＜2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（x2+2x﹣1）5的展开式中，x3的系数为（用数字作答）14．已知x，y满足约束条件，若可行域内存在（x，y）使不等式2x+y+k≥0有解，则实数k的取值范围为．15．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆上一点M作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1•k2的值为．16．在△ABC中，∠B=，AC=，D是AB边上一点，CD=2，△ACD的面积为2，∠ACD为锐角，则BC=．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．已知公比不为1的等比数列{a n}的前3项积为27，且2a2为3a1和a3的等差中项．(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)若数列{b n}满足b n=b n﹣1•log3a n+1（n≥2，n∈N*），且b1=1，求数列{}的前n项和S n．18．华中师大附中中科教处为了研究高一学生对物理和数学的学习是否与性别有关，从高一年级抽取60名同学（男同学30名，女同学30名），给所有同学物理题和数学题各一题，让每位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如表：（单位：人）（1）在犯错误的概率不超过1%的条件下，能否判断高一学生对物理和数学的学习与性别有关？（2）经过多次测试后发现，甲每次解答一道物理题所用的时间为5﹣8分钟，乙每次解答一道物理题所用的时间为6﹣8分钟，现甲、乙解同一道物理题，求甲比乙先解答完的概率；（3）现从选择做物理题的8名女生中任意选取两人，对他们的解答情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X，求X的分布列和数学期望．附表及公式：K2=．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面BCP，CD∥平面ABP，AB=BC=CP=BP=2CD=2（1）证明：平面ABP⊥平面ADP；（2）若直线P A与平面PCD所成角为α，求sinα的值．20．已知抛物线C：x2=2y的焦点为F，过抛物线上一点M作抛物线C的切线l，l交y轴于点N．（1）判断△MFN的形状；（2）若A，B两点在抛物线C上，点D（1，1）满足+=，若抛物线C上存在异于A，B的点E，使得经过A，B，E三点的圆与抛物线在点E处的有相同的切线，求点E的坐标．21．已知函数f（x）=ln x+ax在点（t，f（t））处的切线方程为y=3x+1.（1）求a的值；（2）已知k≤2，当x＞1时，f（x）＞k（1﹣）+2x﹣1恒成立，求实数k的取值范围；（3）对于在（0，1）中的任意一个常数b，是否存在正数x0，使得e+x02＜1？请说明理由．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C2的参数方程为（β为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C1和曲线C2的极坐标方程；（2）已知射线l1：θ=α（＜α＜），将射线l1顺时针方向旋转得到l2：θ=α﹣，且射线l1与曲线C1交于两点，射线l2与曲线C2交于O，Q两点，求|OP|•|OQ|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|ax﹣1|（1）若f（x）≤2的解集为[﹣3，1]，求实数a的值；（2）若a=1，若存在x∈R，使得不等式f（2x+1）﹣f（x﹣1）≤3﹣2m成立，求实数m的取值范围．【参考答案】一、选择题1．B【解析】∵（1+2i）z=1﹣i，∴z=，∴复数z的虚部为﹣．2．B【解析】∵＜2，，∴﹣2∈N，2∈N，∴M⊆N．3．C【解析】∵函数的周期是2，∴函数f（x）在上的单调性和（﹣1，0）上的单调性相同，∵x∈（0，1）时，f（x）=2x，为增函数，∴x∈（﹣1，0）时，f（x）为增函数，当x∈（0，1）时，f（x）=2x＞0，∴当x∈（﹣1，0）时，f（x）＜0，即f（x）在上是增函数，且f（x）＜0，4．A【解析】因为向量，满足||=1，||=2，﹣=（，），所以，所以=0，则|2+|2=4=8，所以|2+|==2；5．D【解析】根据频率分布直方图知，12时到14时的频率为0.35，9时到11时的频率为0.25，所以9时到11时的销售额为：14×=10（万元）．6．B【解析】由题意可知几何体前面在右侧的射影为线段，上面的射影也是线段，后面与底面的射影都是线段，轮廓是正方形，AD1在右侧的射影是正方形的对角线，B1C在右侧的射影也是对角线是虚线．7．D【解析】命题p：∀x∈（﹣∞，0），＞1，即2x＞3x，因此p是真命题．命题q：x∈（0，），令f（x）=x﹣sin x，f′（x）=1﹣cos x＞0，因此函数f（x）在x∈（0，）单调递增，∴f（x）＞f（0）=0．∴∀x∈（0，），sin x＜x，因此q是假命题．则下列命题为真命题的是p∧（￢q）．8．B【解析】函数f（x）=A sin（ωx+φ）满足：f（+x）=﹣f（﹣x），所以函数f（x）的图象关于（，0）对称，又f（+x）=f（﹣x），所以函数f（x）的图象关于x=对称；所以=﹣=，k为正整数，所以T=，即=，解得ω=3（2k﹣1），k为正整数；当k=1时，ω=3，所以ω的一个可能取值是3．9．A【解析】双曲线C的中心在原点，焦点在y轴上，若双曲线C的一条渐近线与直线x﹣y﹣1=0平行，可得=，即a2=2b2=2c2﹣2a2，可得，所以离心率e=．10．B【解析】模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．11．A【解析】如图，过M作MO⊥AB于O，过N作NO⊥AB于O，则∠MON=θ，连接CN，在Rt△CON中，有CM＞OM，在Rt△CMN中，sin∠MCN==sinθ，∴∠MCN＜θ，12．D【解析】函数y=x2的导数为y′=x，在点（x0，x02）处的切线的斜率为k=x0，切线方程为y﹣x02=x0（x﹣x0），设切线与y=ln x相切的切点为（m，ln m），0＜m＜1，即有y=ln x的导数为y′=，可得x0=，切线方程为y﹣ln m=（x﹣m），令x=0，可得y=ln m﹣1=﹣x02，由0＜m＜1，可得x0＜2，且x02＞1，解得x0＞1，由m=，可得x02﹣ln x0﹣1=0，令f（x）=x2﹣ln x﹣1，x＞1，f′（x）=x﹣＞0，f（x）在x＞1递增，且f（2）=1﹣ln2＞0，f（）=﹣ln3﹣1=（1﹣ln3）＜0，则有x02﹣ln x0﹣1=0的根x0∈（，2）．二、填空题13．40【解析】式子（x2+2x﹣1）5 =[（x2+2x）﹣1]5展开式的通项公式为：T r+1=•（x2+2x）5﹣r•（﹣1）r，对于（x2+2x）5﹣r，它的通项公式为：T r′+1=2r′••x10﹣2r﹣r′，其中0≤r′≤5﹣r，0≤r≤5，r、r′都是自然数；令10﹣2r﹣r′=3，可得，或，所以x3项的系数为：•23•﹣•2•=40．14．[﹣4，+∞）【解析】由约束条件作出可行域如图，当k≥0时，可行域内存在（x，y）使不等式2x+y+k≥0有解；当k＜0时，要使可行域内存在（x，y）使不等式2x+y+k≥0有解，则目标函数z=2x+y+k的最大值2×2+0+k≥0，即k≥﹣4．综上，可行域内存在（x，y）使不等式2x+y+k≥0有解，实数k的取值范围为[﹣4，+∞）．15．﹣【解析】∵椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率是e===，a=2b，于是椭圆的方程可化为：x2+4y2=4b2．设M（m，n），直线AB的方程为：y=kx，可设：A（x0，kx0），B（﹣x0，﹣kx0）．则m2+4n2=4b2，x02+4k2x02=4b2．m2﹣x02=4k2x02﹣4n2，∴k1•k2=×===﹣．k1•k2=﹣．16．【解析】∵在△ABC中，∠B=，AC=，D是AB边上一点，CD=2，△ACD的面积为2，∠ACD为锐角，∴S△ACD=×sin∠ACD=2，解得sin∠ACD=，∴cos∠ACD==，∴AD==，由正弦定理，得：，解得sin A==，又，∴BC===．三、解答题17．解：（1）设{a n}的公比为q，则a1a2a3=a23=27，∴a2=3，∴a1=，a3=3q，∵2a2为3a1和a3的等差中项，∴4a2=3a1+a3，即12=+3q，解得q=3或q=1（舍）．∴a n=3n﹣1．（2）∵b n=b n﹣1•log3a n+1=nb n﹣1，∴=n，又b1=1，∴b n=•••…•=n!，∴===﹣，∴S n=（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=﹣=.18．解：（1）由表中数据得K2==≈4.444＜6.635，在犯错误的概率不超过1%的前提下，不能判断高一学生对物理和数学的学习与性质有关．（2）设甲、乙解答一道物理题的时间分别为x，y分钟，∵甲每次解答一道物理题所用的时间为5﹣8分钟，乙每次解答一道物理题所用的时间为6﹣8分钟，∴，设事件A表示“甲比乙先解答完”，则A表示“x＜y”，作出可行域，如下图：∴甲比乙先解答完的概率P（A）==．（3）由题意知在选择物理题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有=28种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有种，恰有一人被抽到有种，两人都被抽到有种，∴X的可能取值为0，1，2，P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，∴X的分布列为：∴E（X）==．19．（1）证明：取AP的中点E，PB的中点F，连结DE，EF，CF，则EF AB，∵CD∥平面ABP，CD⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面ABP=AB，∴CD∥AB，又CD=AB，∴EF CD，∴四边形DEFC是平行四边形，∴CF∥DE，∵AB⊥平面BCP，CF⊂平面BCP，∴AB⊥CF，∵BC=CP=BP，∴CF⊥PB，又PB∩AB=B，∴CF⊥平面ABP，∴DE⊥平面ABP，又DE⊂平面ADP，∴平面ABP⊥平面ADP．（2）解：过P作PP′∥AB，使得PP′=2，延长CD到C′，使得CC′=2，连结AC′，AP′，C′P′，则直三棱柱PBC﹣P′AC′所有棱长均为2，取P′C′的中点M，连结AM，则AM⊥平面PCC′P′，∴∠APM是直线AP与平面PCD所成的角，即∠APM=α，∵AM==，P A==2，∴sinα=sin∠APM===．20．解：（1）由题意可知：抛物线C：x2=2y的焦点F（0，），设M（x1，），由y=，y′=x，则切线l的方程y﹣=x1（x﹣x1），则y=x1x﹣，∴N（0，），丨MF丨=+，丨NF丨=+，丨MF丨=丨NF丨，∴△MFN为等腰三角形；（2）设A（x2，），由+=，∴D（1，1）是AB的中点，B（2﹣x2，2﹣），由B在抛物线C上，则（2﹣x2）2=2（2﹣），解得：x2=0，x2=2，∴A，B两点的坐标为（0，0），（2，2），设E（x0，），（x0≠0，x0≠2），AB的中垂线方程y=﹣x+2，①AE的中垂线方程y=﹣x+1+，②由①②解得：圆心M（﹣，），由k ME•x0=﹣1，整理得：x02﹣x0﹣2=0，解得：x0=﹣1或x0=2，由x0≠0，x0≠2，∴x0=﹣1，∴E点坐标为（﹣1，）．21．解：（1）函数f（x）=ln x+ax的导数为f′（x）=+a，在点（t，f（t））处切线方程为y=3x+1，可得f′（t）=+a，∴函数的切线方程为y﹣（ln t+at）=（+a）（x﹣t），即y=（+a）x+ln t﹣1，∴，解得a=2；（2）证明：由（1）可得f（x）=ln x+2x，∵f（x）＞k（1﹣）+2x﹣1，∴ln x＞k（1﹣）﹣1即为x ln x+x﹣k（x﹣3）＞0，可令g（x）=x ln x+x﹣k（x﹣3），g′（x）=2+ln x﹣k，由x＞1，可得ln x＞0，2﹣k≥0，即有g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）递增，可得g（x）＞g（1）=1+2k≥0，∴﹣≤k≤2故k的取值范围为[﹣，2]；（3）对于在（0，1）中的任意一个常数b，假设存在正数x0，使得：e+x02＜1．由e f（0x+1）﹣30x﹣2+x02=e ln（0x+1）﹣0x+x02=（x0+1）•e﹣0x+x02＜1成立，从而存在正数x0，使得上式成立，只需上式的最小值小于0即可．令H（x）=（x+1）•e﹣x+x2﹣1，H′（x）=e﹣x﹣（x+1）•e﹣x+bx=x（b﹣e﹣x），令H′（x）＞0，解得x＞﹣ln b，令H′（x）＜0，解得0＜x＜﹣ln b，则x=﹣ln b为函数H（x）的极小值点，即为最小值点．故H（x）的最小值为H（﹣ln b）=（﹣ln b+1）e ln b+ln2b﹣1=ln2b﹣b ln b+b﹣1，再令G（x）=ln2x﹣x ln x+x﹣1，（0＜x＜1），G′（x）=（ln2x+2ln x）﹣（1+ln x）+1=ln2x＞0，则G（x）在（0，1）递增，可得G（x）＜G（1）=0，则H（﹣ln b）＜0．故存在正数x0=﹣ln b，使得e+x02＜1．22．解：（1）∵曲线C1的参数方程为（α为参数），∴曲线C1的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，即x2+y2﹣2x=0，∴曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．∵曲线C2的参数方程为（β为参数），∴曲线C2的普通方程x2+（y﹣1）2=1，即x2+y2﹣2y=0，∴曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣2ρsinθ=0，即ρ=2sinθ．（2）设点P的极坐标为P（ρ1，α），即ρ1=2cosα，设点Q的坐标为Q（），即，∴|OP|•|OQ|=ρ1•ρ2=2cos=4cosα（sin）=2sinαcosα﹣2cos2α=﹣cos2α﹣1=2sin（2）﹣1，∵α∈（），∴∈（），当2=，即时，|OP|•|OQ|取最大值1．23．解：（1）显然a≠0，当a＞0时，解集为：[，]，﹣，，无解；当a＜0时，解集为：[，﹣]，令﹣=1，，解得a=﹣1，综上a=﹣1．（2）a=1时，令h（x）=f（2x+1）﹣f（x﹣1）=|2x|﹣|x﹣2|=，由此可知，h（x）在（﹣∞，0]，上是单调递减，在[0，+∞）上单调递增，则x=0时，h（x）取得最小值﹣2，由题意可知﹣2≤3﹣2m，则实数m的取值范围是（﹣∞，]．。
