数学人教B版选修2-2自我小测：1.3.3导数的实际应用
人教新课标版数学高二B版选修2-2学业测评 1.3.3 导数的实际应用
学业分层测评(建议用时：45分钟)一、选择题1．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，若使砌壁所用的材料最省，堆料场的长和宽应分别为(单位：米)()A．32,16B．30,15C．40,20D．36,18【解析】要使材料最省，则要求新砌的墙壁的总长最短，设场地宽为x米，则长为512x 米，因此新墙总长L＝2x＋512x(x>0)，则L′＝2－512x2.令L′＝0，得x＝16或x＝－16(舍去)．此时长为51216＝32(米)，可使L最短．【答案】 A2．将8分为两个非负数之和，使两个非负数的立方和最小，则应分为() A．2和6 B．4和4C．3和5 D．以上都不对【解析】设一个数为x，则另一个数为8－x，则其立方和y＝x3＋(8－x)3＝83－192x＋24x2(0≤x≤8)，y′＝48x－192.令y′＝0，即48x－192＝0，解得x ＝4.当0≤x<4时，y′<0；当4<x≤8时，y′>0.所以当x＝4时，y最小．【答案】 B3．内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的宽和长分别为()A.R2和32R B.55R和455RC.45R和75R D．以上都不对【解析】设矩形的宽为x，则长为2R2－x2，则l＝2x＋4R2－x2(0<x<R)，l ′＝2－4x R 2－x2，令l ′＝0，解得x 1＝55R ，x 2＝－55R (舍去)． 当0<x <55R 时，l ′>0；当55R <x <R 时，l ′<0，所以当x ＝55R 时，l 取最大值，即周长最大的矩形的宽和长分别为55R ，455R .【答案】 B4．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R 与年产量x 的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80 000， x >400，则总利润最大时，每年生产的产品是( )A ．100B ．150C ．200D ．300【解析】 由题意，得总成本函数为C (x )＝20 000＋100x ，总利润P (x )＝R (x )－C (x )＝ ⎩⎨⎧300x －x 22－20 000，0≤x ≤400，60 000－100x ，x >400.所以P ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧300－x ，0≤x ≤400，－100，x >400.令P ′(x )＝0，得x ＝300，易知x ＝300时， 总利润P (x )最大． 【答案】 D5．用长为90 cm ，宽为48 cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个大小相同的小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图1-3-12)，当容器的体积最大时，该容器的高为( )图1-3-12A ．8 cmB ．9 cmC ．10 cmD ．12 cm【解析】 设容器的高为x cm ， 容器的体积为V (x )cm 3， 则V (x )＝(90－2x )(48－2x )x ＝4x 3－276x 2＋4 320x (0<x <24)， 因为V ′(x )＝12x 2－552x ＋4 320，由12x 2－552x ＋4 320＝0，得x ＝10或x ＝36(舍)， 因为当0<x <10时，V ′(x )>0，当10<x <24时， V ′(x )<0，所以当x ＝10时，V (x )在区间(0,24)内有唯一极大值， 所以容器高x ＝10 cm 时，容器体积V (x )最大． 【答案】 C 二、填空题6．已知某矩形广场面积为4万平方米，则其周长至少为__________米． 【解析】 设广场的长为x 米，则宽为40 000x米，于是其周长为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋40 000x (x >0)，所以y ′＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－40 000x 2，令y ′＝0，解得x ＝200(x ＝－200舍去)，这时y ＝800.当0<x <200时，y ′<0；当x >200时，y ′>0.所以当x ＝200时，y 取得最小值，故其周长至少为800米．【答案】 8007．已知矩形的两个顶点A 、D 位于x 轴上，另两个顶点B 、C 位于抛物线y ＝4－x 2在x 轴上方的曲线上，则这个矩形的面积最大时的边长为________．【解析】 由题意，设矩形边长AD ＝2x ，则AB ＝4－x 2， ∴矩形面积为S ＝2x (4－x 2)＝8x －2x 3(0<x <2)． ∴S ′＝8－6x 2.令S ′＝0，解得x 1＝23 3，x 2＝－23 3(舍去)． 当0<x <233时，S ′>0； 当23 3<x <2时，S ′<0.∴当x ＝23 3时，S 取得最大值为3239.即矩形的边长分别是433，83时，矩形的面积最大． 【答案】433，838．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为10 km /h 时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，当行驶每千米的费用总和最小时，此轮船的航行速度为________km/h.【解析】 设轮船的速度为x km/h 时，燃料费用为Q 元，则Q ＝kx 3(k ≠0)． 因为6＝k ×103，所以k ＝3500，所以Q ＝3500x 3. 所以行驶每千米的费用总和为 y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3500x 3＋96·1x ＝3500x 2＋96x (x >0)． 所以y ′＝3250x －96x 2.令y ′＝0，解得x ＝20. 因为当x ∈(0,20)时，y ′<0，此时函数单调递减； 当x ∈(20，＋∞)时，y ′>0，此时函数单调递增，所以当x ＝20时，y 取得最小值，即此轮船以20 km/h 的速度行驶时，每千米的费用总和最小． 【答案】 20 三、解答题9．如图1-3-13，一矩形铁皮的长为8 cm ，宽为5 cm ，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？图1-3-13【解】 设小正方形的边长为x cm ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <52，则盒子底面长为(8－2x ) cm ，宽为(5－2x ) cm ，V ＝(8－2x )(5－2x )x ＝4x 3－26x 2＋40x ， V ′＝12x 2－52x ＋40，令V ′＝0，得x ＝1或x ＝103(舍去)，V 极大＝V (1)＝18，在定义域内仅有一个极大值，所以V 最大值＝18，即当小正方形的边长为1 cm 时，盒子容积最大． 10．(2016·银川高二检测)一书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要库存费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分几次进货、每次进多少册，可使所付的手续费与库存费之和最少？【解】 设每次进书x 千册(0<x <150)，手续费与库存费之和为y 元，由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量之半，即x 2，故有y ＝150x ×30＋x2×40，y′＝－4 500x2＋20＝20(x＋15)(x－15)x2，令y′＝0，得x＝15，列表如下：单调递减单调递增所以当x＝时，y取得最小值，此时进货次数为15015＝10(次)．即该书店分10次进货，每次进15千册书，所付手续费与库存费之和最少．1．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p 元，销售量为Q件，则销售量Q与零售价p有如下关系：Q＝8 300－170p－p2.则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)()A．30元B．60元C．28 000元D．23 000元【解析】设毛利润为L(p)，由题意知L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)＝(8 300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，所以L′(p)＝－3p2－300p＋11 700.令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．此时，L(30)＝23 000.因为在p＝30附近的左侧L′(p)>0，右侧L′(p)<0，所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元．【答案】 D2．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm ，要使体积最大，则其高应为( )A.533 cm B.1033 m C ．5 3 mD.20 33 m【解析】 如图，设圆锥底面半径为r ，高为h ，则h 2＋r 2＝202. 所以r ＝400－h 2，所以圆锥体积V ＝13πr 2h ＝13π(400－h 2)h ＝13π(400h －h 3)， 所以V ′＝13π(400－3h 2)，令V ′＝0，得h ＝2033或h ＝－2033(舍去)． 当0<h <2033时，V ′>0；当h >2033时，V ′<0. 所以当h ＝2033时，V 最大．故选D. 【答案】 D3．如图1-3-14，内接于抛物线y ＝1－x 2的矩形ABCD ，其中A ，B 在抛物线上运动，C ，D 在x 轴上运动，则此矩形的面积的最大值是__________．图1-3-14【解析】 设CD ＝x ，则点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，0，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 2，1－⎝⎛⎭⎪⎫x 22，∴矩形ABCD 的面积 S ＝f (x )＝x ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22 ＝－x 34＋x ，x ∈(0,2)． 由f ′(x )＝－34x 2＋1＝0， 得x 1＝－233(舍)，x 2＝233，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫233，2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，故当x ＝233时，f (x )取最大值439. 【答案】4394．(2016·广州高二检测)如图1-3-15所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A 处，乙厂与甲厂在海的同侧，乙厂位于离海岸40 km 的B 处，乙厂到海岸的垂足D 与A 相距50 km.两厂要在此岸边A ，D 之间合建一个供水站C ，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a 元和5a 元，则供水站C 建在何处才能使水管费用最省？图1-3-15【解】 设C 点距D 点x km ，则AC ＝50－x (km)， 所以BC ＝BD 2＋CD 2＝x 2＋402(km)．又设总的水管费用为y 元， 依题意，得y ＝3a (50－x )＋5ax 2＋402(0<x <50)．y′＝－3a＋5axx2＋402.令y′＝0，解得x＝30.在(0,50)上，y只有一个极小值点，根据问题的实际意义，函数在x＝30 km 处取得最小值，此时AC＝50－x＝20(km)．故供水站建在A，D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省．。
人教B版高中数学选修2-2 1-3-3 导数的实际应用 测试学
1.3.3 导数的实际应用（检测学生版）时间:50分钟 总分：80分班级： 姓名：一、 选择题（共6小题，每题5分，共30分）1．某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y (万元)与营运年数x (x ∈N ＋)满足y ＝－x 2＋12x －25，则每辆客车营运多少年可使其营运年平均利润最大( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．62．用边长为48cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四个角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四个角截去的正方形的边长为( ) A ．6cm B ．8cm C ．10cmD ．12cm3．有一长为16米的篱笆，要围成一个矩形场地，则此矩形场地的最大面积为( ) A ．32m 2 B ．14m 2 C ．16m 2D ．18m 24．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R 与年产量x 的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2xx ，则总利润最大时，每年生产的产品是( ) A ．100 B ．200 C ．250D ．3005．若一球的半径为r ，作内接于球的圆柱，则其侧面积最大为( ) A ．2πr 2 B ．πr 2 C ．4πr 2D ．12πr 26．某工厂要围建一个面积为512 m 2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌墙所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为( ) A ．32 16 B ．30 15 C ．40 20D ．36 18二、 填空题（共4小题，每题5分，共20分）7．把长60cm 的铁丝围成矩形，当长为________cm ，宽为________cm 时，矩形面积最大． 8．某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x 元出售，可卖出(200－x )件，当每件商品的定价为________元时，利润最大．9．货车欲以x km/h 的速度行驶去130km 远的某地，按交通法规，限制x 的允许范围是[50,100]，假设汽油的价格为2元/升，而汽车耗油的速率是⎝⎛⎭⎫2＋x2360升/小时，司机的工资是14元/小时，则最经济的车速是________，这次行车的总费用最低是________．10．在半径为R 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为________时它的面积最大．三、解答题（共3小题，每题10分，共30分）11．永泰某景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y 万元与投入x (x ≥10)万元之间满足：y ＝f (x )＝ax 2＋10150x－b ln x10，a ，b 为常数．当x ＝10万元时，y ＝19.2万元；当x ＝30万元时，y ＝50.5万元．(参考数据：ln2＝0.7，ln3＝1.1，ln5＝1.6)． (1)求f (x )的解析式；(2)求该景点改造升级后旅游利润T (x )的最大值．(利润＝旅游增加值－投入)． 12．已知某厂生产x 件产品的总成本为f (x )＝25000＋200x ＋140x 2(元)．(1)要使生产x 件产品的平均成本最低，应生产多少件产品？ (2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？13．某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m 2的三级污水处理池(平面图如图所示)．如果池四周围墙建造单价为400元/m 2，中间两道隔墙建造单价为248元/m 2，池底建造单价为80元/m 2，水池所有墙的厚度忽视不计．(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该地的长和宽都不能超过16m ，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．。
高中数学选修2-2(人教B版)第一章导数及其应用1.2知识点总结含同步练习题及答案
′
解：（1）y ′ = (e3x+2 ) = e3x+2 ⋅ (3x + 2)′ = 3e3x+2 ； （2）y ′ = (ln(2x − 1))′ =
1 2 ． ⋅ (2x − 1)′ = 2x − 1 2x − 1
2.利用导数求函数的切线方程 描述： 利用导数求函数的切线方程 步骤一：求出函数 y = f (x) 在点 x0 处的导数 f ′ (x0 ) ； 步骤二：根据直线方程的点斜式，得到切线方程为 y − f (x0 ) = f ′ (x0 )(x − x0 )． 例题： 求曲线 y = ex + 1 在 (0, 2) 处的切线方程． 解：因为 y = ex + 1，所以 y ′ = ex ，故曲线 y = ex + 1在 (0, 2)处的切线斜率为
解：（1）因为 y =
所以在点 P 处的切线的斜率等于 4 ．所以在点 P 处的切线方程是
y−
即
8 = 4(x − 2), 3
12x − 3y − 16 = 0.
