仿紧局部Lindelof空间的一些注记
5.3 Lindeloff空间
§5.3Lindeloff空间本节重点: Lindeloff空间的定义；Lindeloff空间与第一(二)可数性公理空间、可分空间的关系；Lindeloff空间的遗传性、关于连续映射的是否可保持性．一 Lindeloff空间的概念定义5.3.1 设A 是一个集族，B是一个集合．如果AAA=B，则称集族A是集合B的一个覆盖，并且当A 是可数族或有限族时，分别称集族A 是集合B的一个可数覆盖和有限覆盖．设集族A是集合B的一个覆盖．如果集族A的一个子族A 1也是集合B的覆盖，则称集族A1是覆盖A （关于集合B）的一个子覆盖．设X是一个拓扑空间．如果由X中开（闭）子集构成的集族A是X的子集B的一个覆盖，则称集族A是集合B的一个开（闭）覆盖．在数学分析中读者所熟知的Heine－Borel定理告诉我们：实数空间R的子集A是一个有界闭集当且仅当A的每一个开覆盖都有有限子覆盖．因而具有“每一个开覆盖都有有限子覆盖”的拓扑空间自有其重要性．对于这类拓扑空间我们将要在第七章中称之为“紧致空间”并且用整章的篇幅加以讨论．但是另一方面，正如所知，连实数空间本身都不能包容在这类拓扑空间之中．这使我们有必要放松一点限制．定义5.3.2 设X是一个拓扑空间．如果X的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称拓扑空间X是一个Lindeloff空间．由定义可知，任何平庸空间是Lindeloff空间；含可数多个点的离散空间是Lindeloff空间；包含着不可数多个点的离散空间不是一个Lindeloff空间．这是因为这个拓扑空间中的所有单点子集构成它的一个开覆盖，这个开覆盖没有任何可数子覆盖．例5.3.1， 包含着不可数多个点的可数补空间X 是一个Lindeloff 空间， 且X 的每个子空间也是Lindeloff 空间．(例5.1.1中已经指出它不满足第一可数性公理，所以它也不满足第二可数性公理．)证明 设A 是X 的任意一个开覆盖．任意在A 中取定一个非空集合A ．对于每一个x∈A ′，在A 中选取一个A x 使得x∈A x ，由于A ′是可数集，所以A 的子族{ A x ∈A | x∈A x ，x∈A ′}∪{A}也是可数的，易见它也覆盖X ．所以包含着不可数多个点的可数补空间X 是Lindeloff 空间.设Y ⊂X ，下面证Y 也是Lindefoff 空间．设A 1 是Y 的任意一个开覆盖，则存在X 的开集族A 使A 1 = A |Y ．任取一个A ∈A ，则A ∪Y′是X 的一个开集（因为A ∪Y′的补可数），于是A ∪{A ∪Y′}是X 的一个开覆盖．由于X 是Lindefoff 空间，所以在A ∪{A ∪Y′}中有一个可数子集族B 是X 的覆盖，不妨设B ＝{A 1 ,A 2 ,…,A n ,…A ∪Y′}，其中A i ,A ∈A ，i=1,2,…（注A ∪Y′若不在其内，则加进去也无妨），则B |Y ＝{ A 1∩Y ,A 2∩Y ,…,A n ∩Y ,…A∩Y}⊂ A |Y =A1 ，即B |Y 是A 1的可数子覆盖．故Y 是Lindefoff 空间． 二 Lindefoff 性与第二可数性的关系定理5.3.l[Lindeloff 定理] 任何一个满足第二可数性公理的空间都是Lindeloff 空间．（即A 2 空间一定是Lindeloff 空间）证明 设拓扑空间X 是A 2 空间， B 是它的一个可数基．设A 是X 的一个开覆盖(注意,证这类问题的开头)．对于每一个A ∈A ，由于A 是一个开集，所以存在B A ⊂B ，使得A=A B B ∈ B ，令B 1 =A A ∈ A B,由于B 1是B 的一个子族，所以是一个可数族．并且1()A A A B B A B A B B B A X ∈∈∈∈∈∈==== A B BA B A故B 1也是X 的一个覆盖．如果B ∈B 1，则存在A ∈A 使得B ∈A B，（因为A =A B B ∈ B ）因此B ⊂ A ．于是对于每一个B ∈B 1；我们可以选定某一个A B ∈A 使得 B⊂A B ，记A 1 ={ A B | B ∈B 1}，它是A 的一个子族，并且111B A B B A A B X ∈∈∈=⊃=A B B ,所以A 1是A 的一个子覆盖．此外由于B 1是可数的，所以A 1也是可数的．于是开覆盖A 有一个可数子覆盖A 1 ．这证明X 是一个Lindefoff 空间．推论5.3.2 满足第二可数性公理的空间的每一个子空间都是Lindeloff 空间．(即A 2空间的子空间仍然是A 2空间)特别，n 维欧氏空间R n 的每一个子空间都是Lindeloff 空间.证明 由定理5.1.5及上面定理即可得第一句结论；第二句结论成立是因为R n 是A 2空间.说明 ⑴ 定理5.3.1的逆命题不成立.因为包含着不可数多个点的可数补空间X ，由例5.3.1知它是Lindeloff 的，由例5.1.1知X 不是A 1空间，从而由定理5.1.3知X 也不是A 2空间.即：Lindeloff 空间 ⇒/ A 2空间 .⑵ 推论5.3.2的逆命题都不成立．因为由例5.3.1知上述空间X 的每个子空间都是Lindeloff 空间，但X 不是A 2空间.⑶ X 是Lindeloff 空间 ⇒/ A 1空间；（即⑴中所说） X 是A 1空间⇒/ X 是Lindeloff 空间.（因为任何一个离散空间是是A 1空间，但含不可数多个点的离散空间不是Lindeloff 空间）⑷ 对度量空间X ，X 是A 2空间⇔ X 是Lindeloff 空间.必要性由定理5.3.1 得，充分性是下面的定理：定理5.3.3 每一个Lindeloff 的度量空间都是A 2空间.证明 设（X ，d ）是一个Lindeloff 的度量空间．对于每一个k∈Z + ，集族 B ={B （x ，1/k ）|x∈ X }是X 的一个开覆盖．由于X 是一个Lindeloff 空间，所以 B 有一个可数子覆盖，设为1{(,)|}k k i B x i Z k +=∈B ,从而开集族k k Z +∈= B B是一个可数族．以下证明B 是X 的一个基．∀x∈X 和x 的任何一个邻域U ，∃ε 使得B(x,ε) ⊂U.由于k B是X 的一个覆盖，所以∃1(,)k i B x k ∈k B 使得x ∈1(,)k i B x k ，令k > 2/ε,则对任何y ∈1(,)k i B x k 有2(,)(,)(,)k i k i d x y d x x d x y k ε≤+<<，所以1(,)k i B x k ⊂ B(x,ε).于是x∈1(,)k i B x k ⊂U ．据定理2.6.2可见B 是X 的一个基．X 有一个可数的基B ，故为A 2空间． 证毕．思考：可分性与Lindeloff 性有何关系？三 Lindeloff 空间的性质１．Lindeloff 空间不具有遗传性．例5.3.2 Lindeloff 空间的子空间可以不是Lindeloff 空间的例子． 设X 是一个不可数集，z∈X．令X 1 =X-{z}，T =P (X 1)∪{U ∈P (X) | z∈U,U ′是可数集 }.容易验证T 是X 的一个拓扑．（请读者自己验证．）拓扑空间（X ，T )是一个Lindeloff 空间．因为如果A 是X 的一个开覆盖，则存在A∈A 使得z∈A．于是A ′是一个可数集．对于每一个x∈A ′，选取A x ∈A 使得x∈A x ．易见{A}∪{ A x | x ∈A ′}是A 的一个可数子覆盖．另外，由于T |X1= P (X 1)．因此X 1作为X 的子空间是一个包含着不可数多个点的离散空间．所以X 1不是一个Lindeloff 空间．2. Lindeloff 空间对于闭子空间是可遗传的定理5.3.4 Lindeloff 空间的每一个闭子空间都是Lindeloff 空间．证明 设Y 是Lindeloff 空间X 的一个闭子空间，A 是子空间Y 的一个开覆盖．则对于每一个A∈A ，存在X 中的一个开集U A 使得U A ∩Y=A．于是{U A |A∈A }∪{Y ′}是X 的一个开覆盖，它有一个可数子覆盖，设为{ U A1 , U A2 ,…}∪{Y ′}（即使不包含Y ′，多加一个也无妨）.这时易见，{ A 1 , A 2 ,…}，其中A i = U Ai ∩Y, i ∈Z + ,便是A 的一个（关于子空间Y 的）可数子覆盖． 证毕.3. Lindeloff 性质是连续映射下的不变性质，从而是拓扑性质，也是可商的性质.（见习题1）命题 X 和Y 是两个拓扑空间，f ：X →Y 是连续映射.如果X 是一个Lindeloff 空间，则f(X)也是一个Lindeloff 空间.证明 因为f ：X →Y 是连续映射，由§3.1习题6知，f ：X →f(X)也连续.设B 是f(X)的一个开覆盖，由连续知B ∈B 时，f -1(B)∈T X ,又由定理1.6.4的①知111()()[()]B B f B f B f f X X ---∈∈===B B ，可知 A ={f -1(B) | B ∈B }是X 的开覆盖．因X 是一个Lindeloff 空间，故A 有可数子覆盖A 1={f -1(B i ) | B i ∈B , i ∈Z + }，与此相应的，B 有可数子族B 1 = { B i ∈B | i ∈Z + }，因为11111[()][()]()i i i i i i B B B B f f B f f B f X --∈∈∈===B B B ，可见B 1是B 的（关于f(X)的）可数子覆盖.故f(X)是一个Lindeloff 空间.*4. Lindeloff空间不具有有限可积性结论见习4* .以下是子空间都是Lindeloff空间的拓扑空间——当然这时该空间本身也是Lindeloff空间的一个性质定理5.3.5 设拓扑空间X的任何一个子空间都是Lindeloff空间．如果A⊂X是一个不可数集，则A中必定包含A的某一个凝聚点，即A∩d(A)≠Φ．特别，如果X是一个满足第二可数性公理的空间，则X的每一个不可数子集A中都包含着A的某一个凝聚点．证明设A⊂X是一个不可数集．如果A中没有A的凝聚点，则对于每一个a∈A，存在a在X中的一个邻域U a，使得U a∩A={a},这说明单点集{a}是子空间A中的一个开集．从而子空间A便是一个包含着不可数多个点的离散空间，它必然不是一个Linde1off空间，这与定理的条件矛盾．四各类拓扑空间关系表作业:P149 1．本章总结掌握：第一与第二可数性公理、可分空间、Lindelöff空间等基本概念及其性质。
