2018年高考数学(文)一轮复习文档第四章平面向量第3讲平面向量的数量积及应用举例Word版含答案

第3讲 平面向量的数量积及应用举例, )1．向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角． (2)范围：设θ是向量a 与b 的夹角，则0°≤θ≤180°.(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a 与b 同向；若θ＝180°，则a 与b 反向；若θ＝90°，则a 与b 垂直．2．平面向量的数量积(1)a·b ＝b·a ；(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )； (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c . 4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ1．辨明三个易误点(1)①0与实数0的区别：0a ＝0≠0，a ＋(－a )＝0≠0，a ·0＝0≠0；②0的方向是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系．(2)a·b ＝0不能推出a ＝0或b ＝0，因为a·b ＝0时，有可能a ⊥b . (3)a·b ＝a·c (a ≠0)不能推出b ＝c ，即消去律不成立． 2．有关向量夹角的两个结论(1)两个向量a 与b 的夹角为锐角，则有a·b >0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)； (2)两个向量a 与b 的夹角为钝角，则有a·b <0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．1.教材习题改编 已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角为120°，则a ·b 为( ) A ．10 3 B ．－10 3 C ．10D ．－10D a ·b ＝|a |·|b |cos 120°＝5×4×cos 120°＝20×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－10.故选D.2.教材习题改编 设a ＝(5，－7)，b ＝(－6，t )，若a ·b ＝－2，则t 的值为( ) A ．－4 B ．4 C ．327D ．－327A 由a ·b ＝－2得，5×(－6)＋(－7)t ＝－2，－7t ＝28，所以t ＝－4，故选A. 3.教材习题改编 已知|a |＝2，|b |＝6，a ·b ＝－63，则a 与b 的夹角θ为( ) A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6D cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－632×6＝－32.又因为0≤θ≤π，所以θ＝5π6，故选D.4.教材习题改编 已知|a |＝2，|b |＝5，|a ＋b |＝7，则a ·b ＝________． 因为|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝22＋2a ·b ＋52＝29＋2a ·b . 所以29＋2a ·b ＝49， 所以a ·b ＝10. 105.教材习题改编 已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则向量b 在向量a 方向上的投影为________．由数量积的定义知，b 在a 方向上的投影为|b |cos θ＝4×cos 120°＝－2. －2平面向量数量积的运算(1)设向量a ＝(－1，2)，b ＝(m ，1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，那么a与b 的数量积等于( )A ．－72B ．－12C ．32D ．52(2)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝23BC →，DF →＝16DC →，则AE →·AF →的值为________．【解析】 (1)a ＋2b ＝(－1＋2m ，4)，2a －b ＝(－2－m ，3)，由题意得3(－1＋2m )－4(－2－m )＝0，则m ＝－12，所以a ·b ＝－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2×1＝52. (2)法一：取BA →，BC →为一组基底， 则AE →＝BE →－BA →＝23BC →－BA →，AF →＝AB →＋BC →＋CF →＝－BA →＋BC →＋512BA →＝－712BA →＋BC →，所以AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23BC →－BA →·⎝ ⎛⎭⎪⎫－712BA →＋BC →＝712||BA→2－2518BA →·BC →＋23||BC →2＝712×4－2518×2×1×12＋23＝2918. 法二：以AB 所在直线为x 轴，A 为原点建立如图所示的坐标系，由于AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，所以CD ＝1，等腰梯形ABCD 的高为32， 所以A (0，0)，B (2，0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，所以BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，DC →＝(1，0)，又因为BE →＝23BC →，DF →＝16DC →，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，33，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32，因此AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53，33·⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32＝53×23＋33×32＝109＋12＝2918.