数字信号处理_证明题(32道)_
数字信号处理试题及答案
1、)125.0cos()(n n x π=的基本周期是 16 。
2、一个序列)(n x 的离散傅里叶变换的变换定义为∑-=-=10/2)()(N n Nnk j en x k X π3、对于M点的有限长序列，频域采样不失真恢复时域序列的条件是频域采样点数N 不小于M4、有界输入一有界输出的系统称之为 稳定系统 三、填空题（本大题10分，每小题2分）1、在对连续信号进行频谱分析时，频谱分析范围受 采样 速率的限制。
2、⎰∞∞-=ωωδd ( 1 。
3、对于一个系统而言，如果对于任意时刻0n ，系统在该时刻的响应仅取决于在时刻及其以前的输入，则称该系统为 因果 系统。
4、对一个LSI 系统而言，系统的输出等于输入信号与系统单位采样响应的线性 卷积 。
5、假设时域采样频率为32kHz ，现对输入序列的32个点进行DFT 运算。
此时，DFT 输出的各点频率间隔为 1000 Hz 。
四、计算题（本大题20分） 某两个序列的线性卷积为)5(3)3(2)2(2)1()()()()(-+-+-+-+=*=n n n n n n x n h n y l δδδδδ计算这两个序列的4点圆周卷积。
解：将序列)(rL n y l +的值列在表中，求n =0，1，2，3时这些值的和。
只有序列)(n y l 和)4(+n y l 在30≤≤n 区间内有非零值，所以只需列将30≤≤n 各列内的值相加，有)()(n h n y =④)3(2)2(2)1(4)()(-+-+-+=n n n n n x δδδδ五、分析推导题（本大题12分）如果)(n x 是一个周期为N 的周期序列，则它也是周期为2N 的周期序列，把)(n x 看作周期为N 的周期序列，其DFT 为)(1k X ，再把)(n x 看作周期为2N 的周期序列，其DFT 为)(2k X，试利用)(1k X 确定)(2k X 。
解：∑-==11)()(N n nkNWn x k X∑-==12022)()(N n nk NWn x k X令n m 2=，则N M 2=∑-==122)2()(N m kmMWm x k X =)2/(1k X六、证明题（本大题18分）一个有限冲击响应滤波器，它的单位采样相应)(n h 的长度为)12(+N 。
数字信号处理_期中考试题及答案完美破解版
期中考试题一． 判断题。
（ R ）1、当x(t)为实信号时，其频谱与翻转频谱互为共轭。
（ R ）2、若信号x(t)的频谱为X(f)，则延迟信号x(t-5)的振幅谱将不发生变化。
（W ）3、若信号x(t)的频谱为X(f)，则X(t)的频谱为x(f)。
（ R ）4、若信号x(t)的频谱为X(f)，则x(t)cos(2πf0t)的频谱为(1/2)[X(f-f0)＋X(f ＋f0)]。
（ R ）5、若信号x(t)的频谱为X(f)，则x(－t)的频谱为X(－f)。
（ W ）6、信号x(n)=cos(n/7-π/3)为一周期信号。
二． 计算证明题。
1、 在[-2,2]上有一方波0,21,()2,11,0,1 2.t x t t t -≤<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪<<⎩求它的傅氏级数。
（p11） 解：002212421000000,21,()2,11,0,1 2.4,1/411()20,1;2sin sin 220,;2lim 1,2sin sin 22.2i nti nf t n n n n n n t x t t t T f c x t e dt e dtT n c nnf n c nf n c nnf c nf n ππππππππππ-++---→-≤<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪<<⎩======≠===∴==⎰⎰2、 求方波2,||4,()0,|| 4.t x t t <⎧=⎨>⎩的频谱。
（p14） 解：42242,||4,()0,|| 4.2sin 8()2.i ft i ftf t x t t f X x t e dt e dt f ππππ+∞+---∞-<⎧=⎨>⎩===⎰⎰3、 求信号sin ()tx t t ππ=的频谱。
（p20）解：1,||,sin 2()()0,||.sin 1/2,()()()1,||1/2,sin ()()0,||1/2.t f x t X f t f f X f f X t x f t t x t X f t t δπδδππδπππ<⎧=⇔=⎨>⎩∧==-⇔<⎧=⇔=⎨>⎩4、写出离散信号()2(3)3(3)(1)x n n n n δδδ=-+++-的数学表达式。
数字信号处理习题集大题及答案
1设序列x(n)={4，3，2，1} ， 另一序列h(n) ={1，1，1，1}，n=0,1,2,3 （1）试求线性卷积 y(n)=x(n)*h(n) （2）试求6点圆周卷积。
（3）试求8点圆周卷积。
解：1．y(n)=x(n)*h(n)={4,7,9,10,6,3,1}2．6点圆周卷积={5,7,9,10,6,3}3．8点圆周卷积={4,7,9,10,6,3,1,0} 2二．数字序列 x(n)如图所示. 画出下列每个序列时域序列： (1) x(n-2); (2)x(3-n); (3)x[((n-1))6],(0≤n ≤5);(4)x[((-n-1))6],(0≤n ≤5);n12340.5x(3-n)x[((n-1))]n43210.5n12340.5x[((-n-1))6]3．已知一稳定的LTI 系统的H(z)为)21)(5.01()1(2)(111------=z z z z H试确定该系统H(z)的收敛域和脉冲响应h[n]。
解0.52ReIm系统有两个极点，其收敛域可能有三种形式，|z|<0.5, 0.5<|z|<2, |z|>2 因为稳定，收敛域应包含单位圆，则系统收敛域为：0.5<|z|<211111213/25.013/4)21)(5.01()1(2)(--------=---=z z z z z z H)1(232)()5.0(34)(--+=n u n u n h n n4．设x(n)是一个10点的有限序列x （n ）={ 2,3,1,4,-3,-1,1,1,0,6}，不计算DFT ，试确定下列表达式的值。
