【金版学案】苏教版高中数学必修2练习：1.3.2空间几何体的体积(含答案解析)

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【金版学案】苏教版高中数学必修2练习：1.3.1空间几何体的表面积(含答案解析)

第 1 章立体几何初步1.3空间几何体的表面积空间几何体的表面积A 组基础稳固1．若一个圆台的正视图如下图，则其侧面积等于()A． 6B． 6πC．3 5π D ． 65π22分析：由于圆台的母线长为（2－1）＋2 ＝5，答案： C2．一个几何体的三视图如下图，该几何体的表面积为()A． 372 B ． 360 C．292D． 280分析：由三视图可知该几何体是由下边一个长方体，上边一个长方体组合而成的几何体．由于下边长方体的表面积为8×10×2＋ 2×8×2＋ 10×2×2＝ 232，上边长方体的表面积为8×6×2＋ 2×8×2＋ 2× 6× 2＝ 152，又由于长方体表面积重叠一部分，因此几何体的表面积为232＋ 152－2×6×2＝360.答案： B3．(2014 ·江卷浙 )某几何体的三视图 (单位： cm)如下图，则此几何体的表面积是()A． 90 cm2 B ．129 cm 2C． 132 cm 2C．138 cm 2分析：该几何体如下图，长方体的长、宽、高分别为 6 cm， 4 cm， 3 cm，直三棱柱的底面是直三角形，边长分别为 3 cm， 4 cm， 5 cm，1因此表面积S＝ [2 ×(4× 6＋ 4× 3)＋ 3× 6＋ 3×3] ＋ 5× 3＋4×3＋ 2× ×4×3 ＝ 99＋ 39＝2138(cm 2)．答案： D4．将边长为 1 的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是()A． 4π B． 3π C． 2π D ．π分析：底面圆半径为1，高为 1，侧面积S＝ 2πrh＝ 2π·1× 1＝ 2π.答案： C5．圆台的上、下底面半径分别是 3 和4，母线长为6，则其表面积等于()A． 72 B ．42πC． 67πD． 72π分析： S 圆台表＝S 圆台侧＋ S 上底＋ S 下底＝π(3＋ 4) ·6＋π· 32＋π· 42＝ 67π.答案： C6．长方体的高为2，底面积等于12，过不相邻双侧棱的截面(对角面)的面积为10，则此长方体的侧面积为________．a b a b 12a2＋ b2·2＝ 10，解得 a 4 b3故长方体的侧面积为2× (4＋ 3) ×2＝28.答案： 287．一个正六棱柱的侧面都是正方形，底面边长为a，则它的表面积是________ ．分析：正六棱柱的侧面积为六个边长为 a 的正方形的面积之和，为6a2；底面积为两个正六边形的面积之和，等于3 222＋ 32 2×6× a ＝33a ，故所求正六棱柱的表面积为6a3a .4答案： 6a2＋ 3 3a28．一个几何体的三视图如下图，则该几何体的表面积为_____．分析：如下图：该几何体为长为 4，宽为 3，高为 1 的长方体内部挖去一个底面半径为 1，高为 1 的圆柱后剩下的部分．2因此 S 表＝ (4 ×1＋ 3×4＋ 3×1) ×2＋ 2π· 1× 1－2π· 1 ＝ 38.9．将圆心角为120°，面积为 3π的扇形作为圆锥的侧面，则圆锥的表面积为________．分析：由圆心角为120°知扇形面积是其所在圆面积的三分之一，故有，13πR2＝3π，所以 R2＝ 9.因此2l ＝ 3× π＝ 2π.3因此 r ＝1.因此S 圆锥表＝ 3π＋πr2＝ 4π.答案： 4π10．圆台的高是12，母线长为13，两底面半径之比为8∶ 3，求圆台的全面积．解：如下图，设两底面半径分别为8r 和3r，又圆台的高是12，母线长为 13，可列式： (8r － 3r) 2＋ 122＝ 132，解得 r＝ 1，故两底面半径分别为 8 和 3，代入表面积公式：22S 圆台表＝π(R＋ r ＋ Rl ＋ rl) ＝ 216π.B 级能力提高11．已知由半圆的四分之三截成的扇形的面积为B，由这个扇形围成一个圆锥，若圆锥的表面积为 A ，则 A ∶B 等于 ()A ． 11∶ 8B ．3∶8C ．8∶3D ． 13∶ 8分析：设圆锥的底面半径为 r ，母线长为 l ，则 2πr ＝384πl ，则 l ＝ 3r ，因此 B ＝1 8 23π 8 2， 2 r×＝ πr3 43A ＝83πr2＋ πr2＝113πr 2，得 A ∶B ＝11∶8.答案： A12． (2015 福·建改编 )某几何体的三视图如下图，则该几何体的表面积等于 ________．分析：由题中三视图可知，该几何体是底面为直角梯形，高为2 的直四棱柱，因此其表1 面积为 S 表面积＝ S 侧面积＋ 2S 下底面积＝ (1＋1＋ 2＋ 22) ×2＋ 2× × (1＋ 2) ×1＝11＋22.2答案： 11＋ 2 2。

苏教版高中数学必修2(测试)第1章1.3-1.3.2空间几何体的体积含解析

苏教版高中数学必修2-1.3同步测试：空间几何体的表面积和体积2

第一章空间几何体的表面积与体积（100分）一、填空题（每题5分，共40分）1.如图所示，E、F分别是边长为1的正方形ABCD边BC、CD的中点，沿线AF，AE，EF折起来，则所围成的三棱锥的体积为.2.长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，对角线长为214，则这个长方体的体积是.3.已知三棱锥S—ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO⊥底面ABC，AC=2r，则球的体积与三棱锥体积的比值是.6，侧棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上，4.若一个底面边长为2则此球的体积为.5.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是.6.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是.3，则7.已知正四棱柱的对角线的长为6，且对角线与底面所成角的余弦值为3该正四棱柱的体积等于.8.已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如图所示，则该凸多面体的体积V= .二、解答题（每题15分，共60分）3cm,9.一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm和6 cm,高是2（1）求三棱台的斜高；（2）求三棱台的侧面积和表面积.10.如图所示，正△ABC 的边长为4，D 、E 、F 分别为各边中点，M 、N 、P 分别为BE 、DE 、EF 的中点，将△ABC 沿DE 、EF 、DF 折成了三棱锥以后.（1）∠MNP 等于多少度？（2）擦去线段EM 、EN 、EP 后剩下的几何体是什么？其侧面积为多少？11.如图所示，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =1，BB 1=2，E 是棱CC 1上的点，且CE =41CC 1. （1）求三棱锥C —BED 的体积；（2）求证：A 1C ⊥平面BDE .12.三棱锥S —ABC 中，一条棱长为a,其余棱长均为1，求a 为何值时V S —ABC 最大，并求最大值.。