【答案】 (1)D (2)2918向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉． (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解．1．(2016·高考天津卷)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( )A ．－58B ．18C ．14D ．118B 建立如图所示的平面直角坐标系．则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，所以BC →＝(1，0)．易知DE ＝12AC ，∠FEC ＝∠ACE ＝60°，则EF ＝14AC ＝14，所以点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫18，－38，所以AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18，－538，所以AF →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18，－538·(1，0)＝18.故选B.2．(2017·郑州第二次质量预测)已知点A (－1，1)、B (0，3)、C (3，4)，则向量AB →在AC →方向上的投影为________．由题意知向量AB →＝(1，2)，向量AC →＝(4，3)，设向量AB →与向量AC →的夹角为θ，则cos θ＝AB →·AC→|AB →||AC →|，又AB →·AC →＝1×4＋2×3＝10，|AB →|＝12＋22＝5，|AC →|＝42＋32＝5，所以cos θ＝255，所以向量AB →在向量AC →方向上的投影为|AB →|cos θ＝2.2平面向量的夹角与模(高频考点)平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，属中档题． 高考对平面向量的夹角与模的考查主要有以下四个命题角度： (1)求两向量的夹角； (2)求向量的模； (3)两向量垂直问题； (4)求参数值或范围．(1)(2016·高考全国卷丙)已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°(2)(2016·高考全国卷甲)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( ) A ．－8 B ．－6 C ．6D ．8(3)已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝12.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2＝1，则|b |＝________．【解析】 (1)由两向量的夹角公式，可得cos ∠ABC ＝BA →·BC→|BA →|·|BC →|＝12×32＋32×121×1＝32，则∠ABC ＝30°. (2)由向量的坐标运算得a ＋b ＝(4，m －2)， 由(a ＋b )⊥b ，得(a ＋b )·b ＝12－2(m －2)＝0， 解得m ＝8，故选D. (3)因为 e 1·e 2＝12，所以|e 1||e 2|cos 〈e 1，e 2〉＝12，所以〈e 1，e 2〉＝60°.又因为 b ·e 1＝b ·e 2＝1>0， 所以〈b ，e 1〉＝〈b ，e 2〉＝30°.由b ·e 1＝1，得|b ||e 1|cos 30°＝1，所以|b |＝132＝233. 【答案】 (1)A (2)D(3)233(1)利用数量积求解长度的方法 ①|a |2＝a 2＝a ·a ； ②|a ±b |2＝a 2±2a ·b ＋b 2； ③若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2. (2)求两个非零向量的夹角的注意事项 ①向量的数量积不满足结合律；②数量积大于0说明不共线的两个向量的夹角为锐角；数量积等于0说明两个向量的夹角为直角；数量积小于0且两个向量不共线时两个向量的夹角就是钝角．角度一、三 求两向量的夹角及两向量垂直问题1．(2017·昆明模拟)若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a与b 的夹角为( )A ．π4B ．π2C ．3π4D ．πA 由(a －b )⊥(3a ＋2b )得(a －b )·(3a ＋2b )＝0，即3a 2－a ·b －2b 2＝0.又因为 |a |＝223|b |，设〈a ，b 〉＝θ，即3|a |2－|a |·|b |·cos θ－2|b |2＝0，所以83|b |2－223|b |2·cos θ－2|b |2＝0.所以cos θ＝22. 又因为 0≤θ≤π，所以θ＝π4.角度二 求向量的模2．(2017·兰州模拟)设x ∈R ，向量a ＝(x ，1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝( ) A ． 5 B ．10 C ．2 5D ．10B 因为a ⊥b ，所以x －2＝0⇒x ＝2，所以a ＋b ＝(3，－1)⇒|a ＋b |＝10，故选B.角度四 求参数值或范围3．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE →·AF →＝1，则λ的值为________．如图，由题意可得AB →·AD →＝|AB →|·|AD →|cos 120°＝2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2，在菱形ABCD中，易知AB →＝DC →，AD →＝BC →，所以AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13AD →，AF →＝AD →＋DF →＝1λAB →＋AD →，AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫1λAB →＋AD →＝4λ＋43－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13λ＝1，解得λ＝2. 