离散8
离散数学试题带答案(八)
离散数学考试题(后附详细答案)一、命题符号化（共6小题，每小题3分，共计18分）1.用命题逻辑把下列命题符号化a)假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。
设P表示命题“上午下雨”，Q表示命题“我去看电影”，R表示命题“在家里读书”，S表示命题“在家看报”，命题符号化为：（⌝P⇄Q）∧(P⇄R∨S)b)我今天进城，除非下雨。
设P表示命题“我今天进城”，Q表示命题“天下雨”，命题符号化为：⌝Q→P或⌝P→Qc)仅当你走，我将留下。
设P表示命题“你走”，Q表示命题“我留下”，命题符号化为： Q→P2.用谓词逻辑把下列命题符号化a)有些实数不是有理数设R(x)表示“x是实数”，Q(x)表示“x是有理数”，命题符号化为：∃x(R(x) ∧⌝Q(x)) 或⌝∀x(R(x) →Q(x))b)对于所有非零实数x，总存在y使得xy=1。
设R(x)表示“x是实数”，E(x,y)表示“x=y”,f(x,y)=xy, 命题符号化为：∀x(R(x) ∧⌝E(x,0) →∃y(R(y) ∧E(f(x,y),1))))c) f 是从A到B的函数当且仅当对于每个a∈A存在唯一的b∈B，使得f(a)=b.设F(f)表示“f是从A到B的函数”, A(x)表示“x∈A”, B(x)表示“x∈B”,E(x,y)表示“x=y”, 命题符号化为：F(f)⇄∀a(A(a)→∃b(B(b) ∧ E(f(a),b) ∧∀c(S(c) ∧ E(f(a),c) →E(a,b))))二、简答题（共6道题，共32分）1.求命题公式(P→(Q→R))↔(R→(Q→P))的主析取范式、主合取范式，并写出所有成真赋值。
（5分）(P→(Q→R))↔(R→(Q→P))⇔（⌝P∨⌝Q∨R）↔(P∨⌝Q∨⌝R)⇔(（⌝P∨⌝Q∨R）→(P∨⌝Q∨⌝R)) ∧ ((P∨⌝Q∨⌝R) →（⌝P∨⌝Q∨R）).⇔(（P∧Q∧⌝R）∨ (P∨⌝Q∨⌝R)) ∧ ((⌝P∧Q∧R) ∨（⌝P∨⌝Q∨R）)⇔(P∨⌝Q∨⌝R) ∧(⌝P∨⌝Q∨R) 这是主合取范式公式的所有成真赋值为000,001,010,100,101,111,故主析取范式为（⌝P∧⌝Q∧⌝R)∨（⌝P∧⌝Q∧R)∨（⌝P∧Q∧⌝R)∨（P∧⌝Q∧⌝R)∨（P∧⌝Q∧R)∨（P∧Q∧R)2.设个体域为{1,2,3}，求下列命题的真值（4分）a)∀x∃y(x+y=4)b)∃y∀x (x+y=4)a) T b) F3.求∀x(F(x)→G(x))→(∃xF(x)→∃xG(x))的前束范式。
离散数学：第8讲 等价关系
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等价关系
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例4
例: 考虑A={a,b,c}上的划分.
解:
加细
a bc
加细
a 加细 bc
a 加细 bc
a bc
加细
a
加细
bc #
如何确定一个集合上的划分个数？
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等价关系
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例5
例13: 问A={a,b,c,d} 有多少种划分?
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等价关系
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等价关系
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性质2
性质2: 设 RAA 且 A, 则 (1) rs( R ) = sr( R ); (2) rt( R ) = tr( R ); (3) st( R ) ts( R ).
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等价关系
等价关系: 设 RAA 且 A, 若R 是自反的, 对称的, 传递的,则称R 为等价关系。
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等价关系
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例3（续）
例3: 设 A={1,2,3,4,5,8}, 等价关系 R = { <x,y> | x,yA xy(mod 3) }
的等价类如下： [1]=[4]={1,4}, [2]=[5]=[8]={2,5,8},
[3]={3}. #
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depending on the size of the block containing the n+1 st
element. If the block has size j for
then we
have choices for the n other elements of the block. The
西北工业大学《离散数学》课件-第8章
例2 判断下面函数是否为单射, 满射, 双射的, 为什么? (1) f:R→R, f(x) = x2+2x1 (2) f:Z+→R, f(x) = lnx, Z+为正整数集 (3) f:R→Z, f(x) = x (4) f:R→R, f(x)=2x+1 (5) f:R+→R+, f(x)=(x2+1)/x, 其中R+为正实数集.
2
函数定义
定义8.1 设 F 为二元关系, 若x∈domF 都存在唯一的 y∈ranF 使 xFy 成立, 则称 F 为函数 对于函数F, 如果有 xFy, 则记作 y=F(x), 并称 y 为F 在 x 的值. 例 F1={<x1,y1>,<x2,y2>,<x3,y2>}
F2={<x1,y1>,<x1,y2>} F1是函数, F2不是函数
f g={<a1,c1>,<a2,c2>}
f:A→B 和 f g:A→C是单射的, 但g:B→C不是单射的.
