2009学年度第一学期普陀区高三年级质量调研理科数学卷
普陀区高三质量调研数学试卷标准答案及解答参考(交流)
| bn bm |
an1 1
1 1 an 1
an 1
2 an
所以
1 an1
1
1 an 1
1
，
n
N*
；故
1 an 1
是等差数列.
由此可得， 1 1 (n 1) (1) n ， an 1 a1 1
所以 an
1
1 n
n 1， n
n N*
12. (1) A 3 ; (2) A A11/ N ^ 2 ； (错一个即不得分)
4
13. a 0 且 a b 0；（该结论的等价形式都对）； 14. 4 2 2, 4 2 2 .
二、选择题（每题 4 分，满分 16 分）：
题号
15
16
答案
C
B
17
理 18； 文：18
2
O
E
B
C
第 20 题图
因此， tan CDE 15 . 即异面直线 AO 与 CD 所成角的大小为 arctan 15 ．
3
3
解法二：以 OC 为 x 轴， OB 为 y 轴， OA 为 z 轴，建立空间直角坐标系，
则 O(0，0，0) ， A(0，0，2 3) ， C(2，0，0) ， D(0，1，3) ，
故从点 C 出发在圆锥体表面运动到点 D 的最短距离为 2 5 2 2 .
21. （本题满分 16 分，其中第 1 小题 6 分，第 2 小题 10 分.）
解：（1）依题意得，车队通过隧道的时间 t 关于车队行进速度 v 的函数解析式为：
上海2009年高三十校联考模拟考试数学理科试卷
上海市2009年高三十校联考模拟考试数学（理科）试卷一. 填空题（本大题满分60分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分．1. 若()22311n n n C C C n *--=+∈N，则n =_____________． 2. 若复数z 满足132i 2izz =--（i 是虚数单位），则z =__________． 3. 已知1tan 62πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，tan 36πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()tan αβ+=____________． 4. 由0，1，2，3，4，5六个数字组成无重复数字且数字2，3相邻的四位数共_______个（结果用数字表示）．5. 函数44sin cos y x x =+的单调递增区间是______________________．6. 科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I 为地震时所散发出来的相对能量强度，则里氏震级量度r 可定义为2lg 23r I =+．2008年5月12日，四川汶川发生的地震是8.0级，而1976年唐山地震的震级为7.8级，那么汶川地震所散发的相对能量是唐山地震所散发的相对能量的_____________倍．（精确到个位）7. 在一个水平放置的底面半径为3cm 的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为R cm 的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升R cm ，则R =________cm ．8. 已知平面上直线l 的方向向量()3,4d →=-，点()0,0O 和()4,2A -在l 上的射影分别是1O 和1A ，则11O A =________________．9. 已知函数()f x =的值域是[0,)+∞，则实数m 的取值范围是________________．10. 有一道解三角形的问题，缺少一个条件．具体如下：“在ABC ∆中，已知a =45B =，____________，求角A 的大小．”经推断缺少的条件为三角形一边的长度，且答案提示60A =，试将所缺的条件补充完整．11. 如图，设A 是棱长为a 的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，对正方体的所有顶点都如此操作，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体，则关于此多面体有以下结论：①有12个顶点；②有24条棱；③有12个面；④表面积为23a ；⑤体积为365a ．其中正确的结论是____________．（要求填上所有正确结论的序号）12. 在解决问题：“证明数集{}23A x x =<≤没有最小数”时，可用反证法证明．假设()23a a <≤是A 中的最小数，则取22a a +'=，可得：22223222a a aa a +++'=<=<=≤，与假设中“a 是A 中的最小数”矛盾！ 那么对于问题：“证明数集,,,n B x x m n n m m *⎧⎫==∈<⎨⎬⎩⎭N 并且没有最大数”，也可以用反证法证明．我们可以假设0n x m =是B 中的最大数，则可以找到x '=____________（用0m ，0n 表示），由此可知x B '∈，x x '>，这与假设矛盾！所以数集B 没有最大数．二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 4分，否则一律得零分.13. 圆2286160x y x y +-++=与圆2264x y +=的位置关系是 ( )(A) 相交 (B) 相离 (C) 内切 (D) 外切 14. 已知无穷等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，各项的和为S ，且()lim 21n n S S →∞-=，则其首项1a 的取值范围是 ( ) (A)()()1,00,1- (B)()()2,11,0--- (C) ()()0,11,2 (D)()()2,00,2-15. 在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数()y f x =的图像上有且仅有()n n ∈*N个整点，则称函数()y f x =为n 阶整点函数．有下列函数：①()sin 2f x x =； ②()3g x x =； ③()13xh x ⎛⎫= ⎪⎝⎭； ④()ln x x φ=，其中是一阶整点函数的个数为 （ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）416. 已知正方形ABCD 的面积为36，BC 平行于x 轴，顶点A 、B 和C 分别在函数3log a y x =、2log a y x =和log a y x =（其中1a >）的图像上，则实数a 的值为 ( )(D)三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤. 17. (本题满分12分)已知函数()221f x x tx =-+，[]2,5x ∈有反函数，且函数()f x 的最大值为8，求实数t 的值.18. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为1的正方形，PD ⊥底面ABCD ，且2PD =．（1） 若点E 、F 分别在棱PB 、AD 上，且4PE EB =，4DF FA =，求证：EF ⊥平面PBC ；（2） 若点G 在线段PA 上，且三棱锥G PBC -的体积为14，试求线段PG 的长．19. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知数列{}n a 满足125a =，且对任意n *∈N ，都有11422n n n n a a a a +++=+．（1） 求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； （2） 试问数列{}n a 中任意连续两项的乘积()1k k a a k *+⋅∈N 是否仍是{}n a 中的项？如果是，请指出是数列的第几项；如果不是，请说明理由．20. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分.定义区间(),m n ，[],m n ，(],m n ，[),m n 的长度均为n m -，其中n m >．（1） 若关于x 的不等式221230ax x -->，求实数a的值；（2） 已知关于x的不等式2sin cos 0x x x b ++>，[]0,x π∈的解集构成的各区间的长度和超过3π，求实数b 的取值范围； （3） 已知关于x 的不等式组()2271,1log log 32x x tx t ⎧>⎪+⎨⎪++<⎩的解集构成的各区间长度和为6，求实数t 的取值范围．21. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.已知等轴双曲线C 的两个焦点1F 、2F 在直线y x =上，线段12F F 的中点是坐标原点，且双曲线经过点33,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1） 若已知下列所给的三个方程中有一个是等轴双曲线C 的方程：①22274x y -=；②9xy =；③92xy =．请确定哪个是等轴双曲线C 的方程，并求出此双曲线的实轴长；（2） 现要在等轴双曲线C 上选一处P 建一座码头，向()3,3A 、()9,6B 两地转运货物．经测算，从P 到A 、从P 到B 修建公路的费用都是每单位长度a 万元，则码头应建在何处，才能使修建两条公路的总费用最低？（3） 如图，函数1y x x=+的图像也是双曲线，请尝试研究此双曲线的性质，你能得到哪些结论？（本小题将按所得到的双曲线性质的数量和质量酌情给分）理科答案说明1. 本解答列出试题的一种解法，如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分.2. 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅. 当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分.3. 第17题至第21题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题累加分数.4. 给分或扣分均以1分为单位.答案及评分标准一、（第1至12题）每题正确的给5分，否则一律得零分. 1.5. 2.47i 55-. 3. 7-. 4. 60. 5. (),242k k k πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦Z . 6. 2. 7. 32. 8. 4.9.[][)0,19,+∞. 10. c =. 11. ①②⑤12.答案不惟一，0011n m ++，0002n m m +，…….二、（第13至16题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.三、（第17至21题）17.【解】 因为函数有反函数，所以在定义域内是一一对应的函数()221f x x tx =-+的对称轴为x t =，所以2t ≤或5t ≥ …… 3分若2t ≤，在区间[]2,5上函数是单调递增的，所以()()max 5251018f x f t ==-+=，解得95t =，符合 …… 7分 若5t ≥，在区间[]2,5上函数是单调递减的，所以()()max 24418f x f t ==-+=，解得34t =-，与5t ≥矛盾，舍去 …… 11分 综上所述，满足题意的实数t 的值为95……12分18.【解】（1）以点D 为坐标原点，DA 为x 轴正方向，DC 为y 轴正方向建立空间直角坐标系． …… 1分 则()0,0,0D ，()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0C ，()0,0,2P ， 因为4PE EB =，4DF FA =，所以4,0,05F ⎛⎫⎪⎝⎭，442,,555E ⎛⎫⎪⎝⎭， …… 3分 则420,,55EF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()1,0,0BC =-，()1,1,2PB =--． …… 5分 0EF BC ⋅=，0EF PB ⋅=，即EF 垂直于平面PBC 中两条相交直线，所以EF ⊥平面PBC ． …… 7分（2）()1,0,2PA =-，可设()01PG PA λλ=≤≤，所以向量PG 的坐标为(),0,2λλ-， …… 8分平面PBC 的法向量为420,,55EF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． 点G 到平面PCE的距离42PG EFd EFλ⋅===．…… 10分 PBC∆中，1BC =，PC =，PB =2PBC S ∆=．…… 12分三棱锥G PBC -的体积11133234PBC V S d λ∆=⋅=⋅==，所以34λ=． …… 13分此时向量PG 的坐标为33,0,42⎛⎫- ⎪⎝⎭，3PG =PG ． …… 14分19.【解】（1）由11422n n n n a a a a +++=+及125a =可知数列{}n a 的每一项都是正的． …… 1分 111242n n n n n n a a a a a a ++++=+，即11223n n n n a a a a ++-=， …… 3分所以11132n n a a +-=， …… 4分 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以52为首项，公差为32的等差数列． ……6分（2）由（1）可得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式为1322n n a +=，所以232n a n =+． …… 8分 ()122243231292110k k a a k k k k +⋅=⋅=+++++ 22921622k k =+++22372322k k =++⋅+． …… 10分 因为()2213723122k k k k k k +++=+++， …… 11分当k *∈N 时，()12k k +一定是正整数，所以23722k k ++是正整数． …… 13分所以1k k a a +⋅是数列{}n a 中的项，是第23722k k ++项． …… 14分20.【解】（1）0a =时不合题意； …… 1分0a ≠时，方程221230ax x --=的两根设为1x 、2x ，则126x x a +=，1232x x a=-，由题意知()22121212236664x x x x x x a a=-=+-=+， …… 2分 解得2a =-或3a =（舍）， …… 3分 所以2a =-． …… 4分（2）因为2sin cos x x x b ++)1sin 21cos 2sin 22232x x b x b π⎛⎫=+++=+++ ⎪⎝⎭， …… 5分 设()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，原不等式等价于“()f x b >，[]0,x π∈”，…… 6分 因为函数()f x 的最小正周期为π，[]0,π的长度恰为函数的一个正周期，所以当122b --<时，()2f x b >--，[]0,x π∈的解集构成的各区间的长度和超过3π，即b的取值范围为⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭． …… 9分 （3）先解不等式711x >+，整理得601x x -+>+，即()()160x x +-< 所以不等式711x >+的解集()1,6A =- …… 10分 设不等式()22log log 32x tx t ++<的解集为B ，不等式组的解集为AB不等式()22log log 32x tx t ++>等价于2030340x tx t tx tx ⎧>⎪+>⎨⎪+-<⎩…… 11分所以()0,B ⊆+∞，()0,6AB ⊆，不等式组的解集的各区间长度和为6，所以不等式组230340tx t tx tx +>⎧⎨+-<⎩，当()0,6x ∈时，恒成立 …… 12分 当()0,6x ∈时，不等式30tx t +>恒成立，得0t > …… 13分 当()0,6x ∈时，不等式2340tx tx +-<恒成立，即243t x x<+恒成立 …… 14分当()0,6x ∈时，243x x +的取值范围为2,27⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，所以实数227t ≤ …… 15分 综上所述，t 的取值范围为20,27⎛⎤⎥⎝⎦…… 16分21.【解】（1）双曲线22274x y -=的焦点在x 轴上，所以①不是双曲线C 的方程……1分 双曲线9xy =不经过点33,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以②不是双曲线C 的方程 …… 2分所以③92xy =是等轴双曲线C 的方程 …… 3分 等轴双曲线92xy =的焦点1F 、2F 在直线y x =上，所以双曲线的顶点也在直线y x =上， …… 4分联立方程92xy y x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得双曲线92xy =的两顶点坐标为22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，所以双曲线92xy =的实轴长为6 …… 5分 （2） 所求问题即为：在双曲线92xy =求一点P ，使PA PB +最小．首先，点P 应该选择在等轴双曲线的92xy =中第一象限的那一支上 …… 6分等轴双曲线的92xy =的长轴长为6，所以其焦距为又因为双曲线的两个焦点1F 、2F 在直线y x =上，线段12F F 的中点是原点，所以()3,3A 是92xy =的一个焦点， …… 7分 设双曲线的另一个焦点为()23,3F --，由双曲线的定义知：26PA PF =- 所以()26PA PB PF PB +=-+，要求PA PB +的最小值，只需求2PF PB +的最小值 …… 8分直线2BF 的方程为3430x y --=，所以直线2BF 与双曲线92xy =在第一象限的交点为33,2⎛⎫ ⎪⎝⎭…… 9分所以码头应在建点P 33,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处，才能使修建两条公路的总费用最低 …… 10分（3）① ())()1133f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=-+=- ⎪ ⎪-⎝⎭，此双曲线是中心对称图形，对称中心是原点()00，；…… 1分② 渐近线是3y x =和0x =．当0x >时，当x 无限增大时，1x无限趋近于0，13y x x =+与3y x =无限趋近；当y 无限增大时，x 无限趋近于0． …… 2分③ 双曲线的对称轴是y =和y x =． …… 3分④ 双曲线的顶点为，⎛⎝，实轴在直线y =上，实轴长为…… 4分⑤虚轴在直线y x =，虚轴长为 …… 5分⑥焦点坐标为，⎛ ⎝，焦距…… 6分 说明：（i ）若考生能把上述六条双曲线的性质都写出，建议此小题给满分8分（ii ）若考生未能写全上述六条双曲线的性质，但是给出了13y x x=+的一些函数性质（诸如单调性、最值），那么这些函数性质部分最多给1分。
