2015年5月济南市高三针对性训练文科数学
山东省2015届高考模拟试题数学(文)试题 Word版含答案
山东省2015届高考模拟试题数学（文）试题20140410第Ⅰ卷 选择题（共50分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．已知集合{}{}R x y y N x x x M x ∈==≥=,2,2,则MN = （ ）A ．）（1,0 B ．]1,0[ C ．)1,0[D ．]1,0(2．已知复数(1i)(12i)z =-+，其中i 为虚数单位，则z 的实部为A ．3-B ．1C ．1-D ．3 3．下列命题中的真命题是（ ）A ．对于实数a 、b 、c ，若a b >，则22ac bc >B ．x 2＞1是x ＞1的充分而不必要条件C ．,R αβ∃∈ ，使得sin()sin sin αβαβ+=+成立D ．,R αβ∀∈，tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-⋅成立4．已知圆22:68210C x y x y ++++=，抛物线28y x =的准线为，设抛物线上任意一点P 到直线的距离为m ，则||PC m +的最小值为A ．5B ．41C ．41-2D ．45．在A ，B 两个袋中都有6张分别写有数字0，1，2，3，4， 5的卡片，现从每个袋中任取一张卡片，则两张卡片上数字之和为7的概率为A ．19B ．118C ．16 D ．136．下图是计算10181614121++++值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是A ．5≥kB ．5<kC ．5>kD ．6≤k7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若201312014a a a -<<-，则必定有A ．201320140,0S S ><且B ．201320140,0S S <>且C ．201320140,0a a ><且D ．201320140,0a a <>且8．已知O,A,M,B 为平面上四点，且(1)OM OB OA λλ=+-，实数(1,2)λ∈，则A ．点M 在线段AB 上 B ．点B 在线段AM 上C ．点A 在线段BM 上D ．O,A,M,B 一定共线9．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，其中120,1A b ==，且ABC ∆,则sin sin a bA B+=+ABC ．D ．10．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点,连接,AF BF ,若410,6,cos ABF 5AB AF ==∠=,则椭圆C 的离心率e =A ．57B ．54C ．74D ．65第Ⅱ卷 非选择题（共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分，把答案填写在答题卡相应的位置） 11．复数4+3i 1+2i的虚部是__ ___．12．函数1()1f x x x =+-(1)x >的最小值为__ ___． 13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__ ___．14．在ABC ∆中，不等式1119A B C π++≥成立；在凸四边形ABCD 中，不等式1111162A B C D π+++≥成立；在凸五边形ABCDE 中，不等式11111253A B C D E π++++≥成立，…，依此类推，在凸n 边形n A A A 21中，不等式12111nA A A +++≥__ ___成立．15．选做题（请考生在以下三个小题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）A ．（坐标系与参数方程）已知直线的参数方程为,1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ （为参数），圆C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）, 则圆心C 到直线的距离为_________．B ．（几何证明选讲）如图，直线PC 与圆O 相切于点C ，割线经过圆心O ，弦CD ⊥AB 于点E ，4PC =，8PB =,则CE =_________．C ．（不等式选讲）若存在实数x 使12x m x -++≤成立，则实数m 的取值范围是_________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本答题共6小题，共75分） 16．（本小题满分12分）已知函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=672sin cos 22πx x x f ． （Ⅰ）求函数)(x f 的最大值，并写出)(x f 取最大值时x 的取值集合； （Ⅱ）已知ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为.,,c b a 若3(),2f A = 2.b c +=求实数a 的最小值．17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，211,(1),1,2,.2n n a S n a n n n ==--=（Ⅰ）证明：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n S nn 1是等差数列，并求n S ； （Ⅱ）设233nn S b nn +=，求证：125.12n b b b +++<18．（本小题满分12分）在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，已知AB=5，AC=4，BC=3，AA 1=4，点D 在棱AB 上． （Ⅰ）求证：AC ⊥B 1C ；（Ⅱ）若D 是AB 中点，求证：AC 1∥平面B 1CD ．19．（本小题满分12分）已知关于x 的一元二次函数.14)(2+-=bx ax x f（Ⅰ）设集合P={1，2， 3}和Q={－1，1，2，3，4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数)(x f y =在区间[),1+∞上是增函数的概率；（Ⅱ）设点（a ，b ）是区域⎪⎩⎪⎨⎧>>≤-+008y x y x 内的随机点，求函数),1[)(+∞=在区间x f y 上是增函数的概率． 20．（本小题满分13分）已知函数x a x x f ln )1()(--=(0)x >． （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间和极值；（Ⅱ）若0)(≥x f 对),1[+∞∈x 上恒成立，求实数a 的取值范围． 21．（本小题满分14分）如下图所示，椭圆22:1(01)y C x m m+=<<的左顶点为A ，M 是椭圆C 上异于点A 的任意一点，点P 与点A 关于点M 对称．（Ⅰ）若点P 的坐标为9(5，求m 的值；（Ⅱ）若椭圆C 上存在点M ，使得OP OM ⊥，求m 的取值范围．山东省2015届高考模拟试题数学（文）参考答案20140410一、选择题：二、填空题:11．-1； 12．3； 13．23； 14．; 15．A ； B ．512； C ．[3,1]-．三、解答题∴函数)(x f 的最大值为2．要使)(x f 取最大值，则sin(2)1,6x π+=22()62x k k Z πππ∴+=+∈ ，解得,6x k k Z ππ=+∈．故x 的取值集合为,6x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭． ………6分 （Ⅱ）由题意，3()sin(2)162f A A π=++=，化简得 1sin(2).62A π+=()π,0∈A ，132(,)666A πππ∴+∈，∴5266A ππ+=， ∴.3π=A在ABC ∆中，根据余弦定理，得bc c b bc c b a 3)(3cos 22222-+=-+=π．由2=+c b ，知1)2(2=+≤c b bc ，即12≥a ． ∴当1==c b 时，实数a 取最小值.1 ………12分 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）证明：由)1(2--=n n a n S n n 知，当2≥n 时：)1()(12---=-n n S S n S n n n ， 即)1()1(122-=---n n S n S n n n ，∴1111=--+-n n S n nS n n ，对2≥n 成立． 又⎭⎬⎫⎩⎨⎧+∴=+n S n n S 1,11111是首项为1，公差为1的等差数列． 1)1(11⋅-+=+n S n n n ，∴12+=n n S n ． ………6分（Ⅱ）)3111(21)3)(1(1323+-+=++=+=n n n n n n S b n n ，………8分∴)311121151314121(2121+-+++-+⋯+-+-=+⋯⋯++n n n n b b b n =125)312165(21<+-+-n n ．………12分 18．（本小题满分12分）解: （Ⅰ）证明：在△ABC 中，因为 AB=5，AC=4，BC=3， 所以 AC 2+ BC 2= AB 2， 所以 AC ⊥BC ．因为 直三棱柱ABC-A 1B 1C 1，所以 C C 1⊥AC ， 因为 BC ∩AC =C ，所以 AC ⊥平面B B 1C 1C ． 所以 AC ⊥B 1C ． ……… 6分 （Ⅱ）连结BC 1，交B 1C 于E ，连接DE ．因为直三棱柱ABC-A 1B 1C 1，D 是AB 中点，所以 侧面B B 1C 1C 为矩形， DE 为△ABC 1的中位线，所以DE// AC 1．因为 DE ⊂平面B 1CD ，AC 1⊄平面B 1CD ，所以 AC 1∥平面B 1CD ．……… 12分 19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵函数14)(2+-=bx ax x f 的图象的对称轴为,2abx =要使14)(2+-=bx ax x f 在区间),1[+∞上为增函数，当且仅当a >0且a b ab ≤≤2,12即， 若a =1则b =－1；若a =2则b =－1，1；若a =3则b =－1，1； ∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5， ∴所求事件的概率为51153=． ………6分 （Ⅱ）由（1）知当且仅当a b ≤2且a >0时，函数),1[14)(2+∞+-=在区是间bx ax x f 上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧>>≤-+0008|),(b a b a b a ，构成所求事件的区域为三角形部分．由),38,316(208得交点坐标为⎪⎩⎪⎨⎧==-+ab b a ∴所求事件的概率为31882138821=⨯⨯⨯⨯=P ．………12分 20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）xa x xa x f -=-=1)(')0(>x ,当0≤a 时，0)('>x f ，在),0(+∞上增,无极值； 当0>a 时，a x xax x f ==-=得由,0)('， )(x f 在),0(a 上减，在),(+∞a 上增, )(x f 有极小值a a a a f ln )1()(--=，无极大值; ……… 6分（Ⅱ）xax x a x f -=-=1)('， 当1≤a 时，0)('≥x f 在),1[+∞上恒成立，则)(x f 是单调递增的， 则只需0)1()(=≥f x f 恒成立，所以1≤a ,当1>a 时，)(x f 在上),1(a 减，在),(+∞a 上单调递增，所以当),1(a x ∈时，0)1()(=≤f x f 这与0)(≥x f 恒成立矛盾，故不成立,综上：1≤a ．……… 13分21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）依题意，M 是线段AP 的中点， 因为A （-1，0），P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛534,59，所以点M 的坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛532,52 由点M 在椭圆C 上，所以,12512254=+m ，解得74=m （II ）解：设M ()11-,1,020200<<-+x myx y x 且，则① 因为M 是线段AP 的中点，所以P ()002,12y x + 因为OP ⊥OM ，所以()02122000=++y x x ②由①②，消去0y ，整理得22220020-+=x x x m所以()4321826221100-≤-++++=x x m。
【济南一模_文数】2015年3月济南市高三模拟考试数学试题(文)及答案
2015年高考模拟考试(山东卷)数学(文科)本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共5页．满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案写在试卷上无效．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．参考公式：柱体的体积公式：V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高.第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}{}2230,1,1,3,M x x x N M N =+-==-⋃=则 A.{}1,3-B.{}1,1,3-C.{}1,1,3,3--D.{}1,1,3--2.已知复数z 满足()1i z i -=（i 是虚数单位），则z 在复平面内对应的点所在象限为 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.函数y = A.[)1,+∞B.()1,+∞C.1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D.1,12⎛⎫⎪⎝⎭4.“1cos 2α=”是“3πα=”的 A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知,,a b c R ∈，那么下列命题中正确的是 A.若a b <，则22ac bc < B.若0,0a b c >><，则c c a b< C.若a b >，则()()22a cbc +>+ D.若0ab >，则2a bb a+≥ 6.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 A.9 B.16 C.25 D.367.已知,x y 满足约束条件13223x x y z x y x y ≥⎧⎪+≤=+⎨⎪-≤⎩，若的最大值和最小值分别为,a b ，则a b +=A.7B.6C.5D.48.已知函数()y f x =是R 上的偶函数，当()12,0,x x ∈+∞时，都有()()()12120x x f x f x -⋅-<⎡⎤⎣⎦.设()21ln,ln ,ln a b c πππ===，则A.()()()f a f b f c >>B. ()()()f b f a f c >>C. ()()()f c f a f b >>D. ()()()f c f b f a >>9. 已知12,F F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线一个交点是P ，且12F PF ∆的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是 A.2 B.3 C.2D.510.设函数()f x 的定义域为R ，若存在常数()0f x x ωω>≤，使对一切实数x 均成立，则称()f x 为“条件约束函数”.现给出下列函数：①()4f x x =；②()22f x x =+；③()2225xf x x x =-+；④()f x 是定义在实数集R 上的奇函数，且对一切12,x x 均有()()12124f x f x x x -≤-.其中是“条件约束函数”的有A.1个B.2个C.3个D.4个第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分. 11.100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则模块测试成绩落在[)50,70中的学生人数是_________.12.已知ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别为,,a b c ，若sin :sin :sin 1:2:3A B C =，则角C=__________.13.某圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为3π的扇形，则该几何体的体积为__________. 14.设,,a b c r r r是单位向量，且()()0a b a c b c ⋅=-⋅-r r r r r r ，则的最大值为________.15.已知P 是直线34100x y +-=上的动点，PA ，PB 是圆222440x y x y +-++=的两条切线，A,B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值为________. 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16.（本小题满分12分） 设函数()223cos2sin 3f x x x ωω=+-（其中0ω>），且()f x 的最小正周期为2π.（I ）求ω的值；（II ）将函数()y f x =图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 的单调增区间.17. （本小题满分12分）某在元宵节活动上，组织了“摸灯笼猜灯谜”的趣味游戏.已知在一个不透明的箱子内放有大小和形状相同的标号分别为1，2，3的小灯笼若干个，每个灯笼上都有一个谜语，其中标号为1的小灯笼1个，标号为2的小灯笼2个，标号为3的小灯笼n 个.若参赛者从箱子中随机摸取1个小灯笼进行谜语破解，取到标号为3的小灯笼的概率为14. （I ）求n 的值；（II ）从箱子中不放回地摸取2个小灯笼，记第一次摸取的小灯笼的标号为a ，第二次摸取的小灯笼的标号为b.记“4a b +≥”为事件A ，求事件A 的概率.18. （本小题满分12分） 如图，平面PBA ⊥平面ABCD ，90,,DAB PB AB BF PA ∠==⊥o ，点E 在线段AD 上移动.（I ）当点E 为AD 的中点时，求证：EF//平面PBD ；（II ）求证：无论点E 在线段AD 的何处，总有PE BF ⊥.19. （本小题满分12分）数列{}n a 满足()111,2n n a a a n N *+==∈，n S 为其前n 项和.数列{}n b 为等差数列，且满足1143,b a b S ==.（I ）求数列{}{},n n a b 的通项公式； （II ）设2221log n n n c b a +=⋅，数列{}n c 的前n 项和为n T ，证明：1132n T ≤<.20. （本小题满分13分）已知函数()()0xf x e ax a a R a =+-∈≠且.（I ）若函数()0f x x =在处取得极值，求实数a 的值；并求此时()[]21f x -在，上的最大值；（II ）若函数()f x 不存在零点，求实数a 的取值范围.21. （本小题满分14分）在平面直角坐标系xoy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为2，一个顶点与两个焦点组成一个等边三角形. （I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）椭圆C 的右焦点为F ，过F 点的两条互相垂直的直线12,l l ，直线1l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线2l 与直线4x 交于T 点. （i ）求证：线段PQ 的中点在直线OT 上； （ii ）求TF PQ的取值范围.文科数学参考答案一、选择题 CBABD BACDC二、填空题11.25 12.3π13. 2π 14. 1 三、解答题16. 解：（Ⅰ）()2sin 2f x x x ωω=+=2sin(2)3x πω+……………………4分∴2=22ππω，即12ω= ……………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x =2sin()3x π+,将函数)(x f y =的图象各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数)(x g y =的图象，即()g x =2sin(2)3x π+ ……………………8分由22+2232k x k πππππ-≤+≤，k Z ∈得：51212k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈，……………………10分 ∴()g x 的单调递增区间是：5[,]1212k k ππππ-++,k Z ∈ …………12分17. 解：（Ⅰ）由题意，1124n n =++，1n ∴=……………………4分（2）记标号为2的小灯笼为1a ,2a ；连续．．摸取2个小灯笼的所有基本事件为:（1, 1a ）,（1, 2a ）,(1,3),（1a ,1）,（2a ,1）,(3,1),（1a ,2a ）, (1a ,3）,（2a ,1a ）, （3,1a ）,（2a ,3）,（3, 2a ）共12个基本事件. ……………………8分A 包含的基本事件为: (1,3), (3,1),（1a ,2a ），（2a ,1a ），(1a ,3），（3, 1a ）, （2a ,3）,（3, 2a ）……………………10分8()12P A ∴=23= ……………………12分 18. （Ⅰ）证明： 在三角形PBA 中，,PB AB BF PA =⊥，所以F 是PA 的中点，连接EF ， ………………………………2分 在PDA ∆中，点,E F 分别是边,AD PA 的中点， 所以//EF PD …………………………………4分 又EF PBD ⊄平面，PD PBD ⊂平面所以EF //平面PBD .……………………………6分（Ⅱ）因为平面PBA ⊥平面ABCD ，平面PBA I 平面ABCD AB =, 90DAB ∠=o，DA AB ⊥ ,DA ABCD ⊂平面所以DA ⊥平面PBA …………………… 8分又BF PBA ⊂平面 ,所以DA BF ⊥,又BF PA ⊥，PA IDA A =,,PA DA PDA ⊂平面,所以BF PDA ⊥面 ……………………………………10分 又PE PDA ⊂平面 所以BF PE ⊥所以无论点E 在线段AD 的何处，总有PE ⊥BF . …………………………12分19. 解：（Ⅰ）由题意，{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，11121--⋅=⋅=∴n n n q a a . ∴12n n a -=，21nn S =-， …………………3分设等差数列{}n b 的公差为d ，111b a ==，4137b d =+=，∴2d = ∴1(1)221n b n n =+-⨯=-. …………………6分 （II ）∵212222log =log 221n n a n ++=+，∴22211111()log (21)(21)22121n n n c b a n n n n +===-⋅-+-+,…………………7分. …………………9分∵*N n ∈, …………………10分当2n ≥∴数列{}n T 是一个递增数列，…………………12分 20. 解：（Ⅰ）函数)(x f 的定义域为R ，a e x f x+=)('，…………………1分0)0(0'=+=a e f ，1-=∴a .…………………2分∴'()1xf x e =-∵在)0,(-∞上)(,0)('x f x f <单调递减，在),0(+∞上)(,0)('x f x f >单调递增， ∴0=x 时)(x f 取极小值.1-=∴a . …………………3分易知)(x f 在)0,2[-上单调递减，在]1,0(上)(x f 单调递增；且;31)2(2+=-e f ;)1(e f =)1()2(f f >-.…………………4分 当2-=x 时，)(x f 在]1,2[-的最大值为.312+e…………………5分（Ⅱ）a e x f x+=)('，由于0>xe .①当0>a 时，)(,0)('x f x f >是增函数，…………………7分 且当1>x 时，0)1()(>-+=x a e x f x.…………………8分 当0<x 时，取a x 1-=，则0)11(1)1(<-=--+<-a aa a f ， 所以函数)(x f 存在零点，不满足题意.…………9分 ②当0<a 时，)ln(,0)('a x a e x f x-==+=.在))ln(,(a --∞上)(,0)('x f x f <单调递减，在)),(ln(+∞-a 上)(,0)('x f x f >单调递增，所以)ln(a x -=时)(x f 取最小值.………………11分 函数)(x f 不存在零点，等价于0)ln(2)ln())(ln()ln(>-+-=--+=--a a a a a a e a f a ，解得02<<-a e .综上所述：所求的实数a 的取值范围是02<<-a e .………………13分21. 解：（Ⅰ）由题意1222c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，………………1分解得3,1,2===b c a ,………………3分所求椭圆C 的标准方程为13422=+y x ；………………4分 （Ⅱ）解法一：（i ）设:1PQ l x my =+，221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x ，化简得096)43(22=-++my y m . 09)43(43622>⋅++=∆m m设),,(),,(2211y x Q y x P PQ 的中点00(,)G x y ，则436221+-=+m m y y ，439221+-=m y y ，……………6分 43322210+-=+=m m y y y ，4341200+=+=m my x ， 即2243(,)3434mG m m -++，……………7分 4344343322m m m m k OG-=+⋅+-=，设)1(:--=x m y l FT ，得T 点坐标（m 3,4-），43mk OT -=Θ，所以OT OG k k =，线段PQ 的中点在直线OT 上.……………9分 (ii) 当0=m 时，PQ 的中点为F ，)0,4(T .1||||,32||,3||2====PQ TF a b PQ TF .……………10分当0m ≠时，13)3()14(||222+=-+-=m m TF ，||11||122y y k PQ PQ-+==-+⋅+=2122124)(1y y y y m 4394)436(12222+-⋅-+-⋅+m m m m4311222++⋅=m m .……………11分 )1113(411243113||||22222+++⋅=+⋅++=m m m m m PQ TF令12+=m t .则)1)(13(41||||>+⋅=t t t PQ TF .令)1)(13(41)(>+⋅=t tt t g 则函数()g t 在()1,+∞上为增函数，……………13分 所以1)1()(=>g t g .所以||||PQ TF 的取值范围是[1,)+∞.……………14分 解法二：（i ）设T 点的坐标为),4(m ，当0=m 时，PQ 的中点为F ，符合题意. ……………5分 当0m ≠时，mk m k PQ FT 3,3-==.3:(1)PQ l y x m-=- ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--==+)1(313422x m y y x ，消去x 化简得22(12)6270m y my +--=. 027)12(43622>⋅++=∆m m设),,(),,(2211y x Q y x P PQ 的中点00(,)G x y ，则126221+=+m m y y .1227221+-=m y y ，……………6分 12322210+=+=m m y y y ，121231200+=-=m my x ， 即)123,1212(22++m m m G ，……………7分 4121212322m m m m k OG =+⋅+=，又4m k OT =Θ. 所以OT OG k k =，线段PQ 的中点在直线OT 上.……………9分 (ii) 当0m = 时，632PQ == , 413TF =-=,1TF PQ= ……………10分 当0m ≠时， 9)14(||222+=+-=m m TF ，||11||12y y k PQ PQ -+=.=-+⋅+=2122124)(91y y y y m 12274)126(912222+-⋅-+⋅+m m m m 129422++⋅=m m .……………11分 )939(4141299||||22222+++⋅=+⋅++=m m m m m PQ TF令92+=m t .则)3)(3(41||||>+⋅=t t t PQ TF .令)3)(3(41)(>+⋅=t t t t g 则函数()g t 在()3,+∞上为增函数，……………13分所以1)3()(=>g t g . 所以当||||PQ TF 的取值范围是[1,)+∞.……………14分 解法三：（i ）当直线PQ l 斜率不存在时，PQ 的中点为F ，)0,4(T ，符合题意. ……………5分 当直线PQ l 斜率存在时，若斜率为0，则2l 垂直于 x 轴，与 x=4不能相交，故斜率不为0 设)1(:-=x k y l PQ ，（0k ≠）⎪⎩⎪⎨⎧-==+)1(13422x k y y x ，消去y ，化简得. 2222(34)84120k x k x k +-+-= 4222644(34)(412)144(1)0k k k k ∆=-+-=+>设),,(),,(2211y x Q y x P PQ 的中点00(,)G x y ，则2221438k k x x +=+，222143124k k x x +-=，……………6分 222104342k k x x x +=+=，200433)1(kk x k y +-=-=， 即)433,434(222k k k k G +-+，……………7分 kk k k k k OG 43443433222-=+⋅+-=， 设)1(1:--=x k y l FT ，得T 点坐标（k 3,4-），kk OT 43-=，所以OT OG k k =，线段PQ 的中点在直线OT 上.……………9分(ii) 当直线PQ l 斜率不存在时，PQ 的中点为F ，)0,4(T .1||||,32||,3||2====PQ TF a b PQ TF .……………10分 当直线PQ l 斜率存在时，222213)3()14(||k k k TF +=-+-=，||1||122x x k PQ -+=. =-+⋅+=2122124)(1x x x x k 222222431244)438(1k k k k k +-⋅-+⋅+ 2243112kk ++⋅=.……………11分2222||34)||12(1)114TF k k PQ k k +==+++=⋅ 令211k t +=.则)1)(13(41||||>+⋅=t t t PQ TF .令)1)(13(41)(>+⋅=t t t t g 则函数()g t 在()1,+∞上为增函数，……………13分所以1)1()(=>g t g . 所以||||PQ TF 的取值范围是),1[+∞.……………14分。
