13.1邻补角、对顶角

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§13.1邻补角、对顶角（教案）

§13.1邻补⾓、对顶⾓（教案）§13.1 邻补⾓、对顶⾓上海市实验学校东校吴其胜【教学⽬标】1.理解对顶⾓和邻补⾓的概念，能在图形中辨认．2.掌握对顶⾓相等的性质和它的推证过程．3.进⾏说理和表达的基本训练，初步感知形式推理的规则和过程．【教学重点】在较复杂的图形中准确辨认对顶⾓和邻补⾓．【教学难点】对顶⾓性质的证明．【教学流程】⼀、引⼊1.展⽰⼀张浦东新区局部地图.请同学们找⼀找：罗⼭路和张杨路在哪？（我们分别⽤两条直线AB、CD表⽰罗⼭路和张杨路，很显然他们是相交直线）2.两直线相交，有⼏个交点？3.为什么两条直线相交，只有⼀个交点？理由（反证法）：假如两条直线相交有两个交点，那么经过这两个交点就有了两条直线，这与“经过两点只有⼀条直线”相⽭盾.所以两条直线相交，只有⼀个交点，不可能有两个交点.于是我们⽤点O表⽰它们的交点.⼆、思考1.如图，直线AB与CD相交于点O，形成了哪⼏个⼩于平⾓的⾓？（答：形成了4个⼩于平⾓的⾓：∠1 、∠2 、∠3、∠4 ）2.四个⾓两两相配能组成⼏对⾓？各对⾓存在怎样的位置关系？（答：能组成六对⾓：∠1与∠2、∠2与∠3、∠3与∠4、∠4 与∠1、∠1与∠3 、∠2与∠4）下⾯我们⼀起来探索各对⾓存在怎样的位置关系？三、探索1.∠1与∠2的位置关系.⑴填空：∠1的顶点是，边是，∠2的顶点是，边是，它们有⼀个公共顶点是，⼀条公共边是，另⼀条边和互为反向延长线.我们把具有这种位置关系的两个⾓∠1、∠2叫做互为邻补⾓.⑵邻补⾓定义：①有⼀条公共边，它们的另⼀边互为反向延长线，具有这样位置关系的两个⾓叫做互为邻补⾓.②两条直线相交所得的四个⾓中，不仅有⼀个公共顶点，还有⼀条公共边的两个⾓叫做互为邻补⾓.问题1：图中还有没有其他的邻补⾓？答：有，它们是∠2与∠3 、∠3与∠4、∠4 与∠1 .注意1：邻补⾓是成对存在的，它们互为邻补⾓.⑶∠1与∠2的数量关系.问题2：∠1与∠2有什么数量关系呢？答：∠1+∠2=180° .类似的可以得到：∠2+∠3= ∠3+∠4= ∠4+∠1= 180°邻补⾓的性质：邻补⾓互补⑷互为邻补⾓与互为补⾓的区别与联系.答：互为邻补⾓包括两⾓之间的位置关系与数量关系，即：互为邻补⾓的两个⾓既“相邻”⼜“互补”；⽽互为补⾓仅指两⾓之间的数量关系，即：互为邻补⾓的两个⾓“互补”. 互为邻补⾓的两个⾓⼀定是互为补⾓，互为补⾓的两个⾓不⼀定是互为邻补⾓.2.∠1与∠3的位置关系.⑴填空：∠1的顶点是，边是，∠3的顶点是，边是，它们有⼀个公共顶点是，公共边，∠1的两边和∠3的两边都互为反向延长线.我们把具有这种位置关系的两个⾓∠1、∠3叫做互为对顶⾓.⑵对顶⾓定义：①有⼀个公共顶点，并且⼀个⾓的两边分别是另⼀个⾓的两边的反向延长线，具有这样位置关系的两个⾓叫做互为对顶⾓.②两条直线相交所得的四个⾓中，有⼀个公共顶点，没有公共边的两个⾓叫做互为对顶⾓.问题3：图中还有没有其他的对顶⾓？答：有，它们是∠2与∠4 .注意2：对顶⾓是成对存在的，它们互为对顶⾓.⑶∠1与∠3的数量关系.（猜想：∠1=∠3）已知：如图，直线AB、CD相交于点O.说明：∠1=∠3.说理：∵∠1与∠2、∠2与∠3分别是邻补⾓（已知）∴∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠3＝180°（邻补⾓意义）∴∠1＋∠2＝∠2＋∠3（等量代换）∴∠1＝∠3 （等量减等量，差相等）类似的可以说明：∠2＝∠4对顶⾓的性质：对顶⾓相等四、应⽤例1 如图，已知直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝50°.求∠BOD、∠AOD、∠BOC的度数．解：因为直线AB、CD相交于点O，所以∠BOD与∠AOC是对顶⾓，得：∠BOD＝∠AOC＝50°因为直线AB、CD相交于点O，所以∠AOD与∠AOC是邻补⾓，得：∠AOD＝180°－∠AOD＝180°－50°＝130°因为∠BOC与∠AOD是对顶⾓所以∠BOC＝∠AOD＝130°．例2 如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC．已知∠BOE=65°，求∠AOD、∠AOC的度数．解：因为OE平分∠BOC，所以∠BOE=∠COE＝65°得：∠BOC＝130°．因为直线AB、CD相交于点O，所以∠BOC与∠AOD是对顶⾓所以∠AOD＝∠BOC＝130°E65?OAD CB50?OAD CB⼜因为∠BOC与∠AOC是邻补⾓，所以∠AOC＝180°－∠BOC＝180°－130°＝50°五、反馈课本第40页，练习1、2、3六、⼩结1.今天你有何收获？2.总结邻补⾓和对顶⾓的特征、性质、相同点和不同点.七、作业1.《练习册》13.12.预习13.2.⼋、教学设计说明1．本节课的重点是对顶⾓的概念和性质，这些是重要的基础知识，在以后的学习中常常要⽤到，要求学⽣掌握．对顶⾓的概念是结合图形描述的.这样描述，便于学⽣在图形中辨认.教学中不必让学⽣背这些词句，⽽是让学⽣抓住概念的本质，教给学⽣在图形中如何辨认它们.辨认对顶⾓的要领是：⾸先要有两条直线相交构成四个⾓的前提条件，再找其中有公共顶点但没有公共边（或不相邻）的两个⾓，就是对顶⾓.2．因为本节是由相交线的模型——⽤罗⼭路与张杨路交叉来引⼊的.所以要事先准备好地图，先让学⽣观察地图，对相交线建⽴感性认识，然后再从提供的课件模型来引⼊本节课，激发学⽣的学习兴趣.3．本节课的内容适合启发式教学，教师先拿出相交线的模型，抽象出两条相交直线，再让学⽣观察四个⾓的特征，这四个⾓根据位置关系可以分⼏类，这两类⾓各有什么特征？这些问题都要由⽼师设问、启发，学⽣经过观察、分析、归纳总结出来，让学⽣⾃⼰亲历⼀次发现的过程，有利于学⽣对对顶⾓、邻补⾓的概念和性质的理解.。

【初中数学】相交线(1)邻补角与对顶角讲练课件 2023—2024学年人教版数学七年级下册

4. 如图，直线AB与CD相交于点O，若∠1＋∠2＝140°，则∠1＝_7_0__°，∠4＝_1_1_0__°.
利用邻补角与对顶角的性质求角度 5. 如图，直线AB，CD相交于点O，∠BOD＝40°，
OA平分∠COE，求∠DOE的度数．解：∵∠BOD＝40°，
∴∠AOC＝∠BOD＝40°， ∵OA平分∠COE， ∴∠COE＝2∠AOC＝80°，
同学们，再见！
பைடு நூலகம்
∴∠DOE＝180°－∠COE＝100°.
6. (2023·湛江霞山区一模)如图，直线AB，CD相交于点 O，OE是∠AOD的平分线，∠AOC＝26°，求∠AOE 的度数．
解：∵∠AOC＝26°， ∴∠AOD＝180°－∠AOC＝154°. 又∵OE是∠AOD的平分线， ∴∠AOE＝ 12∠AOD＝77°.
新人教版初中七年级数学下学期
第五章相交线与平行线
第1课相交线(1) 邻补角与对顶角
邻补角与对顶角的定义及性质
定义
图例性质几何语言
邻有一条公共边，另一补边互为反向延长线的角两个角
∵∠1与∠2 邻补角是邻补角，互__补___ ∴∠__1_＋__∠__2__
＝__1_8_0_°______
对有公共顶点，一角的顶两边与另一角的两边角互为反向延长线
对顶角 _相__等__
∵∠1与∠2 是对顶角， ∴∠__1_＝__∠__2__
1. 下列图形中，∠1与∠2互为邻补角的是
( D)
2. (2023·东莞月考)下列四个图形中，∠1与∠2是对顶角
的是
( B)
3. 如图，直线a，b相交于点O. (1)∠1的对顶角是_∠__3_，∠1的邻补角是_∠__2_，__∠__4___； (2)(2023·东莞月考)∠2＝140°，则∠1＝___4_0_°_，∠3 ＝__4_0_°__．

