西南名校联盟巴蜀中学2019届高考适应性月考卷(十)理科数学
巴蜀中学2019届高考适应性月考卷(二)理数-答案
直线 l 的一般方程为 2x y 2 0 .………………………………………………………（5 分）
（2）由参数方程设点 P 的坐标为 (1 2 cos，1 2 sin ) ，
则点
Q
的坐标为
1 2
2 2
cos，
1
2
sin
，
则点 Q 到直线 l 的距离为 d |1
2 cos 1
2 sin
f
(1)
1 e
，f
(0)
a 2
0 ，∴x0
(1，0)，使得f
(x0 )
0 ；………………（6
分）
当
x (，1)
时，
f
(x)
xex
1 2
a(x
1)2
x
1 2
a(x
1)2，
取
x1
a
1 a
2a 1 1，f (x1) 0 ，
∴x2 (x1，1)，使得f (x2 ) 0 ，故此时有两个零点；…………………………………（7 分）
解：（1）由题，在
△ABD
中，由正弦定理得
AB BD
sin sin
ADB BAD
，……………………（2
分）
在
△ACD
中，由正弦定理得
AC CD
sin sin
ADC CAD
，………………………………………（4
分）
又sin ADB
sin ADC，sin BAD
sin CAD
，∴ AB AC
BD CD
3 2
可知当 x (，1)，(1， ) 时， f (x) 0，f (x) 单调递增；………………………（2 分）
巴蜀中学2019届高考适应性月考卷(五)理数-答案
理科数学参考答案·第1页（共6页）巴蜀中学2019届高考巴蜀中学2019届高考适应性月考卷（五）理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C B B C A B A A C D A 【解析】1．因为(0)(2)(13)A B =-∞+∞= ，，，，，所以{|23}A B x x =<< ，故选B ．2．因为i i(1i)11i 1i (1i)(1i)22z +===-+--+，所以||z =2，故选C ． 3．因为156493a a a a =++=，所以74721S a ==，故选B ．4．222log 3log 322(2018log 3)(2log 3)24212f f ++=+=== ，故选B ． 5．经验证7k <满足题意，故选C ．6．14314121321354354354330P =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=23225434556P P ⨯⨯===所以，故选A ． 7．x ，y 都是奇数是x ，y 中至少一个是偶数的反面，故选B ．8．依题意()P x y ，在2y x =-上，距离2483483355333x y d x x +-==-+-的最小值为43，故选A ．9．因为||1b = ，所以222||24(1)3a b λλλλ+=++=++ ，故||a b λ+ 故选A ．理科数学参考答案·第2页（共6页）10．丙在甲、乙中间时，有23424⨯⨯=（种），丙不在甲、乙中间，有2(222)12⨯⨯+=（种），所以总共36种，故选C ．11．2441()4x ax f x x -+'=，令2()441g x x ax =-+，因为(0)10g =>，所以依题意有012(1)00a g ⎧<<⎪⎪>⎨⎪∆>⎪⎩，，，解得514x <<，故选D ． 12．因为2=2PF ，1=4PF ，得121cos 4F PF ∠=，12sin 4F PF ∠=，所以12F PF S =△，得内切圆半径5r =，即||5I y =，内切圆与PF 1，PF 2，F 1F 2的三个切点分别为T 1，T 2，T 3，12112213322a PF PF T F T F FT T F =-=-=-，可得||1I x a ==，所以圆心I到原点的距离是5，延长F 1M 与PF 2相交易得12||12PF PF OM -==，故选A ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．32251C 252⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．14．314S =+=．15．111592(2)222222y x xy x y x y x y ⎛⎫+=++=++++=⎪⎝⎭≥． 16．由正弦定理得ABC △的外接圆半径为r =，再由12AA =得外接球半径为R =以球的表面积为92π7．理科数学参考答案·第3页（共6页）三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分） 解：（1）因为π()213f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，………………………………………………（3分）单调增区间为5ππππ()1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，．……………………………………………（5分）（2）1π()sin 223f B B ⎛⎫=+=⎪⎝⎭， 因为(0π)B ∈，，所以π2π233B +=，得π6B =，………………………………………（7分）由余弦定理22323cos 222a c ac B ac ac +--==≥，得3(2ac +≤，…………………（9分）而1sin 2S ac B =，所以S，此时a c =．……………（12分） 18．（本小题满分12分）解：（1）111222342422225555C C C C C 3C C C C 10P =+= ．……………………………………………（6分） （2）2×2列联表如下表所示有驾照没有驾照总计中青年 20 10 30 中老年 8 12 20 总计28 22 5022250(2012810)50100(248)50168003.463 3.841203028222030472113711231K ⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯====≈<⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯，………………………………………………………………………………………（10分） 所以没有95%以上的把握认为拥有驾照与年龄(中青年、中老年)有关联．