(1) X(0), (2) X(5), (3) ∑=90)(k k X,（4）∑=-95/2)(k k j k X eπ解：（1） （2）（3）（4）5． x(n)和h(n)是如下给定的有限序列 x(n)={5, 2, 4, -1, 2}， h(n)={-3, 2, -1 } (1) 计算x(n)和h(n)的线性卷积y(n)= x(n)* h(n)； (2) 计算x(n)和h(n)的6 点循环卷积y 1(n)= x(n)⑥h (n)； (3) 计算x(n)和h(n)的8 点循环卷积y 2(n)= x(n)⑧h (n)； 比较以上结果，有何结论？ 解：（1）5 2 4 -1 2-3 2 15 2 4 -1 210 4 8 -2 4-15 -6 -12 3 -6-15 4 -3 13 -4 3 214][]0[190===∑=n N n x X W 12][][]5[119180510-=-===⎩⎨⎧-=∑∑====奇偶奇数偶数n n n n n n x n x X n n W20]0[*10][][101]0[99===∑∑==x k X k X x k k 0]8[*10][][101]))210[((][]))[((2)10/2(92)10/2(910)/2(===-⇔--=-=-∑∑x k X ek X ex k X e m n x k j k k j k m N k j N πππy(n)= x(n)* h(n)={-15,4,-3,13,-4,3,2} (2)5 2 4 -1 2-3 2 15 2 4 -1 210 4 8 -2 4-15 -6 -12 3 -6-15 4 -3 13 -4 3 22-13 4 -3 13 -4 3 2y 1(n)= x(n)⑥h (n)= {-13,4,-3,13,-4,3}(3)因为8>(5+3-1),所以y 3(n)= x(n)⑧h (n)＝{-15,4,-3,13,-4,3,2，0} y 3(n)与y(n)非零部分相同。
数字信号处理试题
数字信号处理试题一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)1. 数字信号的特征是（）A．时间离散、幅值连续B．时间离散、幅值量化C.时间连续、幅值量化 D.时间连续、幅值连续2. 在对连续信号均匀采样时，要从离散采样值不失真恢复原信号，则采样周期T s与信号最高截止频率f h应满足关系（）A. T s >2/f h B. T s >1/f h C. T s < 1/f h D. T s <1/ (2f h)3．以下是一些系统函数的收敛域，则其中稳定的是（）A. |z| > 2B. |z| < 0.5C. 0.5 < |z| < 2D. |z| < 0.94．已知某序列z变换的收敛域为|z| < 1，则该序列为（）A．有限长序列 B.右边序列C.左边序列 D.双边序列5．实序列的傅里叶变换必是（）A．共轭对称函数B.共轭反对称函数C.线性函数 D.双线性函数6．下列序列中属周期序列的为（）A. x(n) = δ(n)B. x(n) = u(n)C. x(n) = R4(n)D. x(n) = 17．通常DFT计算频谱只限制在离散点上的频谱，这种现象称为（）A．栅栏效应B.吉布斯效应C.泄漏效应 D.奈奎斯特效应8．设两有限长序列的长度分别是M与N，欲用圆周卷积计算两者的线性卷积，则圆周卷积的长度至少应取（）A．M + N B.M + N –1 C.M + N +1 D.2 (M + N)9．基2 FFT算法的基本运算单元为（）A．蝶形运算 B.卷积运算 C.相关运算 D.延时运算10．以下关于用双线性变换法设计IIR滤波器的论述中正确的是（）A．数字频率与模拟频率之间呈线性关系B. 总是将稳定的模拟滤波器映射为一个稳定的数字滤波器C. 使用的变换是s平面到z平面的多值映射D. 不宜用来设计高通和带阻滤波器二、判断题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）1．若系统有一个移变的增益，则此系统必是移变的。
数字信号处理证明题(往年题目都能在里面找到哦)
N −1 2
n
+ (−1) N −1 ∑ x(n)(−1) − n
n =0 N −1
N −1 2
当 N 为偶数时， N − 1 为奇数，故 ( −1)
= −1 ；又由于 (−1) − n = (−1) n , 故有
N X( ) = 2
∑ x(n)(−1)
n =0
N −1 2
− ∑ x(n)(−1) n = 0
答案 证：因为： X (k )
x(n)W
n 0
N 1 n 0
N 1
kn N
所以： DFT[ X (n)]
N 1
X (n)W
N 1 n 0
kn N
N 1 N 1 mn kn x(m)WN WN n 0 m 0
n ( m k ) x(m)WN m0
X (K ) X (N k ) 。
*
答案
证: 由 DFT 的共轭对称性。 将 x(n)表示为 x(n)=xr(n)+jxi(n) 则：X(k)=DFT［x(n)］=Xep(k)+Xop(k) 其难： Xep(k)=DFT ［xr(n)］ ，是 X(k)的共轭对称分量； Xop(k)=DFT ［jxi(n)］ , 是 X(k)的共轭反对称分量。 所以： 如果 x(n)为实序列， 则 Xop(k)=DFT ［jxi(n)］ =0， 故 X(k)=DFT ［x(n)］ =Xep(k)，即 X ( K ) X ( N k ) 。
证：
1 N
∑
N −1
2
X [ m] =
= 1 N
N −1 k =0
1 N
∑ X [ m] X * [ m]
N −1 k =0 mk * N
(完整word版)数字信号处理答案第二章
第二章2.1 判断下列序列是否是周期序列。
若是,请确定它的最小周期.（1）x （n ）=Acos(685ππ+n ） （2)x （n)=)8(π-ne j（3）x （n)=Asin(343ππ+n ) 解 （1）对照正弦型序列的一般公式x （n ）=Acos （ϕω+n )，得出=ω85π。
因此5162=ωπ是有理数，所以是周期序列。
最小周期等于N=)5(16516取k k =。