13.1邻补角、对顶角

例题3 如图，已知直线AB、CD相交于点O， ∠AOC=50°，求∠BOD，∠AOD，∠ BOC的度数.
A 50°
C
D
O B
例题4 如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分 ∠BOC，已知∠BOE=65°，求∠AOD，∠ AOC的度数.
C A
o
E
65°
B
D
同理可证：∠2= ∠4.
A
4
C
1
D
O
3
2
B
E
A 2
D
O C 1
例题2
B
如图，直线AB，CD相交于点O，∠BOE=90°， ∠AOD与∠BOC, ∠AOC与∠1 （1）图中的对顶角是_______________________; ∠AOD与∠BOC （2）∠1的邻补角是______________________; ∠AOC与∠1 （3）∠2的余角是____________概念：如图：∠1与∠3有一条公共顶点O，并且∠1的两边OA、OD分别与∠3的两边OB、OC互为反向延长线，具有这种关系的两个角叫做互为对顶角.
注：（1）对顶角是“两直线相交”所形成的“相对”的两个（2）上图中互为对顶角的角共2对，分别为： ∠1与∠3， ∠2与∠4. A 4
O B
C
2、问题：直线AB和CD相交，形成了四个小于平角的角，如图∠1，∠2，∠3，∠4，任取其中两个角，它们之间存在着怎样的位置关系和数量关系？
A
4
C
O
1
D
3
2
B
二、新课学习：
1、邻补角的概念：如图：∠1与∠2有一条公共边OD，它们的另外一条边为OA、OB互为反向延长线，具有这种关系的两个角叫做互为邻补角。注：（1）互为邻补角与互为补角的区别与联系：（2）如图中的互为邻补角共4对，分别为：∠1与∠2， ∠2与∠3， A ∠3与∠4， 1 4 ∠1与∠4。 C O 2 3

