浙师大高数C卷试题 2013年1月

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2013-2014第二学年秋浙江师范大学c语言程序设计试卷 - (附参考答案)

浙江师范大学《C语言程序设计》考试卷（2013——2014学年第 2 学期）考试形式笔试（闭卷）使用学生全校13级理工科（非行知）专业考试时间120分钟出卷时间2014 年6月9日说明：考生应将全部答案都写在答题纸上，否则作无效处理。

一、程序阅读与填空（35小题，每小题2分，共70分）1．阅读下列程序说明和程序，在每小题提供的若干可选答案中，挑选一个正确答案。

【程序说明】素数判断。

运行示例：1111 is a prime number【程序】#include<stdio.h>（1）void main(){int m,i,k;（2）;k=sqrt(m);for(i=2;i<=k;i++)if(m%i==0) （3）if( （4）)printf("%d is a prime number\n", m);elseprintf("%d is not a prime number\n", m);}【供选择的答案】(1) A．#include <string.h> B．#include <math.h>C．#include <stdio.h> D．#include <ctype.h>(2) A、scanf("%d", &m) B、scanf("%c", &m)C、scanf("%f", &m)D、scanf("%s", &m)(3) A、continue; B、break;C、;D、k = i;(4) A、i >= k +1 B、i >= kC、i <= k +1D、i <= k2．阅读下列程序说明和程序，在每小题提供的若干可选答案中，挑选一个正确答案。

【程序说明】输入一个正整数n，找出其位数中最小的数字.。

2013年浙江省高考数学试卷(文科)教师版

2013年浙江省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2013•浙江）设集合S={x|x＞﹣2}，T={x|﹣4≤x≤1}，则S∩T=（）A．[﹣4，+∞）B．（﹣2，+∞）C．[﹣4，1]D．（﹣2，1]【分析】找出两集合解集的公共部分，即可求出交集．【解答】解：∵集合S={x|x＞﹣2}=（﹣2，+∞），T={x|﹣4≤x≤1}=[﹣4，1]，∴S∩T=（﹣2，1]．故选：D．2．（5分）（2013•浙江）已知i是虚数单位，则（2+i）（3+i）=（）A．5﹣5i B．7﹣5i C．5+5i D．7+5i【分析】直接利用多项式的乘法展开，求出复数的最简形式．【解答】解：复数（2+i）（3+i）=6+5i+i2=5+5i．故选：C．3．（5分）（2013•浙江）若α∈R，则“α=0”是“sinα＜cosα”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】当“α=0”可以得到“sinα＜cosα”，当“sinα＜cosα”时，不一定得到“α=0”，得到“α=0”是“sinα＜cosα”的充分不必要条件．【解答】解：∵“α=0”可以得到“sinα＜cosα”，当“sinα＜cosα”时，不一定得到“α=0”，如α=等，∴“α=0”是“sinα＜cosα”的充分不必要条件，故选：A．4．（5分）（2013•浙江）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β【分析】用直线与平面平行的性质定理判断A的正误；用直线与平面平行的性质定理判断B的正误；用线面垂直的判定定理判断C的正误；通过面面垂直的判定定理进行判断D的正误．【解答】解：A、m∥α，n∥α，则m∥n，m与n可能相交也可能异面，所以A 不正确；B、m∥α，m∥β，则α∥β，还有α与β可能相交，所以B不正确；C、m∥n，m⊥α，则n⊥α，满足直线与平面垂直的性质定理，故C正确．D、m∥α，α⊥β，则m⊥β，也可能m∥β，也可能m∩β=A，所以D不正确；故选：C．5．（5分）（2013•浙江）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．108cm3B．100cm3C．92cm3D．84cm3【分析】由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．据此即可得出体积．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．∴该几何体的体积V=6×6×3﹣=100．故选：B．6．（5分）（2013•浙江）函数f（x）=sinxcosx+cos2x的最小正周期和振幅分别是（）A．π，1B．π，2C．2π，1D．2π，2【分析】f（x）解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的我三角函数值化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域，确定出振幅，找出ω的值，求出函数的最小正周期即可．【解答】解：f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+），∵﹣1≤sin（2x+）≤1，∴振幅为1，∵ω=2，∴T=π．故选：A．7．（5分）（2013•浙江）已知a、b、c∈R，函数f（x）=ax2+bx+c．若f（0）=f （4）＞f（1），则（）A．a＞0，4a+b=0B．a＜0，4a+b=0C．a＞0，2a+b=0D．a＜0，2a+b=0【分析】由f（0）=f（4）可得4a+b=0；由f（0）＞f（1）可得a+b＜0，消掉b 变为关于a的不等式可得a＞0．【解答】解：因为f（0）=f（4），即c=16a+4b+c，所以4a+b=0；又f（0）＞f（1），即c＞a+b+c，所以a+b＜0，即a+（﹣4a）＜0，所以﹣3a＜0，故a＞0．故选：A．8．（5分）（2013•浙江）已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（）A．B．C．D．【分析】根据导数的图象，利用函数的单调性和导数的关系，得出所选的选项．【解答】解：由导数的图象可得，导函数f′（x）的值在[﹣1，0]上的逐渐增大，故函数f（x）在[﹣1，0]上增长速度逐渐变大，故函数f（x）的图象是下凹型的．导函数f′（x）的值在[0，1]上的逐渐减小，故函数f（x）在[0，1]上增长速度逐渐变小，图象是上凸型的，故选：B．9．（5分）（2013•浙江）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A．B．C．D．【分析】不妨设|AF1|=x，|AF2|=y，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率．【解答】解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1：+y2=1上的点，∴2a=4，b=1，c=；∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①又四边形AF1BF2为矩形，∴+=，即x2+y2=（2c）2==12，②由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n，则2m=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2n=2c=2，∴双曲线C2的离心率e===．故选：D．10．（5分）（2013•浙江）设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b=，，＞a∨b=，，＞若正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，则（）A．a∧b≥2，c∧d≤2B．a∧b≥2，c∨d≥2 C．a∨b≥2，c∧d≤2D．a∨b≥2，c∨d≥2【分析】依题意，对a，b赋值，对四个选项逐个排除即可．【解答】解：∵a∧b=，，＞，a∨b=，，＞，正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，∴不妨令a=1，b=4，则a∧b≥2错误，故可排除A，B；再令c=1，d=1，满足条件c+d≤4，但不满足c∨d≥2，故可排除D；故选：C．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11．（4分）（2013•浙江）已知函数f（x）=，若f（a）=3，则实数a=10．【分析】利用函数的解析式以及f（a）=3求解a即可．【解答】解：因为函数f（x）=，又f（a）=3，所以，解得a=10．故答案为：10．12．（4分）（2013•浙江）从三男三女6名学生中任选2名（每名同学被选中的概率均相等），则2名都是女同学的概率等于．【分析】由组合数可知：从6名学生中任选2名共有=15种情况，2名都是女同学的共有=3种情况，由古典概型的概率公式可得答案．【解答】解：从6名学生中任选2名共有=15种情况，满足2名都是女同学的共有=3种情况，故所求的概率为：=．故答案为：．13．（4分）（2013•浙江）直线y=2x+3被圆x2+y2﹣6x﹣8y=0所截得的弦长等于4．【分析】求出圆的圆心与半径，利用圆心距，半径，半弦长满足勾股定理，求解弦长即可．【解答】解：圆x2+y2﹣6x﹣8y=0的圆心坐标（3，4），半径为5，圆心到直线的距离为：，因为圆心距，半径，半弦长满足勾股定理，所以直线y=2x+3被圆x2+y2﹣6x﹣8y=0所截得的弦长为：2×=4．故答案为：4．14．（4分）（2013•浙江）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于．【分析】由题意可知，该程序的作用是求解S=1++++的值，然后利用裂项求和即可求解．【解答】解：由题意可知，该程序的作用是求解S=1++++的值．而S=1++++=1+1﹣+﹣+﹣+﹣=．故答案为：．15．（4分）（2013•浙江）设z=kx+y，其中实数x、y满足若z的最大值为12，则实数k=2．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=kx+y对应的直线进行平移．经讨论可得当当k＜0时，找不出实数k 的值使z的最大值为12；当k≥0时，结合图形可得：当l经过点C时，z max=F （4，4）=4k+4=12，解得k=2，得到本题答案．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，其中A（2，0），B（2，3），C（4，4）设z=F（x，y）=kx+y，将直线l：z=kx+y进行平移，可得①当k＜0时，直线l的斜率﹣k＞0，由图形可得当l经过点B（2，3）或C（4，4）时，z可达最大值，此时，z max=F（2，3）=2k+3或z max=F（4，4）=4k+4但由于k＜0，使得2k+3＜12且4k+4＜12，不能使z的最大值为12，故此种情况不符合题意；②当k≥0时，直线l的斜率﹣k≤0，由图形可得当l经过点C时，目标函数z达到最大值此时z max=F（4，4）=4k+4=12，解之得k=2，符合题意综上所述，实数k的值为2故答案为：216．（4分）（2013•浙江）设a，b∈R，若x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b≤（x2﹣1）2，则ab等于﹣1．【分析】由题意，x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b≤（x2﹣1）2，考察（x2﹣1）2，发现当x=1时，其值为0，再对照不等式左边的0，可由两边夹的方式得到参数a，b满足的方程，再令f（x）=x4﹣x3+ax+b，即f（x）≥0在x≥0恒成立，利用导数研究函数在x≥0的极值，即可得出参数所满足的另一个方程，由此解出参数a，b的值，问题即可得解．【解答】解：验证发现，当x=1时，将1代入不等式有0≤a+b≤0，所以a+b=0，当x=0时，可得0≤b≤1，结合a+b=0可得﹣1≤a≤0，令f（x）=x4﹣x3+ax+b，即f（1）=a+b=0，又f′（x）=4x3﹣3x2+a，f′′（x）=12x2﹣6x，令f′′（x）＞0，可得x＞，则f′（x）=4x3﹣3x2+a在[0，]上减，在[，+∞）上增，又﹣1≤a≤0，所以f′（0）=a＜0，f′（1）=1+a≥0，又x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b，结合f（1）=a+b=0知，1必为函数f（x）=x4﹣x3+ax+b的极小值点，也是最小值点．故有f′（1）=1+a=0，由此得a=﹣1，b=1，故ab=﹣1．故答案为：﹣1．17．（4分）（2013•浙江）设、为单位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夹角为30°，则的最大值等于2．【分析】由题意求得=，||==，从而可得===，再利用二次函数的性质求得的最大值．【解答】解：∵、为单位向量，和的夹角等于30°，∴=1×1×cos30°=．∵非零向量=x+y，∴||===，∴====，故当=﹣时，取得最大值为2，故答案为2．三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（14分）（2013•浙江）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式，求出sinA的值，由A为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；（Ⅱ）由余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a，b+c及cosA的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）由2asinB=b，利用正弦定理得：2sinAsinB=sinB，∵sinB≠0，∴sinA=，又A为锐角，则A=；（Ⅱ）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即36=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=64﹣3bc，∴bc=，又sinA=，=bcsinA=．则S△ABC19．（14分）（2013•浙江）在公差为d的等差数列{a n}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列．（Ⅰ）求d，a n；（Ⅱ）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|．【分析】（Ⅰ）直接由已知条件a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列列式求出公差，则通项公式a n可求；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论，得到等差数列{a n}的前11项大于等于0，后面的项小于0，所以分类讨论求d＜0时|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|的和．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，即，整理得d2﹣3d﹣4=0．解得d=﹣1或d=4．当d=﹣1时，a n=a1+（n﹣1）d=10﹣（n﹣1）=﹣n+11．当d=4时，a n=a1+（n﹣1）d=10+4（n﹣1）=4n+6．所以a n=﹣n+11或a n=4n+6；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，因为d＜0，由（Ⅰ）得d=﹣1，a n=﹣n+11．则当n≤11时，．当n≥12时，|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=﹣S n+2S11=．综上所述，|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=，，．20．（15分）（2013•浙江）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°，G为线段PC上的点．（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若G是PC的中点，求DG与平面PAC所成的角的正切值；（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，求的值．【分析】（Ⅰ）由PA⊥面ABCD，可得PA⊥BD；设AC与BD的交点为O，则由条件可得BD是AC的中垂线，故O为AC的中点，且BD⊥AC．再利用直线和平面垂直的判定定理证得BD⊥面PAC．（Ⅱ）由三角形的中位线性质以及条件证明∠DGO为DG与平面PAC所成的角，求出GO和AC的值，可得OC、OD的值，再利用直角三角形中的边角关系求得tan∠DGO的值．（Ⅲ）先证PC⊥OG，且PC==．由△COG∽△CAP，可得，解得GC的值，可得PG=PC﹣GC 的值，从而求得的值．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，∴PA⊥BD．∵AB=BC=2，AD=CD=，设AC与BD的交点为O，则BD是AC的中垂线，故O 为AC的中点，且BD⊥AC．而PA∩AC=A，∴BD⊥面PAC．（Ⅱ）若G是PC的中点，O为AC的中点，则GO平行且等于PA，故由PA⊥面ABCD，可得GO⊥面ABCD，∴GO⊥OD，故OD⊥平面PAC，故∠DGO为DG与平面PAC所成的角．由题意可得，GO=PA=．△ABC中，由余弦定理可得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=4+4﹣2×2×2×cos120°=12，∴AC=2，OC=．∵直角三角形COD中，OD==2，∴直角三角形GOD中，tan∠DGO==．（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，∵OG⊂平面BGD，∴PC⊥OG，且PC==．由△COG∽△CPA，可得，即，解得GC=，∴PG=PC﹣GC=﹣=，∴==．21．（15分）（2013•浙江）已知a∈R，函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若|a|＞1，求f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值．【分析】（Ⅰ）求导函数，确定切线的斜率，求出切点的坐标，即可求曲线y=f （x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）分类讨论，利用导数确定函数的单调性，从而可得极值，即可得到最值．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f′（x ）=6x 2﹣12x +6，所以f′（2）=6 ∵f （2）=4，∴曲线y=f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程为y=6x ﹣8；（Ⅱ）记g （a ）为f （x ）在闭区间[0，|2a |]上的最小值． f′（x ）=6x 2﹣6（a +1）x +6a=6（x ﹣1）（x ﹣a ）令f′（x ）=0，得到x 1=1，x 2=a 当a ＞1时，比较f （0）=0和f （a ）=a 2（3﹣a ）的大小可得g （a ）= ，＜，＞；当a ＜﹣1时，∴g （a ）=3a ﹣1∴f （x ）在闭区间[0，|2a |]上的最小值为g （a ）=，＜，＜，＞．22．（14分）（2013•浙江）已知抛物线C 的顶点为O （0，0），焦点F （0，1）（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）过F 作直线交抛物线于A 、B 两点．若直线OA 、OB 分别交直线l ：y=x ﹣2于M 、N 两点，求|MN |的最小值．【分析】（I）由抛物线的几何性质及题设条件焦点F（0，1）可直接求得p，确定出抛物线的开口方向，写出它的标准方程；（II）由题意，可A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1，将直线方程与（I）中所求得方程联立，再结合弦长公式用所引入的参数表示出|MN|，根据所得的形式作出判断，即可求得最小值．【解答】解：（I）由题意可设抛物线C的方程为x2=2py（p＞0）则=1，解得p=2，故抛物线C的方程为x2=4y（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1，由消去y，整理得x2﹣4kx﹣4=0，所以x1+x2=4k，x1x2=﹣4，从而有|x1﹣x2|==4，由解得点M的横坐标为x M===，同理可得点N的横坐标为x N=，所以|MN|=|x M﹣x N|=|﹣|=8||=，令4k﹣3=t，t≠0，则k=，当t＞0时，|MN|=2＞2，当t＜0时，|MN|=2=2≥．综上所述，当t=﹣，即k=﹣时，|MN|的最小值是．。

2013学年高考理科数学年浙江卷答案

2
2
D．
【提示】给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除 B，然后利用区特值排除 A 和 C，
则答案可求．
【考点】函数图象的判断．
9.【答案】A 【解析】设 P(3,1), 圆心 C(1,0) ，切点为 A，B，则 P，A，C，B 四点共圆，且 PC 为圆的直径，四边形 PABC
的外接圆的方程为 (x
z
xyz
【考点】基本不等式最值．
第Ⅱ卷
二、填空题
13.【答案】3
【解析】第一次运行： F1
1 2 3，
F0
31
2，n
11
2，
1 F1

1 3

，
不满足要求，继续执行．第二次运行：
F1

2 3 5，
F0
52
3， n

2 1 3，
1 F1

1 5

，满足条件
结束运行，输出 n 3 ．
ln (ab ) blna ；
当 a 1 时， ab 1，故 ln (ab ) 0 ，又 a 1 时 blna 0 ，所以此时亦有 ln (ab ) blna ．由上判断知①正
确；
对于②，此命题不成立，可令 a 2 ， b 1 ，则 ab 2 ，由定义 ln (ab ) 0， lna+lnb ln2 ，所以
2013 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
理科数学答案解析
第Ⅰ卷
一、选择题
1.【答案】D
【解析】由
(z

3)(2

i)

5 ，得
z

5(2 i) (2 i)(2

2013年浙江省高考文科数学试卷(word精校版1)

2013年浙江省普通高等学校统一考试数学（文科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页，选择题部分1至3页，非选择题部分3至4页。

满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分（共50分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。