09学年度第一学期普陀区(理科)高三年级质量调研数学试卷
2009学年度第一学期普陀区（理科）高三年级质量调研数学试卷2009学年度第一学期普陀区高三年级质量调研?数学试卷???一、填空题本大题共有??小题，每题填对得?分，填错或不填在正确的位置一律得零分?????函数y?cos3x，x?R的最小正周期是????????????2n2?1???lim????????????? ???n??1?3?5???(2n?1)???抛物线y2?8x?0的焦点坐标为??????????????????方程log3(x?1)?log3(x?1)?1?log3(x?9)的解为???????????????????已知cos(???)??1???，????,0?，则????????????????3?2?13???无穷等比数列?an?的首项为?，公比q??，则?an?的各项和S???????????????已知f(x)?2x?x，则f?1(6)????????????????????函数y?2cos2x?sin2x，x?R的最大值是?????????????????如图，OABC是边长为1的正方形，?AC是四分之一圆弧，则图中阴影部分绕轴OC旋转一周得到的旋转体的体积为?????????????? C B O 第9题图开始 A x2y2??1的左、右焦点．若点P在椭????设F1，F2分别是椭圆94圆上，且PF1?PF2?25，则向量PF1与向量PF2的夹角的大小为?????????????．???1?N?2否N?100???在数列?an?中，a1?2,an?1?an?lg?1?＝????????????????右图所给出的是用来求解：???1?*?，则ann?是N?N?1打印A?2?第12题图结束1??1??1??1??的程序框图?则在框图的空格1?1?1??1???2??2??2?2?234100????????处应填入的语句为???????????；空格处应填入的语句为??????????????????对任意的x1?0?x2，若函数?y f(x)?ax?x1?bx?x2的大致图像为如图所示的一条折线，试写出a、b应满足的条件????????????????????????????设关于x的方程x1 O x2 x 1?2x?a 的解集为A?若x?2第13题A?R????则实数a的取值范围是??????????????????????二、选择题本大题共有?题，每题选对得?分??????????已知平面向量a??3,1?，b??x,?3?，且a?b，则x?????????????3；?????????????1；??????????????；??????????????????? ????集合A???1,0,1?，B?yy?3,x?A，则A?B??????????x???????．?0?；???????．?1?；???????? ?．?0,1?；??????????．??1,0,1??? x?ay?2a?2与直线l2：ax?y?a?1不重合，则l1∥l2的充要条件是????若直线l1：????a??1；????????a?x1；????? ????a?1；????????????a?1或a??1???2????对于方程2?sinx?1?0，下列说法错误的是????????????????????．．???该方程没有大于?的实数解；???????????????????该方程有无数个实数解；????该方程在?0,???内有且只有一个实数解；????????若x0是该方程的实数解，则x0?1??三、解答题??????设函数f(x)?lg(x?x?2)的定义域为集合A，函数g(x)?23?1的定义域为集合xB．已知?：x?A?B，?：x满足2x?p?0，且?是?的充分条件，求实数p的取值范围??????????π，斜边AB?4，D是AB的中点．现将6Rt△AOB 以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥体，点C为圆锥体底面圆周上的一如图，在Rt△AOB中，?OAB?点，且?BOC?90???求异面直线AO与CD所成角的大小；?若某动点在圆锥体侧面上运动，试求该动点从点C出发运动到点D所经过的最短距离??????????????某隧道长????米，最高限速为v0，一个匀速行进的车队有10辆车，每辆车的车身长??米，相邻两车之间的距离与车速v的平方成正比，比例系数为k，自第一辆车车头进入隧道至第??辆车车尾离开隧道时所用时间为t??求函数t?f(v)的解析式，并写出定义域；?求车队通过隧道时间t的最小值，并求出此时车速v的大小??????????已知数列?an?中，a1?0，an?1?C 第20题图O B D A 1*，n?N??2?an求证：??1??是等差数列；并求数列?an?的通项公式；??an?1?假设对于任意的正整数m、n，都有|bn?bm|??，则称该数列为“?域收敛数2?4?*列”??试判断??数列bn?an????，n?N是否为一个“域收敛数列”，请说明你的理3?5???????????如图，已知圆C:x2?y2?r2与x轴负半轴的交点为A??点A出发的射线l的斜率为k??射线l与圆C相交于另一点B.?当r?1时，试用k 表示点B的坐标；?当r?1时，求证：“射线l的斜率k为有理数”是“点 A O x y B nB为单位圆C上的有理点”的充要条件；?p第23题图定义：实半轴长a、虚半轴长b和半焦距c都是正整数的双曲线为“整勾股双曲线”???当k为有理数且0?k?1时，试证明：一定能构造偶数个“整勾股双曲线”?规定：实．．．轴长和虚轴长都对应相等的双曲线为同一个双曲线?，它的实半轴长、虚半轴长和半焦距的长恰可点B的横坐标、纵坐标和半径r的数值构成??说明你的理并请尝试给出构造方法???。
2008-2009学年上海普陀区第一学期高三质量调研测试
2008-2009学年度上海普陀区第一学期高三质量调研测试化学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共66分）相对原子质量：H —1 C —12 N —14 O —16 Na —23 Mg —24 Al —27 S —32Cl —35.5 K —39 Ca —40 Fe —56 Cu —64 Zn —65 Br —80 I —127 Ba —137 一、选择题：（本题共10分），每小题2分，只有一个正确选项，答案涂写在答题卡上。
1．下列物质可以作为食用商品添加剂的是（ ）A ．盐酸克仑特罗（瘦肉精）B ．苏丹红C ．甲醇D ．苯甲酸钠 2．下列化学用语中正确的是（ ）A ．CO 2电子式是：：：：∙∙∙∙O C OB ．次氯酸的结构式为H —Cl —OC ．N 原子的轨道表示式为：D ．硫离子的结构示意图3．化学反应中一定伴随着能量的变化，下列有关能量的说法错误的是 （ ）A ．水的电离是吸热过程B ．任何中和反应都是放热过程C ．饱和食盐水电解时，化学能转变成电能D ．将NH 4Cl （s ）投入水中，溶液温度降低4．同种元素的不同微粒，它们的（ ）A ．质量数一定相同B ．核外电子数一定相同C ．中子数一定不同D ．电子层数可能不同 5．下列有关化学键的叙述正确的是（ ）A ．由两种元素组成的共价化合物分子中，只存在极性键B．不同种非金属元素原子间形成的化学键都是极性键C．离子化合物一定不含共价键D．共价化合物可能不含离子键二、选择题：（本题共36分），每小题3分，只有一个正确选项，答案涂写在答题卡上。
6．对数据的分析归纳可得到科学的结论和规律。
下列为某同学对数据的利用情况，其中不正确的是（）A．根据非金属单质与氢气化合生成1mol产物时反应热的大小推测生成物的稳定性B．用沸点数据推测用蒸馏法分离两种液体混合物的可能性C．用熔点数据分析不同分子的稳定性D．用原子（离子）半径数据推断某些原子（离子）氧化性或还原性的相对强弱7．开瑞坦是治疗过敏性鼻炎的良药，其有效成分的结构简式如图所示。
【理数】2009年上海市高三调研试卷
2009年上海市高三数学教学调研试卷（理科）一、填空题：1．方程2log (31)3x -=的解是 。
2．行列式123234345的元素5的代数余子式的值为 。
3．若直线l 过点(1,2)A ，且它的一个方向向量为(1,2)d =，则直线l 的方程为 。
4．若复数Z满足Z =，且(13)i Z -是纯虚数，则复数Z = 。
5．函数()sin 2f x x x =的最小正周期是 。
6．如果()na b +的二项展开式中的第三项与第二项的系数之比为2，那么正整数n = 。
7．若函数()112x f x =-的反函数是()1f x -，则()11f -的值是 。
8．如果执行右面的程序框图，那么输出的S 的值是 。
9．计算：()()()()123lim()1111n nn n n n n n n n →∞++++=++++ 。
10．若正三角形ABC 的边长为1，O 是ABC ∆所在平面内的任意一点，则2OA OB OC +-=。
11．如图，圆锥形量杯的口径（圆锥底面的直径）为d ，高为h ，则圆锥形量杯侧面上刻度V （容积）与页面深度x 的函数关系为 。
12．在极坐标系中，若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线4cos ρθ=于,A B 两点，则AB = 。
13．在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽取一件，且不放回抽取，抽到次品的数学期望E ξ的值是 。
14．已知函数()24(1)3(0)f x ax a x a =+-+>的定义域为[]0,2，若()()m a x 2f x f=，则实数a 的取值范围是 。
二、选择题：15．圆心在直线y x =上，且与x 轴相切于点()1,0的圆的方程为┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄（ ）.A ()()22111x y -+-= ； .B ()()22111x y +++=；（第8题图）.C ()()22111x y -++=； .D ()()22111x y ++-=16．若,,a b c R ∈，则a b >成立的充分非必要条件为┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄（ ）.A 22ac bc > ； .B a c b c +>+； .C a c <且c b <； .D ac bc >17．在直角坐标平面xOy 上，已知点(3,2)A ，点B 在椭圆221168x y +=上运动，动点P 满足AB BP = ，那么点P 的轨迹方程是┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄（ ）.A()()223213216x y +++= ； .B()()223216432x y +++=；.C()()223213216x y --+= ； .D()()223216432x y --+=18．已知x 是1,2,3,,5,6,7x 这七个数据的中位数，且21,3,,x y -这四个数据的平均数为1，那么1y x-的最小值是┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄（ ）.A 4255； .B 3155； .C 283； .D 不存在三 、解答题： 19．（本题满分12分，第1小题5分，第2小题7分）在直三棱柱111A B C ABC -中，AC BC ⊥，D 为AB 中点，11.CB AC AA ===（1）棱锥1C CDB -的体积；（2）二面角1A AC D --的大小 20．（本题满分14分，第一小题满分6分，第二小题满分8分） 已知函数()2af x x x=+（a 为常数）的图像经过点()1,3。
2009年上海市高考数学试卷(理科)答案与解析
2009年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）1．（4分）（2009•上海）若复数z满足z（1+i）=1﹣i（I是虚数单位），则其共轭复数=i．【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】本题考查的知识点是共轭复数的定义，由复数z满足z（1+i）=1﹣i，我们可能使用待定系数法，设出z，构造方程，求出z值后，再根据共轭复数的定义，计算【解答】解：设z=a+bi，则∵（a+bi）（1+i）=1﹣i，即a﹣b+（a+b）i=1﹣i，由，解得a=0，b=﹣1，所以z=﹣i，=i，故答案为i．【点评】求复数的共轭复数一般步骤是：先利用待定系数法设出未知的向量，根据已知条件构造复数方程，根据复数相等的充要条件，转化为一个实数方程组，进而求出求知的复数，再根据共轭复数的定义，求出其共轭复数．2．（4分）（2009•上海）已知集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，且A∪B=R，则实数a的取值范围是a≤1．【考点】集合关系中的参数取值问题．【专题】集合．【分析】利用数轴，在数轴上画出集合，数形结合求得两集合的并集．【解答】解：∵A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，且A∪B=R，如图，故当a≤1时，命题成立．故答案为：a≤1．【点评】本题属于以数轴为工具，求集合的并集的基础题，也是高考常会考的题型．3．（4分）（2009•上海）若行列式中，元素4的代数余子式大于0，则x满足的条件是x＞且x≠4．【考点】三阶矩阵．【专题】计算题．【分析】根据3阶行列式D的元素a ij的余子式M ij附以符号（﹣1）i+j后，叫做元素a ij的代数余子式，所以4的余子式加上（﹣1）1+1即为元素4的代数余子式，让其大于0列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的范围．【解答】解：依题意得，（﹣1）2＞0，即9x﹣24＞0，解得x＞，且x≠4，故答案为：x＞且x≠4【点评】此题考查学生掌握三阶矩阵的代数余子式的定义，是一道基础题．4．（4分）（2009•上海）某算法的程序框如下图所示，则输出量y与输入量x满足的关系式是．【考点】程序框图．【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是根据输入x值的不同，根据不同的式子计算函数值．即求分段函数的函数值．【解答】解：根据流程图所示的顺序，程序的作用是分段函数的函数值．其中输出量y与输入量x满足的关系式是故答案为：【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．5．（4分）（2009•上海）如图，若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的大小是arctan（结果用反三角函数值表示）．