山东省济南市2018届高三5月针对性训练(三模)数学(文)试卷
2018年济南市高三5月份针对性训练数学<文史类）本卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页．满分150分．考试用时120分钟．考试结束后将答题卡交回．注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫M黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.b5E2RGbCAP2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.p1EanqFDPw3．第Ⅱ卷必须用0.5毫M黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．DXDiTa9E3d4．填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式：样本数据的方差，其中为样本的平均数；锥体体积公式：，其中为锥体底面的面积，为锥体的高；圆锥的侧面积公式：，其中是圆锥的底面半径，是圆锥的母线长；圆柱的侧面积公式：，其中是圆柱的底面半径，是圆柱的母线长.第Ⅰ卷<共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.RTCrpUDGiT 1．已知集合= A. B.C.D.ø2．若复数是纯虚数，则实数的值是A.1B.C.0D.0或3．已知，那么是的A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 4．函数的最小正周期为 A ．B ．C ．D ．5．阅读右面的程序框图，执行相应的程序，则输出的结果是A. 2B.C. 3D.6．已知数列的前项和为，，则=A ．64B ．32C ．16D ．87．某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为5<第5题图）左视图主视图A． B．C． D．8．设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为A．12 B．10 C．8 D．9．已知非零向量、满足向量与向量的夹角为，那么下列结论中一定成立的是A．B．C．D．10．已知双曲线的方程为，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为<c为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率为5PCzVD7HxAA．B．C．D．11．已知，若恒成立，则实数的取值范围是A．或B．或C．D．12．若方程在内有解，则的图象是< ）2018年济南市高三5月份模拟考试试卷数学<文史类） 第Ⅱ卷<非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分. 13．曲线在点<0，1）处的切线方程为.14．已知函数，且，则=.15．函数的图像，其部分图像如图所示， 则=． 16．下面给出的四个命题中：①以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为；②若，则直线与直线相互垂直；③命题“，使得”的否定是“，都有”；④将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象。
2015济南一模 山东省济南市2015届高三下学期第一次模拟考试数学(文)试题 Word版含答案
2015年高考模拟考试(山东卷)数学(文科)本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共5页．满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案写在试卷上无效．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．参考公式：柱体的体积公式：V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高.第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}{}2230,1,1,3,M x x x N M N =+-==-⋃=则A.{}1,3-B.{}1,1,3-C.{}1,1,3,3--D.{}1,1,3--2.已知复数z 满足()1i z i -=（i 是虚数单位），则z 在复平面内对应的点所在象限为 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.函数y = A.[)1,+∞B.()1,+∞C.1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D.1,12⎛⎫⎪⎝⎭4.“1cos 2α=”是“3πα=”的 A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知,,a b c R ∈，那么下列命题中正确的是A.若a b <，则22ac bc < B.若0,0a b c >><，则c c a b< C.若a b >，则()()22a cbc +>+ D.若0ab >，则2a bb a+≥ 6.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 A.9 B.16 C.25 D.367.已知,x y 满足约束条件13223x x y z x y x y ≥⎧⎪+≤=+⎨⎪-≤⎩，若的最大值和最小值分别为,a b ，则a b +=A.7B.6C.5D.48.已知函数()y f x =是R上的偶函数，当()12,0,x x ∈+∞时，都有()()()12120x x f x f x -⋅-<⎡⎤⎣⎦.设()21ln ,ln ,a b c ππ===A.()()()f a f b f c >>B. ()()()f b f a f c >>C. ()()()f c f a f b >>D. ()()()f c f b f a >>9. 已知12,F F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线一个交点是P ，且12F PF ∆的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是C.2D.510.设函数()f x 的定义域为R ，若存在常数()0f x x ωω>≤，使对一切实数x 均成立，则称()f x 为“条件约束函数”.现给出下列函数：①()4f x x =；②()22f x x =+；③()2225xf x x x =-+；④()f x 是定义在实数集R 上的奇函数，且对一切12,x x 均有()()12124f x f x x x -≤-.其中是“条件约束函数”的有A.1个B.2个C.3个D.4个第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分. 11.100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则模块测试成绩落在[)50,70中的学生人数是_________.12.已知ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别为,,a b c ，若sin :sin :sin 1:A B C =C=__________.13.某圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为3π的扇形，则该几何体的体积为__________. 14.设,,a b c r r r是单位向量，且()()0a b a c b c ⋅=-⋅-r r r r r r ，则的最大值为________.15.已知P 是直线34100x y +-=上的动点，PA ，PB 是圆222440x y x y +-++=的两条切线，A,B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值为________.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16.（本小题满分12分）设函数()22sin f x x x ωω=+（其中0ω>），且()f x 的最小正周期为2π. （I ）求ω的值；（II ）将函数()y f x =图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 的单调增区间.17. （本小题满分12分）某在元宵节活动上，组织了“摸灯笼猜灯谜”的趣味游戏.已知在一个不透明的箱子内放有大小和形状相同的标号分别为1，2，3的小灯笼若干个，每个灯笼上都有一个谜语，其中标号为1的小灯笼1个，标号为2的小灯笼2个，标号为3的小灯笼n 个.若参赛者从箱子中随机摸取1个小灯笼进行谜语破解，取到标号为3的小灯笼的概率为14. （I ）求n 的值；（II ）从箱子中不放回地摸取2个小灯笼，记第一次摸取的小灯笼的标号为a ，第二次摸取的小灯笼的标号为b.记“4a b +≥”为事件A ，求事件A 的概率.18. （本小题满分12分）如图，平面PBA ⊥平面ABCD ，90,,DAB PB AB BF PA ∠==⊥o ，点E 在线段AD 上移动. （I ）当点E 为AD 的中点时，求证：EF//平面PBD ；（II ）求证：无论点E 在线段AD 的何处，总有PE BF ⊥.19. （本小题满分12分）数列{}n a 满足()111,2n n a a a n N *+==∈，n S 为其前n 项和.数列{}n b 为等差数列，且满足1143,b a b S ==.（I ）求数列{}{},n n a b 的通项公式； （II ）设2221log n n n c b a +=⋅，数列{}n c 的前n 项和为n T ，证明：1132n T ≤<.20. （本小题满分13分）已知函数()()0xf x e ax a a R a =+-∈≠且.（I ）若函数()0f x x =在处取得极值，求实数a 的值；并求此时()[]21f x -在，上的最大值； （II ）若函数()f x 不存在零点，求实数a 的取值范围.21. （本小题满分14分）在平面直角坐标系xoy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为2，一个顶点与两个焦点组成一个等边三角形.（I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）椭圆C 的右焦点为F ，过F 点的两条互相垂直的直线12,l l ，直线1l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线2l 与直线4x =交于T 点. （i ）求证：线段PQ 的中点在直线OT 上； （ii ）求TFPQ的取值范围.2015年3月济南市高三模拟考试文科数学参考答案一、选择题CBABD BACDC二、填空题11.25 12.3π13. 2π 14. 1 三、解答题16. 解：（Ⅰ）()sin 2f x x x ωω+=2sin(2)3x πω+……………………4分∴2=22ππω，即12ω= ……………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x =2sin()3x π+,将函数)(x f y =的图象各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数)(x g y =的图象，即()g x =2sin(2)3x π+ ……………………8分 由22+2232k x k πππππ-≤+≤，k Z ∈得：51212k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈，……………………10分 ∴()g x 的单调递增区间是：5[,]1212k k ππππ-++,k Z ∈ …………12分17. 解：（Ⅰ）由题意，1124n n =++，1n ∴=……………………4分（2）记标号为2的小灯笼为1a ,2a ；连续．．摸取2个小灯笼的所有基本事件为:（1, 1a ）,（1, 2a ）,(1,3),（1a ,1）,（2a ,1）,(3,1),（1a ,2a ）, (1a ,3）,（2a ,1a ）, （3, 1a ）,（2a ,3）,（3, 2a ）共12个基本事件. ……………………8分A 包含的基本事件为: (1,3), (3,1),（1a ,2a ），（2a ,1a ），(1a ,3），（3, 1a ）, （2a ,3）,（3, 2a ）……………………10分8()12P A ∴=23= ……………………12分 18. （Ⅰ）证明： 在三角形PBA 中，,PB AB BF PA =⊥， 所以F 是PA 的中点，连接EF ， ………………………………2分 在PDA ∆中，点,E F 分别是边,AD PA 的中点， 所以//EF PD …………………………………4分又EF PBD ⊄平面，PD PBD ⊂平面所以EF //平面PBD .……………………………6分 （Ⅱ）因为平面PBA ⊥平面ABCD ，平面PBA平面ABCD AB =, 90DAB ∠=，DA AB ⊥ ,DA ABCD ⊂平面所以DA ⊥平面PBA …………………… 8分 又BF PBA ⊂平面 ,所以DA BF ⊥,又BF PA ⊥，PADA A =,,PA DA PDA ⊂平面,所以BF PDA ⊥面 ……………………………………10分 又PE PDA ⊂平面 所以BF PE ⊥所以无论点E 在线段AD 的何处，总有PE ⊥BF . …………………………12分19. 解：（Ⅰ）由题意，{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，11121--⋅=⋅=∴n n n q a a . ∴12n n a -=，21n n S =-， …………………3分设等差数列{}n b 的公差为d ，111b a ==，4137b d =+=，∴2d = ∴1(1)221n b n n =+-⨯=-. …………………6分 （II ）∵212222log =log 221n n a n ++=+， ∴22211111()log (21)(21)22121n n n c b a n n n n +===-⋅-+-+,…………………7分∴11111111(1...)(1)2335212122121n n T n n n n =-+-++-=-=-+++ . …………………9分∵*N n ∈,∴11112212n T n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭ …………………10分 当2n ≥时，()()111021212121n n n n T T n n n n ---=-=>+-+- ∴数列{}n T 是一个递增数列， ∴113n T T ≥=. 综上所述，1132n T ≤<. …………………12分20. 解：（Ⅰ）函数)(x f 的定义域为R ，a e x f x +=)('，…………………1分0)0(0'=+=a e f ，1-=∴a .…………………2分∴'()1x f x e =-∵在)0,(-∞上)(,0)('x f x f <单调递减，在),0(+∞上)(,0)('x f x f >单调递增， ∴0=x 时)(x f 取极小值.1-=∴a . …………………3分易知)(x f 在)0,2[-上单调递减，在]1,0(上)(x f 单调递增；且;31)2(2+=-e f ;)1(e f =)1()2(f f >-.…………………4分 当2-=x 时，)(x f 在]1,2[-的最大值为.312+e…………………5分（Ⅱ）a e x f x +=)('，由于0>xe .①当0>a 时，)(,0)('x f x f >是增函数，…………………7分 且当1>x 时，0)1()(>-+=x a e x f x .…………………8分 当0<x 时，取a x 1-=，则0)11(1)1(<-=--+<-a aa a f ， 所以函数)(x f 存在零点，不满足题意.…………9分②当0<a 时，)ln(,0)('a x a e x f x-==+=.在))ln(,(a --∞上)(,0)('x f x f <单调递减，在)),(ln(+∞-a 上)(,0)('x f x f >单调递增， 所以)ln(a x -=时)(x f 取最小值.………………11分 函数)(x f 不存在零点，等价于0)ln(2)ln())(ln()ln(>-+-=--+=--a a a a a a e a f a ，解得02<<-a e .综上所述：所求的实数a 的取值范围是02<<-a e .………………13分21. 解：（Ⅰ）由题意1222c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，………………1分解得3,1,2===b c a ,………………3分所求椭圆C 的标准方程为13422=+y x ；………………4分 （Ⅱ）解法一：（i ）设:1PQ l x my =+，221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x ，化简得096)43(22=-++my y m . 09)43(43622>⋅++=∆m m设),,(),,(2211y x Q y x P PQ 的中点00(,)G x y ，则436221+-=+m m y y ，439221+-=m y y ，……………6分 43322210+-=+=m m y y y ，4341200+=+=m my x ， 即2243(,)3434mG m m -++，……………7分 4344343322m m m m k OG-=+⋅+-=，设)1(:--=x m y l FT ，得T 点坐标（m 3,4-），43mk OT -=，所以OT OG k k =，线段PQ 的中点在直线OT 上.……………9分 (ii) 当0=m 时，PQ 的中点为F ，)0,4(T .1||||,32||,3||2====PQ TF a b PQ TF .……………10分当0m ≠时，13)3()14(||222+=-+-=m m TF ，||11||122y y k PQ PQ-+==-+⋅+=2122124)(1y y y y m 4394)436(12222+-⋅-+-⋅+m m m m 4311222++⋅=m m .……………11分)1113(411243113||||22222+++⋅=+⋅++=m m m m m PQ TF令12+=m t .则)1)(13(41||||>+⋅=t tt PQ TF .令)1)(13(41)(>+⋅=t t t t g则函数()g t 在()1,+∞上为增函数，……………13分 所以1)1()(=>g t g .所以||||PQ TF 的取值范围是[1,)+∞.……………14分 解法二：（i ）设T 点的坐标为),4(m ，当0=m 时，PQ 的中点为F ，符合题意. ……………5分 当0m ≠时，m k m k PQ FT 3,3-==. 3:(1)PQ l y x m -=-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--==+)1(313422x m y y x ，消去x 化简得22(12)6270m y my +--=. 027)12(43622>⋅++=∆m m设),,(),,(2211y x Q y x P PQ 的中点00(,)G x y ，则126221+=+m m y y .1227221+-=m y y ，……………6分 12322210+=+=m m y y y ，121231200+=-=m my x ， 即)123,1212(22++m mm G ，……………7分 4121212322mm m m k OG=+⋅+=，又4m k OT = .所以OT OG k k =，线段PQ 的中点在直线OT 上.……………9分(ii) 当0m = 时，632PQ == , 413TF =-=,1TF PQ= ……………10分 当0m ≠时，9)14(||222+=+-=m m TF ，||11||12y y k PQ PQ-+=.=-+⋅+=2122124)(91y y y y m 12274)126(912222+-⋅-+⋅+m m m m 129422++⋅=m m .……………11分)939(4141299||||22222+++⋅=+⋅++=m m m m m PQ TF令92+=m t .则)3)(3(41||||>+⋅=t tt PQ TF .令)3)(3(41)(>+⋅=t t t t g则函数()g t 在()3,+∞上为增函数，……………13分 所以1)3()(=>g t g .所以当||||PQ TF 的取值范围是[1,)+∞.……………14分 解法三：（i ）当直线PQ l 斜率不存在时，PQ 的中点为F ，)0,4(T ，符合题意. ……………5分 当直线PQ l 斜率存在时，若斜率为0，则2l 垂直于 x 轴，与 x=4不能相交，故斜率不为0 设)1(:-=x k y l PQ ，（0k ≠）⎪⎩⎪⎨⎧-==+)1(13422x k y y x ，消去y ，化简得. 2222(34)84120k x k x k +-+-= 4222644(34)(412)144(1)0k k k k ∆=-+-=+>设),,(),,(2211y x Q y x P PQ 的中点00(,)G x y ，则2221438k k x x +=+，222143124k k x x +-=，……………6分222104342k k x x x +=+=，200433)1(k k x k y +-=-=， 即)433,434(222kk k k G +-+，……………7分 kk k k k k OG 43443433222-=+⋅+-=， 设)1(1:--=x k y l FT ，得T 点坐标（k 3,4-），k k OT 43-=，所以OT OG k k =， 线段PQ 的中点在直线OT 上.……………9分 (ii) 当直线PQ l 斜率不存在时，PQ 的中点为F ，)0,4(T .1||||,32||,3||2====PQ TF a b PQ TF .……………10分 当直线PQ l 斜率存在时，222213)3()14(||k k k TF +=-+-=，||1||122x x k PQ -+=. =-+⋅+=2122124)(1x x x x k 222222431244)438(1k k k k k +-⋅-+⋅+ 2243112k k ++⋅=.……………11分2222||34)||12(1)114TF k k PQ k k +==+++=⋅ 令211kt +=.则)1)(13(41||||>+⋅=t t t PQ TF .令)1)(13(41)(>+⋅=t t t t g 则函数()g t 在()1,+∞上为增函数，……………13分 所以1)1()(=>g t g . 所以||||PQ TF 的取值范围是),1[+∞.……………14分。
山东省2015届高三冲刺模拟(三)数学(文)试题(有答案)