2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

不能答在试题卷上。

参考公式球体的面积公式 S=4πR 2球的体积公式 V=43πR 3其中R 表示球的半径锥体的体积公式V=13Sh 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高柱体体积公式V=Sh其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高台体的体积公式V=121()3h S S其中S 1，S 2分别表示台体的上、下面积，h 表示台体的高如果事件A,B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设集合{}{}2,41S x x T x x =>-=-≤≤，则S ∩T=A. [)4,-+∞B. (2,)-+∞C. []4,1-D. (2,1]-2. 已知i 是虚数单位，则(2)(3)i i ++=A 5-5iB 7-5iC 5+5iD 7+5i3.设R α∈ ，则"0""sin cos "ααα=<是的A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件4.设,m n 是两条不同的直线，a ，β是两个不同的平面，则A.若,m n αα，则m nB.若,m m αβ，则αβC.若,m n m α⊥,则n α⊥D.若,m ααβ⊥,则m β⊥5.已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该三棱锥的体积是A.108cm 3B.100cm 3C.92cm 3D.84cm 36.函数()sin cos 22f x x x x =+的最小正周期和振幅是 A. ,1π B. ,2π C. 2,1π D. 2,2π7.已知,,a b c R ∈，函数2()f x ax bx c =++.若(0)(4)(1)f f f =>，则A. 0,40a a b >+=B. 0,40a a b <+=C. 0,20a a b >+=D. 0,20a a b <+=8.已知函数()y f x =的图象是下列四个图象之一，且其导函数'()y f x =的图象如右图所示，则该函数的图象是9.如图，12,F F 是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦点，A ，B 分别12,C C 在第二、四象限的公共点。

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(浙江卷)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一．选择题1．已知i 是虚数单位，则=-+-)2)(1(i iA ．i +-3 B. i 31+- C. i 33+- D.i +-12．设集合}043|{},2|{2≤-+=->=x x x T x x S ，则=⋃T S C R )(A ．(2,1]- B. ]4,(--∞ C. ]1,(-∞ D.),1[+∞3．已知y x ,为正实数，则A.y x y x lg lg lg lg 222+=+B.y x y x lg lg )lg(222•=+C.y x y x lg lg lg lg 222+=•D.y x xy lg lg )lg(222•=4．已知函数),0,0)(cos()(R A x A x f ∈>>+=ϕωϕω，则“)(x f 是奇函数”是2πϕ=的A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D.既不充分也不必要条件5．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是59，则A.4=aB.5=aC. 6=aD.7=a6．已知210cos 2sin ,=+∈αααR ，则=α2tan A.34B. 43C.43-D.34-7．设0,P ABC ∆是边AB 上一定点，满足AB B P 410=，且对于边AB 上任一点P ，恒有（第5题图）C P B P 00•≥•。

则A. 090=∠ABCB. 090=∠BACC. AC AB =D.BC AC =8．已知e 为自然对数的底数，设函数)2,1()1)(1()(=--=k x e x f kx ，则A ．当1=k 时，)(x f 在1=x 处取得极小值B ．当1=k 时，)(x f 在1=x 处取得极大值C ．当2=k 时，)(x f 在1=x 处取得极小值D ．当2=k 时，)(x f 在1=x 处取得极大值 9．如图，21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点，B A ,分别是1C ，2C 在第二、四象限的公共点。

2013年高考数学全国卷1(完整版试题+答案+解析)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页．考试时间120分钟．满分150分．答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在第Ⅰ卷答题卡和第Ⅱ卷答题纸规定的位置．参考公式：样本数据n x x x ,,21的标准差nx x x x x x s n 22221)()()(-++-+-=其中x 为样本平均数球的面积公式24R S π=第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上． 2．第Ⅰ卷只有选择题一道大题．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.复数ii++121（i 是虚数单位）的虚部是 A ．23 B ．21C ．3D ．1 2.已知R 是实数集，{}11,12+-==⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=x y y N x xM ，则=M C N R A ．)2,1(B ．[]2,0C .∅D ．[]2,13.现有10个数，其平均数是4，且这10个数的平方和是200，那么这个数组的标准差是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．44.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，0852=-a a ，则=24S S A ．5 B ．8 C ．8- D ．15 5.已知函数)62sin()(π-=x x f ，若存在),0(π∈a ，使得)()(a x f a x f -=+恒成立，则a的值是A ．6π B ．3π C ．4π D ．2π 6.已知m 、n 表示直线，γβα,,表示平面，给出下列四个命题，其中真命题为（1）βααβα⊥⊥⊂=则,,,m n n m （2）m n n m ⊥==⊥则,,,γβγαβα （3）,,βα⊥⊥m m 则α∥β （4）βαβα⊥⊥⊥⊥则,,,n m n mA ．（1）、（2）B ．（3）、（4）C ．（2）、（3）D ．（2）、（4）7.已知平面上不共线的四点C B A O ,,,，若||,23BC AB OC OB OA -=等于A ．1B ．2C ．3D ．4 8.已知三角形ABC ∆的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为23，则这个三角形的周长是A ．18B ．21C ．24D ．15 9.函数xx x f 1lg )(-=的零点所在的区间是 A ．(]1,0 B ．(]10,1 C ．(]100,10 D ．),100(+∞ 10.过直线y x =上一点P 引圆22670x y x +-+=的切线，则切线长的最小值为A ．22 B ． 223 C ．210 D ．211.已知函数b ax x x f 2)(2-+=.若b a ,都是区间[]4,0内的数，则使0)1(>f 成立的概率是A ．43 B ．41 C ．83D ．8512.已知双曲线的标准方程为116922=-y x ，F 为其右焦点，21,A A 是实轴的两端点，设P 为双曲线上不同于21,A A 的任意一点，直线P A P A 21,与直线a x =分别交于两点N M ,,若0=⋅FN FM ,则a 的值为A ．916 B ．59 C ．925 D ．516题图第13第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：1．请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在第Ⅱ卷答题纸的指定位置．书写的答案如需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案．2．不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效．在试题卷上答题无效． 3．第Ⅱ卷共包括填空题和解答题两道大题．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13.如图所示的程序框图输出的结果为__________.14. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如下图所示，其在一个球面上，则该球的表面积为__________.15.地震的震级R 与地震释放的能量E 的关系为)4.11(lg 32-=E R ．2011年3月11日，日本东海岸发生了9.0级特大地震，2008年中国汶川的地震级别为8.0级，那么2011年地震的能量是2008年地震能量的倍． 16.给出下列命题： ①已知,,a b m都是正数，且bab a >++11，则a b <； ②已知()f x '是()f x 的导函数，若,()0x R f x '∀∈≥，则(1)(2)f f <一定成立； ③命题“x R∃∈，使得2210x x -+<”的否定是真命题； ④“1,1≤≤y x 且”是“2≤+y x ”的充要条件.其中正确命题的序号是 .(把你认为正确命题的序号都填上)第14题图三、解答题：本大题共６小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知向量),2cos 2sin 3()2cos ,1(y xx b x a +==→→与共线，且有函数)(x f y =．（Ⅰ）若1)(=x f ，求)232cos(x -π的值；（Ⅱ）在ABC ∆中，角C B A ,,,的对边分别是c b a ,,，且满足b c C a 2cos 2=+，求函数)(B f 的取值范围.18．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差,50,053=+≠S S d 且1341,,a a a 成等比数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a b 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T .已知四棱锥BCDE A -，其中1====BE AC BC AB ，2=CD ，ABC CD 面⊥，BE∥CD ，F 为AD 的中点. （Ⅰ）求证：EF ∥面ABC ；（Ⅱ）求证：面ACD ADE 面⊥；（III ）求四棱锥BCDE A -的体积.20.（本小题满分12分）在某种产品表面进行腐蚀性检验，得到腐蚀深度y 与腐蚀时间x 之间对应的一组数据：现确定的研究方案是：先从这6组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．（Ⅰ）求选取的2组数据恰好不相邻的概率；（Ⅱ）若选取的是第2组和第5组数据，根据其它4组数据，求得y 关于x 的线性回归方程26139134ˆ+=x y，规定由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2微米，则认为得到的线性回归方程是可靠的，判断该线性回归方程是否可靠．AB CDEF已知函数1)(2++=x bax x f 在点))1(,1(--f 的切线方程为03=++y x . （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）设x x g ln )(=，求证：)()(x f x g ≥在),1[+∞∈x 上恒成立.22.（本小题满分14分）实轴长为34的椭圆的中心在原点，其焦点1,2,F F 在x 轴上.抛物线的顶点在原点O ，对称轴为y 轴，两曲线在第一象限内相交于点A ,且12AF AF ⊥，△12AF F 的面积为3. （Ⅰ）求椭圆和抛物线的标准方程；（Ⅱ）过点A 作直线l 分别与抛物线和椭圆交于C B ,,若AB AC 2=,求直线l 的斜率k .参考答案及评分标准一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）B D B A D B B D BC C B二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）13．2 14.π31915. 2310 16. ①③三．解答题17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵→a 与→b 共线∴yxx x 2cos 2cos2sin 31=+21)6sin()cos 1(21sin 232cos 2cos 2sin 32++=++=+=πx x x x x x y …………3分∴121)6sin()(=++=πx x f ，即21)6sin(=+πx …………………………………………4分211)6(sin 21)3(cos 2)3(2cos )232cos(22-=-+=--=-=-ππππx x x x…………………………………………6分（Ⅱ）已知b c C a 2cos 2=+由正弦定理得：CA C A C C A C ABC C A sin cos 2cos sin 2sin cos sin 2)sin(2sin 2sin cos sin 2+=++==+∴21cos =A ，∴在ABC ∆中 ∠3π=A …………………………………………8分 21)6sin()(++=πB B f∵∠3π=A ∴320π<<B ,6566πππ<+<B …………………………………………10分∴1)6sin(21≤+<πB ,23)(1≤<B f ∴函数)(B f 的取值范围为]23,1( …………………………………………12分18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=⨯++⨯+)12()3(5025452233112111d a a d a d a d a …………………………………………2分解得⎩⎨⎧==231d a ， …………………………………………4分 1212)1(23)1(1+=+=-+=-+=∴n a n n d n a a n n 即，．……………………………6分(Ⅱ)13-=n nna b ，113)12(3--⋅+=⋅=n n n n n a b …………………………………………7分 123)12(37353-⋅+++⋅+⋅+=n n n T n n n n n T 3)12(3)12(3735333132⋅++⋅-++⋅+⋅+⋅=- ……………………9分n n n n T 3)12(3232323212+-⋅++⋅+⋅+=--nnn n n 323)12(31)31(3231⋅-=+---⋅+=- ∴nn n T 3⋅= …………………………………………12分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）取AC 中点G,连结FG 、BG ， ∵F,G 分别是AD,AC 的中点∴FG ∥CD,且FG=21DC=1 ．∵BE ∥CD ∴FG 与BE 平行且相等∴EF ∥BG ． ……………………………2分ABC BG ABC EF 面面⊂⊄,∴EF ∥面ABC ……………………………4分（Ⅱ）∵△ABC 为等边三角形 ∴BG ⊥AC 又∵DC ⊥面ABC,BG ⊂面ABC ∴DC ⊥BGABCDEF G∴BG 垂直于面ADC 的两条相交直线AC,DC ，∴BG ⊥面ADC ． …………………………………………6分 ∵EF ∥BG ∴E F ⊥面ADC∵EF ⊂面ADE ，∴面ADE ⊥面ADC ． …………………………………………8分（Ⅲ）连结EC,该四棱锥分为两个三棱锥E －ABC 和E －ADC ．43631232313114331=+=⨯⨯+⨯⨯=+=---ACD E ABC E BCDE A V V V ．………………………12分另法：取BC 的中点为O ，连结AO ，则BC AO ⊥，又⊥CD 平面ABC ,∴C CD BC AO CD =⊥ , , ∴⊥AO 平面BCDE ，∴AO 为BCDE A V -的高，43232331,2321)21(,23=⨯⨯=∴=⨯+==-BCDE A BCDE V S AO ． 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设6组数据的编号分别为1,2,3,4,5,6.设抽到不相邻的两组数据为事件A ，从6组数据中选取2组数据共有15种情况：（1,2）（1,3）（1,4）（1,5）（1,6）（2,3）（2,4）（2,5）（2,6）（3,4）（3,5）（3,6）（4,5）（4,6）（5,6），其中事件A 包含的基本事件有10种． …………………………………………3分所以321510)(==A P ．所以选取的2组数据恰好不相邻的概率是32． ………………………6分(Ⅱ) 当10=x 时，;2|1026219|,262192613910134ˆ<-=+⨯=y……………………………………9分当30=x 时，;2|1626379|,263792613930134ˆ<-=+⨯=y所以，该研究所得到的回归方程是可靠的． …………………………………………12分 21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）将1-=x 代入切线方程得2-=y ∴211)1(-=+-=-ab f ，化简得4-=-a b ． …………………………………………2分 222)1(2)()1()(x xb ax x a x f +⋅+-+='12424)(22)1(-===-+=-'bb a b a f ． …………………………………………4分解得：2,2-==b a∴122)(2+-=x x x f ． …………………………………………6分（Ⅱ）由已知得122ln 2+-≥x x x 在),1[+∞上恒成立化简得22ln )1(2-≥+x x x即022ln ln 2≥+-+x x x x 在),1[+∞上恒成立． …………………………………………8分设22ln ln )(2+-+=x x x x x h ，21ln 2)(-++='xx x x x h ∵1≥x ∴21,0ln 2≥+≥xx x x ，即0)(≥'x h ． …………………………………………10分 ∴)(x h 在),1[+∞上单调递增，0)1()(=≥h x h∴)()(x f x g ≥在),1[+∞∈x 上恒成立． …………………………………………12分22．（本小题满分14分）解（1）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，12,AF m AF n ==由题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=+6344222mn n m c n m …………………………………………2分解得92=c ，∴39122=-=b ．∴椭圆的方程为131222=+y x …………………………………………4分 ∵3=⨯c y A ，∴1=A y ,代入椭圆的方程得22=A x ，将点A 坐标代入得抛物线方程为y x 82=． …………………………………………6分（2）设直线l 的方程为)22(1-=-x k y ，),(),,(2211y x C y x B2013年高考数学全国卷1(完整版试题+答案+解析)- 11 - / 11 由AB AC 2= 得)22(22212-=-x x ，化简得22221=-x x …………………………………………8分联立直线与抛物线的方程⎪⎩⎪⎨⎧=-=-yx x k y 8)22(12，得0821682=-+-k kx x ∴k x 8221=+① …………………………………………10分联立直线与椭圆的方程⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-124)22(122y x x k y 得0821632)2168()41(2222=--+-++k k x k k x k ∴22241821622kk k x +-=+② …………………………………………12分 ∴2222418216)228(222221=++---=-kk k k x x 整理得：0)4121)(2416(2=+--k k k ∴42=k ，所以直线l 的斜率为42 ． …………………………………………14分。

2013浙江高考数学试卷

2013浙江高考数学试卷1. (1分)设A是集合$\{1,3,5,7\}$,B是集合$\{x|x=2k-1,k \in N \}$,则$A \cap B$是______答：$\{1, 3, 5, 7\} \cap \{1, 3, 5, 7\} = \{1, 3, 5, 7\}$2. (2分)若多项式$f(x)=x^3+ax^2+bx-3$与$g(x)=x^3+x^2-1$除以$(x-1)$的余数相同,就是说当$x=1$时，$f(x)$与$g(x)$的值相等，求$a+b$答：将$f(x)$与$g(x)$分别除以$(x-1)$，得到余数相同，即$f(1)=g(1)$代入$f(1)=g(1)$，即$a+b=1$3. (3分)已知等差数列$\{a_n\}$的前5项依次为$-3,4,11,18,25$，则$a_6=$____答：已知数列前五项为-3, 4, 11, 18, 25，可以列出方程组$$\begin{cases}a_1 = a + 0d = -3\\a_2 = a + 1d = 4\\a_3 = a + 2d = 11\\a_4 = a + 3d = 18\\a_5 = a + 4d = 25\end{cases}$$解得$a = -12, d=7$，故$a_6 = a_5 + d = 25 + 7 = 32$4. (4分)函数$f(x) = \frac{1}{2} x^3-3x^2+5x+m$ (a为常数)在$x=1$处的切线方程为$y=x+2$,求a的值答：切线方程为$y = x + 2$，则$f'(1) = 1$即$f'(x) = \frac{3}{2} x^2 - 6x + 5$，$f'(1) = \frac{3}{2} - 6 + 5 = 1$解得$a = 3$5. (5分)如图所示，正方形ABCD中点E,F,G,H依次连接，连接EH，交线段AF于点P，若AP:PF = 3:2,求BP:PF![](img)答：根据相似三角形性质，$\triangle AEP \sim \triangle CBP$，则$AP : EP = BP : CP$又根据AP:PF = 3:2，EP:PF = 3:2，所以EP = 3x，PF = 2x由$\triangle AEP \sim \triangle CBP$可知, $\frac{AP}{BP} =\frac{EP}{CP} = \frac{3x}{3x+2x} = \frac{3}{5}$即$BP:PF = 3:2$6. (6分)记$P_n=(2n^3-n^2-n)^k$,其中k>0，POQ为一单位正方形，且$\angle POQ=45^\circ$,正方形内部的角的度数之和为_______答：正方形内部的角的度数之和为$360^\circ$，且$POQ=135^\circ$，故其余角之和为$360^\circ - 135^\circ = 225^\circ$7. (7分)如下图，$AB\bot AC,AD=AC,BD・ BC=27,$则$BD+CD$的值为_______![](img)答：根据题意，$AD = AC$，则$AB = BC = 27^{\frac{1}{2}}$由勾股定理可知$BD = 9, CD = 3$，故$BD + CD = 12$8. (8分)如图所示，$AB//DC,DZ$是$BD$的中线，$\frac{AC}{BC} = 2:3$，求证：$AB = 2ZC$![](img)答：由题意，$DZ = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} AC$又$\frac{AC}{BC} = 2:3$，则$AC = 2k, BC = 3k, AB = 5k$又$DZ = \frac{1}{2} AC = k$故$AB = 2ZC$9. (9分)在$\triangle ABC$中，点$D$在$\overline{BC}$边上，$AD$平分角$A$，$m\angle B=45^\circ$,且$\angle CAD = 15^\circ$，$BD=2,DC=1$，则$AB:AC$的值为________答：根据正弦定理有$$\frac{AB}{\sin(150^\circ)} = \frac{BD}{\sin(60^\circ)} =\frac{2}{\sin(60^\circ)}$$$$\frac{AC}{\sin(15^\circ)} = \frac{DC}{\sin(120^\circ)} =\frac{1}{\sin(60^\circ)}$$即$AB = 2\sin(150^\circ) = 2\sin(30^\circ) = 1$$AC = \frac{1}{\sin(15^\circ)} = \frac{1}{\sin(180^\circ - 165^\circ)} = \frac{1}{\sin(15^\circ)} = 4$故$AB:AC = 1:4$10. (10分)已知群$G = \{1,2,3,4,5,6\}, ∗$为二元运算，满足$a∗b$是$a+b$的一半，$a,b \in G$，则$(G,∗)$是否构成群，并说明理由。