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题．【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在直角三角形中求出正切值，再用反三角函数值表示出这个角即可．【解答】解：先画出图形将AD平移到BC，则∠D1BC为异面直线BD1与AD所成角，BC=2，D1C=，tan∠D1BC=，∴∠D1BC=arctan，故答案为arctan．【点评】本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及解三角形的应用，属于基础题．6．（4分）（2009•上海）函数y=2cos2x+sin2x的最小值是．【考点】三角函数的最值．【专题】计算题．【分析】先利用三角函数的二倍角公式化简函数，再利用公式化简三角函数，利用三角函数的有界性求出最小值．【解答】解：y=2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=1+=1+当=2k，有最小值1﹣故答案为1﹣【点评】本题考查三角函数的二倍角余弦公式将三角函数降幂、利用公式化简三角函数．7．（4分）（2009•上海）某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望Eξ（结果用最简分数表示）．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【专题】计算题．【分析】用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，ξ可取0，1，2，结合变量对应的事件写出分布列当ξ=0时，表示没有选到女生；当ξ=1时，表示选到一个女生；当ξ=2时，表示选到2个女生，求出期望．【解答】解：用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，ξ可取0，1，2，当ξ=0时，表示没有选到女生；当ξ=1时，表示选到一个女生；当ξ=2时，表示选到2个女生，∴P（ξ=0）==，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，∴Eξ=0×=．故答案为：【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，这是近几年经常出现的一个问题，可以作为解答题出现，考查的内容通常是以分布列和期望为载体，有时要考查其他的知识点．8．（4分）（2009•上海）已知三个球的半径R1，R2，R3满足R1+2R2=3R3，则它们的表面积S1，S2，S3，满足的等量关系是．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】表示出三个球的表面积，求出三个半径，利用R1+2R2=3R3，推出结果．【解答】解：因为S1=4πR12，所以，同理：，即R1=，R2=，R3=，由R1+2R2=3R3，得故答案为：【点评】本题考查球的表面积，考查计算能力，是基础题．9．（4分）（2009•上海）已知F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．若△PF1F2的面积为9，则b=3．【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知得|PF1|+|PF2|=2a，=4c2，，由此能得到b的值．【解答】解：∵F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．∴|PF1|+|PF2|=2a，=4c2，，∴（|PF1|+|PF2|）2=4c2+2|PF1||PF2|=4a2，∴36=4（a2﹣c2）=4b2，∴b=3．故答案为3．【点评】主要考查椭圆的定义、基本性质和平面向量的知识．10．（4分）（2009•上海）在极坐标系中，由三条直线θ=0，，ρcosθ+ρsinθ=1围成图形的面积等于．【考点】简单曲线的极坐标方程；定积分．【专题】计算题．【分析】三条直线化为直角坐标方程，求出三角形的边长，然后求出图形的面积．【解答】解：三条直线θ=0，，ρcosθ+ρsinθ=1的直角坐标方程分别为：y=0，y=x，x+y=1，所以它们的交点坐标分别为O（0，0），A（1，0），B（，），OB==，由三条直线θ=0，，ρcosθ+ρsinθ=1围成图形的面积S==．故答案为：．【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，三角形的面积的求法，考查计算能力．11．（4分）（2009•上海）当时，不等式sinπx≥kx恒成立．则实数k的取值范围是k≤2．【考点】函数恒成立问题．【专题】数形结合．【分析】要使不等式sinπx≥kx恒成立，设m=sinπx，n=kx，利用图象得到k的范围即可．【解答】解：设m=sinπx，n=kx，x∈[0，]．根据题意画图得：m≥n恒成立即要m的图象要在n图象的上面，当x=时即πx=时相等，所以此时k==2，所以k≤2故答案为k≤2【点评】考查学生利用数形结合的数学思想解决问题的能力，理解函数恒成立时取条件的能力．12．（4分）（2009•上海）已知函数f（x）=sinx+tanx，项数为27的等差数列{a n}满足a n∈（﹣），且公差d≠0，若f（a1）+f（a2）+…f（a27）=0，则当k=14时，f（a k）=0．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】本题考查的知识点是函数的奇偶性及对称性，由函数f（x）=sin x+tan x，项数为27的等差数列{a n}满足a n∈（﹣），且公差d≠0，若f（a1）+f（a2）+…f（a27）=0，我们易得a1，a2，…，a27前后相应项关于原点对称，则f（a14）=0，易得k值．【解答】解：因为函数f（x）=sinx+tanx是奇函数，所以图象关于原点对称，图象过原点．而等差数列{a n}有27项，a n∈（）．若f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a27）=0，则必有f（a14）=0，所以k=14．故答案为：14【点评】代数的核心内容是函数，函数的定义域、值域、性质均为高考热点，所有要求同学们熟练掌握函数特别是基本函数的图象和性质，并能结合平移、对称、伸缩、对折变换的性质，推出基本函数变换得到的函数的性质．13．（4分）（2009•上海）某地街道呈现东﹣西、南﹣北向的网格状，相邻街距都为1．两街道相交的点称为格点．若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（﹣2，2），（3，1），（3，4），（﹣2，3），（4，5），（6，6）为报刊零售点．请确定一个格点（除零售点外）（3，3）为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短．【考点】两点间距离公式的应用．【专题】直线与圆．【分析】设发行站的位置为（x，y），则可利用两点间的距离公式表示出零售点到发行站的距离，进而求得在（3，3）处z取得最小值．【解答】解：设发行站的位置为（x，y），6个零售点到发行站的距离为Z，则z=|x+2|+|y﹣2|+|x﹣3|+|y﹣1|+|x﹣3|+|y﹣4|+|x+1|+|y﹣3|+|x﹣4|+|y﹣5|+|x﹣6|+|y﹣6|=|x+2|+|x﹣3|+|x﹣3|+|x+1|+|x﹣4|+|x﹣6|+|y﹣2|+|y﹣1|+|y﹣4|+|y﹣3|+|y﹣5|+|y﹣6|x=3，3≤y＜4时，取最小值，∴在（3，3）处z取得最小值．故答案为（3，3）．【点评】本题主要考查了两点间的距离公式的应用．考查了学生创造性思维能力和逻辑思维能力．14．（4分）（2009•上海）将函数（x∈[0，6]）的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ（0≤θ≤α），得到曲线C．若对于每一个旋转角θ，曲线C都是一个函数的图象，则α的最大值为arctan．【考点】旋转变换．【专题】计算题；压轴题．【分析】先画出函数（x∈[0，6]）的图象，然后根据由图可知当此圆弧绕坐标原点逆时针方向旋转角大于∠MAB时，曲线C都不是一个函数的图象，求出此角即可．【解答】解：先画出函数（x∈[0，6]）的图象这是一个圆弧，圆心为M（3，﹣2）由图可知当此圆弧绕坐标原点逆时针方向旋转角大于∠MAB时，曲线C都不是一个函数的图象∴∠MAB=arctan故答案为：arctan【点评】本题主要考查了旋转变换，同时考查了数形结合的思想和分析问题解决问题的能力，属于基础题．二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）15．（4分）（2009•上海）“﹣2≤a≤2”是“实系数一元二次方程x2+ax+1=0有虚根”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】实系数一元二次方程x2+ax+1=0有虚根⇒△=a2﹣4＜0⇒﹣2＜a＜2，由此入手能够作出正确选择．【解答】解：∵实系数一元二次方程x2+ax+1=0有虚根，∴△=a2﹣4＜0，解得﹣2＜a＜2，∴“﹣2≤a≤2”是“﹣2＜a＜2”的必要不充分条件，故选A．【点评】本题考查必要条件、充分条件和充要条件的应用，解题时要认真审题，仔细解答．16．（4分）（2009•上海）若事件E与F相互独立，且P（E）=P（F）=，则P（E∩F）的值等于（）A．0 B．C．D．【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【分析】本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式，由相互独立事件的概率计算公式，我们易得P（E∩F）=P（E）•P（F），将P（E）=P（F）=代入即可得到答案．【解答】解：P（E∩F）=P（E）•P（F）=×=．故选B．【点评】相互独立事件的概率计算公式：P（E∩F）=P（E）•P（F），P（E∪F）=P（E）+P（F）．17．（4分）（2009•上海）有专业机构认为甲型N1H1流感在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过15人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（）A．甲地：总体均值为3，中位数为4B．乙地：总体均值为1，总体方差大于0C．丙地：中位数为2，众数为3D．丁地：总体均值为2，总体方差为3【考点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．【专题】压轴题．【分析】平均数和方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简单的描述，平均数描述集中趋势，方差描述波动大小．【解答】解：假设连续10天，每天新增疑似病例的人数分别为x1，x2，x3，…x10．并设有一天超过15人，不妨设第一天为16人，根据计算方差公式有s2=[（16﹣5）2+（x2﹣5）2+（x3﹣5）2+…+（x10﹣5）2]＞12，说明乙地连续10天，每天新增疑似病例的人数都不超过15人．故选：B．【点评】根据题意可知本题主要考查用数字特征估计总体，属于基础题．18．（4分）（2009•上海）过圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B，△AOB被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足S|+S IV=S||+S|||则直线AB有（）A．0条B．1条C．2条D．3条【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；压轴题；数形结合．【分析】由圆的方程得到圆心坐标和半径，根据四部分图形面积满足S|+S IV=S||+S|||，得到S IV﹣S II=SⅢ﹣S I，第II，IV部分的面积是定值，所以三角形FCB减去三角形ACE的面积为定值即SⅢ﹣S I为定值，所以得到满足此条件的直线有且仅有一条，得到正确答案．【解答】解：由已知，得：S IV﹣S II=SⅢ﹣S I，由图形可知第II，IV部分的面积分别为S正方形OECF﹣S扇形ECF=1﹣和S扇形ECF=，所以，S IV﹣S II为定值，即SⅢ﹣S I为定值，当直线AB绕着圆心C移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线AB只有一条．故选B．【点评】此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，会求三角形、正方形及扇形的面积，是一道综合题．三、解答题（共5小题，满分78分）19．（14分）（2009•上海）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=BC=AB=2，AB⊥BC，求二面角B1﹣A1C﹣C1的大小．【考点】向量在几何中的应用；与二面角有关的立体几何综合题．【专题】计算题；向量法．【分析】建立空间直角坐标系，求出2个平面的法向量的坐标，设二面角的大小为θ，显然θ为锐角，设2个法向量的夹角φ，利用2个向量的数量积可求cosφ，则由cosθ=|cosφ|求出二面角的大小θ．【解答】解：如图，建立空间直角坐标系．则A（2，0，0），C（0，2，0），A1（2，0，2），B1（0，0，2），C1（0，2，2），设AC的中点为M，∵BM⊥AC，BM⊥CC1．∴BM⊥平面A1C1C，即=（1，1，0）是平面A1C1C的一个法向量．设平面A1B1C的一个法向量是n=（x，y，z）．=（﹣2，2，﹣2），=（﹣2，0，0），∴令z=1，解得x=0，y=1．∴n=（0，1，1），设法向量n与的夹角为φ，二面角B1﹣A1C﹣C1的大小为θ，显然θ为锐角．∵cosθ=|cosφ|==，解得：θ=．∴二面角B1﹣A1C﹣C1的大小为．【点评】本题考查利用向量求二面角的大小的方法，设二面角的大小为θ，2个平面法向量的夹角φ，则θ和φ相等或互补，这两个角的余弦值相等或相反．20．（16分）（2009•上海）有时可用函数f（x）=，描述学习某学科知识的掌握程度．其中x表示某学科知识的学习次数（x∈N*），f（x）表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关．（1）证明：当x≥7时，掌握程度的增长量f（x+1）﹣f（x）总是下降；（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为（115，121]，（121，127]，（127，133]．当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科．【考点】分段函数的应用．【专题】应用题；探究型；数学模型法．【分析】（1）x≥7时，作差求出增长量f（x+1）﹣f（x），研究其单调性知，差是一个减函数，故掌握程度的增长量总是下降、（2）学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，故得方程由此方程解出a的值即可确定相应的学科．【解答】证明：（1）当x≥7时，而当x≥7时，函数y=（x﹣3）（x﹣4）单调递增，且（x﹣3）（x﹣4）＞0故函数f（x+1）﹣f（x）单调递减当x≥7时，掌握程度的增长量f（x+1）﹣f（x）总是下降（2）由题意可知整理得解得（13分）由此可知，该学科是乙学科..（14分）【点评】本题是分段函数在实际问题中的应用，在实际问题中，分段函数是一个很重要的函数模型．21．（16分）（2009•上海）已知双曲线，设直线l过点，（1）当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线l的方程及l与m的距离；（2）证明：当k＞时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）先求出双曲线的渐近线方程，进而可得到直线l的斜率，然后根据直线l过点求出直线l的方程，再由平行线间的距离公式可求直线l的方程及l与m 的距离．（2）设过原点且平行于l的直线方程利用直线与直线的距离求得l与b的距离，当k＞时，可推断出，利用双曲线的渐近线方程可知双曲线C的右支在直线b的右下方，进而推断出双曲线C的右支上的任意点到直线l的距离大于，进而可知故在双曲线C的右支上不存在点Q（x0，y0）到到直线l的距离为．【解答】解：（1）双曲线C的渐近线，即∴直线l的方程∴直线l与m的距离．（2）设过原点且平行于l的直线b：kx﹣y=0，则直线l与b的距离d=，当时，．又双曲线C的渐近线为，∴双曲线C的右支在直线b的右下方，∴双曲线C的右支上的任意点到直线l的距离大于．故在双曲线C的右支上不存在点Q（x0，y0）到到直线l的距离为．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．