江西2015届高中数学二轮复习高效专项检测题50Word版含

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江西2015届高中数学二轮复习高效专项检测题54Word版含答案

江西2015届高中数学二轮复习高效专项检测题54Word版含答案

指数函数、对数函数、幂函数一、选择题1. (2013·大纲版全国卷高考文科·T6)与(2013·大纲版全国卷高考理科·T5)相同函数)0)(11(log )(2>+=x xx f 的反函数()1=f x -( )A.()1021x x >- B.()1021xx ≠- C.()21xx R -∈ D.()210x x ->【解题指南】首先令)11(log 2xy +=求出x ,然后将y x ,互换,利用反函数的定义域为原函数的值域求解.【解析】选A.由)11(log 2xy +=,0>x ,得函数的值域为0>y ,又x y 112+=,解得121-=y x ,所以()1=f x -121-x )0(>x 2.(2013·北京高考理科·T5)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=e x 关于y 轴对称,则f(x)= ( ) A.e x+1 B.e x-1 C.e -x+1 D.e -x-1 【解题指南】把上述变换过程逆过来,求出y=e x 关于y 轴对称的函数,再向左平移1个单位长度得到f(x).【解析】选D.与y=e x 关于y 轴对称的函数应该是y=e -x ,于是f(x)可由y=e -x 向左平移1个单位长度得到,所以f(x)=e -(x+1)=e -x-1. 3.(2013·广东高考文科·T2)函数lg(1)()1x f x x +=-的定义域是( )A .(1,)-+∞B .[1,)-+∞C .(1,1)(1,)-+∞D .[1,1)(1,)-+∞ 【解题指南】函数的定义域有两方面的要求:分母不为零,真数大于零,据此列不等式即可获解.【解析】选C. 解不等式10,10x x +>-≠可得1,1x x >-≠是定义域满足的条件.4.(2013·山东高考文科·T5)函数()f x =的定义域为( )A.(-3,0]B.(-3,1]C.(,3)(3,0]-∞--D.(,3)(3,1]-∞--【解题指南】定义域的求法:偶次根式为非负数,分母不为0.【解析】选A. ⎩⎨⎧>+≥-03021x x ,解得03≤<-x .5.(2013·陕西高考文科·T3)设a, b, c 均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是 ( )A . ·log log log a c c b a b = B. b a b c c a log log log =⋅ C. c b bc a a a log log )(log ⋅=D. ()log g og o l l a a a b b c c +=+【解题指南】a, b,c ≠1,掌握对数两个公式:abb y x xyc c a a a a log log log ,log log log =+= 并灵活转换即可得解.【解析】选B.对选项A: bab a b bc c a c c a log log log log log log =⇒=⋅,显然与第二个公式不符,所以为假。

江西省上饶市2015届高三数学第二次模拟考试试题 文(含解析)新人教A版

江西省上饶市2015届高三数学第二次模拟考试试题 文(含解析)新人教A版

2015年江西省上饶市高考数学二模试卷(文科)一、选择题:共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项.1.(5分)(2015•上饶二模)若x为复数,则方程x4=1的解是()A.l或l B.i或﹣i C.1+i或1﹣i D.1或﹣1或i或﹣i【考点】:复数及其指数形式、三角形式.【专题】:计算题;数系的扩充和复数.【分析】:方程x4=1可化为方程x4﹣1=0.对方程的左边直接运用平方差公式分解即可求得此方程的解,注意要分解彻底【解析】:解:因为:x4﹣1=(x2+1)(x2﹣1)=(x+i)(x﹣i)(x﹣1)(x+1).所以x4﹣1=0即(x+i)(x﹣i)(x﹣1)(x+1)=0.解得x=1,﹣1,i,﹣i.即在复数集中,方程x4=1的解为1,﹣1,i,﹣i故选:D.【点评】:本题考查运用平方差公式分解因式的能力.平方差公式:a2﹣b2=(a+b)(a﹣b).本题需注意,第一次运用平方差公式分解以后,余下的多项式仍然可以运用平方差公式再次分解.2.(5分)(2015•上饶二模)若集合A={1,m,m2},集合B={2,4},则“m=﹣2”是“A∩B={4}”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【考点】:必要条件、充分条件与充要条件的判断.【专题】:简易逻辑.【分析】:根据充分条件和必要条件的定义结合集合的基本运算关系,进行判断即可.【解析】:解:若A∩B={4},则m=4或m2=4,即m=4或m=2或m=﹣2,当m=2时,集合A={1,2,4},A∩B={2,4}不成立,故m=4或m=﹣2,即“m=﹣2”是“A∩B={4}”的充分不必要条件,故选:A【点评】:本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据集合的基本关系是解决本题的关键.3.(5分)(2015•上饶二模)把函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再把所得函数的图象向右平移个单位,得到图象的解析式为()A.y=5cosx B.y=﹣5cosx C.y=5cos4x D.y=﹣5cos4x【考点】:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.【专题】:计算题.【分析】:横坐标伸长为原来的2倍得函数的解析式为,再把所得函数的图象向右平移个单位,得到图象的解析式为,利用诱导公式化简,从而得出结论.【解析】:解:把函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),所得函数的解析式为,再把所得函数的图象向右平移个单位,得到图象的解析式为=5sin(x﹣)=﹣5cosx,故选B.【点评】:本题主要考查利用y=Asin(ωx+∅)的图象变换,属于中档题.4.(5分)(2015•上饶二模)在函数①y=sin|2x|,②y=1﹣,③,④中,最小正周期为π的所有函数为()A.①②B.②③④C.②③D.③④【考点】:三角函数的周期性及其求法.【专题】:三角函数的图像与性质.【分析】:逐一求出各个函数的最小正周期,从而得出结论.【解析】:解:∵函数①y=sin|2x|不是周期函数,没有最小正周期,不满足条件;②y=1﹣=cos(2x﹣)的最小正周期为=π,满足条件;③=tanx的最小正周期为π,满足条件;④的最小正周期为=π,满足条件,故②③④都满足条件,故选:B.【点评】:本题主要考查二倍角公式,三角函数的周期性及其求法,属于中档题.5.(5分)(2015•上饶二模)已知直线2x+y﹣c=0与圆x2+y2=R2交于A,B两点,则与(O为坐标原点)共线的向量是()A.(2,﹣1)B.(﹣2,﹣4)C.(4,2)D.(﹣1,2)【考点】:平行向量与共线向量.【专题】:平面向量及应用.【分析】:本题可通过设A,B两点坐标,联立方程求出向量坐标,再利用共线向量坐标成比例得出.【解析】:解:设A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x1+x2,y1+y2)由直线方程得y=﹣2x+c,代入圆的方程得:5x2﹣4xc+c2﹣R2=0则x1,x2为方程两根,x1+x2=,代入y=﹣2x+c得y1+y2=﹣+2c=则=()设所求向量为(x,y),则,所以2y=x;故选C.【点评】:本题考查向量共线的充要条件.6.(5分)(2015•上饶二模)已知焦点在x轴的椭圆方程:,过焦点作垂直于x轴的直线交椭圆于A、B两点,且|AB|=1,则该椭圆的离心率为()A.B.C.D.【考点】:椭圆的简单性质.【专题】:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】:求出椭圆的焦点坐标,利用|AB|=1,求出a、b、c,然后求解离心率即可.【解析】:解:焦点在x轴的椭圆方程:,焦点坐标(±,0),不妨A(,),可得,解得a=2,椭圆的离心率为:e==.故选:A.【点评】:本题考查椭圆的简单性质,离心率的求法,考查计算能力.7.(5分)(2015•上饶二模)设为非零向量,,两组向量和均由2个和2个排列而成.若的所有可能取值中的最小值为,则与的夹角为()A.B.C.D.【考点】:数量积表示两个向量的夹角.【专题】:平面向量及应用.【分析】:两组向量和均由2个和2个排列而成,结合其数量积组合情况,即可得出结论【解析】:解:由题意,设为非零向量的夹角为α,分类讨论可得①==,不满足②==5||2+4||2cosα,不满足;③==8||2cosα=4||2,满足题意,此时cosα=∴与的夹角为.故选:A.【点评】:本题考查向量的数量积公式,考查学生的计算能力,属于中档题8.(5分)(2015•上饶二模)设变量x,y满足约束条件则z=|x﹣3y|的取值范围为()A.[2,8] B.[0,8] C.[4,8] D.[0,4]【考点】:简单线性规划.【专题】:不等式的解法及应用.【分析】:由约束条件作差可行域,令t=x﹣3y,化为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求出最优解的坐标,代入t=x﹣3y求出t的范围,则答案可求.【解析】:解:由约束条件作差可行域如图,令t=x﹣3y,化为直线方程的斜截式得y=,联立,解得:A(﹣2,2),联立,解得:B(﹣2,﹣2),由图可知,当直线y=过B时,直线在y轴上的截距最小,t有最大值为﹣2﹣3×(﹣2)=4;当直线y=过A时,直线在y轴上的截距最大,t有最小值为﹣2﹣3×2=﹣8.∴z=|x﹣3y|的取值范围是[0,8].故选:B.【点评】:本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.9.(5分)(2015•上饶二模)已知函数f(x)=,若数列{an}满足an=f(n)(n∈N*),且{an}是递减数列,则实数a的取值范围是()A.(,1)B.(,)C.(,)D.(,1)【考点】:数列的函数特性.【专题】:等差数列与等比数列.【分析】:由题意可知1﹣2a<0,0<a<1,且a12=17﹣24a>a13=1,解出即可.【解析】:解:由已知可知1﹣2a<0,0<a<1,且a12=17﹣24a>a13=1,解得<a<.故选:C.【点评】:本题考查了数列的单调性、分段函数的性质、一次函数与指数函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.10.(5分)(2015•上饶二模)已知函数f(x)=2ex,函数g(x)=k(x+1),若函数f(x)图象恒在函数g(x)图象的上方(没有交点),则实数是的取值范围是()A.k>2 B.k≥2 C.0≤k≤2 D.0≤k<2【考点】:导数的几何意义;指数函数的图像变换;导数的运算.【专题】:函数的性质及应用;导数的综合应用.【分析】:作出函数的图象,利用导数的几何意义求出切线斜率,利用数形结合即可得到结论.【解析】:解:若函数f(x)图象恒在函数g(x)图象的上方(没有交点),即f(x)﹣g(x)>0恒成立,即2ex﹣k(x+1)>0,即2ex>k(x+1),若k=0,满足条件,若k<0,则不满足条件.则当k>0时,g(x)=k(x+1)过定点(﹣1,0),函数f(x)的导数为f′(x)=2ex,设切点为(a,b),则对应的切线斜率k=f′(a)=2ea,则对应的切线方程为y﹣2ea=2ea(x﹣a),∵直线过点(﹣1,0),∴﹣2ea=2ea(﹣1﹣a),解得a=0,此时切线斜率k=f′(0)=2,即此时k=2,则解得0<k<2,综上0≤k<2,故选:D【点评】:本题主要考查函数图象关系的应用,利用导数的几何意义,结合数形结合是解决本题的关键.11.(5分)(2015•上饶二模)对于任意的x∈R,不等式恒成立,则实数a的取值范围是()A.B.C.a<3 D.a≤3【考点】:函数恒成立问题;二次函数的性质.【分析】:原不等式分离出参数a:,转化为a只须小于函数的最小值即可,下面只要利用函数的单调性求出最小值,即可求出a的范围.【解析】:解:先从分离出参数a,即恒成立,下面只要求的最小值即可,令(t≥1)则x2=t2﹣1,∴y=,∵在[1,+∞)单调增函数,∴当t=1时,y有最小值3,故a<3,故答案为:a<3.【点评】:本小题主要考查函数单调性的应用、函数恒成立问题、二次函数的性质、换元法等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.属于基础题.12.(5分)(2015•上饶二模)空间几何体的外接球,理解为能将几何体包围,几何体的顶点和弧面在此球上,且球的半径要最小.若如图是一个几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积为()A.B.C.D.【考点】:球的体积和表面积;由三视图求面积、体积.【专题】:空间位置关系与距离.【分析】:根据已知中几何体的外接球的定义,结合该几何体外接球的轴截面,可求出球的半径,进而得到答案.【解析】:解:该几何体是一个圆柱和一个正方体的组合体,做出其外接球的轴截面如下图所示:则,解得:x=,,故该几何体的外接球的表面积S=4πR2=,故选:A【点评】:本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积,根据三视图分析出几何体的形状是解答的关键.二、填空题:本大题共四小题,每小题5分,共20分.13.(5分)(2015•上饶二模)已知程序框图如图,则输出的i=9.【考点】:循环结构.【专题】:阅读型.【分析】:根据已知中的流程图,我们模拟程序的运行结果,分别讨论S与i的值是否满足继续循环的条件,当条件满足时,即可得到输出结果.【解析】:解:S=1,i=3不满足条件S≥100,执行循环体S=1×3=3,i=3+2=5,不满足条件S≥100,执行循环体S=3×5=15,i=5+2=7,不满足条件S≥100,执行循环体S=15×7=105,i=7+2=9,满足条件S≥100,退出循环体此时i=9故答案为:9【点评】:本题考查的知识点是程序框图,模拟循环的执行过程是解答此类问题常用的办法,属于基础题.14.(5分)(2015•上饶二模)以抛物线y2=20x的焦点为圆心,且与双曲线:的两条渐近线都相切的圆的方程为(x﹣5)2+y2=9.【考点】:双曲线的简单性质;直线与圆的位置关系.【专题】:压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】:确定抛物线的焦点,双曲线的渐近线方程,求出圆的半径,即可得到圆的方程.【解析】:解:抛物线y2=20x的焦点坐标为(5,0),双曲线:的两条渐近线方程为3x±4y=0由题意,r=3,则所求方程为(x﹣5)2+y2=9故答案为:(x﹣5)2+y2=9.【点评】:本题考查圆的方程,考查直线与圆的位置关系,考查学生的计算能力,属于基础题.15.(5分)(2015•上饶二模)把正奇数依次按第一个括号1个数,第二个括号2个数,第三个括号3个数,第四个括号1个数,…如此循环为(1),(3,5),(7,9,11),(13),(15,17),(19,21,23),….则2015这个奇数在第504个括号内.【考点】:归纳推理.【专题】:推理和证明.【分析】:括号里的数有一定规律:即每四个一组,各组里面的数都有1+2+3+4=10个数.且每四个一组的第1个括号一个数构成一个首项为3公差为20的等差数列,设2013是每四个一组中第n个小组内的数,根据规律即可找出n的值【解析】:解:括号里的数有规律:即每三个一组,里面的数都是1+2+3=6,且每三个一组的第1个括号里一个数构成一个首项为1公差为12的等差数列,故每三个一组中第n个小组内的第一个数的通项公式为:1+12(n﹣1)=12n﹣11,设2015是每三个一组中第n个小组内的数,由12n﹣11=2015,⇒n≈168,从而每三个一组中第168个小组内的第一个数是12×168﹣11=2016,即2015是第504个括号内的数,故答案为:504.【点评】:本题考查了归纳推理,等差数列的通项公式,难点在于发现其中的规律,考查观察、分析、归纳能力本题是等差数列的通项公式的简单运用及等差数列的求和公式.16.(5分)(2015•上饶二模)若函数f(x)=loga(2x2+x)(a>0,a≠1)在区间恒有f(x)>0,则f(x)的单调递增区间是.【考点】:对数函数的单调性与特殊点;函数恒成立问题.【专题】:计算题.【分析】:本题要根据题设中所给的条件解出f(x)的底数a的值,由x∈,得2x2+x ∈(0,1),至此可由恒有f(x)>0,得出底数a的取值范围,再利用复合函数单调性求出其单调区间即可.【解析】:解:函数f(x)=loga(2x2+x)(a>0,a≠1)在区间恒有f(x)>0,由于x∈,得2x2+x∈(0,1),又在区间恒有f(x)>0,故有a∈(0,1)对复合函数的形式进行,结合复合函数的单调性的判断规则知,函数的单调递增区间为(﹣∞,﹣)故应填(﹣∞,﹣)【点评】:本题考查用复合函数的单调性求单调区间,在本题中正确将题设中所给的条件进行正确转化得出底数的范围,解决本题的关键.三、解答题:(共70分)17.(12分)(2015•上饶二模)已知正项等比数列{an}满足:1na1+1na3=4,1na4+1na6=10,(1)求数列{an}的通项公式;(2)记Sn=1na1+1na2+…+1nan如果数列{bn}满足:,设,求Cn的最大值.【考点】:数列的求和;等比数列的性质.【专题】:等差数列与等比数列.【分析】:(1)利用等比数列的通项公式与对数的运算性质即可得出;(2)利用等差数列的前n项和公式、“裂项求和”、数列的单调性即可得出.【解析】:解:(1)由题意可得,,∴;(2)由(1)可知,记,则=,∴cn>cn+1,∴数列{cn}是单调递减数列,,即cn的最大值为.【点评】:本题考查了等比数列的通项公式、对数的运算性质、等差数列的前n项和公式、“裂项求和”、数列的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.18.(12分)(2015•上饶二模)在某一届江西省中学生运动会上,承办学校招募了8名男志愿者和12名女志愿者.定义身高在180cm以上(包括180cm)为“高个子”,身高在180cm以下(不包括180cm)为“非高个子”.现将这20名志愿者的身高编成如下茎叶图(精确到lcm),由于污染导致这个茎叶图中的一个数据模糊.(1)如果用分层抽样的方法以“高个子”和“非高个子”中抽取5人,再从这5人中选2人,那么至少有一人是“高个子”的概率是多少?(2)在女志愿者身高的中位数是175的条件下,求茎叶图中,这个模糊数据所表示的身高不大于172的概率.【考点】:列举法计算基本事件数及事件发生的概率;茎叶图.【专题】:概率与统计.【分析】:(1)根据茎叶图,结合分层抽样的方法,再利用列举法从五个人中选出两个人的基本事件以及对应的概率;(2)设看不清的女志愿者身高为x,结合中位数的概念以及x的可能值,计算对应的概率即可.【解析】:解:(1)根据茎叶图,有“高个子”8人,“非高个子”12人,用分层抽样的方法,每个人被抽中的概率是,所以选中的“高个子”有人,设这两个人为A,B;“非高个子”有人,设这三个人C,D,E;﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2分)从这五个人A,B,C,D,E中选出两个人共有:(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E)共有十种不同方法;…(4分)其中至少有一人是“高个子”的选法有:(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E)共有七种;﹣﹣﹣﹣﹣﹣(5分)因此,至少有一人是“高个子”的概率是;﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6分)(2)设看不清的女志愿者身高为x,由题意可得,满足女志愿者身高的中位数是175的x值为0,1,2,3,4,5;﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8分)其中不大于172的x值有0,1,2;﹣﹣﹣﹣﹣﹣10分所以在女志愿者身高的中位数是175条件下,这个模糊数据表示的身高不大于172的概率是.(12分)【点评】:本题考查了茎叶图与分层抽样的应用问题,也考查了用列举法计算古典概型的概率问题,是基础题目.19.(12分)(2015•上饶二模)已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1,所有棱长均为2,若点A1在底面ABC的射影O落在AB的中点M上.(1)在线段A1C1上找到一点N,使得MN∥面B1C1CB,求A1N的长度;(2)求四棱锥体积VA﹣BB1C1C.【考点】:棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定.【专题】:空间位置关系与距离.【分析】:(1)取A1C1中点N,B1C1的中点E,连结BE,EN,由三角形中位线定理可得EN ∥A1B1,结合三棱柱的性质可得A1B1∥BM,再由边长相等可得四边形ENBM为平行四边形,由此证得MN∥面B1C1CB,此时A1N=1;(2)求出三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积,再求出三棱锥A﹣A1B1C1的体积,则由=得答案.【解析】:解:(1)取A1C1中点N,则A1N=1,取B1C1的中点为E,连结BE,EN则EN∥A1B1,又A1B1∥BM,∴EN∥BM,且,∴四边形ENBM为平行四边形,∴有MN∥BE,即MN∥面B1C1CB,此时A1N=1;(2)∵,,∴=,=,∴==3﹣1=2.【点评】:本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力,是中档题.20.(12分)(2015•上饶二模)已知抛物线y2=2px的焦点为F,若该抛物线上有一点A,满足直线FA的倾斜角为120°,且|FA|=4,(1)求抛物线方程;(2)若抛物线上另有两点B,C满足,求直线BC的方程.【考点】:抛物线的简单性质.【专题】:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】:(1)如图,设抛物线的准线为l,过A作AM⊥l,垂足为M.由|AF|=4可得|AM|=4,由∠AFx=120°,可知|NF|=|AM|+|AF|cos60°=6,由抛物线的定义即可得出.(2)由(1)可知点,可设点B(x1,y1),C(x2,y2),由,可得x1+x2=8,,再利用中点坐标公式、斜率计算公式即可得出.【解析】:解:(1)如图,设抛物线的准线为l,过A作AM⊥l,垂足为M.由|AF|=4可得|AM|=4,由∠AFx=120°,可知|NF|=|AM|+|AF|cos60°=6,由抛物线的定义可得p=|NF|=6,即抛物线方程为y2=12x.(2)由(1)可知点,可设点B(x1,y1),C(x2,y2),由,可得:,即得x1+x2=8,,即BC中点坐标为,∵,=12x2,∴=12(x1﹣x2),而BC斜率,∴直线BC方程为:,整理为:,【点评】:本题考查了抛物线的定义、中点坐标公式、斜率计算公式、点与抛物线的关系、向量坐标运算,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.21.(12分)(2015•上饶二模)设函数f(x)=ax2+1nx,g(x)=x2+b,已知它们的图象在x=1处有相同的切线.(1)求函数f(x)和g(z)的解析式;(2)若函数F(x)=f(x)﹣m[g(x)+x]在区间[2,3]上不单调,求实数m的取值范围.【考点】:利用导数研究曲线上某点切线方程;导数的运算;利用导数研究函数的单调性.【专题】:函数的性质及应用;导数的概念及应用;导数的综合应用;不等式的解法及应用.【分析】:(1)欲求函数f(x)和g(x)的解析式,利用在点x=1处的切线方程,只须求出其斜率的值即可,故先利用导数求出在x=1处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率,利用斜率相等列出等式.从而求出a,b.(2)求出F(x)的解析式,求得导数,令h(x)=(1﹣2m)x2﹣mx+1,解法一、对m讨论,结合二次函数的图象和性质,考虑图象在[2,3]与x轴有两个交点,解不等式组即可得到m的范围;解法二、运用参数分离,求出右边函数的导数,运用单调性,求得最值,即可得到m的范围.【解析】:解:(1)函数f(x)=ax2+1nx,g(x)=x2+b,f′(x)=2ax+,g′(x)=2x,由题意可得,f(1)=g(1),f′(1)=g′(1),即有a=1+b,2a+1=2,解得a=,b=﹣,所以;(2)解法一、由(1)可知,则,记h(x)=(1﹣2m)x2﹣mx+1,要使F(x)在区间[2,3]上不单调,当1﹣2m=0时,h(x)<0,F(x)递减,显然不满足题意;则①,解得m∈Φ,或②,解得m∈Φ,或③,解得m∈Φ,或④,解得,故满足条件的m的取范围为.解法二:,记h(x)=(1﹣2m)x2﹣mx+1,设当F(x)在区间[2,3]上单调时,恒有h(x)≥0或h(x)≤0,分离变量得:或,,所以在[2,3]上递减.即﹣,即得此时或.所以满足F(x)在区间[2,3]上不单调时,m的取值范围为.【点评】:本题主要考查函数解析式的求解及待定系数法、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性等基础知识,考查运算求解能力.属于中档题.请考生在第22、23题中任选一题作答.若多做,则按所做的第一题计分.选修4-4:参数方程选讲22.(10分)(2015•上饶二模)选修4﹣4:极坐标与参数方程极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位,以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴.已知曲线C1的极坐标方程为,曲线C2的极坐标方程为ρsinθ=a(a>0),射线,与曲线C1分别交异于极点O的四点A,B,C,D.(Ⅰ)若曲线C1关于曲线C2对称,求a的值,并把曲线C1和C2化成直角坐标方程;(Ⅱ)求|OA|•|OC|+|OB|•|OD|的值.【考点】:点的极坐标和直角坐标的互化.【专题】:直线与圆.【分析】:(Ⅰ)把C1、把C2的方程化为直角坐标方程,根据因为曲线C1关于曲线C2对称,可得直线y=a经过圆心(1,1),求得a=1,故C2的直角坐标方程.(Ⅱ)由题意可得,;φ;;=2cos(+φ),再根据|OA|•|OC|+|OB|•|OD|=8s in(φ+)sinφ+8cos(+φ)cosφ=8cos,计算求得结果.【解析】:解:(Ⅰ)C1:即ρ2=2ρ(sinθ+cosθ)=2ρsinθ+2ρcosθ,化为直角坐标方程为(x﹣1)2+(y﹣1)2=2.把C2的方程化为直角坐标方程为y=a,因为曲线C1关于曲线C2对称,故直线y=a经过圆心(1,1),解得a=1,故C2的直角坐标方程为y=1.(Ⅱ)由题意可得,;φ;;=2cos(+φ),∴|OA|•|OC|+|OB|•|OD|=8sin(φ+)s inφ+8cos(+φ)cosφ=8cos[(+φ)﹣φ]=8×=4.【点评】:本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法,两角和差的余弦公式,属于基础题.选修4-5:不等式选讲23.(2015•上饶二模)(1)设函数,求f(x)的最小值,(2)当a+2b+3c=m(a,b,c∈R)时,求a2+b2+c2的最小值.【考点】:二维形式的柯西不等式.【专题】:综合题;不等式.【分析】:(1)写出分段函数,确定函数的单调性,可得函数f(x)的最小值;(2)由柯西不等式(a2+b2+c2)(12+22+32)≥(a+2b+3c)2=1,可得a2+b2+c2的最小值.【解析】:解:(1)f(x)=,当x∈(﹣∞,0]时,f(x)单调递减,当x∈[0,+∞)时,f(x)单调递增,所以当x=0时,f(x)的最小值m=1.…(5分)(2)由柯西不等式(a2+b2+c2)(12+22+32)≥(a+2b+c)2=1,故a2+b2+c2≥,当且仅当a=,b=,c﹣时取等号∴a2+b2+c2的最小值为.…(10分)【点评】:本题考查绝对值不等式的解法,考查二维形式的柯西不等式,属于中档题.。