绝密★启用前 试卷类型A山东省2015年高考模拟冲刺卷（三）文科数学说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集{}{}{}()12345672346=145U U M N C M N ==⋂，，，，，，，，，，，，，，则等于（ ） A ．{}12457，，，， B ．{}145，，C ．{}15，D ．{}14，2．如果复数()2bib R i-∈的实部和虚部互为相反数，那么b 等于（ ） A ．2B ．2-C ．2-D ．23．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，若2223a c b ac +-=，则角B 的值为（ ）A ．6πB ．3π C ．566或ππ D ．233或ππ 4．设,a b R ∈，则“()20a b a -<”是“a b <”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．设双曲线()222210,0-=>>x y a b a b 3，且直线2=-a x c（c 是双曲线的半焦距）与抛物线24y x =的准线重合，则此双曲线的方程为（ ）A ．2211224-=x yB ．2212412-=x yC．22163-=x yD ．22136-=x y6．函数()()sin x x f x e e x -=+的部分图象大致为（ ）7．角α顶点在坐标原点O ，始边x 轴的非负半轴重合，点P 在α的终边上，点()3,4Q --，且tan 2OP OQ α=-，则与夹角的余弦值为（ ） A ．5-B ．115C ．55或-D ．115115或8．已知P ，Q 为圆O ：2225x y +=上的任意两点，且6PQ <，若线段PQ 的中点组成的区域为M ，在圆O 内任取一点，则该点落在区域M 内的概率为 （ ）A ．35B ．925C ．1625D ．259．三棱锥S ABC -及其三视图中的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则棱SB 的长为（ ） A ．211 B ．42 C ．38D ．16310．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且()()[]222,0，当+=-∈-f x f x x 时，()21⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭xf x ，若在区间()2,6-内关于x 的方程()()()()log 2000,-+=>>af x x a a 有4个不同的根，则a 的范围是（ ） A ．1,14⎛⎫⎪⎝⎭B ．()1,4C ．()1,8D ．()8+∞第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．已知直线()10,0x ya b a b+=>>过点()1,1，则ab 的最小值为_______________．12．阅读如图所示的程序框图，若输入16i =，则输出的k值为____________．13．已知变量,x y 满足约束条件13,1,x y y z kx y x y +≥⎧⎪≤=+⎨⎪-≤⎩若的最大值为5，且k 为负整数，则k=____________．14．在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC 的内切圆面积为1S ，外接圆面积为2S ，则1214=S S ．推广到空间几何体中可以得到类似结论：若正四面体ABCD 的内切球体积为1V ，外接球体积为2V ，则12V V =___________． 15．已知函数()()244,1,ln 43,1,⎧-≤⎪==⎨-+>⎪⎩x x f x g x x x x x ，则函数()()y f x g x =-的零点个数为___________．三、解答题：本大题共6小题，共75分． 16．（本小题满分12分）已知函数()()sin 0,2πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭f x x 的部分图象如图所示．（I ）求函数()f x 的解析式，并写出()f x 的单调减区间；（II ）已知ABC ∆的内角分别是A ，B ，C ，角A 为锐角，且14,cos 21225，求sinC π⎛⎫-== ⎪⎝⎭A f B 的值．17．（本小题满分12分）某中学高三文科班学生参加了数学与地理水平测试，学校从测试合格的学生中随机抽取100人的成绩进行统计分析．抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表：人数数学优秀良好 及格 地理优秀7 20 5 良好 9 18 6 及格a4b表中数学成绩为良好的共有20+18+4=42人．（I ）若在该样本中，数学成绩优秀率为30%，求a ，b 的值；（II ）若样本中10,8a b ≥≥，求在地理成绩及格的学生中，数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率．已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差0d >，数列{}n b 是等比数列，且2235414,,b a b a b a ===．（I ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（II ）设数列{}n c 对任意正整数n ，均有12112n n nc c c a b b b +++⋅⋅⋅+=成立，求122014c c c ++⋅⋅⋅+的值．如图，在梯形ABCD 中，AB//CD ，AD=DC=CB=a ，60ABC ∠=，四边形ACFE 是矩形，且平面ACFE ⊥平面ABCD ，点M 在线段EF 上． （I ）求证：BC ⊥平面ACFE ；（II ）当EM 为何值时，AM//平面BDF ？证明你的结论．已知函数()x f x e =．（I ）当0x >时，设()()()()1gx f x a x a R =-+∈．讨论函数()g x 的单调性；（II ）证明当()21,112x f x x x ⎡⎤∈<++⎢⎥⎣⎦时，．已知椭圆()2222:10+=>>x y C a b a b 过点21,⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭Q ，且离心率2=e ． （I ）求椭圆C 的方程； （II ）已知过点()1,0的直线l 与该椭圆相交于A 、B 两点，试问：在直线2x =上是否存在点P ，使得ABP ∆是正三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．文科数学（三）一、选择题：每小题5分，共50分．1---5CCAAD 6---10ACBBD二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．（11）4；（12）2；（13）1-；（14）127；（15）3． 三、解答题：本大题共6小题，共75分． （16）解：（Ⅰ）由周期12πππ,2362T =-=得2ππ,T ω== 所以.2=ω ……2分当π6x =时，1)(=x f ，可得πsin(2) 1.6ϕ⋅+= 因为π,2ϕ<所以π.6ϕ=故π()sin(2).6f x x =+ ……………………4分由图象可得)(x f 的单调递减区间为π2ππ,π,.63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎦⎣Z ………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，ππsin(2())12126A -+=, 即1sin 2A =,又角A 为锐角,∴π6A =． …………8分0πB <<，53cos 1sin ,02=-=∴<<B B B π． ……………9分 )sin(sin B A C --=∴π)sin(B A += …………10分B A B A sin cos cos sin +=1033453235421+=⨯+⨯=． ……12分 （17）解：（Ⅰ）由790.3100a++=，得14a =， …………3分∵792018456100,a b ++++++++=∴17b =，∴14a =，17b =； …………6分 （Ⅱ）由题意知31a b +=，且10,8a b ≥≥，∴满足条件的(,)a b 有(10,21),(11,20),(12,19),(13,18),(14,17),(15,16), (16,15),(17,14),(18,13),(19,12),(20,11),(21,10),(22,9),(23,8)共14组．且每组出现的可能性相同． …………9分 其中数学成绩优秀的人数比及格的人数少的有：(10,21),(11,20),(12,19),(13,18),(14,17),(15,16)共6组． …………11分∴数学成绩为优秀的人数比及格的人数少的概率为63147=． …………12分 （18）解：（Ⅰ）∵25141,14,113a d a d a d =+=+=+，且2514,,a a a 成等比数列，∴2(14)(1)(113)d d d +=++，解得，2d=， ……………………………………2分∴1(1)22 1.n a n n =+-⋅=- ………………………………………4分又∵22353,9,b a b a ====∴113,1,3.n n q b b -=== ………………………6分（Ⅱ）∵12112n n nc b b ++…12112n n n c c c a b b b ++++=， ① ∴121ca b =，即1123c b a ==， ……………………………………………………7分 又12112n n nc c c a b b b ++++=…+112121(2)n n n c c c a n b b b --++=≥， ② ①-②，得12nn n nc a a b +=-=, ∴1223(2)n n n c b n -==⋅≥，∴13(1)23(2)n n n c n -=⎧=⎨⋅≥⎩，……………………………10分 则12201411220143232323c c c -+++=+⋅+⋅++⋅12201332(333)=+⋅+++201320143(13)323.13-=+⨯=-……………………………12分（19）解：（Ⅰ）在梯形ABCD 中，CD AB // ， ︒=∠===60,ABC a CB DC AD ，∴四边形ABCD 是等腰梯形，且︒︒=∠=∠=∠120,30DCB DAC DCA ，︒=∠-∠=∠∴90DCA DCB ACB ，BC AC ⊥∴． …………3分 又平面⊥ACFE 平面ABCD ，交线为AC ，⊥∴BC 平面ACFE ． …………6分（Ⅱ）当a EM 33=时，//AM 平面BDF ， ……7分 在梯形ABCD 中，设AC BD N =，连接FN ，则2:1:=NA CN ， a EM 33=，而a AC EF 3==，2:1:=∴MF EM ， …………9分 AN MF //∴，∴四边形ANFM 是平行四边形，NF AM //∴， 又⊂NF平面BDF ，⊄AM 平面BDF //AM ∴平面BDF ． …………12分（20）解：（Ⅰ）()(1)x g x a x =-+e ，所以()(1)xg x a '=-+e ．……………………2分当0x >时，e 1x >，故有：当11a +≤，即0a ≤时，(0)x ∈+∞，，()0g x '>；当11a +>，即0a >时，e 1x >，令()0g x '>，得ln(1)x a >+；令()0g x '<，得0ln(1)x a <<+，………………………5分综上，当0a ≤时，()g x 在(0)+∞，上是增函数；当0a >时，()g x 在(0ln(1))a +，上是减函数，在(ln(1))a ++∞，上是增函数．………6分 （Ⅱ）设22()()(1)e 1xh x f x x x x x =-++=---，则()e 21xh x x '=--， 令()()e 21xm x h x x '==--，则()e 2xm x '=-， (8)MECD BA N F分 因为1[,1]2x ∈，所以当1[,ln 2)2x ∈时，()0m x '<；()m x 在1[,ln 2)2上是减函数， 当(ln 2,1]x ∈时，()0m x '>，()m x 在(ln 2,1]上是增函数，又1()20,(1)e 30,2m m =<=-<所以当1[,1]2x ∈时,恒有()0m x <,即()0h x '<,所以()h x 在1[,1]2上为减函数，所以17()()024h x h ≤=<， 即当1[,1]2x ∈时，2()1f x x x <++． …………………………………………13分 （21）解：（Ⅰ）由题意得2221121,c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩……2分 解得222,1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩…………………4分 所以椭圆C 的方程为22:12x C y +=． …………………………………… 5分 （Ⅱ）当直线l 的斜率为0时，不存在符合题意的点P ； …………………6分 当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为1(0)x my m =+≠, 代入2212x y +=，整理得22(2)210m y my ++-=, 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12222m y y m +=-+，12212y y m =-+, 设存在符合题意的点(2,)(0)P t t ≠，则221212||1()4AB m y y y y ===++-22211)()m y y +-=221)2m m +==+, …………………………………8分 设线段AB 的中点33(,)M x y ，则123222y y m y m +==-+， 所以332212x my m =+=+, 因为ABP ∆是正三角形，所以AB PM ⊥，且||||PM AB =, ……………9分 由AB PM ⊥得1AB PM k k ⋅=-即3311PP y y m x x -⋅=--，所以33()P P y y m x x -=--,所以22222(1)|||2|22m PM m m +==-=++,……………10分由||||PM AB =222(1)2m m +=+，解得212m =，所以2m =±．……………………………………………………12分 由33()P P y y m x x -=--得2222(1)()22m m t m m m +--=-⋅++,所以22(23))25m m t m +=-=±+,所以存在符合题意的点(2,5P ±．………………………………………………14分。
【解析】山东省实验中学2015届高三第二次诊断性考试文科数学试题
【解析】山东省实验中学2015届高三第二次诊断性考试文科数学试题【试卷综析】本试卷是高三文科试卷，以基础知识和基本能力为载体，，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，试题重点考查：集合、不等式、向量、导数、简单的线性规划,数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷 【题文】一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分.每小题只有一个选项．．．．．．符合题意） 【题文】1.设集合{}21212A x x B x x ⎧⎫=-<<=≤⎨⎬⎩⎭，，则A B ⋃= A.{}12x x -≤<B.112x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭C.{}2x x <D. {}2x x 1≤<【知识点】集合及其运算A1 【答案】A【解析】由题意得B={ x 11x -≤≤}则A B ⋃={}12x x -≤<。
【思路点拨】先求出集合B ，再求并集。
【题文】2.已知34,cos tan 254παππαα⎛⎫⎛⎫∈=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，则等于 A.7B.17C.17-D.7-【知识点】同角三角函数的基本关系式与诱导公式C2 【答案】B【解析】由4cos 5∂=-，3(,)2ππ∂∈，tan ∂=34,则tan()4π-∂=17【思路点拨】根据同角三角函数基本关系求出正切值，再求结果。
【题文】3.下列有关命题的叙述，①若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题； ②“5x >”是“2450x x -->”的充分不必要条件；③命题:p x R ∃∈，使得210x x +-<，则:p x R ⌝∀∈，使得210x x +-≥；④命题“若2320x x -+=，则12x x ==或”的逆否命题为“若12x x ≠≠或，则2320x x -+≠”。
其中错误的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 【知识点】命题及其关系A2 【答案】B 【解析】若p q 为真命题，则至少有有一个为真，所以不一定为真，所以①错误。
山东省济南市2024届高三下学期高考针对性训练(5月模拟)数学试题含答案
绝密★启用并使用完毕前高考针对性训练数学试题本试卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设12i2iz -=+，则z =（）A ．iB ．i-C ．4i 5+D ．4i 5-2．若sin cos αα-=，则tan α=（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-3．()6111x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（）A ．5-B ．5C ．15D ．354．已知{}n a 是等比数列，且27844a a a a =-=-，则3a =（）A ．B ．C ．2-D ．2±5．某单位设置了a ，b ，c 三档工资，已知甲、乙、丙三人工资各不相同，且甲的工资比c 档高，乙的工资比b 档高，丙领取的不是b 档工资，则甲、乙、丙领取的工资档次依次为（）A ．a ，b ，cB ．b ，a ，cC ．a ，c ，bD ．b ，c ，a6．三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥．若该三棱锥的最长的棱长为9，最短的棱长为3，则该三棱锥的最大体积为（）A B C ．18D ．367．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P在C 上，且2122PF PF a ⋅= ，PO = ，则C 的离心率为（）A B C ．3D ．28．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()yf x xf y xy x y -=-，则下列结论一定成立的是（）A ．()11f =B ．()f x 为偶函数C ．()f x 有最小值D ．()f x 在[]0,1上单调递增二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．某同学投篮两次，第一次命中率为23．若第一次命中，则第二次命中率为34；若第一次未命中，则第二次命中率为12．记()1,2i A i =为第i 次命中，X 为命中次数，则（）A ．22()3P A =B ．4()3E X =C ．4()9D X =D ．123(|)4P A A =10．已知ABC △内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，外接圆半径为R ．若1a =，且()sin sin sin A b B c b C -=+，则（）A ．3sin 2A =B ．ABC △面积的最大值为34C ．3R =D ．BC 边上的高的最大值为611．已知函数()sin ln f x x x =⋅，则（）A ．曲线()y f x =在πx =处的切线斜率为ln πB ．方程()2024f x =有无数个实数根C ．曲线()y f x =上任意一点与坐标原点连线的斜率均小于1eD ．2()2x y f x =-在()1,+∞上单调递减三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．数列{}n a 满足22n n a a +-=，若11a =，44a =，则数列{}n a 的前20项的和为______．13．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，4AB =，16AA =，M ，N 分别是AB ，AD 的中点，则平面1MNC 截该四棱柱所得截面的周长为______．14．已知抛物线22x y =与圆()()22240x y rr +-=>相交于四个不同的点A ，B ，C ，D ，则r 的取值范围为______，四边形ABCD 面积的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，利润稳步提高．统计该企业2019年至2023年的利润（单位：亿元），得到如图所示的散点图．其中2019年至2023年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5．（1）根据散点图判断，y a bx =+和2y c dx =+哪一个适宜作为企业利润y （单位：亿元）关于年份代码x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）中的判断结果，建立y 关于x 的回归方程；（3）根据（2）的结果，估计2024年的企业利润．参考公式及数据；1221ˆni ii ni i x ynx ybx nx==-=-∑∑，ˆˆay bx =-，52155i i x ==∑，541979ii x ==∑，51390i i y ==∑，511221i i i x y ==∑，5214607.9i i i x y ==∑16．（本小题满分15分）如图，在三棱台ABC DEF -中，平面ABC ⊥平面BCFE ，AF DE ⊥，45ABC CBF ∠=∠=︒，1AC AB >=．（1）求三棱台ABC DEF -的高；（2）若直线AC 与平面ABF 所成角的正弦值为155，求BC ．17．（本小题满分15分）已知函数()22xxf x a =+-，其中0a >且1a ≠．（1）若()f x 是偶函数，求a 的值；（2）若0x >时，()0f x >，求a 的取值范围．18．（本小题满分17分）已知点21,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>上，A 到E的两焦点的距离之和为．（1）求E 的方程；（2）过抛物线()2:1C y x m m =->上一动点P ，作E 的两条切线分别交C 于另外两点Q ，R ．（ⅰ）当P 为C 的顶点时，求直线QR 在y 轴上的截距（结果用含有m 的式子表示）；（ⅱ）是否存在m ，使得直线QR 总与E 相切．若存在，求m 的值；若不存在，说明理由．19．（本小题满分17分）高斯二项式定理广泛应用于数学物理交叉领域．设,y q ∈R ，*n ∈N ，记[]11n n q q-=++⋅⋅⋅+，[][][][]!11n n n =⨯-⨯⋅⋅⋅⨯，并规定[]0!1=．记1(,)()()()()n n q F x n x y x y x qy x q y -=+=++⋅⋅⋅+，并规定()0,0()1q F x x y =+=．定义[][][](,),0(,)11(),1,2,,kqn kq F x n k D F x n n n n k x y k n-=⎧⎪=⎨-⋅⋅⋅-++=⋅⋅⋅⎪⎩（1）若1y q ==，求(),2F x 和1(,2)q D F x ；（2）求[][]!(0,)!k qn k D F n n -；（3）证明：[]0(0,)(,)!k nq k k D F n F x n x k ==∑．2024年5月济南市高三模拟考试数学试题参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678答案ABACBCDC二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．题号91011答案ABDADBCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．21013．14．4)；四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解析】（1）2y c dx =+适宜作为企业利润y （单位：亿元）关于年份代码x 的回归方程类型．（2）由题意得：52211()115i i x x ===∑，511785i i y y ===∑，52215222221553905()4607.95317.9550.8537455()5()9795ˆ5i ii ii xy x ydx x ==-⨯-⨯⨯====⎛⎫-⨯-⨯ ⎪⎝⎭∑∑，239055()0.8568.655ˆ5ˆcy d x =-⨯=-⨯=，所以，268.65ˆ0.85y x =+．（3）令6x =，268.650.85699.25ˆy=+⨯=，估计2024年的企业利润为99.25亿元．另解（此种解法酌情给分）：（1）y a bx =+适宜作为企业利润y （单位：亿元）关于年份代码x 的回归方程类型．（2）由题意得：1234535x ++++==，511785i i y y ===∑，()()515222151221537851 5.13ˆ555105i ii i i x yx ybx x==-⨯-⨯⨯====-⨯-⨯∑∑，()78 5.1362.7ˆˆa y b x =-⨯=-⨯=，所以，7ˆ62. 5.1yx =+．（3）令6x =，62.7 5.1693.3ˆy=+⨯=，估计2024年的企业利润为93.3亿元．16．【解析】解：（1）作FO BC ⊥于点O ，因为平面ABC ⊥平面BCFE ，所以FO ⊥平面ABC ，FO 即为三棱台ABC DEF -的高．又因为AB ⊂平面ABC ，所以FO AB ⊥．连接AO ，因为AB DE ∥，AF DE ⊥，所以AB AF ⊥，FO AF F = ，所以AB ⊥平面AFO ，又AO ⊂平面AFO ，所以AB AO ⊥．45ABC CBF ∠=∠=︒，1AB =．所以1AO =，BO FO ==ABC DEF -．（2）以O 为原点，在面ABC 内，作OG BC ⊥，以OG ，OB ，OF 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，B，F，,,022AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，FB =，设平面ABF 的法向量为(),,n x y z =则022n FB n AB x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，可取()1,1,1n = ，设BC BO λ=，则22,022AC ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，设直线AC 与平面ABF 所成角为α，15sin cos ,5AC n α===，化简得281890λλ-+=，解得32λ=或34λ=（舍去，因为AC AB >，所以1λ>），所以BC =．17．【解析】（1）由题意，()()11f f -=，即112222a a +-=+-，解得，12a =或2a =-（舍）又经检验，12a =时，()f x 是偶函数．所以，a 的值为12．（2）当12a =时，0x ∀>，1()22202x xf x ⎛⎫=+->= ⎪⎝⎭成立；当12a >且1a ≠时，0x ∀>，1()22222xx x xf x a ⎛⎫=+->+- ⎪⎝⎭，又12202xx⎛⎫+-> ⎪⎝⎭已证，故此时符合题意；当102a <<时，()ln 2ln 2x xf x a a '=+，易知，此时()f x '在R 上单调递增，且(0)ln(2)0f a =<'．故存在00x >，使得当0(0,)x x ∈时，()0f x '<，从而()f x 单调递减，所以，存在02x >，使得0(0)02x f f ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，故此时不合题意．综上所述，12a ≥且1a ≠．18．【解析】（1）由题意2a =，得a =又21,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在E 上，得221112a b +=，从而1b =．故E 的方程为2212x y +=．（2）（ⅰ）当P 为C 的顶点时，()0,P m ，不妨设R 在第一象限，直线PR 的方程为y kx m =-，联立E 的方程为2212x y +=可得222(21)4220k x kmx m +-+-=．由22222Δ(4)4(21)(22)8(21)0km k m k m =-+-=-+=可得2221k m +=．联立直线PR 的方程y kx m =-与抛物线2:C y x m =-的方程可得x k =，则R 点的纵坐标为22212122R m m m y k m m ---=-=-=，由对称性知2212Q m m y --=，故直线QR 在y 轴上的截距为2212m m --．（ⅱ）要使（2）中的直线QR 与E 相切，必有22112m m b --==，即2230m m --=，解得3m =或1-（舍去）．设()11,P x y ，()22,Q x y ，()33,R x y ，则2113y x =-，2223y x =-，2333y x =-．直线PQ 的方程为211121()y y y y x x x x --=--，即1212()3y x x x x x =+--．联立椭圆方程2212x y +=可得222121212122()14()(3)2(3)20x x x x x x x x x x ⎡⎤++-++++-=⎣⎦．由[]22212121212Δ4()(3)42()12(3)2x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=++-+++-⎣⎦⎣⎦22221212128(2228)0x x x x x x =+---=可得222212*********x x x x x x +---=，即121212250x x y y y y ++++=．同理可得131313250x x y y y y ++++=．因为直线1112(1)50x x y y y ++++=同时经过点QR ，所以QR 的直线方程为1112(1)50x x y y y ++++=．联立椭圆方程2212x y +=可得222111118(1)8(5)16480x y x x y x y ⎡⎤++++++=⎣⎦，于是[]2222211111111Δ8(5)48(1)(1648)64(1)(3)0x y x y y y x y ⎡⎤=+-+++=+--=⎣⎦．故直线QR 与椭圆相切，因此3m =符合题意．19．【解析】（1）若1y q ==，222(,2)()()(1)(1)F x x y x qy x q xy y x =++=+++=+，而[]11(,2)2()(1)()2(1)q q D F x x y q x y x =+=++=+．（2）当0k =时，[][](1)2!(0,)(0,)(0,)!n n k n q q n k D F n D F n F n q y n --===．当0k ≠时，由[][][](0,)11(0)kn kq qD F n n n k y -=-⋅⋅⋅++[][][][][]()(1)()(1)/22!11!n k n k n k n k n kn k n n n n k qyqy n k --------=-⋅⋅⋅-+=-，可得[][]()(1)2!(0,)!n k n k k n k q n k D F n q y n -----=．因此[][]()(1)2!(0,)!n k n k k n k q n k D F n q y n -----=，0,1,2,,k n = ．（3）要证[]0(0,)(,)!k nq k k D F n F x n x k ==∑，只需证[][][][][]1()(1)/2(1)/200!!()()()![]!!!nnn n k n k n k kk k n k k k k n n x y x qy x qy q y x q x y n k k n k k -------==++⋅⋅⋅+==--∑∑．令1()()()()nn k k k G y x y x qy x q y a y -==++⋅⋅⋅+=∑，一方面，110101()()()()n nkkk k k n n k k k n k k x y G qy x y a q y xa xq a q a y a q y -+-==+=+=+++∑∑，另一方面，10101()()()()n nnnkn k n n k k k n k k x q y G y x q y a y xa xa q a y a q y +-==+=+=+++∑∑，当1q ≠且0x ≠时，由于()()()()nx y G qy x q y G y +=+，比较两式中ky 的系数可得111k k n k k k k xq a q a xa q a ---+=+，则[]1111(1)[]k n k k kk q n k a q q a x q x k ----+-==-⋅，由0na x =可知[][][](1)1120120!!!k k n k k k k k k n a a a a a q x a a a n k k -----=⋅⋅⋅⋅⋅=-．当1q =时，由[]11n n q qn -=++⋅⋅⋅+=，[]!!n n =可知()[][]00!C ![]!nn nn k k k n k kn k k n x y y x yx n k k --==+==-∑∑，此时命题也成立．当0x =时，[](1)/2(0,)(,)(0,)!k nq n n nk qk D F n F x n qy D F n x k -====∑也成立．综上所述，()()[]00,,!knq k k D F n F x n x k ==∑．。