（2）设切点为 (x 0 , y 0 )，则由（1）知切线的斜率 k = x2 ，切线方程为 y − y 0 = x2 (x − x 0 ) ． 0 0 又切线过点 P (2,
8 1 ) 且 (x0 , y 0 ) 在曲线 y = x3 上，所以 3 3 ⎧ ⎪ 8 − y = x2 (2 − x0 ), 0 0 ⎨3 1 ⎪ ⎩ y = x3 , ⎪ 0 3 0 − 3x2 + 4 = 0, x3 0 0
整理得
即
(x0 − 2)2 (x0 + 1) = 0.
人教版-数学-高二-数学人教B版选修2-2自我小测 1.3.3导数的实际应用
自我小测1．将8分为两数之和，使其立方之和为最小，则分法为( ) A ．2和6 B ．4和4C ．3和5D ．以上都不正确2．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一件产品，成本增加100元，已知总收益R (元)与年产量x (件)的关系是R ＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80 000，x ＞400，则总利润P 最大时，每年的产量是( )A ．100件B ．150件C ．200件D ．300件3．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率成正比，比例系数为k (k ＞0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x 〔x ∈(0,0.048)〕，则存款利率为__________时，银行可获得最大收益．( )A ．0.012B ．0.024C ．0.032D ．0.0364．已知矩形的两相邻顶点位于x 轴上，另两个顶点位于抛物线y ＝4－x 2在x 轴上方的部分，则此矩形面积的最大值是__________．5．已知某工厂生产x 件产品的成本为C ＝25 000＋200x ＋140x 2(元)，则当平均成本最低时，x ＝________件．6．将边长为1 m 正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S ＝(梯形的周长)2梯形的面积，则S 的最小值是________．7．某工厂拟建一座平面图(如图所示)为矩形且面积为200 m 2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m ，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)，求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求最低总造价．8．货车欲以x km/h 的速度行驶，去130 km 远的某地．按交通法规，限制x 的允许范围是50≤x ≤100.假设汽油的价格为2元/L ，而汽车耗油的速率是⎝⎛⎭⎫2＋x2360L/h.司机的工资是14元/h ，试问最经济的车速是多少？这次行车的总费用最低是多少？(结果保留整数)9．如图所示，扇形AOB 中，半径OA ＝1，∠AOB ＝π2，在OA 的延长线上有一动点C ，过C 作CD 与AB 相切于点E ，且与过点B 所作的OB 的垂线交于点D ，问当点C 在什么位置时，直角梯形OCDB 的面积最小．参考答案1．解析：设其中一个数为x ，两数立方之和为y ，则另一个数为8－x ，y ＝x 3＋(8－x )3,0≤x ≤8，y ′＝3x 2－3(8－x )2， 令y ′＝0，即3x 2－3(8－x )2＝0，得x ＝4. 当0≤x ＜4时，y ′＜0；当4＜x ≤8时，y ′＞0. 所以当x ＝4时，y 最小． 答案：B2．解析：由题意，总成本为C ＝20 000＋100x .所以总利润P ＝R －C ＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2－100x －20 000，0≤x ≤400，80 000－100x －20 000，x ＞400，则P ′＝⎩⎪⎨⎪⎧300－x ，0≤x ≤400，－100，x ＞400，令P ′＝0，得x ＝300，易知当x ＝300(件)时，总利润最大． 答案：D3．解析：由题意，存款量g (x )＝kx (k ＞0)，银行应支付的利息h (x )＝xg (x )＝kx 2，x ∈(0,0.048)．设银行可获得的收益为y ，则y ＝0.048kx －kx 2. 于是y ′＝0.048k －2kx ，令y ′＝0，解得x ＝0.024， 依题意知y 在x ＝0.024处取得最大值．故当存款利率为0.024时，银行可获得最大收益． 答案：B4．解析：由题意可设点A (x ，y )，则点B (－x ，y )，C (－x,0)，D (x,0)，其中0＜x ＜2,0＜y ＜4，设矩形的面积为S ，则S ＝2xy ＝2x (4－x 2)＝8x －2x 3， 令S ′＝8－6x 2＝0，得x ＝233.又当x ∈⎝⎛⎭⎫0，233时，S ′＞0；当x ∈⎝⎛⎭⎫233，2时，S ′＜0，故当x ＝233时，面积取得最大值，此时S ＝3239.答案：32395．解析：设平均成本为y 元，则y ＝25 000＋200x ＋140x 2x ＝25 000x ＋200＋x40(x ≥0)，y ′＝－25 000x 2＋140，令y ′＝0，得x ＝1 000或x ＝－1 000(舍去)． 当0≤x ＜1 000时，y ′＜0，当x ＞1 000时，y ′＞0， 故当x ＝1 000时，y 取最小值． 答案：1 0006．解析：如图所示，设剪成的两块中是正三角形的那一块边长为x m ，则梯形的周长为x ＋(1－x )＋(1－x )＋1＝3－x ，梯形的面积为34－34x 2， ∴S ＝(3－x )234(1－x 2)＝433·x 2－6x ＋91－x2(0＜x ＜1)， 对S 求导得S ′＝433·－2(3x 2－10x ＋3)(1－x 2)2.令S ′＝0，得x ＝13或x ＝3(舍去)，∴S min ＝S ⎝⎛⎭⎫13＝3233.答案：32337．解：设矩形污水处理池的长为x m ，宽为200xm ，据题意⎩⎪⎨⎪⎧x ≤16，200x ≤x ，解得102≤x ≤16，总造价f (x )＝⎝⎛⎭⎫2x ＋2×200x ×400＋400x ×248＋200×80＝800x ＋259 200x＋16 000(102≤x ≤16)，令f ′(x )＝800－259 200x 2＝0，得x ＝18，当x ∈(0,18)时，函数f (x )为减函数；当x ∈(18，＋∞)时，函数f (x )为增函数．因此在定义域内函数f (x )为减函数，当且仅当长为16 m ，宽为12.5 m 时，总造价最低，为45 000元．8．解：由已知可得汽车的运行时间为130x h ，耗油量为130x ·⎝⎛⎭⎫2＋x 2360L ，耗油费用为2·130x ·⎝⎛⎭⎫2＋x 2360元， 司机的工资为14·130x 元，故这次行驶的总费用为y ＝2·130x ·⎝⎛⎭⎫2＋x 2360＋14·130x ＝130⎝⎛⎭⎫x 180＋18x ， ∴y ′＝130⎝⎛⎭⎫1180－18x 2.令y ′＝0，即130⎝⎛⎭⎫1180－18x 2＝0， 解得x ＝1810(x ＝－1810舍去)． ∵50≤x ≤100，∴x ＝1810≈57(km/h)时， 最低费用为130×⎝⎛⎭⎫57180＋1857≈82(元)．9．解：如图所示，作DF ⊥OA 于F ，则DF ＝OB ＝OE ，可知，△OEC ≌△DFC ，∴OC ＝CD .设OC ＝x (x ＞1)，在Rt △CDF 中，CD 2＝CF 2＋DF 2，即x 2＝(x －BD )2＋1，∴BD ＝x －x 2－1，∴梯形的面积为S ＝12(BD ＋OC )·OB ＝12(2x －x 2－1)，S ′＝12⎝⎛⎭⎪⎫2－xx 2－1， 令S ′＝0，得xx 2－1＝2，解得x 1＝233，x 2＝－233(舍去)，当x ＞233时，S ′＞0；当1＜x ＜233时，S ′＜0，∴当x ＝233时，S 取最小值，故当OC ＝233时，直角梯形OCDB 的面积最小．。
人教版-数学-高二-数学人教B版选修2-2课堂探究 1.3.3导数的实际应用
课堂探究探究一 收益(利润)最大问题利用导数解决收益(利润)最大问题，关键是要建立收益(利润)的函数关系式，然后借助导数研究该函数的最大值，注意函数定义域的限制以及实际意义．【典型例题1】 某公司准备在两个项目上投资．已知在A 项目上投资的收益(万元)与投资额(万元)的平方根成正比，且当投资额为9万元时，投资收益为2万元；在B 项目上的投资收益g (t )(万元)与投资额t (万元)的关系式是g (t )＝3ln ⎝⎛⎭⎫x 10＋1.已知该公司现准备在两个项目上共投资350万元，试求该公司的最大总收益．思路分析：设在A 项目上的投资额为x (万元)，则在B 项目上的投资额为(350－x )万元，然后将收益表示为x 的函数再用导数求解．解：设该公司在A 项目上的投资额为x 万元，依题意，在A 项目上的收益为f (x )＝k x ，又当x ＝9时，f (9)＝2，即k 9＝2，所以k ＝23，于是f (x )＝23x . 这时在B 项目上的投资额为350－x 万元，则在B 项目上的收益为g (350－x )＝3ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫350－x 10＋1. 于是该公司的总收益为h (x )＝f (x )＋g (350－x )＝23x ＋3ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫360－x 10，其中0＜x ＜350. 于是h ′(x )＝23·12x ＋3·10360－x ·⎝⎛⎭⎫－110 ＝13x －3360－x ＝360－x －9x 3x (360－x ) ＝－(x ＋24)(x －15)3x (360－x )， 令h ′(x )＝0，得x ＝15，即x ＝225，当0＜x ＜225时，h ′(x )＞0；当225＜x ＜350时，h ′(x )＜0，所以h (x )在x ＝225处取得极大值，即最大值，最大值为h (225)＝23225＋3ln 13510＝10＋3ln 272，故该公司最大总收益为⎝⎛⎭⎫10＋3ln 272万元． 探究二 费用最低(用料最省)问题将费用或用料表示为某个变量的函数，然后研究该函数的最值情况．多数情况下，用料最省问题会涉及几何体的表面积问题，这时要注意结合平面几何，立体几何中相关的公式求解．【典型例题2】 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k 3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值．思路分析：根据题设条件构造函数关系，再应用导数求最值．解：(1)设隔热层厚度为x cm ，由题设，每年能源消耗费用为C (x )＝k 3x ＋5. 又C (0)＝8，∴k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5，而建造费用C 1(x )＝6x ，从而隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x ＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)；(2)f ′(x )＝6－ 2 400(3x ＋5)2，令f ′(x )＝0， 即 2 400(3x ＋5)2＝6，得x 1＝5，x 2＝－253(舍去)． 当0＜x ＜5时，f ′(x )＜0，当5＜x ＜10时，f ′(x )＞0.故5是f (x )的最小值点，对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70，即当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值70万元．