考研同济五版《线性代数》习题解读(三)

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线性代数同济第五版课后习题答案详解

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第一章行列式
(3) 逆序数为 5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1.
(4) 逆序数为 3: 2 1, 4 1, 4 3.
(5)
逆序数为
n(n−1) 2
:
3 2...........................................................................1 个 5 2, 5 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 个 7 2, 7 4, 7 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 个 .................................................................................. (2n − 1) 2, (2n − 1) 4, (2n − 1) 6, . . . , (2n − 1) (2n − 2). . . . . . . . . . . . . .(n − 1) 个
(2)
abc
b c a = acb + bac + cba − bbb − aaa − ccc = 3abc − a3 − b3 − c3.

同济大学数学系《工程数学—线性代数》(第5版)【教材精讲+考研真题解析】讲义与视频课程-矩阵的初等变

第3章矩阵的初等变换与线性方程组[视频讲解]3.1本章要点详解本章要点■初等变换的概念与性质■矩阵之间的等价关系■初等变换与矩阵乘法的关系■初等变换的应用■矩阵的秩■线性方程组的解重难点导学一、矩阵的初等变换1．初等变换下面三种变换称为矩阵的初等行变换：(1)对调两行（对调i，j两行，记作r i↔r j）；(2)以数k≠0乘某一行中的所有元（第i行乘k，记为r i×k）；(3)把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元上去（第j行的k倍加到第i行上，记作r i＋kr j）．把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义，矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换．2．矩阵等价(1)定义①若矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B，就称矩阵A与B行等价，记作；②若矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B，就称矩阵A与B列等价，记作；③若矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B，则称矩阵A与B等价，记作A～B．（2）矩阵之间的等价关系的性质①反身性A～A；②对称性若A～B，则B～A；③传递性若A～B，B～C，则A～C．（3）矩阵的类型①两个矩阵，矩阵B4和B5都称为行阶梯形矩阵.行阶梯形矩阵B5又称为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一个非零元为1，且非零元所在的列的其他元素都为0．结论：对于任何非零矩阵A m×n总可经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵．②标准形矩阵F称为矩阵B的标准形，其特点是：F的左上角是一个单位矩阵，其余元素全为0．对于m×n矩阵A，总可经过初等变换（行变换和列变换）把它化为标准形此标准形由m，n，r三个数完全确定，其中r就是行阶梯形矩阵中非零行的行数．所有与A 等价的矩阵组成一个集合，标准形F 是这个集合中形状最简单的矩阵．3．初等变换与矩阵乘法的关系（1）定理设A 与B 为m ×n 矩阵，则：①的充分必要条件是存在m 阶可逆矩阵P ，使PA ＝B ；②的充分必要条件是存在n 阶可逆矩阵Q ，使AQ ＝B ；③A ～B 的充分必要条件是存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q ,使PAQ ＝B ．（2）初等矩阵由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵．（3）性质①设A 是一个m ×n 矩阵，对A 施行一次初等行变换，等价于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，等价于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵．②方阵A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵P 1，P 2，…P l ，使A ＝P 1P 2…P l ．③方阵A 可逆的充分必要条件是.4．初等变换的应用当||0A ≠时,由12l A PP P = ,有11111l l P P P A E ----= 及111111l l P P P E A -----= 所以()()()1111111111111111|||l l l l l l P P P A E P P P A P P P E E A -------------== 即对n ×2n 矩阵()|A E 施行初等行变换，当把A 变成E 时，原来的E 就变成A -1．二、矩阵的秩1．