江苏省盐城市时杨中学2015届高三上学期1月调研数学试卷
2015江苏高三一模数学试题及答案(南京市盐城市)
2015年江苏省高三数学一模试题及答案南京市、盐城市2015届高三年级第一次模拟考试数学试题(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，计70分. 1 •设集合 M —2,0,x?，集合 N —0,1，若 N M ，则 x=▲.a +i2•若复数z(其中i 为虚数单位)的实部与虚部相等，则实数 a =▲ ___ .i3•在一次射箭比赛中，某运动员5次射箭的环数依次是 9,10,9,7,10，则该组数据的方差是▲ ____ .甲、乙两位同学下棋，若甲获胜的概率为 0.2 ,甲、乙下和棋的概率为 0.5，则乙获胜的概率为 2 2 2 2若双曲线x -y =a (a 0)的右焦点与抛物线 y =4x 的焦点重合，则(x 0,0)成中心对称，X 。
• ［0,］，则 x 0 二 ______ ▲2X 2 + y 2且log 2 x log 2 y = 1，贝U 的最小值为 ▲ x —y111.设向量a =(sin2pcosF , b= (cos=1)，贝U 'a //b ”是“an”成立的 ▲ 条件(选填 充2分不必要”、必要不充分”、充要”、既不充分也不必要”)• 12.在平面直角坐标系 xOy 中，设直线y =-X ■ 2与圆x 2 y^ r 2(r 0)交于A, B 两点，O 为坐标原4. 5.6. 运行如图所示的程序后，输出的结果为7. 2x -y 冬0若变量x, y 满足<x -2y +3色0，贝V 2川的最大值为 ______ ▲x _0若一个圆锥的底面半径为 1，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为 若函数f (X) =sin(「x •—)(「• 0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为6;i — 1 ；S — 0 ；While i v 8 ;i — i + 3 ;S — 2, i + S ■ End While [Print S 第6题图—，且该函数图象关于点2JI10 .若实数x, y 满足x y 0 ,5 3点，若圆上一点c满足OC =7OA+1O B，贝y r =▲.4 413 .已知f (x)是定义在［一2 ,上的奇函数，当( 0 ,时,f(x > x2 ,1函数g(x) =x 「2x • m .如果对于-洛•二［-2,2］, 他二［-2,2］，使得 g(x 2)二 f (x 1)，则实数 m 的取值 范围是 ▲ __________ .14•已知数列 心？满足3!=-1,a 2 a i,i -昂|=2n (n ・N *)，若数列QnJ 单调递减，数列订2・，单调递增，则数列 a / 的通项公式为a n =▲.6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，并把答案写 xOy 中，设锐角〉的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点 卩(为，％),将射线0P 绕坐标原点0按逆时针方向旋转后与单位圆交于点2(1) 求函数f G )的值域；(2) 设. ABC 的角代B,C 所对的边分别为a,b,c ,若 f(C) — 2，且 a= .2, c =1，求 b .16.(本小题满分14分)如图，在正方体 ABCD-ABC 1D 中，0, E 分别为BD,AB 的中点. (1) 求证：0E // 平面 BCGB ； (2) 求证：平面BQC _平面RDE .二、解答题(本大题共 在答题纸的指定区域内) 15.在平面直角坐标系QX M ).记 fC)* y ?.第16题图。
江苏省扬州中学2015届高三1月质量检测数学试题
π 12. 若函数 f (x)＝sin(ωπx－4)（ω＞0）在区间(－1,0)上有且仅有一条平行于 y 轴的对称轴，
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则 ω 的最大值是___________． 13. 若实数 a,b,c 成等差数列，点 P(－1,0)在动直线 ax＋by＋c＝0 上的射影为 M，点 N(3,3)， 则线段 MN 长度的最大值是__________． 14. 定义：若函数 f (x)为定义域 D 上的单调函数，且存在区间(m,n)⊆D(m＜n)，使得当 x∈ (m,n)时，f (x)的取值范围恰为(m,n)，则称函数 f (x)是 D 上的“正函数” ． 已知函数 f (x) ＝ax (a＞1)为 R 上的“正函数” ，则实数 a 的取值范围是 明、证明过程或演算步骤． π B 15. 在△ABC 中，A、B、C 为三个内角，f (B)＝4sinB· cos24－2＋cos2B． ．
l：y＝k(x－1) 4k2－12 8k2 ∵ 2 ∴(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，∴x1＋x2＝ 2 ，x1x2＝ 2 2 4 k ＋3 4k ＋3 3x ＋4y －12＝0
4k2－12 8k2 24 ∴x1＋x2－2x1x2＝ 2 －2× 2 ＝ 2 ， 4k ＋3 4k ＋3 4k ＋3 4k2－12 －9 8k2 x1x2－x1－x2＋1＝ 2 － 2 ＋1＝ 2 4k ＋3 4k ＋3 4k ＋3 24 8 ∴＋＝－ 9 ＝－3 5 （3）当 l⊥x 轴时，易得 AE 与 BD 的交点为 FK 的中点(2,0) 5 下面证明：BD 过定点 P(2,0) B、D、P 共线 kBP＝kDP y2 3 5 5＝ 52y2＝x2y1－2y13y2＝2x2y1－5y1 4－2 x2－2 y1
三角函数模型
考点10 三角函数模型1.（15盐城市盐都区时杨中学届高三上学期1月调考）如图是一个半圆形湖面景点的示意图，已知AB为直径，且AB=2km，O为圆心，C为圆周上靠近A的一点，D为圆周上靠近B的一点，且，现在准备从A经过C到D 建造一条观光路线，其中A到C是圆弧，C到D是线段CD，设∠AOC=x rad，观光路线总长为y km.(1)求y关于x的函数解析式，并指出该函数的定义域；(2)求观光路线总长的最大值.第1题图 FGQ6【考点】三角函数模型的实际应用.【解】(1)由题意得.(2)，令故当时，观光路线总长最大，最大值为(km).2．（15泰州一模）如图，我市有一个健身公园，由一个直径为2km的半圆和一个以PQ为斜边的等腰直角三角形△PRQ构成，其中O为PQ的中点．现准备在公园里建设一条四边形健康跑道ABCD，按实际需要，四边形ABCD的两个顶点C、D分别在线段QR、PR上，另外两个顶点A、B 在半圆上，AB∥CD∥PQ，且AB、CD间的距离为1km．设四边形ABCD 的周长为c km．（1）若C、D分别为QR、PR的中点，求AB长；（2）求周长c的最大值．第2题图 JSY27【考点】三角函数的最值；在实际问题中建立三角函数模型．【解】（1）连结RO并延长分别交AB、CD于M、N，连结OB，∵C、D分别为QR、PR的中点，PQ=2，∴，∵△PRQ为等腰直角三角形，PQ为斜边，∴，．∵MN=1，∴．在Rt△BMO中，BO=1，∴，∴． （2）设∠BOM=θ，＜＜在Rt△BMO中，BO=1，∴BM=sinθ，OM=cosθ．∵MN=1，∴CN=RN=1－ON=OM=cosθ，∴，，当sinθ+cosθ=即有sin2θ=，即或时取等号．∴当或时，周长c的最大值为km．第2题图 JSY283．（15连云港赣榆海头9月调研）如图所示，某人想制造一个支架，它由四根金属杆PH，HA，HB，HC构成，其底端三点A，B，C均匀地固定在半径为3m的圆O上（圆O在地面上），P，H，O三点相异且共线，PO与地面垂直．现要求点P到地面的距离恰为3m，记用料总长为L=PH+HA+HB+HC，设∠HAO=．（1）试将L表示为的函数，并注明定义域；（2）当的正弦值是多少时，用料最省？第3题图 cqn003【考点】球的体积和表面积．【解】（1）因PO与地面垂直，且三点A，B，C均匀地固定在半径为3m 的圆O上，则△AOH，△BOH，△CO H是全等的直角三角形，又圆O的半径为3，所以OH=3tan，AH=BH=CH=，…（3分）又，所以，…（6分）若点P，H重合，则，即，所以，从而，．…（8分）（2）由（1）知，所以，当=0时，，…（12分）令，，当时，＞0；当时，＜0；所以函数L在（0，）上单调递减，在上单调递增，…（15分）所以当，即时，L有最小值，此时用料最省．…（16分）4．（15江苏模拟（三））如图，有一景区的平面图是一半圆形，其中AB长为2km，C、D两点在半圆弧上，满足BC=CD．设．（1）现要在景区内铺设一条观光道路，由线段AB、BC、CD和DA组成，则当θ为何值时，观光道路的总长l最长，并求l的最大值．（2）若要在景区内种植鲜花，其中在△AOD和△BOC内种满鲜花，在扇形COD内种一半面积的鲜花，则当θ为何值时，鲜花种植面积S最大．第4题图 cqn4【解】（1）由题，，取BC中点M，连结OM．则，．∴．同理可得，．∴．即．∴当，即时，有．第4题图 cqn10（2），，．∴．∴∵，∴解得，列表得＋0－递增极大值递减∴当时，有．答：（1）当时，观光道路的总长l最长，最长为5km；（2）当时，鲜花种植面积S最大．5．(江苏省南京市2015届高三上学期9月调考数学试卷)如图，公路AM、AN围成的是一块顶角为a的角形耕地，其中tan a=.在该块土地中P 处有一小型建筑，经测量，它到公路AM，AN的距离分别为km，km.现要过点P修建一条直线公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园.为尽量减少耕地占用，问如何确定B点的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积.第5题图 FGQ19【考点】解三角形的实际应用.【解】过点P作PE⊥AM，PF⊥AN，垂足为E、F，连接PA.设AB=x，AC=y.因为P到AM，AN的距离分别为3，，即PE=3，PF=.由①因为tan a=，所以sin a=.所以②由①②可得. ③因为.当且仅当取“=”，结合③解得x=5，y=.所以有最小值15.答：当AB=5km时，该工业园区的面积最小，最小面积为.第5题图 FGQ206.(江苏省南通市2015届高三第一次模拟考试数学试题)在长为20m，宽为16m的长方形展厅正中央有一圆盘形展台(圆心为点C)，展厅入口位于长方形的长边的中间，在展厅一角B点处安装监控摄像头，使点B与圆C在同一水平面上，且展台与入口都在摄像头水平监控范围内(如图阴影所示 ).第6题图 FGQ50(1 )若圆盘半径为m，求监控摄像头最小水平视角的正切值；(2 )过监控摄像头最大水平视角为60°，求圆盘半径的最大值.(注：水平摄像视角指镜头中心点水平观察物体边缘的实现的夹角 )【考点】直线与圆的位置关系.【解】(1 )过B作圆C的切线BE，切点为E，设圆C所在平面上入口中点为A，连接CA，CE，CB，则CE⊥BE，CA⊥AB第6题图 FGQ15∴监控摄像头水平视角为∠ABE时，水平视角最小.在直角三角形ABC中，AB=10，AC=8，tan∠ABC=，在直角三角形BCE中，CE=，，tan∠CBE= ，∴tan∠ABE=tan(∠ABC+∠CBE )，∴监控摄像头最小水平视角的正切值为.(2 )当∠ABE=60°时，若直线BE与圆C相切，则圆C的半径最大.在平面ABC内，以B为坐标原点，BA为x轴建立平面直角坐标系，则直线BE方程为y=x，∴，∴圆C的半径最大为(m ).7.（15南通市如东县栟茶高级中学高三上学期第二次学情调研）某小区想利用一矩形空地ABCD建造市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一个水塘(如图中阴影部分)，水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中AD=60m，AB=40m，且中，∠EGF=90°，经测量得到AE=10m，EF=20m．为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏．设计时经过点G作一条直线交AB，DF于M，N，从而得到五边形MBCDN的市民健身广场．(1)假设DN=x(m)，试将五边形MBCDN的面积y表示为x的函数，并注明函数的定义域；(2)问：应如何设计，可使市民健身广场的面积最大？并求出健身广场的最大面积．第7题图 FGQ59【考点】解三角形的实际应用．【解】 (1)作GH⊥EF，垂足为H∵DN=x，所以NH=40－x，NA=60－x，∵，∴，∴过M作交CD于T，则有，可解得，由于N与F重合时，AM=AF=30适合条件，故x∈(0，30].第7题图 FGQ60(2)，所以当且仅当，即x=20∈(0，30]时，y取得最大值2000，答：当DN=20m时，得到的市民健身广场面积最大，最大面积为2000m2．8.（15宿迁市沭阳县银河学校高三上学期开学试卷）某固定在墙上的广告金属支架如图所示，根据要求，AB至少长3米，C为AB的中点，B 到D的距离比CD的长小0.5米，∠BCD=60°（1）若CD=x，BC=y，将支架的总长度表示为y的函数，并写出函数的定义域．（注：支架的总长度为图中线段AB、BD和CD长度之和）（2）如何设计AB，CD的长，可使支架总长度最短．第8题 Abc13【考点】解三角形的实际应用．【解】（1）由CD=x，则BD=x－0.5，BC=y，则支架的总长度为AC+BC+BD+CD，在△BCD中，由余弦定理+－2xy cos60°=，化简得－xy+x－0.25=0，即x= ①记l=y+y+x－0.5+x=2y+2x－0.5=－0.5（y≥1.5）.（2）由题中条件得2y≥3，即y≥1.5，设y－1=t（t≥0.5）则原式l=4t++5.5∵t≥0.5，∴由基本不等式4t+当且仅当4t=，即t=时成立，∴y=+1，∴x=，∴当AB=，CD=时，金属支架总长度最短．9.（15无锡市高三上学期期中试卷）如图，ABC为一直角三角形草坪，其中∠C=90°，BC=2米，AB=4米，为了重建草坪，设计师准备了两套方案：方案一RNN-01 方案二RNN-02第9题图方案一：扩大为一个直角三角形，其中斜边DE过点B，且与AC平行，DF过点A，EF过点C；方案二：扩大为一个等边三角形，其中DE过点B，DF过点A，EF过点C．（1）求方案一中三角形DEF面积的最小值；（2）求方案二中三角形DEF面积的最大值．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【答案】（1）在方案一：在三角形AFC中，设∠ACF=α，α∈，则，…（2分）因为DE∥AC，所以∠E=α，，且，即，…（4分）°解得，…（6分）所以，所以当=1，即=45°时，有最小值．（2）在方案二：在三角形DBA中，设∠DBA=，∈，则，解得，三角形CBE中，有，解得，…则等边三角形的边长为，…（14分）所以边长的最大值为，所以面积的最大值为．…（16分）10.（15南京一中等五校联考）如图，某广场为一半径为80米的半圆形区域，现准备在其一扇形区域OAB内建两个圆形花坛，该扇形的圆心角为变量2（0＜2＜π），其中半径较大的花坛⊙P内切于该扇形，半径较小的花坛⊙Q与⊙P外切，且与OA、OB相切．（1）求⊙P的半径（用表示）；（2）求⊙Q的半径的最大值．第10题图 RNN-12【考点】三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用．【解】（1）设⊙P切OA于M，连PM，⊙Q切OA于N，连QN，记⊙P、⊙Q的半径分别为、．∵⊙P与⊙O内切，∴|OP|=80，∴，∴．（2）∵∴，∴令t=1+sin∈（1，2），∴=，令m=∈（，1），=80（），∴m=时，有最大值10．第10题图 RNN-0711．如图，中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在A 地侦察发现，在南偏东方向的B地，有一艘某国军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C地行驶，企图抓捕正在C地捕鱼的中国渔民．此时，C地位于中国海监船的南偏东方向的10海里处，中国海监船以每小时30海里的距离赶往C地救援我国渔民，能不能及时赶到？(≈1.41，≈1.73，≈2.45)第17题图 FGQ79【解】 如图，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D.因为∠CAD＝，AC＝10海里，所以△ACD是等腰直角三角形．所以AD＝CD＝AC＝×10＝ (海里)．在中，因为∠DAB＝，所以BD＝AD×tan＝ (海里)．所以BC＝BD－CD＝(－)海里．因为中国海监船以每小时30海里的速度航行，某国军舰正以每小时13海里的速度航行，所以中国海监船到达C点所用的时间(小时)，某国军舰到达C点所用的时间 (小时)．因为，所以中国海监船能及时赶到．。
2014-2015学年江苏省盐城中学高三(上)1月月考数学试卷
2014-2015学年江苏省盐城中学高三（上）1月月考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题(本大题共14小题，共70.0分)1.已知集合A={-2，-1，0，1，2}，集合B={x|x2＜1}，则A∩B= ______ ．【答案】{0}【解析】解：∵集合A={-2，-1，0，1，2}，集合B={x|x2＜1}={x|-1＜x＜1}，∴A∩B={0}．故答案为：{0}．利用不等式知识和交集定义求解．本题考查交集的求法，是基础题．解题时要注意不等式知识的合理运用．2.已知复数z=（i为虚数单位），则|z|的值为______ ．【答案】【解析】解：∵复数z=（i为虚数单位），则|z|===，故答案为：．利用两个复数商的模等于被除数的模除以除数的模，计算求得结果．本题主要考查复数的模的定义，复数求模的方法，利用了两个复数商的模等于被除数的模除以除数的模，属于基础题．3.从1，2，3，4，5这5个数中一次随机取两个数，则这两个数的和为5的概率为______ ．【答案】【解析】解：根据题意，从5个数中一次随机取两个数，其情况有1、2，1、3，1、4，1、5，2、3，2、4，2、5，3、4，3、5，4、5，共10种情况，其中这两个数的和为5的有1、4，2、3，共2种；则取出两个数的和为5的概率P==；故答案为．根据题意，列举从5个数中一次随机取两个数的情况，可得其情况数目与取出两个数的和为5的情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案．本题考查等可能事件的概率计算，关键是用列举法得到全部的情况数目和符合题干要求的情况数目．4.阅读流程图，若输入a=10，b=6，则输出的结果是______ ．【答案】2【解析】解：当a=10，b=6，x=4，满足进行循环的条件，执行循环体后，a=8，b=5，当a=8，b=5，x=3，满足进行循环的条件，执行循环体后，a=6，b=4，当a=6，b=4，x=2，不满足进行循环的条件，故输出的结果为2，故答案为：2由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．5.在△ABC中，，，=150°，则b= ______ ．【答案】7【解析】解：在△ABC中，∵a=3，c=2，B=150°，∴由余弦定理得：b2=a2+c2-2accos B=27+4-2×3×2×cos150°=31-12×（-）=31+18=49．∴b=7．故答案为：7．利用余弦定理即可求得答案．本题考查余弦定理的应用，属于基础题．6.已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的体积为______ ．【答案】2π【解析】解：根据题意，圆柱的底面半径r=1，母线长l=2r=2∴圆柱的体积为V=S l=πr2l=π×12×2=2π．故答案为：2π．根据题意，求出圆柱的母线长l，再求圆柱的体积V．本题考查了求圆柱体的体积的问题，解题时应根据圆柱体的体积公式进行计算即可，是基础题．7.在等比数列{a n}中，a1=2，a4=16，则a2+a4+…+a2n= ______ ．【答案】【解析】解：等比数列{a n}中，a1=2，a4=16，∴a4=a1q3=2q3=16，解得q=2；∴a2+a4+…+a2n=4+16+…+4×4n-1==．故答案为：．根据等比数列的性质，求出公比q，再利用等比数列的前n项和公式求a2+a4+…+a2n．本题考查了等比数列的性质以及前n项和公式的应用问题，是基础题目．8.函数f（x）=+a（x≠0），则“f（1）=1”是“函数f（x）为奇函数”的______条件（用“充分不必要”，“必要不充分”“充要”“既非充分又非必要”填写）【答案】充要【解析】解：若f（x）=+a是奇函数，则f（-x）=-f（x），即f（-x）+f（x）=0，∴，即，∴2a-1=0，即a=．若f（1）=1，即f（1）=，解得a=．∴“f（1）=1”是“函数f（x）为奇函数”的充要条件．故答案为：充要．根据函数奇偶性的定义，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．本题主要考查函数奇偶性的应用，以及充分条件和必要条件的判断，要求熟练掌握相应的定义和运算性质．9.已知x＞0，y＞0，n＞0，nx+y=1，+的最小值为16，则n的值为______ ．【答案】4【解析】解：∵x＞0，y＞0，n＞0，nx+y=1，∴+=（nx+y）=n+4+≥n+4+=n+4+4，当且仅当时取等号．∴n+4+=16，解得n=4．故答案为：4．利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．10.在△ABC中，∠A=90°，AB=1，AC=2，设点P，Q满足，，，若，则λ= ______ ．【答案】【解析】解：由题意可得=0，因为，，，由于=（）•（）=[（1-λ）]•[λ]=0-（1-λ）-λ+0=（λ-1）4-λ×1=-2，解得λ=，故答案为：．由题意推出=0，根据=-2，通过向量的转化求得λ的值．本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的运算，属于中档题．11.设A（1，0），B（0，1），直线l：y=ax，圆C：（x-a）2+y2=1．若圆C既与线段AB 有公共点，又与直线l有公共点，则实数a的取值范围是______ ．【答案】，【解析】解：∵圆C：（x-a）2+y2=1的圆心C（a，0）在x轴上，且圆的半径等于1，当圆心在A点左侧时，点A，B所在直线方程为x+y-1=0，由圆心（a，0）到直线x+y-1=0的距离等于1，得，即，解得a=1-或a=1+（舍），当圆心在A的右侧时，圆交线段AB于A时，a有最大值，此时a=2．∴圆C ：（x -a ）2+y 2=1与线段AB 有公共点的a 的范围是 ， ． 要使圆C ：（x -a ）2+y 2=1与直线l ：y =ax 有公共点，则，即a 4≤a 2+1， ∴a 4-a 2-1≤0， 解得：0，∴．∴圆C 既与线段AB 又与直线l 有公共点d 的实数a 的取值范围是 ，．故答案为： ，．根据圆的圆心坐标和半径，首先分析得到使圆C ：（x -a ）2+y 2=1与线段AB 有公共点的a 的范围，再由圆心到直线y =ax 的距离小于等于圆的半径得到实数a 的取值范围，取交集后得答案．本题考查了直线与圆的方程的应用，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了利用圆心和直线的距离判断直线与圆的位置关系，属中档题．12.定义在R 上的奇函数f （x ），当x ≥0时， ＜，则函数的所有零点之和为 ______ ． 【答案】【解析】解：∵函数f （x ）是奇函数，∴当x ＜0时，f （x ）=， ＜ ＜ ，，作出函数f （x ）在R 图象如图： 由=0， 即f （x ）=，由图象可知函数f （x ）=有5个根，不妨设为x =a ，b ，c ，d ，e ．