初中数学05-邻补角、对顶角及垂直-教师版

数学寒假班（教师版）邻补角、对顶角及垂线知识结构模块一：邻补角的意义和性质知识精讲1、平面上两条不重合直线的位置关系相交：两条直线有一个交点；平行：两条直线没有交点．2、邻补角的意义两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．3、邻补角的性质互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角．【例1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于一点O ，问一共可以构成多少对邻补角，并把他们写出来．【难度】★【答案】12对【解析】12对，AOE ∠和EOB ∠，AOE ∠和AOF ∠， AOC ∠和AOD ∠，AOC ∠和COB ∠，FOC ∠和FOD ∠，FOC ∠和EOC ∠，FOB ∠和AOF ∠，FOB ∠和EOB ∠，DOB ∠和DOA ∠，DOB ∠和COB ∠，EOD ∠和EOC ∠，EOD ∠和DOF ∠. 【总结】考察邻补角的定义．【例2】判断：（1）平面内两条直线的位置关系，不是相交就是平行；（）（2）平面内两条直线有交点，则这两条直线相交；（）（3）有一条边是公共边的两个角互为邻补角．（）（4）有两个角互为补角，并且有一条公共边，那么他们互为邻补角．（）【难度】★【答案】（1）（2）（3）（4）都是错误的．【解析】（1）错误．还有重合．（2）错误．有一个交点，则两直线相交；有无数个交点，则两直线重合．（3）错．两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，这种关系的两个角叫做互为邻补角．（4）错误．另一边不一定是互为反向延长线．【总结】考察直线与直线的位置关系和邻补角的定义．【例3】如图，∠AOD 的邻补角是__________．【难度】★【答案】AOC ∠，DOB ∠．【解析】考察邻补角的定义．【例4】如图，OC 平分∠AOB ，∠AOD =2∠BOD ，∠COD =28°，求∠AOC 的大小．【难度】★★【答案】︒=∠84AOC ．【解析】设x AOC =∠，则︒+=∠28x AOD ，x AOB 2=∠例题解析ABCDEFOABCDE FOABC D OOE D CBA∴()︒-=︒+-=∠-∠=∠28282x x x AOD AOB BOD ∵∠AOD =2∠BOD ，∴()︒-=︒+28228x x ，︒=84x 即︒=∠84AOC【总结】考察角度之间的关系计算．可以用方程思想来解决这一类问题．【例5】如图，直线a 、b 相交，∠1=40°，求∠2，∠3，∠4的度数．【难度】★★【答案】︒=∠=∠14042，︒=∠403．【解析】∵1∠与2∠为邻补角，1∠与3∠为对顶角，1∠与4∠为邻补角， ∴︒=∠=∠14042，︒=∠403．【总结】考察邻补角、对顶角的定义及简单的计算．【例6】如图所示，AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠AOD ，∠AOC=120°，求∠BOD ，∠AOE 的度数．【难度】★★【答案】∠BOD=120°，∠AOE=30°．【解析】∵AOC ∠和BOD ∠为对顶角，AOC ∠和AOD ∠为邻补角，∴︒=∠120BOD ，︒=∠60AOD ，∵OE 平分∠AOD ，∴︒=∠=∠3021AOD AOE ．【总结】考察邻补角、对顶角、角平分线的定义及在角度计算中的运用．【例7】同一平面上的任意三条直线，可以有__________个交点．【难度】★★★【答案】0或1或2或3 【解析】见下图【总结】考察图形的画法，注意不同情况的分类讨论．0个1个2个3个a b12 341、对顶角的意义两个角有公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种关系的两个角叫做互为对顶角． 2、对顶角的性质对顶角相等．【例8】下列说法中，正确的是()A ．有公共的顶点，且方向相反的两个角是对顶角B ．有公共顶点，且又相等的两个角是对顶角C ．由两条直线相交所成的角是对顶角D ．角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角【难度】★【答案】D 【解析】考察对顶角的定义【例9】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于一点O ，问一共可以构成多少对对顶角，并把他们写出来．【难度】★【答案】6对，见解析．【解析】AOE ∠和BOF ∠，DOE ∠和COF ∠，BOD ∠和AOC ∠，AOD ∠和BOC ∠， BOE ∠和AOF ∠，FOD ∠和EOC ∠．【总结】考察对顶角的定义．【例10】判断：（1）有公共顶点，且度数相等的两个角是对顶角．（）（2）相等的两个角是对顶角．（）【难度】★【答案】（1）（2）都错误．【解析】（1）错误，（2）错误．例题解析知识精讲模块二：对顶角的意义和性质ABCDEFO两个角有公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种关系两个角叫做互为对顶角．【总结】考察对顶角的定义．【例11】若∠1与∠2是对顶角，∠3与∠2互余，且∠3=60°，那么∠1=__________．若∠1与∠2是对顶角，且∠1与∠2互余，则∠1=__________，∠2=__________．【难度】★★【答案】（1）30°；（2）45°，45°．【解析】（1）∵21∠=∠，︒=∠+∠9023，∠3=60°，∴︒=∠301；（2）∵21∠=∠，︒=∠+∠9021，∴︒=∠=∠4521．【总结】考察对顶角的定义和互余的意义．【例12】如图，直线AB 、CD 交于点O ，则（1）若∠1+∠3=68度，则∠1=__________．（2）若∠2：∠3=4：1，则∠2=__________．（3）若∠2-∠1=100度，则∠3=__________．【难度】★★【答案】（1）34°；（2）144°；（3）40°．【解析】（1）∵31∠=∠，∠1+∠3=68度，∴︒=∠341；（2）∵︒=∠+∠18032，∠2：∠3=4：1，∴︒=∠1442；（3）∵︒=∠+∠18012，∠2-∠1=100度，∴︒=∠401，∴︒=∠403．【总结】考察邻补角、对顶角的性质及在角度计算中的运用．【例13】如图（1）所示，两条直线AB 与CD 相交成几对对顶角？（2）如图（2）所示，三条直线AB 、CD 、EF 相交呢？（3）试猜想n 条直线相交会成多少对对顶角？【难度】★★★【答案】见解析【解析】（1）两条直线AB 与CD 相交成2对对顶角；（2）三条直线AB 、CD 、EF 相交成6对对顶角；（3）因为3条不同直线相交所成的对顶角有3×2÷2×2=6对，4条不同直线相交所成的对顶角有4×3÷2×2=12对，则可找出规律得：n 条直线相交会成()()1221-=⨯÷-n n n n 对对顶角．321ODBCA【总结】考察对顶角的定义及根据数据特征找出规律，综合性较强．1、垂线的意义如果两条直线的夹角为直角，那么就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． 2、垂直的符号记作：“⊥”，读作：“垂直于”，如：CD AB ，读作“AB 垂直于CD ”．注：垂直是特殊的相交．3、垂直公理：在平面内，过直线上或直线外的一点作已知直线的垂线可以作一条，并且只能作一条．简记为：过一点，有且仅有一条直线与已知直线垂直 4、中垂线过线段中点且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线．5、垂线段的性质联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．6、点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离．如果一个点在直线l 上，那么就说这个点到直线l 的距离为零．【例14】判断：（1）经过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直．（）（2）两条直线的交点叫垂足．（）（3）线段和射线没有垂线．（）（4）两条直线不是平行就是互相垂直．（）（5）直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到直线的距离．（）【难度】★【答案】（1）正确；（2）错误；（3）错误；（4）错误；（5）错误．【解析】（1）正确；（2）错误，两条直线垂直时，交点叫垂足；（3）错误，任何的射线、线段、直线都有垂线；（4）错误，还有相交（角度不为90°）；（5）错误，直线外一点到例题解析知识精讲模块三：垂线(段)的意义和性质这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离．【总结】考察各种概念，注意仔细辨析．【例15】如图，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，垂足为点D ，那么点B 到线段CD 的距离是线段__________的长度；线段CD 的长度是点C 到线段__________的距离；线段AC 是点___________到线段__________的距离．【难度】★【答案】BD ；AB ；A ；CB ．【解析】考察点到直线的距离的作法．【总结】可以利用直尺来解决距离问题．【例16】下列选项中，哪个是直线l 的垂线（）【难度】★【答案】C【解析】考察垂线的画法，注意垂线是一条直线．【例17】如图，AC BC ⊥，垂足为C ，AC =4，BC =3，那么点A 与BC 的距离为______．【难度】★【答案】4【解析】点A 与BC 的距离为AC 的长度．【总结】考察点到直线的距离．【例18】如图，直线AB ，CD 交于点O ，OE ⊥AB ，:1:2AOC COE ∠∠=，则COE ∠=_________．【难度】★★【答案】60°．【解析】∵OE ⊥AB ，∴︒=∠90AOE ，∴︒=∠+∠90COE AOC∵:1:2AOC COE ∠∠=，∴︒=∠60COE 【总结】考察垂直的定义和角度的计算．AB C DEOAB CDABCDllllCABCMN【例19】作图题：1、已知直线AB 和点C ，过点C 做AB 的垂线；2、作线段MN 的中垂线．【难度】★★ 【答案】虚线为所求．【解析】考察垂线和中垂线的画法，注意垂线和中垂线都是直线．．【例20】 A 、B 两厂在公路同侧，拟在公路边建一货场C ，若由B 厂独家兴建，并考虑B 厂的利益，则要求货物离B 厂最近，请在图10中作出此时货场C 的位置，并说出这样做的道理．【难度】★★【答案】过B 作公路的垂线，垂足为C ；理由是垂线段最短【解析】考察垂线的画法．【总结】注意总结距离最短的画法．【例21】如图，已知OA ⊥OB ，OC ⊥OD ，BOC ∠比AOC ∠大20︒，则BOD ∠的度数为_______．【难度】★★ 【答案】35°．【解析】∵OA ⊥OB ，∴︒=∠90AOB ，即︒=∠+∠90BOC AOC∵︒=∠-∠20AOC BOC ，∴︒=∠55COB∵OC ⊥OD ，即︒=∠+∠90BOD COB ，∴︒=∠35BOD ．【总结】考察垂直的定义和角度的计算．【例22】如图，一棵小树生长时与地面成80°角，它的主根深入泥土，如果主根和小树在同一条直线上，那么∠2等于多少度? 【难度】★★【答案】10°．【解析】∵︒=︒+∠90801，21∠=∠，∴︒=∠102．NMCBAAB公路ABCDO【总结】考察垂直的定义和对顶角的性质．【例23】如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OE ⊥AB ，OB 平分∠DOF ，∠COF =47∠BOD ．求∠AOC 、∠EOD 、∠COE 的度数．【难度】★★【答案】70°，20°，160°．【解析】∵︒=∠180AOB ，DOB AOC ∠=∠，∠COF =47∠BOD ， ∴︒=∠=∠+∠+∠=∠180718DOB DOB COF AOC AOB ．∴︒=∠70DOB ∴︒=︒-︒=∠207090EOD ， ︒=∠=∠70DOB AOC ，︒=︒+︒=∠1607090COE ．【总结】考察角平分线的定义、角的计算、对顶角和邻补角的定义．【例24】如图，AOC ∠与BOC ∠是邻补角，OD 、OE 分别是AOC ∠与BOC ∠的平分线，试判断OD 与OE 的位置关系，并说明理由．【难度】★★★【答案】垂直，理由见解析．【解析】∵AOC ∠与BOC ∠是邻补角，∴︒=∠+∠180COB AOC∵OD 、OE 分别是AOC ∠与BOC ∠的平分线， ∴DOC AOC ∠=∠2，EOC BOC ∠=∠2∴︒=∠+∠18022EOC DOC ∴︒=∠+∠90EOC DOC ，即OE OD ⊥．【总结】考察邻补角和角平分线的定义、角度的计算，本题可总结为邻补角的角平分线互相垂直．