2013年浙江省高考数学(理科)试题(教师版含解析)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 是虚数单位，则(1i)(2i)-+-=（）.A ．3i -+ B. 13i -+ C. 33i -+ D. 1i -+ 分析直接利用复数的乘法法则运算求解.解析 ()()21i 2i 23i i 13i -+-=-+-=-+.故选B .2.设集合{}{}2|2,|340S x x T x x x =>-=+-，则()C S T =R （）.A. ]1,2(-B. ]4,(--∞C. ]1,(-∞D. ),1[+∞ 分析先求出集合S 的补集，同时把集合T 化简，再求它们的并集. 解析因为{}2S x x =-，所以{}2S x x =-R ≤，而{}41T x x =-≤≤，所以(){}{}{}2411S T x x x x x x =--=R≤≤≤≤.故选C.3.已知y x ,为正实数，则（）.A.y x yx lg lg lg lg 222+=+ B.lg()lg lg 222x y x y +=⋅C.lg lg lg lg 222x yx y ⋅=+ D.lg()lg lg 222xy x y =⋅分析利用指数幂及对数的运算性质逐项验证. 解析 A 项，lg lg lg lg 222x yx y +=⋅，故错误；B 项，()()lg lg lg lg lg lg 22222x y x y x y x y ⋅++⋅==≠，故错误；C 项，()lg lg lg lg 22yx yx ⋅=，故错误；D 项，()lg lg lg lg lg 2222xy x y x y +==⋅，正确. 故选D.4.已知函数()cos()(0,0,)f x A x A ωϕωϕ=+>>∈R ，则“)(x f 是奇函数”是π2ϕ=的（）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件分析先判断由()f x 是奇函数能否推出ϕπ=2，再判断由ϕπ=2能否推出()f x 是奇函数. 解析若()f x 是奇函数，则()00f =，所以cos 0ϕ=，所以()k k ϕπ=+π∈2Z ，故ϕπ=2不成立；开始结束若ϕπ=2，则()()cos sin 2f x A x A x ωωπ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，()f x 是奇函数.所以()f x 是奇函数ϕπ=2必要不充分条件.故B.5.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是59，则（）. A.4=a B.5=a C. 6=a D.7=a分析可依次求出1,2,3,k =时S 的值进行验证，也可以先求出S 的表达式，通过解方程求出k 的值.解析（方法一）由程序框图及最后输出的值是95可知：当1k =时， 1,S ka =不成立，故131,2122S k a =+==⨯不成立，故315,32233S k a =+==⨯不成立，故517,43344S k a =+==⨯不成立，故719,4455S =+=⨯此时5k a =成立，所以4a =.（方法二）由程序框图可知：()111111111111111212231223111S k k k k k k =++++=+-+-++-=+-=-⨯⨯++++，由95S =，得19215k -=+，解得4k =，故由程序框图可知4k a =不成立，5k a =成立，所以4a =.6.已知,sin 2cos 2ααα∈+=R ，则=α2tan （）. A.34 B. 43 C. 43- D. 34- 分析先利用条件求出tan α，再利用倍角公式求tan 2α.解析把条件中的式子两边平方，得225sin 4sin cos 4cos 2αααα++=，即233cos 4sin cos 2ααα+=，所以2223cos 4sin cos 3cos sin 2ααααα+=+，所以234tan 31tan 2αα+=+，即23tan 8tan 30αα--=，解得tan 3α=或1tan 3α=-，所以22tan 3tan 2tan 4ααα==--.故选C. 7.设0,ABC P △是边AB 上一定点，满足AB B P 410=，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B PC ⋅⋅.则（）. A.90ABC ∠= B. 90BAC ∠= C. AC AB = D.BC AC =分析根据向量投影的概念，对选项逐一验证排除不符合的选项.不妨设4AB =，则01P B =，03P A =.设点C 在直线AB 上的投影为点C '.解析 A 项，若90ABC ∠=︒，如图（1）所示，则2cos PB PC PB PC BPC PB ⋅=⋅∠=，2000P B P C P B ⋅=. 当点P 落在点0P 的右侧时，220PBP B ，即00PB PCP B PC ⋅⋅，不符合； B 项，若90BAC ∠=︒，如图（2）所示，则cos PB PC PB PC BPC PB PA ⋅=⋅∠=-，00003P B P A P B P A ⋅=-=-.当P 为AB 的中点时，4PB PC ⋅=-，00PB PCP B P C ⋅，不符合；C 项，若AB AC =，假设120BAC ∠=︒，如图（3）所示，则2AC '=，PB PC PB PC ⋅=⋅cos BPC PB PC ∠=-，0000000cos 5P B P C P B P C BP C P B P C ⋅=∠=-=-.当P 落在A 点时，8PB PC -=-，所以00PB PCP B PC ⋅⋅，不符合，故选D. 8.已知e 为自然对数的底数，设函数()(e 1)(1)(1,2)xkf x x k =--=，则（）.A. 当1=k 时，)(x f 在1=x 处取得极小值B. 当1=k 时，)(x f 在1=x 处取得极大值C. 当2=k 时，)(x f 在1=x 处取得极小值D. 当2=k 时，)(x f 在1=x 处取得极大值分析分别求出1,2k =时函数的导数，再判断()0f x '=是否成立及1x =两侧导数的符号，进而确定极值.解析当1k =时，()()()e 11x f x x =--，则()()()e 1e 1e 1x x xf x x x '=-+-=-，所以()1e 10f '=-≠，所以()1f 不是极值.图（1）P 0PB (C')CA图（2）BC A (C')P P 0A P 0（P ）C'CB图（3）当2k =时，()()()2e 11x f x x =--，则()()()()2e 12e 11x xf x x x '=-+--= ()()()()2e 1211e 12x xx x x x ⎡⎤---=-+-⎣⎦，所以()10f '=，且当1x 时，()10f '；在1x =附近的左侧，()0f x '，所以()1f 是极小值.故选C.9. 如图所示，21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点，B A ,分别是1C ，2C 在第二.四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形，则2C 的离心率是（ A.2 B. 3C. 23D.26分析由椭圆可求出12AF AF +，由矩阵求出2212AF AF +，再求出21AF AF -即可求出双曲线方程中的a ，进而求得双曲线的离心率.解析由椭圆可知124AF AF +=，12FF =因为四边形12AF BF 为矩形，所以222121212AF AF F F +==，所以()()222121212216124AF AF AF AF AF AF =+-+=-=，所以()22221121221248AF AF AF AF AF AF -=+-=-=，所以21AF AF -=a =c =所以2C的离心率c e a ==.故选D. 10. 在空间中，过点A 作平面π的垂线，垂足为B ，记π()B f A =.设βα,是两个不同的平面，对空间任意一点P ，[]12(),()Q f f P Q f f P βααβ⎡⎤==⎣⎦，恒有21PQ PQ =，则（）.A. 平面α与平面β垂直B. 平面α与平面β所成的（锐）二面角为45C. 平面α与平面β平行D. 平面α与平面β所成的（锐）二面角为60 分析根据新定义及线面垂直知识进行推理.解析设()1P f P α=，()2P f P β=，则1PP α⊥，11PQ β⊥，2PP β⊥，22P Q α⊥. 若//αβ，则1P 与2Q 重合、2P 与1Q 重合，所以12PQ PQ ≠，所以α与β相交.设al β=，由俯视图侧视图122//PP P Q ，所以122,,,P P P Q 四点共面.同理121,,,P P P Q 四点共面.所以1212,,,,P P P Q Q 五点共面.且α与β的交线l 垂直于此平面.又因为12PQ PQ =，所以12,Q Q 重合且在l 上，四边形112PPQ P 为矩形.那么112PQ P π∠=2为二面角--l αβ的平面角，所以αβ⊥.故选A . 二.填空题11.设二项式5的展开式中常数项为A ，则=A ________.分析写出二项展开式的通项1r T +，令通项中x 的指数为零，求出r ，即可求出A . 解析()55526155C C 1rrrr rr r T x --+⎛==- ⎝，令55026r -=，得3r =，所以35C 10A =-=-. 12.若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积等于________2cm .分析根据三视图还原出几何体，再根据几何体的具体形状及尺寸求体积.解析由三视图可知该几何体为一个直三棱柱被截去了一个小三棱锥，如图所示.三棱术的底面为直角三角形，且直角边长分别为3和4，三棱柱的高为5，故其体积()31134530cm 2V =⨯⨯⨯=，小三棱锥的底面与三棱柱的上底面相同，高为3，故其体积()32113436cm 32V =⨯⨯⨯⨯=，所以所求几何体的体积为()330624cm -=.13.设y kx z +=，其中实数y x ,满足20240240x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩，若z 的最大值为12，则实数=k ________.分析画出可行域，分类讨论确定出最优解，代入最大值即可求出k 的值. 解析作出可行域如图阴影部分所示：由图可知当102k-≤时，直线y kx z =-+经过点()4,4M 时z 最大，所以4412k +=，解得2k =（舍去）；当12k -≥时，直线y kx z =-+经过点()0,2时z 最大，此时z 的最大值为2，不合题意；当0k-时，直线y kx z=-+x 4MBCA经过点()4,4M 时z 最大，所以4412k +=，解得2k =，符合题意.综上可知，2k =.14.将F E D C B A ,,,,,六个字母排成一排，且B A ,均在C 的同侧，则不同的排法共有________种（用数字作答）分析按C 的位置分类计算.解析 ①当C 在第一或第六位时，有55A 120=（种）排法；②当C 在第二或第五位时，有2343A A 72=（种）排法； ③当C 在第三或第四位时，有23232333A A A A 48+=（种）排法.所以共有()21207248480⨯++=（种）排法.15.设F 为抛物线x y C 4:2=的焦点，过点)0,1(-P 的直线l 交抛物线C 于两点B A ,，点Q 为线段AB 的中点，若2||=FQ ，则直线l 的斜率等于________. 答案：1±（特别说明：根据已公布答案，斜率等于1±代入题干可得抛物线C 与直线l 相切，与题干中“直线l 交抛物线C 于,A B 两点”矛盾.——编者注）16.ABC △中，90C ∠=，M 是BC 的中点，若31sin =∠BAM ，则=∠BAC sin ________. 分析画出图形，确定已知量和待求量所在的三角形，利用正弦定理求解. 解析因为1sin 3BAM ∠=，所以cos 3BAM ∠=.如图所示，在ABM △中，利用正弦定理，得sin sin BM AM BAM B =∠，所以sin sin BM BAM AM B ∠=113sin 3cos B BAC==∠. 在Rt ACM △中，有()sin sin CMCAM BAC BAM AM=∠=∠-∠.由题意知BM CM =，所以()1sin 3cos BAC BAM BAC=∠-∠∠.化简，得2cos cos 1BAC BAC BAC ∠∠-∠=.所以211tan 1BAC BAC ∠-=∠+，解得tan BAC ∠=. 再结合22sin cos 1BAC BAC ∠+∠=，BAC ∠为锐角可解得sin 3BAC ∠=.17. 设12,e e 为单位向量，非零向量12,,x y x y =+∈R b e e ，若12,e e 的夹角为π6，则||||x b 的最大值等于________. 分析为了便于计算可先求2x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭b 的范围，再求xb 的最值.解析根据题意，得()()()1222222212122x x x x y xy x y ⎛⎫=== ⎪ ⎪++⋅+⎝⎭b e e e e e e22222cos 6x x y xy =π++2114y x ==⎛+ ⎝⎭⎝⎭.因为211244y x ⎛++ ⎝⎭≥，所以204x ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭≤b ，所以02x ≤b.故x b的最大值为2.18.在公差为d 的等差数列{}n a 中，已知101=a ，且123,22,5a a a +成等比数列. （1）求,n d a ；（2）若0<d ，求.||||||||321n a a a a ++++分析（1）用1,a d 把23,a a 表示出来，利用123,22,5a a a +成等比数列列方程即可解出d ，进而根据等差数列的通项公式写出n a .（2）根据（1）及0d确定数列的通项公式，确定n a 的符号，以去掉绝对值符号，这需要对n 的取值范围进行分类讨论.解析（1）由题意得，()2132522a a a ⋅=+，由110a =，{}n a 为公差为d 的等差数列得，2340d d --=，解得1d =-或4d =.所以()*11n a n n =-+∈N 或()*46n a n n =+∈N .设数列{}n a 的前n 项和为n S . 因为0d，由（1）得1d =-，11n a n =-+，所以当11n ≤时，123n a a a a ++++=212122n S n n =-+；当12n ≥时，212311121211022n n a a a a S S n n ++++=-+=-+.综上所述，123n a a a a ++++ 22121,11,22121110,12.22n n n n n n ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩≤≥ 19.设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球2分，取出蓝球得3分.（1）当1,2,3===c b a 时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，.求ξ分布列；（2）从该袋子中任取（且每球取到的机会均等）1个球，记随机变量η为取出此球所得分数.若95,35==ηηD E ，求.::c b a分析（1）对取出球的颜色进行分类以确定得分值，进而确定随机变量ξ的取值，计算相应的概率，再列出分布列；（2）先用,,a b c 表示出随机事件的概率，列出随机变量η的分布列，求出数学期望和方差，再把条件代入，列方程组求出,,a b c 的关系.解析（1）由题意得2,3,4,5,6ξ=.故()33124P ξ⨯===6⨯6， ()232133P ξ⨯⨯===6⨯6，()231225418P ξ⨯⨯+⨯===6⨯6，()221159P ξ⨯⨯===6⨯6，()111636P ξ⨯===6⨯6.所以ξ的分布列为（2QPMDBA所以2353a b c E a b c a b c a b c η=++=++++++,22255551233339a b c D a b c a b c a b c η⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅+-⋅+-⋅= ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简得240,4110.a b c a b c --=⎧⎨+-=⎩解得3a c =，2b c =，故::3:2:1a b c =.20. 如图，在四面体BCD A -中，⊥AD 平面BCD ，22,2,==⊥BD AD CD BC .M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且QC AQ 3=. （1）证明：//PQ 平面BCD ；（2）若二面角D BM C --的大小为60，求BDC ∠的大小.分析立体几何题目一般有两种思路：传统法和向量法.传统法是借助立体几何中的相关定义、定理，通过逻辑推理证明来完成.（1）要证明线面平行，根据判定定理可通过证明线线平行来实现；（2）求二面角要先找到或作出二面角的平面角，再通过解三角形求解.向量法则是通过建立空间直角坐标系，求出相关的坐标，利用向量的计算完成证明或求解.直线一般求其方向向量，平面一般求其法向量.（1）只要说明直线的方向向量与对应平面的法向量垂直即可；（2）二面角的大小即为两个平面的法向量的夹角或其补角. 解析方法一：（1）如图（1）所示，取BD 的中点O ，在线段CD 上取点F ，使得3DF FC =，连接,,OP OF FQ .因为3AQ QC =，所以//QF AD ，且14QF AD =. 因为,O P 分别为,BD BM 的中点，所以OP 是BDM △的中位线，所以//,OP DM 且12OP DM =.又点M 为AD 的中点，所以//OP AD ，且14OP AD =.从而//OP FQ ，且OP FQ =，所以四边形OPQF 为平行四边形，故//PQ OF .又PQ BCD ⊄平面，OF BCD ⊂平面，所以//PQ BCD 平面.（2）如图（1）所示，作CG BD ⊥于点G ，作GH BM ⊥于点H ，连接CH . 因为AD BCD ⊥平面，CG BCD ⊂平面，所以AD CG ⊥.又CG BD ⊥，AD BD D =，故CG ABD ⊥平面.又BM ABD ⊂平面，所以CG BM ⊥.又,GH BM CG GH G ⊥=，故BM CGH ⊥，所以,GH BM CH BM ⊥⊥.O图（1）QGMH PF DC BAx图（2）所以CHG ∠为二面角--C BM D 的平面角，即60CHG ∠=︒.设BDC θ∠=，在Rt BCD △中，cos ,sin sin CD BD CG CD θθθθθ====，2sin ,sin BC BD BG BC θθθθ====.在BGM △中，BG DM HG BM ⋅==.因为CG ABD ⊥平面，GH ABD ⊂平面，所以CG GH ⊥. 在Rt CHG △中，3cos tan sin CG CHG HG θθ∠===.所以tan θ=.从而60θ=︒.即60BDC ∠=︒.方法二：（1）如图（2）所示，取BD 的中点O ，以O 为原点，,OD OP 所在的射线为,y z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系-O xyz .由题意知()()(),0,,A B D . 设点C 的坐标为()00,,0x y ，因为3AQ QC =，所以0031,42Q x y ⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭. 因为点M 为AD的中点，故()M .又点P 为BM 的中点，故10,0,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以0033,,0444PQ x y ⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭.又平面BCD 的一个法向量为()0,0,1=a ，故0PQ ⋅=a .又PQ BCD ⊄平面，所示//PQ BCD 平面.（2）设(),,x y z =m 为平面BMC 的一个法向量.由()()00,2,1,0,2CMx y BM =--=，知)000,0.x x y y z z ⎧-++=⎪⎨⎪+=⎩取1y =-，得00,1,y m x ⎛=- ⎝.又平面BDM 的一个法向量为()1,0,0=n ，于是1cos ,2⋅===m nm n m n，即2003y x ⎛+= ⎝⎭. ①又BC CD ⊥，所以0CB CD ⋅=，故()()0000,,0,00x y x y -⋅-=，即22002x y +=. ②联立①②，解得000,x y=⎧⎪⎨=⎪⎩002x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以tan BDC ∠==又BDC ∠是锐角，所以60BDC ∠=︒.21. 如图，点)1,0(-P 是椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C 的一个顶点，1C 的长轴是圆4:222=+y x C 的直径.12,l l 是过点P 且互相垂直的两条直线，其中1l 交圆2C 于两点，2l 交椭圆1C 于另一点D . （1）求椭圆1C 的方程；（2）求ABD ∆面积取最大值时直线1l 的方程.分析（1）根据椭圆的几何性质易求出,a b 的值，从而写出椭圆的方程；（2）要求ABD △的面积，需要求出,AB PD 的长，AB 是圆的弦，考虑用圆的知识来求，PD 应当考虑用椭圆的相当知识来求.求出,AB PD 的长后，表示出ABD △的面积，再根据式子的形式选择适当的方法求最值.解析（1）由题意得1,2.b a =⎧⎨=⎩所以椭圆C 的方程为2214x y +=. （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,D x y .由题意知直线1l 的斜率存在，不妨设其为k ，则直线1l的方程为1y kx =-.又圆222:4C x y +=，故点O 到直线1l的距离d =，所以AB ==又21l l ⊥，故直线2l 的方程为0x kx k ++=. 由220,44x ky k x y ++=⎧⎨+=⎩消去y ，整理得()22480k x kx ++=，故0284kx k =-+，所以24PD k =+.设ABD △的面积为S，则2124S AB PD k=⋅=+，所以3213S ==当且仅当2k =±时取等号.所以所求直线1l的方程为12y x =±-. 22. 已知a ∈R ，函数.3333)(23+-+-=a ax x x x f （1）求曲线)(x f y =在点()1,(1)f 处的切线方程；（2）当]2,0[∈x 时，求|)(|x f 的最大值.分析（1）切点处的导数值即为切线的斜率，求导后计算出斜率，写出切线方程即可；（2）要确定()f x 的最大值，首先要确定()f x 的最值. ()f x 的最值又是由其单调性决定的，所以要先利用导数确定()f x 的单调性，在确定函数单调性时，要注意考虑极值点是否在所给区间内，不确定时需要分类讨论.解析（1）由题意()2363f x x x a '=-+，故()133f a '=-.又()11f =，所以所求的切线方程为()3334y a x a =--+.（2）由于()()()23131,02f x x a x '=-+-≤≤，故①当0a ≤时，有()0f x '≤，此时()f x 在[]0,2上单调递减，故()()(){}max max 0,233f x f f a ==-.②当1a ≥时，有()0f x '≥，此时()f x 在[]0,2上单调递增，故()()(){}maxmax 0,231f x f f a ==-.③当01a 时，设11x =21x =则1202x x ，()()()123f x x x x x '=--.由于()(1121f x a =+-()(2121f x a =--. 故()()1220f x f x +=，()()(12410f x f x a -=-，从而()()12f x f x .所以()()()(){}1maxmax 0,2,f x f f f x =.①当23a时，()()02f f .又()()(()2134021220a a f x f a a--=--=，故()()(1max121f x f x a ==+-.②当213a ≤时，()()22f f =，且()()20f f ≥.又()()(()213422132a a f x f a a --=--=，所以ⅰ.当2334a ≤时，()()12f x f .故()()(1max 121f x f x a ==+-ⅱ.当314a ≤时，()()12f x f ≤.故()()max 231f x f a ==-.综上所述，()(max33,00,31210,4331,.4a f x a aa a ⎧⎪-⎪⎪=+-⎨⎪⎪-⎪⎩≤≥。