（2）对照复指数序列的一般公式x （n ）=exp[ωσj +］n,得出81=ω。
因此πωπ162=是无理数,所以不是周期序列。
(3）对照正弦型序列的一般公式x （n)=Acos(ϕω+n ），又x （n)=Asin （343ππ+n ）＝Acos （-2π343ππ-n )＝Acos(6143-n π）,得出=ω43π.因此382=ωπ是有理数，所以是周期序列。
最小周期等于N=)3(838取k k =2.2在图2.2中，x （n ）和h(n)分别是线性非移变系统的输入和单位取样响应。
计算并列的x （n ）和h （n)的线性卷积以得到系统的输出y(n ）,并画出y(n)的图形。
(a)1111(b)(c)111110 0-1-1-1-1-1-1-1-1222222 33333444………nnn nnnx(n)x(n)x(n)h(n)h(n)h(n)21u(n)u(n)u(n)a n ===22解 利用线性卷积公式y(n ）=∑∞-∞=-k k n h k x )()(按照折叠、移位、相乘、相加、的作图方法,计算y(n)的每一个取样值。
（a ） y （0）=x （O)h （0）=1y （l ）=x （O ）h(1)+x （1)h （O)=3y （n)=x(O)h （n ）+x （1)h(n-1)+x(2)h （n —2)=4,n ≥2 （b) x(n ）=2δ(n ）-δ（n-1）h(n)=-δ（n)+2δ（n —1)+ δ(n —2）y(n ）=-2δ(n)+5δ（n —1）= δ(n-3） (c ） y （n ）=∑∞-∞=--k kn k n u k u a)()(=∑∞-∞=-k kn a=aa n --+111u （n ）2。
数字信号处理试卷及答案考试必过
一、考试必过二、选择题（每题3分，共5题）1、 )63()(π-=n j e n x ，该序列是 。
A.非周期序列B.周期6π=N C.周期π6=N D. 周期π2=N 2、 序列)1()(---=n u a n x n ，则)(Z X 的收敛域为 。
A.a Z <B.a Z ≤C.a Z >D.a Z ≥ 3、 对)70()(≤≤n n x 和)190()(≤≤n n y 分别作20点DFT ，得)(k X 和)(k Y ，19,1,0),()()(Λ=⋅=k k Y k X k F ，19,1,0)],([)(Λ==n k F IDFT n f ，n 在 范围内时，)(n f 是)(n x 和)(n y 的线性卷积。
A.70≤≤nB.197≤≤nC.1912≤≤nD.190≤≤n4、 )()(101n R n x =，)()(72n R n x =，用DFT 计算二者的线性卷积，为使计算量尽可能的少，应使DFT 的长度N满足 。
A.16>NB.16=NC.16<ND.16≠N5.已知序列Z 变换的收敛域为｜z ｜<1，则该序列为 。
A.有限长序列B.右边序列C.左边序列D.双边序列三、填空题（每题3分，共5题）1、 对模拟信号（一维信号，是时间的函数）进行采样后，就是 信号，再进行幅度量化后就是 信号。
2、要想抽样后能够不失真的还原出原信号，则抽样频率必须 ，这就是奈奎斯特抽样定理。
3、对两序列x(n)和y(n)，其线性相关定义为 。
4、快速傅里叶变换（FFT ）算法基本可分为两大类，分别是： ； 。
5、无限长单位冲激响应滤波器的基本结构有直接Ⅰ型， ，______ 和______ 四种。
三、10)(-≤≥⎩⎨⎧-=n n ba n x n n求该序列的Z 变换、收敛域、零点和极点。
（10分）四、求()()112111)(----=z z Z X ，21<<z 的反变换。
2010年数字信号处理真题
5、已知序列 x（n）={4，3，2，1}，其 6 点 DFT 用 X（k）表示。另一有限长序列 y（n） ， 其 6 点 DFT 用 Y（k）表示。若 Y(k)= W6 X ( k ) ，则 y（n）={
4k
}
6、 FIR 滤波器设计中， 窗口位置的选择要使 h （n） { }以便得到线性相位。 当h （n） { } 对称时，所有通过的信号产生 90 度附加相移。 7、利用 DFT 分析信号频谱时，采用补零的方法并不能提高对频率非常接近的两个信号的分 辨能力，要提高这种频率分辨率必须{ } 8、随机噪声通过线性时不变系统， H (e ) 表示系统频率响应，则输出噪声的平均值 m f 可 以由输入噪声的平均值 me 通过关系式{ 二、选择题（每题 2 分，共 10 分） 1.已知系统的输入输出关系为 y（n）= x ( n 2) x(3n) ,则改系统为（
k
n
2
（1）设计该数字低通滤波器的系统函数 H（z） ； （2）画出该滤波器的直接 型（正准型）实现结构。 2、序列 x（n）的 DFT 为 X（k）={1,0,1,1}，要求用 FFT 来实现 IDFT，从Ｘ（ｋ）求得 ｘ（ｎ） 。 （１） 采用共轭变换法，写出用ＦＦＴ计算ＩＤＦＴ的原理和步骤； （２） 根据（1）的步骤画出从Ｘ（ｋ）求得ｘ（ｎ）的全过程（包括安时间抽取的ＦＦＴ 分解流图） ，并按照流图来详细计算出ｘ（ｎ） 。 ３、希望实现一个 10000 点的序列与一个 100 点长的 FIR 单位脉冲响应的线性卷积，要求 利用重叠相加法并通过 256 点 FFT 和 IFFT 来实现。 （1）问至少需要多少次 FFT 和多少次 IFFT，详细说明理由； （2）估算（1）中所需的复数乘法和复数加法的次数。 六、综合计算题（共 48 分） 1、 （10 分）求序列 x（n）={1,2,1,2}的线性卷积和圆周卷积，并以文字简单说明如何用圆周 卷积求线性卷积。 2、 （8 分）考虑一个模拟信号 xc (t ) sin(10t ) sin( 24t ) sin(70t ) ，t 以毫秒为单位。 它经过一个模拟抗混叠滤波器 H c ( f ) 后被采样为离散时间信号，采样频率为 40kHZ，采样 结果又立即被理想重构（通过截止频率为 20kHZ 的理想低通滤波器）成一个模拟信号，用
《数字信号处理》--期末考试原题--x21