2017届华南师大附中高三综合测试一理科数学参考答案
2016-2017学年度高三综合测试（一）参考答案数学（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．三. 解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算过程. 17. 解：（Ⅰ）3327x ≤≤即13333x ≤≤，13x ∴≤≤，∴{}31≤≤=x x A ，…………2分2log 1x >，即22log log 2x >，2x ∴>∴{}2B x x =>，……………3分{}|23AB x x ∴=<≤；{}2RB x x =≤{}|3RBA x x ∴=≤ ………………………………………………………5分（Ⅱ）由（1）知{}31≤≤=x x A ，当C A ⊆ ……………………………………6分当C 为空集时，1a ≤ 当C 为非空集合时，可得 31≤<a综上所述3a ≤ …………………………………………………………………10分18．解：（Ⅰ）对p ：由得，因为0a , 所以3a x a ………………………………………………2分 当时，解得1<,即为真时，实数的取值范围是1<. 又为真时实数的取值范围是………………………………………4分 若为真，则真且真，所以实数的取值范围是()2,3 . …………………………………………… 6分(Ⅱ) p 是q 的必要不充分条件，即q p ,且p q ，设{}{}(),()A x p x B x q x ==, 则 B A ……………………………………8分又，A =；所以有233a a ≤⎧⎨≤⎩解得12a ≤≤，所以实数a 的取值范围是[]1,2 ……………12分19．解：（Ⅰ）()f x 是定义在R 上的奇函数，(0)0,10,1f k k ∴=∴-=∴= …………………….2分1(1)0,0f a a>∴->，又0a >且1, 1.a a ≠∴> ……………………4分 易知()f x 在R 上单调递增，原不等式化为：2(2)(4)f x x f x +>-22430x ax a -+<(3)()0x a x a --<1a =3x <p x 3x <q x 23x <≤p q ∧p q x ⇒⇒/(2,3]B =(,3)a a224x x x ∴+>-，即2340x x +-> 14x x ∴><-或∴不等式的解集为{|14}x x x ><-或. ………………………………………6分（Ⅱ）313(1),22f a a =∴-=，……212320,22a a a a --=∴==-或（舍去）222()222(22)(22)2(22)2x x x x x x x x g x m m ----∴=+--=---+ ………9分令()22xxt f x -==-22231,(1),()22()22x t f g t t mt t m m ≥∴≥=∴=-+=-+-当32m ≥时，当t m =时，2min ()22,2g t m m =-=-∴=当32m <时，当32t =时，min 17()324g t m =-=-， 解得253122m =>，舍去. 综上可知2m =． …………………………………………………………………12分20.解：（Ⅰ）由题意知，点,M N 的坐标分别为()5,40，()20,2.5.将其分别代入2a y x b =+，得40,25 2.5.400aba b⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩解得1000,0.a b =⎧⎨=⎩ …………….4分（Ⅱ）①由（Ⅰ）知，21000y x =(520)x ，则点P 的坐标为21000(,)t t ， 设在点P 处的切线l 交,x y 轴分别于,A B 点，32000y x'=-， 则l 的方程为2310002000()y x t t t -=--，由此得3(,0)2t A ，23000(0,)B t . 故()f t ==，[]5,20t ∈. ……………….8分 ②设624410()g t t t ⨯=+，则651610()2g t t t⨯'=-.令()0g t '=.解得t = 当(t ∈时，()0g t'<，()g t 是减函数；当()t ∈时，()0g t'>，()g t 是增函数.从而，当t =()g t 有极小值，也是最小值，所以min ()300g t =，此时min ()f t =.答：当t =l 的长度最短，最短长度为………………….12分21. 解：(Ⅰ)令0x y ==，恒等式可变为(00)(0)(0)1f f f +=+-，解得(0)1f = ……1分(Ⅱ)任取12x x <，则210x x ->，由题设0x >时，()1f x >，可得21()1f x x ->∵()()()1f x y f x f y +=+-∴()()()()21211211()1f x f x x x f x f x x f x =+-=+-->⎡⎤⎣⎦所以()f x 是R 上增函数 …………………………4分 （Ⅲ）由已知条件有：()()()22221f ax f x xf ax x x -+-=-+-+故原不等式可化为：2(2)13f ax x x -+-+<,即()2122f x a x ⎡⎤-++-<⎣⎦ 而当*N n ∈时，()(1)(1)1(2)2(1)2f n f n f f n f =-+-=-+-=()(3)3(1)3(1)1f n f nf n -+-=⋅⋅⋅=--所以(6)6(1)5f f =-，所以(1)2f =, 故不等式可化为()212(1)f x a x f ⎡⎤-++-<⎣⎦由（2）可知()f x 在R 上为增函数，所以()2121x a x -++-<即()2130x a x -++>在[)1,x ∈-+∞上恒成立，令()2()13g x x a x =-++，即min ()0g x >成立即可①当112a +<-即3a <-时，()g x 在[)1,x ∈-+∞上单调递增 则()min ()(1)=1+130g x g a =-++>解得5a >-，所以53a -<<-②当112a +≥-即3a ≥-时，有()2min 111()130222a a a g x g a +++⎛⎫⎛⎫==-+⋅+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得11a -<<，而13--<-，所以31a -≤<- 综上，实数a的取值范围是()51- ………………………………………12分22.解：(Ⅰ)()1(),0x mf x ex x+'=->，因为1x =是函数()f x 的极值点， 所以1(1)10mf e+'=-=，所以1m =-，所以11()x f x e x-'=- …………………2分 当01x <<时，1101,1x ex-<<-<-，所以()0f x '<当1x >时，111,10x ex->-<-<，所以()0f x '>所以()f x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增．…………………………………5分(Ⅱ)()1(),0x mf x ex x +'=->，设1()x m g x e x +=-，则21()0x m g x e x+'=+> 所以()g x 在()0,+∞单调递增，即()f x '在()0,+∞单调递增．由于0x x =是函数()f x 的极值点，所以0x x =是()0f x '=在()0,+∞的唯一零点， 所以00001,ln x m e x m x x +=+=-．…………………………………………………6分 由于00x x <<时，0()()0f x f x ''<=；当0x x >时，0()()0f x f x ''>=， 所以函数()f x 在()00,x 单调递减，在()0,x +∞单调递增，…………………………8分 且函数()f x 在0x x =处取得最小值，所以000001()()ln x m f x f x e x x m x +≥=-=++，因为()0f x ≥恒成立，所以0010x m x ++≥．…………………………………………9分 ∴00001ln x m x x x +≥-=+，即001ln x x ≥. 又因为ln 1a a =，故可解得0x a ≤.……………………………………………………11分 所以00,ln ln x a x a -≥--≥-，所以00ln ln m x x a a =--≥--.即m 的取值范围是[)ln ,a a --+∞.……………………………………………………12分。
最新湖北省华师一附中上学期高三数学(理科)6月考前密卷考试试卷参考答案
20xx 年普通高等学校招生全国统一考试模拟考试(湖北卷) (仅供内部交流) 理科数学参考答案一、选择题：1．C 本题主要考察复数的概念和运算，因为i i i 2125132-=--,所以22125=-，选C ． 2．D 本题主要考察等比数列的通项公式，∵21223=++=a a a ab ,∴a 1(1＋a )＝3, a 1＝1,a 7＝26＝64,故选D ．3．C 本题主要考察框图的条件分支结构，和集合的基本运算．其中A ＝{1，2，3，4，5},B ＝{－1，1，3，5，7}，所以(∁U ∪A )∩B ＝{－1，7},选C ．4．B 本题主要考察二项式定理及其通项公式，以及组合数的计算等概念，运用方程的思想方法：由二项式定理得7,3651,336655=⨯-=∴⋅=⋅n n C C n n ，故选B ． 5．D 本题主要考查向量的运算，向量的垂直条件等概念，因为(a ＋b )⊥(a ＋mb ),a ＋b ＝(0,6),a ＋mb ＝(2－2m ,4＋2m ),所以(a ＋b )·(a ＋mb )＝6(4＋2m )＝0,∴m ＝－2所以选D ．6．B 本题主要考察直线与圆的位置关系、圆的方程和充要条件等概念，考察数形结合及逻辑思维能力；因为圆心C (1，－2),半径r ＝2，圆心到直线的距离22|21|=--=m d ，即221±-=m ，选B ． 7．C 本题主要考察正弦型函数的图象和性质，考查同学们的数形结合能力即通过函数的图形研究函数的性质的能力；∵12π52/)6π32π(=+，∴C 正确． 8．B 本题主要考察双曲线的有关概念，直线的斜率，还考查了点差法的应用；由e ＝21，可得43)(2=ab ,将A ,B 两点的坐标代入方程b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2中相减可得k 1·k 2＝－2)(ab，选B ． 9．A 本题主要考察三视图和三棱锥的概念，棱锥的体积公式和三角形的面积公式，考察其空间想象能力，设棱锥的棱长和高分别为a 和h ,由,36)]23(32[22a a a h =-=则31322=3212236)43(a a a =，∴a 3＝8,a ＝2，左视图的面积为2236)223(21=⨯⨯．故选A ． 10．C 本题主要考察应用新知识解决问题的能力，考察零点和分段函数的概念，应用数形结合的思想，考察作图的能力，由定义可知⎩⎨⎧>-<-≤≤--=).21(1),21(2)(2x x x x x x f 或围出图像可知：C 成立．二、填空题：11．27 本题主要考察频率分布直方图的应用，和古典概型的有关知识，由图知在第一组的频率是0.06人数3，所以全班总人数为50，因此良好的人数为50×(0.16＋0.38)＝27． 12．1－4π 本题主要考察函数y ＝sin x 和y ＝π2x 的图像和定积分的简单运算；如图：所围成的面积⎰-=⨯⨯-2π04π112π21d sin x x ．13．6 本题主要考察直线的围法以及二元一次不等式所表示的区域问题：围出可行域，由移动∣x －3y ∣＝0的图形可知，在点A (－1，35)处可取得最大值6． 14．①③ 本题主要考察等差数列的通项公式，前n 项和公式的应用及整除的思想．由21－15＝6，可知d ＝1,2,3,6，所以①正确；当d ＝2时，数列是奇数列，30不可能是其中的一项，故②不正确；无论d 为何值，让a 1＝3，总可以取得整数k ，使a k ＝99成立，③正确．15．8 曲线为1121622=+y x ,易知A ,B 分别为两焦点．由定义知∣PA ∣＋∣PB ∣＝2a ＝2×4＝8． 16．CD ＝512 由已知∠ADC ＝90°，于是CD ×AB ＝AC ×BC ∴CD ＝512． 三、解答题17．(本小题满分12分)解：(Ⅰ)化简f (x )＝sin(x ＋3π)＋32sin 22x ＝21sin x ＋23cos x ＋2cos 132x-⋅＝21sin x ＋23cos x －3cos x ＋3＝21sin x －23cos x ＋3＝sin (x －3π)＋3……4分当x －3π＝2k π＋2π时，即x ＝2k π＋65π,k ∈Z ∴y max ＝1＋3．……6分 (Ⅱ)∵f (B )＝3,∴sin(B －3π)＝0,∴B ＝3π∵12π5,4π,22sin ,sin sin =∴=∴>=∴=A C c b C C c B b ……9分 ∵sin155π＝sin (4π6π+)＝42622232221+=⋅+⋅∴a ＝.21322426sin sin +=+=CAc ……12分 18．(本小题满分12分)解：(Ⅰ)由S 332312n n a a a +++= 313221--+++n n a a S)())((1112123----+-+-=-=∴n n n n n n n n n n S S a S S S S S S a ……12分 )2(12≥+=∴-n S S a n n n )3(2121≥+=---n S S a n n n 012212>+=-=-∴---n n n n n n n a a a S S a a)3(11≥=-∴-n a a n n ……4分又0011312121=∴>==a a a a S 且 323122122)(a a a a S +=+= 32221)1(a a +=+∴ 0222232=--∴a a a 由a 2＞0得22=a ∴)2(11≥=--n a a n n 数列{a n }为等差数列. 通项公式a n ＝n .……6分 (Ⅱ)解法一：a na n n a nb n -+-+=---=121)11()11(22令 ∈-+==)2(12a t b nt n 则＋1－a ．