高一上学期期末拉练数学试题

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高一上学期期末考试数学试题(含答案)

高一上学期期末考试数学试题(含答案) 高一上学期期末考试数学试题（含答案）第I卷选择题（共60分）1.sin480的值为()A。

-1133B。

-2222C。

2222D。

11332.若集合M={y|y=2,x∈R}，P={x|y=x-1}，则M∩P=()A。

(1,+∞)B。

[1,+∞)C。

(-∞,+∞)D。

(-∞。

+∞)3.已知幂函数通过点(2,22)，则幂函数的解析式为()A。

y=2xB。

y=xC。

y=x2D。

y=x1/24.已知sinα=-1/2，且α是第二象限角，那么tanα的值等于()A。

-5/3B。

-4/3C。

4/3D。

5/35.已知点A(1,3)，B(4,-1)，则与向量AB同方向的单位向量为()A。

(3/5,-4/5)B。

(-3/5,4/5)C。

(-4/5,-3/5)D。

(4/5,3/5)6.设tanα，tanβ是方程x2-3x+2=0的两根，则tan(α+β)的值为()A。

-3B。

-1C。

1D。

37.已知锐角三角形ABC中，|AB|=4，|AC|=1，△ABC的面积为3，则AB·AC的值为()A。

2B。

-2C。

4D。

-48.已知函数f(x)=asin(πx+β)+bcos(πx+β)，且f(4)=3，则f(2015)的值为()A。

-1B。

1C。

3D。

-39.下列函数中，图象的一部分如图所示的是()无法确定图像，无法判断正确选项）10.在斜△ABC中，sinA=-2cosB·cosC，且tanB·tanC=1-2，则角A的值为()A。

π/4B。

π/3C。

π/2D。

2π/311.已知f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间[2,+∞)上是减函数，则实数a的取值范围是()A。

(-∞,4]B。

(-∞,4)C。

(-4,4]D。

[-4,4]12.已知函数f(x)=1+cos2x-2sin(x-π/6)，其中x∈R，则下列结论中正确的是()A。

f(x)是最小正周期为π的偶函数B。

安徽省高一上学期期末考试数学试题(解析版)

一、单选题1．已知集合，，则（）{}=1A x x ≤{}=Z 04B x x ∈≤≤A B = A ．B ．C ．D ． {}0<<1x x {}01x x ≤≤{}0<4x x ≤{}0,1【答案】D【分析】根据集合的交运算即可求解.【详解】由得，所以，{}=Z 04B x x ∈≤≤{}0,1,=2,3,4B {}0,1A B = 故选：D2．“”是“”的（） 6x π=1sin 2x =A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】若，则成立，逆命题不成立，可得出结论. 6x π=1sin 2x =【详解】当时，， 6x π=1sin 2x =所以“”是“”的充分条件， 6x π=1sin 2x =当时，或，， 1sin 2x =26x k ππ=+526x k ππ=+Z k ∈所以“”是“”的不必要条件， 6x π=1sin 2x =即“”是“”的充分不必要条件， 6x π=1sin 2x =故选：A.3．已知，则下列不等式成立的是0a b >>A ．BC ．D ．11a b >>lg lg a b <22a b -->【答案】B【分析】由于，可以根据分式、根式、对数式、指数式对应的函数的单调性直接分析即0a b >>可.【详解】∵，∴，. 0a b >>11a b<>lg lg a b >22a b --<只有B 正确．故选B ．【点睛】本题考查基本初等函数的单调性并利用单调性比较大小，难度较易.4．函数的定义域是（） ()12f x x =+A ． B ． [)3-+∞，[)32--，C ．D ． [)()322--⋃-+∞，，()2-+∞，【答案】C 【分析】根据解析式，列出不等式，求出使解析式有意义的自变量的范围，即可得出结果.【详解】因为， ()12f x x =++所以，解得且， 3020x x +≥⎧⎨+≠⎩3x ≥-2x ≠-即函数的定义域为. ()f x [)()322--⋃-+∞，，故选：C.【点睛】本题主要考查求具体函数的定义域，属于基础题型.5．已知函数，则的值为（） ()()sin ,042,0x x f x f x x π⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩()3f -A ．BC ．1D ．1-【答案】B 【解析】根据函数解析式，结合特殊角的三角函数值，即可求得结果.【详解】依题意()()()()()3321121sin4f f f f f π-=-+=-=-+===故选：B【点睛】本题考查分段函数函数值的求解，涉及特殊角的正弦值，属综合简单题.6．设函数，则下列函数中为奇函数的是（） 3()1x f x x +=+A ．B ． (1)1f x --(1)1f x -+C ．D ． (1)1f x +-(1)1f x ++【答案】A【分析】根据给定的函数，逐一计算各个选项中的函数，并分别判断作答.【详解】函数， 32()111x f x x x +==+++对于A ，，其图象关于原点对称，是奇函数，A 是； 2(1)1f x x --=对于B ，，其图象关于原点不对称，不是奇函数，B 不是； 2(1)12f x x-+=+对于C ，，其图象关于原点不对称，不是奇函数，C 不是； 2(1)12f x x +-=+对于D ，，其图象关于原点不对称，不是奇函数，D 不是. 2(1)122f x x ++=++故选：A 7．幂函数在区间上单调递增，且，则的值()()22251m m f x m m x +-=--()0,∞+0a b +>()()f a f b +（）A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断【答案】A【分析】由已知条件求出的值，则可得幂函数的解析式，再利用幂函数的性质判断即可m 【详解】由函数是幂函数，可得，解得或．()()22251m m f x m m x +-=--211m m --=2m =1m =-当时，；当时，．2m =()3f x x =1m =-()6f x x -=因为函数在上是单调递增函数，故．()f x ()0,∞+()3f x x =又，所以，0a b +>a b >-所以，则．()()()f a f b f b >-=-()()0f a f b +>故选：A ．8．德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割，如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是两底角为的等腰三角形（另72︒一种是两底角为的等腰三角形）．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图36o所示，在其中一个黄金△ABC 中，sin 54°＝（） BC AC =A BCD【答案】C【分析】先求出，再借助倍角公式求出，通过诱导公式求出sin 54°.cos 72 cos144 【详解】正五边形的一个内角为，则，31801085⨯=︒72ABC ACB ∠=∠= ， 12cos cos 72BC ABCAB ∠===()2cos144cos 9054sin 542cos 721=+=-=-= sin54= 故选：C.二、多选题9．与角终边相同的角是（） 43π-A ．B ． 3π23πC ．D ． 43π103π-【答案】BD【分析】写出终边相同的角的集合，再判断选项.【详解】与角终边相同的角的集合是， 43π-42,3k k Z ααππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭当时，，当时，. 1k =23απ=1k =-103απ=-故选：BD10．已知不等式的解集为，则以下选项正确的有（）20ax bx c ++>{}2<<3x x A ． B ．0a <0c >C ．的解集为 D ．的解集为或 20cx bx a ++<11<<32x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭20cx bx a ++<1<3x x ⎧⎨⎩1>2x ⎫⎬⎭【答案】AD 【分析】依题意可以判断，，利用根和系数的关系求出，代入a<00c <5b a =-6c a =求解即可.20cx bx a ++<【详解】不等式的解集为20ax bx c ++>{}2<<3x x根据一元二次不等式解法可知，且， ∴a<05b a -=60c a =>0c ∴<故由上可知A 正确，B 错误；由，可知：将，代入 5b a -=6c a=5b a =-6c a =20cx bx a ++<2056ax x a a -∴+<由可得：，解得：或 a<026510x x -+>13x <12x >故的解集为或，C 错误，D 正确； 20cx bx a ++<1<3x x ⎧⎨⎩1>2x ⎫⎬⎭故选：AD11．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭（）A ．2ω=B ．的图象关于直线对称 ()f x 5π12x =-C ．在上单调递减 ()f x 2ππ,36⎡⎤--⎢⎣⎦D ．该图象向右平移个单位可得的图象 π62sin 2y x =【答案】ABD【分析】由图象求得函数解析式，然后根据正弦函数性质及图象变换判断各选项．【详解】根据函数的部分图象，可得，()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭2A =，所以，故A 正确； 12πππ44312T ω=⨯=-2ω=利用五点法作图，可得，可得，所以，令，求得π2π3ϕ⨯+=π3ϕ=()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭5π12x =-，为最小值，故函数的图象关于直线对称，故B 正确； ()2f x =-()y f x =5π12x =-当时，，函数没有单调性，故C 错误； 2ππ,36x ⎡⎤∈--⎢⎣⎦[]2,03x π+∈-π()f x 把的图象向右平移个单位可得的图象，故D 正确． ()f x π62sin 2y x =故选：ABD ．12．已知函数（且）在定义域内存在最大值，且最大值为()()()log 1log 3a a f x x x =-++0a >1a ≠，，若对任意，存在，使得，则实数的取值2()212x xm g x ⋅-=111,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦[]21,1x ∈-()()12f x g x ≥m 可以是（）A ．B ．0C ．D ．31-2log 7【答案】ABC【分析】先求出，得到时， ()()22log 14f x x ⎡⎤=-++⎣⎦11,2x ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦()[]2log 72,2.f x ∈-再由题意得到，即可求出m 的范围，对照四个选项即可得到正确答案.2log 722m --…【详解】定义域为.()f x ()3,1- ()()()()()22log 1log 3log 23log 14a a a a f x x x x x x ⎡⎤=-++=--+=-++⎣⎦由题意知时，，即.=1x -()2f x =log 42,2a a =∴=此时， ()()22log 14f x x ⎡⎤=-++⎣⎦时， 11,2x ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦()[]2log 72,2.f x ∈-时，，由得. ()[]1,1,12x g x m x =-∴∈- min ()2g x m =-2log 722m --…2log 7m …对照四个选项，可以选:ABC.故答案为：ABC三、填空题 13．若是钝角，，则____________． α()1sin π4α-=tan α=【答案】/ 【分析】由诱导公式求得，再由同角关系式求得．sin αtan α【详解】， ()1sin πsin 4αα-==因为是钝角，所以． αcos α==sin tan cos ααα==故答案为：14．已知半径为3的扇形面积为，则这个扇形的圆心角为 ________ ． 32π【答案】3π【解析】由扇形的面积公式直接求解.【详解】由扇形面积公式， 21122S l r r α=⋅=⋅可得圆心角， 22322233S r ππα⨯===故答案为：. 3π【点睛】(1)在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．(2)求扇形面积的最值应从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值.15．设二次函数（，）的值域是，则的最小值是()22f x mx x n =++m n ∈R [)0,∞+11m n+____________．【答案】2【分析】结合二次函数图象，由值域为，求得，，再由基本不等式求解即可.[)0,∞+0m >1mn =【详解】当二次函数的图象开口向上，且与轴有且只有一个交点时，其值域()22f x mx x n =++x 为，[)0,∞+∴，∴，，. 20Δ24440m mn mn >⎧⎨=-=-=⎩1mn =0m >0n >∴由基本不等式，， 112m n +≥=当且仅当时等号成立．1m n ==∴的最小值是． 11m n+2故答案为：.216．已知函数，若方程有3个实数根，则实数k 的取值范围是221,0()21,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩()0f x k -=________.【答案】(0,1)【分析】将问题转化为与有3个交点，根据分段函数解析式确定的区间性质，结合()f x y k =()f x 函数图象判断交点情况，进而求k 的范围.【详解】由题意，方程有3个实数根，即为与有3个交点，()0f x k -=()f x y k =由的解析式知：当时，；当时，对称轴为且；图象如()f x 0x <()(0,1)f x ∈0x ≥1x =()[0,)f x ∈+∞下图示：∴当且仅当时，与有3个交点，即有3个实根.01k <<()f x y k =()0f x k -=故答案为：(0,1)【点睛】关键点点睛：转化为函数图象的交点问题，根据分段函数的性质，应用数形结合的方法确定参数的范围.四、解答题17．（1；)0m >（2）若，求的值．3log 41x =44x x -+【答案】（1）1；（2） 103【分析】（1）化成同底数指数幂的形式，底数不变指数相加减，即可求出结果.（2）通过方程求出x 的值，代入表达式即可.【详解】（1）原式． 1111115132423464051641m m m m m m m ++--⋅⋅====⋅（2）∵，3log 41x =∴， 431log 3log 4x ==∴． 4441log log 3log 33110444434333x x --+=+=+=+=18．已知集合,． {}22|240A x x ax a =-+-≤{}|12=-<<B x x(1)若，求；3a =A B ⋃(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．x A ∈x B ∈【答案】(1){}|15A B x x ⋃=-<≤(2)[0,1]【分析】（1）由已知确定集合，再根据集合的并集运算即可；A （2）若“”是“”的必要不充分条件，则B 是A 的真子集，列不等式求解，即可得实数a x A ∈x B ∈的取值范围．【详解】（1）解：若，则，又3a ={}{}2|650|15A x x x x x =-+≤=≤≤{}|12=-<<B x x 所以；{}|15A B x x ⋃=-<≤（2）解：，{}{}22|240|22A x x ax a x a x a =-+-≤=-≤≤+因为“”是“”的必要不充分条件，所以B 是A 的真子集，x A ∈x B ∈所以，解得，所以实数a 的取值范围是． 2122a a -≤-⎧⎨+≥⎩01a ≤≤[0,1]19．已知函数. ()sin cos 1f x x x x =++(1)求的最小正周期和单调递增区间；()f x (2)当时，求的最大值和最小值. ,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()f x 【答案】(1)，； π5[,](Z)1212k k k ππππ-+∈(2)最大值，最小值.212【分析】（1）利用二倍角的正弦、辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解作答. ()f x （2）在给定条件下求出（1）中函数的相位，再利用正弦函数的性质求解作答.【详解】（1）依题意，，则的最小正周期()1sin 221sin 2123f x x x x π⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭()f x ， 22T ππ==由，得， ()222Z 232k x k k πππππ-≤+≤+∈()5Z 1212k x k k ππππ-≤≤+∈所以的单调递增区间是. ()f x 5[,](Z)1212k k k ππππ-+∈（2）由（1）知，，由，得， ()sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦52,366x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦当，即时，有最大值， 232x ππ+=12x π=()f x 11212f π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭当时，即时，有最小值. 236x ππ+=-4x π=-()f x 111422f π⎛⎫-=-+= ⎪⎝⎭20．已知函数，其中且． ()2ln 2mx f x x-=+0m >()()011f f +-=(1)求的值并写出函数的解析式；m (2)判断并证明函数的奇偶性；()f x (3)已知在定义域上是单调递减函数，求使的的取值范围．()f x ()ln 3f x <x 【答案】(1)， 1m =()2ln2x f x x -=+(2)奇函数，证明见解析(3)()1,2x ∈-【分析】（1）由求解即可；()()011f f +-=（2）由函数奇偶性的定义判断并证明即可；（3）由，结合函数单调性求解即可. ()()()21ln 3ln 121f --==-+-【详解】（1）由已知，， ()()()2222411ln ln ln ln 2ln 0212133m m m m f f m -+--+-=+=++==+-∴，解得（舍）或， 2413m -=1m =-1m =∴． ()2ln 2x f x x -=+（2）为奇函数，证明如下：()f x ∵，∴由即，解得， ()2ln 2x f x x -=+202x x->+()()220x x -+>22x -<<∴的定义域为，()f x ()2,2-，都有，()2,2x ∀∈-()2,2x -∈-且，即， ()()()()()()2222ln ln ln ln102222x x x x f x f x x x x x -+-++-=+===+-+-()()f x f x -=-∴函数是定义在上的奇函数．()f x ()2,2-（3）∵在定义域上单调递减，， ()f x ()()()()212lnln 3ln 1221x f x f x ---=<==-++-∴解得，1x >-又∵的定义域为，()f x ()2,2-∴的取值范围是．x ()1,2-21．某公司生产“中国共产党成立100周年”纪念手册，向人们展示党的百年光辉历程，经调研，每生产万册，需要生产成本万元，若生产量低于20万册，；若生产量不低于x ()C x 2()20C x x x =+20万册，. 上市后每册纪念册售价50元，根据市场调查发现生产的纪念册2500()54500C x x x =+-能全部售出.(1)设总利润为万元，求函数的解析式（利润=销售额成本）；y ()y f x =-(2)生产多少册纪念册时，总利润最大？并求出最大值. 【答案】(1) 230,020()2500500(4),20x x x f x x x x ⎧-+<<⎪=⎨-+≥⎪⎩(2)当生产25万册时，总利润最大，为300万元【分析】（1）按生产量不低于20万册和低于20万册两种情况分别去求函数的解析式； ()y f x =（2）分段求得函数的最大值，二者中较大者为最大总利润.()f x 【详解】（1）当时，020x <<22()50(20)30f x x x x x x =-+=-+当时， 20x ≥25002500()50(54500)500(4)f x x x x x x=-+-=-+所以 230,020()2500500(4),20x x x f x x x x ⎧-+<<⎪=⎨-+≥⎪⎩（2）当时，020x <<22()30(15)225f x x x x =-+=--+当时，取得最大值为22515x =()f x 当时，， 20x≥25004200x x +≥=（当且仅当，即时取得等号.） 25004x x =25x =所以，即当时，取得最大值为300. 2500()500(4)300f x x x=-+≤25x =()f x因为，所以当生产25万册时，总利润最大，为300万元.225300<22．已知函数，．()()412x x f x k k k =⋅-++R k ∈(1)若的最小值是，求的值．()f x 1-k (2)是否存在，使得当的定义域为时，的值域为？若存1k >()f x [](),0a b b a >>()f x 112,2a b ++⎡⎤⎣⎦在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．k 【答案】(1)； 13k =(2)不存在，理由见解析.【分析】（1）讨论、，结合换元法、二次函数的性质及最值求参数即可.0k =0k ≠()f x k （2）根据（1）及已知判断的单调性，进而将问题转化为有两个不同()f x ()14122x x x k k k +⋅-++=的正根，结合二次函数性质列不等式组求，即可判断存在性.k 【详解】（1）当时，，没有最小值，不符合题意．0k =()2x f x =-当时，设，则．0k ≠()20x t t =>()()21g t kt k t k =-++①当时，的图象开口向下，无最小值，则无最小值，不符合题意． 0k <()g t ()g t ()f x ②当时，对称轴，因为的最小值是， 0k >102k t k +=>()f x 1-所以， ()()2min 11111222k k k g t g k k k k k k +++⎛⎫⎛⎫==-++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简得，解得（舍去）或， 23210k k +-=1k =-13k =所以． 13k =（2）当时，由（1）知：，[],x a b ∈1t >当时，的对称轴， 1k >()()21g t kt k t k =-++()10,12k t k+=∈所以当时为增函数，即为增函数．1t >()g t ()f x 所以定义域为时，值域为可转化为有两个不同()f x [],a b ()f x 112,2a b ++⎡⎤⎣⎦()14122x x x k k k +⋅-++=的正根，．a b 所以有两个大于1且不相等的根．()230k t k t k ⋅-++=所以，解得， ()()220Δ34031230k k k k k k k k >⎧⎪=+->⎪⎪⎨+>⎪⎪-++>⎪⎩k ∈∅所以不存在满足题意的． k。