【例25】下列结论不正确的是()A ．互为邻补角的两个角的平分线所成的角为90°B ．相等的两个角是对顶角C ．两直线相交，若有一个交角为90°，则这四个角中任取两个角都互为补角D ．同角的余角相等【难度】★【答案】B【解析】相等的两个角不一定是对顶角．【总结】考察邻补角、对顶角的定义．例题解析模块四：综合运用ABCD E FOACD E【例26】如图，AB 与CD 为直线，图中共有对顶角()．A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对【难度】★【答案】B【解析】AOC ∠和BOD ∠，BOC ∠和AOD ∠是对顶角．【总结】考察对顶角的定义．【例27】如图，运动会上，甲、乙两名同学测得小明的跳远成绩分别为DA =4.5米，DB =4.15米，则小明的跳远成绩应该为______米．【难度】★★ 【答案】4.15米．【解析】跳远成绩应用算垂直距离，所以D 到AB 的距离为DB 的长度．【总结】考察点到直线的距离在实际问题中的运用．【例28】如图所示，已知AB 、CD 相交于O 点，OE ⊥AB ，∠EOC =28°，则∠AOD =_______．【难度】★★【答案】62°．【解析】∵OE ⊥AB ，∴︒=∠90EOB ，即︒=∠+∠90BOC EOC ∵∠EOC =28°，∴︒=∠62BOC ，∴︒=∠62AOD 【总结】考察垂直的定义、角度的计算．【例29】如图，直线AD 和BE 相交于O 点，OC ⊥AD ，∠COE =70°，求∠AOB 的度数．【难度】★★【答案】20°【解析】∵OC ⊥AD ，∴︒=∠90COD ，即︒=∠+∠90EOD COE ∵∠COE =70°，∴︒=∠20BOC ，∴︒=∠20AOB 【总结】考察垂直的定义、角度的计算．【例30】如图，已知AB 、CD 、EF 相交于点O ，AB ⊥CD ，OG 平分∠AOE ，∠FOD ＝28°，求∠COE 、∠AOE 、∠AOG 的度数．【难度】★★【答案】28°，118°，59°．【解析】∵∠FOD ＝28°，∴︒=∠=∠28FOD COE∵AB ⊥CD ，∴︒=∠90AOD ，即︒=∠+∠90DOF AOF ∴︒=∠62AOF∵︒=∠+∠180AOF AOE ，∴︒=∠118AOEA BCD EFABDABCD E O28 ABCDEFGOA BCDE O∵OG 平分∠AOE ，∴︒=︒⨯=∠=∠591182121AOE AOG ．【总结】考察垂直和角平分线的定义、角度的计算，计算时注意角度之间的关系．【例31】已知直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，∠1：∠3=3：1，∠2=20°，求∠DOE 的度数．【难度】★★【答案】140°．【解析】∵︒=∠+∠+∠180321，∠1：∠3=3：1，∠2=20°，∴︒=∠︒=∠4031201，∴︒=∠+∠=∠=∠14021COF DOE【总结】考察邻补角、对顶角的定义和性质及在角度计算中的运用．【例32】如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠BOD ，且∠AOC =∠AOD －80°，求∠AOE 的度数．【难度】★★★【答案】155°．【解析】∵∠AOC =∠AOD －80°，︒=∠+∠180AOD AOC∴︒=∠︒=∠50130AOC AOD ，∵︒=∠50AOC ，∴︒=∠50DOB∵OE 平分∠BOD ，∴︒=∠=∠2521DOB DOE ∴︒=︒+︒=∠+∠=∠15525130DOE AOD AOE【总结】考察角平分线、邻补角、对顶角的定义和角度的计算，本题综合性较强，计算时注意观察角度之间的关系．【习题1】下列语句中正确的是（）A ．过直线AB 的中点且和AB 垂直的直线叫做中垂线 B ．过线段CD 的中点且和CD 垂直的直线叫做CD 的中垂线C ．和直线AB 相交且过A 点的直线是AB 的中垂线D ．和线段AB 相交且成90度的直线是AB 的中垂线【难度】★【答案】B【解析】直线没有端点，更没有中点【总结】考察中垂线的定义．【习题2】下列图中，∠1与∠2是对顶角的是（）随堂检测A B CD E F12 O3ABC DE OF E ODCBAFEOD C B AABCD【难度】★【答案】B 【解析】考察对顶角的定义【习题3】如图5，直线a ，b 相交，∠1=40°，则∠2=_______，∠3=_______，∠4=_______．【难度】★【答案】140°；40°；140° 【解析】考察邻补角、对顶角的定义．【总结】考察角度的计算．【习题4】如图，直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，∠BOE 的对顶角是______，∠COF 的邻补角是____，若∠AOE =30°，那么∠BOE =_______，∠BOF =_______ 【难度】★★【答案】AOF ∠，DOF ∠或COE ∠，150°，30°．【解析】考察邻补角、对顶角的定义【总结】考察角度的计算．【习题5】如图7，直线AB 、CD 相交于点O ，∠COE =90°，∠AOC =30°，∠FOB =90°，则∠EOF =________．【难度】★★ 【答案】150°．【解析】∵∠AOC =30°，∴︒=∠=∠30AOC BOD∵∠COE =90°，∴∠DOE =90°， ∴︒=∠-∠=∠60BOD DOE BOE∵∠FOB =90°，∴︒=∠+∠=∠150FOB EOB EOF 【总结】考察邻补角、对顶角的定义，考察角度的计算．【习题6】如图所示，AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠AOD ，∠AOC =120°，12121212a b123 4OE DCBA 求∠BOD ，∠AOE 的度数．【难度】★★ 【答案】120°，30°【解析】∵∠AOC =120°，︒=∠+∠180AOD AOC∴︒=∠60AOD ，∠BOD =∠AOC =120°，∵OE 平分∠AOD ，∴︒=∠=∠3021AOD AOE【总结】考察邻补角、对顶角、角平分线的定义，考察角度的计算．【习题7】如图所示，直线a ，b ，c 两两相交，∠1=2∠3，∠2=65°，求∠4的度数．【难度】★★ 【答案】32.5°．【解析】∵21∠=∠，∠2=65°，∴∠1=65°， ∵∠1=2∠3，∴∠3=32.5°，∴︒=∠=∠5.3234．【总结】考察对顶角性质、角度计算．【习题8】如图，直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，∠AOE =40°，∠BOC =2∠AOC ，求∠DOF ．【难度】★★ 【答案】20°．【解析】∵∠BOC =2∠AOC ，︒=∠+∠180AOC BOC∴︒=∠60AOC ∵∠AOE =40°，∴∠COE =20°， ∴︒=∠=∠20COE DOF【总结】考察对顶角性质、角度计算．【习题9】如图，已知∠2与∠BOD 是邻补角，OE 平分∠BOD ，OF 平分∠COE ，∠2∶∠1=4∶1，求∠AOF 的度数．【难度】★★★ 【答案】135°．【解析】设x =∠1，则x 42=∠∵OE 平分∠BOD ，∴x BOD 212=∠=∠∵︒=∠+∠1802BOD ，∴︒=+18024x x ，∴︒=30x ∵︒=∠+∠180COE DOE ，∴︒=∠150COE∵OF 平分∠COE ，∴︒=∠=∠7521COE COFABCDEF OABCDEF 21Ob ac 231 4∵︒=∠=∠60BOD AOC ，∴︒=︒+︒=∠+∠=∠1357560COF AOC AOF【总结】考察对顶角性质、角平分线定义、角度计算，本题综合性较强，可以利用方程的思想找到角度之间的等量关系．【习题10】已知点O 是直线AB 上一点，OC ，OD 是两条射线，且∠AOC =∠BOD ，则∠AOC 与∠BOD 是对顶角吗?为什么? 【难度】★★★ 【答案】见解析【解析】不一定．（1）如图1，当OC 、OD 在直线AB 的同侧时，∠AOC 与∠BOD 不是对顶角；（2）如图2，当OC 、OD 在直线AB 的两侧时，∠AOC 与∠BOD 是对顶角．【总结】考察对顶角的性质、邻补角的定义，注意分类讨论．【作业1】判断：（1）两个角开口相反且有公共点，则他们是对顶角（）（2）∠A 与∠B 互为邻补角，所以他们相等（）（3）∠1和∠2相等，并且他们有一条边在同一直线上，那么∠1=∠2=90°（）（4）同一平面内，两条不相交的直线，一定不会垂直（）（5）经过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直（）（6）同一平面内，点到直线的各条线段中，垂线段最短（）（7）邻补角一定是补角，补角不一定是邻补角（）【难度】★【答案】（1）错误；（2）错误；（3）错误；（4）正确；（5）正确；（6）正确；（7）正确．【解析】要熟悉邻补角、对顶角、垂直等概念【总结】考察邻补角的定义，对顶角的性质、垂直的定义．【作业2】如图所示AB ，CD 相交于点O ，EO ⊥AB 于O ，FO ⊥CD课后作业于O，∠EOD与∠FOB的大小关系是（）A．∠EOD比∠FOB大B．∠EOD比∠FOB小C．∠EOD与∠FOB相等D．∠EOD与∠FOB大小关系不确定【难度】★【答案】C【解析】∵EO⊥AB于O，∴︒∠90BOD+EODEOB，即︒∠90==∠∵FO⊥CD于O，∴︒+∠90BOD∠FOB=∠90=DOF，即︒∴∠EOD=∠FOB【总结】考察垂直的定义和角度计算．【作业3】如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，C，D是分别位于公路AB 两侧的加油站．设汽车行驶到公路AB上点M的位置时，距离加油站C最近；行驶到点N的位置时，距离加油站D最近，请在图中的公路上分别画出点M，N的位置并说明理由．【难度】★★【答案】【解析】理由是垂线段最短【总结】考察垂线段的性质．【作业4】如图，AOB为直线，∠AOD：∠DOB=3：1，OD平分∠COB．（1）求∠AOC的度数；（2）判断AB与OC的位置关系．【难度】★★【答案】（1）90°；（2）垂直．【解析】∵∠AOD：∠DOB=3：1，︒DOB∠180AOD=∠+∴︒135DOB∠45AOD，∠=︒=∵OD 平分∠COB ，∴︒=∠=∠45DOB COD ∴︒=∠-∠=∠90COD AOD AOC ，即OC AB ⊥ 【总结】考察邻补角的定义、角度计算．【作业5】若两个角互为邻补角，则它们的角平分线所夹的角为_________度．【难度】★★【答案】90°【解析】如图，∵AOC ∠与BOC ∠是邻补角，∴︒=∠+∠180COB AOC∵OD 、OE 分别是AOC ∠与BOC ∠的平分线， ∴DOC AOC ∠=∠2，EOC BOC ∠=∠2 ∴︒=∠+∠18022EOC DOC∴︒=∠+∠90EOC DOC ，即OE OD ⊥．【总结】考察邻补角和角平分线的定义、角度的计算．【作业6】作图：已知线段AB 及线段外一点P ．（1）过点P 作线段AB 的垂线；（2）画线段AB 的垂直平分线．【难度】★★【答案】（1）直线CD 为所求；（2）直线EF 为所求．【解析】考察垂线和中垂线的画法．【作业7】如图所示，这是某位同学在体育课上跳远后留下的脚印，他的跳远成绩是多少?（比例尺为1:100）【难度】★★ 【答案】4米【解析】测量得到脚印到起跑线之间的距离是4厘米，则可知实际距离为400厘米=4米．【总结】考察点到直线的距离和比例尺计算．【作业8】如图所示，直线a 、b 、c 相交，∠1=60°，∠2=23∠4，求∠3、∠5的度数． 1 A BP起跳线AC D E【难度】★★【答案】︒=∠1203，︒=∠905．【解析】∵∠1=60°，∴︒=∠=∠6012∵∠2=23∠4，∴︒=∠904∵︒=∠+∠18054，∴︒=∠905 ∵︒=∠+∠18032，∴︒=∠1203【总结】考察对顶角、邻补角的定义，角度计算．【作业9】如图，OD ⊥OC ，且2:13:2∠∠=，那么1∠=________，3∠=_______．【难度】★★【答案】1∠=60°，3∠=30°．【解析】∵OD ⊥OC ，∴︒=∠902∵2:13:2∠∠=，∴︒=∠601 ∵︒=∠+∠+∠180321，∴︒=∠303 【总结】考察垂直的定义、邻补角的定义．【作业10】如图，直线AB 、CD 、EF 交于点O ，DOB ∠是它的余角的2倍，2AOE DOF ∠=∠，且有OG OA ⊥，求EOG ∠的度数．【难度】★★★【答案】50°．【解析】∵DOB ∠是它的余角的2倍，DOB ∠加上它的余角等于90°∴︒=∠60DOB∵2AOE DOF ∠=∠，AOE BOF ∠=∠ ∴︒=∠=∠603DOB DOF ∴︒=∠20DOF ，︒=∠40BOF ∵OG OA ⊥，∴︒=∠-︒=∠5090BOF EOG ．【总结】考察余角、垂直的定义和角度的计算，本题综合性较强，涉及到的角度比较多，计算时分析清楚有效条件．A B CDO1 23 ABCDE FO。