2015年山东省济南市高考一模数学试卷(文科)【解析版】
2015年山东省济南市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合M＝{x|x2+2x﹣3＝0}，N＝{﹣1，2，3}，则M∪N＝（）A．{﹣1，3}B．{﹣1，1，3}C．{﹣1，1，2，﹣3，3}D．{﹣1，1，﹣3}2．（5分）已知复数z满足（1﹣i）z＝i（i是虚数单位），则z在复平面内对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）函数的定义域为（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．D．4．（5分）“cosα＝”是“α＝”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是（）A．若a＜b，则ac2＜bc2B．若a＞b＞0，c＜0，则C．若a＞b，则（a+c）2＞（b+c）2D．若ab＞0，则6．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．9B．16C．25D．367．（5分）已知x，y满足约束条件，若z＝2x+y的最大值和最小值分别为a，b，则a+b＝（）A．7B．6C．5D．48．（5分）已知函数y＝f（x）是R上的偶函数，当x1，x2∈（0，+∞）时，都有（x1﹣x2）•[f（x1）﹣f（x2）]＜0．设，则（）A．f（a）＞f（b）＞f（c）B．f（b）＞f（a）＞f（c）C．f（c）＞f（a）＞f（b）D．f（c）＞f（b）＞f（a）9．（5分）已知F1，F2是双曲线的两个焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线一个交点是P，且△F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（）A．B．C．2D．510．（5分）设函数f（x）的定义域为R，若存在常数ω＞0，使|f（x）|≤ω|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为“条件约束函数”．现给出下列函数：①f （x）＝4x；②f（x）＝x2+2；③；④f（x）是定义在实数集R上的奇函数，且对一切x1，x2均有|f（x1）﹣f（x2）|≤4|x1﹣x2|．其中是“条件约束函数”的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11．（5分）100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则模块测试成绩落在[50，70）中的学生人数是．12．（5分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A：sin B：sin C＝1：2：，则角C＝．13．（5分）某圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为的扇形，则该几何体的体积为．14．（5分）设是单位向量，且的最大值为．15．（5分）已知P是直线3x+4y﹣10＝0上的动点，P A，PB是圆x2+y2﹣2x+4y+4＝0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形P ACB面积的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共75分）16．（12分）设函数（其中ω＞0），且f（x）的最小正周期为2π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）将函数y＝f（x）图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，求函数g（x）的单调增区间．17．（12分）某在元宵节活动上，组织了“摸灯笼猜灯谜”的趣味游戏．已知在一个不透明的箱子内放有大小和形状相同的标号分别为1，2，3的小灯笼若干个，每个灯笼上都有一个谜语，其中标号为1的小灯笼1个，标号为2的小灯笼2个，标号为3的小灯笼n个．若参赛者从箱子中随机摸取1个小灯笼进行谜语破解，取到标号为3的小灯笼的概率为．（Ⅰ）求n的值；（Ⅱ）从箱子中不放回地摸取2个小灯笼，记第一次摸取的小灯笼的标号为a，第二次摸取的小灯笼的标号为b．记“a+b≥4”为事件A，求事件A的概率．18．（12分）如图，平面PBA⊥平面ABCD，∠DAB＝90°，PB＝AB，BF⊥P A，点E在线段AD上移动．（Ⅰ）当点E为AD的中点时，求证：EF∥平面PBD；（Ⅱ）求证：无论点E在线段AD的何处，总有PE⊥BF．19．（12分）数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝2a n（n∈N*），S n为其前n项和．数列{b n}为等差数列，且满足b1＝a1，b4＝S3．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n＝，数列{c n}的前n项和为T n，证明：．20．（13分）已知函数f（x）＝e x+ax﹣a（a∈R且a≠0）．（Ⅰ）若函数f（x）在x＝0处取得极值，求实数a的值；并求此时f（x）在[﹣2，1]上的最大值；（Ⅱ）若函数f（x）不存在零点，求实数a的取值范围．21．（14分）在平面直角坐标系xoy中，椭圆的焦距为2，一个顶点与两个焦点组成一个等边三角形．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）椭圆C的右焦点为F，过F点的两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与椭圆C交于P，Q两点，直线l2与直线x＝4交于T点．（i）求证：线段PQ的中点在直线OT上；（ii）求的取值范围．2015年山东省济南市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合M＝{x|x2+2x﹣3＝0}，N＝{﹣1，2，3}，则M∪N＝（）A．{﹣1，3}B．{﹣1，1，3}C．{﹣1，1，2，﹣3，3}D．{﹣1，1，﹣3}【解答】解：由M中方程变形得：（x﹣1）（x+3）＝0，解得：x＝1或x＝﹣3，即M＝{﹣3，1}，∵N＝{﹣1，2，3}，∴M∪N＝{﹣1，1，2，﹣3，3}，故选：C．2．（5分）已知复数z满足（1﹣i）z＝i（i是虚数单位），则z在复平面内对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：由（1﹣i）z＝i，得，∴z在复平面内对应的点的坐标为（），位于第二象限．故选：B．3．（5分）函数的定义域为（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．D．【解答】解：要使函数有意义，有，解得x≥1，所以函数f（x）的定义域是[1，+∞），故选：A．4．（5分）“cosα＝”是“α＝”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵“cosα＝”⇒“α＝+2kπ，k∈Z，或α＝”，“α＝”⇒“cosα＝”．故选：B．5．（5分）已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是（）A．若a＜b，则ac2＜bc2B．若a＞b＞0，c＜0，则C．若a＞b，则（a+c）2＞（b+c）2D．若ab＞0，则【解答】解：A．c＝0时不成立；B．∵a＞b＞0，∴，又c＜0，则，因此不正确；C．若0＞a+c＞b+c，则（a+c）2＞（b+c）2不成立；D．∵ab＞0，则＝2，当且仅当a＝b时取等号，因此正确．故选：D．6．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．9B．16C．25D．36【解答】解：模拟执行程序，可得S＝0，i＝1T＝1，S＝1，i＝2不满足条件i＞4，T＝3，S＝4，i＝3不满足条件i＞4，T＝5，S＝9，i＝4不满足条件i＞4，T＝7，S＝16，i＝5满足条件i＞4，退出循环，输出S的值为16．故选：B．7．（5分）已知x，y满足约束条件，若z＝2x+y的最大值和最小值分别为a，b，则a+b＝（）A．7B．6C．5D．4【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，﹣1），B（3，0），化目标函数z＝2x+y为y＝﹣2x+z，由图可知，当直线y＝﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最小，z最小等于2×1﹣1＝1；当直线y＝﹣2x+z过B时，直线在y轴上的截距最大，z最大等于2×3﹣0＝6．∴a+b＝1+6＝7．故选：A．8．（5分）已知函数y＝f（x）是R上的偶函数，当x1，x2∈（0，+∞）时，都有（x1﹣x2）•[f（x1）﹣f（x2）]＜0．设，则（）A．f（a）＞f（b）＞f（c）B．f（b）＞f（a）＞f（c）C．f（c）＞f（a）＞f（b）D．f（c）＞f（b）＞f（a）【解答】解：根据已知条件便知f（x）在（0，+∞）上是减函数；且f（a）＝f（|a|），f（b）＝f（|b|），f（c）＝f（|c|）；|a|＝lnπ＞1，b＝（lnπ）2＞|a|，c＝；∴f（c）＞f（a）＞f（b）．故选：C．9．（5分）已知F1，F2是双曲线的两个焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线一个交点是P，且△F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（）A．B．C．2D．5【解答】解：因为△F1PF2的三条边长成等差数列，不妨设|PF2|，|PF1|，|F1F2|成等差数列，分别设为m﹣d，m，m+d，则由双曲线定义和勾股定理可知：m ﹣（m﹣d）＝2a，m+d＝2c，（m﹣d）2+m2＝（m+d）2，解得m＝4d＝8a，c＝，故离心率e＝＝5，故选：D．10．（5分）设函数f（x）的定义域为R，若存在常数ω＞0，使|f（x）|≤ω|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为“条件约束函数”．现给出下列函数：①f （x）＝4x；②f（x）＝x2+2；③；④f（x）是定义在实数集R 上的奇函数，且对一切x1，x2均有|f（x1）﹣f（x2）|≤4|x1﹣x2|．其中是“条件约束函数”的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：对于①，f（x）＝4x，易知ω＝4符合题意，①是“条件约束函数”，对于②，用“条件约束函数”的定义不难发现：因为x→0时，||→∞，所以不存在常数ω＞0，使|f（x）|≤ω|x|对一切实数x均成立，②不是“条件约束函数”，对于③，因为|f（x）|＝≤|x|，所以存在常数ω＝＞0，使|f（x）|≤ω|x|对一切实数x均成立，③是“条件约束函数”函数，对于④，f（x）是定义在实数集R上的奇函数，故|f（x）|是偶函数，因而由|f（x1）﹣f（x2）|≤4|x1﹣x2|得到，|f（x）|≤4|x|成立，存在ω≥4＞0，使|f（x）|≤ω|x|对一切实数x均成立，符合题意，④是“条件约束函数”，故选：C．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11．（5分）100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则模块测试成绩落在[50，70）中的学生人数是25．【解答】解：根据频率分布直方图中频率和为1，得；10（2a+3a+7a+6a+2a）＝1，解得a＝；∴模块测试成绩落在[50，70）中的频率是10（2a+3a）＝50a＝50×＝，∴对应的学生人数是100×＝25．故答案为：25．12．（5分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A：sin B：sin C＝1：2：，则角C＝．【解答】解：∵sin A：sin B：sin C＝1：2：，由正弦定理可得：a：b：c＝1：2：，不妨取a＝1，b＝2，c＝．∴cos C＝＝＝．∵C∈（0，π），∴．故答案为：．13．（5分）某圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为的扇形，则该几何体的体积为2π．【解答】解：由三视图知几何体为圆柱的一部分，且圆柱的高为3，底面圆的半径为2，由正视图与俯视图判断底面扇形的中心角为60°，∴几何体的体积V＝×π×22×3＝2π，故答案为：2π．14．（5分）设是单位向量，且的最大值为．【解答】解：由于，，都是单位向量且，可设，，，则＝（1﹣cosθ，﹣sinθ）•（﹣cosθ，1﹣sinθ）＝﹣cosθ+cos2θ﹣sinθ+sin2θ＝1﹣（sinθ+cosθ）＝1﹣，显然的最大值为，故答案为：1+．15．（5分）已知P是直线3x+4y﹣10＝0上的动点，P A，PB是圆x2+y2﹣2x+4y+4＝0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形P ACB面积的最小值为2．【解答】解：圆的标准方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝1，则圆心为C（1，﹣2），半径为1，则直线与圆相离，如图，S四边形P ACB＝S△P AC+S△PBC而S△P AC＝|P A|•|CA|＝|P A|，S△PBC＝|PB|•|CB|＝|PB|，又|P A|＝，|PB|＝，∴当|PC|取最小值时，|P A|＝|PB|取最小值，即S△P AC ＝S△PBC取最小值，此时，CP⊥l，|CP|＝＝，则|P A|＝＝2，则S△P AC ＝S△PBC＝×2×1＝，即四边形P ACB面积的最小值是2．故答案为：2三、解答题：本大题共6小题，共75分）16．（12分）设函数（其中ω＞0），且f（x）的最小正周期为2π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）将函数y＝f（x）图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，求函数g（x）的单调增区间．【解答】解：（Ⅰ）函数＝2sin（2ωx+）（其中ω＞0），它的最小正周期为＝2π，∴ω＝，故f（x）＝2sin（x+）．（Ⅱ）将函数y＝f（x）图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）＝2sin（2x+）的图象，令2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈z，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数g（x）的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z．17．（12分）某在元宵节活动上，组织了“摸灯笼猜灯谜”的趣味游戏．已知在一个不透明的箱子内放有大小和形状相同的标号分别为1，2，3的小灯笼若干个，每个灯笼上都有一个谜语，其中标号为1的小灯笼1个，标号为2的小灯笼2个，标号为3的小灯笼n个．若参赛者从箱子中随机摸取1个小灯笼进行谜语破解，取到标号为3的小灯笼的概率为．（Ⅰ）求n的值；（Ⅱ）从箱子中不放回地摸取2个小灯笼，记第一次摸取的小灯笼的标号为a，第二次摸取的小灯笼的标号为b．记“a+b≥4”为事件A，求事件A的概率．【解答】解：（Ⅰ）由题意，，∴n＝1…（4分）（Ⅱ）记标号为2的小灯笼为a1，a2；连续摸取2个小灯笼的所有基本事件为：（1，a1），（1，a2），（1，3），（a1，1），（a2，1），（3，1），（a1，a2），（a1，3），（a2，a1），（3，a1），（a2，3），（3，a2）共12个基本事件．…（8分）A包含的基本事件为：（1，3），（3，1），（a1，a2），（a2，a1），（a1，3），（3，a1），（a2，3），（3，a2）…（10分）∴＝…（12分）18．（12分）如图，平面PBA⊥平面ABCD，∠DAB＝90°，PB＝AB，BF⊥P A，点E在线段AD上移动．（Ⅰ）当点E为AD的中点时，求证：EF∥平面PBD；（Ⅱ）求证：无论点E在线段AD的何处，总有PE⊥BF．【解答】证明：（Ⅰ）因为在三角形PBA中，PB＝AB，BF⊥P A，所以F是P A的中点，连接EF，…（2分）在△PDA中，点E，F分别是边AD，P A的中点，所以EF∥PD…（4分）又EF⊄平面PBD，PD⊂平面PBD所以EF∥平面PBD．…（6分）（Ⅱ）因为平面PBA⊥平面ABCD，平面PBA∩平面ABCD＝AB，∠DAB＝90°，DA⊥AB，DA⊂平面ABCD所以DA⊥平面PBA…（8分）又BF⊂平面PBA，所以DA⊥BF，又BF⊥P A，P A∩DA＝A，P A，DA⊂平面PDA，所以BF⊥面PDA…（10分）又PE⊂平面PDA所以BF⊥PE所以无论点E在线段AD的何处，总有PE⊥BF．…（12分）19．（12分）数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝2a n（n∈N*），S n为其前n项和．数列{b n}为等差数列，且满足b1＝a1，b4＝S3．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n＝，数列{c n}的前n项和为T n，证明：．【解答】（I）解：∵数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝2a n（n∈N*），∴数列{a n}是等比数列，公比为2，首项为1，∴a n＝1×2n﹣1＝2n﹣1．∵设等差数列{b n}的公差为d，满足b1＝a1，b4＝S3，∴b1＝1，b1+3d＝1+2+22，解得d＝2．∴b n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．∴a n＝2n﹣1．b n＝2n﹣1．（2）证明：c n＝＝＝＝，∴数列{c n}的前n项和为T n＝+…+＝，∵数列为单调递增数列，∴≤T n．∴．20．（13分）已知函数f（x）＝e x+ax﹣a（a∈R且a≠0）．（Ⅰ）若函数f（x）在x＝0处取得极值，求实数a的值；并求此时f（x）在[﹣2，1]上的最大值；（Ⅱ）若函数f（x）不存在零点，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为R，f′（x）＝e x+a，由函数f（x）在x＝0处取得极值，则f′（0）＝1+a＝0，解得a＝﹣1，即有f（x）＝e x﹣x+1，f′（x）＝e x﹣1，当x＜0时，有f′（x）＜0，f（x）递减，当x＞0时，有f′（x）＞0，f（x）递增．则x＝0处f（x）取得极小值，也为最小值，且为2，又f（﹣2）＝e﹣2+3，f（1）＝e，f（2）＞f（1），即有f（﹣2）为最大值e﹣2+3；（Ⅱ）函数f（x）不存在零点，即为e x+ax﹣a＝0无实数解，由于x＝1时，e+0＝0显然不成立，即有a∈R且a≠0．若x≠1，即有﹣a＝，令g（x）＝，则g′（x）＝，当x＞2时，g′（x）＞0，g（x）递增，当x＜1和1＜x＜2时，g′（x）＜0，g（x）递减．即有x＝2处g（x）取得极小值，为e2，在x＜1时，g（x）＜0，则有0＜﹣a＜e2，解得﹣e2＜a＜0，则实数a的取值范围为（﹣e2，0）．21．（14分）在平面直角坐标系xoy中，椭圆的焦距为2，一个顶点与两个焦点组成一个等边三角形．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）椭圆C的右焦点为F，过F点的两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与椭圆C交于P，Q两点，直线l2与直线x＝4交于T点．（i）求证：线段PQ的中点在直线OT上；（ii）求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆得，解得a＝2，c＝1，b＝，故所求椭圆的标准方程为．（Ⅱ）（i）设直线PQ的方程为：x＝my+1，代入椭圆方程得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，则判别式△＝36m2+4×9（3m2+4）＞0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点G（x0，y0），则y1+y2＝，y1y2＝，则y0＝（y1+y2）＝，x0＝my0+1＝，即G（，），k OG＝＝﹣，设直线FT的方程为：y＝﹣m（x﹣1），得T点坐标为（4，﹣3m），∵k OT＝﹣，∴k OG＝k OT，即线段PQ的中点在直线OT上；（ii）当m＝0时，PQ的中点为F，T（4，0），则|TF|＝3，|PQ|＝，，当m≠0时，|TF|＝＝，|PQ|＝＝＝＝12，则＝＝（3+），设t＝，则t＞1，则y＝3+＝3t+＝3（t+）在（1，+∞）为增函数，则y＞3+1＝4，则（3+），综上≥1，故求的取值范围是[1，+∞）．。
山东省2015年高考数学(文)冲刺卷及答案(二)
绝密★启用前 试卷类型A山东省2015年高考模拟冲刺卷（二）文科数学说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若集合{|02},{|11}A y y B x x =≤<=-<<，则R ()A B = （ ）A ．{|01}x x ≤≤ B ．{|12}x x ≤<C ．{|10}x x -<≤D ．{|01}x x ≤<2．已知复数(1i)(12i)z =-+，其中i 为虚数单位，则z 的实部为 （ ）A ．3-B ．1C ．1-D ．33．数列{}n a 为等差数列，123,,a a a 为等比数列，11a =，则10a = （ ）A ．5B ．1-C ．0D ．14．函数()si ()n f x A x ωϕ＝＋（000A ωϕπ>><<，，）的图象如图所示，则(0)f 的值为 （ ） A ．1 B ．0 C 2D 35．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线:10l x ky -+=与圆22:4C x y +=相交于, A B 两点，OM OA OB =+．若点M 在圆C 上，则实数k = （ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．1x yO 1112π 6π22-第4题图6．如图是一个算法的流程图．若输入x 的值为2，则输出y 的值是 （ ）A ．0B ．1-C ．2-D ．3-7．某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本．某中学共有学生2000名，抽取了一个容量为200的样本，已知样本中女生比男生少6人，则该校共有女生（ ） A ．1030人 B ．97人 C ．950人D ．970人8．已知点(,)P a b 与点(1,0)Q 在直线2310x y +-=的两侧，且0, 0a b >>， 则2w a b =-的取值范围是 （ ） A ．21[,]32-B ．2(,0)3-C ．1(0,)2D ．21(,)32-9．已知三棱锥D ABC -中，1AB BC ==，2AD =，BD =AC =，BC AD ⊥，则关于该三棱锥的下列叙述正确的为 （ ） A．表面积13)2S=B．表面积为12)2S = C ．体积为1V=D ．体积为23V =10．已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且当[0,1]x ∈时，2()f x x =，则关于x 的方程1()||2f x x =在[1,2]-上根的个数是 （ ） A ．2B ．4C ．6D ．8第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．抛物线24x y =的焦点坐标为 ； 12．已知y 与x 之间具有很强的线性相关关系，现观测得到),(y x 的四组观测值并制作了右边的对照表，由表中数据粗略地得到线性回归直线方程为60y bx =+，其中b 的值没有写上．当x 等于5-时，预测y 的值为 ；13．已知||2, ||4a b ==，a 和b 的夹角为3π，以, a b 为邻边作平行四边形，则该四边形的面积为 ；14．如图，()y f x =是可导函数，直线l 是曲线)(x f y =在4=x 处的切线，令()()f x g x x=，则(4)g '= ；15．对于下列命题：①函数()12f x ax a =+-在区间(0,1)内有零点的充分不必要条件是1223a <<；②已知,,,E F G H 是空间四点，命题甲：,,,E F G H 四点不共面，命题乙：直线EF 和GH 不相交，则甲是乙成立的充分不必要条件；③“2a <”是“对任意的实数x ，|1||1|x x a ++-≥恒成立”的充要条件； ④“01m <<”是“方程22(1)1mx m y +-=表示双曲线”的充分必要条件． 其中所有真命题的序号是 ．三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数2()cos888f x x x x πππ=+，R ∈x ．（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）若函数)(x f 图象上的两点,P Q 的横坐标依次为2,4,O 为坐标原点,求OPQ ∆的外接圆的面积．已知函数4()f x ax x=+．（Ⅰ）从区间(2,2)-内任取一个实数a ，设事件A ={函数()2y f x =-在区间(0,)+∞上有两个不同的零点}，求事件A 发生的概率；（Ⅱ）若连续掷两次骰子（骰子六个面上标注的点数分别为1, 2, 3, 4, 5, 6）得到的点数分别为a 和b ，记事件B ={2()f x b >在(0,)x ∈+∞恒成立}，求事件B 发生的概率．如图，在四棱锥ABCD E -中，底面ABCD 为正方形，⊥AE 平面CDE ，已知2AE DE ==，F 为线段DE 的中点．（Ⅰ）求证：//BE 平面ACF ； （Ⅱ）求四棱锥ABCD E -的体积．ACBE F已知数列}{n a 满足：1211,,2a a ==且2[3(1)]22[(1)1]0,nnn n a a ++--+--=*N n ∈． （Ⅰ）令21n n b a -=，判断{}n b 是否为等差数列，并求出n b ； （Ⅱ）记{}n a 的前2n 项的和为2n T ，求2n T ．已知函数()xf x e ax =+，()lng x ax x =-，其中0a <，e 为自然对数的底数． （Ⅰ）若()g x 在(1,(1))g 处的切线l 与直线350x y --=垂直，求a 的值； （Ⅱ）求)(x f 在[0,2]x ∈上的最小值；（Ⅲ）试探究能否存在区间M ，使得)(x f 和()g x 在区间M 上具有相同的单调性？若能存在，说明区间M 的特点，并指出)(x f 和()g x 在区间M 上的单调性；若不能存在，请说明理由．已知动圆P 与圆221:(3)81F x y ++=相切，且与圆222:(3)1F x y -+=相内切，记圆心P 的轨迹为曲线C ；设Q 为曲线C 上的一个不在x 轴上的动点，O 为坐标原点，过点2F 作OQ 的平行线交曲线C 于,M N 两个不同的点．