A={a1,a2,a3}, B={b1,b2,b3}, C={c1,c2}. f={<a1,b1>,<a2,b2>,<a3,b2>}, g={<b1,c1>,<b2,c2>,<b3,c2>}
x / 2 若x为偶数
例 设 f：N→N, 且
f
(
x)
x
1
若x为 奇 数
令A={0,1}, B={2},
f(A) = f( {0,1}) = { f(0), f(1)}={0,2} f 1(B) = f 1({2})={1,4}
离散数学8等价公式的证明
等价公式的证明一、证明公式等价的方法1、真值表法例1证明：（¬P∨Q）⇔（P→Q）证明：画出真值表P Q ¬P ¬P∨Q P→QT T F T TT F F F FF T T T TF F T T T由真值表可以得出（¬P∨Q）⇔（P→Q）.例2 证明：((P∧Q)∨(¬P∧Q))⇔ (P ∆ Q).P Q P∧Q ¬P∧¬Q (P∧Q)∨（¬P∧Q）T T T F TT F F F FF T F T FF F F T T由真值表可以得出((P∧Q)∨(¬P∧Q))⇔ (P ∆ Q).重要的等价公式（1）对合律⌝⌝P⇔P（2）幂等律 P∨P⇔P P∧P⇔P（3）结合律 P∨(Q∨R)⇔(P∨Q)∨RP∧(Q∧R)⇔(P∧Q)∧R（4）交换律 P∨Q⇔Q∨P P∧Q⇔Q∧P （5）分配律 P∨(Q∧R)⇔(P∨Q)∧(P∨R) P∧(Q∨R)⇔(P∧Q)∨(P∧R) （6）吸收律 P∨(P∧Q)⇔P P∧(P∨Q)⇔P（7）德摩根律⌝(P∨Q)⇔⌝P∧⌝Q⌝(P∧Q)⇔⌝P∨⌝Q （8）同一律 P∨F⇔P P∧T⇔P （9）零律 P∨T⇔T P∧F⇔F （10）否定律 P∨⌝P⇔T P∧⌝P⇔F （11）蕴含等值式P→Q⇔⌝P∨Q （12）假言易位式P→Q⇔⌝Q→⌝P（13）等价等值式P∆Q ⇔(P→Q)∧(Q→P)P∆Q ⇔(⌝P∨Q)∧(P∨⌝Q) P∆Q ⇔(P∧Q)∨(⌝P∧⌝Q ) （14）输出律(P∧Q)→R⇔P→（Q→R）（15）归谬律（P→Q）∧（P→¬Q）⇔¬P2、等值演算法根据已知的等价公式,推演出另外一些等价公式的过程称为等值演算.定义1-4.3：如果X是命题公式A的一部分,且X本身也是一个命题公式，则称X是A的子公式.例如, P∨(P∧Q)为Q→ (P∨(P∧Q))的子公式.定理1.4.1置换定理设X是命题公式A的子公式，若X⇔Y，则若将A中的X 用Y来置换，所得公式B与A等价，即A⇔B.例3 求证: (⌝P∨Q)→(P∧Q) ⇔P.证明：(⌝P∨Q)→(P∧Q)⇔⌝(⌝P∨Q)∨(P∧Q) (蕴含等值式P→Q⇔⌝P∨Q ) ⇔(⌝⌝P∧⌝Q)∨(P∧Q) (德摩根定律)⇔ (P∧⌝Q)∨(P∧Q) (对合律)⇔P∧(⌝Q∨Q) (分配律)⇔P∧T (互补律)⇔P (同一律)例4.化简⌝(P∧Q)→(⌝P∨(⌝P∨Q)).解：原公式⇔⌝⌝(P∧Q)∨((⌝P∨⌝P)∨Q) (蕴含等值式)⇔(P∧Q)∨(⌝P∨Q) (对合律，幂等律) ⇔(P∧Q)∨(Q∨⌝P) (交换律)⇔((P∧Q)∨Q)∨⌝P (结合律)⇔Q∨⌝P (吸收律)。
离散数学 教案 第八章 图论
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Discrete Mathematics 为方便起见，在无向图中往往用字母ei表示 边。例如，在上图中，用e1表示边(v2,v2)，e2 表示边(v1,v2)等。 对于一个确定的图，我们不关心顶点的位置， 边的长短与形状，因此，所画出的图的图形可 能不唯一。 定义 一个有向图G是一个二元组<V,E>，即 G=<V,E>，其中
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Discrete Mathematics 定义 一个无向图G是一个二元组<V,E>，即 G=<V,E>，其中
(1). V是一个非空的集合，称为G的顶点集， V中元素称为顶点或结点；
(2). E是无序积 的一个多重子集 (元素可重复 出现的集合为多重集)，称E为G的边集，E中元 素称为无向边或简称边。 在一个图G=<V,E>中，为了表示V和E分别 为G的顶点集和边集，常将V记成V(G)，而将E 记成E(G)。
由于2m，
为偶数，所以
也为偶数。
可是,vV1时，d(v)为奇数，偶数个奇数之和才能 为偶数，所以|V1|为偶数。结论得证。
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Discrete Mathematics 对有向图来说，还有下面的定理： 定理 设G=<V,E>为有向图， V={v1,v2,…,vn} ， |E|=m，则
(5).设E´ E且E´ ≠Φ ，以E´为边集，以E´中边
关联的顶点的全体为顶点集的G的子图，则称G´是由 边集E´导出的G的子图。
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Discrete Mathematics 例如，在下图中，(2)，(3)均为(1)的子图；(3)是 生成子图；(2)是顶点子集{v1,v2}的导出子图，也
离散数学8-代数系统基础
第八章 代数系统基础
第八章 代数系统基础
8.1 代数系统概念 8.2 半群与独异点 8.3 群的基本定义与性质 8.4 子群与陪集 8.5 循环群和置换群 8.6 环和域
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一、基本概念
定义1: 设A是个非空集合且函数f:A*A→A，则称f为 A上的二元运算。
二元运算的两个重要特点： 一是运算封闭性，集合内任意两个元素都可以运算，运算后仍在同
主要包括运算所具有的算律和特殊元素 算律主要：结合律、交换律、分配律、吸收律和消去律 特殊元素：等幂元、幺元、零元和逆元。
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1.结合律
定义3: 设代数系统<A,*>，对于A中任意元素a,b,c， (ab)c=a(bc)，都称运算满足结合律，或是可结合的 。
实数集合上的加法和乘法满足结合律。幂集P(A)上的交、并和对称差 都满足结合律。矩阵的加法和乘法满足结合律。代数系统(Nk,＋k)和 (Nk, ×k)中的＋k和×k都满足结合律。
例设<A,*>是一个代数系统，其中*定义为a*b=a，证明运算是不可交 换的。
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3.幂等律