2013年高考文科数学浙江卷试题与答案word解析版

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(浙江卷)选择题部分(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013浙江，文1)设集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则S∩T＝( )．A．[－4，＋∞) B．(－2，＋∞) C．[－4,1] D．(－2,1]2．(2013浙江，文2)已知i是虚数单位，则(2＋i)(3＋i)＝( )．A．5－5i B．7－5i C．5＋5i D．7＋5i3．(2013浙江，文3)若α∈R，则“α＝0”是sin α＜cos α”的( )．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．(2013浙江，文4)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面( )．A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥α D．若m∥α，α⊥β，则m⊥β5．(2013浙江，文5)已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )．A．108 cm3 B．100 cm3 C．92 cm3 D．84 cm36．(2013浙江，文6)函数f(x)＝sin x cos x x的最小正周期和振幅分别是( )．A．π，1 B．π，2 C．2π，1 D．2π，27．(2013浙江，文7)已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)＞f(1)，则( )．A．a＞0,4a＋b＝0 B．a＜0,4a＋b＝0 C．a＞0,2a＋b＝0 D．a＜0,2a＋b＝08．(2013浙江，文8)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如右图所示，则该函数的图象是( )．9．(2013浙江，文9)如图，F1，F2是椭圆C1：24x＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是( )．ABC ．32 D．210．(2013浙江，文10)设a ，b ∈R ，定义运算“∧”和“∨”如下：a ∧b ＝,,,,a a b b a b ≤⎧⎨>⎩a ∨b ＝,,,.b a b a a b ≤⎧⎨>⎩若正数a ，b ，c ，d 满足ab ≥4，c ＋d ≤4，则( )． A ．a ∧b≥2，c ∧d≤2 B ．a ∧b≥2，c ∨d≥2 C ．a ∨b≥2，c ∧d≤2 D ．a ∨b≥2，c ∨d≥2非选择题部分(共100分)二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．(2013浙江，文11)已知函数f (x )若f (a )＝3，则实数a ＝__________.12．(2013浙江，文12)从3男3女共6名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等)，这2名都是女同学的概率等于__________．13．(2013浙江，文13)直线y ＝2x ＋3被圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0所截得的弦长等于__________． 14．(2013浙江，文14)若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于__________．15．(2013浙江，文15)设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足2,240,240.x x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩若z 的最大值为12，则实数k ＝__________.16．(2013浙江，文16)设a ，b ∈R ，若x ≥0时恒有0≤x 4－x 3＋ax ＋b ≤(x 2－1)2，则ab ＝__________.17．(2013浙江，文17)设e 1，e 2为单位向量，非零向量b ＝x e 1＋y e 2，x ，y ∈R .若e 1，e 2的夹角为π6，则||||x b 的最大值等于__________．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．(2013浙江，文18)(本题满分14分)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a sin B. (1)求角A 的大小；(2)若a ＝6，b ＋c ＝8，求△ABC 的面积．19．(2013浙江，文19)(本题满分14分)在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列． (1)求d ，a n ；(2)若d ＜0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n|.20．(2013浙江，文20)(本题满分15分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB ＝BC ＝2，AD ＝CD PA ，∠ABC ＝120°，G 为线段PC 上的点．(1)证明：BD ⊥平面APC ；(2)若G 为PC 的中点，求DG 与平面APC 所成的角的正切值；(3)若G 满足PC ⊥平面BGD ，求PGGC的值．21．(2013浙江，文21)(本题满分15分)已知a ∈R ，函数f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax . (1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)若|a |＞1，求f (x )在闭区间[0,2|a |]上的最小值．22．(2013浙江，文22)(本题满分14分)已知抛物线C的顶点为O(0,0)，焦点为F(0,1)．(1)求抛物线C的方程；(2)过点F作直线交抛物线C于A，B两点．若直线AO，BO分别交直线l：y＝x－2于M，N两点，求|MN|的最小值．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(浙江卷)选择题部分(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案：D解析：集合S 与集合T 都表示连续的实数集，此类集合的运算可通过数轴直观表示出来.，故S ∩T ＝{x |－2＜x ≤1}，故选D. 2．答案：C解析：(2＋i)(3＋i)＝6＋5i ＋i 2，因为i 2＝－1，所以(2＋i)(3＋i)＝5＋5i ，故选C. 3．答案：A解析：当α＝0时，sin α＜cos α成立；若sin α＜cos α，α可取π6等值，所以“α＝0”是“sin α＜cos α”的充分不必要条件．故选A.4．答案：C解析：A 选项中直线m ，n 可能平行，也可能相交或异面，直线m ，n 的关系是任意的；B 选项中，α与β也可能相交，此时直线m 平行于α，β的交线；D 选项中，m 也可能平行于β.故选C. 5．答案：B解析：由三视图可知，该几何体是如图所示长方体去掉一个三棱锥，故几何体的体积是6×3×6－13×12×3×42＝100(cm 3)．故选B.6．答案：A解析：由y ＝sin x cos x ＋2cos 2x ＝12sin 2x ＋2cos 2x ＝πsin 23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为ω＝2，所以T ＝2πω＝π，又观察f (x )可知振幅为1，故选A.7．答案：A解析：由f (0)＝f (4)知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 对称轴为x ＝2，即22ba-=.所以4a ＋b ＝0，又f (0)＞f (1)且f (0)，f (1)在对称轴同侧，故函数f (x )在(－∞，2]上单调递减，则抛物线开口方向朝上，知a ＞0，故选A.8．答案：B解析：由导函数图象知，函数f (x )在[－1,1]上为增函数．当x ∈(－1,0)时f ′(x )由小到大，则f (x )图象的增长趋势由缓到快，当x ∈(0,1)时f ′(x )由大到小，则f (x )的图象增长趋势由快到缓，故选B. 9．答案：D解析：椭圆C 1中，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝4，|F 1F 2|＝2c ＝又四边形AF 1BF 2为矩形，∴∠F 1AF 2＝90°，∴|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2，∴|AF 1|＝2，|AF 2|＝2C 2中，2c ＝2a ＝|AF 2|－|AF1|＝e==，故选D.10．答案：C解析：由题意知，运算“∧”为两数中取小，运算“∨”为两数中取大，由ab≥4知，正数a，b中至少有一个大于等于2.由c＋d≤4知，c，d中至少有一个小于等于2，故选C.非选择题部分(共100分)二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．答案：10解析：由f(a)3，得a－1＝9，故a＝10.12．答案：1 5解析：从3男，3女中任选两名，共有15种基本情况，而从3女中任选2名女同学，则有3种基本情况，故所求事件的概率为31 155=.13．答案：解析：圆的圆心为(3,4)，半径是5，圆心到直线的距离d==，可知弦长l==.14．答案：95解析：该程序框图为循环结构．当k＝1时，S＝1＋112⨯＝32；当k＝2时，3152233S=+=⨯；当k＝3时，5173344S=+=⨯；当k＝4时，7194455S=+=⨯，循环结束，输出95S=.15．答案：2解析：满足条件2,240,240xx yx y≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩的区域D如图阴影部分所示，且A(2,3)，B(4,4)，C(2,0)．作直线l0：y ＝－kx，当k＞0时，y＝－kx为减函数，在B处z最大，此时k＝2；当k＜0时，y＝－kx为增函数，当－k∈10,2⎛⎫⎪⎝⎭时，在B处z取最大值，此时k＝2(舍去)；当－k＞12时，在A处取得最大值，92k=(舍去)，故k＝2.16．答案：－1解析：令x＝1，得0≤1－1＋a＋b≤0，整理，得a＋b＝0，①令x＝－1，得0≤1－(－1)－a＋b≤0，整理，得a－b＝2，②解①②组成的方程组，得1,1. ab=⎧⎨=-⎩∴ab＝－1.17．答案：2解析：因为b≠0，所以b＝x e1＋y e2，x≠0，y≠0.又|b|2＝(x e1＋y e2)2＝x2＋y2＋xy，22222||1||1xyx==++b，不妨设ytx=，则22||||x=bt=t2＋1取得最小值14，此时22||||xb取得最大值，所以||||xb的最大值为2.三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．解：(1)由2a sin B及正弦定理sin sina bA B=，得sin A＝2.因为A是锐角，所以π3A=.(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得b2＋c2－bc＝36.又b＋c＝8，所以283bc=.由三角形面积公式S＝12bc sin A，得△ABC.19．解：(1)由题意得5a3·a1＝(2a2＋2)2，即d2－3d－4＝0.故d＝－1或d＝4.所以a n＝－n＋11，n∈N*或a n＝4n＋6，n∈N*.(2)设数列{a n}的前n项和为S n，因为d＜0，由(1)得d＝－1，a n＝－n＋11.则当n≤11时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a n|＝S n＝212122n n-+.当n≥12时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a n|＝－S n＋2S11＝212122n n-＋110.综上所述，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a n|＝22121,11,22121110,12.22n n nn n n⎧-+≤⎪⎪⎨⎪-+≥⎪⎩20．解：(1)设点O为AC，BD的交点．由AB＝BC，AD＝CD，得BD是线段AC的中垂线．所以O为AC的中点，BD⊥AC.又因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD.所以BD⊥平面APC.(2)连结OG.由(1)可知OD⊥平面APC，则DG在平面APC内的射影为OG，所以∠OGD是DG与平面APC所成的角．由题意得OG ＝12PA＝2.在△ABC 中，AC＝所以OC ＝12AC在直角△OCD 中，OD2.在直角△OGD 中，tan ∠OGD＝3OD OG =. 所以DG 与平面APC所成的角的正切值为3.(3)连结OG .因为PC ⊥平面BGD ，OG ⊂平面BGD ，所以PC ⊥OG . 在直角△PAC 中，得PC所以GC＝AC OC PC ⋅=从而PG，所以32PG GC =.21．解：(1)当a ＝1时，f ′(x )＝6x 2－12x ＋6，所以f ′(2)＝6.又因为f (2)＝4，所以切线方程为y ＝6x －8.(2)记g (a )为f (x )在闭区间[0,2|a |]上的最小值． f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ＝6(x －1)(x －a )．令f ′(x )＝0，得到x 1＝1，x 2＝a . 当a ＞1比较f (0)＝0和f (a )＝a 2(3－a )的大小可得g (a )＝23, 3.a a a ⎧⎨(-)>⎩当a ＜－1得g (a )＝综上所述，f (x )在闭区间[0,2|a |]上的最小值为g (a )＝231,1,0,13,3, 3.a a a a a a -<-⎧⎪<≤⎨⎪(-)>⎩22．解：(1)由题意可设抛物线C 的方程为x 2＝2py (p ＞0)，则12p=，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋1. 由21,4y kx x y=+⎧⎨=⎩消去y ，整理得x 2－4kx －4＝0，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4. 从而|x 1－x 2|＝.由11,2,y y x x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩解得点M 的横坐标1121111122844M x x x x x y x x ===---. 同理点N 的横坐标x N ＝284x -. 所以|MN ||x M －x N |284x -＝令4k －3＝t ，t ≠0，则34t k +=. 当t ＞0时，|MN |＝当t ＜0时，|MN |＝≥综上所述，当253t =-，即43k =-时，|MN |。