高一上学期期末考试数学试题(解析版)

【答案】①.365.25②.四
【解析】
【分析】（1）利用周期公式求出一个回归年对应的天数；
（2）先计算出4个回归年经过的天数再根据周期即可求解.
【详解】因为周期所以一个回归年对应的天数约为365.25；
一个回归年对应的天数约为365.25则4个回归年经过的天数为 .
因为且该年春分日是星期六所以4个回归年后的春分日应该是星期四.
故答案为：365.25；四.
16.1881年英国数学家约翰·维恩发明了Venn图用来直观表示集合之间的关系．全集集合的关系如图所示其中区域ⅠⅡ构成M区域ⅡⅢ构成N．若区域ⅠⅡⅢ表示的集合均不是空集则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】由又区域ⅠⅡⅢ表示的集合均不是空集则或解不等式组即可．
所以至少再经过小时细菌数量达到百万个．
21.如图点在函数的图象上．
（1）求函数的解析式；
（2）若函数图象上的两点满足求四边形OMQN面积的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由图可求出从而求得由图可知函数处取得最小值从而可求出的值再将点的坐标代入函数中可求出进而可求出函数的解析式
13.写出一个在区间上单调递增幂函数： ______．
【答案】x（答案不唯一）
【解析】
【分析】由幂函数的性质求解即可
【详解】因为幂函数在区间上单调递增
所以幂函数可以是
故答案为：（答案不唯一）
14.函数的定义域为______．
【答案】
【解析】
【分析】由对数的真数大于零二次根式的被开方数非负分式的分母不为零列不等式组可求得答案
9.已知则的值可能是（）

高一数学上学期期末试题及答案

高一数学上学期期末试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，为奇函数的是：A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(-x) = -f(x)D. f(x) = x答案：B2. 已知集合A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A∩B的元素个数为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B3. 函数y=2x+1的图象与x轴的交点坐标是：A. (0, 1)B. (-1, 0)C. (0, -1)D. (1, 0)答案：C4. 已知等差数列{an}的首项为1，公差为2，则其第5项a5的值为：A. 1B. 5C. 9D. 11答案：C5. 函数f(x)=x^2-6x+8的对称轴方程是：A. x=-3B. x=3C. x=-2D. x=2答案：B6. 直线y=2x+3与直线y=-x+1的交点坐标为：A. (1, 2)B. (-1, 2)C. (1, -2)D. (-1, -2)答案：A7. 已知圆心在(2, -3)，半径为5的圆的标准方程是：A. (x-2)^2 + (y+3)^2 = 25B. (x+2)^2 + (y-3)^2 = 25C. (x-2)^2 + (y-3)^2 = 25D. (x+2)^2 + (y+3)^2 = 25答案：A8. 函数y=3sin(2x-π/3)的周期是：A. πB. 2πC. π/2D. π/3答案：A9. 已知向量a=(1, 2)，向量b=(-2, 1)，则向量a与向量b的点积为：A. -3B. 0C. 3D. 5答案：A10. 函数y=x^3-3x+1的单调递增区间是：A. (-∞, 1)B. (1, +∞)C. (-∞, -1)D. (-1, +∞)答案：B二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数y=x^2-6x+8的最小值是____。

答案：212. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=9，S6=24，则a4+a5+a6=____。

高一数学上学期期末试卷及答案

上学期期末考试高一数学试卷一、选择题（12分×5=60分）1．设集合x x M ≤-=4|{<2}，集合xx N 3|{=<}91，则N M 中所含整数的个数为( ) A ．4 B ．3C ．2D ．12．下列函数中，既是奇函数又在区间0,+∞（）上单调递增的函数为（）A.1y x -= B.ln y x = C.||y x = D.3y x =3.设8.012.1og a =，8.017.0og b =，8.02.1=c ,则a ，b ，c 的大小关系是（）A.a b c <<B.b a c <<C.a c b <<D.c a b <<4．已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖B ．,,m m αβαβ若则‖‖‖C ．,,m n m n αα若则‖‖‖D ．,,m n m nαα⊥⊥若则‖5．两条直线3)1(:1=++y a ax l ，2)23()1(:2=-++y a x a l 互相垂直，则a 的值是A ．3B ．1-C ．1- 或3D ．0 或 36．若函数⎩⎨⎧≥-<+-=)0()24()0()(2x a x a ax x x f x是R 上的单调函数,则实数a 的取值范围是（）A.)2,0[B.)2,23( C.]2,1[ D.]1,0[7已知a ,b ,c 为直角三角形中的三边长，c 为斜边长，若点),(n m M 在直线03:=++c by ax l 上，则22n m +的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．98.如图，在棱长为4的正四面体ABCD 中，M 是BC 的中点，点P 在线段AM 上运动(P 不与A ，M 重合)，过点P 作直线l ⊥平面ABC ，l 与平面BCD 交于点Q ，给出下列命题： ①BC ⊥平面AMD ；②Q 点一定在直线DM 上； ③VCAMD＝4 2.其中正确命题的序号是( )．A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③9．已知圆1)2()(:221=-++y a x C 与圆4)2()(:222=-+-y b x C 相外切, ,a b 为正实数,则ab 的最大值为（）A. 23B.94 C. 32 D. 6210.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(]0-，∞上单调递减，若()10f -=，则不等式()210f x ->解集为（）A ．()()6,01,3-B ．()(),01,-∞+∞ C.()(),13,-∞+∞ D ．()(),13,-∞-+∞11.一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球表面积为A ．29πB ．30π C.29π2 D ．216π12．已知幂函数2422)1()(+--=m m xm x f 在()0,+∞上单调递增，函数t x g x-=2)(，)6,1[1∈∀x 时，总存在)6,1[2∈x 使得()()12f x g x =，则t 的取值范围是（）A ．∅B ．128≤≥t t 或C ．128<>t t 或D ．128t ≤≤二、填空题（4分×5=20分）13.函数1()lg(5)2=+--f x x x 的定义域为． 14．点A(1，a,0)和点B(1－a,2,1)的距离的最小值为________．15.三条直线12110230,50l x y l x y l x my +-=-+=--=:，::围成一个三角形，则m 的取值范围是 . 16. 已知函数52log (1)(1)()(2)2(1)x x f x x x ⎧-<=⎨--+≥⎩，则关于x 的方程1(2)f x a x +-=的实根个数构成的集合为 .三、解答题（10分+12分×5=70分）17．集合(]2,3A =,()1,3B =,[),C m =+∞,全集为R . (1)求()R C A B ;(2)若()A B C ≠∅,求实数m 的取值范围.18．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=，PA ⊥面ABCD ，PA =E ，F 分别为BC ，PA （1）求证：//BF 面PDE ；（2）求点C 到面PDE 的距离．19．已知函数()4f x x x=+(1) 用函数单调性的定义证明()x f 在区间[)2,+∞上为增函数 (2) 解不等式:()()2247f x x f -+≤20．已知圆M 上一点A (1，－1)关于直线y x =的对称点仍在圆M 上，直线10x y +-=截得圆M 14(1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线20x y ++=上的动点，PE PF 、是圆M 的两条切线，E F 、为切点，求四边形PEMF 面积的最小值．21. 如图甲，在平面四边形ABCD 中，已知∠A=45°，∠C=90°，∠ADC=105°，AB=BD ，现将四边形ABCD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BDC （如图乙），设点E 、F 分别为棱AC 、AD 的中点．（1）求证：DC ⊥平面ABC ；（2）设CD=1，求三棱锥A ﹣BFE 的体积．22.已知函数112()log x x f x -+=,()31g x ax a =+-,()()()h x f x g x =+.(1)当1a =时,判断函数()h x 在(1,)+∞上的单调性及零点个数;(2)若关于x 的方程2()log ()f x g x =有两个不相等实数根,求实数a 的取值范围.上学期期末考试高一数学试卷一、选择题（12分×5=60分）1．设集合x x M ≤-=4|{<2}，集合xx N 3|{=<}91，则N M 中所含整数的个数为( C ) A ．4 B ．3C ．2D ．12．下列函数中，既是奇函数又在区间0,+∞（）上单调递增的函数为（ D ）A.1y x -= B.ln y x = C.||y x = D.3y x =3.设8.012.1og a =，8.017.0og b =，8.02.1=c ,则a ，b ，c 的大小关系是（ A ）A.a b c <<B.b a c <<C.a c b <<D.c a b <<4．已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ D ）A ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖B ．,,m m αβαβ若则‖‖‖C ．,,m n m n αα若则‖‖‖D ．,,m n m nαα⊥⊥若则‖5．两条直线3)1(:1=++y a ax l ，2)23()1(:2=-++y a x a l 互相垂直，则a 的值是 (C)A ．3B ．1-C ．1- 或3D ．0 或 36．若函数⎩⎨⎧≥-<+-=)0()24()0()(2x a x a ax x x f x是R 上的单调函数,则实数a 的取值范围是（ B ）A.)2,0[B.)2,23( C.]2,1[ D.]1,0[7已知a ,b ,c 为直角三角形中的三边长，c 为斜边长，若点),(n m M 在直线03:=++c by ax l 上，则22n m +的最小值为（ D ）A ．2B ．3C ．4D ．98.如图，在棱长为4的正四面体A BCD 中，M 是BC 的中点，点P 在线段AM 上运动(P 不与A ，M 重合)，过点P 作直线l ⊥平面ABC ，l 与平面BCD 交于点Q ，给出下列命题： ①BC ⊥平面AMD ；②Q 点一定在直线DM 上； ③V C AMD ＝4 2.其中正确命题的序号是( A )．A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③9．已知圆1)2()(:221=-++y a x C 与圆4)2()(:222=-+-y b x C 相外切, ,a b 为正实数,则ab 的最大值为（ B ）A. 23B.94 C. 32 D. 6210.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(]0-，∞上单调递减，若()10f -=，则不等式()210f x ->解集为（ B ）A ．()()6,01,3-B ．()(),01,-∞+∞ C.()(),13,-∞+∞ D ．()(),13,-∞-+∞11.一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球表面积为AA ．29πB ．30π C.29π2 D ．216π12．已知幂函数2422)1()(+--=m m xm x f 在()0,+∞上单调递增，函数t x g x-=2)(，)6,1[1∈∀x 时，总存在)6,1[2∈x 使得()()12f x g x =，则t 的取值范围是（ D ）A ．∅B ．128≤≥t t 或C ．128<>t t 或D ．128t ≤≤二、填空题（4分×5=20分）13.函数1()lg(5)2=+--f x x x 的定义域为 (2,5) ． 14．点A(1，a,0)和点B(1－a,2,1)的距离的最小值为___3_____．15.三条直线12110230,50l x y l x y l x my +-=-+=--=:，::围成一个三角形，则m 的取值范围是 1,4,2m ≠-- .16. 已知函数52log (1)(1)()(2)2(1)x x f x x x ⎧-<=⎨--+≥⎩，则关于x 的方程1(2)f x a x +-=的实根个数构成．．的集合为．．．．{}2,3,4,5,6,8三、解答题（10分+12分×5=70分）17．集合(]2,3A =,()1,3B =,[),C m =+∞,全集为R .(1)求()R C A B ;(2)若()AB C ≠∅,求实数m 的取值范围.17解：（1）(]1,2,（2）3m ≤18．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=，PA ⊥面ABCD ，PA =E ，F 分别为BC ，PA （1）求证：//BF 面PDE ；（2）求点C 到面PDE 的距离．18.解（1）如图所示，取PD 中点G ，连结GF ，GE ，∵E ，F 分别为BC ，PA 的中点，∴可证得//FG BE ，FG BE =，∴四边形BFGE 是平行四边形，∴//BF EG ，又∵EG ⊂平面PDE ，BF ⊄平面PDE ，∴ //BF 面PDE ；（2）∵P CDE C PDE V V --=，∴11213372CDE CDE PDE PDE S PA S PA S h h S ∆∆∆∆⨯⨯=⨯⇒=== 19．已知函数()4f x x x=+(1) 用函数单调性的定义证明()x f 在区间[)2,+∞上为增函数 (2) 解不等式:()()2247f x x f -+≤19解: (1) 略(2) 2242x x -+≥, 所以2247x x -+≤[]1,3x ⇒∈-20．已知圆M 上一点A (1，－1)关于直线y x =的对称点仍在圆M 上，直线10xy +-=截得圆M (1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线20x y ++=上的动点，PE PF 、是圆M 的两条切线，E F 、为切点，求四边形PEMF 面积的最小值．20．解 (1)圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.(2) |PM |min ＝22,得|PE |min ＝2.知四边形PEMF 面积的最小值为4.21. 如图甲，在平面四边形ABCD 中，已知∠A=45°，∠C=90°，∠ADC=105°，AB=BD ，现将四边形ABCD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BDC （如图乙），设点E 、F 分别为棱AC 、AD 的中点．（1）求证：DC ⊥平面ABC ；（2）设CD=1，求三棱锥A ﹣BFE 的体积．21解：（1）证明：在图甲中，∵AB=BD ，且∠A=45°， ∴∠ADB=45°，∠ABC=90° 即AB ⊥BD ．在图乙中，∵平面ABD ⊥平面BDC ，且平面ABD ∩平面BDC=BD ， ∴AB ⊥底面BDC ，∴AB ⊥CD ．又∠DCB=90°， ∴DC ⊥BC ，且AB ∩BC=B ，∴DC ⊥平面ABC ．（2）31222.已知函数112()log x x f x -+=,()31g x ax a =+-,()()()h x f x g x =+.(1)当1a =时,判断函数()h x 在(1,)+∞上的单调性及零点个数;(2)若关于x 的方程2()log ()f x g x =有两个不相等实数根,求实数a 的取值范围.22解:(1)在(1,)+∞上为增函数，22(1.1) 3.3log 210,(2)6log 30h h =-<=->，所以有一个零点.(2) 方程2()log ()f x g x =化简为2(31)(1)x x a -=-+,画图可知24a->,解得a 的取值范围是1(,0)2-.。