2015届江西省七校高三第二次联考数学理科试卷

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2015届江西省七校第二次联考高三年级数学(理科)试卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)。

1、已知集合{}Z 13A x x =∈-<< ,{}2R 60B x x x =∈ +-<,则A B ⋂=( )A. {}12x x -<<B. {}33x x -<<C. {}0,1D. {}0,1,2,32、已知i 为虚数单位,则321ii+等于( ) A. 1-iB. 1+iC. 1D. 3、某多面体的三视图如右图所示,这个多面体的体积是( )A.20003B.10003C. 250D. 5004、某工程队有5项工程需要单独完成,其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行,工程丙必须在工程乙完成后立即进行。

那么安排这5项工程的不同排法种数是( )A. 6B. 12C. 16D. 205、已知非零向量a 、b ,满足a b ⊥,则函数()()f x ax b =+·(2)(R)ax b x -∈( )A. 是偶函数B. 是奇函数C. 有最大值D. 是增函数6、某程序框图如图所示,则该程序运行后,输出的x 值为A. 15B. 31C. 47D. 957、已知△ABC 的三个顶点在同一球面上,AB=6,BC=8,AC=10。

若球心O 到平面ABC 的距离为5,则该球的体积是A.5003πB.C.D. 200π8、函数()sin()(0,)3f x x πωϕωϕ=+>≤的最小正周期是π,若其图象向右平移3π个单位后得到的函数为奇函数,则函数()f xA. 关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称B. 关于直线12x π=对称 C. 关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称D. 关于直线512x π=对称9、设函数2()2(R)g x x x =-∈,()4,()()(),()g x x x g x f x g x x x g x ++<⎧=⎨-≥⎩,则()f x 的值域是A. 9,0(1,)4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦B. [)0,+∞C. 9,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D. 9,0(2,)4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦10、设各项都是正数的等比数列{}n a 的前n 项之积为T n ,且T 10=32,则5611a a +的最小值是A.B.C.D.11、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别1(,0)F c -,2(,0)F c ,双曲线上存在点P 使1221sin sin 0c PF F a PF F ∠=∠≠,则该曲线的离心率的取值范围是A. (1B. (C. (1⎤⎦D. 1)12、已知函数ln ()1(R)x af x a x +=-∈。

【全国百强校】江西师范大学附属中学2015届高三二轮复习数学(理)试题

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江西师大附中高三新课标第二轮复习测试卷数学( 1 )一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合{|A x y =,集合{}|22B x x =-<,则A B 等于A .(]0,2 B.[]0,2 C. [)1,2- D.∅2.已知复数z =,则||z = A .1 BC .2D .4 3.已知命题p :12,x x R ∀∈,2121(()())()0f x f x x x --≥,则p ⌝是A .12,x x R ∃∈,2121(()())()0f x f x x x --≤B .12,x x R ∀∈,2121(()())()0f x f x x x --≤C .12,x x R ∃∈,2121(()())()0f x f x x x --<D .12,x x R ∀∈,2121(()())()0f x f x x x --<4.已知3cos()25πα-=,2παπ<<,则sin()4πα+= A .1027- B .1027 C.D .1025.已知两组样本数据}{n x x x 21,的平均数为h ,}{m y y y 21,的平均数为k ,则把两组数据合并成一组以后,这组样本的平均数为A .2k h + B .n m mk nh ++ C .n m nh mk ++ D .nm kh ++ 6.对实数a 和b ,定义运算“⊗”:,1,, 1.a ab a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩设函数22()(2)(),f x x x x x R =-⊗-∈,若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点,则实数c 的取值范围是A .3(,2](1,)2-∞--UB .3(,2](1,)4-∞---UC .11(1,)(,)44-+∞UD .31(1,)[,)44--+∞U7.已知集合220(,)21020x y A x y x y x y ⎧-+≥⎫⎧⎪⎪⎪=-+≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪+-≤⎩⎩⎭,{}22(,)(1)B x y x y m =+-≤,若A B ⊆,则m 的取值范围是A .[1,)+∞ B.)+∞ C .[2,)+∞ D.)+∞8.已知一个空间几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的全面积为 A.10+B.10+ C.14+B.14+9.设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为12,F F .若曲线Γ上存在点P 满足1122::4:3:2PF F F PF =,则曲线Γ的离心率等于BD A.12或32B.23或2C.12或2D.23或32 10.已知实数,,1,22a ba b R a b M+∈+==+,则M的整数部分是A.1B.2 C.3 D.411.已知函数()xf x e x=+.对于曲线()yf x=上横坐标成等差数列的三个点A,B,C,给出以下判断:①ABC∆一定是钝角三角形;②ABC∆可能是直角三角形;③ABC∆可能是等腰三角形;④ABC∆不可能是等腰三角形.其中正确的判断是A.①③B.①④C.②③D.②④12.如图,线段8AB=,点C在线段AB上,且2AC=,P为线段CB上一动点,点A 绕点C旋转后与点B绕点P旋转后重合于点D.设CP x=,CPD∆的面积为()f x.则()f x的最大值为A.B.2C.3 D.二、填空题:本大题共4小题;每小题5分,共20分,把答案填在题中的横线上.13.(理科)如果432412345(1)(1)(1)(1)a x a x a x a x a x-+-+-+-+=,那么234a a a-+=.(文科)在ABC∆中,,23A ABπ∠==,且ABC∆的面积为BC的长为 .14.如图是一个算法的流程图,则输出S的值是 .15.已知等差数列{},{}n na b的前n项和分别为nS和nT,若7453nnS nT n+=+,且2nnab是整数,则n的值为.16.某同学在研究函数()f x=的性质时,受到两点间距离公式的启发,将()f x变形为()f x=,则()f x 表示PA PB +(如图), ①()f x 的图象是中心对称图形; ②()f x 的图象是轴对称图形;③函数()f x 的值域为)+∞; ④方程(())1f f x =上述关于函数()f x 的描述正确的 .三、解答题:本大题共7小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤.17.(本小题满分12分)设数列{}n a 和{}n b 满足1122336,4,3a b a b a b ======,且数列*1{}()n n a a n N +-∈是等差数列,数列*{2}()n b n N -∈是等比数列. (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;(2)是否存在*k N ∈,使1(0,)2k k a b -∈?若存在,求出k ;若不存在,说明理由. 18.(本小题满分12分)(理科)为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对本班48人进行了问卷调查得已知在全班48人中随机抽取1人,抽到喜爱打篮球的学生的概率为23. (1)请将上面的2×2列联表补充完整(不用写计算过程);(2)你是否有95%的把握认为喜爱打篮球与性别有关?说明你的理由.(3)现从女生中抽取2人进一步调查,设其中喜爱打篮球的女生人数为X ,求X 的分布列与期望.辑”和“阅读与表达”两个科目的考试,成绩分为A ,B ,C ,D ,E 五个等级.某考场考生的两科考试成绩的数据统计如下图所示,其中“数学与逻辑”科目的成绩等级为B 的考生有10人.(1)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A 的人数;(2)已知参加本考场测试的考生中,恰有2人的两科成绩等级均为A.在至少一科成绩等级为A 的考生中,随机抽取2人进行访谈,求这2人的两科成绩等级均为A 的概率.19.(本小题满分12分)如图,在四棱锥P ABCD -中,侧面PCD ⊥底面ABCD ,PD CD ⊥,E 为PC 的 中点,底面ABCD 是直角梯形,AB ∥CD ,90ADC ∠=,1AB AD PD ===, 2CD =.(1)求证://BE 平面PAD ; (2)(文科)求点C 到平面PBD 的距离.(理科)求证:平面PBC ⊥平面PBD ; (3)(理科)设Q 为棱PC 上一点,PQ PC λ=,试确定λ的值使得二面角Q BD P --为︒45.20.(本小题满分12分)如图,已知椭圆2222:1(0)x y C a ba b +=>>过点(1,2,离心率为2,左、右 焦点分别为12,F F .点P 为直线:2l x y +=上且不在x 轴上的任意一点,直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为,A B 和,C D ,O 为坐标原点. (1)求椭圆的标准方程;(2)设直线12,PF PF 的斜率分别为12,k k .(ⅰ)证明12132k k -=;(ⅱ)问直线l 上是否存在点P ,使得直线,,,OA OB OC OD 的斜率,,,OA OB OC OD k k k k 满足0OA OB OC OD k k k k +++=?若存在,求出所有满足条件的点P 的坐标;若不存在,说明理由.21. (本小题满分12分)设函数()xe f x x=的定义域为(,0)(0,).-∞+∞U(1)求函数()f x 在[,1](0)m m m +>上的最小值;(2)设函数0,0,()1,0()x g x x f x =⎧⎪=⎨≠⎪⎩,若12x x ≠,且12()()g x g x =,证明:12 2.x x +>22.(本小题满分10分) 选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线2:sin 2cos (0)C a a ρθθ=>,过点(2,4)P --的直线22:42x l y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数)曲线C 相交于点,.M N(1)求曲线C 和直线l 的普通方程;(2)若,,PM MN PN 成等比数列,求实数a 的值.23.(本小题满分10分) 选修4-5:不等式选讲 设不等式0log 3<x 的解集为M . (1)求集合M ;(2)若,a b M ∈,试比较1ab +与a b +的大小.三.解答题:本大题共7小题,共70分17.解:(1)[])()()1()(1223121a a a a n a a a a n n ----+-=-+ =3)1(2-=-+-n n∴ =-+-+=-+=--)4()5()4(21n n a n a a n n n[]927212)4()2()1(6)4()5(0)1()2(6)4()5(0)1()2(21+-=-+--+=-+-+++-+-+=-+-+++-+-+=n n n n n n n n a (2≥n )上式对1=n 也成立.∴927212+-=n n a n311121)21()42(4)22)(2(2---=⨯=---=-n n n n b b b b ∴3)21(2-+=n n b(2)3232)21(7272121292721---+-=⎪⎭⎫⎝⎛--+-=-=k k k k k k k k k b a c当3,2,1=k 时,0.k c = 当4≥k时,21)21(47)274(21)21(47)27(2134232=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-≥-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=--k k k c∴不存在正整数k 使1(0,).2k k a b -∈18.(2)由2K =248(22060)28203216⨯-⨯⨯⨯≈4.286,因为4.286>3.841,有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关. (3)喜爱打篮球的女生人数X 的可能取值为0,1,2.其概率分别为(0)P X ==021010220C C C =938, (1)P X ==111010220C C C =1019, (2)P X ==201010220C C C =938, ∴X 的分布列为:X 的期望值为:0 1.1919EX =++= 19.解:(1)设PD 的中点为F ,连接EF ,Q 点,E F 分别是PCD ∆的中点,∴EF ∥CD ,且12EF CD =,∴EF ∥AB ,且EF AB =,∴四边形FABE 是平行四边形.∴BE ∥AF ,又AF ⊂平面PAD ,EF ⊄平面PAD ,∴BE ∥平面PAD .(2)在梯形ABCD 中,过点B 作BH CD ⊥于H ,在BCH ∆中,1BH CH ==,∴45BCH ∠=o. 又在DAB ∆中,1AD AB ==,∴45ADB ∠=o.∴45BDC ∠=o ,∴90.DBC ∠=o∴BD BC ⊥.Q 平面PCD ⊥平面ABCD ,平面PCD I 平面ABCD CD =,PD ⊂平面PCD ,∴PD ⊥平面ABCD ,∴PD BC ⊥, 又,BD PD D BD =⊂Q I 平面PBD ,PD ⊂平面PBD ,∴BC ⊥平面PBD ,(3)以D 为原点,,,DA DC DP 所在直线为,,x y z轴建立空间直角坐标系,则(0,0,1),(0,2,0),(1,0,0),(1,1,0).P C A B令000(,,),Q x y z PQ PC λ=uu u r uu u rQ ,(0,2,1)Q λλ-,BC ⊥Q 平面PBD ,∴(1,1,0)BC n ==-u u u r r即为平面PBD 的法向量.设平面QBD 的法向量为(,,)m x y z =u r,则00m DB m DQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r uu u r u r uuu r 即21x y z y λλ=-⎧⎪⎨=⎪-⎩. 令1y =,得2(1,1,).1m λλ=--u r 若二面角Q BD P --为︒45,则cos ,2m n m n m n⋅===u r ru r r u r r ,解得1λ=-± Q Q 在PC 上,0 1.λ<<∴ 1.λ=20.解:(1)Q 椭圆过点,e =22, ∴1, 1.a b c === ∴所求椭圆方程为22 1.2x y += (2)(ⅰ)证明:方法一:由于F 1(-1,0)、F 2(1,0),PF 1、PF 2的斜率分别为k 1、k 2,且点P 不在x 轴上,∴1212,0,0k k k k ≠≠≠.又直线PF 1,PF 2的方程分别为12(1),(y k x y k x =+=-联立方程解得12211221,2k k x k k k k y k k +⎧=⎪-⎪⎨⎪=⎪-⎩,∴121221212(,)k k k k P k k k k +--.由于点P 在直线x +y =2上, ∴1212212k k k k k k ++-=2. ∴2k 1k 2+3k 1-k 2=0,即2131k k -=2,结论成立.方法二:设P (x 0,y 0),则0101y k x =+,0201y k x =-. Q 点P 不在x 轴上,∴00y ≠. 又x 0+y 0=2,∴000012000013(1)422132x x x y k k y y y y +---=-===. ∴结论成立. (ⅱ)设A (x A ,y A ),B (x B ,y B ),C (x C ,y C ),D (x D ,y D ).联立直线PF 1与椭圆的方程得122(1),12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,化简得2222111(21)4220k x k x k +++-=,∴x A +x B =-2121421k k +,x A x B =21212221k k -+, 由于OA ,OB 的斜率存在,∴0,0A B x x ≠≠,∴0,1k ≠. ∴k OA +k OB =11(1)(1)A B A B A B A B y y k x k x x x x x +++=+=2k 1+k 1A BA Bx x x x +=k 1(2-2121422k k -)=-121422k k -=-12121kk -.类似地,可以得到220,0,0,1C D x x k ≠≠≠,k OC +k OD =-12121k k -, ∴k OA +k OB +k OC +k OD =-2(1211k k -+2221k k -) =-2221211222212(1)(1)k k k k k k k k -+---=-121222122(1)()(1)(1)k k k k k k -+--. 若k OA +k OB +k OC +k OD =0,须有k 1+k 2=0或k 1k 2=1.①当k 1+k 2=0时,结合(ⅰ)的结论,可得22k =-,∴解得点P 的坐标为(0,2); ②当k 1k 2=1时,结合(ⅰ)的结论,解得k 2=3或k 2=-1(此时k 1=-1,不满足k 1≠k 2,舍去),此时直线CD 的方程为y =3(x -1),联立方程x +y =2得53,44x y ==. 21. 解:(1)由题意得2()x xxe e f x x-'=,则当1x >时,()0f x '>; 当01x <<时,()0f x '<. ∴()f x 在(0,1)上是减函数,在(1,)+∞上是增函数. 当1m ≥时,函数()f x 在[,1]m m +上是增函数,此时min()()me f x f m m==。

