专题4.3+立体几何的动态问题-玩转压轴题突破140分之高三数学选填题高端精品

一．方法综述立体几何的动态问题是高考的热点，问题中的“不确定性”与“动感性”元素往往成为学生思考与求解问题的思维障碍，使考题的破解更具策略性、挑战性与创新性。

一般立体动态问题形成的原因有动点变化、平面图形的翻折、几何体的平移和旋转以及投影与截面问题，由此引发的常见题型为动点轨迹、角度与距离的计算、面积与体积的计算、探索性问题以及有关几何量的最值求解等。

此类题的求解并没有一定的模式与固定的套路可以沿用，很多学生一筹莫展，无法形成清晰的分析思路，导致该题成为学生的易失分点。

究其原因，是因为学生缺乏相关学科素养和解决问题的策略造成的。

动态立体几何题在变化过程中总蕴含着某些不变的因素，因此要认真分析其变化特点，寻找不变的静态因素，从静态因素中，找到解决问题的突破口。

求解动态范围的选择、填空题，有时应把这类动态的变化过程充分地展现出来，通过动态思维，观察它的变化规律，找到两个极端位置，即用特殊法求解范围。

对于探究存在问题或动态范围（最值）问题，用定性分析比较难或繁时，可以引进参数，把动态问题划归为静态问题。

具体地，可通过构建方程、函数或不等式等进行定量计算，以算促证。

二．解题策略类型一立体几何中动态问题中的角度问题例1.【2015高考四川，理14】如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点。

设异面直线EM与AF所成的角为θ，则θcos的最大值为.【答案】2 5281161814552y y t t+=≥++-，当1t =时取等号.所以2cos 5θ==≤=，当0y =时，取得最大值.【指点迷津】空间的角的问题，一种方法，代数法，只要便于建立空间直角坐标系均可建立空间直角坐标系，然后利用公式求解；另一种方法，几何法，几何问题要结合图形分析何时取得最大（小）值。

当点M 在P 处时，EM 与AF 所成角为直角，此时余弦值为0（最小），当M 点向左移动时，EM 与AF 所成角逐渐变小时，点M 到达点Q 时，角最小，余弦值最大。

【举一反三】1、【2014四川，理8】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点.设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是（） A． B． C． D．【答案】B1111332122cos ,sin 3322A OC A OC +-∠==∠=⨯，113122cos A OC A OC ∠==∠=又直线与平面所成的角小于等于90 ，而1AOC ∠为钝角，所以sin α的范围为，选B. 2、【2017届内蒙古包头市十校高三联考】在正方体中，点在线段上运动，则异面直线与所成角的取值范围是（ ）A.B.C.D.【答案】D3、【2017届江西鹰潭一中高三理上学期月考五】如图，已知平面αβ⊥，l αβ= ，A 、B 是直线l 上的两点，C 、D 是平面β内的两点，且DA l ⊥，CB l ⊥， 3AD =，6AB =，6CB =．P 是平面α上的一动点，且直线PD ，PC 与平面α所成角相等，则二面角P BC D --的余弦值的最小值是（ ）A．12 C ．1【答案】C类型二 立体几何中动态问题中的距离问题【例2】如图所示，在空间直角坐标系中，是坐标原点，有一棱长为的正方体，和分别是体对角线和棱上的动点，则的最小值为（ ）A. B. C. D.【答案】B【指点迷津】求两点间的距离或其最值。

一种方法，可建立坐标系，设点的坐标，用两点间距离公式写出距离，转化为求函数的最值问题；另一种方法，几何法，根据几何图形的特点，寻找那两点间的距离最大（小），求其值。