《点集拓扑学》第5章§5.3Lindeloff空间
《点集拓扑学》第5章§5.3Lindeloff空间§5.3Lindeloff空间本节重点:掌握Lindeloff空间的定义；掌握Lindeloff空间与第一(二)可数性公理空间、可分空间的关系；掌握Lindeloff空间的遗传性、关于连续映射的是否可保持性．我们先引进一些术语．定义5.3.1 设A*是一个集族，B是一个集合．如果则称集族A*是集合B的一个覆盖，并且当A*是可数族或有限族时，分别称集族A*是集合B的一个可数覆盖或有限覆盖．设集族A是集合B的一个覆盖．如果集族A的一个子族也是集合B的覆盖，则称集族是覆盖A（关于集合B）的一个子覆盖．设X是一个拓扑空间．如果由X中开（闭）子集构成的集族A是X的子集B的一个覆盖，则称集族A是集合B的一个开（闭）覆盖．在数学分析中读者所熟知的Heine－Borel定理告诉我们：实数空间R的子集A是一个有界闭集当且仅当A的每一个开覆盖都有有限子覆盖．因而具有“每一个开覆盖都有有限子覆盖”的拓扑空间自有其重要性．对于这类拓扑空间我们将要在第七章中称之为“紧致空间”并且用整章的篇幅加以讨论．但是另一方面，正如所知，连实数空间本身都不能包容在这类拓扑空间之中．这使我们有必要放松一点限制．定义5.3.2 设X是一个拓扑空间．如果X的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称拓扑空间X是一个Lindeloff空间．包含着不可数多个点的离散空间不是一个Lindeloff空间．这是因为这个拓扑空间中的所有单点子集构成它的一个开覆盖，这个开覆盖没有任何可数子覆盖．定理5.3.l[Lindeloff定理] 任何一个满足第二可数性公理的空间都是Lindeloff空间．证明设拓扑空间X满足第二可数性公理，B是它的一个可数基．设A是X的一个开覆盖(注意,证这类问题的开头)．对于每一个A∈A，由于A是一个开集，所以存在，使得A B令由于是B的一个子族，所以是一个可数族．并且这就是说，也是X的一个覆盖．如果B∈，则存在A∈A使得B∈，因此B A．于是对于每一个B∈；我们可以选定某一个记，它是A的一个子族，并且所以是A的一个子覆盖．此外由于是可数的，所以也是可数的．于是开覆盖A有一个可数子覆盖．这证明X是一个Lindefoff空间．推论5.3.2 满足第二可数性公理的空间的每一个子空间都是Lindeloff空间．特别，n维欧氏空间的每一个子空间都是Lindeloff空间．例5.3.1，定理5.3.1和推论5.3.2的逆命题都不成立．考虑包含着不可数多个点的可数补空间X．例5.1.1中已经指出它不满足第一可数性公理，所以它也不满足第二可数性公理．以下证明它是一个Lindeloff空间．设A是它的一个开覆盖．任意在A中取定一个非空集合A．对于每一个x∈在A中选取一个是一个可数集，所以A的子族也是可数的，易见它也覆盖X．因此，包含着不可数多个点的可数补空间是定理5.3.1的逆命题不成立的例子．也不难证明X的每一个子空间都是Lindefoff空间．（请读者自补证明）因此，包含着不可数多个点的可数补空间也是推论5.3.2的逆命题不成立的例子．定理5.3.3 每一个Lindeloff的度量空间都满足第二可数性公理．证明设（X，d）是一个Lindeloff的度量空间．对于每一个k∈，集族={B（x，1/k）|x∈X}是X的一个开覆盖．由于X是一个Lindeloff空间，所以有一个可数子覆盖，设为,从而开集族是一个可数族．以下证明它是X的一个基．x∈X和x的任何一个邻域U，令k为任何一个大于2/ε的正数．由于是X的一个覆盖，根据定理2.6.2可见B是X的一个基．因此X满足第二可数性公理．例5.3.2 Lindeloff 空间的子空间可以不是Lindeloff空间的例子．设X是一个不可数集，z∈X．令=X-{z}，T是一个可数集}容易验证T是X的一个拓扑．（请读者自己验证．）拓扑空间（X，T)是一个Lindeloff空间．因为如果A是X的一个开覆盖，则存在A∈A 使得z∈A．于是是一个可数集．对于每一个x∈，选取∈A使得x∈．易见是A的一个可数子覆盖．另外，容易验证T ．这也就是说作为X的子空间是一个包含着不可数多个点的离散空间．所以不是一个Lindeloff空间．此外，两个Lindeloff空间的积空间也可以不是Lindeloff空间．有关的例子可见习题第4题．尽管Lindeloff性质不可遗传，但它对于闭子空间却是可遗传的．我们证明：定理5.3.4 Lindeloff空间的每一个闭子空间都是Lindeloff空间．证明设Y是Lindeloff空间X的一个闭子空间，A是子空间Y的一个开覆盖．则对于每一个A∈A存在X中的一个开集使得∩Y=A．于是{|A∈A}∪{}是X的一个开覆盖，它有一个可数子覆盖，设为（即使可以找到一个子覆盖不包含，但添上一个元素也无何不可．）这时易见，{,…},其中，便是A的一个（关于子空间Y的）可数子覆盖．定理5.3.5 设拓扑空间X的任何一个子空间都是Lindeloff空间．如果A X是一个不可数集，则A中必定包含A的某一个凝聚点，即．特别，如果X是一个满足第二可数性公理的空间，则X的每一个不可数子集A中都包含着A的某一个凝聚点．证明设A X是一个不可数集．如果A中没有A的凝聚点，则对于每一个a∈A，存在a在X中的一个邻域，这说明单点集{a}是子空间A中的一个开集．从而子空间A便是一个包含着不可数多个点的离散空间，它必然不是一个Linde1off空间，这与定理的条件矛盾．我们将本章中讨论过的各类拓扑空间之间的关系列为图表作业:P149 1．本章总结：（1），Lindeloff空间是重点．（2）掌握，Lindeloff，可分是否是连续映射所保持的、有限可积的、可遗传的性质．（3）掌握这些空间之间的关系（上述关系图）．（4）掌握空间中序列的性质及定理5.1.8的内容与作用．。
S-仿Lindelof空间
作者简介 ：高坌 娟（９７ ） ｆ １８一 ，女，湖北黄冈人， ｛ 成都理‘大学信息管理学院硕 研究牛 １ ： Ｉ
高绍娟 ，等 ：Ｓ 仿 Ｌｎ ｅ ｆ空 间 一 ｉｄ ｌ ｏ
是 的一个 开 覆盖 ．而 为 Ｓ仿 Ｌｎ ｅ ｆ 间 ，故集 簇 Ｗ 存 在 一个 局部 可 数 的半 开 ｓ 仿 Ｌｎｅ ｆ 出 （ Ｔ 也是 ｓ 仿 Ｌｎ ｅ ｆ ． ） ， 为 一 ｉｄｌ 推 ｏ ， ） 一 ｉｄｌ 的 ｏ
关 键词 ：局 部 可数 ；ｓ 局 部 可数 ；半 开加 细 ；ｓ 仿 Ｌｎ ｅ ｆ 一 一 ｉｄｌ ｏ
中图分 类 号 ： ８．１ Ｏ１９１
（ Ｔ ） （ ，） ， 是 Ｔ 的半 正 则化 ．
１ 引 言
定义１ 间（ Ｔ的 簇Ｆ＝ ： 口是局 数（局部 数） 空 ， 子集 ） ｛ ∈ 部可 ｓ 可 的， ｆ ｘ Ｘ， 一 ￣ｇＶ 存在 【 Ｔ ∈ ｏｘＴ） 使得 ∈ 且｛ ， Ｎ （ 是 ， （ ｓ （ ， ， Ｕ ∈ ： ｕ≠ ） 可数的 ∈ ） ２ ｝ ． 引 ｛ ：∈ 理１ 以为空间Ｘ的 集簇． Ｆ＝ 子 １ 簇Ｆ是ｓ ） 集 一 局部可 数的当 仅当 簇｛， ：∈ ｝ － 可数的 且 集 （ ，是ｓ ｃ ） 局部 ．
是正则开集 ，正则闭集 ，完全开集 ． 空间 的所有半 开子集簇 （ 正则开子集簇 ，完全 开子集簇 ） 表示 为 ｓ ｘ， ） Ｒ Ｘ， ）ｐ ｘ，）．对 空 间 而 言 ，如 果 有 Ｔ Ｔ ，集 簇 Ｒ Ｘ， ） 拓 扑 Ｔ 的基 ．空 间 ｏ（ Ｔ （ Ｏ（ Ｔ， ｏ（ Ｔ） Ｏ（ Ｔ 是
空 间 的概念 ．
本文中用 ｃ（ ） ｎ（ ） ｌ ，ｉ Ａ ，Ｔ 分别表示集合 的闭包 ，内部和 中集合 的相对拓扑． Ａ ｔ 集合 Ａ称作是 空间 （ Ｔ 的半开子集 ， ，） 如果存在一个开集 ， 使得 ｃ（ ． ｌ Ｕ） 半开集也被称作为半闭集． 集合 的
仿紧局部§0空间的某些性质
】 ， ， 厂。 （ Ｙ ） 是 的有限 子集． （ ３ ） ｆ称 为 可数 列一 映射 ， 如果 对 每一 个 Ｙ∈ ｌ ， 厂 （ Ｙ ） 是 的可 数子集 ． 显 然＝ ＝ ＞ 紧映射 映 射． 有 限列一 映 射 可数 列～ 映射． 定义 １ ． ５ 空间 称 为局部 的 ， 如果 对 于
在仿 紧 局 部 紧¨ ｊ ， 仿 紧局部 ｌ ｉ ｎ ｄ ｅ ｌ ６ ｆ， 仿 紧 局 部
ｃ ｏ ｓ ｍ ｉ ｃ空 间领域 深入 讨 论 ， 同 时建 立 仿 紧 局部 紧 类与有 特定性 质 形 形 色色 系 之 间 的联 系 ． 在 这里 提 出了仿 紧局部 空 间 ， 并 且 对 它 的性 质 ， 它 的 映象等 方 面进 行 了研究 和讨论 ．