江西省重点中学十校联考2015届高考数学二模试卷理含解析

江西省重点中学十校联考2015届高考数学二模试卷理含解析

江西省重点中学十校联考2015届高考数学二模试卷(理科)一、选择题(每小题5分,共60分,每小题只有一项符合题目要求)1.(5分)设集合A={x|y=ln(1﹣x)},集合B={y|y=x2},则A∩B=()A.[0,1] B.[0,1)C.(﹣∞,1] D.(﹣∞,1)2.(5分)“≤﹣2”是“a<0且b>0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.(5分)已知等差数列{a n}前n项和为S n,a4=2,S10=10,则a7的值为()A.0 B.1 C.2 D.34.(5分)已知平面向量,满足||=||=1,(+2)•(﹣)=﹣,则与的夹角为()A.B.C.D.5.(5分)a的值由如图程序框图算出,则二项式(﹣)9展开式的常数项为()A.T4=53×B.T6=﹣55×C.T5=74×D.T4=﹣73×6.(5分)在小语种自主招生考试中,某学校获得4个推荐名额,其中韩语2名,日语1名,俄语1名,并且韩语要求必须有女生参加,学校通过选拔定下2女2男共4个推荐对象,则不同的推荐方法共有()A.8种B.10种C.12种D.14种7.(5分)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为()A.B.C.D.8.(5分)函数f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数,该函数的部分图象如图所示,点A、B分别为该部分图象的最高点与最低点,且这两点间的距离为4,则函数f(x)图象的一条对称轴的方程为()A.x=B.x=C.x=4 D.x=29.(5分)线段AB是圆C1:x2+y2+2x﹣6y=0的一条直径,离心率为的双曲线C2以A,B为焦点.若P是圆C1与双曲线C2的一个公共点,则|PA|+|PB|=()A.B.4C.4D.610.(5分)由不等式组确定的平面区域为M,由不等式组确定的平面区域为N,在N内随机的取一点P,则点P落在区域M内的概率为()A.B.C.D.11.(5分)已知数列{a n}共有9项,其中,a1=a9=1,且对每个i∈{1,2,…,8},均有∈{2,1,﹣},记S=++…+,则S的最小值为()A.5 B.5C.6 D.612.(5分)若存在x0∈N+,n∈N+,使f(x0)+f(x0+1)+…+f(x0+n)=63成立,则称(x0,n)为函数f(x)的一个“生成点”.已知函数f(x)=2x+1,x∈N的“生成点”坐标满足二次函数g(x)=ax2+bx+c,则使函数y=g(x)与x轴无交点的a的取值范围是()A.0<α<B.<α<C.α<D.0<α<或α>二、填空题(每小题5分,共20分)13.(5分)设i为虚数单位,复数z=(1+i)(cosθ﹣i•sinθ)∈R(0<θ<π),则tanθ=.14.(5分)记直线x﹣3y﹣1=0的倾斜角为α,曲线y=lnx在(2,ln2)处切线的倾斜角为β.则α﹣β=.15.(5分)正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,底面ABCD的对角线BD在平面α内,则正方体在平面α内的影射构成的图形面积的取值范围是.16.(5分)关于函数f(x)=x2(lnx﹣a)+a,给出以下4个结论:①∃a>0,∀x>0,f(x)≥0;②∃a>0,∃x>0,f(x)≤0;③∀a>0,∀x>0,f(x)≥0;④∀a>0,∃x>0,f(x)≤0.其中正确结论的个数是.三、解答题(共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(12分)已知=(cosx,sin2x),=(cosx,),f(x)=•.(Ⅰ)求f(x)的取值范围;(Ⅱ)在△ABC中,角A、B、C的对边分别是a,b,c,若函数g(x)=bf(x)+c在x=A处取最大值6,求△ABC面积的最大值.18.(12分)某校从参加2014-2015学年高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生,其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示.(I)估计这次测试数学成绩的平均分;(II)假设在[90,100]段的学生的数学成绩都不相同,且都超过94分.若将频率视为概率,现用简单随机抽样的方法,从95,96,97,98,99,100这6个数中任意抽取2个数,有放回地抽取了3次,记这3次抽取中,恰好是两个学生的数学成绩的次数为ξ,求ξ的分布列及数学期望Eξ.19.(12分)如图,在三棱锥P﹣ABC中,AC⊥BC,平面PAC⊥平面ABC,PA=PC=AC=2,BC=4,E、F分别是PC,PB的中点,记平面AEF与平面ABC的交线为直线l.(Ⅰ)求证:直线l⊥平面PAC;(Ⅱ)直线l上是否存在点Q,使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余?若存在,求出|AQ|的值;若不存在,请说明理由.20.(12分)已知椭圆F:+=1(a>b>0)的离心率为,左焦点为F1,点F1到直线ax+by=0的距离为.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)点M在圆x2+y2=b2上,且M在第一象限,过M作圆x2+y2=b2的切线角椭圆于P,Q两点,求证:|PF1|+|QF1|﹣|PQ|为定值.21.(12分)已知函数f(x)=x+﹣alnx(a∈R).(Ⅰ)当a=1时,求曲线f(x)在x=1处的切线方程;(Ⅱ)若在[1,e](e=2.71828…为自然对数的底数)上存在一点x0,使得f(x0)≤0成立,求a的取值范围;(Ⅲ)当a>0时,设函数g(x)=f(ax)﹣,若g(x)有两个不同的零点x1,x2,且0<x1<x2,求证:<lna.【选修4—1】几何证明选讲22.(10分)如图,过圆E外一点A作一条直线与圆E交于B,C两点,且,作直线AF与圆E相切于点F,连结EF交BC于点D,已知圆E的半径为2,∠EBC=30°(1)求AF的长;(2)求证:AD=3ED.【选修4—4】坐标系与参数方程23.已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线L的参数方程是(t为参数).(1)求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程;(2)设点P(m,0),若直线L与曲线C交于A,B两点,且|PA|•|PB|=1,求实数m的值.【选修4—5】不等式选讲24.已知a+b=1,a>0,b>0.(Ⅰ)求+的最小值;(Ⅱ)若不等式+≥|2x﹣1|﹣|x+1|对任意a,b恒成立,求x的取值范围.江西省重点中学十校联考2015届高考数学二模试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(每小题5分,共60分,每小题只有一项符合题目要求)1.(5分)设集合A={x|y=ln(1﹣x)},集合B={y|y=x2},则A∩B=()A.[0,1] B.[0,1)C.(﹣∞,1] D.(﹣∞,1)考点:交集及其运算;对数函数的定义域.专题:计算题.分析:由集合A={x|y=ln(1﹣x)},表示函数y=ln(1﹣x)的定义域,集合B={y|y=x2},表示y=x2的值域,我们不难求出集合A,B,再根据集合交集的定义,不难得到答案.解答:解:∵A={x|y=ln(1﹣x)}={x|x<1},B={y|y=x2}={y|y≥0},∴A∩B=[0,1).故选B点评:遇到两个连续数集的运算,其步骤一般是:①求出M和N;②借助数轴分析集合运算结果,方法是:并集求覆盖的最大范围,交集求覆盖的公共范围.2.(5分)“≤﹣2”是“a<0且b>0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断.专题:简易逻辑.分析:可以通过移项求出不等式的解集,再根据充分必要条件进行判断.解答:解:≤﹣2可得+2=≤0,即ab<0,即a>0,b<0,或a <0,b>0,∴“≤﹣2”是“a<0且b>0”的必要不充分条件.故选:B.点评:此题主要考查充分必要条件的定义,以及不等式的求解,是一道基础题.3.(5分)已知等差数列{a n}前n项和为S n,a4=2,S10=10,则a7的值为()A.0 B.1 C.2 D.3考点:等差数列的通项公式.专题:等差数列与等比数列.分析:设出等差数列的首项和公差,由已知列方程组求得首项和公差,代入等差数列的前n 项和得答案.解答:解:设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,由a4=2,S10=10,得,解得.∴.故选:A.点评:本题考查等差数列的通项公式,考查了等差数列的前n项和,是基础的计算题.4.(5分)已知平面向量,满足||=||=1,(+2)•(﹣)=﹣,则与的夹角为()A.B.C.D.考点:平面向量数量积的运算.专题:平面向量及应用.分析:直接把等式左边展开多项式乘多项式,然后代入数量积公式求得与的夹角.解答:解:由||=||=1,(+2)•(﹣)=﹣,得,即1+1×1×cos<>﹣2=﹣,∴=,则与的夹角为.故选:B.点评:本题考查平面向量的数量积运算,关键是对数量积公式的记忆与运用,是基础题.5.(5分)a的值由如图程序框图算出,则二项式(﹣)9展开式的常数项为()A.T4=53×B.T6=﹣55×C.T5=74×D.T4=﹣73×考点:程序框图.专题:算法和程序框图.分析:由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.解答:解:第一次执行循环体后,S=3,不满足输出条件,a=5,再次执行循环体后,S=15,不满足输出条件,a=7再次执行循环体后,S=105,满足输出条件,故a=7,故二项式(﹣)9展开式的常数项,即T4=﹣73×,故选:D.点评:本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟循环的方法解答.6.(5分)在小语种自主招生考试中,某学校获得4个推荐名额,其中韩语2名,日语1名,俄语1名,并且韩语要求必须有女生参加,学校通过选拔定下2女2男共4个推荐对象,则不同的推荐方法共有()A.8种B.10种C.12种D.14种考点:计数原理的应用.专题:排列组合.分析:韩语要求必须有女生参加.先从2个女生中选一个考韩语,剩下的三个考生在三个位置排列,去掉重复部分,即当考韩语的有两个女生,即可得到答案.解答:解:∵由题意知韩语都要求必须有女生参加考试,∴先从2个女生中选一个考韩语有C21=2种结果,剩下的三个考生在三个位置排列A33种结果,其2015届中考韩语为两个女生的情况重复共有A22种结果,∴共有C21A33﹣A22=10种结果.故选:B点评:本题考查了分类和分步计数原理,分类要做到“不重不漏”.分类后再分别对每一类进行计数,最后用分类加法计数原理求和,得到总数.分步要做到“步骤完整”﹣﹣完成了所有步骤,恰好完成任务7.(5分)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为()A.B.C.D.考点:由三视图求面积、体积.专题:空间位置关系与距离.分析:由已知中的三视图,可又分析出该几何由一个底面半径为1,高为的半圆锥,和一个底面为边长为2的正方形,高为的四棱锥组合而成,分别代入圆锥的体积公式和棱锥的体积公式,可得该几何体的体积.解答:解:由已知中的三视图可得该几何体是一个组合体,由一个底面半径为1,高为的半圆锥和一个底面为边长为2的正方形,高为的四棱锥组合而成故这个几何体的体积V=+=故选A点评:本题考查的知识点是由三视图求体积,其中根据已知分析出几何体的形状及底面半径,底面棱长,高等几何量是解答的关键.8.(5分)函数f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数,该函数的部分图象如图所示,点A、B分别为该部分图象的最高点与最低点,且这两点间的距离为4,则函数f(x)图象的一条对称轴的方程为()A.x=B.x=C.x=4 D.x=2考点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.专题:计算题.分析:根据题意可求得ω、φ的值,从而可得f(x)的解析式及其对称轴方程,继而可得答案.解答:解:∵f(x)=2cos(ωx+φ)为奇函数,∴f(0)=2cosφ=0,∴cosφ=0,又0<φ<π,∴φ=;∴f(x)=2cos(ωx+)=﹣2sinωx=2sin(ωx+π),又ω>0,∴其周期T=;设A(x1,2),B(x2,﹣2),则|AB|==4,∴|x1﹣x2|=x1﹣x2=4.即T=4,∴T==8,∴ω=.∴f(x)=2sin(x+π),∴其对称轴方程由x+π=kπ+(k∈Z)得:x=4k﹣2.当k=1时,x=2.故选D.点评:本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换,求得ω是难点,考查分析与运算能力,属于中档题.9.(5分)线段AB是圆C1:x2+y2+2x﹣6y=0的一条直径,离心率为的双曲线C2以A,B为焦点.若P是圆C1与双曲线C2的一个公共点,则|PA|+|PB|=()A.B.4C.4D.6考点:直线与圆的位置关系;圆与圆锥曲线的综合.专题:综合题;直线与圆.分析:由题设知双曲线C2的焦距2c=|AB|=2,双曲线的实半轴a=,由P是圆C1与双曲线C2的公共点,知||PA|﹣|PB||=2,|PA|2+|PB|2=40,由此能求出|PA|+|PB|.解答:解:∵圆C1:x2+y2+2x﹣6y=0的半径r==,线段AB是圆C1:x2+y2+2x﹣6y=0的一条直径,离心率为的双曲线C2以A,B为焦点,∴双曲线C2的焦距2c=|AB|=2,∵P是圆C1与双曲线C2的一个公共点,∴||PA|﹣|PB||=2a,|PA|2+|PB|2=40,∴|PA|2+|PB|2﹣2|PA||PB|=4a2,∵c=,e==,∴a=,∴2|PA||PB|=32,∴∴|PA|2+|PB|2+2|PA||PB|=(|PA|+|PB|)2=72,∴|PA|+|PB|=6.故选D.点评:本题考查|PA|+|PB|的值的求法,具体涉及到圆的简单性质,双曲线的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化.10.(5分)由不等式组确定的平面区域为M,由不等式组确定的平面区域为N,在N内随机的取一点P,则点P落在区域M内的概率为()A.B.C.D.考点:几何概型.专题:概率与统计.分析:画出区域,分别求出区域M,N的面积,利用几何概型的公式解答解答:解:不等式确定的平面区域为M如图中黑色阴影部分,其面积等于红色部分面积,所以===1,区域N的面积为2(e﹣1)=2e﹣2,由几何概型公式可得在N内随机的取一点P,则点P落在区域M内的概率为:;故选:A.点评:本题考查了几何概型的概率求法,关键是分别求出区域M,N的面积,利用几何概型公式解答.11.(5分)已知数列{a n}共有9项,其中,a1=a9=1,且对每个i∈{1,2,…,8},均有∈{2,1,﹣},记S=++…+,则S的最小值为()A.5 B.5C.6 D.6考点:数列的求和.专题:计算题;点列、递归数列与数学归纳法.分析:令b i=(1≤i≤8),根据数列比值的关系,结合S的表达式进行推导即可.解答:解:令b i=(1≤i≤8),则对每个符合条件的数列{a n}满足b i===1,且b i∈{2,1,﹣},1≤i≤8.反之,由符合上述条件的八项数列{b n}可唯一确定一个符合题设条件的九项数列{a n}.记符合条件的数列{b n}的个数为N,由题意知b i(1≤i≤8)中有2k个﹣,2k个2,8﹣4k个1,且k的所有可能取值为0,1,2.对于三种情况,当k=2时,S取到最小值6.故选:C.点评:本题考查数列的相邻两项比值之和的最小值的求法,考查满足条件的数列的个数的求法,解题时要认真审题,注意等价转化思想的合理运用.12.(5分)若存在x0∈N+,n∈N+,使f(x0)+f(x0+1)+…+f(x0+n)=63成立,则称(x0,n)为函数f(x)的一个“生成点”.已知函数f(x)=2x+1,x∈N的“生成点”坐标满足二次函数g(x)=ax2+bx+c,则使函数y=g(x)与x轴无交点的a的取值范围是()A.0<α<B.<α<C.α<D.0<α<或α>考点:进行简单的合情推理.专题:函数的性质及应用.分析:根据“生成点“的定义,求出(9,2),(1,6)为函数f(x)的一个“生成点”.根据函数f(x)=2x+1,x∈N的“生成点”坐标满足二次函数g(x)=ax2+bx+c,可求出a,b,c的关系,进而根据函数y=g(x)与x轴无交点,△<0,求出a的取值范围.解答:解:∵f(x)=2x+1,x∈N,满足:f(9)+f(10)+f(11)=63,故(9,2)为函数f(x)的一个“生成点”.f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=63,故(1,6)为函数f(x)的一个“生成点”.又∵函数f(x)=2x+1,x∈N的“生成点”坐标满足二次函数g(x)=ax2+bx+c,∴81a+9b+c=2,a+b+c=6,解得:b=﹣﹣10a,c=9a+,若函数y=g(x)与x轴无交点,则△=b2﹣4ac=()2﹣4a(9a+)<0,解得:,故选:B点评:本题考查的知识点是合情推理,二次函数的图象和性质,正确理解“生成点“的定义,是解答的关键.二、填空题(每小题5分,共20分)(cosθ﹣i•sinθ)∈R(0<θ<π),则tanθ=.(5分)设i为虚数单位,复数z=(1+i)13.考点:复数代数形式的乘除运算.