22．（16分）（2009•上海）已知函数y=f（x）的反函数．定义：若对给定的实数a（a≠0），函数y=f（x+a）与y=f﹣1（x+a）互为反函数，则称y=f（x）满足“a和性质”；若函数y=f（ax）与y=f﹣1（ax）互为反函数，则称y=f（x）满足“a积性质”．（1）判断函数g（x）=x2+1（x＞0）是否满足“1和性质”，并说明理由；（2）求所有满足“2和性质”的一次函数；（3）设函数y=f（x）（x＞0）对任何a＞0，满足“a积性质”．求y=f（x）的表达式．【考点】反函数；函数解析式的求解及常用方法．【专题】压轴题；新定义．【分析】（1）先求出g﹣1（x）的解析式，换元可得g﹣1（x+1）的解析式，将此解析式与g （x+1）的作对比，看是否满足互为反函数．（2）先求出f﹣1（x）的解析式，再求出f﹣1（x+2）的解析式，再由f（x+2）的解析式，求出f﹣1（x+2）的解析式，用两种方法得到的f﹣1（x+2）的解析式应该相同，解方程求得满足条件的一次函数f（x）的解析式．（3）设点（x0，y0）在y=f（ax）图象上，则（y0，x0）在函数y=f﹣1（ax）图象上，可得ay0=f （x0）=af（ax0），，即，即满足条件．【解答】解（1）函数g（x）=x2+1（x＞0）的反函数是，∴，而g（x+1）=（x+1）2+1（x＞﹣1），其反函数为，故函数g（x）=x2+1（x＞0）不满足“1和性质”．（2）设函数f（x）=kx+b（x∈R）满足“2和性质”，k≠0．∴，∴，而f（x+2）=k（x+2）+b（x∈R），得反函数，由“2和性质”定义可知，对（x∈R）恒成立．∴k=﹣1，b∈R，即所求一次函数f（x）=﹣x+b（b∈R）．（3）设a＞0，x0＞0，且点（x0，y0）在y=f（ax）图象上，则（y0，x0）在函数y=f﹣1（ax）图象上，故，可得ay0=f（x0）=af（ax0），令ax0=x，则，∴，即．综上所述，，此时，其反函数是，而，故y=f（ax）与y=f﹣1（ax）互为反函数．【点评】本题考查反函数的求法，函数与反函数的图象间的关系，体现了换元的思想，属于中档题．23．（16分）（2009•上海）已知{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列．（1）若a n=3n+1，是否存在m、k∈N*，有a m+a m+1=a k？说明理由；（2）找出所有数列{a n}和{b n}，使对一切n∈N*，，并说明理由；（3）若a1=5，d=4，b1=q=3，试确定所有的p，使数列{a n}中存在某个连续p项的和是数列{b n}中的一项，请证明．【考点】等差数列与等比数列的综合；等差数列的性质；数列递推式．【专题】综合题；压轴题；分类讨论；转化思想．【分析】（1）由a m+a m+1=a k，得6m+5=3k+1，，由m、k∈N*，知k﹣2m为整数，所以不存在m、k∈N*，使等式成立．（2）设a n=nd+c，若，对n∈N×都成立，且{b n}为等比数列，则，对n∈N×都成立，由此入手能够导出有a n=c≠0，b n=1，使对一切n∈N×，．（3）a n=4n+1，b n=3n，n∈N*，设a m+1+a m+2++a m+p=b k=3k，p、k∈N*，m∈N．4m+2p+3+，由p、k∈N*，知p=3s，s∈N．由此入手能导出当且仅当p=3s，s∈N，命题成立．【解答】解：（1）由a m+a m+1=a k，得6m+5=3k+1，整理后，可得，∵m、k∈N*，∴k﹣2m为整数，∴不存在m、k∈N*，使等式成立．（2）设a n=nd+c，若，对n∈N×都成立，且{b n}为等比数列，则，对n∈N×都成立，即a n a n+2=qa n+12，∴（dn+c）（dn+2d+c）=q（dn+d+c）2，对n∈N×都成立，∴d2=qd2（i）若d=0，则a n=c≠0，∴b n=1，n∈N*．（ii）若d≠0，则q=1，∴b n=m（常数），即=m，则d=0，矛盾．综上所述，有a n=c≠0，b n=1，使对一切n∈N×，．（3）a n=4n+1，b n=3n，n∈N*，设a m+1+a m+2++a m+p=b k=3k，p、k∈N*，m∈N．，∴，∵p、k∈N*，∴p=3s，s∈N取k=3s+2，4m=32s+2﹣2×3s﹣3=（4﹣1）2s+2﹣2×（4﹣1）s﹣3≥0，由二项展开式可得整数M1、M2，使得（4﹣1）2s+2=4M1+1，2×（4﹣1）s=8M2+（﹣1）S2∴4m=4（M1﹣2M2）﹣（（﹣1）S+1）2，∴存在整数m满足要求．故当且仅当p=3s，s∈N，命题成立．【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．。
2009年上海高三数学四校质量调研试卷文理有答案
2009年上海市四校高三质量调研数学（理科）试题考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、准考证号填写清楚. 2得5分，否则一律得零分。
1．已知a R ∈，若(1)(32)ai i -+为纯虚数，则a 的值为________________。
2．已知集合{}2|0A x x x a =-+>，且1A ∈，则实数a 的取值范围是____________。
3．已知函数22()log (1)(0)f x x x =+≤，1(2)___________f -=则。
4．球面上有A 、B 、C 三点，AB ＝AC ＝2，90BAC ∠=，球心到平面ABC 的距离为1，则球的表面积为_______________。
5．已知数列{}n a 满足：113a =，且对任意的正整数n ，都有113n n a a +=，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则____________n n lim S →∞=。
6．若()3211nn x x ax bx +=+++++，且3a b =，则n =_________。
7．已知双曲线2221(0)x y a a-=>的左焦点在抛物线216y x =的准线上，则_____a =。
8．已知对于任意实数x ，函数)(x f 满足(1)(1)f x f x -=+，若方程0)(=x f 有且仅有2009个实数解，则这2009个实数解之和为 。
9．袋中有3个白球，2个红球和若干个黑球（球的大小均相同），从中任取2个球，设每取得一个黑球得0分，每取得一个白球得1分，每取得一个红球得2分，已知得0分的概率为61，则袋中黑球的个数为____________。
10．ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，已知060=A ，7=a ，现有以下判断: ① c b +不．可能．．等于15；② 若12=⋅AC AB ,则36=∆ABC S ；③若3=b ,则B 有两解。
普陀区高三质量调研数学试卷标准答案及解答参考(交流)(打印版)
09学年度第一学期高三质量调研数学试卷参考答案一、填空题(每题4分，满分56分):1.23π； 2. 2； 3. (2,0)-； 4. 7x =； 5. 1arccos 3-； 6. 94； 7. 2；1； 9. 3π； 10. 90︒； 11. 2lg n +；12. (1)34A ←; (2)()11/^2A A N ←*-； (错一个即不得分)13. 0a >且0a b +=；(该结论的等价形式都对)；14. (4-+. 二、选择题(每题4分，满分16分):三、解答题: 19.(满分14分)解:依题意，得{}()()220,12,A x x x =-->=-∞-+∞，(]3100,3B x x ⎧⎫=-≥=⎨⎬⎩⎭，于是可解得(]2,3A B =.设集合{}20C x x p =+<，则,2p x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭. 由于α是β的充分条件，所以A B C ⊆.则须满足362pp <-⇒<-. 所以，实数p 的取值范围是(),6-∞-. 20. (本题满分14分，其中第1小题7分，第2小题7分) 解:(1)(文)因为4sin302OB =︒=，4cos3023OA =︒=，所以218333V OB OA ππ=⋅⋅=. (1)(理)解法一:设OB 中点为E ，联结CE 、DE ，则设异面直线AO 与CD 所成角即为CDE ∠.由//DE AO ，所以DE ⊥底面COB ，于是DE CE ⊥. 又132DE AO ==，225CE CO EO =+=, 因此，15tan 3CDE ∠=. 即异面直线AO 与CD 所成角的大小为15arctan 3． 第20题图ABODCE解法二:以OC 为x 轴，OB 为y 轴，OA 为z 轴，建立空间直角坐标系，则(000)O ，，，(0023)A ，，，(200)C ，，，(013)D ，，， (0023)OA ∴=，，，(213)CD =-，，，设异面直线AO 与CD 所成角为θ， 则66cos 42322OA CD OA CDθ⋅===⋅⋅． ∴异面直线AO 与CD 所成角的大小为6arccos4． (2)文科同理科(1)，评分标准见理科解法一.(2)(理科)由条件，底面圆周长为24OB ππ⋅=，母线长4AB =.故该圆锥体侧面展开图的扇形圆心角大小为244r l ππθπ===， 即展开图恰好为一个半圆(如图). 由条件2BOC π∠=，故展开图中， 4CAB π∠=，此时CD 的长即为所求.由余弦定理，2222cos 452082CD CA AD CA AD =+-⋅⋅︒=-，故从点C 出发在圆锥体表面运动到点D 的最短距离为2522-. v v==，v v v ⎫==++⎪⎭680v k=⇒=，于是680k≥时，268036170k k =；680k=时，DBAC。
2009年上海高考数学试卷及答案(理科)_共12页
2009年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（理工农医类）一．真空题 （本大题满分56分）1．若复数z 满足z (1+i) =1-i (I 是虚数单位)，则其共轭复数=__________________ .z 2．已知集合，，且|1A x x |B x x a ，A BR 则实数a 的取值范围是______________________ .3．若行列式中，元素4的代数余子式大于0，417 5 xx 38 9则x 满足的条件是________________________ .4．某算法的程序框如右图所示，则输出量y 与输入量x 满足的关系式是____________________________ .5．如图，若正四棱柱的底面连长为2，高1111ABCDA B C D 为4，则异面直线与AD 所成角的大小是______________（结1BD 果用反三角函数表示）.6．函数的最小值是_____________________ .22cos sin 2yx x 7．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望____________（结果用最简分数表示）.E 8.已知三个球的半径，，满足，则它们的表面积，，，满1R 2R 3R 32132R R R 1S 2S 3S 足的等量关系是___________.9.已知、是椭圆（＞＞0）的两个焦点，为椭圆上一点，且1F 2F 1:2222by ax C a b P C .若的面积为9，则=____________.21PF PF 21F PF b 10.在极坐标系中，由三条直线，，围成图形的面积是031sin cos ________.11.当，不等式成立，则实数的取值范围是_______________.时10x kx x 2sin k 12．已知函数.项数为27的等差数列满足，且公差x x x f tan sin )(n a 22，na .若，则当=____________是，.0d0)()()(2721a f a f a f k 0)(k a f 13.某地街道呈现东—西、南—北向的网格状，相邻街距都为 1.两街道相交的点称为格点。
2009学年度普陀区第一学期高三质量调研物理卷
2009学年度普陀区第一学期高三质量调研物理卷2010.1. 说明：本卷考试时间120分钟，满分150分，共33题。
第29、30、31、32、33题要求写出解答过程，只有答案不得分。
本试卷g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。
一、（56分）选择题。
本大题分单项选择题和多项选择题，共20小题。
单项选择题有16小题，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。
单项选择题分Ⅰ类和Ⅱ类，Ⅰ类有8小题，选对的得2分，Ⅱ类有8小题，选对的得3分；多项选择题有4小题，每小题给出的四个选项中，有二个或二个以上是正确的，选对的得4分，选对但不全，得部分分；有选错或不答的，得0分。
Ⅰ、单项选择题1、以下说法中，不正确的是：（）A、教练员研究运动员跑步的动作时，运动员可以视为质点。
B、作用力是弹力，则对应的反作用力也是弹力。
C、只要物体所受外力不为零，则物体的运动状态一定改变。
D、物体不受外力作用时，物体也可能保持运动状态。
2、一物体从A点静止出发，做匀加速直线运动，紧接着又做匀减速直线运动，到达B 点时恰好停止。
则在先后两个运动过程中：（）A、时间一定相同。
B、平均速度一定相同。
C、加速度的大小一定相同。
D、物体通过的路程一定相等。
3、如图所示，光滑的斜劈放在水平面上，斜面上用固定的竖直板挡住一个光滑球，当整个装置沿水平面以速度v匀速运动时，以下说法中正确的是；( )A、小球的重力不做功。
B、斜面对球的弹力不做功。
C、挡板对球的弹力不做功。
D、以上三种说法都正确。
4、一小钢球从水泥地面上方自由下落、经过时间t0又弹回到原来的位置．则整个过程中小球速度随时间的变化规律可用图中哪一个图象来表示(不计小球与地面接触的时间）：（）5、如图所示，两端开口的U形管中装有水银，在右管中用水银封闭着一段空气，要使两侧水银面高度差h增大，应：（）A、从左侧管口滴入水银。
B、从右侧管口滴入水银。
2009年上海高考数学试卷及答案(理科)
2009年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（理工农医类）一．真空题 （本大题满分56分）1． 若复数 z 满足z (1+i) =1-i (I 是虚数单位)，则其共轭复数z =__________________ .2． 已知集合=≤A x x |1}{，=≥B x x a |}{，且⋃=A B R ，则实数a 的取值范围是______________________ .3． 若行列式 8 9x 3 5 x714中，元素4的代数余子式大于0，则x 满足的条件是________________________ .4．某算法的程序框如右图所示，则输出量y 与输入量x 满足的关系式是____________________________ .5．如图，若正四棱柱-ABCD A B C D 1111的底面连长为2，高 为4，则异面直线BD 1与AD 所成角的大小是______________（结果用反三角函数表示）.6．函数=+y x x 2cos sin 22的最小值是_____________________ .7．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望ξE ____________（结果用最简分数表示）. 8.已知三个球的半径R 1，R 2，R 3满足+=R R R 23123，则它们的表面积S 1，S 2，S 3，满足的等量关系是___________.9.已知F 1、F 2是椭圆C x a y b+=2222:1（a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且⊥PF PF 12.若∆PF F 12的面积为9，则b =____________.10.在极坐标系中，由三条直线θ=0，=θπ3，ρθρθ+=cos sin 1围成图形的面积是________.11.当x ≤≤01时，不等式πsin2≥xkx 成立，则实数k 的取值范围是_______________.12．已知函数=+()sin tan f x x x .项数为27的等差数列a n }{满足a n ，ππ22∈-⎛⎝⎫⎭⎪，且公差d ≠0.若f a f a f a ++⋯+=1227()()()0，则当k =____________是，f a k =()0.13.某地街道呈现东—西、南—北向的网格状，相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点。
2009年高考上海数学试题答案(理数)
2009年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页，满分150分，考试时间120分钟。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答;不能写在试题卷上; 如需改动，先画掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸,修正带,不按以上要求作答的答案无效。