秩的定义（1）k阶子式在m×n矩阵A中，任取k行与k列（k≤m，k≤n），位于这些行列交叉处的k2个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式．注：m×n矩阵A的k阶子式共有个．（2）矩阵的秩设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有r＋1阶子式（如果存在的话）全等于0，则D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R（A）．注：零矩阵的秩等于0．（3）最高阶非零子式由行列式的性质可知，在A中当所有r＋1阶子式全等于0时，所有高于r＋1阶的子式也全等于0，因此把r阶非零子式称为最高阶非零子式，而A的秩R（A）就是A的非零子式的最高阶数．（4）满秩矩阵与降秩矩阵可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数，不可逆矩阵的秩小于矩阵的阶数．因此，可逆矩阵又称满秩矩阵，不可逆矩阵（奇异矩阵）又称降秩矩阵．（5）等价矩阵的秩①若A～B，则R(A)=R(B).②若可逆矩阵P，Q使PAQ＝B，则R(A)＝R(B)．2．秩的性质（1）0≤R(A m×n)≤min{m，n}（2）R(A T)=R(A)；（3）若A～B,则R(A)=R(B)；（4）若P、Q可逆，则R(PAQ)=R(A)；（5）max{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)+R(B)特别地，当B＝b为非零列向量时，有R(A)≤R(A，b)≤R(A)＋1；（6）R(A＋B)≤R(A)＋R(B)；（7）R(AB)≤min{R(A)，R(B)}；（8）若A m×n B n×l＝0，则R(A)＋R(B)≤n.3．满秩矩阵矩阵A的秩等于它的列数，称这样的矩阵为列满秩矩阵．当A为方阵时，列满秩矩阵就成为满秩矩阵．4.结论（1）设A为n阶矩阵，则R(A＋E)＋R(A－E)≥n．（2）若A m×n B n×l＝C，且R(A)＝n，则R(B)＝R(C).。

工程数学线性代数(同济大学第五版)课后习题答案【精品223页PPT

工程数学线性代数(同济大学第五版)课后习题答案【精品
61、辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏。 62、奇文共欣赞，疑义相与析。
63、暧暧远人村，依依墟里烟，狗吠深巷中，鸡鸣桑树颠。 64、一生复能几，倏如流电惊。 65、少无适俗韵，性本爱丘山。
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
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线性代数(同济版) 课后习题答案第三章

第三章矩阵的初等变换与线性方程组1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：(1) −−340313021201; (2) −−−−174034301320;(3) −−−−−−−−−12433023221453334311; (4) −−−−−−34732038234202173132.解 (1) −−3403130212011312)3()2(~r r r r −+−+−−−020*********)2()1(32~−÷−÷r r −−01003100120123~r r −−−300031001201 33~÷r −−100031001201323~r r +−1000010012013121)2(~r r r r +−+100001000001(2)−−−−174034301320 1312)2()3(2~r r r r −+−+×−−−310031001320 21233~r r r r ++ 000031001002021~÷r000031005010(3)−−−−−−−−−12433023221453334311 141312323~r r r r r r −−−−−−−−−−−1010500663008840034311 )5()3()4(432~−÷−÷−÷r r r−−−−−221002210022*******12423213~rr r r r r −−−−−−0000000000221003211(4)−−−−−−34732038234202173132 242321232~r r r r r r −−−−−−−−1187701298804202111110 141312782~r r r r r r −−+−−4100041000202011111034221)1(~r r r r r −−×↔−−−−0000041000111102021 32~r r +−−00000410003011020212．在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的1−r 阶子式?有没有等于0的r 阶子式?解在秩是r 的矩阵中,可能存在等于0的1−r 阶子式,也可能存在等于0的r 阶子式.例如，=00000000010000100001α3)(=αR 同时存在等于0的3阶子式和2阶子式.3．从矩阵A 中划去一行得到矩阵B ,问B A ,的秩的关系怎样? 解 )(A R ≥)(B R设r B R =)(，且B 的某个r 阶子式0≠D r .矩阵B 是由矩阵A 划去一行得到的，所以在A 中能找到与D r 相同的r 阶子式D r ，由于0≠=D D r r ，故而)()(B R A R ≥.4．求作一个秩是4的方阵,它的两个行向量是)0,0,1,0,1(,)0,0,0,1,1(− 解设54321,,,,ααααα为五维向量,且)0,0,1,0,1(1=α,)0,0,0,1,1(2−=α,则所求方阵可为,54321=αααααA 秩为4,不妨设===)0,0,0,0,0(),0,0,0,0()0,,0,0,0(55443αααx x 取154==x x 故满足条件的一个方阵为−00000100000100000011001015．