且a ＜b ＜c ＜d ＜e ， 则a ，b 关于x =-3对称，d ，e 关于x =3对称，0＜c ＜1， 则，，∴a +b =-6，d +e =6， ∵0＜c ＜1，∴由f （c ）= ，得log， 即c +1=2，∴c=，∴零点之和为a+b+c+d+e=-6+6+．故答案为：．根据函数的奇偶性求出函数f（x）的表达式，根据函数表达式作出函数的图象，由图象可知函数的对称性，利用数形结合求出函数g（x）的所有零点即可．点评：本题考查函数的图象，函数零点知识，考查函数与方程，数形结合的思想，准确画好图，把握图象的对称性是关键．13.如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1、F2在x轴上，A1，A2为左右顶点，焦距为2，左准线l与x轴的交点为M，|MA2|：|A1F1|=6：1．若点P在直线l上运动，且离心率e＜，则tan∠F1PF2的最大值为______ ．【答案】【解析】解：由焦距为2，则c=1，左准线l与x轴的交点为M，|MA2|：|A1F1|=6：1，则6（a-c）=a+，代入c=1，解得，a=2或3，由于离心率e＜，则a＞2c=2，则a=3．则l：x=-9，设P（-9，y），（y＞0），则MF1|=8，|MF2|=10，则tan∠F1PF2=tan（∠F2PM-∠F1PM）===≤=．当且仅当y=即y=4时，取得最大值．故答案为：．由椭圆的性质可得c=1，运用准线方程和离心率公式和两点距离公式，结合条件，可得a=2，再设P（-9，y），（y＞0），运用两角差的正切公式，结合基本不等式即可求得最大值．本题考查椭圆的性质：离心率和准线方程，考查三角函数的正切公式，考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题和易错题．14.函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x-y=0平行的切线，则实数a的取值范围是______ ．【答案】（-∞，2-）∪，【解析】解：，（x＞0）．∵函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x-y=0平行的切线，∴方程在区间x∈（0，+∞）上有解．即在区间x∈（0，+∞）上有解．∴a＜2．若直线2x-y=0与曲线f（x）=lnx+ax相切，设切点为（x0，2x0）．则，解得x0=e．此时．综上可知：实数a的取值范围是（-∞，2-）∪，．故答案为：（-∞，2-）∪，．函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x-y=0平行的切线⇔方程f（x）=在区间x∈（0，+∞）上有解，并且去掉直线2x-y=0与曲线f（x）相切的情况，解出即可．本题考查了导数的几何意义、切线的斜率、相互平行的直线之间的斜率关系、恒成立问题的等价转化等基础知识与基本技能方法，属于中档题．二、解答题(本大题共6小题，共90.0分)15.已知PA⊥菱形ABCD所在平面，点E、F分别为线段BC、PA的中点．（1）求证：BD⊥PC；（2）求证：BF∥平面PDE．【答案】证明：（1）∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD，又∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又PA，AC⊂平面PAC，PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，∴BD⊥PC．（2）取线段PD的中点G，连结EG，FG，则FG∥AD，且，又BE∥AD，且，∴FG∥BE，FG=BE，∴四边形BEGF是平行四边形，∴BF∥EG，又BF⊄平面PDE，EG⊂平面PDE，∴BF∥平面PDE．【解析】（1）由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥BD，又由ABCD是菱形，可得AC⊥BD，进而由线面垂直的判定定理得到BD⊥平面PAC，进而BD⊥PC．（2）取线段PD的中点G，连结EG，FG，由中位线定理可得FG∥AD，且，又由BE∥AD，且，进而四边形BEGF是平行四边形，进而BF∥EG，再由线面平行的判定定理得到BF∥平面PDE本题考查的知识点是直线与平面平行的判定定理，直线与平面垂直的判定定理和性质定理，难度不大，属于中档题．16.已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=，向量=（-1，1），=（cos B cos C，sin B sin C-），且⊥．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）当sin B+cos（-C）取得最大值时，求B和b．【答案】解：（1）∵⊥，∴=-cos B cos C+sin B sin C-=0，∴-cos（B+C）=cos A=，又A∈（0，π），则．（2）==，当时，，，则时，最大，由正弦定理，得．∴，．【解析】（1）由⊥，可得=0，化为-cos（B+C）=cos A=，又A∈（0，π），可得A．（2）==，当时，可得时，最大，再利用正弦定理，可得b．本题考查了向量垂直与数量积的关系、两角和差的余弦公式、诱导公式、正弦定理、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.如图①，一条宽为1km的两平行河岸有三个工厂A、B、C，工厂B与A、C的直线距离都是2km，BC与河岸垂直，D为垂足．现要在河岸AD上修建一个供电站，并计划铺设地下电缆和水下电缆，从供电站向三个工厂供电．已知铺设地下电缆、水下电缆的费用分别为2万元/km、4万元/km．（Ⅰ）已知工厂A与B之间原来铺设有旧电缆（原线路不变），经改造后仍可使用，旧电缆的改造费用是0.5万元/km．现决定将供电站建在点D处，并通过改造旧电缆修建供电线路，试求该方案总施工费用的最小值；（Ⅱ）如图②，已知供电站建在河岸AD的点E处，且决定铺设电缆的线路为CE、EA、EB，若∠DCE=θ（0≤θ≤），试用θ表示出总施工费用y（万元）的解析式，并求总施工费用y的最小值．【答案】解：（1）过D作DE⊥AB于E，地下电缆的最短线路为DE，AB，CD该方案总费用为（万元）（2），ED=tanθ，则=设则由g'（θ）=0得，，列表，则此时因此施工总费用的最小值为万元，其中【解析】（Ⅰ）过D作DE⊥AB于E，地下电缆的最短线路为DE，AB，CD，由此能求出该方案的总费用．（Ⅱ）因为∠DCE=θ，0≤θ≤，所以，ED=tanθ，，则y=，令则，由此能求出施工总费用的最小值．本题考查函数在生产实际中的应用，考查导数知识的运用，综合性强．18.若椭圆C的方程为=1（a＞b＞0），F1、F2是它的左、右焦点，椭圆C过点（0，1），且离心率为e=．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左右顶点为A、B，直线l的方程为x=4，P是椭圆上任一点，直线PA、PB分别交直线l于G、H两点，求的值；（3）过点Q（1，0）任意作直线m（与x轴不垂直）与椭圆C交于M、N两点，与y 轴交于R点，．证明：λ+μ为定值．【答案】解：（1）椭圆的离心率为e=，即=，则c=a，∵椭圆C过点（0，1），∴，即b2=1，则c2=a2-b2，即=a2-1，解得a2=9，故椭圆的方程为．（2）由椭圆的方程得A（-3，0），B（3，0），设p（x0，y0），G（4，m），H（4，n），∵A，P，G三点共线，∴，即m=，同理n=，即，，，，则=．（3）设M（x1，y1），N（x2，y2），R（0，t）由得（x1，y1-t）=λ（1-x1，-y1）所以（λ≠-1）代入椭圆方程得λ2+9t2=9（1+λ）2①同理由得μ2+9t2=9（1+μ）2②由①-②得【解析】（1）根据条件建立方程关系求出a，b即可求椭圆的方程；（2）设出P，G，H的坐标，利用向量的数量积的定义即可求的值；（3）利用直线和椭圆相交以及向量的共线关系建立方程关系即可证明λ+μ为定值．本题主要考查椭圆方程的求解以及直线和椭圆相交的位置关系考查向量的数量积的运算以及三点共线的应用，综合考查学生的运算和推理能力．19.已知函数，其中a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在原点处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若f（x）在[0，+∞）上存在最大值和最小值，求a的取值范围．（Ⅰ）解：当a=1时，，．…（2分）由f'（0）=2，得曲线y=f（x）在原点处的切线方程是2x-y=0．…（3分）（Ⅱ）解：对函数求导可得，…（4分）①当a=0时，．所以f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减．…（5分）当a≠0，．②当a＞0时，令f'（x）=0，得x1=-a，，f（x）与f'（x）的情况如下：故f（x）的单调减区间是（-∞，-a），，∞；单调增区间是，．…（7分）③当a＜0时，f（x）与f'（x）的情况如下：所以f（x）的单调增区间是（-∞，），（-a，+∞）；单调减区间是（，-a），（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得，a=0时不合题意．…（10分）当a＞0时，由（Ⅱ）得，f（x）在，单调递增，在，∞单调递减，所以f（x）在（0，+∞）上存在最大值＞．设x0为f（x）的零点，易知，且＜．从而x＞x0时，f（x）＞0；x＜x0时，f（x）＜0．若f（x）在[0，+∞）上存在最小值，必有f（0）≤0，解得-1≤a≤1．所以a＞0时，若f（x）在[0，+∞）上存在最大值和最小值，a的取值范围是（0，1]．…（12分）当a＜0时，由（Ⅱ）得，f（x）在（0，-a）单调递减，在（-a，+∞）单调递增，所以f（x）在（0，+∞）上存在最小值f（-a）=-1．若f（x）在[0，+∞）上存在最大值，必有f（0）≥0，解得a≥1，或a≤-1．所以a＜0时，若f（x）在[0，+∞）上存在最大值和最小值，a的取值范围是（-∞，-1]．综上，a的取值范围是（-∞，-1]∪（0，1]．…（Ⅰ）当a=1时，先对函数求导，然后求出f'（0），即取消在原点处的切线斜率，可求得曲线y=f（x）在原点处的切线方程（Ⅱ）先对函数求导，然后根据导数的符号可判断函数的单调区间（III）由（Ⅱ）中函数的单调区间，可求出函数的最值取得的条件，然后可求a的范围本题主要考查了函数的导数的几何意义的应用，导数在函数的单调区间及函数的最值求解中的应用，属于中档试题20.已知无穷数列{a n}的各项均为正整数，S n为数列{a n}的前n项和．（Ⅰ）若数列{a n}是等差数列，且对任意正整数n都有成立，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）对任意正整数n，从集合{a1，a2，…，a n}中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与a1，a2，…，a n 一起恰好是1至S n全体正整数组成的集合．（ⅰ）求a1，a2的值；（ⅱ）求数列{a n}的通项公式．【答案】解：（1）设无穷等差数列{a n}的公差为d，则：S n=na1+d=n[]，所以：又，则：=，所以：则a n=1或a n=2n-1，（2）（i）记A n={1，2，…S n}，显然a1=S1=1，对于S2=a1+a2=1+a2，有A2={1，2，…S2}={1，a2，1+a2，|1-a2|}={1，2，3，4}，故1+a2=4，所以a2=3，（ii）由题意可知，集合{a1，a2，…a n}按上述规则，共产生S n个正整数．而集合{a1，a2，…a n，a n+1}按上述规则产生的S n+1个正整数中，除1，2，…S n这S n个正整数外，还有a n+1，a n+1+i，|a n+1-i|（i=1，2，…S n），共2S n+1个数．所以，S n+1=S n+（2S n+1）=3S n+1，又S n+1+=3（S n+），所以S n=（S1+）•3n-1-=•3n-，当n≥2时，a=S-S==3n-1而a=1也满足a=3n-1．【解析】（1）设公差为d，则有S n=na1+d=n[]，由已知可得=，即可解得数列{a n}的通项公式；（i）记A n={1，2，…S n}，显然a1=S1=1，对于S2=a1+a2=1+a2，有A2={1，2，…S2}={1，（2）a2，1+a2，|1-a2|}={1，2，3，4}，即可解得a2的值．（ii）由题意可知，S n+1=S n+（2S n+1）=3S n+1，又S n+1+=3（S n+），可得S n=（S1+）•3n-1-=•3n-，即可求得a n=S n-S n-1=3n-1．本题主要考查了等差数列通项公式的求法，考查了数列与函数的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．。
江苏省盐城市2015届高三年级第一学期期中考试数学试题
江苏省盐城市2015届高三年级第一学期期中考试数学试题(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上. 1. 若集合{}0,1A =，集合{}0,1B =-，则AB = ▲ .2．命题“若a b >, 则22a b>”的否命题为 ▲ .3．函数2()sin f x x =的最小正周期为 ▲ ． 4．若幂函数()()f x x Q αα=∈的图象过点(2,2，则α= ▲ ． 5．若等比数列{}n a 满足23a =，49a =，则6a = ▲ .6．若,a b 均为单位向量，且(2)⊥-a a b ，则,a b 的夹角大小为 ▲ .7．若函数12()21x xmf x ++=-是奇函数，则m = ▲ . 8．已知点P 是函数()cos (0)3f x x x π=≤≤图象上一点，则曲线()y f x =在点P 处的切线斜率的最小值为▲ .9．在等差数列}{n a 中，n S 是其前n 项和，若75=+4S S ，则93S S -= ▲ . 10．在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若4a =，3b =，2A B =，则sin B = ▲ .11．如图，在等腰ABC ∆中，=AB AC ，M 为BC 中点，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且1=2AD DB ，=3AE EC ，若90DME ∠=，则cos A=▲ .12．若函数2()2f x x a x =+-在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 ▲ . 13. 设函数211*3224()n n y x x n N --=-⨯+⨯∈的图象在x 轴上截得的线段长为n d ，记数列{}n d 的前n 项和为MEDA B第11题n S ，若存在正整数n ，使得()22log 118m n n S -+≥成立，则实数m 的最小值为 ▲ .14．已知函数32|2|(1)()ln (1)x x x x f x x x ⎧--+<=⎨≥⎩，若命题“t R ∃∈，且0t ≠，使得()f t kt ≥”是假命题，则实数k 的取值范围是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15. (本小题满分14分)已知函数()sin cos f x x a x ωω=+满足(0)f ()f x 图象的相邻两条对称轴间的距离为π. （1）求a 与ω的值； （2）若()1f α=，(,)22ππα∈-，求5cos()12πα-的值.17. (本小题满分14分)设△ABC 的面积为S ，且20S AC +⋅=. （1）求角A 的大小；（2）若||3BC =，且角B 不是最小角，求S 的取值范围．18. (本小题满分16分)如图是一块镀锌铁皮的边角料ABCD ，其中,,AB CD DA 都是线段，曲线段BC 是抛物线的一部分，且点B 是该抛物线的顶点，BA 所在直线是该抛物线的对称轴. 经测量，AB =2米，3AD =米，A B A D ⊥，点C 到,AD AB 的距离,CH CR 的长均为1米．现要用这块边角料裁一个矩形AEFG （其中点F 在曲线段BC 或线段CD 上，点E 在线段AD 上，点G 在线段AB 上）. 设BG 的长为x 米，矩形AEFG 的面积为S 平方米. （1）将S 表示为x 的函数；（2）当x 为多少米时，S 取得最大值，最大值是多少？19. (本小题满分16分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21132(2,)n n n S S S n n n N *-+++=+≥∈. （1）若{}n a 是等差数列，求{}n a 的通项公式； （2）若11a =.① 当21a =时，试求100S ；② 若数列{}n a 为递增数列，且3225k S =，试求满足条件的所有正整数k 的值.AB C DEFG R 第18题H20. (本小题满分16分)已知函数()x f x e =，()g x x m =-，m R ∈.（1）若曲线()y f x =与直线()y g x =相切，求实数m 的值； （2）记()()()h x f x g x =⋅，求()h x 在[]01，上的最大值； （3）当0m =时，试比较()2f x e -与()g x 的大小.盐城市2015届高三年级第一学期期中考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1. {}0,1,1-2. 若a b ≤, 则22a b≤ 3. π 4. 12-5. 276. 3π7. 28. 9. 12 10. 11. 15 12. [4,0]- 13. 13 14. 1(,1)e二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．解：（1）(0)f =，∴sin 0cos0a +=，解得a = ……………2分∴()sin 2sin()3f x x x x πωωω==+， ……………4分()f x 图象的相邻两条对称轴间的距离为π，∴22T ππω==，∴1ω=. ……………6分（2）()1fα=，∴1sin()32πα+=，……………8分(,)22ππα∈-，∴5(,)366πππα+∈-，∴36ππα+=，即6πα=-，……………10分∴57cos()cos1212ππα-=，又7cos cos()1234πππ=+，∴5cos()cos cos sin sin1234344πππππα-=⋅-⋅=. …………14分16．解：（1）由2430x x-+->，解得13x<<，所以(1,3)A=，…………2分又函数21yx=+在区间(0,)m上单调递减，所以2(,2)1ym∈+，即2(,2)1Bm=+，…………4分当2m=时，2(,2)3B=，所以(1,2)A B=. …………6分（2）首先要求0m>，…………8分而“x A∈”是“x B∈”的必要不充分条件，所以B AØ，即2(,2)(1,3)1m+?，…………10分从而211m≥+，…………12分解得01m<≤. …………14分17．解：（1）设ABC∆中角,,A B C所对的边分别为,,a b c，由20S AB AC+⋅=，得12sin cos02bc A A⨯+=，即sin0A A+=，…………2分所以tan A=，…………4分又(0,)Aπ∈，所以23Aπ=. …………6分（23BC=，所以a=，sin sinb cB C==，所以2sin,2sinb Bc C==，…………8分从而1sin sin sin()23S bc A B C B Bπ===-…………10分11cos2sin)2))246BB B B B Bπ-=-=-=+-，…………12分又5(,),2(,)63626B Bπππππ∈+∈，所以S∈. …………14分（说明：用余弦定理处理的，仿此给分）18．解：（1）以点B为坐标原点，BA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系. …………2分设曲线段BC所在抛物线的方程为22(0)y px p=>，而2GA x =-，所以),01,(21)(2),1 2.x x S x x x ⎧-<≤⎪=⎨--<<⎪⎩ …………8分（2）①当01x <≤时，因为1322)2S x x x =-=-，所以112232S xx -'=-=，由0S '=，得23x =， …………10分 当2(0,)3x ∈时，0S '>，所以S 递增；当2(,1)3x ∈时，0S '<，所以S 递减，所以当23x =时，max S =； …………12分 ②当12x <<时，因为259(21)(2)2()48S x x x =--=--+，所以当54x =时，max 98S =； …………14分综上，因为98>54x =米时，max 98S =平方米. …………16分（说明：本题也可以按其它方式建系，如以点A 为坐标原点，AD 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，仿此给分）19．解：（1）由等差数列求和公式211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-， 11n n n S S S -+∴++222111(1)()(1)()(1)()(1)222222d d d d d dn a n n a n n a n =-+--++-+++-+21(32)3(),22d dn a n =++- ……………2分 ∴222113(32)3()3()322222d d d dn a n n a n d n ++-=+-+=+， ∴133,,222d da d =-=，解得12,1d a ==，∴ 21n a n =-； ……………4分 （说明：也可以设2n S an bn =+；或令2,3n n ==，先求出首项1a 与公差d ） （2）由21132(2)n n n S S S n n -+++=+≥，得2123(1)2n n n S S S n ++++=++ ， ……………6分∴1263(2)n n n a a a n n ++++=+≥， ∴10012345679899100()()()S a a a a a a a a a a =++++++++++11(6236983)33100002=+⋅++⋅+⋅=. ………………8分（说明：用21a =，利用分组方法求和，类似给分.）（3）设2a x =，由21132(2)n n n S S S n n -+++=+≥，得12314S S S ++=与23429S S S ++=，∴1233214a a a ++=，∴3112a x =-，∴123433229a a a a +++=，∴44a x =+， ……………10分又2123(1)2n n n S S S n ++++=++，∴1263(2)n n n a a a n n ++++=+≥，∴1163(3)n n n a a a n n -+++=-≥， 相减得216(3)n n a a n +--=≥， ∴5266a a x =+=+，数列{}n a 为递增数列，∴12345a a a a a <<<<，解得71133x <<， ……………12分由312345678932313()()()k k k k S a a a a a a a a a a a a --=++++++++++++，∴3112(6436(32)3)(1)2k S x k k =-+⋅++-+-，∴2393225k S k x =-+=， ……………14分∴27119222(,)33x k =-∈，解得5k =. ……………16分20．解：（1）设曲线()x f x e =与()g x x m =-相切于点()00,P x y ，由()xf x e '=，知0=1xe ，解得00x =， ……………2分 又可求得点P 为()01，，所以代入()g x x m =-，得1m =-. ……………4分 （2）因为()()xh x x m e =-，所以()()()(1),[0,1]xxxh x e x m e x m e x '=+-=--∈.①当10m -≤，即1m ≤时，()0h x '≥，此时()h x 在[]01，上单调递增，所以()()()max 11h x h m e ==-； ……………6分 ②当011m <-<即12m <<时，当()01x m ∈-，时，()0h x '<，()h x 单调递减， 当()1,1x m ∈-时，()0h x '>，()h x 单调递增，()0h m =-，()()11h m e =-.(i)当()1m m e -≥-，即21em e ≤<-时，()()max 0h x h m ==-； (ii) 当()1m m e -<-，即11em e <<-时，()()()max 11h x h m e ==-； ……………8分③当11m -≥，即2m ≥时，()0h x '≤，此时()h x 在[]01，上单调递减，所以()()min 0h x h m ==-. 综上，当1e m e <-时，()()max 1h x m e =-；当1em e ≥-时，()max h x m =-. ……………10分 (3)当0m =时，()22=x f x e ee --，()g x x =，①当0x ≤时，显然()()2f x e g x ->；②当0x >时，()222ln =ln x f x ex e e e ---=，()ln ln g x x =，记函数()221=ln ln x xx ex e x eϕ--=⨯-， ……………12分 则()22111=e x x x e e x xϕ-'⨯-=-，可知()x ϕ'在()0,+∞上单调递增，又由()10ϕ'<，()20ϕ'>知，()x ϕ'在()0,+∞上有唯一实根0x ，且012x <<，则()02001=0x x ex ϕ-'-=，即0201x e x -=（*）， 当()00,x x ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减；当()0+x x ∈∞，时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增， 所以()()0200=ln x x x e x ϕϕ-≥-， ……………14分结合（*）式021x ex -=，知002ln x x -=-， 所以()()()22000000001211=2=0x x x x x x x x x ϕϕ--+≥+-=>，则()2=ln 0x x e x ϕ-->， 即2ln x ex ->，所以2x ee x ->.综上，()()2f x eg x ->. ……………16分（说明：若学生找出两个函数()2f x y e -=与()y g x =图象的一条分隔线，如1y x =-，然后去证()21f x ex -≥-与()1x g x -≥，且取等号的条件不一致，同样给分）。