2013-2014第一学年期末考试高数C参考答案

2013—2014学年第一学期高等数学期末考试试题参考答案一、选择题（每小题4分，共20分）D B D C A二、填空题（每小题4分，共20分）1.（0，2）2. cos sin x dy xe dx =-3. (1)x e x C --++4.15.0 三、计算题（每小题5分，共20分） 1. 31lim (2cos )1x x x x →∞++-解：由于2333111lim lim 0111x x x x x x x →∞→∞++==--或者3211lim lim 013x x x x x →∞→∞+==-―――（2分） 2cos x +为x →∞时的有界量，――――――――――――――（4分）所以原式极限为0. ―――――――――――――――――――（5分） 2.设0x >时，可导函数()f x 满足：13()2()f x f x x+=，求'()f x (0)x > 令1t x =，则原式变为：1()2()3f f t t t +=――――――――――――――――――――――（2分）连立得13()2(),1()2()3f x f x x f f x x x⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得1()2f x x x =-―――――――――（4分）所以21()2f x x '=+. ――――――――――――――――――――（5分） 3.设2cos xy e x =，求y '' 解：21(cos sin )2x y e x x '=-―――――――――――――――――（3分）23[cos sin ]4x y e x x ''=-+―――――――――――――――――――（5分）4.x 011lim()1x x e →-- 解：原式=x 01lim (1)x x e x x e →---――――――――――――――――――（1分） =01lim (1)1x x x e e x →-+-―――――――――――――――――（3分） =01lim 2x x →+=12――――――――――――――――――（5分）四．计算题（每小题5分，共20分） 1.2arctan 1x x dx x ++⎰解：原式=22arctan 11x x dx dx x x +++⎰⎰――――――――――――――（1分） =2211(1)arctan arctan 21d x xd x x+++⎰⎰―――――――――――――（3分） =221[ln(1)(arctan )]2x x +++C ―――――――――――――――――（5分） 2.2156dx x x -+⎰ 解：原式=11()32dx x x ---⎰―――――――――――――――――（3分） =3ln2x C x -+-―――――――――――――――――――（5分） 3.3cos()3x dx πππ+⎰解：法一：原式=3cos()()33x d x ππππ++⎰―――――――――――（2分）=3sin()3x πππ+――――――――――――――――――（4分）=（5分）法二：原式=3cos()()33x d x ππππ++⎰――――――――――――――――（2分） 43323cos x tdt πππ+==⎰t=换元―――――――――――――――――――（4分）4323sin tππ=-=――――――――――――――――――（5分） 4.120arcsin xdx ⎰解：原式=1212001arcsin 2x x +⎰―――――――――――――（2分）=12π――――――――――――――――――（4分）=122π+――――――――――――――――――――（5分）五．求由抛物线21y x =+与直线1y x =+所围成的面积.解：如图所示――――――――――――――――――――――（2分）联立方程，解出交点：（0，1）（1，2）――――――――（6分）积分：1122300111()()236x x dx x x -=-=⎰―――――――――――（10分）六．某服装有限公司确定，为卖出x 套服装，其单价为1500.5p x =-.同时还确定，生产x 套服装的总成本为：2()40000.25C x x =+.（10分）(1)写出边际成本'()C x 的表达式；(2)求总利润()L x 以及边际利润'()L x ；(3)服装产量x 为多少时，利润达到最大，最大利润是多少？解：1.()0.5C x x '=――――――――――――――――――――（2分） 2.2()()()0.751504000L x R x C x x x =-=-+-―――――――（4分） () 1.5150L x x '=-+――――――――――――――――――――（6分）3.令()0L x '=得到唯一驻点100x =，由题设可知此唯一驻点即使总利润最大时的服装产量，则(100)3500L =――――――――――――――――（10分）。

2013年专升本高数真题答案解析(浙江)

浙江省2013年选拔优秀高职高专毕业生进入本科学习统一考试高等数学参考答案选择题部分一、选择题:本大题共5小题,每小题4分,共20分。

题号12345答案AADDB1.A 解析:因为1)2sin(cos1≤≤-x，所以函数)2sin(cos )(x x f =是有界函数，而且是非奇非偶函数，非周期函数，所以选项A 正确。

2.A 解析:由可积的充要条件可知，函数)(x f 在闭区间]5,1[上的连续，可推得)(x f 在闭区间]5,1[上可积，所以选项A 正确。

3.D 解析:()()2cos sin sin )(sin cos 0000-==-==⎰⎰⎰πππππx xdx x x x xd xdx x ，可见选项D 正确。

4.D 解析:根据题意可知：6121322132211231=-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⎰x dx x ，所以选项D 正确。

5.B 解析:21x e x f x 2sin 23)(2=，（利用公式x x x 2sin 21cos sin =），故设特解为:)2sin 2cos(2x b x a e y x +=*，可见选项B 正确。

非选择题部分二、填空题:本大题共10小题，每小题4分，共40分。

6.0解析:0)cos(2lim )()sin()cos(2lim 1)sin(ln lim )sin(ln lim 2022202020=-=-⋅==→→→→x x x x x x xx x x x x x x7.[]()2,(21)ππ+∈k k k z 解析:由0sin 1≤≤x ，解得()2(21)ππ≤≤+∈k x k k z 8.2-解析:000(1)(1)(1)(1)(1)(1)limlim lim ∆→∆→∆→-∆-+∆-∆--+∆=+∆∆∆x x x f x f x f x f f f x x x x0(1)(1)(1)(1)limlim 2(1)2∆→∆→-∆--+∆'=--=-=--∆-∆x x f x f f f x f x x9.yxe e y ycos 1sin sin -解析:隐函数方程求导可知，方程sin 1=+yy xe两边同时对x 求导，得：sin sin cos ''=+⋅yyy e xey y ，即：yxe e y y ycos 1sin sin -='10.C x +ln ln （C 为任意常数）解析:(ln )ln ln ln ln ==+⎰⎰dx d x x C x x x （C 为任意常数）11.1sin ⎰x xdx解析:利用定积分的定义求极限可知，原式10111122331lim (sin sin sin sin1)lim sin sin →∞→∞==+++⋅⋅⋅+=⋅=∑⎰n n n i n i i x xdxn n n n n n n n n nn 12.(1,1)-解析:2123211lim )()(lim )(x x n n x x u x u x n n n nn n =⋅+==++∞→+∞→ρ，令1)(2<=x x ρ，解得：()1,1-∈x ，因此收敛区间为：()1,1-13.])([1)()(C dx e x Q eydx x P dxx P +⎰⎰⋅-⎰=-（C 为任意常数）解析:由伯努利方程，令y z 1=，z y 1=，dxdzz dx dy ⋅-=21，所以原方程可化为：221)(1)(1z x Q z x P dx dz z ⋅=⋅+⋅-，即：)()(x Q z x P dxdz -=⋅-，由一阶线性微分方程的通解公式可得：])([)()(C dx e x Q e z dx x P dx x P +⎰⎰⋅-⎰=-，即：])([1)()(C dx e x Q eydxx P dxx P +⎰⎰⋅-⎰=-（C 为任意常数）14.0323=-+-z y x 解析:由点法式可知，平面方程为：0)1(2)0(3)1(=-+---z y x ，即：0323=-+-z y x 15.264-解析:球心坐标为：)2,0,0(，半径2=R ，球心到平面2260+-+=x y z 的距离为：64)1(12262222=-+++-=h ，故所求距离为：264-=-=R h d三、计算题：本题共有8小题，其中16-19小题每小题7分，20-23小题每小题8分，共60分。

2013年浙江省高考数学试卷(理科)答案与解析

2013年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•浙江）已知i是虚数单位，则（﹣1+i）（2﹣i）=（）A．﹣3+i B．﹣1+3i C．﹣3+3i D．﹣1+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用两个复数代数形式的乘法法则，以及虚数单位i的幂运算性质，运算求得结果．解答：解：（﹣1+i）（2﹣i）=﹣2+i+2i+1=﹣1+3i，故选B．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．2．（5分）（2013•浙江）设集合S={x|x＞﹣2}，T={x|x2+3x﹣4≤0}，则（∁R S）∪T=（）A．（﹣2，1]B．（﹣∞，﹣4]C．（﹣∞，1]D．[1，+∞）考点：交、并、补集的混合运算；全集及其运算．专题：集合．分析：先根据一元二次不等式求出集合T，然后求得∁R S，再利用并集的定义求出结果．解答：解：∵集合S={x|x＞﹣2}，∴∁R S={x|x≤﹣2}，T={x|x2+3x﹣4≤0}={x|﹣4≤x≤1}，故（∁R S）∪T={x|x≤1}故选C．点评：此题属于以一元二次不等式的解法为平台，考查了补集及并集的运算，是高考中常考的题型．在求补集时注意全集的范围．3．（5分）（2013•浙江）已知x，y为正实数，则（）A．2lgx+lgy=2lgx+2lgy B．2lg（x+y）=2lgx•2lgyC．2lgx•lgy=2lgx+2lgy D．2lg（xy）=2lgx•2lgy考点：有理数指数幂的化简求值；对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用指数与对数的运算性质，判断选项即可．解答：解：因为a s+t=a s•a t，lg（xy）=lgx+lgy（x，y为正实数），所以2lg（xy）=2lgx+lgy=2lgx•2lgy，满足上述两个公式，故选D．点评：本题考查指数与对数的运算性质，基本知识的考查．4．（5分）（2013•浙江）已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈R），则“f（x）是奇函数”是“φ=”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：三角函数的图像与性质．分析：φ=⇒f（x）=Acos（ωx+）⇒f（x）=Asin（ωx）（A＞0，ω＞0，x∈R）是奇函数．f （x）为奇函数⇒f（0）=0⇒φ=kπ+，k∈Z．所以“f（x）是奇函数”是“φ=”必要不充分条件．解答：解：若φ=，则f（x）=Acos（ωx+）⇒f（x）=﹣Asin（ωx）（A＞0，ω＞0，x∈R）是奇函数；若f（x）是奇函数，⇒f（0）=0，∴f（0）=Acos（ω×0+φ）=Acosφ=0．∴φ=kπ+，k∈Z，不一定有φ=“f（x）是奇函数”是“φ=”必要不充分条件．故选B．点评：本题考查充分条件、必要条件和充要条件的判断，解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数性质的灵活运用．5．（5分）（2013•浙江）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（）A．a=4 B．a=5 C．a=6 D．a=7考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据已知流程图可得程序的功能是计算S=1++…+的值，利用裂项相消法易得答案．解答：解：由已知可得该程序的功能是计算并输出S=1++…+=1+1﹣=2﹣．若该程序运行后输出的值是，则2﹣=．∴a=4，故选A．点评：本题考查的知识点是程序框图，其中分析出程序的功能是解答的关键．6．（5分）（2013•浙江）已知，则tan2α=（）A．B．C．D．考点：二倍角的正切；同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的求值．分析：由题意结合sin2α+cos2α=1可解得sinα，和cosα，进而可得tanα，再代入二倍角的正切公式可得答案．解答：解：∵，又sin2α+cos2α=1，联立解得，或故tanα==，或tanα=3，代入可得tan2α===﹣，或tan2α===故选C点评：本题考查二倍角的正切公式，涉及同角三角函数的基本关系，属中档题．7．（5分）（2013•浙江）设△ABC，P0是边AB上一定点，满足，且对于边AB 上任一点P，恒有则（）A．∠ABC=90°B．∠BAC=90°C．A B=AC D．A C=BC考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：设||=4，则||=1，过点C作AB的垂线，垂足为H，在AB上任取一点P，设HP0=a，则由数量积的几何意义可得||2﹣（a+1）||+a≥0恒成立，只需△=（a+1）2﹣4a=（a﹣1）2≤0即可，由此能求出△ABC是等腰三角形，AC=BC．解答：解：设||=4，则||=1，过点C作AB的垂线，垂足为H，在AB上任取一点P，设HP0=a，则由数量积的几何意义可得，=||•||=||﹣（a+1））||，•=﹣a，于是•≥••恒成立，整理得||2﹣（a+1）||+a≥0恒成立，只需△=（a+1）2﹣4a=（a﹣1）2≤0即可，于是a=1，因此我们得到HB=2，即H是AB的中点，故△ABC是等腰三角形，所以AC=BC．故选：D．点评：本题主要考查了平面向量的运算，向量的模及向量的数量积的概念，向量运算的几何意义的应用，还考查了利用向量解决简单的几何问题的能力8．（5分）（2013•浙江）已知e为自然对数的底数，设函数f（x）=（e x﹣1）（x﹣1）k（k=1，2），则（）A．当k=1时，f（x）在x=1处取得极小值B．当k=1时，f（x）在x=1处取得极大值C．当k=2时，f（x）在x=1处取得极小值D．当k=2时，f（x）在x=1处取得极大值考点：函数在某点取得极值的条件．专题：导数的综合应用．分析：通过对函数f（x）求导，根据选项知函数在x=1处有极值，验证f'（1）=0，再验证f （x）在x=1处取得极小值还是极大值即可得结论．解答：解：当k=1时，函数f（x）=（e x﹣1）（x﹣1）．求导函数可得f'（x）=e x（x﹣1）+（e x﹣1）=（xe x﹣1），f'（1）=e﹣1≠0，f'（2）=2e2﹣1≠0，则f（x）在在x=1处与在x=2处均取不到极值，当k=2时，函数f（x）=（e x﹣1）（x﹣1）2．求导函数可得f'（x）=e x（x﹣1）2+2（e x﹣1）（x﹣1）=（x﹣1）（xe x+e x﹣2），∴当x=1，f'（x）=0，且当x＞1时，f'（x）＞0，当x0＜x＜1时（x0为极大值点），f'（x）＜0，故函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；在（x0，1）上是减函数，从而函数f（x）在x=1取得极小值．对照选项．故选C．点评：本题考查了函数的极值问题，考查学生的计算能力，正确理解极值是关键．9．（5分）（2013•浙江）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：不妨设|AF1|=x，|AF2|=y，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率．解答：解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1：+y2=1上的点，∴2a=4，b=1，c=；∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①又四边形AF1BF2为矩形，∴+=，即x2+y2=（2c）2==12，②由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n，则2m=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2n=2=2，∴双曲线C2的离心率e===．故选D．点评：本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．10．（5分）（2013•浙江）在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B=fπ（A）．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P，Q1=fβ[fα（P）]，Q2=fα[fβ（P）]，恒有PQ1=PQ2，则（）A．平面α与平面β垂直B．平面α与平面β所成的（锐）二面角为45°C．平面α与平面β平行D．平面α与平面β所成的（锐）二面角为60°考点：空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离．分析：设P1是点P在α内的射影，点P2是点P在β内的射影．根据题意点P1在β内的射影与P2在α内的射影重合于一点，由此可得四边形PP1Q1P2为矩形，且∠P1Q1P2是二面角α﹣l﹣β的平面角，根据面面垂直的定义可得平面α与平面β垂直，得到本题答案．解答：解：设P1=fα（P），则根据题意，得点P1是过点P作平面α垂线的垂足∵Q1=fβ[fα（P）]=fβ（P1），∴点Q1是过点P1作平面β垂线的垂足同理，若P2=fβ（P），得点P2是过点P作平面β垂线的垂足因此Q2=fα[fβ（P）]表示点Q2是过点P2作平面α垂线的垂足∵对任意的点P，恒有PQ1=PQ2，∴点Q1与Q2重合于同一点由此可得，四边形PP1Q1P2为矩形，且∠P1Q1P2是二面角α﹣l﹣β的平面角∵∠P1Q1P2是直角，∴平面α与平面β垂直故选：A点评：本题给出新定义，要求我们判定平面α与平面β所成角大小，着重考查了线面垂直性质、二面角的平面角和面面垂直的定义等知识，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．（4分）（2013•浙江）设二项式的展开式中常数项为A，则A=﹣10．考点：二项式系数的性质．专题：排列组合．分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的系数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．解答：解：二项式的展开式的通项公式为T r+1=••（﹣1）r•=（﹣1）r••．令=0，解得r=3，故展开式的常数项为﹣=﹣10，故答案为﹣10．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．12．（4分）（2013•浙江）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积等于24cm3．考点：由三视图求面积、体积．专题：立体几何．分析：先根据三视图判断几何体的形状，再利用体积公式计算即可．解答：解：几何体为三棱柱去掉一个三棱锥后的几何体，底面是直角三角形，直角边分别为3，4，侧面的高为5，被截取的棱锥的高为3．如图：V=V棱柱﹣V棱锥==24（cm3）故答案为：24．点评：本题考查几何体的三视图及几何体的体积计算．V椎体=Sh，V柱体=Sh．考查空间想象能力．13．（4分）（2013•浙江）设z=kx+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为12，则实数k=2．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先画出可行域，得到角点坐标．再对k进行分类讨论，通过平移直线z=kx+y得到最大值点A，即可得到答案．解答：解：可行域如图：由得：A（4，4），同样地，得B（0，2），z=kx+y，即y=﹣kx+z，分k＞0，k＜0两种情况．当k＞0时，目标函数z=kx+y在A点取最大值，即直线z=kx+y在y轴上的截距z最大，即12=4k+4，得k=2；当k＜0时，①当k＞﹣时，目标函数z=kx+y在A点（4，4）时取最大值，即直线z=kx+y在y轴上的截距z最大，此时，12=4k+4，故k=2．②当k时，目标函数z=kx+y在B点（0，2）时取最大值，即直线z=kx+y在y轴上的截距z最大，此时，12=0×k+2，故k不存在．综上，k=2．故答案为：2．点评：本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义．14．（4分）（2013•浙江）将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有480种（用数字作答）考点：排列、组合及简单计数问题．专题：排列组合．分析：按C的位置分类，在左1，左2，左3，或者在右1，右2，右3，因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘以2即可．解答：解：按C的位置分类，在左1，左2，左3，或者在右1，右2，右3，因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘以2即可．当C在左边第1个位置时，有A，当C在左边第2个位置时，A和B有C右边的4个位置可以选，有A A，当C在左边第3个位置时，有A A+A A，共为240种，乘以2，得480．则不同的排法共有480种．故答案为：480．点评：本题考查排列、组合的应用，关键在于明确事件之间的关系，同时要掌握分类讨论的处理方法．15．（4分）（2013•浙江）设F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点P（﹣1，0）的直线l交抛物线C于两点A，B，点Q为线段AB的中点，若|FQ|=2，则直线l的斜率等于不存在．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意设直线l的方程为my=x+1，联立得到y2﹣4my+4=0，△=16m2﹣16=16（m2﹣1）＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0）．利用根与系数的关系可得y1+y2=4m，利用中点坐标公式可得=2m，x0=my0﹣1=2m2﹣1．Q（2m2﹣1，2m），由抛物线C：y2=4x得焦点F（1，0）．再利用两点间的距离公式即可得出m及k，再代入△判断是否成立即可．解答：解：由题意设直线l的方程为my=x+1，联立得到y2﹣4my+4=0，△=16m2﹣16=16（m2﹣1）＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0）．∴y1+y2=4m，∴=2m，∴x0=my0﹣1=2m2﹣1．∴Q（2m2﹣1，2m），由抛物线C：y2=4x得焦点F（1，0）．∵|QF|=2，∴，化为m2=1，解得m=±1，不满足△＞0．故满足条件的直线l不存在．故答案为不存在．点评：本题综合考查了直线与抛物线的位置关系与△的关系、根与系数的关系、中点坐标关系、两点间的距离公式等基础知识，考查了推理能力和计算能力．16．（4分）（2013•浙江）△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，若，则sin∠BAC=．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：作出图象，设出未知量，在△ABM中，由正弦定理可得sin∠AMB=，进而可得cosβ=，在RT△ACM中，还可得cosβ=，建立等式后可得a=b，再由勾股定理可得c=，而sin∠BAC═=，代入化简可得答案．解答：解：如图设AC=b，AB=c，CM=MB=，∠MAC=β，在△ABM中，由正弦定理可得=，代入数据可得=，解得sin∠AMB=，故cosβ=cos（﹣∠AMC）=sin∠AMC=sin（π﹣∠AMB）=sin∠AMB=，而在RT△ACM中，cosβ==，故可得=，化简可得a4﹣4a2b2+4b4=（a2﹣2b2）2=0，解之可得a=b，再由勾股定理可得a2+b2=c2，联立可得c=，故在RT△ABC中，sin∠BAC====，故答案为：点评：本题考查正弦定理的应用，涉及三角函数的诱导公式以及勾股定理的应用，属难题．17．（4分）（2013•浙江）设、为单位向量，非零向量=x+y，x 、y ∈R ．若、的夹角为30°，则的最大值等于 2 ．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由题意求得 =，||==，从而可得===，再利用二次函数的性质求得的最大值．解答：解：∵、为单位向量，和的夹角等于30°，∴=1×1×cos30°=．∵非零向量=x +y，∴||===，∴====，故当=﹣时，取得最大值为2，故答案为 2．点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，求向量的模，利用二次函数的性质求函数的最大值，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）（2013•浙江）在公差为d的等差数列{a n}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列．（Ⅰ）求d，a n；（Ⅱ）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|．考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）直接由已知条件a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列列式求出公差，则通项公式a n可求；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论，得到等差数列{a n}的前11项大于等于0，后面的项小于0，所以分类讨论求d＜0时|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|的和．解答：解：（Ⅰ）由题意得，即，整理得d2﹣3d﹣4=0．解得d=﹣1或d=4．当d=﹣1时，a n=a1+（n﹣1）d=10﹣（n﹣1）=﹣n+11．当d=4时，a n=a1+（n﹣1）d=10+4（n﹣1）=4n+6．所以a n=﹣n+11或a n=4n+6；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，因为d＜0，由（Ⅰ）得d=﹣1，a n=﹣n+11．则当n≤11时，．当n≥12时，|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=﹣S n+2S11=．综上所述，|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=．点评：本题考查了等差数列、等比数列的基本概念，考查了等差数列的通项公式，求和公式，考查了分类讨论的数学思想方法和学生的运算能力，是中档题．19．（14分）（2013•浙江）设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球2分，取出蓝球得3分．（1）当a=3，b=2，c=1时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和．求ξ分布列；（2）从该袋子中任取（且每球取到的机会均等）1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若，求a：b：c．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（1）ξ的可能取值有：2，3，4，5，6，求出相应的概率可得所求ξ的分布列；（2）先列出η的分布列，再利用η的数学期望和方差公式，即可得到结论．解答：解：（1）由题意得ξ=2，3，4，5，6，P（ξ=2）==；P（ξ=3）==；P（ξ=4）==；P（ξ=5）==；P（ξ=6）==．故所求ξ的分布列为ξ 2 3 4 5 6P（2）由题意知η的分布列为η 1 2 3PEη==Dη=（1﹣）2+（2﹣）2+（3﹣）2=．得，解得a=3c，b=2c，故a：b：c=3：2：1．点评：本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念，同时考查抽象概括、运算能力，属于中档题．20．（15分）（2013•浙江）如图，在四面体A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=2．M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC．（1）证明：PQ∥平面BCD；（2）若二面角C﹣BM﹣D的大小为60°，求∠BDC的大小．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角；立体几何．分析：（1）取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得DF=3CF，连接OP、OF、FQ．根据平行线分线段成比例定理结合三角形的中位线定理证出四边形OPQF是平行四边形，从而PQ∥OF，再由线面平行判定定理，证出PQ∥平面BCD；（2）过点C作CG⊥BD，垂足为G，过G作GH⊥BM于H，连接CH．根据线面垂直的判定与性质证出BM⊥CH，因此∠CHG是二面角C﹣BM﹣D的平面角，可得∠CHG=60°．设∠BDC=θ，用解直角三角形的方法算出HG和CG关于θ的表达式，最后在Rt△CHG中，根据正切的定义得出tan∠CHG==，从而得到tanθ=，由此可得∠BDC．解答：（1）取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得DF=3CF，连接OP、OF、FQ ∵△ACD中，AQ=3QC且DF=3CF，∴QF∥AD且QF=AD∵△BDM中，O、P分别为BD、BM的中点∴OP∥DM，且OP=DM，结合M为AD中点得：OP∥AD且OP=AD∴OP∥QF且OP=QF，可得四边形OPQF是平行四边形∴PQ∥OF∵PQ⊄平面BCD且OF⊂平面BCD，∴PQ∥平面BCD；（2）过点C作CG⊥BD，垂足为G，过G作GH⊥BM于H，连接CH∵AD⊥平面BCD，CG⊂平面BCD，∴AD⊥CG又∵CG⊥BD，AD、BD是平面ABD内的相交直线∴CG⊥平面ABD，结合BM⊂平面ABD，得CG⊥BM∵GH⊥BM，CG、GH是平面CGH内的相交直线∴BM⊥平面CGH，可得BM⊥CH因此，∠CHG是二面角C﹣BM﹣D的平面角，可得∠CHG=60°设∠BDC=θ，可得Rt△BCD中，CD=BDcosθ=2cosθ，CG=CDsinθ=sinθcosθ，BG=BCsinθ=2sin2θRt△BMD中，HG==；Rt△CHG中，tan∠CHG==∴tanθ=，可得θ=60°，即∠BDC=60°点评：本题在底面为直角三角形且过锐角顶点的侧棱与底面垂直的三棱锥中求证线面平行，并且在已知二面角大小的情况下求线线角．着重考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，解直角三角形和平面与平面所成角求法等知识，属于中档题．21．（15分）（2013•浙江）如图，点P（0，﹣1）是椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径，l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A、B两点，l2交椭圆C1于另一点D．（1）求椭圆C1的方程；（2）求△ABD面积的最大值时直线l1的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由题意可得b=1，2a=4，即可得到椭圆的方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0）．由题意可知：直线l1的斜率存在，设为k，则直线l1的方程为y=kx﹣1．利用点到直线的距离公式和弦长公式即可得出圆心O到直线l1的距离和弦长|AB|，又l2⊥l1，可得直线l2的方程为x+kx+k=0，与椭圆的方程联立即可得到点D的横坐标，即可得出|PD|，即可得到三角形ABD的面积，利用基本不等式的性质即可得出其最大值，即得到k的值．解答：解：（1）由题意可得b=1，2a=4，即a=2．∴椭圆C1的方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0）．由题意可知：直线l1的斜率存在，设为k，则直线l1的方程为y=kx﹣1．又圆的圆心O（0，0）到直线l1的距离d=．∴|AB|==．又l2⊥l1，故直线l2的方程为x+ky+k=0，联立，消去y得到（4+k2）x2+8kx=0，解得，∴|PD|=．∴三角形ABD 的面积S △==，令4+k 2=t ＞4，则k 2=t ﹣4， f （t ）===，∴S △=，当且仅，即，当时取等号，故所求直线l 1的方程为．点评：本题主要考查了椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，同时考查了推理能力和计算能力及分析问题和解决问题的能力． 22．（14分）（2013•浙江）已知a ∈R ，函数f （x ）=x 3﹣3x 2+3ax ﹣3a+3．（1）求曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；（2）当x ∈[0，2]时，求|f （x ）|的最大值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）求出原函数的导函数，求出函数取x=1时的导数值及f （1），由直线方程的点斜式写出切线方程；（2）求出原函数的导函数，分a ≤0，0＜a ＜1，a ≥1三种情况求|f （x ）|的最大值．特别当0＜a ＜1时，仍需要利用导数求函数在区间（0，2）上的极值，然后在根据a 的范围分析区间端点值与极值绝对值的大小．解答：解：（1）因为f （x ）=x 3﹣3x 2+3ax ﹣3a+3，所以f ′（x ）=3x 2﹣6x+3a ，故f ′（1）=3a ﹣3，又f （1）=1，所以所求的切线方程为y=（3a ﹣3）x ﹣3a+4；（2）由于f ′（x ）=3（x ﹣1）2+3（a ﹣1），0≤x ≤2．故当a ≤0时，有f ′（x ）≤0，此时f （x ）在[0，2]上单调递减，故 |f （x ）|max =max{|f （0）|，|f （2）|}=3﹣3a ．当a ≥1时，有f ′（x ）≥0，此时f （x ）在[0，2]上单调递增，故 |f （x ）|max =max{|f （0）|，|f （2）|}=3a ﹣1．当0＜a ＜1时，由3（x ﹣1）2+3（a ﹣1）=0，得，．所以，当x ∈（0，x 1）时，f ′（x ）＞0，函数f （x ）单调递增；当x ∈（x 1，x 2）时，f ′（x ）＜0，函数f （x ）单调递减；当x ∈（x 2，2）时，f ′（x ）＞0，函数f （x ）单调递增．所以函数f （x ）的极大值，极小值．故f （x 1）+f （x 2）=2＞0，．从而f （x 1）＞|f （x 2）|．所以|f （x ）|max =max{f （0），|f （2）|，f （x 1）}．当0＜a ＜时，f （0）＞|f （2）|．又=故．当时，|f （2）|=f （2），且f （2）≥f （0）．又=．所以当时，f （x 1）＞|f （2）|．故．当时，f （x 1）≤|f （2）|．故f （x ）max =|f （2）|=3a ﹣1．综上所述|f （x ）|max =．点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求闭区间上的最值，考查了分类讨论的数学思想方法，正确的分类是解答（2）的关键，此题属于难题．。