专题:数系的扩充和复数.分析:首先化简复数为a+bi的形式,然后根据复数为实数,得到θ的值求之.解答:解:因为复数z=(1+i)(cosθ﹣i•sinθ)=(cosθ+sinθ)+(cosθ﹣sinθ)i∈R,所以cosθ﹣sinθ=0,即sin()=0,0<θ<π,所以,所以tanθ=;故答案为:.点评:本题考查了复数的性质;若复数a+bi∈R(a,b∈R)则b=0.14.(5分)记直线x﹣3y﹣1=0的倾斜角为α,曲线y=lnx在(2,ln2)处切线的倾斜角为β.则α﹣β=﹣arctan.考点:利用导数研究曲线上某点切线方程.专题:计算题;导数的综合应用.分析:求出曲线y=1nx在(2,1n2)处切线斜率,从而可得tanα=,tanβ=,利用差角的正切公式,即可求出α﹣β.解答:解:∵y=1nx,∴y′=,x=2时,y′=,∵直线x﹣3y﹣l=0的倾斜角为α,曲线y=1nx在(2,1n2)处切线的倾斜角为β,∴tanα=,tanβ=,∴tan(α﹣β)==﹣,∵0<α<β<,∴α﹣β=﹣arctan.故答案为:﹣arctan.点评:本题考查导数的几何意义,考查斜率与倾斜角之间的关系,考查和角的正切公式,确定tanα=,tanβ=,是解题的关键.15.(5分)正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,底面ABCD的对角线BD在平面α内,则正方体在平面α内的影射构成的图形面积的取值范围是.考点:二面角的平面角及求法.专题:空间位置关系与距离;空间角.分析:设矩形BDD1B1与α所成锐二面角为θ,面积记为S1,推出正方形A1B1C1D1与α所成锐二面角为.面积记为S2,求出阴影部分的面积的表达式,利用两角和与差的三角函数求解最值即可.解答:解:设矩形BDD1B1与α所成锐二面角为θ,面积记为S1,则正方形A1B1C1D1与α所成锐二面角为.面积记为S2,所求阴影部分的面积S==S1cosθ+S2sinθ=cosθ+sinθ=sin(θ+β)其中sinβ=,cosβ=.故S∈.故答案为:.点评:本题考查二面角的应用,空间想象能力以及转化思想的应用,难度比较大.16.(5分)关于函数f(x)=x2(lnx﹣a)+a,给出以下4个结论:①∃a>0,∀x>0,f(x)≥0;②∃a>0,∃x>0,f(x)≤0;③∀a>0,∀x>0,f(x)≥0;④∀a>0,∃x>0,f(x)≤0.其中正确结论的个数是3.考点:对数函数的图像与性质.专题:函数的性质及应用.分析:①令a=,进行验证即可;②令a=5,通过验证结论成立;③当a=5时,举反例x=5时,不满足条件;④求函数的导数,判断函数存在极值进行判断.解答:解:①当a=,则f(x)=x2(lnx﹣)+,函数的定义域为(0,+∞),此时函数的导数f′(x)=2x(lnx﹣)+x2•=2xlnx﹣x+x=2xlnx,由f′(x)=0得,x=1,则当x>1时,则f′(x)>0,此时函数递增,当0<x<1时,则f′(x)<0,此时函数递减,故当x=1时,函数f(x)取得极小值同时也是最小值f(1)=﹣+=0,则对∀x>0,f(x)≥f(1)=0;故①正确②当a=5,则f(x)=x2(lnx﹣5)+5,则f(e)=e2(lne﹣5)+5=﹣4e2+5<0,故②∃a>0,∃x>0,f(x)≤0,成立.③由②知当a=5时,∃x=e,满足e>0,但f(e)<0,故③∀a>0,∀x>0,f(x)≥0不成立,故③错误.④函数的导数f′(x)=2x(lnx﹣a)+x2•=2x(lnx﹣a)+x=x(2lnx﹣2a+1)=2x(lnx+﹣a).由f′(x)=0,则lnx+﹣a=0,即lnx=a﹣,即∀a>0,函数f(x)都存在极值点,即∃x>0,f(x)≤0成立,故④正确,综上正确是有①②④,共3个故答案为:3点评:本题主要考查命题的真假判断,利用特殊值法和排除法是解决本题的关键.难度较大.三、解答题(共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(12分)已知=(cosx,sin2x),=(cosx,),f(x)=•.(Ⅰ)求f(x)的取值范围;(Ⅱ)在△ABC中,角A、B、C的对边分别是a,b,c,若函数g(x)=bf(x)+c在x=A处取最大值6,求△ABC面积的最大值.考点:平面向量数量积的运算;三角函数中的恒等变换应用.专题:平面向量及应用.分析:(Ⅰ)利用向量数量积的运算性质及辅助角公式计算可得f(x)=sin(2x+)+,结合三角函数的有界性即得结论;(Ⅱ)通过函数g(x)在x=A处取最大值6,可知,进而可得A=,利用基本不等式计算即得结论.解答:解:(Ⅰ)由题可知:f(x)=•=(cosx,sin2x)•(cosx,)=cos2x+sin2x=cos2x+sin2x+=sin(2x+)+,∵sin(2x+)∈[﹣1,1],∴f(x)∈[﹣,];(Ⅱ)∵f(x)=sin(2x+)+,∴g(x)=bf(x)+c=bsin(2x+)+b+c,∵函数g(x)=bsin(2x+)+b+c在x=A处取最大值6,∴,又∵0<A<π,∴A=,∴6=b+c≥2,即bc≤9(当且仅当b=c时等号成立),∵S△ABC=bcsinA=•(bc),∴S△ABC≤•9=,即△ABC面积的最大值为.点评:本题考查平面向量数量积的运算,考查三角函数恒等变换及最值,注意解题方法的积累,属于中档题.18.(12分)某校从参加2014-2015学年高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生,其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示.(I)估计这次测试数学成绩的平均分;(II)假设在[90,100]段的学生的数学成绩都不相同,且都超过94分.若将频率视为概率,现用简单随机抽样的方法,从95,96,97,98,99,100这6个数中任意抽取2个数,有放回地抽取了3次,记这3次抽取中,恰好是两个学生的数学成绩的次数为ξ,求ξ的分布列及数学期望Eξ.考点:离散型随机变量的期望与方差;频率分布直方图;离散型随机变量及其分布列.专题:计算题.分析:(I)利用分组两端的数据中值估算抽样学生的平均分,类似于加权平均数的算法,让每一段的中值乘以这一段对应的频率,得到平均数,利用样本的平均数来估计总体的平均数.(II)根据等可能事件的概率公式得到两个数恰好是两个学生的数学成绩的概率,随机变量ξ的可能取值为0、1、2、3,且变量符合二项分布,根据符合二项分布写出分布列和期望,也可以用一般求期望的方法来解.解答:解:(I)利用中值估算抽样学生的平均分:45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05=72.∴估计这次考试的平均分是72分.(II)从95,96,97,98,99,100中抽2个数的全部可能的基本结果数是C62=15,有15种结果,学生的成绩在[90,100]段的人数是0.005×10×80=4(人),这两个数恰好是两个学生的数学成绩的基本结果数是C42=6,两个数恰好是两个学生的数学成绩的概率.随机变量ξ的可能取值为0、1、2、3,且变量符合二项分布,∴∴变量ξ的分布列为:ξ0 1 2 3p∴(或Eξ=)点评:本题考查读频率分步直方图,考查用样本估计总体,考查等可能事件的概率,考查离散型随机变量的分布列和期望,考查二项分布,是一个综合题.19.(12分)如图,在三棱锥P﹣ABC中,AC⊥BC,平面PAC⊥平面ABC,PA=PC=AC=2,BC=4,E、F分别是PC,PB的中点,记平面AEF与平面ABC的交线为直线l.(Ⅰ)求证:直线l⊥平面PAC;(Ⅱ)直线l上是否存在点Q,使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余?若存在,求出|AQ|的值;若不存在,请说明理由.考点:棱锥的结构特征;直线与平面垂直的判定.专题:空间位置关系与距离;空间向量及应用.分析:(I)利用中位线,直线平面的平行问题得出l∥BC,根据直线平面的垂直问题得出BC⊥平面PAC,即可得出直线l⊥平面PAC.(II)建立坐标系得出平面AEF的法向量,cos<,>,cos<,>,直线平面,直线的夹角的关系求解即可,sinα=||,cosβ=||,sinα=cosβ.解答:(I)证明:∵E,F分别为PB,PC中点,∴BC∥EF,又EF⊆平面EFA,BC⊊平面EFA,∴BC∥平面EFA又BC⊆平面ABC,平面EFA∩平面ABC=l,∴l∥BC.∵AC⊥BC,∴EF⊥BC,∵PA=PC=AC=2,∴AE⊥PC,∵AC⊥BC,平面PAC⊥平面ABC,∴BC⊥平面PAC,∵l∥BC∴直线l⊥平面PAC,(II)如图建立坐标系得出:C(0,0,0),A(2,0,0),E(,0,),F(0,2,),P(1,0,),Q(2,y,0)∴=(1,0,)为平面AEF的法向量,=(﹣,2,0),=(1,y,﹣)∴cos<,>==,cos<,>==,设直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角分别为α,β,α+β=,∴sinα=||,cosβ=||,sinα=cosβ,即1=|﹣1+4y|,求解y=,y=0,A(2,0,0),存在Q(2,0,0)或Q(2,,0),|AQ|=或|AQ|=0.点评:本题综合考查了空间直线,平面的位置关系,判断方法,空间向量解决存在性问题,运用代数方法求解几何问题,考查了学生的计算能力.20.(12分)已知椭圆F:+=1(a>b>0)的离心率为,左焦点为F1,点F1到直线ax+by=0的距离为.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)点M在圆x2+y2=b2上,且M在第一象限,过M作圆x2+y2=b2的切线角椭圆于P,Q两点,求证:|PF1|+|QF1|﹣|PQ|为定值.考点:直线与圆锥曲线的综合问题.专题:圆锥曲线中的最值与范围问题.分析:(Ⅰ)左焦点设为(﹣c,0),则(﹣c,0)到直线ax+by=0的距离为d=,求得椭圆方程.(Ⅱ)在圆中,M是切点,,得(8+9k2)x2+18kmx+9m2﹣72=0,则x1+x2=,,求出:|PF1|,|QF1|,|PQ|的值,继而得到答案.解答:解:(Ⅰ)∵①,左焦点设为(﹣c,0),则(﹣c,0)到直线ax+by=0的距离为d=,∴②,b2+c2=a2③由①②③得:a2=9,b2=8,∴椭圆方程为:;(Ⅱ)证明:设P(x1,y1),Q(x2,y2),则∴,∵0<x1<3,|PF2|=3﹣,同理|QF2|=3﹣在圆中,M是切点,,得(8+9k2)x2+18kmx+9m2﹣72=0设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=,∴==∵PQ与圆相切,∴即m=,∴所以:|PF1|+|QF1|﹣|PQ|=6﹣.即:|PF1|+|QF1|﹣|PQ|为定值.点评:本题主要考查了椭圆方程得求法和直线与圆锥曲线的位置关系,属于难度较大的题型.21.(12分)已知函数f(x)=x+﹣alnx(a∈R).(Ⅰ)当a=1时,求曲线f(x)在x=1处的切线方程;(Ⅱ)若在[1,e](e=2.71828…为自然对数的底数)上存在一点x0,使得f(x0)≤0成立,求a的取值范围;(Ⅲ)当a>0时,设函数g(x)=f(ax)﹣,若g(x)有两个不同的零点x1,x2,且0<x1<x2,求证:<lna.考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;函数零点的判定定理.专题:函数的性质及应用;导数的概念及应用;导数的综合应用;不等式的解法及应用.分析:(Ⅰ)当a=1时,求得函数的导数,求出切线的斜率和切点坐标,由点斜式方程即可得到切线的方程;(Ⅱ)转化已知条件为函数f(x)在[1,e]上的最小值[f(x)]min≤0,利用单调性,①a≥e ﹣1时,②a≤0时,③0<a<e﹣1时,分别求解函数的最小值,推出所求a的范围;(Ⅲ)化简g(x)=f(ax)﹣=ax﹣alnax,(a>0),求出导数,求得单调区间和极小值,令它小于0,求得a>e,再由x1=lnax1,x2=lnax2,相加,构造函数,求出最值,再由不等式的性质,即可得证.解答:解:(Ⅰ)当a=1时,f(x)=x+﹣lnx的导数为f′(x)=1﹣﹣,曲线f(x)在x=1处的切线斜率为f′(1)=﹣2,切点为(1,3),即有切线方程为y﹣3=﹣2(x﹣1),即为2x+y﹣5=0;(Ⅱ)由题意可知,在[1,e]上存在一点x0,使得f(x0)≤0,即函数f(x)=x+﹣alnx在[1,e]上的最小值[f(x)]min≤0.由f(x)的导数f′(x)=1﹣﹣=,①当a+1≥e,即a≥e﹣1时,f(x)在[1,e]上单调递减,∴[f(x)]min=f(e)=e+﹣a,∴a≥,∵>e﹣1,∴a≥;②当a+1≤1,即a≤0时,f(x)在[1,e]上单调递增,∴[f(x)]min=f(1)=1+1+a≤0,∴a≤﹣2;③当1<a+1<e,即0<a<e﹣1时,∴[f(x)]min=f(1+a)=2+a﹣aln(1+a)≤0,∵0<ln(1+a)<1,∴0<aln(1+a)<a,∴h(1+a)>2此时不存在x0使h(x0)≤0成立.综上可得所求a的范围是:a≥,或a≤﹣2.(Ⅲ)函数g(x)=f(ax)﹣=ax﹣alnax,(a>0),g′(x)=a﹣a•,当x>1时,g′(x)>0,g(x)递增,当0<x<1时,g′(x)<0,g(x)递减.即有x=1处g(x)取得极小值,也为最小值,且为a﹣alna,g(x)有两个不同的零点,则有a﹣alna<0,解得a>e,g(x)有两个不同的零点x1,x2,且0<x1<x2,即x1=lnax1,x2=lnax2,相加可得x1+x2=lnax1+lnax2=ln(a2x1x2),x1x2=,即有=,令t=x1+x2,则h(t)=的导数为,当t>1时,h(t)递增,当0<t<1时,h(t)递减,即有t=1时,h(t)取得最小值,且为e,有<•e=<1,lna>1,则有<lna.点评:本题考查函数的导数的综合应用,曲线的切线方程、函数的单调性以及函数的最值的应用,考查分析问题解决问题得到能力.【选修4—1】几何证明选讲22.(10分)如图,过圆E外一点A作一条直线与圆E交于B,C两点,且,作直线AF与圆E相切于点F,连结EF交BC于点D,已知圆E的半径为2,∠EBC=30°(1)求AF的长;(2)求证:AD=3ED.考点:与圆有关的比例线段.专题:直线与圆.分析:(1)延长BE交圆E于点M,连结CM,则∠BCM=90°,由已知条件求出AB,AC,再由切割线定理能求出AF.(2)过E作EH⊥BC于H,得到EDH∽△ADF,由此入手能够证明AD=3ED.解答:(1)解:延长BE交圆E于点M,连结CM,则∠BCM=90°,∵BM=2BE=4,∠EBC=30°,∴,又∵,∴,∴,根据切割线定理得,即AF=3(2)证明:过E作EH⊥BC于H,∵∠EOH=∠ADF,∠EHD=∠AFD,∴△EDH∽△ADF,∴,又由题意知CH=,EB=2,∴EH=1,∴,∴AD=3ED.点评:本题考查与圆有关的线段的求法,考查两条线段间数量关系的证明,是中档题,解题时要注意切割线定理的合理运用.【选修4—4】坐标系与参数方程23.已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线L的参数方程是(t为参数).(1)求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程;(2)设点P(m,0),若直线L与曲线C交于A,B两点,且|PA|•|PB|=1,求实数m的值.考点:参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程.专题:坐标系和参数方程.分析:(1)曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ,化为ρ2=2ρcosθ,利用可得直角坐标方程.直线L的参数方程是(t为参数),把t=2y代入+m消去参数t即可得出.(2)把(t为参数),代入方程:x2+y2=2x化为:+m2﹣2m=0,由△>0,得﹣1<m<3.利用|PA|•|PB|=t1t2,即可得出.解答:解:(1)曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ,化为ρ2=2ρcosθ,可得直角坐标方程:x2+y2=2x.直线L的参数方程是(t为参数),消去参数t可得.(2)把(t为参数),代入方程:x2+y2=2x化为:+m2﹣2m=0,由△>0,解得﹣1<m<3.∴t1t2=m2﹣2m.∵|PA|•|PB|=1=t1t2,∴m2﹣2m=1,解得.又满足△>0.∴实数m=1.点评:本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程的应用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.【选修4—5】不等式选讲24.已知a+b=1,a>0,b>0.(Ⅰ)求+的最小值;(Ⅱ)若不等式+≥|2x﹣1|﹣|x+1|对任意a,b恒成立,求x的取值范围.考点:基本不等式;绝对值三角不等式.专题:不等式的解法及应用.分析:(Ⅰ)由题意可得+=(+)(a+b)=5++,由基本不等式可得;(Ⅱ)问题转化为|2x﹣1|﹣|x+1|≤9,去绝对值化为不等式组,解不等式组可得.解答:解:(Ⅰ)∵a+b=1,a>0,b>0,∴+=(+)(a+b)=5++≥5+2=9,当且仅当=即a=且b=时取等号,∴+的最小值为9;(Ⅱ)若不等式+≥|2x﹣1|﹣|x+1|对任意a,b恒成立,则需|2x﹣1|﹣|x+1|≤9,可转化为,或或,分别解不等式组可得﹣7≤x≤﹣1,≤x≤11,﹣1<x<综合可得x的取值范围为[﹣7,11]点评:本题考查基本不等式求最值,涉及恒成立和绝对值不等式,属中档题.。