4. 填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
参考公式：柱体的体积公式V=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是锥体的高。
锥体的体积公式V=13Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。
注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、姓名、考号填写清楚. 2．本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．已知函数)0(1)(2≥+=x x x f 的反函数为1()f x -，则=-)5(1f __________.2．椭圆15922=+y x 的焦点坐标为____________. 3．方向向量为(3,4)d =，且过点)1,1(A 的直线l 的方程是__________.4．若0)1(lim =-∞→nn a ，则实数a 的取值范围是__________.5．某个线性方程组的增广矩阵是⎪⎪⎭⎫⎝⎛110201，此方程组的解记为),(b a ，则行列式123212a b 的值是__________. 6．某校师生共1200人，其中学生1000人，教师200人。
上海市普陀区高三数学上学期调研试卷 理(含解析)
2015-2016学年上海市普陀区高三（上）调研数学试卷（理科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分.1．集合A={3，2a}，B={a，b}，若A∩B={2}，则A∪B=．2．函数f（x）=x2﹣1（x≤﹣1）的反函数f﹣1（x）= ．3．函数y=2﹣sin2ωx的最小正周期为π，则实数ω的值为．4．已知数列{a n}的前n项的和（a∈R）．则a8= ．5．若，且α是第二象限的角．则= ．6．若不等式|x﹣1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是．7．已知圆锥的侧面展开图是圆心角为、半径为6的扇形．则该圆锥的体积为．8．函数，当n=1，2，3，…时，f n（x）的零点依次记作x1，x2，x3，…，则= ．9．设f（x）=ax2+2x﹣3，g（x）=x2+（1﹣a）x﹣a，M={x|f（x）≤0}，P={x|g（x）≥0}．若M∩P=R，则实数a的取值集合为．10．不等式对一切非零实数x，y均成立，则实数a的范围为．11．如果用反证法证明“数列{a n}的各项均小于2”，有下列四种不同的假设：①数列{a n}的各项均大于2；②数列{a n}的各项均大于或等于2；③数列{a n}中存在一项a k，a k≥2；④数列{a n}中存在一项a k，a k＞2．其中正确的序号为．（填写出所有假设正确的序号）12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则△ABC 的最小角等于．13．如果定义在R上的函数f（x）对任意两个不等的实数x1，x2都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数f（x）为“Z函数”．给出函数：①y=﹣x3+1；②y=2x；③；④．以上函数为“Z函数”的序号为．14．已知等比数列{a n}的首项为，公比为﹣，其前n项和记为S，又设B n={，，，…， }（n∈N*，n≥2），B n的所有非空子集中的最小元素的和为T，则S+2T≥2014的最小正整数为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号涂在答题纸相应的位置上.每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个一律得零分. 15．在自然界中存在着大量的周期函数，比如声波．若两个声波随时间的变化规律分别为：，则这两个声波合成后（即y=y1+y2）的声波的振幅为（）A．B．6 C．D．316．异面直线a、b分别在平面α、β内，若α∩β=ℓ，则直线ℓ必定是（）A．分别与a、b相交B．与a、b都不相交C．至少与a、b中之一相交D．至多与a、b中之一相交17．设等差数列{a n}的前n项和为S n，在同一个坐标系中，a n=f（n）及S n=g（n）的部分图象如图所示，则（）A．当n=4时，S n取得最大值B．当n=3时，S n取得最大值C．当n=4时，S n取得最小值D．当n=3时，S n取得最大值18．已知函数f（x）=，若存在实数x1，x2，x3，x4，满足x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），则的取值范围是（）A．（0，12）B．（4，16）C．（9，21）D．（15，25）三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.19．在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AC⊥BC，D、E分别为AB、AC中点．（1）求证：DE∥面BCC1B1；（2）若CB=1，，．求异面直线A1E和CD所成角的大小．20．已知函数f（x）=sinωx（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示．P、Q分别是图象上的一个最高点和最低点，R为图象与x轴的交点，且四边形OQRP为矩形．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，得到函数y=g（x）的图象．已知，g（α）=，求f（α）的值．21．某中学为了落实“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S的矩形AMPN健身场地．如图，点M在AC上，点N在AB上，且P点在斜边BC上，已知∠ACB=60°且|AC|=30米，|AM|=x米，x∈[10，20]．（1）试用x表示S，并求S的取值范围；（2）若在矩形AMPN以外（阴影部分）铺上草坪．已知：矩形AMPN健身场地每平方米的造价为，草坪的每平方米的造价为（k为正常数）．设总造价T关于S的函数为T=f（S），试问：如何选取|AM|的长，才能使总造价T最低．22．已知函数f（x）=2x+b，g（x）=x2+bx+c，其中b、c∈R，设．（1）如果h（x）为奇函数，求实数b、c满足的条件；（2）在（1）的条件下，若函数h（x）在区间[2，+∞）上为增函数，求c的取值范围；（3）若对任意的x∈R恒有f（x）≤g（x）成立．证明：当x≥0时，g（x）≤（x+c）2成立．23．定义：对于数列{x n}，如果存在常数p，使对任意正整数n，总有（x n+1﹣p）（x n﹣p）＜0成立，那么我们称数列{x n}为“p﹣摆动数列”．（1）设a n=2n﹣1，（﹣1＜q＜0），n∈N*，判断数列{a n}、{b n}是否为“p﹣摆动数列”，并说明理由；（2）已知“p﹣摆动数列”{c n}满足：，c1=1．求常数p的值；（3）设，n∈N*，且数列{d n}的前n项和为S n．求证：数列{S n}是“p ﹣摆动数列”，并求出常数p的取值范围．2015-2016学年上海市普陀区高三（上）调研数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分.1．集合A={3，2a}，B={a，b}，若A∩B={2}，则A∪B={1，2，3} ．【考点】并集及其运算；交集及其运算．【分析】根据题意，若A∩B={2}，则2∈A，则可得2a=2，可得a的值，进而可得b的值，再由并集的意义，可得答案．【解答】解：根据题意，若A∩B={2}，则2∈A，2∈B，而已知A={3，2a}，则必有2a=2，故a=1，又由2∈B，且a=1则b=2，故A∪B={1，2，3}，故答案为{1，2，3}．【点评】本题综合考查并集、交集的意义与运算，要求学生有一定的逻辑分析能力．2．函数f（x）=x2﹣1（x≤﹣1）的反函数f﹣1（x）= ．【考点】反函数．【专题】方程思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】由函数y=x2﹣1（x≤﹣1），可得x=，（y≥0）．即可得出反函数．【解答】解：由函数y=x2﹣1（x≤﹣1），可得x=，（y≥0）．∴函数f（x）的反函数f﹣1（x）=﹣（x≥0）．故答案为：﹣（x≥0）．【点评】本题考查了反函数的求法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．函数y=2﹣sin2ωx的最小正周期为π，则实数ω的值为±1．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题；函数思想；三角函数的求值．【分析】利用二倍角的余弦函数，化简求解函数的周期即可．【解答】解：函数y=2﹣sin2ωx=2﹣=cos2ωx+，函数y=2﹣sin2ωx的最小正周期为π，可得：，解得实数ω=±1．故答案为：±1．【点评】本题考查二倍角公式的应用，函数的周期的求法，考查计算能力．4．已知数列{a n}的前n项的和（a∈R）．则a8= 128 ．【考点】数列的函数特性．【专题】方程思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由（a∈R）．可得当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，即可得出．【解答】解：∵（a∈R）．∴当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣a﹣（2n﹣1﹣a）=2n﹣1，∴a8=27=128．故答案为：128．【点评】本题考查了递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．若，且α是第二象限的角．则= ．【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】计算题；转化思想；三角函数的求值．【分析】由sinα的值及α是第二象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，原式利用诱导公式化简，将cosα的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵sinα=，且α是第二象限的角，∴cosα=﹣=﹣，则原式=﹣cosα=，故答案为：【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．6．若不等式|x﹣1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是[3，+∞）．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】计算题．【分析】先求出不等式|x﹣1|＜a的解集为集合B，再根据条件可知{x|0＜x＜4}⊂B，建立关于a的不等式组，解之从而确定 a的取值范围．【解答】解：|x﹣1|＜a⇒1﹣a＜x＜a+1由题意可知﹣≤x＜0 0＜x＜4是1﹣a＜x＜a+1成立的充分不必要条件∴解得a≥3∴实数a的取值范围是[3，+∞）故答案为：[3，+∞）【点评】本题考查充分不必要条件的应用，解题时要注意含绝对值不等式的解法和应用，属于基础题．7．已知圆锥的侧面展开图是圆心角为、半径为6的扇形．则该圆锥的体积为．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】计算题；转化思想；空间位置关系与距离．【分析】首先求出底面圆的半径，再利用勾股定理求出圆锥的高，代入圆锥体积公式，可得答案．【解答】解：∵圆锥的侧面展开图是圆心角为、半径为6的扇形．，圆锥的母线l满足： =，解得：r=2，∴这个圆锥的高是：h==4．故圆锥的体积：V=πr2h=，故答案为：【点评】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．8．函数，当n=1，2，3，…时，f n（x）的零点依次记作x1，x2，x3，…，则= ﹣2 ．【考点】极限及其运算；函数的零点．【专题】计算题；极限思想；转化法；导数的概念及应用．【分析】先求出函数的零点，x n=﹣﹣1，再求极限．【解答】解：令f n（x）=0得，+（x+1）=0，解得x n=﹣﹣1，其中，=1，所以， x n=﹣﹣1=﹣1﹣1=﹣2，故填：﹣2．【点评】本题主要考查了极限及其运算，以及函数零点的求解，属于基础题．9．设f（x）=ax2+2x﹣3，g（x）=x2+（1﹣a）x﹣a，M={x|f（x）≤0}，P={x|g（x）≥0}．若M∩P=R，则实数a的取值集合为{﹣1} ．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；集合．【分析】M∩P=R，M=P=R，利用判别式，即可得出结论．【解答】解：∵M∩P=R，∴M=P=R，∴，且（1﹣a）2+4a≤0，∴a=﹣1，故答案为：{﹣1}．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．10．不等式对一切非零实数x，y均成立，则实数a的范围为[1，3] ．【考点】绝对值三角不等式．【专题】计算题．【分析】由对勾函数的性质，我们可以求出不等式左边的最小值，再由三角函数的性质，我们可以求出siny的最大值，若不等式恒成立，则|a﹣2|≤1，解这个绝对值不等式，即可得到答案．【解答】解：∵∈（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）∴||∈[2，+∞），其最小值为2又∵siny的最大值为1故不等式恒成立时，有|a﹣2|≤1解得a∈[1，3]故答案为[1，3]【点评】本题考查的知识点是绝对值三角不等式的解法，其中根据对勾函数及三角函数的性质，将不等式恒成立转化为|a﹣2|≤1，是解答本题的关键．11．如果用反证法证明“数列{a n}的各项均小于2”，有下列四种不同的假设：①数列{a n}的各项均大于2；②数列{a n}的各项均大于或等于2；③数列{a n}中存在一项a k，a k≥2；④数列{a n}中存在一项a k，a k＞2．其中正确的序号为③．（填写出所有假设正确的序号）【考点】反证法与放缩法．【专题】证明题；转化思想；综合法；推理和证明．【分析】由于用反证法证明命题时，应先假设命题的否定成立，而“数列{a n}的各项均小于2”的否定为：“数列{a n}中存在一项a k，a k≥2”，由此得出选项．【解答】解：用反证法证明命题时，应先假设命题的否定成立，“数列{a n}的各项均小于2”的否定为：“数列{a n}中存在一项a k，a k≥2”，故答案为：③．【点评】本题主要考查用命题的否定，反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口．12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则△ABC 的最小角等于．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】方程思想；转化思想；平面向量及应用．【分析】，化为（20a﹣15b）+（12c﹣20a）=，根据，不共线，可得20a﹣15b=12c﹣20a=0，再利用余弦定理即可得出．【解答】解：∵，∴20a+15b+12c=0，化为（20a﹣15b）+（12c﹣20a）=，∵，不共线，∴20a﹣15b=12c﹣20a=0，化为b=a，c=a．∴边a最小，因此角A最小，由余弦定理可得：cosA===．∴A=arccos．故答案为：arccos．【点评】本题考查了向量三角形法则、向量共线共面定理、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．如果定义在R上的函数f（x）对任意两个不等的实数x1，x2都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数f（x）为“Z函数”．给出函数：①y=﹣x3+1；②y=2x；③；④．以上函数为“Z函数”的序号为②④，．【考点】函数与方程的综合运用；函数的值．【专题】计算题；新定义；函数思想；转化思想；函数的性质及应用．【分析】利用已知条件推出函数的单调性，然后判断即可．【解答】解：定义在R上的函数f（x）对任意两个不等的实数x1，x2都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f （x2）+x2f（x1），可得：x1[f（x1）﹣f（x2）]＞x2[f（x1）﹣f（x2）]，即（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，∴函数f（x）为“Z函数”．就是增函数．①y=﹣x3+1；是减函数，不是“Z函数”．②y=2x；是增函数，是“Z函数”．③；表示增函数，不是“Z函数”．④．函数是增函数，是“Z函数”．