证明 （ １ ）因为 是 局部 空 间 ， 所 以对 任
基， 如果对 的每 个 紧集 Ｋ ｃ Ｕ∈ ， 都 存 在 Ｂ∈
，
使 得 ＫｃＢｃ 满足 第 二可数性 公理 的正则 空 间是 空 间．
具有 点可数 伪基 的正则 空 间是 空问． 定义 １ ． ３ 若 空 问 ｘ 由 所 决 定 ， 且 中 的
本 文所论 空 间都是 空间 ， 映射均 指连 续满 映射 ， 未 定 义 的术 语 及 符 号 均 依 文 献 ［ １ ］ ， 文 献
［ ２ ］ ， 文献［ ３ ］ 为准．
任意 ∈Ｘ， 都 有 邻域．
１ 主要 结 果
空 间 称 为 由其 覆 盖 所
定理 ２ ． １ 设 是仿 紧局部 。空间 ， 则 （ １ ） Ｘ存在 局部 有 限的 开覆 盖 ＝｛ Ｉ Ｏ ｌ ∈
定义 １ ． １ 别
决定 的 ， 若 ｃ ， 使 得 对 于每 个 Ａ∈ ， Ａ Ｉ Ｂ是 Ａ 中开 集 （ 闭集 ） ， 则 口是 中开集 （ 闭集 ） ． 定义 １ ． ２ ¨ ６ 空 间 Ｘ 的集 族 称 为 的伪
《点集拓扑学》第5章 §5.3 Lindeloff空间
§5.3Lindeloff空间本节重点:掌握Lindeloff空间的定义；掌握Lindeloff空间与第一(二)可数性公理空间、可分空间的关系；掌握Lindeloff空间的遗传性、关于连续映射的是否可保持性．我们先引进一些术语．定义5.3.1 设A*是一个集族，B是一个集合．如果则称集族A*是集合B的一个覆盖，并且当A*是可数族或有限族时，分别称集族A*是集合B的一个可数覆盖或有限覆盖．设集族A是集合B的一个覆盖．如果集族A的一个子族也是集合B的覆盖，则称集族是覆盖A（关于集合B）的一个子覆盖．设X是一个拓扑空间．如果由X中开（闭）子集构成的集族A是X的子集B的一个覆盖，则称集族A是集合B的一个开（闭）覆盖．在数学分析中读者所熟知的Heine－Borel定理告诉我们：实数空间R的子集A是一个有界闭集当且仅当A的每一个开覆盖都有有限子覆盖．因而具有“每一个开覆盖都有有限子覆盖”的拓扑空间自有其重要性．对于这类拓扑空间我们将要在第七章中称之为“紧致空间”并且用整章的篇幅加以讨论．但是另一方面，正如所知，连实数空间本身都不能包容在这类拓扑空间之中．这使我们有必要放松一点限制．定义5.3.2 设X是一个拓扑空间．如果X的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称拓扑空间X是一个Lindeloff空间．包含着不可数多个点的离散空间不是一个Lindeloff空间．这是因为这个拓扑空间中的所有单点子集构成它的一个开覆盖，这个开覆盖没有任何可数子覆盖．定理5.3.l[Lindeloff定理] 任何一个满足第二可数性公理的空间都是Lindeloff空间．证明设拓扑空间X满足第二可数性公理，B是它的一个可数基．设A是X的一个开覆盖(注意,证这类问题的开头)．对于每一个A∈A，由于A是一个开集，所以存在，使得A B令由于是B的一个子族，所以是一个可数族．并且这就是说，也是X的一个覆盖．如果B∈，则存在A∈A使得B∈，因此B A．于是对于每一个B∈；我们可以选定某一个记，它是A的一个子族，并且所以是A的一个子覆盖．此外由于是可数的，所以也是可数的．于是开覆盖A有一个可数子覆盖．这证明X是一个Lindefoff空间．推论5.3.2 满足第二可数性公理的空间的每一个子空间都是Lindeloff空间．特别，n维欧氏空间的每一个子空间都是Lindeloff空间．例5.3.1，定理5.3.1和推论5.3.2的逆命题都不成立．考虑包含着不可数多个点的可数补空间X．例5.1.1中已经指出它不满足第一可数性公理，所以它也不满足第二可数性公理．以下证明它是一个Lindeloff空间．设A是它的一个开覆盖．任意在A中取定一个非空集合A．对于每一个x∈在A中选取一个是一个可数集，所以A的子族也是可数的，易见它也覆盖X．因此，包含着不可数多个点的可数补空间是定理5.3.1的逆命题不成立的例子．也不难证明X的每一个子空间都是Lindefoff空间．（请读者自补证明）因此，包含着不可数多个点的可数补空间也是推论5.3.2的逆命题不成立的例子．定理5.3.3 每一个Lindeloff的度量空间都满足第二可数性公理．证明设（X，d）是一个Lindeloff的度量空间．对于每一个k∈，集族={B（x，1/k）|x∈X}是X的一个开覆盖．由于X是一个Lindeloff空间，所以有一个可数子覆盖，设为,从而开集族是一个可数族．以下证明它是X的一个基．x∈X和x的任何一个邻域U，令k为任何一个大于2/ε的正数．由于是X的一个覆盖，根据定理2.6.2可见B是X的一个基．因此X满足第二可数性公理．例5.3.2 Lindeloff 空间的子空间可以不是Lindeloff空间的例子．设X是一个不可数集，z∈X．令=X-{z}，T是一个可数集}容易验证T是X的一个拓扑．（请读者自己验证．）拓扑空间（X，T)是一个Lindeloff空间．因为如果A是X的一个开覆盖，则存在A∈A 使得z∈A．于是是一个可数集．对于每一个x∈，选取∈A使得x∈．易见是A的一个可数子覆盖．另外，容易验证T ．这也就是说作为X的子空间是一个包含着不可数多个点的离散空间．所以不是一个Lindeloff空间．此外，两个Lindeloff空间的积空间也可以不是Lindeloff空间．有关的例子可见习题第4题．尽管Lindeloff性质不可遗传，但它对于闭子空间却是可遗传的．我们证明：定理5.3.4 Lindeloff空间的每一个闭子空间都是Lindeloff空间．证明设Y是Lindeloff空间X的一个闭子空间，A是子空间Y的一个开覆盖．则对于每一个A∈A存在X中的一个开集使得∩Y=A．于是{|A∈A}∪{}是X的一个开覆盖，它有一个可数子覆盖，设为（即使可以找到一个子覆盖不包含，但添上一个元素也无何不可．）这时易见，{,…},其中，便是A的一个（关于子空间Y的）可数子覆盖．定理5.3.5 设拓扑空间X的任何一个子空间都是Lindeloff空间．如果A X是一个不可数集，则A中必定包含A的某一个凝聚点，即．特别，如果X是一个满足第二可数性公理的空间，则X的每一个不可数子集A中都包含着A的某一个凝聚点．证明设A X是一个不可数集．如果A中没有A的凝聚点，则对于每一个a∈A，存在a在X中的一个邻域，这说明单点集{a}是子空间A中的一个开集．从而子空间A便是一个包含着不可数多个点的离散空间，它必然不是一个Linde1off空间，这与定理的条件矛盾．我们将本章中讨论过的各类拓扑空间之间的关系列为图表作业:P149 1．本章总结：（1），Lindeloff空间是重点．（2）掌握，Lindeloff，可分是否是连续映射所保持的、有限可积的、可遗传的性质．（3）掌握这些空间之间的关系（上述关系图）．（4）掌握空间中序列的性质及定理5.1.8的内容与作用．。
局部紧Lindel(？)f空间的映象及其他结果
局部紧Lindel（？）f空间的映象及其他结果本文由两部分组成，在本文的第一部分中引人了强k系的概念并借助于商映射、闭映射和紧覆盖映射建立了局部紧Lindel(?)f空间和几类具有特定性质k
系之间的联系。
在本文的第二部分中引入2—序列商映射并讨论了1—序列商映射和2—序列商映射的相关性质。
在第一部分主要结果有：结果1 (定理2．6)：对于空间X，下列
条件等价： (1) X是局部紧Lindel(?)f空间的紧覆盖、可数对一、SL映象(2) X是局部紧Lindel(?)f空间的紧覆盖映象 (3) X具有由紧子集组成的可数k覆盖结果2 (定理2．11)：对于空间X，下列条件等价： (1) X是局部紧Lindel(?)f空间的紧覆盖、有限对一、闭、SL映象 (2) X是局部紧Lindel(?)f空间 (3) X具有σ—可数且离散的强k系 (4) X具有σ—可数且局部有限的强k系 (5) X具有可数且局部有限k系 (6) X具有可数的点有限且遗传闭包保持k系在第二部分主要结果有：结果3 (定理3．4)：2-序列商映射保持sof可数空间结果4 (定理3．5)：对于空间X，下列条件等价： (1) X是度量空间的1-序列覆盖映象(2-序列覆盖映象) (2) X是度量空间的1-序列商映象(2-序列商映象) (3) X是snf可数(sof
可数)空间结果5 (定理3．14)：设f：X→Y，X是snf可数(sof可数)空间，若f为1-序列商映射(2-序列商映射)，则f为1-序列覆盖映射(2-序列覆盖映射)。
Lindeloff空间