定义5: 设代数系统<A,*>，对于A中任意元素有 x*x=x，则称运算*在A上满足幂等律。
设A为集合，<P(A), ∩>和<P(A), ∪>中的∩和换律、结合律和幂等律。
则称<A,*>是群。
如果<A,>是独异点且每个元素存在逆元，则称<A,>是群。 （R，+），（Z，+）都是群，幺元为零，x -1 = -x；（R-{0}，×）是群，幺
元为1，x -1 =1/x ；<Q,>不是群，1是幺元，而0是无逆元。
离散数学8习题解答
离散数学8习题解答第8 章习题解答8.1 图8.6 中,(1)所⽰的图为,3,1K (2) 所⽰的图为,3,2K (3)所⽰的图为,2,2K 它们分别各有不同的同构形式.8.2 若G 为零图,⽤⼀种颜⾊就够了,若G 是⾮零图的⼆部图,⽤两种颜⾊就够了.分析根据⼆部图的定义可知,n 阶零图(⽆边的图)是三部图(含平凡图),对n 阶零图的每个顶点都⽤同⼀种颜⾊染⾊,因为⽆边,所以,不会出现相邻顶点染同⾊,因⽽⼀种颜⾊就够⽤了.8.3 完全⼆部图,,s r K 中的边数rs m -.分析设完全⼆部图s r K ,的顶点集为V, 则?==2121,V V V V V ,且,||,||21s V r V ==s r K ,是简单图,且1V 中每个顶点与2V 中所有顶点相邻,⽽且1V 中任何两个不同顶点关联的边互不相同,所以,边数rs m -.8.4 完全⼆部图s r K ,中匹配数},min{1s r =β,即1β等于s r ,中的⼩者. 分析不妨设,s r ≤且⼆部图s r K ,中,,||,||21s V r V ==由Hall 定理可知,图中存在1V 到的完备匹配,设M 为⼀个完备匹配,则1V 中顶点全为M 饱和点,所以,.1r =β8.5 能安排多种⽅案,使每个⼯⼈去完成⼀项他们各⾃能胜任的任务.分析设},,{1丙⼄甲=V ,则1V 为⼯⼈集合, },,{2c b a V =,则2V 为任务集合.令}|),{(,21y x y x E V V V 能胜任== ,得⽆向图>=8.7 所⽰.本题是求图中完美匹配问题. 给图中⼀个完美匹配就对应⼀个分配⽅案.图8.7 满⾜Hall 定理中的相异性条件,所以,存在完备匹配,⼜因为,3||||21==V V 所以,完备匹配也为完美匹配.其实,从图上,可以找到多个完美匹配. 取)},(),,(),,{(1c b a M 丙⼄甲=此匹配对应的⽅案为甲完成a,⼄完成b, 丙完成c,见图中粗边所⽰的匹配. )},(),,(),,{(c a b M 丙⼄甲=2M 对应的分配⽅案为甲完成b,⼄完成a,丙完成c.请读者再找出其余的分配⽅案.8.6 本题的答案太多,如果不限定画出的图为简单图,⾮常容易地给出4族图分别满⾜要求.(1) n (n 为偶数,且2≥n )阶圈都是偶数个顶点,偶数条边的欧拉图.(2) n (n 为奇数,且1≥n )阶圈都是奇数个顶点,奇数条边的欧拉图.(3) 在(1) 中的圈上任选⼀个顶点,在此顶点处加⼀个环,所务图为奇数个顶点,偶数条边的欧拉图.分析上⾯给出的4族图都是连通的,并且所有顶点的度数都是偶数,所以,都是欧拉图.并且(1),(2) 中的图都是简单图.⽽(3),(4)中的图都带环,因⽽都是⾮简单图. 于是,如果要求所给出的图必须是简单图,则(3),(4)中的图不满⾜要求.其实,欧拉图是若⼲个边不重的图的并,由这种性质,同样可以得到满⾜(3),(4)中要求的简单欧拉图.设k G G G ,,,21 是长度⼤于等于3的k 个奇圈(长度为奇数的圈称为奇圈),其中k 为偶数,将1G 中某个顶点与2G 中的某顶点重合,但边不重合, 2G 中某顶点与3G 中某顶点重合,但边不重合,继续地,最后将1-k G 中某顶点与k G 中某顶点重合,边不重合,设最后得连通图为G,则G 中有奇数个顶点,偶数条边,且所有顶点度数均为偶数,所以,这样的⼀族图满⾜(4)的要求,其中⼀个特例为图8.8中(1)所⽰.在以上各图中,若k G G G ,,,21 中有⼀个偶圈,其他条件不变,构造⽅法同上,则所得图G 为偶数个顶点,奇数条边的简单欧拉图,满⾜(3)的要求,图8.8中(2)所⽰为⼀个特殊的情况.8.7 本题的讨论类似于8.6题,只是将所有⽆向圈全变成有向圈即可,请读者⾃⼰画出满⾜要求的⼀些特殊有向欧拉图.8.8 本题的答案也是很多的,这⾥给出满⾜要求的最简单⼀些图案,⽽且全为简单图.(1) n (3≥n )阶圈,它们都是欧拉图,⼜都是哈密尔顿图.(2) 给定k (2≥k )个长度⼤于等于3的初级回路,即圈k G G G ,,,21 ,⽤8.6题⽅法构造的图G 均为欧拉图,但都不是哈密尔顿图,图8.8给出的两个图是这⾥的特例.(3)n (4≥n )阶圈中,找两个不相邻的顶点,在它们之间加⼀条边,所得图均为哈密尔顿图,但都不是欧拉图.(4) 在(2)中的图中,设存在长度⼤于等于4的圈,⽐如说1G ,在1G 中找两个不相邻的相邻顶点,在它们之间加⼀条新边,然后⽤8.6题⽅法构造图G,则G 既不是欧拉图,也不是哈密尔顿图,见图8.9所⽰的图.分析 (1) 中图满⾜要求是显然的.(2)中构造的图G 是连通的,并且各顶点度数均为偶数,所以,都是欧拉图,但因为G 中存在割点,将割点从G 中删除,所得图⾄少有两个连通分⽀,这破坏了哈密尔顿图的必要条件,所以,G 不是哈密尔顿图.(3) 中构造的图中,所有顶点都排在⼀个圈上,所以,图中存在哈密尔顿回路,因⽽为哈密尔顿图,但因图中有奇度顶点(度数为奇数的顶点),所以,不是欧拉图. 由以上讨论可知,(4) 中图既不是欧拉其实,读者可以找许多族图,分别满⾜题中的要求.8.9 请读者⾃⼰讨论.8.10 其逆命题不真.分析若D 是强连通的有向图,则D 中任何两个顶点都是相互可达的,但并没有要求D 中每个顶点的⼊度都等于出度. 在图8.2 所⽰的3个强连通的有向衅都不是欧拉图.8.11 除2K 不是哈密尔顿图之外, n K (3≥n )全是哈密尔顿图. n K (n 为奇数)为欧拉图. 规定1K (平凡图)既是欧拉图,⼜是哈密尔顿图.分析从哈密尔顿图的定义不难看出,n 阶图G 是否为哈密尔顿图,就看是否能将G 中的所有顶点排在G 中的⼀个长为n 的初级回路,即圈上. n K (3≥n )中存在多个这样的⽣成圈(含所有顶点的图), 所以n K (3≥n )都是哈密尔顿图.在完全图n K 中,各顶点的度数均为n-1,若n K 为欧拉图,则必有1-n 为偶数,即n 为奇数,于是,当n 为奇数时, n K 连通且⽆度顶点,所以, n K (n 为奇数) 都是欧拉图.当n 为偶数时,各顶点的度数均为奇数,当然不是欧拉图.8.12 有割点的图也可以为欧拉图.