江苏省盐城市高三上学期期中——数学数学
江苏省盐城市2015届高三上学期期中考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1. 若集合，集合，则 .2．命题“若, 则”的否命题为 .3．函数的最小正周期为 ．4．若幂函数的图象过点，则= ．5．若等比数列满足，，则 .6．若均为单位向量，且，则的夹角大小为 .7．若函数是奇函数，则 .8．已知点是函数()cos (0)3f x x x π=≤≤图象上一点，则曲线在点处的切线斜率的最小值为 .9．在等差数列中，是其前项和，若，则= .10．在中，分别为角的对边，若，，，则= .11．如图，在等腰中，，为中点，点、分别在边、上，且，，若，则= .12．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 .13. 设函数211*3224()n n y x x n N --=-⨯+⨯∈的图象在轴上截得的线段长为，记数列的前项和为，若存在正整数，使得成立，则实数的最小值为 .14．已知函数32|2|(1)()ln (1)x x x x f x x x ⎧--+<=⎨≥⎩，若命题“，且，使得”是假命题，则实数的取值范围是 .二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15. (本小题满分14分)已知函数()sin cos f x x a x ωω=+满足，且图象的相邻两条对称轴间的距离为.（1）求与的值；（2）若，，求的值.17. (本小题满分14分)设△的面积为，且.（1）求角的大小；（2）若，且角不是最小角，求的取值范围．18. (本小题满分16分)如图是一块镀锌铁皮的边角料，其中都是线段，曲线段是抛物线的一部分，且点是该抛物线的顶点，所在直线是该抛物线的对称轴. 经测量，2米，米，，点到的距离的长均为1米．现要用这块边角料裁一个矩形（其中点在曲线段或线段上，点在线段上，点在线段上）. 设的长为米，矩形的面积为平方米.（1）将表示为的函数；（2）当为多少米时，取得最大值，最大值是多少？19. (本小题满分16分)设数列的前项和为，且21132(2,)n n n S S S n n n N *-+++=+≥∈.（1）若是等差数列，求的通项公式；（2）若.① 当时，试求；② 若数列为递增数列，且，试求满足条件的所有正整数的值.20. (本小题满分16分)已知函数，，.（1）若曲线与直线相切，求实数的值；（2）记，求在上的最大值；（3）当时，试比较与的大小.参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1. 2. 若, 则 3. 4. 5. 27 6. 7. 28. 9. 12 10. 11. 12. 13. 13 14.二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．解：（1），，解得， ……2分()s i n 3c o s 2s i n ()3f x x x x πωωω==+， ……4分 图象的相邻两条对称轴间的距离为，，. ……………6分（2），， ………8分，，，即， …10分57cos()cos 1212ππα-=，又，5cos()cos cos sin sin 1234344πππππα-=⋅-⋅=. …14分 16．解：（1）由，解得，所以， …2分又函数在区间上单调递减，所以，即，……4分当时，，所以. …………6分（2）首先要求， …………8分而“”是“”的必要不充分条件，所以，即， …………10分而， …………12分解得. …………14分17．解：（1）设中角所对的边分别为，由，得12sin cos 02bc A A ⨯+=，即， …………2分所以， …………4分又，所以. …………6分 （2）因为，所以，sin sin 3b c B C ==， 所以， …………8分从而1sin sin sin()23S bc A B C B B π===- …………10分11cos2sin )2))246B B B B B B π-=--+ ……12分 又5(,),2(,)63626B B πππππ∈+∈，所以. …………14分 （说明：用余弦定理处理的，仿此给分）18．解：（1）以点为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系. …………2分设曲线段所在抛物线的方程为，将点代入，得， 即曲线段的方程为. …………4分 又由点得线段的方程为. …………6分而，所以),01,(21)(2),1 2.x x S x x x ⎧-<≤⎪=⎨--<<⎪⎩ …………8分 （2）①当时，因为1322)2S x x x =-=-，所以112232S x x -'=-= …………10分 当时，，所以递增；当时，，所以递减，所以当时，； …………12分 ②当时，因为259(21)(2)2()48S x x x =--=--+， 所以当时，； …………14分综上，因为，所以当米时，平方米. …………16分（说明：本题也可以按其它方式建系，如以点为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，仿此给分）19．解：（1）由等差数列求和公式211(1)()222n n n d d S na d n a n -=+=+-， 222111(1)()(1)()(1)()(1)222222d d d d d d n a n n a n n a n =-+--++-+++-+ 21(32)3(),22d d n a n =++- ……………2分 222113(32)3()3()322222d d d d n a n n a n d n ++-=+-+=+， ，解得，； ……………4分（说明：也可以设；或令，先求出首项与公差）（2）由21132(2)n n n S S S n n -+++=+≥，得2123(1)2n n n S S S n ++++=++ ， ……………6分1263(2)n n n a a a n n ++++=+≥，10012345679899100()()()S a a a a a a a a a a =++++++++++11(6236983)33100002=+⋅++⋅+⋅=. ………………8分 （说明：用，利用分组方法求和，类似给分.）（3）设，由21132(2)n n n S S S n n -+++=+≥，得与，，，123433229a a a a +++=，， ……………10分又2123(1)2n n n S S S n ++++=++， 1263(2)n n n a a a n n ++++=+≥，1163(3)n n n a a a n n -+++=-≥， 相减得，，数列为递增数列，，解得， ……………12分由312345678932313()()()k k k k S a a a a a a a a a a a a --=++++++++++++，3112(6436(32)3)(1)2k S x k k =-+⋅++-+-， 2393225k S k x =-+=， ……………14分27119222(,)33x k =-∈，解得. ……………16分 20．解：（1）设曲线与相切于点，由，知，解得， ……………2分又可求得点为，所以代入，得. ……………4分（2）因为，所以()()()(1),[0,1]x x xh x e x m e x m e x '=+-=--∈. ①当，即时，，此时在上单调递增，所以()()()max 11h x h m e ==-； ……………6分②当即时，当时，，单调递减，当时，，单调递增，，.(i)当，即时，；(ii) 当，即时，()()()max 11h x h m e ==-； ……………8分③当，即时，，此时在上单调递减，所以.综上，当时，；当时，. ……10分(3)当时，，，①当时，显然；②当时，()222ln =ln x f x e x e e e ---=，，记函数()221=ln ln x x x e x e x eϕ--=⨯-， ……………12分则()22111=e x x x e e x xϕ-'⨯-=-，可知在上单调递增，又由，知，在上有唯一实根，且，则，即（），当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以()()0200=ln x x x ex ϕϕ-≥-， ……………14分结合（）式，知， 所以()()()22000000001211=2=0x x x x x x x x x ϕϕ--+≥+-=>，则， 即，所以.综上，. ……………16分（说明：若学生找出两个函数与图象的一条分隔线，如，然后去证与，且取等号的条件不一致，同样给分）。
江苏省盐城市2015届高三第三次模拟考试数学试题(含答案)
盐城市2015届高三年级第三次模拟考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上. 1.已知集合{}210A x x =-=，集合[0,2]B =，则AB = ▲ .2.若复数()(1)z x i i =++是纯虚数，其中x 为实数，i 为虚数单位，则z 的共轭复数z = ▲ .3.根据如图所示的伪代码，则输出的S 的值为 ▲ .4.若抛物线28y x =的焦点F 与双曲线2213x y n-=的一个焦点重合， 则n 的值为 ▲ .5.某单位有840名职工, 现采用系统抽样抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[61, 120]的人数为 ▲ ．6.某公司从四名大学毕业生甲、乙、丙、丁中录用两人，若这四人被录用的机会均等，则甲与乙中至少有一人被录用的概率为 ▲ ．7.若,x y 满足约束条件+20020x y x y x y -≤⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩, 则目标函数z 2x y =+的最大值为 ▲ ．8.已知正四棱锥P ABCD -的体积为43，底面边长为2，则侧棱PA 的长为 ▲ . 9.若角+4πα的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线12y x =上，则tan α的值为 ▲ .10.动直线(y k x =与曲线y =A ，B 两点，O 为坐标原点，当AOB ∆的面积取得最大值时，k 的值为 ▲ .11.若函数()2()232x xf x k -=--⋅，则2k =是函数()f x 为奇函数的 ▲ 条件. (选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)S 0 I 041Pr int While I I I S S I End While S←←≤←+←+第3题12.在边长为1的菱形ABCD 中，23A π∠=，若点P 为对角线AC 上一点，则PB PD ⋅的最大值为 ▲ .13.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若数列{}n a 满足2n n a S An Bn C +=++且0A >，则1B C A+-的最小值为 ▲ ． 14.若函数2()ln 2f x x ax bx a b =-++--有两个极值点12,x x ，其中10,02a b -<<>，且221()f x x x =>，则方程22[()]()10a f x bf x +-=的实根个数为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15. (本小题满分14分)已知(2sin ,sin cos )m x x x =-，(3cos ,sin cos )n x x x =+，记函数()f x m n =⋅. （1）求函数()f x 取最大值时x 的取值集合；（2）设ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()2f C =，c =ABC ∆面积的最大值.16．(本小题满分14分)在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC =，1BB BC =，点,,P Q R 分别是棱111,,BC CC B C 的中点.（1）求证:1A R //平面APQ ； （2）求证:平面APQ ⊥平面1ABC .A 1第16题某地拟建一座长为640米的大桥AB ，假设桥墩等距离分布，经设计部门测算，两端桥墩A 、B 造价总共为100万元，当相邻两个桥墩的距离为x 米时（其中64100x <<），中间每个桥墩的万元，桥面每1米长的平均造价为(2万元. （1）试将桥的总造价表示为x 的函数()f x ；（2）为使桥的总造价最低，试问这座大桥中间(两端桥墩A 、B 除外)应建多少个桥墩？18. (本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xoy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>直线l 与x 轴交于点E ，与椭圆C 交于A 、B 两点. 当直线l 垂直于x 轴且点E 为椭圆C 的右焦点时， 弦AB. （1）求椭圆C 的方程； （2）若点E的坐标为(2，点AA 与原点O 的直线交椭圆C 于另一点P ，求PAB ∆的面积； （3）是否存在点E ，使得2211EA EB+若不存在，请说明理由.第17题设函数()ln f x x =，()()(0)1m x n g x m x +=>+.（1）当1m =时，函数()y f x =与()y g x =在1x =处的切线互相垂直，求n 的值； （2）若函数()()y f x g x =-在定义域内不单调，求m n -的取值范围； （3）是否存在实数a ,使得2()()()02ax a xf f e f x a⋅+≤对任意正实数x 恒成立？若存在，求出满足条件的实数a ；若不存在，请说明理由.20．(本小题满分16分)设函数21()1+f x px qx=+（其中220p q +≠），且存在无穷数列{}n a ，使得函数在其定义域内还可以表示为212()1n n f x a x a x a x =+++++.（1）求2a （用,p q 表示）； （2）当1,1p q =-=-时，令12n n n n a b a a ++=，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：32n S <；（3）若数列{}n a 是公差不为零的等差数列，求{}n a 的通项公式.盐城市2015届高三年级第三次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题] 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.A.（选修4—1：几何证明选讲）在ABC ∆中，已知CM 是ACB ∠的平分线，AMC ∆的外接圆交BC 于点N .若2AB AC =，AM =BN 的长.B.（选修4—2：矩阵与变换） 若矩阵21a c ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 属于特征值3的一个特征向量为11⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，求矩阵M 的逆矩阵1-M .C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为)4πρθ=-，以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为1314x ty t=-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），试判断直线l 与曲线C 的位置关系，并说明理由.D ．(选修4-5：不等式选讲） 已知,,a b c 为正实数，求证：221188ab a b ++≥，并求等号成立的条件.[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内. 22．（本小题满分10分）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形，对角线,AC BD 交于点O ，4OA =，3OB =，4OP =，OP ⊥底面ABCD ，设点M 满足(0)PM MC λλ=>.（1）当12λ=时，求直线PA 与平面BDM 所成角的正弦值； （2）若二面角M AB C --的大小为4π，求λ的值.23．（本小题满分10分）设123*12341()(1)(2,)n nn n n n n F n a a C a C a C a C n n N +=-+-++-≥∈.（1）若数列{}n a 的各项均为1，求证：()0F n =；（2）若对任意大于等于2的正整数n ，都有()0F n =恒成立，试证明数列{}n a 是等差数列.盐城市2015届高三年级第三次模拟考试 数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1. {}12. 2i -3. 154. 15. 36. 567. 613-10. 充分不必要 12. 12-13. 5二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．解：（1）由题意，得()3sin 2cos 22sin(2)6f x m n x x x π=⋅=-=-，当()f x 取最大值时，即sin(2)16x π-=，此时22()62x k k Z πππ-=+∈，所以x 的取值集合为,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭.……………………………………7分 （2）因()2f C =，由（1）得sin(2)16C π-=，又0C π<<，即112666C πππ-<-<，所以262C ππ-=，解得3C π=，在ABC ∆中，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得223a b ab ab =+-≥，所以1sin 2ABC S ab C ∆=≤所以ABC ∆14分16. 证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，11//BC BC 且11BC B C =， 因点,P R 分别是棱11,BC B C 的中点，所以1//BP B R 且1BP B R =， 所以四边形1BPRB 是平行四边形，即1//PR BB 且1PR BB =，又11//AA BB 且11AA BB =，所以1//PR AA 且1PR AA =，即四边形1APRA 是平行四边形， 所以1//AP A R ，又1A R ⊄平面APQ ，所以1//A R 平面APQ .………………7分 （2）因1BB BC =，所以四边形11BCC B 是菱形，所以11B C BC ⊥，又点,P Q 分别是棱11,BC C C 的中点，即1//PQ BC ，所以1B C PQ ⊥. 因为AB AC =，点P 是棱BC 的中点，所以AP BC ⊥， 由直三棱柱111ABC A B C -，知1BB ⊥底面ABC ，即1BB AP ⊥，所以AP ⊥平面11BCC B ，则1AP B C ⊥，所以1B C ⊥平面APQ ，又1B C ⊂平面1ABC ， 所以平面APQ ⊥平面1ABC …………………………………………14分 17．解：（1）由桥的总长为640米，相邻两个桥墩的距离为x 米，知中间共有640(1)x-个桥墩， 于是桥的总造价640()640(2)(1)100640f x x=+-+， 即3112226408080()138033f x x x x -⨯=+-+ 3112225120080=138033x x x -+-+（64100x <<）………………………………7分（表达式写成()=1380f x 同样给分）（2）由（1）可求13122236404040()233f x x x x --⨯'=--，整理得3221()(98064080)6f x x x x -'=--⨯，由()0f x '=，解得180x =，26409x =-（舍），又当(64,80)x ∈时，()0f x '<；当(80,100)x ∈ 时，()0f x '>，所以当80x =，桥的总造价最低，此时桥墩数为6401=780-…………………………14分 18．