2向量数量积的综合应用(2017·福州模拟)已知函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin 2x )，b＝(cos x ，1)，x ∈R .(1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，且向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边b 和c 的值．【解】 (1)f (x )＝a ·b ＝2cos 2x －3sin 2x ＝1＋cos 2x －3sin 2x ＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 令2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，所以f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．(2)因为f (A )＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1.又π3＜2A ＋π3＜7π3， 所以2A ＋π3＝π，即A ＝π3.由a ＝7与余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝7.① 因为向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线， 所以2sin B ＝3sin C . 由正弦定理得2b ＝3c ，② 由①②，可得b ＝3，c ＝2.平面向量与三角函数的综合问题(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．(2017·广州海珠区摸底考试)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m·n ＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影． (1)由m·n ＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，所以cos A ＝－35.因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45.(2)由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ，则sin B ＝b sin A a ＝5×4542＝22，因为a >b ，所以A >B ，则B ＝π4，由余弦定理得()422＝52＋c 2－2×5c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，解得c ＝1.故向量BA →在BC →方向上的投影为 |BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22., )——平面向量与不等式的交汇(2015·高考福建卷)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t，|AC →|＝t .若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC →的最大值等于( )A ．13B ．15C ．19D ．21【解析】 以点A 为原点，AB →，AC →所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图．则A (0，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t，0，C (0，t )，所以AB →|AB →|＝(1，0)，AC→|AC →|＝(0，1)，所以AP →＝AB→|AB →|＋4AC →|AC →|＝(1，0)＋4(0，1)＝(1，4)，所以点P 的坐标为(1，4)， PB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －1，－4，PC →＝(－1，t －4)，所以PB →·PC →＝1－1t－4t ＋16＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋4t ＋17≤－4＋17＝13.当且仅当1t＝4t ，即t ＝12时取“＝”，所以PB →·PC →的最大值为13. 【答案】 A求平面向量数量积的最值(或取值范围)的常用方法有两种：一是“定义法”，即利用平面向量数量积的定义，把两个向量的数量积转化为关于参数的函数，再利用基本不等式或函数的单调性等求其最值(或取值范围)；二是“坐标法”，即把几何图形放在适当的坐标系中，给有关向量赋予具体的坐标，利用平面向量数量积的坐标表示，结合解析几何的思想方法求其最值(或取值范围)．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥a ，若OA →＝(x ，1)，OB →＝(2，y )，且OA →·OB →的最大值是最小值的8倍，则实数a 的值是( )A ．1B ．13C ．14D ．18D 因为OA →＝(x ，1)，OB →＝(2，y )，所以OA →·OB →＝2x ＋y ，令z ＝2x ＋y ，依题意，不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，观察图象可知，当目标函数z ＝2x ＋y 过点(1，1)时，z max ＝2×1＋1＝3，目标函数z ＝2x ＋y 过点(a ，a )时，z min ＝2a ＋a ＝3a ，所以3＝8×3a ，解得a ＝18., )1．已知|a |＝6，|b |＝3，向量a 在b 方向上的投影是4，则a ·b 为( ) A ．12 B ．