……8分当4322>-a 时，即21<a 时，]43,0(21)(t g 上为减数，且)1()21(g g >所以<<<321b b b当)1()21(21,4322g g a a ≤≥≤-时即，从而12b b ≤而不合题意……10分 ∴实数a 的取值范围为21<a .……12分解法二：.0)2111)(111(1>-+++-+=-+a nn n n b b n n ……8分nn a a a n 1112021111-+-<<-+++∴即对任意*N ∈n 成立．……10分 ∴a 的取值范围为.21<a ……12分19．(本小题满分12分)(本小题主要考查棱柱、线面平行、二面角、空间直角坐标系、法向量、空间向量的运算等概念．考察数形结合、将空间的位置关系转化为向量的运算关系的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和空间想象能力．) 解：(Ⅰ)存在，设E 是AO 的中点，则EC ∥平面A 1BD ．…1分证明：取A 1O 的中点F ，在△A 1OA 中∵E 是OA 的中点，∴EF21AA 1 又∵D 是CC 1的中点，CC 1＝AA ′∴CD21AA 1，∴CD EF ,∴CDEF 是一平行四边形． EC ∥DF ，……4分而EC ⊄平面A 1BD ,DF ⊂平面A 1BD ,∴EC ∥平面A 1BD……6分 (Ⅱ)如图建立空间直角坐标系，设AB ＝a ，则A (0，0，0),C (0，a ，0)，B (a 23,a 21,0), ∵)4,87,83(),4,8,83(,411aa a a a a E AB -=∴= )0,2,23(),4,83,833(aa a a a -=-=……8分 设平面BCE 和平面ABC 的法向量分别为n ＝(x ,y ,z )和m ＝(x 0,y 0,z 0)．∵AA 1⊥平面ABC ，∴m ＝(0,0,1);……9分n ⊥04183833,=-+=⋅∴az ay ax n n ⊥02123,=-=⋅∴ay ax n 令),33,3,1(,33,3,1====n z y x 则则……10分3193331133,cos =⋅>=<m n , 所以，二面角E －BC －A 的余弦值为31933．……12分 20．(本小题满分12分)(1)由题意，得.22,)211(2122=∴=-⨯⨯a a ……2分 (2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4．……3分2202202)1(41)1()211()0(a a C C p -=--==ξ……4分)1(21)1()211()1()211(21)1(1220220212a a a C C a C C p -=--+--==ξ……5分)1()211(21)1()21()2(1212202222a a C C a C C p --+-==ξ )221(41)211(2222202a a a C C -+=-+……6分2)211(21)1()21()3(2221212222a a C C a a C C p =-+-==ξ……7分4)21()4(2222222a a C C p ===ξ……8分得ξ的分布列为：……9分(3)由,10<<a 显然24),1(21)1(4122a a a a <-<- 0)142(41)1(21)221(41)1()2(22≥+--=---+==-=∴a a a a a p p ξξ……10分0)12(412)221(41)3()2(22≥--=--+==-=a a a a p p ξξ……10分由上述不等式解得a 的取值范围是22222≤≤-a .……12分 21．(本小题满分12分)(本小题主要考查圆、抛物线、基本不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力) 解：(Ⅰ)设抛物线方程x 2＝2py ,因P (a ,4)在抛物线上，P 到准线距离为5．所以，准线方程y ＝－1,即2p＝1，所以，抛物线方程为x 2＝4y ．……3分 (Ⅱ)设圆M 的圆心(a ,b )，则a 2＝4b ,半径,4444)2(2222b b b b b b a r >+=+-+=-+= 所以，圆M 和x 轴恒有两个不同的交点．……7分 (Ⅲ)由(2)知，圆M 的方程(x －a )2＋(y －b )2＝b 2＋4，令y ＝0并解得，x ＝a ±2，不妨设为A (a －2，0)，B (a ＋2,0)， ∴4)2(,4)2(2221++=+-=a l a l,64161264)8(26416242422422122211221++=++=++=+=+∴a a a a a a l l l l l l l l ③ 因a ≠0时，由③得，22821612641612221221=⨯+≤++=+aa l l l l当且仅当a ＝±22时，等号成立，故当a ＝±22时，1221l l l l +的最大值为22．……13分22．(本小题满分12分)解：(Ⅰ)当a ＝2时，2e )2(e )(---+=x x x x x f ，)e e )(1(e )2(e e e )('222x x x x x x x x x x f --------=-++-=xx x e )1e )(1(22--=-． 当x ≥1时，x －1≥0，e 2x －2－1≥0，所以f ′(x )≥0，当x ＜1时，x －1＜0，e 2x －2－1＜0，所以f ′(x )≥0，所以对任意实数x ，f `(x )≥0，所以f (x )是增函数．……4分(2)当x ≥1时，xx x f e )1()(2-≥恒成立，即013e )2(22≥-+---x x x a x 恒成立， 设),1e )(32()('),1(13e )2()(222--=≥-+--=--a x a x x x h x x x x x h 则 令0)1e )(32(2=---a x x ，解得2,2321ax x ==……6分 ①当12≤a时，即a ≤2时，列表,45e 21)23()(3min +-==-a h x h 因为13≥-a ，所以04e2545e 2145e 213<-=+-≤+--a ， 故不成立； ②当,32,31时即<<<<a a所以要使结论成立，则,25e ,1e ,045e 21)23(,01e )1(3232≤≤≥+-=≥+-=----a a a a h h 即解得;325ln 3,25ln 3,2<≤--≥≥a a a 所以……8分 ③当232=a ，即a ＝3时，0)('≥x h 恒成立，所以)(x h 是增函数，又01e )1(1>+-=-h ，故结论成立；④当,3>a 即3>a 时，……12分所以要使结论成立，则 ,0128,1e ,0324)2(,01e)1(2222≤+-≤≥-+-=≥+-=--a a a a a h h a a即解得;63,62,0≤<≤≤≥a a a 所以综上所述，若使当x ≥1时xx x f e )1()(2-≥恒成立，实数a 的取值范围是625ln3≤≤-a ．……14分。
2017届华南师大附中高三综合测试一理科数学试题
2016-2017 学年度高三综合测试（一）试题数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分 150 分．考试用时 120 分钟. 注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号等填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号.2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答卷上.第Ⅰ卷一．选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 设全集U = { x ∈ N x ≥ 2},集合 A = {x ∈ N x 2≥ 5},则 U A （**）A. ∅B.{2} C. {5}D. {2，5}2． 命题“ ∀x > 0, x (x - 1) > 0 ”的否定是（**）A. ∀ x > 0, x ( )≤ 0 B. ∀x < 0, 0 ≤ x ≤1 x - 1C. ∃ x < 0, x ( )≤ 0D. ∃ x > 0, 0 ≤ x ≤1x - 13． 设 a = log 2 3, b = log 4 6, c = log 8 9 ，则下列关系中正确的是（**）A. a > b > cB. c > a > bC. c > b > aD. a > c > b4． 设 x ∈ R ，则“ x >1 ”是“ 2x 2+ x -1 > 0 ”的（**）2A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件⎧ f (x +1), x < 4,⎪ x，则 f (log3) = （**）5． 已知 f (x ) = ⎨⎫2⎪⎪ , x ≥ 4.⎩⎝ 2 ⎭A. 1B. 1C. 1D. 11224426． 由曲线 y = x ，直线 y = -x + 2 及 x 轴所围成图形的面积是（**）A.10B. 4C.7D. 63 6第1页（共4页）7． 已知函数 f (x ) = log 0.5 (x 2- ax + 3a ) 在 [2，+ ∞)单调递减，则 a 的取值范围是（**）A ． (- ∞,4]B ． [4,+∞)C ． [- 4,4]D ． (- 4,4]8． 函数 f (x ) = 1 + log 2 x 与 g (x ) = 21-x在同一直角坐标系下的图象大致是（**）A. B. C. D.9． 已知 f (x +1) 为偶函数，且 f (x ) 在 [1,+∞)单调递减，若 f (2) = 0 ，则 f (x ) > 0 的解集为（**）A. (-1,1)B. (0,1)C. (1,2)D. (0,2)⎛ π ⎫⎛ π ⎫ 10．已知函数 f (x ) = x ⋅sin x ，则 f⎪ 、f ( -1) 、f - ⎪ 的大小关系为（**）⎝ 11 ⎭⎝ 3 ⎭⎛ π ⎫ ⎛ π ⎫ A ． f -⎪ > f (-1) > f⎪ ⎝ 3 ⎭ ⎝ 11 ⎭⎛π ⎫ ⎛π ⎫ C ． f ⎪ > f ( -1) > f -⎪⎝ 11 ⎭ ⎝ 3 ⎭11．下列命题中是假命题的是(** )⎛π ⎫ ⎛π ⎫ B ． f (-1) > f -⎪> f⎪⎝ 3 ⎭ ⎝ 11 ⎭D ． f ⎛ - π ⎫⎪ > f ⎛ π ⎫⎪ > f( -1) ⎝ 3 ⎭ ⎝ 11 ⎭A ． ∃ m ∈ R ,使 f ( x ) = ( m - 1)⋅ x m 2 - 4m +3是幂函数，且在 (0, +∞)上递减B ．函数 f ( x ) = lg ⎡⎢ x 2+ ( a + 1) x - a + 1 ⎤⎥ 的值域为 R ，则 a ≤ -6 或a ≥ 0⎣4 ⎦C ．关于 x 的方程 ax 2+ 2 x + 1 = 0 至少有一个负根的充要条件是 a ≤1D ．函数 y = f ( a + x ) 与函数 y = f ( a - x ) 的图像关于直线 x = a 对称12．已 知 函 数 f (x ) 是 定 义 在 R 上 的 以 4 为 周 期 的 函 数 ， 当 x ∈(-1,3] 时 ，⎪( ]⎧ 1 - x 2 , x ∈ -1,1 ,，其中 t > 0 .若函数 y = f ( x ) = ⎨⎪t ⋅ (1 - x - 2 ), x ∈(1, 3]. ⎩取值范围为（**）⎛ 2 ⎫⎛ 2 6 ⎫⎛ 6 ⎫⎪ ⎪⎪A.⎝ 5 ，1 B.⎝ ，⎭C.⎝ 1，⎭⎭ 5 5 5 f (x ) - 1x5 的零点个数是 5，则 t 的D. (1，+ ∞)第 2 页（共 4 页）第Ⅱ卷二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．13．函数y= 3x- 9**.的定义域为log (x-1)214．已知集合A={x ax+1=0},B={-1,1}，若A B = A ，则实数a的所有可能取值的集合为** .1 115．若2a=5b=m，且+ = 2 ，则m=** .a b16．过函数f(x)=x3-3x2+2x+5图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围是**.三.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程. 17．(本小题满分10分)已知集合A={x| 3≤3x≤27}，B={x| log2x>1}．（1）分别求A B ，(R B)A ；（2）已知集合C={x1<x<a}，若C⊆A，求实数a的取值集合．18．(本小题满分12分)已知p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a>0；q:实数x满足2<x≤3.(Ⅰ) 若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；(Ⅱ) 若p是q的必要不充分条件, 求实数a的取值范围.19．(本小题满分 12 分)函数f(x)=ka x - a-x(a0且a 1 )是定义在实数集R上的奇函数．(Ⅰ) 若f(1)>0 , 试求不等式f(x2 + 2 x ) +f ( x- 4) > 0 的解集；(Ⅱ) 若f(1)= 3 且g(x)=a2x+a-2x-2m⋅f(x)在[1,+∞)上的最小值为 2 ,求m的值．2第3页（共4页）20． (本小题满分 12 分)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路.记两条相互垂直的公路为l1、l2，山区边界曲线为C .计划修建的公路为l . 如图所示，M,N为C的两个端点，测得点 M 到l1、l2的距离分别为5 千米和 40 千米，点N到l1、l2的距离分别为 20 千米和 2. 5 千米.以l2、l1所在的直线分别为x,y轴，建立平面直角坐标系xOy.假设曲线C符合函数y=a（其中a,b为常x 2 + b数）模型.(Ⅰ)求a,b的值；(Ⅱ)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t .①请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度.21．(本小题满分 12 分)已知定义为R的函数f(x)满足下列条件：（1）对任意的实数x、y都有：f ( x + y )= f ( x )+ f ( y)-1；（2）当x>0时，f(x)>1.（Ⅰ）求f(0)；（Ⅱ）求证：f(x)在R上为增函数；(Ⅲ) 若f(6)=7,a≤ -3，关于x的不等式f(ax-2)+f(x-x2)<3对任意x∈[-1,+∞) 恒成立，求实数a的取值范围.22．(本小题满分 12 分)已知函数f(x)e x m ln x.（Ⅰ）设x=1是函数f(x)的极值点，求m并讨论f(x)的单调性；（Ⅱ）设x=x0是函数f(x)的极值点，且f(x)≥0恒成立，求m的取值范围（其中常数a 满足a ln a=1）.第4页（共4页）。