探究三 面积、体积最大问题求面积、体积的最大值问题是生活、生产中的常见问题，解决这类问题的关键是根据题设确定出自变量及其取值范围，利用几何性质写出面积或体积关于自变量的函数，然后利用导数的方法来解．【典型例题3】 用总长为14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5 m ，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．思路分析：可设容器的底面的短边长为x m ，那么长边的长以及高就可用x 表示出来，从而得到容积与x 的函数关系式，然后用导数求得最大值．解：设容器底面短边的边长为x m ，则另一边长为(x ＋0.5)m ，高为14.8－4x －4(x ＋0.5)4＝3.2－2x . 由题意知x ＞0，x ＋0.5＞0，且3.2－2x ＞0，∴0＜x ＜1.6.设容器的容积为V m 3，则有V ＝x (x ＋0.5)(3.2－2x )＝－2x 3＋2.2x 2＋1.6x (0＜x ＜1.6)，∴V ′＝－6x 2＋4.4x ＋1.6.令V ′＝0，有15x 2－11x －4＝0，解得x 1＝1，x 2＝－415(舍去)． ∴当x ∈(0,1)时，V ′(x )＞0，V (x )为增函数，x ∈(1,1.6)时，V ′(x )＜0，V (x )为减函数，∴V 在x ∈(0,1.6)时取极大值V (1)＝1.8，这个极大值就是V 在x ∈(0,1.6)时的最大值，即V max ＝1.8，这时容器的高为1.2 m ，∴当高为1.2 m 时，容器的容积最大，最大值为1.8 m 3.探究四 易错辨析易错点 忽视实际问题中变量的取值范围而出错【典型例题4】 某厂生产一种机器，其固定成本(即固定投入)为0.5万元．但每生产100台，需要增加可变成本(即另增加投入)0.25万元．市场对此产品的年需求量为500台，销售收入(单位：万元)函数为：R (x )＝5x －12x 2(0≤x ≤5)，其中x 是产品售出的数量(单位：百台)． (1)把利润y 表示为年产量的函数；(2)年产量是多少时，工厂所得利润最大？错解：(1)由题意知，成本函数C (x )＝0.5＋0.25x ，y ＝R (x )－C (x )＝⎝⎛⎭⎫5x －12x 2－(0.5＋0.25x )＝－12x 2＋194x －12(0≤x ≤5)． (2)y ′＝－x ＋194，令y ′＝0，得x ＝194＝4.75， ∴4.75必为最大值点．∴年产量为475台时，工厂利润最大．错因分析：实际问题中，该厂生产的产品数量不一定在500台之内(含500台)，应有x ＞5的情况，错解忽视了此种情况，就出现了错误．正解：(1)利润y ＝R (x )－C (x )＝⎩⎨⎧ ⎝⎛⎭⎫5x －x 22－(0.5＋0.25x )(0≤x ≤5)，⎝⎛⎭⎫5×5－522－(0.5＋0.25x )(x ＞5)＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋4.75x －0.5(0≤x ≤5)，12－0.25x (x ＞5).(2)0≤x ≤5时，y ＝－12x 2＋4.75x －0.5， ∴当x ＝4.75时，y max ≈10.78(万元)；当x ＞5时，y ＝12－0.25x ＜12－0.25×5＝10.75(万元)．∴年产量是475台时，工厂所得利润最大．。
人教B版选修2-2高中数学1.3.3《导数的实际应用》word教案
1.3.3导数的实际应用【教学目标】利用导数解决实际问题中的最优化问题，掌握建立数学模型的方法，形成求解优化问题的思路和方法.【教学重点】实际问题中的导数应用 【教学难点】数学建模一、课前预习：1.利用导数求函数极值和最值的方法：2.自主学习教材31页例1、例2，总结利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：例1 有一块边长为a 的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方形的无盖容器，为使其容积最大，截下的小正方形的边长应为多少？例2横截面为矩形的横梁的强度同它的断面的高的平方与宽的积成正比，要将直径为d 的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽度和高度应是多少？利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：（1）分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系)(x f y =；（2）求函数的导数)(/x f ，解方程0)(/=x f ；（3）比较函数在区间端点和使0)(/=x f 的点的函数值的大小，最大（小）者为最大（小）值。
二、课上学习：1.已知某厂生产x 件产品的成本为240120025000x x c ++=（元）。
（1）要使平均成本最低，应生产多少件产品？（2）若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？三、课后练习：1．圆柱形金属饮料罐容积一定时，它的高与半径怎样选择，才能使所用材料最省？海报版面尺寸的设计3．学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。
现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，它的版心面积为1282dm ，上下两边各空2dm ，左右两边各空1dm ，如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？4．如图：用铁丝围成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积为2m a ，为使所用材料最省，底宽应为多少？高考连接：1.（20XX 年高考（重庆理））设函数()f x 在R 上可导,其导函数为(1)()y x f x '=-的图像如图所示,则下列结论中一定成立的是A ．函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)fB ．函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)fC ．函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f -D ．函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f2.（20XX 年高考（陕西理））设函数()x f x xe =,则A ．1x =为()f x 的极大值点B ．1x =为()f x 的极小值点C ．1x =-为()f x 的极大值点D ．1x =-为()f x 的极小值点3.（20XX 年高考（山东理））设0a >且1a ≠,则“函数()x f x a =在R 上是减函数 ”是 “函数3()(2)g x a x =-在R 上是增函数”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4.(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知函数c bx ax x x f +++=23)(，下列结论中错误的是( )A.0)(,00=∈∃x f R xB.函数)(x f y =的图象是中心对称图形C.若0x 是)(x f 的极小值点，则)(x f 在区间(－∞,0x )单调递减D.若0x 是)(x f 的极值点，则0)(0='x f5.(2013·广东卷) 若曲线x kx y ln +=在点(1，k )处的切线平行于x 轴，则k ＝________．6.(2013·江西卷)设函数()f x 在(0，＋∞)内可导，且x x e x e f +=)(，则=')1(f ________.7.(2013·北京卷)设L 为曲线C ：x xy ln =在点(1，0)处的切线．(1)求L 的方程；(2)证明：除切点(1，0)之外，曲线C 在直线L 的下方．8.(2013·重庆卷)设x x a x f ln 6)5()(2+-=，其中R a ∈，曲线)(x f y =在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0，6)．(1)确定a 的值；(2)求函数()f x 的单调区间与极值．9.（20XX 年高考（福建理））已知函数2()()x f x e ax ex a R =+-∈.(Ⅰ)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴,求函数()f x 的单调区间; (Ⅱ)试确定a 的取值范围,使得曲线()y f x =上存在唯一的点P ,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P .10.（20XX 年高考（北京理））已知函数2()1f x ax =+(0a >),3()g x x bx =+.(1)若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,c )处具有公共切线,求,a b 的值;(2)当24a b =时,求函数()()f x g x +的单调区间,并求其在区间(,1]-∞-上的最大值.11.（20XX 年高考（安徽理））(本小题满分13分)设1()(0)x xf x ae b a ae =++> (I)求()f x 在[0,)+∞上的最小值;(II)设曲线()y f x =在点(2,(2))f 的切线方程为32y x =;求,a b 的值.。
人教B版高中数学选修2-2 1-3-3 导数的实际应用 素材
1.3.3 导数的实际应用1.考查形式与特点(1).高考对函数概念的考查主要有:求函数的定义域、值域及反函数。
这类题型直接通过具体问题找出函数关系，再研究函数的定义域、值域及反函数。
(2).在每年的高考试题中，以中等难度题型设计新颖的试题考查函数的性态——即函数的单调性、奇偶性、周期性和函数图象的对称性等，近两年，以组合形式一题多角度考查函数性质的高考题正成为新的热点。
(3).以比较容易的中档题来考查函数性质的灵活运用，在考查函数内容的同时也考查能否用运动、变化的函数观点观察问题、分析问题、解决问题。
(4).函数的最值问题在高考试卷中几乎年年出现，它们是高考中的重要题型之一．特别是函数在经济生活中的应用问题，大多数都是最值问题，这类考题在近几年考查明显增加．此类考题一要掌握求函数最值的几种常用方法与技巧。