解：（1）由c a =，设3(0)a k k =>，则c =，223b k =， 所以椭圆C 的方程为2222193x y k k+=，因直线l 垂直于x 轴且点E 为椭圆C的右焦点，即A B x x ==，代入椭圆方程，解得y k =±，于是23k =，即3k =， 所以椭圆C 的方程为22162x y +=………………………………5分 （2）将x =22162x y +=，解得1y =±，因点A在第一象限，从而A ， 由点E的坐标为，所以AB k =，直线PA的方程为y x =，联立直线PA 与椭圆C的方程，解得7()55B --， 又PA 过原点O，于是(1)P -，4PA =，所以直线PA的方程为0x =，所以点B到直线PA的距离h ==，14255PAB S ∆=⋅⋅=………………10分（3）假设存在点E ，使得2211EA EB+为定值，设0(,0)E x ，当直线AB 与x轴重合时，有202222012211(6)x EA EB x ++==-， 当直线AB 与x 轴垂直时，222200112662(1)6x EA EBx +==--， 由20222001226(6)6x x x +=--，解得0x =，20626x =-， 所以若存在点E，此时(3,0)E ，2211EA EB +为定值2. …………………………………………12分根据对称性，只需考虑直线AB过点E ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 又设直线AB的方程为x my =C 联立方程组，化简得22(3)30m y ++-=，所以12y y +=12233y y m -=+，又222222111111(1)EA m y y m y ===++， 所以212122222222221212()21111(1)(1)(1)y y y y EA EB m y m y m y y +-+=+=+++， 将上述关系代入，化简可得22112EA EB+=.综上所述，存在点(E ，使得2211EA EB +为定值2……………16分 19．解：（1）当1m =时，21()(1)ng x x -'=+，∴()y g x =在1x =处的切线斜率14n k -=， 由1()f x x '=，∴()y f x =在1x =处的切线斜率1k =，∴1114n-⋅=-，∴5n = (4)分（2）易知函数()()y f x g x =-的定义域为(0,)+∞，又[]222212(1)2(1)11(1)()()(1)(1)(1)x m n x m n x m n x y f x g x x x x x x +--++--+-'''=-=-==+++，由题意，得12(1)x m n x+--+的最小值为负，∴(1)4m n ->（注：结合函数[]22(1)1y x m n x =+--+图象同样可以得到），∴2((1))(1)44m n m n +-≥->，∴(1)4m n +->，∴3m n ->（注：结合消元利用基本不等式也可）.……………………9分（3）令()x θ2=()()()ln 2ln ln ln 22ax a xf f e f ax a ax x x a x a⋅+=⋅-⋅+-，其中0,0x a >> 则()x θ'=1ln 2ln a a a x a x ⋅--+，设1()ln 2ln x a a a x a xδ=⋅--+2211()0a ax x x x xδ+'=--=-<∴()x δ在(0,)+∞单调递减，()0x δ=在区间(0,)+∞必存在实根，不妨设0()0x δ=即0001()ln 2ln 0x a a a x a x δ=⋅--+=，可得001ln ln 21x a ax =+-（*） ()x θ在区间0(0,)x 上单调递增，在0(,)x +∞上单调递减，所以max 0()()x x θθ=，0000()(1)ln 2(1)ln x ax a ax x θ=-⋅--⋅，代入（*）式得0001()2x ax ax θ=+- 根据题意0001()20x ax ax θ=+-≤恒成立. 又根据基本不等式,0012ax ax +≥,当且仅当001ax ax =时,等式成立 所以0012ax ax +=,01ax =01x a ∴=.代入（*）式得,1ln ln 2a a =,即12,a a=a =………………16分 (以下解法供参考，请酌情给分)解法2：()x θln 2ln ln ln 2(1)(ln 2ln )ax a ax x x a ax a x =⋅-⋅+-=--，其中0,0x a >> 根据条件2()()()02ax a xf f e f x a⋅+≤对任意正数x 恒成立 即(1)(ln 2ln )0ax a x --≤对任意正数x 恒成立∴10ln 2ln 00ax a x a -≥⎧⎪-≤⎨⎪>⎩且10ln 2ln 00ax a x a -≤⎧⎪-≥⎨⎪>⎩，解得12x a a ≤≤且12a x a ≤≤，即12x a a ==时上述条件成立此时a =. 解法3：()x θln 2ln ln ln 2(1)(ln 2ln )ax a ax x x a ax a x =⋅-⋅+-=--，其中0,0x a >> 要使得(1)(ln 2ln )0ax a x --≤对任意正数x 恒成立，等价于(1)(2)0ax a x --≤对任意正数x 恒成立，即1()(2)0x x a a--≥对任意正数x 恒成立， 设函数1()()(2)x x x a aϕ=--，则()x ϕ的函数图像为开口向上，与x 正半轴至少有一个交点的抛物线，因此，根据题意，抛物线只能与x 轴有一个交点，即12a a =，所以2a =. 20．解:（1）由题意，得2212(1)(1)1n n px qx a x a x a x +++++++=，显然2,x x 的系数为0，所以121+0++0a p a a p q =⎧⎨=⎩，从而1a p =-，22a p q =-.………………………4分（2）由1,1p q =-=-，考虑(3)n x n ≥的系数，则有120n n n a pa qa --++=，得1212120(3)nn n a a a a a n --=⎧⎪=⎨⎪--=≥⎩，即21n n n a a a ++=+， 所以数列{}n a 单调递增，且22211n n n n n n n a a b a a a a +++-==-， 所以132435211111111()()()()n n n S a a a a a a a a +=-+-+-++-， 当2n ≥时，12+12+121111311322n n n n n S a a a a a a ++=+--=--<.…………………………10分 （3）由（2）120n n n a pa qa --++=，因数列{}n a 是等差数列，所以1220n n n a a a ---+=，所以12(2+)(1)n n p a q a --=-对一切3n ≥都成立，若0n a =，则0p q ==，与220p q +≠矛盾，若数列{}n a 是等比数列，又据题意{}n a 是等差数列，则{}n a 是常数列，这与数列{}n a 的公差不为零矛盾，所以210p q +=-=，即2,1p q =-=，由（1）知12a =，23a =，所以1n a n =+.………16分 （其他方法：根据题意可以用p 、q 表示出1a ，2a ，3a ，4a ，由数列{}n a 为等差数列，利用2132a a a =+，3242a a a =+解方程组也可求得.）解法2：由（1）可知1a p =-，22a p q =-，因为数列{}n a 是等差数列，设公差为d221d a a p q p =-=-+，2322a p q p =-+，24332a p q p =-+.又由（2）120n n n a pa qa --++=， 所以3210,a pa qa ++=得2(1)2(1)0p p q p +-+=，若10,p +=即1,p =-时，11a =，21a =，0d =与条件公差不为零相矛盾，因此1,p ≠-则(1)2p p q +=.由4320a pa qa ++=,可得 222332(22)()0p q p p p q p q p q -++-++-=,整理可得 22(23)()20p q p q p p ++-++=代入(1)2p p q +=,21(2)(1)04p p p ++=,0p =或2p =- 若0p =,则0p q ==，与220p q +≠矛盾，若2p =-,则1q =,满足题意, 所以1n a n =+附加题答案B ．解：由题意，得2113111ac⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，解得12a c =⎧⎨=⎩，所以1221⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M . 设1xy z w -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M，则112102101xy zw -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦MM ， 解得1221,,,3333x y z w =-===-，即112332133-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦M .…………………………10分C ．解：将直线l 与曲线C 的方程化为普通方程，得直线l ：4310x y -+=，曲线C ：22220x y x y +--=，所以曲线C 是以(1,1)为圆心，半径为的圆，所以圆心到直线l 的距离25d =<，因此，直线l 与曲线C 相交. …………………………10分22. 解：（1）以O 为坐标原点，建立坐标系O ABP -，则(4,0,0)A ，(0,3,0)B ，(4,0,0)C -，(0,3,0)D -，(0,0,4)P ，所以(4,0,4)PA =-，(0,6,0)DB =，(4,3,0)AB =-.当12λ=时，得48(,0,)33M -，所以48(,3,)33MB =-，设平面BDM 的法向量(,,)n x y z =，则60483033y x y z =⎧⎪⎨+-=⎪⎩，得0y =，令2x =，则1z =，所以平面BDM 的一个法向量(2,0,1)n =， 所以0c o s ,PA n ==，即直线PA 与平面BDM 所成角的正弦值10………………5分 （2）易知平面ABC 的一个法向量1(0,0,1)n =.设(,0,)M a b ，代入PM MC λ=，得(,0,4)(4,0,)a b a b λ-=---，解得4141a b λλλ-⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，即44(,0,)11M λλλ-++，所以44(,3,)11MB λλλ-=++， 设平面BDM 的法向量2(,,)n x y z =，则430443011x y x y z λλλ-+=⎧⎪⎨+-=⎪++⎩， 消去y ，得(21)x z λ+=，令1x =，则21z λ=+，43y =， 所以平面BDM 的一个法向量24(1,,21)3n λ=+，=13λ=或43-，因为0λ>，所以13λ=.……………10分23. 证：（1）因数列{}n a满足各项为1，即0123()(1)n nn n n n nF n C C C C C=-+-++-，由012233(1)n n nn n n n nx C C x C x C x C x+=+++++，令1x=-，则01230(1)n nn n n n nC C C C C=-+-++-，即()0F n=..………………………3分（2）当2n=时，1212232(2)0F a a C a C=-+=，即2132a a a=+，所以数列{}n a的前3项成等差数列.假设当n k=时，由1231234+1()(1)0k kk k k k kF k a a C a C a C a C=-+-++-=，可得数列{}n a的前+1k项成等差数列，………………………………………………………………………5分因对任意大于等于2的正整数n，都有()0F n=恒成立，所以(+1)0F k=成立，所以1231234+1123+1+112+13+14+12+1(1)0(1)0k kk k k k kk kk k k k ka a C a C a C a Ca a C a C a C a C+⎧-+-++-=⎪⎨-+-++-=⎪⎩，两式相减得，1122+1+12+13+1+1+1+2+1()()(1)()(1)0k k k k kk k k k k k k k ka C C a C C a C C a C--+-++--+-=，因111m m mn n nC C C+++=+，所以0121+1234+12(1)(1)0k k k kk k k k k k ka C a C a C a C a C-+-+-++-+-=，即01211234+12(1)(1)0k k k kk k k k k k ka C a C a C a C a C--+-+++-+-=，由假设可知234+12,,,,,k ka a a a a+也成等差数列，从而数列{}n a的前2k+项成等差数列.综上所述，若()0F n=对任意3n≥恒成立，则数列{}n a是等差数列. …………………10分。
2015届盐城市高三第一次模拟考试试卷参考答案
2015届盐城市高三第一次模拟考试试卷参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．1;2．－1;3．65;4．0.3;5．2;6．42;7．8;8;9．512π;10．4;11．必要不充分 1213．[5,2]--;14．(2)13n --（ 说明：本答案也可以写成21,321,3n nn n ⎧--⎪⎪⎨-⎪⎪⎩为奇数为偶数）二、解答题：15．解：（1）由题意，得12sin ,sin()cos 2y y πααα==+=， ………4分所以()sin cos )4f παααα=+=+， ………………6分因为(0,)2πα∈，所以3(,)444πππα+∈，故()(1f α∈. ………………8分 （2）因为()sin()4f C C π=+=(0,)2C π∈，所以4C π=， ………………10分在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，即2122b =+-， 解得1b =. ………………14分 （说明：第（2）小题用正弦定理处理的，类似给分） 16．(本小题满分14分) 证明（1）：连接1BC ，设11BC B C F =，连接OF ， ………2分因为O ，F 分别是1B D 与1B C 的中点，所以//OF DC ，且12OF DC =， 又E 为AB 中点，所以//EB DC ，且12EB DC =， 从而//,OF EB OF EB =，即四边形OEBF 是平行四边形， 所以//OE BF ， ……………6分 又OE ⊄面11BCC B ，BF ⊂面11BCC B ，所以//OE 面11BCC B . ……………8分 （2）因为DC ⊥面11BCC B ，1BC ⊂面11BCC B ，所以1BC DC ⊥， ………… 10分 又11BC B C ⊥，且1,DC B C ⊂面1B DC ，1DC B C C =，所以1BC ⊥面1B DC ，…………12分而1//BC OE ，所以OE ⊥面1B DC ，又OE ⊂面1B DE ， 所以面1B DC ⊥面1B DE . ………14分B AC D B 1A 1C 1D 1 EF O17．解：（1）由题意知，直线l 的方程为2()y x a =-，即220x y a --=， ……………2分∴右焦点F 到直线l=1a c ∴-=， ……………4分 又椭圆C 的右准线为4x =，即24a c =，所以24a c =，将此代入上式解得2,1a c ==，23b ∴=， ∴椭圆C 的方程为22143x y +=； ……………6分 （2）由（1）知B ，(1,0)F ， ∴直线BF的方程为1)y x =-， ……………8分联立方程组221)143y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，解得855x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或0x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，即8(,55P -， …………12分 ∴直线l的斜率0(525k -==- ……………14分 其他方法：方法二: 由（1）知B ，(1,0)F ， ∴直线BF的方程为1)y x =-，由题(2,0)A ，显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(2)y k x =-，联立方程组1)(2)y x y k x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入椭圆解得：k =或k =，又由题意知，0y =>得0k >或k <所以k =. 方法三：由题(2,0)A ，显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(2)y k x =-，联立方程组22(2)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2222431616120k x k x k +-+-=，221643A P k x x k +=+， 所以2222168624343P k k x k k -=-=++,21243P k y k -=+，当,,B F P 三点共线时有，BP BF k k =，即22212438643kk k k -+=-+，解得k =或k =，又由题意知，0y =>得0k >或k <2k =. 18．（1）因为5030CD t =-=，解得20t =. …………… 2分此时圆222:(20)30E x y +-=，令0y =，得AO =所以OD AD AO =-=C 代入250(0)y ax a =-+>中，解得149a =. ………… 4分（2）因为圆E 的半径为50t -，所以50CD t =-，在250y ax =-+中令50y t =-，得OD =则由题意知5075FD t =-+≤对(0,25]t ∈恒成立， ………… 8分≤=25t =取最小值10，10，解得1100a ≥. ………… 10分 （3）当125a =时，OD =又圆E 的方程为222()(50)x y t t +-=-，令0y =，得1x =±，所以AO =从而()25)AD f t t ==<≤， ………… 12分又因为()5(f t '==()0f t '=，得5t =， ………… 14分 当(0,5)t ∈时，f 'f 时，()0f t '<，()f t 单调递减，从而当5t =时，()f t 取最大值为答：当5t =米时，AD 的最大值为. …………16分 （说明：本题还可以运用三角换元，或线性规划等方法解决，类似给分）19．（1）数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，∴215364a a a ==，38a ∴=，又5348S S -=，2458848a a q q ∴+=+=，2q ∴=，3822n n n a -∴=⋅=； ………… 4分（2）（ⅰ）必要性：设5,,k m l a a a 这三项经适当排序后能构成等差数列，①若25k m l a a a ⋅=+，则10222k m l ⋅=+，1022m k l k --∴=+，11522m k l k ----∴=+，1121,24m k l k ----⎧=⎪∴⎨=⎪⎩ 13m k l k =+⎧∴⎨=+⎩. ………… 6分②若25m k l a a a =+，则22522m k l ⋅=⋅+，1225m k l k +--∴-=，左边为偶数，等式不成立，③若25l k m a a a =+，同理也不成立，综合①②③，得1,3m k l k =+=+，所以必要性成立. …………8分 （ⅱ）充分性：设1m k =+，3l k =+，则5,,k m l a a a 这三项为135,,k k k a a a ++，即5,2,8k k k a a a ，调整顺序后易知2,5,8k k k a a a 成等差数列， 所以充分性也成立. 综合（ⅰ）（ⅱ），原命题成立. …………10分 （3）因为11213213246n n n n n a b a b a b a b n +--++++=⋅--，即123112122223246n n n n n b b b b n +--++++=⋅--，（*） ∴当2n ≥时，1231123122223242n n n n n b b b b n ----++++=⋅--，（**） 则（**）式两边同乘以2，得2341123122223284n n n n n b b b b n +---++++=⋅--，（***） ∴（*）－（***），得242n b n =-，即21(2)n b n n =-≥，又当1n =时，21232102b =⋅-=，即11b =，适合21(2)n b n n =-≥，21n b n ∴=-.………14分 212n n n b n a -∴=，111212352222n n n n nn n b b n n n a a ------∴-=-=，2n ∴=时，110n n n n b b a a --->，即2121b b a a >； 3n ∴≥时，110n n n n b b a a ---<，此时n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭单调递减， 又1112b a =，2234b a =，3358b a =，44716b a =，71162λ∴<≤. ……………16分 20．（1）由题意，得()(()())()x x h x f x g x e mx n e m '''=-=--=-，所以函数()h x 在0x =处的切线斜率1k m =-， ……………2分 又(0)1h n =-，所以函数()h x 在0x =处的切线方程(1)(1)y n m x --=-，将点(1,0)代入，得2m n +=. ……………4分 （2）方法一：当0n =，可得()()x x h x e mx e m ''=-=-，因为1x >-，所以1xe e>， ①当1m e≤时，()0x h x e m '=->，函数()h x 在(1,)-+∞上单调递增，而(0)1h =， 所以只需1(1)0h m e -=+≥，解得1m e ≥-，从而11m e e-≤≤. ……………6分②当1m e>时，由()0x h x e m '=-=，解得ln (1,)x m =∈-+∞，当(1,ln )x m ∈-时，()0h x '<，()h x 单调递减；当(ln ,)x m ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增. 所以函数()h x 在(1,)-+∞上有最小值为(ln )ln h m m m m =-，令ln 0m m m ->，解得m e <，所以1m e e<<.综上所述，1[,)m e e ∈-. ……………10分方法二：当0n =，xe mx = ①当0x =时，显然不成立；②当1x >-且0x ≠时，x e m x =，令x e y x =，则()221xx x e x e x e y x x--'==，当10x -<<时，0y '<，函数x e y x =单调递减，01x <<时，0y '<，函数x e y x =单调递减，当1x >时，0y '>，函数xe y x=单调递增，又11x e y =-=-，1x y e ==，由题意知1[,)m e e∈-.（3）由题意，1114()()()4x x n xnx x m r x n f x g x e e x x m=+=+=+++， 而14()14x xr x e x =+≥+等价于(34)40x e x x -++≥， 令()(34)4xF x e x x =-++， ……………12分则(0)0F =，且()(31)1xF x e x '=-+，(0)0F '=，令()()G x F x '=，则()(32)xG x e x '=+，因0x ≥， 所以()0G x '>， ……………14分 所以导数()F x '在[0,)+∞上单调递增，于是()(0)0F x F ''≥=，从而函数()F x 在[0,)+∞上单调递增，即()(0)0F x F ≥=. ……………16分附加题答案21. A 、（选修4—1：几何证明选讲）解：由切割线定理，得2PC PA PB =⋅，解得2PB =，所以16AB =，即Rt ABC ∆的外接圆半径8r =，……5分 记Rt ABC ∆外接圆的圆心为O ，连OC ，则OC PC ⊥，在Rt POC ∆中，由面积法得OC PC PO CD ⋅=⋅，解得245CD =. ………………10分 B 、（选修4—2：矩阵与变换）解：设(,)P x y 是所求曲线上的任一点，它在已知直线上的对应点为(,)Q x y ''，则22x y x x y y ''-=''+=⎩，解得)()2x x y y y x ⎧'=+⎪⎪⎨⎪'=-⎪⎩， ………………5分代入10x y ''--=))10x y y x +--=，化简可得所求曲线方程为x =. ………………10分C 、（选修4—4：坐标系与参数方程）解：将圆2cos ρθ=化为普通方程为2220x y x +-=，圆心为(1,0)， ………………4分又2sin()13πρθ+=，即12(sin cos )122ρθθ+=，10y +-=， ………………8分故所求的圆心到直线的距离d =………………10分 D 、解：当1x <-时，不等式化为124x x --+-<，解得312x -<<-； (3)分当12x -≤≤时，不等式化为124x x ++-<，解得12x -≤≤； ………………6分 当2x >时，不等式化为124x x ++-<，解得522x <<； ………………9分 所以原不等式的解集为35(,)22-. ………………10分 22．