浙江师范大学高等数学考试卷

浙江师范大学《高等数学》考试卷(2004—2005学年第2学期)考试类别考试使用学生初阳学院文科04级考试时间 150 分钟出卷时间 2005 年 5 月 28 日说明:考生应将全部答案都写在答题纸上,否则作无效处理。

一（20分）选择题1．直线122215x y z -++==-与平面430x y z +-=的关系是（） A ．直线与平面垂直B ．直线在平面上C ．直线与平面无公共点D ．直线与平面相交于一点2．22{(,)|1}D x y xy=+≤是2R 中的（）A. 闭集B. 开集C. 既是开集又是闭集D. 既不是开集也不是闭集 3．设yx y x y x f +-=),(，则=)2,0(df（）A. dyB. dxC. dy dx -D.2dxdy -4．级数2(1)nn +∞=-∑（）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.敛散性不能确定5．)ln(y x x z +=，则='')2,1(xxf （） A. 0 B.97 C.95 D. 313ln +6．函数)]([)(πππ≤≤-=x xx f 的傅立叶级数在点0=x 和2π=x 分别收敛于（）A .0和2/1 B. 0和0 C.2/1-和2/1 D.2/1-和0 7．若广义积分21pxd x +∞-⎰发散，则积分130pxd x -⎰（）A ．收敛B ．发散C ．可能收敛，可能发散D ．以上均不对 8．若),(y x f 在点),(000y x P 不可微，则下列命题中一定错误的是（）A. f 在0P 不连续B. f 在0P 沿任意方向的方向导数不存在C. f 在0P 的两个偏导数都存在且连续D. f 在0P 的两个偏导数都存在且至少有一个不连续9．设区域（σ）为24π≤22xy +≤2π，则()σσ⎰⎰＝（）A ．0B ．2πC ．－2πD ．3π10．已知2)()(y x ydydx ay x +++是某个二元函数的全微分，则=a （）A. 1-B. 0C. 1D. 2 二．（18分）填空题1．二元函数(,)f x y xy =在)1,1(处的全微分(1,1)|d f = ①2．若42y x z +=，则(1,1)(,)|z zx y-∂∂∂∂= ② 3. 二重极限=++-+∞+∞→)(),(),()(limy x y x ey x ③4．三向量,,a b c 的混合积[,,a b c]的几何意义是 ④5．设一平面经过原点及点(6,3,2)-，且与平面428x y z -+=垂直，则此平面的方程为 ⑤6．=⎰+∞-dx xex1⑥三. （10分）求y x y x z 161222+-+=在闭圆盘}25|),{(22≤+y x y x 上的最值。

2013年高考理科数学浙江卷(含答案解析)