求下列矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式：(1) −−−443112112013; (2)−−−−−−−815073131213123； (3) −−−02301085235703273812.解 (1) −−−443112112013r r 21~↔−−−443120131211−−−−−−564056401211~12133r r r r 2000056401211~23秩为 −−−−r r 二阶子式41113−=−．(2) −−−−−−−815073131223123−−−−−−−−−15273321059117014431~27122113r r r r r r 200000591170144313~23秩为−−−−−r r .二阶子式71223−=−． (3)−−−02301085235703273812434241322~r r r r r r −−−−−−−−−02301024205363071210 131223~r r r r ++−0230114000016000071210344314211614~r r r r r r r r −÷÷↔↔−0000010000712100231秩为3 三阶子式07023855023085570≠=−=−．6．求解下列齐次线性方程组:(1) =+++=−++=−++;0222,02,02432143214321x x x x x x x x x x x x (2) =−++=−−+=−++;05105,0363,02432143214321x x x x x x x x x x x x(3) =−+−=+−+=−++=+−+;0742,0634,0723,05324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x (4)=++−=+−+=−+−=+−+.0327,01613114,02332,075434321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 解 (1) 对系数矩阵实施行变换:−−212211121211−−−3410013100101~即得 ==−==4443424134334x x xx x x x x 故方程组的解为−=1343344321k x x x x(2) 对系数矩阵实施行变换:−−−−5110531631121 −000001001021~ 即得===+−=4432242102x x x x x x x x故方程组的解为+ −=10010012214321k k x x x x (3) 对系数矩阵实施行变换:−−−−−74216314721351321000010000100001~即得 ====00004321x xxx故方程组的解为====00004321x x xx (4) 对系数矩阵实施行变换:−−−−−3127161311423327543−−000000001720171910171317301~ 即得==−=−=4433432431172017191713173x x x x x x x x x x故方程组的解为 −−+=1017201713011719173214321k k x x x x7．求解下列非齐次线性方程组:(1)=+=+−=−+;8311,10213,22421321321x x x x x x x x (2) −=+−=−+−=+−=++;694,13283,542,432z y x z y x z y x z y x(3) =−−+=+−+=+−+;12,2224,12w z y x w z y x w z y x (4)−=+−+=−+−=+−+;2534,4323,12w z y x w z y x w z y x解 (1) 对系数的增广矩阵施行行变换,有−−−−−−60003411100833180311102132124~2)(=A R 而3)(=B R ,故方程组无解．(2) 对系数的增广矩阵施行行变换:−−−−−69141328354214132−−0000000021101201~ 即得=+=−−=zz z y z x 212亦即 −+ −= 021112k z y x(3) 对系数的增广矩阵施行行变换:−−−−111122122411112−000000100011112~ 即得===++−=0212121w z z y y z y x 即 + + −=00021010210012121k k w z y x(4) 对系数的增广矩阵施行行变换:−−−− −−−−−000007579751025341253414312311112~−−−−000007579751076717101~ 即得 ==−−=++=w w z z w z y w z x 757975767171 即 −+ −+=00757610797101757121k k w z y x8．λ取何值时,非齐次线性方程组=++=++=++2321321321,,1λλλλλx x x x x x x x x (1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多个解?解 (1) 0111111≠λλλ,即2,1−≠λ时方程组有唯一解.(2) )()(B R A R <=21111111λλλλλB+−+−−−−22)1)(1()2)(1(00)1(11011~λλλλλλλλλλ由0)1)(1(,0)2)(1(2≠+−=+−λλλλ 得2−=λ时,方程组无解.(3) 3)()(<=B R A R ,由0)1)(1()2)(1(2=+−=+−λλλλ, 得1=λ时,方程组有无穷多个解.9．