华中师大一附中 2017级高三上学期理科数学期中考试 试题最终版
华中师大一附中2019—2020学年度上学期期中检测高三年级数学（理科）试题时间：120分钟满分：150分命题人：曹宗庆审题人：张丹一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1. 已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{(1)(2)0}B x x x =-+>，则A B I 的子集个数为（ ）A. 2B ．4C ．6D ．82. 设命题p ：n N ∃∈，22n n >，则p ⌝为 （ ）A ．2,2n n N n ∀∈>B ．2,2n n N n ∃∈≤C ．2,2n n N n ∃∈=D ．2,2n n N n ∀∈≤3. 若复数z 满足(34)112i z i -=+，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为 （ ）A.2-B. 2C. 2i -D. 2i4. 我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”章中有一道“两鼠穿墙”问题：有厚墙5尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半。
问两鼠在第几天相遇？（ ） A. 第2天 B.第3天 C.第4天 D.第5天 5. 已知变量x , y 满足约束条件13230x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪--≤⎩，则y x z +=2的最小值为（ ）A.1B.2C.3D.66. 已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足12130,0,S S ><且{S n }的最大项为m S ，12m a +=-，则13S -=（ ）A. 20B.22C.24D.267. 右图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下结论 ①AN GC ⊥ ②CF 与EN 所成的角为60︒ ③BD //MN ④二面角E BC N --的大小为45︒ 其中正确的个数是（ ）A .1B .2C .3D .48. 已知ABC ∆中，2AD DC =，E 为BD 中点，若BC AE AB λμ=+uu u r uu u r uu u r，则2λμ-的值为 （ ） A. 2B. 6C. 8D. 109. 若1164log 9a =，33log 2b =，0.20.6c =，则,,a b c 的大小关系为 （ ） A. c b a >>B. c a b >>C. b a c >>D. a b c >>10. 已知函数()2sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><的部分图像如右图所示，且(,1),(,1)2A B ππ-，则ϕ的值为 （ ） A.56πB.6πC. 56π- D. 6π-11. 已知函数2()ln(1)22x x f x x -=-++，则使不等式(1)(2)f x f x +<成立的x 的取值范围是（ ）A. (1)(1,)-∞-⋃+∞，B. (1,+)∞C. 1(,)(1,+)3-∞-⋃∞D. (,2)(1,)-∞-⋃+∞12.已知函数()sin )4f x x x x π=+，若对于任意的1212,[0,),()2x x x x π∈≠，均有1212|()()|||x x f x f x a e e -<-成立，则实数a 的最小值为（ ）A.23B.1 C .32D. 3二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)13. 曲线x y xe -=在点1(1,)e处的切线方程为 .14. 已知3sin()2cos()sin 2παπαα-+-=，则2sin sin cos ααα-= . 15. 已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若1c =，ABC ∆的面积为2214a b +-，则ABC ∆面积的最大值为 .16. 已知ABC ∆的外接圆圆心为O ，||6,||8AB AC ==，(,)AO AB AC R αβαβ=+∈uuu r uu u r uuu r，若21sin ()2A t αβ⋅+-（t 为实数）有最小值，则参数t 的取值范围是 .三、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17. （本小题满分12分）已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若21cos 222A bc=+（1）求角C ；（2）BM 平分角B 交AC 于点M ，且1,6BM c ==，求cos ABM ∠.18. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，*211,n n S a n N nn =+-∈（1）证明：数列1{}n n S n+为等差数列； （2）若数列{b n }满足12n nn n nb S S +=⋅⋅，求数列{b n }的前n 项和T n .19. （本小题满分12分）已知函数()(cos sin )(cos sin )cos 222222x x x x x xf x =+-+（1）求函数()f x 的最大值并指出()f x 取最大值时x 的取值集合；（2）若,αβ为锐角，126cos(),()135f αββ+==，求()6f πα+的值.20. （本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，AD //BC ，AB BC ⊥，22,AB BC AD ==E 为CD 的中点，PB AE ⊥（1）证明:平面PBD ⊥平面ABCD ；（2）若PB PD =，PC 与平面ABCD 所成的角为4π，试问“在侧面PCD 内是否存在一点N ，使得BN ⊥平面PCD ？”若存在，求出点N 到平面ABCD 的距离；若不存在，请说明理由.21. （本小题满分12分）（1）已知21()ln f x x x =+，证明：当2x ≥时，221ln 1(ln 2)4x x x +≥+；（2）证明：当4211(2,1)a e e ∈----时，33131()ln (39a g x x x x x x -=++≥有最小值，记 ()g x 最小值为()a ϕ，求()a ϕ的值域.22. （本小题满分10分）已知函数()|2||24|f x x x =-++（1）解不等式()34f x x ≥-+；（2）若函数()f x 最小值为a ，且2(0,0)m n a m n +=>>，求21+1m n+的最小值.。
数学---湖北省华中师范大学第一附属中学2017届高三上学期期中考试(理)
湖北省华中师范大学第一附属中学2017届高三上学期期中考试（理）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.1.已知集合，{})2lg(2x x y x N -==，则为（ ）(A) ()2,1(B)()+∞,1 (C) [)+∞,2(D) [)+∞,12.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）(A) y =(B) 2(1)y x =- (C) 2x y -=(D) 0.5log (1)y x =+3.在等差数列{a n }中，已知4816a a +=，则该数列前11项和S 11＝（ ）(A) 58(B) 88(C) 143(D) 1764.下列判断正确的是（ ）(A) 若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“p 且q ”为真命题 (B) 命题“若0xy =，则0x =”的否命题为“若0xy =，则0x ≠” (C)“1sin 2α=”是“6πα=”的充分不必要条件(D) 命题“对任意,20xx ∈>R 成立”的否定是“存在0x ∈R ，使020x ≤成立”.5.已知向量()()1,1,2,2m n λλ=+=+,若()()m n m n +⊥- ,则=λ（ ）(A) 4- (B) 3- (C) 2- (D) -16.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 3x x >02x x ≤0，则f (f (19))＝( )(A) 4(B) 14(C) －4(D) －147.一质点受到同一平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知，成︒120角，且，的大小分别为1和2，则的大小为( )(A) 1(B) 2(C) 32(D)38.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为（如图所示）．那么对于图中给定的，下列判断中一定正确的是( ){}2,0x M y y x ==>M N 123,,F F F 1F 2F 1F 2F 3F v v 乙甲和01t t 和(A) 时刻后，甲车在乙车后面 (B) 在、时刻，甲车均在乙车前面 (C) 在时刻，两车的位置相同 (D) 时刻后，乙车在甲车前面 9.将函数)3cos(π-=x y 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移6π个单位长度，所得函数图象其中的一条对称轴为( ) (A)9π (B)8π (C)2π (D)π10.定义行列式运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1 a 2a 3 a 4＝a 1a 4－a 2a 3，将函数f(x)＝13 x x ωωc o s s i n (ω>0)的图像向左平 移5π6个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则ω的最小值是( ) (A) 15(B) 1(C)115(D) 211.已知函数()ln ,00,0x x f x x ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩，则方程()()20f x f x -=的不相等的实根个数为（ ）(A) 5(B) 6(C) 7(D) 812.下列命题：①已知A 、B 、C 是三角形ABC 的内角,则B A =是B A sin sin =的充要条件；②设a ，b 为向量,如果||||-=+，则b a ⊥；③设a ，b 为向量, 则“||||||=⋅”是“//”的充分不必要条件；④设，为向量, “b a 2=”是“a 与b 共线”的充要条件，正确的是（ ）(A) ①②(B) ①③(C) ②③(D) ②④二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置． 13．已知41)4tan(,32)tan(=-=+πββα，则)4tan(πα+=________.14.已知函数, 则________．15．已知矩形ABCD 的边AB 长为2，边ADE 是AB 边上的动点，则 DE →·DC →1t 0t 1t 0t 0t的最大值为________.16．设曲线)(1*+∈=N n x y n 在点)1,1(处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，令2n x a nn =，则122015a a a +++L 的值为________.三、解答题：本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）若向量(cos ,sin )a θθ=r ,1)b =-r.（1）若b ⊥且)2,0(πθ∈，求θ的值；（2）若[0,]θπ∈，求|2|a b -r r的最大值.18.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足：*1(N )n n a a n +>∈，11a =，该数列的前三项分别加上1，1，3后成等比数列,22log 1n n a b +=-. （1）分别求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求证：数列{}n n b a ⋅的前n 项和n T 3<.19．（本小题满分12分）在锐角ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，2sin 0b A -=． （1）求角B 的大小；（2）若5a c +=，且a c >，b =AB AC ⋅uu u r uu u r的值．20．（本小题满分12分）已知函数()()2cos (0,0).f x x ωϕωϕπ=+><<⎡⎤⎣⎦ (1)若函数()f x 图像过点（0，-2）且图像上两个对称中心1(,0)A x 与2(,0)B x 间最短距离为2π，求函数()f x 解析式； (2)若2πϕ=，函数()f x 在[-2,33ππ]上单调递减，求ω的取值范围；21．（本小题满分14分）已知函数()ln()f x x x a a R ∈＝－＋（）． (1) 求函数()f x 的单调区间；(2) 当)(x f 在1x ＝处取得极值时，若关于x 的方程21()2[2]2f x x x b +=+在区间，上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围； (3) 求证:当2,n n R +≥∈时，．请考生从22、23、24题中任选一题做答.多答按所答的首题进行评分. 22.（本题满分10分) 选修4—1：几何问题选讲 如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 垂直， 垂足为M ，E 是CD 延长线上的一点，且AB =10,CD =8, 3DE =4OM ，过F 点作⊙O 的切线EF ，BF 交CD 于G . （1）求EG 的长；（2）连接FD ,判断FD 与AB 是否平行，为什么？