分析⽆向图G 为欧拉图当且仅当G 连通且没有奇度顶点.只要G 连通且⽆奇度顶点(割点的度数也为偶数),G 就是欧拉图.图8.8所⽰的两个图都有割点,但它们都是欧拉图.8.13 将7个⼈排座在圆桌周围,其排法为.abdfgeca分析做⽆向图>=},,,,,,{g f e d c b a V =},|),{(有共同语⾔与且v u V v u v u E ∈=图G 为图8.10所⽰.图G 是连通图,于是,能否将这7个⼈排座在圆桌周围,使得每个⼈能与两边的⼈交谈,就转化成了图G 中是否存在哈密尔顿回路(也就是G 是否为哈密尔顿图).通过观察发现G 中存在哈密尔顿回路, abdfgeca 就是其8.14 ⽤i v 表⽰颜⾊.6,,2,1, =i i 做⽆向图>=},,,,,,{654321v v v v v v V =}.,,|),{(能搭配与并且且v u v u V v u v u E ≠∈=对于任意的)(,v d V v ∈表⽰顶点v 与别的能搭配的颜⾊个数,易知G 是简单图,且对于任意的V v u ∈,,均有633)()(=+≥+v d u d ,由定理8.9可知,G 为哈密尔顿图,因⽽G 中存在哈密尔顿回路,不妨设1654321i i i i i i i v v v v v v v 为其中的⼀条,在这种回路上,每个顶点⼯表的颜⾊都能与它相邻顶点代表的颜⾊相.于是,让1i v 与2i v ,3i v 与4i v ,5i v 与6i v 所代表的颜⾊相搭配就能织出3种双⾊布,包含了6种颜⾊.8.15∑=?======300321,10220)deg(.12)deg(,3)deg(,1)deg(,4)deg(i i R R R R R ⽽本图边数m=10.分析平⾯图(平⾯嵌⼊)的⾯i R 的次数等于包围它的边界的回路的长度,这⾥所说回路,可能是初级的,可能是简单的,也可能是复杂的,还可能由若⼲个回路组成.图8.1所⽰图中,321,,R R R 的边界都是初级回路,⽽0R 的边界为复杂回路(有的边在回路中重复出现),即432110987654321e e e e e e e e e e e e e e ,长度为12,其中边65,e e 在其中各出现两次.8.16 图8.11中,实线边所⽰的图为图8.1中图G,虚线边,实⼼点图为它的对偶图的顶点数*n ,边数*m ,⾯数*r 分别为4,10和8,于是有分析从图8.11还可以发现,G 的每个顶点位于的⼀个⾯中,且的每个⾯只含G 的⼀个顶点,所以,这是连通平⾯图G 是具有k 个连通分⽀的平⾯图2≥k ,则应有1*+-=k n r .读者⾃⼰给出⼀个⾮连通的平⾯图,求出它的对偶图来验证这个结论.另外,⽤图8.1还可以验证,对于任意的*v (*G 中的顶点),若它处于G 的⾯i R 中,则应有)deg()(*i R v d =.8.17 不能与G 同构.分析任意平⾯图的对偶图都是连通的,因⽽与都是连通图,⽽G 是具有3个连通分⽀的⾮连通图,连通图与⾮连通图显然是不能同构的.图 8.12 中, 这线边图为图8.2中的图G,虚线边图为G 的对偶图,带⼩杠的边组成的图是*G 的对偶图,显然.~**G G ≠8.18 因为彼得森图中有长度为奇数的圈,根据定理8.1可知它不是⼆部图.图中每个顶点的度数均为3,由定8.5可知它不是欧拉图.⼜因为它可以收缩成5K ,由库拉图期基定理可知它也不是平⾯图.其实,彼得森图也不是哈密尔顿图图,这⾥就不给出证明了.8.19 将图8.4重画在图8.13中,并且将顶点标定.图中afbdcea 为图中哈密尔顿回路,见图中粗边所⽰,所以,该图为哈密尔顿图.将图中边),(),,(),,(d f f e e d 三条去掉,所得图为原来图的⼦图,它为3,3K ,可取},,{1c b a V =},,{2f e d V =,由库拉图期基定理可知,该图不是平⾯图.8.20 图8.14 所⽰图为图8.5所⽰图的平⾯嵌⼊.分析该图为极⼤平⾯图.此图G 中,顶点数9=n ,边数.12=m 若G 是不是极⼤平⾯图,则应该存在不相邻的顶点,,v u 在它们之间再加⼀条边所得'G 还应该是简单平⾯图, 'G 的顶点数131,6''=+===n m n n ,于是会有.126313''=->=n m这与定理8.16⽭盾,所以,G 为极⼤平⾯图.其实,n ( 3≥n )阶简单平⾯图G 为极⼤平⾯图当且仅当G 的每个⾯的次数均为3.由图8.14可知,G 的每个⾯的次数均为3,所以,G 为极⼤平⾯图.8.12 答案 A,B,C,D 全为②分析 (1) 只有n 为奇数时命题为真,见8.11的解答与分析.(2) 2≠n 时,命题为真,见8.11的解答与分析.(3) 只有m n ,都是偶数时,m n K ,中才⽆奇度数顶点,因⽽m n K ,为欧拉图,其他情况下,即m n ,中⾄少有⼀个是奇数,这时m n K ,中必有奇度顶点,因⽽不是欧拉图.(4) 只有m n =时, m n K ,中存在哈密尔顿回路,因⽽为哈密尔顿图. 当m n ≠时,不妨设m n <,并且在⼆部图m n K ,中,m V n V==||,||21,则n V m V G p =>=-||)(11,这与定理8.8⽭盾. 所以, m n ≠时, m n K ,不是哈密尔顿图.8.22 答案 A:②;B ②;C ②.分析图8.15中,两个实边图是同构的,但它们的对偶⼒(虚边图)是不同构的.(2) 任何平⾯图的对偶图都是连通图.设G 是⾮连通的平⾯图,显然有.**~G G ≠ (3) 当G 是⾮连通的平⾯图时,,1*+-=k n r 其中k 为G 的连通分⽀数.8.23 答案 A:④;B ②;C ②.分析根据库期基定理可知,所求的图必含有5K 或3,3K 同胚⼦图,或含可收缩成5K 或3,3K 的⼦图.由于顶点数和边数均已限定,因⽽由3,3K 加2条边的图可满⾜要求,由5K 增加⼀个顶点,⼀条边的图可满⾜要求,将所有的⾮同构的简单图画出来,共有4个,其中由3,3K 产⽣的有2个,由5K 产⽣的有2个.见图8.16所⽰.。
【离散数学讲义】8.树与生成树53
2.弦:图G中,不在其生成树里的边,称作弦. 所有弦的集合,
称为该生成树的补.
v1
定理2 :连通图G中至少有一棵生成树.
v2
v3
证明:如果G中无回路, 则G本身就是树. v4
v5
如果G中有回路,可以通过反复删去回路
中的边,使之既无回路,又连通.就得到生成树.
思考题:设G是有n个结点,m条边的连通图, 问要删去多少
为该结点的层次. 同一层次的结点称为兄弟结点.
7.树高:从树根到各个叶结点的路径中, 最长路径的长度,
称为该树的高度(树高).