故答案为：②④．【点评】本题考查函数的新定义，函数的单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．14．已知等比数列{a n}的首项为，公比为﹣，其前n项和记为S，又设B n={，，，…， }（n∈N*，n≥2），B n的所有非空子集中的最小元素的和为T，则S+2T≥2014的最小正整数为45 ．【考点】等比数列的性质．【专题】综合题；等差数列与等比数列．【分析】求出等比数列{a n}的前n项和S，B n的所有非空子集中的最小元素的和为T，利用S+2T≥2014，即可求出最小正整数．【解答】解：∵等比数列{a n}的首项为，公比为﹣，其前n项和记为S，∴S=1﹣，当n=2时，B n的所有非空子集为：{， }，{}，{}，∴S==；当n=3时，∴S=×4+×1+×2=4；当n≥4时，当最小值为时，每个元素都有或无两种情况，共有n﹣1个元素，共有2n﹣1﹣1个非空子集，S1=；当最小值为，不含，含，共n﹣2个元素，有2n﹣2﹣1个非空子集，，…∴T=S1+S2+S3+…+S n=++…++2++=∵S+2T≥2014，∴1﹣+n2﹣1≥2014∴n≥45．故答案为：45．【点评】本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要熟练掌握集合的子集的概念，注意分类讨论思想的灵活运用．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号涂在答题纸相应的位置上.每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个一律得零分. 15．在自然界中存在着大量的周期函数，比如声波．若两个声波随时间的变化规律分别为：，则这两个声波合成后（即y=y1+y2）的声波的振幅为（）A．B．6 C．D．3【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【专题】整体思想；定义法；三角函数的图像与性质．【分析】根据三角函数的辅助角公式，结合两角和差的正弦公式将函数进行化简即可得到结论．【解答】解：∵，∴y=y1+y2=3sin（100πt）+3cos（100πt+）=3sin（100πt）+3cos100πtcos﹣3sin（100πt）sin=3sin（100πt）+cos100πt﹣sin（100πt）=sin（100πt）+cos100πt=3sin（100πt+），则函数的振幅为3，故选：D．【点评】本题主要考查三角函数的化简，利用辅助角公式是解决本题的关键．16．异面直线a、b分别在平面α、β内，若α∩β=ℓ，则直线ℓ必定是（）A．分别与a、b相交B．与a、b都不相交C．至少与a、b中之一相交D．至多与a、b中之一相交【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】证明题．【分析】由题意直线ℓ与a、b可都相交，也可只与一条相交，故A、B、D错误；但直线ℓ不会与两条都不相交，可由反证法进行证明．【解答】解：由题意直线ℓ与a、b可都相交，也可只与一条相交，故A、B、错误；但直线ℓ不会与两条都不相交，若l与a、b都不相交，因为l与a都在α内，所以l∥a，同理l∥b，所以a∥b，这与a、b异面直线矛盾，故直线ℓ至少与a、b中之一相交．C正确．故选C【点评】本题考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查推理能力和空间想象能力．17．设等差数列{a n}的前n项和为S n，在同一个坐标系中，a n=f（n）及S n=g（n）的部分图象如图所示，则（）A．当n=4时，S n取得最大值B．当n=3时，S n取得最大值C．当n=4时，S n取得最小值D．当n=3时，S n取得最大值【考点】数列的函数特性．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由图象可知可能：①a7=0.7，S7=﹣0.8，a8=﹣0.4．②a7=0.7，S7=﹣0.8，S8=﹣0.4．③a7=﹣0.8，S7=0.7，a8=﹣0.4．④a7=﹣0.8，S7=0.7，S8=﹣0.4．分别利用等差数列的通项公式及其前n 项和公式即可判断出．【解答】解：由图象可知可能：①a7=0.7，S7=﹣0.8，a8=﹣0.4，由a7=0.7，a8=﹣0.4，可得d=﹣1.1，a1=7.3．∴S7=＞0，与S7=﹣0.8，矛盾，舍去．②a7=0.7，S7=﹣0.8，S8=﹣0.4．由S7=﹣0.8，S8=﹣0.4，可得a8=0.4，∴ =﹣0.4，解得a1=﹣0.5，∴a8=﹣0.5+7d，解得d=≠0.4﹣0.7=﹣0.3，矛盾，舍去．③a7=﹣0.8，S7=0.7，a8=﹣0.4．由a7=﹣0.8，S7=0.7，可得=0.7，解得a1=1，∴﹣0.8=1+6d，解得d=﹣0.3，而﹣0.4﹣（﹣0.8）=0.4，矛盾，舍去．④a7=﹣0.8，S7=0.7，S8=﹣0.4．由a7=﹣0.8，S7=0.7，可得，解得a1=1．∴﹣0.8=1+6d，解得d=﹣0.3，∴a8=﹣0.8﹣0.3=﹣1.1，∴S8=0.7﹣1.1=﹣0.4，满足条件．∴a n=a1+（n﹣1）d=1﹣0.3（n﹣1）=1.3﹣0.3n≥0，解得=4+，因此当n=4时，S n取得最大值．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了数形结合的思想方法、分类讨论的方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．18．已知函数f（x）=，若存在实数x1，x2，x3，x4，满足x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），则的取值范围是（）A．（0，12）B．（4，16）C．（9，21）D．（15，25）【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；数形结合；函数的性质及应用．【分析】画出函数f（x）的图象，确定x1x2=1，x3+x4=12，2＜x3＜4，8＜x4＜10，由此可得的取值范围．【解答】解：函数的图象如图所示，∵f（x1）=f（x2），∴﹣log2x1=log2x2，∴log2x1x2=0，∴x1x2=1，∵f（x3）=f（x4），∴x3+x4=12，2＜x3＜x4＜10∴=x3x4﹣2（x3+x4）+4=x3x4﹣20，∵2＜x3＜4，8＜x4＜10∴的取值范围是（0，12）．故选：A．【点评】本小题主要考查分段函数的解析式求法及其图象的作法、函数的值域的应用、函数与方程的综合运用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.19．在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AC⊥BC，D、E分别为AB、AC中点．（1）求证：DE∥面BCC1B1；（2）若CB=1，，．求异面直线A1E和CD所成角的大小．【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）由三角形中位线定理得DE∥BC，由此能证明DE∥面BCC1B1．（2）取AD的中点F，连EF，A1F，则EF∥CD，∠A1EF为异面直线A1E和CD所成角（或其补角），由此能求出∠A1EF为异面直线A1E和CD所成角．【解答】（1）证明：∵D、E分别为AB、AC中点，∴DE∥BC，…∵BC⊆面BCC1B1…DE⊄面BCC1B1…∴DE∥面BCC1B1…（2）解：取AD的中点F，连EF，A1F，∵EF∥CD，∴∠A1EF为异面直线A1E和CD所成角（或其补角）…在△A1EF中，，，，∴…∴∠A1EF为异面直线A1E和CD所成角为…【点评】本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．已知函数f（x）=sinωx（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示．P、Q分别是图象上的一个最高点和最低点，R为图象与x轴的交点，且四边形OQRP为矩形．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，得到函数y=g（x）的图象．已知，g（α）=，求f（α）的值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】（Ⅰ）设函数f（x）的最小正周期为T，则P（，）、Q （，），由四边形为矩形得=T2﹣3=0，故T=4，ω=，即可得f（x）=sin x．（Ⅱ）y=g（x）=f（x﹣）=sin（x﹣）可得sin（α﹣）=，又，可求得cos（α﹣）=﹣，从而可求f（α）的值．【解答】解：（Ⅰ）设函数f（x）的最小正周期为T，则P（，）、Q （，），∵四边形OQRP为矩形．∴OP⊥OQ，∴ =T2﹣3=0，∴T=4．∴ω===，∴f（x）=sin x．（Ⅱ）y=g（x）=f（x﹣）=sin（x﹣），∵g（α）=sin（α﹣）=，∴sin（α﹣）=．又，∴α﹣∈（，π），∴cos（α﹣）=﹣．∴f（α）=sinα=sin[（α﹣）+]= [sin（α﹣）cos+cos（α﹣）sin]= []=．【点评】本题主要考察了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，属于基本知识的考查．21．某中学为了落实“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S的矩形AMPN健身场地．如图，点M在AC上，点N在AB上，且P点在斜边BC上，已知∠ACB=60°且|AC|=30米，|AM|=x米，x∈[10，20]．（1）试用x表示S，并求S的取值范围；（2）若在矩形AMPN以外（阴影部分）铺上草坪．已知：矩形AMPN健身场地每平方米的造价为，草坪的每平方米的造价为（k为正常数）．设总造价T关于S的函数为T=f（S），试问：如何选取|AM|的长，才能使总造价T最低．【考点】不等式的实际应用．【专题】应用题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；不等式．【分析】（1）根据题意，分析可得，欲求健身场地占地面积，只须求出图中矩形的面积即可，再结合矩形的面积计算公式求出它们的面积即得，最后再根据二次函数的性质得出其范围；（2）对于（1）所列不等式，考虑到其中两项之积为定值，可利用基本不等式求它的最大值，从而解决问题．【解答】解：（1）在Rt△PMC中，显然|MC|=30﹣x，∠PCM=60°，∴，…矩形AMPN的面积，x∈[10，20]…于是为所求．…（2）矩形AMPN健身场地造价T1=…又△ABC的面积为，即草坪造价T2=，…由总造价T=T1+T2，∴，．…∵，…当且仅当即时等号成立，…此时，解得x=12或x=18，所以选取|AM|的长为12米或18米时总造价T最低．…【点评】本小题主要考查函数模型的选择与应用、基本不等式的应用、矩形的面积等基础知识，属于中档题．22．已知函数f（x）=2x+b，g（x）=x2+bx+c，其中b、c∈R，设．（1）如果h（x）为奇函数，求实数b、c满足的条件；（2）在（1）的条件下，若函数h（x）在区间[2，+∞）上为增函数，求c的取值范围；（3）若对任意的x∈R恒有f（x）≤g（x）成立．证明：当x≥0时，g（x）≤（x+c）2成立．【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明．【专题】综合题；转化思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据函数奇偶性的定义建立方程关系进行求解即可．（2）根据好是单调性的定义和性质建立不等式关系即可得到结论．（3）根据条件求出c的取值范围，即可得到结论．【解答】解：（1），设的定义域为D，∵h（x）为奇函数，∴对于任意x∈D，h（﹣x）=﹣h（x）成立．…即：化简得：bx2﹣bc=0…因对于任意x∈D都成立，∴，即b=0，c∈R…（2）由（1）知b=0，∴…∵h（x）在[2，+∞）上为增函数，∴任取2≤x1＜x2时，恒成立．…即任取2≤x1＜x2时，1﹣＞0成立，也就是c＜x1x2成立．…∴c≤4，即c的取值范围是（﹣∞，4]．…（3）因为任意的x∈R恒有f（x）≤g（x）成立，所以对任意的x∈R，2x+b≤x2+bx+c，即x2+（b﹣2）x+c﹣b≥0恒成立．…所以判别式△=（b﹣2）2﹣4（c﹣b）≤0，从而c≥+c，∴c≥1，且c=|b|，…因此 c（c﹣1）≥0且2c﹣b=c+（c﹣b）＞0．…故当x≥0时，有（x+c）2﹣g（x）=（2c﹣b）x+c（c﹣1）≥0．…即当x≥0时，g（x）≤（x+c）2成立．…【点评】本题主要考查函数奇偶性的定义和单调性的应用，利用定义法是解决本题的关键．23．定义：对于数列{x n}，如果存在常数p，使对任意正整数n，总有（x n+1﹣p）（x n﹣p）＜0成立，那么我们称数列{x n}为“p﹣摆动数列”．（1）设a n=2n﹣1，（﹣1＜q＜0），n∈N*，判断数列{a n}、{b n}是否为“p﹣摆动数列”，并说明理由；（2）已知“p﹣摆动数列”{c n}满足：，c1=1．求常数p的值；（3）设，n∈N*，且数列{d n}的前n项和为S n．求证：数列{S n}是“p ﹣摆动数列”，并求出常数p的取值范围．【考点】数列的求和；数列的应用；数列递推式．【专题】综合题；转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】（1）假设数列{a n}是“p﹣摆动数列”，即存在常数p，总有2n﹣1＜p＜2n+1对任意n成立，对n取值即可判断出．由，于是（﹣1＜q＜0）对任意n成立，即可判断出．（2）由数列{c n}为“p﹣摆动数列”，c1=1，即存在常数，使对任意正整数n，总有（c n+1﹣p）（c n﹣p）＜0成立；即有（c n+2﹣p）（c n+1﹣p）＜0成立．则（c n+2﹣p）（c n﹣p）＞0，分别利用奇数项与偶数项的单调性即可得出．（3）由，显然存在p=0，使对任意正整数n，总有成立，即可证明数列{S n}是“p﹣摆动数列”；分别利用奇数项与偶数项的单调性即可得出p的取值范围．【解答】解：（1）假设数列{a n}是“p﹣摆动数列”，即存在常数p，总有2n﹣1＜p＜2n+1对任意n成立，不妨取n=1时则1＜p＜3，取n=2时则3＜p＜5，显然常数p不存在，∴数列{a n}不是“p﹣摆动数列”；由，于是对任意n成立，其中p=0．∴数列{b n}是“p﹣摆动数列”．（2）由数列{c n}为“p﹣摆动数列”，c1=1，即存在常数，使对任意正整数n，总有（c n+1﹣p）（c n﹣p）＜0成立；即有（c n+2﹣p）（c n+1﹣p）＜0成立．则（c n+2﹣p）（c n﹣p）＞0，∴c1＞p＞⇒c3＞p⇒…⇒c2n﹣1＞p．同理c2＜p⇒c4＜p⇒…⇒c2n＜p．∴c2n＜p＜c2n﹣1⇒，解得即．同理，解得；即．综上．（3）证明：由，显然存在p=0，使对任意正整数n，总有成立，∴数列{S n}是“p﹣摆动数列”；当n为奇数时S n=﹣n递减，∴S n≤S1=﹣1，只要p＞﹣1即可，当n为偶数时S n=n递增，S n≥S2=2，只要p＜2即可，综上﹣1＜p＜2，p的取值范围是（﹣1，2）．【点评】本题考查了数列的单调性、新定义“p﹣摆动数列”、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
2009届上海高三年级十四校联考理
2009届上海市高三年级十四校联考数学试卷（理科）（考试用时120分钟 满分150分）60分，共12小题，每小题满分 5分）1 .设集合 A = {x | y = . 1 - x}, B = {y | y = 一 1 - x},则 A B =22.不等式0的解是x4.数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,且S n =2a n -1,则｛a n ｝的通项公式为a n = _______5. ___________________________________________________________ 函数f （x ） = 2cosx （sinx • \3cosx ）的单调递增区间是 __________________________________ 。
6. 若函数y = f （x ）存在反函数y = f °（x ）,且函数y = 2x- f （x ）的图象过点（2, 1），则函数y = f 」（x ） — 2x 的图象一定过点 _______ 。
7.如图所示，以圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，则该圆锥与圆柱等底等高。
若圆锥的轴截面是一个正三角形，则圆柱的 侧积面与圆锥的侧面积之比为 _________ ■的函数序号是 ______ 9 .高三（1）班准备在本班7名演讲选手中抽取 5人参加班会课的演讲比赛 （每人演讲一场），若甲、乙两人一定被选中，且甲的出场顺序排在乙的前面（不一定相邻） ，则高三（1）班5名参加演讲的选手出场的顺序有 _______ 种可能（用数字作答）。