………………………………………………………………………………………（12分）理科数学参考答案·第4页（共6页）19．（本小题满分12分）（1）证明：如图取PD 的中点F ，连接AF EF ，，∵E F ，分别是PC PD ，的中点，∴12EF CD EF CD =∥，，…………………………（2分）∵12AB CD AB CD =∥，，∴EF AB EF AB =∥，，∴四边形ABEF 是平行四边形，∴BE AF ∥，……………………………………………（4分） ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA CD ⊥，又CD BE ⊥，即CD AF ⊥，∴CD ⊥平面PAD ，∴CD AD ⊥，∴AD AB ⊥．……………………………………（6分） （2）解：以点A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -， 则(000)(100)(002)(220)(111)(020)A B P C E D ，，，，，，，，，，，，，，，，，，(011)(120)BE BD ==-，，，，，，………………………………………………………（8分） 设平面EBD 的法向量为()m x y z =，，，由00200m BE y z x y m BD ⎧⎪⎨=+=⎧⇒⎨-+=⎩⎪⎩=，，，令11z y ==-，，即(211)m =-- ，，， 同理可得平面PBD 的一个法向量(211)n =，，，………………………………………（10分）设二面角E BD P --的大小为θ，如图θ为锐角，则2cos |cos |3m n θ== <，>．………………………………………………………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（1）由222221112a b ca abc ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩，，得椭圆方程为2212x y +=．………………………………（4分）理科数学参考答案·第5页（共6页）（2）设l 的方程为2x my =+①，将①代入轨迹C 的方程2222x y +=，并整理得22(2)420m y my +++=． 由于直线l 与椭圆C 有两个不同的交点，22168(2)0m m ∆=-+>∴，0m <，解得m <设1122()()E x y F x y ，，，，不妨设21y y >，则1212224222m y y y y m m +=-=++ ， ………………………………………………………………………………………（7分）121232121S y y EFS S DE DF y y -===+++（10分）0⎛== ⎝⎭．…………………………………………………（12分） 21．（本小题满分12分）解：（1）当0a <时，222ln 20f a a ⎛⎫⎛⎫-=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，矛盾；……………………………（2分）当0a ≥时，(1)(1)()ax x f x x-+-'=，(01)()0x f x '∈>，，，(1)()0x f x '∈+∞<，，，所以()f x 的最大值为(1)0f =，得2a =． ……………………………………………（5分） （2）由（1）有2ln x x x -≤，所以2121()2e1x x x x F x x --+++≤， 先证212112e 1x x x x x --+++≤等价于22122e 1x x x x xx ---+≤，………………………………………（7分）因为1x ≥，只需证122e 1x x -+≥，令12()2e 1(1)x g x x x -=--≥，1()2e 2x g x x -'=-， 由1[()]2e 20x g x -''=-≥，当且仅当1x =时取得等号， 所以()g x '在[1)+∞，上单调递增，所以()0g x '≥，当且仅当1x =时取得等号，故()(1)0g x g =≥，综上()1F x ≤，……………………………………………………（10分） 又因为(1)1F =，所以()F x 的最大值为1． …………………………………………（12分）理科数学参考答案·第6页（共6页）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）已知2πsin 2sin 2cos 4ρθρθρθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，，得2222x y y x +=+，即22(1)(1)2x y -+-=，所以参数方程为11x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，，(α为参数)． ………………………………………（5分）（2）44)AP BP αααϕ=++=++，其中tan 3ϕ=，所以AP BP的取值范围是[44-+．………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（1）210x x x x ⎧⇒∈∅⎨->⎩≥，或者212120x x x x <⎧⇒-<<⎨+-<⎩，， 综上，不等式的解集为(21)-，．………………………………………………………（5分） （2）2(|1||3|)3m x x --++≤，因为|1||3||1(3)|4x x x x --+---+=-≥，当且仅当1x ≥时取得等号，所以5m -≤．……………………………………………………………………………（10分）。
西南名校联盟高考适应性月考卷理科数学试题有答案