数学·必修2(苏教版)练习第1章1.3-1.3.2空间几何体的体积 Word版含解析

第章立体几何初步
空间几何体的表面积和体积
空间几何体的体积
组基础巩固
.如图所示，正方体的棱长为，则三棱锥的体积是( )
．
解析：三棱锥的体积＝△·＝××··＝×＝.
答案：.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
．
．
解析：先将三视图还原为空间几何体，再根据体积公式求解．由
三视图知该几何体为直四棱柱，其底面为等腰梯形，上底长为，下底
长为，高为，故面积为＝＝.
又棱柱的高为，所以体积＝＝×＝.
答案：．(·浙江
卷)某几何体的三视图(单位：)如图所示，则该几何体的体积是(
)
．
．
．．解析：先根据三视图画出几何体，再利用体积公式求解．
该几何体为一个组合体，左侧为三棱柱，右侧为长方体，如图所
示．
＝三棱柱＋长方体＝×××＋××＝＋＝()．
答案：
．已知直角三角形的两直角边长为，，分别以这两条直角边所
在直线为轴，旋转所形成的几何体的体积之比为( )
．∶
．∶
．∶
．∶
解析：以长为的直角边所在直线旋转得到圆锥体积＝π，以长为的
直角边所在直线旋转得到的圆锥体积＝π.
所以π∶π＝∶.。

空间几何体的体积作业高中数学必修二苏教版含答案

课后训练千里之行始于足下1．半径为R 的半圆面卷成一个圆锥，则该圆锥的体积为__________． 2．正四棱锥每两条相邻侧棱所成的角都是60°，侧棱长为a ，则它的体积是__________． 3．圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________ cm.4．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为__________．5．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为__________．6．一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，则这个球的体积为__________． 7．如图，已知四棱锥P -ABCD 的底面为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，垂足为H ，PH是四棱锥的高．(1)证明平面P AC ⊥平面PBD ；(2)若AB =，∠APB ＝∠ADB ＝60°，求四棱锥P -ABCD 的体积．8．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面边长AB ＝AC ＝2b ，BC =，AA 1＝l ，且∠A 1AB ＝∠A 1AC ＝60°，求这个三棱柱的侧面积及体积．百尺竿头更进一步一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥内又有一个内切球，求： (1)圆锥的侧面积；(2)圆锥的内切球的体积．参考答案与解析千里之行始于足下3R 设所卷成的圆锥底面半径为r ，高为h ，则πR ＝2πr ，∴2R r =，h R ==，∴所求圆锥的体积为223111.334V r h R R R ππ==⋅=.2.36a 如图，设ABCD的中心为O ，由条件知AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝a .则2PO a ==∴231326V a ==. 3．4 设球的半径为r ，则由题意得6r ·πr 2＝8πr 2＋3×43πr 3，解得r ＝4.4．3 由三视图知，该几何体是一个高为1的直四棱柱，其底面为一个上底为1、下底为2、高为2的直角梯形，所以V ＝S ·h ＝12(1＋2)×2×1＝3. 5.13设球面半径为R ，圆锥底面半径为r . 由题意知，223416r R ππ=⨯，∴2234r R =.如图所示，设体积较小者的圆锥为A -CO 1D ，其高为AO 1.体积较大的圆锥为B -CO 1D ，其高为O 1B .在Rt △O 1CO 中，CO 1＝r ，CO ＝R，则112OO R ==.又∵AO ＝R ，∴12RAO =.又∵111322O B O O OB R R R =+=+=，∴1112332RAO BO R ==. 6.43π由底面为正六边形，可知底面边长为12，进而求得8S =底. 设棱柱的高为h，9·8V S h h ⇒=底==又棱柱的体对角线为球的直径，设球半径为R ，∴()22212212R h R ⎛⎫⨯⇒ ⎪⎝⎭=＋=∴34433V R ππ==球. 7．(1)证明：因为PH 是四棱锥P -ABCD 的高，所以AC ⊥PH .又AC ⊥BD ，PH ，BD 都在平面PBD 内，且PH ∩BD ＝H ，所以AC ⊥平面PBD ，故平面P AC ⊥平面PBD .(2)解：因为ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD，AB =，所以HA HB ==因为∠APB ＝∠ADB ＝60°，所以PA PB =，HD ＝HC ＝1，可得PH =等腰梯形ABCD 的面积为12S AC BD =⨯=.所以四棱锥的体积为13(233V +=⨯=. 8.解：如图，作BM ⊥A 1A 于M ，连结MC ，取BC 的中点D ，连结AD ，MD . ∵∠A 1AC ＝∠A 1AB ＝60°，∴MB MC ==.又∵MB ⊥A 1A ，MC ⊥A 1A ，MB ∩MC ＝M ， ∴AA 1⊥平面BMC .∴截面△BMC 的周长为+.∵A 1A ＝l ，∴侧面积)S l bl =+=侧，211·22MBC S BC MD ==⨯= .∴2·MBC V S l l =.百尺竿头更进一步解：如图所示，作圆锥的轴截面，则等腰三角形ABC 内接于⊙O ，⊙O 1内切于△ABC . (1)设⊙O 的半径为R ，由题意得349273R ππ=， ∴R 3＝729，R ＝9. ∴CE ＝18.已知CD ＝16，∴ED ＝2. 连结AE .∵CE 是直径，∴CA ⊥AE ，CA 2＝CD ·CE ＝18×16＝288.∴CA =∵AB ⊥CD ，∴AD 2＝CD ·DE ＝16×2＝32，AD =∴96S ππ==圆锥侧 (2)设内切球O 1的半径为r ，∵△ABC 的周长为=，∴11·1622r =⨯.∴r ＝4. ∴内切球O 1的体积3425633V r ππ==球。

