北师大版九年级下册数学《圆的对称性》圆2精品PPT教学课件

它的跨度(弧所对是弦的长)为37.4m,拱高 (弧的中点到弦的距离,
也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).
解：如图，用 AB 表示桥拱，AB 所在圆的圆心为O，半径为Rm，
经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 AB 相交于点C.根
据垂径定理，D是AB的中点，C是AB 的中点，CD就是拱高.
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垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所 对的两条弧。
几何语言表达：
AE ＝ BE
A
CD是直径
A⌒C＝B⌒C
CD⊥AB
A⌒D＝B⌒D
C
O
E
B
D
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垂径定理的逆定理
• AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.
过点M作直径CD.
右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
② CD⊥AB
⑤⌒AD=⌒BD.
③ AM=BM
C
A M└
B
●O
条件 结论
命题
①② ③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. D
①③ ①④ ①⑤
②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 ②③④ 另一条弧.
九年级下册
第三章
2.圆的对称性
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2.圆的对c称性
说一说
（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是 什么？你能找到多少条对称轴？
（2）你是怎么得出结论的？与同伴进行交流。
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圆的基本性质
圆是轴对称图形，
其对称轴是任意一条
过圆心的直线.
2
几个重要概念
圆弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧（arc）. 弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦（chord）.
E
B
因此AE＝BE，A⌒C＝B⌒C，A⌒D＝B⌒D
D
叠合法
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垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所 对的两条弧。
几何语言表达：
AE ＝ BE
A
CD是直径
A⌒C＝B⌒C
CD⊥AB
A⌒D＝B⌒D
C
O
E
B
D
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看下列图形，能否使用垂径定理?为什么?
E
E
E
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垂径定理的应用
如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O 是弧
CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD垂足为
F,EF=90m.求这段弯路的半径。 C
●
O
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E 解:连接OC
F D 设弯路的半径为Rm,则OF (R 90)m.
OE CD,
CF 1 CD 1 600 300(m).
2
根据勾股定理, 得
2
OC 2
CF 2
OF
2 ,即
R2 3002 R 902.
解这个方程,得R 545.
这段弯路的半径约为545m.
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课本 P 92 随堂练习
1300多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥(如图)的 桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4米， 拱高(弧的中点到弧的距离，也叫弓形高)为7.2米，求 桥拱的半径.(精确到0.1米)
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垂径定理的逆定理
• 如图,在下列五个条件中:
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=⌒BD.
只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
C
A M└
B
你可以写出相应的命题吗?
●O
D
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垂径定理的逆定理
①④CA⌒DC是=⌒B直C径
②③ ②④ ②⑤
①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.
①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且 ①③④ 平分弦和所对的另一条弧.
③④ ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于
③⑤ ①②④ 弦,并且平分弦所对的另一条弧.
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求证：AE＝BE，A⌒C＝B⌒C，A⌒D＝B⌒D。
C
证明：连结OA、OB，则OA＝OB。
因为垂直于弦AB 的直径CD所在的直
线既是等腰三角形OAB的对称轴又是
⊙ O 的对称轴。所以，当把圆沿着直
O
径CD折叠时， CD两侧的两个半圆重
合AC，、A⌒A点D和分⌒B别点和重B合C、，⌒BADE重和⌒合B。E重合， A
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例1 如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到 AB的距离为3厘米，求⊙O的半径。
A
E
B
.
O
解：连结OA。过O作OE⊥AB，垂足为E， 则OE＝3厘米，AE＝BE=1/2AB＝4厘米
在RtAOE中，根据勾股定理有OA＝5厘米 ∴⊙O的半径为5厘米。
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A
B
A
O
B
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D
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如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使 CD⊥AB，垂足为M.
（1）右图是轴对称图形 吗？如果是，其对称轴是 A 什么？
C MB
（2）你能发现图中有 哪些等量关系？说一说 你的理由。
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O
D
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探索发现
已知：在⊙O中，过圆心的直线OE垂直于弦AB，垂足为E。
直径 经过圆心的弦叫做直径（diameter）.
注 弧包括优弧和劣弧，大于
半圆的弧称为优弧，小于半
圆的弧称为劣弧.
A
⌒ 例如 优弧ACD（记作 ACD ） ⌒ 2020劣/11/2弧4 ABD（记作 AD ）
C
B D
3
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使 CD⊥AB，垂足为M.
C
AAA
MB BB
C
• 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说 说你的想法和理由.
A
┗●
B 小明发现图中有:
M
●O
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
可推得
②CD⊥AB,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
平分弦（D不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
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1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥 (如图)的桥拱是圆弧形,
④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
垂径定理的推论
• 如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相 等吗?
1.两条弦在圆心的同侧 2.两条弦在圆心的两侧
由题设 AB 37.4,CD 7.2
AD 1 AB 1 37.4 18.7
37.4
2
2
C
OD OC DC R 7.2.
7.2
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
A
D
B
OA2 AD2 OD 2 , R
即R2 18.72 (R 7.2)2.
解得 R≈27.9（m） O
答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.