矿大《数字信号处理》 内部资料<<数字信号处理01级试卷>>A 卷附参考答案一. (26分,题(1)每空2分,其他每空3分)填空题.(1)系统 236()()sin[]y n x n n ππ=+ 是线性的, 不是 时不变的;系统()()nk y n x k =-∞=∑ 不是稳定的, 是因果的.(2)设()[()]j X e FT x n ω=,则)](Re[n x 的FT 为12j j X e X e ωω-+*[()()];()j X e d ωω的IFT 为 j nx n -⋅(). (3)设因果性序列()x n 的Z 变换为12111505()..X z z z--=-+,则0()x = 1 ; ()x ∞= 2 ;(4) 设{}{}1,2,1,3)(301-==n n x ,{}{}1,3,2,1)(32==n n x ,则1()x n 与2()x n 线性卷积为{}6037139511n =--,,,,,,,4点循环卷积为3086129n ={,,,}. 二. (8分)设一个因果的线性时不变系统的网络结构如下: 求系统的单位取样响应解: 由网络结构得差分方程为:111122()()()()y n x n x n y n =+-+- 令()()x n n δ=,得111122()()()()h n n n h n δδ=+-+-由于系统是因果的,故 00(),h n n =<,那么就有110011122()()()()h h δδ=+-+-= 111100122()()()()h h δδ=++=1112211222()()()()h h δδ=++= 1112()()()()n h n n u n δ-=+-三. (8分)利用DFT 对实数序列作谱分析,要求分辨率50F Hz ≤,信号最高频率为1K Hz ,求以下参数:(1)最小记录时间m in p T ;(2)最大采样间隔m ax T ;(3)最小采样点数min N ;(4)在频带宽度不变的情况下,将频率分辨率提高一倍的N 值.解: 因为 1100250.p T s F ≥== 所以 002min .p T s = ……2分又要求 c s f f 2≥ 所以311051022100max .c T s f -===⨯⨯…2分 3002400510min ..p TN T -===⨯为使频率分辨率提高一倍,则Hz F 5=,那么3004800510min ..p T N T -===⨯ 四.(10分)一个线性时不变系统的单位脉冲响应为01()()(),n h n u n αα=<<当输入为01()()()n x n u n ββ=<<, (1)输出(),y n 并将结果写成形式:12()()()n ny n k k u n αβ=-; (2)分别计算(),()h n x n 和()y n 的傅里叶变换(),()j j H e X e ωω和()j Y e ω,并验证()()().j j j Y e X e H e ωωω=⋅解:(1)y n x n h n =*()()()kn k k k x k h n k u k u n k αβ∞∞-=-∞=-∞=-=-∑∑()()()()111111[()]()nn nn k k βαββαβαβ-+--=-==-∑11111011,n n n βαβαβαβ-+--=-+≥-- 或 ()()()n n y n u n αβαβαβαβ=---(2) 011()()j j nn j nj n n X e x n eee ωωωωαα∞∞---=-∞====-∑∑ 011()j n j n j n H e e e ωωωββ∞--===-∑ ()j Y e ω=0()n n j n n e ωαβαβαβαβ∞-=---∑111()j j e eωωαβαβαβ--=---- 由于 111111()()()j j j j e e e e ωωωωαβαβαβαβ-----=----- 故 ()()().j j j Y e X e H e ωωω=⋅ 五.(8分)设05()(.)()nx n u n =, 1)求出其偶函数()e x n 和奇函数()o x n 的傅里叶变换; 2)求()x n 的Z 变换及收敛域.解: 1)105105()()(.).j j nn j n j n n X e x n ee e ωωωω∞∞---=-∞====-∑∑ 1105105125.cos [()]Re[()]Re[]..cos j e j FT x n X e e ωωωω--===-- 105105125.sin [()]Im[()]Im[]..cos j o j FT x n j X e j e ωωωω--===-- 2)111051052()()(.),.n n n n n X z x n z z z z ∞∞---=-∞====>-∑∑ 六.(8分)设1123252()z X z z z ----=-+,122z <<,求其逆Z 变换)(n x .解:1121111321112121122()()()z A A X z z z z z ------==+----②按照式①和式②可画出其流程图如下:八.(8分)设二序列:{}{}1311301,,,)(==n n x 及{}{}2212302,,,)(==n n x ,利用一次FFT 计算出)(k X 1与)(k X 2. 解: 令)]([)(),()()(n x DFT k X n x n x n x =+=21,则 )]()([)(*k X k X k X -+=4211,① )]4()([21)(*2k X k X jk X --=, ②由式①和式②,可得:},,,{)(22261--=k X ,},,,{)(j j k X -=172九.(12分)设一因果线性时不变系统的系统函数为:111113111124()()()z H z z z ---+=--1110733111124z z ---=+-- 分别画出系统的直接型.级联型和并联型结构. 解: (1)因为111113111124()()()z H z z z ---+=--11211331148z z z ---+=-+所以,直接型为:x x x x x x x X (0) X (1)X (2) X (3) X (4) X (5) X (6) X (7) (x ()y n jx 210+=)(j x 232+=)(jx +=11)(jx 213+=)(1-1-j44+2-j32+j-04W 14W 1-1-)(n x )(k X jX 760+=)(31-=)(X jX +=22)(13-=)(X<<数字信号处理>>(B 卷) 01级附参考答案1. 一、判断题（正确的打“√”, 错误的打“×”, 每小题2分, 共10分）。