10.已知数列｛a n ｝同时满足下面两个条件：①不是常数列；②它的极限就是这个数列中的项。
则此数列的一个通项公式a n = ________ 。
3. limC n 2 2C「 n —「(n 1)2、填空题（本大题满分8. F 面四个函数：①TL=cos(2x —) JI:② y =sin(2x)x H④ y = cos( )中,同时具有 “最小正周期是［图象关于点（一 ,0）对称”两个性质611 •在一个密封的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是。
上海市普陀区高三上学期期末质量调研测试(数学理)
OABP第7题图上海市普陀区2009届高三上学期期末质量调研测试（数学）数学试题（理科）说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟。
本套试卷另附答题纸，每道题的解答必．须写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分依据．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。
一、填空题（本大题满分55分）本大题共有11小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得5分，填错或不填在正确的位置一律得零分. 1．已知集合{}15,N I x x x =<<∈，集合{}2,3A =,则A C 1 ． 2．抛物线28y x =-的焦点坐标为 ．3．已知函数2()321x x f x =⋅+，则11()4f -= ． 4．设定义在R 上的函数()f x 满足()()23f x f x ⋅+=，若()12f =，则()2009f = .5．已知两直线方程分别为1:210l x y --=、2:20l ax y ++=，若12l l ⊥，则直线2l 的一个法向量为n = ． 6．已知sin 2m πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，且α为钝角，则 ()cos πα-= ．7．在120︒的二面角内放一个半径为6的球，使球与两个半平面各只有一个公共点（其过球心且垂直于二面角的棱的直 截面如图所示），则这两个公共点AB 之间的球面距离为 ．8．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若272k S =，且118k k a a +=-，则正整数k = ．9． 一个圆柱形容器的轴截面尺寸如右图所示，容器内有一个实心的球，球的直径恰等于圆柱的高.现用水 将该容器注满，然后取出该球（假设球的密度大于 水且操作过程中水量损失不计），则球取出后，容 器中水面的高度为 cm ．（精确到0.1cm ）10．已知函数2()f x x x =-，若31l o g (2)1f f m ⎛⎫< ⎪+⎝⎭，则实数m 的取值范围是 ．11．下列有关平面向量分解定理的四个命题．．．．中，所有正确命题的序号 第9题是 ．（填写命题所对应的序号即可）① 一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基； ② 一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基； ③ 平面向量的基向量可能互相垂直；④ 一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合. 二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中．每题选对得4分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分. 12．对任意的实数α、β，下列等式恒成立的是 （ ）A ． ()()2sin cos sin sin αβαβαβ⋅=++-；B ． ()()2cos sin sin cos αβαβαβ⋅=++-；C ． cos cos 2sinsin22αβαβαβ+-+=⋅；D ． cos cos 2cos cos 22αβαβαβ+--=⋅. 13．若平面向量(1,)a x =和(23,)b x x =+-互相平行，其中x R ∈.则a b -=（ ）A ． 2-或0；B ．C ． 2或D ．2或10.14．设a 、b 为两条直线，α、β为两个平面．下列四个命题中，正确的命题是 （ ）A ．若a 、b 与α所成的角相等，则a b ∥；B ．若b a b a ⊥⊂⊥≠则.,,αα；C ．若βαβαβα//,//,,则≠≠⊂⊂b a ;D ．若a b αβ，∥∥，αβ∥，则a b ∥. 15．若不等式102x m x m -+<-成立的一个充分非必要条件是1132x <<，则实数m 的取值范围是 （ ）A ．14,,43⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭； B ．14,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦；C ．13,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦；D ．以上结论都不对.三、解答题（本大题满分79分）本大题共有6题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.16．（本题满分12分）设点)0,(m M 在椭圆1121622=+y x 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点．当MP 的模最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数m 的取值范围．17．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知关于x 的不等式2(4)(4)0kx k x --->，其中k R ∈.（1）当k 变化时，试求不等式的解集A ；（2）对于不等式的解集A ，若满足A Z B =（其中Z 为整数集）．试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得集合B 中元素个数最少的k 的所有取值，并用列举法表示集合B ；若不能，请说明理由.18．（本题满分15分，第1小题7分，第2小题8分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC AC BC ==，90ACB ∠=︒，P 是1AA 的中点，Q 是AB 的中点.（1）求异面直线PQ 与1B C 所成角的大小； （2）若直三棱柱111ABC A B C -的体积为12，求四棱锥1C BAPB -的体积.19．（本题满分16分，第1小题10分，第2小题6分）在某个旅游业为主的地区，每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化． 现假设该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数()f n 可近似地用函数()()()100cos2f n A n k ω=⋅++来刻画．其中：正整数n 表示月份且[]1,12n ∈，例如1n =时表示1月份；A 和k 是正整AB C 1A 1B 1C P Q第18题图数；0ω>.统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律： ① 各年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同；② 该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约400人； ③ 2月份该地区从事旅游服务工作的人数约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多.（1）试根据已知信息，确定一个符合条件的()f n 的表达式；（2） 一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过400人时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”．那么，一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由.20．（本题满分22分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题12分）定义：将一个数列中部分项按原来的先后次序排列所成的一个新数列称为原数列的一个子数列.已知无穷等比数列{}n a 的首项、公比均为12. （1）试求无穷等比子数列{}31k a -（*N k ∈）各项的和；（2）是否存在数列{}n a 的一个无穷等比子数列，使得它各项的和为17？若存在，求出所有满足条件的子数列的通项公式；若不存在，请说明理由；（3）试设计一个数学问题，研究：是否存在数列{}n a 的两个（或两个以上）无穷等比子数列，使得其各项和之间满足某种关系.请写出你的问题以及问题的研究过程和研究结论. 【第3小题说明：本小题将根据你所设计的问题的质量分层评分；问题的表达形式可以参考第2小题的表述方法.】参考答案三、解答题：（12’＋14’＋15’＋16’＋22’＝79’）16．（理）解：设),(y x P 为椭圆上的动点，由于椭圆方程为1121622=+y x ，故44≤≤-x ． 因为(),MP x m y =-，所以22222()()12(1)16x MP x m y x m =-+=-+⨯-推出2MP 2222312)4(4112241m m x m mx x -+-=++-=． 依题意可知，当4=x 时，2MP 取得最小值．而[]4,4x ∈-， 故有44≥m ，解得1≥m ．又点M 在椭圆的长轴上，即44≤≤-m ．故实数m 的取值范围是]4,1[∈m ． 17．解：（1）当0k =时，(,4)A =-∞；当0k >且2k ≠时，4(,4)(,)A k k=-∞++∞；当2k =时，(,4)(4,)A =-∞+∞；（不单独分析2k =时的情况不扣分）当0k <时，4(,4)A k k=+． （2）由（1）知：当0k ≥时，集合B 中的元素的个数无限；当0k <时，集合B 中的元素的个数有限，此时集合B 为有限集．因为44k k+≤-，当且仅当2k =-时取等号，所以当2k =-时，集合B 的元素个数最少．此时()4,4A =-，故集合{}3,2,1,0,1,2,3B =---． 18．（本题满分15分，第．1．小题．．7．分，第．．．2．小题．．8．分．）解：（1）如图，建立空间直角坐标系．不妨设12CC AC BC ===． 依题意，可得点的坐标()2,0,1P ，()1,1,0Q ，()10,2,2B ． 于是，()1,1,1PQ =--，()10,2,2B C =--． 由10PQ B C ⋅=，则异面直线PQ 与1B C 所成角的大小为2π． （2）解：连结CQ ． 由AC BC =，Q 是AB 的中点，得CQ AB ⊥;由1AA ⊥面ABC ，CQ面ABC ，得1C Q A A ⊥．又1AA AB A =，因此CQ ⊥面11ABB A由直三棱柱111ABC A B C -的体积为12⇒11CC AC BC ===．可得2CQ =． 所以，四棱锥1C BAPB -的体积为11111111332224C BAPB BAPB V CQ S -⎡⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅+= ⎪⎢⎝⎭⎣．19．解：（1）根据三条规律，可知该函数为周期函数，且周期为12．由此可得，2126T ππωω==⇒=；由规律②可知，max ()(8)100100f n f A k ==+，min ()(2)100100f n f A k ==-+(8)(2)2004002f f A A -==⇒=；又当2n =时，(2)200cos(22)1001006f k π=⋅⋅++=，所以， 2.99k ≈，由条件k 是正整数，故取3k =． 综上可得，()200cos 23006f n n π⎛⎫=++⎪⎝⎭符合条件． （2） 解法一：由条件，200cos 23004006n π⎛⎫++>⎪⎝⎭，可得1cos 262n π⎛⎫+> ⎪⎝⎭222363k n k πππππ⇒-<+<+，k Z ∈66222233k n k ππππππ⎛⎫⎛⎫⇒--<<+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，k Z ∈ 1212122122k n k ππ⇒--<<+-，k Z ∈．因为[]1,12n ∈，*N n ∈，所以当1k =时，6.1810.18n <<，故7,8,9,10n =，即一年中的7，8，9，10四个月是该地区的旅游“旺季”．故一年中的7，8，9，10四个月是该地区的旅游“旺季”． 20．解：（1）依条件得：*31311(N )2k k a k --=∈ 则无穷等比数列31{}k a -各项的和为：223122177128a ==-； （2）解法一：设此子数列的首项为1a ，公比为q ，由条件得：102q <≤， 则1112q ≤-<，即 1121q<≤- 1111(1)[,)7147a q ∴=-∈ 而 *11(N )2m a m =∈ 则 111,88a q ==. 所以，满足条件的无穷等比子数列存在且唯一，它的首项、公比均为18， 其通项公式为18nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，*N n ∈.解法二：由条件，可设此子数列的首项为1a ，公比为12m q =*(N )m ∈． 由*N m ∈⇒10112m<-<⇒1111712m a a <=-………… ① 又若1116a ≤，则对每一*N m ∈都有11111161687111222m m a ≤≤=<---………… ②从①、②得111167a <<⇒118a =； 则11181171122m m a ==--⇒1711288m q ==-=；因而满足条件的无穷等比子数列存在且唯一，此子数列是首项、公比均为18无穷等比子数列，通项公式为18nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，*N n ∈．（3）以下给出若干解答供参考，评分方法参考本小题阅卷说明：问题一：是否存在数列{}n a 的两个不同的无穷等比子数列，使得它们各项的和互为倒数？若存在，求出所有满足条件的子数列；若不存在，说明理由．解：假设存在原数列的两个不同的无穷等比子数列，使它们的各项和之积为1。
上海市普陀区上学期期末质量调研高三数学试卷(理)
上海市普陀区2008-2009学年上学期期末质量调研高三数学试卷（理）说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟。
本套试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分依据。