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）试探究||MN 和2||OQ 的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数；若不能，请说明理由；（Ⅲ）记QMN ∆的面积为S ，求S 的最大值．山东省2015年高考模拟冲刺卷参考答案1---5B D D A C 6--10 C D D A B 11．(0,1) 12．70 13．14．316-15．①②④ 16．解：（Ⅰ）2()cos1)888f x x x x πππ=-2sin()4444x x x ππππ=+=+，…2分所以，函数)(x f 的最小正周期为284T ππ==． ………………3分由222442k x k ππππππ-≤+≤+（Z ∈k ）得8381k x k -≤≤+（Z ∈k ），∴函数)(x f 的单调递增区间是[]83,81k k -+（Z ∈k ）………………………………5分（Ⅱ）(2)2sin()2cos 244f πππ=+==(4)2sin()2sin 44f πππ=+=-=， (4,P Q ∴……………7分|| ||23, ||OP PQ OQ∴===从而2cos ||||OP OQ POQ OP OQ⋅⨯∠===⋅sin POQ ∴∠==，………………………………………………10分 设OPQ ∆的外接圆的半径为R ，由||2sin PQ R POQ =∠||2sin 2PQ R POQ ⇒===∠∴OPQ ∆的外接圆的面积292S R ππ==………………………………………………12分17．解：（Ⅰ）函数()2y f x =-在区间(0,)+∞上有两个不同的零点，∴()20f x -=，即2240ax x -+=有两个不同的正根1x 和2x1212020404160a x x ax x aa ≠⎧⎪⎪+=>⎪∴⎨⎪=>⎪⎪∆=->⎩104a ⇒<<…4分 114()416P A ∴== …………………6分（Ⅱ）由已知：0,0a x >>，所以()f x ≥()f x ≥min ()f x ∴=()2b x f >在()0,x ∈+∞恒成立2b ∴>……()* ……………………………8分当1a =时，1b =适合()*； 当2,3,4,5a =时，1,2b =均适合()*； 当6a =时，1,2,3b =均适合()*； 满足()*的基本事件个数为18312++=．…10分 而基本事件总数为6636⨯=，…………11分 121()363P B ∴==． …………12分 18．证明：（Ⅰ） 连结BD 和AC 交于O ，连结OF ，…………………………………………1分ABCD 为正方形，∴O 为BD 中点，F 为DE 中点，BE OF //∴， ………4分BE ⊄平面ACF ，OF ⊂平面ACF//BE ∴平面ACF ．……………………………5分（Ⅱ） 作EG AD ⊥于G⊥AE 平面CDE ，⊂CD 平面CDE ，CD AE ⊥∴，ABCD 为正方形，CD AD∴⊥，,,AE AD A AD AE =⊂平面DAE ，⊥∴CD 平面DAE ，……………7分 CD EG ∴⊥，AD CD D =，EG ∴⊥平面ABCD ………8分⊥AE 平面CDE ，DE ⊂平面CDE ，AE DE ∴⊥，2AE DE ==，AD ∴=，EG = …10分∴四棱锥ABCD E -的体积211333ABCD V S EG =⨯=⨯= ………12分19．解：（Ⅰ）2[3(1)]22[(1)1]0,n nn n a a ++--+--= 21212121[3(1)]22[(1)1]0,n n n n a a --+-∴+--+--=即21212n n a a +--=…………4分21n n b a -=，121212n n n n b b a a ++-∴-=-={}n b ∴是以111b a ==为首项，以2为公差的等差数列 ……5分1(1)221n b n n =+-⨯=-…………6分（Ⅱ）对于2[3(1)]22[(1)1]0,nnn n a a ++--+--= 当n 为偶数时，可得2(31)22(11)0,n n a a ++-+-=即212n n a a +=， 246 , , ,a a a ∴是以212a =为首项，以12为公比的等比数列；………………………8分当n 为奇数时，可得2(31)22(11)0,n n a a +--+--=即22n n a a +-=，135 , , , a a a ∴是以11a =为首项，以2为公差的等差数列…………………………10分21321242()()n n n T a a a a a a -∴=+++++++O AC BD EF G11[(1()]122[1(1)2]1212n n n n -=⨯+-⨯+-2112nn =+- …12分 20．解：（Ⅰ）()ln g x ax x =-，(1)g a ∴=，1()g x a x'=-()g x 在(1,(1))g 处的切线l 与直线350x y --=垂直，1(1)13g '∴⨯=-1(1)123a a ⇒-⋅=-⇒=-………3分（Ⅱ）()f x 的定义域为R ，且 ()e xf x a '=+．令()0f x '=，得ln()x a =-． …4分 若ln()0a -≤，即10a -≤<时，()0f x '≥，()f x 在[0,2]x ∈上为增函数，∴min ()(0)1f x f ==；…………5分若ln()2a -≥，即2a e ≤-时，()0f x '≤，()f x 在[0,2]x ∈上为减函数，∴2min ()(2)2f x f e a ==+；……6分若0ln()2a <-<，即21e a -<<-时，由于[0,ln())x a ∈-时，()0f x '<；(ln(),2]x a ∈-时，()0f x '>，所以min ()(ln())ln()f x f a a a a =-=--综上可知22min 21, 10()2, ln(),1a f x e a a e a a a e a -≤<⎧⎪=+≤-⎨⎪---<<-⎩………8分 （Ⅲ）()g x 的定义域为(0,)+∞，且 11()ax g x a x x-'=-=．0a <时，()0g x '∴<，()g x ∴在(0,)+∞上单调递减．………9分令()0f x '=，得ln()x a =-①若10a -≤<时，ln()0a -≤，在(ln(),)a -+∞上()0f x '>，()f x ∴单调递增，由于()g x 在(0,)+∞上单调递减，所以不能存在区间M ，使得)(x f 和()g x 在区间M 上具有相同的单调性；……………10分②若1a <-时，ln()0a ->，在(,ln())a -∞-上()0f x '<，()f x 单调递减；在(ln(),)a -+∞上()0f x '>，()f x 单调递增．由于()g x 在(0,)+∞上单调递减，∴存在区间(0,ln()]Ma ⊆-，使得)(x f 和()g x 在区间M 上均为减函数．综上，当10a -≤≤时，不能存在区间M ，使得)(x f 和()g x 在区间M 上具有相同的单调性；当1a <-时，存在区间(0,ln()]M a ⊆-，使得)(x f 和()g x 在区间M 上均为减函数．………………13分21解：（I ）设圆心P 的坐标为(,)x y ，半径为R 由于动圆P 与圆221:(3)81F x y ++=相切，且与圆222:(3)1F x y -+=相内切，所以动圆P 与圆221:(3)81F x y ++=只能内切12||9||1PF RPF R =-⎧∴⎨=-⎩1212||||8||6PF PF F F ⇒+=>=……2分 ∴圆心P 的轨迹为以12, F F 为焦点的椭圆，其中28, 26a c ==，2224, 3, 7a c b a c ∴===-=故圆心P 的轨迹C ：221167x y +=……………………4分（II ）设112233(,), (,), (,)M x y N x y Q x y ，直线:OQ x my =，则直线:3MN x my =+由221167x my x y=⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：22222112716112716m x m y m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩， 2232232112716112716mx m y m ⎧=⎪⎪+∴⎨⎪=⎪+⎩ 2222233222112112112(1)||716716716m m OQ x y m m m +∴=+=+=+++ ……………………………6分 由2231167x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：22(716)42490m y my ++-=1212224249,716716m y y y y m m ∴+=-=-++∴||MN ==21|y y =-=2256(1)716m m +==+…8分 ∴2222256(1)||1716112(1)||2716m MN m m OQ m ++==++ ||MN 和2||OQ 的比值为一个常数，这个常数为12………9分（III ）//MN OQ ，∴QMN ∆的面积OMN =∆的面积 O 到直线:3MN x my =+的距离d =2221156(1)||22716716m S MN d m m +∴=⋅=⨯=++…11分t =，则221m t =-(1)t ≥ 2284848497(1)16797t t S t t t t===-+++97t t +≥=97t t =，即t =7m =±时取等号）∴当7m =±时，S 取最大值14分数学试卷及试题。
2015年山东省高考数学试题及答案(文)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（文科） 第I 卷（共50分）本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共4页.满分150分.考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知集合{}24A x x =<< ，()(){}130B x x x =--< ，则AB =（A ）()1,3 （B ）()1,4 （C ）()2,3 （D ）()2,42、若复数z 满足1zi i=- ，其中i 为虚数单位，则z = （A ）1i - （B ）1i + （C ）1i -- （D ）1i -+ 3、设0.61.50.60.6,0.6, 1.5a b c === ，则,,a b c 的大小关系是（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）b a c << （D ）b c a << 4、要得到函数sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 4y x =的图象 （A ）向左平移12π个单位 （B ）向右12π平移个单位 （C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3π个单位5、设m R ∈ ，命题“若0m > ，则方程20x x m +-= 有实根”的逆否命题是 （A ）若方程20x x m +-=有实根，则0m > （B ） 若方程20x x m +-=有实根，则0m ≤ （C ） 若方程20x x m +-=没有实根，则0m > （D ） 若方程20x x m +-=没有实根，则0m ≤6、为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位:℃)制成如图所示的茎叶图。
考虑以下结论: ①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温； ②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差. 其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为（A ） ①③ （B ） ①④ （C ） ②③ （D ） ②④ 7、在区间[]0,2上随机地取一个数x ，则事件“1211log 12x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭”发生的概率为 （A ）34 （B ）23 （C ）13 （D ）148、若函数()212x x f x a+=- 是奇函数，则使()3f x > 成立的x 的取值范围为（A ）(),1-∞- （B ）()1,0- （C ）()0,1 （D ）()1,+∞ 9. 已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 （A ）223π （B ）423π（C ）22π （D ）42π 10.设函数()3,1,2,1,x x b x f x x -<⎧=⎨≥⎩若546f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则b = （A ）1 （B ）78 （C ）34 （D ）12第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
济南市2015年春季高考数学模拟试题(带答案)
济南市2015年年普通高校招生（春季）考试数学模拟试题注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分120分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．2．本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，最后结果精确到0.01．第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，填涂在答题卡．．．上） 1．设U ={2，5，7，8}，A ={2，5，8}，B ={2，7，8}，则U （A ∪B ）等于（ ）(A) {2，8} (B) ∅ (C) {5，7，8}(D) {2，5，7，8}2．x >0是| x | >0的（ ）(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件3．设命题p ：∅＝0，q ：2∈ R ，则下列结论正确的是（ ）(A) p q ∧为真 (B) p q ∨为真 (C) p 为真 (D) q ⌝为真 4．若a,b 是任意实数,且a ＞b,则（ ）（A ）a 2＞b 2（B ）ba＜1 （C ）lg(a-b)＞0（D ）(12)a ＜(12)b5．设m= a 2＋a －2,n= 2a 2－a －1，其中a ∈ R ，则（ ）(A) m ＞n (B) m ≥n(C) m ＜n (D) m ≤n6．函数f (x )= 1x －1＋lg (x ＋1)的定义域为( )(A) (－∞，－1) (B) (1，＋∞) (C) (－1，1)∪(1，＋∞) (D) R7．函数 f (x )=2x 2－mx ＋3,当x ∈[－2, ＋∞]时增函数,当x ∈(]2,-∞-时是减函数,则f (1)等于（ ） (A) －3 (B) 13(C) 7(D) 由m 而定的其它常数8．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且在),0[+∞上单调递增，则f (－3)，f (－4)的大小 关系是（ ）(A) f (－3) > f (－4) (B) f (－3) < f (－4) (C) f (－3) ＝ f (－4)(D) 无法比较9．济南电视台组织“年货大街”活动中，有5个摊位要展示5个品牌的肉制品，其中有两个品牌是同一工厂的产品，必须在相邻摊位展示，则安排的方法共（ ）种。
2015济南二模 山东省济南市2015届高三3月模拟考试数学文试题 扫描版含答案
2015年3月济南市高三模拟考试文科数学参考答案一、选择题CBABD BACDC二、填空题11.25 12.3π 13. 2π 14. 1 三、解答题16. 解：（Ⅰ）()sin 2f x x x ωω+=2sin(2)3x πω+……………………4分 ∴ 2=22ππω，即12ω= ……………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x =2sin()3x π+,将函数)(x f y =的图象各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数)(x g y =的图象，即()g x =2sin(2)3x π+ ……………………8分 由22+2232k x k πππππ-≤+≤，k Z ∈得：51212k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈，……………………10分 ∴()g x 的单调递增区间是：5[,]1212k k ππππ-++,k Z ∈ …………12分 17. 解：（Ⅰ）由题意，1124n n =++，1n ∴=……………………4分 （2）记标号为2的小灯笼为1a ,2a ；连续．．摸取2个小灯笼的所有基本事件为: （1, 1a ）,（1, 2a ）,(1,3),（1a ,1）,（2a ,1）,(3,1),（1a ,2a ）, (1a ,3）,（2a ,1a ）, （3, 1a ）,（2a ,3）,（3, 2a ）共12个基本事件. ……………………8分A 包含的基本事件为: (1,3), (3,1),（1a ,2a ），（2a ,1a ），(1a ,3），（3, 1a ）, （2a ,3）,（3, 2a ）……………………10分8()12P A ∴=23= ……………………12分 18. （Ⅰ）证明： 在三角形PBA 中，,PB AB BF PA =⊥，所以F 是PA 的中点，连接EF ， ………………………………2分在PDA ∆中，点,E F 分别是边,AD PA 的中点，所以//EF PD …………………………………4分又EF PBD ⊄平面，PD PBD ⊂平面所以EF //平面PBD .……………………………6分（Ⅱ）因为平面PBA ⊥平面ABCD ，平面PBA 平面ABCD AB =, 90DAB ∠=，DA AB ⊥ ,DA ABCD ⊂平面所以DA ⊥平面PBA …………………… 8分又BF PBA ⊂平面 ,所以DA BF ⊥,又BF PA ⊥，PADA A =,,PA DA PDA ⊂平面,所以BF PDA ⊥面 ……………………………………10分又PE PDA ⊂平面 所以BF PE ⊥所以无论点E 在线段AD 的何处，总有PE ⊥BF . …………………………12分19. 解：（Ⅰ）由题意，{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，11121--⋅=⋅=∴n n n q a a . ∴12n n a -=，21n n S =-， …………………3分设等差数列{}n b 的公差为d ，111b a ==，4137b d =+=，∴2d = ∴1(1)221n b n n =+-⨯=-. …………………6分 （II ）∵212222log =log 221n n a n ++=+， ∴22211111()log (21)(21)22121n n n c b a n n n n +===-⋅-+-+,…………………7分 ∴11111111(1...)(1)2335212122121n n T n n n n =-+-++-=-=-+++ . …………………9分∵*N n ∈,∴11112212n T n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭ …………………10分 当2n ≥时，()()111021212121n n n n T T n n n n ---=-=>+-+-∴数列{}n T 是一个递增数列， ∴113n T T ≥=. 综上所述，1132n T ≤<. …………………12分 20. 解：（Ⅰ）函数)(x f 的定义域为R ，a e x f x +=)('，…………………1分0)0(0'=+=a e f ，1-=∴a .…………………2分∴'()1x f x e =-∵在)0,(-∞上)(,0)('x f x f <单调递减，在),0(+∞上)(,0)('x f x f >单调递增， ∴0=x 时)(x f 取极小值.1-=∴a . …………………3分易知)(x f 在)0,2[-上单调递减，在]1,0(上)(x f 单调递增； 且;31)2(2+=-ef ;)1(e f =)1()2(f f >-.…………………4分 当2-=x 时，)(x f 在]1,2[-的最大值为.312+e …………………5分 （Ⅱ）a e x f x +=)('，由于0>xe .①当0>a 时，)(,0)('x f x f >是增函数，…………………7分且当1>x 时，0)1()(>-+=x a e x f x .…………………8分 当0<x 时，取a x 1-=，则0)11(1)1(<-=--+<-a aa a f ， 所以函数)(x f 存在零点，不满足题意.…………9分②当0<a 时，)ln(,0)('a x a e x f x -==+=.在))ln(,(a --∞上)(,0)('x f x f <单调递减，在)),(ln(+∞-a 上)(,0)('x f x f >单调递增， 所以)ln(a x -=时)(x f 取最小值.………………11分函数)(x f 不存在零点，等价于0)ln(2)ln())(ln()ln(>-+-=--+=--a a a a a a ea f a ，解得02<<-a e .综上所述：所求的实数a 的取值范围是02<<-a e .………………13分21. 解：（Ⅰ）由题意1222c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，………………1分 解得3,1,2===b c a ,………………3分所求椭圆C 的标准方程为13422=+y x ；………………4分 （Ⅱ）解法一：（i ）设:1PQ l x my =+，221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x ，化简得096)43(22=-++my y m . 09)43(43622>⋅++=∆m m设),,(),,(2211y x Q y x P PQ 的中点00(,)G x y ，则436221+-=+m m y y ，439221+-=m y y ，……………6分 43322210+-=+=m m y y y ，4341200+=+=m my x ， 即2243(,)3434m G m m -++，……………7分 4344343322m m m m k OG -=+⋅+-=， 设)1(:--=x m y l FT ，得T 点坐标（m 3,4-），43m k OT -= ，所以OT OG k k =，线段PQ 的中点在直线OT 上.……………9分 (ii) 当0=m 时，PQ 的中点为F ，)0,4(T .1||||,32||,3||2====PQ TF a b PQ TF .……………10分 当0m ≠时，13)3()14(||222+=-+-=m m TF ，||11||122y y k PQ PQ -+==-+⋅+=2122124)(1y y y y m 4394)436(12222+-⋅-+-⋅+m m m m 4311222++⋅=m m .……………11分 )1113(411243113||||22222+++⋅=+⋅++=m m m m m PQ TF 令12+=m t .则)1)(13(41||||>+⋅=t tt PQ TF .令)1)(13(41)(>+⋅=t t t t g 则函数()g t 在()1,+∞上为增函数，……………13分所以1)1()(=>g t g . 所以||||PQ TF 的取值范围是[1,)+∞.……………14分 解法二：（i ）设T 点的坐标为),4(m ，当0=m 时，PQ 的中点为F ，符合题意. ……………5分 当0m ≠时，mk m k PQ FT 3,3-==. 3:(1)PQ l y x m -=- ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--==+)1(313422x m y y x ，消去x 化简得22(12)6270m y my +--=. 027)12(43622>⋅++=∆m m设),,(),,(2211y x Q y x P PQ 的中点00(,)G x y ，则126221+=+m m y y .1227221+-=m y y ，……………6分 12322210+=+=m m y y y ，121231200+=-=m my x ，即)123,1212(22++m m m G ，……………7分 4121212322m m m m k OG =+⋅+=，又4m k OT = . 所以OT OG k k =，线段PQ 的中点在直线OT 上.……………9分 (ii) 当0m = 时，632PQ == , 413TF =-=,1TF PQ= ……………10分 当0m ≠时， 9)14(||222+=+-=m m TF ，||11||12y y k PQ PQ -+=.=-+⋅+=2122124)(91y y y y m 12274)126(912222+-⋅-+⋅+m m m m 129422++⋅=m m .……………11分 )939(4141299||||22222+++⋅=+⋅++=m m m m m PQ TF 令92+=m t .则)3)(3(41||||>+⋅=t tt PQ TF .令)3)(3(41)(>+⋅=t t t t g 则函数()g t 在()3,+∞上为增函数，……………13分所以1)3()(=>g t g . 所以当||||PQ TF 的取值范围是[1,)+∞.……………14分 解法三：（i ）当直线PQ l 斜率不存在时，PQ 的中点为F ，)0,4(T ，符合题意. ……………5分 当直线PQ l 斜率存在时，若斜率为0，则2l 垂直于 x 轴，与 x=4不能相交，故斜率不为0 设)1(:-=x k y l PQ ，（0k ≠）⎪⎩⎪⎨⎧-==+)1(13422x k y y x ，消去y ，化简得. 2222(34)84120k x k x k +-+-=4222644(34)(412)144(1)0k k k k ∆=-+-=+> 设),,(),,(2211y x Q y x P PQ 的中点00(,)G x y ，则2221438k k x x +=+，222143124kk x x +-=，……………6分 222104342k k x x x +=+=，200433)1(k k x k y +-=-=， 即)433,434(222kk k k G +-+，……………7分 kk k k k k OG 43443433222-=+⋅+-=， 设)1(1:--=x k y l FT ，得T 点坐标（k 3,4-），k k OT 43-=，所以OT OG k k =， 线段PQ 的中点在直线OT 上.……………9分 (ii) 当直线PQ l 斜率不存在时，PQ 的中点为F ，)0,4(T .1||||,32||,3||2====PQ TF a b PQ TF .……………10分 当直线PQ l 斜率存在时，222213)3()14(||k k k TF +=-+-=，||1||122x x k PQ -+=. =-+⋅+=2122124)(1x x x x k 222222431244)438(1k k k k k +-⋅-+⋅+ 2243112k k ++⋅=.……………11分2222||34)||12(1)114TF k k PQ k k +==+++=⋅ 令211kt +=.则)1)(13(41||||>+⋅=t t t PQ TF .令)1)(13(41)(>+⋅=t t t t g则函数()g t 在()1,+∞上为增函数，……………13分 所以1)1()(=>g t g . 所以||||PQ TF 的取值范围是),1[+∞.……………14分。
山东省济南市2015届高三数学第二次模拟考试试题文