【举一反三】1、【2016届湖南省长沙市长郡中学高三下第六次月考】如图，已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为4，点H 在棱1AA 上，且11HA =，在侧面11BCC B 内作边长为1的正方形1EFGC ，P 是侧面11BCC B 内一动点，且点P 到平面11CDD C 距离等于线段PF 的长，则当点P 运动时，2||HP 的最小值是（ ）A ．21B ．22C ．23D ．25 【答案】B【解析】在1BB 上取点K ，使得11B K ＝，则HK ⊥面11BCC B ，连结PK ，则222216HP HK PK PK ＝＋＝＋．在平面11BCC B 上，以1CC 所在直线为x 轴，以GF 所在直线为y 轴，由题意可知，P 点轨迹为抛物线，其方程为221x y -＝，K 点坐标为()04，，设()P x y ，，则221x y =-（其中1[22371],x y ⎡⎤∈-∈⎢⎥⎣⎦，，，()22222421816615PK x y y y y y y =+-=-+-+=-+当17,223y ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦时，2min 6|PK ＝，故2min |16622HP ＝＋＝．2、如图,在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 为BC 的中点,点P 在线段D 1E 上,点P 到直线CC 1的距离的最小值为__________.【答案】53、【2017届浙江省温州市高三第二次模拟考试】如图，在三棱锥中，平面平面，与均为等腰直角三角形，且，．点是线段上的动点，若线段上存在点，使得异面直线与成的角，则线段长的取值范围是（ ）A. B. C. D.【答案】B类型三立体几何中动态问题中的面积、体积问题【例3】在棱长为6的正方体中，是中点，点是面所在的平面内的动点，且满足，则三棱锥的体积最大值是（）A. 36B.C. 24D.【答案】B【指点迷津】求几何体体积的最值，先观察几何图形三棱锥，其底面的面积为不变的几何量，求点P 到平面BCD 的距离的最大值，选择公式，可求最值。

【举一反三】1、【2017届山东枣庄市高三理上学期末】《 九章九术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早一千多年.例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，若12A A AB ==，当阳马11B A ACC -体积最大时，则堑堵111ABC A B C -的体积为（ ）A ．83B 2 D ．【答案】C2、【黑龙江省哈尔滨市第六中学2017届高三下学期第一次模拟】已知矩形ABCD 中， 6,4AB BC ==，,E F 分别是,AB CD 上两动点，且AE DF =，把四边形BCFE 沿EF 折起，使平面BCFE ⊥平面ABCD ，若折得的几何体的体积最大，则该几何体外接球的体积为（ ）A. 28π C. 32π 【答案】D3、【2015新课标2文10】已知B A ,是球O 的球面上两点,︒=∠90AOB ,C 为该球面上的动点.若三棱锥ABC O -体积的最大值为36,则球O 的表面积为（）A.36πB. 64πC.144πD. 256π 【答案】C 【解析】类型四 立体几何中动态问题中的轨迹问题 【例4】如图直三棱柱中，为边长为2的等边三角形，，点、、、、分别是边、、、、的中点，动点在四边形内部运动，并且始终有平面，则动点的轨迹长度为（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】 因为分别为的中点，所以，，所以平面，平面，又因为,所以平面平面，要使平面，则平面，所以点的轨迹为线段，点的轨迹长度为. 故本题正确答案为.【指点迷津】由已知可知平面平面，要始终有平面，点M 为定点，所以点P 的轨迹为线段HF ，求其长度即可。