苏教版高中数学必修二第1章立体几何作业题及答案解析1.3.1

§1.3 空间几何体的表面积和体积 1.3.1 空间几何体的表面积【课时目标】 1．进一步认识柱体、锥体、台体及简单组合体的结构特征，了解它们的有关概念．2．了解柱体、锥体、台体的表面积的计算公式．3．会利用柱体、锥体、台体的表面积公式解决一些简单的实际问题．1．常见的几个特殊多面体的定义(1)__________________的棱柱叫做直棱柱． (2)正棱柱是指底面为____________的直棱柱．(3)如果一个棱锥的底面是____________，并且顶点在底面的正投影是底面中心，我们称这样的棱锥为正棱锥．正棱锥的侧棱长都相等．(4)正棱锥被______________的平面所截，______________之间的部分叫做正棱台． 2．直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图及侧面积(1)直棱柱的侧面展开图是____________(矩形的长等于直棱柱的底面周长c ，宽等于直棱柱的高h)，则S 直棱柱侧＝______；(2)正棱锥的侧面展开图是由各个侧面均为全等等腰三角形组成的图形(正棱锥底面周长为c ，斜高为h ′)，则S 正棱锥侧＝__________；(3)正棱台的侧面展开图是由各个侧面均为全等等腰梯形组成的图形，(正棱台的上、下底面周长分别为c ′，c ，斜高为h ′)，则有：S 正棱台侧＝____________．．3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是____________、________和________．S 圆柱侧＝2πrl ，S 圆锥侧＝12cl ＝πrlS 圆台侧＝12(c ＋c ′)l ＝π(r ＋r ′)l一、填空题1．用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱，此圆柱的轴截面面积为________．2．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比为__________．3．中心角为135°，面积为B 的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A ，则A ∶B ＝__________．4．三视图如图所示的几何体的表面积是__________．5．一个长方体的长、宽、高分别为9,8,3，若在上面钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，则孔的半径为________．6．正六棱锥的高为4 cm ，底面最长的对角线为4 3 cm ，则它的侧面积为________ cm 2．7．底面是菱形的直棱柱，且侧棱长为5，它的体对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是________．8．一个正四棱柱的体对角线的长是9 cm，全面积等于144 cm2，则这个棱柱的侧面积为________ cm2．9．如图(1)所示，已知正方体面对角线长为a，沿阴影面将它切割成两块，拼成如图(2)所示的几何体，那么此几何体的表面积为________．二、解答题10．已知正四棱台(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积．11．圆台的上、下底面半径分别为10 cm和20 cm．它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，那么圆台的表面积是多少？(结果中保留π)12．有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，求该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)．能力提升13．如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9．6米铁丝，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)．(1)当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0．01平方米)；(2)若要制作一个如图放置的、底面半径为0．3米的灯笼，请作出用于制作灯笼的三视图(作图时，不需考虑骨架等因素)．1．在解决棱锥、棱台的侧面积、表面积及体积问题时往往将已知条件归结到一个直角三角形中求解，为此在解此类问题时，要注意直角三角形的应用．2．有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解．而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解．§1．3 空间几何体的表面积和体积 1．3．1 空间几何体的表面积答案知识梳理1．(1)侧棱和底面垂直 (2)正多边形 (3)正多边形 (4)平行于底面截面和底面2．(1)一个矩形 ch (2)12ch ′ (3)12(c ＋c ′)h ′3．矩形扇形扇环作业设计 1．8π解析易知2πr ＝4，则2r ＝4π，所以轴截面面积＝4π×2＝8π．2．1＋2π2π解析设底面半径为r ，侧面积＝4π2r 2，全面积为＝2πr 2＋4π2r 2，其比为：1＋2π2π． 3．11∶8解析设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则2πr ＝34πl ，则l ＝83r ，所以A ＝83πr 2＋πr 2＝113πr 2，B ＝83πr 2，得A ∶B ＝11∶8． 4．7＋ 2解析图中的几何体可看成是一个底面为直角梯形的直棱柱．直角梯形的上底为1，下底为2，高为1，棱柱的高为1．可求得直角梯形的四条边的长度为1,1,2，2，表面积S 表面＝2S 底＋S 侧面＝12(1＋2)×1×2＋(1＋1＋2＋2)×1＝7＋2． 5．3解析由题意知，圆柱侧面积等于圆柱上、下底面和，即2πr ×3＝2πr 2，所以r ＝3． 6．30 3解析由题意知，底面边长为2 3 cm ，侧棱长为l ＝16＋12＝27 cm ，斜高h ′＝28－3＝5 (cm )，∴S 侧＝6·12·23·5＝30 3 (cm 2)．7．160解析设底面边长是a ，底面的两条对角线分别为l 1，l 2，而l 21＝152－52，l 22＝92－52，而l 21＋l 22＝4a 2，即152－52＋92－52＝4a 2，a ＝8，S 侧面积＝ch ＝4×8×5＝160．8．112解析设底面边长、侧棱长分别为a 、l ，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 2＋l 2＝92a 2＋4al ＝144，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4l ＝7， ∴S 侧＝4·4·7＝112 (cm 2)． 9．(2＋2)a 2解析由已知可得正方体的边长为22a ，新几何体的表面积为S 表＝2×22a ×a ＋4×⎝⎛⎭⎫22a 2 ＝(2＋2)a 2． 10．解如图，E 、E 1分别是BC 、B 1C 1的中点，O 、O 1分别是下、上底面正方形的中心，则O 1O 为正四棱台的高，则O 1O ＝12．连结OE 、O 1E 1，则OE ＝12AB＝12×12＝6，O 1E 1＝12A 1B 1＝3．过E 1作E 1H ⊥OE ，垂足为H ，则E 1H ＝O 1O ＝12，OH ＝O 1E 1＝3， HE ＝OE －O 1E 1＝6－3＝3．在Rt △E 1HE 中，E 1E 2＝E 1H 2＋HE 2＝122＋32 ＝32×42＋32＝32×17，所以E 1E ＝317．所以S 侧＝4×12×(B 1C 1＋BC)×E 1E＝2×(12＋6)×317＝10817． 11．解如图所示，设圆台的上底面周长为c ，因为扇环的圆心角是180°，故c ＝π·SA ＝2π×10，所以SA ＝20，同理可得SB ＝40，所以AB ＝SB －SA ＝20， ∴S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下＝π(r 1＋r 2)·AB ＋πr 21＋πr 22＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202 ＝1 100π(cm 2)．故圆台的表面积为1 100π cm 2．12．解易知由下向上三个正方体的棱长依次为2，2，1．考虑该几何体在水平面的投影，可知其水平面的面积之和为下底面积最大正方体的底面面积的二倍．∴S 表＝2S 下＋S 侧＝2×22＋4×[22＋(2)2＋12]＝36． ∴该几何体的表面积为36．13．解由题意可知矩形的高即圆柱的母线长为9.6－8×2r 8＝1．2－2r ，∴塑料片面积S ＝πr 2＋2πr(1．2－2r)＝πr 2＋2．4πr －4πr 2＝－3πr 2＋2．4πr ＝－3π(r 2－0．8r)＝－3π(r －0．4)2＋0．48π．∴当r ＝0．4时，S 有最大值0．48π，约为1．51平方米． (2)若灯笼底面半径为0．3米，则高为1．2－2×0．3＝0．6(米)．制作灯笼的三视图如图．。