8 C ．－8D ．2A 因为|a |cos 〈a ，b 〉＝4，|b |＝3，所以a ·b ＝|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉＝3×4＝12.2．设向量a ，b 满足|a |＝1，|a －b |＝3，a ·(a －b )＝0，则|2a ＋b |＝( ) A ．2 B ．2 3 C ．4D ．4 3B 由a ·(a －b )＝0，可得，a ·b ＝a 2＝1，由|a －b |＝3，可得(a －b )2＝3，即a 2－2a ·b ＋b 2＝3，解得b 2＝4.故(2a ＋b )2＝4a 2＋4a ·b ＋b 2＝12，|2a ＋b |＝2 3.3．(2017·洛阳质检)已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6B a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝2，所以a ·b ＝3，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝31×6＝12，所以〈a ，b 〉＝π3.4．(2016·高考山东卷)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13.若n ⊥(t m＋n )，则实数t 的值为( )A ．4B ．－4C ．94D ．－94B 由n ⊥(t m ＋n )可得n ·(t m ＋n )＝0，即t m ·n ＋n 2＝0，所以t ＝－n 2m ·n＝－n 2|m |·|n |cos 〈m ，n 〉＝－|n |2|m |×|n |×13＝－3×|n ||m |＝－3×43＝－4.故选B. 5．已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R ，若BQ →·CP →＝－32，则λ＝( )A ．12B ．1±22C ．1±102D ．－3±222A 法一：因为BQ →＝AQ →－AB →＝(1－λ)AC →－AB →，CP →＝AP →－AC →＝λAB →－AC →，又BQ →·CP →＝－32，|AB →|＝|AC →|＝2，〈AB →，AC →〉＝60°，AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos 60°＝2， 所以·(λAB →－AC →)＝－32，即λ|AB →|2＋(λ2－λ－1)AB →·AC →＋(1－λ)|AC →|2＝32，所以4λ＋2(λ2－λ－1)＋4(1－λ)＝32，解得λ＝12.法二：以点A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，过点A 且垂直于AB 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，设A (0，0)，B (2，0)，C (1，3)，所以AB →＝(2，0)，AC →＝(1，3)，所以P (2λ，0)，Q (1－λ，3(1－λ))，因为BQ →·CP →＝－32，所以(－1－λ，3(1－λ))·(2λ－1，－3)＝－32，化简得4λ2－4λ＋1＝0，所以λ＝12.6．已知AB →，AC →是非零向量，且满足(AB →－2AC →)⊥AB →，(AC →－2AB →)⊥AC →，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形C 因为(AB →－2AC →)⊥AB →⇒(AB →－2AC →)·AB →＝0，即AB →·AB →－2AC →·AB →＝0.(AC →－2AB →)⊥AC →⇒(AC →－2AB →)·AC →＝0， 即AC →·AC →－2AB →·AC →＝0， 所以AB →·AB →＝AC →·AC →＝2AB →·AC →， 即|AB →|＝|AC →|，而cos A ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝12，所以∠A ＝60°，所以△ABC 为等边三角形．7．(2017·海口市调研测试)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝4，点P 在AM 上，且满足AP →＝3PM →，则PA →·(PB →＋PC →)的值为________．依题意得|PA →|＝34|AM →|＝3，PB →＋PC →＝2PM →＝－23PA →，PA →·(PB →＋PC →)＝－23PA →2＝－23×32＝－6.－68．已知a ＝(λ，2λ)，b ＝(3λ，2)，如果a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．a 与b 的夹角为锐角，则a ·b ＞0且a 与b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧3λ2＋4λ＞0，2λ－6λ2≠0，解得λ＜－43或0＜λ＜13或λ＞13，所以λ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞9．设e 1，e 2，e 3为单位向量，且e 3＝12e 1＋k e 2(k ＞0)，若以向量e 1，e 2为邻边的三角形的面积为12，则k 的值为________．设e 1，e 2的夹角为θ，则由以向量e 1，e 2为邻边的三角形的面积为12，得12×1×1×sinθ＝12，得sin θ＝1，所以θ＝90°，所以e 1·e 2＝0.从而对e 3＝12e 1＋k e 2两边同时平方得1＝14＋k 2，解得k ＝32或－32(舍去)． 3210．如图，菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM →·AN →的最大值为________．由平面向量的数量积的几何意义知，AM →·AN →等于AM →与AN →在AM →方向上的投影之积，所以(AM →·AN →)max ＝AM →·AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋AD →·(AB →＋AD →)＝12AB →2＋AD →2＋32AB →·AD →＝9.911．