数学试卷第1页（共21页）数学试卷第2页（共21页）数学试卷第3页（共21页）绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学(理科)本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共6页,选择题部分1至3页,非选择题部分4至6页.满分150分,考试时间120分钟. 考生注意：1.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.2.答题时,请按照答题纸上“注意事项”的要求,在答题纸相应的位置上规范作答,在本试题卷上作答一律无效. 参考公式：球的表面积公式柱体的体积公式24πS R = V Sh =球的体积公式其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高 33π4V R =台体的体积公式其中R 表示球的半径 11221(S )3V h S S S =++锥体的体积公式其中1S ,2S 分别表示台体的上、下底面积,13V Sh =h 表示台体的高其中S 表示锥体的底面积,如果事件A ,B 互斥,那么h 表示锥体的高()()()P A B P A P B +=+选择题部分（共50分）一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知i 是虚数单位,则(i)(i 12)-+-=( )A .3+i -B .13i -+C .33i -+D .1i -+2.设集合{2}|S x x =>-,2{340}|T x x x =+-≤,则()S T =R( )A .(]2,1-B .(],4-∞-C .(1],-∞D .[1,)+∞ 3.已知x ,y 为正实数,则( )A .lg lg lg lg 222x y x y +=+B .lg()lg lg 222x y x y +=C .lg lg lg lg 222xyx y =+D .lg()lg lg 222xy x y =4.已知函数()cos()(0,0,)f x A x A ωϕωϕ=+>∈>R ,则“()f x 是奇函数”是“2ϕπ=”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件5.某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是95,则 ( )A .4a =B .5a =C .6a =D .7a =6.已知α∈R ,10sin 2cos 2αα+=,则tan2α=( )A .43B .34C .34-D .43-7.设ABC △,0P 是边AB 上一定点,满足014P B AB =,且对于AB 上任一点P ,恒有00PB PC P B P C ≥,则( )A .90ABC ∠=B .90BAC ∠= C .AB AC =D .AC BC =8.已知e 为自然对数的底数,设函数()(e 1)(1)(1,2)x k f x x k =--=,则( )A .当1k =时,()f x 在1x =处取到极小值B .当1k =时,()f x 在1x =处取到极大值C .当2k =时,()f x 在1x =处取到极小值D .当2k =时,()f x 在1x =处取到极大值9.如图,12,F F 是椭圆1C ：2214x y +=与双曲线2C 的公共焦点,A ,B 分别是1C ,2C 在第二、四象限的公共点.若四边形12AF BF 为矩形,则2C 的离心率为( )A .2B .3C .32D .6210.在空间中,过点A 作平面π的垂线,垂足为B ,记()B f A π=.设α,β是两个不同的平面,对空间任意一点P ,1[()]Q f f P βα=,2[()]Q f f P αβ=,恒有12PQ PQ =,则( )A .平面α与平面β垂直B .平面α与平面β所成的（锐）二面角为45C .平面α与平面β平行D .平面α与平面β所成的（锐）二面角为60-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷第4页（共21页）数学试卷第5页（共21页）数学试卷第6页（共21页）非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共7小题,每小题4分,共28分.11.设二项式531()x x-的展开式中常数项为A ,则A ＝_________.12.若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示,则此几何体的体积等于_________3cm .13.设z kx y =+,其中实数x ,y 满足20,240,240.x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≥≥≤若z 的最大值为12,则实数k =_________.14.将A ,B ,C ,D ,E ,F 六个字母排成一排,且A ,B 均在C 的同侧,则不同的排法共有_________种(用数字作答).15.设F 为抛物线C ：24y x =的焦点,过点(1,0)P -的直线l 交抛物线C 于A ,B 两点,点Q为线段AB 的中点,若||2FQ =,则直线l 的斜率等于_________.16.在ABC △中,90C ∠=,M 是BC 的中点.若1in 3s BAM =∠,则sin BAC ∠=_________. 17.设1e ,2e 为单位向量,非零向量x y =+12b e e ,x y ∈R ,.若1e ,2e 的夹角为π6,则||||x b 的最大值等于_________.三、解答题：本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(本题满分14分)在公差为d 的等差数列{}n a 中,已知110a =,且1a ,222a ＋,35a 成等比数列. （Ⅰ）求d ,n a ；（Ⅱ）若0d <,求123||||||||n a a a a ++++.19.（本小题满分14分）设袋子中装有a 个红球,b 个黄球,c 个蓝球,且规定：取出一个红球得1分,取出一个黄球得2分,取出一个蓝球得3分.（Ⅰ）当3a =,2b =,1c =时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和,求ξ的分布列；（Ⅱ）从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球,记随机变量η为取出此球所得分数.若53E η=,59D η=,求a b c ::.20.(本题满分15分)如图,在四面体A BCD -中,AD ⊥平面BCD ,BC CD ⊥,2AD =,22BD =.M 是AD 的中点,P 是BM 的中点,点Q 在线段AC 上,且3AQ QC =.（Ⅰ）证明：PQ ∥平面BCD ；（Ⅱ）若二面角C BM D --的大小为60,求BDC ∠的大小.21.(本题满分15分)如图,点(0,1)P -是椭圆1C ：22221()0x y a b a b +=>>的一个顶点,1C 的长轴是圆2C ：224x y +=的直径.1l ,2l 是过点P 且互相垂直的两条直线,其中1l 交圆2C 于,A B 两点,2l 交椭圆1C 于另一点D .（Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）求ABC △面积取最大值时直线1l 的方程.22.(本题满分14分)已知a ∈R ,函数32()3333f x x x ax a =-+-+. （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）当[0,2]x ∈时,求|()|f x 的最大值.数学试卷第7页（共21页）数学试卷第8页（共21页）数学试卷第9页（共21页）2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学(理科)答案解析选择题部分一、选择题 1.【答案】B【解析】1+i 2i 2+i+2i+()()11+3i -=-=--，故选B ．【提示】直接利用两个复数代数形式的乘法法则，以及虚数单位i 的幂运算性质，运算求得结果【考点】复数代数形式的四则运算． 2.【答案】C【解析】∵集合|2{}S x x =>，∴{|2}x x S =≤-R ，由2+340x x -≤得：|41{}T x x =-≤≤，故(}1){|x x S T =≤R ，故选C ．【提示】先根据一元二次不等式求出集合T ，然后求得S R，再利用并集的定义求出结果．【考点】集合的基本运算． 3.【答案】D【解析】因为s t s t a a a +=，lg()lg +lg xy x y =(x ，y 为正实数)，所以lg()lg +lg lg lg 2222xy x y x y ==，满足上述两个公式，故选D ．【提示】直接利用指数与对数的运算性质，判断选项即可．【考点】指数幂运算． 4.【答案】B 【解析】若π2ϕ=，则()π()cos sin()2()f x A x f A x x ωω⇒=+=-()00A x ω>>∈R ，，是奇函数；若()f x 是奇函数⇒(0)0f =，∴(0)cos(0+)cos 0f A A ωϕϕ=⨯== .∴π+2k ϕπ=，k ∈Z ，不一定有π2ϕ=，“()f x 是奇函数”是“π2ϕ=”必要不充分条件．故选B ．【提示】给出含参量的三角函数表达式，由函数是奇函数判断命题条件．【考点】三角函数的性质，三角函数的诱导公式．5.【答案】A【解析】由已知可得该程序的功能是：计算并输出111112(1)1+++1+1++121a a a a S ⨯+=⋯=-=-．若该程序运行后输出的值是95，则192+15a -=．∴4a =，故选A ．【提示】根据已知流程图可得程序的功能是计算111112(1)1+++1+1++121a a a a S ⨯+=⋯=-=-的值，利用裂项相消法易得答案．【考点】循环结构的程序框图． 6.【答案】C【解析】∵sin +2co s 2αα=，又22sin +cos 1αα=，联立解得sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故si ta 1s n n co 3ααα=-=或tan 3α=，代入可得22122tan 33ta 1tan 4113n2ααα⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==--⎛⎫-- ⎪⎝⎭=或222tan 2331tan tan2134ααα⨯==---=．故选C ．【提示】由题意结合22sin +cos 1αα=可解得sin α，和cos α，进而可得tan α，再代入二倍角的正切公式可得答案．【考点】二倍角，三角函数的诱导公式． 7.【答案】D【解析】以AB 所在的直线为x 轴，以AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，设4AB =，,()C a b ，0(),P x ，则01BP =，0()2,A -，()2,0B ，0()1,0P ，∴01,0()P B =，2(),0B x P =，(,)a C x b P =，01(,)a b P C =-，∵恒有00PB PC P B P C ≥，∴()(21)x a x a --≥-恒成立，整理可得2+2)++10(a x a x ≥-恒成立，∴()()2+24+10a a -∆=≤，即20a ∆=≤，∴0a =，即C 在AB 的垂直平分线上，∴AC BC =，故△ABC 为等腰三角形，故选D ．【提示】以AB 所在的直线为x 轴，以AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，设4AB =，,()C a b ，0(),P x ，然后由题意可写出0P B ，PB ，PC ，0P C ，然后由00PB PC P B P C≥结合向量的数量积的坐标表示可得关于x 的二次不等式，结合二次不等式的知识可求a ，进而可判断．【考点】平面向量的算量积运算，向量的坐标运算． 8.【答案】C【解析】当2k =时，函数2()(e 1)(1)x f x x =--．求导函数可得2()e (1)+2(e 1)(1)(1)(e +e 2)x x x xf x x x x x '=---=--，∴当1x =，()0f x '=，且当1x >时，()0f x '>，当112x <<时，()0f x '<，故函数()f x 在(1,+)∞上是增函数；在12,1⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，从而函数()f x 在1x =取得极小值．对照选项．故选C ．第8题图【提示】通过对函数()f x 求导，根据选项知函数在1x =处有极值，验证(1)0f '=，再验证()f x 在1x =处取得极小值还是极大值即可得结论．【考点】利用导数求函数的极值．9.【答案】D数学试卷第10页（共21页）数学试卷第11页（共21页）数学试卷第12页（共21页）【解析】1||AF x =，2||AF y =，x y <∵点A 为椭圆1C ：22+14xy =上的点，∴24a =，1b =，c =；∴12||+|24|AF AF a ==，即4x y +=①；又四边形12AF BF 为矩形，∴2221212||+||||AF AF F F =，即2222+(2)12x y c ===②，由①②得：22+4+12x y x y =⎧⎨=⎩，解得2x =，2y =+2x =+，y =-，设双曲线2C 的实轴长为12a ，焦距为12c，则1212||||a AF AF y x =-==-12c =曲线2C的离心率11c a e ===．故选D ．【提示】不妨设1||AF x =，2||AF y =，依题意22+4+12x y x y =⎧⎨=⎩，解此方程组可求得x ，y 的值，利用双曲线的定义及性质即可求得2C 的离心率．【考点】椭圆和双曲线的简单几何性质． 10.【答案】A【解析】设1()P f P α=，则根据题意，得点1P 是过点P 作平面α垂线的垂足，∵111[()]()Q f f P f P βαβ==，∴点1Q 是过点1P 作平面β垂线的垂足，同理，若2()P f P β=，得点2P 是过点P 作平面β垂线的垂足，因此2[()]Q f f P αβ=表示点2Q 是过点2P 作平面α垂线的垂足，∵对任意的点P ，恒有12PQ PQ =，∴点1Q 与2Q 重合于同一点，由此可得，四边形112PPQ P 为矩形，且112PQ P ∠是二面角α﹣l ﹣β的平面角，∵112PQ P ∠是直角，∴平面α与平面β垂直，故选A ．【提示】设1P 是点P 在α内的射影，点2P 是点P 在β内的射影．根据题意点1P在β内的射影与2P 在α内的射影重合于一点，由此可得四边形112PPQ P 为矩形，且112PQ P ∠是二面角α﹣l ﹣β的平面角，根据面面垂直的定义可得平面α与平面β垂直，得到本题答案．【考点】空间中点、线、面之间的位置关系，二面角．非选择题部分二、填空题 11.【答案】-10【解析】二项式5的展开式的通项公式为1555362155C (1)(1)C r r r rrrr r T x xx---+=-=-．令15506r-=，解得3r =，故展开式的常数项为35C 10-=-.故答案为10-.【提示】先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的系数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值．【考点】二项式定理． 12.【答案】24【解析】几何体为三棱柱去掉一个三棱锥后的几何体，底面是直角三角形，直角边分别为3，4，棱柱的高为5，被截取的棱锥的高为3.如图：V =311134324(cm )234532V V V =⨯⨯⨯--=⨯⨯⨯⨯=棱柱三棱锥，故答案为：24.【提示】先根据三视图判断几何体的形状，再利用体积公式计算即可．【考点】由三视图求几何体的表面积和体积． 13.【答案】2【解析】可行域如图：由2+40240x y x y -=⎧⎨--=⎩得：()4,4A ，同样地，得()0,2B ，（步骤1）① 当12k >-时，目标函数+z kx y =在4x =，4y =时取最大值，即直线+z kx y =在y 轴上的截距z 最大，此时，124+4k =，故2k =.（步骤2） ② 当12k ≤-时，目标函数+z kx y =在0x =，2y =时取最大值，即直线+z kx y =在y 轴上的截距z 最大，此时，120+2k =⨯，故k 不存在．综上，2k =.故答案为：2.（步骤3）【提示】先画出可行域，得到角点坐标．再对k 进行分类讨论，通过平移直线z kx y =+得到最大值点A ，即可得到答案．【考点】二元线性规划求目标函数的最值． 14.【答案】480【解析】按C 的位置分类，在左1，左2，左3，或者在右1，右2，右3，因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘以2即可．（步骤1）当C 在左边第1个位置时，有55A 120=种，当C 在左边第2个位置时2343A A 72=种，（步骤2）当C 在左边第3个位置时，有23233323+48A A A A =种，共为240种，乘以2，得480.则不同的排法共有480种．故答案为：480.（步骤3）【提示】按C 的位置分类，在左1，左2，左3，或者在右1，右2，右3，因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘以2即可．【考点】排列组合及其应用． 15.【答案】不存在【解析】由题意设直线l 的方程为+1my x =，联立2+14my x y x =⎧⎨=⎩得到24+40my y =-，（步骤1）22161611()06m m =--∆>=.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(),Q x y ．∴12+4y y m =，∴12022y y y m +==，（步骤2） ∴200121x my m =-=-.∴2,(22)1Q m m -，（步骤3）由抛物线C ：24y x =得焦点()1,0F ．∵||2QF =，2，化为21m =，解得1m =±，不满足0∆>.故满足条件的直线l 不存在．（步骤4）数学试卷第13页（共21页）数学试卷第14页（共21页）数学试卷第15页（共21页）故答案为不存在．【提示】由题意设直线l 的方程为+1my x =，联立2+14my x y x=⎧⎨=⎩得到24+40my y =-，22161611()06m m =--∆>=．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(),Q x y ．利用根与系数的关系可得12+4y y m =，利用中点坐标公式可得12022y y y m +==，200121x my m =-=-，2,(22)1Q m m -，由抛物线C ：24y x =得焦点()1,0F ．再利用两点间的距离公式即可得出m 及k ，再代入∆判断是否成立即可．【考点】直线与抛物线的位置关系．16.【解析】如图，设AC b =，AB c =，2aCM MB ==，MAC β∠=，在△ABM 中，由正弦定理可得2sin sin a c BAM AMB =∠∠，代入数据可得213sin a c AMB =∠，解得2sin 3cAMB a∠=，（步骤1）故()π2cos cos sin sin πsin 23c AMC AMC AMB AMB a β⎛⎫=-∠=∠=-∠=∠= ⎪⎝⎭，而在Rt ACM △中，cos AC AM β=23ca =，化简可得44222224+4)20(a a b b a b=-=-，解之可得a ，（步骤2）再由勾股定理可得222+a b c =，联立可得c =，故在Rt ABC △中，sin BC a AB BA c C ====∠，（步骤3）【提示】作出图象，设出未知量，在ABM △中，由正弦定理可得2sin 3cAMB a∠=，进而可得2cos 3c a β=，在Rt ACM △中，还可得cos AC AMβ==，建立等式后可得a ，再由勾股定理可得c =，而sin BAC BC aAB c∠==，代入化简可得答案．【考点】正弦定理和余弦定理解三角形． 17.【答案】2【解析】∵1e ，2e 为单位向量，1e 和2e 的夹角等于30︒，（步骤1） ∴1211cos30e e =⨯⨯︒=∵非零向量12+b xe ye =，（步骤2）∴22212||+2+b b x xye e y x ===3）∴22|||||+3+x b x x x y y ==⎛⎫ ⎪⎝⎭故当x y =||||x b 取得最大值为2，故答案为2.（步骤4）【提示】由题意求得1232e e =，22212||+2+b b x xye e yx ===从而可得22||1||+3+x b x x x y y ==⎛⎫ ⎪⎝⎭再利用二次函数的性质求得||||x b 的最大值．【考点】向量模的计算，向量的数量积，不等式性质．三、解答题18.【答案】（Ⅰ）414+611n nd d a n a n ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或（Ⅱ）2(21),(111)221+220,(12)2n n n n n n -⎧≤≤⎪⎪⎨-⎪≥⎪⎩【解析】（Ⅰ）由已知得到：22221311(2+2)54(++1)50(2)(11+)25(5+)a a a a d a d d d =⇒=+⇒=2241121+22+125+253404+611n nd d d d d d d a n a n ==-⎧⎧⇒=⇒--=⇒⎨⎨==-⎩⎩或；（步骤1）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0d <时，11n a n =-， ①当111n ≤≤时，n a ≥123123(10+11)(21)||+||+||++||++++22n n n n n n a a a a a a a a --∴===（步骤2）②当12n ≤时，0n a ≤123123111213||+||+||++||++++(+++)n n a a a a a a a a a a a ∴=-21231112311(2111)(21)21+2202(++++)(++++)2222n n n n n a a a a a a a a ---=-=⨯-=所以，综上所述：1232(21),(111)2||+||+||++||21+220,(12)2n n n n a a a a n n n -⎧≤≤⎪⎪=⎨-⎪≥⎪⎩；（步骤3）【提示】（Ⅰ）直接由已知条件110a =，且1a ，222a +，35a 成等比数列列式求出公差，则通项公式n a 可求；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论，得到等差数列{}n a 的前11项大于等于0，后面的项小于0，所以分类讨论求0d <时123||+||+||++||n a a a a 的和．【考点】等差数列的通项公式和．（Ⅱ）3:2:1【解析】（Ⅰ）由已知得到：当两次摸到的球分别是红红时2ξ=，此时331(2)664P ξ⨯===⨯；（步骤1）当两次摸到的球分别是黄黄，红蓝，蓝红时4ξ=，此时2231135(4)++66666618P ξ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯；（步骤2）当两次摸到的球分别是红黄，黄红时(3)P ξ=，此时32231(3)+66663P ξ⨯⨯===⨯⨯；（步骤3）数学试卷第16页（共21页）数学试卷第17页（共21页）数学试卷第18页（共21页）当两次摸到的球分别是黄蓝，蓝黄时(5)P ξ=，此时12211(5)+66669P ξ⨯⨯===⨯⨯；（步骤4）当两次摸到的球分别是蓝蓝时P (6ξ=)，此时111(6)6636P ξ⨯===⨯；（步骤5）ηη所以：222523++35552531+2+39333a b c E a b c a b c a b c a b c D a b c a b c a b c ηη⎧==⎪++++++⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪==-⨯-⨯-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，所以2b c =，3a c =::3:2:1a b c ∴=．（步骤6）【提示】（Ⅰ）ξ的可能取值有：2，3，4，5，6，求出相应的概率可得所求ξ的分布列；（Ⅱ）先列出η的分布列，再利用η的数学期望和方差公式，即可得到结论．【考点】随机事件与概率，期望和方差．20.【答案】（Ⅰ）方法一：如图，取MD 的中点F ，且M 是AD 中点，所以3AF FD =．因为P 是BM 中点，所以PF BD ∥；（步骤1）又因为3AQ QC =且3AF FD =，所以QF CD ∥，所以PQF BDC 面∥面，且PQ PQF ⊂面，所以PQ BDC ∥面；（步骤2）方法二：如图所示，取BD 中点O ，且P 是BM 中点，所以12PO MD ∥；取CD 的三等分点H ，使3DH CH =，且3AQ QC =，所以1142QH AD MD ∥∥，（步骤1）所以PO QH ∥四边形PQHO 是平行四边形PQ OH ∴，且OH BCD ⊂面，所以PQ BDC ∥面；（步骤2）（Ⅱ）如图所示，由已知得到ADB BDC ⊥面面，过C 作CG BD ⊥于G ，所以CG BMD ⊥面，过G 作GH BM ⊥于H ，连结CH ，所以CHG ∠就是C BM D --的二面角；（步骤3）由已知得到3BM =，设BDC α∠=，所以cos CD BD α=，sin CG CBCD CDBDαα==⇒=，sin CG αα=，BC α=，在Rt BCG △中，BCG α∠=sin BGBCα∴=2BG α∴=，（步骤4）所以在Rt BHG △13=HG ∴=，所以在Rt CHG △中：tan tan 60CG CHG HG ∠=︒===（步骤5） tan α∴=(0,90)α∴∈︒60α∴=︒60BDC ∴∠=︒；（步骤6）【提示】（Ⅰ）取BD 的中点O ，在线段CD 上取点H ，使得3DF CH =，连接OP 、OH 、FQ ．根据平行线分线段成比例定理结合三角形的中位线定理证出四边形OPQH 是平行四边形，从而PO QH ∥，再由线面平行判定定理，证出PQ BCD∥平面．（Ⅱ）过点C 作CG BD ⊥，垂足为G ，过G GH BM H ⊥作于，连接CH ．根据线面垂直的判定与性质证出BM CH ⊥，因此CHG ∠是二面角C BM D --的平面角，可得60CHG ∠=︒．设BDC θ∠=，用解直角三角形的方法算出HG 和CG 关于θ的表达式，最后在Rt CHG △中，根据正切的定义得出tan CGCHG GH ∠=，从而得到tan θ=BDC ∠【考点】空间直线与平面的位置关系，异面直线成角．21.【答案】（Ⅰ）22+1x y =（Ⅱ）1:1l y =-【解析】（Ⅰ）由已知得到1b =，且24a =2a ∴=，所以椭圆的方程是22+14x y =；（步骤1）（Ⅱ）因为直线12l l ⊥，且都过点(0,1)P -，所以设直线1:110l y kx kx y =-⇒--=，直线21:1++0l y x x ky k k=--⇒=，数学试卷第19页（共21页）数学试卷第20页（共21页）数学试卷第21页（共21页）所以圆心(0,0)到直线1:110l y kx kx y =-⇒--=的距离为d =，（步骤2）所以直线1l 被圆22+4x y =所截的弦AB =；（步骤3）由22222++0+4+80+14x ky k k x x kx x y =⎧⎪⇒=⎨=⎪⎩，（步骤4）所以28++4D P k x x k =-||DP ∴=，（步骤5）所以222114||||22+4+44+3+13ABD S AB DP k k k ⨯====△232==≤=（步骤6）252k k =⇒=⇒=1:12l y x =±-（步骤7）【提示】（Ⅰ）由题意可得1b =，且24a =，即可得到椭圆的方程；（Ⅱ）因为直线12l l ⊥，且都过点(0,1)P -，所以设直线1:110l y kx kx y =-⇒--=，直线21:1++0l y x x ky k k=--⇒=.利用点到直线的距离公式和弦长公式即可得出圆心O 到直线1l 的距离和弦长||AB ，2l 与椭圆的方程联立即可得到点D 的横坐标，即可得出||PD ，即可得到三角形ABD 的面积，利用基本不等式的性质即可得出其最大值，即得到k 的值．【考点】直线与椭圆的位置关系，直线与圆的位置关系． 22.【答案】（Ⅰ）3(1)430a x y a --+-=（Ⅱ）max 33,(0)3|()|1+2(104331,4a a f x a a a a ⎧⎪-≤⎪⎪⎛⎫=-<<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩【解析】（Ⅰ）由已知得：2()36+3f x x x a '=-(1)33f a '∴=-，且(1)13+3+331f a a =--=，所以所求切线方程为：1(33)(1)y a x -=--，即为：3(1)+430a x y a ---=；（步骤1）（Ⅱ）由已知得到：2()36+33[(2)+]f x x x a x x a '=-=-，其中44a ∆=-，当[0,2]x ∈时，(2)0x x -≤，（步骤2）（1）当0a ≤时，()0f x '≤，所以()f x 在[0,2]x ∈上递减，所以max |()|max{(0),(2)}f x f f =，（步骤3）因为(0)3(1)f a =-，(2)31f a =-(2)0(0)f f ∴<<max |()|(0)33f x f a ==-；（步骤4）（2）当440a ∆=-≤，即1a ≥时，()0f x '≥恒成立，所以()f x 在[0,2]x ∈上递增，所以max |()|max{(0),(2)}f x f f =，（步骤5）因为(0)3(1)f a =-，(2)31f a =-(0)0(2)f f ∴<<max |()|(2)31f x f a ∴==-；（步骤6）（3）当440a ∆=->，即01a <<时，2()3630f x x x a '=-+=11x ∴=，21x =，且02x x<<<所以1()1+2(1f x a =-2()12(1f x a =--12()+()20f x f x ∴=>，312()()14(1)0f x fx a =--<12()()4(1f x f x a -=-，所以12()|()|f x f x >，（步骤7）所以max 1|()|max{(0),(2),()}f x f f f x =；（步骤8）由(0)(2)33310f f a a -=--+>203a ∴<<，所以（ⅰ）当203a <<时，(0)|(2)|f f >，所以(,1][,)x a ∈-∞+∞时，()y f x =递增，(1,)x a ∈时，()y f x =递减，所以max 1|()|max{(0),()}f x f f x =，（步骤9）因为21()(0)1+2(13+32(1(23)f x f a a a a -=-=--=，又因为203a <<，所以230a ->，340a ->，所以1()(0)0f x f ->，所以max 1|()|()1+2(1f x f x a ==-（步骤10）（ⅱ）当213a ≤<时，(2)0f >，(0)0f <，所以max 1|()|max{(2),()}f x f f x =，因为21()(2)1+2(13+12(1(32)f x f a a a a -=-=--=，此时320a ->，当213a <<时，34a -是大于零还是小于零不确定，所以①当2334a <<时，340a ->，所以1()|(2)|f x f >，所以此时max 1|()|()1+2(1f x f x a ==-；（步骤11） ②当314a ≤<时，340a -<，所以1()|(2)|f x f ≤，所以此时max |()|(2)31f x f a ==-（步骤12）综上所述：max 33,(0)3|()|1+2(104331,4a a f x a a a a ⎧⎪-≤⎪⎪⎛⎫=-<<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩．（步骤13）【提示】（Ⅰ）求出原函数的导函数，求出函数取1x =时的导数值及(1)f ，由直线方程的点斜式写出切线方程；（Ⅱ）求出原函数的导函数，分0a ≤，011a a <<≥，三种情况求|()|f x 的最大值．特别当01a <<时，仍需要利用导数求函数在区间(0,2)上的极值，然后在根据a 的范围分析区间端点值与极值绝对值的大小．【考点】利用导数求函数的最值问题．。