高中数学(苏教版必修2)同步文档第1章 1.3.2 空间几何体的体积 Word版含解析

空间几何体的体积
．了解球、柱、锥和台的体积的计算公式(不要求记忆公式)．(重点)
．会求柱、锥、台和球的体积．(重点、易错点)
．会求简单组合体的体积及表面积．(难点)
[基础·初探]
教材整理柱体、锥体、台体的体积
阅读教材～第行，完成下列问题．
柱体、锥体、台体的体积
．若正方体的体对角线长为，则它的体积为．
【解析】设正方体的边长为，则＝，故＝，＝.
【答案】．若一个圆柱的侧面展开图是边长为的正方体，则此圆柱的体积为．【解析】设圆柱的底面半径为，高为，则有π＝，即＝，故圆柱的体积为
＝π＝π×＝.
【答案】
．如图－－，在三棱柱－中，，，分别是，，的中点，设三棱锥－的体积
为，三棱柱－的体积为，则∶＝.
图－－
【解析】设三棱柱－的高为，底面三角形的面积为，则＝×·＝
＝，即∶＝∶.
【答案】∶
教材整理球的体积和表面积
阅读教材～例，完成下列问题．
若球的半径为，则
()球的体积＝π.
)球的表面积＝
(
.π
．若球的表面积为π，则该球的体积等于．
【解析】设球的半径为，由题意可知π＝π，∴＝.
∴该球的体积＝π＝π.
【答案】π．两个球的半径之比为∶，那么两个球的表面积之比为.
【导学号：】【解析】＝＝＝＝.
【答案】∶
[小组合作型]
多面体的体积。

苏教版高中数学必修2-1.3同步测试：空间几何体的表面积和体积1

1.3 空间几何体的表面积与体积（100分）一、填空题（每题5分，共40分）1.如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是 .2.如图所示，在棱长为4的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1B 1上一点，且PB 1=41A 1B 1，则多面体P -BCC 1B 1的体积为 .3.已知正方体外接球的体积为332,那么正方体的棱长等于 .4.若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 . 5.三棱锥S —ABC 中，面SAB ，SBC ，SAC 都是以S 为直角顶点的等腰直角三角形，且AB =BC =CA =2，则三棱锥S —ABC 的表面积是 .6.如图所示，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面为直角三角形，∠ACB =90°，AC =6，BC =CC 1=2.P 是BC 1上一动点，则CP +P A 1的最小值是 .7.如图所示，扇形的中心角为90°，其所在圆的半径为R ，弦AB将扇形分成两个部分，这两部分各以AO 为轴旋转一周，所得旋转体的体积V 1和V 2之比为 .8.如图所示，长方体ABCD -A1B 1C 1D 1中，AB =a ，BC =b ，BB 1=c ，并且a ＞b ＞c ＞0.求沿着长方体的表面自A 到C 1 的最短线路的长 .二、解答题（前两题每题14分，后两题每题16分，共60分）1.如图所示,半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋转一周得到一几何体,求该几何体的表面积(其中∠BAC=30°)及其体积.2 . 如图所示，长方体ABCD—A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C—A′DD′，求棱锥C—A′DD′的体积与剩余部分的体积之比.3．如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合，求形成的三棱锥的外接球的体积.4.如图所示，已知正四棱锥S—ABCD中，底面边长为a,侧棱长为2a.（1）求它的外接球的体积；（2）求它的内切球的表面积.。

苏教版数学高一-2017高中必修二训练 1.3.2空间几何体的体积

课时训练12空间几何体的体积1.已知圆柱的侧面积为18,底面周长为6π,则它的体积为()A.9B.9πC.27D.27π解析：设圆柱底面圆的半径为r,高为l.由题意有:2πr=6π,∴r=3.又S侧=底面周长×l=18,∴l=,∴V=πr2l=π×32·=27.答案：C2.长方体ABCD-A1B1C1D1中截去一个三棱锥B1-A1BC1,则三棱锥的体积是长方体体积的()A.B.C.D.解析：设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则长方体的体积V=abc,abc=abc,故三棱锥的体积是长方体体积的六分之一.答案：D3.两个半径为1的铁球熔铸成一个球,则此球的半径为()A.B.C.D.解析：由题意,得2×π·13=πR3,∴R=.答案：B4.已知三棱锥S-ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上,球心O在AB上,SO⊥底面ABC,AC=r,则球的体积与三棱锥体积的比值等于()A.4πB.3πC.2πD.π解析：∵SO⊥底面ABC,∴SO为三棱锥的高线.∵SO=r,O在AB上,AB=2r,AC=r,∠ACB=90°,∴BC=r,∴V S-ABC=r×r×r=r3.又∵球的体积V=πr3,∴=4π.答案：A5.(2016河北唐山高二期中)如图是一几何体的三视图,主视图是一等腰直角三角形,且斜边BD长为2;左视图为一直角三角形;俯视图为一直角梯形,且AB=BC=1,则此几何体的体积是()(导学号51800128)A.B.C.D.1解析：由三视图可知该几何体为四棱锥与三棱锥的组合体,其直观图如图.根据主视图是一等腰直角三角形,且斜边BD长为2,∴棱锥的高为1.又底面直角梯形的底边长分别为1,2,高为1,∴底面面积为×1=.∴几何体的体积V=×1=.故选A.答案：A6.在三棱台ABC-A1B1C1中,AB∶A1B1=1∶2,则三棱锥A1-ABC,B-A1B1C,C-A1B1C1的体积之比为.解析：设棱台的高为h,∵AB∶A1B1=1∶2,∴S△ABC∶=1∶4.∴h·S△ABC∶h·=1∶4.又,且A1到平面BB1C和平面B1C1C的距离相等,∴===BC∶B1C1=1∶2.故=1∶2∶4.答案：1∶2∶47.如图,在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是A1B1上一点,且PB1=A1B1,求多面体P-BCC1B1的体积.解由题意可得PB1=A1B1=1,且棱PB1与平面BCC1B1垂直,由棱锥的体积公式得×4×4×1=.8.如图所示的图形是一个底面直径为20 cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯,水中放着一个底面直径为6 cm,高为20 cm的圆锥体铅锤.当铅锤从水中取出后,杯里的水将下降多少厘米?(导学号51800129)解因为玻璃杯是圆柱形的,所以铅锤取出后,水面下降部分的体积实际是一个小圆柱的体积,这个圆柱的底面与玻璃杯的底面一样,是一直径为20 cm的圆,它的体积正好等于圆锥体铅锤的体积,这个小圆柱的高就是水面下降的高度.因为圆锥形铅锤的体积为×π××20=60π(cm3),设水面下降的高度为x,则小圆柱的体积为π×(20÷2)2×x=100πx(cm3),所以60π=100πx,解得x=0.6(cm).则铅锤取出后,杯中水面下降了0.6 cm.9.一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球内,在圆锥内又有一个内切球,求:(导学号51800130)(1)圆锥的侧面积;(2)圆锥的内切球的体积.解如图所示,作圆锥的轴截面,则等腰三角形ABC内接于☉O,☉O1内切于△ABC.(1)设☉O的半径为R,由题意得πR3=972π,∴R3=729,R=9.∴CE=18.已知CD=16,∴ED=2.连结AE.∵CE是直径,∴CA⊥AE,CA2=CD·CE=18×16=288.∴CA=12.∵AB⊥CD,∴AD2=CD·DE=16×2=32,∴AD=4.∴S圆锥侧=π·4·12=96π.(2)设内切球O1的半径为r,∵△ABC的周长为2(12+4)=32, ∴r·32×8×16,∴r=4.∴内切球O1的体积V球=πr3=π.。