二要灵活、准确地列出模型函数．(5).近几年．为了突出函数在中学数学中的主线地位，高考强化了对函数推理、论证能力(代数推理题是高考的热点题型)及探索性问题的综合考查，加大了以函数为载体的多种方法、多种能力(甚至包括阅读能力、理解能力、表述能力、信息处理能力)的综合程度．这类试题或者是函数与其他知识的糅合，或者是多种方法的渗透，每道考题都具有鲜明的特色，值得深思．(6).函数与解析几何、不等式、方程、数列、参数范围、导数等内容结合在一起，以曲线方程的变换、参数范围的探求及最值问题综合在一起编拟的新颖考题，成为近几年高考中的高档解答题，以综合考查应用函数知识分析、解决问题的能力坝I试对函数思想方法的理解与灵活运用，等价转化及数形结合和分类讨论等解题策略和掌握程度．这类试题每年至少会有一个．(7).高考对导数的考查定位于作为解决初等数学问题的工具出现，侧重于考查导数在函数与解析几何中的应用，主要有以下三个方面：①运用导数的有关知识，研究函数最值问题，一直是高考长考不衰的热点内容．另一方面，从数学角度反映实际问题，建立数学模型，转化为函数的最大值与最小值问题，再利用函数的导数，顺利地解决函数的最大值与最小值问题，从而进一步地解决实际问题．②利用导数的几何意义，研究曲线的切线斜率问题也是导数的一个重要作用，并且也是高考考查的重点内容之一.函数y=f(x)在X=Xo处的导数，表示曲线在点P(x0,f(x0))处的切线斜率．③运用导数的有关知识，研究函数的单调性是导数的又一重点应用，在高考中所占的地位是比较重的．2.命题趋势由于函数在数学中具有举足轻重的地位，它仍必将是高考的一个热点，而且对能力的考查还将高于课程标准．(1)对函数的概念、基本性质及图象的考查主要以小题的形式出现．(2)函数与不等式、数列、向量、解析几何等知识的综合问题会以解答题形式出现，属于理解、灵活运用层次，难度较大．(3)通过函数应用题考查建立函数模型及解读信息的能力，将是高考命题的热点之一．(4)新课程新增内容中与函数有关的内容——函数连续与极限、导数是考查的重点，所占比重将进一步加大.例1、 用总长14.8m 的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长0.5m ，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积.分析：本小题主要考查应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的能力，建立函数式、解方程、不等式、最大值等基础知识．解：设容器底面短边长为x m ，则另一边长为()0.5x + m ，高为()14.8440.5 3.224x x x --+=-． 由3.220x ->和0x >，得0 1.6x <<，设容器的容积为3ym ，则有 ()()0.5 3.22y x x x =+- ()0 1.6x <<．即322 2.2 1.6y x x x =-++，令0y '=，有26 4.4 1.60x x -++=，即2151140x x --=，解得11x =，2415x =-（不合题意，舍去）.当x ＝1时，y 取得最大值，即max 2 2.2 1.6 1.8y =-++=，这时，高为3.221 1.2-⨯=.答：容器的高为1.2m 时容积最大，最大容积为31.8m ．。
高中数学选修2-2(人教B版)第一章导数及其应用1.3知识点总结含同步练习题及答案
描述：例题：高中数学选修2-2(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
第一章 导数及其应用 1.3 导数的应用
一、学习任务
1. 理解函数的单调性与导数的关系；会利用导数研究函数的单调性；会求不超过三次的多项式
函数的单调区间．2. 了解函数的极大（小）值，最大（小）值的概念；了解函数的极值与最值的区别和联系；掌
握求函数的极值与最值的方法．
3. 体会导数在解决实际问题中的作用；会利用导数解决实际生活中的有关利润最大、用料最
省、效率最高等优化问题；掌握最优化问题的建模及求解．二、知识清单
导数与函数的图象
利用导数研究函数的单调性
利用导数求函数的极值
利用导数求函数的最值
利用导数处理生活中的优化问题
三、知识讲解
1.导数与函数的图象
（1）导数 表示函数 在点 处的切线斜率．当切线斜率为正值时，
切线的倾斜角小于 ，函数曲线呈上升状态；当切线的斜率为负值时，切线的倾斜角大于 且小于 ，函数曲线呈下降状态．
（2）如果在区间 内恒有 ，那么函数 在区间 内是常函数．
()f ′x 0y =f (x )(,f ()x 0x 090∘90∘180∘(a ,
b )
(x )=0f ′y =f (x )(a ,b ) 是函数 的导函数， 的图象如图所示，则 的图象最有可能是下列选
项中的（ ）
(x )f ′f (x )y =(x )f ′f (x )
y=f
(x)
已知函数 的图象如图所示，则导函数
f(x)(a,b)则函数 在开区间
0.001 m
）？
S
（2）求面积 的最大值．解：（1）依题意，以
y=f(x)(−3,1)
2。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-2 1.3.3 导数的实际应用》
导数的实际应用教学设计主要内容：本节是高三复习课《导数的应用》的第一课时，根据考纲要求，引导学生复习利用导数讨论函数的单调性、极值、最值等。
并利用导数研究三次函数的图像与性质，一方面培养学生分析问题、解决问题的能力，另一方面有关函数零点在导数中的应用考点分析：导数是高中数学的重要内容之一，也是高考的热点，每年的高考题中导数必出，而它又往往与解析几何、不等式、平面向量、三角函数等知识交汇，以压轴题的身份出现，所以这部分内容应引起我们的高度重视。
学生情况分析：此前学生已复习过导数的概念、几何意义、导数的运算等。
课前要求学生对利用导数讨论函数的单调性、极值、最值等概念进行预习。
教学目标：知识教学点：经过学习，学生能利用导数研究函数的图像、单调性、极值、最值等，掌握解题通法。
能力训练点：渗透数形结合的思想、分类讨论的思想、转化化归的思想等。
德育渗透点：培养学生严谨的学习态度，勇于探索敢于质疑的学习精神。
教学重点：1函数零点在导数中的应用2隐零点问题处理方法教学难点：1函数零点在导数中的应用2隐零点问题处理方法教法引导、练习法等学法：讨论、数形结合、转化与化归等教具准备：多媒体辅助教学教学过程设计一、课前学案希望你带着以下的问题学习。
1、本节课你学会了哪些知识点？掌握了哪些技能？2、你在学习的过程中，用到了哪些数学思想和方法？3、你是否能积极参与课堂，能善于思考，能勇于质疑，能条理的表达思考过程？（设计说明：让学生在听课的过程中学会小结，有意识养成小结的习惯，从而帮助学生理清知识结构，并从知识、能力、学习态度三方面给予有效引导。
）二、引言导数是高中数学的重要内容之一，也是高考的热点，每年的高考题中导数必出，而它又往往与解析几何、不等式、平面向量、三角函数等知识交汇，以压轴题的身份出现，所以这部分内容应引起我们的高度重视。
导数作为工具是一道亮丽的风景线。
那么，在高考中，“导数的应用”重点考查什么呢？重点考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值，以及利用导数在零点中的应用导数的应用很广泛，今天我们的学习，主要导数中的零点和隐零点问题复习和总结。
2018版高中数学人教B版选修2-2学案：1.3.3导数的实际应用
2018版高中数学人教B版选修2-2学案：1.3.3导数的实际应用1．3.3 导数的实际应用明目标、知重点1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．导数在实际问题中的应用1．在经济生活中，为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略．这些都是最优化问题．2．求实际问题的最大(小)值，导数是解决方法之一．要建立实际问题的数学模型．写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f (x )，然后再利用导数研究函数的最值．[情境导学]生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大(小)值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题．探究点一面积、体积的最值问题思考如何利用导数解决生活中的优化问题？答(1)函数建模，细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y 与自变量x ，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系式y ＝f (x )． (2)确定定义域，一定要从问题的实际意义去考察，舍去没有实际意义的变量的范围．(3)求最值，此处尽量使用导数法求出函数的最值．(4)下结论，回扣题目，给出圆满的答案．例1 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm 2，上、下两边各空2dm ，左、右两边各空1dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？解设版心的高为x dm ，则版心的宽为128 x dm ，此时四周空白面积为S (x )＝(x ＋4)128x ＋2－128 ＝2x ＋512x ＋8，x >0.求导数，得S ′(x )＝2－512x2.令S ′(x )＝2－512x 2＝0，解得x ＝16(x ＝－16舍去)．于是宽为128x ＝12816＝8.当x ∈(0,16)时，S ′(x )<0；当x ∈(16，＋∞)时，S ′(x )>0.因此，x ＝16是函数S (x )的极小值点，也是最小值点．所以，当版心高为16dm ，宽为8dm 时，能使海报四周空白面积最小．反思与感悟(1)在求最值时，往往建立函数关系式，若问题中给出的量较多时，一定要通过建立各个量之间的关系，通过消元法达到建立函数关系式的目的．(2)在列函数关系式时，要注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域．跟踪训练1 如图所示，某厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为________米．答案 32,16解析要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，设场地宽为x 米，则长为512x 米，因此新墙壁总长度L ＝2x ＋512x (x >0)，则L ′＝2－512x2. 令L ′＝0，得x ＝±16. ∵x >0，∴x ＝16.当x ＝16时，L min ＝64，此时堆料场的长为51216＝32(米)．探究点二利润最大问题例2 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是0.8πr 2分，其中r (单位：cm)是瓶子的半径．已知每出售1mL 的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm.则瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？解由于瓶子的半径为r ，所以每瓶饮料的利润是 y ＝f (r )＝0.2×4 3πr 3－0.8πr 2＝0.8πr33－r 2，0<="" 2－2r="" p="" ′(r="" ≤6.="" 令f="">当r ＝2时，f ′(r )＝0. 当r ∈(0,2)时，f ′(r )<0；当r ∈(2,6)时，f ′(r )>0.因此，当半径r >2时，f ′(r )>0，它表示f (r )单调递增，即半径越大，利润越高；半径r <2时，f ′(r )<0，它表示f (r )单调递减，即半径越大，利润越低．∴半径为2cm 时，利润最小，这时f (2)<0，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．半径为6cm 时，利润最大．反思与感悟解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有：(1)利润＝收入－成本；(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．跟踪训练2 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<="">(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解 (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，所以a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量 y ＝2x －3＋10(x －6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润 f (x )＝(x －3)[2x －3＋10(x －6)2]＝2＋10(x －3)(x －6)2,3<6.<="" p="">从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表可得，x ＝4是函数f (x )在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.