江西省三县部分高中2015届高三9月联考数学理试题(WORD版)

江西省三县部分高中2015届高三9月联考数学理试题(WORD版)

2014-2015学年江西省三县部分高中联考高三(上)9月月考数学试卷(理科)一.选择题(每题5分,共50分)1.设全集U={1,2,3,4,5},集合A={2,3,4},集合B={3,5},则B∩∁U A=()A.{5} B.{1,2,3,4,5} C. {1,3,5} D.∅2.函数f(x)=log2(3x﹣1)的定义域为()A.(0,+∞)B.[0,+∞)C.(1,+∞)D.【1,+∞)3.设偶函数f(x)在(0,+∞)上为减函数,且f(2)=0,则不等式的解集为()A.(﹣2,0)∪(2,+∞)B.(﹣∞,﹣2)∪(0,2)C.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)D.(﹣2,0)∪(0,2)4.命题“∀x∈R,e x﹣x+1≥0”的否定是()A.∀x∈R,lnx+x+1<0 B.∂x∈R,e x﹣x+1≥0C.∀x∈R,e x﹣x+1>0 D.∂x∈R,e x﹣x+1<05.定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈(﹣∞,0](x1≠x2),有(x1﹣x2)•(f(x1)﹣f(x2))>0,则当n∈N*时,有()A.f(﹣n)<f(n﹣1)<f(n+1)B.f(n﹣1)<f(﹣n)<f(n+1)C.f(n+1)<f(n﹣1)<f(﹣n)D.f(n+1)<f(﹣n)<f(n﹣1)6.下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是()A.f(x)=x3B.f(x)=3x C.f(x)=x D.f(x)=()x7.若函数y=f(x)(x∈R)满足f(x﹣2)=f(x),且x∈[﹣1,1]时,f(x)=1﹣x2,函数g(x)=,则函数h(x)=f(x)﹣g(x)在区间[﹣5,6]内的零点的个数为()A.13 B.8C.9D.108.已知函数f(x)是奇函数,且在(﹣∞,+∞)上为增函数,若x,y满足等式f(2x2﹣4x)+f(y)=0,则4x+y的最大值是()A.10 B.﹣6 C.8D.99.已知图①中的图象对应的函数y=f(x),则图②中的图象对应的函数是()A.y=f(|x|)B.y=|f(x)| C.y=f(﹣|x|)D.y=﹣f(|x|)10.已知f(x)是以2为周期的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x,那么在区间[﹣1,3]内,关于x 的方程f(x)=kx+k+1(k∈R且k≠﹣1)有4个不同的根,则k的取值范围是()A.B.(﹣1,0)C.D.二.填空题(每小题5分,共25分)11.命题p“∀x∈R,sinx≤1”的否定是_________.12.设函数,g(x)=x2f(x﹣1)(x∈R),则函数g(x)的单调递减区间是_________.13.(2014•福建)函数f(x)=的零点个数是_________.14.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=﹣f(x),则f(6)的值为_________.15.设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R恒有f(x+1)=f(x﹣1),已知当x∈[0,1]时,,则其中所有正确命题的序号是_________.①2是函数f(x)的周期;②函数f(x)在(1,2)上是减函数,在(2,3)上是增函数;③函数f(x)的最大值是1,最小值是0;④当x∈[3,4]时,.三.解答题(6小题,共75分)16.(12分)已知集合A={x|2x<8},B={x|x2﹣2x﹣8<0},C={x|a<x<a+1}.(Ⅰ)求集合A∩B;(Ⅱ)若C⊆B,求实数a的取值范围.17.(12分)已知函数f(x)=(x2﹣2x+2﹣k)e x,k∈R.(Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)若f(x)在区间[0,1]上的最小值为e,求k的值.18.(12分)已知函数f(x)=﹣(x+2)(x﹣m)(其中m>﹣2).g(x)=2x﹣2.(Ⅰ)若命题“log2g(x)≥1”是假命题,求x的取值范围;(Ⅱ)设命题p:∀x∈R,f(x)<0或g(x)<0;命题q:∂x∈(﹣1,0),f(x)g(x)<0.若p∧q 是真命题,求m的取值范围.19.(12分)已知f(x)=x2﹣1,g(x)=(1)求f[g(2)]和g[f(2)];(2)求f[g(x)]和g[f(x)]的表达式.20.(13分)设函数f(x)=|x2﹣4x﹣5|,g(x)=k(x﹣7)(1)画出f(x)的简图;(2)若方程f(x)=g(x)有三个不等实根,求k值的集合;(3)如果x∈[﹣1,5]时,函数f(x)的图象总在直线y=k(x﹣7)的下方,试求出k值的集合.21.(14分)给出定义在(0,+∞)上的三个函数:f(x)=lnx,g(x)=x2﹣af(x),,已知g(x)在x=1处取极值.(1)确定函数h(x)的单调性;(2)求证:当1<x<e2时,恒有成立.解:(Ⅰ)f'(x)=(2x﹣2)e x+(x2﹣2x+2﹣k)e x=(x2﹣k)e x.(3分)当k<0时,f'(x)>0,函数f(x)在R上是增函数.当k=0时,在区间(﹣∞,0)和(0,+∞)上f'(x)>0,f'(0)=0,函数f(x)在R上是增函数.当k>0时,解f'(x)>0,得,或.解f'(x)<0,得.所以函数f(x)在区间和上是增函数,在区间上是减函数.综上,当k≤0时,(﹣∞,+∞)是函数f(x)的单调增区间;当k>0时,和是函数f(x)的单调递增区间,是函数f(x)的单调递减区间.(7分)(Ⅱ)当k≤0时,函数f(x)在R上是增函数,所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0),依题意,f(0)=2﹣k=e,解得k=2﹣e,符合题意.(8分)当,即k≥1时,函数f(x)在区间[0,1]上是减函数.所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1),解f(1)=(1﹣k)e=e,得k=0,不符合题意.(9分)当,即0<k<1时,函数f(x)在区间上是减函数,在区间上是增函数.所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为,(10分)解,即,设h(t)=e t﹣2t,t∈(0,1),(11分)h'(t)=e t﹣2,则在区间(0,ln2)上h'(t)<0,在区间(ln2,1)上h'(t)>0,所以h(t)在区间(0,1)上的最小值为h(ln2),(12分)又h(ln2)=e ln2﹣2ln2=2﹣2ln2>0,(13分)所以e t﹣2t=0在区间(0,1)上无解,所以在区间(0,1)上无解,(14分)综上,k=2﹣e.18.解:(I)∵命题“log2g(x)≥1”是假命题,则log2g(x)<1,即,∴0<2x﹣2<2,解得1<x<2.∴x的取值范围是(1,2);(II)∵p∧q是真命题,∴p与q都是真命题.当x>1时,g(x)=2x﹣2>0,又p是真命题,则f(x)<0.f(1)=﹣(1+2)(1﹣m)<0,解得m<1.当﹣1<x<0时,g(x)=2x﹣2<0.∵q是真命题,则∂x∈(﹣1,0),使得f(x)>0,∴f(﹣1)=﹣(﹣1+2)(﹣1﹣m)>0,即m>﹣1.综上所述:﹣1<m<1.19.解:(1)∵f(x)=x2﹣1,g(x)=∴g(2)=2﹣1=1,f(2)=22﹣1=3,∴f[g(2)]=f(1)=12﹣1=0,g[f(2)]=g(3)3﹣1=2;(2)若x>0,可得g(x)=x﹣1,可得f[g(x)]=(x﹣1)2﹣1=x2﹣2x;若x<0,可得g(x)=2﹣x,可得f[g(x)]=(2﹣x)2﹣1=x2﹣4x+3;∴f[g(x)]=;∵f(x)=x2﹣1≥﹣1,若x>1或x<﹣1,可得x2﹣1>0,∴g[f(x)]=x2﹣1﹣1=x2﹣2;若﹣1<x<1,可得x2﹣1<0,∴g[f(x)]=2﹣(x2﹣1)=﹣x2+3;∴g[f(x)]=;20.解:(1)将函数y=x2﹣4x﹣5的图象x轴下方的图象翻折到x轴上方,保持x轴上方的图象不变,可得函数f(x)=|x2﹣4x﹣5|的图象如下:(2)x∈[﹣1,5]时,f(x)=﹣(x2﹣4x﹣5),令﹣(x2﹣4x﹣5)=k(x﹣7),则x2+(k﹣4)x﹣7k﹣5=0,当△=(k﹣4)2+4(7k+5)=(k+2)(k+18)=0时,直线y=k(x﹣7)与抛物线f(x)=﹣(x2﹣4x ﹣5),x∈[﹣1,5]弧段相切,解得:k=﹣2或k=﹣18.当k=﹣2时,解得x=3,满足要求,当k=﹣18时,解得x=11,不满足要求,∴k=﹣2时直线y=k(x﹣7)与抛物线f(x)=﹣(x2﹣4x﹣5),x∈[﹣1,5]弧段相切于点(3,8)同时,直线y=k(x﹣7)与抛物线f(x)=﹣(x2﹣4x﹣5),x∉[﹣1,5]部分相交于不同两点.由图形可知,直线y=k(x﹣7)绕点(7,0)转动时,除k=﹣2外的所有直线与图象无公共点或有两个公共点或有四个公共点.故k=﹣2为所求.故满足条件的k值的集合为{﹣2}.(3)如果x∈[﹣1,5]时,函数f(x)的图象总在直线y=k(x﹣7)的下方,由(2)结合(1)中图象可得:k<﹣221.解:(1)由题设,g(x)=x2﹣alnx,则.…(2分)由已知,g'(1)=0,即2﹣a=0⇒a=2.…(3分)于是,则.由,…所以h(x)在(1,+∞)上是增函数,在(0,1)上是减函数.…(6分)(2)当1<x<e2时,0<lnx<2,即0<f(x)<2,所以2﹣f(x)>0…(8分)欲证,只需证x[2﹣f(x)]<2+f(x),即证.设,则.…(10分)当1<x<e2时,φ'(x)>0,所以φ(x)在区间(1,e2)上为增函数.从而当1<x<e2时,φ(x)>φ(1)=0,即,故.…(12分)。

江西2015届高中数学二轮复习高效专项检测题36Word版含答案

江西2015届高中数学二轮复习高效专项检测题36Word版含答案

双曲线一、选择题1.(2013²湖北高考文科²T2)已知π04θ<<,则双曲线1C :22221sin cos x y θθ-=与2C :22221cos sin y x θθ-=的( ) A .实轴长相等 B .虚轴长相等 C .离心率相等 D .焦距相等【解题指南】分别表示出双曲线1C 和2C 的实轴,虚轴,离心率和焦距,最后比较即可.【解析】选 D. 双曲线1C 的实轴长为2sin θ,虚轴长为2cos θ,焦距为2=,离心率为1sin θ;双曲线2C 的实轴长为2cos θ,虚轴长为2sin θ,焦距为2=,离心率为1cos θ,故只有焦距相等.故答案为D.2.(2013²福建高考理科²T3)双曲线1422=-y x 的顶点到渐进线的距离等于( ) A.52 B.54C. 552 D.554【解题指南】先求顶点,后求渐近线方程,再用距离公式求解.【解析】选 C.双曲线的右顶点为(20),,渐近线方程为20x y -=,则顶点到渐近线的距离为= 3.(2013²福建高考文科²T4)双曲线x 2-y 2=1的顶点到其渐近线的距离等于 ( )A .12B .2C .1D .【解题指南】先求顶点,后求渐近线方程,再用距离公式. 【解析】选B.顶点错误!未找到引用源。

到渐近线y=x 的距离为错误!未找到引用源。

.4. (2013²新课标Ⅰ高考文科²T4)与(2013²新课标Ⅰ高考理科²T4)相同已知双曲线C :12222=-by a x 错误!未找到引用源。

= 1(a>0,b>0)的离心率为错误!未找到引用源。

,则C 的渐近线方程为( ) A.y=±错误!未找到引用源。

x B.y=±错误!未找到引用源。

x C.y=±错误!未找到引用源。

x D.y=±x 【解题指南】 根据题目中给出离心率确定a 与c 之间的关系,再利用222b a c +=确定a 与b 之间的关系,即可求出渐近线方程.【解析】选C.因为25==a c e ,所以4522=a c ,又因为222b a c +=,所以45222=+a b a ,得=22a b 41,所以渐近线方程为x y 21±= 5.(2013²天津高考理科²T5)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线与抛物线y 2=2p x(p >0)的准线分别交于A,B 两点,O 为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB 的面积为错误!未找到引用源。