对顶角

对顶角教学反思
李力波
本节课的重点是对顶角的概念和性质，这些是重要的基础知识，在以后的学习中常常要用到，要求学生掌握．对顶角的概念是结合图形描述的.这样描述，便于学生在图形中辨认.教学中不必让学生背这些词句，而是让学生抓住概念的本质，教给学生在图形中如何辨认它们.辨认对顶角的要领是：首先要有两条直线相交构成四个角的前提条件，再找其中有公共顶点但没有公共边（或不相邻）的两个角，就是对顶角.
2．因为本节是由相交线的模型——用钉子固定的两根木条来引入的.所以要事先准备好教具，先让学生观察模型，对相交线建立感性认识，然后再从模型抽象出两条相交直线.或用我们提供的课件来引入本节课，激发学生的学习兴趣.
3．本节课的内容适合启发式教学，教师可以先拿出相交线的模型，转动木条，观察角的变化，然后抽象出两条相交直线，再让学生观察四个角的特征，这四个角根据位置关系可以分几类，这两类角各有什么特征？这些问题都要由老师设问、启发，学生经过观察、分析、归纳总结出来，让学生自己亲历一次发现的过程，有利于学生对对顶角、邻补角的概念和性质的理解.
本节课的教学活动设计是建立在“以学生的发展为本，为学生的终身学习奠定基础”的教育理念上，融入了新课标的思想内涵，在重视对数学知识形成过程的发现和探究的同时，也十分重视对学生学习能
力的培养，学会了探究数学规律的方法：探求N条直线相交于一点时有多少组对顶角这一问题时，有学生用由特殊到一般的思考方式，也有运用知识的迁移，类比“握手”问题，将复杂图形基本化。

但不管怎样，可以看出学习本质上是一个经验积累的过程，要靠实践来逐步体会其中的意义。

另外，学生在面对较难问题时，要学会合作交流，学会理性地思考，因为在现代社会中，学会表达与交流尤为重要。

对顶角,垂直,同位角,内错角,同旁内角

对顶角、垂线、三线八角、邻补角一、基础知识点：1.在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行。

2.相交：在同一平面内，有一个公共交点的两条直线称为相交线。

3.邻补角：（1）定义：有公共顶点，且有一条公共边，另一条边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为邻补角。

（2）性质：位置——互为邻角数量——互为补角（两角之和为180°）4.对顶角：（1）定义：有一个公共顶点，并且有一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角（2几何语言：∵∠1+∠2=180°∠2+∠3=180°∴∠1=∠3（同角的补角相等）5、邻补角和对顶角的区别和联系注意：⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角。

⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。

1、如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，∠AOC ＝50°，求∠BOD 、∠AOD 、∠BOC 的度数.解：∵∠BOD 与∠AOC 是对顶角∴ ＝＝ °（）∵ 与是邻补角∴∠AOD ＝180°－∠AOC ＝180°－50°＝130° ∵ 与是对顶角∴∠BOC ＝∠AOD ＝130°（）2、如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠BOC.已知∠BOE=65°,求∠AOD 、50 OADCB∠AOC 的度数.【基础知识点】 6、垂线⑴定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