三.举例: a)语法树
主语
句子
谓语短语
冠词 形容词 名词 动词
宾语
The little
b)算术表达式树 ((a+b)÷c)×(d－e)
19
42,58 24,34,42 19,23,24,34
17,17,19,23,24
11,13,17,17,19,23
7,10,11,13,17,19,23 5,5,7,11,13,17,19,23
2,3,5,7,11,13,17,19,23
23 24
34
11 13 17 17
7 10
55
23
5. 最优树的应用举例
34 6 6 v6
Kruskal算法: 设G是有n个结点,m条边(m≥n-1)的连通图. S=Φ i=0 j=1
将所有边按照权升序排序: e1, e2, e3,… ,em
S=S∪{ai} j=j+1
|S|=n-1 Y 输出S 停 N
N
取ej使得
ai=ej i=i+1
电子科技大学离散数学第8章 函数
如果关系 f 具备下列两种情况之一，那么 f 就不是函数：
例8.2.1
设 A={1,2,3,4} ， B={a,b,c,d} ，试判断下列关系哪 些是函数。如果是函数，请写出它的值域。 （ 1 ） f1 ＝ {<1,a>,<1,b>,<2,c>,<3,b>}, 其 中 A ＝ {1,2,3},B＝{a,b, c}； （ 2 ） f2 ＝ {<a,b>,<b,b>,<c,c>}, 其中 A ＝ {a,b,c},B ＝{b,c}； （3）f3＝{<x,y>|y−x＝1,x,y∈R},其中A＝B＝R （4）f4＝{<x,y>|y−x＝1,x,y∈Z＋},其中A＝B＝Z＋
离散数学
电子科技大学
2019年1月31日星期四
第8章 函数
1 2
函数的概念 特殊函数
内 容 提 要
3
函数的复合运算
函数的逆运算
4
5
2019/1/31
函数的运算定理
67-2
8.1 本章学习要求
重点掌握 1 1 函数的概念 2 单射、满射 和双射函数的 概念 3 函数的复合 运算和逆运算 2019/1/31 一般掌握
(集合元素的第一个元素存在差别)
3. 每一个函数的基数都为 |A| 个 (|f|=|A|) ，但关 系的基数却为从零一直到|A|×|B|。 (集合基数的差别)
2019/1/31 67-14
8.2.2函数的类型
定义8.2.2 设f是从A到B的函数，
对任意x1,x2∈A，如果x1≠x2，有f(x1)≠f(x2)，
2019/1/31 67-26
第8章 可计算函数
f ( g1 ( y),, gn ( y))也是初等函数。
( x) 是初等函数,那么
xu
g (u ) = f ( x) ，
g (u ) = f ( x) 也是初等函数。
x u
(5) 只有有限次使用上述条款确定的函数是初等函数。
离散数学 第8章 可计算函数 8.2 初等函数
x1x x2
8.2.1 初等函数集
sg( x ) =
0 当x > 0 1 当x = 0
sg( x ) = 1 * x
右边是常数函数、投影函数合成于二元差函数。
离散数学 第8章 可计算函数
8.2 初等函数
x1x x2
8.2.1 初等函数集
EF4. 符号函数 sg(x) =
1 当x>0 0 当x=0
sg( x ) = 1 * - sg( x )
x u
称
为迭乘操作。
x u
离散数学 第8章 可计算函数
8.2 初等函数
x1x x2
8.2.1 初等函数集
定义8.2 归纳定义初等函数集：
(1) 本原函数是初等函数。 (2) 二元差函数是初等函数：
x
y=
0 x－ y
当x ≤ y 当 y < x , 这里的－ 是通常的算术减
(3) 如果f ( x1 , , xn ) 与g1 ( y) , , gn ( y) 都是初等函数，那么它们 的合成 (4) 如果f
1 1 m m m 1
离散数学 第8章 可计算函数
8.2 初等函数
8.2.2 初等谓词
定理8.4 下列判定函数 con(x,y,s,t)是初等函数:
s 当x y con( x , y , s , t ) t 当x y
离散数学8
再证R传递：任取 a,b,cA 设<a,b>R，
<b,c>R。(要证出<a,c>R ) 由R是对称的,得<b,a>R ，由 <b,a>R且<b,c>R，根据已知条件得 <a,c>R ， 所以R是传递的。
(4). R是A上关系， 设 S={<a,b>|c∈A∧<a,c>∈R∧<c,b>∈R} 求证若R是等价关系，则S也是等价关系。 证明：a)证S自反：任取a∈A，∵R是自反的，∴有 <a,a>∈R,由S定义得<a,a>∈S, (S定义中c就是a)∴ S自反. b)证S对称: 任取a,b∈A，且有<a,b>∈S,由S定义得 c∈A∧<a,c>∈R∧<c,b>∈R, 由R对称得 c∈A∧<b,c>∈R∧<c,a>∈R,由S定义得<b,a>∈S,S对称. c)证S传递:任取a,b,c∈A,有<a,b>∈S,<b,c>∈S,由S定义 得 (d∈A∧<a,d>∈R∧<d,b>∈R)∧(e∈A∧<b,e>∈R∧ <e,c>∈R) , 由于R传递,所以有<a,b>∈R,<b,c>∈R, 由S定义得<a,c>∈S, 所以S传递. 所以S是A上等价关系. (6). R是A上对称和传递的关系，证明如果a∈A,b∈A, 使得<a,b>∈R,则R是一个等价关系. 证明:任取a∈A,有已知得b∈A,使得<a,b>∈R,由R对称 得<b,a>∈R,又由R传递得, <a,a>∈R,R自反, ∴R是等价 关系.
离散数学第8,9章课后习题答案
第8章 习题参考答案1. 在一次10周年同学聚会上，想统计所有人握手的次数之和，应该如何建立该问题的图论模型？解：将每个同学分别作为一个节点，如果两个人握过一次手就在相应的两个节点之间画一条无向边，于是得到一个无向图。
一个人握手的次数就是这个节点与其他节点所连接的边的条数，进而可得出所有人握手的次数之和。
2. 在一个地方有3户人家，并且有3口井供他们使用。
由于土质和气候的关系，有些井中的水常常干枯，因此各户人家要到有水的井去打水。
不久，这3户人家成了冤家，于是决定各自修一条路通往水井，打算使得他们在去水井的路上不会相遇。
试建立解决此问题的图论模型。
解：将3户人家分别看做3个节点且将3口井分别看做另外3个节点，若1户人家与1口井之间有一条路，则在该户人家与该口井对应的节点之间连一条无向边，这样就得到一个无向图。
3. 某人挑一担菜并带一条狼和一只羊要从河的一岸到对岸去。
由于船太小，只能带狼、菜、羊中的一种过河。
由于明显的原因，当人不在场时，狼要吃羊，羊要吃菜。
通过建立图论模型给出问题答案。
解：不妨认为从北岸到南岸，则在北岸可能出现的状态为24=16种，其中安全状态有下面10种：（人，狼，羊，菜），（人，狼，羊），（人，狼，菜），（人，羊，菜），（Φ），（人，羊），（菜），（羊），（狼），（狼，菜）；不安全的状态有下面6种：（人）（人，菜）（人，狼）（狼，羊，菜）（狼，羊）（羊，菜）。
线将北岸的10种安全状态看做10个节点，而渡河的过程则是状态之间的转移，这样就得到一个无向图，如图8-1所示。
图8-1从上述无向图可以得出安全的渡河方案有两种：第1种：（人，狼，羊，菜）→（狼，菜）→（人，狼，菜）→（狼）→（人，狼，羊）→（羊）→（人，羊）→（Φ）。
(人，狼，羊，菜)(人，狼，羊)(人，狼，菜)(人，羊，菜)(人，羊) (狼，菜) (羊) (狼) (菜) (Φ)第2中：（人，狼，羊，菜）→（狼，菜）→（人，狼，菜）→（菜）→（人，羊，菜）→（羊）→（人，羊）→（Φ）。
离散数学(第二版)第8章图的基本概念
第八章 图的基本概念