数字信号处理_证明题(3道)_
证明：由DFT的共轭对称性可知，如果
x(n)=xep(n)+xop(n)
则：X(k)=Re［X(k)］+j Im［X(k)］
则：Re［X(k)］=DFT［xep(n)］, j Im［X(k)］=DFT［xop(n)］
所以：当x(n)=－x(N－n)时，等价于x(n)只有xop(n)成分（即xep(n)=0），故X(k)只有纯虚部，且由于x(n)为实序列，即X(k)共轭对称，X(k)=X*(N－k)=－X(N－k),为纯虚奇函数。
题干
证明DFT的对称定理，即假设X(k)=DFT［x(n)］，
证明：DFT［X(n)］=Nx(N－k)
答案
证：因为：
所以：
由于：
所以：DFT［X(n)］=Nx(N－k)k=0, 1, …,N－1
题干
如果X(k)=DFT［x(n)］，证明DFT的初值定理：
答案
证:由IDFT定义式：
可知：
题干
证明:若x(n)为实序列， 则X(k)为共轭对称序列，即 。
答案
证明：
题干
将序列x(n)分成实部xr(n)与虚部xi(n)，x(n)=xr(n)+jxi(n)，证明：
答案
证明：
实序列的Fourier变换具有共轭对称性
题干
将序列x(n)分成实部xr(n)与虚部xi(n)，x(n)=xr(n)+jxi(n)，证明：
答案
证明：
虚数Fourier变换具有共轭反对称性
答案
证明：因为
令m′=n－m,则
题干
证明线性卷积服从分配律，即证明下面等式成立：x(n)*(h1(n)+h2(n))=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n)
数字信号处理试题
数字信号处理试题一. 填空题（每题2分）1、一线性时不变系统，输入为x（n）时，输出为y（n）；则输入为2x（n）时，输出为；输入为x（n-3）时，输出为。
2、从奈奎斯特采样定理得出，要使实信号采样后能够不失真还原，采样频率f与信号最高频率f s 关系为：。
3、已知一个长度为N的序列x(n)，它的傅立叶变换为X（e jw），它的N点离散傅立叶变换X（K）是关于X（e jw）的点等间隔。
4、有限长序列x(n)的8点DFT为X（K），则X（K）= 。
5、用脉冲响应不变法进行IIR数字滤波器的设计，它的主要缺点是频谱的交叠所产生的现象。
6．若数字滤波器的单位脉冲响应h（n）是奇对称的，长度为N，则它的对称中心是。
7、用窗函数法设计FIR数字滤波器时，加矩形窗比加三角窗时，所设计出的滤波器的过渡带比较，阻带衰减比较。
8、无限长单位冲激响应（IIR）滤波器的结构上有反馈，因此是______型的9、若正弦序列x(n)=sin(30nπ/120)是周期的,则周期是N= 。
11、用窗函数法设计FIR数字滤波器时，过渡带的宽度不但与窗的______有关，还与窗的______有关12．已知因果序列x(n)的Z变换为X(z)=e1/z，则x(0)=__________。
13．输入x(n)=cos(ω0n)中仅包含频率为ω0的信号，输出y(n)=x2(n)中包含的频率为__________。
14．DFT与DFS有密切关系，因为有限长序列可以看成周期序列的__________，而周期序列可以看成有限长序列的__________。
15．对长度为N的序列x(n)圆周移位m位得到的序列用xm(n)表示，其数学表达式为xm(n)=__________,它是__________序列。
16．对按时间抽取的基2-FFT流图进行转置，即__________便得到按频率抽取的基2-FFT流图。
1.线性移不变系统的性质有______、______和分配律。
数字信号处理总结与-习题(答案
对模拟信号（一维信号，是时间的函数）进行采样后，就是 离散 信号，再进行幅度量化后就是 数字信号。
2、若线性时不变系统是有因果性，则该系统的单位取样响应序列h(n)应满足的充分必要条件是 当n<0时，h(n)＝0 。
3、序列)(n x 的N 点DFT 是)(n x 的Z 变换在 单位圆 的N 点等间隔采样。
4、)()(5241n R x n R x ==，只有当循环卷积长度L ≥8 时，二者的循环卷积等于线性卷积。
5、已知系统的单位抽样响应为h(n)，则系统稳定的充要条件是()n h n ∞=-∞<∞∑6、用来计算N ＝16点DFT ，直接计算需要（N 2）16*16＝256_次复乘法，采用基2FFT 算法，需要__(N/2 )×log 2N ＝8×4＝32 次复乘法。
7、无限长单位冲激响应（IIR ）滤波器的基本结构有直接Ⅰ型，直接Ⅱ型，_级联型_和 并联型_四种。
8、IIR 系统的系统函数为)(z H ，分别用直接型，级联型，并联型结构实现，其中 并联型的运算速度最高。
9、数字信号处理的三种基本运算是：延时、乘法、加法 10、两个有限长序列和长度分别是和，在做线性卷积后结果长度是__N 1＋N 2－1_。
11、N=2M点基2FFT ，共有 M 列蝶形，每列有N/2 个蝶形。
12、线性相位FIR 滤波器的零点分布特点是 互为倒数的共轭对 13、数字信号处理的三种基本运算是： 延时、乘法、加法14、在利用窗函数法设计FIR 滤波器时，窗函数的窗谱性能指标中最重要的是___过渡带宽___与__阻带最小衰减__。
16、_脉冲响应不变法_设计IIR 滤波器不会产生畸变。
17、用窗口法设计FIR 滤波器时影响滤波器幅频特性质量的主要原因是主瓣使数字滤波器存在过渡带，旁瓣使数字滤波器存在波动，减少阻带衰减。
18、单位脉冲响应分别为和的两线性系统相串联，其等效系统函数时域及频域表达式分别是h(n)=h 1(n)*h 2(n),=H 1(e j ω)×H 2(e j ω)。
南邮2010年数字信号处理真题
南京邮电大学2010年攻读硕士学位研究生入学考试数字信号处理试题一、填空题（每空2分，共20分）1、IIR 数字滤波器的实现结构有直接型、并联型、级联型等，从有限字长效应的角度来比较这三种结构的优劣： 。
2、一个模拟实信号)(t X C ，带宽限制在5kHZ 以下，即频谱)(f X C =0，kHZ f 5 。
