双曲线方程70
双曲线及其标准方程
双曲线1．双曲线的概念平面内与两个定点F 1，F 2(|F 1F 2|＝2c >0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F 1F 2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a 、c 为常数且a >0，c >0；(1)当a <c 时，P 点的轨迹是双曲线．(2)当a ＝c 时，P 点的轨迹是两条射线．(3)当a >c 时，P 点的轨迹不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)图形性质范围x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R x ∈R ，y ≤－a 或y ≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A 1(－a,0)，A 2(a,0)A 1(0，－a )，A 2(0，a )渐近线y ＝±b axy ＝±a bx离心率e ＝ca，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2实虚轴线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a 、b 、c 的关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)1．方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示的曲线(1)当m >0，n >0时，表示焦点在x 轴上的双曲线．(2)当m <0，n <0时，则表示焦点在y 轴上的双曲线．2．方程的常见设法(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．(2)若渐近线的方程为y ＝±b a x ，则可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．3．常用结论1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .2．若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2a ；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .4．若P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则S △PF 1F 2＝b 2tan θ2，其中θ为∠F 1PF 2.5．若P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，I 为△PF 1F 2内切圆的圆心，则圆心I 的横坐标为定值a .6．等轴双曲线(1)定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．(2)性质：①a ＝b ；②e ＝2；③渐近线互相垂直；④等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项．7．共轭双曲线(1)定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线．(2)性质：①它们有共同的渐近线；②它们的四个焦点共圆；③它们的离心率的倒数的平方和等于1.1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．()(2)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．()(3)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．(（4）．双曲线x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是m （5）．若双曲线x )x ±ny ＝0.( )2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 222．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线)．( )()A ．2B ．22C ．4D ．423．(2021·全国甲卷)点(3,0)到双曲线x 216－y 29＝1的一条渐近线的距离为()A.95B.85C.65D.454．(教材改编)过双曲线x 2－y 2＝8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |＝7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是()A ．28B ．14－82C ．14＋82D ．825．已知双曲线E ：x 216－y 2m 2＝1的离心率为54，则双曲线E 的焦距为__________．双曲线的定义的应用例题：（1）已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，N 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，则点P 的轨迹是()A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆(2)已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为()A.x 22－y 216＝1(x ≤－2) B.x 22－y 214＝1(x ≥2)C.x 22－y 216＝1 D.x 22－y 214＝1（3）已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为______________(4)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝__________.(5)已知F 1，F 2是双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积为()A ．1B ．52C ．2D ．5(6)．(2020·全国卷Ⅲ)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为5.P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P .若△PF 1F 2的面积为4，则a ＝()A ．1B ．2C ．4D ．8(7)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在双曲线C 上，若△AF 1F 2的周长为10a ，则△AF 1F 2的面积为()A ．215a 2B ．15a 2C ．30a 2D ．15a 2(8)P 是双曲线C ：x 22－y 2＝1右支上一点，直线l 是双曲线C 的一条渐近线．P 在l上的射影为Q ，F 1是双曲线C 的左焦点，则|PF 1|＋|PQ |的最小值为()A ．1B ．2＋155C ．4＋155D ．22＋1(9)已知双曲线x2－y2＝4，F1是左焦点，P1，P2是右支上的两个动点，则|F1P1|＋|F1P2|－|P1P2|的最小值是()A．4B．6C．8D．16(10)双曲线C的渐近线方程为y＝±233x，一个焦点为F(0，－7)，点A的坐标为(2，0)，点P为双曲线第一象限内的点，则当点P的位置变化时，△P AF周长的最小值为()A．8B．10C．4＋37D．3＋317双曲线的标准方程求双曲线标准方程的方法:(1)定义法(2)待定系数法①当双曲线焦点位置不确定时，设为Ax2＋By2＝1(AB＜0)；②与双曲线x2a2－y2b2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)；③与双曲线x2a2－y2b2＝1共焦点的双曲线方程可设为x2a2－k－y2b2＋k＝1(－b2＜k＜a2)．例题：（1）根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为54；(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；(3)经过两点P(－3,27)和Q(－62，－7)．(2)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为(－3,0)，且C 的离心率为32，则双曲线C 的方程为()A.y 24－x 25＝1 B.y 25－x 24＝1 C.x 24－y 25＝1 D.x 25－y 24＝1(3)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的标准方程是()A.7x 216－y 212＝1 B.y 23－x 22＝1C ．x 2－y 23＝1D.3y 223－x 223＝1（4）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为()A ．x 28－y 210＝1B ．x 24－y 25＝1C ．x 25－y 24＝1D ．x 24－y 23＝1（5）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)过点(2，3)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线C 的标准方程是()A ．x12－y 2＝1B ．x 29－y 23＝1C ．x 2－y 23＝1D ．x 223－y 232＝1（6）已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为()A ．x 24－y 212＝1B ．x 212－y 24＝1C ．x 23－y 29＝1D ．x 29－y 23＝1(7)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点M 在双曲线的右支上，点N 为F 2M 的中点，O 为坐标原点，|ON |－|NF 2|＝2b ，∠ONF 2＝60°，△F 1MF 2的面积为23，则该双曲线的方程为__________．双曲线的几何性质求双曲线的渐近线方程例：（1）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则双曲线C 的渐近线方程为()A ．y ＝±3xB ．y ＝±33x C ．y ＝±12xD ．y ＝±2x（2）已知双曲线T 的焦点在x 轴上，对称中心为原点，△ABC 为等边三角形．若点A 在x 轴上，点B ，C 在双曲线T 上，且双曲线T 的虚轴为△ABC 的中位线，则双曲线T 的渐近线方程为()A ．y ＝±153xB ．y ＝±53xC ．y ＝±33x D ．y ＝±55x (3)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝12的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为()A ．y ＝±3xB ．y ＝±33x C ．y ＝±22x D ．y ＝±2x(4)已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为M ，N ，设四边形F 1NF 2M 的周长为p ，面积为S ，且满足32S ＝p 2，则该双曲线的渐近线方程为()A ．y ＝±32x B ．y ＝±233xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x求双曲线的离心率(范围)例：(1)(2021·全国甲卷)已知F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°，|PF 1|＝3|PF 2|，则C 的离心率为()A.72B.132C.7D.13（2）．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为__________．(3)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，过坐标原点O 的直线与双曲线C 的左、右支分别交于点P ，Q ，若|PQ |＝2|QF |，∠PQF ＝60°，则该双曲线的离心率为()A ．3B ．1＋3C ．2＋3D ．4＋23(4)(2020·全国卷Ⅲ)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为5.P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P .若△PF 1F 2的面积为4，则a ＝()A ．1B ．2C ．4D ．8(5)圆C ：x 2＋y 2－10y ＋16＝0上有且仅有两点到双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是()A ．(2，5)B.⎪⎭⎫⎝⎛2535，C.⎪⎭⎫⎝⎛2545，D ．(5，2＋1)双曲线几何性质的综合应用例：（1）已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是()A.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3333， B.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-6363，C.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-322322， D.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-332332，逻辑推理(2020·新高考卷Ⅰ)(多选)已知曲线C ：mx 2＋ny 2＝1.()A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若m ＝n >0，则C 是圆，其半径为nC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y ＝±－m nx D ．若m ＝0，n >0，则C 是两条直线直线与双曲线的位置关系例题：若双曲线E ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)的离心率等于2，直线y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若|AB |＝63，求k 的值．双曲线课后练习1．方程x2m＋2＋y2m－3＝1表示双曲线的一个充分不必要条件是()A．－3＜m＜0B．－1＜m＜3C．－3＜m＜4D．－2＜m＜3 2．在平面直角坐标系中，已知双曲线C与双曲线x2－y23＝1有公共的渐近线，且经过点P(－2，3)，则双曲线C的焦距为()A.3B．23C．33D．433.设双曲线C：x2－4y2＋64＝0的焦点为F1，F2，点P为C上一点，|PF1|＝6，则|PF2|为()A．13B．14C．15D．224．若双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝1相切，则C的渐近线方程为()A．y＝±13x B．y＝±33x C．y＝±3x D．y＝±3x5．若双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右顶点A到一条渐近线的距离为223a，则双曲线的离心率为()A．223B．13C．3D．226．已知双曲线的一个焦点F(0，5)，它的渐近线方程为y＝±2x，则该双曲线的标准方程为_____________7．已知双曲线x24－y25＝1的左焦点为F，点P为其右支上任意一点，点M的坐标为(1,3)，则△PMF周长的最小值为()A．5＋10B．10＋10C．5＋13D．9＋138．已知直线l与双曲线C：x2－y2＝2的两条渐近线分别交于A，B两点，若AB 的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则△AOB的面积为()A．12B．1C．2D．49.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|.若cos ∠F 1PF 2＝14，则该双曲线的离心率等于()A.22 B.52C ．2 D.3＋110．(2020·全国卷Ⅱ)设O 为坐标原点，直线x ＝a 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于D ，E 两点．若△ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为()A ．4B ．8C ．16D ．3211．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交双曲线左支于A ，B 两点，△F 2AB 是以A 为直角顶点的直角三角形，且∠AF 2B ＝30°，若该双曲线的离心率为e ，则e 2＝()A ．11＋43B ．13＋53C ．16－63D ．19－10312．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，以F 为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M ，且MF 与双曲线的实轴垂直，则双曲线C 的离心率为()A.52 B.5C.2D ．213．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的实轴长为8，右焦点为F ，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF ，O 为坐标原点，若S △OMF ＝6，则双曲线C 的离心率为)______________14．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为3，点P 为双曲线上一点，∠F 1PF 2＝120°，则双曲线的渐近线方程为__________；若双曲线C 的实轴长为4，则△F 1PF 2的面积为__________．15．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2b 2＝1(b ＞0)的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若|AF 2|＝2且∠F 1AF 2＝45°，延长AF 2交双曲线的右支于点B ，则△F 1AB 的面积等于_____________16．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线分别交双曲线的左、右两支于M ，N .若以MN 为直径的圆经过右焦点F 2，且|MF 2|＝|NF 2|，则双曲线的离心率为____________.17．已知点P (1，3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线上，F 为双曲线C 的右焦点，O 为原点．若∠FPO ＝90°，则双曲线C 的方程为_____________，其离心率为__________.18．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2→的最小值为________．19．(2021·山东淄博二模)已知动点P 在双曲线C ：x 2－y 23＝1上，双曲线C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，下列结论错误的是()A ．C 的离心率为2B ．C 的渐近线方程为y ＝±3xC ．动点P 到两条渐近线的距离之积为定值D ．当动点P 在双曲线C 的左支上时，|PF 1||PF 2|2的最大值为14。
双曲线标准方程及几何意义
9 16
焦点（-5，0）和（5，0）.焦距10
y 2 x2 1 在y 轴. a2=1，b2=3，c2=a2+b2=4
3
焦点（0，-2）和（0，2）.焦距4
判断双曲线标准方程的焦点在哪个轴上的准则： 焦点在系数为正的那个轴上。
练习1
判断下列双曲线焦点在哪个轴上， 并写出焦点坐标
x2 y 2 1 X轴（-3，0），（3，0） 45
A1A2叫实轴,其长为2a(和焦点在同一个坐标轴上) B1B2叫虚轴,其长为2b,F1F2叫焦距,其长为2c
焦点：F1(0,-c), F2(0,c)
c2 a2 b2
双曲线呢？
看x2、y2
的系数正负
椭圆的标准方程：
x2 a2
y2 b2
1
a b 0
双曲线的标准方程：
x2 y2 a2 b2 1(a 0,b 0).