第 0 页云南师大附中2019届高考适应性月考卷（八）理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．由题意知：集合[33]A =-，，集合(2)B =-∞，，则AB [32)=-，，故选D ． 2．在复平面内，z 的轨迹是以(11)，为圆心，1为半径的圆，由数形结合可知，||z 的最小值1，所以2||3z =-B ．3．由数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，所以246135()()33a a a a a a d ++-++==，即1d =，故选A ．4．设a 与b 的夹角为θ，由222|2|(2)()44()116a b a b a a b b +=+=++=+所以1cos 2θ=-，则a 与b 的夹角为2π3，故选A ．5．由题意可知圆柱的高为2，所以球心到底面的距离为1，又由底面的半径为1，所以圆柱的，故而圆柱的外接球的表面积为8π，故选C ．6．由函数()f x 的最大值为4，则选项A 不满足；由π23⎛⎫⎪⎝⎭，为其一个对称中心，即π23f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，选项D 不满足；由12()()2f x f x ==，且12m i n π||2x x -=，即函数的最小正周期为π，选项C 不满足；而B 选项均满足，故选B ．7．如图1，在Rt ABC △中，15CA =，8CB =，则17AB =， 设点I 为ABC △内切圆的圆心，设其内切圆的半径为r ，由ABC AIB BIC CIA S S S S =++△△△△，所以111222ABC S r AB r BC r CA =++=△1()2r AB BC CA ++，故而2158381517ABC S r AB BC CA ⨯===++++△，所以其 内切圆的直径为6步，故选B ．图1第 1 页8．由x y z ，，均为大于1的正数，令235log log log x y z m ===，则0m >，且2m x =，3m y =，5m z =，m =m =m ．又由6689=<=，由10103225=>=>m y x =(0)m >在第一象限的单调性知，<B ．9．由程序框图可知，当n k =时，运算前的a 值记为k a ，则程序输出的是6a ，即61a =，由程序框图可知，当输入的a 为正整数时，对任意的k ，k a 均为正整数，而61a =，则必有52a =，此时，41213254123121()33216587()2344211()30()a a a a a a a a a a a a a ⎧=⎪⎪⎧⎪⎧=⎧=⇒⎪⎨⎪⎪=⎪⎩⎪⎪=⇒⎨⎪⎪⎪⎪⎪==⇒⎨⎪⎩⎪⎪=⇒⎨⎪⎧=⎧⎪⎪⎪⎪⎪=⇒⎨⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪=⎪⎩⎩⎩舍，，，舍，，舍，舍， 故而，a 的可能取值为4532，，，故选C ．10．如图2，设1PF m =，2PF n =，12F PF θ∠=，由题意知：22222162cos 4m n mn m n mn θ⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩，，所以 61cos mn θ=+，又121sin sin 33tan 21cos 2F PF S mn θθθθ===+△所以π3θ=．由正弦定理可知，三角形的外接圆的直径为122ππsin sin 33F F ==4π3，故选A ． 11．当0a ≤时，()|1|f x x =-满足题意；当03a <≤时，(2)(4)3f f -==，要满足题意需满足(1)23f a =≤，即302a <≤；当3a >时，(1)26f a =>，不合题意．综上所述，a 的取值范围是32a ≤，故选C ．图2第 2 页12．如图3，设点E 为D 点在平面ABC 内的投影，若DA DB DC ==，则由DEA △，DEB △，DEC △两两全 等，所以EA EB EC ==，故选项A 正确；若DA BC ⊥，DB AC ⊥，由DA BC ⊥，DE BC ⊥，所以BC ⊥ 平面ADE ，即AE BC ⊥，同理BE AC ⊥，所以D 在平面ABC 内的投影为三角形ABC 的垂心，故选项B 正确；若AB CD =，AC BD =，AD BC =，则四面体ABCD 可以放 在长方体内，如图4，则每组对棱的中点可以看成棱所在面 的中心，故而每组对棱中点的线段互相垂直平分，故选项C 正确；若三棱锥各棱长均为2，则三棱锥为正四面体，到三棱锥的四个顶点距离相等的截面，如图5有两种情况：第一种情况，如图5甲，截面为边长为1的，故所有的截面为第二种情况，如图乙，截面为边长为1的正方形，其面积为1，故所有截面为正方形的面 积和为3，所以所有的截面面积和为3，故选项D 错误； 综上所述，故选D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．作出不等式组313x y x y x +⎧⎪--⎨⎪⎩≥，≥，≤表示的平面区域，如图6中阴影部分所示，作出直线20x y +=，平移直线 20x y +=，当直线经过点(12)A ，时，2z x y =+取得最小 值4，所以2z x y =+的最小值为4．图3图4 图5图6第 3 页14．令1x =，则23162n ⨯=，所以4n =，当第一个括号取x 时，第二个括号内要取含x 的项，即34C (2)x ；当第一个括号取1x时，第二个括号内要取含3x 的项，即134C (2)x ，所以2x 的系数为31442C 8C 40+=．15．设11()A x y ，，22()B x y ，，0(4)Q y ，，则切点为A 的椭圆C 的直线方程为：11143x x y y +=，切点为B 的椭圆C 的直线方程为：22143x x y y+=．由两切线均过点Q ，故而有：1012021313y y x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，所以直线AB 的方程为013y y x +=，则直线AB 过定点(10)，，所以原点到直线AB 的距离的最大值为1．16．由题意知：213a a -=，325a a -=，又由123(4)n n n n a a a a n n ----=-∈Z ≥，，则22213n n a a ++-=， 2125(4)n n a a n n +-=∈Z ≥，，所以2228()n n a a n +-=∈Z ，又1008201822221()10088n n n a a a a +==-+=⨯∑ 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由正弦定理可知：所以sin 2cos sin C A C -=，因为sin 0C ≠，而(0π)A ∈，，则1cos 2A =-，所以2π3A =．