高考数学(文)二轮复习专题一 三角函数和平面向量 第2讲 平面向量、解三角形 Word版含答案

高考数学(文)二轮复习专题一 三角函数和平面向量 第2讲 平面向量、解三角形 Word版含答案

第2讲 平面向量、解三角形【课前热身】第2讲 平面向量、解三角形(本讲对应学生用书第4~6页)1.(必修4 P76习题7改编)在矩形ABCD 中,O 是对角线的交点,若BC u u u r =e 1,DC u u u r =e 2,则OC u u u r= .【答案】12(e 1+e 2)【解析】因为O 是矩形ABCD 对角线的交点,BCu u u r =e 1,DCu u u r =e 2,所以OCu u u r =12(BC u u u r +DC u u u r)=12(e 1+e 2).2.(必修4 P90习题19改编)已知向量a =(6,-3),b =(2,x+1),若a ⊥b ,则实数x= . 【答案】3【解析】因为a ⊥b ,所以a ·b =0,所以12-3x-3=0,解得x=3.3.(必修5 P10练习2改编)在锐角三角形ABC 中,设角A ,B 所对的边分别为a ,b.若2a sin B=3b ,则角A= .【答案】π3【解析】在△ABC 中,由正弦定理及已知得2sin A·sin B=3sin B ,因为B 为△ABC的内角,所以sin B ≠0,所以sinA=32.又因为△ABC 为锐角三角形,所以A ∈π02⎛⎫ ⎪⎝⎭,,所以A=π3.4.(必修4 P80例5改编)已知向量a =(1,0),b =(2,1),则当k= 时,向量k a -b 与a +3b 平行.【答案】-13【解析】由题设知向量a 与b 不平行,因为向量k a -b 与a +3b 平行,所以1k =-13,即k=-13.5.(必修5 P16习题1(3)改编)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知a=7,b=43,c=13,则△ABC 最小的内角为 .【答案】π6【解析】因为13<43<7,所以C<B<A ,又因为cosC=222-2a b c ab +=2743⨯⨯=32,所以C=π6.【课堂导学】平面向量与三角函数综合例1 (2016·淮安5月信息卷)已知向量m =(cos α,sin α),n =(3,-1),α∈(0,π).(1)若m ⊥n ,求角α的大小; (2)求|m +n |的最小值.【解答】(1)因为m =(cos α,sin α),n =(3,-1),且m ⊥n ,所以3cos α-sin α=0,即tan α=3.又因为α∈(0,π),所以α=π3.(2)因为m +n =(cos α+3,sin α-1),所以|m +n |=22(cos 3)(sin -1)αα++=523cos -2sin αα+=π54cos 6α⎛⎫++ ⎪⎝⎭. 因为α∈(0,π),所以α+ππ7π666⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,,故当α+π6=π,即α=5π6时,|m +n |取得最小值1.正弦定理、余弦定理的应用例2 (2016·苏州暑假测试)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.已知sin2-2A B+sin A sin B=22+.(1)求角C 的大小;(2)若b=4,△ABC 的面积为6,求c 的值.【解答】(1)sin2-2A B+sin A sin B=1-cos(-)2A B+2sin sin2A B=1-cos cos-sin sin2A B A B+2sin sin2A B=1-cos cos sin sin2A B A B+=1-(cos cos-sin sin)2A B A B=1-cos()2A B+=1-cos(π-)2C=1cos2C+=22+,所以cos C=22.又0<C<π,所以C=π4.(2)因为S=12ab sin C=12a×4×sinπ4=2a=6,所以a=32.因为c2=a2+b2-2ab cos C=(32)2+42-2×32×4×22=10,所以c=10.变式1(2016·南通一调)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知(a+b-c)(a+b+c)=ab.(1)求角C的大小;(2)若c=2a cos B,b=2,求△ABC的面积.【解答】(1)在△ABC中,由(a+b-c)(a+b+c)=ab,得222-2a b cab+=-12,即cosC=-12.因为0<C<π,所以C=2π3.(2)方法一:因为c=2a cos B,由正弦定理,得sin C=2sin A cos B.因为A+B+C=π,所以sin C=sin(A+B ),所以sin(A+B )=2sin A cos B ,即sin A cos B-cos A sin B=0, 所以sin(A-B )=0.又-π3<A-B<π3,所以A-B=0,即A=B ,所以a=b=2. 所以△ABC 的面积为S △ABC =12ab sin C=12×2×2×sin 2π3=3.方法二:由c=2a cos B 及余弦定理,得c=2a×222-2a c b ac +,化简得a=b ,所以△ABC 的面积为S △ABC =12ab sin C=12×2×2×sin 2π3=3.变式2 (2016·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)在斜三角形ABC 中,tan A+tan B+tan A tan B=1.(1)求角C 的大小; (2)若A=15°,2,求△ABC 的周长.【解答】(1)因为tan A+tan B+tan A tan B=1, 即tan A+tan B=1-tan A tan B.因为在斜三角形ABC 中,1-tan A tan B ≠0,所以tan(A+B )=tan tan 1-tan tan A BA B +=1,即tan(180°-C )=1,tan C=-1. 因为0°<C<180°,所以C=135°.(2)在△ABC 中,A=15°,C=135°,则B=180°-A-C=30°.由正弦定理sin BC A =sin CAB =sin ABC ,得sin15BC o =°sin30CA=2=2,故BC=2sin 15°=2sin(45°-30°)=2(sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°)=6-2 2,CA=2sin 30°=1.所以△ABC的周长为AB+BC+CA=2+1+6-22=2622++.平面向量与解三角形综合例3(2016·无锡期末)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知向量a=(sin B-sin C,sin C-sin A),b=(sin B+sin C,sin A),且a⊥b.(1)求角B的大小;(2)若b=c·cos A,△ABC的外接圆的半径为1,求△ABC的面积.【解答】(1)因为a⊥b,所以a·b=0,即sin2B-sin2C+sin A(sin C-sin A)=0,即sin A sin C=sin2A+sin2C-sin2B,由正弦定理得ac=a2+c2-b2,所以cos B=222-2a c bac+=12.因为B∈(0,π),所以B=π3.(2)因为c·cos A=b,所以bc=222-2b c abc+,即b2=c2-a2,又ac=a2+c2-b2,b=2R sin3,解得a=1,c=2.所以S△ABC =12ac sin B=3.变式(2016·苏锡常镇二调)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知向量m=(cos B,cos C),n=(4a-b,c),且m∥n.(1)求cos C的值;(2)若c=3,△ABC的面积S=15,求a,b的值.【解答】(1)因为m∥n,所以c cos B=(4a-b)cos C,由正弦定理,得sin C cos B=(4sin A-sin B)cos C,化简得sin(B+C)=4sin A cos C.因为A+B+C=π,所以sin(B+C)=sin A.又因为A∈(0,π),所以sin A≠0,所以cos C=14.(2)因为C∈(0,π),cos C=14,所以sin C=21-cos C=11-16=15.因为S=12ab sin C=15,所以ab=2.①因为c=3,由余弦定理得3=a2+b2-12ab,所以a2+b2=4,②由①②,得a4-4a2+4=0,从而a2=2,a=2(a=-2舍去),所以a=b=2.【课堂评价】1.(2016·镇江期末)已知向量a=(-2,1),b=(1,0),则|2a+b|=. 【答案】13【解析】因为2a+b=(-3,2),所以|2a+b|=22(-3)2+=13.2.(2016·南京学情调研)已知向量a=(1,2),b=(m,4),且a∥(2a+b),则实数m=.【答案】2【解析】方法一:由题意得a=(1,2),2a+b=(2+m,8),因为a∥(2a+b),所以1×8-(2+m)×2=0,故m=2.方法二:因为a∥(2a+b),所以存在实数λ,使得λa=2a+b,即(λ-2)a=b,所以(λ-2,2λ-4)=(m,4),所以λ-2=m且2λ-4=4,解得λ=4,m=2.3.(2016·南京、盐城一模)在△ABC中,设a,b,c分别为内角A,B,C的对边,若a=5,A=π4,cos B=35,则c=.【答案】7【解析】因为cos B=35,所以B∈π2⎛⎫⎪⎝⎭,,从而sin B=45,所以sin C=sin(A+B)=sinA cos B+cos A sin B=2×35+2×45=72,又由正弦定理得sinaA=sincC,即52 =72c,解得c=7.4.(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC中,B=π4,BC边上的高等于13BC,则cos A=.(第4题)【答案】-10【解析】如图,作AD ⊥BC交BC 于点D ,设BC=3,则AD=BD=1,AB=2,AC=5.由余弦定理得32=(2)2+(5)2-2×2×5×cos A ,解得cos A=-10.5.(2016·南通一调)已知在边长为6的正三角形ABC 中,BD u u u r =12BC u u u r ,AE u u u r=13AC u u u r ,AD 与BE 交于点P ,则PB u u u r ·PD u u ur 的值为 .(第5题)【答案】274【解析】如图,以BC 为x 轴,AD 为y 轴,建立平面直角坐标系,不妨设B (-3,0),C (3,0),则D (0,0),A (0,33),E (1,23),P 330⎛ ⎝⎭,,所以PB u u u r ·PD u u ur =|PD u u u r |2=233⎝⎭=274.温馨提示:趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》第3~4页.【检测与评估】第2讲 平面向量、解三角形一、 填空题1.(2016·苏州暑假测试)设x ,y ∈R ,向量a =(x ,1),b =(2,y ),且a +2b =(5,-3),则x+y= .2.(2016·盐城三模)已知向量a ,b 满足a =(4,-3),|b |=1,|a -b |=21,则向量a ,b 的夹角为 .3.(2016·全国卷Ⅱ)设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若cos A=45,cos C=513,a=1,则b= .4.(2016·天津卷)在△ABC 中,若AB=13,BC=3,∠C=120°,则AC= .5.(2016·南京三模)如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AB=4,AD=3,CD=2,AM u u u u r =2MD u u u u r .若AC u u u r ·BM u u u u r =-3,则AB u u u r ·AD u u u r = .(第5题)6.(2016·无锡期末)已知平面向量α,β满足|β|=1,且α与β-α的夹角为120°,则α的模的取值范围为 .7.在锐角三角形ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.若b a +ab =6cos C ,则tan tan C A +tan tan CB = .8.(2016·苏北四市摸底)在△ABC 中,AB=2,AC=3,角A 的平分线与AB 边上的中线交于点O ,若AO u u u r =x AB u u u r+y AC u u u r (x ,y ∈R ),则x+y 的值为 .二、 解答题9.(2016·苏北四市期末)已知在锐角三角形ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,sin A=35,tan(A-B )=-12.(1)求tan B 的值; (2)若b=5,求c 的值.10.(2016·徐州、连云港、宿迁三检)如图,在梯形ABCD 中,已知AD ∥BC ,AD=1,BD=210,∠CAD=π4,tan ∠ADC=-2.(1)求CD 的长; (2)求△BCD 的面积.(第10题)11.(2016·南京三模)在△ABC 中,已知a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边.若向量m =(a ,cos A ),向量n =(cos C ,c ),且m ·n =3b cos B.(1)求cos B 的值;(2)若a ,b ,c 成等比数列,求1tan A +1tan C 的值.【检测与评估答案】第2讲 平面向量、解三角形一、 填空题1. -1 【解析】由题意得a +2b =(x+4,1+2y )=(5,-3),所以4512-3x y +=⎧⎨+=⎩,,解得1-2x y =⎧⎨=⎩,,所以x+y=-1.2. π3【解析】设向量a ,b 的夹角为θ,由|a -b|=,得21=(a -b )2=a 2+b 2-2a ·b =25+1-2·5·cos θ,即cos θ=12,所以向量a ,b 的夹角为π3.3. 2113 【解析】因为cos A=45,cos C=513,且A ,C 为三角形的内角,所以sin A=35,sin C=1213,所以sin B=sin(A+C )=sin A cos C+cos A sin C=6365.由正弦定理得sin b B =sin aA ,解得b=2113.4. 1【解析】设AC=x,由余弦定理得cos 120°=29-13 23xx+⋅⋅=-12,即x2+3x-4=0,解得x=1或x=-4(舍去),所以AC=1.5.32【解析】方法一:设ABu u u r=4a,ADu u u r=3b,其中|a|=|b|=1,则DCu u u r=2a,AMu u u u r=2b.由ACu u u r·BMu u u u r=(ADu u u r+DCu u u r)·(BAu u u r+AMu u u u r)=-3,得(3b+2a)·(2b-4a)=-3,化简得a·b=18,所以ABu u u r·ADu u u r=12a·b=32.方法二:建立平面直角坐标系,使得A(0,0),B(4,0),设D(3cos α,3sin α),则C(3cos α+2,3sin α),M(2cos α,2sin α).由ACu u u r·BMu u u u r=-3,得(3cos α+2,3sin α)·(2cos α-4,2sin α)=-3,化简得cos α=18,所以ABu u u r·ADu u u r=12cos α=32.6.23⎛⎤⎥⎝⎦,【解析】如图,设α=ABu u u r,β=ACu u u r,则β-α=BCu u u r,∠ABC=60°,设α与β的夹角为θ,则0°<θ<120°,由正弦定理可得°||sin(120-)θα=°||sin60β,所以|α|=233sin(120°-θ).因为0°<θ<120°,所以0°<120°-θ<120°,所以0<sin(120°-θ)≤1,所以0<|α|≤23.(第6题)7. 4 【解析】b a +ab =6cos C ⇒6ab cos C=a 2+b 2⇒3(a 2+b 2-c 2)=a 2+b 2⇒a 2+b 2=232c ,所以tan tan C A +tan tan CB =sin cosC C ·cos sin sin cos sin sin B A B A A B +=sin cos C C ·sin()sin sin A B A B +=1cos C ·2sin sin sin C A B =2222-aba b c +·2c ab =22223-2c c c=2222c c =4.8. 58 【解析】如图,在△ABC 中,AD 为∠BAC 的平分线,CE 为AB 边上的中线,且AD ∩CE=O.在△AEO 中,由正弦定理得sin AE AOE ∠=sin EOEAO ∠.在△ACO 中,由正弦定理得sin AC AOC ∠=sin COCAO ∠,两式相除得AE AC =EO OC .因为AE=12AB=1,AC=3,所以EO OC =13,所以CO u u u r =3OE u u u r ,即AO u u u r -AC u u u r =3(AE u u u r -AO u u ur ),即4AO u u u r =3AE u u u r+AC u u u r ,所以4AO u u u r =32AB u u ur +AC u u u r ,从而AO u u u r =38AB u u u r +14AC u u u r .因为AO u u u r =x AB u u u r+y ACu u u r ,所以x=38,y=14,所以x+y=58.(第8题)二、 解答题9. (1) 方法一:在锐角三角形ABC 中,由sin A=35,得cos A=21-sin A =45,所以tan A=sin cos A A =34.由tan(A-B )=tan -tan 1tan ?tan A B A B +=-12,得tan B=2.方法二:在锐角三角形ABC 中,由sin A=35,得cos A=21-sin A =45,所以tanA=sin cos A A =34.又因为tan(A-B )=-12,所以tan B=tan[A-(A-B )]=tan -tan(-)1tan tan(-)A A B A A B +=31--42311-42⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭=2. (2) 由(1)知tan B=2,得sin B=255,cos B=55, 所以sin C=sin(A+B )=sin A cos B+cos A sin B=11525,由正弦定理sin bB =sin cC ,得c=sin sin b C B =112.10. (1) 因为tan ∠ADC=-2,且∠ADC ∈(0,π),所以sin ∠ADC=255,cos ∠ADC=-55. 所以sin ∠ACD=sinππ--4ADC ∠⎛⎫ ⎪⎝⎭ =sin ∠ADC+π4=sin ∠ADC ·cos π4+cos ∠ADC ·sin π4=,在△ADC 中,由正弦定理得CD=·sin sin AD DACACD ∠∠=.(2) 因为AD ∥BC ,所以cos ∠BCD=-cos ∠ADC=,sin ∠BCD=sin ∠ADC=.在△BDC 中,由余弦定理得BD 2=BC 2+CD 2-2BC ·CD ·cos ∠BCD , 即BC 2-2BC-35=0,解得BC=7,所以S △BCD =12BC ·CD ·sin ∠BCD=12×7=7.11. (1) 因为m ·n =3b cos B ,所以a cos C+c cos A=3b cos B. 由正弦定理得sin A cos C+sin C cos A=3sin B cos B , 所以sin(A+C )=3sin B cos B , 所以sin B=3sin B cos B.因为B 是△ABC 的内角,所以sin B ≠0,所以cos B=13.(2) 因为a ,b ,c 成等比数列,所以b 2=ac. 由正弦定理得sin 2B=sin A ·sin C.因为cos B=13,B 是△ABC 的内角,所以sinB=,又1tan A +1tan C =cos sin A A +cos sin C C =cos ?sin sin ?cos sin sin A C A CA C +⋅ =sin()sin sin A C A C +⋅=sin sin sin B A C=2sin sin B B =1sin B=.。

江西2015届高中数学二轮复习高效专项检测题37Word版含答案

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抛物线一、选择题1. (2013·四川高考文科·T5)抛物线28y x =的焦点到直线0x -=的距离是( )A. 2 C.1【解题指南】本题考查的是抛物线的基本几何性质,在求解时首先求得抛物线的焦点坐标,然后利用点到直线的距离公式进行求解即可.【解析】选D ,抛物线28y x =的焦点(2,0)到直线0x -=的距离,根据点到直线的距离公式可得2012d -==,故选D. 2.(2013·北京高考理科·T7)直线l 过抛物线C :x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直,则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A.43B.2C.83D.3【解题指南】把所求面积转化为一个矩形面积减去一个积分值。

【解析】选C 。

l 的方程是1y =,所以求面积相当于一个矩形面积减去一个积分值: 23220084242(|)4123x x S dx =-=-=⎰. 3.(2013·新课标全国Ⅱ高考文科·T10)设抛物线2:4C y x =的焦点为F ,直线l 过F 且与C 交于A ,B 两点。

若||3||AF BF =,则l 的方程为( )A.1y x =-或1y x =-+B.1)y x =-或1)y x =-C.1)y x =-或1)y x =- D.1)y x =-或1)y x =- 【解题指南】设出A 、B 点的坐标,利用抛物线的定义表示出,AF BF ,再利用||3||AF BF =,确立l 的方程.【解析】选C. 抛物线y 2=4x 的焦点坐标为(1,0),准线方程为x=-1,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则因为|AF|=3|BF|,所以x 1+1=3(x 2+1),所以x 1=3x 2+2,因为|y 1|=3|y 2|,x 1=9x 2,所以x 1=3,x 2=13,当x1=3时,2112y =,所以此时1y ==,若1y =,则1(3,3),()3A B ,此时AB k =,此时直线方程为(1)y x =-。

江西省2015届高三数学5月大联考试题理(扫描版)