答当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．探究点三费用(用材)最省问题例3 已知A 、B 两地相距200km ，一只船从A 地逆水行驶到B 地，水速为8km /h ，船在静水中的速度为v km/h(80)，则y 1＝k v 2，当v ＝12时，y 1＝720，∴720＝k ·122，得k ＝5. 设全程燃料费为y ，由题意，得y ＝y 1·200v －8＝1000v 2v －8，∴y ′＝2000v (v －8)－1000v 2(v －8)2＝1000v 2－16000v (v －8)2.令y ′＝0，得v ＝16，∴当v 0≥16，即v ＝16km/h 时全程燃料费最省，y min ＝32000(元)；当v 0<16，即v ∈(8，v 0]时，y ′<0，即y 在(8，v 0]上为减函数，∴当v ＝v 0时，y min ＝1000v 2v 0－8(元)．综上，当v 0≥16时，v ＝16km/h 全程燃料费最省，为32000元；当v 0<16，即v ＝v 0时全程燃料费最省，为1000v 20v 0－8元．反思与感悟本题在解题过程中容易忽视定义域，误以为v ＝16时取得最小值．本题的关键是弄清极值点是否在定义域范围内．跟踪训练3 如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r ，短半轴长为r .计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记CD ＝2x ，梯形的面积为S .(1)求面积S 以x 为自变量的函数式，并写出其定义域； (2)求面积S 的最大值．解(1)依题意，以AB 的中点O 为原点建立平面直角坐标系(如图所示)，则点C 的横坐标为x .设点C 的纵坐标为y ，则(x ，y )满足方程x 2r 2＋y24r 2＝1(y >0)，解得y ＝2r 2－x 2(0<="">2(2x ＋2r )·2r 2－x 2＝2(x ＋r )·r 2－x 2，其定义域为{x |0<="">(2)记f (x )＝4(x ＋r )2(r 2－x 2)，0<="" )＝8(x=""令f ′(x )＝0，得x ＝12r ，或x ＝－r (舍去)．因为当0<1<="" p="">2r 时，f ′(x )>0；当12r <="" )2r )是f (x )的最大值．因此，当x ＝12r 时，S 也取得最大值，最大值为f (12r )＝332r 2，即梯形面积S 的最大值为332r 2.1．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为( ) A ．4 B ．6 C ．4.5 D ．8答案 A解析设底面边长为x ，高为h ，则V (x )＝x 2·h ＝256，∴h ＝256x2，。
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函数最值容易求解。
洛必达法则使用类型：
教师介绍含参不等式恒成立求参数范围的方法，引导学生回顾上节课的参数分离法
思考参数分离的主要方法和洛必达法则的使用前提。
引领学生回顾分析知识的特点，为本节构造函数的讲解打下基础。
点拨精讲10分钟
教师引导学生对函数进行构造讲解，分析构造函数的特征。
教学目标
1.知识与技能：探索并掌握恒成立条件下参数范围的求解下构造函数的特点使用原则。
2.过程与方法：通过构造具体的函数来探究恒成立条件下参数范围的求解，掌握参数对函数与方程、函数与不等式的影响，领会数形结合的思想。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，感受学习成功的喜悦。
教学重点难点
教学重点：恒成立条件下参数范围的求解中函数的构准备
t课件复习课训练学案
教学环节
教学内容
教师活动
学生活动
设计意图
考情分析
2分钟
导数每年命题会以“一大一小”格局出现:
“一小” ：即以选择题和填空题形式考察导数的几何意义和导数在实际研究函数中最值的应用；
“一大” ：即以压轴题形式考察导数、不等式、方程等方面的综合应用；
作业布置
1分钟
布置训练任务
标记并完成相应的任务
检测学生掌握知识情况。
教学反思
新的课程改革需要我们在教学中改变新的做法和思路，在本节课高考备考中，采用讲练结合法来展开教学，通过高考中恒成立条件下参数取值范围的求解中两种具体方法的探讨，让学生从感性角度和理性理解上对参数分离法和构造法有清晰的认识，加深了学生对恒成立条件下参数取值范围求解的认识。
好的一节课应该是培养学生观察能力，分析能力，以及良好的团队协作能力，能给学生自我展示的平台，只有这样让学生做课堂主动者的课才会让激发学生潜在的学习动力和学习的兴趣。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-2 1.3.3 导数的实际应用》6
导数的应用--------恒成立问题一教学背景分析：《导数》是高中数学教学中非常重要的一个章节，在每年的高考当中也几乎是必考题，而恒成立问题则是导数大题中常见的一种类型在前段时间的学习中，学生已经学习和掌握了导数的定义及其基本应用（如求切线，求单调区间，求极值和最值等），故在此段内容的学习后，应当注重知识的深化和综合恒成立问题是导数的综合应用中的常见问题，并且与刚刚结束的导数的基本应用的相关知识结合较为紧密，故特选此题作为一个专题进行教学高二（2）班的学生是我校高二年级的一个普通班，此班学生头脑灵活，反应比较灵敏，但学生性格普遍沉闷，虽然大脑在积极思考，但在课上不善于表达因此在教学方式上以教师问题为引导，通过由简到难的探究训练，让学生自主学习和发现解决恒成立问题的常用办法二教学目标知识与技能：掌握利用导数解决恒成立问题的方法；过程与方法：通过多次变式训练的过程，体会将复杂问题化为简单问题，将陌生问题化为熟悉问题的转化数学思想，体会导数的工具性作用；情感态度与价值观：通过对相关数学问题的思考和分析，感受事物是普通联系的辩证主义思想，发现数学之美，培养数学钻研精神三教学重难点教学重点：将恒成立问题转化为最值问题、分离变量法求解含参的恒成立问题教学难点：如何转化为最值问题四、教学过程探究一： []3,253)(23-∈-+-=x a x x x f ，函数， 的范围恒成立，求a x f 0)(≥通过探究一使学生掌握常见的恒成立问题的基础解法探究二：a x x f -=2)(，x x x g ln )(-= ， []e x ,1∈若 时，)()(x g x f ≥恒成立的范围求a 。
通过探究二使学生加深对问题的理解探究三：a x x f -=2)(，x x x g ln )(-=，1x ∀ 2x ∀[]e ,1∈ 时， )()(21x g x f ≥恒成立，求a 的范围 通过探究三发散学生的思维变式：2)(+=mx x g m>0,[][])()(,3,1,2,1,43)(2121222x f x g x x x x x x f >∈-∈--=使得总存在若对任意成立，求m 的范围五、练习1、若函数2a a y x x =-+在(1,)+∞上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A (,1]-∞- B [1,)-+∞ C (,1]-∞ D [1,)+∞六小结 1、知识层面：恒成立问题的解决办法：转化为最值问题，求参数范围时还可采用分离变量法； 2数学思想方法层面：利用转化的思想将复杂与陌生的问题转化为简单与熟悉的问题；3学习方法与态度层面：即要注重将复杂问题进行分析与分解，更重要的是对基础知识的掌握和巩固。
人教新课标版数学高二-人教数学(B)选修2-2检测 1.3.3导数的实际应用
一、选择题1．某产品的销售收入y 1(万元)是产量x (千台)的函数：y 1＝17x 2(x >0)，生产成本y 2(万元)是产量x (千台)的函数：y 2＝2x 3－x 2(x >0)，为使利润最大，应生产( )A ．6千台B ．7千台C ．8千台D ．9千台【解析】 设利润为y ，则y ＝y 1－y 2＝17x 2－(2x 3－x 2)＝－2x 3＋18x 2(x >0)， 又由y ′＝－6x 2＋36x ＝0得x ＝6，且当x ∈(0,6)时，y ′>0，当x ∈(6，＋∞)时，y ′<0，∴当x ＝6时，y 最大，故应生产6千台． 【答案】 A2．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则其高为( )A.203 cm B ．10 cm C ．15 cmD.2033 cm【解析】 设圆锥的高为x ，则底面半径为202－x 2，其体积V ＝13πx (202－x 2)(0<x <20)．V ′＝π3(400－3x 2)，令V ′＝0得x ＝2033，又当0<x <2033时，V ′>0；2033<x <20时，V ′<0，∴当x ＝2033时，V 取最大值． 【答案】 D3．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)．已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x，x∈(0,0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x的取值为()A．0.016 2B．0.032 4C．0.024 3 D．0.048 6【解析】依题意，存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，获得的贷款利息是0.048 6kx2，其中x∈(0,0.048 6)．所以银行的收益是y＝0.048 6kx2－kx3(0<x<0.048 6)，则y′＝0.097 2kx－3kx2.令y′＝0，得x＝0.032 4或x＝0(舍去)．当0<x<0.032 4时，y′>0；当0.032 4<x<0.048 6时，y′<0.所以当x＝0.032 4时，y取得最大值，即当存款利率为0.032 4时，银行获得最大收益．【答案】 B4．一火车锅炉每小时煤消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20 km/h时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需200元，火车的最高速度为100 km/h，要使从甲城开往乙城的总费用最少，则速度应为()A．10320 km/h B．20320 km/hC．5320 km/h D.320 km/h【解析】设速度为x km/h，甲、乙两城距离为a km.则总费用f(x)＝(kx3＋200)·ax ＝a(kx2＋200x)．由已知条件，得40＝k·203，∴k＝1200.∴f(x)＝a(1200x2＋200x)．由f′(x)＝a(x3－20 000)100x2＝0，得x＝10320.当0<x<10320时，f′(x)<0；当10320<x<100时，f′(x)>0.∴当x＝10320时，f(x)有最小值，即速度为10320 km/h时，总费用最少．【答案】 A5．有一边长分别为8与5的长方形，各角剪去相同的小正方形，把四边折起做成一个无盖小盒，则小盒的最大容积是()A．20B．18C．16D．14【解析】正方形边长为x，则V＝(8－2x)·(5－2x)x＝2(2x3－13x2＋20x)(0<x<5 2)．V′＝4(3x2－13x＋10)(0<x<5 2)．V′＝0得x＝1，根据实际情况，小盒容积最大值是存在的，∴当x＝1时，容积V取得最大值18.【答案】 B二、填空题6．(2013·开封高二检测)做一个容积为256升的方底无盖水箱，那么用料最省时，它的底面边长为________．【解析】设底面边长为x分米，则高h＝256x2，其表面积s＝x2＋256×4x，s′＝2x－256×4x2，令s′＝0，则x＝8.【答案】8分米7．已知矩形的两个顶点A 、D 位于x 轴上，另两个顶点BC 位于抛物线y ＝4－x 2在x 轴上方的曲线上，则这个矩形的面积最大时的边长为________．【解析】 由题意，设矩形边长AD ＝2x ，则AB ＝4－x 2， ∴矩形面积为S ＝2x (4－x 2)＝8x －2x 3(0<x <2)．