§5.3Lindeloff空间本节重点: Lindeloff空间的定义；Lindeloff空间与第一(二)可数性公理空间、可分空间的关系；Lindeloff空间的遗传性、关于连续映射的是否可保持性．一 Lindeloff空间的概念定义5.3.1 设A 是一个集族，B是一个集合．如果A AA=B，则称集族A是集合B的一个覆盖，并且当A 是可数族或有限族时，分别称集族A 是集合B的一个可数覆盖和有限覆盖．设集族A是集合B的一个覆盖．如果集族A的一个子族A 1也是集合B的覆盖，则称集族A1是覆盖A （关于集合B）的一个子覆盖．设X是一个拓扑空间．如果由X中开（闭）子集构成的集族A是X的子集B的一个覆盖，则称集族A是集合B的一个开（闭）覆盖．在数学分析中读者所熟知的Heine－Borel定理告诉我们：实数空间R的子集A是一个有界闭集当且仅当A的每一个开覆盖都有有限子覆盖．因而具有“每一个开覆盖都有有限子覆盖”的拓扑空间自有其重要性．对于这类拓扑空间我们将要在第七章中称之为“紧致空间”并且用整章的篇幅加以讨论．但是另一方面，正如所知，连实数空间本身都不能包容在这类拓扑空间之中．这使我们有必要放松一点限制．定义5.3.2 设X是一个拓扑空间．如果X的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称拓扑空间X是一个Lindeloff空间．由定义可知，任何平庸空间是Lindeloff空间；含可数多个点的离散空间是Lindeloff空间；包含着不可数多个点的离散空间不是一个Lindeloff空间．这是因为这个拓扑空间中的所有单点子集构成它的一个开覆盖，这个开覆盖没有任何可数子覆盖．例5.3.1， 包含着不可数多个点的可数补空间X 是一个Lindeloff 空间， 且X 的每个子空间也是Lindeloff 空间．(例5.1.1中已经指出它不满足第一可数性公理，所以它也不满足第二可数性公理．)证明 设A 是X 的任意一个开覆盖．任意在A 中取定一个非空集合A ．对于每一个x∈A ′，在A 中选取一个A x 使得x∈A x ，由于A ′是可数集，所以A 的子族{ A x ∈A | x∈A x ，x∈A ′}∪{A}也是可数的，易见它也覆盖X ．所以包含着不可数多个点的可数补空间X 是Lindeloff 空间.设Y ⊂X ，下面证Y 也是Lindefoff 空间．设A 1 是Y 的任意一个开覆盖，则存在X 的开集族A 使A 1 = A |Y ．任取一个A ∈A ，则A ∪Y′是X 的一个开集（因为A ∪Y′的补可数），于是A ∪{A ∪Y′}是X 的一个开覆盖．由于X 是Lindefoff 空间，所以在A ∪{A ∪Y′}中有一个可数子集族B 是X 的覆盖，不妨设B ＝{A 1 ,A 2 ,…,A n ,…A ∪Y′}，其中A i ,A ∈A ，i=1,2,…（注A ∪Y′若不在其内，则加进去也无妨），则B |Y ＝{ A 1∩Y ,A 2∩Y ,…,A n ∩Y ,…A∩Y}⊂ A |Y =A1 ，即B |Y 是A 1的可数子覆盖．故Y 是Lindefoff 空间． 二 Lindefoff 性与第二可数性的关系定理5.3.l[Lindeloff 定理] 任何一个满足第二可数性公理的空间都是Lindeloff 空间．（即A 2 空间一定是Lindeloff 空间）证明 设拓扑空间X 是A 2 空间， B 是它的一个可数基．设A 是X 的一个开覆盖(注意,证这类问题的开头)．对于每一个A ∈A ，由于A 是一个开集，所以存在B A ⊂B ，使得A=A B B ∈B ，令B 1 =A A ∈A B ,由于B 1是B 的一个子族，所以是一个可数族．并且1()A A A B B A B A B B B A X ∈∈∈∈∈∈====A B B A B A故B 1也是X 的一个覆盖．如果B ∈B 1，则存在A ∈A 使得B ∈A B ，（因为A =A B B ∈B ）因此B ⊂ A ．于是对于每一个B ∈B 1；我们可以选定某一个A B ∈A 使得 B ⊂A B ，记A 1 ={ A B | B ∈B 1}，它是A 的一个子族，并且111B A B B A A B X ∈∈∈=⊃=A B B ,所以A 1是A 的一个子覆盖．此外由于B 1是可数的，所以A 1也是可数的．于是开覆盖A 有一个可数子覆盖A 1 ．这证明X 是一个Lindefoff 空间．推论5.3.2 满足第二可数性公理的空间的每一个子空间都是Lindeloff 空间．(即A 2空间的子空间仍然是A 2空间)特别，n 维欧氏空间R n 的每一个子空间都是Lindeloff 空间.证明 由定理5.1.5及上面定理即可得第一句结论；第二句结论成立是因为R n 是A 2空间.说明 ⑴ 定理5.3.1的逆命题不成立.因为包含着不可数多个点的可数补空间X ，由例5.3.1知它是Lindeloff 的，由例5.1.1知X 不是A 1空间，从而由定理5.1.3知X 也不是A 2空间.即：Lindeloff 空间 ⇒/ A 2空间 .⑵ 推论5.3.2的逆命题都不成立．因为由例5.3.1知上述空间X 的每个子空间都是Lindeloff 空间，但X 不是A 2空间.⑶ X 是Lindeloff 空间 ⇒/ A 1空间；（即⑴中所说）X 是A 1空间⇒/ X 是Lindeloff 空间.（因为任何一个离散空间是是A 1空间，但含不可数多个点的离散空间不是Lindeloff 空间）⑷ 对度量空间X ，X 是A 2空间⇔ X 是Lindeloff 空间.必要性由定理5.3.1 得，充分性是下面的定理：定理5.3.3 每一个Lindeloff 的度量空间都是A 2空间.证明 设（X ，d ）是一个Lindeloff 的度量空间．对于每一个k∈Z + ，集族B ={B （x ，1/k ）|x∈ X }是X 的一个开覆盖．由于X 是一个Lindeloff 空间，所以B 有一个可数子覆盖，设为1{(,)|}k ki B x i Z k+=∈B ,从而开集族k k Z +∈=B B 是一个可数族．以下证明B 是X 的一个基．∀x∈X 和x 的任何一个邻域U ，∃ε 使得B(x,ε) ⊂U.由于k B 是X 的一个覆盖，所以∃1(,)ki B x k ∈k B 使得x ∈1(,)ki B x k，令k > 2/ε,则对任何y ∈1(,)ki B x k 有2(,)(,)(,)ki ki d x y d x x d x y k ε≤+<<，所以1(,)ki B x k⊂ B(x,ε).于是x∈1(,)ki B x k⊂U ．据定理2.6.2可见B 是X 的一个基．X 有一个可数的基B ，故为A 2空间． 证毕．思考：可分性与Lindeloff 性有何关系？三 Lindeloff 空间的性质１．Lindeloff 空间不具有遗传性．例5.3.2 Lindeloff 空间的子空间可以不是Lindeloff 空间的例子． 设X 是一个不可数集，z∈X．令X 1 =X-{z}，T =P (X 1)∪{U ∈P (X) | z∈U,U ′是可数集 }.容易验证T 是X 的一个拓扑．（请读者自己验证．）拓扑空间（X ，T )是一个Lindeloff 空间．因为如果A 是X 的一个开覆盖，则存在A∈A 使得z∈A．于是A ′是一个可数集．对于每一个x∈A ′，选取A x ∈A 使得x∈A x ．易见{A}∪{ A x | x ∈A ′}是A 的一个可数子覆盖．另外，由于T |X1= P (X 1)．因此X 1作为X 的子空间是一个包含着不可数多个点的离散空间．所以X 1不是一个Lindeloff 空间．2. Lindeloff 空间对于闭子空间是可遗传的定理5.3.4 Lindeloff 空间的每一个闭子空间都是Lindeloff 空间．证明 设Y 是Lindeloff 空间X 的一个闭子空间，A 是子空间Y 的一个开覆盖．则对于每一个A∈A ，存在X 中的一个开集U A 使得U A ∩Y=A．于是{U A |A∈A }∪{Y ′}是X 的一个开覆盖，它有一个可数子覆盖，设为{ U A1 , U A2 ,…}∪{Y ′}（即使不包含Y ′，多加一个也无妨）.这时易见，{ A 1 , A 2 ,…}，其中A i = U Ai ∩Y, i ∈Z + ,便是A 的一个（关于子空间Y 的）可数子覆盖． 证毕.3. Lindeloff 性质是连续映射下的不变性质，从而是拓扑性质，也是可商的性质.（见习题1）命题 X 和Y 是两个拓扑空间，f ：X →Y 是连续映射.如果X 是一个Lindeloff 空间，则f(X)也是一个Lindeloff 空间.证明 因为f ：X →Y 是连续映射，由§3.1习题6知，f ：X →f(X)也连续.设B 是f(X)的一个开覆盖，由连续知B ∈B 时，f -1(B)∈T X ,又由定理1.6.4的①知111()()[()]B B f B f B f f X X ---∈∈===B B ，可知 A ={f -1(B) | B ∈B }是X 的开覆盖．因X 是一个Lindeloff 空间，故A 有可数子覆盖A 1={f -1(B i ) | B i ∈B , i ∈Z + }，与此相应的，B 有可数子族B 1 = { B i ∈B | i ∈Z + }，因为11111[()][()]()i i i i i i B B B B f f B f f B f X --∈∈∈===B B B ，可见B 1是B 的（关于f(X)的）可数子覆盖.故f(X)是一个Lindeloff 空间.*4. Lindeloff空间不具有有限可积性结论见习4* .以下是子空间都是Lindeloff空间的拓扑空间——当然这时该空间本身也是Lindeloff空间的一个性质定理5.3.5 设拓扑空间X的任何一个子空间都是Lindeloff空间．如果A⊂X是一个不可数集，则A中必定包含A的某一个凝聚点，即A∩d(A)≠Φ．特别，如果X是一个满足第二可数性公理的空间，则X的每一个不可数子集A中都包含着A的某一个凝聚点．证明设A⊂X是一个不可数集．如果A中没有A的凝聚点，则对于每一个a∈A，存在a在X中的一个邻域U a，使得U a∩A={a},这说明单点集{a}是子空间A中的一个开集．从而子空间A便是一个包含着不可数多个点的离散空间，它必然不是一个Linde1off空间，这与定理的条件矛盾．四各类拓扑空间关系表作业:P149 1．本章总结掌握：第一与第二可数性公理、可分空间、Lindelöff空间等基本概念及其性质。
第七章 紧致性
证 设X是第一可数的可数紧致空间. 对X中的序列{xi}, 若 {xi|iZ+}是有限集, 则{xi}有收敛子列; 若{xi|iZ+}是无限集, 设x是它的聚点, 由定理5.1.9, 存在子列{xni}收敛于x.