以10kHZ 的采样频率对)(t X C 采样得到1000点的序列x （n ），设X （k ）为x （n ）的1024点DFT ，那么X （k ）中的k=128对应于)(f X C 中的f={ }HZ ，X （k ）中k=768对应于)(f X C 中的f={ }HZ 。
3、在设计IIR 数字滤波器时，由于脉冲响应不变法存在频谱混叠的特点，所以方法不适于设计以下两种频率特性的滤波器：{ }。
4、设计一个线性时不变系统的频率响应为)5.01/(1)(2w j jw e e H ，若输入信号为x （n ）=)cos( n ，则输出信号y （n ）={ }5、已知序列x （n ）={4，3，2，1}，其6点DFT 用X （k ）表示。
另一有限长序列y （n ），其6点DFT 用Y （k ）表示。
若Y(k)= )(46k X W k ，则y （n ）={ }6、FIR 滤波器设计中，窗口位置的选择要使h （n ）{ }以便得到线性相位。
当h （n ）{ }对称时，所有通过的信号产生90度附加相移。
7、利用DFT 分析信号频谱时，采用补零的方法并不能提高对频率非常接近的两个信号的分辨能力，要提高这种频率分辨率必须{ }8、随机噪声通过线性时不变系统，)(jw e H 表示系统频率响应，则输出噪声的平均值f m 可以由输入噪声的平均值e m 通过关系式{ }计算得到。
二、选择题（每题2分，共10分）1.已知系统的输入输出关系为y （n ）=)3()2(2n x n x ,则改系统为（ ）A ．线性、时不变系统B 。
数字信号处理习题集(附答案)
第一章数字信号处理概述简答题:1．在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作用？答:在A/D变化之前为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时,采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。
此滤波器亦称为“抗混叠”滤波器.在D/A变换之后为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化,故又称之为“平滑”滤波器.判断说明题：2．模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采样的工序就可以了。
( ）答：错.需要增加采样和量化两道工序。
3．一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然后基于数字信号处理理论，对信号进行等效的数字处理.（ ) 答：受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定能找到。
因此数字信号处理系统的分析方法是先对抽样信号及系统进行分析,再考虑幅度量化及实现过程中有限字长所造成的影响。
故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础.第二章 离散时间信号与系统分析基础一、连续时间信号取样与取样定理计算题：1．过滤限带的模拟数据时，常采用数字滤波器,如图所示，图中T 表示采样周期（假设T 足够小，足以防止混叠效应)，把从)()(t y t x 到的整个系统等效为一个模拟滤波器.（a ） 如果kHz rad n h 101,8)(=π截止于,求整个系统的截止频率. （b)对于kHz T 201=，重复(a ）的计算.解 （a ）因为当0)(8=≥ωπωj e H rad 时，在数 — 模变换中)(1)(1)(Tj X Tj X Te Y a a j ωω=Ω=所以)(n h 得截止频率8πω=c 对应于模拟信号的角频率c Ω为8π=ΩT c因此 Hz Tf c c 6251612==Ω=π 由于最后一级的低通滤波器的截止频率为Tπ，因此对T8π没有影响,故整个系统的截止频率由)(ωj e H 决定,是625Hz 。
数字信号处理证明题道_
证明：
题干
将序列x(n)分成实部xr(n)与虚部xi(n)，x(n)=xr(n)+jxi(n)，证明：
答案
证明：
实序列的Fourier变换具有共轭对称性
题干
将序列x(n)分成实部xr(n)与虚部xi(n)，x(n)=xr(n)+jxi(n)，证明：
答案
证明：
虚数Fourier变换具有共轭反对称性
题干
证明频域循环移位性质：设X(k)=DFT［x(n)］，Y(k)=DFT［y(n)］，如果Y(k)=X((k+l))NRN(k)，则
答案
证：
令m=k+l,则
题干
证明离散帕塞瓦尔定理。若X(k)=DFT［x(n)］，则
答案
证：
题干
若X(K)=DFT[x(n)]N,证明X(K)是隐含周期的，其周期为N。
答案
证明：因为
令m′=n－m,则
题干
证明线性卷积服从分配律，即证明下面等式成立：x(n)*(h1(n)+h2(n))=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n)
答案
证明：
题干
设x(n)是因果序列，X(z)=ZT［x(n)］，则
答案
证明：
因此：
题干
设w(n)=x(n)*y(n)
X(z)=ZT［x(n)］Rx－<|z|<Rx+
Y(z)=ZT［y(n)］Rx－<|z|<Ry+1
证明;W(z)=ZT［w(n)］=X(z)Y(z)Rw－<|z|<Rw+
Rw+=min［Rx+,Ry+］
答案
证:由DFT的共轭对称性。
数字信号处理期末试卷(含答案)
一、填空题（每题2分，共10题）1、 1、 对模拟信号（一维信号，是时间的函数）进行采样后，就是 信号，再进行幅度量化后就是 信号。
2、 2、)()]([ωj e X n x FT =，用)(n x 求出)](Re[ωj e X 对应的序列为 。
３、序列)(n x 的N 点DFT 是)(n x 的Z 变换在 的N 点等间隔采样。
４、)()(5241n R x n R x ==，只有当循环卷积长度L 时，二者的循环卷积等于线性卷积。
５、用来计算N ＝16点DFT ，直接计算需要_________ 次复乘法，采用基2FFT 算法，需要________ 次复乘法，运算效率为__ _ 。
