解析几何第四版吕林根课后习题答案第一章
解析几何第四版吕林根课后习题答案一至三章
第一章向量与坐标§1.1 向量的概念1.下列情形中的向量终点各构成什么图形？（1）把空间中一切单位向量归结到共同的始点；（2）把平行于某一平面的一切单位向量归结到共同的始点；（3）把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点；（4）把平行于某一直线的一切单位向量归结到共同的始点.[解]：（1）单位球面；（2）单位圆（3）直线；（4）相距为2的两点2. 设点O是正六边形ABCDEF的中心，在向量OA、、OC、、、OF、、BC、CD、、EF和FA中，哪些向量是相等的？[解]：如图1-1，在正六边形ABCDEF中，相等的向量对是：图1-1.DEOFCDOEABOCFAOBEFOA和；和；和；和；和3. 设在平面上给了一个四边形ABCD，点K、L、M、N分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点，求证：KL＝. 当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？[证明]：如图1-2，连结AC, 则在∆BAC中，21AC. KL与AC方向相同；在∆DAC中，21AC. NM与AC方向相同，从而KL＝NM且KL与NM方向相同，所以KL＝.4. 如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体，在下列各对向量中，找出相等的向量和互为相反向量的向量：(1) AB、; (2) AE、; (3) 、;(4) AD、; (5) BE、.[解]：相等的向量对是（2）、（3）和（5）；互为反向量的向量对是（1）和（4）。
§1.2 向量的加法1.要使下列各式成立，向量ba,应满足什么条件？（1-=+（2+=+（3-=+（4+=-E（5=[解]：（1）,-=+（2）,+=+（3≥且,=+ （4）,+=-（5）,≥-=-§1.3 数量乘向量1 试解下列各题．⑴ 化简)()()()(→→→→-⋅+--⋅-b a y x b a y x ．⑵ 已知→→→→-+=3212e e e a ，→→→→+-=321223e e e b ，求→→+b a ，→→-b a 和→→+b a 23．⑶ 从向量方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+→→→→→→by x ay x 3243，解出向量→x ，→y ． 解 ⑴→→→→→→→→→→→→→→-=+-+---+=-⋅+--⋅-ay b x b y a y b x a x b y a y b x a x b a y x b a y x 22)()()()(⑵ →→→→→→→→→→+=+-+-+=+3132132142232e e e e e e e e b a ，→→→→→→→→→→→-+-=+---+=-321321321342)223(2e e e e e e e e e b a ， →→→→→→→→→→→-+-=+---+=-3213213217103)223(2)2(323e e e e e e e e e b a ． 2 已知四边形ABCD 中，→→→-=c a AB 2，→→→→-+=c b a CD 865，对角线→AC 、→BD 的中点分别为E 、F ，求→EF ．解 →→→→→→→→→→→-+=-+-+=+=c b a c a c b a AB CD EF 533)2(21)865(212121．3 设→→→+=b a AB 5，→→→+-=b a BC 82，)(3→→→-=b a CD ，证明：A 、B 、D 三点共线． 证明 ∵→→→→→→→→→→=+=-++-=+=AB b a b a b a CD BC BD 5)(382∴→AB 与→BD 共线，又∵B 为公共点，从而A 、B 、D 三点共线．4 在四边形ABCD 中，→→→+=b a AB 2，→→→--=b a BC 4，→→→--=b a CD 35，证明ABCD 为梯形．证明∵→→→→→→→→→→→→→=--=-+--++=++=BC b a b a b a b a CD BC AB AD 2)4(2)35()4()2( ∴→AD ∥→BC ，∴ABCD 为梯形．6. 设L 、M 、N 分别是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，证明：三中线向量AL , BM ,可 以构成一个三角形.[证明]： )(21+=)(21BC BA BM +=)(21+=0)(21=+++++=++∴CB CA BC BA AC AB CN BM AL从而三中线向量CN BM AL ,,构成一个三角形。
解析几何第一章习题及解答
第一章 向量代数习题1.11. 试证向量加法的结合律，即对任意向量,,a b c 成立()().a b c a b c ++=++证明：作向量,,AB a BC b CD c ===（如下图），则 ()(),a b c AB BC CD AC CD AD ++=++=+=()(),a b c AB BC CD AB BD AD ++=++=+=故()().a b c a b c ++=++2. 设,,a b c 两两不共线，试证顺次将它们的终点与始点相连而成一个三角形的充要条件是0.a b c ++=证明：必要性，设,,a b c 的终点与始点相连而成一个三角形ABC ∆，则0.a b c AB BC CA AC CA AA ++=++=+== 充分性，作向量,,AB a BC b CD c ===，由于0,a b c AB BC CD AC CD AD =++=++=+=所以点A 与D 重合，即三向量,,a b c 的终点与始点相连构成一个三角形。
ABCabcABCDabca b +b c +3. 试证三角形的三中线可以构成一个三角形。
证明：设三角形ABC ∆三边,,AB BC CA 的中点分别是,,D E F （如下图），并且记,,a AB b BC c CA ===，则根据书中例 1.1.1，三条中线表示的向量分别是111(),(),(),222CD c b AE a c BF b a =-=-=- 所以，111()()()0,222CD AE BF c b a c b a ++=-+-+-=故由上题结论得三角形的三中线,,CD AE BF 可以构成一个三角形。
4. 用向量法证明梯形两腰中点连线平行于上、下底且等于它们长度和的一半。
证明：如下图，梯形ABCD 两腰,BC AD 中点分别为,E F ，记向量,AB a FA b ==，则,DF b =而向量DC 与AB 共线且同向，所以存在实数0,λ>使得.DC AB λ=现在,FB b a =+,FC b a λ=-+由于E 是BC 的中点，所以1111()()(1)(1).2222FE FB FC b a a b a AB λλλ=+=++-=+=+且 111(1)()().222FE AB AB AB AB DC λλ=+=+=+ 故梯形两腰中点连线平行于上、下底且等于它们长度和的一半。
1-4解析几何吕林根第四版
证明： AG = λGD; BG = µGE;
CG = AG − AC = λ AD − AC
=
λ
•
1
(
1+ λ
AB + AC)
−
AC
1+λ 2
= λ AB − λ + 2 AC
2(1 + λ） 2(1 + λ）
CG = BG − BC = µ BE − BC 1+ µ
= µ • (AE − AB) − BC 1+ µ
八、共面向量的条件
定理1.4.7 三向量共面的充要条件是它们线性相关. 定理1.4.8 空间任何四个向量总是线性相关.