苏教版高中数学必修2- 1.3.2空间几何体的体积教案

1.3.2 空间几何体的体积教学目标：1．了解柱、锥、台的体积公式，能运用公式求解有关体积计算问题；2．了解柱体、锥体、台体空间结构的内在联系，感受它们体积之间的关系；3．培养学生空间想象能力、理性思维能力以及观察能力．教材分析及教材内容的定位：通过分析柱体、锥体和台体空间结构的内在联系，让学生感受柱体、锥体和台体的体积之间的关系，体会数与形的完美结合．教学重点：柱、锥、台的体积计算公式及其应用．教学难点：运用公式解决有关体积计算问题．教学方法：通过分析柱体、锥体和台体空间结构的内在联系，让学生感受柱体、锥体和台体的体积之间的关系，体会数与形的完美结合．教学过程：一、问题情境类似于用单位正方形的面积度量平面图形的面积，我们可以用单位正方体（棱长为1个长度单位的正方体）的体积来度量几何体的体积．一个几何体的体积是单位正方体体积的多少倍，那么这个几何体的体积的数值就是多少．长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，那么它的体积为V 长方体＝abc 或V 长方体＝Sh（这里，S ，h 分别表示长方体的底面积和高．）二、学生活动阅读课本P65“祖暅原理”．思考：两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）的体积如何？三、建构数学1．柱体的体积．棱柱（圆柱）可由多边形（圆）沿某一方向平移得到，因此，两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）应该具有相等的体积．V柱体= sh 2．锥体的体积．类似地，底面积相等,高也相等的两个锥体的体积也相等．13V sh =锥体 3．台体的体积．上下底面积分别是S’，S ，高是h ，则1(')3V h S S =+台体柱体、锥体、台体的体积公式之间有怎样的关系呢？4．球的体积．一个底面半径和高都等于R 的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得几何体的体积与一个半径为R 的半球的体积有什么样神奇的关系呢？——相等．223112233V R R R R R πππ=-=球，所以343V R π=球．四、数学运用例1 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是7.8kg/cm 3）六角螺帽共重6kg ，已知底面是正六边形，边长为12mm ，内孔直径为10mm ，高为10mm ，问这堆螺帽大约有多少个（π取3．14，可用计算器）？分析：六角螺帽的体积是一个正六棱柱的体积与一个圆柱的体积的差，再由密度算出一个六角螺帽的质量．解：22331012610 3.14()102956(mm ) 2.956(cm )2V =⨯⨯-⨯⨯≈=，所以螺帽的个数为61000(7.8 2.956)260⨯÷⨯≈（个）答：这堆螺帽大约有260个．例2 圆锥形封闭容器，高为h ，圆锥内水面高为11,3h h h =，若将圆锥倒置后，圆锥内水面高为2h ，求2h ．分析：圆锥正置与倒置时，水的体积不变，另外水面是平行于底面的平面，此平面截得的小圆锥与原圆锥成相似体，它们的体积之比为对应高的立方比．解：3283()27S AB S CD h V V h --==1333322191919::272727V V V h h h h V ⎛⎫∴===∴== ⎪⎝⎭水水锥锥倒置后：．例3 用刀切一个近似球体的西瓜，切下的较小部分的圆面直径为30 cm ，高度为5 cm ，该西瓜体积大约有多大? 练习：1．直三棱柱ABC -A ′B ′C ′各侧棱和底面边长均为a ，点D 是CC ′上任意一点，连结A ′B ，BD ，A ′D ，AD ，则三棱锥A －A ′BD 的体积是多少？2．将一个正三棱柱形的木块，旋成与它等高并且尽可能大的圆柱形，则旋去部分的体积是原三棱柱体积的倍；3．表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积．五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容1．理解柱体、锥体、台体之间的关系；2．球的表面积和体积公式．。

苏教版数学高一-连云港市城南高级中学必修2学案 1.3.2空间几何体的体积(2)

1.3．2 空间几何体的体积（2）
学习目标
1.了解球体的体积公式的推导过程,掌握球体的体积公式并会利用其熟练解题;会解球体与柱,棱,台组合体有关的问题
2.通过实际动手操作,理解公式的由来过程,感知数学在实际中的应用通过数学活动,感受实际生活中的数学问题.
学习重点
球的表面积,体积公式.等积法的应用
一:课前热身
1:柱体的体积公式,锥体的体积公式台体的体积公式
.
2.圆的面积公式,球的表面积公式,球的体积公式. 二:课堂练习
1：将半径分别为1cm,2cm,3cm的三个锡球熔成一个大球，求这个大球的表面积。

2：两个球的体积之比为8：27，则这两个球的表面积之比是。

3：与棱长为2的正方体各面都相切的球的表面积，体积。

三：课后测试练习
1：正方体的全面积为24cm2，一个球内切于该正方体，那么球的体积是
2：一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为4cm，则这个球的表面积为
3：球面面积膨胀为原来的两倍，其体积变为原来的
4：一个圆锥的底面半径和一个球的半径相等，体积也相等，则它们的高度之比为。

苏教版必修2第1章第三节空间几何体的表面积和体积 (习题+解析)

苏教版必修2第1章第三节空间几何体的表面积和体积（习题+解析）高中数学几何体的有关计算问题1. 正六棱锥P －ABCDEF 中，G 为PB 的中点，则三棱锥D －GAC 与三棱锥P －GAC 体积之比为（）A. 1：1B. 1：2C. 2：1D. 3：22. 如图，在正三棱锥A －BCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF ⊥DE ，且BC ＝1，则正三棱锥A －BCD 的体积是（） A. 212 B. 224 C. 312 D. 3243. 正三棱柱111ABC A B C -内接于半径为2的球，若,A B 两点的球面距离为π，则正三棱柱的体积为。