非齐次线性方程组=−+=+−−=++−23213213212,2,22λλx x x x x x x x x 当λ取何值时有解？并求出它的解．解+−−−−− −−−−=)2)(1(000)1(321101212111212112~2λλλλλλB方程组有解，须0)2)(1(=+−λλ得2,1−==λλ当1=λ时,方程组解为+ =001111321k x x x当2−=λ时,方程组解为+ =022111321k x x x10．设−−=−+−−=−−+=−+−,1)5(42,24)5(2,122)2(321321321λλλλx x x x x x x x x问λ为何值时,此方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求解．解−−−−−−−−−154224521222λλλλ初等行变换~−−−−−−−−−2)4)(1(2)10)(1(00111012251λλλλλλλλ当0≠A ,即02)10()1(2≠−−λλ 1≠∴λ且10≠λ时，有唯一解.当02)10)(1(=−−λλ且02)4)(1(≠−−λλ，即10=λ时，无解.当02)10)(1(=−−λλ且02)4)(1(=−−λλ，即1=λ时，有无穷多解.此时，增广矩阵为−000000001221原方程组的解为+ + −=00110201221321k k x x x (R k k ∈21,)11．试利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵：(1)323513123; (2)−−−−−1210232112201023. 解（1） 100010001323513123−−−101011001200410123~−−−−10121121023200010023~−−−−2102121129227100010003~−−−−21021211233267100010001~故逆矩阵为 −−−−2102121123326711(2)−−−−−10000100001000011210232112201023 −−−−00100301100001001220594012102321~ −−−−−−−−20104301100001001200110012102321~ −−−−−−−106124301100001001000110012102321~ −−−−−−−−−−10612631110`1022111000010000100021~−−−−−−−106126311101042111000010000100001~ 故逆矩阵为−−−−−−−1061263111010421112．(1) 设−−= −−=132231,113122214B A ,求X 使B AX =;12 (2) 设−= −−−=132321,433312120B A ,求X 使B XA =. 解 (1) () −−−−=132231113122214B A 初等行变换~ −−412315210100010001−−==∴−4123152101B A X (2)−−−−= 132321433312120B A 初等列变换~−−−474112100010001−−−==∴−4741121BA X ．。

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考研同济五版《线性代数》习题解读(三)
考研同济五版《线性代数》习题解读（三）
1、用初等变换把矩阵化为最简行阶梯形，基本运算地练习，实际上也可以化为阶梯行而不一定非要最简，这类计算要多加练习，需纯熟掌握.
2、3表面上是要求一个能使已知矩阵化为行最简形地可逆阵，实际上是考察初等矩阵，因为化为行最简形地过程就是初等变换过程，对应地是一系列初等矩阵地乘积，把这一过程搞清楚了，要求地矩阵也就相应清楚了.要知道一个初等矩阵对应一个初等变换，其逆阵也是，从这个意义上去理解可以有效解决很多问题.b5E2R.
4、求矩阵地逆阵地第二种方法(第一种是伴随阵)，基本题，同时建议把这两种方法地来龙去脉搞清楚(书上相应章节有解释)，即为什么可以通过这两种方法求逆阵.p1Ean.
5、6是解矩阵方程，关键还是求逆，复习过一遍线代地同学就不用拘泥于一种方法了，选择自己习惯地做法即可.DXDiT.
7、考察矩阵秩地概念，所以矩阵地秩一定要搞清楚：是不为零地子式地最高阶数.所以秩为r地话只需要有一个不为零地r阶子式，但所有地r+1阶子式都为零;至于r-1阶子式，也是有可能为零地，但不可能所有地都为零，否则秩就是r-1而不是r了.RTCrp.
8、还是涉及矩阵地秩，矩阵减少一行，秩最多减1，也可能不减，不难理解，但自己一定要在头脑中把这个过程想清楚.5PCzV.
9、主要考查矩阵地秩和行(列)向量组地秩地关系，实际上它们是一致地，因为已经知道地两个向量是线性无关地，这样此题就转化为一个简单问题：在找两个行向量，与条件中地两个行向量组成地向量组线性无关，最后由于要求方阵，所以还要找一个向量，与前面四个向量组和在一起则线性相关，最容易想到地就是0向量了.jLBHr.
10、矩阵地秩是一个重要而深刻地概念，它能够反映一个矩阵地最主要信息，所以如何求矩阵地秩也就相应地是一类重要问题.矩阵地初等行(列)变换都不会改变其秩，所以可以混用行、列变化把矩阵化为最简形来求出秩.xHAQX.
11题是一个重要命题，经常可以直接拿来用，至于它本身地证明，可以从等价地定义出发：等价是指两个矩阵可以经过初等变换互相得到，而初等变换是不改变矩阵地秩地，所以等价则秩必相等.实际上11题因为太过常用，以至于我们常常认为秩相等才是等价地定义，不过既然是充分必要条件，这样理解也并无不可.LDAYt.
12、选取合适地参数值来确定矩阵地秩，方法不止一种，题目不难但比较典型.
13、14题是求解齐次、非齐次方程组地典型练习，务必熟练掌握.