2013-8-7 宁德师范高等专科学校 13
7.3 Rn中的紧致子集(2)
定理7.3.3 设AR . 则A紧致A是有界闭集.
证 让 是R 中通常度量. “”由定理7.3.1和推论 7.2.2.
n n
“”设AR 是有界闭集. M>0, 使x, yA有(x, y)<M. 取定x0A, 令N=M+(0, x0), 则 xA, (x, n 0)(x, x0)+(x0, 0)<N, 所以A[-N, N] , 于是A是紧 致的.
2013-8-7
宁德师范高等专科学校
3
7.1 紧致空间(3)
定理7.1.2 X紧致具有有限交性质的闭集族有非空 的交. 证 “ ” F 是X的具有有限交性质的闭集族, 如果 ∩ F=, 则 ∪ F=X, 那 么 X 有 覆 盖 {F1, …Fn}, 从 而 ∩inFi=(∪inFi)=, 矛盾. “”设A是X的开覆盖, 因为∪A=X, 于是∩A=, 所 以某有限子集之交∩inAi=, 即∪inAi=X, 从而A有有 限子覆盖.
遗传σ-ortho紧空间、超空间c（d，x）的性质及刻画
成都理工大学硕士学位论文遗传σ-ortho紧空间、超空间C（D，X）的性质及刻画姓名：***申请学位级别：硕士专业：应用数学指导教师：***20100501摘 要I遗传ortho σ-紧空间、超空间(,)C D X 的性质及刻画作者简介：李焱，男，1985年7月生，师从成都理工大学曹金文教授，2010年6月毕业于成都理工大学应用数学专业，获得理学硕士学位。
摘 要本论文回答了关于ortho σ-紧空间遗传性的一个问题，获得了遗传ortho σ-紧空间的等价刻画，并且研究了超空间(,)C D X 的一些性质，得到以下主要结论：1.X 是遗传ortho σ-紧空间当且仅当X 的每一个散射分解有一个σ-内部保持的开膨胀。
2.X 是拓扑空间，下列各条等价：(1)X 是遗传ortho σ-紧空间；(2)X 的每个单调递减的闭集族{}:F ααγ<有一个-σ内部保持的开集族n n ω∈=V V 使得对αγ∀<，{}:X F V V F αα-=∈=∅V ；(3)X 的每个单调递增的开集族{:}U ααγ=<U 有一个-σ内部保持的开加细n n ω∈=V V 使得αγ∀<，{}:U V V U αα=∈⊂V 。
3. 设X ，Y 是连续统，映射:f X Y →是合流的当且仅当对任意()D C X ∈，有((,))((),)f C D X C f D Y ∧=。
4. 设X ，Y 是连续统，:h X Y →是同胚映射，那么，我们则有(,)((),)C D X C h D Y ≈。
5. 设X 是连续统，若()D C X ∈，使得对任意的,(,)A B C D X ∈，有A 和B 是可比的，那么(,)C D X 是弧。
6. 设X 是连续统且()D C X ∈，则(,)C D X 的割集既不是D 也不是X 。
7. 设X 是连续统，()D C X ∈，假设(,)A C D X ∈使得D A X 。
那么，A成都理工大学硕士学位论文终止于D 当且仅当A 是(,)C D X 的割集。
《点集拓扑学》第7章-§7.6-局部紧致空间-仿紧致空间资料讲解
§7.6局部紧致空间,仿紧致空间本节重点:掌握局部紧致空间、仿紧致空间的定义．性质；掌握局部紧致空间、仿紧致空间中各分离性公理空间之间的关系；掌握局部紧致空间、仿紧致空间与紧致空间之间的关系．定义7.6.1 设X是一个拓扑空间,如果X中的每一个点都有一个紧致的邻域,则称拓扑空间X是一个局部紧致空间．由定义立即可见,每一个紧致空间都是局部紧致空间,因为紧致空间本身便是它的每一个点的紧致邻域．n维欧氏空间也是局部紧致空间,因为其中的任何一个球形邻域的闭包都是紧致的．定理7.6.1 每一个局部紧致的空间都是正则空间．证明设X是一个局部紧致的Hausdorff空间,设x∈X,U是x的一个开邻域．令D是x 的一个紧致邻域,作为Hausdorff空间X的紧致子集,D是X中的闭集．由推论7.2.4,D作为子空间是一个紧致的Hausdorff空间,所以是一个正则空间．是x在子空间D 中的一个开邻域,其中是集合D在拓扑空间X中的内部．从而x在子空间D中有一个开邻域V使得它在子空间D中的闭包包含于W．一方面V是子空间D中的一个开集,并且又包含于W,因此V是子空间W中的一个开集,而W是X中的一个开集,所以V也是X中的开集．另一方面,由于D是X的闭集,所以V在D中的闭包便是V在X中的闭包因此点x在X中的开邻域V使得．因此X是一个正则空间．定理7.6.2 设X是一个局部紧致的正则空间,x∈X,则点x的所有紧致邻域构成的集族是拓扑空间X在点x处的一个邻域基．证明设U是x∈X的一个开邻域．令D为x的一个紧致邻域,则是x的一个开邻域．因为X是正则空间,所以存在x的开邻域V使得．闭集是x的一个闭邻域,并且作为紧致空间D中的闭子集,它是紧致的．以上证明了在x的任何开邻域U中包含着某一个紧致邻域．从前面两个定理立即可以推出:推论7.6.3 设X是一个局部紧致的Hausdorff空间,x∈X．则点x的所有紧致邻域构成的集族是拓扑空间X在点x处的一个邻域基．定理7.6.4 每一个局部紧致的正则空间都是完全正则空间．证明设X是一个局部紧致的正则空间．我们验证X是一个完全正则空间如下:设x∈X和B是X中的一个闭集,使得是x的一个开邻域．由定理7.6.2,存在x的一个紧致闭邻域V,使得．V作为X的一个子空间是紧致的正则空间(正则是可遗传的),因此是完全正则的．因而存在连续映射g:V→[0,1],使得g(x)=0,和对于任何有g(y)=1．定义映射h:使得．显然h是一个连续映射定义映射f:X→[0,1],使得对于任何z∈X首先,映射f的定义是确切的,因为如果,则有g(z)=1=h(z)．其次,都是X中的闭集,从而根据黏结引理,f是连续的．最后,显然有f(x)=0及对于根据定理7.6.1,定理7.6.4及图表6.1,立即可得图表7.4定义7.6.2 设集族A和B都是集合X的覆盖,如果A中的每一个元素包含于B中的某一个元素之中,则称A是B的一个加细．显然,如果A是B的一个子覆盖,则A是B的一个加细定义7.6.3 设X是一个拓扑空间,A是X的子集A的一个覆盖．如果对于每一个x∈A,点x有一个邻域U仅与A中有限个元素有非空的交,即:{A∈A|A∩U≠}是一个有限集,则称A是集合A的一个局部有限覆盖．有限覆盖当然是局部有限覆盖．定义7.6.4 设X是一个拓扑空间,如果X的每一个开覆盖都有一个局部有限的开覆盖是它的加细,则称X是一个仿紧致空间．紧致空间自然是仿紧致的．离散空间也是仿紧致的,因为所有单点集构成的集族是离散空间的一个开覆盖并且是它的任何一个开覆盖的局部有限的加细．定理7.6.5 每一个仿紧致的正则空间都是正规空间．证明:设X是一个仿紧致的正则空间,A是X中的一个闭集,U是A的一个开邻域．对于每一个a∈A,点a有一个开邻域,使得．从而集族是X 的一个开覆盖,它有一个局部有限的加细,设为,令．则是A 的一个局部有限的开覆盖．于是是A的一个开邻域．以下证明．如果,由于是局部有限的,所以x有一个邻域W只与中有限个元素有非空的交,于是这证明了定理7.6.6 每一个仿紧致的Hausdorff空间都是正则空间,因而也是正规空间．证明:设X是一个仿紧致的Hausdorff空间,兹验证X是一个正则空间如下:设x∈X,B是X中的一个不包含点x的闭集,对于每一个b∈B,存在x的一个开邻域和b的一个开邻域,使得．特别,．集族是X的一个开覆盖,它有一个局部有限的加细,设为．令．集族是B的一个局部有限的开覆盖．令．V是闭集B的一个开邻域．我们有．(x有一个邻域W只与中有限个元素有非空的交,因此W也只与中有限个元素,设为有非空的交．如果则因此存在某一个．然而易见于是得到矛盾)．因此是x的一个开邻域．此外显然根据定理7.6.5,定理7.6.6及图表6.1我们有图表7.5:引理7.6.7 设X是一个满足第二可数性公理的局部紧致的Hausdorff空间．则X 有一个开覆盖满足条件:对于每一个,闭包是一个包含于的紧致子集．证明(略)定理7.6.8 每一个满足第二可数性公理的局部紧致的Hausdorff空间都是仿紧致空间．证明(略)推论:是一个仿紧致空间．根据定理7.6.8,可得图表7.6作业：P212 1．2．。
局部强仿紧、基—可数仿紧空间的性质研究
局部强仿紧、基—可数仿紧空间的性质研究本文讨论广义仿紧空间上的两类空间：局部强仿紧空间和基-可数仿紧空间。
主要研究的是局部强仿紧空间和基-可数仿紧空间的遗传性、乘积性以及在闭Lindel(?)f映射、准完备映射、完备映射下的一系列性质和刻画定理等。