高一上册期末数学试题带答案

高一上册期末数学试题带答案一、选择题1．若全集{1,2,3,4,5,6},{1,4},{2,3}U M N ，则集合{5,6}等于（）A ．M N ⋃B ．M N ⋂C ．()()U UM N D ．()()U UM N2．函数1()3f x x =+的定义域为（） A ．(3,0]- B ．(3,1]- C ．(,3)(3,0]-∞-- D ．(,3)(3,1]-∞-- 3．若cos 0,tan 0αα>>，则角α是（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角4．在平面直角坐标系中，角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在直线2y x =-上，则sin 2α的值为（）．A ．45-B ．45±C ．35D ． 5．已知函数()2x f x e x =--有一个零点所在的区间为()()*,1k k k N +∈，则k 可能等于（） A ．0B ．1C ．2D ．36．为净化水质，向游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C （单位：mg /L ）随时间t （单位：小时）的变化关系为220()t aC t t b+=+（,a b 为常数，0t ≥），当0t =时池水中药品的浓度为0mg /L ，当1t =小时池水中药品的浓度为4mg /L ，则池水中药品达到最大浓度需要（） A ．2小时B ．3小时C ．4小时D ．5小时7．若定义在R 的奇函数()f x 在(],0-∞单调递减，则不等式()()20f x f x +-≥的解集为（） A ．(],2-∞ B ．(],1-∞C ．[)1,+∞D ．[)2,+∞8．已知()2xf x x =+，[](),M a b a b =<，(){}4,N y y f x x M ==∈∣，则使得M N 的实数对(),a b 有（） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题9．具有性质： ()1f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的函数，我们称为满足“倒负“变换的函数，下列函数中满足“倒负“变换的函数是（）A ．()2f x x x =-B ．()1f x x x=-C ．()1f x x x=+D ．(),010,11,1x x f x x x x⎧⎪<<⎪==⎨⎪⎪->⎩10．下列叙述中不正确的是（）A ．若0a ≠，,b c R ∈，则“20ax bx c ++≥”的充要条件是“240b ac -≤”B ．若,,a b c ∈R ，则“22ac bc >”的充要条件是“a b >”C ．“0a <”是“方程20x x a ++=有一个正根和一个负根”的充分不必要条件D ．“1a >”是“11a<”的充分不必要条件 11．若0a b <<，则下列不等式不可能成立的是（） A ．11a b a>- B ．a b > C ．11<a bD ．22a b >12．已知函数()()1sin cos cos sin 2f x x x x x =-++，下列结论正确的是（） A ．()f x 的最小正周期为π B ．函数图象关于直线4x π=对称C ．函数在3,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增D ．方程()10f x +=有无数个解三、多选题13．已知命题“存在x ∈R ，使220ax x -+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是___________.14．设22a b m ==，且112a b+=，则m =_________.15．将函数()cos 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再把得到的图像向左平移6π个单位长度得到函数()g x 的图像，则()g x 在区间,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为_______.16．函数1,1()32,12x a x f x a x x ⎧+>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 取值范围为________. 四、解答题17．设32:1,:|1|(0)23x p q x a a x --<>-．（1）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围；（2）若p 是q 的必要条件，求实数a 的取值范围．18．已知函数()2sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，P 为该图像的最高点.（1）若2πω=，求cos APB ∠的值；（2）若PAB 45∠=︒，P 的坐标为()1,2，求()f x 的解析式.19．已知函数1()(0xxb f x a a a -=+>且1)a ≠是奇函数．（1）求b 的值；（2）令函数()()1x g x f x a =--，若关于x 的方程2()3t g x t +=+在R 上有解，求实数t 的取值范围．20．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间和水深关系表：时刻 2：00 5：00 8：00 11：00 14：00 17：00 20：00 23：00 水深/米7.05.03.05.07.05.03.05.0()()sin ,0,2f t A t B A πωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭来描述.（1）根据以上数据，求出函数()()sin f t A t B ωϕ=++的表达式；（2）一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4.0米，安全条例规定至少要有2米的安全间隙(船底与洋底的距离)，该船在一天内(0：00~24：00)何时能进入港口然后离开港口？每次在港口能停留多久？21．已知函数()f x x x a =-为R 上的奇函数．（1）求实数a 的值；（2）若不等式()()2sin 2cos 0f x f t x +-≥对任意π7π,36x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数t 的最小值．22．已知函数2()24f x x ax =-+，()g x = （Ⅰ）求函数()lg(tan 1)(12cos )h x x g x =-+-的定义域；（Ⅱ）若函数()2sin 23m x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()[()] n x f m x =的最小值；（结果用含a 的式子表示）（Ⅲ）当0a =时()4,0,()()4,0,f x x F x f x x -≥⎧=⎨-+<⎩，是否存在实数b ，对于任意x ∈R ，不等式()2221(32)2(1)4F bx x F bx b x bx -++->+--恒成立，若存在，求实数b 的取值范围；若不存在，请说明理由．【参考答案】一、选择题 1．C 【分析】由集合{5,6}，根据全集{1,2,3,4,5,6},{1,4},{2,3}U M N，分别求得()(),U U M N 再判断. 【详解】因为全集{1,2,3,4,5,6},{1,4},{2,3}UM N ，(){}(){}2,3,5,6,1,4,5,6U U M N ==， ()(){}5,6UU M N ⋂=，故选：C【分析】直接利用负数不能开偶次方根和分母不能为零求解. 【详解】因为030x x -≥⎧⎨+≠⎩，所以0x ≤且3x ≠-，所以函数1()3f x x =+的定义域为(,3)(3,0]-∞--，故选：C 【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，属于基础题. 3．A 【分析】根据余弦函数、正切函数的正负性的性质进行求解即可. 【详解】因为cos 0α>，所以角α的终边可能位于第一或第四象限，也可能与横轴的正半轴重合；又因为tan 0α>，所以角α的终边可能位于第一或第三象限. 因为cos 0,tan 0αα>>同时成立，所以角α的终边只能位于第一象限. 于是角α是第一象限角. 故选：A 【点睛】本题考查了余弦函数和正切函数的正负性的性质，属于基础题. 4．A 【分析】根据角的终边所在直线斜率得tan α，然后应用二倍角公式并转化为关于sin ,cos αα的二次齐次式，化为tan α，代入计算．【详解】由题意tan 2α，22222sin cos 2tan 2(2)4sin 2sin cos tan 1(2)15ααααααα⨯-====-++-+．故选：A ．【分析】根据零点存在性定理可得答案. 【详解】因为(1)120f e =--<，2(2)220f e =-->，3(3)320f e =-->，4(4)420f e =-->，所以(1)(2)0f f <，且函数的图象连续不断，所以函数()2x f x e x =--有一个零点所在的区间为(1,2)，故k 可能等于1. 故选：B 6．A 【分析】由题意求出解析式，再由定义证明4,0y t t t=+>的单调性得出其最小值，进而得出池水中药品达到最大浓度需要的时间. 【详解】由题意可得02041a ba b ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪+⎩，解得0,4a b ==当0t =时，(0)0C =，当0t >时，22020()44t C t t t t==++令4,0y t t t=+>任取()12,0,t t ∈+∞，且12t t <，则()()121212121212444t t t t y y t t t t t t --⎛⎫-=+-+= ⎪⎝⎭ 当2t ≥时，12120,4t t t t -<>，即12y y <；当02t <<时，12120,4t t t t -<<，即12y y > 则函数4,0y t t t=+>在()0,2上单调递减，在2,上单调递增，即min 4224t t ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，即当2t =时，max ()(2)5C t C == 故选：A 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是由定义证明函数4,0y t t t=+>的单调性进而得出其最小值.7．B 【分析】由奇函数性质结合已知单调性得出函数在R 上的单调性，再由奇函数把不等式化为(2)()f x f x -≥-，然后由单调性可解得不等式．【详解】∵()f x 是奇函数，在(,0]-∞上递减，则()f x 在[0,)+∞上递减， ∴()f x 在R 上是减函数，又由()f x 是奇函数，则不等式()()20f x f x +-≥可化为(2)()f x f x -≥-， ∴2x x -≤-，1x ≤．故选：B ．【点睛】方法点睛：本题考查函数的奇偶性与单调性．这类问题常常有两种类型：（1）()f x 为奇函数，确定函数在定义域内单调，不等式为12()()0f x f x +>转化为12()()f x f x >-，然后由单调性去掉函数符号“f ”，再求解；（2）()f x 是偶函数，()f x 在[0,)+∞上单调，不等式为12()()f x f x >，首先转化为12()()f x f x >，然后由单调性化简． 8．D 【分析】先判断函数()2xf x x =+是奇函数，且在R 上单调递增；根据题中条件，得到()()44f a a f b b a b ⎧=⎪=⎨⎪<⎩，求解，即可得出结果. 【详解】因为()2xf x x =+的定义域为R ，显然定义域关于原点对称，又()()22x xf x f x x x --==-=--++，所以()f x 是奇函数，当0x ≥时，()21222x x f x x x x ===-+++显然单调递增；所以当0x <时，()2x f x x =-+也单调递增；又()00f =，所以函数()2xf x x =+是连续函数；因此()2xf x x =+在R 上单调递增；当[],x M a b ∈=时，()()()44,4y f x f a f b =∈⎡⎤⎣⎦，因为(){}4,N yy f x x M ==∈∣，所以为使M N ，必有()()44f a af b b a b ⎧=⎪=⎨⎪<⎩，即4242aa ab b b a b⎧=⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪<⎪⎩，解得22a b =-⎧⎨=⎩或20a b =-⎧⎨=⎩或02a b =⎧⎨=⎩，即使得M N 的实数对(),a b 有()2,2-，()2,0-，()0,2，共3对. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于先根据函数解析式，判断函数()f x 是奇函数，且在R 上单调递增，得出[],x M a b ∈=时，()4y f x =的值域，列出方程，即可求解.二、填空题9．BD 【分析】根据中给出的“倒负”变换的函数的定义，对四个选项中的函数进行逐一的判断即可．【详解】解：对于A ，()2f x x x =-，则()2111f f x x x x ⎛⎫⎛⎫=-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不满足“倒负”变换的函数的定义，故选项A 错误；对于B ，1()f x x x =-，因为11()()f x f x x x=-=-，满足“倒负”变换的函数的定义，故选项B 正确；对于C ，()1f x x x=+，因为11()()()f x f x f x x x =+=≠-，不满足“倒负”变换的函数的定义，故选项C 错误；对于D ，,01()0,11,1x x f x x x x⎧⎪<<⎪==⎨⎪⎪->⎩，当01x <<时，11()()1f x f x x x =-=-=-，当1x =时，1()0()f f x x==-，当1x >时，111()()()f f x xxx==--=-，满足“倒负”变换的函数的定义，故选项D 正确；故选：BD ．10．ABC 【分析】当1a =-，0b =，0c ，判断A 选项错误；当1a =，0b =，0c 判断B 选项错误；根据 “0a <”是“方程20x x a ++=有一个正根和一个负根”的充要条件判断C 选项错误；根据不等式性质判断D 选项正确【详解】解：A 选项：当1a =-，0b =，0c 此时240b ac -≤，但20ax bx c ++≤，故A 选项错误；B 选项：当1a =，0b =，0c 此时a b >，但22ac bc =，故B 选项错误；C 选项：方程20x x a ++=有一个正根和一个负根等价于0a <，所以“0a <”是“方程20x x a ++=有一个正根和一个负根”的充要条件，故C 选项错误；D 选项：因为1a >⇒11a <，所以充分性满足，因为11a<⇒0a <或1a >，所以必要性不满足，故D 选项正确；故选：ABC 【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定、一元二次不等式的求解、一元二次方程的根的分布、不等式的性质，是中档题. 11．AC 【分析】根据题干0a b <<，逐一分析判断选项即可. 【详解】因为0a b <<，对A ，可得0a b a >->，所以11a b a<-，故A 错；对B ，a b >成立，故B 正确；对C ，11a b>，故C 错误；对D ，a b >，所以22a b >成立，故D 正确. 故选：AC 12．BC 【分析】A 选项，计算()f x π+，判定()()f x f x π+≠，可得A 错；B 选项，计算4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭与4f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，得出44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得B 正确； C 选项，由3,04x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，化简()cos f x x =，可得C 正确；D 选项，讨论x 的范围，去绝对值，求出()f x 的值域，可判断D 错. 【详解】 A 选项，()()()()()1sin cos cos sin 2f x x x x x πππππ⎡⎤+=+-+++++⎣⎦ ()()()11sin cos cos sin sin cos cos sin 22x x x x x x x x f x =-+--=---≠，所以π不是()f x 的周期，故A 错；B 选项，1sin cos cos sin 424444f x x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-+++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦12x x x x x x x x ⎫=⎪⎪⎭)12x x =； 1sin cos cos sin 424444f x x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---+-+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦12x x x x x x x x ⎫=+⎪⎪⎭)12x x =，所以44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此函数()f x 的图象关于直线4x π=对称；即B 正确；C 选项，cos sin 4x x x π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，当3,04x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，,244x πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以cos sin 04x x x π⎛⎫-=+> ⎪⎝⎭，此时()()()11sin cos cos sin cos sin cos sin cos 22f x x x x x x x x x x =-++=-++=，根据余弦函数的单调性，可得，其在3,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭上显然单调递增，即C 正确；D 选项，由sin cos 04x x x π⎛⎫-=-≥ ⎪⎝⎭可得()224Z k x k k ππππ≤-≤+∈，则()52244k x k k Z ππππ+≤≤+∈；此时()()1sin cos cos sin sin 2f x x x x x x ⎡⎤=-++=∈⎢⎥⎣⎦；由sin cos 04x x x π⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭可得()224k x k k Z ππππ-+<-<∈，则()32244k x k k Z ππππ-+<<+∈；此时()()1sin cos cos sin cos 2f x x x x x x ⎛⎤=-++=∈ ⎥ ⎝⎦；综上，()f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()112f x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，因此方程()10f x +=无解，即D 错；故选：BC. 