人教版七年级数学下册相交线,垂线(基础)知识讲解

相交线，垂线（基础）知识讲解【学习目标】1.了解两直线相交所成的角的位置和大小关系，理解邻补角和对顶角概念，掌握对顶角的性质；2.理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的定义及性质；3.理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离；4.能依据对顶角、邻补角及垂直的概念与性质，进行简单的计算.【要点梳理】知识点一、邻补角与对顶角1．邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．要点诠释：(1)邻补角的定义既包含了位置关系，又包含了数量关系：“邻”指的是位置相邻，“补”指的是两个角的和为180°．(2)邻补角是成对出现的，而且是“互为”邻补角．(3)互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角．(4)邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边，另一边互为反向延长线.2.对顶角及性质：（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角．（2）性质：对顶角相等．要点诠释：(1)由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角．(2)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.【高清课堂：相交线两条直线垂直】知识点二、垂线1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．要点诠释：⊥；(1)记法：直线a与b垂直，记作：a b直线AB和CD垂直于点O，记作：AB⊥CD于点O.(2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：∠=°判定90AOCCD⊥AB．性质2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．要点诠释：(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上．(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．3．垂线的性质：（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．要点诠释：（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性．（2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题．4．点到直线的距离：定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．要点诠释：（1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度．【典型例题】类型一、邻补角与对顶角1．如图所示，M、N是直线AB上两点，∠1＝∠2，问∠1与∠2，∠3与∠4是对顶角吗? ∠1与∠5，∠3与∠6是邻补角吗？【答案与解析】解：∠1和∠2，∠3和∠4都不是对顶角．∠1与∠5，∠3与∠6也都不是邻补角．【总结升华】牢记两条直线相交，才能产生对顶角或邻补角．举一反三：【变式】判断正误：（1）如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角. （）（2）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.（）(3)有一条公共边的两个角是邻补角. （）(4)如果两个角是邻补角，那么它们一定互补. （）(5)有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角是邻补角.（）【答案】(1)×（2）×（3）×（4）√（5）×，反例：∠AOC为120°，射线OB为∠AOC的角平分线，∠AOB与∠AOC互补，且有边公共为AO，公共顶点为O，但它们不是邻补角.2.如图所示，直线AB、CD相交于点O，∠1＝65°，求∠2、∠3、∠4的度数【答案与解析】解：∵∠1是∠2的邻补角，∠1＝65°，∴∠2＝180°－65°＝115°．又∵∠1和∠3是对顶角，∠2与∠4是对顶角∴∠3＝∠1＝65°，∠4＝∠2＝115°．【总结升华】 (1)两条直线相交所成的四个角中，只要已知其中一个角，就可以求出另外三角；(2)求出∠2后用“对顶角相等”，求∠3和∠4．举一反三：【变式】（2015•梧州）如图，已知直线AB与CD交于点O，ON平分∠DOB，若∠BOC=110°，则∠AON的度数为度．【答案】145．解：∵∠BOC=110°，∴∠BOD=70°，∵ON为∠BOD平分线，∴∠BON=∠DON=35°，∵∠BOC=∠AOD=110°，∴∠AON=∠AOD+∠DON=145°.3. 任意画两条相交的直线，在形成的四个角中，两两相配共能组成几对角?各对角存在怎样的位置关系？根据这种位置关系将它们分类．【答案与解析】解：如图，任意两条相交直线，两两相配共组成6对角，在这6对角中，它们的位置关系有两种：①有公共顶点，一边重合，另一边互为反向延长线；②有公共顶点，角的两边互为反向延长线．这6对角为∠1与∠2，∠1与∠3，∠1与∠4，∠2与∠3，∠2与∠4，∠3与∠4，其中∠1＝∠3，∠2＝∠4，∠1+∠2＝180°，∠3+∠4＝180°，∠1+∠4＝180°，∠2+∠3＝180°．在位置上∠1与∠3，∠2与∠4是对顶角，∠1与∠2，∠3与∠4，∠l与∠4，∠2与∠3是邻补角．【总结升华】两条相交的直线，两两相配共组成6对角，这6对角中有：4对邻补角，2对对顶角类型二、垂线4．下列语句中，正确的有 ( )①一条直线的垂线只有一条；②在同一平面内，过直线上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直；③两直线相交，则交点叫垂足；④互相垂直的两条直线形成的四个角一定都是直角．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【解析】正确的是：②④【总结升华】充分理解垂直的定义与性质.举一反三：【变式1】直线l外有一点P，则点P到直线l的距离是( ).A．点P到直线l的垂线的长度.B．点P到直线l的垂线段.C．点P到直线l的垂线段的长度.D．点P到直线l的垂线.【答案】C5.（2015•河北模拟）如图，已知点O在直线AB上，CO⊥DO于点O，若∠1=145°，则∠3的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°【答案】C．【解析】解：∵∠1=145°，∴∠2=180°﹣145°=35°，∵CO⊥DO，∴∠COD=90°，∴∠3=90°﹣∠2=90°﹣35°=55°.【总结升华】本题考查了垂线和邻补角的定义；弄清两个角之间的互补和互余关系是解题的关键．【高清课堂：相交线403101经典例题3】举一反三：【变式】如图, 直线AB和CD交于O点, OD平分∠BOF, OE ⊥CD于点O, ∠AOC=40 ,则∠EOF=_______.【答案】130°．6.（2016春•抚州校级期中）如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建在（）A．A点 B．B点 C．C点 D．D点【思路点拨】根据垂线段最短可得答案．【答案】A．【解析】解：根据垂线段最短可得：应建在A处，故选：A．【总结升华】此题主要考查了垂线段的性质，关键是掌握从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．举一反三：【变式】(1)用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条?(2)经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出几条?(3)经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画出几条?【答案】解：(1)能画无数条；(2)能画一条；(3)能画一条．。

沪教版七年级(下)数学第十三章相交线-平行线课课练及单元测试卷一和参考答案

数学七年级下第十三章相交线平行线13.1 邻补角、对顶角（1）一、选择题1、图中是对顶角的是( )A B C D2 如图，∠AOC的邻补角是( )A. ∠AODB. ∠BOCC. ∠AOD和∠BOCD. ∠AOE和∠COF第2题第4题3.下列说法中，正确的是（）A、有公共顶点，没有公共边的两个角是对顶角；B、相等的两个角是对顶角；C、如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；D、有公共顶点且和为180°的两个角为邻补角。

4. 如图，三条直线l1、l2、l3相交于点O，则∠1+∠2+∠3= （）A、270°B、180°C、120°D、90°5、平面上三条直线两两相交最多能构成对顶角的对数是（）A、6B、8C、10D、46、已知∠1与∠2是邻补角，∠2是∠3的邻补角，那么∠1与∠3的关系是（）A、相等但不是对顶角B、邻补角C、互补但不是邻补角D、对顶角7. 三条直线相交于同一点时，对顶角有m对，相交于不同三点时，对顶角为n对，则m与n的关系是（）A、m=nB、m>nC、m<nD、m+n=10二、填空题8. 平面内两条直线相交有个交点，三条直线相交可能有个交点，四条直线相交可能有个交点，五条直线相交最多有个交点。

9、如图，直线AB、CD相交于O点，∠AOE＝90°。

∠1和∠2互为______角；∠2和∠4互为______角，∠1和∠3互为_______角。

10、如图，∠2=∠3，∠1=65°，则∠4= ，∠5= 。

11、如图，三条直线AB、CD、EF相交于点O，∠1=62°，∠2=50°，则∠COE= ，∠DOE= , ∠AOE= 。

第9题第10题第11题第12题12．如图，三条直线交于同一点，∠1：∠2：∠3=3：5：2，则∠4=___ ______．三、简答题13、如图，直线ABCDEF都经过O点，∠AOC =38°，∠COE=54°，求∠EOB、∠BOC、∠DOF、∠COF和∠FOA的度数。

邻补角,对顶角,垂线

邻补角，对顶角,垂线★知识精要1.邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角叫做互为邻补角。

2.对顶角：两个角有公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种关系的两个角叫做互为对顶角。

3.对顶角的性质：对顶角相等。

4.等角（同角）的补角（余角）相等。

5.两条直线相交形成四个小于平角的角，其中不大于直角的角叫做两条直线的夹角.如果两条直线的夹角为锐角，那么就说这两条直线互相斜交；如果两条直线的夹角为直角，那么就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

6.垂线的基本性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（1）过直线上一点作已知直线的垂线（2）过直线外一点作已知直线的垂线（3）作已知线段的中垂线（过线段中点且垂直于这条线段的直线）7.联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.8.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离。