推论 空间四个以上向量总是线性相关.
例6
设 p = a − b + 5 − 1 b + b − 3a , q = 4a + 5b,
2
5
试证明 : p // q.
证明:
p
=
(1
−
5
组合，即
r = xe1 + ye2 + ze3 ，
C
并且其中系数 x, y, z 被
e1, e2, e3, r 惟一确定.
P
向量 e1, e2, e3 叫做空间向量的基底.
E3 e3 r
E1 e1 O e2 E2
B
A
例1 已知三角形OAB,其中= OA a= , OB b, 而M、N分别
是三角形OA，OB 两边上的点,且有OM= λ a (0 < λ < 1) ,
线性相关.
推论 一组向量如果含有零向量，那么这组向量必线性相关.
七、共线向量的条件
解析几何第四版吕林根课后习题答案
解析几何第四版吕林根课后习题答案Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#第三章 平面与空间直线§ 平面的方程1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程：（1）通过点)1,1,3(1-M 和点)0,1,1(2-M 且平行于矢量}2,0,1{-的平面（2）通过点)1,5,1(1-M 和)2,2,3(2-M 且垂直于xoy 坐标面的平面；（3）已知四点)3,1,5(A ，)2,6,1(B ，)4,0,5(C )6,0,4(D 。
求通过直线AB 且平行于直线CD 的平面，并求通过直线AB 且与ABC ∆平面垂直的平面。
解： （1） }1,2,2{21--=M M ，又矢量}2,0,1{-平行于所求平面， 故所求的平面方程为：一般方程为：07234=-+-z y x（2）由于平面垂直于xoy 面，所以它平行于z 轴，即}1,0,0{与所求的平面平行，又}3,7,2{21-=M M ，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为： 一般方程为：0)5(2)1(7=+--y x ，即01727=--y x 。
（3）（ⅰ）设平面π通过直线AB ，且平行于直线CD ： }1,5,4{--=，}2,0,1{-= 从而π的参数方程为：一般方程为：0745910=-++z y x 。
（ⅱ）设平面π'通过直线AB ，且垂直于ABC ∆所在的平面∴}1,5,4{--=AB ， }1,1,1{4}4,4,4{}1,1,0{}1,5,4{==-⨯--=⨯AC AB均与π'平行，所以π'的参数式方程为： 一般方程为：0232=--+z y x . 2.化一般方程为截距式与参数式：042:=+-+z y x π.解： π与三个坐标轴的交点为：)4,0,0(),0,20(),0,0,4(--， 所以，它的截距式方程为：1424=+-+-z y x . 又与所给平面方程平行的矢量为：}4,0,4{},0,2,4{-，∴ 所求平面的参数式方程为：3.证明矢量},,{Z Y X =平行与平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为：0=++CZ BY AX . 证明： 不妨设0≠A ，则平面0=+++D Cz By Ax 的参数式方程为： 故其方位矢量为：}1,0,{},0,1,{ACA B --， 从而v 平行于平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为：v ，}1,0,{},0,1,{ACA B --共面⇔ ⇔ 0=++CZ BY AX .4. 已知连接两点),12,0(),5,10,3(z B A -的线段平行于平面0147=--+z y x ，求B 点的z 坐标.解： }5,2,3{z AB +-= 而AB 平行于0147=--+z y x 由题3知：0)5(427)3(=+-⨯+⨯-z 从而18=z .5. 求下列平面的一般方程.⑴通过点()1,1,21-M 和()1,2,32-M 且分别平行于三坐标轴的三个平面; ⑵过点()4,2,3-M 且在x 轴和y 轴上截距分别为2-和3-的平面; ⑶与平面0325=+-+z y x 垂直且分别通过三个坐标轴的三个平面;⑷已知两点()()1,2,4,2,1,321--M -M ,求通过1M 且垂直于21,M M 的平面; ⑸原点O 在所求平面上的正射影为()6,9,2-P ;⑹求过点()1,5,31-M 和()2,1,42M 且垂直于平面0138=-+-z y x 的平面.解:平行于x 轴的平面方程为001011112=--+-z y x .即01=-z .同理可知平行于y 轴,z 轴的平面的方程分别为01,01=-+=-y x z . ⑵设该平面的截距式方程为132=+-+-c z y x ,把点()4,2,3-M 代入得1924-=c 故一般方程为02419812=+++z y x .⑶若所求平面经过x 轴，则()0,0,0为平面内一个点,{}2,1,5-和{}0,0,1为所求平面的方位矢量,∴点法式方程为001215000=----z y x ∴一般方程为02=+z y .同理经过y 轴,z 轴的平面的一般方程分别为05,052=-=+y x z x .⑷{}2121.3,1,1M M --=M M →垂直于平面π, ∴该平面的法向量{}3,1,1--=→n ,平面∂通过点()2,1,31-M , 因此平面π的点位式方程为()()()02313=--+--z y x . 化简得023=+--z y x . (5) {}.6,9,2-=→op∴ .116cos ,119cos ,112cos -===∂γβ 则该平面的法式方程为:.011116119112=--+z y x既 .0121692=--+z y x（6）平面0138=-+-z y x 的法向量为{}3,8,1-=→n ，{}1,6,121=M M ，点从()2,1,4写出平面的点位式方程为0161381214=----z y x ，则,261638-=-=A74282426,141131,21113-=++⨯-=====D C B ，则一般方程,0=+++D Cz By Ax 即：.037713=---z y x 6．将下列平面的一般方程化为法式方程。