主要结论如下：1、设X是i-型局部强仿紧空间(i=1，2，3)，若X是正则空间，则三者等价．2、若X是i-型局部强仿紧空间，则其开、闭子空间也是i-型局部强仿紧空间(i=1，2，3)．3、设X是正则空间，映射f：X→Y是X到Y上的闭Lindel(?)f映射．若Y是i-型局部强仿紧空间，则X亦是i-型局部强仿紧空间(i=1，2，3)．4、i-型局部强仿紧空间在开、完备映射的像是i-型局部强仿紧空间(i=1，2，3)．5、i-型局部强仿紧的正则空间与紧空间的积是i-型局部强仿紧空间(i=1，2，3)．6、i-型局部强仿紧空间与i-型局部紧空间的积是i-型局部强仿紧空间(i=1，2，3)．7、在空间X中，下列命题等价：(i)X是基-仿紧空间，(ii)X是基-可数仿紧空间，并且X的每一开覆盖，都存在满足X-可数仿紧空间的开基的元构成的σ-局部有限的开加细．8、设X是正规空间，下列命题等价：(i)X是基-可数仿紧空间，(ii)X存在一开基B，|B|=ω(X)，使得X的每一可数开覆盖都存在由B中的元构成的局部有限的收缩．9、基-可数仿紧空间在准完备开映射下的象是基-可数仿紧空间．10、基-可数仿紧空间在准完备映射下的逆象是基-可数仿紧空间．11、基-可数仿紧空间在基-可数仿紧映射下的逆象是基-可数仿紧空间．12、设映射f：X→Y是X到Y上的闭Lindel(?)f映射，若X是正则空间，则映射f：X→Y是基-可数仿紧映射．13、设X是基-可数仿紧空间，Y是局部紧的基-可数仿紧空间，则X×Y是基-可数仿紧空间．全文分为四章：第一章：首先介绍论文研究的背景意义、概述论文获得的主要结论。
L-拓扑空间中一些近似紧性的探讨
L-拓扑空间中一些近似紧性的探讨一、近似紧性的概念与研究近似紧性是一种拓扑空间的性质，它不同于紧性，但是具有近似紧性的拓扑空间也具有类似于紧性的性质，因此近似紧性在拓扑学中是一个重要的研究方向。
近年来，很多数学家对近似紧性进行了深入研究，取得了很多重要的结果。
首先，我们来回顾一下紧性的概念。
对于一个拓扑空间X，如果它所有的开覆盖都有有限子覆盖，那么称X是紧的。
而近似紧性则是更弱一些的条件，它要求X中的每个可数开覆盖都有有限子覆盖。
显然，紧性是近似紧性的一个特例。
那么，为什么近似紧性是一个重要的研究方向呢？其实这是因为近似紧性有很多好的性质。
首先，一个近似紧的拓扑空间一定是局部紧的，这意味着该空间中的每个点都有一个紧邻域；其次，一个近似紧的拓扑空间必须是完备的，即它任意一个柯西列都有一个极限；此外，在近似紧空间中，可分性、第二可数性等性质也都具有很好的性质。
二、近似紧性在实分析中的应用近似紧性在实分析中的应用也是非常广泛的。
比如说，我们知道在无限维空间中，紧性常常不成立，但是近似紧性就有可能成立。
针对这一点，实分析中就有研究关于近似紧性的一些问题。
例如，我们可以考虑一些空间的近似紧性。
最简单的，就是在无限维欧几里得空间中考虑所有有界闭集组成的空间。
我们发现，这样的空间是近似紧的。
接着，我们可以研究这样一个问题——如何在某个拓扑空间中区分所有的近似紧子集。
对于一些有限维空间中，这个问题不是很难解决。
但是对于一些无限维空间，这个问题就变得非常困难。
由于近似紧性及其相关性质的广泛应用，它也成为了拓扑学一个非常重要的分支。
三、构造近似紧的拓扑空间在实际应用中，我们常常需要构造一些新的拓扑空间，并研究它们的性质。
这时，近似紧性是一个非常有用的工具。
我们可以通过引入一些奇特的构造来得到新的近似紧空间。
例如，我们可以考虑一些具有特殊性质的函数空间。
比如说，我们可以考虑一个所有二元连续函数构成的空间。
这个空间在适当的拓扑下具有近似紧性。
仿紧局部可分空间的一些注记
仿紧局部可分空间的一些注记
吴磊;高井贵
【期刊名称】《合肥工业大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2006(029)009
【摘要】研究了仿紧局部可分空间在一些L映射下象的性质后,文章继续讨论仿紧局部可分空间的映象问题.给出了点可数k覆盖与sL系之间的关系并进一步得到仿紧局部可分空间在一些紧覆盖映射下的象与k覆盖以及与sL系之间的关系,探讨了仿紧局部可分空间在2-序列覆盖L-映射下的象与序列开覆盖之间的联系,建立了仿紧局部可分空间的一些L-映象之间的联系.
【总页数】4页(P1181-1184)
【作者】吴磊;高井贵
【作者单位】合肥工业大学,理学院,安徽,合肥,230009;山东科技大学,信息科学与工程学院,山东,青岛,266510
【正文语种】中文
【中图分类】O189.11
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5.局部次仿紧空间的一些性质 [J], 卞小霞;季红蕾;刘桂兰;张雪梅
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D-Lindelof空间
D-Lindelof空间任亮英;周丽;刘宛昀【摘要】引入了D-Lindelof空间的概念,并得到如下结果:(1)D-Lindelof空间的闭子空间和可数并是D-Lindelof;(2)如果X=Y∪Z,其中Y是D-Lindelof空间,Y是X 中的闭集,Z中每一闭于X的集合是D-Lindelof空间,则X是D-Lindelof;(3)D-Lindelof 空间的完备逆像空间和在连续闭映射下的像空间是D-Lindelof.【期刊名称】《佳木斯大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2010(028)004【总页数】3页(P602-603,607)【关键词】D-空间;Lindelof空间;D-Lindelof.空间【作者】任亮英;周丽;刘宛昀【作者单位】成都理工大学信息管理学院,四川,成都,610059;成都理工大学信息管理学院,四川,成都,610059;成都理工大学信息管理学院,四川,成都,610059【正文语种】中文【中图分类】O1890 引言与预备1979年，Van Douwen在文献[1]中引入了D－空间的概念，并在后来发表的文章中对D－空间进行了进一步的探讨，并提出一些有价值的问题.近几年，越来越多的拓扑学爱好者对D－空间进行深入研究，做了大量工作，获得了许多重要结果，对D－空间进行了不同的推广，如aD－空间，弱aD－空间，bD－空间，D －Lindelof空间.本文将对DLindelof空间进行进一步的研究，得到了一些结果. 文中讨论的空间均满足T1分离公理，首先介绍几个相关概念.定义1[2] 空间X的子集A称为在X中是闭离散的(局部有限的)，如果对X中的任意一点x，都存在点x的开邻域Ox至多含有A中的一个元素.定义2[2] 空间X上的邻域指派是从X到X上的拓扑的一个映射φ，满足对任x∈X，均有x∈φ(x).定义3 集合D称为是X上的可数闭离散子集，如果集合D是空间X上的闭离散子集，并且|D|≤ ω.定义4[2] 空间X称为D－空间，如果对空间X的任何邻域指派φ存在空间X的一个闭离散子集D使得X=∪{φ(d):d∈D}.定义5[4] 空间X称为Lindelof空间，如果空间X的每一开覆盖都有一个可数子覆盖.定义6[6] 空间X称为D－Lindelof空间，如果对X的任何邻域指派φ存在空间X 的可数闭离散子集D使得X=∪{φ(d):d∈D}.定义7[5] 映射f称为连续映射，如果Y中开集V的逆象f－1(V)是X中的开集. 定义8[6] 映射f称为完备映射，如果映射f:X→Y是连续映射，并且f－1(y)是X 的紧集，对于任意y∈ Y.1 主要结果由D－Lindelof空间和D－空间的定义，显然有(1)D－Lindelof空间是D－空间.(2)D－Lindelof空间是Lindelof空间.定理1 D－Lindelof空间的闭子空间是DLindelof.证:设Y为D－Lindelof空间X的闭子空间，映射φ为Y上的任一邻域指派，由于X是D－Lindelof空间，则对X上的任一邻域指派φ存在可数闭离散子集D，使得φ(D)覆盖X，则φ(D∩Y)∪{Y'}覆盖X，不妨令B=φ(D∩Y)∪{Y'}，设B1是B的可数子族且覆盖X，则B1－{Y'}覆盖Y，D∩Y为Y的可数闭离散子集，φ(D∩Y)覆盖Y，故Y是DLindelof空间.定理2 如果T1空间X=U∪Z，其中Y是D－Lindelof空间，Y是X中的闭集，Z 中每一闭于X的集合是D－Lindelof空间，则X是D－Lindelof.证:设映射φ是空间X的任一邻域指派，则映射φ|Y是空间Y的任一邻域指派，由于Y是DLindelof空间，于是在Y中存在可数闭离散子集D1使得φ|Y(D1)覆盖Y，由此我们可知X\φY|(D1)为X的子空间Z中闭于X的集合，从而X\∪φY|(D1)为D－Lindelof空间，于是X\∪φY|(D1)在中存在可数闭离散子集 D2使得φ(D2)覆盖 X\∪φY|(D1)，从而φ(D1∪D2)覆盖X，且D1∪D2为X中的可数闭离散子集. 推论1 如果T1空间X=Y∪Z，其中Y和Z是D－Lindelof空间，Y是X中的闭集，则X是是D－Lindelof空间.定理2 推广我们可得定理3 可数个闭的是D－Lindelof空间的并是是D－Lindelof空间.证:设X =，其中每个Fn为X的闭的是D－Lindelof子空间，映射φ为X的任一邻域指派，现在我们用数学归纳思想来寻找X的可数闭离散子集D使得∪φ(D)=X.由于F1是D－Lindelof空间，我们可以得到可数闭离散子集D1使得φ(D1)覆盖F1从而存在D2⊂ F2\∪ φ(D1)，使得φ(D2)覆盖 F2\∪φ(D1)(这由定理2的证明可知)，类似地依次选取可数闭离散子集Dn满足于是我们可以得到一列可数闭离散集Dn:n=1，2，….令 D=，则D为可数闭离散子集，且∪ φ(D)=X.定理4 D－Lindelof空间的完备逆像是DLindelof.