e n <⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+22211 (311211)23．（本题满分10分) 选修4—4：极坐标与参数方程在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的 非负半轴为极轴建立极坐标系. 已知点A 、B 的极坐标分别为(1,)3π、2(3,)3π，曲线C 的参数方程为cos ,(sin x r y r ααα=⎧⎨=⎩为参数）． （1）求直线AB 的直角坐标方程；（2）若直线AB 和曲线C 只有一个交点，求r 的值．24.（本题满分10分) 选修4—5：不等式选讲 已知函数()||f x x =，()|4|g x x m =--+ （1）解关于x 的不等式[()]20g f x m +->；（2）若函数()f x 的图像恒在函数()g x 图像的上方，求实数m 的取值范围.参考答案一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应的位置上. 13．145; 14． ;15.4; 16.20152016三、解答题：本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）解：（1）由,b a ⊥得0=⋅， ……………………2分 即：0sin cos 3=-θθ ，∴3tan =θ ………………3分Q )2,0(πθ∈3πθ=∴ …………………5分（2）Q 2||,1||==2|2|a b ∴-=r r 224||||4a b a b +-⋅r r r r =44sin )θθ+--88cos()6πθ=-+…8分[0,]θπ∈Q 7[,]666πππθ+∈Q 5==66ππθπθ∴+当，即时 2max |2|16a b ∴-=r r 故|2|a b -r r的最大值为4. ……………………10分18.（本小题满分12分）解：（1）设d 为等差数列{}n a 的公差，且0d>由,21,1,1321d a d a a +=+==分别加上1，1，3成等比数列， 得),24(2)2(2d d +=+0d >，所以2=d ，所以122)1(1-=⨯-+=n n a n ，又因为212log n n a b =--，所以n b n -=2log即nn b 21= . .............................6分 （2）2313521,2222n n n T -=++++L ①2341113521.22222n n n T +-=++++L ② ①—②，得 2311111()22222n n T =++++L .2121+--n n ..................10分 121121121232133 3.1222212n n n n n n n n n T -----+∴=+-=--=-<- ...........12分 19．（本小题满分12分） 解：（1）由正弦定理得sin sin a bA B=2sin 0b A -=2sin sin 0A B A -=，……………3分因为A 为锐角sin 0A ≠，所以23sin =B . …………………………4分 又B 为锐角， 则3B π=. ……… 6分（2）由（1）可知，3B π=．因为b =，根据余弦定理，得 2272cos3a c ac π=+-，整理，得2()37a c ac +-=． …………………………8分 由已知 5a c +=，则6ac =．又a c >，可得 3a =，2c =．于是222cos 2b c a A bc +-===，…………………………10分所以cos cos 21AB AC AB AC A cb A ⋅=⋅===uu u r uuu r uu u r uuu r ． … 12分20．（本小题满分12分）． 解：（1）12min22Tx x π-==，T π=，2ω=，……………2分 (0)2cos 22f ϕ==-，cos 21ϕ=-，0ϕπ<<，022ϕπ<<，所以 2ϕπ=，2πϕ=， ……………5分()2cos[2()]2sin 22f x x x π=+=- ……………6分（2）27,,,,033266x x πππππω⎡⎤⎡⎤∈-+∈>⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦因为根据题意有：21266(),12772660127k k k N k N k k ωππωωπππω*⎧≥⎪+⎪∈∈≤≤⎨⎪≤+⎪⎩<≤ 又时，无解，可得分21．（本小题满分14分）解：（１）由已知由函数的定义域为，……1分 ，由得，由得， …………………………3分 所以函数的减区间为，增区间为． …4分 （2）由题意，得 ， a ＝0 ． ……5分由(1)知f (x )＝x －lnx ，∴f (x )＋2x ＝x 2＋b ，即 x －lnx ＋2x ＝x 2＋b ， x 2－3x ＋lnx ＋b ＝0， 设＝x 2－3x ＋lnx ＋b (x ＞0)， ……………………6分则＝2x －3＋1x ＝2x 2－3x ＋1x ＝(2x －1)(x －1)x,当变化时，，的变化情况如下表：…………………………7分∵方程f (x )＋2x ＝x 2＋b 在[12，2]上恰有两个不相等的实数根,()f x x a >-()ax a x a x x f +-+=+-='1111+-<-a a ∴,0)(>'x f 1+->a x ,0)(<'x f 1+-<<-a x a )(x f ()1,+--a a ()+∞+-,1a ()01='f ∴∴∴()x g ()x g '1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()x g '()x g⎩⎨⎧g (12)≥0g (1)＜0g (2)≥0,⎩⎨⎧b －54－ln 2≥0b －2＜0b －2＋ln 2≥0, …………………………8分 54＋ln 2≤b <2，即．……9分(3)由(1) 和(2)可知当时,,即,当时, ．……… 10分令（）,则． ……… 12分 所以当时,, ……… 13分 即, ． ……………………………14分 22．（本题满分10分) 选修4—1：几何问题选讲解:（1）连接AF ,OF ,，则A ，F ，G ，M 共园，因为EF ⊥OF , ∵∠FGE =∠BAF 又∠EFG =∠BAF , ∴∠EFG =∠FGE ,有EF =EG …………………….3分 由AB =10,CD =8知OM =3 ∴ED =43OM =4 2.48EF ED EC == ∴EF =EG= ………………………………….5分（2）连接AD , ∠BAD =∠BFD 及（Ⅰ）知GM =EM-EG=8-∴tan ∠MBG=4MG MB =-, tan ∠BAD =4182MD MA ==≠ tan ∠MBG ∴∠BAD ≠∠MBG ，∠MBF ≠∠BFD∴ FD 与AB 不平行 ………………………………………….10分 23．（本题满分10分) 选修4—4：极坐标与参数方程∴∴∴5ln 2,24b ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭10,,2a x ⎡⎫=∈+∞⎪⎢⎣⎭)1()(f x f ≥1ln -≤x x ∴1>x 1ln -<x x 211x n =+2,n n ≥∈*N 22111ln nn <⎪⎭⎫ ⎝⎛+2,n n ≥∈*N 2222221 (312)111ln .......311ln 211ln n n +++<⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+()11111......321211<-=-⨯++⨯+⨯<n n n 111.......311211ln 222<⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+n ∴e n <⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+22211 (311211)解:（1）∵点A 、B 的极坐标分别为(1,)3π、2(3,)3π， ∴点A 、B的直角坐标分别为1(,22、3(,)22-， ····························· 3分 ∴直线AB的直角坐标方程为40y +-=． ·································· 5分 （2）由曲线C 的参数方程cos ,(sin x r y r ααα=⎧⎨=⎩为参数）化为普通方程为 222x y r += ………………………………………………………8分∵直线AB 和曲线C 只有一个交点，∴半径r == ···················································· 10分 24.（本题满分10分)解:（1）由[()]20g f x m +->得|||4|2x -<，2||42x ∴-<-< 2||6x ∴<< 故不等式的解集为[6,2][2,6]-- …………5分 （2）∵函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方∴()()f x g x >恒成立，即|4|||m x x <-+恒成立 ………………8分 ∵|4||||(4)|4x x x x -+≥--=，∴m 的取值范围为4m <. …………………………………………10分。
湖北省华中师范大学第一附属中学2018届高三上学期期中考试数学(理)试题Word版含答案
华中师大一附中2017-2018学年度上学期高三年级期中检测数学（理）试题第I 卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数2z1i，则下列命题中正确的个数为①2=z ②i z -=1 ③z 的虚部为i ④z 在复平面上对应点在第一象限 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．下列函数为偶函数且在(0，＋∞)上为增函数的是A ．20()(cos )x f x tdt B ．223()f x x x C ．21()2f x x x D ．()()xx f x x e e3．已知集合2lg 2x A x y x ⎧-⎫==⎨⎬+⎩⎭，集合{}21B y y x ==-，则集合{x x A B 且}x A B 为A ．[]()2,12,-+∞ B ．()()2,12,-+∞C ．()[),21,2-∞-D ．(](),21,2-∞-4．下列说法正确的是 A ．“,x yR ，若0xy，则1x且1y ”是真命题B ．在同一坐标系中，函数(1)y f x =+与(1)y f x =-的图象关于y 轴对称．C ．命题“x R ，使得2230x x ”的否定是“x R ，都有2230x x ”D ．aR ，“11a”是“1a ”的充分不必要条件5．如图，在ABC 中，13AN NC ，P 是BN 上的一点， 若29AP mABAC ，则实数m 的值为 A ．19 B ．13C ．1D ．3 第5题图6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织七匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了七匹三丈，问每天增加多少尺布？”若这一个月有31天，记该女子一个月中的第n 天所织布的尺数为n a ，则132931242830a a a a a a a a ++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++的值为A ．2930 B ．1615 C ．13D ．15 7．若13tan ,(,)tan 242ππααα-=∈，则sin(2)4πα+的值为 A ．210±B ．25C ．210D ．25±8．某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：C ）满足函数关系bkx ey +=（ 718.2=e 为自然对数的底数，,k b 为常数），若该食品在0C 的保鲜时间是192小时，在22C 的保鲜时间是48小时，则该食品在33C 的保鲜时间是( )小时．A ．22B ．23C ．24D ．33 9．已知函数()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><的部分图像如所示，为了得到()y f x 的图像需将cos 2yx 的图像A ．向右平移3π个单位长度 B ．向左平移3π个单位长度 C ．向右平移6π个单位长度D ．向左平移6π个单位长度 10．已知定义在R 上的偶函数)(x f ，满足)()4(x f x f =+，且]2,0[∈x 时，()sin 2sin f x x xππ=+，则方程0lg )(=-x x f 在区间[0,10]上根的个数是A ．18B ．19C ．10D ．9 11．在ABC 和AEF 中，B 是EF 的中点，1633AB EF BC CA ，，，若2AB AE AC AF ，则EF 与BC 的夹角的余弦值为第9题图A ．12 B ．23 C ．34 D ．1312．设函数()()x x f x e x ae （其中e 为自然对数的底数）恰有两个极值点12,x x 12()x x ，则下列说法中正确的是A ．103aB ．21x C ．1(0)02f -<< D ．12()()0f x f x第II 卷二、填空题（每题5分，共20分，将答案填在答题纸上） 13．函数2lg(23)y x x =--+的单调递增区间是________．14．已知向量(6,2)a =-，(1,)b m =，且a b ⊥，则2a b -= ． 15．已知数列{}n a 的通项公式为219104na n n，当123234a a a a a a 345a a a12n n n a a a 取得最大值时，n 的值为_________．16．若函数()y f x =满足b x a f x a f 2)()(=-++（其中220ab ），则称函数)(x f y =为“中心对称函数”，称点),(b a 为函数()f x 的“中心点”．现有如下命题：①函数()sin 1f x x =+是“中心对称函数”；②若“中心对称函数”()y f x =在R 上的“中心点”为()(),a f a ，则函数()()()F x f x a f a =+-是R 上的奇函数；③函数()32362f x x x x =-+-是“中心对称函数”，且它的“中心点”一定为()1,2；④函数x x x f cos 2)(-=是“中心对称函数”，且它的“中心点”一定为(,)2ππ．