【举一反三】1、如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60 ，B 为斜足，平面α上的动点P 满足30PAB ∠= ，则点P 的轨迹是（ ）A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线的一支【答案】C.2、【2017届浙江稽阳联谊学校高三月考】在正方体1111ABCD A BC D -中，已知点P 为平面11AA D D 中的一个动点，且点P 满足：直线1PC 与平面11AA D D 所成的角的大小等于平面PBC 与平面11AA D D 所成锐二面角的大小，则点P的轨迹为（）A．直线 B．椭圆 C．圆 D．抛物线【答案】Dx3、【2017届浙江省名校协作体高三下学期考试】已知平面平面，，且.是正方形，在正方形内部有一点，满足与平面所成的角相等，则点的轨迹长度为 ( )A. B. C. D.【答案】C【解析】根据题意，以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图1所示，则，，设，易知直线与平面所的角分别为，均为锐角，类型五 立体几何中动态问题中的翻折、旋转问题【例5】如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ∆折成A C D '∆，所成二面角A CDB '--的平面角为α，则（ ）A.A DB α'∠≤B.A DB α'∠≥C. A CB α'∠≤D.A CB α'∠≤【答案】B. 【解析】试题分析：设ADC θ∠=，设2AB =，则由题意1AD BD ==，在空间图形中，设A B t '=，在A CB '∆中，2222222112cos 22112A D DB AB t t A DB A D DB '+-+--'∠==='⨯⨯⨯，在空间图形中，过A '作AN DC ⊥，过B 作BM DC ⊥，垂足分别为N ，M ， 过N 作//NP MB ，连结A P '，∴NP DC ⊥，则A NP '∠就是二面角A CD B '--的平面角，∴A NP α'∠=，在Rt A ND '∆中，cos cos DN A D A DC θ''=∠=，sin sin A N A D A DC θ'''=∠=，【举一反三】1、【2017课标1，理16】如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥.当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______.【答案】【解析】2、【浙江省2017届高三3月联考】矩形ABCD 中， AB = 1BC =，将ABC ∆与ADC ∆沿AC 所在的直线进行随意翻折，在翻折过程中直线AD 与直线BC 成的角范围（包含初始状态）为（ ）A. 0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. 0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】初始状态直线AD 与直线BC 成的角为0 ，翻折过程中当BC BD ⊥时, 直线AD 与直线BC 成的角为直角，因此直线AD 与直线BC 成的角范围为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，选C. 3、如图，等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 相交于G ，已知ED A '∆是△ADE 绕DE 旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（ ）A ．动点A '在平面ABC 上的射影在线段AF 上B ．恒有平面GF A '⊥平面BCDEC ．三棱锥EFD A -'的体积有最大值 D ．异面直线E A '与BD 不可能垂直 【答案】D三．强化训练1、【2017课标3，理16】a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角； ②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45°； ④直线AB 与a 所成角的最小值为60°.其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号） 【答案】②③ 【解析】试题分析：由题意，AB 是以AC 为轴,BC 为底面半径的圆锥的母线，由,AC a AC b ⊥⊥，又AC ⊥圆锥底面，在底面内可以过点B ，作BD a ，交底面圆C 于点D ，如图所示，连结DE ，则DE ⊥BD ，DE b ∴ ，连结AD ，等腰△ABD 中，AB AD =当直线AB 与a 成60°角时，60ABD ∠= ，故BD =BDE Rt △中，2,BE DE =∴=过点B 作BF ∥DE ，交圆C 于点F ，连结AF ，由圆的对称性可知BF DE =ABF ∴△为等边三角形，60ABF ∴∠= ，即AB 与b 成60°角，②正确，①错误.由最小角定理可知③正确；很明显，可以满足平面ABC ⊥直线a ，直线AB 与a 所成的最大角为90°，④错误. 