y2 a2
x2 b2
1
a b 0
y2 x2 1(a 0,b 0). a2 b2
中职数学拓展课程
（一）双曲线定义及方程
数学 实验
如图，把一条拉开 一部分的拉链分成一长 一短两支，将拉开的两 头把分笔别尖固放定在在拉头F1和处F，2处随， 着拉链的开合，移动笔 尖M，可画出一支曲线， 再把拉链的长短两端互 换，用同样的方法可画 出另一支曲线，这两支 曲线构成的是什么呢？
①如图(A)， |MF1|-|MF2|=2a
②如图(B)， |MF2|-|MF1|=2a
由①②可得：
演示
| |MF1|-|MF2| | = 2a
（差的绝对值）
上面 两条合起来叫做双曲线
双曲线的定义:
平面内与两定点F1，F2的距离的 差的绝对值等于常数2a (小于的F1F2 )
双曲线及其方程-知识总结
双曲线及其方程一、双曲线的定义1、第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））。
这两个定点叫双曲线的焦点。
要注意两点：（1）距离之差的绝对值。
（2）2a ＜|F 1F 2|。
当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；用第二定义证明比较简单 或两边之差小于第三边当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在。
2、第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l （准线2ca ）的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线。
这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线。
二、双曲线的标准方程（222a cb -=，其中|1F 2F |=2c ）焦点在x 轴上：12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）焦点在y 轴上：12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）（1）如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上。
a 不一定大于b 。
判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x 2、y 2的分母的大小，而是x 2、y 2的系数的符号，焦点在系数正的那条轴上（2）与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x （3）双曲线方程也可设为：221(0)x y mn m n-=>三、双曲线的性质xyPxyPxyPPxyPP。
双曲线及其标准方程
2．3双曲线2．3.1双曲线及其标准方程1.了解双曲线的定义，几何图形和标准方程的推导过程．2.掌握双曲线的标准方程．3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．1．双曲线的定义(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．(2)符号表示：||MF1|－|MF2||＝2a(常数)(0<2a<|F1F2|)．(3)焦点：两个定点F1、F2．(4)焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|.2．双曲线的标准方程1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在双曲线标准方程中，a，b，c之间的关系与椭圆中a，b，c之间的关系相同．()(2)点A(1，0)，B(－1，0)，若|AC|－|BC|＝2，则点C的轨迹是双曲线．()(3)在双曲线标准方程x2a2－y2b2＝1中，a>0，b>0且a≠b.()答案：(1)×(2)×(3)×2．已知双曲线x216－y29＝1，则双曲线的焦点坐标为()A．(－7，0)，(7，0)B．(－5，0)，(5，0) C．(0，－5)，(0，5) D．(0，－7)，(0，7)答案：B3．在双曲线的标准方程中，若a＝6，b＝8，则其标准方程是()A.y236－x264＝1B.x264－y236＝1C.x236－y264＝1D.x236－y264＝1或y236－x264＝1答案：D4．设双曲线x216－y29＝1的右支上一点P到左焦点F1的距离是15，则P到右焦点F2的距离是________．答案：7探究点一 求双曲线的标准方程求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)a ＝25，经过点A (2，－5)，焦点在y 轴上；(2)与双曲线x 216－y 24＝1有相同的焦点，且经过点(32，2)；[解] (1)因为双曲线的焦点在y 轴上，所以可设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题设知，a ＝25，且点A (2，－5)在双曲线上，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，25a 2－4b 2＝1，解得a 2＝20，b 2＝16. 故所求双曲线的标准方程为y 220－x 216＝1.(2)因为焦点相同，所以设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， 所以c 2＝16＋4＝20，即a 2＋b 2＝20.①因为双曲线经过点(32，2)，所以18a 2－4b 2＝1.②由①②得a 2＝12，b 2＝8，所以双曲线的标准方程为x 212－y 28＝1.求双曲线的标准方程的步骤求双曲线的标准方程通常采用待定系数法，步骤归结如下：1.根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且过点(15，4)；(2)经过点(3，0)，(－6，－3)．解：(1)椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标为F 1(0，－3)，F 2(0，3)，故可设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝9，42a 2－（15）2b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝5.故双曲线的方程为y 24－x 25＝1.(2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，因为双曲线经过点(3，0)，(－6，－3)，所以⎩⎨⎧9m ＋0＝1，36m ＋9n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝19，n ＝－13，所以所求双曲线的标准方程为x 29－y 23＝1.探究点二 双曲线定义的应用设P 为双曲线x 2－y 212＝1上的一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，求△PF 1F 2的面积．[解] 由已知得2a ＝2，又由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝2，因为|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，所以|PF 1|＝6，|PF 2|＝4.又|F 1F 2|＝2c ＝213，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝62＋42－522×6×4＝0， 所以△F 1PF 2为直角三角形．S △PF 1F 2＝12×6×4＝12.若将“|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2”改为“|PF 1|·|PF 2|＝24”，求△PF 1F 2的面积．解：由双曲线方程为x 2－y 212＝1，可知a ＝1，b ＝23，c ＝1＋12＝13.因为|PF 1|·|PF 2|＝24，则cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝（|PF 1|－|PF 2|）2＋2|PF 1|·|PF 2|－4c 22×24＝4＋2×24－4×1348＝0 所以△PF 1F 2为直角三角形．所以S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12.双曲线的定义是解决与双曲线有关的问题的主要依据，在应用时，一是注意条件||PF 1|－|PF 2||＝2a (0<2a <|F 1F 2|)的使用，二是注意与三角形知识相结合，经常利用正、余弦定理，同时要注意整体运算思想的应用．2.(1)若双曲线x 24－y 212＝1上的一点P 到它的右焦点F 2的距离为8，则点P 到它的左焦点F 1的距离是( )A ．4B ．12C ．4或12D ．6(2)已知双曲线x 24－y 29＝1，F 1、F 2是其两个焦点，点M 在双曲线上．若∠F 1MF 2＝90°，求△F 1MF 2的面积．解：(1)选C.由双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝4， 所以||PF 1|－8|＝4，所以|PF 1|＝4或12.(2)由双曲线方程知a＝2，b＝3，c＝13，不妨设|MF1|＝r1，|MF2|＝r2(r1＞r2)．由双曲线定义得r1－r2＝2a＝4.两边平方得r21＋r22－2r1·r2＝16，即|F1F2|2－4 S△F1MF2＝16，即4 S△F1MF2＝52－16，所以S△F1MF2＝9.探究点三利用双曲线的定义求轨迹问题动圆M与圆C1：(x＋3)2＋y2＝9外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝1内切，求动圆圆心M的轨迹方程．[解]设动圆半径为R，因为圆M与圆C1外切，且与圆C2内切，所以|MC1|＝R＋3，|MC2|＝R－1，所以|MC1|－|MC2|＝4.所以点M的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线的右支，且有a＝2，c＝3，b2＝c2－a2＝5，所以所求轨迹方程为x24－y25＝1(x≥2)．本例中圆的方程不变，若动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程．解：如图，设动圆半径为R，根据两圆外切的条件，得|MC2|＝R ＋1，|MC1|＝R＋3，则|MC 1|－|MC 2|＝2.这表明动点M 与两定点C 1，C 2的距离的差是常数2.根据双曲线的定义，动点M 的轨迹为双曲线的右支(点M 与C 1的距离大，与C 2的距离小)，这里a ＝1，c ＝3，则b 2＝8，设点M 的坐标为(x ，y )，则其轨迹方程为x 2－y 28＝1(x >0)．用定义法求轨迹方程的一般步骤(1)根据已知条件及曲线定义确定曲线的位置及形状(定形，定位)．(2)根据已知条件确定参数a ，b 的值(定参)．(3)写出轨迹方程并下结论(定论)．3.(1)若动点M 到A (－5，0)的距离与它到B (5，0)的距离的差等于6，则P 点的轨迹方程是( )A.x 29－y 216＝1B.y 29－x 216＝1C.x 29－y 216＝1(x <0)D.x 29－y 216＝1(x >0)(2) 如图，在△ABC 中，已知|AB |＝42，且三内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．解：(1)选D.由双曲线的定义得，P 点的轨迹是双曲线的一支．由已知得⎩⎨⎧2c ＝10，2a ＝6，所以a ＝3，c ＝5，b ＝4.故P 点的轨迹方程为x 29－y 216＝1(x >0)，因此选D.(2)以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A (－22，0)，B (22，0)．由正弦定理，得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．因为2sin A ＋sin C ＝2sin B ，所以2a ＋c ＝2b ，即b －a ＝c 2，从而有|CA |－|CB |＝12|AB |＝22<|AB |.所以a ＝2，c ＝22，b 2＝6，所以顶点C 的轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >0，y ≠0)．1．对双曲线标准方程的三点说明(1)标准方程中两个参数a 和b ，是双曲线的定形条件，确定了其值，方程也即确定．并且有b 2＝c 2－a 2，与椭圆中b 2＝a 2－c 2相区别．(2)焦点F 1，F 2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型，若x 2的系数为正，则焦点在x 轴上，若y 2的系数为正，则焦点在y 轴上．(3)在双曲线的标准方程中，因为a ，b ，c 三个量满足c 2＝a 2＋b 2，所以长度分别为a ，b ，c 的三条线段恰好构成一个直角三角形，且长度为c 的线段是斜边，如图所示．2．对双曲线定义的理解设M (x ，y )为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上的任意一点，左、右焦点分别为F 1，F 2.若点M 在双曲线的右支上，则|MF 1|>|MF 2|，|MF 1|－|MF 2|＝2a ；若点M 在双曲线的左支上，则|MF 1|<|MF 2|，|MF 1|－|MF 2|＝－2a .因此得到|MF 1|－|MF 2|＝±2a ，这与椭圆的定义中|MF 1|＋|MF 2|＝2a 是不同的．[注意] 双曲线定义中||PF 1|－|PF 2||＝2a (0<2a <|F 1F 2|)不要漏了绝对值符号，当2a ＝|F 1F 2|时表示两条射线．3．双曲线方程的其他形式(1)当双曲线的焦点所在坐标轴不易确定时可以将其设为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，将其化为标准方程，即x 21A ＋y 21B ＝1.因此，当A >0时，。