【点睛】思路点睛：判定含三角函数的函数对称性、周期性、单调性等问题时，一般可根据正弦（余弦、正切）函数的性质，利用代入验证的方法判定对称性和周期性；求解最值或研究方程根的问题时，可先判断函数单调性，进而即可求解.三、多选题 13．18a >【分析】转化为命题“R x ∀∈，使得220ax x -+>”是真命题，根据二次函数知识列式可解得结果. 【详解】因为命题“存在x ∈R ，使220ax x -+≤”是假命题，所以命题“R x ∀∈，使得220ax x -+>”是真命题，当0a =时，得2x <，故命题“R x ∀∈，使得220ax x -+>”是假命题，不合题意；当0a ≠时，得0180a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得18a >.故答案为：18a >【点睛】关键点点睛：转化为命题“R x ∀∈，使得220ax x -+>”是真命题求解是解题关键. 14．2 【分析】先利用22a b m ==判断出a=b ，并进行指对数互化，由112a b+=求出a=1，即可求出m .【详解】 ∵22a b m == ∴2log a b m == 又112a b+=， ∴2log 1a b m ===∴m =2 故答案为：2 【点睛】指、对数运算技巧： (1)应用常用对数值； (2)灵活应用对数的运算性质； (3) 逆用法则、公式；(4) 应用换底公式，化为同底结构．15．⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】利用三角函数的性质进行伸缩和平移，然后，利用三角函数的单调性即可求解值域【详解】由题意得，()cos 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像上各点的横坐标缩短到原来的12倍，这时变为cos(2)6y x π=-，再把得到的图像向左平移6π个单位长度，这时变为cos 2()cos(2)666y x x πππ⎡⎤=+-=-⎢⎥⎣⎦，所以，()cos 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∵52,626x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，∴()g x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故答案为：⎡⎤⎢⎥⎣⎦16．8[,6)3【分析】根据指数函数和一次函数的性质，得出关于a 的不等式组，即可求解. 【详解】由题意，函数1,1()32,12x a x f x a x x ⎧+>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，可得13021322a aa a ⎧⎪>⎪⎪->⎨⎪⎪+≥-+⎪⎩，解得863a ≤<，即实数a 取值范围8[,6)3.故答案为：8[,6)3.【点睛】利用函数的单调性求解参数的取值范围：根据函数的单调性，将题设条件转化为函数的不等式（组），即可求出参数的值或范围；若分段函数是单调函数，则不仅要保证在各区间上单调性一致，还要确保在整个定义域内是单调的.四、解答题17．（1）(2,)+∞ ；（2）10,2⎛⎤⎥⎝⎦．【分析】设命题p 、q 对应的集合分别为A 、B ，化简集合A ，B ，（1）由题意可得A B ，可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围；（2）由题意可得A ⊇B ，可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围.【详解】设32|123x A x x -⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，所以3|12A x x ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭，设{}||1|B x x a =-<，所以{}|11B x a x a =-<<+，（1）因为p 是q 的充分不必要条件，所以31,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭(1,1)a a -+，即11312a a -<-⎧⎪⎨+≥⎪⎩，所以实数a 的取值范围为(2,)+∞；（2）因为p 是q 的必要条件，所以31,(1,1)2a a ⎡⎫-⊇-+⎪⎢⎣⎭，即11312a a -≥-⎧⎪⎨+≤⎪⎩，所以实数a 的取值范围为10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．【点睛】方法点睛：充分不必要条件可根据如下规则转化：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）若p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）若p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对应集合与p 对应集合互不包含．18．（1）6565；（2）()2sin 44f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【分析】 (1) 由2πω=，则2242AB πππω===，由周期可分别求出,AQ BQ ,进一步求出,AP BP ，由余弦定理可得答案.(2)由条件可得2AQ QP ==，即8T =，所以4πω=，又(1)2sin()24f πϕ=+=可得答案.【详解】解析：（1）由题设可知，由2πω=，则2242AB πππω===在APB △中，max ()2PQ f x ==，则14T AQ ==,334T BQ == 所以222145AP AQ PQ =+=+=，222223213BP PQ BQ =+=+=，由余弦定理可得：2225131665cos 2652513AP PB AB APB AP BP+-+-∠===⋅⋅⨯⨯.（2）由PAB 45∠=︒，P 的坐标为()1,2,所以在APQ ，2AQ QP == 易知24T=，8T =，所以4πω=，又(1)2sin()24f πϕ=+=，则2,42k k Z ππϕπ+=+∈又02πϕ<<，所以4πϕ=，所以()2sin 44f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.19．(1) 0b = (2) 532t -<<- 【分析】（1）由()f x 的定义域为R ，且奇函数，则(0)0f =，从而可求出答案.(2)由题意1()1x g x a -=-，先求出函数()g x 的值域，方程2()3t g x t +=+在R 上有解，则max 2()3t g x t +>+，从而得出答案. 【详解】 (1)函数1()(0)x x b f x a a a-=+>的定义域为R ,又()f x 是奇函数所以(0)110f b b =+-==当0b =时，1()xx f x a a =-，11()()xx x xf x a a f x a a --⎛⎫-==-=- ⎪⎝⎭-- 满足()f x 是奇函数，所以0b = (2) 11()()111x x xx xg x f x a a a a a --=--=--=- 由0x a >，则10x a >，所以10x a -<，所以111xa -<-- 即()g x 的值域为()1-∞-，方程2()3t g x t +=+在R 上有解，则213t t +<-+，解得532t -<<- 所以满足条件的实数t 的取值范围：532t -<<-20．（1）()2sin 566f t t ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；（2）在0时进港4时出港或12时进港16时出港，每次在港内可停留4个小时. 【分析】由表格易知()()max min 7,3f t f t ==，由()()()()max minmax min,22f t f t f t f t A B -+==，求得A ，B ，再根据14212T =-=和2t =时，函数取得最大值，分别求得,ωϕ即可.（2）根据货船需要的安全水深度为6，由()2sin 5666f t t ππ⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭求解.【详解】由表格可知()()max min 7,3f t f t ==,，则()()()()max minmax min2,522f t f t f t f t A B -+====，又214212,6T T ππω=-===，当2t =时，()22sin 2576f πϕ⎛⎫=⨯++= ⎪⎝⎭，即sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以232k ππϕπ+=+，又2πϕ<，所以6π=ϕ，所以()2sin 566f t t ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.（2）因为货船需要的安全水深度为6，所以()2sin 5666f t t ππ⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭，即1sin 662t ππ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，所以5226666k t k ππππππ+≤+≤+，即12412k t k ≤≤+，又因为[]0,24t ∈，当0k =时，[]0,4t ∈，当1k =时，[]12,16t ∈，所以在0时进港4时出港或12时进港16时出港，每次在港内可停留4个小时. 【点睛】方法点睛：由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象或表格确定A ，ω，φ的题型，常常以“五点法”中的五个点作为突破口，要从图象的升降情况找准“零点”或“最大（小）值点”的位置．要善于抓住特殊量和特殊点． 21．（1）0a =；（2）14．【分析】（1）由奇函数得到()x x a x x a -⋅--=-⋅-，再由多项式相等可得a ；（2）由()f x 是奇函数和已知得到()()2sin 2cos f x f x t ≥-，再利用()f x 是R 上的单调增函数得到2sin 2cos x x t ≥-对任意π7π,36x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立．利用参数分离得22cos sin t x x ≥-对任意π7π,36x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，再求22cos sin x x -，π7π,36x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上最大值可得答案．【详解】（1）因为函数()f x x x a =-为R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-对任意x ∈R 成立，即()x x a x x a -⋅--=-⋅-对任意x ∈R 成立，所以--=-x a x a ，所以0a =．（2）由()()2sin 2cos 0f x f t x +-≥得()()2sin 2cos f x f t x ≥--，因为函数()f x 为R 上的奇函数，所以()()2sin 2cos f x f x t ≥-．由（1）得，()22,0,,0,x x f x x x x x ⎧≥==⎨-<⎩是R 上的单调增函数，故2sin 2cos x x t ≥-对任意π7π,36x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立．所以22cos sin t x x ≥-对任意π7π,36x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立．因为()2222cos sin cos 2cos 1cos 12x x x x x -=+-=+-，令cos m x =，由π7π,36x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得1cos 1,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，即11,2m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．所以()212y m =+-的最大值为14，故14t ≥，即t 的最小值为14．【点睛】本题考查了函数的性质，不等式恒成立的问题，第二问的关键点是根据函数的为单调递增函数，得到2sin 2cos x x t ≥-，再利用参数分离后求22cos sin x x -π7π,36x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最大值，考查了学生分析问题、解决问题的能力.22．（Ⅰ）532,22,23242k k k k ππππππππ⎡⎫⎛⎫++⋃++⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭， k Z ∈；（Ⅱ）2min52(1),()4(12),84(2),a a n x a a a a -≤⎧⎪=-<<⎨⎪-≥⎩；（Ⅲ）不存在，理由见解析. 【分析】（Ⅰ）根据函数解析式，得到tan 10,12cos 0,x x ->⎧⎨-≥⎩由三角函数性质，求解不等式，即可得出定义域；（Ⅱ）先根据正弦型函数的性质，得到1()2m x ≤≤，令()t m x =，2()()24n x f t t at ==-+，讨论1a ≤，2a ≥，12a <<，结合二次函数的性质，即可求出结果；（Ⅲ）当0a =时，先得到()F x 的解析式，推出()F x 在R 上单调递增且为奇函数，结合题中条件，得到对于任意x ∈R ，不等式()222121(23)23F bx x bx x F bx bx -++-+>-+-恒成立．令()()G x F x x =+，根据函数单调性，推出22(1)40bx b x -++>在R 上恒成立，讨论0b <，0b >两种情况，结合二次函数的性质，分别求解，即可得出结果.【详解】（Ⅰ）根据题意，得tan 10,12cos 0,x x ->⎧⎨-≥⎩即,42522,33k x k k x k ππππππππ⎧+<<+⎪⎪⎨⎪+≤≤+⎪⎩k Z ∈ ∴2232k x k ππππ+≤<+，k Z ∈或532242k x k ππππ+<<+，k Z ∈ ∴函数()h x 的定义域为532,22,23242k k k k ππππππππ⎡⎫⎛⎫++⋃++⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭，k Z ∈．（Ⅱ）∵42ππx ≤≤，∴22x ππ≤≤，∴22633x πππ≤-≤， ∴1sin 2123x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，∴12sin 223x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，即1()2m x ≤≤．令()t m x =，则[1,2]t ∈，2()()24n x f t t at ==-+，[1,2]t ∈． ∵函数()f x 的图像关于直线x a =对称，（1）当1a ≤时，()f t 在[1,2]上单调递增，∴min ()(1)52f t f a ==-．（2）当2a ≥时，()f t 在[1,2]上单调递减，∴min ()(2)84f t f a ==-．（3）当12a <<时，2min ()()4f t f a a ==-．∴函数[]()()n x f m x =的最小值2min52(1),()4(12),84(2),a a n x a a a a -≤⎧⎪=-<<⎨⎪-≥⎩．（Ⅲ）∵22,0,(),0,x x F x x x ⎧≥=⎨-<⎩∴()F x 在R 上单调递增且为奇函数．又∵对于任意x ∈R ，不等式()2221(32)2(1)4F bx x F bx b x bx -++->+--恒成立．∴对于任意x ∈R ，不等式()222121(23)23F bx x bx x F bx bx -++-+>-+-恒成立．令()()G x F x x =+，则()G x 在R 上单调递增，又∵()221(23)G bx x G bx -+>-，∴对于任意x ∈R ，不等式22123bx x bx -+>-在R 上恒成立，即22(1)40bx b x -++>在R 上恒成立．当0b <时，不合题意．当0b =时，不合题意．当0b >时，则20,4(1)160,b b b >⎧⎨+-<⎩即20,210,b b b >⎧⎨-+<⎩不合题意．综上所述，不存在符合条件的实数b ，使得对于任意x ∈R ，不等式()2221(32)2(1)4F bx x F bx b x bx -++->+--恒成立．【点睛】关键点点睛：求解本题第三问的关键在于先由题中条件，判断()F x 的单调性和奇偶性，将题中所给条件转化为不等式22123bx x bx -+>-在R 上恒成立，结合二次函数的性质，即可求解.。