（本小题满分10分）解：（1）以点A 为坐标原点，1,,AB AC AA 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设1CC m =，则1(3,0,)B m ，(3,0,0)B ，(0,4,)P m λ， 所以1(3,0,)AB m =，(3,4,)PB m λ=--，(3,0,0)AB =， ………………2分当12λ=时，有11(3,0,)(3,4,)02AB PB m m ⋅=⋅--=解得m =，即棱1CC 的长为CABPB 1C 1A 1第22题图………………4分 （2）设平面PAB 的一个法向量为1(,,)n x y z =，则由1100AB n PB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得30340x x y z =⎧⎪⎨--=⎪⎩，即040x y z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，令1z =，则y =，所以平面PAB的一个法向量为1(0,n =，………………6分又平面1ABB 与y 轴垂直，所以平面1ABB 的一个法向量为2(0,1,0)n =，因二面角1B AB P --的平面角的大小为3π，所以121cos ,2n n ==0λ>，解得λ= ………………10分 23．解：（1）当2n =时，即1,2S =，此时{}1A =，{}2B =，所以21P =， ………………2分当3n =时，即{}1,2,3S =，若{}1A =，则{}2B =，或{}3B =，或{}2,3B =；若{}2A =或{}1,2A =，则{}3B =；所以35P =. ………………4分 （2）当集合A 中的最大元素为“k ”时，集合A 的其余元素可在1,2,,1k -中任取若干个（包含不取），所以集合A 共有0121111112k k k k k k C C C C ------++++=种情况， ………………6分 此时，集合B 的元素只能在1,2,,k k n ++中任取若干个（至少取1个），所以集合B 共有12321n k n kn k n k n k n kC C C C ------++++=-种情况， 所以，当集合A 中的最大元素为“k ”时，集合对(,)A B 共有1112(21)22k n k n k -----=- 对， ………………8分 当k 依次取1,2,3,,1n -时，可分别得到集合对(,)A B 的个数， 求和可得101221(1)2(2222)(2)21n n n n P n n ---=-⋅-++++=-⋅+L . ………………10分。
江苏省盐城中学2015届高三上学期1月月考试题 数学
江苏省盐城中学2015届高三上学期1月月考试题 数学试卷说明：本场考试时间120分钟，总分160分．一、填空题：（本大题共14小题,每小题5分,计70分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上）1.已知集合{}1,0,1,2--=A ，集合{}1|2<=x x B ，则B A ⋂ = ▲ ． 2.已知复数32iiz -=+（i 为虚数单位），则||z 的值为 ▲ ． 3.从1,2,3,4,5这5个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的和 为5的概率是 ▲ ．4.阅读下面的流程图，若输入10=a ，6=b ，则输出的结果是 ▲ ．5.在ABC ∆中，33=a ，2=c ，150=B ，则b = ▲ ．6.已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的体积为 ▲ ．7.在等比数列{}n a 中，21=a ，164=a ，则=+⋅⋅⋅++n a a a 242 ▲ ． 8.函数a x f x+-=131)( （)0≠x ，则“1)1(=f ”是“函数)(x f 为奇函数”的 ▲ 条件．（用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”填写） 9.已知,0,0,0>>>n y x ,1=+y nx yx 41+的最小值为,16则n 的值为 ▲ ． 10．在ABC ∆中，90=∠A ，1=AB ，2=AC ，设点Q P ,，满足λ=,)1(λ-=R ∈λ.若2-=⋅，则λ的值是 ▲ ．11.设)1,0(),0,1(B A ，直线,:ax y l =圆()1:22=+-y a x C .若圆C 既与线段AB 又与直线l 有公共点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．12．若()x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，()()⎩⎨⎧+∞∈--∈+=),1[,13)1,0[,1log 2x x x x x f ，则函数()()21-=x f x g 的所有零点之和为 ▲ ．13.如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点21,F F 在x 轴上且 焦距为c 2，21A A 为左右顶点，左准线l 与x 轴的交点为M ，图②1:6:112=F A MA ，若点p 在直线l 上运动，且离心率21<e ， 则21tan PF F ∠的最大值为 ▲ ．14.若函数()ax x x f +=ln 存在与直线02=-y x 平行的切线，则实数a 的取值范围 是 ▲ ．二、解答题：（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15. （本小题14分）已知PA ⊥菱形ABCD 所在平面，点E 、F 分别为线段BC 、PA 的中点．（Ⅰ）求证：BD PC ⊥；（Ⅱ）求证：BF ∥平面PDE ．16. （本小题14分）已知ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，2=a ，向量)1,1(-=，)22sin sin ,cos (cos -=C B C B ，且⊥． （Ⅰ）求A ； （Ⅱ）当)127cos(sin C B -+π取得最大值时，求B 和b ．17. （本小题14分）如图①，一条宽为1km 的两平行河岸有三个工厂A 、B 、C ，工厂B 与A 、C 的直线距离都是2km ，BC 与河岸垂直，D 为垂足．现要在河岸AD 上修建一个供电站，并计划铺设地下电缆和水下电缆，从供电站向三个工厂供电．已知铺设地下电缆、水下电缆的费用分别为2万元/km 、4万元/km ．（Ⅰ）已知工厂A 与B 之间原来铺设有旧电缆（原线路不变），经改造后仍可使用，旧电缆的改造费用是0.5万元/km ．现决定将供电站建在点D 处，并通过改造旧电缆修建供电线路，试求该方案总施工费用的最小值；（Ⅱ）如图②，已知供电站建在河岸AD 的点E 处，且决定铺设电缆的线路为CE 、EA 、EB ，若)30(πθθ≤≤=∠DCE ，试用θ表示出总施最小工费用y （万元）的解析式,并求总施工费用y 的值．图①18. （本小题16分）若椭圆C 的方程为)0(12222>>=+b a by a x ，1F 、2F 是它的左、右焦点，椭圆C 过点)1,0(，且离心率为322=e ． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆的左右顶点为A 、B ，直线l 的方程为4=x ，P 是椭圆上任一点，直线PA 、PB 分别交直线l 于G 、H 21HF GF ⋅的值；（Ⅲ）过点)0,1(Q 任意作直线m （与x 轴不垂直）与椭圆C M 、N 两点，与y 轴交于R 点MQ RM λ=，NQ RN μ=．证明：μλ+为定值．19. （本小题16分）已知函数112)(22+-+=x a ax x f ，其中R a ∈． （Ⅰ）当1=a 时，求曲线)(x f y =在原点处的切线方程； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间；（Ⅲ）若)(x f 在),0[+∞上存在最大值和最小值，求a 的取值范围．20. （本小题16分）已知无穷数列{}n a 的各项均为正整数，n S 为数列{}n a 的前n 项和．（Ⅰ）若数列{}n a 是等差数列，且对任意正整数n 都有()22n n S S =成立，求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）对任意正整数n ，从集合12{,,,}n a a a 中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与12,,,n a a a 一起恰好是1至n S 全体正整数组成的集合．（ⅰ）求12,a a 的值；（ⅱ）求数列{}n a 的通项公式．）PA⊥平面，又ABCD是菱形，=，∴PA AC A．PD的中点G。
江苏省盐城市时杨中学、盐城市田家炳中学2014-2015学年高一上学期期末考试化学试题 Word版含答案
可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 N-14 O-16 S-32 Na-23 Al-27 K-39 Ca-40第Ⅰ卷（选择题共69分）一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，每小题3分，共69分）1、你认为下列行为中与“节能减排，和谐发展”不相符的是A、开发太阳能、水能、风能、可燃冰等新能源，减少使用煤、石油等化石燃料B、将煤进行气化处理，提高煤的综合利用效率C、大量开采煤、石油，提高产量以满足工业生产的快速发展D、实现资源的“3R”利用观，即：减少资源消耗（Reduce)、增加资源的重复使用（Reuse)、资源的循环再生（Recycle)2、下列物质中，属于电解质的是A、NaOHB、蔗糖C、稀盐酸D、NaCl溶液3、下列化学用语表达正确的是A、氯离子的结构示意图B、HClO中Cl的化合价为：+1C、氯化钙的化学式：CaClD、硫酸的电离方程式：H2SO4＝H2＋＋SO42－4、常用于测定动植物标本的年龄。
关于原子的说法正确的是A、中子数为14B、质子数为14C、核外电子数为14D、和126C互为同位素5、下列物质的俗名与其化学式不相对应的是A、小苏打一Na2 CO3·10H2OB、生石灰—CaOC、石英－SiO2D、烧碱一NaOH6、0.5mol Na2SO4中所含的Na+离子数为A、3.01×1023B、6.02×1023C、0.5D、17、与100mL 0．1mol·L－1(NH4)2SO4溶液中的NH4+浓度相同的是A、0．1mol·L－1NH4NO3溶液100mLB、0．2mol·L－1氨水溶液100mLC、0．2mol·L－1 NH4Cl溶液200mLD、0．2mol·L－1(NH4)2SO4溶液50mL8、光纤通讯是70年代后期发展起来的一种新型通信技术，目前长距离光纤通讯系统已经投入使用。
光纤通讯的光导纤维是由下列哪种物质经特殊工艺制成A、石墨B、二氧化硅C、氧化镁D、硅9、设阿伏加德常数为N A，则下列说法不正确的是A、常温下，2.7 g铝与足量的氢氧化钠溶液反应失去的电子数为0.3N AB、100 mL l mol·L－1 Na2SO4溶液中含SO42－个数为0.1N AC、1.7 g NH3中含电子数为N AD、11.2 L CO2与8.5 g NH3所含分子数相等10、下列氧化物中，不会产生酸雨的是A、CO2B、NOC、NO2D、SO211、区分氢氧化铁胶体与含酚酞的稀氢氧化钠混合溶液最简便有效的方法是A、滴加盐酸B、丁达尔效应C、过滤D、蒸馏12、下列气体不能用排空气法收集的是A、NH3B、Cl2C、NO2D、NO13、下列实验操作中，不能用于物质分离的是14、在下列变化中，需要加入合适的氧化剂才能实现的是A、HCl→H2B、CＯ2→COC、FeCl3→ FeCl２D、SＯ2→SO３15、常温下，铁与下列酸溶液作用产生H2的是A、浓硫酸B、稀硫酸C、浓硝酸D、稀硝酸16、某溶液中存在大量的OH－、Cl一、SO42一，该溶液中还可能大量存在的是A、HCO3一B、Ba2+C、K+D、Ag+17、下列离子方程式书写正确的是A、实验室用大理石和稀盐酸制取二氧化碳：2H＋＋CO32－＝CO2 ↑＋H2OB、氯气与碘化钾溶液的反应：Cl2 +2 I—= 2Cl—+ I2C、向AlCl3溶液中加入过量的NaOH溶液：Al3＋＋3OH－＝Al(OH)3↓D、三氯化铁溶液中加入铜粉：Fe3+ + Cu == Fe + Cu 2+18、钠与水反应的现象与钠的下列性质无关的是A、钠的熔点低B、钠的密度小C、钠有强还原性D、钠的硬度小19、正确的存放化学药品，是化学实验基本要求之一。
盐城市时杨中学2015高三生物1月调研试题及答案下载
第Ⅰ卷（共55分）一. 单选题（本题包括20小题，每小题2分，共40分。
每小题只有一个选项最符合题意）1．生长激素和质粒的基本组成单位分别是A．固醇和氨基酸 B．氨基酸和脱氧核苷酸C．吲哚乙酸和脱氧核苷酸 D．氨基酸和核糖核苷酸2．某多肽，经测定其分子式为C21HxOyN4S2（无二硫键）。
已知该多肽是由下列氨基酸中的几种作为原料合成的：苯丙氨酸（C9H11 N O2）、天冬氨酸（C4H7 N O4）、亮氨酸（C6H13 N O2）、丙氨酸（C3H6 N O2）、半胱氨酸（C3H7NO2S），下列有关叙述不正确的是A．该多肽水解后形成3种氨基酸 B．该多肽中氢原子数和氧原子数分别为32和5C．该多肽中有3个肽键 D．该多肽不止1个羧基3．细胞是最基本的生命系统，而病毒不是的理由是①细胞是一切生物体结构和功能的基本单位②病毒虽然是生物，但必须必须依赖活细胞才能生活③单细胞生物依靠单个细胞就能完成各种生命活动④多细胞生物也必须依赖各种分化的细胞共同合作才能完成复杂的生命活动A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④4．如图所示为从血红细胞中提取核糖体的大致过程，下列对该过程的叙述中，错误的是A．步骤（1）加入14C—氨基酸的目的是为了在步骤（5）中检测核糖体B．步骤（2）的目的是破坏细胞膜C．步骤（3）（4）的目的是分离细胞器或细胞结构D．该过程运用了渗透作用原理、同位素示踪、离心法、层析法5．右图表示人体干细胞发生的变化过程。
下列有关此图的叙述，正确的是A．a、b、c均代表细胞分化过程B．图中各细胞中蛋白质种类相同C．b、c过程产生的细胞一般都具有细胞周期D．a、b、c过程产生的各细胞遗传物质没有发生变化6．在叶绿体中色素的分离实验中，发现滤纸条上色素带颜色较浅，原因不可能是A．研磨时没有加入二氧化硅B．画滤液细线次数太少C．提取时无水乙醇加的太少 D．所用的菠菜叶片可能太嫩7．一百多年前，人们就开始了对遗传物质的探索历程。
江苏省盐城市时杨中学、南洋中学、大丰南阳、新丰中学高考数学模拟试卷(十)(含解析)
2015年江苏省盐城市时杨中学、南洋中学、大丰南阳、新丰中学高考数学模拟试卷（十）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．直线x﹣y+3=0在y轴上的截距为．2．若角α的终边经过点P（3，2），则tanα的值为．3．已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的体积为．4．已知点A（1，2），B（3，5），向量=（x，6），若∥，则实数x的值为．5．过点A（2，1），且与直线2x﹣y+3=0平行的直线方程为．6．已知向量与的夹角为120°，且，，则= ．7．若等比数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a4=8，则S5= ．8．若sin（x+）=，则cos（x﹣）= ．9．直线x+y+1=0被圆C：x2+y2﹣2x﹣3=0截得的弦长为．10．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给定下列四个命题：①若m⊥n，n⊂α，则m⊥α；②若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；④若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n．其中真命题的序号为．11．在平面直角坐标系xOy中，若圆C的圆心在第一象限，圆C与x轴相交于A（1，0）、B （3，0）两点，且与直线x﹣y+1=0相切，则圆C的标准方程为．12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，∠B=30°，b=+1，则•= ．13．已知点A（﹣5，0），B（﹣1，﹣3），若圆x2+y2=r2（r＞0）上恰有两点M，N，使得△MAB 和△NAB的面积均为5，则r的取值范围是．14．若单调递增数列{a n}满足a n+a n+1+a n+2=3n﹣6，且a2=a1，则a1的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠ABC=90°，PA⊥平面ABC，E，F分别为PB，PC的中点．（1）求证：EF∥平面ABC；（2）求证：平面AEF⊥平面PAB．16．已知函数f（x）=cos2x+2sinxcosx，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在区间[0，]上的值域．17．在四边形ABCD中，已知AB=9，BC=6，=2．（1）若四边形ABCD是矩形，求•的值；（2）若四边形ABCD是平行四边形，且•=6，求与夹角的余弦值．18．为了绘制海底地图，测量海底两点C，D间的距离，海底探测仪沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，C，D在同一个铅垂平面内．海底探测仪测得∠BAC=30°，∠DAC=45°，∠ABD=45°，∠DBC=75°，A，B两点的距离为海里．（1）求△ABD的面积；（2）求C，D之间的距离．19．设S n是数列{a n}的前n项和，且2a n+S n=An2+Bn+C．（1）当A=B=0，C=1时，求a n；（2）若数列{a n}为等差数列，且A=1，C=﹣2．①求a n；②设b n=，且数列{b n}的前n项和为T n，求T60的值．20．已知圆O的方程为x2+y2=13，直线l：x0x+y0y=13，设点A（x0，y0）．（1）若点A在圆O外，试判断直线l与圆O的位置关系；（2）若点A在圆O上，且x0=2，y0＞0，过点A作直线AM，AN分别交圆O于M，N两点，且直线AM和AN的斜率互为相反数．①若直线AM过点O，求tan∠MAN的值；②试问：不论直线AM的斜率怎么变化，直线MN的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．2015年江苏省盐城市时杨中学、南洋中学、大丰南阳、新丰中学高考数学模拟试卷（十）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．直线x﹣y+3=0在y轴上的截距为 3 ．考点：确定直线位置的几何要素；直线的截距式方程．专题：直线与圆．分析：通过x=0求出y的值，即可得到结果．解答：解：直线x﹣y+3=0，当x=0时，y=3，直线x﹣y+3=0在y轴上的截距为：3．故答案为：3．点评：本题考查直线方程的应用，直线的截距的求法，基础题．2．若角α的终边经过点P（3，2），则tanα的值为．考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由题设条件，根据三角函数终边上一点的定义即可求得正切值，正切值为纵坐标与横坐标的商．解答：解：由定义若角α的终边经过点P（3，2），x=2，y=3，∴tanα==故答案为：．点评：本题考查任意角三角函数的定义，求解的关键是熟练掌握定义中知道了终边上一点的坐标，求正切值的规律．知道了终边上一点的坐标的三角函数的定义用途较广泛，应好好掌握．3．已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的体积为2π．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据题意，求出圆柱的母线长l，再求圆柱的体积V．解答：解：根据题意，圆柱的底面半径r=1，母线长l=2r=2∴圆柱的体积为V=Sl=πr2l=π×12×2=2π．故答案为：2π．点评：本题考查了求圆柱体的体积的问题，解题时应根据圆柱体的体积公式进行计算即可，是基础题．4．已知点A（1，2），B（3，5），向量=（x，6），若∥，则实数x的值为 4 ．考点：平行向量与共线向量；平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：利用向量共线定理即可得出．解答：解：∵点A（1，2），B（3，5），∴=（3，5）﹣（1，2）=（2，3）．∵∥，∴3x﹣2×6=0，解得x=4．故答案为：4．点评：本题考查了向量共线定理，属于基础题．5．过点A（2，1），且与直线2x﹣y+3=0平行的直线方程为2x﹣y﹣3=0 ．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：根据题意，所求直线的斜率为2且经过点A（2，1），利用直线的点斜式方程列式，化简即可得到所求直线方程．解答：解：设所求直线为l，∵直线l直线平行于直线2x﹣y+3=0，∴直线l的斜率与直线y=2x+3的斜率相等，即k=2．又∵直线l经过点A（2，1），∴直线l的点斜式方程为y﹣1=2（x﹣2），化为一般式得2x﹣y﹣3=0故答案为：2x﹣y﹣3=0．点评：本题给出经过定点且与已知直线平行的直线，求直线的方程．着重考查了直线的基本量与基本形式、直线的位置关系等知识，属于基础题．6．已知向量与的夹角为120°，且，，则= 2 ．考点：向量的模．专题：平面向量及应用．分析：利用数量积运算性质即可得出．解答：解：∵向量与的夹角为120°，且，，∴=2×1×cos120°=﹣1．则===2．故答案为：2．点评：本题查克拉数量积运算性质，属于基础题．7．若等比数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a4=8，则S5= 31 ．考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等比数列的通项公式和前n项和公式即可得出．解答：解：设等比数列的公比为q，∵a1=1，a4=8，∴8=1×q3，解得q=2．∴S5==31．故答案为：31．点评：本题考查了等比数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题．8．若sin（x+）=，则cos（x﹣）= ．考点：两角和与差的正弦函数；正弦定理．专题：三角函数的求值．分析：利用诱导公式先求得cos（x+）的值，进而根据cos（x﹣）=cos（x+﹣π）求得答案．解答：解：cos（x+）=sin（﹣x﹣）=﹣sin（x+）=﹣，∴cos（x﹣）=cos（x+﹣π）=﹣cos（x+）=．故答案为：．点评：本题主要考查了诱导公式的应用．