如果一个点在直线l上，那么就说这个点到直线l的距离为零.【热身练习】1.若点O是直线AB上的一点，AB⊥OD,OC⊥OE,则图中互余的角有（）A.3对B.4对C.5对D.6对2.下列说法中错误的个数是 ( )（1）一个角的邻补角只有一个（2）一个角的邻补角一定大于这个角（3）如果两个角互为邻补角，则两个角必定一个是锐角，一个是钝角（4）钝角的邻补角一定为锐角A.1个B.2个C.3个D.4个3.下列说法中正确的是（）A.因为对顶角相等，所以相等的角是对顶角B.互为对顶角的两个角度数之和不会超过1800C.有着公共顶点的两个角不一定是对顶角D.有一条公共边的两个角是邻补角4.画一条线段的垂线，垂足在（）A.线段上B.线段的端点C.线段的延长线上D.以上都有可能5.点到直线的距离是指这点到这条直线的（）A.垂线段B.垂线的长C.长度D.垂线段的长6.下列语句正确的是（）A.直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离B.直线外一点与直线上的各点连接的所有线段中，垂线最短C.平分线段的直线只有一条D.在平面内过一点有且只有一条直线垂直于已知直线7.下列作图语句正确的是（）A.作直线MN的中垂线B.过点P作线段AB的垂直平分线C.过点O 作OC⊥直线AB,点C为垂足D.过点P作直线PQ,使它平分线段AB8.若点A在直线l外，点B在直线l上，AB两点之间的距离记作a, 点A到直线l的距离记作b，则a和b之间大小关系是（）A. a＜bB. a＞bC. a≤bD. a≥b9.若点P到直线l的距离为3，则直线l上到点P 距离为4的点的个数为（）A.0个B.1个C.2个D.3个10.若点A,B分别位于直线l的两侧，点A到直线l的距离为5cm，点B到直线l的距离为8cm，则AB两点间的距离（）A.等于13cmB.大于13cmC.不小于13cmD.小于13cm11.两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判定两条直线垂直的是（）A.有两个角相等B.有两对角相等C.有三个角相等D.有四对角相等12.两个角的角平分线互相垂直，则（）A.这两角互补B.这两角互为对顶角C.这两角都是直角D.这两角为邻补角13.点P为直线m外一点，点A,B,C为直线m上的三点，PA=4cm，PB=5cm，PC=2cm，则点P 到直线m的距离为（）A.4cmB.2cmC.小于2cmD.不大于2cm14.如图所示，能表示点到直线（线段）的距离的线段有（）A.2条B.3条C.4条D.5条15.两条直线相交，有对对顶角，对邻补角；三条直线相交，有对对顶角，对邻补角；四条直线相交，有对对顶角，对邻补角；由此可见，n条直线相交，有对对顶角，对邻补角.16.如图，∠ACB=900，CD⊥AB,垂足为D,那么点A到线段BC的距离是线段的长度，线段CD的长度是点到的距离.17.自钝角的顶点引它的一边的垂线，把这两个角分成两个角，它们的度数比是1：2，则这个钝角的度数是18.如图，直线MN,PQ交于点O,OE⊥PQ于点O,OQ平分∠MOF,若∠MOE=450，则∠NOE= , ∠NOF= , ∠PON=【精解名题】一、简答题：1.如图，已知直线AB,CD,EF相交于点0，∠1=950，∠2=320，则∠BOE的度数2.如图，已知：∠AOC=900，∠BOD=900, ∠BOC比∠AOB少100，求∠COD的补角的度数3.如图，已知：∠AOC=900，∠BOD=900, ∠AOD=3∠BOC,求∠BOC的度数4.如图，直线AB,CD相交于点O,OE⊥AB,且∠DOE=3∠COE,求∠AOD的度数5.如图所示，直线AB,CD,EF交于点O,OG平分∠BOF,且CD⊥EF, ∠AOE=700,求∠DOG的度数二、作图题：，画出BC边上的高和AB边上的中垂线1.（1）如图，已知ABC（2）如图，分别过点M,N画出OA,OB的垂线2.如图，一辆汽车在笔直的公路AB 上由A 向B 行驶，M,N 分别是位于公路AB 两侧的村庄（1）设汽车行驶到公路AB 上点P 的位置时，距离村庄M 最近，行驶到点Q 位置时，距离村庄N 最近，请在图中的AB 上分别画出点P,Q 的位置（2）当汽车从A 出发向B 行驶时，在公路AB 的哪一段上距离M,N 两村庄都越来越近？在哪一段路上距离村庄N 越来越近，而离村庄M 越来越远？三、简答计算：1.如图所示，射线OA,OB,OC,OD 有公共端点O,且OA ⊥OB,OC ⊥OD, ∠AOD=45∠BOC,求∠BOC 的度数.2.如图，已知直线AB，CD交于点O,OE平分∠BOD, ∠3：∠2=8:1，求∠AOC的度数3.如图，直线AB,CD,EF和GH相交于点P,且∠APC=250，∠EPG=250 ，∠BPF=650 ，问哪些直线互相垂直？4.如图，两直线AB,CD相交于点O,OE平分∠BOD,如果∠AOC: ∠AOD=7:11. (1)求∠COE (2)若OF⊥OE, ∠AOC=700，求∠COF5.如果∠1和∠2有公共顶点，且∠1的两边分别垂直于∠2的两边，则∠1和∠2的关系是什么？。

七年级上册知识点知识梳理

初中知识梳理第九章9.1字母表示数字母可以表示任意数，也可以表示特意的公式，还可以表示符合条件的某一个数，甚至可以表示具有某些规律的数。

（2a ´ 写成2a ）9.2代数式用运算符号和括号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式（单独的一个数或者一个字母也是代数式）9.3代数式的值用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结构叫做代数式的值9.4整式单项式：由数与字母的积或字母与字母的的积所组成的代数式系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数多项式：由几个单项式的和所组成的代数式项:在多项式中的每一个单项式叫做这个多项式的项常数项：不含字母的项多项式的次数：次数最高项的次数就是这个多项式的次数整式：单项式，多项式统称为整式9.5合并同类项同类项：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项（把相同项的系数相加作为合并后的系数，字母和字母的指数不变）几项式：一个多项式合并后含有几项9.6整式的加减去括号法则：括号前是“+”不变号，括号前是“-”括号内多要变号()()a b c d a b c d a b c d a b c d++-=++--+-=--+ 9.7同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变。

指数相加n m n m a a a += （m ,n 都是正整数）9.8幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘即()m n mn a a = （m ,n 都是正整数）9.9积的乘方法则：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即()n n n ab a b = （n 都是正整数）9.10整式的乘法单项式与单项式相乘：系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式单项式与多项式相乘：用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加，如：()p q b bp bq +=+多项式与多项式相乘：先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

七年级对顶角知识点

七年级对顶角知识点对顶角是初中数学里一个非常重要的概念，它是数学知识体系中的基础概念，并且在以后的学习中也会频繁地出现。

本文旨在介绍和探究七年级的对顶角知识点，希望对初学者有所帮助。

一、概念解释对顶角是指两个角顶点之间连一条线段，使得这条线段把这两个角分成的两个小角度数相等，我们称这两个小角为对顶角。

二、特点与性质1. 对顶角具有相等性质：即对顶角的两个小角度数相等。

2. 对顶角的两个小角互补：对于一个直角，由于其两个对顶角的小角之和为90°，所以它的两个对顶角互补。

3. 对顶角具有平行性质：当两直线平行时，同侧的内角互补，即任意一内角与其对顶角之和等于180度。

4. 对顶角与同旁内角是邻补角：对于同一直线上两个点A、B 和其中一个点C，∠ACB与∠C同侧的一个内角的度数之和等于180°，也就是说，∠ACB与其邻近的同侧内角补角相等。

三、解决问题的方法1. 把题目中所涉及到的角按对顶角分成两个小角，然后用小学学过的角的运算方法完成。

2. 根据对顶角互补或邻补的性质解决问题。

3. 对于涉及到平面图形的问题，可以通过画图的方式来解决，把问题转换成角分解的形式更为简便。

四、经典例题例1：已知∠ABC=100°，求∠CBD及∠ABD的度数。

解：由对顶角定义可知，∠CBD=∠ABD=（180-100）/2=40°。

例2：图中，AD∥BC，∠ACE=70°，求∠DBC的度数。

解：由对顶角性质得，∠ACE与∠DBC为补角，且AD∥BC，∠ACE=70°，所以∠DBC=90°-70°=20°。

例3：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=20°，D为BC上一点，连接AD、CD，求∠ACD的度数。

解：由对顶角性质得，∠ABC=∠ACB=80°，∠CAD=∠ABD=(180-80)/2=50°，因此∠ACD=∠ACB-∠BCD=80°-50°=30°。

沪教版(上海)数学七年级第二教学设计：13.1邻补角、对顶角

4.创设生活化的情境问题，让学生在实际问题中运用邻补角和对顶角的知识，体会数学与生活的紧密联系，提高学生解决问题的能力。
-设想情境：利用学校操场或教室内的布局，设计实际问题，如测量角度、计算距离等。
5.教学过程中，注重启发式教学，引导学生主动探索，鼓励学生提出问题和解决问题，培养学生的创新思维。
-设想策略：采用提问、讨论、展示等多种方式，激发学生的思考，教师适时给予指导和反馈。
4.教育学生学会尊重他人，善于倾听他人的意见，培养学生的合作精神和社会责任感。
在教学过程中，教师应充分关注学生的学习需求，结合学生的实际情况，灵活运用多种教学方法和策略，以确保教学目标的达成。同时，注重培养学生的几何思维能力和解决问题的能力，为学生的终身发展奠定基础。
二、学情分析
七年级的学生已经在之前的数学学习中，掌握了基本的几何概念和性质，具备了一定的几何直观和逻辑推理能力。在此基础上，学生对邻补角和对顶角的学习将更加深入地理解几何图形之间的关系。然而，由于邻补角和对顶角的概念较为抽象，学生可能在学习过程中遇到理解上的困难，需要教师在教学过程中给予关注和引导。
4.能够运用邻补角和对顶角的知识，解决一些基本的几何问题，如角度的计算、线段长度的求解等。
（二）过程与方法
1.通过观察、实践、讨论等教学活动，培养学生发现、提出、分析和解决问题的能力。
2.引导学生运用直观感知和逻辑推理相结合的方法，探索邻补角和对顶角的性质，提高学生的几何直观和逻辑思维能力。
3.设计丰富的例题和练习题，帮助学生巩固所学知识，提高学生的解题技巧和策略。
2.学生分组讨论，分享自己的观察和发现。在此过程中，教师巡回指导，引导学生用几何语言进行准确表述，培养学生的表达能力和逻辑思维。
3.各小组汇报讨论成果，教师点评并总结。通过讨论，使学生加深对邻补角和对顶角性质的理解，为解决实际问题奠定基础。