解析几何 第四版 课后答案
由上题结论知： AL + BM + CN = 0
∴OA + OB + OC = OL + OM + ON
4. 用矢量法证明，平行四边行的对角线互相平分. [证明]：如图 1-4，在平行四边形 ABCD 中，O 是对角线 AC，BD 的交点
∵ AD = OD − OA
BC = OC − OB
但 AD = BC
BM = 1 (BA + BC) 2
CN = 1 (CA + CB) 2
∴ AL + BM + CN = 1 ( AB + AC + BA + BC + CA + CB) = 0 2
从而三中线矢量 AL, BM ,CN 构成一个三角形。
3. 设 L、M、N 是△ABC 的三边的中点，O 是任意一点，证明
第 1 章 矢量与坐标
§1.1 矢量的概念
1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？
（1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；
（2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点；
（3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；
（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点.
[解]：（1Байду номын сангаас单位球面； （2）单位圆
＝3 PiGi ,
从而 OPi
＝ OAi + 3OGi 1+ 3
，
设 Ai (xi, yi, zi)(i＝1, 2, 3, 4)，则
G1
⎜⎛ ⎝
x2
+
x3 3
+
x4
,
y2 + y3 + y4 , 3
解析几何第四版习题答案
解析几何第四版习题答案解析几何是一门研究几何图形的数学分支，它使用代数方法来描述几何对象。
解析几何第四版习题答案通常包含了各种几何问题的解答，这些解答帮助学生理解如何使用代数工具来解决几何问题。
以下是一些习题的解答示例：1. 直线的方程：- 给定两点 \( P_1(x_1, y_1) \) 和 \( P_2(x_2, y_2) \)，直线的斜率 \( m \) 为 \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)。
直线的点斜式方程为 \( y - y_1 = m(x - x_1) \)。
如果直线通过原点，则其方程为 \( y = mx \)。
2. 圆的方程：- 圆的标准方程为 \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \)，其中\( (h, k) \) 是圆心的坐标，\( r \) 是半径。
3. 椭圆的方程：- 椭圆的标准方程为 \( \frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y -k)^2}{b^2} = 1 \)，其中 \( a \) 是椭圆的长半轴，\( b \) 是短半轴，\( (h, k) \) 是椭圆的中心。
4. 双曲线的方程：- 双曲线的标准方程为 \( \frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1 \)，其中 \( a \) 是实轴的半长，\( b \) 是虚轴的半长，\( (h, k) \) 是双曲线的中心。
5. 抛物线的方程：- 抛物线的标准方程为 \( y^2 = 4ax \) 或 \( x^2 = 4ay \)，其中 \( a \) 是抛物线的焦距。
6. 圆锥曲线的交点问题：- 当两个圆锥曲线相交时，可以通过联立它们的方程来求解交点。
例如，如果有两个圆 \( (x - h_1)^2 + (y - k_1)^2 = r_1^2 \) 和\( (x - h_2)^2 + (y - k_2)^2 = r_2^2 \)，它们的交点可以通过解这个方程组来找到。
解析几何 第四版 课后答案
吕林根解析几何(第四版)(完整课件)(1)
即( ,但 e 0 ,则 x .即 x ' 0 x xe ' ) 0
xx'.
定理1.4.2 如果向量 e1 , e 2 不共线, 则向量
r 与 e1 , e 2 共面的充分必要条件是 r 可以用向
量 e1 , e 2 线性表示,即
r x e y e 1 2
并且系数 x , y 被 e1,e2, r 唯一确定.
而O M a ,O N b ,
O
M P m M B m ( O B O M ) m ( b a ) ,
N P n N A n ( O A O N ) n () a b ,
p a m () b am ( 1 ) a m b ,
10 ,所以 aa ,2 , , a 因为 1 n线性相关.
定理1.4.5 如果一组向量中的一部分向量
线性相关那么这一组向量就线性相关.
证明: 设有一组向量 a , , a , , a , , a ( s r ) 1 2 s r 其中一部分,如 aa 线性相关 , 即存在不 , , , a 1 2 s 全为0的 ,使得 ( i 1 , 2 , s )
F
C
P1
B
定义1.4.2 对于 n(n 1) 个向量 aa , ,2 , , a 1 n 如果存在不全为零的 n 个数 使得 , , , 1 2 n
a a a 0 .