解题的过程中要特别注意符号的判定．9．直线x+y+1=0被圆C：x2+y2﹣2x﹣3=0截得的弦长为2．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由条件利用点到直线的距离公式求出弦心距，再利用弦长公式求得所求的弦长．解答：解：圆C：x2+y2﹣2x﹣3=0 即（x﹣1）2+y2=4，表示以C（1，0）为圆心、半径等于2的圆，弦心距d==1，∴弦长为 2=2=2，故答案为：2．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于基础题．10．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给定下列四个命题：①若m⊥n，n⊂α，则m⊥α；②若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；④若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n．其中真命题的序号为②③．考点：命题的真假判断与应用．分析：根据线面垂直、面面平行的性质来求解解答：①若m⊥a，则m要垂直a中的两条相交的直线，通过分析，m只垂直来a中的一条直线，故不能做出判断，①错②根据面和面垂直的性质：只要一个面当中能找出一条垂直于其他的平面的线，就可以推出这两个面相互垂直，故②正确③两条不同的直线逗垂直同一个平面，则这两条直线必平行，③对④相互平行的面，两个面之间的直线不相交，但可以是异面直线，还可以垂直，故④错点评：熟悉教材，清楚线面之间的关系，借助图形辅导学习更佳．11．在平面直角坐标系xOy中，若圆C的圆心在第一象限，圆C与x轴相交于A（1，0）、B （3，0）两点，且与直线x﹣y+1=0相切，则圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=2 ．考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：由已知条件设圆心坐标为（2，b）（b＞0），由圆与直线x﹣y+1=0相切，求出圆C的圆心和半径r．由此能求出圆C的标准方程．解答：解：∵圆C的圆心在第一象限，圆C与x轴相交于A（1，0）、B（3，0）两点，∴设圆心坐标为（2，b）（b＞0），∵圆与直线x﹣y+1=0相切，∴，∴b2+6b﹣7=0，解得b=1或b=﹣7，∵b＞0，∴b=1∴圆C的圆心C（2，1），半径r==．∴圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=2故答案为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=2．点评：本题考查圆的标准方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，∠B=30°，b=+1，则•= 3．考点：平面向量数量积的运算．专题：等差数列与等比数列；解三角形；平面向量及应用．分析：由a，b、c成等差数列，b=+1及∠B=30°，可得ac==6，由•=||•||cos30°=ac得到答案．解答：解：∵由a，b、c成等差数列，b=+1，∴2b=a+c=2（+1），得a2+c2+2ac=16+8，∴a2+c2=16+8﹣2ac，由∠B=30°可得：cos30°===∴ac==6∴•=||•||cos30°=ac=×6=3，故答案为：3点评：本题考查的知识点是等差数列的性质，余弦定理，平面向量的数量积，是解三角形，数列与向量的综合应用，难度较大．13．已知点A（﹣5，0），B（﹣1，﹣3），若圆x2+y2=r2（r＞0）上恰有两点M，N，使得△MAB 和△NAB的面积均为5，则r的取值范围是（1，5）．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：先求得|AB|=5，根据题意可得两点M，N到直线AB的距离为2．求出AB的方程为3x+4y+15=0，当圆上只有一个点到直线AB的距离为2 时，求得r的值；当圆上只有3个点到直线AB的距离为2时，求得r的值，从而求得满足条件的r的取值范围．解答：解：由题意可得|AB|==5，根据△MAB和△NAB的面积均为5，可得两点M，N到直线AB的距离为2．由于AB的方程为=，即 3x+4y+15=0．若圆上只有一个点到直线AB的距离为2，则有圆心（0，0）到直线AB的距离=r+2，解得r=1．若圆上只有3个点到直线AB的距离为2，则有圆心（0，0）到直线AB的距离=r﹣2，解得r=5，故答案为：（1，5）．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．14．若单调递增数列{a n}满足a n+a n+1+a n+2=3n﹣6，且a2=a1，则a1的取值范围是（﹣，﹣）．考点：数列的函数特性．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知条件推导出，a4=a1+3，由单调递增数列{a n}中，a3＞a2，a4＞a3，能求出a1的取值范围．解答：解：∵单调递增数列{a n}满足a n+a n+1+a n+2=3n﹣6，且a2=a1，∴，解得，，解得a4=a1+3，单调递增数列{a n}中，a3＞a2，a4＞a3，∴，解得．∴a1的取值范围是（﹣，﹣）．故答案为：（﹣，﹣）．点评：本题考查单调递增数列中首项的取值值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，避免出现计算上的低级错误．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠ABC=90°，PA⊥平面ABC，E，F分别为PB，PC的中点．（1）求证：EF∥平面ABC；（2）求证：平面AEF⊥平面PAB．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）根据三角形中位线定理可得EF∥BC，进而根据线面平行的判定定理可得EF∥平面ABC；（2）根据PA⊥平面ABC，可得PA⊥BC，结合∠ABC=90°，及线面垂直的判定定理可得BC ⊥平面PAB，进而由线面垂直的第二判定定理可得EF平面PAB，最后由面面垂直的判定定理可得平面AEF⊥平面PAB．解答：证明：（1）∵E，F分别为PB，PC的中点．∴EF∥BC，又∵BC⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，∴EF∥平面ABC；（2）∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，又∵∠ABC=90°，∴AB⊥BC，又∵PA∩AB=A，PA，AB⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB，由（1）中EF∥BC，∴EF⊥平面PAB，又∵EF⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面PAB．点评：本题考查的知识点是线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，是空间线面关系的简单综合应用，难度中档．16．已知函数f（x）=cos2x+2sinxcosx，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在区间[0，]上的值域．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简，利用周期公式求得函数的正周期．（2）根据x的范围确定2x+的范围，最后根据三角函数的性质求得函数的值域．解答：解：（1）f（x）=cos2x+2sinxcosx=cos2x+sin2x=2sin（2x+），T==π，（2）∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴≤sin（2x+）≤1∴1≤f（x）≤2，即函数的值域为[1，2]点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．考查了学位对三角函数基础知识的综合运用．17．在四边形ABCD中，已知AB=9，BC=6，=2．（1）若四边形ABCD是矩形，求•的值；（2）若四边形ABCD是平行四边形，且•=6，求与夹角的余弦值．考点：数量积表示两个向量的夹角；平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：（1）由条件求出||=6，||=3，再用向量AB，AD表示向量AP，BP，再将数量积•展开，运用向量的平方为模的平方以及=0，即可求出结果；（2）设与夹角为θ，根据得到的数量积•，运用数量积定义，代入数据，即可求出cosθ．解答：解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴，即=0，又AB=9，BC=6，=2，∴||=6，||=3，∵=，=，∴=（）•（）==62﹣92=18；（2）设与夹角为θ，由（1）得，=（）•（）==62﹣cosθ﹣92=6，∴cosθ=．点评：本题主要考查两向量的数量积的定义，考查向量的平方等于模的平方，以及向量共线、垂直的条件，考查向量的运算求解能力．18．为了绘制海底地图，测量海底两点C，D间的距离，海底探测仪沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，C，D在同一个铅垂平面内．海底探测仪测得∠BAC=30°，∠DAC=45°，∠ABD=45°，∠DBC=75°，A，B两点的距离为海里．（1）求△ABD的面积；（2）求C，D之间的距离．考点：余弦定理；解三角形的实际应用．专题：应用题；解三角形．分析：（1）易求∠ADB，在△ABD中，由正弦定理，得，代入数值可求；（2）可判断△ABC为等腰三角形，可求BC，△BCD中，由余弦定理可求CD．解答：解：（1）∠ADB=180°﹣30°﹣45°﹣45°=60°，在△ABD中，由正弦定理，得，∴，解得BD=．∴==．（2）△ABC中，∠ACB=180°﹣30°﹣45°﹣75°=30°，∴BC=BA=，△BCD中，由余弦定理，得CD2=BC2+BD2﹣2BC•BDcos∠DBC=3+﹣2×=5，∴CD=．点评：该题考查正弦定理、余弦定理及其应用，考查学生对问题的阅读理解能力．19．设S n是数列{a n}的前n项和，且2a n+S n=An2+Bn+C．（1）当A=B=0，C=1时，求a n；（2）若数列{a n}为等差数列，且A=1，C=﹣2．①求a n；②设b n=，且数列{b n}的前n项和为T n，求T60的值．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由题意得，由此求出．（2）①数列{a n}为等差数列，由通项公式与求和公式，得a n=2n﹣1．②b n=，利用裂项求和法能求出T60的值．解答：解：（1）由题意得，2a n+S n=1，∴2a n﹣1+S n﹣1=1（n≥2），两式相减，得，…（3分）又当n=1时，有3a1=1，即，∴数列{a n}为等比数列，∴．…（5分）（2）①∵数列{a n}为等差数列，由通项公式与求和公式，得：，∵A=1，C=﹣2，∴，a1﹣d=﹣2，∴d=2，a1=1，∴a n=2n﹣1．（10分）②b n======…（13分）则，∴…（16分）点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．20．已知圆O的方程为x2+y2=13，直线l：x0x+y0y=13，设点A（x0，y0）．（1）若点A在圆O外，试判断直线l与圆O的位置关系；（2）若点A在圆O上，且x0=2，y0＞0，过点A作直线AM，AN分别交圆O于M，N两点，且直线AM和AN的斜率互为相反数．①若直线AM过点O，求tan∠MAN的值；②试问：不论直线AM的斜率怎么变化，直线MN的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．考点：直线与圆的位置关系；直线的斜率．专题：直线与圆．分析：（1）由点A在圆O外，可得x02+y02 ＞13，求得圆心到直线的距离d小于半径，可得直线和圆相交．（2）由条件求得点A（2，3）．①若直线AM过点O，求得AM的斜率，可得AN的斜率K AN=﹣，再利用两条直线的夹角公式求得tan∠MAN=||的值．②记直线AM的斜率为k，把直线AM的方程为：y=kx+3﹣2k代入圆O的方程化简，由2是方程的一个根，利用韦达定理求得M的横坐标x M的值，同理可得，x N的值，再根据MN的斜率为，计算结果为，可得结论．解答：解：（1）∵点A在圆O外，∴x02+y02 ＞13，由于圆心（0，0）到直线l：x0x+y0y=13的距离d=＜=r，故直线和圆相交．（2）∵点A在圆O上，且x0=2，y0＞0，可得y0=3，∴点A（2，3）．①若直线AM过点O，则AM的斜率为 K AM=，∴K AN=﹣，tan∠MAN=||=||=．②记直线AM的斜率为k，则直线AM的方程为：y=kx+3﹣2k．将y=kx+3﹣2k代入圆O的方程得：x2+（kx+3﹣2k）2=13，化简得：（k2+1）x2+2k（3﹣2k）x+（3﹣2k）2﹣13=0，∵2是方程的一个根，∴2x M=，∴x M=，由题意知：k AN=﹣k，同理可得，x N=，∴kMN==k•=k•=，∴不论直线AM的斜率怎样变化，直线MN的斜率总为定值．点评：本题主要考查点和圆的位置关系，直线和圆的位置关系，直线的倾斜角和斜率，两条直线的夹角公式的应用，属于中档题．。
江苏省盐城中学2015届高三数学上学期开学试卷(含解析)
江苏省盐城中学2015届高三上学期开学数学试卷一、填空题（共14小题，每小题3分，满分42分）1．（3分）集合{﹣1，0，1}共有个真子集．2．（3分）若复数（1﹣i）（2i+m）是纯虚数，则实数m的值为．3．（3分）执行如图所示的程序框图，若输出的b的值为31，则图中判断框内①处应填的整数为．4．（3分）函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（0）=．5．（3分）已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为15πcm2，则此圆锥的体积为cm3．6．（3分）从1，2，3，4，5这五个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率为．7．（3分）设椭圆+=1（m＞0，n＞0）的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的短轴长为．8．（3分）如图，在△ABC中，AD⊥AB，，，则=．9．（3分）曲线y=和y=x2在它们的交点处的两条切线互相垂直，则a的值是．10．（3分）设f（x）=，若f（t）=f（）则t的范围．11．（3分）直线y=kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k 的取值范围是．12．（3分）方程a x+x2=2（a＞0且a≠1）的解的个数为．13．（3分）若a，b∈R，且4≤a2+b2≤9，则a2﹣ab+b2的最小值是．14．（3分）无穷数列{a n}中，a1，a2，…，a m是首项为10，公差为﹣2的等差数列；a m+1，a m+2，…，a2m是首项为，公比为的等比数列（其中m≥3，m∈N*），并且对于任意的n∈N*，都有a n+2m=a n 成立．记数列{a n}的前n项和为S n，则使得S128m+5≥2013（m≥3，m∈N*）的m的取值集合为．二、解答题：15．在锐角△ABC中，已知内角A、B、C的对边分别为a、b、c．向量，，且向量、共线．（1）求角B的大小；（2）如果b=1，求△ABC的面积S△ABC的最大值．16．已知四边形ABCD是等腰梯形，AB=3，DC=1，∠BAD=45°，DE⊥AB（如图1）．现将△ADE 沿DE折起，使得AE⊥EB（如图2），连接AC，AB，设M是AB的中点．（1）求证：BC⊥平面AEC；（2）判断直线EM是否平行于平面ACD，并说明理由．17．已知A（﹣2，0）、B（2，0），点C、点D依次满足．（1）求点D的轨迹方程；（2）过点A作直线l交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点，线段MN的中点到y轴的距离为，且直线l与点D的轨迹相切，求该椭圆的方程．18．围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：米）．（1）将修建围墙的总费用y表示成x的函数；（2）当x为何值时，修建此矩形场地围墙的总费用最小？并求出最小总费用．19．已知数列{a n}中，a2=1，前n项和为S n，且S n=．（1）求a1；（2）证明数列{a n}为等差数列，并写出其通项公式；（3）设lgb n=，试问是否存在正整数p，q（其中1＜p＜q），使b1，b p，b q成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由．20．已知函数f（x）=λx2+λx，g（x）=λx+lnx，h（x）=f（x）+g（x），其中λ∈R，且λ≠0．（1）当λ=﹣1时，求函数g（x）的最大值；（2）求函数h（x）的单调区间；（3）设函数若对任意给定的非零实数x，存在非零实数t（t≠x），使得φ′（x）=φ′（t）成立，求实数λ的取值范围．江苏省盐城中学2015届高三上学期开学数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题3分，满分42分）1．（3分）集合{﹣1，0，1}共有7个真子集．考点：子集与真子集．专题：规律型．分析：根据集合元素个数与集合真子集之间的关系即可得到结论．解答：解：∵集合{﹣1，0，1}含有3个元素，∴集合的真子集个数为23﹣1=8﹣1=7，故答案为：7．点评：本题主要考查集合关系的应用，含有n个元素的集合，其子集个数为2n，真子集的公式为2n﹣1个．2．（3分）若复数（1﹣i）（2i+m）是纯虚数，则实数m的值为﹣2．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：化简复数，由纯虚数的定义可得m的式子，可得m的值．解答：解：化简可得（1﹣i）（2i+m）=2i+m+2﹣mi=m+2+（2﹣m）i，由纯虚数的定义可得m+2=0，且2﹣m≠0解得m=﹣2故答案为：﹣2点评：本题考查纯虚数的定义，涉及复数的乘除运算，属基础题．3．（3分）执行如图所示的程序框图，若输出的b的值为31，则图中判断框内①处应填的整数为4．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到输出的b的值为31，确定跳出循环的a值，从而确定判断框的条件．解答：解：由程序框图知：第一次循环b=2+1=3，a=2；第二次循环b=2×3+1=7，a=3；第三次循环b=2×7+1=15，a=4；第四次循环b=2×15+1=31，a=5．∵输出的b的值为31，∴跳出循环的a值为5，∴判断框内的条件是a≤4，故答案为：4．点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法．4．（3分）函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（0）=．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，从而求得f（0）的值．解答：解：由函数的图象可得A=，•T=﹣=•，求得ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=π，∴φ=，故f（x）=sin（2x+），∴f（0）=sin=，故答案为：．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．5．（3分）已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为15πcm2，则此圆锥的体积为12πcm3．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：先求圆锥的底面半径，再求圆锥的高，然后求其体积．解答：解：已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为15πcm2，所以圆锥的底面周长：6π底面半径是：3圆锥的高是：4此圆锥的体积为：故答案为：12π点评：本题考查圆锥的侧面积、体积，考查计算能力，是基础题．6．（3分）从1，2，3，4，5这五个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率为．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：根据题意，首先用列举法列举从1，2，3，4，5这五个数中一次随机取两个数的全部情况，可得其情况数目，进而可得其中一个数是另一个的两倍的情况数目，由古典概型的公式，计算可得答案解答：解：从1，2，3，4，5这五个数中一次随机取两个数，有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4）（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），共10种情况；其中其中一个数是另一个的两倍的有2种，即（1，2），（2，4），故其中一个数是另一个的两倍的概率为=，故答案为：点评：本题考查古典概型的计算，解本题时，用列举法，注意按一定的顺序，做到不重不漏．7．（3分）设椭圆+=1（m＞0，n＞0）的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的短轴长为4．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意可得：抛物线y2=8x的焦点（2， 0），可得c=2，利用离心率为，可得a=4，即可求出椭圆的短轴长．解答：解：由题意可得：抛物线y2=8x的焦点（2，0），∴c=2，∵离心率为，∴a=4，∴b==2，即n=2，∴椭圆的短轴长为4，故答案为：4．点评：本题主要考查椭圆的标准方程及性质，在研究和应用性质时必须将方程转化为标准方程再解．8．（3分）如图，在△ABC中，AD⊥AB，，，则=．考点：向量在几何中的应用．专题：平面向量及应用．分析：本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，属于难题．解答：解：，∵，∴，∵，∴cos∠DAC=sin∠BAC，，在△ABC中，由正弦定理得变形得|AC|sin∠BAC=|BC|sinB，，=|BC|sinB==，故答案为．点评：近几年天津卷中总可以看到平面向量的身影，且均属于中等题或难题，应加强平面向量的基本运算的训练，尤其是与三角形综合的问题9．（3分）曲线y=和y=x2在它们的交点处的两条切线互相垂直，则a的值是a=．考点：曲线与方程；两条直线垂直的判定．专题：计算题．分析：先求出它们交点的横坐标，再求出它们的斜率表达式，由两条切线互相垂直、斜率之积等于﹣1，解出a的值．解答：解：曲线y=和y=x2的交点的横坐标是，它们的斜率分别是=﹣和 2x=2，∵切线互相垂直，∴﹣•2=﹣1，∴a=±，故答案为a=±．点评：本题考查曲线与方程、两条直线垂直的条件．10．（3分）设f（x）=，若f（t）=f（）则t的范围[2，3]∪{﹣}．考点：函数的值；分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：利用分段函数的性质求解．解答：解：∵f（x）=，f（t）=f（），∴当t≤﹣1时，t+2=，解得t=﹣，或t=（舍）；当﹣1＜t＜0时，2t+1=，无解；0＜t＜2时，2t+1=8，t=2，不成立；2≤t≤3时，f（t）=f（）=8，成立；t＞3时，8=2，解得t=3，不成立．