…………………………………………（6分）（Ⅱ）如图7，由b c ==及（Ⅰ）知ABC △是顶角 为2π3的等腰三角形，则π6ABC ∠=， 所以2222π2cos 63BC b c bc =+-=，即BC =，又2AD DC =，所以1233BD BC BA =+，图7第 4 页则222π9||||4||4||||cos266BD BC BA BA BC =++=，所以BD =．………………………………………………………………………（12分） 18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）2×2列联表补充如下：……………………………………………………………………………………（2分）（Ⅱ）由题意知：22100(40252015)8.25 6.63555456040K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为数学与物理的学习情况有关．………………………………（6分） （Ⅲ）由题意知，每名即将被询问的同学数学与物理都优秀的概率为4021005=， 随机变量X 所有可能的取值为：3456，，，，所以X 的期望872432213316998()3456125625312531253125E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．……………（12分） 19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：如图8，连接AC BD ，交于点O ，连接MO ，NO ，所以AC BD ⊥， 又AM ⊥平面ABCD ，AM BD ⊥且ACAM A =，所以BD ⊥平面ACNM ，则有MO BD ⊥，NO BD ⊥， 故而MON ∠为二面角M BD N --的平面角，由1CN =，3AM =，ABCD 是边长为2的菱形，且2π3ABC ∠=，可得MO =，2NO =， 又由4MN =，即222MN MO NO =+，图8第 5 页所以π2MON ∠=，所以平面MDB ⊥平面NDB ．………………………………………（6分） （Ⅱ）解：如图9，取MN 的中点P ，则OP ⊥平面ABCD ， 由（Ⅰ）知，建立以OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴的空 间直角坐标系，则03)M ，，(01)N ，，(010)B ，，，(010)D -，，，所以02)NM =，，(313)BM =-，，，(313)DM =，，， 设平面BMN 的一个法向量为1111()n x y z =，，，则1100n NM n BM ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，即111112030z y z ⎧+=⎪-+=，，令1z =，则11x =-，1y =1(1n =-，， 设平面DMN 的一个法向量为2222()n x y z =，，， 则2200n NM n DM ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，即222222030z y z ⎧+=⎪++=，，令2z =21x =-，2y=-2(1n =--，， 设锐二面角B MN D --的平面角为θ，则1212||1cos 2||||n n n n θ==， 所以锐二面角B MN D --的余弦值为12．……………………………………………（12分） 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设圆心M 的坐标为()x y ，，则0x >．由题意知：||1x +24y x =(0)x >．………………………（4分） （Ⅱ）设AB 所在的直线的倾斜角为(0)θθ≠， 则直线AB 的方程为tan (1)y x θ=-，与抛物线的方程联立得：2222(tan )(2tan 4)tan 0x x θθθ-++=， 设A B ，的横坐标分别是12x x ，，则有：22122222tan 4tan 14||224tan tan sin AB x x θθθθθ++=++=+==， 图9第 6 页同理：2244||πcos sin 2CD θθ==⎛⎫± ⎪⎝⎭， 所以四边形的面积22214432322sin cos sin (2)S θθθ=⨯⨯=≥，当且仅当π4θ=或3π4θ=时，不等式取等号，所以四边形面积的最小值为32．……（12分） 21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由0a b +=，则()ln f x x ax a =-+， 所以1()f x a x'=-． 若0a ≤，则1()0f x a x '=->，即函数()f x 为定义域上的增函数，由(1)0f =，不合题意；若01a <<，则11()ax f x a x x -'=-=，所以()f x 为10a ⎛⎫⎪⎝⎭，上的增函数，且101a <<，由(1)0f =，不合题意；若1a >，则11()ax f x a x x -'=-=，所以()f x 为1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上的减函数，且11a >，由(1)0f =，不合题意；若1a =，()ln 1f x x x =-+，11()1xf x x x-'=-=，所以()f x 为(01)，上的增函数，为(1)+∞，上的减函数，所以()(1)0f x f =≤，满足题意．综上所述，满足题意的1a =．…………………………………………………………（5分） （Ⅱ）由()0f x ≤恒成立，则0a >，又由()0f x ≤，等价于ln x ax b +≤，即等价于函数ln y x =的图象不在函数y ax b =+图象的上方，对于每一个大于零的a ，要使得a b +的值最小，需使直线y ax b =+与函数ln y x =的图象相切，此时，设切点为11(ln )x x ，且10x >，则切线方程可以表示为1111ln ()y x x x x -=-，即111ln 1y x x x =+-， 所以111ln 1a b x x +=+-． 令1()ln 1(0)g x x x x =+->，则22111()x g x x x x-'=-+=，第 7 页所以()g x 为(01)，上的减函数，为(1)+∞，上的增函数，则()(1)0g x g =≥， 所以a b +的最小值为0．