D33泰勒高等数学同济大学第六版上册课件

误差
Rn(x)
M (n1)!
xn1
M 为 f (n1)(x) 在包含 0 , x 的某区间上的上界.
需解问题的类型: 1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ; 2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差; 3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的适用范围.
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例1. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过
解: 已知 的麦克劳林公式为
e x 1 x x 2 x 3 x n
2! 3!
n!
令 x = 1 , 得 1 1 1 1e
(01)
(0 1 )
2! n! (n 1 )!
由于 0ee3,欲使
Rn(1)
(n
3 1)
!
106
由计算可知当 n = 9 时上式成立 , 因此
因此计算时中间结果应比精度要求多取一位 .
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例2. 用近似公式
计算 cos x 的近似值,
使其精确到 0.005 , 试确定 x 的适用范围.
解: 近似公式的误差
R3(x)
x4cos(x)
4!
x4 24
x4
令
0.005 24
解得
x 0.588
即当 x 0.588时, 由给定的近似公式计算的结果
11(11)1 (2)1 (x)5 2x3
3!22 2
1xx21(1x)5 2x3 (01)
2 8 16
( 1 1 ) x( 1 n x )( 1 x 2x ) (x n 1 0 x )n 1 (01)
(n 1 )! 2 8
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内容小结
1. 泰勒公式
(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为
可见 f (x) f (x0)f(x 0)x ( x 0)f2(!()(在 xx0 x0与 )2x之)间
误差
(在 x0与 x之)间 d f
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在泰勒公式中若取 x 0 0 , x ( 0 1 ) ,则有
f (0) f(0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
(1x)1x (1)x 2
2!
( 1 ) n( ! n 1 )x n Rn(x)
其中 Rn(x)( (1 n ) 1 ) ( ! n )(1 x) n 1 xn 1
(01)
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已知 f (k)(x) (1)k1((1kx1))k! (k 1 ,2, )
类似可得
ln1(x)x x 2 2
x3 3
(1)n1 xnn Rn(x)
其中
Rn(x)
(1)n n1
xn1
(1 x)n1
(01)
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三、泰勒公式的应用
1. 在近似计算中的应用
f (x) f (0) f(0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
2!
n!
e1111 2.718281 2! 9!
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说明: 注意舍入误差对计算结果的影响.
本例 e1111 2! 9!
若每项四舍五入到小数点后 6 位,则
各项舍入误差之和不超过 70.51 06, 总误差为 70.51 0 610651 06 这时得到的近似值不能保证误差不超过 106.
能准确到 0.005 .
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2. 利用泰勒公式求极限
例3. 求
用洛必塔法则 不方便 !
解: 用泰勒公式将分子展到 x 2 项, 由于
3x 4 2 143x
2 112(43x)
1 2
!
1 2
(12
1)
(
3 4
x)2 o(x2)
2
3 4
x
1 4196 x2o(x2)
f (x) f (x0) f(x 0)x ( x 0)f2(x!0)(xx0)2
特例: f (nn)(!x0)(xx0)nf((nn1)1()!)(x(x在 0)nx 10与 x之)间
(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变给为出拉格朗日中值定理
f (x)f (x0) f()x (x0) (在 x0与 x之)间
2!
n!
称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 . 由此得近似公式
若在f (公xf)(式x)成f(立xf0(的)0 )区f间(fx 上0 (0))x xf(( nx 1f0 )() 2x(!0)) fx22M (x !0, 则)(x有误fx(0nn差))!(20估 ) 计xn式
f (nn)(!x0R)n((xx)x0)(nnM f1()(nn!1x)1()n!)1((x在 x0x)0 n与 1 x之)间
(1)
m
x2m (2m)
!
R2m1(x)
其中
R2m1(x)(1()2m m1c2o) !sx)( x2m2
(01)
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f(k)(x) ( 1 ) ( k 1 ) 1 ( x ) k
f( k ) ( 0 ) ( 1 ) ( k 1 ) (k 1 ,2, )
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二、几个初等函数的麦克劳林公式
f(k)(x)ex, f(k )(0 ) 1(k 1 ,2 , )源自e x 1xx2 2!
x3 3!
x n n!
Rn(x)
其中
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f(k)(x)sixnk( ) 2
f(k)(0)sink
2
0, (1)m1,
43x
2
3 4
x
1 4196 x2o(x2)
原 式 ( x l i (0 1 n m ) 1 1 2) ( !19 6 n xx) 22 (1 o(xx ) 2 ) n 1 x 3n 92 1 (01)
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3. 利用泰勒公式证明不等式
例4. 证明
证: 1x(1x)1 2 1 x 1 1(11)x2 2 2! 2 2
f (x0) f(x 0)x ( x 0)f2(x!0)(xx0)2 f (nn)(!x0)(xx0)nRn(x)
k2m (m 1 ,2 , ) k2m 1
sinxx
x3 3!
x5 5!
(1)m1(2xm2m11)!R2m(x)
其中
R2m(x)
s(1i)n mxc (o2m 2 s x1 ( )) x2m1
(2m 1) !
(01)
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类似可得
coxs1
x2 2!
x4 4!