双曲线及其标准方程
回 顾 双曲线的标准方程：
x y 2 1(a 0, b 0) 2 a b
(C2=a2+b2)
2
2
F1
o
F2
y F1
y x 2 1(a 0, b 0) 2 a b
2
2
o
F2
x
方程建立的过程：
建立直角坐标系
设坐标
列等式 代坐标 化简方程 根据已知条件求双曲线的标准方程： (1) 确定焦点所在的位置，选择 标准方程的形式； (2) 求解 a ， b 的值，写出双曲线 的标准方程．
课本37页1、2、3、4、5
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不起の,壹个花花公子而已,倒是本皇の原始本尊竟然被你赤身抱过,待本皇下回找到你了,壹定切了你..."..."哈欠..."根汉正在寒冰上空练习浮华镜の使用方法,突然没来由の打了个噴涕,身子还打了壹个颤,不知道是不是哪里抽风了."难道有什么危险?"他相信自己本能の直觉,立即警惕の看着四周, 同时唤出了万法紫金青莲,以为有什么人要来袭击自己.打开天眼,扫视四周,根汉还真就有了壹丝发现."那边..."在北面,根汉发现有壹道人影,正在坚硬の寒冰中壹闪而过,不知道是什么东西,在冰面下晃了壹圈."有人?"根汉心中壹沉,那道人影闪过の速度极快,不过似乎并没有发现自己,正在急速向北 面而去,而北面の方向,正是寒晶绝壁の方向."难道那老家伙还没死?"根汉只是扫到了壹眼,那道人影就不见了,速度实在是太快,很显然有可能达到了圣人之境."闪..."根汉赶紧离开这里,用混沌青气裹着自己离开,浮华镜の使用他还没有找到门路,试验了好多次都失败了,想来不是壹时半会尔就可以成 功の.壹个时辰之后,根汉
双曲线标准方程
§2.3.1 双曲线的标准方程一、教学目标1.了解双曲线定义、标准方程；2.了解焦点、焦距、焦点位置与方程关系；二、教学重点 双曲线的定义及标准方程教学难点 区分标准方程的两种不同形式三、教学过程预习测评1.双曲线的定义：我们把平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数（小于21F F ）的点的轨迹叫做双曲线.说明：①常数小于21F F ；②这两个定点叫做双曲线的__________③这两焦点的距离叫双曲线的______________2. 双曲线的标准方程：形式一：12222=-by a x （a >0,b >0） 说明：此方程表示焦点在x 轴上的双曲线.焦点是F 1(－c ,0)、F 2(c ,0)，这里c 2=a 2+b 2.形式二：12222=-bx a y （a >0,b >0） 说明：此方程表示焦点在y 轴上的双曲线，焦点是F 1(0，－c )、F 2(0， c )， 这里c 2=a 2+b 2.总结:双曲线定义 （ ， 为定点， 为常数） 图形标准方程焦点坐标， ， 关系练习.判断下列方程是否表示双曲线？若是，求出c b a 、、及焦点坐标。
（1）12422=-y x （2）12222=-y x （3）12422-=-y x （4）)0,0(122>>=-n m ny m x例1 已知双曲线两个焦点的坐标为F 1（－5，0）、F 2（5，0），双曲线上一点P 到F 1、F 2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.变1. 若11222=+-+m y m x 表示双曲线，求m 的范围。
例2 设双曲线与椭圆1362722=+y x 有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，求此双曲线方程变2 求以椭圆192522=+y x 的长轴端点为焦点，且经过点P （24，3）的双曲线的标准方程。
例3.已知B A ,两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2s ，且声速为340s m /，求炮弹爆炸点的轨迹方程。
双曲线的标准方程
C y
|BC|－|AC|
| AB | = 4 ＜|AB|=8
A
∴点B的轨迹为A、B为焦点的 双曲线的左支 2c=8, 且2a=4, ∴顶点C的轨迹方程为
2 2
2
O
B
x
x y =1 ( x＜2 ) 令y=0得 x=2 － 4 12
1 2 c
本题也可直接用坐标表示 a b
作业:1.课本 P
67 2.已知动圆 ⊙ P 与 ⊙ F 1 : ( x 5 ) 2 y 2 3 6 内切,且 过点 F 2 ( 5 , 0 ) ,求动圆圆心 P 的轨迹方程.
x
x 4
2
习题 2.3B 组第 2 题
2
选做作业:
1.设 F 1 , F 2 是双曲线 且满足 F 1 P F 2
即
x 42 y 2
x 42 y 2
4
变式训练：
2.已知动圆 ⊙ P 与 ⊙ F 1 : ( x 5 ) y 36 内切,且 过点 F 2 (5, 0 ) ,求动圆圆心 P 的轨迹方程.
2 2
x
2
y
2
1 ( x 3)
9
16
例2:如果方程
x
2
线，求m的取值范围.
2 2
( x c) y ( x c) y 2a
2 2 2 2
( x c) y
2
2
2a
2
( x c) y
2
2
2
cx a a ( x c) y
2 2
2
(c a ) x a y a (c a )
双曲线的标准方程及其几何性质
2 2
x y
解析：由题意，设双曲线方程为2—2=
a a
例2、根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程.
(1)过点P(3,-.2)，离心率e5
2
⑵F1、F2是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上一点，双曲线离心率为2且
F1PF260，SpRF212 3.
解：(1)依题意，双曲线的实轴可能在x轴上，也可能在y轴上，分别讨论如下.
A.4
2
x
m212
1表示双曲线，则
k的取值范围是
B.
C.
D.
2
y
2
4 mB.2双Fra bibliotek线学a1的焦距是
C.
D.
m有关
2
_
k b2k
1与双曲线笃
a
判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x2、y2的分母的大小，而是x2、y2的系数
的符号，焦点在系数正的那条轴上•
3.双曲线的简单几何性质:
标准方程
2 2
xy‘
——1(a0,b0)ab
yx2
—2-21(a 0, b 0)
ab
图象
9
I
a, b,c关系
2 . 2 2a b c
范围
|x| a,y R
| y | a, x R
个数来确定。
(1)通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，考虑该一
元二次方程的判别式，则有：0直线与双曲线相交于两个点；0直线与
双曲线相交于一个点；0直线与双曲线无交点.
(2)若得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与双曲线相交于一个点，此时直线平 行于双曲线的一条渐近线.
双曲线及其标准方程
双曲线及其标准方程学科：数学教学内容：双曲线及其标准方程【基础知识精讲】1.双曲线的定义平面内与两定点F 1、F 2的距离差的绝对值是常数(大于零小于｜F 1F 2｜)的点的轨迹叫双曲线.两定点F 1、F 2是焦点，两焦点间的距离｜F 1F 2｜是焦距，用2c 表示.常数用2a 表示.(1)若｜MF 1｜-｜MF 2｜=2a 时，曲线只表示焦点F 2所对应的一支双曲线. (2)若｜MF 1｜-｜MF 2｜=-2a 时，曲线只表示焦点F 1所对应的一支双曲线.(3)若2a=2c 时，动点的轨迹不再是双曲线，而是以F 1、F 2为端点向外的两条射线. (4)若2a ＞2c 时，动点的轨迹不存在. 2.双曲线的标准方程22a x -22b y =1(a ＞0,b ＞0)焦点在x 轴上的双曲线；22a y -22bx =1(a ＞0,b ＞0)焦点在y 轴上的双曲线. 判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x 2、y 2的分母的大小，而是x 2、y 2的系数的符号，焦点在系数正的那条轴上.本节学习方法：本节要紧数学思想和方法：方程思想，利用双曲线的定义等条件求双曲线方程.常用特定系数法、定义法和轨迹法等.双曲线和椭圆一样，差不多上解析几何的重要部分，双曲线的学习可通过与椭圆对比去把握.它与直线、圆联系紧密，涉及到距离公式、弦长问题，面积公式及方程中的韦达定理等知识，也是高考的重点内容. 【重点难点解析】1.双曲线的定义，标准方程与椭圆类似，本小节在数学思想和方法上没有新内容，学习中应着重对比椭圆与双曲线的相同点和不同点，专门是它们的不同点.2.与建立椭圆的标准方程一样，建立双曲线的标准方程是，从“平面内到两定点的距离差的绝对值是常数(与椭圆不同，那个常数要大于0且小于｜F 1F 2｜)的点M 的轨迹”那个双曲线的定义动身，推导出它的标准方程.推导过程说明，双曲线上任意一点的坐标都适合方程22a x -22b y =1；但关于坐标适合方程22a x -22by =1的点都在双曲线上，即完备性未加以证明. 例1 若方程m x -22+3m y 2-=1表示双曲线，则实数m 的取值范畴是( )A.-3＜m ＜2或m ＞3B.m ＜-3或m ＞3C.-2＜m ＜3D.-3＜m ＜3或m ＞3分析 该方程表示双曲线，则x 2与y 2项的系数的符号相反，即(2-m)(｜m ｜-3)＜0，将问题转化为不等式的求解.答：A例2 求与椭圆252x +92y =1共焦点，且过点(32，7)的双曲线的方程.分析一 由题意知所求双曲线的焦点在x 轴上，且焦距为8，∴c=4,设所求双曲线方程为2216λ-x -22λy =1代入点(32，7)，得λ2=7，故所求双曲线方程为92x -72y =1.分析二 运用与椭圆共焦点的曲线系方程.设所求双曲线方程为λ-252x +λ-92y =1，代入点(32，7)，得λ=16或λ=-7(舍)，故所求双曲线方程为92x -72y =1.例3 课本第108页习题8.3第一题：△ABC 一边的两个端点是B(0，6)和C(0，-6)，另两边所在直线的斜率之积是94，求顶点A 的轨迹. 分析 其顶点A 的轨迹方程求得：362y -812x =1(x ≠0).若将问题一样化：B(0，a)、C(0，-a) k AB ·k AC =22b a ，则顶点A 的轨迹方程为：22a y -22b x =1(x ≠0).若B(bcot φ，acos φ)、C(-cotφ，-acsc φ).k AB ·k AC =22ba ，则顶点A 的轨迹会是如何样?反之，双曲线22a y -22b x =1(x ≠0)上任一点到B(0，a)，C(0，-a)两点的连线的斜率之和，等于22b a ;若改变B 、C 的位置保持B 、C 两点关于原点对称于双曲线上，k AB ·k AC =22ba 是否成立.总之，同学们在学习过程中要多动手、多摸索，举一反三，做到“以点代面，以少胜多”.【难题巧解点拨】例1 一动圆与圆(x+3)2+y 2＝1外切又与圆(x-3)2+y 2＝9内切，求动圆圆心轨迹方程. 分析 如图，设动圆M 与⊙O 1外切于A ，与⊙O 2内切于B ，由位置关系可得数量关系：｜MO 1｜＝｜MA ｜+1 ｜MO 2｜＝｜MB ｜-3 由｜MA ｜＝｜MB ｜可得｜MO 1｜-｜MO 2｜＝4 由定义可知M 点轨迹为双曲线的一支.解：如图，设动圆圆心M 坐标为M(x,y)，圆M 与圆O 1外切于A ，与圆O 2内切于B ，则，MO 1＝｜MA ｜+1①，｜MO 2｜＝｜MB ｜-3②，①-②：｜MO 1｜-｜MO 2｜＝4由双曲线定义知，M 点轨迹是以O 1(-3，0)O 2(3，0)为焦点2a ＝4的双曲线的右支 ∴b 2＝32-22＝5∴所求轨迹方程为：42x -52y ＝1(x ≥2)说明：在求轨迹方程时，要注意使用曲线的定义，现在的思路：位置关系(内切，外切)数量关系(｜MO 1｜＝r+r 1,｜MO 2｜＝r-r 2其中r 为动圆半径)曲线形状(写出标准方程)，能够简化运算.