其中正确的命题是___ _____．（写出所有正确命题的序号）三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分10分）已知向量(,cos())a sinx x π=-，(2cos ,2cos )b x x ，函数()1f x a b ．（Ⅰ）求()f x 的对称中心； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值，并求出相应x 的值．18．（本小题满分12分)已知函数()f x ＝4log (41)x+＋kx (k R ∈)．（Ⅰ）当12k时，若方程()f x －m ＝0有解，求实数m 的取值范围； （Ⅱ）试讨论()f x 的奇偶性．19．(本小题满分12分)已知数列{}n a ，{}n b ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足214a b =，22n n S a =-，21(1)n n nb n b n n +-+=+（*n N ∈）．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）试问{}nb n能否为等差数列，请说明理由； （III ）若数列{}n c 的通项公式为,24n n n n n a b n c a b n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数，为偶数，令n T 为{}n c 的前n 项的和，求2n T ．20．（本小题满分12分)已知函数()-xf x e ax =（a R ∈，e 为自然对数的底数）．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若1a =，函数()()()2xg x x m f x e x x =--++在()2,+∞上为增函数，求实数m 的取值范围．21．(本小题满分12分)如图所示，某住宅小区一侧有一块三角形空地ABO ，其中3,OA km 33,OBkm90AOB ．物业管理拟在中间开挖一个三角形人工湖OMN ，其中,M N 都在边AB 上（,M N 不与,A B 重合，M 在,A N 之间），且30MON ．（Ⅰ）若M 在距离A 点2km 处，求点,M N 之间的距离；（Ⅱ）为节省投入资金，三角形人工湖OMN 的面积要尽可能小．试确定M 的位置，使OMN 的面积最小，并求出最小面积．22．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足1n na t =+(,,3,)n t N t t n t *∈≥≤，为常数． （Ⅰ）设1121111nni inS a a a a ，*n N ，证明：(1)ln(1)nS t n ；（Ⅱ）证明：1n a na e -<（e 为自然对数底数）；（Ⅲ）设1231()=()()()()nttt t t n kn k T a a a a a ==+++∑ ，*nN ，试比较与n T 与1的大小关系，并说明理由．第21题图1． C 2． D 3． D 4． B 5． A 6． B 7． C 8． C 9． A 10． B 11． B 12． C第II 卷二、填空题：每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上． 13． (3,1]或(3,1) 14． 45 15． 9n16．①②③三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：（I ）因为()1f x a b =2sin cos cos(π)2cos 1x x x x +-⋅+22sin cos 2cos 1x x x =-+=sin 2cos2x x -=2sin(2)4x………4分所以()f x 的对称中心为(,0)()28k k Z ππ+∈ ……………5分 （II ）由（I ）得，()f x =sin 2cos2x x -=2sin(2)4x π-， …………7分因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π3π2,444x π⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以当242x ππ-=时，即8x 3π=时，()f x； 当244x ππ-=-时，即0x =时，()f x 的最小值是1-． …………10分 18．（本小题满分12分)解：（Ⅰ）由m ＝()f x ＝4log (41)x+－12x ，∴m ＝441log 2x x +＝41log (2)2xx+． ∵1222xx，∴m ≥12． ……………………………………6分 （Ⅱ）依题意得定义域为R ,关于原点对称∵()f x 4log (41)x +＋kx ，()f x 4log (41)x -+－kx ，令()()f x f x ，得441log 41x x-++＝2kx -，即4log 4x＝2kx -， ∴2x kx 对一切k R ∈恒成立．∴12k时()()f x f x ，此时函数()f x 是偶函数……………………9分∵0441(0)log (41)0log 22f k =+-⨯==，∴函数()f x 不是奇函数， 综上，当12k时，函数()f x 是偶函数；当12k 时，函数()f x 是非奇非偶函数． …………12分 19、(本小题满分12分)解：（Ⅰ）当1n =时，111222S a a =-⇒=，当2n ≥时，由112222n n n n S a S a --=-⎧⎨=-⎩，得：122n n n a a a -=-，则12n n a a -=，综上，{}n a 是公比为2，首项为2的等比数列，2nn a =；………………3分（Ⅱ）{}nb n是等差数列，理由如下： ∵214a b =，∴11b =，∵21(1)n n nb n b n n +-+=+，∴111n nb b n n+-=+ 综上，{}n b n 是公差为1，首项为1的等差数列，且211n n bn b n n=+-⇒=；…7分 （Ⅲ）令212n n n p c c -=+22122221(21)2(2)2(41)2(41)424n nn n n n n n ----⋅⋅=-+=-⋅=-⋅01212123123474114(41)443474114(45)4(41)4n n n nn T n T n n --⎧=⨯+⨯+⨯++-⨯⎪⎨=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯⎪⎩ ①② ①-②，得：012121644334444444(41)43(41)414nn nnn T n n --⋅-=⋅+⋅+⋅++⋅--⋅=+--⋅- 所以27127499nn n T -=+⋅． ……………… ………12分20．（本小题满分12分)解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为R ，()xf x e a '=-．当0a ≤时，()0f x '>，∴()f x 在R 上为增函数； 当0a >时，由()0f x '=得ln x a =，当(),ln x a ∈-∞时，()0f x '<，∴函数()f x 在(),ln a -∞上为减函数， 当()ln ,x a ∈+∞时，()0f x '>，∴函数()f x 在()ln ,a +∞上为增函数……4分 （Ⅱ）当1a =时，()()()2x x g x x m e x e x x =---++，∵()g x 在()2,+∞上为增函数；∴()10xxg x xe me m '=-++≥在()2,+∞上恒成立，即11x x xe m e +≤-在()2,+∞上恒成立， …………………………6分令()11xx xe h x e +=-，()2,x ∈+∞，则()()()2221x x xxe xe e h x e --'==-()()221x x xe e x e---，令()2xL x e x =--，()10xL x e '=->在()2,+∞上恒成立，即()2xL x e x =--在()2,+∞上为增函数，即()()2240L x L e >=->，∴()0h x '>，即()11x x xe h x e +=-在()2,+∞上为增函数，∴()()222121e h x h e +>=-，∴22211e m e +≤-，所以实数m 的取值范围是2221,1e e ⎛⎤+-∞ ⎥-⎝⎦． ………………12分21．(本小题满分12分)解：（Ⅰ）在ABO 中，因为33390OAOBAOB ，，，所以60OAB ， 在OAM 中，由余弦定理得：2222cos 7OM AO AM AO AM A，所以7OM，所以22227cos 27OA OM AM AOM AO AM， 在OAN 中，sin sin()sin(90)ONA A AON AOM 27cos 7AOM， 在OMN 中，由sin 30sin MN OMONA，得7172427MN；… ………6分 （Ⅱ）解法1：设,060AOM，在OAM 中，由sin sin OM OAOAB OMA ，得332sin(60)OM，在OAN 中，由sin sin ONOA OAB ONA ，得32sin(90)2cos ON θθ==+， 所以11sin 22OMNSOM ONMON 2sin(60)θ⋅+12＝2716sin(60)cos θθ+6060)4θ<<+．当26090θ+=，即15θ=时，OMN S27(23)4．所以应设计15AOM ，可使△OMN 27(23)4km 2…12分解法2：设AM ＝x ，0＜x ＜3．在△OAM 中，由余弦定理得OM 2＝AO 2＋AM 2－2AO ·AM ·cos A ＝x 2－3x ＋9，所以OM ＝x 2－3x ＋9，所以cos ∠AOM ＝OA 2＋OM 2－AM 22OA ·OM ＝6－x2x 2－3x ＋9，在△OAN 中，sin ∠ONA ＝sin(∠A ＋∠AON )＝ sin(∠AOM ＋90°)＝cos ∠AOM ＝6－x2x 2－3x ＋9， 由ON sin ∠OAB ＝OA sin ∠ONA，得ON ＝36－x2x 2－3x ＋9·32＝33x 2－3x ＋96－x， 所以S △OMN ＝12OM ·ON ·sin ∠MON ＝12·x 2－3x ＋9·33x 2－3x ＋96－x ·12＝33(x 2－3x ＋9)4(6－x )，0＜x ＜3，令6－x ＝t ，则x ＝6－t ，3＜t ＜6，则：S △OMN ＝33(t 2－9t ＋27)4t ＝334(t －9＋27t )≥334·(2t ·27t －9)＝27(2－3) 4．当且仅当t ＝27t ，即t ＝33，x ＝6－33时等号成立，S △OMN 的最小值为27(2－3) 4，所以M 的位置为距离A 点6－3 3 km 处，可使△OMN 的面积最小，最小面积是27(2－3) 4km 2．22．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）即证：12111ln(1)(1)(1)(1)nn t a t a t a +++>++++，即证：1111ln(1)23n n++++>+， 设()ln(1)g x x x =-+，1()111xg x x x '=-=++， ∵当0x >时，()0g x '>，()g x 在(0,)+∞上单调递增， 当10x -<<时，()0g x '<，()g x 在(1,0)-上单调递减， ∴()ln(1)(0)0g x x x g =-+≥=（当且仅当0x =时等号成立）， 即0x >时，有ln(1)x x >+， ∴1113411ln 2ln ln lnln(1)2323n n n n+++++>++++=+， ∴12111(1)ln(1)n t n a a a +++>++ ……………………………4分（用数学归纳法给分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当1x >-且0x ≠时，有ln(1)x x >+，即当0x >且1x ≠时，有1ln x x ->， 因为0111n n t a t t <=≤<++，所以 1ln n n a a ->， 即1n a na e -<………………………………………8分（Ⅲ）1231()=()()()()1nt t t t tnk n k T a a a a a ，理由如下：解法一：由（Ⅱ）知：123()()()()t t tt n a a a a ++++3121111()()()()n a a a a t t t t e e e e 3121111()()()()n a a a a t t t t e e e e2111(1)1t tn t t t t ee e-+++-=-22211111(1)111t t t t t t t t t t ee e e e--+++++--≤=--，设 1t t eq +=，因为3142t t q ee +=≥>，21111t t t t ee-++-∴=-1111111t t q q q q q ----=<<---， 所以1231()=()()()()1nttt t t n kn k T a a a a a ==++++<∑ ………………12分解法二：因为,*n t N ∈， 且n t ≤，所以1231231()=()()()()()()()()nt t t t t t t t t nk n t k T a a a a a a a a a12()()()111tt t t t t t下面用数学归纳法证明：*3,t tN 时，12()()()1111tt t t t t t，即12(1)tt t t t t ，①当3t时，左边333312336(13)，即当3t 时不等式成立；②假设当(3)t k k时不等式成立，即12(1)kkkk k k ，则当1tk时，111112(1)k kkk k k 11122(1)k k k k k k k 1(1)(12)(1)k k k k k k k11(1)(1)(1)2(1)kkk kkkk，11111112111()(1)1()()1111k k k k k k k C C k kk k111121kC k，11(2)2(1)k k k k，11111112(1)2(1)(2)kkkkkk k kkk，所以当1t k时，不等式也成立；综合①②*3,t tN 时，12(1)tttt t t ，即12()()()1111tt t t tt t成立，所以1231()=()()()()1nt t t t t n kn k T a a a a a ==++++<∑．。