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．(1)若m ⊥n ，则m ·n ＝0. 由向量数量积的坐标公式得22sin x －22cos x ＝0， 所以tan x ＝1.(2)因为 m 与n 的夹角为π3，所以m ·n ＝|m |·|n |cos π3，即22sin x －22cos x ＝12， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝12.又因为 x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4， 所以x －π4＝π6，即x ＝5π12.12．(2016·高考江苏卷)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________．由已知得BE →＝BD →＋DE →＝12BC →＋23DA →＝12BC →－23AD →＝12(AC →－AB →)－13(AB →＋AC →)＝16AC →－56AB →，CE →＝CD →＋DE →＝12CB →＋23DA →＝12CB →－23AD →＝12(AB →－AC →)－13(AB →＋AC →)＝16AB →－56AC →， BF →＝BD →＋DF →＝12BC →＋13DA →＝12(AC →－AB →)－16(AB →＋AC →)＝13AC →－23AB →， CF →＝CD →＋DF →＝12CB →＋13DA →＝12(AB →－AC →)－16(AB →＋AC →)＝13AB →－23AC →，因为BA →·CA →＝4，所以AB →·AC →＝4， 则BF →·CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AC →－23AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →－23AC →＝19AB →·AC →－29AB →2－29AC →2＋49AB →·AC →＝59AB →·AC →－29(AB →2＋AC →2) ＝59×4－29(AB →2＋AC →2)＝－1， 所以AB →2＋AC →2＝292，从而BE →·CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫16AC →－56AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫16AB →－56AC →＝－536AB →2－536AC →2＋2636AB →·AC →＝－536(AB →2＋AC →2)＋2636AB →·AC →＝－536×292＋2636×4＝6372＝78. 7813．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，c ＝(－1，0)． (1)求向量b ＋c 的长度的最大值；(2)设α＝π4，且a ⊥(b ＋c )，求cos β的值．(1)法一：b ＋c ＝(cos β－1，sin β)，则|b ＋c |2＝(cos β－1)2＋sin 2β＝2(1－cos β)． 因为－1≤cos β≤1， 所以0≤|b ＋c |2≤4， 即0≤|b ＋c |≤2.当cos β＝－1时，有|b ＋c |＝2， 所以向量b ＋c 的长度的最大值为2.法二：因为|b |＝1，|c |＝1，|b ＋c |≤|b |＋|c |＝2. 当cos β＝－1时，有b ＋c ＝(－2，0)， 即|b ＋c |＝2，所以向量b ＋c 的长度的最大值为2.(2)法一：由已知可得b ＋c ＝(cos β－1，sin β)，a ·(b ＋c )＝cos αcos β＋sin αsin β－cos α＝cos(α－β)－cos α.因为a ⊥(b ＋c )，所以a ·(b ＋c )＝0， 即cos(α－β)＝cos α.由α＝π4，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β＝cos π4，即β－π4＝2k π±π4(k ∈Z )，所以β＝2k π＋π2或β＝2k π，k ∈Z ，于是cos β＝0或cos β＝1. 法二：若α＝π4，则a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22.又由b ＝(cos β，sin β)，c ＝(－1，0)得a ·(b ＋c )＝⎝⎛⎭⎪⎫22，22·(cos β－1，sin β)＝22cos β＋22sin β－22. 因为a ⊥(b ＋c )，所以a ·(b ＋c )＝0， 即cos β＋sin β＝1， 所以sin β＝1－cos β，平方后化简得cos β(cos β－1)＝0， 解得cos β＝0或cos β＝1.经检验cos β＝0或cos β＝1即为所求．14．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，m ·n ＝sin 2C .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求c 边的长． (1)m ·n ＝sin A ·cos B ＋sin B ·cos A ＝sin(A ＋B )，对于△ABC ，A ＋B ＝π－C ，0＜C ＜π， 所以sin(A ＋B )＝sin C ，所以m ·n ＝sin C ，又m ·n ＝sin 2C ， 所以sin 2C ＝sin C ，cos C ＝12，C ＝π3.(2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，可得 2sin C ＝sin A ＋sin B ，由正弦定理得2c ＝a ＋b . 因为CA →·(AB →－AC →)＝18，所以CA →·CB →＝18， 即ab cos C ＝18，ab ＝36.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ， 所以c 2＝4c 2－3×36，c 2＝36， 所以c ＝6.。