同时应注意定义中是到两定点距离的绝对值，现在不含绝对值，要求｜MO 1｜>｜MO 2｜，因此是双曲线的右支，而不是整个双曲线.例2 过双曲线92x -162y ＝1的右焦点作倾角为45°的弦，求弦AB 的中点C 到右焦点F的距离，并求弦AB 的长.分析 将直线方程与双曲线方程联立，求出A 、B 两点的坐标，再求其中点，由两点的距离公式求出｜CF ｜.解：∵双曲线的右焦点为F(5，0)，直线AB 的方程为y ＝x-5，故消去y ，并整理得 7x 2+90x-369＝0 ③此方程的两个根x 1、x 2是A 、B 两点的横坐标，设AB 的中心点C 的坐标为(x,y)，则x ＝221x x +＝2790-＝-745.C 点的坐标满足方程②，故 y ＝-745-5＝-780∴｜CF ｜＝22)780()7455(++＝2(5+745) ＝7280又设A 点坐标为(x 1,y 1),B 点坐标为(x 2,y 2)，则y 1＝x 1-5,y 2＝x 2-5. ∴y 1-y 2＝x 1-x 2，｜AB ｜＝221221)()(y y x x -+-＝221221)()(x x x x -+- ＝221)(2x x -＝]4)[(221221x x x x -+ 由方程③知 x 1+x 2＝-790,x 1·x 2＝-7369 ∴｜AB ｜＝]71476498100[2+ ＝4936860＝7192＝2773 点评：利用韦达定理及两点间距离公式求弦长.【命题趋势分析】双曲线与直线、圆和椭圆联系紧密，涉及到距离公式、弦长及面积公式、方程中的韦达定理和判别式的运用；还涉及到弦的中点轨迹问题、中点弦问题，对称问题与最值问题等差不多上高考的重要内容.如“能力演练”中有许多曾是高考题或样题，同学们在学习中应该重基础知识和差不多的数学思想数学方法的运用.训练能力，创新思维，做到举一反三.触类旁通.【典型热点考题】例1 设F 1和F 2为曲线42x -y 2=1的两个焦点，点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2=90°，则求△F 1PF 2的面积.分析一 依题意求出P 点的纵坐标，据面积公式运算△F 1PF 2的面积. 设P(x 1,y 1),由PF 1⊥PF 2得511+x y ·511-x y =-1即 y 21=5-x 21又 x 21-4y 21=4 联立解得y 1=±55 ∴21PF F S △=21｜F 1F 2｜·｜y 1｜=21·2c ·55 =1分析二 运用双曲线定义解题 由点P 在双曲线上，知｜｜PF 1｜-｜PF 2｜｜=4且｜PF 1｜2+｜PF 2｜2=20 联立解得｜PF 1｜·｜PF 2｜=2 ∴21PF F S △=21｜PF 1｜·｜PF 2｜=1 例2 已知l 1、l 2是过点P(-2，0)的两条互相垂直的直线，且l 1、l 2与双曲线y 2-x 2=1各有两个交点，分别为A 1、B 1和A 2、B 2.(1)求l 1的斜率k 1的取值范畴.(2)若｜A 1B 1｜=5｜A 2B 2｜；求l 1、l 2的方程.分析 设直线斜率为k ，联立方程组求解.(1)因为若l 1、l 2中有一条斜率不存在，就可推出另一条斜率为零而与双曲线不相交，因此l 1、l 2的斜率k 1、k 2均不为零.设l 1:y=k 1(x+2), l 2:y=-11k (x+2) 把它们代入双曲线方程分别得 (k 21-1)x 2+22k 21x+2k 21-1=0①(k 21-1)x 2-22x+k 21-2=0②当k 1=±1时，方程①、②均为一次方程不符合题意， 因此，当k 1≠±1时由①、②的判别式都大于零得⎪⎩⎪⎨⎧>->-041204122121k k k 1∈(-3，-33)∪(33，3)且k 1≠±1 (2)由①、②可知｜A 1B 1｜ =211k +·212214)(x x x x -+=211k +·22121)1(412--k k ｜A 2B 2｜=211k +·22121)1(412--k k∵｜A 1B 1｜=5｜A 2B 2｜∴解得 k 1=±2,k 2=±22 ∴所求直线方程为 l 1:y=2(x+2),l 2:y=-22(x+2) 或l 1:y=-2 (x+2),l 2:y=22(x+2). 例3 如图，给出定点A(a,0)，(a ＞0)和直线l :x=-1.B 是直线l 上的动点，∠BOA 的角平分线交AB 于C.求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 值的关系.分析 设B(-1，y 0)，C(x,y)，由角平分线的性质有CB AC =OB OA ,当y 0≠0时，又由平行线性质有CBAC =EDAE =BFFD =BFCE∴OBOA =EDAE =BFCE即有21y a+=1+-x x a =yy y -0 (易知y 与y 0-y 同号，0＜x ＜a) 由21y a+=1+-x xa 得 a 2(x+1)2=(a-x)2(1+y 20) ① 又由1+-x x a =y y y -0得y 0=xa a -+1·y②由①、②消去y 0并整理得(1-a)x 2-2ax+(1+a)y 2=0 ③当y 0=0时易知点C 即为原点，现在x=0，y=0，亦满足③，故所求点C 的轨迹方程是：(1+a)x 2-2ax+(1+a)y 2=0(0≤x ＜a)④(1)当a=1时，方程为y 2=x(0≤x ＜1) 表示抛物线弧段.(2)当a ≠1时，④变形为22)1()1(a a a a x ---+2221a a y -＝1(0≤x ＜a) 当0＜a ＜1时，方程④表示椭圆弧段； 当a ＞1时，方程④表示双曲线一支的弧段.【同步达纲检测】A 级一、选择题 1.设θ∈(43π，π)则方程x 2·cos θ-y 2sec θ=1所表示的曲线是( ) A.焦点在x 轴上的双曲线 B.焦点在y 轴上的椭圆C.焦点在x 轴上的椭圆D.焦点在y 轴上的双曲线2.假如双曲线92x -y 2=1的两个焦点为F 1、F 2，A 是双曲线上一点，且｜AF 1｜=5，那么｜AF 2｜等于( )A.5+10B.5+210C.8D.113.与两圆x 2+y 2=1和x 2+y 2-8x+7=0都相切的圆的圆心轨迹是( ) A.两个椭圆 B.两条双曲线C.一条双曲线和一条直线D.一个椭圆与一条双曲线4.以椭圆32x +42y =1的焦点为顶点，以那个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的方程是( )A.32x -y 2=1B.y 2-32x =1 C.32x -42y =1D. 32y -42x =15.设动点P 到定点F 1(-5，0)的距离与它到定点F 2(5，0)的距离的差等于6，则P 点轨迹方程是( )A. 92x -162y =1B. 92y -162x =1C. 92x -162y =1(x ≥3)D. 92y -162x =1(x ≤-3)二、填空题6.若椭圆mx 2+ny 2=1(0＜m ＜n)和双曲线ax 2-by 2=1(a ＞0,b ＞0)有相同的焦点F 1、F 2，P 是两曲线的一个交点，则｜PF 1｜·｜PF 2｜= .7.过点A(-23，42)、B(3，-25)的双曲线的标准方程为 . 8.与双曲线16x 2-9y 2=-144有共同焦点，且过点(0，2)的双曲线方程为 . 三、解答题9.已知点A(3，0)，圆C ：(x+3)2+y 2=16，动圆P 与圆C 相外切并过点A ，求动圆圆心P 的轨迹方程.10.在双曲线x 2-y 2=1上求一点P ，使它到直线y=x 的距离为2.AA 级一、选择题1.直线l 过双曲线22a y -22bx =1的下方焦点F 1且与双曲线的下支交于A 、B 两点，F 2是双曲线的另一个焦点，且｜AB ｜=m,则△ABF 2的周长为( )A.4a+mB.4a+2mC.4a-mD.4a-2m2.若曲线x 2-y 2=a 2与曲线(x-1)2+y 2=1恰好有三个不同的公共点，则实数a 的值只能是( )A.a=0B.a=±1C.0＜｜a ｜＜1D.｜a ｜＞13.若a m x +32+am y -42=1表示双曲线，a 为负常数，则m 的取值范畴是( )A.(3a ,-4a) B.(4a ,-3a) C.(-∞,-4a )∪(3a,+∞)D.(- 3a ,4a )4.依次连接双曲线x 2-y 2=12与圆x 2+y 2=25的交点，则所成的图形是( ) A.三角形 B.菱形 C.矩形 D.正方形5.斜率为2的直线与双曲线2x 2-y 2=2交于P 、Q 两点，则线段PQ 的中点M 的轨迹方程是( )A.y=xB.y=x(｜x ｜＞2)C.y=x(｜x ｜＞22)D.y=x(｜x ｜≥2 )二、填空题6.已知B(-5，0)，C(5，0)是△ABC 的两个顶点，且sinB-sinC=53sinA,则顶点A 的轨迹方程是.7.已知双曲线22a x -22by =1(a ＞0,b ＞0)的弦AB 的中点为M ，O 为坐标原点，则直线OM和直线AB 的斜率的乘积为.8.关于x 的方程12 x =x+b 没有实数根，则实数b 的取值范畴是 . 三、解答题9.已知不论b 取何实数，直线y=kx+b 与双曲线x 2-2y=1总有公共点，试求实数k 的取值范畴.10.双曲线3x 2-y 2=1上是否存在关于直线=2x 对称的两点A 、B?若存在，试求出A 、B 两点的坐标；若不存在，说明理由.【素养优化训练】1.平面内有一条定线段AB ，其长度为4，动点P 满足｜PA ｜-｜PB ｜=3,O 为线段AB 的中点，则｜OP ｜的最小值是( )A.1B.23C.2D.42.P 为双曲线C 上的一点，F 1、F 2是双曲线C 的两个焦点，过双曲线C 的一个焦点作∠F 1PF 2的平分线的垂线，设垂足为Q ，则Q 点的轨迹是( )A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线3.给出下列曲线：①4x+2y-1=0;②x 2+y 2=3;③22x +y 2=1;④22x -y 2=1，其中与直线y=-2x-3有交点的所有曲线是( )A.①③B.②④C.①②③D.②③④4.若动圆P 与两定圆(x+5)2+y 2=1及(x-5)2+y 2=49都相内切或都相外切，则动圆圆心轨迹方程是( )A. 32x -42y =1B.32x -42y =1(x ＞0)C.92x -162y =1D.92x -162y =1(x ＞0)5.已知m,n 为两个不相等的非零实数，则方程mx-y+n=0与nx 2+my 2=mn 所表示的示意曲线是( )二、填空题6.已知双曲线x 2-32y =1,过点P(2，1)作直线交双曲线于A 、B 两点，并使P 为AB 的中点，则｜AB ｜= .7.若圆C 过双曲线92x -162y =1的两焦点，且截直线y=-1所得弦长为8，则圆C 的方程为 .8.过点M(3，-1)且被点M 平分的双曲线42x -y 2=1的弦所在直线方程为 .三、解答题9.若双曲线y 2-x 2=1上的点P 与其焦点F 1、F 2的连线互相垂直，求P 点的坐标.10.设k 和r 是实数，且r ＞0，使得：直线y=kx+1既与圆x 2+y 2=r 2相切，又与双曲线x 2-y 2=r 2有两个交点.(1)求证：21r-k 2=1,且｜k ｜≠1; (2)试问：直线y=kx+1能否通过双曲线x 2-y 2=42的焦点?什么缘故?【生活实际运用】活动1：求证直线y=kx+m 与双曲线22a x +22by =1相切的充要条件是：m 2=a 2·k-b 2若过双曲线上一点P(x 0,y 0)斜率为k 的切线为y=kx+y 0-kx 0,其中m=y 0-kx.且b 2x 20-a 2b 2,联立可解得斜率k=0202y a x b (y ≠0),代入切线方程可得过点P(x 0,y 0)双曲线的切线方程为20a x x -20byy =1 专门地，当y 0=0时亦合上面的方程.活动2：运用上面结论可求过双曲线22a x -22by =1上一点(x 0,y 0)的切线方程与法线方程，若双曲线方程为22a y -22bx =1时，过曲线上点(x 0,y 0)的切线和法线方程又是如何样?【知识验证实验】1.运用双曲线定义解方程｜｜x-3｜-｜x+3｜｜=2.解：该方程的解是以(-3，0)，(3，0)为焦点，2为实轴长的双轴线与x 轴交点的横坐标，其方程为x 2-82y =1，令y=0得x=±1，即原方程的解为x=±1. 2.运用双曲线图形解无理不等式212-x ＞x+1解：令y 1=212-x ,y 2=x+1，即x 2-421y =1(y 1≥0),在同一坐标系中画出两图形，使得双曲线的部分在直线部分上方的x 的值为原不等式的解.故原不等式的解集为(-∞，-1). 【知识探究学习】1.设声速为a 米/秒，在相距10a 米的A 、B 两监听室中，听到一爆炸声的时刻差为6秒，且纪录到B 处的声强是A 处的4倍，若已知声速a=340米/秒，声强与距离的平方成反比，试确定爆炸点P 到AB 的中点M 的距离.