高考数学一轮总复习 2.12.1导数与函数的单调性课件

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知识点三 函数的导数与最值的关系
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与 最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则 f(a) 为函数的最小 值， f(b) 为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则
f(a) 为函数的最大值， f(b) 为函数的最小值．
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对点自测
知识点一 函数的导数与单调性的关系
1.判一判
(1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充要条件．( )
(2)函数在其定义域内离散的点处导数等于0不影响函数的单
调性．( )
(3)函数y＝12x2－lnx的单调递减区间为(0,1]．(
)
答案 (1)× (2)√ (3)√
答案 C
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4．设函数f(x)＝xex，则( ) A．x＝1为f(x)的极大值点 B．x＝1为f(x)的极小值点 C．x＝－1为f(x)的极大值点 D．x＝－1为f(x)的极小值点
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解析 求导得f′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)，令f′(x)＝ex(x＋1) ＝0，解得x＝－1，易知x＝－1是函数f(x)的极小值点．
答案 D
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知识点三 函数的导数与最值的关系 5.函数y＝x＋2cosx在区间0，2π上的最大值是________．
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解析
y′＝1－2sinx，令y′＝0，且x∈
0，2π
，得x＝
π 6
，则
x∈0，6π时，y′>0；x∈π6，π2时，y′<0，
故函数在0，π6上递增，在6π，π2上递减，
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J 基础回扣·自主学习
理教材 夯基础 厚积薄发
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知识梳理
知识点一
函数的导数与单调性的关系
函数y＝f(x)在某个区间内可导，则 (1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内 单调递增 ． (2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内 单调递减 ． (3)若f′(x)＝0, 则f(x)在这个区间内是 常数函数 .
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知识点二 函数的导数与极值的关系
(1)函数的极值
已知函数y＝f(x)，设x0是定义域(a，b)内任一点，如果对x0附 近所有点x，都有 f(x)<f(x0) ，那么称函数f(x)在x0处取极大值， 记作 y极大值＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个 极大值点 ；如果 在x0附近都有 f(x)>f(x0) ，那么称函数f(x)在点x0处取极小值， 记作 y极小值＝f(x，0)并把x0称为函数f(x)的一个 极小值点 ．
第二章 函数、导数及其应用
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第十二节 ►►导数的应用
基础回扣·自主学习
热点命题·深度剖析
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高考明方向 1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调 性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)．
2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求 函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区 间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)
所以当x＝6π时，函数取最大值，为π6＋ 3.
答案 π6＋ 3
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6．设函数f(x)＝x3－x22－2x＋5，若对任意的x∈[－1,2]，都有 f(x)>a，则实数a的取值范围是________．
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解析 f′(x)＝3x2－x－2，令f′(x)＝0，得3x2－x－2＝0. 解得x＝1或x＝－23. 又f(1)＝72，f－23＝12577，f(－1)＝121，f(2)＝7，故f(x)min＝72， ∴a<72.
A．x＝1
B．x＝－1
C．x＝1或－1或0 D．x＝0
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解析 ∵f(x)＝x4－2x2＋3， 由f′(x)＝4x3－4x＝4x(x＋1)(x－1)＝0，得 x＝0或x＝1或x＝－1. 又当x<－1时f′(x)<0，当－1<x<0时，f′(x)>0，当0<x<1 时，f′(x)<0，当x>1时，f′(x)>0， ∴x＝0,1，－1都是f(x)的极值点．
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2．已知a>0，函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调增函 数，则a的最大值是________．
解析 f′(x)＝3x2－a在x∈[1，＋∞)上f′(x)≥0， 则f′(1)≥0⇒a≤3.
答案 3
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知识点二 函数的导数与极值的关系
3.函数f(x)＝(x2－1)2＋2的极值点是( )
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(3)求可导函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：
①求f(x)在(a，b)内的 极值 ； ②将f(x)的各极值与 f(a)，f(b)
进行比较，其中最大的一
个是最大值，最小的一个是最小值．
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知识点四 生活中的优化问题 (1)生活中的优化问题 通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为优化问 题，一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个 极值点，那么该点也是最值点． (2)利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤
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(2)求可导函数极值的步骤
①求导数f′(x)； ②求方程 f′(x)＝0 的所有实数根；
③对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右侧，导函数
f′(x)的符号如何变化．如果f′(x)的符号由正变负，那么f(x0)是 极大值 ；如果f′(x)的符号由负变正，那么f(x0)是 极小值 ．
如果在f′(x)＝0的根x＝x0的左右侧符号不变，那么 f(x0) 不是极值 .
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备考知考情 由于高考对本节知识的考查仍将突出导数的工具性，重点考 查利用导数研究函数极值、最值及单调性等问题，其中蕴含对转 化与化归、分类讨论和数形结合等数学思想方法的考查，故备考 时要认真掌握导数与函数单调性、极值的关系，强化导数的工具 性的作用．另外，导数常与解析几何、不等式、方程相联系．因 此，要加强导数应用的广泛意识，注重数学思想和方法的应用.
答案 －∞，72
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知识点四 生活中的优化问题
7.从边长为10 cm×16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的
小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为( )
A．12 cm3