河北省高一上学期期末考试数学试题(解析版)

一、单选题1．设、、、、是均含有个元素的集合，且，1A 2A 3A L 7A 217A A ⋂=∅()11,2,3,,6i i A A i +⋂=∅= ，记，则中元素个数的最小值是（） 1237B A A A A =⋃⋃⋃⋃ B A ． B ．C ．D ．5678【答案】A【分析】设、、、是集合互不相同的元素，分析可知，然后对的取值由1x 2x L ()4n x n ≥B 4n ≥n 小到大进行分析，验证题中的条件是否满足，即可得解.【详解】解：设、、、是集合互不相同的元素，若，则，不合1x 2x L ()4n x n ≥B 3n =12A A ⋂≠∅乎题意.①假设集合中含有个元素，可设，则，B 4{}112,A x x ={}24634,A A A x x ===，这与矛盾；{}35712,A A A x x ===17A A ⋂=∅②假设集合中含有个元素，可设，，B 5{}1612,A A x x =={}2734,A A x x ==，，，满足题意. {}351,A x x ={}423,A x x ={}545,A x x =综上所述，集合中元素个数最少为. B 5故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查集合元素个数的最值的求解，解题的关键在于对集合元素的个数由小到大进行分类，对集合中的元素进行分析，验证题中条件是否成立即可.2．已知函数的定义域为，则“”是“是周期为2的周期函数”的()f x R ()()10f x f x ++=()f x （）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分又不必要条件D ．充要条件【答案】A【分析】通过可以得出，反过来不可以，反例见详解. ()()10f x f x ++=()()2f x f x +=【详解】由得，， ()()10f x f x ++=()()1f x f x +=-所以，，即.()()()()()()()111fx f x f x f x ++=-+=--=()()2f x f x +=所以“”是“是周期为2的周期函数”的充分条件. ()()10f x f x ++=()f x 如下图是一个周期为得函数，2得不出，()()10f x f x ++=所以“”是“是周期为2的周期函数”的不必要条件. ()()10f x f x ++=()f x 所以“”是“是周期为2的周期函数”的充分不必要条件. ()()10f x f x ++=()f x 故选：A.3．已知命题：任意，命题：存在，若“且”是假p 2[1,2],0x x a ∈-…q 2000,220x x ax a ∈++-=R p q 命题，则实数的取值范围是（） a A ． B ．C ．或D ．且2a -…1a ≤2a -…=1a 2a >-1a ≠【答案】D【分析】当命题为p 真时，此问题为恒成立问题，用最值法，转化为当x ∈[1，2]时，（x 2﹣a ）min ≥0，可求出 a ≤1，当命题q 为真时，为二次方程有解问题，用“ ”判断，可得a ≤﹣2或∆a ≥1，先判定“且”是真命题，即p 真q 真时，的范围，再求出实数a 的补集即可． p q a 【详解】当命题为p 真时，即：“∀x ∈[1，2]，x 2﹣a ≥0“，即当x ∈[1，2]时，（x 2﹣a ）min ≥0，又当x ＝1时，x 2﹣a 取最小值1﹣a ，所以1﹣a ≥0，即a ≤1，当命题q 为真时，即：∃x ∈R ，x 2+2ax +2﹣a ＝0，所以＝4a 2﹣4（2﹣a ）≥0， ∆所以a ≤﹣2或a ≥1，又命题“p 且q ”是真命题，所以p 真q 真，即，121a a a ≤≤-≥⎧⎨⎩或即实数a 的取值范围是：或；2a ≤-=1a 故命题“p 且q ”是假命题时，实数a 的取值范围是且. 2a >-1a ≠故选：D ．4．已知函数的定义域为R ，为偶函数，，当时，()f x ()2f x -()()20f x f x -+-=[]2,1x ∈--（且），且．则（）()14x f x ax a =--0a >1a ≠()24f -=()131k f k ==∑A ．16 B ．20 C ．24 D ．28【答案】C【分析】由条件可知有对称轴，对称中心，推出具有周期性，由()f x 2x =-(1,0)-4T =()24f -=求得的值，可分别计算，结合周期性计算即可.a (1),(2),(3),(4)f f f f ()131k f k =∑【详解】因为是偶函数，所以，所以， ()2f x -()2(2)f x f x --=-()(4)f x f x =--所以函数关于直线对称，()f x 2x =-又因为，所以， ()()20f x f x -+-=()()2f x f x --=-所以，所以关于点中心对称， ()(2)f x f x =---()f x (1,0)-由及得 ()(4)f x f x =--()(2)f x f x =---(4)(2)f x f x --=---所以 (4)(2)()f x f x f x --=---=-所以函数的周期为， ()f x 4因为当时，（且），且， []2,1x ∈--()14xf x ax a =--0a >1a ≠()24f -=所以，解得：或，因为且，所以. 21424a a -=+-2a =4a =-0a >1a ≠2a =所以当时，，[]2,1x ∈--()1()242xf x x =--所以，，， (2)4,(1)0f f -=-=(3)(1)0f f -=-=(0)(2)4f f =--=-，，， (1)(14)(3)0f f f =-=-=(2)(2)4f f =-=(3)(1)0f f =-=，所以，(4)(0)4f f ==-(1)(2)(3)(4)8f f f f +++=所以,()131(1)+3824k f k f ==⨯=∑故选：.C 5．下列命题中，正确的有（）个①对应：是映射，也是函数； 21R,R,:1A B f x y x ==→=+②若函数的定义域是（1,2），则函数的定义域为；(1)f x -()2f x ,102⎛⎫⎪⎝⎭，③幂函数与图像有且只有两个交点；23y x -=4y x =④当时，方程恒有两个实根.0b >210xb --=A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【分析】对于①，由映射和函数的定义判断即可；对于②，由抽象函数的定义求解即可；对于③，结合幂函数的性质作出图象即可判断；对于④，将问题转化为与的图象交点个数的问题，作出图象即可判断.21xy =-y b =【详解】解：对于①，对应：是映射，也是函数；符合映射，函数的21R,R,:1A B f x y x ==→=+定义，故①对；对于②，若函数的定义域是（1,2），则故函数()1f x -1x -()()10,1,20,10,2x x ⎛⎫∈∴∈⇒∈ ⎪⎝⎭()2f x 的定义域为，故②对102⎛⎫⎪⎝⎭，对于③，幂函数上单调递增，在上单调递减且图像过23y x-==(,0)-∞(0,)+∞ ，为偶函数，在上单调递减，在上单调递增且图像过()()1,1,1,1-4y x =(,0)-∞(0,)+∞()()1,1,1,1-所以两个图像有且只有两个交点；故③对；于④，当时，单调递增，且函数值大于1，所以当时，方程只有一个1x >21x-1b >210x b --=实根.故④错；故选：C6．已知定义域为R 的偶函数和奇函数满足：．若存在实数a ，使得关()f x ()g x ()()2xf xg x +=于x 的不等式在区间上恒成立，则正整数n 的最小值为（） ()()()()0--≤nf x a g x a []1,2A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】根据奇偶性列方程组求得，，利用它们的单调性确定在11()22x x f x ---=+11()22x x g x ---=-上的值域，再由不等式有或求a 的范围，进而求出正整数n 的范围.[]1,2()()a f x n g x a ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩()()a f x n g x a⎧≤⎪⎨⎪≥⎩【详解】由题设，，又，()()()()2x f x g x f x g x --+-=-=()()2xf xg x +=联立可得：，，11()22x x f x ---=+11()22x x g x ---=-又当且仅当时等号成立，即在上递减，在上递增，()1f x ≥=0x =()f x (,0)-∞(0,)+∞所以，在上，[]1,2517()[,48f x ∈而在上递增，故，11()22x x g x ---=-[]1,2315()[,]48g x ∈若，则且n 为正整数，只需即可.()()a f x n g x a⎧≥⎪⎨⎪≤⎩15584n a ≤≤2n ≥若，则且n 为正整数，不成立； ()()a f x n g x a ⎧≤⎪⎨⎪≥⎩17384n a ≤≤综上，正整数n 的最小值为2. 故选：B【点睛】关键点点睛：利用奇偶性列方程组求、解析式，并根据单调性求闭区间上的值()f x ()g x 域，最后由不等式恒成立求参数a 的范围，即可得n 的范围.7．定义域为的函数，若关于x 的方程恰有5个不同的实R ()lg 2,21,2x x f x x ⎧-≠=⎨=⎩2()()0f x bf x c ++=数解，，，，，则等于（） 1x 2x 3x 4x 5x ()12345f x x x x x ++++A ．1 B ．C ．D ．02lg 23lg 2【答案】C【分析】分析出函数的图象关于直线对称，分析可知为关于的方程()f x 2x =2x 的一根，求出的值，即可得解. ()()20f x bf x c ++=12345x x x x x ++++【详解】令，作出函数的大致图象，()u f x =()u f x =当时，， 2x ≠()()4lg 42lg 2lg 2f x x x x f x -=--=-=-=故函数的图象关于直线对称，()f x 2x =因为关于的方程恰有个不同的实数根，x ()()20f x bf x c ++=5则关于的方程恰有两根，设为、，且必有一根为，设， u 20u bu c ++=1u 2u 121u =设方程的两根分别为、，且，则， ()1u f x =1x 2x 12x x <124x x +=所以，，， 3456x x x ++=12345=10x x x x x ++++因此，. ()10lg83lg 2f ==故选：C.8．已知定义在上的函数满足，当时，，若对任意R ()f x ()()12f x f x +=()0,1x ∈()1sin π4f x x =-，都有的取值范围是（）(],x m ∈-∞()f x ≥m A ． B ． C ．D ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B【分析】由题意可得当时，，且，令(]2,3x ∈()()()[]=42=sin π21,0f x f x x --∈--(]π2π,3πx ∈，得或，结合图象即可得的取值范围.sin πx -=73x =83x =m【详解】解：由得：， ()()12f x f x +=()()21f x f x =-又当时，，(]0,1x ∈()11sin π,044f x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦故当时，；(]1,2x ∈()11sin[π(1)],022f x x ⎡⎤=--∈-⎢⎥⎣⎦依此类推得：当时，，且.(]2,3x ∈()()[]42sin[π(2)]1,0f x f x x =-=--∈-(]π2π,3πx ∈如图.由或，解得或.故若对sin πx -=sin πx =ππ2π3x =+2π2ππ3x =+73x =83x =任意，都有.(],x m ∈-∞()f x …73m …故选：B.二、多选题9．下列结论正确的是（）A ．，B ．若，则x ∀∈R 12x x+≥0a b <<3311a b ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．若，则D ．若，，，则 ()20x x -<()2log 0,1x ∈0a >0b >1a b +≤104ab <≤【答案】BD【分析】对每个选项注意检验，要么证明其成立，要么举出反例判定其错误. 【详解】当时，为负数，所以A 不正确； 0x <1x x+若，则，考虑函数在R 上单调递增， 0a b <<110b a<<3()f x x =所以，即，所以B 正确；11()()f f a b >3311()()a b>若，则，，所以C 不正确； ()20x x -<02x <<2log (,1)x ∈-∞若，， 0a >0b >1a b +≤21,0(224a b a b ab ++≤<≤=所以D 正确.故选：BD【点睛】此题考查命题真假性的判断，内容丰富，考查的知识面很广，解题中尤其注意必须对每个选项逐一检验，要么证明其成立，要么举出反例，方可确定选项.10．已知函数，则下列说法正确的是（） ()()222,R 1ax bx f x a b x ++=∈+A ．，为奇函数 ,R a b ∃∈()f x B ．，为偶函数 R,R b a ∃∈∀∈()f x C ．，的值为常数 ,R a b ∃∈()f x D ．，有最小值 R,R b a ∃∈∀∈()f x 【答案】BCD【分析】对于A 、B ，假设成立，根据奇偶性的性质得到方程，即可判断；利用特殊值判断C ；对于D ，将函数解析式变形为，分和两种情()()220a f x x bx f x -++-=⎡⎤⎣⎦()0a f x -=()0a f x -≠况讨论，即可判断.【详解】解：因为，，()()222,R 1ax bx f x a b x ++=∈+x ∈R 对于A ：若为奇函数，则，即， ()f x ()()f x f x -=-22222211ax bx ax bx x x -+++=-++即，显然方程不恒成立，故不存在，使得为奇函数，故A 错220ax +=220ax +=,R a b ∈()f x 误；对于B ：若为偶函数，则，即， ()f x ()()f x f x -=22222211ax bx ax bx x x -+++=++即，当时方程恒成立，故当时，对，为偶函数，故B 正确；0bx =0b =0bx =0b =R a ∀∈()f x 对于C ：当，时为常数函数，故C 正确；2a =0b =()222221x f x x +==+对于D ：的定义域为，，()f x R ()2221ax bx f x x ++=+所以，()()220a f x x bx f x -++-=⎡⎤⎣⎦当，即时变形为，()0a f x -=()f x a =()()220a f x x bx f x -++-=⎡⎤⎣⎦20bx a +-=当时方程有解，0b ≠20bx a +-=当、时方程在上恒成立， 0b =2a =20bx a +-=R 当，即时，()0a f x -≠()f x a ≠方程在上有解，所以，()()220a f x x bx f x -++-=⎡⎤⎣⎦R ()()2420b a f x f x ∆=---≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦即，()()()2244280fx a f x a b -++-≤因为， ()()()22221621681620a a b a b ⎡⎤+--=-+≥⎣⎦当、时变形为，解得0b =2a =()()()2244280f x a f x a b -++-≤()()2416160f x f x -+≤()2f x =，当或时，可以求得的两个值，0b ≠2a ≠()()()2244280fx a f x a b -++-=()f x 不妨设为和，则，m n ()m n <2284m n a a b mn +=+⎧⎪⎨-=⎪⎩所以解得，()()()2244280fx a f x a b -++-≤()m f x n ≤≤所以当时，，有最小值，故D 正确； 0b ≠R a ∀∈()f x 故选：BCD11．函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数同时满足①在()f x D [],a b D ⊆()f x ()f x [],a b 上是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“倍值区()f x [],a b [](),0ka kb k >[],a b ()f x k 间”．下列函数存在“3倍值区间”的有（） A ．B ． ()ln f x x =()()10f x x x=>C ．D ． ()()20f x x x =≥()()2011xf x x x =≤≤+【答案】BC【分析】根据函数新定义，结合各选项中函数的单调性判断a 、b 的存在性，即可得答案. 【详解】A ：为增函数，()ln f x x =若存在“3倍值区间”，则，()ln f x x =[],a b ()()ln 3ln 3f a a af b b b ⎧==⎪⎨==⎪⎩结合及的图象知，方程无解， ln y x =3y x =ln 3x x =故不存在“3倍值区间”，A 错误； ()ln f x x =B ：为减函数， ()()10f x x x=>若存在“3倍值区间”，则有，得，又，，[],a b ()()1313f a b a f b a b ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩13ab =0a >0b >所以可取，，13a =1b =所以存在“3倍值区间”，B 正确； ()()10f x x x=>C ：为增函数，()()20f x x x =≥若存在“3倍值区间”，则，得， ()()20f x x x =≥[],a b ()()2233f a a af b b b ⎧==⎪⎨==⎪⎩03a b =⎧⎨=⎩所以存在“3倍值区间”，C 正确；()()20f x x x =≥D ：当时，；当时，，从而可得在上单调递增， 0x =()0f x =01x <≤()11f x x x=+()f x []0,1若存在“3倍值区间”且，则有，解得，不()21x f x x =+[],a b [][],0,1a b ⊆()()223131a f a a a b f b b b ⎧==⎪⎪+⎨⎪==⎪+⎩00a b =⎧⎨=⎩符合题意，所以不存在“3倍值区间”，D 错误． ()()2011xf x x x =≤≤+故选：BC12．已知函数，则（）()|sin |cos ,R f x x x x =∈A ．函数的值域为()f x 11[,22-B ．函数是一个偶函数，也是一个周期函数 ()f x C ．直线是函数的一条对称轴 34x π=()f x D ．方程有且仅有一个实数根 4()log f x x =【答案】ABD【分析】利用函数的奇偶性、周期性分析判断A ，B ；利用对称的性质验证判断C ；利用零点()f x 存在性定理分析判断D 作答.【详解】显然，，即函数是偶函数，()|sin()|cos()|sin |cos ()f x x x x x f x -=--==()f x 又，函数是周期函数，是它的一个周(2)|sin(2)|cos(2)|sin |cos ()f x x x x x f x πππ+=++==()f x 2π期，B 正确；当时，，的最小值为，最大值为，0πx ≤≤022x π≤≤1()sin cos sin 22f x x x x ==12-12即当时，的取值集合是，因是偶函数，则当时，的取值集0x π≤≤()f x 11[,22-()f x 0x π-≤≤()f x 合是，11[,22-因此，当时，的取值集合是，而是的周期，所以，的值x ππ-≤≤()f x 11[,]22-2π()f x x ∈R ()f x 域为，A 正确；11[,22-因，，即函数图象上的点关于直线的对称点不在此1()42f π=51()42f π=-()f x 1(,)42π34x π=51(,)42π函数图象上，C 不正确；因当时，恒有成立，而的值域为，方程在上无零2x >41log 2x >()f x 11[,]22-4()log f x x =(2,)+∞点，又当或时，的值与的值异号，即方程在、上都01x <<22x π<<()f x 4log x 4()log f x x =(0,1)(,2)2π无零点，令，，显然在单调递减，441()()log sin 2log 2g x f x x x x =-=-[1,]2x π∈()g x [1,]2π而，，于是得存在唯一，使得，1(1)sin 202g =>4()log 022g ππ=-<0(1,2x π∈0()0g x =因此，方程在上有唯一实根，则方程在上有唯一实根，又4()log f x x =[1,]2π4()log f x x =(0,)+∞定义域为，4log x (0,)+∞所以方程有且仅有一个实数根，D 正确. 4()log f x x =故选：ABD【点睛】结论点睛：函数的定义域为D ，，存在常数a 使得()y f x =x D ∀∈，则函数图象关于直线对称.()(2)()()f x f a x f a x f a x =-⇔+=-()y f x =x a =三、填空题13．设函数，若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围()22f x x x a =++x ()()0f f x <a 为____________.【答案】 ⎫+∞⎪⎪⎭【分析】根据题意，设，可知，从而将不等式的解集为空集，转化为()f x t =1t a ≥-()()0f f x <在区间上的解集为空集，从得出而在区间上恒成()0f t <[)1,a -+∞()2110y t a =++-≥[)1,a -+∞立，根据二次函数的图象与性质，得出，开口向上，对称轴为，且()211y t a =++-1t =-44a ∆=-，分类讨论和两种情况，进而根据一元二次不等式恒成立问题，即可求出的取值范围. 0∆≤0∆>a 【详解】解：根据题意，可知， ()()222111f x x x a x a a =++=++-≥-设，则，()f x t =1t a ≥-因为不等式的解集为空集， ()()0f f x <即在区间上的解集为空集，()0f t <[)1,a -+∞即在区间上无解，()222110y t t a t a =++=++-<[)1,a -+∞所以在区间上恒成立，()2110y t a =++-≥[)1,a -+∞对于二次函数，开口向上，对称轴为，()211y t a =++-1t =-，44a ∴∆=-当，即时，则，440∆=-≤a 1a ≥101a -≥>-所以在区间上恒成立，符合题意；()2110y t a =++-≥[)1,a -+∞当，即时，440a ∆=-≥1a ≤令，解得： ()2110y t a =++-≥1t ≤-1t ≥-要使得在区间上恒成立，()2110y t a =++-≥[)1,a -+∞只需满足且 11a t ->=-11a -≥-即且，解得：， 0a >210a a +-≥a ≤a ≥又因为， 1a ≤1a ≤<综上得，实数a 的取值范围是. ⎫+∞⎪⎪⎭故答案为：. ⎫+∞⎪⎪⎭14．