由ln e ()x x f x -≤，等价于e x ax b +≥，即等价于函数e x y =的图象不在函数y ax b =+的图象的下方，同理，对于每一个大于零的a ，要使得a b +的值最大，需使直线y ax b =+与函数e x y =的图象相切，此时，设切点为22(e )x x ，，则切线方程可以表示为222e e ()x x y x x -=-，即：2222e e e x x x y x x =+-， 所以222222e e (2)e x x x a b x x +=-=-(0)x >． 令()(2)e x h x x =-，则()(1)e x h x x '=-，所以()h x 为(01)，上的增函数，为(1)+∞，上的减函数，则()(1)e h x h =≤， 所以a b +的最大值为e ．综上所述，a b +的取值范围是[0e]，．………………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）曲线C 的参数方程为：2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，，π02θθ⎛⎫⎡⎤∈⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭其中为参数，，， 所以曲线C 的普通方程为：2214x y +=，00x y ≥，≥．又由cos x ρθ=，sin y ρθ=， 所以曲线C 的极坐标方程为：2224cos 4sin ρθθ=+，π02θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，， 直线l 的极坐标方程为：4sin cos ρθθ=+．……………………………………………（5分）（Ⅱ）如图10，由题意知：1π1π=sin sin 2626ABCD BOC AOD S S S OB OC OA OD =-⨯⨯-⨯⨯△△，由（Ⅰ）知，OAOC ==，所以，图10第 8 页1()8(24ABCD S OB OC OA OD =⨯-⨯=10分） 23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】 （Ⅰ）解：由()2|1||2|f x x x =-++，所以31()4[21)32x x f x x x x x ⎧⎪=-∈-⎨⎪-<-⎩，≥，，，，，，则函数()f x 的图象如图11， 则函数()f x 的最小值为3，即3m =．……………（5分） （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，3a b c ++=，所以1116a b c a b c +++++=≥， 当且仅当1a b c ===时不等式取等号，所以1113a b c++≥．………………………（10分）图11。
2019年重庆市巴蜀中学高2019级高考模拟理科数学试卷答案
参考答案选择题： ADCCA DBCBC BD13． 14． 15． 16．17．（1）原式可变形得：()()11211121n n n nn t a a a t ++-+=--+-，则()()11212111112121n n n n n n n n n a a a t a t a t t +++++-==+-+-+-，记11n nn a b t +=-， 则112,22n n n b b b b +==+，易求得2n b n =，所以()211n n t a n -=-． （2）()()()2112111n n n n t a a nt t t t n n -+-⎡⎤-=-++++⎣⎦+，易知，当0t >且1t ≠时，1t -与()211n n nt t t t -⎡⎤-++++⎣⎦同号，所以1n n a a +>．18．（Ⅰ）∵，，∴在中，，，∴，，又为正方形，∴，又，∴，，又面，面，，∴平面，又平面，∴平面平面.（Ⅱ）方法一：平面平面，，∴平面，，即、、两两垂直，以、、分别为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，取平面的法向量，设平面的法向量为，则，即，令，则，，故，设平面与平面所成锐二面角为，则.方法二：连接，，则、、共线，是平面与平面的交线，取的中点为，连接，，则由平面平面，平面平面，，且面，∴平面，即平面，又为正方形，为的中点，∴，∴.∴是平面与平面所成锐二面角的平面角，由（Ⅰ）可得，，，在中，. ∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为..19．（Ⅰ）抽取的螺帽质量指标值的样本平均数和样本方差分别为：.（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知，，从而，，，，，（ⅱ）由（ⅰ）知，一件螺帽的质量指标值位于区间的概率为，依题意知，所以.20．（Ⅰ）由，则，，则，又，所以.（Ⅱ）设直线的方程为：，设，，由，得，所以，得，又，，由，，可知，，由，点到直线的距离为，所以.又，所以，因为，所以.21．（Ⅰ）当时，，由，得，∴在上单调递减，在上单调递增.∴时，取得极小值，即最小值.当时，，，∵，∴，即.（Ⅱ）证明：当时，，则，∴时，，单调递减，时，，单调递增，令，则，∴，当时，，，，∴，单调递减，∴，即，∴当时，.又在内是增函数，在内是减函数.，且，∴，不再同一单调区间内，不妨设，由上可知：，∵，∴.∵，，又在内是增函数，∴，即.22．（Ⅰ）由，得到曲线的普通方程是：，又，，代入得，，即（也可得分）.（Ⅱ）因为，所以，由，故，设点的极坐标为，则点的极坐标可设为，所以.23．（Ⅰ）当时，由，即，两边平方，得：，即，解得：，所以不等式的解集为：.（Ⅱ）若存在，使得不等式成立，即成立，所以存在，使得成立，令，只需即可.又函数，当时，单调递减，；当时，单调递增，；当时，单调递减，；可知函数，所以.。
(完整版)巴蜀中学2019届高考适应性月考卷(五)理数双向细目表
（1）垂直证明
中
（2）求二面角
中
20解答题12来自（1）求椭圆方程易
（2）面积问题
难
21
解答题
12
（1）讨论导数的最值
中
（2）放缩法证明
难
22
解答题
10
（Ⅰ）极坐标方程与普通方程的转化
易
（Ⅱ）参数方程下的应用
易
23
解答题
10
（Ⅰ）解绝对值不等式
易
（Ⅱ）不等式恒成立求参数范围问题
易
命题
思想
达成
目标
优秀率
巴蜀中学2019届高考适应性月考卷（五）•双向细目表