解：以AB 所在直线为x 轴，以线段AB 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系，则A(-5a ，0)，B(5a,0)，P(x,y)，｜PA ｜-｜PB ｜=6a ，到A 、B 两点距离差为6a 的点在双曲线，22)3(a x -22)4(a y =1(x ≥3a)上 ①, 又B 处的声强是A 处声强的4倍，∴｜PA ｜2=4｜PB ｜2,即(x+5a)2+y 2=4［(x-5a)2+y 2］，3x 2+3y 2-50ax+75a 2=0 ②，由①、②消去y,得25x 2-150ax+81a 2=0，x=527a 或x=53a(舍去)，y=5896a ，∴｜PM ｜=22)5896()527(a a +=65a=34065(米)， 答：P 点到AB 中点M 的距离为34065米.2.如图所示，某农场在P 处有一肥堆，今要把这堆肥沿道路PA 或PB 送到大田ABCD 中去，已知AP=100m ，PB=150m,∠APB=60°，能否在大田中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿PA 送肥较近，而另一侧的点沿PB 送肥较近?如能，请确定这条界线.解题思路：大田ABCD 中的点分成三类：第一类设PA 送肥较近，第二类沿PB 送肥较近，第三类沿PA 和PB 送肥一样远近，第三类构成第一类、第二类点的界线，即我们所要求的轨迹，设以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系，设M 为界线所在曲线上的一点，则满足｜PA ｜+｜AM ｜=｜PB ｜+｜BM ｜,因此｜MA ｜-｜MB ｜=｜PB ｜-｜PA ｜=50.可知M 点的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线一支其方程可求得为6252x -37502y =1.(0≤y ≤60，25≤x ≤35)界线为双曲线在矩形中的一段.参考答案：【同步达纲检测】A 级1.D2.D3.C4.B5.C6. m 1-a17.42x -162y =1 8. 42y -212x =19.解：设P(x,y),依题意有｜PC ｜=｜PA ｜+4，∴P 点的轨迹是以C(-3，0)，A(3，0)为焦点，且实轴长为4的双曲线的右支、其方程为42x -52y =1(x ≥2)10.解：设P(csc θ,cot θ)，则2cot csc θ-θ=2∴,θθsin cos 1- =±2，∴tan 2θ=±2，由万能公式求得P(±45,±43)AA 级1.B2.A3.B4.C5.B6. 92x -162y =1(x ＜-3) 7. 22ab 8.(-∞,-1)∪［9，1］9.解：联立方程组⎩⎨⎧=-+=1222y x b kx y 消去y 得(2k 2-1)x 2+4kbx+2b 2+1=0,依题意有△=(4kb)2-4(2k 2-1)(2b 2+1)=-4(2k 2-2b 2-1)＞0，对所有实数b 恒成立，∴2k 2-1＜0，得-2k ＜k＜22 10.解：设AB ：y=-21x+m,代入双曲线方程得11x 2+4mx-4(m 2+1)=0,那个地点△=(4m)2-4×11［-4(m 2+1)］=16(2m 2+11)＞0 恒成立，设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),AB 的中点为M(x 0,y 0,)则x 1+x 2=-11m4，∴x 0=-112m ,y 0=-21x 0+m=1112m ,若A 、B 关于直线y=2x 对称，则M 必在直线y=2x 上，∴1112m =-114m得m=1，由双曲线的对称性知，直线y=-21x 与双曲线的交点的A 、B 必关于直线y=2x 对称.∴存在A 、B 且求得A(112，-111)，B(-112，111)【素养优化训练】1.B2.B3.D4.C5.C6.43374 7.x 2+(y-4)2=41 8.3x+4y-5=0 9.解：设P(x,y),∵F 1(0,-2),F 2(0, 2),∴1PF k =x y 2+,2PF k =xy 2-,∵x y 2+·x y 2-=-1,即x 2+y 2=1,又y 2-x 2=1，∴x=±22,y=±26,∴P 的坐标为(22，26)，(22，-26)，(-22，26)和(-22，-26) 10.解(1)因为直线y=kx+1与圆x 2+y 2=r 2相切，因此有1k 10k 02++-•=r,∴2k11+=r 2,∵r 2≠0,∴21r-k 2=1，又由于直线y=kx+1与双曲线x 2-y 2=r 2相交，故交点坐标(x,y)满足方程组⎩⎨⎧=-+=2221r y x kx y ②①,将①代入②得(1-k 2)x 2-2kx-(1+r 2)=0 ③,因直线与双曲线有两个交点，且对任意实数k ，直线不平行y 轴，故③有两个不同的实数根，因此1-k 2≠1,∴｜k ｜≠1(2)双曲线x 2-y 2=r 2的过点是F 1(-2r,0),F 2(2r,0)，若直线y=kx+1过点F 1,则 -2rk+1=0,即k=r21-，又由(1)结论21r -k 2=1得k 2=1与｜k ｜≠1矛质.故直线y=kx+1不可能过双曲线x 2-y 2=r 2的左焦点，同理可得，直线y=kx+1也不可能过双曲线x 2-y 2=r 2的右焦点.。
(完整版)双曲线及其标准方程详解
2．2 双曲线2．2.1 双曲线及其标准方程【课标要求】1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程． 2．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题． 【核心扫描】1．用定义法、待定系数法求双曲线的标准方程．(重点) 2．与双曲线定义有关的应用问题．(难点)自学导引1．双曲线的定义把平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．试一试：在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F 1F 2|”，那么“常数等于|F 1F 2|”，“常数大于|F 1F 2|”或“常数为0”时，动点的轨迹是什么？提示 (1)若“常数等于|F 1F 2|”时，此时动点的轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线F 1A ，F 2B (包括端点)，如图所示．(2)若“常数大于|F 1F 2|”，此时动点轨迹不存在．(3)若“常数为0”，此时动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线． 2．双曲线的标准方程焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 标准方程 x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0)焦点坐标 F 1(－c,0)，F 2(c,0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2想一想：如何判断方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)所表示双曲线的焦点的位置？提示 如果x 2项的系数是正的，那么焦点在x 轴上，如果y 2项的系数是正的，那么焦点在y 轴上．对于双曲线，a 不一定大于b ，因此，不能像椭圆那样比较分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．名师点睛1．对双曲线定义的理解(1)把定常数记为2a ，当2a <|F 1F 2|时，其轨迹是双曲线；当2a ＝|F 1F 2|时，其轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线(包括端点)；当2a >|F 1F 2|时，其轨迹不存在．(2)距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．若F 1、F 2表示双曲线的左、右焦点，且点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2a ，则点P 在右支上；若点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2a ，则点P 在左支上．(3)双曲线定义的表达式是|||PF 1|－|PF 2|＝2a (0<2a <|F 1F 2|)．(4)理解双曲线的定义要紧扣“到两定点距离之差的绝对值为定值且小于两定点的距离．”2．双曲线的标准方程(1)只有当双曲线的两焦点F 1、F 2在坐标轴上，并且线段F 1F 2的垂直平分线也是坐标轴时得到的方程才是双曲线的标准方程．(2)标准方程中的两个参数a 和b ，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b 2＝c 2－a 2，与椭圆中b 2＝a 2－c 2相区别，且椭圆中a >b >0，而双曲线中a 、b 大小则不确定．(3)焦点F 1、F 2的位置，是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x 2项的系数为正，则焦点在x 轴上；若y 2项的系数为正，那么焦点在y 轴上．(4)用待定系数法求双曲线的标准方程时，如不能确定焦点的位置，可设双曲线的标准方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)或进行分类讨论.题型一 求双曲线的标准方程 【例1】 根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)经过点P ⎝⎛⎭⎫3，154，Q ⎝⎛⎭⎫－163，5； (2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．[思路探索] 由于(1)无法确定双曲线焦点的位置，可设x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)两种情况，分别求解．另外也可以设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)或x 2m ＋y 2n＝1(mn <0)，直接代入两点坐标求解．对于(2)可设其方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)或x 2λ－y 26－λ＝1(0<λ<6)．解 (1)法一 若焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由于点P ⎝⎛⎭⎫3，154和Q ⎝⎛⎭⎫－163，5在双曲线上， 所以⎩⎨⎧9a 2－22516b 2＝1，2569a 2－25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－16，b 2＝－9(舍去)．若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，将P 、Q 两点坐标代入可得⎩⎨⎧22516a 2－9b 2＝1，25a 2－2569b 2＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16，所以双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.法二 设双曲线方程为x 2m ＋y 2n＝1(mn <0)．∵P 、Q 两点在双曲线上，∴⎩⎨⎧9m ＋22516n＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－16，n ＝9.∴所求双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.(2)法一 依题意，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．依题设有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝6，25a 2－4b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝1，∴所求双曲线的标准方程为x 25－y 2＝1.法二 ∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5,2)， ∴25λ－46－λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线的标准方程是x 25－y 2＝1.规律方法 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程的形式，然后用待定系数法求出a ，b 的值．