4. 已知三个球的半径1R ，2R ，3R 满足32132R R R =+，则它们的表面积1S ，2S ，3S ，满足的等量关系是___________。

5. 若球O 1、O 2表面积之比421=S S ，则它们的半径之比21R R ＝_____________。

6. 已知A ，B ，C 三点在球心为O ，半径为R的球面上，AC ⊥BC ，且AB ＝R ，那么A ，B 两点的球面距离为____________，球心到平面ABC 的距离为______________。

7. 若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是_______。

（只须写本题我们利用等积变换求解。

∵S △ADB ＝S △CBD ，∴BD A A ABD A BCD A VV V 111---==。

∴23)2(433161a h a ⨯=。

∴h ＝33a ，点C 到平面A 1BD 的距离为33a 。

苏教版必修2第1章第三节空间几何体的表面积和体积(学案含答案)

高中几何体的相关计算问题数学【考点精讲】1. 表面积公式（ 1）圆柱：假如圆柱的底面半径为r ，母线长为 l ，那么圆柱的底面积为 S 底r2 ，侧面积为 S 侧2 rl 。

表面积为 S 表S 侧 2S 底2 rl2 r 22 r (l r ) 。

（ 2）圆锥：假如圆锥的底面半径为r ，母线长为 l ，那么圆锥的底面积为S 底＝ r 2 ，侧面积为 S 侧＝ rl ，表面积 S 表＝ r2＋ rlr (r l ) 。

r 2 ， S 下底＝（ 3）圆台：圆台的上、下底面半径分别为r 、 r ，母线长为 l ， S 上底r 2 ，则其侧面积为 S 侧＝ l (r r ) ，表面积为S 表(r2r 2 r l rl ) 。

（ 4）圆柱、圆锥、圆台的侧面积有以下关系。

2. 体积公式（ 1）柱体：柱体的底面积为 S ，高为 h ，则 V Sh 。

1 1 （ 2）锥体：锥体的体积等于与它等底等高的柱体的体积的。

即 VSh 。

331（ 3）台体：台体的上、下底面积分别为S ′、 S ，高为 h ，则 V ＝3（ S ′＋ S ′ S ＋S ）h 。

（ 4）柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系：【典例精析】例题 1如图 1，∠ ACB ＝ 45°， BC 3 ，过动点 A 作 AD BC ，垂足 D 在线段 BC上且异于点 B ，连结 AB ，沿 AD 将 △ ABD 折起，使∠ BDC ＝ 90°（如图 2 所示）。

当 BD 的长为多少时，三棱锥 A BCD 的体积最大。

思路导航：此题考察立体几何线面的基本关系，及怎样取到最值，用均值不等式求最值。

答案：在如图 1 所示的 △ ABC 中，设 BD x (0 x3) ，则 CD3 x 。

由 ADBC ， ∠ ACB ＝ 45 °知， △ ADC 为等腰直角三角形，所以 AD CD 3 x 。

由折起前 AD BC 知，折起后（如图 2）， AD DC ， AD BD ，且 BD DC D ，所以 AD平面 BCD 。

高中数学第一章 1.3.2空间几何体的体积配套训练苏教版必修2

1.3.2 空间几何体的体积一、基础过关1．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的________倍．2．正方体的内切球和外接球的体积之比为__________．3．长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3,4,5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为________．4．一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球半径的3倍，圆锥的高与球半径之比为________．5．棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为________．6．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是32π3，则这个三棱柱的体积是________．7．如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E 、F 分别为AB 、AC 的中点，平面EB 1C 1F 将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比．8．如图所示，在边长为5＋2的正方形ABCD 中，以A 为圆心画一个扇形，以O 为圆心画一个圆，M ，N ，K 为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O 为圆锥底面，围成一个圆锥，求圆锥的全面积与体积．二、能力提升9．如图所示，已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥B 1—ABC 1的体积为________．10．圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是______cm.11．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝3 cm ，AA 1＝2 cm ，则四棱锥A －BB 1D 1D 的体积为______ cm 3.12．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．三、探究与拓展13．阿基米德在他的许许多多的科学发现当中最为得意的一个发现是：图中所示的圆及其外切正方形绕图中由虚线表示的对称轴旋转一周生成的几何体称为圆柱容球．在圆柱容球中，球的体积是圆柱体积的23，球的表面积也是圆柱全面积的23.请你试着证明．答案1．2 2 2．1∶3 3 3．50π 4．4∶9 5.a 36 6．48 3 7．解截面EB 1C 1F 将三棱柱分成两部分，一部分是三棱台AEF －A 1B 1C 1，另一部分是一个不规则几何体，故可以利用棱柱的体积减去棱台的体积求得．设棱柱的底面积为S ，高为h ，则△AEF 的面积为14S ，由于V 1＝VAEF －A 1B 1C 1＝13·h ·(S 4＋S ＋S 2)＝712hS ，剩余的不规则几何体的体积为V 2＝V －V 1＝hS －712hS ＝512hS ，所以两部分的体积之比为V 1∶V 2＝7∶5.8．解设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，高为h ，由已知条件⎩⎪⎨⎪⎧ l ＋r ＋2r ＝5＋222πr l＝π2，解得r ＝2，l ＝42，S ＝πrl ＋πr 2＝10π，h ＝l 2－r 2＝30，V ＝πr 2h ＝230π.9.31210．411．612．解由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面．根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r ，水面的半径为3r ，则容器内水的体积为V ＝V圆锥－V 球＝13π·(3r )2·3r －43πr 3＝53πr 3，而将球取出后，设容器内水的深度为h ，则水面圆的半径为33h ，从而容器内水的体积是 V ′＝13π·(33h )2·h ＝19πh 3，由V ＝V ′，得h ＝315r . 即容器中水的深度为315r .13．解设圆的半径为R ，球的体积与圆柱的体积分别为V 球和V 柱，球的表面积与圆柱的全面积分别为S 球及S 柱，则有V 球＝43πR 3，V 柱＝πR 2·2R ＝2πR 3，∴V 球＝23V 球．S 柱＝2πR ·2R ＋2πR 2＝6πR 2，S 球＝4πR 2＝23S 柱．。