题号
题型
分值
试题内容
难度
备注
1
选择题
5
集合的运算
易
2
选择题
5
复数模的运算
易
3
选择题
5
等差数列的性质
易
4
选择题
5
函数周期性与分段函数
易
5
选择题
5
算法
易
6
选择题
5
相互独立事件的概率
易
7
选择题
5
推理与证明
中
8
选择题
5
抛物线上的点到直线的距离
中
9
选择题
5
向量的计算
中
10
选择题
5
排列计算
较难
11
选择题
5
导数的极值问题
较难
12
选择题
5
双曲线三角形问题
难
13
填空题
5
二项式定理
易
西南名校联盟高考适应性月考卷理科数学试题有答案
第0页/共13页云南师大附中2019届高考适应性月考卷（八）理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．由题意知：集合[33]A =-，，集合(2)B =-∞，，则A B I[32)=-，，故选D ．2．在复平面内，z 的轨迹是以(11)，为圆心，1为半径的圆，由数形结合可知，||z 1，所以2||3z =-，故选B ．3．由数列{}n a 为等差数列，设其公差为d，所以246135()()33a a a a a a d ++-++==，即1d =，故选A ．4．设ar与br 的夹角为θ，由|2|a b +=r r所以1cos 2θ=-，则a r 与b r的夹角为2π3，故选A ．5．由题意可知圆柱的高为2，所以球心到底面的距离为1，又由底面的半径为1表面积为8π，故选C ．6．由函数()f x 的最大值为4，则选项A 不满足；由π23⎛⎫⎪⎝⎭，为其一个对称中心，即π23f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，选项D 不满足；由12()()2f x f x ==，且12min π||2x x -=，即函数的最小正周期为π，选项C 不满足；而B 选项均满足，故选第1页/共13页B ．7．如图1，在Rt ABC △中，15CA =，8CB =，则2217AB CA CB +=，设点I 为ABC △内切圆的圆心，设其内切圆的半径为r ，由ABC AIB BIC CIAS S S S =++△△△△，所以111222ABC S r AB r BC r CA =++=g g g △1()2r AB BC CA ++g ，故而2158381517ABC S r AB BC CA ⨯===++++△，所以其 内切圆的直径为6步，故选B ．8．由x y z ，，均为大于1的正数，令235log log log x y z m ===，则0m >，且2m x =，3my =，5mz =，所以(2)mx =，33(3)my =，55(5)mz =．又由663(2)89(3)=<=323，由10105(2)3225(5)=>=525函数m y x =(0)m >53z x y<，故选B ．9．由程序框图可知，当n k =时，运算前的a 值记为k a ，则程序输出的是6a ，即61a =，由程序框图可知，当输入的a 为正整数时，对任意的k ，k a 均为正整数，而61a =，则必有52a =，此时，图1第2页/共13页41213254123121()33216587()2344211()30()a a a a a a a a a a a a a ⎧=⎪⎪⎧⎪⎧=⎧=⇒⎪⎨⎪⎪=⎪⎩⎪⎪=⇒⎨⎪⎪⎪⎪⎪==⇒⎨⎪⎩⎪⎪=⇒⎨⎪⎧=⎧⎪⎪⎪⎪⎪=⇒⎨⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪=⎪⎩⎩⎩舍，，，舍，，舍，舍， 故而，a 的可能取值为4532，，，故选C ．10．如图2，设1PF m =，2PF n =，12F PF θ∠=，由题意知：22222162cos 4m n mn m n mn θ⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩，，所以61cos mn θ=+，又121sin sin 33tan 321cos 2F PFS mn θθθθ===+△ 所以π3θ=．由正弦定理可知，三角形的外接圆的直径为122ππ3sin sin 33F F ==4π3，故选A ．11．当0a ≤时，()|1|f x x =-满足题意；当03a <≤时，(2)(4)3f f -==，要满足题意需满足(1)23f a =≤，即302a <≤；当3a >时，(1)26f a =>，不合题意．综上所述，a 的取值范围是32a ≤，故选C ．12．如图3，设点E 为D 点在平面ABC 内的投影，图2第3页/共13页若DA DB DC ==，则由DEA △，DEB △，DEC △两两全 等，所以EA EB EC ==，故选项A 正确；若DA BC ⊥，DB AC ⊥，由DA BC ⊥，DE BC ⊥，所以BC ⊥平面ADE ，即AE BC ⊥，同理BE AC ⊥，所以D 在平面ABC内的投影为三角形ABC 的垂心，故选项B 正确； 若AB CD =，AC BD =，AD BC =，则四面体ABCD 可以放 在长方体内，如图4，则每组对棱的中点可以看成棱所在面的中心，故而每组对棱中点的线段互相垂直平分，故选项C 正确；若三棱锥各棱长均为2，则三棱锥为正四面体，到三棱锥的四个顶点距离相等的截面，如图5有两种情况：第一种情况，如图5甲，截面为边长为1的3，故所有的截面为3第二种情况，如图乙，截面为边长为1的正方形，其面积为1，故所有截面为正方形的面积和为3，所以所有的截面面积和为33，故选项D 错误；综上所述，故选D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）图3图4 图5第4页/共13页题号 1314 15 16答案 44018068【解析】13．作出不等式组313x y x y x +⎧⎪--⎨⎪⎩≥，≥，≤表示的平面区域，如图6中阴影部分所示，作出直线20x y +=，平移直线20x y +=，当直线经过点(12)A ，时，2z x y =+取得最小值4，所以2z x y =+的最小值为4．14．令1x =，则23162n ⨯=，所以4n =，当第一个括号取x 时，第二个括号内要取含x 的项，即34C (2)x ；当第一个括号取1x时，第二个括号内要取含3x 的项，即134C (2)x ，所以2x 的系数为31442C 8C 40+=．15．