1 1 2 2 n n
1 2 n
那么 n 个向量 aa 叫做线性相关,不是 ,2 , , a 1 n
充分性 设 a 中有一个向量是其 ( i 1 , 2 , n ) i 余向量的线性组合.设这个向量为 a n ,即 则
解析几何第四版吕林根 期末复习 课后习题(重点)详解
第一章 矢量与坐标§ 数量乘矢量4、 设→→→+=b a AB 5，→→→+-=b a BC 82，)(3→→→-=b a CD ，证明：A 、B 、D 三点共线． 证明 ∵→→→→→→→→→→=+=-++-=+=AB b a b a b a CD BC BD 5)(382∴→AB 与→BD 共线，又∵B 为公共点，从而A 、B 、D 三点共线．6、 设L 、M 、N 分别是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，证明：三中线矢量AL , BM , CN 可 以构成一个三角形. 证明： )(21AC AB AL +=Θ )(21+=)(21CB CA CN +=0)(21=+++++=++∴7.、设L 、M 、N 是△ABC 的三边的中点，O 是任意一点，证明 OB OA ++OC =OL ++.[证明] LA OL OA +=Θ MB OM OB += NC ON OC +=)(OM +++++=++∴ =)(CN BM AL ON OM OL ++-++ 由上题结论知：0=++ ON OM OL OC OB OA ++=++∴ 从而三中线矢量,,构成一个三角形。
8.、如图1-5，设M 是平行四边形ABCD 的中心，O 是任意一点，证明OA +OB ++OD ＝4OM .[证明]：因为OM ＝21(OA +), OM ＝21(OB +OD ), 所以 2＝21(OA +OB +OC +) 所以OA +OB ++OD ＝4OM .10、用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半．图1-5证明 已知梯形ABCD ，两腰中点分别为M 、N ，连接AN 、BN ． →→→→→→++=+=DN AD MA AN MA MN ，→→→→→→++=+=CN BC MB BN MB MN ，∴ →→→+=BC AD MN ，即§ 矢量的线性关系与矢量的分解3.、设一直线上三点A , B , P 满足AP ＝(－1),O 是空间任意一点，求证：OP ＝λλ++1[证明]：如图1-7，因为＝－OA ,PB ＝OB －,所以 －OA ＝ (OB －),(1+)OP ＝+,从而 OP ＝λλ++1OB.4.、在ABC ∆中,设,1e =2e =.(1) 设E D 、是边BC 三等分点,将矢量,分解为21,e e 的线性组合; （2）设AT 是角A 的平分线(它与BC 交于T 点),将分解为21,e e 的线性组合 解：（1）()12123131,e e e e -==-=-=Θ， 2111231323131e e e e e BD AB AD +=-+=+=，同理123132e e AE +=（2）因为||||TC ||11e e , 且 BT 与方向相同， 所以 BT ||21e e .由上题结论有AT ||||1||212211e e e e e +||||212112e e e e e e +.5．在四面体OABC 中，设点G 是ABC ∆的重心（三中线之交点），求矢量对于矢量,,,的分解式。
解析几何教程习题答案
第一章 向量代数习题1.11. 试证向量加法的结合律，即对任意向量,,a b c 成立()().a b c a b c ++=++证明：作向量,,AB a BC b CD c ===（如下图），则 ()(),a b c A B B C C D A C C D A D++=++=+= ()(),a b c AB BC CD AB BD AD ++=++=+=故()().a b c a b c ++=++2. 设,,a b c 两两不共线，试证顺次将它们的终点与始点相连而成一个三角形的充要条件是0.a b c ++=证明：必要性，设,,a b c 的终点与始点相连而成一个三角形ABC ∆，则0.a b c AB BC CA AC CA AA ++=++=+== 充分性，作向量,,AB a BC b CD c ===，由于0,a b c AB BC CD AC CD AD =++=++=+=所以点A 与D 重合，即三向量,,a b c 的终点与始点相连构成一个三角形。
ABCabcABCDabca b +b c +3. 试证三角形的三中线可以构成一个三角形。
证明：设三角形ABC ∆三边,,AB BC CA 的中点分别是,,D E F （如下图），并且记,,a AB b BC c CA ===，则根据书中例 1.1.1，三条中线表示的向量分别是111(),(),(),222CD c b AE a c BF b a =-=-=- 所以，111()()()0,222CD AE BF c b a c b a ++=-+-+-=故由上题结论得三角形的三中线,,CD AE BF 可以构成一个三角形。
4. 用向量法证明梯形两腰中点连线平行于上、下底且等于它们长度和的一半。
证明：如下图，梯形ABCD 两腰,BC AD 中点分别为,E F ，记向量,AB a FA b ==，则,DF b =而向量DC 与AB 共线且同向，所以存在实数0,λ>使得.DC AB λ=现在,FB b a =+,FC b a λ=-+由于E 是BC 的中点，所以1111()()(1)(1).2222FE FB FC b a a b a AB λλλ=+=++-=+=+且 111(1)()().222FE AB AB AB AB DC λλ=+=+=+ 故梯形两腰中点连线平行于上、下底且等于它们长度和的一半。
解析几何第一章答案
