高中数学课件：2.4.1等比数列

(D)1
4.若等比数列的首项为１，末项为５12，公比为2，则这个
数列的项数为__________.
【解析】512=1〓2n-1，n=10.
答案：10
5.若 2 2 是b-1，b+1的等比中项，则b=________. 【解析】因为 2 2 是b-1，b+1的等比中项， 所以( 2 2 )2=(b-1)(b+1),即8=b2-1， 故b2=9，b=〒3.
【规范解答】∵Sn=2an+1,∴Sn+1=2an+1+1， ∴an+1=Sn+1-Sn=(2an+1+1)-(2an+1)， ∴an+1=2an， ①
又∵S1=a1=2a1+1,
∴a1=-1≠0，由①式可知，an≠0,
由 a n 1 =2知{an}是等比数列.
an
等比数列的通项公式的应用 【名师指津】巧用通项公式求等比数列的基本量
等比数列的定义 【名师指津】有关等比数列定义的理解的四个注意点 (1)“从第2项起”这一条件有两层含义.其一，第一项前面
没有项，无法与后续条件中“与前一项的比”相吻合；其
二，等比数列的定义包括了首项这一基本量，且必须从第2
项起使数列中各项均与其前面一项作商.
(2)注意定义中“每一项与它的前一项的比”这一运算要求，它
4 4 3 4 1 4
a n 1
4
其通项公式为an= 3 ( 1 ) n 1 3( 1 ) n .
4 4 4
【典例】(12分)等比数列{an}的前三项的和为168，a2-a5 =42，
求a5，a7的等比中项.
【审题指导】题目中给出了等比数列前三项的和以及 a2-a5=42， 由此列出方程组解得公比q和首项a1，利用定义求a5，a7的等比 中项，注意解的个数.
【规范解答】设该等比数列的公比为q，首项为a1，因为a2-
a5=42，所以q≠1，由已知，得
2 a1 a1q a1q 168 ， 4 a1q a1q 42
„„„„„„„„3分
a1 1 q q 2 168① 所以 3 a q 1 q 42② 1
答案：〒3
=962〓( )10=9，
1Hale Waihona Puke 2„„„„„„„„„„„„„„„„10分 „„„„„„„„12分
所以a5，a7的等比中项是〒3.
【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：
1.下面有四个结论： ①由第一项起乘相同常数得后一项，这样所得到的数列一定为等
比数列；
②常数列b, b, b，„,b一定为等比数列；
4 a a a q a q 18③ 2 5 1 1 (2)因为 2 5 a 3 a 6 a1q a1q 9④
由 ④ 得q= 1 ， 从而a1=32.
③
2
又an=1，所以32( )n-1=1，
即26-n=20，所以n=6.
1 2
【例】数列{an}的前n项和为Sn，已知an=5Sn-3(n∈N*)，求数列
{an}的通项公式.
【审题指导】本题给出了数列{an}的an与Sn的关系，可充分利用
由Sn求an的方法，寻找数列{an}的递推关系，进一步求得通项公 式. 【规范解答】∵Sn=a1+a2+„+an
S1 , n 1, ∴an= Sn Sn 1 , n 2.
又由an=5Sn-3，得an-1=5Sn-1-3(n≥2)， 于是an-an-1=5(Sn-Sn-1)=5an. ∴an= an-1， 由a1=5S1-3，得a1= ， 知an≠0， ∴ an 1 , ∴数列{an}是以a1= 3 为首项，q= 1 为公比的等比数列，
【思考】
【点拨】
【点拨】
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【例2】在等比数列{an}中， (1)a4=2，a7=8，求an； (2)a2+a5=18，a3+a6=9，an=1，求n. 【审题指导】由题目可知等比数列中的某些量之间的关系，求 其他量，可将条件转化为关于基本元素a1与q的方程组，求出a1 与q，再表示其他量.
3 a1q 3 2① a 4 a1q 【规范解答】(1)因为 所以 6 ， , 6 a1q 8② a 7 a1q 由 ② 得q3=4，从而q= 3 4， 而a1q3=2， ① 2n 5 2 1 n-1 于是a1= 3 ， 所以an=a1q = 2 3 . q 2
(C)-1或2
(B)１或2
(D)－1或-2
【解析】选C.由已知得２＝q2－q，所以q＝-1或2.
3.设a1，a2，a3，a4成等比数列，其公比为2，则 2a1 a 2 的
2a 3 a 4
值为( (A) 1
4
) (B) 1 (C)
1 8
2 1 1 1 a2 【解析】选A. 2a1 a 2 2a2 . 2 2 2a 3 a 4 2a1q a 2q q 4
(1)在已知a1和q的前提下,可以利用通项公式,求出等比数列中
的任意一项.
(2)在等比数列中,已知a1,n,q,an四个量中的三个,就可以求出
另一个.
(3)在已知等比数列中任意两项的前提下,使用an=amqn-m,可求
出等比数列中的任何一项,这也是等比数列中任意两项之间的
关系. 【特别提醒】要确定一等比数列的通项公式，求出a1，q是关 键，而它们往往可用与之有关的式子来求出.
的含义也有两个:其一,强调作商的顺序，其二，强调这两项必
须相邻. (3)注意定义中的“同一常数”这一要求，否则这个数列不能称 为等比数列. (4)利用定义 a n 1 =q(q为常数且不为零) {an}为等比数列，这是
an
判断一个数列是等比数列的常用的方法.
【例1】已知数列{an}的前n项和Sn=2an+1，试判断数列{an} 是否是等比数列？ 【审题指导】要判断此数列是否是等比数列，关键是用等 比数列的定义，看其能否满足an与an-1之比为一常数，已知 Sn=2an+1，以此来寻找an与an-1的关系.
③等比数列{an}中，若公比q=1,则此数列各项相等；
④等比数列中，各项与公比都不为零. 正确说法的个数为（ (A)0 (B)1 ） (C)2 (D)3
【解析】选C.其中正确的为③，④；①，②中不能保证各 项及公比不为0,所以错误.
2.等比数列{an}中，２a4＝a6-a5，则公比是(
)
(A)0
因为1-q3=(1-q)(1+q+q2)， 所以由 ② 除以① ，得q(1-q)= . 所以q= ， „„„„6分 所以a1=
42 96. „„„„„„„„„„„„„„„„8分 1 1 4 ( ) 2 2
1 4 1 2
2 10 令G是a5，a7的等比中项，则应有G2=a5a7=a1q4·a1q6= a1 q