设11()A x y ，，22()B x y ，，0(4)Q y ，，则切点为A 的椭圆C 的直线方程为：11143x x y y+=，切点为B 的椭圆C 的直线方程为：22143x x y y +=．由两切线均过点Q ，故而有：1012021313y y x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，所以直线AB 的方程为013y y x +=，则直线AB 过定点(10)，，所以原点到直线AB 的距离的最大值为1．图6第5页/共13页16．由题意知：213a a -=，325a a -=，又由123(4)n n n n a a a a n n ----=-∈Z ≥，，则22213n n a a ++-=，2125(4)n n a a n n +-=∈Z ≥，，所以2228()n n a a n +-=∈Z ，又1008201822221()10088n n n a a a a +==-+=⨯∑三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由正弦定理可知： 所以sin 2cos sin C A C -=，因为sin 0C ≠， 而(0π)A ∈，，则1cos 2A =-，所以2π3A =．…………………………………………（6分）（Ⅱ）如图7，由2b c ==及（Ⅰ）知ABC△是顶角为2π3的等腰三角形，则π6ABC ∠=，所以2222π2cos 63BC b c bc =+-=，即6BC ，又2AD DC =，所以1233BD BC BA =+u u u ru u u ru u u r，则222π9||||4||4||||cos 266BD BC BA BA BC =++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg ，所以图7第6页/共13页BD =．………………………………………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）2×2列联表补充如下：……………………………………………………………………………………（2分）（Ⅱ）由题意知：22100(40252015)8.25 6.63555456040K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为数学与物理的学习情况有关．………………………………（6分）（Ⅲ）由题意知，每名即将被询问的同学数学与物理都优秀的概率为4021005=， 随机变量X 所有可能的取值为：3456，，，，所以X的期望872432213316998()3456125625312531253125E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．……………（12分）第7页/共13页19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：如图8，连接AC BD ，交于点O ，连接MO ，NO ，所以AC BD ⊥，又AM ⊥平面ABCD ，AM BD ⊥且AC AM A =I ，所以BD ⊥平面ACNM ，则有MO BD ⊥，NO BD ⊥，故而MON ∠为二面角M BD N --的平面角， 由1CN =，3AM =，ABCD 是边长为2的菱形，且2π3ABC ∠=，可得23MO =，2NO =，又由4MN =，即222MN MO NO =+， 所以π2MON ∠=，所以平面MDB ⊥平面NDB ．………………………………………（6分）（Ⅱ）解：如图9，取MN 的中点P ，则OP ⊥平面ABCD ，由（Ⅰ）知，建立以OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴的空间直角坐标系， 则(303)M ，，，(301)N -，，，(010)B ，，，(010)D -，，，所以(2302)NM =u u u u r ，，，(313)BM =-u u u u r ，，，(313)DM =u u u u r ，，， 设平面BMN 的一个法向量为1111()n x y z =u u r，，，图8图9第8页/共13页则1100n NM n BM ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u r u u u u r g u u r u u u u r g ，，即111112030z y z ⎧+=⎪-+=，，令1z =，则11x =-，1y =1(1n =-u u r，， 设平面DMN 的一个法向量为2222()n x y z =u u r，，，则2200n NM n DM ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u r u u u u rg u u r u u u u r g ，，即222222030z y z ⎧+=⎪++=，，令2z =21x =-，2y =-2(1n =--u u r，，设锐二面角B MN D --的平面角为θ，则1212||1cos 2||||n n n n θ==u u r u u rg uu r u u r ， 所以锐二面角B MN D --的余弦值为12．……………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设圆心M 的坐标为()x y ，，则0x >．由题意知：||1x +=24y x =(0)x >．………………………（4分）（Ⅱ）设AB 所在的直线的倾斜角为(0)θθ≠， 则直线AB 的方程为tan (1)y x θ=-，与抛物线的方程联立得：2222(tan )(2tan 4)tan 0x x θθθ-++=， 设A B ，的横坐标分别是12x x ，，则有：22122222tan 4tan 14||224tan tan sin AB x x θθθθθ++=++=+==，同理：2244||πcos sin 2CD θθ==⎛⎫± ⎪⎝⎭，第9页/共13页所以四边形的面积22214432322sin cos sin (2)S θθθ=⨯⨯=≥，当且仅当π4θ=或3π4θ=时，不等式取等号，所以四边形面积的最小值为32．……（12分） 21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由0a b +=，则()ln f x x ax a =-+， 所以1()f x a x'=-．