用反证法，设G中各顶点的度数均不相同，则度数列 为0，1，2，…，n-1，说明图中有孤立顶点，这与有n-1度 顶点相矛盾(因为是简单图)，所以必有两个顶点的度数相 同。
2. 子图 在深入研究图的性质及图的局部性质时，子图的概念 是非常重要的。 所谓子图， 就是适当地去掉一些顶点或 一些边后所形成的图，子图的顶点集和边集是原图的顶点 集和边集的子集。
第八章 图的基本概念
一般称长度为奇数的圈为奇圈，称长度为偶数的圈为 偶圈。 显然，初级通路必是简单通路，非简单通路称为复 杂通路。 在应用中，常常只用边的序列表示通路，对于 简单图亦可用顶点序列表示通路，这样更方便。
第八章 图的基本概念
定理8.2.1 在一个n阶图中，若从顶点u到顶点v(u≠v) 存在通路， 则必存在从u到v的初级通路且路长小于等于n1。
第八章 图的基本概念
图8.1.2 图与子图
第八章 图的基本概念
3. 补图 定义8.1.3 G为n阶简单图，由G的所有顶点和能使G 成为完全图的添加边所构成的图称为G的相对于完全图的 补图，简称G的补图，记作。 【例8.1.6】图8.1.3(a)中的G 1是G1相对于K5的补图。 图8.1.3(b)中的G 2 是G2相对于四阶有向完全图D4的补图。 对于补图，显然有以下结论： (1) G与 G 互为补图，即 G =G。 (2) E(G)∪E(G )=E(完全图)且E(G)∩E( G )= 。 (3) 完全图与n阶零图互为补图。 (4) G与G 均是完全图的生成子图。
所谓子图就是适当地去掉一些顶点或一些边后所形成的图子图的顶点集和边集是原图的顶点第八章图的基本概念定义812设gvegve均是图同为第八章图的基本概念导出的导出子图记作gv第八章图的基本概念例815在图812中g均是g的真子图其中g第八章图的基本概念图812第八章图的基本概念补图定义813g为n阶简单图由g的所有顶点和能使g成为完全图的添加边所构成的图称为g的相对于完全图的补图简称g的补图记作
离散数学离散数学第8章 一些特殊的图 PPT课件
在23岁时，他发表了他还是一个17岁的孩子时作出的“奇怪的发 现”，…即《光线系统理论》第一部分，这是一篇伟大的杰作，它对于 光学，就象拉格朗日的《分析力学》之于力学。
哈密尔顿最深刻的悲剧既不是酒精，也不是他的婚姻，而是他顽固地
相信，四元数是解决物质宇宙的数学关键。…从来没有一个伟大的数学
家这样毫无希望地错误过。
2
1
3
4
(2) 有限面与无限面：面积有限的区域称为有 限面(或内部面)，否则为无限面(或外部面) 。 上图中，面4是无限面。
7/1/2020 9:05 PM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
24
(3) 面的次数等于面边界的边数(注意：悬挂边算2 次)，记为deg(R).
(4) 平面图中面的次数之和等于边数m的两倍，即
d(u)+d(v)≥n-1 则G是半哈密尔顿图。
注意:
此定理条件显然不是必要条件，如n≥6的n边形，对于 任意不相邻的顶点u, v, d(u)+d(v)=4，4<n-1，而n边形显 然有哈密尔顿通路。
7/1/2020 9:05 PM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
18
哈密尔顿图的充分条件
❖ 设G是n(n≥3)阶无向简单图，若G中 任意不相邻的顶点对u,v均满足： d(u)+d(v)≥n 则G是哈密尔顿图。
a
bc
d
e
f g
h
i j
k
l
ba
d
g
e j
f
l
b
a
c
d
g
j
i
e
h
f
k
7/1/2020 9:05 PM
离散数学8 - 计算模型
短语结构文法
• 设G=(V, T, S, P)是一个短语结构文法，w0=lz0r和
w1=lz1r是V上的串。若z0→z1是G的一个产生式，则称
带输出的有限状态机
• 在某个编码方法中，当一个信息中出现了3个连续的1， 则表明发生了一个错误。构造一个有限状态机，使得它 输出1当且仅当它接收的最后3位都是1。
有限自动状态机
• 不带输出的有限自动状态机也叫有限自动状态机。 • 有限自动状态机M={S, I, f, s0, F}由五部分组成：一个有限的 状态集合S，一个有限的输入字母表I，一个转移函数f，一个 初始状态s0，一个由终结状态构成的S的子集F。
有限自动状态机
• 构造有限状态自动机M={S, I, f, s0, F}的状态图。其中S={s0, s1, s2, s3}，I={0, 1}, F={s0, s3}，转移函数由表所示 。
有限自动状态机
• 称串x可以被机器M={S, I, f, s0, F} 识别或接受，如果x将初始 状态变为一个终结状态，即f(s0, x)是F中的一个状态。 • 机器M识别的语言是M识别的所有串的集合，记为L(M)。 • 如果两个有限状态机识别相同的语言，则称它们是等价的。
使得对于输入的二进制串x1x2…xk，输出0x1x2…xk。
带输出的有限状态机
• 构造一个有限状态机，使其利用整数的二进制展开式将 两个整数相加。 • 将xn…x1x0和yn…y1y0相加：将x0和y0产生和位z0与进位 c0，此进位要么是0，要么是1；然后将x1和y1连同c0一 起相加，产生和位z1和进位c1；一直进行下去；第n步 是将xn和yn连同cn-1相加，产生和位zn和进位cn，cn也就 是和位zn+1。
离散数学第八章布尔代数
对于一个具体的逻辑电路，我们可以使用布尔代数进行化简。首先，将电路中的逻辑门表示为相应的布尔表达式，然后利用布尔代数的性质和定理进行化简，最终得到最简的布尔表达式。
答案部分
THANKS
定理
在布尔代数中，定理是经过证明的数学命题，可以用于证明其他命题或解决特定问题。
公式与定理
逻辑推理
逻辑推理
在布尔代数中，逻辑推理是一种基于已知命题推导出新命题的推理过程。它使用逻辑规则和已知事实来得出结论。
推理规则
在逻辑推理中，常用的推理规则包括析取三段论、合取三段论、假言推理等。这些规则用于从已知事实推导出新的事实或结论。
在电路设计中的应用
计算机的内部工作原理是基于逻辑运算的。布尔代数是计算机逻辑设计的基础，用于描述计算机中的各种逻辑关系和运算。例如，计算机中的指令集、指令编码、指令执行等都涉及到布尔代数的应用。
计算机逻辑设计
在数据压缩和加密算法中，布尔代数也发挥了重要作用。通过利用布尔代数的性质和运算，可以实现高效的压缩算法和安全的加密算法。
变量
在布尔代数中，常量表示一个固定的值，通常用于表示逻辑上的“真”或“假”。
常量
变量与常量
函数
在布尔代数中，函数是一种将输入映射到输出的规则。对于每个输入，函数都有一个确定的输出。
运算
布尔代数中的运算包括逻辑与、逻辑或、逻辑非等基本运算。这些运算用于组合变量的值以产生新的输出。
常量、函数和运算符组成的数学表达式。
逻辑电路设计
逻辑函数的优化准则
逻辑函数的优化准则包括最小化使用的最小项数量、减少最大项的个数、减少最大项的复杂度等。这些准则有助于简化逻辑函数的表示和实现，提高电路的性能。
逻辑函数的优化方法
离散数学第8章
N= 3C(100,3) + 1003 = 1485100
15
基本计数公式的应用(续)
例2 求1000！的末尾有多少个0？
解: 1000!=1000 999 998 … 21 将上面的每个因子分解，若分解式中共有i 个5, j 个2， 那么min(i, j)就是0的个数. 1, …,1000中有
1 2n! (2n 2)! 2! (2n)!
...
n! (2n 2)! 2 (2n 4)! 2 0! 2 2n n!