湖北省2017年高考理科数学试题及答案(word版)
湖北省2017年高考理科数学试题及答案(word版)1.选择题共12小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|x<1}，B={x|3x<1}，则B={x|x<1/3}，故选A。
2.如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图。
正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称。
在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是1/4，故选A。
3.设有下面四个命题：p1：若复数z满足Re(z)=0，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p3：若复数z1,z2满足z1z2∈R，则z1=z2；p4：若复数z∈R，则z∈R。
其中只有p1和p4是真命题，故选D。
4.记Sn为等差数列{an}的前n项和。
由题意得a4+a5=2a5=24，故a5=12，S6=2a5+5d=48，解得d=4，故选C。
5.函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减，且为奇函数。
由f(1)=-1，得f(-1)=1，故当-1<x-2<1时，-1≤f(x-2)≤1，即1≤x<3，故选D。
6.(1+1/26)展开式中的系数为C(26,1)=26，故选C。
7.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为14，故选C。
8.右面程序框图是为了求出满足3n-2>1000的最小偶数n，故选B。
9.已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+2π/n)，则将C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π/n度，得到曲线C2，故选B。
2.将文章进行整理和改写：B。
将抛物线C：y=2x的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再将得到的曲线向左平移30度，得到曲线C2.C。
将抛物线C1：y=4x的横坐标缩短到原来的π/6倍，得到曲线C2.D。
2020届湖北省武汉市2017级高三6月模拟考试(6月供题一)数学(理)试卷参考答案
，F 2
3,0
4
设 Kx,y，F1K = x + 3,y ，F2K = x - 3,y ， KF1∙ KF2= F1K ∙ F2 K = x + 3 ,y ∙ x - 3 ,y = x2 + y2 - 3 = -3y2 + 1 ，
∵ -1 ≤ y ≤ 1
，
…………5 分
∴ KF1∙ KF2 的范围是 -2 , 1
， 由 g′ (x)< 0 得函数 f (x) 在 (-∞ ,ln a) 上单调递减；
理科数学参考答案 第 3 页（共 5 页）
2020届湖北省武汉市2017级高三6月模拟考试数学（理）试卷
综上，当a ≤ 0 时，总有g′ (x)> 0 ，函数 f (x) 在R 上单调递增；
当 a > 0 时，f (x) 在 (ln a,+∞ ) 上单调递增，f (x) 在 (-∞ ,ln a) 上单调递减. ………8 分
（3） 设
p(x) =
e x
- ln x,q(x) =
ex - 1 + a - ln x
，
p′(x)< 0 得 p(x) 在 [1,+∞ ) 上递减，
所以当1 ≤ x ≤ e 时，p(x)≥ p(e)= 0 ；当x >e 时，p(x)< 0 .
而
q ′ (x ) = ex - 1-
1 x
,
q″
(x) = ex - 1 -
-
2e x2
-
ex - 1
<
0
，
所以 n′ (x)<n′ (e)<0.∴ n(x)递减，n(x)<n(e)<0.∴ |p(x)|<|q(x)|
湖北省华中师范大学第一附属中学高三题考试数学(理)PDF
B. 减函数，且 f x 0
C. 增函数，且 f x 0
D. 减函数，且 f x 0
4.已知向量 a, b 满足 a 1, b 2, a b 3, 2 ，则 2a b
A. 2 2
B. 17 C. 15
D. 2 5
5.在 “五一”促销活动中，某商场对 5 月 1 日 19 时到 14 时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知 12 时到 14 时的销售额为 14 万元，则 9 时到 11 时的销售额 为
也为函数
y
ln
x
0
x
1
-2-
的图象的切线，则 x0 必须满足
A.
2 2
x0
1
B. 1 x0 2
C. 2 x0 3
D. 3 x0 2
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13. x2 2x 1 5 的展开式中， x3 的系数为
.（用数字作答）
x y 2 0
21.（本题满分 12 分）已知函数 f x ln x ax 在点 t, f t 处的切线方程为 y 3x 1.
C. 3
D. 6 3
10.公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内正多边形的边数无限 增多时，正多边形的面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利 用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值 3.14，这就
是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出 n
的值为
参考数据： 3 1, 732,sin15 0.258,sin 7.5 0.1305.
8.函数
f
x
A cos x 满足
f
3
x
华师一附中高三数学试卷
华师一附中高三数学试卷华师一附中高三数学试卷一、选择题1. 函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1有几个驻点？A. 0B. 1C. 2D. 32. 已知抛物线y=ax^2+bx+c与直线y=x的两个交点均在x轴上，那么抛物线的顶点在y轴的哪一侧？A. 右侧B. 左侧C. 上方D. 无法确定3. 下列函数中，哪一个不是一次函数？A. f(x)=2xB. f(x)=3x+2C. f(x)=1/xD. f(x)=4x-34. 若$\sqrt{x^2+9}+\sqrt{x}\geq6$，则x的取值范围是？A. (0,4]B. [4,∞)C. [-3,0]D.(-∞,0)∪[4,∞)5. 设函数f(x)=x-3，g(x)是f(x)的反函数，则g(0)的值是？A. 0B. -3C. 3D. -6二、填空题1. 若a是等差数列{a_n}的首项，d是公差，且$a_3+a_7=18$，则该等差数列的前四项的和为____。
2. 一个矩形的周长是32cm，其长度是宽度的2倍，那么矩形的长度和宽度分别是____。
3. 组合数$C_m^n$的值等于${n!}/(m!(n-m)!)$，若$C_m^n=56$，则$n!$的值为____。
4. 设ΔABC为等边三角形，D为BC的中点，则∠BAD的大小是____。
5. 已知向量$a=(3,4)，b=(-1,2)$，则|2a-3b|的大小是____。
三、解答题1. 计算函数f(x)=x^2-2x在区间[0,2]上的定积分。
2. 已知函数f(x)=2x-1和函数g(x)=x^2的图像分别为直线和抛物线，求斜率为2的该抛物线的方程。
3. 某公司从3月1日至9月30日的销售额 单位：万元）数据如下：3月：5 4月：3 5月：4 6月：7 7月：8 8月：10 9月：6求第一季度 3月、4月、5月）和第三季度 7月、8月、9月）的销售额之差。
4. 甲人在某商场买了铅笔盒、剪刀、尺子，三种商品的单价分别为3元、5元、2元，共花了15元。
湖北省华中师范大学第一附属中学2017届高三上学期训练
华师一附中理科综合试题6（8.28）物理部分二、选择题：本大题共8小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，第14~17题只有一项是符合题目要求，第18~21题有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分。
有选错的得0分。
14．（2016·全国新课标Ⅲ卷）如图，两个轻环a 和b 套在位于竖直面内的一段固定圆弧上；一细线穿过两轻环，其两端各系一质量为m 的小球。
在a 和b 之间的细线上悬挂一小物块。
平衡时，a 、b 间的距离恰好等于圆弧的半径。
不计所有摩擦。
小物块的质量为A ．2m BC ．mD ．2m 【答案】C【解析】根据题意设悬挂小物块的点为O '，圆弧的圆心为O ，由于ab=R ，所以三角形Oab 为等边三角形，根据几何知识可得120aO b '∠=，而一条绳子上的拉力相等，故T mg =，小物块受到两条绳子的拉力作用且两力大小相等，夹角为120°，故受到的拉力的合力等于mg ，因为小物块受到绳子的拉力和重力作用，处于静止状态，故拉力的合力等于小物块的重力，为mg ，所以小物块的质量为m ，C 正确。
15．（2016·四川卷）国务院批复，自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”。
1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440 km ，远地点高度约为2060 km ；1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35786 km 的地球同步轨道上。
设东方红一号在远地点的加速度为a 1，东方红二号的加速度为a 2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a 3，则a 1、a 2、a 3的大小关系为A ．a 2＞a 1＞a 3B ．a 3＞a 2＞a 1C ．a 3＞a 1＞a 2D ．a 1＞a 2＞a 3 【答案】D【解析】东方红二号和固定在地球赤道上的物体转动的角速度相同，根据a=ω2r 可知，a 2＞a 3；根据2MmGma r =可知a 1＞a 2；故选D 。
华师一附中高三数学试卷
一、选择题（每小题5分，共50分）1. 已知函数$f(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{x - 1}$，则$f(x)$的值域为（）A. $(-\infty, 3) \cup (3, +\infty)$B. $(-\infty, 3) \cup (3, 1)$C. $(-\infty, 1) \cup (1, 3)$D. $(-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$2. 若$a, b$是方程$x^2 - 4x + 4 = 0$的两个根，则$a^2 + b^2$的值为（）A. 4B. 8C. 16D. 183. 下列命题中正确的是（）A. 若$|x| < 1$，则$|x^2| < 1$B. 若$|x| > 1$，则$|x^2| > 1$C. 若$|x| = 1$，则$|x^2| = 1$D. 以上都不对4. 已知等差数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公差为$d$，若$a_1 + a_2 + a_3 = 9$，$a_4 + a_5 + a_6 = 27$，则$a_1$的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 65. 设$f(x) = \log_2(x + 1)$，$g(x) = \frac{1}{x - 1}$，则$f(g(2))$的值为（）A. $\log_2 3$B. $\log_2 4$C. $\log_2 5$D. $\log_2 6$6. 若向量$\vec{a} = (2, 3)$，$\vec{b} = (-1, 2)$，则$\vec{a} \cdot\vec{b}$的值为（）A. -5B. -3C. 1D. 57. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 6$，则$f'(x)$的值为（）A. $3x^2 - 6x + 4$B. $3x^2 - 6x - 4$C. $3x^2 - 6x + 2$D. $3x^2 - 6x - 2$8. 若等比数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公比为$q$，且$a_1 + a_2 + a_3 = 3$，$a_2 + a_3 + a_4 = 6$，则$a_1$的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 49. 已知复数$z = a + bi$（$a, b$为实数），若$|z - 1| = |z + 1|$，则$a$的值为（）A. 0B. 1C. -1D. 无法确定10. 若函数$f(x) = x^2 - 2x + 1$在区间$[1, 3]$上单调递增，则实数$a$的取值范围是（）A. $a \leq 1$B. $1 < a \leq 3$C. $a \geq 3$D. 无法确定二、填空题（每小题5分，共50分）11. 若$\sin\alpha = \frac{3}{5}$，$\cos\alpha = \frac{4}{5}$，则$\tan\alpha$的值为______。
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湖北省华师一附中2017届高三6月供题训练数学试题（理）命题学校：华师一附中 命题人：高三年级组一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只一项是符合题目要求的。
请将正确的答案填涂在答题卡上。
） 1. 设集合1,1,{,3}2U =-25}{|0M x x x p -=+=,若1,1{}U C M -=则实数P 的值为 A. -6 B. -4 C.4 D. 6 2、实数x ，条件P: x 2<x 条件q:11≥x则p 是q 的（ ）。