初中求角度的方法总结

初中求角度的方法总结
在初中数学中，角度的求解是几何部分的基础内容。

掌握各种求角度的方法，对于提高解题能力和几何思维具有重要意义。

本文将对初中阶段常见的求角度方法进行总结，希望能帮助同学们巩固知识，提高解题技巧。

一、直接求解法
1.利用已知角度：在图形中，如果已知某些角度，可以直接利用这些角度求解其他未知角度。

2.利用角度和定理：如三角形内角和定理（三角形内角和为180°），四边形内角和定理（四边形内角和为360°）等。

二、对顶角与邻补角法
1.对顶角：两个角互为对顶角，它们的度数相等。

2.邻补角：两个角互为邻补角，它们的度数之和为180°。

三、平行线性质法
1.同位角相等：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。

2.内错角相等：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。

3.同旁内角互补：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角之和为180°。

四、相似三角形法
1.利用相似三角形的性质：如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等。

2.利用相似三角形的判定：如AA相似判定、SAS相似判定等。

五、圆周角定理法
圆周角定理：圆周角等于其所对的圆心角的一半。

六、综合应用法
在实际问题中，可能需要综合运用以上多种方法来求解角度。

例如，在复杂的图形中，可能需要利用平行线性质、相似三角形法、圆周角定理等多种方法。

总结：初中求角度的方法多种多样，同学们需要熟练掌握各种方法，并能灵活运用。

在解题过程中，注意观察图形特点，结合已知条件，选择合适的方法进行求解。

沪教新版七年级下学期中考题同步试卷：13.1 邻补角、对顶角(01)

C．140° ）
A．
B．
D．130°
C．
D．
4．已知∠α 和∠β 是对顶角，若∠α＝30°，则∠β 的度数为（
A．30°
B．60°
C．70°
5．下列图形中，∠1 与∠2 是对顶角的是（）
） D．150°
A．
B．
第1页（共4页）
C．
D．
6．如图，图中∠α 的度数等于（115°
第3页（共4页）
沪教新版七年级（下）中考题同步试卷：13.1 邻补角、对顶角（01）
参考答案
一、选择题（共 8 小题） 1．B； 2．A； 3．B； 4．A； 5．C； 6．A； 7．C； 8．B；二、填空题（共 8 小题） 9．对顶角相等； 10．50°； 11．50； 12．40°； 13．50； 14．80； 15．145； 16．20°；
度．
14．如图，直线 AB 和 OC 相交于点 O，∠AOC＝100°，则∠1＝
度．
15．如图，已知直线 AB 与 CD 交于点 O，ON 平分∠DOB，若∠BOC＝110°，则∠AON 的
度数为
度．
16．如图，直线 AB 和 CD 相交于点 O，OE 平分∠DOB，∠AOC＝40°，则∠DOE＝
度．
．
D．∠1 和∠5
10．如图，直线 a 和直线 b 相交于点 O，∠1＝50°，则∠2＝
．
第2页（共4页）
11．如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O，∠AOD＝50°，则∠BOC＝
°．
12．如图，直线 AB、CD 相交于点 O，若∠BOD＝40°，OA 平分∠COE，则∠AOE＝
．
13．如图，直线 a、b 相交于点 O，∠1＝50°，则∠2＝

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A
C
O 65 E
而∠BOC与∠AOC是邻补角，所以∠AOC＝180°－∠BOC＝－130°＝50°
巩固练习：P41书后练习2、3
课堂小结 :
角的名称特征性质相同点都是两直线相交而成的角，都有一个公共顶点，它们都是成对出现。不同点对顶角没有公共边而邻补角有一条公共边；两条直线相交时，一个角的对顶角有一个，而一个角的邻补角有两个。 ①两条直线相交而成的角邻补 ②有一个公共顶角互点补 ③有一条公共边 ①两条直线相交而成的角 ②有一个公共顶点 ③没有公共边对顶角相等
找一找：图中还有没有对顶
角，如果有，是哪两个角？
∠2与∠4
反馈练习：P40
书后练习13.1(1)
提问：对顶角的性质是什么呢？
观察所得：∠1＝∠3，∠2＝∠4
理论证明对顶角性质：
因为∠1＋∠2＝180°（邻补角的意义） ∠2＋∠3＝180°（邻补角的意义）
所以∠1＋∠2＝∠2＋∠3（等量代换）
所以∠1＝∠3（等量减等量，差相等）
例二：如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC. 已知∠BOE=65°,求∠AOD、∠AOC的度数. 解：因为OE平分∠BOC，所以∠BOE=∠COE＝65° 得∠BOC＝130°. 因为直线AB、CD相交于点O，所以∠BOC与∠AOD是对顶角，所以∠AOD＝∠BOC＝130°
D B
邻补角
对顶角
对顶角的性质：对顶角相等。
例题讲解：
例一：如图，已知直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝50°，求∠BOD、∠AOD、∠BOC的度数。
解：因为直线AB、CD相交于点O，所以∠BOD与∠AOC是对顶角，得： ∠BOD＝∠AOC＝50°
D A 50 O
C
因为直线AB、CD相交于点O，所以 ∠AOD与∠AOC是邻补角，得： ∠AOD＝180°－∠AOC＝ 180°－50°＝130° B 因为∠BOC与∠AOD是对顶角，得： ∠BOC＝∠AOD＝130°
一、创设情境
观察：取两根木条，将它们用一枚钉子钉在一起。把这两根木条看作两条直线，用一枚钉子钉起来就相当于两条直线相交。
A D O
C
B
另外我们知道：两条直线相交，只有一个交点，不可能有2个交点。
观察：
下图中AB与CD相交，形成了4个小于平角的角： ∠1、∠2、∠3、∠4，如果任取其中2个角，它们之间存在怎样的位置关系和数量关系？
A 1 2 4
得到：∠ １和∠ ２有一
D
O 3
C B
条公共边＿＿， OA 它们的另一边OD、OC互为反向延长线，具有这种关系的两个角是互为邻补角。（相加＝180°）找一找：图中还有没有其他邻
补角，如果有，是哪些角？
邻补角：
∠1与∠2、∠2与∠3、∠3与∠4、∠4与∠1
思考1：互为邻补角和互为补角有什么区别呢？
“互为邻补角”包括两角之间的位置关系和数量关系两个方面的要求，而“互为补角”仅指两角之间的数量关系。
思考2：∠1和∠3是邻补角吗？为什么？
还可得到：∠1与∠3 有公共顶点O，而没有公共边，
其中∠1的两边OA、OD是∠3的两边OB、OC的反向延长线，具有这种关系的两个角叫做对顶角。
A 1 2 O 3 C B 4 D

13.1邻补角、对顶角

§13.1邻补角、对顶角（教案）

【初中数学】相交线(1)邻补角与对顶角讲练课件 2023—2024学年人教版数学七年级下册

13.1邻补角、对顶角

初中数学05-邻补角、对顶角及垂直-教师版

对顶角

对顶角,垂直,同位角,内错角,同旁内角

人教版七年级数学下册相交线,垂线(基础)知识讲解

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沪教版七年级(下)数学第十三章相交线-平行线课课练及单元测试卷一和参考答案

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七年级对顶角知识点

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