习题1答案1.(1) 有两个分量为零；（2）有一个分量为零；（3）y 坐标为3；（4）z 坐标为±5.2.A 位于xOz 面上；B 位于yOz 面上；C 位于z 轴上；D 位于y 轴上.3.A 在Ⅳ卦限；B 在Ⅴ卦限；C 在Ⅷ卦限；D 在Ⅲ卦限.4. (1) （2，-3，1）,（-2，-3，-1）,（2，3，-1）;(2) （2，3，1）,（-2，-3，1）,（-2，3，-1）;(3) （-2，3，1）;(1)（a , b , -c ）, （-a , b , c ）, （a , -b , c ）;(2) （a , -b , -c ）,（-a , b , -c ）,（-a , -b , c ）;(3) （-a , -b , -c ）;5. 提示：CA =CB =66.（0，1，-2）.7. 134+e e ; 123243-+-e e e ; 3243107-+-e e e .8. 提示：2102AB BC CD AB ++=+=a b .9. B （-2，4，-3） 10. 21P P = (-2, -2, -2)； 521P P = (-10, -10, -10). 11. =a 3, =b 38, =c 3; 333(,,)333=a , 235(,,)383838-=b ,212(,,)333--=c ;12()()()()1111,,,2222AB BC CD DA =-=+=-=-+a b a b b a a b ..13.24334233CD BC ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩l kl k.14.方法1：→+→=→AM OA OM .方法2：提示：延长 O M 至 N ，使 2ON OM =.15.提示：方法1：()()1123OM OA OB OC AM BM CM =+++++.方法2：坐标法.16.提示：→→→+=AM OA OM ,→→→+=BM OB OM ,→→→+=CM OC OM ,→→→+=DM OD OM17.提示：取AC 的中点O ，则OM ，ON 分别为中位线.18.1))(21→→→+=AC AB AD ,→→→-=AB AC BE 21,→→→-=AC AB CF 21.2) 0=++→→→CF BE AD .19．提示：→→+→-=+i 11OP OP OP i i λ.（其中2 λ）20. 提示：A ，B ，C 三点共线,→→→+=OB OA OC μλ其中21．提示：A ,B ,C ,D 四点共面→→→+=CA k BC k AD 21. 22．)(32321r r r ++=→ED 23.提示：过L 作LD=BM .24．提示：证向量共线.25.1)3a -2b +c =，2)5a +6b +c 26.→AB (1,3,3)27.B （3，4，4）28. A （-1，2，4）; B （8，-4，-2）.29. (1) 3,57++i j k ; (2) 18,10214-++i j k ;(3) cos ∠（a ，b ）=3221; sin ∠（a ，b ）= 527; tan ∠（a ，b ）=533. 30. (1) 10l =; (2) 2l =-.31. (1) 824j k --; (2) j k --; (3) 2 32. (1) 36; (2)3217, 3677. 33. 1.34.（1） 提示：()()()()[]⋅⋅-=-a a b c ac b a ab c a ac b .（2）提示： 因为 m 1m 2,所以，对该平面上任意矢量c ＝λm 1＋μm 2.（3）提示： BC AC AB =-, AD CD CA =- .35．(1)5；(2)-3；(3)72-；(4)11. 36.(1) 32-(2) 222123=++r 14=, r 与a ,b ,c 的夹角分别为arccos 1414，14arccos 7，314arccos .14(3)cos (,)∠=a b 3π (4)40λ=37.解：1)向量a ,b ,c 不共面，c 不能表成a ,b 的线性组合.2)向量a ,b ,c 共面,b a c 3221+= 3)向量a ,b ,c 共面,c 不能表成a ,b 的线性组合.38. B (10,0，513) 39.|AB |=149,AB 边上的中线长：2461,|BC |=292,BC 边上的中线长：352, |AC |=212,AC 边上的中线长：2341.40.1）20 2）11.41.1）x ·y =354,105,2310==y x ， 354(,)arccos242550∠=x y 2）x ·y =929,426,2237==y x ， 929(,)arccos 952962∠=x y42.(3a +2b )·(2a -5b ）=633314-，两向量间的夹角为π43. 43.略. 44.3=OL ，321531+=→OM ，(,)OL OM ∠3215633arccos --=45.D 分AB 的比为1，T 分AB 的中为b a .H 分AB 的线为θθcos 2cos 2ab b ab a--. 46．略.47．略.48. 略.49.1) a ×b=(6, 3 3), S=63;2） a ×b =(12,26, 8) , =2221S ; 3） a ×b = (72, 24, 0),=2410S . . 50．1) (2,1,2), (2, 1, 2).2) (16, 4, 16). 3) 2, 2.4) (3,4,5), (1, 2, 1).51.略.52.四面体的体积596V =. 53.提示：(a, b , c )=0.自我测验题1一、填空题.1.Ⅵ，(4,2,-6), (4,-2,-6)，(8,-4,8).2．68,(-5,15,-7),-34,9299.3.求面积、求垂直向量、证明平行问题.4.0⋅=a b ，(),,0=a b c5.在三轴上的射影，1-1对应.二、判断题.1.√2.×3.√4. ×5.×三、计算题.1.1) x 与 y 共线或 x 与 y 中至少有一个为 0 . 2） x 与 y 共线或 x 与 y 中至少有一个为 0 . .2. 3a +3b -5c .3.x =2||b a b b ⨯-a .4.x =ba c ab ⋅⨯+α. 5..096172,22,63=+--z y x四、证明题.1.提示：证AD AB 与共线.2.略.。
解析几何教程答案
。 于 是
OP l1 OA l2 OR l1 OA l2 k1 OB l2 k2 OC
，
设
l1 , l2 k1 , l2 k2 , 由 k1 , k2 ， l1 , l2 的 唯 一 性 知 道 ( , , ) 的 唯 一 性 ， 则
1 2 2 1 CD CB , CE CA, 因而 CR kCB (1 k )CA lCA (1 l )CB 。由于 3 3 3 3
向量 CA, CB 不共线，所以 k
1 lCB (1 l )CA ， 于 是 得 2
1 1 1 1 2 。 从 而 有 CP CB CA ， 然 而 k 1 l, l 1 k ， 解 得 k l 3 3 2 2 3 1 1 2 CD CB CA ，故 CP CD ，即 C , P , D 三点共线， ABC 的三条中线交于一点 2 2 3
7. 在 ABC 中，点 D , E 分别在边 BC 与 CA 上，且 BD
1 1 BC , CE CA, AD 与 3 3
BE 交于 R ，试证
RD
证明：作如下示意图，
1 4 AD , RE BE . 7 7
第一章 向量代数 习题 1.1 1. 试证向量加法的结合律，即对任意向量 a , b, c 成立
(a b ) c a (b c ).