A 充分不必要 B 必要不充分C 充要条件 D 既不充分也不必要 3、][x 为x 的整数部分。
当2≥n 时，则22221111[]123n +++⋅⋅⋅+的值为( ) A 0 B 1 C 2 D 34、已知)2(log )(ax x f a -=在]1,0[上为减函数，则a 的取值范围为（ ）。
A )1,0( B )2,0( C )2,1( D ),2(+∞5.动点),(b a P 在区域2000x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩上运动，则31a b w a +-=- 的范围（ ）。
A (,1)(3,)-∞-⋃+∞B (,1][3,)-∞-⋃+∞C (1,3)-D [1,3]- 6.下列说法正确的是( )A. 若,a R ∈则“11a<”是“1a >”的必要不充分条件 B . “p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的必要不充分条件C. 若命题:p“,sin cos x R x x ∀∈+≤”，则p ⌝是真命题D. 命题“0,x R ∃∈使得20230x x ++<”的否定是“2,230x R x x ∀∈++>” 7. 已知，实数a、b、c满足，且0<a<b<c ，若实数x 0是函数f(x)的一个零点，那么下列不等式中,不可能等成立的是 A. B.C.D,8.ΔABC 的外接圆圆心为O ，半径为2，，且，向量在方向上的投影为（ ） A.B.C. 3D. — 39.某天，甲要去银行办理储蓄业务，已知银行的营业时间为9：00至17：00，设甲在当天13：00至18：00之间任何时间去银行的可能性相同，那么甲去银行恰好能办理业务的概率是（ ）A ．13B ．34C ．58D ．4510.已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数．当0x ≥时，5s i n () (01)42()1() 1 (1)4x x x f x x π⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩若关于x 的方程[]25()(56)()60f x a f x a -++=（a R ∈），有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．5014a a <<=或 B ．5014a a ≤≤=或 C ．5014a a <≤=或 D ．514a <≤或0a =11.已知点A 是抛物线2:2(0)M y px p =>与圆222:(4)C x y a +-=在第一象限的公共点，且点A 到抛物线M 焦点F 的距离等于a ，若抛物线M 上一动点到其准线与到点C 的距离之和的最小值为2a ，O 为坐标原点，则直线OA 被圆C 所截得的弦长为（ ）A ．2 B． CD12.若函数()sin x f x x =，并且233a b ππ<<<，则下列各结论正确的是（ ） A ．()()2a b f a f f +<< B．()()2a bf f f b +<< C．()()2a b f f f a +<< D ．()()2a bf b f f +<< 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 设x ，y满足约束条件,若目标函数（其中b >a〉0)14．已知非零向量,a 与a b + 的夹角,a a b <+>=．15.已知,AD BE 分别是ABC ∆的中线，若1AD BE ==，且23AB AC ∙= ，则AD 与BE的夹角为 .16．定义max{,}a b 表示实数,a b 中的较大的数．已知数列{}n a 满足1a a =2(0),1,a a >=122max{,2}()nn n a a a n N *++=∈，若20154a a =，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2015S的值为 ． 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分） 在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，且满足224a b ab +=+，3C π=。
（1）2A π≠时，若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积．（2）求ABC △18．（本小题满分12分） 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是菱形，ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD ，0DAB 60∠=，2AD =，1AM =，E 是AB 的中点．（Ⅰ）求证：AN //平面MEC ；（Ⅱ）在线段AM 上是否存在点P ，使二面角P EC D --的大小为6π？若存在，求出AP 的长h ；若不存在，请说明理由.19(本小题满分12分)某家电生产企业市场营销部对本厂生产的某种电器进行了市场调查，发现每台的销售利润与该电器的无故障使用时间T （单位：年）有关．若2T ≤，则销售利润为0元；若23T <≤，则销售利润为100元；若3T >，则销售利润为200元，设每台该种电器的无故障使用时间2T≤，23T <≤，3T >这三种情况发生的概率分别是123P P P ，，，又知12P P ，是方程225150x x a -+=的两个根，且23P P =． （1）求123P P P ，，的值； （2）记X 表示销售两台该种电器的销售利润总和，求X 分布列及期望．20．(本小题满分12分)已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为1F (1,0).-抛物线22x py =上的点处的切线经过椭圆C 的下顶点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点1F 的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点（异于长轴端点）.请问是否存在实常数λ，使得1111||F A F B F A F B λ-=⋅恒成立？若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由；21. (本小题满分12分) 已知函数21()2ln 2f x ax x =-，a ∈R ． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）已知点(0,1)P 和函数()f x 图象上动点(,())M m f m ，对任意[1,]m e ∈，直线PM 倾斜角都是钝角，求a 的取值范围.请考生在第22、23三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲 己知抛物线2y x m =+的顶点M到直线:1x tl y =⎧⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数)的距离为1（1）求m ；（2）若直线l 与抛物线相交于B A ,两点，与y 轴交于N 点，求MAN MBN S S ∆∆-的值 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数1)(-=x x f ．（Ⅰ）解不等式6)3()1(≥++-x f x f ；（Ⅱ）若1,1<<b a ，且0≠a ，求证：)()(abf a ab f >．理科数学参考答案及评分标准二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13 14． 6π15．23π 16． 7254三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．【 解析】（1）由题意得sin()sin()4sin cos B A B A A A ++-=，即sin cos 2sin cos B A A A =，由cos 0A ≠时，得sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =，（3分）联立方程组2242a bab b a ⎧+=+⎨=⎩，，解得a=b =．所以ABC △的面积1sin 2S ab C ==．（6分） （2）若ABC △1sin 2ab C =4ab =． 联立方程组2244a b ab ab ⎧+=+⎨=⎩，，解得2a =，2b =，即A B =，又3C π=，故此时ABC △为正三角形，故2c =ABC ∆是边长为2的正三角形。
（10分）反之若ABC ∆是边长为2（12分）故ABC △ABC ∆是边长为2的正三角形。
18解：（1）证：连结1AC ，设1AC 与1AC 相交于点E ，连接DE ，则E 为1AC 中点，∵1//BC 平面1ACD ，DE =平面1ACD 平面1ABC ，∴1//DE BC ，∴D 为AB 的中点，又∵ABC ∆是等边三角形，∴CD AB ⊥，（2）因为222115AD A A A D +==，所以1A A AD ⊥，又1B B BC ⊥，11//B B A A ，所以1A A BC ⊥，又AD BC B = ，所以1A A ⊥平面ABC ， 设BC 的中点为O ，11B C 的中点为1O ，以O 为原点，OB 所在的直线为x 轴，1OO 所在的直线为y轴，OA所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系O xyz-.则111(1,0,0),((1,2,0)2C AD B-，即113((2,2,0)2CD CA CB===，设平面1DAC的法向量为1111(,,)n x y z=，由111n CDn CA⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩，得111113220x zx y⎧=⎪⎨⎪++=⎩，令11x=，得1(1,1,n=，设平面11ACB的法向量为2222(,,)n x y z=，由2121n CAn CB⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩，得2222220220x yx y⎧++=⎪⎨+=⎪⎩，令21x=，得2(1,n=-，∴121212cos,||||n nn nn n∙<>===19.解析如下：20. （1）将点的坐标代入22x py =，得22p =，所以22x y =，即212y x =. 求导得y x '=，所以点抛物线在点处的切线的方程为1y x -=，即1y =-.……1分在1y =-中，令0x =，得 1.y =-因此，椭圆C 的下顶点为(0,1)-.所以1b =.…………………………………………2分22212a b =+=.椭圆C 的标准方程为2212x y +=.…………………………………4分（2）设11(,)A x y 、22(,)B x y .因为1F 的坐标为(1,0)-，所以可设直线l 的方程为1x my =-.由22121x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去x ，并整理得22(2)210.m y my +--= 判别式0∆>恒成立. 由韦达定理，得12222m y y m +=+，12212y y m =-+.…………………………6分11||||F A F B BA -======221).2m m +=+ 因为11111(1,)(,)F A x y my y =+= ，12222(1,)(,)F B x y my y =+= . 所以22111221(1)2m F A F B m y y m +⋅=+=-+ .…………………………………………10分因此，存在λ=-1111||F A F B F A F B λ-=⋅恒成立.…………………12分21．解：（Ⅰ）由()1f x =得tx xxe e =，即(1)0x t x e-=>，()1f x ∴=无负实根．故有ln 1x t x =-．令ln ()x g x x =，21ln ()xg x x -'=， 由()0g x '>得0x e <<，由()0g x '<得x e >，()g x ∴在(0,)e 上单调递增，()g x 在(,+)e ∞上单调递减．max 1()()g x g e e ∴==，()g x ∴的值域为1(,]e-∞． 要使得方程()1f x =无实数根，则11t e ->，即11t e<-．（Ⅱ）(1)()+=[1]tx tx x tx t x f x e txe e e tx e -'=-+-，由题设，知对0,()0x f x '∀>≤恒成立．不妨取1x =，有1(1)(1)0t tf e t e -'=+-≤，而当1t ≥时，(1)0f '>，故1t <．① 当12t ≤，且0x >时，(1)22()=[1](1)2x xtx t x x f x e tx ee e -'+-≤+-． 而当0x >时，有1xe x >+，故2102xx e +-<．所以()0f x '<，所以()f x 在(0,)+∞内单调递减， 故当12t ≤时满足题意． ② 当112t <<时，1012t <-<，且11t t >-，即1ln 011tt t>--． 令(1)()1t xh x tx e -=+-，则(0)0h =．(1)(1)()(1)(1)1t x t x t h x t t et e t --⎡⎤'=--=--⎢⎥-⎣⎦． 当10ln 11t x t t <<--时，()0h x '>，此时，()(0)0h x h >=， 则当10ln 11t x t t <<--时，()0f x '>，故()f x 在1(0,ln )11t t t--单增， 与题设矛盾，不符合题意，舍去． 所以，当12t ≤时，函数()f x 是(0,)+∞内的减函数． 22.解析：（1）M(0，m),直线l10y -+=M 到直线l 的距离为112m -+=，解得3m =或-1 (2)直线与抛物线相交于A 、B 两点，故将直线l的一个标准参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 代入抛物线21y x =-得280t --=，故12t t +=又M 到直线的距离为1，MAN MBN S S ∆∆-12111||||22NA BN t t =⨯⨯-=⨯+=错误！未找到引用源。