若0a ≤，则1()0f x a x'=->，即函数()f x 为定义域上的增函数，由(1)0f =，不合题意；若01a <<，则11()ax f x a x x -'=-=，所以()f x 为10a ⎛⎫⎪⎝⎭，上的增函数，且101a<<，由(1)0f =，不合题意； 若1a >，则11()ax f x a x x -'=-=，所以()f x 为1a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上的减函数，且11a>，由(1)0f =，不合题意；若1a =，()ln 1f x x x =-+，11()1x f x xx-'=-=，所以()f x 为(01)，上的增函数，为(1)+∞， 上的减函数，所以()(1)0f x f =≤，满足题意． 综上所述，满足题意的1a =．…………………………………………………………（5分）（Ⅱ）由()0f x ≤恒成立，则0a >，又由()0f x ≤，等价于ln x ax b +≤，即等价于函数ln y x =的图象不在函数y ax b =+图象的上方，对于每一个大于零的a ，要使得a b +的值最第10页/共13页小，需使直线y ax b =+与函数ln y x =的图象相切，此时，设切点为11(ln )x x ，且10x >，则切线方程可以表示为1111ln ()y x x x x -=-，即111ln 1y x x x =+-， 所以111ln 1a b x x +=+-． 令1()ln 1(0)g x x x x=+->，则22111()x g x xxx-'=-+=， 所以()g x 为(01)，上的减函数，为(1)+∞，上的增函数，则()(1)0g x g =≥， 所以a b +的最小值为0．由ln e ()x x f x -≤，等价于e x ax b +≥，即等价于函数e x y =的图象不在函数y ax b =+的图象的下方，同理，对于每一个大于零的a ，要使得a b +的值最大，需使直线y ax b =+与函数e x y =的图象相切，此时，设切点为22(e )x x ，，则切线方程可以表示为222e e ()x x y x x -=-，即：2222e e e x x x y x x =+-，所以222222e e (2)e xx x a b x x +=-=-(0)x >．令()(2)e x h x x =-，则()(1)e x h x x '=-，所以()h x 为(01)，上的增函数，为(1)+∞，上的减函数，则()(1)e h x h =≤， 所以a b +的最大值为e ． 综上所述，a b+的取值范围是[0e]，．………………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】 解：（Ⅰ）曲线C 的参数方程为：2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，，π02θθ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭其中为参数，，， 所以曲线C 的普通方程为：2214x y +=，00x y ≥，≥．第11页/共13页又由cos x ρθ=，sin y ρθ=， 所以曲线C 的极坐标方程为：2224cos 4sin ρθθ=+，π02θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，直线l 的极坐标方程为：4sin cos ρθθ=+．……………………………………………（5分）（Ⅱ）如图10，由题意知：1π1π=sin sin 2626ABCD BOC AOD S S S OB OC OA OD =-⨯⨯-⨯⨯△△，由（Ⅰ）知，224731422OA ==⎛⎫⎛⎫+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3131OC ==++，所以，1491()8(23)4ABCD S OB OC OA OD =⨯-⨯=10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】 （Ⅰ）解：由()2|1||2|f x x x =-++， 所以31()4[21)32x x f x x x x x ⎧⎪=-∈-⎨⎪-<-⎩，≥，，，，，，则函数()f x 的图象如图11，则函数()f x 的最小值为3，即3m =．……………（5分）（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，3a b c ++=，图10第12页/共13页所以1116a b c abc+++++≥， 当且仅当1a b c ===时不等式取等号，所以1113a b c++≥．………………………（10分）图11。
巴蜀中学2019届高考适应性月考卷(六)理数-答案
1 2e
257
x y 2≥ 0， 14．作出 x 2 y 2≥ 0，的平面区域，如图 2 所示，目标
x ≤1
函数
z
x
2
y
在点
1，
3 2
处取得最大值
4
．
图2
15 ． 设 曲 线 y x ln x 与 曲 线 y ax2 x 的 公 共 点 为 P(x0，y0 ) ， 则 依 题 意 ， 有
1
1 x0
2ax0
1，
解得
x0 ln x0 ax02 x0，
a
1 2e
．
16．∵ AB 为圆 M：(x 13)2 y2 4 的直径，∴ M 为 AB 的中点，从而 MA MB ，从而
PA PB (PM MA) (PM MB) (PM MA) (PM MA) | PM |2 | MA |2 | PM |2 4 ，
亦即 a c b ，故选 D．
12．第一轮发言知：甲、乙手中的数字不是1，9 ，丙手中的数字不是1，2，8，9 ；第二轮发言
知：甲手中的数字是最大的，即数字 8 ，乙手中的数字是次大的，即数字 7 ，丙手中的数
字比甲、乙手中数字和的
1 3
还要小，即比
8
3
7
5
还要小，所以丙手中的数字可能为
3，4
3，
∴sin BCD
7 14
．………………………………………………………………………（12
分）
18．（本小题满分 12 分）
解：（1） X 110 0.1 130 0.2 150 0.3 170 0.25 190 0.15 153 ，…………（2 分）
中位数为140
0.5