若焦点位置不确定，可按焦点在x 轴和y 轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，通过解方程组即可确定m 、n ，避免了讨论，实为一种好方法．【变式1】 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a ＝3，c ＝4，焦点在x 轴上；(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A (－5,6)． 解 (1)由题设知，a ＝3，c ＝4，由c 2＝a 2＋b 2，得b 2＝c 2－a 2＝42－32＝7.因为双曲线的焦点在x 轴上，所以所求双曲线的标准方程为x 29－x 27＝1.(2)由已知得c ＝6，且焦点在y 轴上．因为点A (－5,6)在双曲线上，所以点A 与两焦点的距离的差的绝对值是常数2a ，即2a ＝|(－5－0)2＋(6＋6)2－(－5－0)2＋(6－6)2|＝|13－5|＝8，则a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝62－42＝20.因此，所求双曲线的标准方程是y 216－x 220＝1.2.若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞n ＞0)和双曲线x 2a －y 2b＝1(a ＞0，b ＞0)有相同的焦点，P 是两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值为( )A ．m －aB ．m －bC ．m 2－a 2D ．m －bA 解析：设点P 为双曲线右支上的点，由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2m ． 由双曲线定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ．∴|PF 1|＝m ＋a ，|PF 2|＝m －a ． ∴|PF 1|·|PF 2|＝m －a ．题型二 双曲线定义的应用【例2】如图，若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离； (2)若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2[思路探索] (1)由双曲线的定义，得||MF 1|－|MF 2||＝2a ，则点M 到另一焦点的距离易得； (2)结合已知条件及余弦定理即可求得面积．解 双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1，故a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.(1)由双曲线的定义，得||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝6，又双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，假设点M 到另一个焦点的距离等于x ，则|16－x |＝6，解得x ＝10或x ＝22.故点M 到另一个焦点的距离为6 或22.(2)将||PF 2|－|PF 1||＝2a ＝6，两边平方，得 |PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝ 36＋2×32＝100.在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝100－1002|PF 1|·|PF 2|＝0，∴∠F 1PF 2＝90°， ∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16.规律方法 (1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF 1|－|PF 2||＝2a 求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c －a )．(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用．【变式2】1．已知双曲线的方程是x 216－y 28＝1，点P 在双曲线上，且到其中一个焦点F 1的距离为10，点N 是PF 1的中点，求|ON |的大小(O 为坐标原点)．1．解：连接ON ，ON 是△PF 1F 2的中位线，所以|ON |＝12|PF 2|．因为||PF 1|－|PF 2||＝8，|PF 1|＝10，所以|PF 2|＝2或18，|ON |＝12|PF 2|＝1或9．2．设P 为双曲线x 216－y29＝1上一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，若∠F 1PF 2＝60°，求△PF 1F 2的面积．解：由方程x 216－y 29＝1，得a ＝4，b ＝3，故c ＝16＋9＝5，所以|F 1F 2|＝2c ＝10．又由双曲线的定义，得||PF 1|－|PF 2||＝8，两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|＝64．①在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°， 即|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1||PF 2|＝100．② ①－②，得|PF 1||PF 2|＝36，所以12PF F S ∆＝12|PF 1||PF 2|sin 60°＝12×36×32＝93．3.已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．解 由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5.由定义和余弦定理，得|PF 1|－|PF 2|＝±6， |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°， 所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 所以|PF 1|·|PF 2|＝64，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3.误区警示 忽略双曲线焦点位置致误【示例】 方程x 22－m ＋y 2|m |－3＝1表示双曲线，那么m 的取值范围是________．[错解] 由⎩⎪⎨⎪⎧2－m >0，|m |－3<0解得－3<m <2，∴m 的取值范围是{m |－3<m <2}．只考虑焦点在x 轴上，忽视了焦点在y 轴上的情况．[正解] 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 2－m >0|m |－3<0或⎩⎪⎨⎪⎧2－m <0，|m |－3>0，解得－3<m <2或m >3.∴m 的取值范围是{m |－3<m <2或m >3}． 答案 {m |－3<m <2或m >3}方程x 2m ＋y 2n＝1既可以表示椭圆又可以表示双曲线．当方程表示椭圆时，m 、n 应满足m >n >0或n >m >0，当m >n >0时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆；当n >m >0时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆．当方程表示双曲线时，m 、n 应满足mn <0，当m >0，n <0时，方程表示焦点在x 轴上的双曲线；当m <0，n >0时，方程表示焦点在y 轴上的双曲线. 当堂检测1．平面内有两个定点F 1(－5,0)和F 2(5,0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝6，则动点P 的轨迹方程是( )A ．22=1169x y -(x ≤－4) B ．22=1916x y -(x ≤－3) C ．22=1169x y -(x ≥4) D ．22=1916x y -(x ≥3) 答案：D 解析：由已知动点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的右支，且a ＝3，c ＝5，b 2＝c 2－a 2＝16，∴所求轨迹方程为22=1916x y -(x ≥3)． 2．已知双曲线为22=12x y λ+，则此双曲线的焦距为( ) AB．CD．答案：D 解析：由已知λ＜0，a 2＝2，b 2＝－λ，c 2＝2－λ，∴焦距2c = 3．已知双曲线22=1169x y -上的点P 到(5,0)的距离为15，则点P 到点(－5,0)的距离为( ) A ．7 B ．23 C ．5或25 D ．7或23 答案：D 解析：设F 1(－5,0)，F 2(5,0)， 则由双曲线的定义知：||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝8，而|PF 2|＝15，解得|PF 1|＝7或23．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－6,0)和C (6,0)，顶点B 在双曲线22=12511x y -的左支上，则sin sin sin A C B-＝______． 答案：56解析：如图，||||sin sin ||||210522||sin ||21262BC AB A C BC AB a RR AC B AC c R---=====．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22=1412x y-上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为__________．答案：4 解析：设右焦点为F ，则点F 的坐标为(4,0)．把x ＝3代入双曲线方程得y ＝±15，即M 点的坐标为(3，±15)．由两点间距离公式得|MF|＝(3－4)2＋(±15－0)2＝4．。
双曲线其标准方程
焦点与顶点关系
双曲线的焦点到顶点的距离等于c，其中a为横轴长度，b 为纵轴长度，c² = a² + b²。
双曲线的切线性质
切线斜率
对于双曲线上的任意一点P，其切线的斜率k满足k = -e²/((1+e²)(1-e²))。其中e为离心率。
双曲线及其标准方程
• 双曲线的定义 • 双曲线的几何性质 • 双曲线的标准方程 • 双曲线的应用 • 双曲线的扩展知识
目录
01
双曲线的定义
平面上的双曲线
平面上的双曲线由两条开口不 相同的抛物线组成，它们关于x 轴或y轴对称。
双曲线的两个顶点位于x轴或y 轴上，顶点之间的距离称为焦 距。
双曲线的实轴和虚轴分别与x轴 和y轴重合。
双曲线的渐近线
• 渐近线：双曲线有两条渐近线，它们是直线，与 双曲线无限接近但不相交。渐近线的斜率等于离 心率。
双曲线的对称性
• 对称性：双曲线具有对称性，它关于原点对称，也关于两 个渐近线对称。
03
双曲线的标准方程
焦点在x轴上
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
总结词
当双曲线的焦点位于x 轴上时，其标准方程为 $frac{x^2}{a^2} frac{y^2}{b^2} = 1$， 其中$a$和$b$是常数， 分别表示双曲线的实半 轴和虚半轴的长度。
空间中的双曲面
空间中的双曲面是一种三维几何 图形，由两个开口的旋转抛物面 组成，它们关于x轴、y轴或z轴
对称。
双曲面的两个顶点位于x轴、y轴 或z轴上，顶点之间的距离称为
焦距。
双曲面的实轴和虚轴分别与x轴、 y轴或z轴重合。
双曲线的方程
已知双曲线
x2 a2
y2 b2
=1,P
为双曲线上一点且∠F1PF2=θ,求△PF1F2
的面积.
思路分析:在焦点三角形中,充分利用双曲线的定义和三角形的边
角关系、余弦定理、正弦定理来求解.
解:由面积公式知 S
PF1F2
1 |PF1|·|PF2|·sin 2
∠F1PF2,首先用余弦
定理求出|PF1|·|PF2|的值,因为 cos ∠F1PF2= | PF1 |2 | PF2 |2 -|F1F2 |2 2 | PF1 | | PF2 |
一、双曲线的定义
若点 F1(-c,0),F2(c,0)(c>0 且为常数)为两个不同的定点,且动点 M 满 足|MF1|-|MF2|=2a(2a≥0 且 a 为常数).求动点 M 的轨迹.
思路分析:要紧扣双曲线的定义,注意题目中的两个字母 c,a 的关系, 根据不同的大小关系分类讨论.
解:若 2a>2c>0,则点 M 的轨迹不存在.
2.在求双曲线的方程时,若不知道焦点的位置,则进行讨论,或设双 曲线的方程为 Ax2+By2=1(AB<0).