高三针对性训练数学(文科)本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共5页．满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案写在试卷上无效．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 参考公式：锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 第I 卷(共50分)一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1.已知i 是虚数单位.若复数z 满足2534z i =-，则z 的共轭复数z 为 A. 34i -+ B. 34i -- C. 34i + D. 34i -2.设集合(){}{}2,ln 1,30,U U R A x y x B x x x A C B ===-=-≥⋂=则 A.{}01x x <<B. {}1x x <<3C.{}03x x <<D. {}1x x < 3.已知点()()1,1,4,3M N -，则与向量MN uuu r 共线的单位向量为 A. 34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 3434,5555⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或， D. 4343,5555⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或，4.已知命题p ：对于x R ∀∈，恒有222x x -+≥成立，命题q ：奇函数()f x 的图象必过原点.则下列结论正确的是A. p q ∧为真B. ()p q ⌝∨为真C. ()p q ∧⌝为真D. p ⌝为真5.已知()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当()0,1x ∈时，()2015312x f x f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，则1B. 11 D. 16.执行如图所示的程序框图，若输入k 的值为2，则输出的i 值为A.2B.3C.4D.57.已知正实数,m n 满足1m n +=，且使116m m +取得最小值.若曲线a y x =过点,54m n P α⎛⎫⎪⎝⎭，则的值为 A. 1- B. 12 C.2D.3 8.已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积为1V .直径为6的球的体积为2V ，则12=V V ：A.1：2B.2：27C.1：3D.4：279.已知12,F F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左，右焦点，若双曲线左支上存在一点P 与点2F 关于直线bx y a=对称，则该双曲线的离心率为B. 2 D.210.已知函数()3211132f x x ax bx c x =+++在处取得极大值，在2x 处取得极小值，满足()()12241,0,0,12a b x x a ++∈-∈+，则的取值范围是 A. ()0,2B. ()1,3C. []0,3D. []1,3第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11.某班有学生55人，现将所有学生按1，2，3，…，55随机编号.若采用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本，已知编号为6,,28,,50a b 号学生在样本中，则a b +=_______.12.函数()()22log 4f x x =-的值域为_______.13.如图所示，点P 是函数()()2sin ,0y x x R ωϕω=+∈>的图象的一个最高点，M,N 是图象与x 轴的交点.若0PM PN ⋅=u u u r u u u r ，则ω的值为________.14.已知圆()()22121:112C x y C C ++-=，圆与圆关于直线10x y --=对称，则圆2C 的方程为_________.15.定义(){}f x x =（{}x 表示不小于x 的最小整数）为“取上整函数”，例如{}{}1.22,4 4.==“取上整函数”在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等都是按照“取上整函数”进行计费的.以下关于“取上整函数”的性质是真命题的序号是_________（请写出所有真命题的序号）.①()()22f x f x =；②若()()f x f y =则1x y -<；③任意()()(),,x y R f x y f x f y ∈+≤+；④()()122f x f x f x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭； ⑤函数()f x 为奇函数.三、解答题：本大题共6小题，共75分.16. （本小题满分12分）在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，且()cos 2cos b C a c B =-.（I ）求角B 的大小；（II ）若,,a b c 成等差数列，且b=3，试求ABC ∆的面积.17. （本小题满分12分）济南天下第一泉风景区为了做好宣传工作，准备在A和B 两所大学分别招募8名和12名志愿者，将这20名志愿者的身高编成如右茎叶图（单位：cm ）.若身高在175cm 以上（包括175cm ）定义为“高精灵”，身高在175cm 以下 （不包括175cm ）定义为“帅精灵”.已知A 大学志愿者的身高的平均数为176cm ，B 大学志愿者的身高的中位数为168cm.（I ）求,x y 的值；（II ）如果用分层抽样的方法从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，再从这5人中选2人.求至少有一人为“高精灵”的概率.18.（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 是菱形，DE DC ⊥，平面DEC ⊥平面ABCD.（I ）求证：AC ⊥平面BDE ；（II ）若AF//DE ，13AF DE =，点M 在线段BD 上，且23DM BD =，求证：AM//平面BEF.19. （本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足，123289,18a a a a a ++=+=.数列{}n b 的前n 和为n S ，且满足22n n S b =-.（I ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（II ）数列{}n c 满足n n na cb =，求数列{}nc 的前n 和n T .20. （本小题满分13分） 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个顶点恰好是抛物线2x =的焦点，且离心率为12e =. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）设过原点的直线与椭圆C 交于A,B 两点，过椭圆C 的右焦点作直线//l AB 交椭圆C 于M,N 两点.试问2AB MN 是否为定值，若为定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由.21. （本小题满分14分）已知函数()1ln a f x x a x x+=+-. （I ）若函数()y f x =的图象在1x =处的切线与直线210x y +-=平行，求a 的值； （II ）在（I ）的条件下方程()f x b =在区间[]1,e 上两个不同的实数根，求实数b 的取值范围；（III ）若在区间[]1,e 上存在一点2x ，使得()00f x <成立，求实数a 的取值范围.2015届高三教学质量调研考试文科数学参考答案一、选择题 DACCB CBDCB 二、填空题11. 56 12. (],2-∞ 13.4π 14. ()()22222x y -++= 15.②③ 三、解答题 16. 解：（Ⅰ）由题意得B C A C B cos )sin sin 2(cos sin -=，-----------------------1分BA B C C B cos sin 2cos sin cos sin =+，,cos sin 2)sin(B A C B =+-----------------------3分 B A A cos sin 2sin =，因为0sin ,0><<A A π，所以21cos =B ， 因为π<<B 0，所以3π=B .---------------------6分 （Ⅱ）由题意62==+b c a ，---------------------7分 又3cos23222πac c a -+=，得9=ac ，---------------------10分43923921sin 21=⨯⨯==∆B ac S ABC .---------------------12分 17. 解：（Ⅰ）由题意得：159+168+170+170176182187191176,8x +++++=-------------------2分160+1691762y +=-------------------4分解得：5,7x y ==-------------------5分（Ⅱ）由题意知“高精灵”有8人，“帅精灵”有12人. 如果用分层抽样的方法从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，则抽取的“高精灵”和“帅精灵”的人数分别为：58220⨯=和512320⨯=-------------------6分 记抽取的“高精灵”为12,b b ，抽取的“帅精灵”为123,,c c c .从已抽取的5人中任选两人的所有可能为：1,21,11,21,3(),(),(),()b b b c b c b c ,212223121323(,),(,),(,),(,),(,),(,),b c b c b c c c c c c c 共10种. -------------------8分设“选取的两人中至少有一人为“高精灵””为事件A ，则事件A 包括121,11,21,3(,),(),(),()b b b c b c b c ，212223(,),(,),(,)b c b c b c ，共7种. -------------------10分所以7()10P A =因此，如果用分层抽样的方法从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，再从这5人中选2人，,则至少有一人为“高精灵”的概率为710.-------------------12分 18.证明：（Ⅰ）因为D E C ⊥平面平面,DE DC ⊥,DEC ABCD DC ⋂=平面平面,DE DEC ⊂平面, 所以 DE ⊥平面ABCD ，又 AC ABCD ⊂平面,所以AC DE ⊥ --------------------------------------2分 因为ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥， 又=BDDE D ,,BD DE BDE ⊂平面从而AC ⊥平面BDE ．------------------------------------ 5分 （Ⅱ）法一：延长EF DA 、交于点G ,---------------6分 因为DE AF //，13AF DE =，所以13GA AF GD DE ==----------------------------- 7分因为23DM BD =，所以13BM BD =，因此13BM BD =, 所以13BM GA BD GD == -------- 9分所以//AM GB ,-------- 10分 又AM ⊄平面BEF ，GB ⊂平面BEF ，所以//AM 平面BEF ．--------------------12分（Ⅱ）法二：在EDB ∆中，过M 点作N BE MN DE MN =⋂,//，连接FN ，----------------6分因为//AF DE ，所以AF MN //，----------------------------------------7分 因为23DM BD =，所以31,31===BD BM DE MN BD BM ，又31=DE AF ，所以AF MN =， 所以四边形AMNF 为平行四边形，------------------------------------10分FN AM //，因为⊄AM 平面BEF ，⊂FN 平面BEF ，因此//AM 平面BEF ．----------------------12分19. 解：(I)设等差数列}{n a 的公差为d ，则⎩⎨⎧==1829352a a ，得⎩⎨⎧==9352a a ，------------------------2分d a a 3625==-，得2=d ，12)1(2-=-+=n d n a a n .-----------------3分当1=n 时，2211-=b b ，得21=b ，⎩⎨⎧≥-=-=--)2(222211n b S b S n n n n ，两式相减得12-=n n b b ，又021≠=b ， 所以数列{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列，n n n b 2221=⋅=-， 数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别是n n n b n a 2,12=-=.----------------------------6分（II ）nn n n n b a c 212-==,------------------------------7分 n n n T 21223212-+++=， 132212232232121+-+-+++=n n n n n T ，所以1322122222222121+--++++=n n n n T ，---------------------8分1121221)211(2121+-----+=n n n ，-------------------------9分123223++-=n n -----------------------------------11分所以nn n T 2323+-=.--------------------------12分20. 解：(I)抛物线y x 342=的焦点为)3,0(由题意得3=b ，---------------------1分 由222,21c b a a c +==，解得2=a --------------------.3分 所以椭圆C 的方程为13422=+y x .-------------------4分 （II ）当直线l 斜率不存在时，4)2(||22==b AB ，12||2==ab MN ， 4||||2=MN AB .-------------------------------5分当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为)1(-=x k y )0(≠k ，由⎪⎩⎪⎨⎧-==+)1(13422x k y y x ，得01248)43(2222=-+-+k x k x k ， 0)124)(43(4)8(2222>-+--=∆k k k ，设),(),,(2211y x N y x M ，2221222143124,438kk x x k k x x +-=+=+，-----------7分 2122122124)(1||1||x x x x k x x k MN -++=-+=2222222243)1(12)43124(4)438()1(k k k k kk k ++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++=.--------10分由⎪⎩⎪⎨⎧==+kxy y x 13422，得224312k x +=. 设),(),,(4433y x N y x A ，,4312223kx +=23224322)2)(1())(1(||x k x x k AB +=-+=2243)1(48kk ++=.----------------------12分4)1(124343)1(48||||22222=++⋅++=k k k k MN AB . 综上所述，||||2MN AB 为定值4. ---------------------13分21. 解：（Ⅰ）函数)(x f 的定义域为),0(+∞，x axa x f -+-=2'11)(.-----------------2分由题意21111)1(2'-=-+-=aa f ，解得1=a .----------------3分 （II ）函数)(x f 的定义域为),0(+∞，当1=a 时，x x x x f ln 2)(-+=，22')2)(1(121)(xx x x x x f -+=--=.---------------------4分 在)2,1(上，0)('<x f ，)(x f 单调递减，在),2(e 上，0)('>x f ，)(x f 单调递增，----------------------------5分ee ef f 21)(,3)1(+-==，)()1(e f f >，2ln 3)2(-=f .由题意)()2(e f b f ≤<，即ee b 212ln 3+-≤<-.----------7分（Ⅱ）在],1[e 上存在一点0x ，使得0)(0<x f 成立等价于]),1[(,0)(min e x x f ∈<，22')]1()[1(11)(x a x x x a x a x f +-+=-+-=， ①当11≤+a 时，即0≤a ，在),1(e 上0)('>x f ，)(x f 单调递增，02)1()(min <+==a f x f ，可得2-<a .-------------------------------8分②当e a <+<11时，即10-<<e a ，在)1,1(a +上，0)('<x f ，)(x f 单调递减，在),1(e a +上，0)('>x f ，)(x f 单调递增，)1ln(2)1()(min +-+=+=a a a a f x f ，----------------------------------------10分因为1)1ln(0<+<a ，所以a a a <+<)1ln(0，2)1ln(2)1(>+-+=+a a a a f ， 此时0)1(<+a f ，不成立. --------------------------------------11分③当e a ≥+1时，即1-≥e a 时，在),1(e 上0)('<x f ，)(x f 单调递减，01)()(min<-++==a e a e e f x f ，可得112-+>e e a ，因为1112->-+e e e ，所以112-+>e e a .----------------------------------------13分 综上可得，所求实数a的取值范围是),11()2,(2+∞-+⋃--∞e e .------------------------14分。
【文科数学12套】山东省济南潍坊青岛淄博等地2015届高三高考二模试题汇总Word版含答案
山东二模【文科数学12套】山东省济南潍坊青岛淄博等地2015届高三高考二模试题汇总Word版含答案2015潍坊二模数学(文史类） (1)2015济南二模数学(文科) (10)2015淄博二模文科数学 (23)2015德州二模数学（文科）试题 (34)2015济宁二模数学（文史类）试题 (44)2015聊城二模文科数学 (51)2015临沂二模文科数学 (60)2015青岛二模数学（文科） (71)2015日照二模文科数学 (81)2015泰安二模数学（文科） (90)2015烟台二模数学(文) (100)2015文登二模数学文 (107)潍坊市2015届高三第二次模拟2015潍坊二模数学(文史类）2015.04本试卷共4页，分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷 选择题（共50分）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设全集R U =，集合}1|||{≤=x x A ，}1log |{2≤=x x B ，则B A U等于A ．]1,0(B ．]1,1[-C ．]2,1(D ．]2,1[)1,( --∞ 2. 设i 是虚数单位，若复数)(310R a ia ∈--是纯虚数，则a 的值为 A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 3. 已知命题44,0:≥+>∀x x x p ；命题212),,0(:00=+∞∈∃x x q ，则下列判断正确的是 A ．p 是假命题 B ．q 是真命题 C ．)(q p ⌝∧是真命题 D ．q p ∧⌝)(是真命题4. 设n m ,是不同的直线，βα,是不同的平面，下列命题中正确的是A ．若n m n m ⊥⊥,,//βα，则βα⊥；B ．若n m n m //,,//βα⊥，则βα⊥；C ．若n m n m ⊥⊥,,//βα，则βα//；D ．若n m n m //,,//βα⊥，则βα//；5.若)2,0(πα∈，且103)22cos(cos 2=++απα，则=αtanA ．21B ．31C ．41D ．516. 已知定义在R 上的函数)(x f y =满足)(2)2(x f x f =+，当]2,0[∈x 时，⎩⎨⎧∈+-∈=]2,1[,2)1.0[,)(2x x x x x x f ，则函数)(x f y =在]4,2[上的大致图像是7. 已知三棱锥S —ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，底面△ABC 是边长为1的正三角形，棱SC 是球O 的直径且SC=2，则此三棱锥的体积为A ．62 B ．63 C ．32 D ．22 8.设实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-+≥+-04040423ay x y x y x ，已知y x z +=2的最大值是8，最小值是－5，则实数a 的值是 A ．6 B ．－6 C ．－61 D ．61 9. 已知两点M （0,1-），N )0,1(，若直线)2(-=x k y 上存在点P ，使得PN PM ⊥,则实数k 的取值范围是A.]31,0()0,31[ - B. ]33,0()0,33[ -C. ]31,31[-D.]5,5[- 10. 定义在),0(+∞上的函数)(x f 满足：对),0(+∞∈∀x ，都有)(2)2(x f x f =；当]2,1(∈x 时，x x f -=2)(，给出如下结论： ①对Z m ∈∀，有0)2(=mf ； ②函数)(x f 的值域为),0[+∞； ③存在Z n ∈，使得9)12(=+nf ；④函数)(x f 在区间),(b a 单调递减的充分条件是“存在Z k ∈，使得)2,2(),(1+⊆k k b a ，其中所有正确结论的序号是： .A.①②④B. ①②C. ①③④D. ①②③第Ⅱ卷（非选择题 共100分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.某校对高三年级1600名男女学生的视力状况进行调查，现用分层抽样的方法抽取一个容量是200的样本，已知样本中女生比男生少10人，则该校高三年级的女生人数是 ；12. 当输入的实数]3,2[∈x 时，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于103的概率是 ；13. 已知G 为△ABC 的重心，令a AB =，b AC =，过点G 的直线分别交AB 、AC 于P 、Q 两点，且a m AP =，b n AQ =，则nm 11+=__________． 14. 抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点为F ，点O 是坐标原点，M 是抛物线C 的一点，且|MF|=4|OF|，△MFO 的面积为34，则抛物线的方程为 ；15. 已知函数201520144321)(20152014432x x x x x x x f +-+-+-+= ，若函数)(x f 的零点都在),,](,[Z b a b a b a ∈<内，则a b -的最小值是 。
2015山东高考文科数学试题及其答案
2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文科数学第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的（1）已知集合{}24A x x =<<，()(){}130B x x x =--<，则A B =（A ）()1,3 （B ）()1,4 （C ）()2,3 （D ）()2,4 （2）若复数z 满足1zi i=-，其中i 为虚数单位，则z = （A ）1i - （B ）1i + （C ）1i -- （D ）1i -+（3）设0.60.6a =， 1.50.6b =，0.61.5c =，则a ，b ，c 的大小关系是 （A ）a ＜b ＜c （B ）a ＜c ＜b （C ）b ＜a ＜c （D ）b ＜c ＜a（4）要得到函数sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，只需要将函数sin 4y x =的图像（）（A ）向左平移12π个单位 （B ）向右平移12π个单位 （C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3π个单位（5）若m N ∈,命题“m>0，则方程20x x m +-=有实根”的逆否命题是 （A ）若方程20x x m +-=有实根，则0m > （B ）若方程20x x m +-=有实根，则0m ≤ （C ）若方程20x x m +-=没有实根，则0m > （D ）若方程20x x m +-=没有实根，则0m ≤（6）为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图。
考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温； ②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的平均气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差； ④甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差。
山东省济南市2015届高三下学期一模诊断测试数学(文科)(解析版)