21
实例(续)
例8 从S={1, 2, … , n}中选择 k 个不相邻的数，有多少种 方法？
解 使用一一对应的思想求解这个问题.
a1, a2, …, ak ：k个不相邻的数, 属于集合{1, 2, …, n} b1, b2, …, bk：k个允许相邻的数, 属于集合{1, …, n(k1)} 对应规则是
n 1
k1kn
k
1
n [(k
k 1
1)
1]
k
1
常量外提
n
n(
k 1
k
1)
n k
11
n
n
k 1
n k
11
n1
nk
k0
n
k
1
n2n1
变限
n(n 1)2n2 n2n1 n(n 1)2n2
30
恒等式——变上项求和
n l n 1
8. l0 k k 1, n, k N
证明 组合分析. 令S={a1, a2, … , an+1}为n+1元集合. 等式右边是 S 的 k+1子集数. 考虑另一种分类计数的方
离散数学第八章-最新版
P(0) (n) ( P(n) P(n+1) ) (n) P(n)
设k是某个自然数，如果要证明谓词P(x)对所有x≥k的自 然数成立，则上述原理可写成：
P(k) (n)(nk P(n)P(n+1)) (x)(xkP(x))
第一、第二归纳法
ii) 假设Q(i) 为真（i i0），即对于任意i i0，j j0，P (i, j)为真 则对于任意j j0，P( i+1, j) 为真，即 Q (i+1)为真。
由 i) 和 ii) 可知，对于任意i i0 ，Q (i) 皆真。 所以，对于任意i i0，j j0， P (i, j) 为真。
§ 8.2 基 数
本节讨论度量和比较 两个集合大小的方法。
重点掌握 等势，有穷、无穷集合，可数无穷集合， 可数、不可数集合，无穷集合的性质， 有穷集合、N 与 R 的基数，基数的比较。
比较两个集合的大小： 1 计数法：先数出它们的元素个数，再加以比较。 2 愚人比宝法：每次各取一，看哪个最后取完。
等势关系的性质： 对于任何集合 A , B , C ，均有：
(1) A ~ A； (2) 若 A ~ B , 则 B ~ A； (3) 若 A ~ B , B ~ C , 则 A ~ C。 即 等势关系有自反性 , 对称性和传递性，因此等势是 集合族上的等价关系。
定义8.6：集合是有穷的，当且仅当 它与某个自然数 等势，否则就是无穷的。
0
0.5 1
x
例：如果 a，b R，a < b，则 (a，b) ～ R 。 证：定义 f ：(a，b) → R 如下： x∈(a，b)，令 f (x) = tg [ π ( x- (a+b)／2 )／(b-a) ] ， 若 x∈(a，b) 时, 则π ( x- (a+b)／2 )／(b-a) (-π/2, π/2) 显然f 是双射，所以 (a，b) ～ R 。
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1.零图与平凡图孤立结点:不与任何边关联的结点.零图:仅由一些孤立结点构成的图. 平凡图:仅由一个孤立结点构成的零图. |V(G)|=1,|E(G)|=02.简单图:不含有环和平行边的图.多重图: 含有平行边的图.3.无向图结点v 的度定义:G 是个无向图, v ∈V(G), 结点v 所关联边数,称之为结点v 的度. 记作deg(v).(或d(v)).无向图的结点度序列:令G=<V,E>是无向图,V={v 1,v 2,v 3,…,v n }, 则称:(deg(v 1), deg(v 2),deg(v 3), …,deg(v n )) 为图G 的结点度序列.4.每个无向图所有结点度总和等于边数的2倍.即||2)deg(V v E v =∑∈5. (握手定理)每个无向图中,奇数度的结点必为偶数个.6.图的最大度Δ(G)与最小度δ(G) :G=<V,E>是无向图, Δ(G) =max{deg(v)|v ∈G} δ(G) =min{deg(v)|v ∈G}7. k-正则图:一个无向简单图G 中,如果Δ(G)=δ(G)=k 则称G 为k-正则图.8. 有向图结点的出度和入度v 的出度: 从结点v 射出的边数. 记作deg +(v) 或dego(v) v 的入度: 射入结点v 的边数. 记作deg -(v) 或degi(v)9. G=<V,E>是有向图, 则G 的所有结点的出度之和等于入度之和.10. 无向完全图定义:G 是个简单图, 如果每对不同结点之间都有边相连,则称G 是个无向完全图. 如果G 有n 个结点, 则记作Kn.定理:无向完全图Kn, 有边数)1(21-n n11. 有向图的完全图有向简单完全图:G 是个有向简单图,如果任何两个不同结点之间都有相互可达的边,则称它是有向简单完全图.定理: 有n 个结点的有向简单完全图有边数为n(n-1).有向完全图(有向全图):G 是个有向图如果任何两个结点之间都有相互可达的边,则称它是有向完全图.12. 子图:设G=<V,E>是图,如果G’=<V’,E’>且V’⊆V, V’≠Φ, E’⊆E, 则称G’是G 的子图.生成子图（支撑子图）:设G=<V,E>是图, G’=<V’,E’>, G’是G 的子图,如果V’=V, 则称G’是G 的生成子图。
13. 补图由G 的所有结点和为使G 变成完全图,所需要添加的那些边组成的图, 称之为G 相对完全图的补图,简称G 的补图.相对补图设G 1=<V 1,E 1>是图G=<V,E>的子图,如果有G 2=<V 2,E 2>,使得E 2=E-E 1且V 2中仅包含E 2中的边所关联的结点,则称G 2是G 1相对G 的补图.14. 两个图同构的必要条件:1.结点个数相等.2.边数相等.3.度数相同的结点数相等.4. 对应的结点的度数相等.15. 迹与闭迹如果一条路中,所有边都不同,则称此路为迹.如果一条回路中,所有边都不同,则称此回路为闭迹.16. 通路与圈如果一条路中,所有结点都不同,则称此路为通路.如果一条回路中,除起点和终点外,其余结点都不同,则称此回路为圈.17. 定理:在一个有n个结点的图中,如果从结点v i到v j存在一条路,则从v i到v j必存在一条长度不多于n-1的路.18. 无向图的连通性(1) 我们规定: 对任何结点u, u与u是连通的.(2)结点之间的连通关系是个等价关系.(3) 连通分支:令G=<V,E>是无向图, R是V上连通关系, 设R对V 的商集中有等价类V1,V2,V3,…, V n,这n个等价类构成的n个子图分别记作G(V1),G(V2),G(V3),…, G(V n),并称它们为G的连通分支. 并用W(G)表示G中连通分支数.19. 连通图: 如果一个图G只有一个连通分支(W(G)=1),则称G是连通图.20. 割集(1) 点割集与割点:令G=<V,E>是连通无向图, 结点集合V1 , V1 V, 如果删去V1中所有结点后,G就变得不连通了, 而删去V1的任何真子集中的所有结点,得到的子图仍然连通.则称V1是G的一个点割集. 如果点割集V1中只有一个结点,则称此结点为割点.点连通度:若G不是完全图, 定义:k(G)=min{ | V1 | | V1是G的点割集} 为G的点连通度.点连通度k(G)是表示使G不连通,至少要删去的结点数.(2)边割集与割边(桥):令G=<V,E>是连通无向图, 边的集合E1,E1 E, 如果删去E1中所有边后,G就变得不连通了, 而删去E1的任何真子集中的所有边,得到的子图仍然连通.则称E1是G的一个边割集. 如果边割集E1中只有一条边, 则称此边为割边, 也称之为桥.边连通度:若G不是平凡图, 定义:λ(G)=min{ |E1| | E1是G的边割集}为图G的边连通度.边连通度λ(G)是表示使G不连通,至少要删去的边数.定理:G是无向图,则k(G)≤λ(G)≤δ(G)。