６、FFT 利用 来减少运算量。
７、数字信号处理的三种基本运算是： 。
８、FIR 滤波器的单位取样响应)(n h 是圆周偶对称的，N=6， 3)3()2(2)4()1(5.1)5()0(======h h h h h h ，其幅度特性有什么特性？ ，相位有何特性？ 。
９、数字滤波网络系统函数为∑=--=NK kk z a z H 111)(，该网络中共有 条反馈支路。
１０、用脉冲响应不变法将)(s H a 转换为)(Z H ，若)(s H a 只有单极点k s ，则系统)(Z H 稳定的条件是 （取s T 1.0=）。
二、选择题（每题3分，共6题）1、 1、)63()(π-=n j en x ，该序列是 。
A.非周期序列B.周期6π=NC.周期π6=ND. 周期π2=N2、 2、 序列)1()(---=n u a n x n，则)(Z X 的收敛域为。
A.aZ < B.aZ ≤ C.aZ >D.aZ ≥3、 3、 对)70()(≤≤n n x 和)190()(≤≤n n y 分别作20点DFT ，得)(k X 和)(k Y ，19,1,0),()()( =⋅=k k Y k X k F ，19,1,0)],([)( ==n k F IDFT n f ，n 在 范围内时，)(n f 是)(n x 和)(n y 的线性卷积。
数字信号处理计算题库
计算与证明题信号与系统的时域分析与处理1.判断下列系统是否为线性移不变系统，并说明理由。
（假定x(n)为实序列） （1）y(n) = T ［x(n) ］= nx(n) （2）y(n) = T ［x(n) ］= 2x(n)2．设h(n)=3n)21(u(n)为线性移不变系统的单位抽样响应，若输入x(n)=u(n)，求∞→n lim y(n)，其中y(n)为输出。
3．系统（其中y(n)为输出序列，x(n)为输入序列）输入输出关系为y(n)=∑∞-∞=-i i n x i h ),()(其中，h(n)为一确定序列。
证明此系统为线性移不变。
离散时间傅里叶变换（DTFT ）1. 证明实序列x(n)的傅里叶变换X(e j ω)有如下对称性质：Re ［X(e j ω)］=Re ［X(e -j ω)］； Im ［X(e j ω)］=-Im ［X(e -j ω)］。
2. 设DTFT ［x(n)］=X(e j ω)，求DTFT ［x(n)*x *(-n)］.3. 设DTFT ［x(n)］=X(e j ω)，y(n)=⎩⎨⎧±±=其它,0,L 2,L ,0n ),L /n (x，求DTFT ［y(n)］。
4．设线性移不变系统的单位采样响应为()()21()23n h n u n +=-，求其频率响应。
Z 变换1. 求x(n)=cos(ω0n)u(n)的Z 变换。
2．用Z 变换求下列两个序列的卷积：h(n)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=≤≤其它0)1()()(,10)21(n n n x n nδδ3.已知系统输入输出方程为y(n)=x(n)-x(n-1)（1）证明该系统为线性移不变。
（2）求系统函数H(z)的形式。
2．(10分)求序列x(n)=2-n u(-n)的Z 变换。
4．(10分)考虑一个具有系统函数44116()1116z H z z ---+=-的稳定系统。
1）求系统的零点和极点，并作出图表示； 2）画出系统的级联型结构图。
数字信号处理习题及答案
数字信号处理习题及答案3 .已知，通过直接计算卷积和的办法，试确定单位抽样响应为的线性移不变系统的阶跃响应。
9．列出下图系统的差分⽅程,并按初始条件求输⼊为时的输出序列,并画图表⽰。
解：系统的等效信号流图为：解：根据奈奎斯特定理可知：6. 有⼀信号,它与另两个信号和的关系是:其中，已知，解：根据题⽬所给条件可得：⽽所以8. 若是因果稳定序列，求证：证明:∴9．求的傅⾥叶变换。
解：根据傅⾥叶变换的概念可得：13. 研究⼀个输⼊为和输出为的时域线性离散移不变系统，已知它满⾜并已知系统是稳定的。
试求其单位抽样响应。
解：对给定的差分⽅程两边作Z变换，得：，为了使它是稳定的，收敛区域必须包括即可求得16. 下图是⼀个因果稳定系统的结构，试列出系统差分⽅程，求系统函数。
当时，求系统单位冲激响应, 画出系统零极点图和频率响应曲线。
由⽅框图可看出：差分⽅程应该是⼀阶的则有因为此系统是⼀个因果稳定系统; 所以其收敛17．设是⼀离散时间信号，其z 变换为，对下列信号利⽤求它们的z变换：(a) ，这⾥△记作⼀次差分算⼦，定义为：(b) {(c)解：(a)(b) ，1.序列x(n)是周期为6的周期性序列，试求其傅⽴叶级数的系数。
∑∑=-===56265)(~)(~)(X~:nnkjnknexWnxkπ解kj k j k j kj kj e e e e e 56 2462362262621068101214πππππ-----+++++=计算求得:。
339)5(~; 33)4(~ ; 0)3(~; 33)2(~;339)1(~;60)0(~j X j X X j X j X X +=-==+=-==。
并作图表⽰试求设)(~),(~)(~ .))(()(~),()(.264k X n x k X n x n x n R n x ==∑∑=-===56265)(~)(~)(~:n nkj nkn e n x W n x k X π解k j k j kj e e e πππ---+++=3231。
数字信号处理_证明题(32道)_1
为纯虚函数并奇对称。
证明：由 DFT 的共轭对称性可知， 如果 x(n)=xep(n)+xop(n)
则：X(k)=Re［X(k)］+j Im［X(k)］ 则：Re［X(k)］=DFT［xep(n)］, j Im［X(k)］=DFT［xop(n)］ 所以：当 x(n)=－x(N－n)时， 等价于 x(n)只有 xop(n)成分（即 xep(n)=0），
FT[ax1(n) bx2 (n)]
[ax1(n) bx2 (n)]e jwn n
ax1(n)e jwn bx2 (n)e jwn
n
n
a x1(n)e jwn b x2 (n)e jwn
n
n
aX1(e j ) bX 2 (e j )