证:设映射f:X→Y是一完备映射，其中Y是D－Lindelof空间，{Ux|x∈X}是X的任意邻域指派，对每一个x∈X，选取有限多个x1，…，xi(x)∈f－1(f(x))满足下式:f－1(f(x))⊂ Ux1∪ … ∪ Uxi.然后选取开集使得 f－1(f(x))⊂U*x⊂Ux1∪…∪Uix(这由f是闭映射可知).令函数g:Y→X满足g(y)∈f－1(y).令{Vy:y∈Y}为空间Y的一个邻域指派，其中Vy=f(U*g(y)).因为Y是D－Lindelof空间，存在Y的可数闭离散子集D使得集族{Vy:y∈D}覆盖Y，令D*=∪{{x1，…，xi}:y∈ D，x∈ g(y)}.D*是可数闭离散的，这是由于F－1(D)作为闭的可数离散子集族{f－1(y):y∈D}的并是X中的闭集.由于D*∩f－1(y)是有限集，对每一y∈D，易得D*是可数闭离散的.显然{Ux:x∈D*}是空间X的覆盖，故X是D－Lindelof空间.推论2 如果X是D－Lindelof空间，Y是紧空间，则X×Y是D－Lindelof空间. 证:由于X×Y→X是完备映射，由定理4知，结论成立.定理5 D－Lindelof空间在连续闭映射下的象空间是D－Lindelof空间.证:设映射f:X→Y是连续闭映射，且X是DLindelof空间，取{Uy:y∈y}为空间Y 的任一邻域指派，对每一个y∈ D及x∈ f－1(y)，都有 Vx=f－1(Uy)，那么{Vx:x∈X}就是X的一个邻域指派.令D是空间X的可数闭离散子集，满足{Vx:x∈X}覆盖X.选取D'⊂D使得对每一y∈Y，D'∩f－1(y)是单点集，因此{Vx:x∈D'}也是空间X的开覆盖.因为D'仍然是可数闭离散子集，我们很容易得到f(D')也是可数闭离散的.由于映射f|D'是一对一的映射，我们选取D″={y(x)∈Y:x∈D'，f(x)=y(x)}，从而{Uy(x)|y(x)∈D″}是空间Y的开覆盖，且D″是可数闭离散子集，故Y是DLindelof 空间.参考文献:[1]Van DOUWEN E K.Simutineous extension of continuousfuntions[D].Amsterdam:Free University，1975.[2]C.R.Borges and A.C.Wehrly.A study of D－ spaces[J].Topology Proceedings，1991，16:7－15.[3]吴家超.空间及其推广[D].山东大学.2007.[4]高国士.拓扑空间论[M].北京:科学出版社.2000.[5]熊金城.点集拓扑讲义[M].北京:高等教育出版社，2001.[6]何卫力.关于空间的研究[J].北方交通大学学报，25卷第6期73－76.。
如何理解仿紧空间
如何理解仿紧空间同学们在学点集拓扑学的时候，经常会觉得仿紧空间（paracompact space）这个概念⽐较难理解，希望这篇⽂章能对他们有⼀些启发与帮助。
先看基本定义，通常仿紧这个性质被定义在Hausdorff空间上。
设X就是Hausdorff空间，它称为仿紧的，若其任何开覆盖都有局部有限的加细。
其中有两个概念需要进⼀步解释，⼀个是局部有限（locally finite），还有⼀个是覆盖的加细（refinement）。
1）空间X的⼦集族是局部有限的，若对任何x∈X，存在包含x的开集U，使得U仅与其中有限个⼦集相交。
2）设W是集合X的覆盖，覆盖V加细覆盖W，若对任何V∈V，存在W∈W，使得V≤W.覆盖的加细实际上就是把覆盖精确化，消除重复的覆盖⽚，再尽可能的缩⼩，这样得到的性质才是最有价值的。
显然，有限覆盖⼀定是局部有限的，因此紧空间⼀定是仿紧的，但反之不然。
通常的实数空间R是仿紧空间，但它有⾮仿紧的开覆盖{(-n, n)}(n=1,2,...)，这个覆盖在任⼀点上都没有局部有限性。
我们可以把它加细为局部有限的开覆盖(-1, 1)∪(-2, -1+a)∪(1-a, 2)∪(-3, -2+a)∪(2-a, 3)∪…，其中a=0.1.实际上，仿紧性的核⼼就是局部有限性，把紧性定义中的有限覆盖削弱为局部有限，但仍能够保持很多良好的结论。
局部有限性的直接效果就是保闭性，它使得并集的闭包就是闭包的并。
也就是说，这些集合只是⼀个拼盘，不会通过族性质增加额外的聚点。
反之，若是存在x∈cl（∪U_i）\∪cl（U_i）,则x的邻域不会只和有限个U_i相交，因为有限不会导致（⾮平凡）极限！具体来说，考虑⼀族包含{1/n}的集，它有聚点0，那么它在点0就不具有局部有限性。
由此可推出：仿紧Hausdorff空间⼀定是正规的，这是⼀类良好的空间，其上可以有Tietze扩张定理，Urysohn引理等。
类似紧Hausdorff空间的情形，可以先证它是正则的：设X是仿紧Hausdorff空间，Z是X的闭⼦集，x∈X\Z，对任何z∈Z，都存在包含z的开集U_z，使得 x∉ cl（U_z），这样可得X的开覆盖为：X\Z与所有U_z（z∈Z）的并，它有局部有限的加细覆盖U，U中与Z相交部分的并U包含Z，但由保闭性，x ∉ cl（U），故X是正则空间。
《点集拓扑学》第7章§7.1紧致空间
第7章 紧致性§7.1 紧致空间 本节重点： 掌握紧致子集的定义及判断一个子集是紧致子集的方法．（这些方法哪些是充要条件）； 掌握紧致性是否是连续映射可保留的，是否是可遗传的、有限可积的． 在§5.3中，我们用关于开覆盖和子覆盖的术语刻画了一类拓扑空间，即Lindeloff空间．现在来仿照这种做法，即将Lindeloff空间定义中的“可数子覆盖”换成“有限子覆盖”，以定义紧致空间．读者在数学分析中早已见过的Heine－Borel定理断言：实数空间R的任何一个子集为有界闭集的充分必要条件是它的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖．（在§7.3中我们将要推广这个定理．）因此我们现在作的事也应当在意料之中． 定义7.1.1 设X是一个拓扑空间．如果X的每一个开覆盖有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X是一个紧致空间． 明显地，每一个紧致空间都是Lindeloff空间．但反之不然，例如包含着无限但可数个点的离散空间是一个Lindeloff空间，但它不是一个紧致空间． 例7.1.1 实数空间R不是一个紧致空间．这是因为如果我们设 A＝{（－n，n）R|b∈Z+},则A的任何一个有限子族 { },由于它的并为 (-max{},max{}) 所以不是R的一个子覆盖．因此R的开覆盖A没有任何一个有限子覆盖． 定义7.1.2 设X是一个拓扑空间，Y是X中的一个子集,如果Y作为X的子空间是一个紧致空间，则称Y是拓扑空间X的一个紧致子集． 根据定义，拓扑空间X中的一个子集Y是X的紧致子集意味着每一个由子空间Y中的开集构成的Y的开覆盖有一个有限子覆盖，这并不明显地意味着由X中的开集构成的每一个Y的覆盖都有有限子覆盖．所以陈述以下定理是必要的． 定理7.1.1 设X是一个拓扑空间，Y是X中的一个子集．则Y是X的一个紧致子集当且仅当每一个由X中的开集构成的Y的覆盖都有有限子覆盖．（此定理表明开覆盖中的开子集可以是X的，也可以是Y的） 证明 必要性设Y是拓扑空间X中的一个紧致子集,A是Y的一个覆盖，它由X中的开集构成．则容易验证集族A}也是Y的一个覆盖，它由Y 中的开集构成．因此A有一个有限子覆盖，设为 {},于是A的有限子族覆盖Y． 充分性，假定每一个由X的开集构成的Y的覆盖都有一个有限子覆盖．设A是Y的一个覆盖，它由Y中的开集构成．则对于每一个A∈A存在X中的一个开集使得A=∩Y．因此A}是由X中的开集构成的Y的一个覆盖，所以有一个有限子覆盖，设为 {} 此时易见A的子族{｝覆盖Y．这证明Y是X的一个紧致子集． 下面介绍关于紧致性的一个等价说法． 定义7.1.3 设A是一个集族．如果A的每一个有限子族都有非空的交（即如果是A的一个有限子族，则），则称A是一个具有有限交性质的集族． 定理7.1.2 设X是一个拓扑空间．则X是一个紧致空间当且仅当X中的每一个具有有限交性质的闭集族都有非空的交． 证明 :设X是一个紧致空间．用反证法．设F是X中的一个具有有限交性质的闭集族．设F≠．如果 ，则令A={∈F}．由于 所以A是X的一个开覆盖．于是A有一个有限子覆盖，设为{}．从而 这说明F 不具有有限交性质．矛盾． “”，设X中的每一个具有有限交性质的闭集族都有非空的交．为证明X是一个紧致空间，设A是X的一个开覆盖．我们需要证明A有一个有限子覆盖．如果A=，则，这蕴涵X=以及A的每一个子族都是X的覆盖．以下假定A≠．此时F={|A∈A}便是X中的一个非空闭集族，并且 因此，它不具有有限交性质．也就是说，它有一个有限子族其交为空集．设F的这个有限子族为{}，则 是X的一个有限子覆盖． 如果B是紧致空间X的一个基，那么由B中的元素构成的X的一个覆盖当然是一个开覆盖，因此有有限子覆盖．下述定理指出，为验证拓扑空间的紧致性，只要验证由它的某一个基中的元素组成的覆盖有有限子覆盖． 定理7.1.3 设B*是拓扑空间X的一个基，并且X的由B*中的元素构成的每一个覆盖有一个有限子覆盖．则X是一个紧致空间． 