3. 与 双 曲 线 x2 y2 =1 共 焦 点 的 双 曲 线 的 标 准 方 程 可 设 为 a2 b2
x2 y2 =1(-b2<λ<a2). a2 λ b2 λ
四、双曲线定义的应用
求得 a,b,从而求得双曲线的标准方程.注意平方关系 c2=a2+b2 的运用.
解:(1)由已知,可设所求双曲线方程为
y2 a2
x2 b2
=1(a>0,b>0),则
32 9 a2 b2 1,
25 81 a2 16b2
双曲线的方程
【分析】利用两圆内、外切的充要条件找出M点满足的 分析】利用两圆内、外切的充要条件找出 点满足的 几何条件，结合双曲线定义求解. 几何条件，结合双曲线定义求解
【解析】如图，设动圆M的半径为 ，则由已知 解析】如图，设动圆 的半径为 的半径为r， |MC1|=r+ 2，|MC2|=r- 2， ∴|MC1|-|MC2|=2 2 . ），C 又C1（-4，0）， 2（4，0）， ， ）， ， ）， ∴|C1C2|=8， ， ∴2 2 ＜|C1C2|. 根据双曲线定义知， 的轨迹是以C 根据双曲线定义知，点M的轨迹是以 1（-4，0）,C2 的轨迹是以 ， ） （4，0）为焦点的双曲线的右支 ， ）为焦点的双曲线的右支. ∵a= 2，c=4，∴b2=c2-a2=14. ， x2 y2 - =1 （x≥ ）. ∴点M的轨迹方程是 的轨迹方程是 2 2 14
• [点评与警示] 在解(证)的过程中，充分利用 双曲线的定义及图形的平面几何知识是解题 的关键．
[解]
如图，由双曲线方程可知 2a＝4,2c＝2 5.
∴|F1F2|2＝20.由双曲线定义有||PF1|－|PF2||＝4. 两边平方得 |PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝16①
由余弦定理，有 |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°
＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝20② 由①②可得|PF1|·|PF2|＝20－16＝4 1 1 3 ∴S△PF1F2＝ |PF1|·|PF2|sin60°＝ ×4× ＝ 3. 2 2 2
x2 y2 所以所求A点的轨迹方程为 所以所求 点的轨迹方程为 − = 1 (x>2). 4 12
a b c = = = 2R sinA sinB sinC 1
双曲线的方程
双曲线的方程一、知识梳理1. 双曲线的定义平面内到两个定点12,F F 的距离之差的绝对值等于常数122(2||)a a F F <的动点M 的轨迹称为双曲线. 即M 满足1212||||2||MF MF a F F -=<. 定点12,F F 称为双曲线的焦点, 焦点间的距离12||F F 称为焦距.注意: 122||a F F =轨迹为以12,F F 为端点的两条射线;若122||a F F >则无轨迹;若定义式中绝对值去掉, 则表示双曲线的一支.2. 双曲线的标准方程焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为: 22221x y a b -=, 其中0,0a b >>;焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为: 22221y x a b-=, 其中0,0a b >>;注意: 系数a ,b ,c 三者之间的关系为222c a b =+, 其中c 最大;通过判定22,x y 前的系数的的符号可确定焦点所在, 其中正的为焦点所在的轴.3. 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的性质(1) 对称性: 双曲线是轴对称图形, 具有两条对称轴, 标准方程对应的双曲线的对称轴是x 轴与y 轴. 另一方面, 它还是以原点O 为对称中心的中心对称图形. (2) 顶点: 2个, 分别是12(,0),(,0)A a A a -.(3) 实轴与虚轴: 线段12A A 称为双曲线的实轴,12||2A A a =; 线段12B B 称为双曲线的虚轴12||2B B b =.(4) 范围: 设00(,)P x y 是双曲线上的点, 则0||x a ≥.(5) 渐近线: 有两条渐近线: 22220()x y by x a b a-==±.(6) 等轴双曲线的标准方程可设为 22(0)x y λλ-=≠；其渐近线方程为 0x y ±= ；(7) 以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的 共轭双曲线 ，双曲线22221x y a b-=的共轭双曲线方程是 22221x y a b -=- ，它们有共同的 渐近线 .(8) 以0x y a b±=为渐近线的双曲线的标准方程可设为 2222(0)x y a b λλ-=≠ .注意: (1)实轴虚轴都是线段; (2)双曲线仅与实轴有交点; (3)双曲线的焦点一定在实轴上.b x a=4. 直线与双曲线的位置关系(1) 直线与双曲线的具有三种位置关系: (1)相交: 直线与双曲线交于两点或平行于渐近线交双曲线于一点; (2)相切: 不平行于渐近线且交于一点; (3)相离;(2) 点差法: 即设点作差, 求解有关直线与椭圆相交所得弦的中点的问题, 但需要验证相交;(3) 直线与双曲线相交于11122(,),(,)P x y P x y , 则截得弦长为:1212||||PP x x =-.二、基础训练1. 求双曲线22148x y -=的两条渐近线所夹的锐角的大小为____________; 解:双曲线的渐近线的方程为y =,对应的法向量分别为1)-和(2,1),设它们的夹角为θ, 则1212||1cos 3||||n n n n θ⋅==⋅,因此所夹的锐角为1arccos 3.2. 以椭圆221259x y +=的长轴顶点为焦点, 且过P 的双曲线方程为______________; 解: 椭圆的长轴顶点为(5,0),(5,0)-, 即双曲线中, 5c =,设其方程为22221(0)25x y a a a -=>-, 将点的坐标代入得22232911625a a a-=⇒=-, 其方程为221169x y -=. 3. 双曲线2214(1)3(1)x ym m +=-+的焦点在y 轴上, 则m 的取值范围是_____________; 解: 方程的形式可化为2213(1)4(1)y x m m -=+-, 对比焦点在y 轴上的双曲线的标准方程可知, 1m >.4. 双曲线的渐近线为43y x =±, 焦距为10, 则双曲线的方程为________________________;解: 可设双曲线的方程为22(0)916x y λλ-=≠, 显然225c =, 若0λ>, 则标准方程为221916x y λλ-=, 即916251λλλ+=⇒=, 即双曲线的标准方程为221916x y -=; 若0λ<, 则标准方程为221169y x λλ-=--, 即169251λλλ--=⇒=-, 即双曲线的标准方程为221169y x -=. 5. 设12,F F 为双曲线2214x y -=的两焦点, 点P 在双曲线上且满足1290F PF ︒∠=, 则12F PF ∆的面积为_______;1arccos 31m >221169x y -=解: 如图所示, 设12||, ||PF m PF n ==, 不妨设m n >,则4m n -=, 且222(2)20m n c +==,22216m mn n -+=, 将2220m n +=代入得2mn =,则12112PF F S mn ∆=⋅=.三、例题解析例1. 已知点(,)M x y 到点1(5,0)F -和M 到2(5,0)F 的距离差是8, 求点M 的轨迹方程. 解: 由题意1212||||8||MF MF F F -=<,符合题意的点, 均在以12,F F 为焦点, 8为距离差的双曲线上,即均满足方程221169x y -=, 但由12||||MF MF >, 可知轨迹为上述双曲线的右支, 即方程为221(4)169x y x -=≥.例2. 设双曲线与椭圆2212736x y +=有共同的焦点, 且与椭圆相交的一个交点的纵坐标为4, 求这个双曲线的方程.解法一:由交点在椭圆上得其坐标为(,且椭圆的焦点为(0,3)±, 知双曲线中29c =, 且焦点在y 轴上,设其方程为22221(0,0)y x a b a b-=>>,则22222294451a b a b a⎧+=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=-=⎪⎪⎩⎩, 即其方程为22145y x -=. 解法二: 同解法一可知交点M 坐标及焦点12,F F 坐标,由双曲线定义122|||||84|42a MF MF a =-=-=⇒=, 结合2295c b =⇒=,因此双曲线的方程为22145y x -=.例3. 求渐近线为340x y ±=, 焦点为椭圆221105x y +=的一对顶点的双曲线方程. 解: 可设双曲线的方程为22(0)169x y λλ-=≠,若双曲线以椭圆长轴顶点(为焦点, 则0λ>,其标准方程为221169x y λλ-=, 因此2169105λλλ+=⇒=,1得双曲线方程为225513218x y -=,若双曲线以椭圆的短轴顶点(0,为焦点, 则0λ<, 其标准方程为221916y x λλ-=--, 因此116955λλλ--=⇒=-, 得双曲线的方程为22551916x y-=.例4. 已知双曲线221916x y -=. (1) 写出双曲线的焦点和渐近线的方程;(2) 点P 是双曲线上的点, 12,F F 分别是它的左右焦点, 且12||||32PF PF ⋅=, 求12F PF ∠的大小.解: (1)焦点为12(5,0),(5,0)F F -, 渐近线为430x y ±=; (2)设1||PF m =, 2||PF n =, 则||6m n -=, 32mn =,2222212236100||m mn n m n F F -+=⇒+==,因此1290F PF ︒∠=.例5. 若椭圆22221(0)x y m n m n+=>>和双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>有相同的焦点12,F F ,点P 是椭圆和双曲线的一个交点.(1) 求证: 2212||||PF PF m a ⋅=-; (2) 求证: 12PF F ∆的面积S nb =.证明: (1)由P 在椭圆上, 则12||||2PF PF m +=,由P 在双曲线上, 则12||||2PF PF a -=, 两式平方相减即得2212||||PF PF m a ⋅=-;(2)2222212121212121212||||||(||||)2||||||cos 2||||2||||PF PF F F PF PF PF PF F F PF PF PF PF θ+-+--==⋅2222222(2)2()4()2()m m a a b m a ---+=-222222m a b m a --=-2222222222222sin ,)(4cos 1sin ,bn nb b n b n b n b n +=+=-=+-=θθθ， nb bn nb a m r r S =+-==∆2222212)(21sin 21θ。
双曲线的方程
双曲线的方程【要点梳理】 要点一、双曲线的定义在平面内，到两个定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于常数2a （a 大于0且122a F F <）的动点P 的轨迹叫作双曲线.这两个定点1F 、2F 叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.要点诠释：1. 双曲线的定义中，常数2a 应当满足的约束条件：21212F F a PF PF <=-，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数a 满足约束条件：12122PF PF a F F -=<（0a >），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点2F 的一支；若21122PF PF a F F -=<（0a >），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点1F 的一支；3. 若常数a 满足约束条件：12122PF PF a F F -==，则动点轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线（包括端点）；4．若常数a 满足约束条件：12122PF PF a F F -=>，则动点轨迹不存在； 5．若常数0a =，则动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线。