已知定义在整数集合上的函数，对任意的，，都有Z ()f x x Z y ∈且，则______.()()()()4f x y f x y f x f y ++-=()114f =()()()()0122016f f f f +++⋅⋅⋅+=【答案】##0.5 12【分析】先用赋值法得到，即为周期为6的函数，从而得到()()6f x f x +=()f x ，赋值法求出()()()()()()()()()()0122016336012345f f f f f f f f f f ⎡⎤+++⋅⋅⋅+=+++++⎣⎦，从而求出答案.()()()()()3450,2,,,f f f f f 【详解】中， ()()()()4f x y f x y f x f y ++-=令得：， 1y =()()()()()1141f x f x f x f f x ++-==所以，()()()21f x f x f x ++=+故，即， ()()()()21f x f x f x f x +++-=()()21f x f x +=--所以，()()3f x f x +=-将代替得：， 3x +x ()()63f x f x +=-+从而得到， ()()6f x f x +=即为周期为6的函数， ()f x 由于，20166336=⨯故，()()()()()()()()()()0122016336012345f f f f f f f f f f ⎡⎤+++⋅⋅⋅+=+++++⎣⎦中，()()()()4f x y f x y f x f y ++-=令得：， 1,0x y ==()()()()11410f f f f +=⋅因为，所以，()114f =()102f =令得：， 1x y ==()()()()1204114f f f f +=⋅=因为，所以， ()102f =()124f =-令得：，即， 2,1x y ==()()()()31421f f f f +=()11344f +=-解得：，()132f =-令得：，即， 2x y ==()()()()40422f f f f +=()11424f +=解得：，()144f =-令得：，即， 4,1x y ==()()()()53441f f f f +=()11524f -=-解得：， ()154f =从而， ()()()()()()1111110120244424354f f f f f f +++++=+---+=故. ()()()()()()10122016201602f f f f f f +++⋅⋅⋅+===故答案为：. 1215．已知定义域为，对于任意，，当时，则的()8ln 2+=-x f x xD 1x 2x D ∈122x x -=()()12f x f x -最小值是______．【答案】32ln 2【分析】先求出函数的定义域,根据函数的性质设，因,则()8ln2+=-x f x x()8,2-12x x <122x x -=，，则,根据单调性和对数212x x =+()18,0∈-x ()()()()2111211202ln 18f x f x f x f x x x ⎛⎫-=+-=- ⎪+⎝⎭函数性质可知，当取得最小值，即时，取得最小值,代入即可得出结论.2118+x x 14x =-【详解】解：由题意，由，即，解得， 802+>-x x()()820+-<x x 82x -<<∴函数定义域为，不妨设， ()f x ()8,2-12x x <∵122x x -=∴，，212x x =+()18,0∈-x ∴()()()()112111112882lnln 222+++-=+-=----x x f x f x f x f x x x ， ()()()211112211111110282020ln ln ln 1888+-⎛⎫+-===- ⎪-+++⎝⎭x x x x x x x x x x ∵，则，∴， ()18,0∈-x 21180+<x x 21120118->+x x ∴，∴，21120ln 108⎛⎫-> ⎪+⎝⎭x x ()()2121120ln 18⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭f x f x x x 根据对数函数性质可知，当取得最小值，即时，取得最小值，2118+x x 14x =-()()21-f x f x∴. ()()()()212min 2093ln 1ln 2ln 42484⎡⎤-=-==⎢⎥-+⨯-⎢⎥⎣⎦f x f x 故答案为:32ln 2【点睛】本题考查对数运算以及对数函数单调性的判断,属于中档题.16．在函数图象与x 轴的所有交点中，点离原点最近，则可以等于()()()sin 20f x x ϕϕ=->,02ϕ⎛⎫⎪⎝⎭ϕ__________（写出一个值即可）．【答案】（答案不唯一） π3【分析】先求出与x 轴的所有交点，再结合题意得到恒成立，整理得()f x π222kϕϕ≤+，分类讨论，与三种情况，结合恒成立可得到，从而π02k k ϕ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭1k ≥1k ≤-11k -<<π02ϕ<≤得解.【详解】因为，()()()sin 20f x x ϕϕ=->令，即，得，即，则图象与x 轴的()0f x =()sin 20x ϕ-=2π,Z x k k ϕ-=∈π,Z 22kx k ϕ=+∈()f x 所有交点为，π,0,Z 22k k ϕ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭因为其中点离原点最近，所以恒成立，,02ϕ⎛⎫⎪⎝⎭π,Z 222k k ϕϕ≤+∈不等式两边平方整理得，π02k k ϕ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭当时，，因为，故恒成立； 1k ≥π02k ϕ+≥0ϕ>π02kϕ+≥当时，，即恒成立，因为，则，故；1k ≤-π02k ϕ+≤π2kϕ≤-ππ22k -≥π2ϕ≤π02ϕ<≤当，即时，显然上述不等式恒成立， 11k -<<0k =综上，由于上述分类情况要同时成立，故，所以可以等于.π02ϕ<≤ϕπ3故答案为：（答案不唯一）. π3四、解答题17．对于非空数集A ，若其最大元素为M ，最小元素为m ，则称集合A 的幅值为，若集A T M m =-合A 中只有一个元素，则. 0A T =(1)若，求；{2,3,4,5}A =A T(2)若，，求{}{1,2,3,,9},,,,(,1,2,3,)i i i i i j A A a b c A A A i j i j ==⊆=∅=≠ 123A A A A = 的最大值，并写出取最大值时的一组；123A A A T T T ++123,,A A A (3)若集合的非空真子集两两元素个数均不相同，且，*N 123,,,,n A A A A L 12355n A A A A T T T T ++++= 求n 的最大值. 【答案】(1)3A T =(2)的最大值为， 123A A A T T T ++18{}{}{}1231,9,4,2,8,53,7,6,A A A ===(3)n 的最大值为11【分析】（1）根据新定义即可求出；（2）由，且要使得取到{},,,(,1,2,3,)i i i i i j A a b c A A A i j i j =⊆=∅=≠ 123A A A A = 123A A A T T T ++最大，则只需中元素不同且7,8,9分布在3个集合中，4,5,6,分布在3个集合中，1,2,3分123,,A A A T T T 布在3个集合中这样差值才会最大，总体才会有最大值.（3）要n 的值最大，则集合的幅值最小，且是集合的两两元素个数均不相同的123,,,,n A A A A L *N 非空真子集，故对集合中元素分析列出方程解出即可. 123,,,,n A A A A L 【详解】（1）由集合知，， {2,3,4,5}A =5,2M m ==所以.523A T M m =-=-=（2）因为，， {}{1,2,3,,9},,,,(,1,2,3,)i i i i i j A A a b c A A A i j i j ==⊆=∅=≠ 123A A A A = 由此可知集合中各有3个元素，且完全不相同， 123,,A A A 根据定义要让取到最大值，123A A A T T T ++则只需中元素不同且7,8,9分布在3个集合中， 123,,A A A T T T 4,5,6,分布在3个集合中，1,2,3分布在3个集合中这样差值才会最大，总体才会有最大值，所以的最大值为， 123A A A T T T ++78912318++---=所以有一组满足题意，{}{}{}1231,9,4,2,8,53,7,6,A A A ===（3）要n 的值最大，则集合的幅值要尽量最小，故幅值最小从0开始，接下来为， 1,2 ，因为是集合的两两元素个数均不相同的非空真子集，123,,,,n A A A A L *N不妨设是集合中只有一个元素的非空真子集，此时，例如, 1A *N 10A T =1{1}A =则是集合中有两个元素的非空真子集，且，例如， 2A *N 21A T =2{1,2}A =同理是集合中有三个元素的非空真子集，且，例如，3A *N 32A T =3{1,2,3}A =是集合中有个元素的非空真子集，且，例如， n A *N n 1n A T n =-{1,2,3,,}n A n = 所以， 123012(1)n A A A A T T T T n ++++=++++- ()1552n n -==解得或（舍去）， 11n =10n =-所以n 的最大值为11.【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.18．已知函数. ()()()21,R f x ax x a =+-∈(1)若，解不等式； 12a =()0f x ≥(2)解关于的不等式. x ()0f x <【答案】(1)或 {4x x ≤-}1x ≥(2)答案见解析【分析】（1）利用二次不等式的解法解之即可；（2）分类讨论，，，与五种情况，利用二次不等式的解法解之0a =0a =20a -<<2a =-2a <-即可，注意时不等号的方向. 0a >【详解】（1）当时，，12a =()()()()11214122f x x x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭所以由得，解得或， ()0f x ≥()()14102x x +-≥4x ≤-1x ≥故的解集为或. ()0f x ≥{4x x ≤-}1x ≥（2）由得，()0f x <()()210ax x +-<当时，不等式化为，解得，故不等式的解集为； 0a =()210x -<1x <{}1x x <令，解得或， ()()210ax x +-=12x a=-21x =当，即时，不等式解得或，故不等式的解集为或；21a->20a -<<1x <2x a >-{1x x <2x a ⎫>-⎬⎭当，即时，不等式化为，解得，故不等式的解集为； 21a-=2a =-()210x ->1x ≠{}1x x ≠当，即时，不等式解得或，故不等式的解集为或；201a <-<2a <-2x a <-1x >2x x a ⎧<-⎨⎩}1x >当，即时，不等式解得，故不等式的解集为；201a -<<0a >21x a -<<21x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭综上：当时，不等式的解集为；0a >21x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭当时，不等式的解集为；0a ={}1x x <当时，不等式的解集为或；20a -<<{1x x <2x a ⎫>-⎬⎭当时，不等式的解集为；2a =-{}1x x ≠当时，不等式的解集为或；2a <-2x x a ⎧<-⎨⎩}1x >19．对于在某个区间上有意义的函数，如果存在一次函数使得对于任意的[),a +∞()f x ()g x kx b =+，有恒成立，则称函数是函数在区间上的弱渐近函),x a ⎡∈+∞⎣()()1f x g x -≤()g x ()f x [),a +∞数．(1)判断是否是函数上的弱渐近函数，并说明理由． ()g x x =()f x =[)1,+∞(2)若函数是函数在区间上的弱渐近函数，求实数m 的取值范围； ()31g x x =+()3mf x x x=+[)4,+∞(3)是否存在函数，使得是函数上的弱渐近函数？若存在，求()g x kx =()g x ()f x =[)1,+∞出实数k 的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】(1)答案见解析 (2)08m ≤≤(3)不存在，理由见解析【分析】（1）首先代入与并化简整理成，然后判断()f x()g x [)()()()1,f x g x x -=∈+∞函数的单调性，最后利用函数单调性即可得，进而得证结论； (]()()0,1f x g x -∈（2）首先代入与，根据题意可得在区间上恒成立，解绝()f x ()g x ()()11mf xg x x-=-≤[)4,+∞对值不等式得在区间上恒成立，根据解恒成立问题可得参数的取值范围； 02m x ≤≤[)4,+∞m （3）利用反证法，然后求出满足恒成立条件的参数的范围，通过是无解的导出矛盾，进而验证k k 结论.【详解】（1）[)()()1,f x g x x x --==∈+∞因为上单调递增，y x =[)1,+∞所以在区间上单调递减，故当时取得最大值，最大值为 ()()f x g x -[)1,+∞1x =1故，得证．(]()()0,1f x g x -∈（2）因为函数是函数在区间上的弱渐近函数， ()31g x x =+()3mf x x x=+[)4,+∞所以在区间上恒成立， ()()11mf xg x x-=-≤[)4,+∞即在区间上恒成立， 111mx-≤-≤[)4,+∞整理得：在区间上恒成立， 02m x ≤≤[)4,+∞因为在上的最小值为， 2y x =[)4,∈+∞x 8得． 08m ≤≤（3）不存在.假设存在，则有 [)()()()1,f x g x kx x -=∀∈+∞即，对任意成立， 11kx -≤[)1,x∞∈+，对任意成立．k ≤≤[)1,x∞∈+等价于，对任意成立max min k ≤≤[)1,x ∞∈+令，得， ()11h x x -(]0,1t =∈()21h t t t =-+当时，取得最大值，最大值为； 12t =14令，得， ()21h x x ==+(]0,1t =∈()22h t t t =+易知 ()(]20,2h t ∈可得，不存在． 104k ≤≤所以，假设不成立，不存在函数是函数上的弱渐近函数． ()g x kx =()f x =[)1,+∞20．依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）．2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额＝应纳税所得额×税率－速算扣除数．应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额＝综合所得收入额－基本减除费用－专项扣除－专项附加扣除－依法确定的其它扣除．其中，“基本减除费用”（免征额）为每年60000元．税率与速算扣除数见下表：级数全年应纳税所得额所在区间税率（%）速算扣除数1[]0,36000 3 02 (]36000,14400010 25203(]144000,30000020 16920 … ………(1)设全年应纳税所得额为（不超过300000元）元，应缴纳个税税额为元，求； t y ()y f t =(2)小王全年综合所得收入额为189600元，假定缴纳的基本养老金、基本医疗保险费、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是52800元，依法确定其它扣除是4560元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？(3)设小王全年综合所得收入额为（不超过521700元）元，应缴纳综合所得个税税额为元，求x y 关于的函数解析式；并计算小王全年综合所得收入额由189600元增加到249600元，那么他全y x 年缴纳多少综合所得个税？注：“综合所得”包括工资、薪金，劳务报酬，稿酬，特许权使用费；“专项扣除”包括居民个人按照国家规定的范围和标准缴纳的基本养老保险、基本医疗保险费、失业保险等社会保险费和住房公积金等；“专项附加扣除”包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等支出；“其他扣除”是指除上述基本减除费用、专项扣除、专项附加扣除之外，由国务院决定以扣除方式减少纳税的优惠政策规定的费用．【答案】(1)()[](](]0.03,0,360000.12520,36000,1440000.216920,144000,300000t t y f t t t t t ⎧∈⎪==-∈⎨⎪-∈⎩(2)元1029.6(3)；5712元 [](](](]0,0,1467000.243520.8,146700,1917000.0814256,191700,3267000.1640392,326700,521700x x x y x x x x ⎧∈⎪-∈⎪=⎨-∈⎪⎪-∈⎩【分析】（1）由税率与速算扣除数表列分段函数即可；（2）根据公式计算即可；（3）先求出小王全年应纳税所得额（注意讨论的情况），再结合分类讨论即可.0=t ()y f t =【详解】（1）根据税率与速算扣除数表，可得.()[](](]0.03,0,360000.12520,36000,1440000.216920,144000,300000t t y f t t t t t ⎧∈⎪==-∈⎨⎪-∈⎩（2）小王应纳税所得额为()189600600001896008%2%1%9%52800456034320t =--´+++--=元.则小王全年应缴纳综合所得个税为：.()343200.03343201029.6y f ==⨯=（3）小王全年应纳税所得额为，()600008%2%1%9%5280045600.8117360t x x x =--+++--=-由，则有. 0.81173600146700t x t =-=Þ=[]()0,0,1467000.8117360,146700,x t x x ∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩则当；[]0,146700,0,0.030x t y t Î===当；(](]146700,191700,0,36000,0.030.243520.8x t y t x ÎÎ==-当；(](]191700,326700,36000,144000,0.125200.0814256x t y t x ÎÎ=-=-当.(](]326700,521700,144000,300000,0.2169200.1640392x t y t x ÎÎ=-=-故关于的函数解析式为. y x [](](](]0,0,1467000.243520.8,146700,1917000.0814256,191700,3267000.1640392,326700,521700x x x y x x x x ⎧∈⎪-∈⎪=⎨-∈⎪⎪-∈⎩故当时，.249600x =0.08249600142565712y =⨯-=∴小王全年应缴纳综合所得个税为5712元.21．已知函数，其中.()()sin 2sin cos 1sin cos 2f x x x x x x a =++-+-R a ∈(1)当时，若，求的值； 1a =()034f x =0sin 2x (2)记的最大值为，求的表达式并求出的最小值.()f x ()g a ()g a ()g a 【答案】(1) 09sin 216x =(2)， ()12g a a =+()min 1g a =【分析】（1）令，可得，即可得答案；sin cos x x t +=()()()31f x h t t ==-（2）分、、、四种情况讨论，每种情况下得到函数的单调性，即16a ≥1126a -<<12a =-12a <-可得答案.【详解】（1）令，则，，sin cos x x t +=t ⎡∈⎣21sin 2t x =+∴， ()()()2112f x h t t t t a ==-+--当时，， 1a =()()()()()()()23112112314f x h t t t t t t t t ==-+--=-++-=-=∴， 54t =∴. 20259sin 2111616x t =-=-=（2）， ()()()()2222121,21122121,2t a a t a h t t t t a a t a t a ⎧-++-≥⎪=-+--=⎨+--<⎪⎩①当，即时，在上单调递增， 2124a a +≥16a ≥()h tt ⎡∈⎣∴. ()()max 12g a h t ha ===+②当，即时， 2124a a +<16a <1°.时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调1126a -<<()h t )2a ⎡⎣212,4a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭214a +⎛ ⎝递增，∴， ()(){}max 2,g a h a h=记 ()()))222411124214s a h a h aa a a =-=----=+-在上单调递增，，∴，()s a 11,26a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()106s a s ⎛⎫<< ⎪⎝⎭()()20s a h a h =-<∴.()12g a h a ==+2°.时，.12a =-()12g a h a ==+3°.时，， 12a <-()({}max ,g a h h =而， (12112h a h a =-+<<=+∴. ()12g a h a ==+综上，对，，R a ∀∈()12g a h a ==+∴，当. ()min 1g a =a =22．如图，矩形的长，两点分别在轴，轴的正半轴上移动，ABCDAD =1AB =,A D x y 两点在第一象限.求的最大值., B C 2OB【答案】7+【分析】过点作，垂足为，设，求得的坐标，由两点间的B BH OA ⊥H OAD θ∠=,,,OA BH AH B 距离公式，结合正弦函数的性质，即可求解.【详解】由题意，过点作，垂足为，设， B BH OA ⊥H (02OAD πθθ∠=<<则， ,,sin()cos ,cos()sin 222BAH OA BH AH πππθθθθθθ∠=-==-==-=所以，sin ,cos )B θθθ+所以222sin )cos 76cos 22OB θθθθθ=++=++， 73πθ=++又由，可得， 02πθ<<42333πππθ<+<所以当时，取得最大值12πθ=2OB 7+【点睛】本题主要考查了函数的实际应用，其中解答中注意运用三角函数的定义和二倍角公式和正弦函数的图象与性质，着重考查了化简与运算能力，属于中档试题.。