综上所述，t的范围为：[2，3]∪{﹣}．故答案为：[2，3]∪{﹣}．点评：本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用．11．（3分）直线y=kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k 的取值范围是[﹣，0]．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由圆的方程找出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d，利用垂径定理及勾股定理表示出弦长|MN|，列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围．解答：解：由圆的方程得：圆心（3，2），半径r=2，∵圆心到直线y=kx+3的距离d=，|MN|≥2，∴2=2≥2，变形得：4﹣≥3，即8k2+6k≤0，解得：﹣≤k≤0，则k的取值范围是[﹣，0]．故答案为：[﹣，0]点评：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．12．（3分）方程a x+x2=2（a＞0且a≠1）的解的个数为2．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：作图题；函数的性质及应用．分析：将方程解的个数化为函数交点的个数．解答：解：方程a x+x2=2（a＞0且a≠1）的解的个数为函数y=2﹣x2与函数y=a x的交点个数，作图如右图：可知，有2个交点，故答案为：2．点评：本题考查了方程与函数的关系，属于基础题．13．（3分）若a，b∈R，且4≤a2+b2≤9，则a2﹣ab+b2的最小值是2．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意令a=rcosθ，b=rsinθ（2≤r≤3），由三角函数的知识可得．解答：解：∵a，b∈R，且4≤a2+b2≤9∴可令a=rcosθ，b=rsinθ（2≤r≤3），∴a2﹣ab+b2=r2cos2θ﹣r2sinθcosθ+r2sin2θ=r2（1﹣sinθcosθ）=r2（1﹣sin2θ），由三角函数可知当sin2θ取最大值1且r取最小值2时，上式取到最小值2故答案为：2点评：本题考查不等式的性质，三角换元是解决问题的关键，属基础题．14．（3分）无穷数列{a n}中，a1，a2，…，a m是首项为10，公差为﹣2的等差数列；a m+1，a m+2，…，a2m是首项为，公比为的等比数列（其中m≥3，m∈N*），并且对于任意的n∈N*，都有a n+2m=a n成立．记数列{a n}的前n项和为S n，则使得S128m+5≥2013（m≥3，m∈N*）的m的取值集合为{5，6}．考点：数列与不等式的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：由S128m+5=64S2m+a1+a2+a3+a4+a5=64[10m+（﹣2）+]+10+8+6+4+4，得S128m+5=704m﹣64m2+94﹣64•（）m≥2013，设f（m）=704m﹣64m2，g（m）=1914+64•（）m，g（m）＞1914，存在这样的m=6，使得S128m+5≥2013（m≥3，m∈N*．由此能求出m的取值集合为{6}．解答：解：等差数列通项公式：a n=10+（n﹣1）（﹣2）=﹣2n+12，等比数列通项公式：a n=•（）n﹣m﹣1=，由S128m+5=64S2m+a1+a2+a3+a4+a5=64[10m+（﹣2）+]+10+8+6+4+2，可得S128m+5=704m﹣64m2+94﹣64•（）m≥2013，设f（m）=704m﹣64m2，g（m）=1914+64•（）m，g（m）＞1919，f（m）=﹣64（m2﹣11m），存在m=5或6时取最大f（x）max=f（5）=f（6）=1920，所以存在这样的m=5或m=6，使得S128m+5≥2013（m≥3，m∈N*．因此m的取值集合为{5，6}．故答案为：{5，6}．点评：本题主要考查了数列的概念，考查了等差、等比数列的性质，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．二、解答题：15．在锐角△ABC中，已知内角A、B、C的对边分别为a、b、c．向量，，且向量、共线．（1）求角B的大小；（2）如果b=1，求△ABC的面积S△ABC的最大值．考点：解三角形；数量积的坐标表达式；三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题．分析：（1）由两向量共线，得到向量的坐标表示列出一个关系式，根据三角形的内角和定理得到A+C=π﹣B，利用诱导公式化简这个关系式后，再利用二倍角的正弦、余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简，得到tan2B的值，又三角形为锐角三角形，由B的范围求出2B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（2）根据余弦定理表示出b2=a2+c2﹣2accosB，把（1）求出的B的度数与b的值代入得到一个关于a与c的式子，变形后，根据基本不等式即可求出ac的最大值，然后利用三角形的面积公式，由ac的最大值及sinB的值，表示出三角形ABC的面积，即为三角形面积的最大值．解答：解：（1）∵向量、共线，∴2sin（A+C）（2﹣1）﹣cos2B=0，又A+C=π﹣B，∴2sinBcosB﹣cos2B，即sin2B=cos2B，∴tan2B=，又锐角△ABC，得到B∈（0，），∴2B∈（0，π），∴2B=，故B=；（2）由（1）知：B=，且b=1，根据余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB得：a2+c2﹣ac=1，∴1+ac=a2+c2≥2ac，即（2﹣）ac≤1，ac≤=2+，∴S△ABC=acsinB=ac≤，当且仅当a=c=时取等号，∴△ABC的面积最大值为．点评：此题考查了平面向量的数量积的坐标表示，三角函数的恒等变形，余弦定理及三角形的面积公式．学生作第二问时注意利用基本不等式求出ac的最大值是解本题的关键．16．已知四边形ABCD是等腰梯形，AB=3，DC=1，∠BAD=45°，DE⊥AB（如图1）．现将△ADE 沿DE折起，使得AE⊥EB（如图2），连接AC，AB，设M是AB的中点．（1）求证：BC⊥平面AEC；（2）判断直线EM是否平行于平面ACD，并说明理由．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（1）在图1中，过C作CF⊥EB，连接CE，证明BC⊥CE，在图2中，利用AE⊥EB，AE⊥ED，可证AE⊥平面BCDE，从而可得AE⊥BC，即可证明BC⊥平面AEC（2）用反证法．假设EM∥平面ACD，从而可证面AEB∥面AC，而A∈平面AEB，A∈平面ACD，与平面AEB∥平面ACD矛盾，故可得结论．解答：（1）证明：在图1中，过C作CF⊥EB∵DE⊥EB，∴四边形CDEF是矩形，∵CD=1，∴EF=1．∵四边形ABCD是等腰梯形，AB=3，∴AE=BF=1．∵∠BAD=45°，∴DE=CF=1．连接CE，则CE=CB=，∵EB=2，∴∠BCE=90°，∴BC⊥CE．在图2中，∵AE⊥EB，AE⊥ED，EB∩ED=E，∴AE⊥平面BCDE．∵BC⊂平面BCDE，∴AE⊥BC．∵AE∩CE=E，∴BC⊥平面AEC．（2）解：用反证法．假设EM∥平面ACD．∵EB∥CD，CD平面ACD，EB平面ACD，∴EB∥平面ACD．∵EB∩EM=E，∴面AEB∥面ACD而A∈平面AEB，A∈平面ACD，与平面AEB∥平面ACD矛盾．∴假设不成立，∴EM与平面ACD不平行．点评：本题考查图形的翻折，考查线面垂直，考查三棱锥的体积，考查反证法思想的运用，解题的关键是掌握线面垂直，面面平行的判定方法，属于中档题．17．已知A（﹣2，0）、B（2，0），点C、点D依次满足．（1）求点D的轨迹方程；（2）过点A作直线l交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点，线段MN的中点到y轴的距离为，且直线l与点D的轨迹相切，求该椭圆的方程．考点：轨迹方程；椭圆的标准方程．专题：计算题．分析：（1）设C、D点的坐标分别为C（x0，y0），D（x，y），欲求点D的轨迹方程，即寻找x，y之间的关系式，利用向量间的关系求出P点的坐标后代入距离公式即可得；（2）设椭圆方程为，根据圆的切线性质及中点条件，利用待定系数法求出待定系数a，b即可．解答：解：（1）设C、D点的坐标分别为C（x0，y0），D（x，y），则），，则，故．又代入中，整理得x2+y2=1，即为所求点D的轨迹方程．（2）易知直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为y=k（x+2），①又设椭圆方程为，②a2﹣b2=4，因为直线l：kx﹣y+2k=0与圆x2+y2=1相切．故，解得．将①代入②整理得，（a2k2+a2﹣4）x2+4a2k2x+4a2k2﹣a4+4a2=0，③将代入上式，整理得，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，由题意有，求得．经检验，此时③的判别式故所求的椭圆方程为．点评：求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题．求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系．18．围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：米）．（1）将修建围墙的总费用y表示成x的函数；（2）当x为何值时，修建此矩形场地围墙的总费用最小？并求出最小总费用．考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题．分析：（1）设矩形的另一边长为am，则根据围建的矩形场地的面积为360m2，易得，此时再根据旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，我们即可得到修建围墙的总费用y表示成x的函数的解析式；（2）根据（1）中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x值．解答：解：（Ⅰ）设矩形的另一边长为am，则y=45x+180（x﹣2）+180•2a=225x+360a﹣360．由已知ax=360，得，所以．（II）因为x＞0，所以，所以，当且仅当时，等号成立．即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．点评：函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．19．已知数列{a n}中，a2=1，前n项和为S n，且S n=．（1）求a1；（2）证明数列{a n}为等差数列，并写出其通项公式；（3）设lgb n=，试问是否存在正整数p，q（其中1＜p＜q），使b1，b p，b q成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）岭n=1，即可求a1；（2）根据等差数列的定义即可证明数列{a n}为等差数列，并写出其通项公式；（3）根据等比数列的定义和通项公式，建立方程组进行求解即可得到结论．解答：解：（1）令n=1，则a1=S1==0（2）由，即，①得．②②﹣①，得（n﹣1）a n+1=na n．③于是，na n+2=（n+1）a n+1．④③+④，得na n+2+na n=2na n+1，即a n+2+a n=2a n+1又a1=0，a2=1，a2﹣a1=1，所以，数列{a n}是以0为首项，1为公差的等差数列．所以，a n=n﹣1（3）假设存在正整数数组（p，q），使b1，b p，b q成等比数列，则lgb1，lgb p，lgb q成等差数列，于是，所以，（☆）．易知（p，q）=（2，3）为方程（☆）的一组解当p≥3，且p∈N*时，＜0，故数列{}（p≥3）为递减数列，于是≤＜0，所以此时方程（☆）无正整数解．综上，存在唯一正整数数对（p，q）=（2，3），使b1，b p，b q成等比数列点评：本题主要考查等差数列个等比数列通项公式的应用，要求熟练掌握相应的通项公式．20．已知函数f（x）=λx2+λx，g（x）=λx+lnx，h（x）=f（x）+g（x），其中λ∈R，且λ≠0．（1）当λ=﹣1时，求函数g（x）的最大值；（2）求函数h（x）的单调区间；（3）设函数若对任意给定的非零实数x，存在非零实数t（t≠x），使得φ′（x）=φ′（t）成立，求实数λ的取值范围．考点：函数的单调性与导数的关系．专题：压轴题．分析：①令g′（x）=0求出根，判断两边的符号，求出最值②导数大于零求出单增区间，导数小于零求出单调递减区间，注意单调区间一定在定义域内③不等式恒成立就是求函数的最值，注意对参数的讨论解答：解：（1）当λ=﹣1时，g（x）=lnx﹣x，（x＞0）∴令g′（x）=0，则x=1，∴g（x）=lnx﹣x在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减∴g（x）max=g（1）=﹣1（2）h（x）=λx2+2λx+lnx，，（x＞0）∴当λ＞0时，h'（x）＞0，∴函数h（x）的增区间为（0，+∞），当λ＜0时，，当时，h′（x）＜0，函数h（x）是减函数；当时，h′（x）＞0，函数h（x）是增函数．综上得，当λ＞0时，h（x）的增区间为（0，+∞）；当λ＜0时，h（x）的增区间为，减区间为（10分）（3）当x＞0，在（0，+∞）上是减函数，此时φ′（x）的取值集合A=（λ，+∞）；当x＜0时，φ′（x）=2λx+λ，若λ＞0时，φ′（x）在（﹣∞，0）上是增函数，此时φ′（x）的取值集合B=（﹣∞，λ）；若λ＜0时，φ′（x）在（﹣∞，0）上是减函数，此时φ′（x）的取值集合B=（λ，+∞）．对任意给定的非零实数x，①当x＞0时，∵φ′（x）在（0，+∞）上是减函数，则在（0，+∞）上不存在实数t（t≠x），使得φ′（x）=φ′（t），则t∈（﹣∞，0），要在（﹣∞，0）上存在非零实数t（t≠x），使得φ′（x）=φ′（t）成立，必定有A⊆B，∴λ＜0；②当x＜0时，φ′（x）=2λx+λ在（﹣∞，0）时是单调函数，则t∈（0，+∞），要在（0，+∞）上存在非零实数t（t≠x），使得φ′（x）=φ′（t）成立，必定有B⊆A，∴λ＜0．综上得，实数λ的取值范围为（﹣∞，0）．点评：本题考查导数研究函数的最值，单调性，值域，属于难题，在2015届高考中常出现在解答题中最后两题．。
江苏省盐城市时杨中学2015届高三化学1月调研试题
化学试题可能用到的相对原子质量： H —1 C —12 N —14 O —16 Na —23 Mg 24 Al 27 S —32 Cl —35.5 K —39 Fe —56 Cu —64 Ba —137选择题单项选择题:本题包括10 小题, 每小题2 分, 共计20 分。
每小题只有一个．．．．选项符合题意。
1．化学与日常生活密切相关，下列说法错误的是A ．碘酒是指单质碘的乙醇溶液B ．84消毒液的有效成分是NaClOC ．浓硫酸可刻蚀石英制艺术品D ．装饰材料释放的甲醛会造成污染2．下列有关化学用语表示正确的是A ．NH 4Br 的电子式：Br－N H H H ＋ B ．S 原子的结构示意图：+16288C ．乙醇的结构简式：C 2H 6OD ．原子核内有18个中子的氯原子：3．常温下，下列各组离子在指定溶液中能大量共存的是A ．pH=1的溶液中：Fe 2+、NO 3－、SO 42－、Na+ B ．c (H +)/c (OH －)=1012的溶液中：NH 4+、Al 3+、NO 3－、Cl －C ．由水电离的c (H +)=1×10－14mol·L －1的溶液中：Ca 2+、K +、Cl －、HCO 3－ D ．c (Fe 3+)=0.1mol·L －1的溶液中：K +、ClO －、SO 42－、SCN －4．下列物质性质与应用对应关系正确的是A ．过氧化钠可以与CO 2反应放出O 2，可用于潜艇中的供氧剂B ．硅酸钠溶液呈碱性，可涂在木材的表面作耐火剂C ．SO 2具有氧化性，可用于纸浆的漂白D ．明矾溶于水可形成有氢氧化铝胶体，可用于自来水的杀菌消毒5．下列实验操作或装置（略去部分夹持仪器）正确的是A ．配制溶液B ．中和滴定C ．制备乙酸乙酯D ．制取收集干燥氨气6．设NA 为阿伏加德罗常数的值。
下列说法正确的是Cl 3517A．4.6g 由NO2和N2O4组成的混合物中含有氧原子的数目为 0. 2NAB．1 mol Na2O2固体中含离子总数为4N AC．标准状况下，1.12LCCl4含有C-Cl键的数目为0.2N AD．将0.1mol FeCl3溶于 1L水中，所得溶液中含有0.1N A个Fe3+7．下列离子方程式与所述事实相符且正确的是A．氯气通入水中：Cl2+H2O2H++Cl-+ClOB．Cu溶液于稀HNO3：Cu＋4H＋＋2NO3－=Cu2＋＋2NO2↑＋2H2OC．向NaAlO2溶液中通入过量CO2制Al(OH)3：AlO2－＋CO2＋2H2O= Al(OH)3↓+HCO3－D．在强碱溶液中次氯酸钠与Fe(OH)3反应生成Na2FeO4：3ClO－+Fe(OH)3= FeO42－+3Cl－+H2O+4H+8．下表各组物质之间通过一步反应能实现如图所示转化关系，且与表中的条件也匹配的是选项X Y Z 箭头上为反应条件A NO NO2HNO3②加H2OB Al NaAlO2AlCl3③电解C Fe FeCl2FeCl3①通入少量Cl2D NaOH NaHCO3NaCl ④依次通入CO2、NH39．短周期元素X、Y、Z、W 的原子序数依次增大，且原子最外层电子数之和为13。
江苏省盐城市时杨中学2015届高三上学期1月调研数学试题
ABC1A1B1CM(第9题图)江苏省盐城市时杨中学2015届高三上学期1月调研数学试题一、填空题：1．若复数z 满足2)1(=-z i (为虚数单位),则=z ___▲___.2．某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品,产品数量之比为3:4:7,现用分层抽样的方法抽取 容量为n 的样本,样本中A 型号产品有15件,那么样本容量n 为___▲____． 3．已知向量),1,0(),1,2(-==b a 若,//)(a b a λ-则实数=λ ▲ ．4．某算法的伪代码如下图所示,若输出y 的值为3,则输入x 的值为___▲___. 5．已知{}n a 是等差数列，若75230a a --=，则9a 的值是 ▲ .6．已知函数()4(0,0)af x x x a x=+>>在3x =时取得最小值,则a = ▲ . 7．若1cos()33απ-=，则sin(2)απ-6的值是 ▲ ． 8．在平面直角坐标系xOy 中,直线032=-+y x 被圆4)1()2(22=++-y x 截得的弦长为 ▲ ．9．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，若各条棱长均为2，且M 为11A C 的中点，则三棱锥1M AB C -的体积是 ▲ ．10．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时，2()f x x x =+， 则关于x 的不等式()2f x <-的解集是 ▲ ． 11．已知函数)0)(sin(2)(>+=ωφωx x f 的图象关于直线3π=x 对称，且,0)12(=πf 则ω的最小值为______▲____12．如图，在矩形ABCD中，2AB BC ==，点E 为BC 的中点， 点F 在边CD 上，若2AB AF =，则AE BF 的值是 ▲ ．13.在平面直角坐标系xOy 中，直线y x b =+是曲线ln y a x =的切线， 则当a ＞0时，实数b 的最小值是 ▲ ． 14．在正项等比数列{}n a 中， 5671,32a a a =+=，则满足1212n n a a a a a a +++>的最大正整数n 的值为 ▲ ． 二、解答题:15．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3B π∠=． （1）若2a =，b =c 的值；（2）若tan A =tan C 的值．16．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，且PB PD =．（1）求证：BD PC ⊥；（2）若平面PBC 与平面PAD 的交线为l ，求证：//BC l ．17．如图是一个半圆形湖面景点的平面示意图．已知AB 为直径，且2AB =km ,O 为圆心，C 为圆周上靠近A 的一点，D 为圆周上靠近B 的一点，且CD ∥AB ．现在准备从A 经过C 到D 建造一条观光路线，其中A 到C 是圆弧AC ，C 到D 是线段CD .设rad AOC x ∠=，观光路线总长为km y .（1）求y 关于x 的函数解析式，并指出该函数的定义域； （2）求观光路线总长的最大值.(第17题图)OACDB18. 已知椭圆C 的中心在坐标原点焦点在x 轴上,左、右焦点分别为F 1、F 2,且1232,1,2F F P ⎛⎫= ⎪⎝⎭点在椭圆C 上.(I)求椭圆C 的方程;(II)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A,B 两点,且2AF B ∆,求直线l 的方程.19．设等比数列}{n a 的首项为,21=a 公比为q q (为正整数），且满足33a 是18a 与5a 的等差中项；数列}{n b 满足).,(023)(2*2N n R t b n b t n n n ∈∈=++- （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）试确定t 的值，使得数列}{n b 为等差数列.20．已知函数2()()e xf x x a =-在2x =时取得极小值．（1）求实数a 的值； （2）是否存在区间[],m n ，使得()f x 在该区间上的值域为44[e ,e ]m n ？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，说明理由．数学参考答案与评分标准数学Ⅰ 必做题部分一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．）二、解答题: 本大题共6小题， 15~17每小题14分，18~20每小题16分，共计90分．请在答题．．卡指定的区域内作答．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明．．．．．．．．．．、．证．明．过程或演算步骤．．．．．．．．15．（1）由余弦定理得，2222cos b c a c a B =+-⋅， …………………………3分因为3B π∠=，2a =，b = 所以21242c c =+-，即2280c c --= …………………………5分 解之得4c =，2c =-（舍去）．所以4c =. ……………………………7分所以2cos y x x =+ ，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭…………………………………………7分 (2)记()2cos f x x x =+,则()12sin f x x '=-， ………………………………9分令()0f x '=，得6x π=， ………………………………………………11分 列表x(0，6π) 6π (6π，2π) ()f x ' ＋ 0 － f (x )递增极大值递减所以函数()f x 在π6x =处取得极大值，这个极大值就是最大值，…………13分即()66f ππ=+答：观光路线总长的最大值为6π+ ……………………………14分 18.19．（Ⅰ）因为,所以，解得（舍），则------------- 3分又，所以----------------------------5分（Ⅱ）由 ，得，所以,则由，得 ------------ 8分而当时，，由（常数）知此时数列为等差数列 ------------- 10分20．（本小题满分16分）【解】（1）()e ()(2)x f x x a x a '=--+，由题意知(2)0f '=，解得2a =或4a =． …………………………… 2分 当2a =时，()e (2)x f x x x '=-，易知()f x 在(0,2)上为减函数，在(2,)+∞上为增函数，符合题意； 当4a =时，()e (2)(4)x f x x x '=--，易知()f x 在(0,2)上为增函数，在(2,4)，(4,)+∞上为减函数，不符合题意．所以，满足条件的2a =． …………………………… 5分 （2）因为()0f x ≥，所以0m ≥． …………………………… 7分 ① 若0m =，则2n ≥，因为4(0)4e f n =<，所以24(2)e e n n n -=． …………… 9分 设2(2)()e (2)xx g x x x -=≥，则2224(2)()e 0x x x g x x x ⎡⎤--'=+⎢⎥⎣⎦≥，所以()g x 在[2,)+∞上为增函数．由于4(4)e g =，即方程24(2)e e n n n -=有唯一解为4n =．…………………………… 11分 ② 若0m >，则[]2,m n ∉，即2n m >>或02m n <<<．。