苏教版数学必修二：1.3.2 空间几何体的体积应用案巩固提升

[A 基础达标]1.正三棱锥的高为3，侧棱长为23，则这个正三棱锥的体积为（） A.274 B.94 C.2734D.934解析：选D.由题意可得底面正三角形的边长为3，所以V ＝13×34×32×3＝934.故选D.2.如图，ABC A ′B ′C ′是体积为1的棱柱，则四棱锥C AA ′B ′B 的体积是（）A.13 B.12 C.23D.34解析：选C.因为V C A ′B ′C ′＝13V ABC A ′B ′C ′＝13，所以V C AA ′B ′B ＝1－13＝23.3.在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1.5，∠ABC ＝120°（如图），若将△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（）A.3π2B.5π2C.7π2D.9π2解析：选A.依题意可知，旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，所以OA ＝3，OB ＝1.所以旋转体的体积为13π·（3）2·（OC －OB ）＝3π2.故选A.4.用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为（） A.32π3B.8π3C.82πD.82π3解析：选D.设截面圆的半径为r ，则πr 2＝π，故r ＝1，由勾股定理求得球的半径为1＋1＝2，所以球的体积为43π（2）3＝82π3，故选D.5.如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若E 、F 分别为AB 、AC 的中点，平面EB 1C 1F 将三棱柱分成体积为V 1、V 2的两部分，那么V 1∶V 2＝Ｗ.解析：设三棱柱的高为h ，底面的面积为S ，体积为V ，则V ＝V 1＋V 2＝Sh .因为E 、F 分别为AB 、AC 的中点，所以S △AEF ＝14S ，V 1＝13h （S ＋14S ＋S ·S 4）＝712Sh ， V 2＝Sh －V 1＝512Sh ，所以V 1∶V 2＝7∶5.★★答案★★：7∶56.圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是 cm.解析：设球的半径为x cm ，由题意得πx 2×8＝πx 2×6x －43πx 3×3，解得x ＝4.★★答案★★：47.在三棱台ABC -A 1B 1C 1中，AB ∶A 1B 1＝1∶2，则三棱锥A 1ABC ，B A 1B 1C ，C A 1B 1C 1的体积之比为 .解析：如图，三棱锥B -A 1B 1C 可看作棱台减去两个三棱锥A 1ABC 和C -A 1B 1C 1后剩余的几何体，分别求几何体的体积，然后相比即可.设棱台的高为h ，S △ABC ＝S ，则S △A 1B 1C 1＝4S ，所以V A 1ABC ＝13S △ABC ·h ＝13Sh ，V C A 1B 1C 1＝13S △A 1B 1C 1·h ＝43Sh ，又V 台＝13h （S ＋4S ＋2S ）＝73Sh ，所以V B A 1B 1C ＝V 台－V A 1ABC －V C A 1B 1C 1 ＝73Sh －13Sh －43Sh ＝23Sh . 所以所求体积之比为1∶2∶4. ★★答案★★：1∶2∶48.正四棱柱的体对角线长为3 cm ，它的表面积为16 cm 2，求它的体积. 解：设正四棱柱的底面边长为a cm ，高为h cm ，则⎩⎨⎧h 2＋（2a ）2＝32，4ah ＋2a 2＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，h ＝1或⎩⎨⎧a ＝43，h ＝73，所以V 正四棱柱＝a 2h ＝4×1＝4（cm 3）或V 正四棱柱＝a 2h ＝⎝⎛⎭⎫432×73＝11227（cm 3）. 9.如图所示的图形是一个底面直径为20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm ，高为20 cm 的圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降多少厘米？解：因为玻璃杯是圆柱形，所以铅锤取出后，水面下降部分的体积实际是一个小圆柱的体积，这个圆柱的底面与玻璃杯的底面一样，是一直径为20 cm 的圆，它的体积正好等于圆锥形铅锤的体积，这个小圆柱的高就是水面下降的高度.因为圆锥形铅锤的体积为13×π×⎝⎛⎭⎫622×20＝60π（cm 3）.设水面下降的高度为x ，则小圆柱的体积为 π×（20÷2）2×x ＝100πx （cm 3）. 所以60π＝100πx ，解得x ＝0.6 cm. 则铅锤取出后，杯中水面下降了0.6 cm.[B 能力提升]1.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为323π，那么这个正三棱柱的体积是（）A.96 3B.16 3C.24 3D.48 3解析：选D.由题意可知正三棱柱的高等于球的直径，从棱柱中间截得球的大圆内切于正三角形，正三角形与棱柱底的三角形全等，设三角形边长为a ，球半径为r ，由V 球＝43πr 3＝323π，得r ＝2.由S 柱底＝12a ×r ×3＝34a 2，得a ＝23r ＝43，所以V 柱＝S 柱底·2r ＝48 3.2.如图，一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内放一个半径为r 的铁球，并向容器内注水，使球浸入水中且水面恰好与铁球顶部相切.将球取出后，容器内的水深是 .解析：铁球取出后，容器内水的体积不变，设球被取出后容器内水深为h . 因为△ABC 是正三角形，O 为△ABC 的中心，所以AO 1＝3OM ＝3r ，注水后圆锥的底面半径O 1C ＝3r ，球取出后的圆锥底面半径为33h .由题意，43πr 3＋13π·⎝⎛⎭⎫33h 2·h ＝13π（3r ）2·3r ，解得h ＝315r . ★★答案★★：315r3.如图，在边长为a 的正方形中，剪下一个扇形和一个圆，分别作为一个圆锥的侧面和底，求此圆锥的体积.解：设圆的半径为r ，扇形的半径为x ，则EF ︵＝14·2πx ＝12πx .又因为EF ︵＝2πr ，所以12πx ＝2πr .所以x ＝4r ，AC ＝x ＋r ＋2r . 所以（5＋2）r ＝2a ，所以r ＝⎝⎛⎭⎪⎫52－223a .又因为圆锥的高h ＝x 2－r 2＝15r ，所以圆锥体积V ＝13πr 2·h ＝15×（52－2）336 501πa 3.4.（选做题）如图所示的△OAB 绕x 轴和y 轴各旋转一周，各自会产生怎样的几何体，分别计算其表面积与体积.解：绕x 轴旋转一周形成的空间几何体是一个上、下底面半径分别为2，3，高为3的圆台，挖去了一个底面半径为3，高为3的圆锥，如图（1）所示.其表面积是圆台的半径为2的上底面积、圆台的侧面积、圆锥的侧面积之和.圆台的母线长是10，圆锥的母线长是32，故表面积S 1＝π·22＋π（2＋3）·10＋π·3·32＝（4＋510＋92）π；体积为V 1＝13π（22＋32＋2×3）×3－13π×32×3＝π（4＋9＋6－9）＝10π.绕y 轴旋转一周所形成的空间几何体是一个大圆锥挖去了一个小圆锥，如图（2）所示，此时大圆锥的底面半径为3，母线长为32，高为3，小圆锥的底面半径为3，母线长为10，高为1，这个空间几何体的表面积是这两个圆锥的侧面积之和，故表面积S 2＝π·3·32＋π·3·10＝（92＋310）π；体积为V 2＝13π×32×3－13π×32×1＝9π－3π＝6π.综上可知，绕x 轴旋转一周得到的几何体的表面积是（4＋510＋92）π，体积是10π；绕y 轴旋转一周得到的几何体的表面积是（92＋310）π，体积是6π.。