2015年山东省济南市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2015•济南一模）设集合M={x|x2+2x﹣3=0}，N={﹣1，1，3}，则M∪N=（）A．{﹣1，3} B．{﹣1，1，3} C．{﹣1，1，﹣3，3} D．{﹣1，1，﹣3}【考点】：并集及其运算．【专题】：集合．【分析】：求出集合M，然后求解并集即可．【解析】：解：集合M={x|x2+2x﹣3=0}={1，﹣3}，N={﹣1，1，3}，则M∪N={﹣1，1，﹣3，3}．故选：C．【点评】：本题考查集合的并集的运算，基本知识的考查．2．（5分）（2015•济南一模）已知复数z满足（1﹣i）z=i（i是虚数单位），则z在复平面内对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】：复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z在复平面内对应的点的坐标得答案．【解析】：解：由（1﹣i）z=i，得，∴z在复平面内对应的点的坐标为（），位于第二象限．故选：B．【点评】：本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．（5分）（2015•济南一模）函数的定义域为（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．D．【考点】：函数的定义域及其求法．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：由对数的真数大于零、偶次根号下被开方数大于等于零，列出不等式组，求出函数的定义域【解析】：解：要使函数有意义，有，解得x≥1，所以函数f（x）的定义域是[1，+∞），故选：A．【点评】：本题考查函数的定义域的求法，注意根据解析式和限制条件列出不等式组，定义域要用集合或区间表示4．（5分）（2015•济南一模）“cosα=”是“α=”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：计算题．【分析】：“cosα=”⇒“α=+2kπ，k∈Z，或α=”，“α=”⇒“cosα=”．【解析】：解：∵“cosα=”⇒“α=+2kπ，k∈Z，或α=”，“α=”⇒“cosα=”．故选B．【点评】：本题考查必要条件、充分条件和充要条件的判断，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理应用．5．（5分）（2015•济南一模）已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是（）A．若a＜b，则ac2＜bc2 B．若a＞b＞0，c＜0，则C．若a＞b，则（a+c）2＞（b+c）2 D．若ab＞0，则【考点】：基本不等式．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：A．c=0时不成立；B．由a＞b＞0，可得，又c＜0，利用不等式的基本性质即可得出；C．若0＞a+c＞b+c，则（a+c）2＞（b+c）2不成立；D．利用基本不等式的性质即可判断出．【解析】：解：A．c=0时不成立；B．∵a＞b＞0，∴，又c＜0，则，因此不正确；C．若0＞a+c＞b+c，则（a+c）2＞（b+c）2不成立；D．∵ab＞0，则=2，当且仅当a=b时取等号，因此正确．故选：D．【点评】：本题考查了不等式的性质与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．（5分）（2015•济南一模）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．9 B．16 C．25 D．36【考点】：程序框图．【专题】：图表型；算法和程序框图．【分析】：模拟执行程序，依次写出每次循环得到的T，S，i的值，当i=5时，满足条件i ＞4，退出循环，输出S的值为16，从而得解．【解析】：解：模拟执行程序，可得S=0，i=1T=1，S=1，i=2不满足条件i＞4，T=3，S=4，i=3不满足条件i＞4，T=5，S=9，i=4不满足条件i＞4，T=7，S=16，i=5满足条件i＞4，退出循环，输出S的值为16．故选：B．【点评】：本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的T，S，i的值是解题的关键，属于基本知识的考查．7．（5分）（2015•济南一模）已知x，y满足约束条件，若z=2x+y的最大值和最小值分别为a，b，则a+b=（）A．7 B． 6 C． 5 D． 4【考点】：简单线性规划．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解析】：解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（1，﹣1），B（3，0），化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最小，z最小等于2×1﹣1=1；当直线y=﹣2x+z过B时，直线在y轴上的截距最大，z最大等于2×3﹣0=6．∴a+b=1+6=7．故选：A．【点评】：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．8．（5分）（2015•济南一模）已知函数y=f（x）是R上的偶函数，当x1，x2∈（0，+∞）时，都有（x1﹣x2）•[f（x1）﹣f（x2）]＜0．设，则（）A．f（a）＞f（b）＞f（c）B．f（b）＞f（a）＞f（c）C．f（c）＞f（a）＞f（b）D．f（c）＞f（b）＞f（a）【考点】：函数奇偶性的性质．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：根据已知条件便可判断f（x）在（0，+∞）上单调递减，f（x）是偶函数，所以f（x）=f（|x|），所以根据对数的运算，及对数的取值比较|a|，|b|，|c|的大小即可得出f（a），f（b），f（c）的大小关系．【解析】：解：根据已知条件便知f（x）在（0，+∞）上是减函数；且f（a）=f（|a|），f（b）=f（|b|），f（c）=f（|c|）；|a|=lnπ＞1，b=（lnπ）2＞|a|，c=；∴f（c）＞f（a）＞f（b）．故选：C．【点评】：考查偶函数的概念，函数单调性的定义，根据对数函数的单调性判断对数的取值情况，以及减函数定义的运用．9．（5分）（2015•济南一模）已知F1，F2是双曲线的两个焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线一个交点是P，且△F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（）A．B．C．2 D．5【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：通过|PF2|，|PF1|，|F1F2|成等差数列，分别设为m﹣d，m，m+d，则由双曲线定义和勾股定理求出m=4d=8a，c=，由此求得离心率的值【解析】：解：因为△F1PF2的三条边长成等差数列，不妨设|PF2|，|PF1|，|F1F2|成等差数列，分别设为m﹣d，m，m+d，则由双曲线定义和勾股定理可知：m﹣（m﹣d）=2a，m+d=2c，（m﹣d）2+m2=（m+d）2，解得m=4d=8a，c=，故离心率e==5，故选：D【点评】：本题主要考查等差数列的定义和性质，以及双曲线的简单性质的应用，属于中档题．10．（5分）（2015•济南一模）设函数f（x）的定义域为R，若存在常数ω＞0，使|f（x）|≤ω|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为“条件约束函数”．现给出下列函数：①f（x）=4x；②f（x）=x2+2；③；④f（x）是定义在实数集R上的奇函数，且对一切x1，x2均有|f（x1）﹣f（x2）|≤4|x1﹣x2|．其中是“条件约束函数”的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】：函数的值．【专题】：新定义．【分析】：用“条件约束函数”的定义加以验证，对于①③④均可以找到常数ω＞0，使|f（x）|≤ω|x|对一切实数x均成立，说明它们是F函数，而对于②，所以不存在常数ω＞0，使|f（x）|≤ω|x|对一切实数x均成立，故它们不符合题意．【解析】：解：对于①，f（x）=4x，易知ω=4符合题意，①是“条件约束函数”，对于②，用“条件约束函数”的定义不难发现：因为x→0时，||→∞，所以不存在常数ω＞0，使|f（x）|≤ω|x|对一切实数x均成立，②不是“条件约束函数”，对于③，因为|f（x）|=≤|x|，所以存在常数ω=＞0，使|f（x）|≤ω|x|对一切实数x均成立，③是“条件约束函数”函数，对于④，f（x）是定义在实数集R上的奇函数，故|f（x）|是偶函数，因而由|f（x1）﹣f（x2）|≤4|x1﹣x2|得到，|f（x）|≤4|x|成立，存在ω≥4＞0，使|f（x）|≤ω|x|对一切实数x均成立，符合题意，④是“条件约束函数”，故选：C．【点评】：本题考查了函数的定义域和值域的问题，属于中档题．题中“条件约束函数”的实质是函数f（x）与x的比值对应的函数是有界的，抓住这一点我们不难解出．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11．（5分）（2015•济南一模）100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则模块测试成绩落在[50，70）中的学生人数是25．【考点】：频率分布直方图．【专题】：概率与统计．【分析】：根据频率分布直方图中频率和为1，求出a的值，计算模块测试成绩落在[50，70）中的频率以及频数即可．【解析】：解：根据频率分布直方图中频率和为1，得；10（2a+3a+7a+6a+2a）=1，解得a=；∴模块测试成绩落在[50，70）中的频率是10（2a+3a）=50a=50×=，∴对应的学生人数是100×=25．故答案为：25．【点评】：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率=的应用问题，是基础题目．12．（5分）（2015•济南一模）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA：sinB：sinC=1：2：，则角C=．【考点】：余弦定理；正弦定理．【专题】：解三角形．【分析】：sinA：sinB：sinC=1：2：，由正弦定理可得：a：b：c=1：2：，不妨取a=1，b=2，c=．再利用余弦定理即可得出．【解析】：解：∵sinA：sinB：sinC=1：2：，由正弦定理可得：a：b：c=1：2：，不妨取a=1，b=2，c=．∴cosC===．∵C∈（0，π），∴．故答案为：．【点评】：本题考查了正弦定理、余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．（5分）（2015•济南一模）某圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为的扇形，则该几何体的体积为2π．【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：由三视图知几何体为圆柱的一部分，且圆柱的高为3，底面圆的半径为2，根据正视图与俯视图可判断底面扇形的中心角为，求出圆柱的体积乘以可得答案．【解析】：解：由三视图知几何体为圆柱的一部分，且圆柱的高为3，底面圆的半径为2，由正视图与俯视图判断底面扇形的中心角为60°，∴几何体的体积V=×π×22×3=2π，故答案为：2π．【点评】：本题考查了由三视图求几何体的体积，解答的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量．14．（5分）（2015•济南一模）设是单位向量，且的最大值为．【考点】：平面向量数量积的运算．【专题】：平面向量及应用．【分析】：由已知，，都是单位向量且，可设，，，从而根据和差角公式可将的表达式转化为正弦型函数的形式，再根据正弦型函数的性质得到的最大值．【解析】：解：由于，，都是单位向量且，可设，，，则=（1﹣cosθ，﹣sinθ）•（﹣cosθ，1﹣sinθ）=﹣cosθ+cos2θ﹣sinθ+sin2θ=1﹣（sinθ+cosθ）=1﹣，显然的最大值为，故答案为：1+．【点评】：本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，其中求出的表达式是解答本题的关键．15．（5分）（2015•济南一模）已知P是直线3x+4y﹣10=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x+4y+4=0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为2．【考点】：直线与圆的位置关系．【专题】：直线与圆．【分析】：S四边形PACB=S△PAC+S△PBC，当|PC|取最小值时，|PA|=|PB|取最小值，即S△PAC=S△PBC 取最小值，由此能够求出四边形PACB面积的最小值．【解析】：解：圆的标准方程为（x﹣1）x2+（y+2）x2=1，则圆心为C（1，﹣2），半径为1，则直线与圆相离，如图，S四边形PACB=S△PAC+S△PBC而S△PAC=|PA|•|CA|=|PA|，S△PBC=|PB|•|CB|=|PB|，又|PA|=，|PB|=，∴当|PC|取最小值时，|PA|=|PB|取最小值，即S△PAC=S△PBC取最小值，此时，CP⊥l，|CP|==，则|PA|==2，则S△PAC=S△PBC=×2×1=，即四边形PACB面积的最小值是2．故答案为：2【点评】：本题考查直线和圆的位置关系，解题时要认真审题，在解答过程中要合理地运用数形结合思想．三、解答题：本大题共6小题，共75分）16．（12分）（2015•济南一模）设函数（其中ω＞0），且f（x）的最小正周期为2π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）将函数y=f（x）图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）的单调增区间．【考点】：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．【专题】：三角函数的求值．【分析】：（Ⅰ）由条件利用二倍角的余弦公式、两角和的正弦公式、正弦函数的周期性求得ω的值．（Ⅱ）由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性求得g（x）的增区间．【解析】：解：（Ⅰ）函数=2sin（2ωx+）（其中ω＞0），它的最小正周期为=2π，∴ω=，故f（x）=2sin（x+）．（Ⅱ）将函数y=f（x）图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数y=g（x）=2sin（2x+）的图象，令2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈z，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数g（x）的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z．【点评】：本题主要考查两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式、正弦函数的周期性和单调性，以及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．17．（12分）（2015•济南一模）某在元宵节活动上，组织了“摸灯笼猜灯谜”的趣味游戏．已知在一个不透明的箱子内放有大小和形状相同的标号分别为1，2，3的小灯笼若干个，每个灯笼上都有一个谜语，其中标号为1的小灯笼1个，标号为2的小灯笼2个，标号为3的小灯笼n个．若参赛者从箱子中随机摸取1个小灯笼进行谜语破解，取到标号为3的小灯笼的概率为．（Ⅰ）求n的值；（Ⅱ）从箱子中不放回地摸取2个小灯笼，记第一次摸取的小灯笼的标号为a，第二次摸取的小灯笼的标号为b．记“a+b≥4”为事件A，求事件A的概率．【考点】：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】：概率与统计．【分析】：（Ⅰ）由题意，，即可求出n的值；（Ⅱ）记标号为2的小灯笼为a1，a2；列举出所有的基本事件，再找到满足的基本事件，根据概率公式计算即可；【解析】：解：（Ⅰ）由题意，，∴n=1…（4分）（Ⅱ）记标号为2的小灯笼为a1，a2；连续摸取2个小灯笼的所有基本事件为：（1，a1），（1，a2），（1，3），（a1，1），（a2，1），（3，1），（a1，a2），（a1，3），（a2，a1），（3，a1），（a2，3），（3，a2）共12个基本事件．…（8分）A包含的基本事件为：（1，3），（3，1），（a1，a2），（a2，a1），（a1，3），（3，a1），（a2，3），（3，a2）…（10分）∴=…（12分）【点评】：本题考查了古典概率的问题，属于基础题18．（12分）（2015•济南一模）如图，平面PBA⊥平面ABCD，∠DAB=90°，PB=AB，BF ⊥PA，点E在线段AD上移动．（Ⅰ）当点E为AD的中点时，求证：EF∥平面PBD；（Ⅱ）求证：无论点E在线段AD的何处，总有PE⊥BF．【考点】：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．【专题】：证明题；空间位置关系与距离．【分析】：（Ⅰ）由已知可证F是PA的中点，连接EF，由中位线的性质可得EF∥PD，又EF⊄平面PBD，PD⊂平面PBD，由判定定理即可证明EF∥平面PBD．（Ⅱ）只要证明DA⊥BF，BF⊥PA，从而证明BF⊥面PDA，又PE⊂平面PDA，所以无论点E在线段AD的何处，总有PE⊥BF．【解析】：证明：（Ⅰ）因为在三角形PBA中，PB=AB，BF⊥PA，所以F是PA的中点，连接EF，…（2分）在△PDA中，点E，F分别是边AD，PA的中点，所以EF∥PD…（4分）又EF⊄平面PBD，PD⊂平面PBD所以EF∥平面PBD．…（6分）（Ⅱ）因为平面PBA⊥平面ABCD，平面PBA∩平面ABCD=AB，∠DAB=90°，DA⊥AB，DA⊂平面ABCD所以DA⊥平面PBA…（8分）又BF⊂平面PBA，所以DA⊥BF，又BF⊥PA，PA∩DA=A，PA，DA⊂平面PDA，所以BF⊥面PDA…（10分）又PE⊂平面PDA所以BF⊥PE所以无论点E在线段AD的何处，总有PE⊥BF．…（12分）【点评】：本题主要考查了直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的性质，考查了空间想象能力和转化思想，属于基本知识的考查．19．（12分）（2015•济南一模）数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n（n∈N*），S n为其前n项和．数列{b n}为等差数列，且满足b1=a1，b4=S3．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=，数列{c n}的前n项和为T n，证明：．【考点】：数列的求和；等比数列的通项公式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（2）由于c n==，利用“裂项求和”可得数列{c n}的前n项和为T n=，再利用数列的单调性即可得出．【解析】：（I）解：∵数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n（n∈N*），∴数列{a n}是等比数列，公比为2，首项为1，∴a n=1×2n﹣1=2n﹣1．∵设等差数列{b n}的公差为d，满足b1=a1，b4=S3，∴b1=1，b1+3d=1+2+22，解得d=2．∴b n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．∴a n=2n﹣1．b n=2n﹣1．（2）证明：c n====，∴数列{c n}的前n项和为T n=+…+=，∵数列为单调递增数列，∴≤T n．∴．【点评】：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”、数列的单调性、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（13分）（2015•济南一模）已知函数f（x）=e x+ax﹣a（a∈R且a≠0）．（Ⅰ）若函数f（x）在x=0处取得极值，求实数a的值；并求此时f（x）在[﹣2，1]上的最大值；（Ⅱ）若函数f（x）不存在零点，求实数a的取值范围．【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．【专题】：分类讨论；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】：（Ⅰ）求出导数，函数f（x）在x=0处取得极值，则f′（0）=1+a=0，解得a=﹣1，求得极小值2，也为最小值，再求f（﹣2）和f（1），比较即可得到最大值；（Ⅱ）函数f（x）不存在零点，即为e x+ax﹣a=0无实数解，讨论x=1和若x≠1，即有﹣a=，令g（x）=，求出导数，求得单调区间和极值，可得0＜﹣a＜e2，即可得到a的范围．【解析】：解：（Ⅰ）函数的定义域为R，f′（x）=e x+a，由函数f（x）在x=0处取得极值，则f′（0）=1+a=0，解得a=﹣1，即有f（x）=e x﹣x+1，f′（x）=e x﹣1，当x＜0时，有f′（x）＜0，f（x）递减，当x＞0时，有f′（x）＞0，f（x）递增．则x=0处f（x）取得极小值，也为最小值，且为2，又f（﹣2）=e﹣2+3，f（1）=e，f（2）＞f（1），即有f（﹣2）为最大值e﹣2+3；（Ⅱ）函数f（x）不存在零点，即为e x+ax﹣a=0无实数解，由于x=1时，e+0=0显然不成立，即有a∈R且a≠0．若x≠1，即有﹣a=，令g（x）=，则g′（x）=，当x＞2时，g′（x）＞0，g（x）递增，当x＜1和1＜x＜2时，g′（x）＜0，g（x）递减．即有x=2处g（x）取得极小值，为e2，在x＜1时，g（x）＜0，则有0＜﹣a＜e2，解得﹣e2＜a＜0，则实数a的取值范围为（﹣e2，0）．【点评】：本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查函数的零点问题，注意函数与方程的转化思想的运用，考查运算能力，属于中档题．21．（14分）（2015•济南一模）在平面直角坐标系xoy中，椭圆的焦距为2，一个顶点与两个焦点组成一个等边三角形．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）椭圆C的右焦点为F，过F点的两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与椭圆C交于P，Q两点，直线l2与直线x=4交于T点．（i）求证：线段PQ的中点在直线OT上；（ii）求的取值范围．【考点】：椭圆的简单性质．【专题】：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】：（Ⅰ）根据条件求出a，b，c即可求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设PQ的方程为：x=my+1代入椭圆方程，利用根与系数之间的关系求出OG和OT 的斜率，利用直线和椭圆相交的相交弦公式进行求解即可．【解析】：解：（Ⅰ）由椭圆得，解得a=2，c=1，b=，故所求椭圆的标准方程为．（Ⅱ）（i）设直线PQ的方程为：x=my+1，代入椭圆方程得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，则判别式△=36m2+4×9（3m2+4）＞0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点G（x0，y0），则y1+y2=，y1y2=，则y0=（y1+y2）=，x0=my0+1=，即G（，），k OG==﹣，设直线FT的方程为：y=﹣m（x﹣1），得T点坐标为（4，﹣3m），∵k OT=﹣，∴k OG=k OT，即线段PQ的中点在直线OT上；（ii）当m=0时，PQ的中点为F，T（4，0），则|TF|=3，|PQ|=，，当m≠0时，|TF|==，|PQ|====12，则==（3+），设t=，则t＞1，则y=3+=3t+=3（t+）在（1，+∞）为增函数，则y＞3+1=4，则（3+），综上≥1，故求的取值范围是[1，+∞）．【点评】：本题主要考查椭圆方程的求解以及直线和椭圆的位置关系是应用，利用直线和椭圆方程联立转化为一元二次方程问题是解决本题的关键．考查学生的计算能力，运算量较大，综合性较强．。
山东省济南市高三数学下学期第一次模拟考试试题 文
2015年高考模拟考试(山东卷)数学(文科)本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共5页．满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案写在试卷上无效．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．参考公式：柱体的体积公式：V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高.第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合{}{}2230,1,1,3,M x x x N M N =+-==-⋃=则A.{}1,3-B.{}1,1,3-C.{}1,1,3,3--D.{}1,1,3--2.已知复数z 满足()1i z i -=（i 是虚数单位），则z 在复平面内对应的点所在象限为A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.函数()3log 21y x =-的定义域为A.[)1,+∞B.()1,+∞C.1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D.1,12⎛⎫⎪⎝⎭4.“1cos 2α=”是“3πα=”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知,,a b c R ∈，那么下列命题中正确的是A.若a b <，则22ac bc <B.若0,0a b c >><，则c c a b <C.若a b >，则()()22a cbc +>+D.若0ab >，则2a bb a +≥6.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 A.9 B.16 C.25 D.367.已知,x y 满足约束条件13223x x y z x y x y ≥⎧⎪+≤=+⎨⎪-≤⎩，若的最大值和最小值分别为,a b ，则a b +=A.7B.6C.5D.48.已知函数()y f x =是R上的偶函数，当()12,0,x x ∈+∞时，都有()()()12120x x f x f x -⋅-<⎡⎤⎣⎦.设()21ln,ln ,a b c ππ===A.()()()f a f b f c >> B. ()()()f b f a f c >> C.()()()f c f a f b >>D.()()()f c f b f a >>9. 已知12,F F 是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的两个焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线一个交点是P ，且12F PF ∆的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是C.2D.510.设函数()f x 的定义域为R ，若存在常数()0f x xωω>≤，使对一切实数x 均成立，则称()f x 为“条件约束函数”.现给出下列函数：①()4f x x=；②()22f x x =+；③()2225xf x x x =-+；④()f x 是定义在实数集R 上的奇函数，且对一切12,x x 均有()()12124f x f x x x -≤-.其中是“条件约束函数”的有 A.1个B.2个C.3个D.4个第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11.100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则模块测试成绩落在[)50,70中的学生人数是_________.12.已知ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别为,,a b c ，若sin :sin :sin 1:2:3A B C =，则角C=__________.13.某圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为3π的扇形，则该几何体的体积为__________.14.设,,a b c r r r 是单位向量，且()()0a b a c b c ⋅=-⋅-r r r r r r ，则的最大值为________.15.已知P 是直线34100x y +-=上的动点，PA ，PB 是圆222440x y x y +-++=的两条切线，A,B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值为________.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16.（本小题满分12分） 设函数()223cos 2sin 3f x x x ωω=+-（其中0ω>），且()f x 的最小正周期为2π.（I ）求ω的值；（II ）将函数()y f x =图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 的单调增区间.17. （本小题满分12分）某在元宵节活动上，组织了“摸灯笼猜灯谜”的趣味游戏.已知在一个不透明的箱子内放有大小和形状相同的标号分别为1，2，3的小灯笼若干个，每个灯笼上都有一个谜语，其中标号为1的小灯笼1个，标号为2的小灯笼2个，标号为3的小灯笼n 个.若参赛者从箱子中随机摸取1个小灯笼进行谜语破解，取到标号为3的小灯笼的概率为14.（I ）求n 的值；（II ）从箱子中不放回地摸取2个小灯笼，记第一次摸取的小灯笼的标号为a ，第二次摸取的小灯笼的标号为b.记“4a b +≥”为事件A ，求事件A 的概率.18. （本小题满分12分） 如图，平面PBA ⊥平面ABCD ，90,,DAB PB AB BF PA ∠==⊥o ，点E 在线段AD 上移动.（I ）当点E 为AD 的中点时，求证：EF//平面PBD ； （II ）求证：无论点E 在线段AD 的何处，总有PE BF ⊥.19. （本小题满分12分）数列{}n a 满足()111,2n n a a a n N *+==∈，n S 为其前n 项和.数列{}n b 为等差数列，且满足1143,b a b S ==.（I ）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（II ）设2221log n n n c b a +=⋅，数列{}n c 的前n 项和为n T ，证明：1132n T ≤<.20. （本小题满分13分） 已知函数()()0x f x e ax a a R a =+-∈≠且.（I ）若函数()0f x x =在处取得极值，求实数a 的值；并求此时()[]21f x -在，上的最大值；（II ）若函数()f x 不存在零点，求实数a 的取值范围.21. （本小题满分14分）在平面直角坐标系xoy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的焦距为2，一个顶点与两个焦点组成一个等边三角形.（I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）椭圆C 的右焦点为F ，过F 点的两条互相垂直的直线12,l l ，直线1l与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线2l与直线4x =交于T 点. （i ）求证：线段PQ 的中点在直线OT 上；（ii ）求TF PQ的取值范围.2015年3月济南市高三模拟考试 文科数学参考答案 一、选择题CBABD BACDC 二、填空题11.25 12.3π13. 