∴S ′＝8－6x 2. 令S ′＝0，解之得x 1＝233，x 2＝－233(舍去)． 当0<x <233时，S ′>0； 当233<x <2时，S ′<0.∴当x ＝233时，S 取得最大值为3239.即矩形的边长分别是433，83时，矩形的面积最大． 【答案】433，838．某厂生产某种产品x 件的总成本C (x )＝1200＋275x 3(万元)，已知产品单价的平方与产品件数成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为________件时，总利润最大．【解析】 设产品的单价为p 万元，根据已知，可设p 2＝kx ，其中k 为比例系数．因为当x ＝100时，p ＝50，所以k ＝250 000，所以p 2＝250 000x ，p ＝500x ，x >0.设总利润为y 万元，则y ＝500x·x －1 200－275x 3＝500x －275x 3－1 200.求导数得，y ′＝250x －225x 2. 令y ′＝0得x ＝25. 故当x <25时，y ′>0； 当x >25时，y ′<0.因此，当x＝25时，函数y取得极大值，也是最大值．【答案】25三、解答题9．某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销，经调查，每年投入广告费t(百万元)，可增加销售额约为－t2＋5t(百万元)(0≤t≤3)．(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费x百万元，可增加的销售额约为－13x3＋x2＋3x(百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大．(收益＝销售额－投入) 【解】(1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)，则有f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)，∴当t＝2时，f(t)取得最大值4，即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大．(2)设用于技术改造的资金为x(百万元)，则用于广告促销的资金为(3－x)(百万元)，又设由此获得的收益是g(x)(百万元)，则g(x)＝(－13x3＋x2＋3x)＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3＝－13x3＋4x＋3(0≤x≤3)，∴g′(x)＝－x2＋4，令g′(x)＝0，解得x＝－2(舍去)或x＝2.又当0≤x<2时，g′(x)>0；当2<x≤3时，g′(x)<0，∴当x＝2时，g(x)取得最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大．10．已知A，B两地相距200千米，一只船从A地逆水航行到B地，水流的速度为8千米/时，船在静水中的速度为v千米/时(8<v≤v0)．已知船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，当v＝12千米/时时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度应为多少？【解】设全程燃料费为y，每小时的燃料费为y1，比例系数为k(k>0)，则y1＝k v2.当v＝12时，y1＝720，所以720＝k·122，解得k＝5.由题意，得y＝1000v2v－8，所以y′＝2000v(v－8)－1000v2(v－8)2＝1000v2－16000v(v－8)2.令y′＝0，得v＝0(舍去)或v＝16，所以v＝16(千米/时)．∵8<v≤v0，∴当v0≥16时，v＝16千米/时，全程燃料费最省，为32000元；当v0<16时，v∈(8，v0]，y′<0，y在(8，v0]上是单调递减函数，所以当v＝v0时，y有最小值，最小值为1000v20v0－8.综上可知，当v0≥16，v＝16千米/时时，全程燃料费最省，为32000元；当v0<16，v＝v0千米/时时，全程燃料费最省，为1000v20v0－8元．11．某商场预计2012年1月份起前x个月，顾客对某商品的需求总量p(x)(单位：件)与x的关系近似地满足p(x)＝12x(x＋1)(39－2x)(x∈N＋，x≤12)．该商品第x月的进货单价q(x)(单位：元)与x的近似关系是：q (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧150＋2x ，185－160x ，(x ∈N ＋，且1≤x ≤6)，(x ∈N ＋，且7≤x ≤12).(1)写出2012年第x 月的需求量f (x )(单位：件)与x 的函数关系式； (2)该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，试问商场2012年哪个月销售该商品的月利润最大，最大月利润为多少元？【解】 (1)当x ＝1时，f (1)＝p (1)＝37， 当2≤x ≤12，且x ∈N ＋时， f (x )＝p (x )－p (x －1)＝12x (x ＋1)(39－2x )－12(x －1)x ·(41－2x )＝－3x 2＋40x ， 验证x ＝1时也符合，∴f (x )＝－3x 2＋40x (x ∈N ＋，且1≤x ≤12)． (2)该商场预计第x 月销售该商品的月利润为g (x )＝⎩⎨⎧(－3x 2＋40x )(35－2x )，(x ∈N ＋，且1≤x ≤6)，(－3x 2＋40x )·160x ，(x ∈N ＋，且7≤x ≤12)，即g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧6x 3－185x 2＋1 400x ，(x ∈N ＋，且1≤x ≤6)，－480x ＋6 400，(x ∈N ＋，且7≤x ≤12).当1≤x ≤6，且x ∈N ＋时，g ′(x )＝18x 2－370x ＋1 400，令g ′(x )＝0，解得x ＝5，x ＝1409(舍去)． 当1≤x <5时，g ′(x )>0，当5<x ≤6时，g (x )′<0， g (x )max ＝g (5)＝3 125； 当7≤x ≤12，且x ∈N ＋时，g(x)＝－480x＋6 400是减函数，当x＝7时，g(x)max＝g(7)＝3 040，综上，商场2012年5月份的月利润最大，最大利润为3 125元.。
2020年高中数学新人教版选修2-2测试卷导数及其应用1.1.3导数的几何意义 Word版含解析
1.1.3 导数的几何意义明目标、知重点1．了解导函数的概念；了解导数与割线斜率之间的关系． 2．理解曲线的切线的概念；理解导数的几何意义．3．会求曲线上某点处的切线方程，初步体会以直代曲的意义．1．导数的几何意义 (1)割线斜率与切线斜率设函数y ＝f (x )的图象如图所示，AB 是过点A (x 0，f (x 0))与点B (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx ))的一条割线，此割线的斜率是Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的极限位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线在点A 处的切线．于是，当Δx →0时，割线AB 的斜率无限趋近于过点A 的切线AD 的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.(2)导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是f ′(x 0)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 2．函数的导数当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数，则当x 变化时，f ′(x )是x 的一个函数，称f ′(x )是f (x )的导函数(简称导数)．f ′(x )也记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx.情境导学]如果一个函数是路程关于时间的函数，那么函数在某点处的导数就是瞬时速度，这是函数的实际意义，那么从函数的图象上来考察函数在某点处的导数，它具有怎样的几何意义呢？这就是本节我们要研究的主要内容． 探究点一 导数的几何意义思考1 如图，当点P n (x n ，f (x n ))(n ＝1,2,3,4)沿着曲线f (x )趋近于点P (x 0，f (x 0))时，割线PP n的变化趋势是什么？答当点P n趋近于点P时，割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线，该切线的斜率为limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k＝f′(x0)．思考2 曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？答不一定．曲线的切线和曲线不一定只有一个交点，和曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切．如图，曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线．其图象特征是：切点附近的曲线均在切线的同侧，如l2.思考3 曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与曲线过某点(x0，y0)的切线有何不同？答曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线，点(x0，f(x0))一定是切点，只要求出k＝f′(x0)，利用点斜式写出切线即可；而曲线f(x)过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，既使在曲线上也不一定是切点．小结曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k＝f′(x0)，欲求斜率，先找切点P(x0，f(x0))．思考4 如何求曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程？答先确定切点P(x0，f(x0)) ，再求出切线的斜率k＝f′(x0)，最后由点斜式可写出切线方程．例1 已知曲线y＝x2，(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程．解(1)设切点为(x0，y0)，∵y′|x＝x0＝limΔx→0(x0＋Δx)2－x20Δx＝limΔx→0x20＋2x0·Δx＋(Δx)2－x20Δx＝2x0，∴y′|x＝1＝2.∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.(2)点P(3,5)不在曲线y＝x2上，设切点为(x0，y0)，由(1)知，y′|x＝x0＝2x0，∴切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，由P(3,5)在所求直线上得5－y0＝2x0(3－x0)，①再由A(x0，y0)在曲线y＝x2上得y0＝x20，②联立①，②得，x0＝1或x0＝5.从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25)．当切点为(1,1)时，切线的斜率为k1＝2x0＝2，此时切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，当切点为(5,25)时，切线的斜率为k2＝2x0＝10，此时切线方程为y－25＝10(x－5)，即y＝10x－25.