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第1章立体几何初步 1.3 空间几何体的表面积和体积 1.3.2 空间几何体的体积
A 组基础巩固
1.如图所示，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则三棱锥D 1-ACD 的体积是( )
A.1
6 B.13
C.12
D ．1
解析：三棱锥D 1-ADC 的体积V ＝13S △ADC ·D 1D ＝13×12×AD ·DC ·D 1D ＝13×12＝1
6.
答案：A
2.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.560
3 B.5803 C ．200 D ．240
解析：先将三视图还原为空间几何体，再根据体积公式求解．由三视图知该几何体为直四棱柱，其底面为等腰梯形，上底长为2，下底长为8，高为4，故面积为S ＝（2＋8）×4
2
＝20.
又棱柱的高为10，所以体积V ＝Sh ＝20×10＝200. 答案：C
3．(2014·浙江卷)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )
A ．72 cm 3
B ．90 cm 3
C ．108 cm 3
D ．138 cm 3
解析：先根据三视图画出几何体，再利用体积公式求解．
该几何体为一个组合体，左侧为三棱柱，右侧为长方体，如图所示．
V ＝V 三棱柱＋V 长方体＝1
2×4×3×3＋4×3×6＝18＋72＝90(cm 3)．
答案：B
4．已知直角三角形的两直角边长为a ，b ，分别以这两条直角边所在直线为轴，旋转所形成的几何体的体积之比为( )
A ．a ∶b
B ．b ∶a
C ．a 2∶b 2
D ．b 2∶a 2
解析：以长为a 的直角边所在直线旋转得到圆锥体积V ＝1
3πb 2a ，以长为b 的直角边所
在直线旋转得到的圆锥体积V ＝1
3
πa 2b.
所以13πb 2a ∶1
3πa 2b ＝b ∶a.
答案：B
5．设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是( ) A.43π B.8π3 C ．43π
D ．323π
解析：由题意可知，6a 2＝24，所以a ＝2. 设正方体外接球的半径为R ，则
3a ＝2R ，所以R ＝3，所以V 球＝4
3πR 3＝43π.
答案：C
6．两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为( ) A ．1∶9 B ．1∶27 C ．1∶3
D ．1∶1
解析：S 1S 2＝4πr 21
4πr 22＝⎝⎛⎭⎫r 1r 22
＝⎝⎛⎭⎫132
＝19.
答案：A
7．(2014·天津卷)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3
.
解析：根据三视图知，该几何体上部是一个底面直径为4 m ，高为2 m 的圆锥，下部是一个底面直径为2 m ，高为4 m 的圆柱．
故该几何体的体积V ＝13π·22×2＋π·12×4＝20
3π(m 3)．
答案：20
3
π
8.已知高为3的直棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形(如图所示)，则三棱锥B 1-ABC 的体积为________．
解析：因为S △ABC ＝
34×12＝3
4
，B 1到底面ABC 的距离即为三棱锥的高等于3，所以VB 1－ABC ＝13S △ABC ·h ＝13×34×3＝3
4.
答案：
3
4
9．圆锥的母线长为l ，高为1
2l ，则过圆锥顶点的最大截面面积为________．
解析：易得圆锥底面半径为32l ，故轴截面的顶角为2
3
π，从而过圆锥顶点的最大截面是顶角为π
2
的等腰直角三角形．
答案：12
l 2
B 级能力提升
10．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A ．8－2π
B ．8－π
C ．8－π
2
D ．8－π
4
解析：这是一个正方体切掉两个1
4
圆柱后得到的几何体，如图所示，几何体的高为2，
V ＝23－1
4×π·12×2×2＝8－π.
答案：B
11．若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r ，R ，则球的表面积为( ) A ．4π(r ＋R)2 B ．4πr 2R 2 C ．4πRr
D ．π(R ＋r)2
解析：如图所示，设球的半径为r 1，
则在Rt △CDE 中，DE ＝2r 1，CE ＝R －r ，DC ＝R ＋r.
由勾股定理得4r 21＝(R ＋r)2－(R －r)2，解得r 1＝Rr.故球的表面积为S 球＝4πr 2
1＝4πRr.
答案：C
12．如图所示，在上、下底面对应边的比为1∶2的三棱台中，过上底面一边A 1B 1作一个平行于对棱AB 的平面A 1B 1EF ，这个平面分三棱台成两部分的体积之比为________．
解析：设棱台的高为h ，上底面积为S ，则下底面积为4S. 所以V 台＝13h(S ＋4S ＋2S)＝7
3Sh ，V 柱A 1B 1C 1-FEC ＝Sh.
所以V 柱A 1B 1C 1FEC V 台－V 柱A 1B 1C 1FEC ＝Sh 7
3Sh －Sh ＝3
4.
答案：3∶4或4∶3
13．把一个圆分为两个扇形，一个顶角为120°，另一个顶角为240°，把它们卷成两个圆锥，则两个圆锥的体积之比为________．
解析：设圆的半径为R ，则第一个圆锥底面周长为C 1＝2πR
3，
所以r 1＝R 3.同理，C 2＝4πR 3，所以r 2＝2R
3.又母线为R ，
所以h 1＝223R ，h 2＝5
3
R.
所以V 1＝13πr 12h 1＝2281πR 3，V 2＝13πr 22h 2＝4581πR 3
.
故V 1∶V 2＝1∶10. 答案：1∶10
14.如图所示，在等腰三角形ABC 中，E ，F 分别为两腰AB ，AC 的中点，AD ⊥BC ，EH ⊥BC ，FG ⊥BC ，D ，H ，G 分别为垂足，若将三角形ABC 绕AD 旋转一周所得的圆锥的体积为V ，求其中由阴影部分所产生的旋转体的体积与V 的比值．
解：由题意画出图形，如图所示，设圆锥的高为h ，底面半径为r ，则圆柱的高为h
2，底
面半径为r
2
.
所以V －V 柱V ＝1－V 柱
V ＝
1－
π⎝⎛⎭⎫r 22
·h 213πr 2
h ＝1－38＝58
.
15.如图所示，在边长为23的正方形中，剪下了一个扇形和一个圆，以此扇形和圆分别作圆锥的侧面和底面，求所围成的圆锥的体积．
解：设扇形半径为x ，圆的半径为r ，则扇形弧长等于圆的周长，即1
4×2x ＝2r ，所以x
＝4r.
又AC ＝x ＋r ＋2r ＝232，所以r ＝232
5＋2＝52－2.
所以圆锥的高h ＝x 2－r 2＝15r ＝15×(52－2)．
所以圆锥体积V ＝13πr 2·h ＝13π·(52－2)2×15×(52－2)＝15
3×(52－2)3π.。