证明：作向量 AB a , BC b, CD c （如下图） ，
解析几何第四版吕林根课后的习题答案第一章
第一章矢量与坐标§ 1.1矢量的概念1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？（1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；（2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点；（3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点.[ 解] ：（1）单位球面；（ 2）单位圆（ 3）直线；（ 4）相距为 2 的两点FA2.设点 O 是正六边形 ABCDEF 的中心，在矢量 OA、OB、 OC、OD 、OE、OF、 AB、BC、CD、 DE、 EF B O和 FA 中，哪些矢量是相等的？E[ 解] ：如图 1-1，在正六边形 ABCDEF中，相等的矢量对是：C图 1-1 OA和 EF；OB和 FA；OC和 AB；OE和CD；OF 和 DE .3.设在平面上给了一个四边形ABCD ，点 K、 L 、 M、N 分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点，求证：KL ＝ NM .当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？[ 证明 ] ：如图 1-2，连结 AC, 则在 BAC 中，KL 1AC. KL与AC方向相同；在 DAC12中， NM NM 与 AC 方向相同，从而AC.2KL ＝NM 且KL与NM方向相同，所以KL ＝NM .4.如图 1-3，设 ABCD -EFGH 是一个平行六面体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反矢量的矢量：(1)AB 、CD ; (2)AE 、CG ;(3) AC、EG ;(4)AD 、GF;(5)BE、CH .[ 解 ]：相等的矢量对是（2）、（ 3）和（ 5）；互为反矢量的矢量对是（1）和（ 4）。
图 1—3§ 1.2矢量的加法1.要使下列各式成立，矢量a,b 应满足什么条件？（1）a b a b;（ 2）a b a b ;（3）a b a b ;（4）a b a b ;（5） a b a b .[ 解 ：（ ） a,b 所在的直线垂直时有 a b a b ；] 1（ 2） a,b 同向时有 a bab;（ 3） ab , 且 a, b 反向时有 a bab ;（ 4） a,b 反向时有 a bab;（ 5） a,b 同向，且 ab 时有 a ba b.§ 1.3数量乘矢量1 试解下列各题． ⑴ 化简 (x y) (a b) (x y) (a b) ．⑵ 已知ae 1 2 e 2 e 3 ， b 3e 1 2 e 2 2 e 3 ，求 a b ， a b 和 3 a 2 b ．⑶ 从矢量方程组解⑴3 x4 y a，解出矢量 x ， y ． 2 x3 y b( x y) (ab) ( x y) (a b) x a x b y a y b x a x b y a y b 2x b 2y a⑵ a b e 1 2 e 2 e 3 3 e 1 2 e 22 e34 e 1 e 3 ，a b e 1 2e 2 e 3 (3 e 1 2 e 2 2 e 3 ) 2 e 1 4 e 2 3 e 3 ，3 a 2b3(e 1 2e 2 e 3 ) 2(3 e 1 2 e 2 2 e 3 )3e 1 10 e 2 7 e 3 ．2 已知四边形ABCD 中， ABa 2 c ， CD 5 a 6b 8c ，对角线 AC 、 BD 的中点分别为 E 、 F ，求 EF ．解EF1CD1AB 1(5 a 6 b 8 c)1(a 2 c ) 3a 3 b 5 c ．22223 设 AB a 5 b ， BC2 a 8 b ， CD 3( a b) ，证明： A 、 B 、 D 三点共线．证明 ∵BDBC CD2 a 8 b 3( a b)a 5 bAB∴ AB 与 BD 共线，又∵ B 为公共点，从而A 、B 、 D 三点共线． 4在四边形 ABCD 中， ABa 2b ， BC4 a b ，CD5 a 3 b ，证明 ABCD为梯形．证明∵ AD AB BC CD ( a 2 b) ( 4 a b) (5 a 3 b) 2( 4 a b) 2 BC∴AD ∥ BC ，∴ ABCD 为梯形．6. 设 L、M、N 分别是ABC 的三边 BC、CA、AB 的中点，证明：三中线矢量AL,BM,CN 可以构成一个三角形. [证明 ]：AL 1(AB AC ) 2BM 1(BA BC) 2CN 1(CA CB)21(AB AC BA BC CA CB) 0AL BM CN2从而三中线矢量AL, BM ,CN 构成一个三角形。
4-6解析几何吕林根第四版
y
O
x
ⅱ） 用平行于坐标面的平面截割
②用y = k截曲面
⇒ C y=k= ： x2
2a2
z
−
y2 2b2
，( 抛物线 )
结论：取这样两个抛物线，
y
=
k.
z
它们所在的平面互相垂直，
它们的顶点和轴都重合，且
两抛物线有相同的开口方向，
让其中一条抛物线平行于自
己（即与抛物线所在的平面
平行），且使其顶点在另一
z
=
2uv,
式中 u, v 为参数.