2π14. 1+15.三、解答题16. 解：（Ⅰ）()2sin 2f x x x ωω=+=2sin(2)3x πω+……………………4分 ∴ 2=22ππω，即12ω=……………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x =2sin()3x π+,将函数)(x f y =的图象各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数)(x g y =的图象，即()g x =2sin(2)3x π+ (8)分由22+2232k x k πππππ-≤+≤，k Z ∈得：51212k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈，……………………10分∴()g x 的单调递增区间是：5[,]1212k k ππππ-++,k Z ∈ …………12分17. 解：（Ⅰ）由题意，1124n n =++，1n ∴=……………………4分（2）记标号为2的小灯笼为1a ,2a ；连续摸取2个小灯笼的所有基本事件为:（1, 1a ）,（1,2a ）,(1,3),（1a ,1）,（2a ,1）,(3,1),（1a ,2a ）, (1a ,3）,（2a ,1a ）, （3,1a ）,（2a ,3）,（3,2a ）共12个基本事件. ……………………8分A 包含的基本事件为: (1,3), (3,1),（1a ,2a ），（2a ,1a ），(1a ,3），（3, 1a ）, （2a ,3）,（3, 2a ）……………………10分8()12P A ∴=23=……………………12分18. （Ⅰ）证明： 在三角形PBA 中，,PB AB BF PA =⊥， 所以F 是PA 的中点，连接EF ， ………………………………2分 在PDA ∆中，点,E F 分别是边,AD PA 的中点， 所以//EF PD …………………………………4分又EF PBD ⊄平面，PD PBD ⊂平面 所以EF //平面PBD .……………………………6分（Ⅱ）因为平面PBA ⊥平面ABCD ，平面PBA I 平面ABCD AB =, 90DAB ∠=o，DA AB ⊥ ,DA ABCD ⊂平面所以DA ⊥平面PBA …………………… 8分又BF PBA ⊂平面 ,所以DA BF ⊥,又BF PA ⊥，PA I DA A =,,PA DA PDA ⊂平面, 所以BF PDA ⊥面 ……………………………………10分 又PE PDA ⊂平面 所以BF PE ⊥所以无论点E 在线段AD 的何处，总有PE ⊥BF . …………………………12分 19. 解：（Ⅰ）由题意，{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，11121--⋅=⋅=∴n n n q a a .∴12n n a -=，21nn S =-， …………………3分 设等差数列{}n b 的公差为d ，111b a ==，4137b d =+=，∴2d =∴1(1)221n b n n =+-⨯=-. …………………6分（II ）∵212222log =log 221n n a n ++=+，∴22211111()log (21)(21)22121n n n c b a n n n n +===-⋅-+-+,…………………7分∴11111111(1...)(1)2335212122121n n T n n n n =-+-++-=-=-+++ . (9)分∵*N n ∈,∴11112212n T n ⎛⎫=-<⎪+⎝⎭ …………………10分当2n ≥时，()()111021212121n n n n T T n n n n ---=-=>+-+-∴数列{}n T 是一个递增数列， ∴113n T T ≥=.综上所述，1132n T ≤<. …………………12分 20. 解：（Ⅰ）函数)(x f 的定义域为R ，a e x f x+=)('，…………………1分 0)0(0'=+=a e f ，1-=∴a .…………………2分∴'()1xf x e =- ∵在)0,(-∞上)(,0)('x f x f <单调递减，在),0(+∞上)(,0)('x f x f >单调递增， ∴0=x 时)(x f 取极小值.1-=∴a . …………………3分易知)(x f 在)0,2[-上单调递减，在]1,0(上)(x f 单调递增；且;31)2(2+=-ef ;)1(e f =)1()2(f f >-.…………………4分 当2-=x 时，)(x f 在]1,2[-的最大值为.312+e …………………5分（Ⅱ）a e x f x+=)('，由于0>x e . ①当0>a 时，)(,0)('x f x f >是增函数，…………………7分 且当1>x 时，0)1()(>-+=x a e x f x .…………………8分当0<x 时，取a x 1-=，则0)11(1)1(<-=--+<-a a a a f ，所以函数)(x f 存在零点，不满足题意.…………9分 ②当0<a 时，)ln(,0)('a x a e x f x-==+=.在))ln(,(a --∞上)(,0)('x f x f <单调递减，在)),(ln(+∞-a 上)(,0)('x f x f >单调递增，所以)ln(a x -=时)(x f 取最小值.………………11分函数)(x f 不存在零点，等价于0)ln(2)ln())(ln()ln(>-+-=--+=--a a a a a a e a f a ， 解得02<<-a e .综上所述：所求的实数a 的取值范围是02<<-a e .………………13分 21. 解：（Ⅰ）由题意1222c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，………………1分解得3,1,2===b c a ,………………3分所求椭圆C 的标准方程为13422=+y x ；………………4分（Ⅱ）解法一： （i ）设:1PQ l x my =+，221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x ，化简得096)43(22=-++my y m . 09)43(43622>⋅++=∆m m设),,(),,(2211y x Q y x P PQ 的中点00(,)G x y ，则436221+-=+m m y y ，439221+-=m y y ，……………6分43322210+-=+=m m y y y ，4341200+=+=m my x ，即2243(,)3434mG m m -++，……………7分4344343322m m m m k OG-=+⋅+-=， 设)1(:--=x m y l FT ，得T 点坐标（m 3,4-），43mk OT -=Θ，所以OT OG k k =，线段PQ 的中点在直线OT 上.……………9分(ii) 当0=m 时，PQ 的中点为F ，)0,4(T .1||||,32||,3||2====PQ TF a b PQ TF .……………10分当0m ≠时，13)3()14(||222+=-+-=m m TF ，||11||122y y k PQ PQ-+==-+⋅+=2122124)(1y y y y m 4394)436(12222+-⋅-+-⋅+m m m m4311222++⋅=m m .……………11分)1113(411243113||||22222+++⋅=+⋅++=m m m m m PQ TF令12+=m t .则)1)(13(41||||>+⋅=t t t PQ TF .令)1)(13(41)(>+⋅=t t t t g则函数()g t 在()1,+∞上为增函数，……………13分所以1)1()(=>g t g .所以||||PQ TF 的取值范围是[1,)+∞.……………14分解法二：（i ）设T 点的坐标为),4(m ，当0=m 时，PQ 的中点为F ，符合题意. ……………5分当0m ≠时，m k m k PQ FT 3,3-==.3:(1)PQ l y x m -=-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--==+)1(313422x m y y x ，消去x 化简得22(12)6270m y my +--=. 027)12(43622>⋅++=∆m m设),,(),,(2211y x Q y x P PQ 的中点00(,)G x y ，则126221+=+m m y y .1227221+-=m y y ，……………6分12322210+=+=m my y y ，121231200+=-=m my x ， 即)123,1212(22++m mm G ，……………7分4121212322m m m m k OG=+⋅+=，又4m k OT =Θ. 所以OTOG k k =，线段PQ 的中点在直线OT 上.……………9分(ii) 当0m = 时，632PQ == , 413TF =-=,1TF PQ = ……………10分当0m ≠时，9)14(||222+=+-=m m TF ，||11||12y y k PQ PQ-+=.=-+⋅+=2122124)(91y y y y m 12274)126(912222+-⋅-+⋅+m m m m129422++⋅=m m .……………11分)939(4141299||||22222+++⋅=+⋅++=m m m m m PQ TF 令92+=m t .则)3)(3(41||||>+⋅=t t t PQ TF .令)3)(3(41)(>+⋅=t t t t g则函数()g t 在()3,+∞上为增函数，……………13分所以1)3()(=>g t g . 所以当||||PQ TF 的取值范围是[1,)+∞.……………14分解法三：（i ）当直线PQ l 斜率不存在时，PQ 的中点为F ，)0,4(T ，符合题意. ……………5分 当直线PQ l 斜率存在时，若斜率为0，则2l 垂直于 x 轴，与 x=4不能相交，故斜率不为0 设)1(:-=x k y l PQ ，（0k ≠） ⎪⎩⎪⎨⎧-==+)1(13422x k y y x ，消去y ，化简得. 2222(34)84120k x k x k +-+-= 4222644(34)(412)144(1)0k k k k ∆=-+-=+>设),,(),,(2211y x Q y x P PQ 的中点00(,)G x y ，则2221438k k x x +=+，222143124k k x x +-=，……………6分222104342k k x x x +=+=，200433)1(k k x k y +-=-=， 即)433,434(222k k k k G +-+，……………7分k k k k k k OG 43443433222-=+⋅+-=， 设)1(1:--=x k y l FT ，得T 点坐标（k 3,4-），k k OT 43-=，所以OT OG k k =， 线段PQ 的中点在直线OT 上.……………9分(ii) 当直线PQ l 斜率不存在时，PQ 的中点为F ，)0,4(T . 1||||,32||,3||2====PQ TF a b PQ TF .……………10分当直线PQ l 斜率存在时，222213)3()14(||k k k TF +=-+-=，||1||122x x k PQ -+=.=-+⋅+=2122124)(1x x x x k 222222431244)438(1k k k k k +-⋅-+⋅+ 2243112k k ++⋅=.……………11分2222||34)||12(1)114TF k k PQ k k +==+++=⋅ 令211k t +=.则)1)(13(41||||>+⋅=t t t PQ TF .令)1)(13(41)(>+⋅=t tt t g 则函数()g t 在()1,+∞上为增函数，……………13分 所以1)1()(=>g t g . 所以||||PQ TF 的取值范围是),1[+∞.……………14分。
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2015年5月济南市高三针对性训练文科数学αα116m n1.已知正实数m,n 满足m+n=1,且满足+取得最小值.若曲线y=x 过点P(,),则的值为m n 541( ) A.-1 B. C.2 D.32ααααα∈∴⋅⋅≥∴∴⎧⎪⎧⎪⇒∴⎨⎨⎩⎪⎪⎩∴∴∴∴∴ +min 12解析:已知m,n R ,m+n=1.116116116n 16m P=+=(+)1=(+)(m+n)=(+)+17P =25.m n m n m n m n n 16m 此时=,4m=n.m n1m=m+n=1115由,P(,).4m=n 4255n=511111曲线y=x 过点P,=(),()=(),2=1,=.525552选B.12122.已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图中圆的直径为4,该几何体的体积为V.直径为6的体积为V ,则V:V =( ) A.1:2 B.2:27 C.1:3 D.4:27.πππππππ⋅⨯⨯⋅⨯⋅∴∴2213212解析:由三视图可知,该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥后的剩余部分,其体积:116V =(2)2-(2)2=.334V =3=36316V 43==.V 3627选D.2212222x y 3.已知F ,F 是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线左支上存在一点P 与点F 关a bbx 于直线y=对称,则该双曲线的离心率为a⎧⎧⎪⎪⎪⎪⇒∴⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎧⎪⎪∴⎨⎪⎪⎩∴⋅ 22222222211112a a a解析:直线PF 的斜率:k=-,直线PF 的方程:y-0=-(x-c),即y=-(x-c).b b bba y=x x=a ab ac 由,M(,).a c c aby=-(x-c)y=b c2a 2a -c x =-c=2a -c 2ab c c 设P(x ,y ),则由中点坐标公式可得:,P(,).c c 2ab 2aby =-0=c c12点P 在双曲线上,(a ⋅∴∴2222222a -c 12ab c)-()=1,整理得:5a =c ,e=c b c a选C.∈∈321212114.已知函数f(x)=x +ax +bx+c 在x 处取得极大值,在x 处取得极小值,满足x (-1,0),x 32a+2b+4(0,1),则的取值范围是( ) A.(0,2) B.(1,3) C.[0,3] D.[1,3]a+2''''..∴⎧⎧⎪⎪∴⇒⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎧⎪⎨⎪⎩ 3221211解析:已知f(x)=x +ax +bx+c,f(x)=x +ax+b.32f(-1)>0a-b-1<0f(x)在x 处取得极大值,在x 处取得极小值,f(0)<0b<0a+b+1>0f(1)>0x-y-1<0以x 替换a,y 替换b,得:y<0x+y+1>0不等式组所表示的平面区域如图所示:a+2b+4x+2y+4(x+2)+2P===a+2x+2⋅⋅∴∴∴∴∴AB (y+1)y+1y-(-1)=1+2=1+2.x+2x+2x-(-2)y-(-1)令k=,其几何意义是由可行域内的动点(x,y)和定点(-2,-1)所确定的直线的斜率.x-(-2)0-(-1)k ==1,0<k<1,0<2k<2,1<1+2k<3,1<P<3,即所求P 的取值范围为(1,3).-1-(-2)选B.ϕ∈⋅5.如图,点P 是函数y=2sin(wx+)(x R,w>0)的图象的一个最高点,M,N 是图象与x 轴的交点.若PM PN=0,则w 的值为_____________...ππππππππ∴⋅∴⨯⨯∴ 111111111112解析:考察函数y=2sinwx,其图象过原点O(0,0),周期T=w如图所示:M (0,0),N (,0),P(,2),M P =(,2),N P =(-,2).w 2w 2w 2wM P N P =0,(-)+22=0,w=2w 2w 4 2212126.已知圆C :(x+1)+(y-1)=2,圆C 与圆C 关于直线x-y-1=0对称,则圆C 的方程为___________.∴⋅⎧⎪⎧⎪⇒∴⎨⎨⎩⎪⎪⎩⎧⨯⎪⎪∴⎨⎪⨯⎪⎩ 112121121222解析:圆心C (-1,1),半径r 圆C 与圆C 关于直线x-y-1=0对称,r =r 直线C C 的斜率:k=-1,直线C C 的方程:y-1=-1(x+1),即y=-x.1x=y=-x 112由,M(,-).y=x-1122y=-21m=2-(-1)=22设C (m,n),由中点坐标公式可得:,C (2,-21n=2(-)-1=-22∴222).圆C 的方程为(x-2)+(y+2)=2.{}{}{}{}∈≤7.定义f(x)=x (x 表示不小于x 的最小整数)为"取上整函数",例如1.2=2,4=4."取上整函数"在现实性生活中有着广泛的应用,诸如停车收费、出租车收费等都是按照"取上整函数"进行计费的.以下关于①f(2x)"取上整函数"的=2f(x); 性质是真命题的序号是______②若f(x)=f(y),则x-y _________<1; ③任意x,_(请写出所有y R,f(真x 命题+的序号)y).f(x)+f(y);1④f(x)+f(x+)=f(2x); ⑤函数f(x)为奇函数.2{}{}{}{}{}{}{}{}0≤≤≤≤≤≤≤≤ 解析:当-4<x -3时,f(x)=x =-3;当-3<x -2时,f(x)=x =-2;当-2<x -1时,f(x)=x =-1;当-1<x 时,f(x)=x =0;当0<x 1时,f(x)=x =1;当1<x 2时,f(x)=x =2;当2<x 3时,f(x)=x =3;当3<x 4时,f(x)=x =4; f(x)的简图如图所示:.⨯⨯≠√①.令x=0.5,则f(2x)=f(1)=1,2f(x)=2f(0.5)=21=2,此时f(2x)2f(x).②.√③⨯≠⨯∴≠∴11④.令x=0.5,则f(x)+f(x+)=f(0.5)+f(1)=1+1=2,f(2x)=f(1)=1,此时f(x)+f(x+)f(2x).22⑤.f(0.5)=1,f(-0.5)=0,f(-0.5)-f(0.5),f(x)不是奇函数.综上可知,所有真命题的序号为:②③.I II ∆∆8.在ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且bcosC=(2a-c)cosB,()求角B 的大小;()若a,b,c 成等差数列,且b=3,试求ABC 的面积.I π∆⋅∴∴∴∴∴解析:()ABC 中,已知bcosC=(2a-c)cosB.由正弦定理得:2RsinBcosC=(22RsinA-2RsinC)cosB,sinBcosC=(2sinA-sinC)cosB=2sinAcosB-cosBsinC,sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB,sin(B+C)=2sinAcosB,sin(-A)=2sinAcosB,sinA=2sinAcos πππ∴≤∴∴∴ B.10<A<,0<sinA 1,1=2cosB,cosB=.20<B<,B=.3II ππ∴∴∴∆⨯⨯⨯∴∆⨯⨯⨯ 22222()a,b,c 成等差数列,a+c=2b,a+c=6,c=6-a.ABC 中,由余弦定理得:3=a +(6-a)-2a (6-a)cos ,整理得:a -6a+9=0,即(a-3)=0,a=3.31ABC 的面积:S=33sin 239.济南天下第一泉风景区为了做好宣传工作,准备在A 和B 两所大学分别招募8名和12名志愿者,将这20名志愿者的身高编成如下茎叶图(单位:cm).若身高在175cm 以上(包括175cm)定义为"高精灵",身高在175cm 以下(不包括175cm)定义为"帅精灵".已知A 大学志愿者的身高的平均数为176cm,B 大学志愿者的身高的中位数为168cm.I II ()求x,y 的值;()如果用分层抽样的方法从"高精灵"和"帅精灵"中抽取5人,再从这5人中选2人,求至少有一人为"高精灵"的概率.I 解析:()A 大学志愿者的身高分别为:159 168 170 170+x 176 182 187 191 即170+:-11 -2 0 x 6 12 17 21⋅∴∴1A 大学志愿者的平均身高为176,则:(-11-2+0+x+6+12+17+21)=6,x=5.8(160+y)+169B 大学志愿者的身高的中位数为168,则=168,y=7.2.II ⎧⎧⎨⎨⎩⎩⨯⨯Ω121231211121321222312高精灵5高精灵3()由茎叶图可知,A 大学,B 大学帅精灵3帅精灵9高精灵共有:5+3=8,帅精灵共有:3+9=12.51抽样比:P==.8+1241高精灵抽取的人数:8=2,记为x ,x ;41帅精灵抽取的人数:12=3,记为y ,y ,y .4(x x )(x y )(x y )(x y )(x y )(x y )(x y )从5人中选2人,基本事件空间:=(y y )(y ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎧⎫⎨⎬⎩⎭132312111213212223,共含有10种不同的结果.y )(y y )(x x )(x y )(x y )(x y )记事件A="至少有一人为高精灵"=共含有7种不同的结果.(x y )(x y )(x y )7由古典概型可知,所求概率:P=.10I II ⊥⊥⊥10.如图,四边形ABCD 是菱形,DE DC,平面DEC 平面ABCD.()求证:AC 平面BDE;12()若AF//DE,AF=DE,点M 在线段BD 上,且DM=BD,求证:AM//平面BEF.33I ⊥⊂⊥∴⊥⊂∴⊥∴⊥∴⊥ 解析:()平面EDC 平面ABCD,平面EDC 平面ABCD=DC,ED 平面EDC,ED DC,ED 平面ABCD.AC 平面ABCD,ED AC.四边形ABCD 为菱形,AC BD.又BD DE=D,AC 平面BDE.//II ⊥⊥∴∴∴∴ 21()在BE 上取一点N,使得EN=EB,则MN//DE,且MN=DE.33FA 平面ABCD,ED 平面ABCD,FA//ED.1又FA=ED,MN AF,四边形AMNF 为平行四边形,AM//FN.3⊄⊂∴ 又AM 平面BEF,FN 平面BEF,AM//平面BEF.{}{}{}{}{}{}I II n 12328n n n n n n nn n n n n11.已知等差数列a 满足a +a +a =9,a +a =18.数列b 的前n 项和为S ,且满足S =2b -2.()求数列a 和b 的通项公式;a ()数列c 满足c =,求数列c 的前n 项和T .b{}I ⎧⎧⎧⎧⇒⇒⇒⎨⎨⎨⎨⎩⎩⎩⎩∴⋅12311111n 28111n 1n n n+1n+1n+1a +a +a =9a +(a +d)+(a +2d)=9a +d=3a =1解析:()已知等差数列a 中,,a +a =18a +4d=9d=2(a +d)+(a +7d)=18a =a +(n-1)d=1+(n-1)2=2n-1. 已知S =2b -2 以(n+1)替换n 得:S =2b -2 -得:b ①②②①=2b {}∴∴∴∴⨯n+1n+1n n+1n n n111n-1n-1n n 1b -2b ,b =2b ,=2(常数),数列b 为等比数列,公比q=2.b 式中,令n=1,则b =2b -2,b =2.b =b 22①q ==2.II ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ nn n n n 123n n 234n+1n 2n-123n n+1n a 2n-11()c ===(2n-1)().b 221111T =1()+3()+5()++(2n-1)() 222211111T =1()+3()+5()++(2n-1)() 2222211()[1-()]111111122-得:T =+2[()+()++()]-(2n-1)()=+22222222①②①②.⋅⋅∴⋅n+1n n n 1-(2n-1)()121-232n+311=-(),T =3-(2n+3)()2222I II 222222x y 112.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个顶点恰好是抛物线x 的焦点,且离心率e=.a b 2()求椭圆C 的方程;()设过原点的直线与椭圆C 交于A,B 两点,过椭圆C 的右焦点作直线L//AB 交椭圆C 于M,N 两点.AB试问是否为定值?若为定值,请求出这个定值;若不是定值,请说明理由.MN.I ∴∴∴∴∴∴∴∴∴22222222222c 1解析:()椭圆离心率:e==,a=2c,a =4c a 2抛物线x 的焦点b =3,a -c =3,3c =3,c =1,a =4.x y 椭圆方程:+=1.43II ∴2①当直线AB 的斜率不存在时,AB ()椭圆的右焦点F(1,0).AB =12.⎧⎪⇒⇒±∴⎨⎪⎩2222直线L 的方程:x=1.x=193由y =y=,MN =3.42AB 12此时==4.M x y +=1433N..⎧⎧⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎩∴22222222222222222②当直线AB 的斜率存在时,设为k,则其方程为y=kx.12y=kx x =3+4k 由12k y =3+4k 1212k 48(1+k )AB =(2OA )=4OA =4(x +y )=4(+)=3+4k x y +=3+4k 31+4k43⎧⎪⇒⇒⎨⎪⎩⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩22222221221122221222直线L 的方程:y-0=k(x-1),即y=k(x-1).y=k(x-1)由3x +4[k(x-1)]=12(3+4k )x -8k x+4k -12=0.8k x +x =3+4k 设M(x ,y ),N(x ,y ),则由一元二次方程根与系数的关系可得:.4k -12x x x y +=143=3+4k.⨯∴⋅⋅⋅∴⋅222222222221212122222222222228k 4k -12169(1+k )MN =(1+k )(x -x )=(1+k )[(x +x )-4x x ]=(1+k )[()-4]=,3+4k 3+4k (3+4k )12(1+k )MN =3+4k AB 48(1+k )3+4k 此时==4.MN 3+4k 12(1+k )AB 综上可知,为定值4.MNI II I III 001+a13.已知函数f(x)=x+-alnx.x()若函数y=f(x)的图象在x=1处的切线与直线2x+y-1=0平行,求a 的值;()在()的条件下,方程f(x)=b 在[1,e]上有两个不同的实数根,求实数b 的取值范围;()若在[1,e]上存在一点x ,使得f(x )<0成立,求实数a 的取值范围.''I ∴∞∴⋅∴∴ 22解析:函数有意义,x>0,f(x)的定义域为(0,+).1+a 1a 1+a a ()f(x)=x+-alnx,f(x)=1+(1+a)(-)-=1--,x x x x xf(x)在x=1处的切线的斜率:k=f(1)=1-(1+a)-a=-2a=-2,a=1.'''II ⋅∴∴∞∴∴22221(x+1)(x-2)()当a=1时,f(x)=x+-lnx,f(x)=1--=.x x x x 令f(x)>0,则x-2>0,x>2,f(x)在(2,+)上为增函数;令f(x)<0,则x-2<0,0<x<2,f(x)在(0,2)上为减函数.2f(1)=3,f(e)=e-1+,f(2)=3-ln2.e方程f(x)=b 在[1,e]上有两个不同的实数根,则曲线y=f(x)与直线∴≤y=b 在[1,e]上有两个不同的22交点,3-ln2<b e-1+,即所求实数b 的取值范围为(3-ln2,e-1+].e e''III ≤≤∴⋅∞∴22220000m min in ①当1+a 0,即a 1+a a x -ax-(1+a)(x+1)[x-(1+a)]()f(x)-1时,>0,f(x)=1--==.x x x x 在[1,e]上存在一点x ,使得f(x )<0,即0>f(x )成立,必须且只须0>[f(x )].f(x)(0,+在上为增函数,在[1,e]上亦为增函数.此时y =f(1)=a+2.由题意知:0>a+2,a<-2.)②当1+a>i ii iii ≤≥∴≥≤∴∴min 2min min 0,即a>-1时:1+a()若e 1+a,即a e-1,则y =f(e)=e e+-a.e1+a e +1由题意知:0>e+-a,a>;e e-1()当11+a,即-1<a 1+a +-alne=e 0时,y =f(1)=1+1+a-aln1=2+a.0>2+a,a<-2,与条件矛盾;()当1<1+a<e,即0<a<e-1时,y =f(1+a)=1+a+1-aln(1+a)='ϕϕϕϕϕ∴∈∴∴222+a-aln(1+a).2由题意知:0>2+a-aln(1+a),即2+a-aln(1+a)<0,+1-ln(1+a)<0.a2令(a)=+1-ln(1+a),a (0,e-1).a 21则(a)=--<0,(a)在(0,e-1)上为减函数.a 1+a22(a)>(e-1)=+1-lne=>0,矛盾.e-1e-1e +1综上可知,a<-2或a>,即所求实数a 的取值范围为(-e-1∞∞ 2e +1,-2)(,+).e-1。