证明 FT 的线性性质。即设 X1(ejω)=FT［x1(n)］, X2(ejω)=FT［x2(n)］, 那 么 FT[ax1(n) bx2 (n)] aX1(e j ) bX 2 (e j) 式中, a，b 是常数
X
e
e j
xr n e jn X e e j
n
实序列的 Fourier 变换具有共轭对称性
将 序 列 x(n) 分 成 实 部 xr(n) 与 虚 部 xi(n) ， x(n)=xr(n)+jxi(n) ， 证 明 ：
FT[ jxi (n)] xo (e j )
证明： X o e j j xi n e jn n
N 1
N 1
x(m)
W n(mk) N
m0
n0
由于：
N 1
W n(mk) N
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证明：
答案
证明：
序列x(n)的共轭对称部分xe(n)对应着X(ejω)的实部XR(ejω)
题干
证明：
答案
证明：
序列x(n)的共轭反对称部分xo(n)对应着X(ejω)的虚部(包括j)。
题干
证明时域卷积定理，即设y(n)=x(n)*h(n)
则：Y(ejω)=X(ejω)H（ejω）
答案
证明：
令k=n－m，则:
所以：当x(n)=x(N－n)时，等价于上式中xop(n)=0,x(n)中只有xep(n)成分，所以X(k)只有实部，即X(k)为实函数。又实序列的DFT必然为共轭对称函数，
即X(k)=X*(N－k)=X(N－k)，所以X(k)实偶对称。
题干
证明：若x(n)实奇对称，即x(n)=－x(N－n)，且 则X(k)为纯虚函数并奇对称。
Rm+=min［Rx+,Ry+］;Rm-=max［Rx-,Ry-］
答案
证明：
Rm-<|z|<Rm+
Rm+=min［Rx+,Ry+］;Rm-=max［Rx-,Ry-］
题干
证明：FT的周期性。即证明FT的周期是 。
答案
证明：
Ｍ为整数
题干
证明线性卷积服从交换律。即证明下面等式成立：x(n)*h(n)=h(n)*x(n)
答案
证明： ，
题干
其中:k,m为整数，N为自然数
答案
题干
答案
证明：
题干
答案
证明：
题干
答案
证明：
题干
答案
证明：
题干
答案
证明：
题干
证明:
答案
证明：
题干
证明：
答案
证明：
题干
证明：
答案
证明：
题干
证明：
答案
证明：
题干
证明
答案
证明：
题干
证明DFT的线性性质即：若
则：其中：a、b为常数
答案
证明：
题干
证明FT的线性性质。即设X1(ejω)=FT［x1(n)］,X2(ejω)=FT［x2(n)］,那么 式中,a，b是常数
答案
证:由DFT的共轭对称性。
将x(n)表示为
x(n)=xr(n)+jxi(n)
则：X(k)=DFT［x(n)］=Xep(k)+Xop(k)
其难：Xep(k)=DFT［xr(n)］，是X(k)的共轭对称分量；Xop(k)=DFT［jxi(n)］,是X(k)的共轭反对称分量。
所以：如果x(n)为实序列，则Xop(k)=DFT［jxi(n)］=0，故X(k)=DFT［x(n)］=Xep(k)，即 。
题干
设x(n)是因果序列，X(z)=ZT［x(n)］，则
答案
证明：
因此：
题干
设w(n)=x(n)*y(n)
X(z)=ZT［x(n)］Rx－<|z|<Rx+
Y(z)=ZT［y(n)］Rx－<|z|<Ry+1
证明;W(z)=ZT［w(n)］=X(z)Y(z)Rw－<|z|<Rw+
Rw+=min［Rx+,Ry+］
答案
证明：因为
令m′=n－m,则
题干
证明线性卷积服从分配律，即证明下面等式成立：x(n)*(h1(n)+h2(n))=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n)
答案
证明：
题干
证明DFT的对称定理，即假设X(k)=DFT［x(n)］，
证明：DFT［X(n)］=Nx(N－k)
答案
证：因为：
所以：
由于：
所以：DFT［X(n)］=Nx(N－k)k=0, 1,…,N－1
题干
如果X(k)=DFT［x(n)］，证明DFT的初值定理：
答案
证:由IDFT定义式：
可知：
题干
证明:若x(n)为实序列， 则X(k)为共轭对称序列，即 。
题干
证明频域循环移位性质：设X(k)=DFT［x(n)］，Y(k)=DFT［y(n)］，如果Y(k)=X((k+l))NRN(k)，则
答案
证：
令m=k+l,则
题干
证明离散帕塞瓦尔定理。若X(k)=DFT［x(n)］，则
答案
证：
题干
若X(K)=DFT[x(n)]N,证明X(K)是隐含周期的，其周期为N。
答案
证明：由DFT的共轭对称性可知，如果
x(n)=xep(n)+xop(n)
则：X(k)=Re［X(k)］+j Im［X(k)］
则：Re［X(k)］=DFT［xep(n)］, j Im［X(k)］=DFT［xop(n)］
所以：当x(n)=－x(N－n)时，等价于x(n)只有xop(n)成分（即xep(n)=0），故X(k)只有纯虚部，且由于x(n)为实序列，即X(k)共轭对称，X(k)=X*(N－k)=－X(N－k),为纯虚奇函数。
Rw-=max［Rx-,Ry-］
答案
证明：
W(z)的收敛域就是X(z)和Y(z)的公共收敛域。
题干
设m(n)=ax(n)+by(n)a,b为常数
X(z)=ZT［x(n)］Rx-<|z|<Rx+
Y(z)=ZT［y(n)］Ry-<|z|<Ry+
则:M(z)=ZT［m(n)］=aX(z)+bY(z)Rm-<|z|<Rm+
题干
证明：若x(n)实偶对称，即x(n)=x(N－n)，且 则X(k)也实偶对称。
答案
证明：由DFT的共轭对称性可知，如果
x(n)=xep(n)+xop(n)
则：X(k)=Re［X(k)］+j Im［X(k)］
则：Re［X(k)］=DFT［xep(n)］, j Im［X(k)］=DFT［xop(n)］
答案
证明：
题干
将序列x(n)分成实部xr(n)与虚部xi(n)，x(n)=xr(n)+jxi(n)，证明：
答案
证明：
实序列的Fourier变换具有共轭对称性
题干
将序列x(n)分成实部xr(n)与虚部xi(n)，x(n)=xr(n)+jxi(n)，证明：
答案
证明：
虚数Fourier变换具有共轭反对称性