双曲抛物面
x2 a2
−
y2 b2
= −2z
椭圆抛物面 x2 + y2 = −2z
a2 b2
x2 a2
−
y2 b2
= ±2z
x2 a2
+
y2 b2
= ±2z
抛物面的方程可以写成统一的形式：
Ax2 + By=2 2z ( AB ≠ 0) （＊）
当 AB > 0 时， （＊）表示椭圆抛物面； 当 AB < 0 时，（＊）表示双曲抛物面.
绕它的对称轴旋转
.
o
x
旋转抛物面
x2 + y2 = 2 pz
y
二、椭圆抛物面的性质
x2 + = y2 a2 b2
2z (a,b > 0)
1 对称性
关于 z 轴，xOz 、yOz 坐标平面对称;
2 顶点
(0, 0, 0) 为椭圆抛物面的顶点.
3 范围 方程（4.6-1）表示的曲面全部在 xOy 平面的一侧.
个抛物线上滑动，那么前一
抛物线的运动轨迹是一个椭
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第一章矢量与坐标§1.1 矢量的概念1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？（1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；（2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点；（3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点.[解]：（1）单位球面；（2）单位圆（3）直线；（4）相距为2的两点2. 设点O是正六边形ABCDEF的中心，在矢量、OB、、OD、OE、OF、AB、BC、CD、DE、和中，哪些矢量是相等的？[解]：如图1-1，在正六边形ABCDEF中，相等的矢量对是：图1-1.和和和和和3. 设在平面上给了一个四边形ABCD，点K、L、M、N分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点，求证：KL＝NM. 当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？[证明]：如图1-2，连结AC, 则在∆BAC中，21AC. KL与方向相同；在∆DAC中，21AC. NM与AC方向相同，从而KL＝NM且KL与NM方向相同，所以KL＝NM.4. 如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反矢量的矢量：(1) 、; (2) 、; (3) 、;(4) AD、; (5) BE、.[解]：相等的矢量对是（2）、（3）和（5）；互为反矢量的矢量对是（1）和（4）。
§1.2 矢量的加法1.要使下列各式成立，矢量ba,应满足什么条件？（1=+（2+=+（3-=+（4+=C（5=[解]：（1）,-=+；（2）,+=+（3≥且,-=+ （4）,+=（5）,≥-=-§1.3 数量乘矢量1 试解下列各题．⑴ 化简)()()()(→→→→-⋅+--⋅-b a y x b a y x ．⑵ 已知→→→→-+=3212e e e a ，→→→→+-=321223e e e b ，求→→+b a ，→→-b a 和→→+b a 23．⑶ 从矢量方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+→→→→→→by x ay x 3243，解出矢量→x ，→y ．解 ⑴→→→→→→→→→→→→→→-=+-+---+=-⋅+--⋅-ay b x b y a y b x a x b y a y b x a x b a y x b a y x 22)()()()(⑵ →→→→→→→→→→+=+-+-+=+3132132142232e e e e e e e e b a ，→→→→→→→→→→→-+-=+---+=-321321321342)223(2e e e e e e e e e b a ， →→→→→→→→→→→-+-=+---+=-3213213217103)223(2)2(323e e e e e e e e e b a ． 2 已知四边形ABCD 中，→→→-=c a AB 2，→→→→-+=c b a CD 865，对角线→AC 、→BD 的中点分别为E 、F ，求→EF ．解 →→→→→→→→→→→-+=-+-+=+=c b a c a c b a AB CD EF 533)2(21)865(212121．3 设→→→+=b a AB 5，→→→+-=b a BC 82，)(3→→→-=b a CD ，证明：A 、B 、D 三点共线． 证明 ∵→→→→→→→→→→=+=-++-=+=AB b a b a b a CD BC BD 5)(382∴→AB 与→BD 共线，又∵B 为公共点，从而A 、B 、D 三点共线．4 在四边形ABCD 中，→→→+=b a AB 2，→→→--=b a BC 4，→→→--=b a CD 35，证明ABCD 为梯形．证明∵→→→→→→→→→→→→→=--=-+--++=++=BC b a b a b a b a CD BC AB AD 2)4(2)35()4()2( ∴→AD ∥→BC ，∴ABCD 为梯形．6. 设L 、M 、N 分别是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，证明：三中线矢量AL , BM ,可 以构成一个三角形.[证明]： )(21+=)(21BC BA BM +=)(21+=0)(21=+++++=++∴CB CA BC BA AC AB CN BM AL从而三中线矢量CN BM AL ,,构成一个三角形。