要点二、双曲线的标准方程标准方程的推导：如何建立双曲线的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：(1)建系设点；(2)点的集合；(3)代数方程；(4)化简方程等步骤．(1) 建系设点取过焦点F 1、F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴 （2）建立直角坐标系.设M(x ，y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c ＞0)，那么F 1、F 2的坐标分别是(-c ，0)、(c ，0)．又设点M 与F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数. (2)点的集合由定义可知，双曲线就是集合：P={M||M F 1|-|M F 2||=2a}={M|M F 1|-|M F 2|=±2a}． (3)代数方程∵12||||MF MF =2a ± (4)化简方程将这个方程移项，两边平方得：22222()44()x c y a x c y ++=±-+化简得：两边再平方，整理得：(c 2-a 2)x 2-a 2y 2=a 2(c 2-a 2).(以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导.) 由双曲线定义，2c ＞2a 即c ＞a ，所以c 2-a 2＞0．设c 2-a 2=b 2(b ＞0)，代入上式得：b 2x 2-a 2y 2=a 2b 2. 即22221x y a b-=(0,0)a b >>，其中222c a b =+这就是双曲线的标准方程. 双曲线的标准方程：1.当焦点在x 轴上时，双曲线的标准方程：22221x y a b -=(0,0)a b >>，其中222c a b =+；2.当焦点在y 轴上时，双曲线的标准方程：22221y x a b-=(0,0)a b >>，其中222c a b =+椭圆、双曲线的区别和联系：方程Ax 2+By 2=C （A 、B 、C 均不为零）表示双曲线的条件方程Ax 2+By 2=C 可化为221Ax By C C+=，即221x y C C A B+=， 所以只有A 、B 异号，方程表示双曲线。
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绝密★启用前2011-2012学年度???学校7月月考卷试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx 注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题（题型注释）1（0m >）的右焦点与抛物线212y x =的焦点相同，则此双曲线的离心率为 A ．6 B C D 【答案】C【解析】解：因为抛物线212y x =的焦点为（3,0），则说明了c=3,（0m >），故有m+5=9,m=4,故a=2,c=3,选C2,则k 的取值范围是( )A.2>kB.0<kC.,2>k 或0<kD.,20<<k 【答案】C【解析】解：则说明了k(k-2)>0,解得为,2>k 或0<k ，故选项C3．设1F 、2F 分别为双曲线.若在双曲线右支试卷第2页，总18页上存在点P ，满足，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A 、043=±y x B 、053=±y x C 、034=±y x D 、045=±y x 【答案】C【解析.所以渐近线方程为4．已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程式为（ ）A B C D 【答案】C【解析】解：由已知条件易得直线l 的斜率为k=kFN=1， 设双曲线方程为x 2/ a 2 -y 2 /b 2 =1， A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则有 x 12/ a 2 -y 1/ b 2 =1 X 22/ a 2 –y 2/ b 2 =1 ，两式相减并结合x 1+x 2=-24，y 1+y 2=-30得y 1-y 2/ x 1-x 2 =4b 2/ 5a 2， 从而4b 2/ 5a 2 =1 即4b 2=5a 2， 又a 2+b 2=9， 解得a 2=4，b 2=5， 故选C 5的一条渐近线与抛物线21y x =+只有一个公共点，则双曲线的离心率为A 、【答案】C【解析】由于双曲线的对称点，设双曲线的一条渐近线为21y x =+只有一个公共点,所以它们的方程消去y 得2220,40,ax bx a b a -+=∴∆=-=61A ，右焦点为2F ，P 为双曲线右支上一点，则12PA PF ⋅ 最小值为 （ ）A ．2-B C ．1 D ．0【答案】A【解析】解：设P 点坐标为（x ，y ）（x ＞0），由双曲线方程x 2-y 2 /3 =1可得： A1点坐标为（-1，0），F2点坐标为（2，0）点则 PA 1 • PF 2 =（x+1，y ）（x-2，y ）=(x+1/ 2 )2+y 2-9 /4当x=1，y=0时， PA 1 • PF 2 取最小值-2故选A 7．则双曲线的离心率为（ ） A B C D 【答案】B8．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B ；则C 的实轴长为（ ） C.4 D.8【答案】C【解析】设等轴双曲线方程为)0(22>=-m m y x ，抛物线的准线为4-=x ，由,则,把坐标代入双曲线方程得4121622=-=-=yx m ，所以双曲线方程为422=-y x ，即2,42==a a，所以实轴长42=a ，选C.9． 与抛物线28y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若||5PF =，则双曲线的渐近线方程为( )试卷第4页，总18页D【答案】A【解析】解：∵抛物线y2=8x的焦点坐标F（2，0），p=4，∵抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，∴p=2c，c=2，∵设P（m，n），由抛物线定义知：|PF|=m+p 2 =m+2=5，∴m=3．∴P点的坐标为（3∴a 2+b 2=49/ a 2 -24 /b 2 =1 解得： a 2=1 ,b 2=3 ，c=2故答案为：A10）A．4B．8 D．与m有关【答案】C【解析】解：因为11为( )A【答案】C【解析】解：因为双曲线的离心率为选C12．已知双曲线M b＞a＞0，且双曲线M与N 的交点在两坐标轴上的射影恰好是两双曲线的焦点，则双曲线M 的离心率为（ ） A【答案】A【解析】解：∵双曲线M Nb＞a ＞0，∴两个双曲线的焦距相等，设为个焦距为2c ，其中c 满足：c 2= a 2+b 2∵双曲线M 与N 的交点在两坐标轴上的射影恰好是两双曲线的焦点， ∴交点坐标为：（c ，c ），代入双曲线M（或双曲线N ）的方程，得 c 2 /a 2 -c 2 /b 2 =1，结合b 2=c 2-a 2得：c 2/ a 2 -c 2 /c 2-a 2 =1， 去分母，得c 2（c 2-a 2）-a 2c 2=a 2（c 2-a 2）， 整理，得c 4-3a 2c 4+a 4=0，所以e 4-3e 2+1=0，解之得e 2（）2（另一值小于1舍去）∴双曲线M 的离心率13y 2=12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于A、3 D 、5 【答案】A 【解析】【点考点定位】本题主要考察双曲线、抛物线的标准方程、几何性质、点和直线的位置关系，考查推理论证能力、逻辑思维能力、计算求解能力、数形结合思想、转化化归思想 14．双曲线221412xy-=的焦点到渐近线的距离为（ ）A . D. 1 【答案】A 【解析】解：因为试卷第6页，总18页2222214,12,16412===-=∴==∴=∴±±∴=渐近线为y焦点到渐近线的距离为x ya b cbxad151(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为线方程为（）A、yB、y＝±2xC、yD、y【答案】C故选C 16．设P为双曲的一点，F1、F2是该双曲线的两个焦点，若PF1F2的面积为（）A B．12C．D．24【答案】B【解析】解：因为|PF1|：|PF2|=3：2，设|PF1|=3x，|PF2|=2x，根据双曲线定义得|PF1|-|PF2|=3x-2x=x=2a=2，所以|PF1|=6，|PF2|=4，|F1F2，2=52=62+42，△PF1F2为直角三角形，其面积为1 /2×6×4=12，故选B．17则它的渐近线方程是（）A．xy2±= D【答案】A18．且离心率为e，则）A【答案】C【解析】由题意知应选C.19（）A．2y x=± B【答案】C就是所求的双曲线方程。
20(A)2x±y=0 (B)x±2y=0(C)4x±y=0 (D)x±4y=0【答案】B【解析】解：所以a=2,b=1,焦点在x轴上，所以方程为x±2y=0 21）A．26 C【答案】C【解析】解：因为双曲线中a=3,b=2, C试卷第8页，总18页22． ，x n m y)(22+=，（其中0>>n m ）的离心率分别为321,,e e e ，则（ ）． A 、321e e e >B 、321e e e <C 、321e e e =D 、321e e e 与大小不确定【答案】B 23 ）A B C ． D 【答案】C 应选C.24．已知F 1，F 2P 为双曲线上的一点，若1290F PF ∠=︒，且22F PF ∆的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】设P 点在右支上，由12||||2PF PF a -=，22212||||4PF PF c +=与122||||2PF PF c=+得222(22)(24)4c a c a c -+-=2226506505c ac a e e e ⇒-+=⇒-+=⇒=，故选D25．直线x t =过双曲线交于A ，B ，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1,)+∞BC 【答案】C【解析】设B A y y >，准线方程为，)0,(2c F 两个向量OA OB 若在以AB 为直径的圆外，所以故选C.26．已知双曲线221(0,0)mx ny m n -=>>的离心率为2，则椭圆221mx ny +=的离心率为（ ） A B C D 【答案】C所以m>n,所以椭圆的焦点在y 轴上，故应选C.27．的焦点为1F 、2F ，M 为双曲线上一点，1F 2F 为直径的圆与双曲线的一个交点为M ，则双曲线的离心率（ ）A B C D ．2【答案】C故选C.28．若双曲线122=+ny mx ,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为【 】. A.1322=-xy B.1322=-yx C.1121622=-xyD.1121622=-yx【答案】B【解析】解：解：∵抛物线x 2=8y 的焦点为（0，2） ∴mx 2+ny 2=1的一个焦点为（0，2） ∴焦点在y 轴上∴a 2=1/n ，b 2=-1/m ，c=2根据双曲线三个参数的关系得到4=a 2+b 2=1/n-1/m试卷第10页，总18页又离心率为2即4/(1/n)=4 解得n=1，m=-1/3∴此双曲线的方程为y 2-x2/3=1 29．双曲线x y 222-=8的实轴长是（A ）2 (B)(C) 4 (D) 4【答案】C【解析】x y 222-=8可变形为22148xy-=，则24a =，2a =，24a =.故选C30）【答案】A 【解析】解：31y 2=15x 的焦点，则该双曲线的渐近线方程为 A 、yB 、yC 、y ＝15x ±D 、y【答案】A【解析】解：因为抛物线的焦点为（15/4,0）32 ）A ．x y 2±= D 【答案】A 【解析】解：33 ）【答案】D【解析】解；34圆的方程是（ ）A BC ．22(3)3x y -+=D ．22(3)9x y -+=【答案】B【解析】略35．已知双曲线221(0,0)mx ny m n-=>>的离心率为2，则椭圆221mx ny +=的离心率为（ ）A BD 【答案】D 【解析】略36-4，0），（4，0），则双曲线方程为（ ） A B C D 【答案】AA.试卷第12页，总18页第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）37．的离心率e =2 ，则双曲线的焦距为 ． 【答案】8 【解析】38．若双曲线的渐近线方程为3y x=±，它的一个焦点的坐标为的标准方程为 .【解析】解：由双曲线渐近线方程可知b /a =3 ① 0），所以② 又c2=a 2+b 2③联立①②③，解得a 2=1，b 2=9， 所以双曲线的方程为x 2- y 2/9 =1． 故答案为为x 2- y 2/9 =1．39．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线，则m 的值为▲ ．【答案】2。