浙江师范大学附属中学2013学年高一期中考试数学卷及答案

浙师大附中2013学年第一学期期中考试高一青海天峻班数学试题卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合｛1，2，3｝的子集共有个数是（） A ．7B ．8C ．6D ．52．已知集合M={(x ，y )|4x ＋y =6}，P={(x ，y )|3x ＋2y =7}，则M ∩P 等于（） A ．(1，2) B ．{1}∪{2} C ．{1，2}D ．{(1，2)}3．设集合{0},{2,},{1,0,2}A B m A B ===-且,则实数m 等于 ( )A ．1-B ．1C ．0D ．24．集合M ＝{1，2，3，4}的真子集个数是（） A ．16B ．15C ．8D ．75．已知集合M 、P ，满足M ∪P ＝M ，则（） A ．P ＝M B ．M ∩P ＝P C ．P M ⊆ D ．M ⊇P 6. 若{1},{1}P x x Q x x =<>，则 ( )A ．R Q C P ⊆B ．Q P ⊆C ．R C P Q ⊆D ．P Q ⊆7．若集合{|21},{|02},A x x B x x =-<<=<<则集合A B 等于 ( )A ．{|11}x x -<<B ．{|01}x x <<C ．{|22}x x -<<D ．{|21}x x -<< 8．设集合A={x |1＜x ＜2}，B={x |x ＜a }满足A ⊆B ，则实数a 的取值范围是（） A ．2≤a B ．1≤a C ．1≥a D ．2≥a9．含有三个元素的集合A 可表示为{,,1}ba a，也可表示为2{,,0},a a b +则20122013a b +的值为（） A ．1 B ．2 C ．0 D ．1- 10．设A ＝｛x ｜x 2＋x －6＝0｝，B ＝｛x ｜ax ＋1＝0｝，满足A B ，则a 取值的集合是（） A ．｛31,21-｝B ．｛21-｝ C ．｛31｝ D ．｛31,21,0-｝二、填空题：（本大题有7小题，每小题4分，共28分.）11．设集合{7,},{1},,A a B A B B a ==-==则 ▲ ．12．设全集{|05},{|25},U U x x B x x C B =≤≤=≤<=则 ▲ ．13．某班50名学生参加一项体能和智能测验，已知体能优秀的有40人，智能优秀的有31人，两项都不优秀的有4人．则这项测验体能和智能都优秀的有 ▲ 人． 14．设全集{},,,,U a b c d e =，{}{}e d b N c b a M ,,,,,==，那么()()U U C M C N 是__▲ ．15．若函数223y x x =-+在0x m ≤≤上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围为_▲_． 16．设A={a 2，a ＋1，-1}，B={2a －1，| a －2 |， 3a 2＋4}，A ∩B={—1}，则a 的值是_▲ ． 17．设集合{2},{|10},,A B x ax AB B =-=+==若则实数a 的值是 ▲ ．三、解答题（本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18. (本小题满分14分）已知集合2{1,2,3,},{3,},A x B x ==且A B={1,2,3,},x 求x 的值.19. (本小题满分14分）已知集合2{|30}A x x px =+-=，集合2{|0}B x x qx p =--=，且{1}A B ⋂=-，求2p q +的值.20. (本小题满分14分）设全集{2,3,5,7,11,13,17,19},(){3,5}U U AC B ==(){7,19},()(){2,17},U U U C A B C A C B ==求集合,.A B21. (本小题满分15分）若{}R x b ax x x A ∈=++=,012|2,{}R x b ax x x B ∈=+-=,0|2，满足{},2)(=B A C u {}4)(=B C A U ，R U =，求实数b a ,的值。

2013年高考浙江卷理科数学试题及答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（浙江卷）选择题部分（共50分）一、选择题：每小题5分，共50分． 1．已知i 是虚数单位，则(−1+i)(2−i)=A ．−3+iB ．−1+3iC ．−3+3iD ．−1+i【命题意图】本题考查复数的四则运算，属于容易题【答案解析】B2．设集合S ={x |x >−2}，T ={x |x 2+3x −4≤0}，则( R S )∪T =A ．(−2，1]B ．(−∞，−4]C ．(−∞，1]D ．[1，+∞) 【命题意图】本题考查集合的运算，属于容易题【答案解析】C 因为( R S )={x |x ≤−2}，T ={x |−4≤x ≤1}，所以( R S )∪T =(−∞，1]. 3．已知x ，y 为正实数，则A ．2lg x +lg y =2lg x +2lg yB ．2lg(x +y )=2lg x ∙ 2lg yC ．2lg x ∙ lg y =2lg x +2lg yD ．2lg(xy )=2lg x ∙ 2lg y【命题意图】本题考查指数和对数的运算性质，属于容易题【答案解析】D 由指数和对数的运算法则，易知选项D 正确4．已知函数f (x )=A cos(ωx +φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ=π2”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【命题意图】本题考查简易逻辑以及函数的奇偶性，属于中档题【答案解析】B 由f (x )是奇函数可知f (0)=0，即cos φ=0，解出φ=π2+k π，k ∈Z ，所以选项B 正确5．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95，则A ．a =4B ．a =5C ．a =6D ．a =7【命题意图】本题考查算法程序框图，属于容易题【答案解析】A 6．已知α∈R ，sin α+2cos α=102，则tan2α= A ．43B ．34C ．−34D ．−43【命题意图】本题考查三角公式的应用，解法多样，属于中档题【答案解析】C 由(sin α+2cos α)2=⎝⎛⎭⎫1022可得sin 2α+4cos 2α+4sin αcos α sin 2α+cos 2α=104，进一步整理可得3tan 2α−8tan α−3=0，解得tan α=3或tan α=−13，于是tan2α=2tan α1−tan 2α=−34.（第5题图）7．设△ABC ，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B =14AB ，且对于AB 上任一点P ，恒有→PB ∙→PC ≥→P 0B ∙→P 0C ，则A ．∠ABC =90︒B ．∠BAC =90︒ C ．AB =ACD ．AC =BC 【命题意图】本题考查向量数量积的几何意义，不等式恒成立的有关知识，属于中档题【答案解析】D 由题意，设|→AB |=4，则|→P 0B |=1，过点C 作AB 的垂线，垂足为H ，在AB 上任取一点P ，设HP 0=a ，则由数量积的几何意义可得，→PB ∙→PC =|→PH ||→PB |=(|→PB |−(a +1))|→PB |，→P 0B ∙→P 0C =−|→P 0H ||→P 0B |=−a ，于是→PB ∙→PC ≥→P 0B ∙→P 0C恒成立，相当于(|→PB |−(a +1))|→PB |≥−a 恒成立，整理得|→PB|2−(a +1)|→PB |+a ≥0恒成立，只需∆=(a +1)2−4a =(a −1)2≤0即可，于是a =1，因此我们得到HB =2，即H 是AB 的中点，故△ABC 是等腰三角形，所以AC =BC 8．已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )=(e x −1)(x −1)k (k =1，2)，则 A ．当k =1时，f (x )在x =1处取到极小值 B ．当k =1时，f (x )在x =1处取到极大值C ．当k =2时，f (x )在x =1处取到极小值D ．当k =2时，f (x )在x =1处取到极大值【命题意图】本题考查极值的概念，属于中档题【答案解析】C 当k =1时，方程f (x )=0有两个解，x 1=0，x 2=1，由标根法可得f (x )的大致图象，于是选项A ，B 错误；当k =2时，方程f (x )=0有三个解，x 1=0，x 2=x 3=1，其中1是二重根，由标根法可得f (x )的大致图象，易知选项C 正确。

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(浙江卷,无答案)

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）选择题部分（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、设集合S={x|x>-2},T={x|-4≤x≤1},则S∩T=A、[-4,+∞）B、（-2, +∞）C、[-4,1]D、(-2,1]2、已知i是虚数单位，则(2+i)(3+i)=A、5-5iB、7-5iC、5+5iD、7+5i3、若αR，则“α=0”是“sinα<cosα”的A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件4、设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，A、若m∥α，n∥α,则m∥nB、若m∥α，m∥β,则α∥βC、若m∥n，m⊥α,则n⊥αD、若m∥α，α⊥β,则m⊥β5、已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是A、108cm3B、100 cm3C、92cm3D、84cm36、函数f(x)=sin xcos x+32cos 2x的最小正周期和振幅分别是A、π，1B、π，2C、2π，1D、2π，27、已知a、b、cR，函数f(x)=ax2+bx+c.若f(0)=f(4)>f(1)，则A、a>0,4a+b=0B、a<0,4a+b=0C、a>0,2a+b=0D、a<0,2a+b=08、已知函数y=f(x)的图像是下列四个图像之一，且其导函数y=f’(x)的图像如右图所示，则该函数的图像是9、如图F1、F2是椭圆C1：x24+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是A、 2B、 3C、32D、6210、设a，bR，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧∨若正数a、b、c、d满足A、a∧b≥2,c∧d≤2B、a∧b≥2,c∨d≥2C、a∨b≥2,c∧d≤2D、a∨b≥2,c∨d≥2非选择题部分（共100分）注意事项：1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。

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浙江师范大学《高等数学C(一)》考试卷（C 卷）
2012—2013学年第一学期
考试形式：闭卷使用学生： 2012级考试时间：120分钟出卷时间：2012年12月3日说明：考生应将全部答案写在答题纸上，否则无效.
一、选择题 (每小题2分, 共16分)
1. 若a x f x x =→)(lim 0
，则必有 . （A ）a 与)(0x f 无关（B ）f 在点0x 处有定义（C ）)(0x f a =（D ）)(0x f a ≠
2. 已知21sin ,0()ln(1),0x a x f x x
x x ⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩
在0=x 处连续，则a = . （A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）2
3. 若l x ax x x =+++-→1
4lim 31，则 . （A ）6,3-=-=l a （B ）3,6==l a （C ）3,6=-=l a （D ）6,3==l a
4. 函数x
x x f ln )(=的单调增加区间为 . （A ）（0，e ）（B ）（1，e ）（C ）（e ，∞+）（D ）（0，∞+）
5. 设)(x f 在0x 处可导，则=--+→h
h x f h x f h )()(lim 000 . （A ）)(0x f ' （B ）)(20x f ' （C ）0 （D ）)2(0x f '
6. 设)(1x F 与)(2x F 是)(x f 在区间I 上的两个不同的原函数，则存在常数c 使得 .
（A ）c x F x F =+)()(21 （B ）c x F x F =)()(21
（C ）)()(21x cF x F = （D ）c x F x F =-)()(21
7. 若则,)(lim c x f x =∞
→ . （A ）曲线)(x f y =有水平渐近线c y = （B ）c x f =)(
（C ）曲线)(x f y =有铅直渐近线c x = （D ）)(x f 为有界函数
8. 已知⎰+=c x x x f 2d )(，则⎰=-x x f x d )1(2 .
（A ）C x +-22)1(2 （B ）C x +--22)1(2
1 （C ）C x +-22)1(2
1 （D ）C x +--)1(22
二、填空题 (每小题3分, 共15分)
1. 12)1(2-+=-x x x f ，则=)(x f ① .
2. 设)23ln(2++=x x y ，则=dy ② .
3. 函数x e sin 的导函数是 ③ .
4. 曲线12+=x y 在点1x =处的切线方程为 ④ .
5. 已知x x ln 是)(x f 的一个原函数，则⎰='x x f x d )( ⑤ .
三、计算题 (每小题7分, 共49分)
1. 求极限x x x )1
11(lim +--∞→. 2. 求极限)
2sin(2arctan 4lim 2--→x x x π. 3. 设)12ln(3+=x x y ，求dx
dy 和dy . 4. 设参数方程为⎪⎩
⎪⎨⎧+==⎰t u u u e y t x 202d 1)2arctan(2，求dx dy 和22dx y d . 5. 设)(x e f y -=,若f 可微，求22dx
y d . 6. 求不定积分⎰+x x
x d 1. 7. 求定积分⎰2
1d ln x x x .
四、应用题（每小题7分，共14分）
1. 求曲线2
x xe y -=与其渐近线之间的无界区域的面积.
2. 求由曲线)4(x x y -=和x 轴所围平面图形绕x 轴旋转而成的旋转体体积
五、证明题 (每小题6分, 共6分)
1. 证明x e x +≥1.
2.。