7. 设L 、M 、N 是△ABC 的三边的中点，O 是任意一点，证明 OB OA ++OC =OL ++.[证明] LA OL OA += OM += NC ON OC +=)(OM +++++=++∴ =)(CN BM AL ON OM OL ++-++ 由上题结论知：0=++ON OM OL OC OB OA ++=++∴8. 如图1-5，设M 是平行四边形ABCD 的中心，O 是任意一点，证明OA +OB +OC +＝4.[证明]：因为OM ＝21(OA +OC ), ＝21(OB +OD ), 所以 2OM ＝21(OA +OB ++OD ) 所以OA +OB +OC +＝4.9 在平行六面体ABCDEFGH （参看第一节第4题图）中，证明→→→→=++AG AH AF AC 2．证明 →→→→→→→→→→→→=+++=+++=++AG CG FG AF AC DH AD AF AC AH AF AC 2．图1-510. 用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半． 证明 已知梯形ABCD ，两腰中点分别为M 、N ，连接AN 、BN ． →→→→→→++=+=DN AD MA AN MA MN ，→→→→→→++=+=CN BC MB BN MB MN ，∴ →→→+=BC AD MN ，即)(21→→→+=BC AD MN ，故→MN 平行且等于)(21→→+BC AD ．11. 用矢量法证明，平行四边行的对角线互相平分.[证明]：如图1-4，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD的交点但 OBOD OC OAOBOC BC OA OD AD +=+-=-∴=-=-=由于)(+∥,)(+∥,而AC 不平行于，∴0=+=+，从而OA=OC ，OB=OD 。
12. 设点O 是平面上正多边形A 1A 2…A n 的中心，证明: 1OA +2OA +…+n OA ＝0.[证明]：因为1OA ＋3OA ＝λ2OA , 2OA ＋4OA ＝λ3OA , ……1-n OA +1OA ＝λn OA ,n OA ＋2OA ＝λ1OA ,所以 2(1OA +2OA +…+n OA )＝λ(1OA +2OA +…+n OA ),所以 (λ－2)(1OA +2OA +…+n OA )＝0. 显然 λ≠2, 即 λ－2≠0.所以 1OA +2OA +…+n OA ＝0.13．在12题的条件下，设P 是任意点，证明：n PA PA PA n =+++ 21 证明：21=+++n OA OA OA()()()21=-++-+-∴PA PA n即 n PA PA n =+++ 21§1.4 矢量的线性关系与矢量的分解 1．在平行四边形ABCD 中，（1）设对角线,,==求.,,, 解：()()()()a b DA a b CD a b BC a b AB +-=-=+=--=21,21,21,21．设边BC 和CD 的（2）中点M 和N ，且==,求,。
解：()()32122,21-=⎪⎭⎫⎝⎛--==-=()+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=-==21212222．在平行六面体ABCD-EFGH 中，设,,,321e e e ===三个面上对角线矢量设为,,,===试把矢量γμλ++=写成321,,e e e 的线性组合。
证明：2312,e e e e -==-==， 13e e -==，AF AH AC a γμλ++=()()()321e e e γμμλγλ++-++-=3. 设一直线上三点A , B , P 满足AP ＝λ(λ≠－1),O 是空间任意一点，求证：OP ＝λλ++1[证明]：如图1-7，因为＝－OA ,PB ＝OB －,所以 －OA ＝λ (OB －),(1+λ)OP ＝+λ,从而 OP ＝λλ++1OB.4. 在ABC ∆中,设,1e =2e =.(1) 设E D 、是边BC 三等分点,将矢量,分解为21,e e 的线性组合; （2）设AT 是角A 的平分线(它与BC 交于T 点),将分解为21,e e 的线性组合 解：（1）()12123131,e e e e -==-=-= ， 2111231323131e e e e e +=-+=+=，同理123132e e +=（2）因为||||TC ＝||11e , 且 BT 与TC 方向相同，所以 BT ||21e . 由上题结论有||||1||212211e e e e e e +||||212112e e +5．在四面体OABC 中，设点G 是ABC ∆的重心（三中线之交点），求矢量对于矢量OC OB OA ,,,的分解式。
解：G 是ABC ∆的重心。
∴连接并延长与BC 交于P()()()AC AB AC AB AP AG AC AB AP +=+•==+=31213232,21 同理()()+=+=31,31 C O()++=+=∴31（1） G P()++=+=31（2） A B()CB CA OC CG OC OG ++=+=31（3） （图1）由（1）（2）（3）得()()++++++++=31313 ++= 即()OC OB OA OG ++=316．用矢量法证明以下各题（1）三角形三中线共点证明：设BC ，CA ，AB 中，点分别为L ，M ，N 。
AL 与BM 交于1P ，AL 于CN 交于2P BM 于CN 交于3P ，取空间任一点O ，则 A()BC BA OB BM OB BP OB OP ++=+=+=313211 ()()OC OB OA OB OC OB OA OB ++=-+-+=3131 A同理()OP ++=312 N M()OP ++=313 B L C321,,P P P ∴三点重合 O ∴三角形三中线共点 （图2） （第3页）7．已知矢量,不共线，问-=2与23-=是否线性相关？ 证明：设存在不全为0的μλ,，使得0=+μλ 即()()()()0232022=--+-⇒=--+-μλμλμλλ故由已知,不共线得{{0003202===-=--⇒μλμλμλ与假设矛盾， 故不存在不全为0的μλ,，使得0=+μλ成立。
所以,线性无关。
8. 证明三个矢量a ＝－1e +32e +23e , b ＝41e －62e +23e ，c＝－31e +122e ＋113e 共面，其中能否用b,线性表示？如能表示，写出线性表示关系式.[证明]：由于矢量1e , 2e , 3e 不共面，即它们线性无关.考虑表达式 λ+μb +v ＝0，即λ (－1e +32e +23e )+μ (41e －62e +23e )+v (－31e +122e ＋113e )＝0,或 (－λ+4μ－3v ) 1e +(3λ－6μ＋12v ) 2e +(2λ+2μ＋11v ) 3e ＝0.由于1e , 2e , 3e 线性无关，故有⎪⎩⎪⎨⎧=++==-+-.01122,01263,034v v v μλμλμλ＋－ 解得 λ＝－10，μ＝－1，v ＝2.由于 λ＝－10≠0，所以a能用b ,c 线性表示a ＝－101b ＋51c .9．证明三个矢量λννμμλ---,,共面。