证明 A* 设是X的一个开覆盖．对于每一个A∈A*存在B*的一个子族使得 令由于 故是一个由B*的元素构成的X的一个覆盖，所以有一个有限子覆盖，设为 ,对于每一个，i=1,2,…，n， 于是对于A*的有限于族{}有 也就是说A*有一个有限子覆盖{ }．这证明X是一个紧致空间． 定理7.1.4 设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y是一个连续映射．如果A 是X的一个紧致子集，则f（A）是Y的一个紧致子集． 证明 设C*是f（A）的一个覆盖，它由Y中的开集组成．对于每一个C∈C*，由于f是一个连续映射，（C）是X中的一个开集 所以A＝{(C)|C∈C*}是A的一个开覆盖．由于A是X的一个紧致子集，所以A有一个有限子族，设为{}，覆盖A 即{}是C*的一个子族并且覆盖f（A）．这证明f（A）是Y的一个紧致子集． 由上述定理可见，拓扑空间的紧致性是连续映射所保持的性质，因此是拓扑不变性质，也是一个可商性质． 由此可见，由于实数空间R不是紧致空间，而每一个开区间都是与它同胚的，所以每一个开区间（作为子空间）都不是紧致空间． 定理7.1.5 紧致空间中的每一个闭子集都是紧致子集． 证明 设Y是紧致空间X中的一个闭子集．如果A是Y的一个覆盖，它由X中的开集构成．则是X的一个开覆盖．设B1是B的一个有限子族并且覆盖X．则B1-{ }便是A的一个有限子族并且覆盖Y．这证明Y是X的一个紧致子集． 定理7.1.6 每一个拓扑空间必定是某一个紧致空间的开子空间． 证明:设(X,T)是一个拓扑空间．令∞为任何一个不属于X的元素．令 X*=X∪{∞} T*=T∪∪{X*} 其中={EX*|X*-E是拓扑空间(X,T)中的一个紧致闭集} 首先验证T*是集合X*的一个拓扑．(略) 其次．证明(X*,T*)是一个紧致空间: 设C*是X*的一个开覆盖．则存在C∈C*使得∞∈C．于是C∈,因此X*-C是紧致的,并且C*-{C}是它的一个开覆盖．于是C*-{C}有一个有限子族,设为C1,覆盖X*-C．易见C1∪{C}是C*的一个有限子族,并且覆盖X*． 最后,我们指出拓扑空间(X,T)是拓扑空间(X*,T*)的一个开子空间．这是因为T =及X是X*的一个开集． 在以上定理的证明中由拓扑空间(X,T)构造出来的紧致空间(X*,T*),通常称为拓扑空间(X,T)的一点紧化． 由于非紧致空间（它是存在的）是它的一点紧化的一个子空间，因此紧致性不是可遗传的性质．但由定理7.1.5可知紧致性是闭遗传的． 以下定理表明紧致性是可积性质． 定理7.1.7 设是n≥1个紧致空间．则积空间是一个紧致空间． 证明(略) 作业: P188 1．4．5．。
拓扑学第四章-紧致性
第四章 紧致性紧致性是数学分析中的重要概念。
尽管这个概念出现的较早，但是，从本质上讲，它是一个拓扑概念，也是一个最基本的拓扑性质。
我们先回忆一下度量空间紧性〔列紧性〕概念〔在实直线上，紧性是描述闭区间性质的，而在实分析中，闭区间具有良好的性质〕。
§4-1 度量空间(,)X d 中紧性〔简单复习〕定义1 设A 是(,)X d 的一个子集。
如果A 中任一无穷点列有子列收敛于X 中的一点，则称A 是相对列紧的；如果A 中每个收敛子列的极限点都属于A ，则称A 是列紧的； 如果(,)X d 本身是列紧的，则称为列紧空间。
注释：这里的紧性之所以成为列紧，是因为用序列收敛描述的。
●下面的结论是显然的〔由于都是过去的知识，所以不加证明的给出〕 〔1〕 有限子集总是列紧的。
〔2〕 列紧空间是完备的〔但，完备空间未必是列紧的〕。
〔3〕 假设A 是(,)X d 的列紧子集，则A 是(,)X d 的有界闭集。
〔4〕 在一般度量空间中，〔3〕成立，反之未必；如果(,)X d 是列紧空间，则 A 列紧 ⇒ A 是闭集。
〔5〕 列紧的度量空间必是可分的。
●进一步分析：列紧性能用来刻画闭集，但是，它是利用“序列”形式刻画的。
人们找出了一种非序列刻画的方式。
定义2 设A 是(,)X d 的一个子集。
是X 的一族开集，满足U U A ∈⊃，则称为A 在X中的开覆盖；假设中只有有限个子集，称为有限开覆盖；假设X 本身的每一开覆盖都有一有限子覆盖，则称X 为紧致空间〔有的书成为紧空间〕 ★ 理论上可以证明：对于度量空间来说，列紧性与紧致性是等价的。
即列紧空间⇔紧致空间〔这在泛函分析书中都有介绍〕。
§4-2 拓扑空间的紧性在数学分析中，人们很早就注意的，实直线上闭区间[,]a b 具有某些极好的性质，它对于证明极大值定理、一致连续性定理等起着至关重要的作用。
但是，如何在拓扑空间上表述这个特性，长期不得而知。
所以，最早人们认为[,]a b 上这个特性取决于[,]a b 上任何一个无穷子集都有极限点，进而提出了列紧性概念。
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文 献 ［ ， ］比 较 系 统 地 给 出 了 仿 紧 局 部 １２
（）ｆ称 为 Ｌ 映射 ， 对 每一 ．∈ｙ， ． １ 一 若 ｙ 厂 （） ｙ
是 Ｘ 的 Ｌｎ ｅｏ 子集 。 ｉｄ ｌｆ
Ｌｎ ｅ ｆ ｉ ｌ 空间在一些映射下象 的特征； ｄｏ 文献［］ ３ 也 对仿 紧局 部 Ｌｎ ｅｏ 空 间 的映象 问题做 了详 细讨 ｉｄｌｆ
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关键词 ： ｉ ｅ ｆ Ｌｎ ｌ 空问；２序列覆盖映射 ； ｄｏ － 紧覆盖映射 ； － Ｌ映射 ； ｋ覆盖
中 图分 类 号 ： ８ ． １ Ｏ１ ９ １ 文 献 标识 码 ： Ａ 文 章 编 号 ：０ ３５ ６ （Ｏ ８ Ｏ— １８Ｏ １０—Ｏ Ｏ ２ Ｏ ）７１ ３一３
Ｏｎ ｔ ｅＬ—ｍ ａ ｅ ｆｐａ ａ ｏ ｐ ｃ ｏ ａｌ ｎ ｅｏ ｐ ｃ ｈ ｉ ｇ ｓｏ ｒ ｃ ｍ ａ ｔｌｃ ｌｙ Ｌｉ ｄ ｌ ｆｓ ａ ｅ
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（ 、 ｐ、 ｏ ａ ｈ ｍａ ｉｓ １ Ｄｅ ｔ ｆＭ ｔ ｅ ｔ ，Ｈｅｅ ｖ ｒｉｙｏ ｃ ｎ ｌｇ ｃ ｆｉ Ｕｎｉｅ ｓｔ ｆＴｅ ｈ ｏｏ ｙ，Ｈ ｅｅ ３ ０ ９，Ｃｈｎａ 、 ｐ、 ｏ ｎ ｒ ｌ ｔ ｄｅ ，ＡｒｉｅｙＡｃ ｄ ｍ ｙｏ ｈ ｆｉ ０ ０ ２ ｉ ２ Ｄｅ ｔ ｆＧｅ ｅ ａ ｕ ｉｓ Ｓ ｔｌ ｒ ａ ｅ ｆ ｅ ｌ ｔ
论 。类似 的工作 主要还 有仿 紧局部 紧空 间的映象 问题ｒ ］以及 仿 紧局 部可 分 空 间 的映 象 问题［ ］ ４ ， ６
等 。本 文主 要 给 出 了仿 紧 局 部 Ｌｎ ｅｏ 空 间在 ｉｄ ｌｆ
（） ２ ｆ称 为 紧覆 盖 映 射 （ 列 覆 盖 映 射 ） 若 序 ，
仿 紧局 部 Ｌ ｎ ｅｏ 空 间的一些 注 记 ｉｄ ｌｆ
吴 磊 李 业联 ，
（、 １合肥工业大学 数学系 ， 安徽 合肥 ２ ０ ０ ｝ 、 ３ ０ ９ ２ 中国人 民解放军炮兵学院 基础部 ， 安徽 合肥 ２ ０ ３ ） ３０ １
摘
要： 文章在研究了仿紧局部 Ｌｎ ｅ ｆ ｉｄ ｌ 空间在一些特 定 Ｌ映射下象 的基础 上 ， ｏ 继续 讨论仿 紧局部 Ｌｎ ｅ ｆ ｉｄｌ ｏ
文所 讨 论 的 空 间均 指 满 足 Ｔ １分 离 性 的正 则 空 间， 映射指 连续 的满 映射 。
（）ｆ称 为 １序 列 覆 盖 映射 （－ 列覆 盖 映 ３ 一 ２序 射）若对于 ｙ ， ＥＹ， 存在 Ｅ厂 ． （ （ ）对任意 Ｅ ｙ
厂 ． ） 足 ： 在 ｙ 中 Ｙ 一 ． 则存 在 ∈ （） 满 ｙ 若 ｙ ，
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第 ３ 卷 第 ７期 １
２０ ０ ８年 ７月
合肥 工 业 大 学 学报 （ 自然科 学版）
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ０Ｆ ＨＥＦ ＥＩＵＮＩ ＶＥＲＳＴＹ Ｉ ＯＦ ＴＥＣＨＮＯＬ ＯＧＹ
Ｖｏ． １Ｎｏ ７ １３ ．
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Ｋｅ ｒ ｓ Ｌ ｎ ｅｏ ｐ ｃ ； ２ ｓｑ ｅ ｃ －ｏ ｅ ｉ ｇ ｍ ａ ｐｎ ｙ ｗｏ ｄ ： ｉ ｄ ｌｆ ｓ ａ ｅ 一ｅ ｕ ｎ ｅｃ ｖ ｒｎ ｐ ｉｇ； ｃ ｍｐ ｃ－ｏ ｅｉ ｇ ｍ ａ ｐｎ ； Ｌ ｍａ ｐ ｎ ｏ ａ ｔｃ ｖ ｒ ｐ ｉｇ ｎ － ｐ ｉｇ；
Ｋ 是 ｙ 中的 紧子 集 （ Ｋ 是 ｙ 中含极 限点 的收 若
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２序 列覆盖 Ｌ 映射下 象 的特 征 ， 一 一 建立 了仿 紧局 部
Ｌｎ ｅ ｆ ｉ ｌ 空间在一些映射下象之间的联 系， ｄｏ 进一 步完善 了仿 紧局部 Ｌｎ ｅ ｆ 间的映射 理论 。本 ｉｄｌ 空 ｏ
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