15、线性方程组地逆问题，即已知解要求写出方程，把矩阵地系数看做未知数来反推即可，因为基础解系中自由未知量地个数和有效方程正好是对应地，个人感觉这类题不太重要.Zzz6Z.
16、17、18题是线性方程组地一类典型题，考研常见题型，讨论不同参数取值时解地情况，要熟练掌握这类题目.dvzfv.
19、证明本身不是很重要，重要地是由题目得到地启示：由一个向量及其转置(或一个列向量一个行向量)生成地矩阵其秩一定是1.这实际上也不难理解，矩阵地秩是1意味着每行(或每列)都对应成比例，即可以写成某一列向量乘行向量地形式，列向量地元素就是每行地比例系数，反过来也一样，这个大家可自行写一些具体地例子验证，加深印象.另外值得注意地是：列向量乘行向量生成地是矩阵，而行向量乘列向量生成地是数.rqyn1.
20、考察地是矩阵地运算对矩阵秩地影响，抓住R(AB)〈=min(R(A)，R(B))这个关键命题即可.或者从同解方程组角度出发，即要证明两个矩阵秩相等，可证其方程组同解.Emxvx.
21、注意A是否可逆未知，故不能用求逆地方法证明，这是易犯地错误之一.实际上该
题考察地还是方程组只有零解地条件：满秩.关键一步在于把条件改写为A(X-Y)=0SixE2.
前两章地习题以锻炼计算能力为主，从第三章开始理解层面地内容逐渐增多，很多概念要引起重视.
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激情：永不言弃，乐观向上；
敬业：以专业地态度做非凡地事业；
服务：以学员地前途为已任，为学员提供高效、专业地服务，团队合作，为学员服务，为学员引路.
如何选择考研辅导班：
在考研准备地过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生地专业课来说，通过报辅导班来弥补自己复习地不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几个方面来考察辅导班，或许能帮你找到适合你地辅导班.kavU4.
师资力量：师资力量是考察辅导班地首要因素，考生可以针对辅导名师地辅导年限、辅导经验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价，询问往届学长然后选择.判断师资力量关键在于综合实力，因为任何一门课程，都不是由一、两个教师包到底地，是一批教师配合地结果.还要深入了解教师地学术背景、资料著述成就、辅导成就等.凯程考研名师云集，李海洋、张鑫教授、方浩教授、卢营教授、孙浩教授等一大批名师在凯程授课.而有地机构只是很普通地老师授课，对知识点把握和命题方向，欠缺火候.y6v3A.
对该专业有辅导历史：必须对该专业深刻理解，才能深入辅导学员考取该校.在考研辅导班中，从来见过如此辉煌地成绩：凯程教育拿下2015五道口金融学院状元，考取五道口15人，清华经管金融硕士10人，人大金融硕士15个，中财和贸大金融硕士合计20人，北师大教育学7人，会计硕士保录班考取30人，翻译硕士接近20人，中传状元王园璐、郑家威都是来自凯程，法学方面，凯程在人大、北大、贸大、政法、武汉大学、公安大学等院校斩获多个法学和法硕状元，更多专业成绩请查看凯程网站.在凯程官方网站地光荣榜，成功学员经验谈视频特别多，都是凯程战绩地最好证明.对于如此高地成绩，凯程集训营班主任邢老师说，凯程如此优异地成绩，是与我们凯程严格地管理，全方位地辅导是分不开地，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名地院校，还有很多是工作了多年才回来考地，大多数是跨专业考研，他们地难度大，竞争激烈，没有严格地训练和同学们地刻苦学习，是很难达到优异地成绩.最好地办法是直接和凯程老师详细沟通一下就清楚了.M2ub6. 建校历史：机构成立地历史也是一个参考因素，历史越久，积累地人脉资源更多.例如，凯程教育已经成立10年（2005年），一直以来专注于考研，成功率一直遥遥领先，同学们有兴趣可以联系一下他们在线老师或者电话.0YujC.
有没有实体学校校区：有些机构比较小，就是一个在写字楼里上课，自习，这种环境是不太好地，一个优秀地机构必须是在教学环境，大学校园这样环境.凯程有自己地学习校区，有吃住学一体化教学环境，独立卫浴、空调、暖气齐全，这也是一个考研机构实力地体现.此外，最好还要看一下他们地营业执照.eUts8.。