21. 有向图的连通性1.结点间的可达性(注意方向)2. 结点u到v的距离如果u可达v, 可能从u到v有多条路,其中最短的路的长度,称之为从u到v的距离.记作d<u,v>.3.可达性的性质(1)d<u,u>=0 (2) d<u,v> + d<v,w>≥d<u,w>(3)如果从u到v不可达,则d<u,v>=∞4.图的直径: G是个有向图, 定义D=max{d<u,v>}u,v∈V为图G的直径.5.在简单有向图G中,如果任何两个结点间相互可达, 则称G是强连通. 如果任何一对结点间, 至少有一个结点到另一个结点可达, 则称G是单侧连通. 如果将G看成无向图后(即把有向边看成无向边)是连通的,则称G是弱连通.定理:一个有向图G是强连通的,当且仅当G中有一个回路, 此回路至少包含每个结点一次.在简单有向图中,具有强连通的最大子图,称为强分图.具有单侧连通的最大子图,称为单侧分图. 具有弱连通的最大子图,称为弱分图.这些分图用结点的集合表示.定理:在有向图中,每个结点必位于一个且只位于一个强分图中. 在给定的简单有向图中找强分图----回路中的结点构成一个强分图, 不在回路中的结点,自己构成一个强分图.22. 图的矩阵表示一. 邻接矩阵定理:设G=<V,E>是简单图,令V={v1,v2,v3,…,v n}, G的邻接矩阵(A(G))k中的第i行第j列元素a ij k=m, 表示在图G中从v i到v j长度为k 的路有m条.二.可达性矩阵求可达矩阵,可以根据邻接矩阵A求可达矩阵. 设|V(G)|=n令A(k)是将A k中的非0元素都写成1,而得到的只含有0和1的0-1矩阵.于是可达矩阵P为:P=A∨A(2)∨A(3)∨...∨A(n) 其中∨是逻辑或.注意：用可达矩阵求强分图.三.完全关联矩阵此矩阵是按照结点与边之间的关联关系确定的矩阵.1.无向图的完全关联矩阵2.有向图的完全关联矩阵23.欧拉图:1.欧拉路:在无孤立结点的图G中,如果存在一条路,它经过图中每条边一次且仅一次, 称此路为欧拉路.2.欧拉回路:在无孤立结点的图G中,若存在一条回路,它经过图中每条边一次且仅一次,称此回路为欧拉回路.称此图为欧拉图,或E图.(Euler)定理:无向图G具有欧拉路,当且仅当G是连通的,且有零个或两个奇数度的结点.定理:无向图G具有欧拉回路,当且仅当G是连通的,且所有结点的度都是偶数.重点：求欧拉回路的方法！！！！！！！！！！24.汉密尔顿图(H图) (Hamilton图)定义:设G=<V,E>是个无向有限图,汉密尔顿路:通过G中每个结点恰好一次的路.汉密尔顿回路(H回路):通过G中每个结点恰好一次的回路.汉密尔顿图(H图):具有汉密尔顿回路(H回路)的图.25.用“最邻近法”求H回路26. 树1.树的定义:一个连通无回路的无向图T,称之为树.2.叶结点:度数为1的结点,称为叶结点.3.分支结点(内结点):度数大于1的结点.4.森林:一个无向图的每个连通分支都是树.与树定义等价的几个命题定理:给定图T, 以下关于树的定义是等价的。
⑴无回路的连通图。
⑵无回路且e=v-1 其中e是T的边数,v是T的结点数。
⑶连通的且e=v-1。
⑷无回路但添加一条新边则得到一条仅有的回路。
⑸连通的,但删去任一条边,T便不连通。
⑹每对结点之间有一条且仅有一条路。
27.生成树(支撑树)1.定义:如果图G的生成子图是树,则称此树为G的生成树.2.弦:图G中,不在其生成树里的边,称作弦. 所有弦的集合,称为该生成树的补.定理:连通图至少有一棵生成树.28.赋权图的最小生成树定义:一棵生成树中的所有边的权之和称为该生成树的权. 具有最小权的生成树,称为最小生成树.求最小生成树算法-Kruskal(克鲁斯卡尔)算法(避圈法)29. 有向树定义:如果G是个有向图,且在不考虑边的方向时(即看成无向图时),是一棵树,则称G是有向树.30. 根树定义:如果一棵有向树,恰有一个结点的入度为0,其余所有结点的入度均为1,则称此树为根树.1.树根:入度为0的结点.2.叶:出度为0的结点.3.分支结点(内结点):出度不为0的结点.4.父结点与子结点:如果<v i,v j>是根树中的一条边,则称v i是v j的父结点, v j是v i的子结点.5.祖先结点与后裔结点: 在根树中,如果从v i到v j有路,则称v i是v j的祖先结点, v j是v i的后裔结点.6.根树结点的层次:从根结点到某个结点的路径的长度,称为该结点的层次. 同一层次的结点称为兄弟结点.7.树高:从树根到各个叶结点的路径中, 最长路径的长度,称为该树的高度(树高).31. m叉树与完全m叉树m叉树:在根树中,如果每个结点的出度最大是m, 则称此树是m叉树.完全m叉树:在根树中,如果每个结点的出度都是m或者等于0, 则称此树是完全m叉树.正则m叉树:在完全m叉树中,如果所有树叶的层次相同,则称之为正则m叉树.定理:T是棵完全m叉树, 有t个叶结点, i个分支结点,则(m-1)i=t -1 .32. m叉有序树转化成二叉树1.每个结点保留左儿子结点, 剪掉右边其分支，被剪掉的结点如下处理(重新嫁接)。
2.同一个层次的结点, 从左到右依次画出(被剪掉的结点嫁接到它的哥哥结点上)。
33.遍历二叉树1.先序遍历2.中序遍历3.后序遍历34. 最优树(哈夫曼树Huffman)1. 带权二叉树的定义:设有一组权值:w1, w2, w3,… ,w m,不仿设w1≤w2≤w3≤…≤w m, 设有一棵二叉树有m片叶子,分别带有权值w1, w2, w3,… , w m,称此树为带权二叉树.2.带权树T的权W(T):W(T)=∑w i L(w i)(i从1到m)其中L(w i)是标有权w i的叶结点的从根到该叶结点的路长.35. 最优树: 带权树中,权数最少的二叉树.画最优树的算法---哈夫曼算法:⑴将权按照升序排序,设为w1≤w2≤w3≤…≤w m.⑵以w1和w2为儿子结点, 构造它们的父结点,且其权为w1+w2 , 并从权的序列中去掉w1和w2 。