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江西省2015届高三数学5月大联考试题理(扫描版)2015年5月份江西省大联考 理科数学试题参考答案评分说明:1. 本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则.2. 对解答题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3. 解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4. 只给整数分数.选择题不给中间分. 一、选择题(每题5分)1. B2. B3. D4. C5. A6. C7. C8. A9. B 10. D 11. D 12. A 二、填空题(每题5分)13.2-2i 14.24x +y 2=1 15. -2 16. 43三、解答题 17. 解:(Ⅰ)由ACA CB cos cos sin sin sin 2=-,可得AC A C A B sin cos cos sin cos sin 2=-,即B C A A C A C A B sin )sin(sin cos cos sin cos sin 2=+=+=.又0sin ≠B ,所以21cos =A .由0πA <<可得π3A =. ⋯⋯6分(Ⅱ)由215-=⋅,可得2π115cos 322bc bc =-=-,15=∴bc .又A bc c b a cos 2222-+=,且a =6,所以5122=+c b . 则81)(2=+c b ,即9=+c b . ⋯⋯12分18.(Ⅰ)证明:取PD 的中点E ,连接AE ,EF ,则EF ∥CD ,EF =12CD .又AB ∥CD ,AB =12CD ,所以EF ∥AB ,EF =AB ,所以四边形ABFE 为平行四边形,所以BF ∥AE . 由侧面PAD 为正三角形,可得AE ⊥PD .由AB ∥CD ,CD AD ⊥,PA AB ⊥,可得CD ⊥平面PAD . ⋯⋯4分 所以CD ⊥AE ,所以AE ⊥平面PCD .所以BF ⊥平面PCD . ⋯⋯6分(Ⅱ)解:取AD 的中点O ,连接PO ,则PO ⊥平面ABCD ,取BC 的中点G ,连接OG .以点O 为坐标原点,OD ,OG ,OP 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系. 则A (-1,0,0),B (-1,2,0),C (1,4,0),P (0,0,3).设平面APB 的法向量为111(,,)x y z =n ,则0,0,AP AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以1110,0.x y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩取1x =1)=-n ;设平面PBC 的法向量为222(,,)x y z =m ,则0,0,PB BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m所以2222220,0.x y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩取21x =,则(1,1,=-m ;则cos ,⋅<>==m n m n m n , 所以二面角A PB C --的正弦值为105. ⋯⋯12分 19.解:(Ⅰ)由题意可知,若选甲题,则得0分、10分的概率均为0.5,0.5;若选乙题,则得5分、7分、8分、9分、10分的概率分别为0.2,0.1,0.4,0.1,0.2.⋯⋯2分又选择甲或乙题的概率均为12,故得分X 的分布列如下:0.05 ⋯⋯6分(Ⅱ)设A 同学选择方案一、二后的得分分别为,Y Z ,则,Y Z 的分布列分别为⋯⋯10分 故50.5100.57.5EY =⨯+⨯=;50.270.180.490.1100.27.8EZ =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 因此选择方案二更有利于A 同学取得更高的分数. ⋯⋯12分20. 解:(Ⅰ)设l :x =my +1, A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),将x = my +1代入抛物线方程y 2=4x ,得y 2-4my -4=0. ⋯⋯2分 ∵Δ>0,∴y 1+ y 2= 4m ,y 1y 2=-4.则x 1+x 2=4m 2+2,x 1x 2=1.由MA MB ⋅=0可得x 1x 2+(x1+x 2)+ y 1y 2+1=0,∴m =0. 则l :x =1,所以AB =4.⋯⋯6分(Ⅱ)由于∆ NFB 与∆ NFA 有公共底NF ,可得|FB |=2|FA |,由相似可得y 2=-2y 1由(Ⅰ)知y 1y 2= -2y 12=-4,∴12=y y ⎧⎪⎨-⎪⎩ 或12=y y ⎧-⎪⎨⎪⎩ ⋯⋯9分由y 1+y 2= -2= 4m ,得m = -24;或由y 1+y 2=2= 4m ,得m = 24.故直线l 的方程为4x ±2y -4=0. ⋯⋯12分21.(Ⅰ)解:函数()ln 1(0)g x a x x x =-+>,则'()g x =1a a xx x--=. 当0a ≤时,'()0g x <,函数()g x 在定义域上单调递减; 当0a >时,由g '(x )<0得x a >,此时()g x 单调递减; 由g '(x )>0得0x a <<,此时()g x 单调递增; 综上,当0a ≤时,()g x 单调递增区间为(0,)∞+;当0a >时,函数()g x 的单调递增区间为(0,a ),单调递减区间为(a ,+∞).⋯⋯4分(Ⅱ)证明:()(1ln )f x x x =+,'()ln 2f x x =+. 因为对任意的)0(,2121x x x x <<总存在00>x ,使得12012()()'()f x f x f x x x -=-成立,所以12012()()ln 2f x f x x x x -+=-,即1122012ln ln ln 21x x x x x x x -+=+-.∴112202212ln ln ln ln 1ln x x x x x x x x x --=---11122112ln ln x x x x x x x x -+-=-11ln 121212--+=x x x x x x . ⋯⋯9分 由(Ⅰ)得,当1a =时,()ln 10g x x x =-+≤,当且仅当1x =时,等号成立.2221111,ln 10x x xx x x >∴-+<. 又0112>-x x ,所以02ln ln 0x x -<,即02x x <. ⋯⋯12分选做题 22.(Ⅰ)直线PC 与圆O 相切. ⋯⋯1分证明:连接OC ,OD ,则∠OCE =∠ODE .∵CD 是∠ACB 的平分线,∴AD ︵=BD ︵,∴∠B OD =90°,即∠OED +∠ODE =90°. ∵PC =PE ,∴∠PCE =∠PEC =∠OED . ∴∠OCE +∠PCE =90°,即∠OCP =90°, ∴直线PC 与圆O 相切. ⋯⋯5分 (Ⅱ)解:因为AB =10,BC =6,∴AC =8.由CE 为∠ACB 的平分线,可得34==BC AC EB AE , EB AE 34=∴,1037===+∴AB EB EB AE ,解得BE =307.⋯⋯10分23.解:(Ⅰ)曲线C 的普通方程为22x +y 2=1,其右焦点为(1,0),而直线l 过该点,所以直线l 与曲线C 相交. ⋯⋯5分(Ⅱ)将1,x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入椭圆方程22x +y 2=1得3t 2+22t -2=0,设A ,B 对应的参数为t 1,t 2,则t 1t 2=-23,∴|PA |⋅|PB |=23.由对称性可知,|PE |⋅|PF |=23 .∴|PA |⋅|PB |+|PE |⋅|PF |=43. ⋯⋯10分24.解:(Ⅰ)∵|x +3|+|x +2|≥|(x +3)-(x +2)|=1, 当(x +3)(x +2)≤0,即-3≤x ≤-2时取等号,∴a +b +c ≤1,即a +b +c 的取值范围是(-∞,1]. ⋯⋯5分(Ⅱ)∵a+b+c最大值是1,∴取a+b+c=1时.∵a²+ b²+c²=(a+b+c)²-(2ab+2bc+2ca)≥1-2( a²+ b²+c²),∴a²+ b²+c²≥13.⋯⋯10分。

2014~2015学年度 最新 江西省2015届高考冲刺数学试题及答案

2014~2015学年度 最新 江西省2015届高考冲刺数学试题及答案

江西省高安中学高考冲刺数学试题一、选择题:(本大题共6小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.已知全集U=R ,集合103x A x x ⎧-⎫=≤⎨⎬+⎩⎭,集合B x y x R ⎧⎫⎪⎪==∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭,则()U A C B ⋂为( ) A . {}31x x -<≤- B .{}31x x -≤<- C .{}31x x -≤≤- D .{}31x x -<<- 2. 已知函数)0(cos sin 3)(>+=ωωωx x x f 的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列,把函数)(x f 的图象沿x 轴向左平移6π个单位,得到函数)(x g 的图象.关于函数)(x g ,下列说法正确的是( )A. 在]2,4[ππ上是增函数B. 其图象关于直线4π-=x 对称C. 函数)(x g 是奇函数D. 当]32,6[ππ∈x 时,函数)(x g 的值域是]1,2[-3.给定区域:D 44420x y x y x y x +≥⎧⎪+≤⎪⎨+≥⎪⎪≥⎩,令点集000000{(,)|,,(,)T x y D x y x y =∈∈Z 是z x y =+在D 上取得最大值或最小值的点},则T 中的点最多能确定三角形的个数为( )A .15B .25C .28D .324. 函数14)62sin(2-+=xx x y π的图象大致为( )5.已知四棱锥P -ABCD 的底面四边形ABCD 的对边互不平行,现用一平面α去截此四棱锥,且要使截面是平行四边形,则这样的平面α( )A 、有且只有一个B 、有四个C 、有无数个D 、不存在 6.定义在R 上的函数320f x ax bx cx a =++≠()()的单调增区间为11-(,),若方程2320a f x bf x c ++=(())()恰有4个不同的实根,则实数a 的值为( )A .12B .12- C .1 D. -1二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分)7、已知O 为的外心,若3450OA OB OC +-=,则∠C =____8、已知双曲线 22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点C ,过双曲线中心的直线交双曲线于A 、B 两点,记直线AC 、BC 的斜率分别为12,k k ,当12121ln ln k k k k ++最小时,双曲线离心率为 。

江西2015届高考数学二轮专题复习之专项检测38Word版含答案

江西2015届高考数学二轮专题复习之专项检测38Word版含答案

38 “排列、组合”的常考问题1.设集合A ={1,2,3,4,5,6},B ={4,5,6,7,8},则满足S ⊆A 且S ∩B ≠∅的集合S 的个数是________. 答案 56解析 满足S ⊆A 时,S 可以是{1,2,3,4,5,6}的一个子集,有26=64个,满足S ∩B ≠∅时,S 不可以是集合{1,2,3}和它的子集,有23=8个,所以同时满足S ⊆A 且S ∩B ≠∅的集合S 的个数是64-8=56个.2.(2013·四川)从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为a ,b ,共可得到lg a -lg b 的不同值的个数是________.答案 18解析 由于lg a -lg b =lg a b (a >0,b >0),从1,3,5,7,9中任取两个作为a b 有A 25种,又13与39相同,31与93相同,∴lg a -lg b 的不同值的个数有A 25-2=20-2=18. 3.一排9个座位坐了3个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为________. 答案 1 296解析 把一家三口看作一个排列,然后再排列这3家,所以有(3!)4=1 296种.4.若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有________种.答案 66解析 满足题设的取法可分为三类:一是四个奇数相加,其和为偶数,在5个奇数1,3,5,7,9中,任意取4个,有C 45=5(种); 二是两个奇数加两个偶数其和为偶数,在5个奇数中任取2个,再在4个偶数2,4,6,8中任取2个,有C 25·C 24=60(种);三是四个偶数相加,其和为偶数,4个偶数的取法有1种,所以满足条件的取法共有5+60+1=66(种).5.将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有________种.答案 12解析 分两步:第一步,选派一名教师到甲地,另一名到乙地,共有C 12=2(种)选派方法; 第二步,选派两名学生到甲地,另外两名到乙地,共有C 24=6(种)选派方法.由分步乘法计数原理得不同的选派方案共有2×6=12(种).6.现有12件商品摆放在货架上,摆成上层4件下层8件,现要从下层8件中取2件调整到上层,若其他商品的相对顺序不变,则不同调整方法的种数是________.答案 840解析 从下层8件中取2件,有C 28种取法,放到上层时,若这两件相邻,有A 15A 22种放法,若这两件不相邻,有A 25种放法,所以不同调整方法的种数是C 28(A 15A 22+A 25)=840.7.现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张,从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张,不同取法的种数为________. 答案 472解析 分两类:第一类,含有1张红色卡片,共有不同的取法C 14C 212=264(种);第二类,不含有红色卡片,共有不同的取法C 312-3C 34=220-12=208(种).由分类加法计数原理知不同的取法有264+208=472(种).8.用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为________.答案 252解析 无重复的三位数有:A 39+A 12A 29=648个.则有重复数字的三位数有:900-648=252个.9.(2014·四川改编)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有________种.答案 216解析 第一类:甲在左端,有A 55=5×4×3×2×1=120(种)方法;第二类:乙在最左端,有4A 44=4×4×3×2×1=96(种)方法.所以共有120+96=216(种)方法.10.方程ay =b 2x 2+c 中a ,b ,c ∈{-3,-2,0,1,2,3},且a ,b ,c 互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有________条.答案 62解析 显然a ≠0,b ≠0,故该方程等价于y =b 2a x 2+c a. ①当c =0时,从{-3,-2,1,2,3}中任取2个数作为a ,b 的值,有A 25=20种不同的方法,当a 一定,b 的值互为相反数时,对应的抛物线相同,这样的抛物线共有4×3=12条,所以此时不同的抛物线有A25-6=14条.②当c≠0时,从{-3,-2,1,2,3}中任取3个数作为a,b,c的值有A35=60种不同的方法.当a,c值一定,而b的值互为相反数时,对应的抛物线相同,这样的抛物线共有4A23=24条,所以此时不同的抛物线有A35-12=48条.综上,不同的抛物线有14+48=62条.11.用数字2,3组成四位数,且数字2,3至少都出现一次,这样的四位数共有________个.(用数字作答)答案14解析若不考虑数字2,3至少都出现一次的限制,对个位、十位、百位、千位,每个“位置”都有两种选择,所以共有16个4位数,然后再减去“2222,3333”这两个数,故共有16-2=14个满足要求的四位数.12.5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有1名老队员,且1、2号中至少有1名新队员的排法有________种.(以数字作答)答案48解析①只有1名老队员的排法有C12·C23·A33=36种;②有2名老队员的排法有C22·C13·C12·A22=12种.所以共48种.13.(2014·北京)把5件不同产品摆成一排,若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有________种.答案36解析将产品A与B捆绑在一起,然后与其他三种产品进行全排列,共有A22A44种方法,将产品A,B,C捆绑在一起,且A在中间,然后与其他两种产品进行全排列,共有A22A33种方法.于是符合题意的排法共有A22A44-A22A33=36(种).14.(2014·浙江)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同的获奖情况有________种(用数字作答).答案60解析把8张奖券分4组有两种分法,一种是分(一等奖,无奖)、(二等奖,无奖)、(三等奖,无奖)、(无奖,无奖)四组,分给4人有A44种分法;另一种是一组两个奖,一组只有一个奖,另两组无奖,共有C23种分法,再分给4人有C23A24种分法,所以不同获奖情况种数为A44+C23A24=24+36=60.15.回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22,121,3443,94249等.显然2位回文数有9个:11,22,33,...,99.3位回文数有90个:101,111,121,...,191,202, (999)则:(1)4位回文数有________个;(2)2n+1(n∈N*)位回文数有________个.答案(1)90(2)9×10n解析(1)4种回文数只用排列前面两位数字,后面数字就可以确定,但是第一位不能为0,有9(1~9)种情况,第二位有10(0~9)种情况,所以4位回文数有9×10=90种.(2)由上面多组数据研究发现,2n+1位回文数和2n+2位回文数的个数相同,所以可以算出2n+2位回文数.2n+2位回文数只用看前n+1位的排列情况,第一位不能为0有9种情况,后面n项每项有10种情况,所以个数为9×10n.16.用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4个小方格内,每格涂一种颜色,相邻两格涂不同的颜色,如果颜色可以反复使用,则所有涂色方法的种数为________.答案260解析方法一如图将4个方格依次编号为1,2,3,4,第1个小方格可以从5种颜色中任取一种涂上,有5种不同涂法.①当第2个、第3个小方格涂不同颜色时,有2C24种不同涂法,第4个小方格有3种不同的涂法,由分步计数原理,知此时有5×2C24×3=180(种)不同的涂法.②当第2个、第3个小方格涂相同颜色时有4种涂法,此时第4个小方格也有4种不同的涂法.由分步乘法计数原理,知有5×4×4=80(种)不同的涂法.由分类加法计数原理,知共有180+80=260(种)不同涂法.方法二如图将4个小方格依次编号为1,2,3,4.如果使用2种颜色,则只能是第1,4个小方格涂一种,第2,3个小方格涂一种,方法种数是C25·A22=20,如果使用3种颜色,若第1,2,3个小方格不同色,第4个小方格只能和第1个小方格相同,方法种数是C35·A33=60,若第1,2,3个小方格只用2种颜色,则第4个小方格只能用第3种颜色,方法种数是C35×3×2=60;如果使用4种颜色,方法种数是C45·A44=120,根据分类加法计数原理知总的涂法有20+60+60+120=260种.。