综上所述，过点P(3,5)且与曲线y＝x2相切的直线方程为y＝2x－1或y＝10x－25.小结(1)求曲线上某点处的切线方程，可以直接利用导数求出曲线上此点处的斜率，然后利用点斜式写出切线方程；(2)求曲线过某点的切线方程，要先求出切点坐标，再按(1)完成解答．跟踪训练1 已知曲线y＝2x2－7，求：(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?(2)曲线过点P(3,9)的切线方程．解y′＝limΔx→0Δy Δx＝limΔx→0[2(x＋Δx)2－7]－(2x2－7)Δx＝limΔx→0(4x＋2Δx)＝4x.(1)设切点为(x0，y0)，则4x0＝4，x0＝1，y0＝－5，∴切点坐标为(1，－5)．即曲线上点(1，－5)的切线平行于直线4x－y－2＝0.(2)由于点P(3,9)不在曲线上．设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0，故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0)．将P(3,9)及y0＝2x20－7代入上式，得9－(2x20－7)＝4x0(3－x0)．解得x0＝2或x0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25)．从而所求切线方程为8x－y－15＝0和16x－y－39＝0.跟踪训练2 若曲线y＝x3＋3ax在某点处的切线方程为y＝3x＋1，求a的值．解∵y＝x3＋3ax.∴y′＝limΔx→0(x＋Δx)3＋3a(x＋Δx)－x3－3axΔx＝limΔx→03x2Δx＋3x(Δx)2＋(Δx)3＋3aΔxΔx＝limΔx→03x2＋3xΔx＋(Δx)2＋3a]＝3x2＋3a.设曲线与直线相切的切点为P(x0，y0)，结合已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧3x20＋3a＝3，x30＋3ax0＝y0＝3x0＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝1－322，x0＝－342.∴a＝1－322.探究点二导数与函数的单调性思考1 观察下边两个图形，在曲线的切点附近(Δx→0时)曲线与那一小段线段有何关系？答能在曲线的切点附近，曲线与切线贴合在一起，可用切线近似代替曲线．思考2 按照切线近似代替曲线的思想，切线的单调性能否表示曲线的变化趋势？如上左图，若在某一区间上曲线上各点的切线斜率均为负，则可判定在该区间上曲线的单调性如何？答在连续区间上切线斜率的正负，对应了曲线的单调性．思考3 如上右图，当t在(t0，t2)上变化时，其对应各点的导数值变化吗？会怎样变化？答会．当t变化时h′(t)便是t的一个函数，我们称它为h(t)的导函数．例2 如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图象．根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t0，t1，t2附近的变化情况．并讨论在(t0，t1)和(t1，t2)两个区间上函数的单调性．解用曲线h(t)在t0，t1，t2处的切线，刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况．(1)当t＝t0时，曲线h(t)在t0处的切线l0平行于t轴．所以，在t＝t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降．(2)当t＝t1时，曲线h(t)在t1处的切线l1的斜率h′(t1)<0.所以，在t＝t1附近曲线下降，即函数h(t)在t＝t1附近单调递减．(3)当t＝t2时，曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率h′(t2)<0.所以，在t＝t2附近曲线下降，即函数h(t)在t＝t2附近也单调递减．(4)从图中可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲线h(t)在t1附近比在t2附近下降得缓慢．在(t0，t1)和(t1，t2)上各个切点处的斜率均为负，故函数在这两个区间上均为减函数，在(t1，t2)上函数下降的更快．反思与感悟 1.导数与函数图象升降的关系：(1)若函数y＝f(x)在x＝x0处的导数存在且f′(x0)>0(即切线的斜率大于零)，则函数y＝f(x)在x＝x0附近的图象是上升的；若f′(x0)<0(即切线的斜率小于零)，则函数y＝f(x)在x＝x0附近的图象是下降的．(2)导数绝对值的大小反映了曲线上升和下降的快慢．2．导数与函数单调性的关系：(1) 若函数y＝f(x)在区间a，b]恒有f′(x) >0，则y＝f(x)在区间a，b]上是增函数；若恒有f′(x) <0，则y＝f(x)在区间a，b]上是减函数．(2)若函数y＝f(x)在区间a，b]是增函数，则f′(x)≥0；若函数y＝f(x)在区间a，b]是减函数，则f′(x)≤0.跟踪训练3 (1)根据例2图象，描述函数h(t)在t3和t4附近增(减)以及增(减)快慢的情况．解函数h(t)在t3、t4处的切线的斜率h′(t)>0，所以，在t＝t3，t＝t4附近单调递增，且曲线h(t)在t3附近比在t4附近递增得快．(2)若函数y＝f(x)的导函数在区间a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间a，b]上的图象可能是( )答案 A解析依题意，y＝f′(x)在a，b]上是增函数，则在函数f(x)的图象上，各点的切线的斜率随着x的增大而增大，观察四个选项的图象，只有A满足．1．已知曲线y＝f(x)＝2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为( )A．4 B．16 C．8 D．2答案 C解析f′(2)＝limΔx→0f(2＋Δx)－f(2)Δx＝limΔx→02(2＋Δx)2－8Δx＝limΔx→0(8＋2Δx)＝8，即k＝8.2．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( ) A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1答案 A解析由题意，知k＝y′|x＝0＝limΔx→0(0＋Δx)2＋a(0＋Δx)＋b－bΔx＝1，∴a＝1.又(0，b)在切线上，∴b＝1，故选A.3．已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16.则P点坐标为________．答案(3,30)解析设点P(x0,2x20＋4x0)，则f′(x0)＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝limΔx→02(Δx)2＋4x0·Δx＋4ΔxΔx＝4x0＋4，令4x0＋4＝16得x0＝3，∴P(3,30)．呈重点、现规律]1．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．2．“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值．3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x 0，f (x 0))，表示出切线方程，然后求出切点.一、基础过关1．下列说法正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处就没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线，则f ′(x 0)有可能存在 答案 C解析 k ＝f ′(x 0)，所以f ′(x 0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程为x ＝x 0.2.已知y ＝f (x )的图象如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( ) A ．f ′(x A )>f ′(x B ) B ．f ′(x A )<f ′(x B ) C ．f ′(x A )＝f ′(x B ) D ．不能确定 答案 B解析 由导数的几何意义，f ′(x A )，f ′(x B )分别是切线在点A 、B 处切线的斜率，由图象可知f ′(x A )<f ′(x B )．3．在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是( )A ．(0,0)B ．(2,4)C ．(14，116)D ．(12，14)答案 D解析 ∵y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x2Δx ＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x ， ∴令2x ＝tan π4＝1，得x ＝12.∴y ＝(12)2＝14.4．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( ) A ．1 B.12 C ．－12 D ．－1答案 A解析 ∵y ′＝lim Δx →0 a (1＋Δx )2－a ×12Δx＝lim Δx →0 (2a ＋a Δx )＝2a ， ∴可令2a ＝2，∴a ＝1.5．设y ＝f (x )为可导函数，且满足条件li m x →0f (1)－f (1－x )2x＝－2，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率是________．答案 －4 解析 由li m x →0f (1)－f (1－x )2x ＝－2，∴12f ′(1)＝－2，f ′(1)＝－4.6．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________. 答案 3解析 由在M 点处的切线方程是y ＝12x ＋2，得f (1)＝12×1＋2＝52，f ′(1)＝li m Δx →0 12(1＋Δx )＋2－12－2Δx ＝li m Δx →0 12Δx Δx ＝12. ∴f (1)＋f ′(1)＝52＋12＝3.二、能力提升7．设f (x )为可导函数，且满足lim x →0 f (1)－f (1－x )x＝－1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率是( ) A ．1 B ．－1 C.12 D ．－2答案 B 解析 ∵lim x →0 f (1)－f (1－x )x＝－1，∴lim x →0f (1－x )－f (1)－x＝－1，∴f ′(1)＝－1.8.如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)等于( )．A ．2B ．3C ．4D ．5答案 A解析 易得切点P (5,3)， ∴f (5)＝3，k ＝－1， 即f ′(5)＝－1.∴f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2.9．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12解析 ∵f ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋2(x ＋Δx )＋3－(x 2＋2x ＋3)Δx ＝lim Δx →0 (2x ＋2)·Δx ＋(Δx )2Δx ＝lim Δx →0(Δx ＋2x ＋2)＝2x ＋2. ∴可设P 点横坐标为x 0，则曲线C 在P 点处的切线斜率为2x 0＋2. 由已知得0≤2x 0＋2≤1，∴－1≤x 0≤－12，∴点P 横坐标的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12. 