高一上学期期末考试数学试卷-附含有答案

高一上学期期末考试数学试卷-附含有答案一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）已知集合A ={x|x ≤√3x}，B ＝{x |x 2+x ﹣6≥0}，则A ∩B ＝（） A ．∅B ．{x|√3≤x ≤3}C ．{x |2≤x ≤3}D ．{3}2．（5分）方程：x 3﹣3x +1＝0至少有一个实根的区间是（） A ．[√32，√3] B ．[√3，2] C ．[﹣1，0] D ．[√32，1] 3．（5分）在同一平面直角坐标系中，函数f （x ）的图象与y ＝e x 的图象关于直线y ＝x 对称，若f （m ）＝﹣1，则m 的值是（） A ．﹣eB ．−1eC ．eD ．1e4．（5分）已知α∈（0，π），且3cos2α+7cos α＝0，则sin α的值为（） A ．√53B ．23C ．13D ．2√235．（5分）设a ＝log 54，则b =log 1513，c ＝0.5﹣0.2，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b6．（5分）希波克拉底是古希腊医学家，他被西方尊为“医学之父”，除了医学，他也研究数学．特别是与“月牙形”有关的问题．如图所示．阴影部分的月牙形的边缘都是圆弧，两段圆弧分别是△ABC 的外接圆和以AB 为直径的圆的一部分，若∠ACB =2π3，AC ＝BC ＝1，则该月牙形的面积为（）A ．√34+π24B ．√34−π24C ．14+π24D ．3√34−π87．（5分）将log 30.81＝x 化成指数式可表示为（） A ．3x ＝0.81B ．x 0.81＝3C ．30.81＝xD ．0.813＝x8．（5分）已知函数f （x ）=16x ，记函数g （x ）＝f （x ）+x +1（2≤x ≤a ），其中实数a ＞2，若g （x ）的值域为[9，11]，则a 的取值范围是（） A ．[2，6]B ．[4，8]C ．[6，10]D ．[8，12]二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）（多选）9．（5分）下列函数既是奇函数又在区间（0，1）是减函数的是（）A ．y ＝x +1xB ．y ＝﹣x +1C ．y ＝x−13D ．y ＝|x |（多选）10．（5分）下列命题为真命题的是（） A ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2B ．若﹣3＜a ＜2，1＜b ＜4，则﹣7＜a ﹣b ＜1C ．若b ＜a ＜0，m ＜0，则m a＞m bD ．若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则ac ＞bd（多选）11．（5分）下列叙述中正确的是（）A ．若a ，b ，c ∈R ，则“ax 2+bx +c ≥0”的充分条件是“b 2﹣4ac ≤0”B ．两个不等式a 2+b 2≥2ab 与“a+b 2≥√ab 成立的条件不同C ．命题∃x 0∈R ，x 02+2x 0+2＝0是假命题D ．函数y =√x 2+2+√x +2的最小值为2（多选）12．（5分）关于函数y ＝|sin （2x −π6）|，下列叙述正确的是（） A ．最小正周期为π2B ．直线x =π12是函数图象的一条对称轴C ．函数在[7π12，5π6]上单调递增D ．函数在[π2，π]上先递减，后递增三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）函数y ＝lg [（12）x ﹣1]的定义域是．14．（5分）如图，在单位圆中，P （1，0），M 、N 分别在单位圆的第一、二象限内运动，若S △PON =2√37，△MON 为等边三角形，则sin ∠POM ＝．15．（5分）若幂函数y ＝x a 的图像经过(3，√3)，则此函数的表达式为． 16．（5分）函数f （x ）＝3sin （ωx +π3）的最小正周期T ＝π，则ω＝．四．解答题（共6小题，满分70分） 17．（10分）计算：（1）（13）﹣2−(338)13+√(−2)44；（2）（lg 2）2+lg 5•lg 20+log √39．18．（12分）（1）已知sinα=−13，且α为第四象限角，求sin(α−π2)与tan α值；（2）已知tan α＝2，求cos αsin α的值． 19．（12分）设函数f(x)=2sin(2x +π3)，x ∈R ．（1）求函数f （x ）的最小正周期；（2）求函数的对称轴、对称中心；（3）当x 取何值时，函数有最值；（4）求函数的单调区间；（5）判断函数在[π6，5π6]上的单调性；（6）求函数在[π6，5π6]上的值域；（7）求函数f （x ）＞1的解集． 20．（12分）讨论函数f(t)=5√t +√t在[25，910]上的单调性，并求函数的最大值和最小值． 21．（12分）小华同学制作了一个简易的网球发射器，可用于帮忙练习定点接发球，如图1所示，网球场前半区、后半区总长为23.77米，球网的中间部分高度为0.914米，发射器固定安装在后半区离球网底部8米处中轴线上，发射方向与球网底部所在直线垂直．为计算方便，球场长度和球网中间高度分别按24米和1米计算，发射器和网球大小均忽略不计．如图2所示，以发射器所在位置为坐标原点建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上的球场中轴线上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1米．已知若不考虑球网的影响，网球发射后的轨迹在方程=12kx−180（1+k2）x2（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．发射器的射程是指网球落地点的横坐标．（1）求发射器的最大射程；（2）请计算k在什么范围内，发射器能将球发过网（即网球飞行到球网正上空时，网球离地距离大于1米）？若发射器将网球发过球网后，在网球着地前，小明要想在前半区中轴线的正上空选择一个离地面2.55米处的击球点正好击中网球，试问击球点的横坐标a最大为多少？并请说明理由．22．（12分）设函数f（x）＝log a（1+12x），g（x）＝log a（1−12x）（a＞0且a≠1），若h（x）＝f（x）﹣g（x）．（1）求函数h（x）的定义域；（2）判断h（x）的奇偶性，并说明理由；（3）求使h（x）＞0成立的x的集合．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．【解答】解：由题意可得，A ＝{x |0≤x ≤3}，B ＝{x |x ≤﹣3或x ≥2} 则A ∩B ＝{x |2≤x ≤3}．故选：C ．2．【解答】解：设方程：x 3﹣3x +1＝0，对应函数为f （x ）＝x 3﹣3x +1，则f ′（x ）＝3x 2﹣3 令f ′（x ）＝3x 2﹣3＝0，解得x ＝1或﹣1x ∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递减，x ∈（﹣1，1）时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递增 A ．在[√32，√3]上，f （x ）先增后减，f （x ）min ＝f （1），则f （√32）＝（√32）3﹣3×√32+1＝1−9√38＜0，f （1）＝（1）3﹣3×1+1＝﹣1＜0，f （√3）＝（√3）3﹣3×√3+1＝1＞0，即方程x 3﹣3x +1＝0有一个实根，符合题意，故A 正确；B ．在[√3，2]上，f （x ）单调递减，则f （2）＝23﹣3×2+1＝3＞0，f （√3）＝（√3）3﹣3×√3+1＝1＞0，即方程x 3﹣3x +1＝0无实根，不符合题意，故B 错误；C ．在[﹣1，0]上，f （x ）单调递增，则f （﹣1）＝（﹣1）3﹣3×（﹣1）+1＝3＞0，f （0）＝03﹣3×0+1＝1＞0，即方程x 3﹣3x +1＝0无实根，不符合题意，故C 错误；D ．在[√32，1]上，f （x ）单调递增，则f （√32）＝（√32）3﹣3×√32+1＝1−9√38＜0，f （1）＝（1）3﹣3×1+1＝﹣1＜0，即方程x 3﹣3x +1＝0无实根，不符合题意，故D 错误；故选：A ．3．【解答】解：∵函数y ＝f （x ）的图象与y ＝e x 的图象关于直线y ＝x 对称 ∴函数y ＝f （x ）与y ＝e x 互为反函数则f （x ）＝lnx 又∵f （m ）＝﹣1 ∴lnm ＝﹣1 m =1e故选：D ．4．【解答】解：由3cos2α+7cos α＝0得3（2cos 2α﹣1）+7cos α＝0，即6cos 2α+7cos α﹣3＝0 所以（2cos α+3）（3cos α﹣1）＝0，又α∈（0，π），则cos α∈（﹣1，1）所以cosα=13所以sinα=√1−cos 2α=2√23．故选：D ．5．【解答】解：∵b =log 1513=log 53，a ＝log 54＜log 55＝1∴b ＜a ＜1 ∵c ＝0.5﹣0.2＞0.50＝1∴b ＜a ＜c 故选：B ．6．【解答】解：由已知可得AB =√3，△ABC 的外接圆半径为1 由题意，内侧圆弧为△ABC 的外接圆的一部分，且其对应的圆心角为2π3则弓形ABC 的面积为12×12×（2π3−sin2π3）=π3−√34外侧的圆弧以AB 为直径所以半圆AB 的面积为12×π×（√32）2=3π8 则月牙形的面积为3π8−（π3−√34）=√34+π24．故选：A ．7．【解答】解：把对数式log 30.81＝x 化成指数式为3x ＝0.81．故选：A ．8．【解答】解：因为f （x ）=16x所以g （x ）＝f （x ）+x +1=16x +x +1（2≤x ≤a ）根据对勾函数单调性可知g （x ）在[2，4]上单调递减，在[4，+∞）上单调递增因为a ＞2当2＜a ≤4时，g （x ）在[2，a ]上单调递减且g （x ）的值域为[9，11] 则g （2）＝11，g （a ）＝a +1+16a=9 解得a ＝4当a ＞4时，g （x ）在[2，4]上单调递减，在[4，a ]上单调递增所以g （4）＝9为最小值，g （2）＝11 因为g （x ）的值域为[9，11] 所以g （a ）＝a +1+16a ≤11 解得2≤a ≤8 所以4＜a ≤8综上，a 的取值范围为[4，8]．故选：B ．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分） 9．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，y ＝x +1x，是奇函数且在区间（0，1）是减函数，符合题意；对于B ，y ＝﹣x +1，是一次函数，不是奇函数，不符合题意对于C ，y =x−13，是幂函数，是奇函数且在区间（0，1）是减函数，符合题意；对于D ，y ＝|x |，是偶函数，不符合题意故选：AC ．10．【解答】解：对于A ，当c ＝0时，ac 2＝bc 2＝0，A 错误；对于B ，∵1＜b ＜4，∴﹣4＜﹣b ＜﹣1，又﹣3＜a ＜2，∴﹣7＜a ﹣b ＜1，B 正确；对于C ，∵b ＜a ＜0，∴1a＜1b ，又m ＜0，∴m a＞m b，C 正确；对于D ，∵a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，∴ac ＞bc ＞bd ，D 正确．故选：BCD ．11．【解答】解：对于A ，取a ＝b ＝0，c ＝﹣1，满足条件“b 2﹣4ac ≤0”，但不满足“ax 2+bx +c ≥0”，所以“b 2﹣4ac ≤0”不是“ax 2+bx +c ≥0”的充分条件，所以A 错；对于B ，不等式a 2+b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ，不等式a+b 2≥√ab 成立的条件是a ，b ∈[0，+∞），所以B 对；对于C ，因为对任意x 0∈R ，有x 02+2x 0+2=(x 0+1)2+1＞0，所以C 对；对于D ，令u =√x 2+2，则u ≥√2＞1，因为函数y =u +1u，在[1，+∞）上单调增加，所以y =√x 2+2+1√x +2=u +1u ≥√2+1√2=3√22，所以D 错．故选：BC ．12．【解答】解：作出函数的图象，如图示：根据函数的性质可知，选项A ，B ，C 正确函数在[π2，π]上先递减，再递增，再递减，故选项D 错误；故选：ABC ．三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 13．【解答】解：由题意，可知（12）x ﹣1＞0即（12）x ＞1解得x ＜0．故答案为：（﹣∞，0）．14．【解答】解：S △PON =12×1×1×sin∠PON =2√37，解得sin∠PON =4√37而点N 在第二象限则cos ∠PON =−1−(4√37)2=−17 ∵∠MON =π3∴sin∠POM =sin(∠PON −π3)=sin∠PON ×12−cos∠PON ×√32=5√314．故答案为：5√314． 15．【解答】解：幂函数y ＝x a 的图像经过(3，√3)，则√3=3a ，∴a =12 y =x 12=√x ．故答案为：y =√x ．16．【解答】解：函数f （x ）＝3sin （ωx +π3）的最小正周期T ＝π 故ω=2ππ=2．故答案为：2．四．解答题（共6小题，满分70分）17．【解答】解：（1）（13）﹣2−(338)13+√(−2)44＝9−32+2=192；（2）（lg 2）2+lg 5•lg 20+log √39＝（lg 2）2+lg 5•（1+lg 2）+4 ＝lg 2（lg 2+lg 5）+lg 5+4 ＝lg 2+lg 5+4＝5．18．【解答】解：（1）因为sinα=−13，且α为第四象限角所以cosα=√1−sin 2α=2√23可得sin(α−π2)=−cos α=−2√23，tanα=−√24．（2）因为tan α＝2 可得sinαcosα=sinαcosαsin 2α+cos 2α=tanαtan 2α+1=25． 19．【解答】解：（1）对于函数f(x)=2sin(2x +π3)，x ∈R ，它的最小正周期为2π2=π．（2）令2x +π3=k π+π2，k ∈Z ，求得x =kπ2+π12，可得它的图象的对称轴为x =kπ2+π12，k ∈Z ；令2x +π3=k π，k ∈Z ，求得x =kπ2−π6，可得它的图象的对称中心为（kπ2−π6，0）k ∈Z ．（3）令2x +π3=2k π+π2，k ∈Z ，求得x ＝k π+π12，可得当x ＝k π+π12，k ∈Z 时，函数取得最大值为2；令2x +π3=2k π−π2，k ∈Z ，求得x ＝k π−5π12，可得当x ＝k π−5π12，k ∈Z 时，函数取得最小值为﹣2．（4）令2k π−π2≤2x +π3≤2k π+π2，k ∈Z ，求得k π−5π12≤x ≤k π+π12 可得函数的增区间为[k π−5π12，k π+π12]，k ∈Z ．令2k π+π2≤2x +π3≤2k π+3π2，k ∈Z ，求得k π+π12≤x ≤k π+7π12可得函数的减区间为[kπ+π12，kπ+7π12]，k∈Z．（5）在[π6，5π6]上，2x+π3∈[2π3，2π]故当2x+π3∈[2π3，3π2π]时，即x∈[π6，7π12]，函数f（x）单调递减；当2x+π3∈[3π2π，2π]时，即x∈[7π12，5π6]，函数f（x）单调递增故函数f（x）在[π6，5π6]上的减区间为[π6，7π12]，增区间为[7π12，5π6]．（6）在[π6，5π6]上，2x+π3∈[2π3，2π]，故当2x+π3=3π2时，函数f（x）取得最小值为﹣2；当2x+π3=2π3时，函数f（x）取得最大值为√3故函数的值域为[﹣2，√3]．（7）函数f（x）＞1，即sin（2x+π3）＞12，故有2kπ+π6＜2x+π3＜2kπ+5π6，k∈Z求得kπ−π12＜x＜kπ+π4，k∈Z故函数f（x）＞1的解集为（kπ−π12，kπ+π4），k∈Z．20．【解答】解：因为t∈[25，910]，令x=√t，则x∈[√25，√910]对于y=g(x)=5x+8x，g（x）在[√25，√910]上单调递减，证明如下：在[√25，√910]上任取x1，x2，且x1＜x2．则g(x2)−g(x1)=(5x2+8x2)−(5x1+8x1)=5(x2−x1)+8(x1−x2)x1x2=(x2−x1)(5x1x2−8x1x2)因为√25≤x1＜x2≤√910＜1＜√85，则x1x2＜85所以x2﹣x1＞0，5x1x2﹣8＜0，x1x2＞0．故g（x2）﹣g（x1）＜0，即g（x1）＞g（x2）所以g（x）在[√25，√910]上单调递减而x=√t在[25，910]上单调递增所以f(t)=5√t 8√t在[25，910]上单调递减所以f（x）在[25，910]的最大值为f(25)=5√25√25=5√10第11页（共11页）最小值为f(910)=5√910√910=25√106． 21．【解答】解：（1）由12kx −180（1+k 2）x 2＝0得：x =40k1+k2或x ＝0，…（2分）由x =40k+1k ≤20，当且仅当k ＝1时取等号．因此，最大射程为20米； …（5分）（2）网球发过球网，满足x ＝8时y ＞1．所以4k −45（1+k 2）＞1，即4k 2﹣20k +9＜0，因此12＜k ＜92…（8分）依题意：关于k 的方程12ka −180（1+k 2）a 2＝2.55在（12，92）上有实数解即a 2k 2﹣40ak +a 2+204＝0（a ≠0）…9分Δ＝1600a 2﹣4a 2（a 2+204）≥0得a ≤14，…（11分）此时k =107，球过网了，所以击球点的横坐标 a 最大为14 …（12分） 22．【解答】解：（1）根据题意，由h （x ）＝f （x ）﹣g （x ）＝log a （1+12x ）﹣log a （1−12x ）则有1+12x ＞0且1−12x ＞0，解可得﹣2＜x ＜2所以函数定义域为（﹣2，2）（2）根据题意，对任意的x ∈（﹣2，2），﹣x ∈（﹣2，2）ℎ(−x)=f(−x)−g(−x)=log a (1−12)x −log a (1+12)x =g （x ）﹣f （x ）＝﹣h （x ）所以h （x ）为奇函数（3）h （x ）＞0，即f(x)＞g(x)⇔{a ＞11+12x ＞1−12x ＞0或{0＜a ＜10＜1+12x ＜1−12x 则a ＞1时，有0＜x ＜2，0＜a ＜1时，﹣2＜x ＜0则a ＞1时，x ∈{x |0＜x ＜2}，0＜a ＜1时，x ∈{x |﹣2＜x ＜0}。

高一上学期期末考试数学试题(解析版)

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据求出关系代入面积公式利用二次函数的知识求解最值.
【详解】因为所以
即；
由正弦定理可得所以
；
当时取到最大值 .
故选：A.
二多选题：本题共4小题每小题5分共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求.全部选对的得5分有选错的得0分部分选对的得2分.
【小问1详解】
解：依题意在时取最大值在时取最小值又函数在区间单调所以即又所以
由得即
又因为所以
所以 .
【小问2详解】
解：列表如下
0
0
0
1
所以函数图象如下所示：
由图知的一条对称轴为有两个实数根记为
则由对称性知所以所有实根之和为 .
20.在① ；② .请在上述两个条件中任选一个补充在下面题目中然后解答补充完整的问题.
（2）该小组分析测得的数据后认为适当调整标杆到钟楼的距离（单位：）使与之差较大可以提高测量精度.若钟楼的实际高度为试问为多少时最大？
【答案】（1）约为
（2）为时最大
【解析】
【分析】（1）运用正切三角函数建立等式再结合题中数据可求解；
（2）由得到再运用基本不等式求解.
【小问1详解】
13.若扇形的面积为半径为1则扇形的圆心角为___________ .
【答案】
【解析】
【分析】直接根据扇形的面积公式计算可得答案．
【详解】设扇形的圆心角为
因为扇形的面积为半径为1
所以．解得
故答案为：．
14.已知则 __________.
【答案】 ##
【解析】

新疆高一上学期期末检测数学试题(解析版)