一、填空题（本大题满分55分）本大题共有11小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得5分，填错或不填在正确的位置一律得零分. 1. 已知集合{}15,N I x x x =<<∈，集合{}2,3A =,则I A =ð .2. 抛物线28y x =-的焦点坐标为 .3. 已知函数2()321x x f x =⋅+，则11()4f -= . 4. 设定义在R 上的函数()f x 满足()()23f x f x ⋅+=，若()12f =，则()2009f = .5. 已知两直线方程分别为1:210l x y --=、2:20l ax y ++=，若12l l ⊥，则直线2l 的一个法向量为n = .6. 已知sin 2m πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，且α为钝角，则()cos πα-= . 7. 在120︒的二面角内放一个半径为6的球，使球与两个半平面各只有一个公共点（其过球心且垂直于二面角的棱的直截面如图所示），则这两个公共点AB 之间的球面距离为 .8. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S . 若272k S =，且118k k a a +=-，则正整数k = .9. 一个圆柱形容器的轴截面尺寸如右图所示，容器内有一个实心的球，球的直径恰等于圆柱的高.现用水将该容器注满，然后取出该球（假设球的密度大于水且操作过程中水量损失不计），则球取出后，容器中水面的高度为 cm. （精确到0.1cm ） 10. 已知函数2()f x x x =-，若31log (2)1f f m ⎛⎫< ⎪+⎝⎭，则实数m 的取值范围是 ． 11. 下列有关平面向量分解定理的四个命题．．．．中，所有正确命题的序号是 . （填写命题所对应的序号即可）① 一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基； ② 一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基； ③ 平面向量的基向量可能互相垂直；④ 一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合.OAB P第7题图第9题二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得4分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分. 12. 对任意的实数α、β，下列等式恒成立的是 （ ）A ． ()()2sin cos sin sin αβαβαβ⋅=++-；B ． ()()2cos sin sin cos αβαβαβ⋅=++-；C ． cos cos 2sin sin22αβαβαβ+-+=⋅；D ． cos cos 2coscos22αβαβαβ+--=⋅.13. 若平面向量(1,)a x =和(23,)b x x =+-互相平行，其中x R ∈.则a b -=（ ） A. 2-或0；B. C. 2或 D. 2或10.14. 设a 、b 为两条直线，、β为两个平面. 下列四个命题中，正确的命题是 （ ）A. 若a 、b 与α所成的角相等，则a b ∥；B. 若,,a b a b αα⊥⊥则Ü；C. 若a b a αββ∥苘，，，则αβ∥； D. 若a b αβ，∥∥，αβ∥，则a b ∥. 15. 若不等式102x m x m -+<-成立的一个充分非必要条件是1132x <<，则实数m 的取值范围是 ( ) A. 14,,43⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭； B. 14,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦； C. 13,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦； D. 以上结论都不对. 三、解答题（本大题满分79分）本大题共有6题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.16. （本题满分12分）设点)0,(m M 在椭圆1121622=+y x 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点. 当MP 的模最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数m 的取值范围． 17. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知关于x 的不等式2(4)(4)0kx k x --->，其中k R ∈. （1） 当k 变化时，试求不等式的解集A ；（2） 对于不等式的解集A ，若满足A Z B =（其中Z 为整数集）. 试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得集合B 中元素个数最少的k 的所有取值，并用列举法表示集合B ；若不能，请说明理由.18. （本题满分15分，第1小题7分，第2小题8分）如图，在直三棱柱111A B C A B C -中，1C C A CB C==，90ACB ∠=︒，P 是1AA 的中点，Q 是AB 的中点.（1）求异面直线PQ 与1B C 所成角的大小；ABC1A 1B 1C PQ第18题图（2）若直三棱柱111ABC A B C -的体积为12，求四棱锥1C BAPB -的体积. 19. （本题满分16分，第1小题10分，第2小题6分）在某个旅游业为主的地区，每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化. 现假设该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数()f n 可近似地用函数()()()100cos 2f n A n k ω=⋅++来刻画. 其中：正整数n 表示月份且[]1,12n ∈，例如1n =时表示1月份；A 和k 是正整数；0ω>.统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：① 各年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同；② 该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约400人； ③ 2月份该地区从事旅游服务工作的人数约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多. （1） 试根据已知信息，确定一个符合条件的()f n 的表达式； （2） 一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过400人时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”. 那么，一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由. 20. （本题满分22分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题12分）定义：将一个数列中部分项按原来的先后次序排列所成的一个新数列称为原数列的一个子数列.已知无穷等比数列{}n a 的首项、公比均为12. （1）试求无穷等比子数列{}31k a -（*N k ∈）各项的和；（2）是否存在数列{}n a 的一个无穷等比子数列，使得它各项的和为17？若存在，求出所有满足条件的子数列的通项公式；若不存在，请说明理由；（3）试设计一个数学问题，研究：是否存在数列{}n a 的两个（或两个以上）无穷等比子数列，使得其各项和之间满足某种关系.请写出你的问题以及问题的研究过程和研究结论. 【第3小题说明：本小题将根据你所设计的问题的质量分层评分；问题的表达形式可以参考第2小题的表述方法.】08学年度第一学期高三质量调研数学试卷参考答案及评分标准二、选择题：（4’×4＝16’） 题号12131415答案 A C B B2MP 2MP 2411241=+=依题意可知，当2MP 在椭圆的长轴上，即4≤≤-m 2FP 2218)4x x =++,x 2FP P 坐标为4(,k k++∞(4,)+∞；（不单独分析4). 0时，集合中的元素的个数有限，此时集合B CC=，则异面直线PQ与1 .小为2=，因此AB A由直三棱柱ABC当当。
2009上海数学调研卷(理)
2009年上海市高三数学教学调研试卷（理科）班级 姓名 学号 成绩 一、填空题：1．方程2log (31)3x -=的解是 。
2．行列式123234345的元素5的代数余子式的值为 。
3．若直线l 过点(1,2)A ，且它的一个方向向量为(1,2)d =， 则直线l 的方程为 。
4．若复数Z 满足Z =，且(13)i Z -是纯虚数， 则复数Z = 。
5．函数()sin 2f x x x =的最小正周期是 。
6．如果()na b +的二项展开式中的第三项与第二项的系数之比为2， （第8题图） 那么正整数n = 。
7．若函数()112x f x =-的反函数是()1f x -，则()11f -的值是 。
8．如果执行右面的程序框图，那么输出的S 的值是 。
9．计算：()()()()123lim()1111n nn n n n n n n n →∞++++=++++ 。
10．若正三角形ABC 的边长为1，O 是ABC ∆所在平面内的任意一点，则2OA OB OC +-= 。
11．如图，圆锥形量杯的口径（圆锥底面的直径）为d ，高为h ，则圆锥形量杯侧面上刻度V （容积）与页面深度x 的函数关系为 。
12．在极坐标系中，若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线4cos ρθ=于,A B 两点 ， 则AB = 。
13．在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽取一件，且不放回抽取，抽到次品的数学期望E ξ的值是 。
14．已知函数()24(1)3(0)f x ax a x a =+-+>的定义域为[]0,2，若()()max 2f x f =，则实数a 的取值范围是 。
二、选择题：15．圆心在直线y x =上，且与x 轴相切于点()1,0的圆的方程为┄┄┄┄┄┄（ ）.A ()()22111x y -+-= ； .B ()()22111x y +++=； .C ()()22111x y -++=； .D ()()22111x y ++-=16．若,,a b c R ∈，则a b >成立的充分非必要条件为┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄（ ）.A 22ac bc > ； .B a c b c +>+； .C a c <且c b <； .D ac bc >17．在直角坐标平面xOy 上，已知点(3,2)A ，点B 在椭圆221168x y +=上运动，动点P 满足AB BP =，那么点P 的轨迹方程是┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄（ ）.A()()223213216x y +++= ； .B()()223216432x y +++=；.C()()223213216x y --+= ； .D()()223216432x y --+=18．已知x 是1,2,3,,5,6,7x 这七个数据的中位数，且21,3,,x y -这四个数据的平均数为1，那么1y x -的最小值是┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄（ ） .A 4255； .B 3155； .C 283； .D 不存在三 、解答题：19．（本题满分12分，第1小题5分，第2小题7分）在直三棱柱111A B C ABC -中，AC BC ⊥，D 为AB 中点，11.CB AC AA ===（1）棱锥1C CDB -的体积； （2）二面角1A AC D --的大小20．（本题满分14分，第一小题满分6分，第二小题满分8分） 已知函数()2af x x x=+（a 为常数）的图像经过点()1,3。
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B 的横坐标、纵坐标和半径 r 的数值构成. 说明你的理由并请尝试给出构造方法.
q ，其中 p 、 q 均为整数且 p 、 q 互质） p
（3）定义：实半轴长 a 、虚半轴长 b 和半焦距 c 都是正整数的双曲线为“整勾股双曲线”. 当 k 为有理数 且 0 k 1 时，试证明：一定能构造偶数个“整勾股双曲线”(规定：实轴长 ．．． 和虚轴长都对应相等的双曲线为同一个双曲线)， 它的实半轴长、 虚半轴长和半焦距的长恰可由点
x
B. a
1 ； 2
C. a 1 ；
D. a 1 或 a 1 . （ ）
18. 对于方程 2 sin x 1 0 ，下列说法错误 的是 ．． A. 该方程没有大于 0 的实数解； C. 该方程在 0, 内有且只有一个实数解； 三、解答题（本大题满分 78 分） 19. （本题满分 14 分） 设函数 f ( x ) lg( x x 2) 的定义域为集合 A ， 函数 g ( x)
2 4 * 判断: 数列 bn an ， n N 是否为一个“ 域收敛数列” ，请说明你的理由. 3 5
n
23. （本题满分 18 分，其中第 1 小题 4 分，第 2 小题 7 分，第 3 小题 7 分.） 如图，已知圆 C : x 2 y 2 r 2 与 x 轴负半轴的交点为 A . 由点 A 出发的射线 l 的斜率为 k . 射线 l 与圆 C 相交于另一点
2009 学年度第一学期普陀区高三年级质量调研 数学试卷 （理科）
一、填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 小题，每题填对得 4 分，填错或不填在正确的位 置一律得零分. 1. 函数 y cos3x ， x R 的最小正周期是 .
2. lim
2n 2 1 n 1 3 5 (2n 1)
（ D . 9. （
）
16. 集合 A 1, 0,1 ， B y y 3x , x A ，则 A B A． 0 ； B． 1 ； C． 0,1 ；
）
D． 1, 0,1 . ）
17. 若直线 l1： x ay 2a 2 与直线 l2： ax y a 1 不重合，则 l1∥l2 的充要条件是（ A. a 1 ；
π ，斜边 AB 4 ， D 是 AB 的中点．现将 Rt△AOB 以 6 直角边 AO 为轴旋转一周得到一个圆锥体，点 C 为圆锥体底面圆周上的一点，且 BOC 90 .
如图，在 Rt△AOB 中， OAB （1）求异面直线 AO 与 CD 所成角的大小； （2）若某动点在圆锥体侧面上运动，试求该动点从点 C 出发运动到点 D 所经过的最短距离.
格（1）处应填入的语句为 13. 对任意的 x1 0 x2 ，若函数
பைடு நூலகம்
；空格（2）处应填入的语句为 y
.
f ( x) a x x1 b x x2 的大致图像为如图所示的一
条折线（两侧的射线均平行于 x 轴） ，试写出 a 、b 应满 足的条件 14. 设关于 x 的方程 . x1
O
第 9 题图
开始
A
x2 y2 1 的左、右焦点．若点 P 在椭 10. 设 F1 ， F2 分别是椭圆 9 4
圆上，且 PF1 PF2 2 5 ，则向量 PF1 与向量 PF2 的夹角的大小 为 ．
1
N 2
否
N 100
11. 在数列 an 中， a1 2, an 1 an lg 1 ＝ .
. （用反三角函数表示）
6. 无穷等比数列 an 的首项为 3，公比 q ，则 an 的各项和 S 7. 已知 f ( x) 2 x ，则 f
x 2 1
.
C B
(6)
. .
8. 函数 y 2cos x sin 2 x ， x R 的最大值是
9. 如图， OABC 是边长为 1 的正方形， AC 是四分之一圆弧，则图中阴 影部分绕轴 OC 旋转一周得到的旋转体的体积为 .
2
B. 该方程有无数个实数解； D. 若 x 0 是该方程的实数解，则 x0 1 .
3 1 的定义域为集合 B ． 已 x
知 ： x A B ， ： x 满足 2 x p 0 ，且 是 的充分条件，求实数 p 的取值范围.
20. （本题满分 14 分，其中第 1 小题 7 分，第 2 小题 7 分）
O
x2
x
1 2 x a 的解集为 A , 若 x 2
.
第 13 题图
A R ,则实数 a 的取值范围是
二、选择题（本大题满分 16 分）本大题共有 4 题，每题选对得 4 分. 15. 已知平面向量 a 3,1 ， b x, 3 ，且 a b ，则 x A. 3 ； B. 1 ； C. 1；
1 * ，则 an （ nN ） n
是
N N 1
打印 A
12. 右图所给出的是用来求解：
2
第 12 题图
结束
1 1 1 1 的程序框图 . 则在框图的空 1 2 1 2 1 2 1 2 2 3 4 100
y B
B.
（1）当 r 1 时，试用 k 表示点 B 的坐标； （2）当 r 1 时，求证： “射线 l 的斜率 k 为有理数”是“点 B 为 单位圆 C 上的有理点”的充要条件； （说明：坐标平面上，横、 纵坐标都为有理数的点为有理点.我们知道，一个有理数可以表 示为
第 23 题图 A O x
2
.
3. 抛物线 y 8 x 0 的焦点坐标为
. .
4. 方程 log3 ( x 1) log3 ( x 1) 1 log3 ( x 9) 的解为 5. 已知 cos( )
1 ， , 0 ，则 3 2
1 3
22.（本题满分 16 分，其中第 1 小题 7 分，第 2 小题 9 分.） 已知数列 an 中， a1 0 ， an 1
1 * ， nN . 2 an
（1）求证：
1 是等差数列；并求数列 an 的通项公式； an 1
（2）假设对于任意的正整数 m 、 n ，都有 | bn bm | ，则称该数列为“ 域收敛数列”. 试
A D
O C B 第 20 题图
21. （本题满分 16 分，其中第 1 小题 6 分，第 2 小题 10 分）.
某隧道长 6000 米，最高限速为 v0 （米/秒） ，一个匀速行进的车队有10 辆车，每辆车的车身 长 12 米，相邻两车之间的距离与车速 v （米/秒）的平方成正比，比例系数为 k （ k 0 ） ，自第 一辆车车头进入隧道至第 10 辆车车尾离开隧道时所用时间为 t （秒）. （1）求函数 t f (v) 的解析式，并写出定义域； （2）求车队通过隧道时间 t 的最小值，并求出此时车速 v 的大小.