江西2015届高考数学二轮专题复习之专项检测27Word版含答案

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27 立体几何中的计算问题1.(2014·大纲全国改编)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为________.答案 81π4解析 如图,设球心为O ,半径为r , 则Rt △AOF 中,(4-r )2+(2)2=r 2,解得r =94,所以,该球的表面积为4πr 2=4π×(94)2=814π.2.(2014·福建改编)以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积为________. 答案 2π解析 以正方形的一边所在直线为轴旋转得到的圆柱底面半径r =1,高h =1,所以侧面积S =2πrh =2π.3.(2013·辽宁改编)已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上.若AB =3,AC =4,AB ⊥AC ,AA 1=12,则球O 的半径为________.答案 132解析 因为AB ⊥AC ,且AA 1⊥底面ABC ,将直三棱柱补成内接于球的长方体,则长方体的对角线l =32+42+122=2R ,R =132.4.在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点D 是侧面BB 1C 1C 的中心,则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是________. 答案 60°解析 取BC 中点E ,连结AE ,则AE ⊥平面BCC 1B 1,故∠ADE 为直线AD 与平面BB 1C 1C 所成的角.设各棱长为a ,则AE =32a ,DE =12a .∴tan ∠ADE = 3.∴∠ADE =60°.5.如图,四棱锥P -ABCD 的底面是一直角梯形,AB ∥CD ,BA ⊥AD ,CD =2AB ,P A ⊥底面ABCD ,E 为PC 的中点,则BE 与平面P AD 的位置关系为________. 答案 平行解析 取PD 的中点F ,连结EF ,在△PCD 中,EF 綊12CD .又∵AB ∥CD 且CD =2AB , ∴EF 綊AB ,∴四边形ABEF 是平行四边形, ∴EB ∥AF .又∵EB ⊄平面P AD ,AF ⊂平面P AD , ∴BE ∥平面P AD .6.已知两球O 1和O 2在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的内部,且互相外切,若球O 1与过点A 的正方体的三个面相切,球O 2与过点C 1的正方体的三个面相切,则球O 1和球O 2的表面积之和的最小值为________. 答案 (6-33)π解析 设球O 1,O 2的半径分别为r 1,r 2, 由题意知O 1A +O 1O 2+O 2C 1=3,而O 1A =3r 1,O 1O 2=r 1+r 2,O 2C 1=3r 2,∵3r 1+r 1+r 2+3r 2= 3.∴r 1+r 2=3-32, 从而S 1+S 2=4πr 21+4πr 22=4π(r 21+r 22)≥4π·(r 1+r 2)22=(6-33)π.7.如图,正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,AB =2,点E 为AD 的中点,点F 在CD 上.若EF ∥平面AB 1C ,则线段EF 的长度为______. 答案2解析 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,AB =2,∴AC =2 2. 又E 为AD 的中点,EF ∥平面AB 1C ,EF ⊂平面ADC , 平面ADC ∩平面AB 1C =AC ,∴EF ∥AC ,∴F 为DC 的中点,∴EF =12AC = 2.8.(2014·江苏)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1,S 2,体积分别为V 1,V 2,若它们的侧面积相等,且S 1S 2=94,则V 1V 2的值是________.答案 32解析 设两个圆柱的底面半径和高分别为r 1,r 2和h 1,h 2, 由S 1S 2=94, 得πr 21πr 22=94,则r 1r 2=32. 由圆柱的侧面积相等,得2πr 1h 1=2πr 2h 2, 即r 1h 1=r 2h 2,所以V 1V 2=πr 21h 1πr 22h 2=r 1r 2=32.9.如图所示,在正三角形ABC 中,D ,E ,F 分别为各边的中点,G ,H 分别为DE ,AF 的中点,将△ABC 沿DE ,EF ,DF 折成正四面体PDEF (点A 、B 、C 重合后记为P ),则四面体中异面直线PG 与DH 所成角的余弦值为________.答案 23解析 折成的正四面体如图所示,连结HE ,取HE 的中点K ,连结GK ,PK ,则GK ∥DH ,故∠PGK 即为所求的异面直线所成角或其补角.设这个正四面体的棱长为2,在△PGK 中,PG =3,GK =32,PK = 12+⎝⎛⎭⎫322=72,故cos ∠PGK =(3)2+⎝⎛⎭⎫322-⎝⎛⎭⎫7222×3×32=23.即异面直线PG 与DH 所成角的余弦值为23.10. (2013·安徽)如图,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1,P 为BC 的中点,Q 为线段CC 1上的动点,过点A ,P ,Q 的平面截该正方体所得的截面记为S .则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号).①当0<CQ <12时,S 为四边形;②当CQ =12时,S 为等腰梯形;③当CQ =34时,S 与C 1D 1的交点R 满足C 1R =13;④当34<CQ <1时,S 为六边形;⑤当CQ =1时,S 的面积为62.答案 ①②③⑤解析 ①当0<CQ <12时,如图(1).在平面AA 1D 1D 内,作AE ∥PQ ,显然E 在棱DD 1上,连结EQ , 则S 是四边形APQE .②当CQ =12时,如图(2).显然PQ ∥BC 1∥AD 1,连结D 1Q , 则S 是等腰梯形.③当CQ =34时,如图(3).作BF ∥PQ 交CC 1的延长线于点F ,则C 1F =12.作AE ∥BF ,交DD 1的延长线于点E ,D 1E =12,AE ∥PQ ,连结EQ 交C 1D 1于点R ,∵Rt △RC 1Q ∽Rt △RD 1E , ∴C 1Q ∶D 1E =C 1R ∶RD 1=1∶2,∴C 1R =13.④当34<CQ <1时,如图(3),连结RM (点M 为AE 与A 1D 1交点),显然S 为五边形APQRM .⑤当CQ =1时,如图(4).同③可作AE ∥PQ 交DD 1的延长线于点E ,交A 1D 1于点M ,显然点M 为A 1D 1的中点,∴S 为菱形APQM ,其面积为12MP ×AQ =12×2×3=62.11.已知一个圆锥的底面半径为R ,高为H ,在其内部有一个高为x 的内接圆柱. (1)求圆柱的侧面积;(2)x 为何值时,圆柱的侧面积最大? 解 (1)作圆锥的轴截面,如图所示.设内接圆柱的半径为r .因为r R =H -x H ,所以r =R -R Hx ,所以S 圆柱侧=2πrx=2πRx -2πR H x 2(0<x <H ).(2)因为-2πR H <0,所以当x =2πR 4πR H=H2时,S 圆柱侧最大.故当x =H2,即圆柱的高为圆锥高的一半时,圆柱的侧面积最大.12.(2014·北京)如图,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,侧棱垂直于底面,AB ⊥BC ,AA 1=AC =2,BC =1,E ,F 分别是A 1C 1,BC 的中点. (1)求证:平面ABE ⊥平面B 1BCC 1; (2)求证:C 1F ∥平面ABE ; (3)求三棱锥E -ABC 的体积.(1)证明 在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中, BB 1⊥底面ABC , 所以BB 1⊥AB .又因为AB ⊥BC ,BB 1∩BC =B , 所以AB ⊥平面B 1BCC 1,又因为AB ⊂平面ABE , 所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1.(2)证明 取AB 的中点G ,连结EG ,FG . 因为E ,F 分别是A 1C 1,BC 的中点,所以FG ∥AC ,且FG =12AC .因为AC ∥A 1C 1,且AC =A 1C 1, 所以FG ∥EC 1,且FG =EC 1, 所以四边形FGEC 1为平行四边形. 所以C 1F ∥EG .又因为EG ⊂平面ABE ,C 1F ⊄平面ABE , 所以C 1F ∥平面ABE .(3)解 因为AA 1=AC =2,BC =1,AB ⊥BC , 所以AB =AC 2-BC 2= 3.所以三棱锥E -ABC 的体积V =13S △ABC ·AA 1=13×12×3×1×2=33.。

江西省上饶市2015届高三第二次高考模拟试题数学【理】试题及答案

江西省上饶市2015届高三第二次高考模拟试题数学【理】试题及答案
3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,答在本试题上无效,
第I卷
一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符
合题目要求的一项。
1.定义运算 (a, b)※((c, d) =ac- bd,则符合条件 (z, 1+2i) ※(1+i , 1-i)=0 的复数 z 所对应的点在
间,将测量结果按如下方式分成 6 组:第一组 [157.5, 162.5),第二组 [162.5, 167.5),… ,第 6 组 [182.5, 187.5] ,下图是按上述分组方法得到 的频率分布直方图. (1) 试评估我校高三年级男生在全省高中男生中的平均身高状况; (2)求这 50 名男生身高在 177.5cm 以上(含 177.5 cm)的人数; (3)在这 50 名男生身高在 177.5cm 以上(含 177.5cm)的人中任意抽取
20.(本小题 12 分)如图,已知点 S(-2, 0)和圆 O : x2 y2 4,ST 是圆 O 的直经,从左到右 M、 ()
和 N 依次是 ST 的四等分点, P(异于 S、T) 是圆 O 上的动点, PD⊥ST,交 ST 于 D, PE
直线 PS 与 TE 交于 C, |CM|+|CN| 为定值. (1)求 的值及点 C 的轨迹曲线 E 的方程;
江西省上饶市 2015 届高三第二次高考模拟
数学(理)试题
注意事项: 1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答题前,考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上. 2.回答第 I 卷时.选出每个小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,
用橡皮搽干净后,再选涂其他答案标号,写在本试卷上无效.
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坐标系与参数方程一、选择题1.(2013·安徽高考理科·T7)在极坐标系中,圆=2cos ρθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为 ( ) A.=0()cos=2∈R θρρ和 B.ρρπθ=(∈R)和cos =22C. πθ=(ρ∈R)和ρcos =12D.θ=0(ρ∈R)和ρcos =1【解题指南】 将极坐标转化为平面直角坐标得出圆的方程。

【解析】选B. 由ρ=2cos θ可得x 2+y 2=2x ⇒(x-1)2+y 2=1,所以圆的圆心为(1,0),半径为1,与x 轴垂直的圆的切线方程分别是x=0,x=2,在以原点为极点的极坐标系中,与之对应的方程是θ=π2(ρ∈R)和ρcos θ=2. 二、填空题2.(2013·江西高考理科·T15)设曲线C 的参数方程为2x=ty=t⎧⎨⎩(t为参数),若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C 的极坐标方程为_______.【解题指南】将曲线C 的参数方程化为普通方程,通过极坐标的定义建立曲线C 的参数方程将其代入直角坐标方程,化简整理可得极坐标方程.【解析】由2x=ty=t ⎧⎨⎩得2y x =,将x cos ,y sin =ρθ=ρθ,代入2y x =中化简得2cos sin 0ρθ-θ=.【答案】 2cos sin 0ρθ-θ=.3.(2013·北京高考理科·T9)在极坐标系中,点(2,6π)到直线ρsin θ=2的距离等于 【解题指南】转化为直角坐标进行计算。

【解析】极坐标系中点(2,)6π对应直角坐标系中坐标为,极坐标系直线sin 2ρθ=对应直角坐标系中直线方程为2y =,所以距离为1.【答案】 1.4. (2013·湖南高考理科·T9) 在平面直角坐标系xoy 中,若,3cos ,:(t )C :2sin x t x l y t a y ϕϕ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩为参数过椭圆()ϕ为参数的右顶点,则常数a 的值为 .【解题指南】先把直线和椭圆的参数方程化为普通方程,然后把椭圆的右顶点坐标代入直线方程即可.【解析】直线l 的普通方程是0=--a y x ,椭圆C 的普通方程是14922=+y x ,其右顶点为(3,0),代入直线方程得3=a 【答案】3.5.(2013·广东高考理科·T14)已知曲线C的参数方程为,,x t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),C 在点(1,1)处的切线为l ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l 的极坐标方程为_______. 【解题指南】本题考查参数方程与极坐标,可首先转化为直角坐标计算.【解析】曲线C 是圆222x y +=,点(1,1)处的切线l 为2x y +=,其极坐标方程为cos sin 2ρθρθ+=,化简得sin()4p r q +=【答案】sin()4pr q +=6.(2013·广东高考文科·T14)已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线C 的参数方程为 .【解题指南】本题考查参数方程与极坐标,可首先转化为直角坐标计算.【解析】曲线C 是圆22(1)1x y -+=,其参数方程为cos 1,sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数). 【答案】 cos 1,sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数).7. (2013·湖北高考理科·T16)在直角坐标系xOy 中,椭圆C 的参数方程为错误!未找到引用源。

(φ为参数,a>b>0),在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,直线l 与圆O 的极坐标方程分别为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ (m 为非零数)与ρ=b.若直线l 经过椭圆C 的焦点,且与圆O 相切,则椭圆C 的离心率为 .【解题指南】先将参数方程,极坐标方程转化成普通方程,再利用相切找到关系.【解析】椭圆的方程22221,x y a b+=焦点(),0c ±,sin +,sin cos m,42m πρθρθρθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭由可得即直线l 的普通方程为x+y-m=0,经过焦点错误!未找到引用源。

,m=±c,圆O的方程为x 2+y 2=b 2,直线与圆相切,,b=222222222,22,,3c m b c a c e a ==-==【答案】38. (2013·陕西高考理科·T15)如图, 以过原点的直线的倾斜角θ为参数, 则圆220y x x +-=的参数方程为.【解题指南】利用普通方程化为参数方程的公式,将圆的普通方程化为参数方程.【解析】222)21()21=+-⇒y x (圆的方程21=⇒r 圆的半径 2OP cos 2r cos x OP cos cos ,y OP sin cos sin ⇒=θ⋅=θ⇒=⋅θ=θ=⋅θ=θ⋅θ所以圆的参数方程为为参数)(θθθθ,sin cos cos 2⎩⎨⎧⋅==y x 【答案】 为参数)(θθθθ,sin cos cos 2⎩⎨⎧⋅==y x .9. (2013·湖南高考文科·T11)在平面直角坐标系xOy 中,若直线121,:x s l y s =+⎧⎨=⎩(s 为参数)和直线2,:21x at l y t =⎧⎨=-⎩(t 为参数)平行,则常数a 的值为________【解题指南】本题先把两直线的参数方程化成普通方程,然后利用两直线的平行关系求出参数a【解析】先把两直线的参数方程化成普通方程.直线012:1=--y x l ,直线02:2=--a ay x l .因为两直线平行,所以22)(1⨯-=-⨯a ,故4=a ,经检验,符合题意。

【答案】4.10. (2013·重庆高考理科·T15)在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为c o s 4ρθ=的直线与曲线23x t y t⎧=⎨=⎩(t 为参数)相交于A 、B 两点,则AB = 【解题指南】 可将极坐标转化为平面直角坐标系下的坐标进行计算.【解析】极坐标方程为cos 4ρθ=的直线为4=x ,所以42==t x ,解得2±=t ,又3t y =,所以直线与曲线23x t y t⎧=⎨=⎩(t 为参数)的两个交点A 、B 的坐标为)8,4(),8,4(-,故16=AB . 【答案】 16.11.(2013·上海高考理科·T7)在极坐标系中,曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=的公共点到极点的距离为__________【解析】联立得(1)1ρρρ-=⇒=,又0ρ≥,故所求为.【答案】12+. 12.(2013·天津高考理科·T11)已知圆的极坐标方程为ρ=4cos θ,圆心为C ,点P 的极坐标为4,3π⎛⎫⎪⎝⎭错误!未找到引用源。

,则CP= .【解题指南】根据圆的极坐标方程及点P 的坐标确定OP,OC 的长度,在△POC 中利用余弦定理计算. 【解析】如图,由圆的极坐标方程为ρ=4cos θ知OC=2,又因为点P 的极坐标为错误!未找到引用源。

,所以OP=4,∠POC=错误!未找到引用源。

,在△POC 中,由余弦定理得CP 2=OP 2+OC 2-2OP ·OC ·cos 错误!未找到引用源。

=16+4-2×4×2×错误!未找到引用源。

=12,所以CP=【答案】13. (2013·陕西高考文科·T15) 圆锥曲线22x t y t ⎧=⎨=⎩(t为参数)的焦点坐标是 .【解题指南】消去参数t 即可得抛物线方程,求其焦点坐标.【解析】)0,1(4.222F x y ty t x 抛物线的焦点⇒=⇒⎩⎨⎧==.【答案】 (1, 0).二、解答题14.(2013·辽宁高考文科·T23)与(2013·辽宁高考理科·T23)相同在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系。

圆1C ,直线2C的极坐标方程分别为4sin ,cos()4πρθρθ=-=()I 求1C 与2C 的交点的极坐标;()II 设P 为1C 的圆心,Q 为1C 与2C 的交点连线的中点,已知直线PQ 的参数方程为33,().12x t a t R b y t ⎧=+⎪∈⎨=+⎪⎩为参数求,a b 的值。

【解题指南】 利用极坐标和直角坐标的互化关系,将不熟悉的极坐标转化为熟悉的直角坐标来探究.【解析】()I由cos ,sin x y ρρθρθ===得, 圆1C 的直角坐标方程为22(2)4x y +-= 直线2C 的直角坐标方程分别为40x y +-=由22(2)4,40.x y x y ⎧+-=⎨+-=⎩解得12120,2,4,2,x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩ 所以圆1C ,直线2C 的交点直角坐标为(0,4),(2,2)再由cos ,sin x y ρρθρθ===,将交点的直角坐标化为极坐标(4,)24ππ所以1C 与2C的交点的极坐标(4,)24ππ()II 由()I 知,点P ,Q 的直角坐标为(0,2),(1,3)故直线PQ 的直角坐标方程为20x y -+= ① 由于直线PQ 的参数方程为33,().12x t a t R b y t ⎧=+⎪∈⎨=+⎪⎩为参数 消去参数122b ab y x =-+ ②对照①②可得1,21 2.2bab ⎧=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ 解得1, 2.a b =-=15. (2013·新课标Ⅰ高考文科·T23)与(2013·新课标Ⅰ高考理科·T23)相同 已知曲线C 1的参数方程为45cos ,55sin ,x t y t =+⎧⎨=+⎩ (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为θρsin 2=.(Ⅰ)把C 1的参数方程化为极坐标方程;(Ⅱ)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)。

【解析】将⎩⎨⎧+=+=ty tx sin 55cos 54消去参数t ,化为普通方程25)5()4(22=-+-y x ,即1C :01610822=+--+y x y x .将⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 代入01610822=+--+y x y x 得 016sin 10cos 82=+--θρθρρ.(Ⅱ)2C 的普通方程为0222=-+y y x .由⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+--+020*********y y x y x y x ,解得⎩⎨⎧==11y x 或⎩⎨⎧==20y x .所以1C 与2C 交点的极坐标分别为)4,2(π,)2,2(π16.(2013·江苏高考数学科·T21)在平面直角坐标系xOy 中, 直线l 的参数方程为12x t y t=+⎧⎨=⎩(t 为参数),曲线 C 的参数方程为22tan 2tan x y θθ⎧=⎨=⎩ (θ为参数).试求直线l 和曲线C 的普通方程, 并求出它们的公共点的坐标.【解题指南】选把参数方程转化为普通方程再利用普通方程求解,主要考查参数方程与普通方程的互化以及直线与抛物线的位置关系等基础知识, 考查转化问题的能力 【解析】因为直线 l 的参数方程为12x t y t=+⎧⎨=⎩(t 为参数), 由x = t+1得t = x-1, 代入y = 2t, 得到直线l 的普通方程为2x-y-2 = 0. 同理得到曲线 C 的普通方程为2y = 2x.联立方程组22(1)2y x y x=-⎧⎨=⎩ ,解得公共点的坐标为(2, 2), (12, -1).17.(2013·江苏高考数学科·T21)已知a ≥b>0, 求证:332222a b ab a b -≥-【解题指南】本小题主要考查利用比较法证明不等式,利用作差法分解因式与0比较.【证明】2a 3-b 3-(2ab 2-a 2b)= 2a(a 2-b 2)+b(a 2-b 2)= (a 2-b 2)(2a+b) = (a-b)(a+b)(2a+b).因为 a ≥b>0, 所以 a-b ≥0, a+b>0, 2a+b>0,从而(a-b)(a+b)(2a+b)≥0,即332222a b ab a b -≥-18.(2013·福建高考理科·T21)在直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点A 的极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛4,2π,直线l 的极坐标方程为a =-)4cos(πθρ,且点A 在直线l 上。

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