10．求过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线． 解 曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线斜率 k ＝y ′|x ＝1＝lim Δx →0 3(1＋Δx )2－4(1＋Δx )＋2－3＋4－2Δx ＝lim Δx →0(3Δx ＋2)＝2. ∴过点P (－1,2)的直线的斜率为2， 由点斜式得y －2＝2(x ＋1)， 即2x －y ＋4＝0.所以所求直线方程为2x －y ＋4＝0.11．已知抛物线y ＝x 2＋4与直线y ＝x ＋10.求：(1)它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2＋4，y ＝x ＋10，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝13.∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)． (2)∵y ＝x 2＋4，∴y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋4－(x 2＋4)Δx ＝lim Δx →0 (Δx )2＋2x ·Δx Δx ＝lim Δx →0(Δx ＋2x )＝2x . ∴y ′|x ＝－2＝－4，y ′|x ＝3＝6，即在点(－2,8)处的切线斜率为－4，在点(3,13)处的切线斜率为6. ∴在点(－2,8)处的切线方程为4x ＋y ＝0； 在点(3,13)处的切线方程为6x －y －5＝0.12．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a <0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 的值．解 ∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3＋a (x 0＋Δx )2－9(x 0＋Δx )－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1) ＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a )(Δx )2＋(Δx )3， ∴Δy Δx＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2. 当Δx 无限趋近于零时， Δy Δx无限趋近于3x 20＋2ax 0－9. 即f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0－9 ∴f ′(x 0)＝3(x 0＋a3)2－9－a 23.当x 0＝－a 3时，f ′(x 0)取最小值－9－a 23.∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行， ∴该切线斜率为－12. ∴－9－a 23＝－12.解得a＝±3.又a<0，∴a＝－3.三、探究与拓展13．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点P(1,1)，Q(2，－1)，且在点Q处与直线y＝x－3相切，求实数a、b、c的值．解∵曲线y＝ax2＋bx＋c过P(1,1)点，∴a＋b＋c＝1.①∵y′＝limΔx→0Δy Δx＝limΔx→0a(x＋Δx)2＋b(x＋Δx)＋c－(ax2＋bx＋c)Δx＝limΔx→0(2ax＋b)Δx＋a(Δx)2Δx＝limΔx→0(2ax＋b＋aΔx)＝2ax＋b，∴y′|x＝2＝4a＋b，∴4a＋b＝1.②又曲线过Q(2，－1)点，∴4a＋2b＋c＝－1，③联立①②③解得a＝3，b＝－11，c＝9......................................使用本文档删除后面的即可致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。
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自我小测
1．将8分为两数之和，使其立方之和为最小，则分法为( ) A ．2和6 B ．4和4
C ．3和5
D ．以上都不正确
2．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一件产品，成本增加100元，已知总收益R (元)与年产量x (件)的关系是R ＝⎩⎪⎨⎪⎧
400x －12x 2，0≤x ≤400，
80 000，x ＞400，则总利润P 最大
时，每年的产量是( )
A ．100件
B ．150件
C ．200件
D ．300件
3．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率成正比，比例系数为k (k ＞0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x 〔x ∈(0,0.048)〕，则存款利率为__________时，银行可获得最大收益．( )
A ．0.012
B ．0.024
C ．0.032
D ．0.036
4．已知矩形的两相邻顶点位于x 轴上，另两个顶点位于抛物线y ＝4－x 2在x 轴上方的部分，则此矩形面积的最大值是__________．
5．已知某工厂生产x 件产品的成本为C ＝25 000＋200x ＋1
40x 2(元)，则当平均成本最低
时，x ＝________件．
6．将边长为1 m 正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S ＝(梯形的周长)2
梯形的面积
，则S 的最小值是________．
7．某工厂拟建一座平面图(如图所示)为矩形且面积为200 m 2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m ，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)，求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求最低总造价．
8．货车欲以x km/h 的速度行驶，去130 km 远的某地．按交通法规，限制x 的允许范围是50≤x ≤100.假设汽油的价格为2元/L ，而汽车耗油的速率是⎝⎛⎭⎫2＋x
2
360L/h.司机的工资是14元/h ，试问最经济的车速是多少？这次行车的总费用最低是多少？(结果保留整数)
9．如图所示，扇形AOB 中，半径OA ＝1，∠AOB ＝π
2，在OA 的延长线上有一动点C ，
过C 作CD 与AB 相切于点E ，且与过点B 所作的OB 的垂线交于点D ，问当点C 在什么位置时，直角梯形OCDB 的面积最小．
参考答案
1．解析：设其中一个数为x ，两数立方之和为y ，
则另一个数为8－x ，y ＝x 3＋(8－x )3,0≤x ≤8，y ′＝3x 2－3(8－x )2， 令y ′＝0，即3x 2－3(8－x )2＝0，得x ＝4. 当0≤x ＜4时，y ′＜0；当4＜x ≤8时，y ′＞0. 所以当x ＝4时，y 最小． 答案：B
2．解析：由题意，总成本为C ＝20 000＋100x .
所以总利润P ＝R －C ＝⎩⎪⎨⎪⎧
400x －12x 2－100x －20 000，0≤x ≤400，
80 000－100x －20 000，x ＞400，
则P ′＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
300－x ，0≤x ≤400，－100，x ＞400，
令P ′＝0，得x ＝300，
易知当x ＝300(件)时，总利润最大． 答案：D
3．解析：由题意，存款量g (x )＝kx (k ＞0)，银行应支付的利息h (x )＝xg (x )＝kx 2，x ∈(0,0.048)．
设银行可获得的收益为y ，则y ＝0.048kx －kx 2. 于是y ′＝0.048k －2kx ，令y ′＝0，解得x ＝0.024， 依题意知y 在x ＝0.024处取得最大值．
故当存款利率为0.024时，银行可获得最大收益． 答案：B
4．解析：由题意可设点A (x ，y )，则点B (－x ，y )，C (－x,0)，D (x,0)，其中0＜x ＜2,0＜y ＜4，
设矩形的面积为S ，则S ＝2xy ＝2x (4－x 2)＝8x －2x 3， 令S ′＝8－6x 2＝0，得x ＝
23
3
. 又当x ∈⎝⎛⎭⎫
0，233时，S ′＞0；
当x ∈⎝⎛
⎭
⎫
233，2时，S ′＜0，
故当x ＝233时，面积取得最大值，此时S ＝323
9.
答案：
3239
5．解析：设平均成本为y 元，
则y ＝25 000＋200x ＋1
40x 2
x ＝25 000x ＋200＋x
40(x ≥0)，
y ′＝－25 000x 2＋1
40
，
令y ′＝0，得x ＝1 000或x ＝－1 000(舍去)． 当0≤x ＜1 000时，y ′＜0，当x ＞1 000时，y ′＞0， 故当x ＝1 000时，y 取最小值． 答案：1 000
6．解析：如图所示，设剪成的两块中是正三角形的那一块边长为x m ，
则梯形的周长为x ＋(1－x )＋(1－x )＋1＝3－x ，梯形的面积为
34－3
4
x 2， ∴S ＝(3－x )234(1－x 2
)＝433·x 2－6x ＋9
1－x 2(0＜x ＜1)，
对S 求导得S ′＝433·－2(3x 2
－10x ＋3)
(1－x 2)2
.
令S ′＝0，得x ＝1
3或x ＝3(舍去)，
∴S min ＝S ⎝⎛⎭⎫13＝323
3. 答案：
323
3
7．解：设矩形污水处理池的长为x m ，宽为200
x
m ，
据题意⎩⎪⎨⎪⎧
x ≤16，200x ≤x ，解得102≤x ≤16，总造价f (x )＝⎝⎛⎭⎫2x ＋2×200x ×400＋400
x
×248＋200×80＝800x ＋259 200
x
＋16 000(102≤x ≤16)，
令f ′(x )＝800－259 200
x 2
＝0，得x ＝18，当x ∈(0,18)时，函数f (x )为减函数；
当x ∈(18，＋∞)时，函数f (x )为增函数．因此在定义域内函数f (x )为减函数，当且仅当长为16 m ，宽为12.5 m 时，总造价最低，为45 000元．
8．解：由已知可得汽车的运行时间为130x h ，耗油量为130x ·⎝⎛⎭⎫2＋x 2360L ，
耗油费用为2·130x ·⎝⎛
⎭⎫2＋x 2360元， 司机的工资为14·130
x 元，
故这次行驶的总费用为
y ＝2·130x ·⎝⎛⎭⎫2＋x 2360＋14·130x ＝130⎝⎛⎭⎫x 180＋18x ， ∴y ′＝130⎝⎛⎭⎫
1180－18x 2.
令y ′＝0，即130⎝⎛⎭⎫1180－18x 2＝0， 解得x ＝1810(x ＝－1810舍去)． ∵50≤x ≤100，∴x ＝1810≈57(km/h)时， 最低费用为130×⎝⎛⎭⎫57180＋1857≈82(元)．
9．解：如图所示，作DF ⊥OA 于F ，则DF ＝OB ＝OE ，
可知，△OEC ≌△DFC ，∴OC ＝CD .
设OC ＝x (x ＞1)，在Rt △CDF 中，CD 2＝CF 2＋DF 2，即x 2＝(x －BD )2＋1，∴BD ＝x －x 2－1，
∴梯形的面积为S ＝12(BD ＋OC )·OB ＝12(2x －x 2－1)，S ′＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2－x x 2－1， 令S ′＝0，得
x x 2－1
＝2，解得x 1＝233，x 2
＝－233(舍去)，当x ＞23
3时，S ′＞0；当1＜x ＜23
3
时，S ′＜0，
∴当x ＝233时，S 取最小值，故当OC ＝23
3时，直角梯形OCDB 的面积最小．。