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江苏省盐城市时杨中学2015届高三上学期1月调研数学试卷一、填空题：1．（3分）若复数z满足z（1﹣i）=2，则z=．2．（3分）某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为3：4：7，现在用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，样本中A型产品有15件，那么样本容量n为．3．（3分）已知向量=（2，1），=（0，﹣1），若（﹣λ）∥，则实数λ=．4．（3分）某算法的伪代码如图所示，若输出y的值为3，则输入x的值为．5．（3分）已知{a n}是等差数列，若2a7﹣a5=3，则a9的值是．6．（3分）已知函数在x=3时取得最小值，则a=．7．（3分）若cos（α﹣）=，则sin（2α﹣）的值是．8．（3分）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为．9．（3分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若各条棱长均为2，且M为A1C1的中点，则三棱锥M﹣AB1C的体积是．10．（3分）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，但x≤0时，f（x）=x2+x，则关于x的不等式f（x）＜﹣2的解集是．11．（3分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象关于直线x=对称，且为函数f（x）的一个零点，则ω的最小值为．12．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若=，则的值是．13．（3分）在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+b是曲线y=alnx的切线，则当a＞0时，实数b的最小值是．14．（3分）在正项等比数列{a n}中，，a6+a7=3，则满足a1+a2+…+a n＞a1a2…a n的最大正整数n的值为．二、解答题15．（14分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠B=（1）若a=2，b=2，求c的值；（2）若tanA=2，求tanC的值．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且PB=PD．（1）求证：BD⊥PC；（2）若平面PBC与平面PAD的交线为l，求证：BC∥l．17．（14分）如图是一个半圆形湖面景点的示意图，已知AB为直径，且AB=2km，O为圆心，C为圆周上靠近A的一点，D为圆周上靠近B的一点，且CD∥AB，现在准备从A经过C到D建造一条观光路线，其中A到C是圆弧，C到D是线段CD，设∠AOC=x rad，观光路线总长为y km．（1）求y关于x的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）求观光路线总长的最大值．18．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C．（1）若点C的坐标为（，），且BF2=，求椭圆的方程；（2）若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．19．（10分）设等比数列{a n}的首项为a1=2，公比为q（q为正整数），且满足3a3是8a1与a5的等差中项；数列{a n}满足2n2﹣（t+b n）n+b n=0（t∈R，n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）试确定实数t的值，使得数列{b n}为等差数列．20．（16分）已知函数f（x）=（x﹣a）2e x在x=2时取得极小值．（1）求实数a的值；（2）是否存在区间[m，n]，使得f（x）在该区间上的值域为[e4m，e4n]？若存在，求出m，n 的值；若不存在，说明理由．江苏省盐城市时杨中学2015届高三上学期1月调研数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：1．（3分）若复数z满足z（1﹣i）=2，则z=1+i．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：先设出z的代数形式，代入式子z（1﹣i）=2进行化简，由实部和虚部对应相等求出a和b的值．解答：解：设z=a+bi（a，b∈R），∵z（1﹣i）=2，∴（a+bi）（1﹣i）=2，则（a+b）﹣（a﹣b）i=2，∴，解得a=1、b=1，∴z=1+i，故答案为：1+i．点评：本题考查了复数的乘法运算，以及复数相等的等价条件，属于基础题．2．（3分）某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为3：4：7，现在用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，样本中A型产品有15件，那么样本容量n为70．考点：分层抽样方法．分析：设出样本容量，根据在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等得到比例式，解出方程中的变量n，即为要求的样本容量．解答：解：设出样本容量为n，∵由题意知产品的数量之比依次为3：4：7，∴，∴n=70，故答案为：70．点评：抽样选用哪一种抽样形式，要根据题目所给的总体情况来决定，若总体个数较少，可采用抽签法，若总体个数较多且个体各部分差异不大，可采用系统抽样，若总体的个体差异较大，可采用分层抽样．3．（3分）已知向量=（2，1），=（0，﹣1），若（﹣λ）∥，则实数λ=0．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：由已知结合向量的坐标加法运算与数乘运算求得﹣λ的坐标，然后直接利用向量共线的坐标表示列式得答案．解答：解：∵=（2，1），=（0，﹣1），∴﹣λ=（2，1+λ），由（﹣λ）∥，得2（1+λ）﹣2=0，即λ=0．故答案为：0．点评：平行问题是一个重要的知识点，在2015届高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别．若=（a1，a2），=（b1，b2），则⊥⇔a1a2+b1b2=0，∥⇔a1b2﹣a2b1=0，是基础题．4．（3分）某算法的伪代码如图所示，若输出y的值为3，则输入x的值为8．考点：伪代码．专题：图表型．分析：根据伪代码可知该题考查一个分段函数y=，再利用输出值为3，即可求得输入值．解答：解：本题的伪代码表示一个分段函数y=∵输出值为3∴或∴x=8∴输入值x=8故答案为：8．点评：本题考查算法知识，考查学生的阅读能力，解题的关键是确定伪代码表示一个分段函数，属于基础题．5．（3分）已知{a n}是等差数列，若2a7﹣a5=3，则a9的值是3．考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：直接利用等差数列的性质结合已知得答案．解答：解：在等差数列{a n}中，∵a5+a9=2a7，2a7﹣a5=3，∴2a7=a5+3∴a5+a9=a5+3，得a9=3．故答案为：3．点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，基本知识的考查．6．（3分）已知函数在x=3时取得最小值，则a=36．考点：函数在某点取得极值的条件．专题：导数的概念及应用；不等式的解法及应用．分析：由题设函数在x=3时取得最小值，可得f′（3）=0，解此方程即可得出a的值．解答：解：由题设函数在x=3时取得最小值，∵x∈（0，+∞），∴得x=3必定是函数的极值点，∴f′（3）=0，f′（x）=4﹣，即4﹣=0，解得a=36．故答案为：36．点评：本题考查利用导数求函数的最值及利用导数求函数的极值，解题的关键是理解“函数在x=3时取得最小值”，将其转化为x=3处的导数为0等量关系．7．（3分）若cos（α﹣）=，则sin（2α﹣）的值是．考点：二倍角的余弦；三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．分析：直接利用诱导公式化简所求表达式，通过二倍角的余弦函数，结合已知条件求解即可．解答：解：∵cos（α﹣）=，∴sin（2α﹣）=cos（﹣2α+）=cos（2α﹣）=2cos2（α﹣）﹣1=2×=﹣．故答案为：﹣．点评：本题主要考查了诱导公式和二倍角的余弦公式的应用，属于基本知识的考查．8．（3分）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：求出已知圆的圆心为C（2，﹣1），半径r=2．利用点到直线的距离公式，算出点C 到直线直线l的距离d，由垂径定理加以计算，可得直线x+2y﹣3=0被圆截得的弦长．解答：解：圆（x﹣2）2+（y+1）2=4的圆心为C（2，﹣1），半径r=2，∵点C到直线直线x+2y﹣3=0的距离d==，∴根据垂径定理，得直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为2=2=故答案为：．点评：本题给出直线与圆的方程，求直线被圆截得的弦长，着重考查点到直线的距离公式、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．9．（3分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若各条棱长均为2，且M为A1C1的中点，则三棱锥M﹣AB1C的体积是2．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由，利用等积法能求出三棱锥M﹣AB 1C的体积．解答：解：∵在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各条棱长均为2，且M为A1C1的中点，∴S△AMC==2，MB 1⊥平面AMC，且B1M==，∴====．故答案为：．点评：本题考查三棱锥M﹣AB1C的体积的求法，是中档题，解题时要注意等积法的合理运用．10．（3分）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，但x≤0时，f（x）=x2+x，则关于x的不等式f（x）＜﹣2的解集是{x|x＞2}．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：本题可以先利用函数的奇偶性，由x≤0时的解析式求出x＞0的解析式，将不等式f （x）＜﹣2转化为关于x的不等式，解不等式组，得到本题结论．解答：解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）．∵当x≤0时，f（x）=x2+x，∴当x＞0时，﹣x＜0，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[（﹣x）2+（﹣x）]=﹣x2+x．∵不等式f（x）＜﹣2，∴或，∴x＞2．∴关于x的不等式f（x）＜﹣2的解集是{x|x＞2}．点评：本题考查了函数的奇偶性和解不等式，本题难度不大，属于基础题．11．（3分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象关于直线x=对称，且为函数f（x）的一个零点，则ω的最小值为2．考点：正弦函数的对称性．专题：计算题．分析：求ω的最小值，由周期和ω的关系，需要求周期的最大值，对称轴与对称中心最近为周期，可求最大周期，从而求得最小的ω值．解答：解：∵对称轴与对称中心最近为周期，∴﹣=×，∴ω=2，故答案为2．点评：注意利用数形结合，数形结合比较直观，一目了然，可求得对称轴与对称中心最近为周期，从而求得ω的最小值．12．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若=，则的值是．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据所给的图形，把已知向量用矩形的边所在的向量来表示，做出要用的向量的模长，表示出要求得向量的数量积，注意应用垂直的向量数量积等于0，得到结果．解答：解：∵，====||=，∴||=1，||=﹣1，∴=（）（）==﹣=﹣2++2=，故答案为：点评：本题考查平面向量的数量积的运算．本题解题的关键是把要用的向量表示成已知向量的和的形式，本题是一个中档题目．13．（3分）在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+b是曲线y=alnx的切线，则当a＞0时，实数b的最小值是﹣1．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：设出曲线上的一个切点为（x，y），利用导数的几何意义求切线的坐标，可得b=alna ﹣a，再求导，求最值即可．解答：解：设出曲线上的一个切点为（x，y），由y=alnx，得y′=，∵直线y=x+b是曲线y=alnx的切线，∴y′==1，∴x=a，∴切点为（a，alna），代入y=x+b，可得b=alna﹣a，∴b′=lna=0，可得a=1，∴函数b=alna﹣a在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴a=1时，b取得最小值﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题主要考查导数的几何意义的应用，利用导数的运算求出切线斜率，根据切线斜率和导数之间的关系建立方程进行求解是解决本题的关键，考查学生的运算能力．14．（3分）在正项等比数列{a n}中，，a6+a7=3，则满足a1+a2+…+a n＞a1a2…a n的最大正整数n的值为12．考点：等比数列的前n项和；一元二次不等式的解法；数列的函数特性；等差数列的前n 项和．专题：等差数列与等比数列．分析：设正项等比数列{a n}首项为a1，公比为q，由题意可得关于这两个量的方程组，解之可得数列的通项公式和a1+a2+…+a n及a1a2…a n的表达式，化简可得关于n的不等式，解之可得n的范围，取上限的整数部分即可得答案．解答：解：设正项等比数列{a n}首项为a1，公比为q，由题意可得，解之可得：a1=，q=2，故其通项公式为a n==2n﹣6．记T n=a1+a2+…+a n==，S n=a1a2…a n=2﹣5×2﹣4…×2n﹣6=2﹣5﹣4+…+n﹣6=．由题意可得T n＞S n，即＞，化简得：2n﹣1＞，即2n﹣＞1，因此只须n＞，即n2﹣13n+10＜0解得＜n＜，由于n为正整数，因此n最大为的整数部分，也就是12．故答案为：12点评：本题考查等比数列的求和公式和一元二次不等式的解法，属中档题．二、解答题15．（14分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠B=（1）若a=2，b=2，求c的值；（2）若tanA=2，求tanC的值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）△ABC中，由条件利用余弦定理可得b2=12=4+c2﹣4c•cos，由此求得c的值．（2）由tanA=2，tanB=tan=，再根据tanC=﹣tan（A+B）=，计算求得结果．解答：解：（1）△ABC中，∵a=2，b=2，∠B=，由余弦定理可得b2=12=4+c2﹣4c•cos=4+c2﹣2c，求得c=4，或c=﹣2（舍去），即c=4．（2）若tanA=2，∵tanB=tan=，∴tanC=﹣tan（A+B）===．点评：本题主要考查余弦定理、两角和的正切公式，属于基础题．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且PB=PD．（1）求证：BD⊥PC；（2）若平面PBC与平面PAD的交线为l，求证：BC∥l．考点：直线与平面平行的性质；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）根据线面垂直的性质证明BD⊥平面PAC即可．（2）根据线面平行的性质定理证明BC∥平面PAD即可．解答：解：（1）设AC与BD的中点为O，连结PO，∵PB=PD，∴PO⊥BD，∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∵PO∩AC=0，∴BD⊥平面PAC，∵PC⊂平面PAC，∴BD⊥PC．（2）∵BC∥AD，BC⊄面PAD，AD⊂面PAD，∴BC∥面PAD．∵平面PBC与平面PAD的交线为l，∴BC∥l．点评：本题主要考查空间直线和平面垂直的性质以及线面平行的性质的应用，要求熟练掌握相应的定理．17．（14分）如图是一个半圆形湖面景点的示意图，已知AB为直径，且AB=2km，O为圆心，C为圆周上靠近A的一点，D为圆周上靠近B的一点，且CD∥AB，现在准备从A经过C到D建造一条观光路线，其中A到C是圆弧，C到D是线段CD，设∠AOC=x rad，观光路线总长为y km．（1）求y关于x的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）求观光路线总长的最大值．考点：根据实际问题选择函数类型．专题：应用题；导数的综合应用．分析：（1）由题意得y=1•x+1•sin（﹣x）×2，化简并写出定义域（0＜x＜）；（2）求导y′=1﹣2cos（﹣x）以确定函数的单调性，从而求最大值．解答：解：（1）由题意得，y=1•x+1•sin（﹣x）×2=x+2sin（﹣x），（0＜x＜）；函数的定义域为{x|0＜x＜}；（2）y′=1﹣2cos（﹣x），令y′=0解得，x=，故当x=时，观光路线总长最大，最大值为+2×=+（km）．点评：本题考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力，属于中档题．18．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C．（1）若点C的坐标为（，），且BF2=，求椭圆的方程；（2）若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．考点：椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）根据椭圆的定义，建立方程关系即可求出a，b的值．（2）求出C的坐标，利用F1C⊥AB建立斜率之间的关系，解方程即可求出e的值．解答：解：（1）∵C的坐标为（，），∴，即，∵，∴a2=（）2=2，即b2=1，则椭圆的方程为+y2=1．（2）设F1（﹣c，0），F2（c，0），∵B（0，b），∴直线BF2：y=﹣x+b，代入椭圆方程+=1（a＞b＞0）得（）x2﹣=0，解得x=0，或x=，∵A（，），且A，C关于x轴对称，∴C（，﹣），则=﹣=，∵F1C⊥AB，∴×（）=﹣1，由b2=a2﹣c2得，即e=．点评：本题主要考查圆锥曲线的综合问题，要求熟练掌握椭圆方程的求法以及直线垂直和斜率之间的关系，运算量较大．19．（10分）设等比数列{a n}的首项为a1=2，公比为q（q为正整数），且满足3a3是8a1与a5的等差中项；数列{a n}满足2n2﹣（t+b n）n+b n=0（t∈R，n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）试确定实数t的值，使得数列{b n}为等差数列．考点：等差数列的通项公式；等差关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由题意，6a3=8a1+a5，则6q2=8+q4，解得q2=4或q2=2，因为q为正整数，所以q=2，故可得通项；（2）分别令n=1，2，3，可得得b1=2t﹣4，b2=16﹣4t，b3=12﹣2t，由b1+b3=2b2，可得得t=3，代入原式可得，得b n=2n，由等差数列的定义可判．解答：解：（1）由题意，6a3=8a1+a5，则6q2=8+q4，解得q2=4或q2=2，因为q为正整数，所以q=2，又a1=2，所以a n=2n（2）当n=1时，2﹣（t+b1）b1=0，得b1=2t﹣4，同理可得：n=2时，b2=16﹣4t，n=3时，b3=12﹣2t，则由b1+b3=2b2，得t=3，并且，当t=3时，，得b n=2n，由b n+1﹣b n=2，知此时数列{b n}为等差数列．故答案为：t=3．点评：本题为等差、等比数列的综合应用，正确运用公式是解决问题的关键，属基础题．20．（16分）已知函数f（x）=（x﹣a）2e x在x=2时取得极小值．（1）求实数a的值；（2）是否存在区间[m，n]，使得f（x）在该区间上的值域为[e4m，e4n]？若存在，求出m，n 的值；若不存在，说明理由．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）通过求导直接得出，（2）构造出新函数通过求导得出方程组，解得即可．解答：解：（1）f'（x）=e x（x﹣a）（x﹣a+2），由题意知f'（2）=0，解得a=2或a=4．当a=2时，f'（x）=e x x（x﹣2），易知f（x）在（0，2）上为减函数，在（2，+∞）上为增函数，符合题意；当a=4时，f'（x）=e x（x﹣2）（x﹣4），易知f（x）在（0，2）上为增函数，在（2，4），（4，+∞）上为减函数，不符合题意．所以，满足条件的a=2．（2）因为f（x）≥0，所以m≥0．①若m=0，则n≥2，因为f（0）=4＜e4n，所以（n﹣2）2e n=e4n．设，则，所以g（x）在[2，+∞）上为增函数．由于g（4）=e4，即方程（n﹣2）2e n=e4n有唯一解为n=4．②若m＞0，则2∉[m，n]，即n＞m＞2或0＜m＜n＜2．（Ⅰ）n＞m＞2时，，由①可知不存在满足条件的m，n．（Ⅱ）0＜m＜n＜2时，，两式相除得m（m﹣2）2e m=n（n﹣2）2e n．设h（x）=x（x﹣2）2e x（0＜x＜2），则h'（x）=（x3﹣x2﹣4x+4）e x=（x+2）（x﹣1）（x﹣2）e x，h（x）在（0，1）递增，在（1，2）递减，由h（m）=h（n）得0＜m＜1，1＜n＜2，此时（m﹣2）2e m＜4e＜e4n，矛盾．综上所述，满足条件的m，n值只有一组，且m=0，n=4．点评：本题考察了求导函数，函数的单调性，解题中用到了分类讨论思想，是一道较难的问题．。