正确的说法为②③.2、【2015高考山东，理7】在梯形ABCD 中，2ABC π∠=，//,222AD BC BC AD AB === .将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（） （A ）23π（B ）43π（C ）53π（D ）2π 【答案】C3、【2017届河北定州市月考卷】设动点P 在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -的对角线1BD 上，记11D PD Bλ=，当APC ∠为钝角时，λ的取值范围是 ．【答案】)1,31( 【解析】4、【江西师范大学附属中学2017届高三3月月考】如右图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中， E 为棱1CC 的中点，点,P Q 分别为面1111A B C D 和线段1BC 上的动点，则PEQ ∆周长的最小值为_______．【解析】将面1111A B C D 与面11BB C C 折成一个平面，设E 关于11B C 的对称点为M ，E 关于1BC 对称点为N,则PEQ ∆周长的最小值为MN ==5、如图所示，在棱长为2的正四面体A BCD -中，E 是棱AD 的中点，若P 是棱AC 上一动点，则BP PE +的最小值为A ．3BC ．1【答案】B6、在直三棱柱111C B A ABC -中，底面为直角三角形，090=∠ACB ，2=AC ，11==CC BC ，P 是1BC 上一动点，则PC P A +1的最小值是（ ）A ．22B ．5C ．3D ．2 【答案】B7、在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =，11BC AA ==，点P 为对角线1AC 上的动点，点Q 为底面ABCD 上的动点（点P ，Q 可以重合），则1B P PQ +的最小值为（ ）A ．32D ．2 【答案】C ．【解析】由题意易得：PQ AC ⊥，作1PQ ⊥平面11ABA B 于1Q ，由对称性可知1PQ PQ =，因此 1min 11min ()()B P PQ B P PQ +=+，问题转化为在平面11AB C 内，体对角线1AC 上找一点P 使得11B P PQ +最小，如下图所示，过点1B 作它关于直线1AC 的对称点1'B ，交直线1AC 与点O , 再过点1'B 作11'B Q ⊥1AB于点1Q ，交1AC 于点P ，则11'B Q 的长度即为所求的最小值，易得1130C AB ∠= ，∴11'B B =11113''2B Q B B ==，故选C ．8、已知直角梯形ABCD ，AB AD ⊥，CD AD ⊥，222AB AD CD ===，沿AC 折叠成三棱锥，当三棱锥体积最大时，D ，B 两点间的距离是 .9、如图，矩形ABCD 中，1AB =，BC a =，PA ⊥平面ABCD ，若在BC 上只有两个点Q 满足PQ DQ ⊥，则a 的取值范围是 .P A BQCD【答案】(2,)+∞.【解析】由PQ QD ⊥，得：222PQ QD PD +=，设 BQ x =，PA h =，则由勾股定理可计算：2221PQ h x =++，221()QD a x =+-，222PD h a =+，代入整理得：210x ax -+= ，由题意得方程有两个正根，∴2402a a ∆=->⇒>.10、【2015高考山东，文9】已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) （AB（） （）【答案】B11、【2017届江西鹰潭一中高三理上学期月考五】如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A BC D -中，P 为11A D 的中点，Q 为11A B 上任意一点，E ，F 为CD 上任意两点，且EF 的长为定值，则下面的四个值中不为定值的是（ ）A ．点P 到平面QEF 的距离B ．三棱锥P QEF -的体积C ．直线PQ 与平面PEF 所成的角D ．二面角P EF Q --的大小 【答案】C 【解析】试题分析：A ：∵QEF 平面也就是平面CD B A 11，既然P 和平面QEF 都是固定的，∴P 到平面QEF 的距离是定值；B ：∵QEF ∆的面积是定值．（∵EF 定长，Q 到EF 的距离就是Q 到CD 的距离也为定长，即底和高都是定值），再根据A 的结论P 到QEF 平面的距离也是定值，∴三棱锥的高也是定值，于是体积固定．∴三棱锥P QEF -的体积是定值；C ：∵Q 是动点，EF 也是动点，推不出定值的结论，∴就不是定值．∴直线PQ 与平面PEF 所成的角不是定值；D ：∵CD B A //11，Q 为11B A 上任意一点，E 、F 为CD 上任意两点，∴二面角P EF Q --的大小为定值．故选：C ．12、长方体1111ABCD A B C D -中，已知2AB AD ==，13AA =，棱AD 在平面α内，则长方体在平面α内的射影所构成的图形面积的取值范围是 ．【答案】4S ≤≤.【考点】立体几何中的动态问题.∴4cos 6sin )S θθθϕ=+=+（其中，2tan 3ϕ=），因此，max S =，当且仅当2πθϕ=-时取到，因此4S ≤≤.13、如图所示，正方体D C B A ABCD ''''-的棱长为1, F E ,分别是棱A A '，C C '的中点，过直线F E ,的平面分别与棱B B '、D D '交于N M ,，设[]1,0,∈=x x BM ，给出以下四个命题：（1）平面MENF ⊥平面''BDD B ； （2）当且仅当21=x 时，四边形MENF 的面积最小； （3）四边形MENF 周长()[]1,0,∈=x x f L ，则⎪⎭⎫⎝⎛+=21x f y 是偶函数； （4）四棱锥MENF C -'的体积()x h V =为常函数；以上命题中真命题的序号为______. 【答案】①②③④.∴()4f x MF ==则14)21(2+=+x x f ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21x f y 是偶函数；（4）根据分割思想，有NE C F E C M F MENF C V V V '-'--'+=，又41121=⨯'='∆E C S ME C ，F 到平面ME C '的距离为1， 1214131=⨯='-ME C F V ，又41121=⨯'='∆E C S NE C ，1214131=⨯='-NE C F V ，∴1()6h x =为常函数． 14、【2014高考北京理第8题】如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，动点E ，F 在棱A 1B 1上，动点P ，Q 分别在棱AD ，CD 上．若EF ＝1，A 1E ＝x ，DQ ＝y ，DP ＝z (x ，y ，z 大于零)，则四面体P —EFQ 的体积 ( )A ．与x ，y ，z 都有关B ．与x 有关，与y ，z 无关C ．与y 有关，与x ，z 无关D ．与z 有关，与x ，y 无关 【答案】D 【解析】试题分析： ∵DC ∥A 1B 1，EF ＝1，∴S △EFQ ＝12定值)．而点P 到面EFQ 的距离为P 到面A 1DCB 1的距离，为DP ·sin45°＝2z .∴V 四面体P —EFQ ＝132z ＝13z . 15、【2017届广西陆川县中学高三9月月考】正四棱锥S ABCD -的底面边长为2，高为2，E 是边BC 的中点，动点P 在棱锥表面上运动，并且总保持PE AC ⊥，则动点P 的轨迹的周长为_____________．16、如图，矩形ABCD 中，2AB AD =，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻折成1A DE ∆，若M 为线段1A C 的中点，则在ADE ∆翻折过程中，下面四个命题中不正确的是（ ）A ．||BM 是定值B ．点M 在某个球面上运动C ．存在某个位置，使1DE AC ⊥D ．存在某位置，使//MB 平面1A DE 【答案】C ．【解析】取CD 中点F ，连接MF ，BF ，则1//MF DA ，//BF DE ，∴平面//MBF 平面1A DE ， ∴//MB 平面1A DE ，故D 正确；由1A DE MFB ∠=∠，112MF A D =为定值，FB DE =为定值， 由余弦定理可得2222cos MB MF FB MF FB MFB =+-⋅⋅∠，∴MB 是定值，故A 正确；∵B 是定点，∴M 是在以B 为圆心，MB 为半径的圆上，故B 正确；∵1A C 在平面ABCD 中的射影为AC ，AC 与DE 不垂直，∴存在某个位置，使1DE AC ⊥错误，故选C ．17、在平行四边形ABCD 中，0AC CB ⋅= ， 22240BC AC +-= ，若将其沿AC 折成直二面角D AC B --，则三棱锥D AC B --的外接球的表面积为（ ）A ．16πB ．8πC ．4πD ．2π18、直角梯形ABCD ，满足AB AD ⊥，CD AD ⊥，222AB AD CD ===，现将其沿AC 折叠成三棱锥D ABC -，当三棱锥D ABC -体积取最大值时其外接球的体积为（ ）A B ．43π C ．3π D ．4π【答案】B.19、【江西省2017届高三4月新课程教学质量监测】如图所示，正方体''''ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F 分别是棱'AA ， 'CC 的中点，过直线EF 的平面分别与棱'BB ， 'DD 交于M ， N ，设B M x =，()0,1x ∈，给出以下命题：①四边形MENF 为平行四边形；②若四边形MENF 面积()s f x =， ()0,1x ∈，则()f x 有最小值； ③若四棱锥A MENF -的体积()V P x =， ()0,1x ∈，则()P x 为常函数； ④若多面体ABCD MENF -的体积()V h x =， 10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()h x 为单调函数. ⑤当12x =时，四边形MENF 为正方形.其中假命题的个数为（）A. 0B. 3C. 2D. 1【答案】D20、【2017届浙江省台州市高三上学期期末质量评估考试】如图，在矩形中，四边形为边长为的正方形，现将矩形沿过点的动直线翻折，使翻折后的点在平面上的射影落在直线上,若点在折痕上射影为，则的最小值为（）A. B. C. D. 【答案】A。