一、单选题1．已知全集，集合，集合，则（） {0,1,2,3,4,5}U ={0,1,3}A ={3,4}B =()U A B ⋂=ðA ． B ． C ． D ．{2,4}{3,4}{2,3}{4}【答案】D【分析】根据给定条件，利用补集、交集的定义求解作答.【详解】全集，集合，则，而， {0,1,2,3,4,5}U ={0,1,3}A ={2,4,5}U A =ð{3,4}B =所以. (){4}U A B ⋂=ð故选：D2．函数的定义城为（） ()12f x x =-A ．B ． 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭()(),22,-∞+∞ C ．D ．()1,22,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭()2,+∞【答案】C【分析】根据被开方数非负和分母不等于零，列出不等式组即可求解.【详解】要使函数有意义，则 21020x x -≥⎧⎨-≠⎩解得且， 12x ≥2x ≠所以定义域为.()1,22,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭故选：C ．3．的值为（） cos(1380)- A ．B ． 12-12C ．D 【答案】B【分析】利用三角函数的诱导公式，即可求解.【详解】由三角函数的诱导公式，可得. 1cos(1380)cos(436060)cos 602-=-⨯+==故选：B.4．函数的零点所在的区间为（） 2()ln 2f x x x =+-A ．B ．()2,1--()0,1C ．D ．()1,2()2,3【答案】C【分析】结合函数的单调性，利用零点存在定理可判断出函数的零点所在的区间. ()y f x =【详解】∵函数， 2()ln 2f x x x =+-∴函数在上单调递增， ()y f x =()0,∞+又，，， ()110f =-<()2ln 220f =+>故函数的零点所在区间为． ()y f x =()1,2故选：C.5．中国传统折扇有着极其深厚的文化底蕴.《乐府诗集》中《夏歌二十首》的第五首曰：“叠扇放床上，企想远风来轻袖佛华妆，窈窕登高台.”如图所示，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成若一把折扇完全打开时圆心角为，扇面所在大圆的半径为，所在小圆的半径为5π620cm 10cm，那么这把折扇的扇面面积为（）A ．B ．C ．D ．以上都不对125π144π48π5【答案】A【分析】先分别计算出大的扇形和小的扇形面积，两个求差就是扇面面积. 【详解】由扇形的面积公式可知大的扇形面积为， 221115500π20π2263S R α==⨯⨯=小的扇形面积为， 222115125π10π2263S r α==⨯⨯=所以扇面的面积为. 12125πS S -=故选：A6．已知，则下列命题中一定成立的是（） ,,,R a b c d ∈A ．若，则 a b c b >>,a c >B ．若，则 a b >-a b c c ++>C ．若，则,a b c d >>ac bd >D ．若，则 a b <11a b>【答案】B【分析】由不等式的性质及特值法逐一判断即可．【详解】对于A ，，，取，，，则，故A 错误； a b >c b >2a =1b =3c =a c <对于B ，若，则，所以，故B 正确；a b >-0a b +>a b c c ++>对于C ，若，，取，，，，则，故C 错误； a b >c d >2a =0b =2c =-4d =-ac bd <对于D ，若，则，故D 错误． 0a b <<11a b<故选：B ．7．设，，，则、、的大小关系为（） 1312a ⎛⎫= ⎪⎝⎭1253b ⎛⎫= ⎪⎝⎭235log 2c =a b c A ． B ． a b c >>c a b >>C ． D ．b c a >>b a c >>【答案】D【分析】利用指数函数、对数函数的单调性，结合中间值法可得出、、的大小关系.a b c 【详解】因为函数为上的减函数，则，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭R 13110122a ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭函数为上的增函数，则， 53xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭R 1255133b ⎛⎫⎛⎫=>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭函数为上的减函数，则，23log y x =()0,∞+22335log log 102c =<=因此，. b a c >>故选：D.8．函数的部分图象如图所示，将的图象向左平()sin()(0,0,0π)f x A x A ωϕωϕ=+>><<()y f x =移个单位长度得到函数的图象，则函数的解析式是（） π6()y g x =()y g x =A ．()sin 2=-g x xB ．π()sin(2)3g x x =+C ．π()sin(2)3g x x =-D ． 2π()sin(23g x x =+【答案】D【分析】由图象求出函数的解析式，然后由图象变换得结论． ()f x 【详解】由图象得，，所以，又，所以，1A =7ππ4(π123T =⨯-=2π2T ω==0ω>2ω=又，，，， 7πsin(2)112ϕ⨯+=-7π3π2π62k ϕ+=+π2π3k ϕ=+Z k ∈由得， 0πϕ<<π3ϕ=所以，π()sin(23f x x =+因为将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象， ()y f x =π6()y g x =所以．ππ2π()sin[2()sin(2)633g x x x =++=+故选：D ．二、多选题9．下列结论中，正确的是（） A ．函数是指数函数 12x y -=B ．若，则 (0,1)m n a a a a >>≠m n >C ．函数的值域是21(1)y ax a =+>[1,)+∞D ．函数的图像必过定点 2()3(0,1)x f x a a a -=->≠(2,2)-【答案】CD【分析】对于A 项,根据指数函数的定义求解；对于B 项，当时验证；对于C 项，根据01a <<2,a x 的范围求解即可；对于D 项，根据求解.01a =【详解】对于A 项，函数的指数位置不符合指数函数，故A 不正确. 12x y -=对于B 项，当时，时，，故B 不正确.01a <<m n a a >m n <对于C 项，，，故函数的值域是21,0a x >≥ ∴211ax +≥21(1)y ax a =+>[1,)+∞所以C 正确.对于D 项，因为，函数的图像必过定点,()02202232x x f a =-=⎧⎧∴⎨⎨=--=-⎩⎩2()3(0,1)x f x a a a -=->≠(2,2)-故D 正确. 故选：CD10．要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点（）sin 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭sin y x =A ．向左平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变） π812B ．向左平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）4π12C ．横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再把图象向左平移个单位长度 12π8D ．横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再把图象向左平移个单位长度124π【答案】BC【分析】根据三角形函数的平移法则，依次判断每个选项的平移后的函数，对比得到答案. 【详解】对选项A ：向左平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不sin y x =π812变）得到，不正确；πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对选项B ：向左平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）得到sin y x =4π12，正确；sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对选项C ：横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再把图象向左平移个单位长度得到12π8，正确；ππsin 2sin 284y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对选项D ：横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再把图象向左平移个单位长度得到124π，不正确.ππsin 2sin 242y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：BC11．下列函数的最小值为4的有（）A ．B ． 224y x x =+()1111y x x x =++>-C ．D ． y =92y x x=+-【答案】AB【分析】构造基本不等式，然后根据基本不等式计算与判断A ，B ，C 选项，取特殊值验证选项D 即可.【详解】对于A ，， 2244y x x =+≥=当且仅当x =，故A 正确； min 4y =对于B ，， 1122241y x x =+-+≥+=-当且仅当即时等号成立， 11x -=2x =故B 正确；对于C ，，4y ===≥因为无解，故等号不成立，故不是4， 264x +=min y 故C 错误. 对于D ，，取，则， 92y x x=+-=1x -124y =-<故D 不正确. 故选：AB.12．已知函数，给出下列结论正确的是（）()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A ．函数f （x ）的图像可以由的图像向左平移个单位得到sin 2y x =π6B ．是的一条对称轴 13π12x =-()f x C ．若，则的最小值为 12()()2f x f x -=21x x -π2D ．直线与函数在上的图像有5个交点 12y =()y f x =7π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】ACD【分析】根据平移法则得到A 正确，计算，不是对称轴，B 错误，的最小值π11π236x +=-21x x -为半个周期，C 正确，画出图像知D 正确，得到答案. 【详解】对选项A ：的图像向左平移个单位得到，正sin 2y x =π6ππsin 2sin 263y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭确；对选项B ：时，，不是对称轴，错误；13π12x =-π11π236x +=-对选项C ：，，则的最小值为半个周期为，正确； 2ππ2T ==12()()2f x f x -=21x x -π2对选项D ：当时，，如图所示画出函数图像，根据图像知正确.7π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ2,5π33x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦故选：ACD三、填空题 13．函数是___________函数（填“奇”或“偶”）. 21log 1xy x-=+【答案】奇【分析】根据函数的奇偶性定义判断. 【详解】定义域为， ()21log 1xf x x-=+()1,1x ∈-对， ()1,1x ∀∈-()1222111log log log ()111x x x f x f x x x x -+--⎛⎫-===-=- ⎪-++⎝⎭所以是奇函数. 21log 1xy x-=+故答案为：奇14．计算：___________.231lg16(π1)8lg 504-+++=【答案】5【分析】根据指数对数运算法则计算得到答案.【详解】.21341lg16(π1)8lg 50lg1614lg 50lg 23lg 50lg100354-+++=-++=++=+=故答案为：515．已知，则___________． tan 3α=2sin 2sin cos ααα-=【答案】310【分析】将化为，再利用平方关系化弦为切，将代2sin 2sin cos ααα-222sin 2sin cos sin cos ααααα-+tan 3α=入即可求解.【详解】解：， 222222sin 2sin cos tan 2tan sin 2sin cos sin cos tan 1ααααααααααα---==++因为，所以.tan 3α=22tan 2tan 963tan 19110ααα--==++故答案为：.31016．如图，摩天轮的半径为，点距地面的高度为，摩天轮做匀速转动，每转一50m O 60m 3min 圈，摩天轮上点的起始位置在最低点处，在摩天轮转动的一圈内，有___________时间点距离P P 地面超过．35m【答案】分钟.2【分析】由题意求出的值，结合周期求出，写出函数解析式，由求,,A B ϕω2π6050cos 353y t =->出的范围，再由的端点值差求出一圈中点距离地面超过的时间． t t P 35m 【详解】设点离地面的距离为，则可令， P y ()sin y A t b ωϕ=++由题可知，，又，解得，则 50,60A b ==2π3T ω==2π3ω=2π50sin 603y t ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭当时，，代入得，解得，从而，故0=t 10y =1050sin 60ϕ=+sin 1ϕ=-π2ϕ=-， ()2π6050cos03y t t =-≥若点距离地面超过，则，即，解得，则P 35m 2π6050cos353y t =->2π1cos 32t <π2π5π333t <<，即在摩天轮转动的一圈内，有分钟时间点距离地面超过． 1522t <<2P 35m 故答案为：分钟2四、解答题17．若且为第四象限角，求的值．3sin ,5α=-αcos ,tan αα【答案】43cos ,tan 54αα==-【分析】根据同角的三角函数关系式进行求解即可.【详解】因为且为第四象限角，3sin ,5α=-α所以， 4cos 5α===因此. 3sin 35tan 4cos 45ααα-===-即.43cos ,tan 54αα==-18．已知函数，判断并证明在上的单调性. ()12x f x x +=+()f x (2,)-+∞【答案】单调递增，证明见解析【分析】利用单调性的定义判断证明. 【详解】函数在上单调递增. 1()2x f x x +=+()2,-+∞证明：，任取， 11()122x f x x x +==-++122x x -<<，1212211211()()22(2)(2)x x f x f x x x x x --=-=++++因为，所以，，， 122x x -<<120x +>220x +>120x x -<所以，即， 12120(2)(2)x x x x -<++12()()f x f x <所以在上单调递增. 1()2x f x x +=+()2,-+∞19．已知函数（且）满足.求函数的值域. ()21x f x a -=0a >1a ≠1(1)27f =【答案】(0,1]【分析】根据题意可得，结合指数函数单调性求值域. 127a =【详解】由题意可得，故，1(1)27f a ==()21127x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭∵，且在上单调递减，210-≥x 127xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭R ∴，当且仅当，即时，等号成立，2111012727x -⎛⎫⎛⎫<≤= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭210x -=12x =故函数的值域为. (0,1]20．已知，，，求的值. π3π24βα<<<5sin()13αβ-=5sin()13αβ+=-sin 2α【答案】 120169-【分析】，根据已知条件判断和的象限，求出sin 2sin[()()]ααβαβ=++-αβ+αβ-()cos αβ-和即可. ()cos αβ+【详解】， π3π24βα<<<， π04αβ∴<-<3ππ.2αβ<+<，， ()12cos 13αβ∴-==()12cos 13αβ+==-[(sin 2si )n ()]ααβαβ∴=++-()()()()sin cos cos sin αβαβαβαβ=+-++- 51212513131313⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 120169=-所以. sin 2α120169=-21．已知函数，若，求的单调区间. ()213()log 25f x x mx =--2m =()f x 【答案】增区间为，减区间为(),1-∞-()5,+∞【分析】计算定义域得到或，分别判断和的单调区间，根据复5x >1x <-13log y x =245y x x =--合函数单调性得到答案.【详解】，， 2m =()213()log 45f x x x =--函数定义域满足，解得或， 2450x x -->5x >1x <-函数在上单调递减，13log y x =()0,∞+函数在上单调递减，在上单调递增， 245y x x =--(),1∞--()5,∞+故函数的单调增区间为，减区间为()f x (),1-∞-()5,+∞22．已知函数，将的图象向左平移个单位长度，所()()()c πos 2f x x x ϕϕϕ⎛⎫=+++< ⎪⎝⎭()f x π6得函数的图象关于轴对称. y (1)求函数的解析式；()f x (2)若关于的方程在上恰有两个实数根，求实数的取值范围.x ()f x a =5,π61π2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦a【答案】(1) π()2sin 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2))2【分析】(1)直接利用三角函数的关系式的变换和函数的图像的变换的应用求出函数的关系式；(2)利用函数的性质的应用求出的取值范围. a【详解】（1）由， ()()()cos f x x x ϕϕ=+++π2sin 6x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭函数的图象向左平移个单位，得到的图象关于轴对称； π6()π2sin 3g x x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭y 由于，则， π2ϕ<π3ϕ+=ππ,Z 2k k +∈所以，则； π6ϕ=π()2sin 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）因为，所以， π12π5,6x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππ3π,364x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦所以， []π2sin 1,23x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭因方程在上恰有两个实数根， ()f x a =5,π61π2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦当时，，当时， π6x =-()1f x =5π12x =()f x =，即的取值范围为. 2a ≤<a )2。

高一数学上学期期末考试试卷含答案(共3套)

高一级第一学期期末考试数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 下列四组函数，表示同一函数的是（）A. B.C. D.2. 平行于同一平面的两条直线的位置关系是（）A. 平行B. 相交C. 异面D. 平行、相交或异面3. 已知集合，，则（）A. B. C. D.4. 图中的直线的斜率分别是，则有（）A. B. C. D.5. 设，，则（）A. B. C. D.6. 方程在下面哪个区间内有实根（）A. B. C. D.7. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.8. 一圆锥的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的母线与底面所成角是（）A. B. C. D.9. 若函数的值域为，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.10. 如图，二面角的大小是，线段，，与所成的角为，则与平面所成的角的余弦值是（）A. B. C. D.11. 正四面体中，是棱的中点，是点在底面内的射影，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.12. 已知函数在闭区间上的值域为，则满足题意的有序实数对在坐标平面内所对应点组成图形为（）A. B.C. D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知，则__________．14. 已知两条平行直线分别过点，，且的距离为5，则直线的斜率是__________．15. 已知函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围是__________．16. 如图，将一边为1的正方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，则三棱锥的内切球半径是__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 求值或化简：（1）；（2）.18. 如图，正三角形的边长为6，，，点分别在边上，且，，相交于.（1）求点的坐标；（2）判断和是否垂直，并证明.19. 已知函数.（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；（3）在函数图像上是否存在两个不同的点，使直线垂直轴，若存在，求出两点坐标；若不存在，说明理由.20. 如图，在四棱锥中，底面，，，，为棱的中点.（1）求证：；（2）试判断与平面是否平行？并说明理由.21. 《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金（扣除三险一金后）所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额个人所得税计算公式：应纳税额=工资-三险一金=起征点. 其中，三险一金标准是养老保险8%、医疗保险2%、失业保险1%、住房公积金8%，此项税款按下表分段累计计算：（1）某人月收入15000元（未扣三险一金），他应交个人所得税多少元？（2）某人一月份已交此项税款为1094元，那么他当月的工资（未扣三险一金）所得是多少元？22. 设，函数，其中.（1）求的最小值；（2）求使得等式成立的的取值范围.参考答案1【答案】D【解析】试题分析：A.，对应法则不同；B.，定义域不同；C.，定义域不同；故选D。

四川省绵阳市高一上学期期末数学试题(解析版)

高一第一学期末教学质量测试数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则（）{}5A x x =<{}2log 1B x x =>A B = A.B. C. D. {}05x x <<{}15x x <<{}25x x <<{}45x x <<【答案】C【解析】【分析】利用对数函数的单调性解不等式可得，即可求交集.{}2B x x =>【详解】由解得，所以，2log 1x >2x >{}2B x x =>所以，A B = {}25x x <<故选:C.2. 已知角的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，且满足，，则θsin 0θ>cos 0θ<（）A. 为第一象限角B. 为第二象限角C. 为第三象限角D. 为第四象限角θθθθ【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，由，分别确定角的终边位置，再求其公共部分作答.sin 0θ>cos 0θ<θ【详解】依题意，由，得角的终边在x 轴上方，由，得角的终边在y 轴左侧， sin 0θ>θcos 0θ<θ所以角的终边在第二象限，即为第二象限角.θθ故选：B3. 下列函数既是偶函数又在上单调递减的是（）()0,∞+A. B. C. D.1y x x =+ln y x =2y x =-3y x =【答案】C【解析】【分析】根据奇偶函数的定义即可判断A ，根据对数函数图像与性质可判断B ，利用函数奇偶性的判断以及其解析式即可判断C ，根据常见幂函数的图像与性质即可判断D.【详解】对A ，设，其定义域为，则其定义域关于原点对称， ()1h x x x =+()(),00,∞-+∞U 且，则函数为奇函数，故A 错误， ()()11h x x x h x x x ⎛⎫-=-+=-+=- ⎪-⎝⎭1y x x =+对B ，根据对数函数的定义域为，可知其不具备奇偶性，故B 错误，ln y x =(0,)+∞对C ，当，，可知其在上单调递减，0x >2||2y x x =-=-(0,)+∞设，其定义域为，关于原点对称，()2||f x x =-R 且，故函数为偶函数，故C 正确，()()22-=--=-=f x x x f x 2||y x =-对D ，根据幂函数图象与性质知为奇函数，故D 错误，3y x =故选：C.4. 命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（）0x ∃∈R 220x x a ++=a A.B. C. a ＜1 D. a ＞11a ≤1a ≥【答案】A【解析】【分析】由已知条件可得，即可解得实数的取值范围.0∆≥a 【详解】因为命题“，”是真命题，则，解得.0x ∃∈R 220x x a ++=440a ∆=-≥1a ≤因此，实数的取值范围是.a 1a ≤故选：A. 5. 已知角的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合终边经过点，且α()3,P m π4cos 25α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则m ＝（）A. B. －4 C. 4 D.454±【答案】C【解析】【分析】直接利用诱导公式得，解出即可. 4sin 5α=45=【详解】，解得， π4cos sin 25αα⎛⎫-== ⎪⎝⎭45=4m =故选：C.6. 函数的图象大致是（） ()361x f x x=+ A.B. C.D.【答案】D【解析】【分析】分析函数的定义域与奇偶性，结合基本不等式以及排除法可得出合适的选项.()f x 【详解】对任意的，，则函数的定义域为， x ∈R 610x +>()361x f x x =+R 又因为，故函数为奇函数， ()()()()336611x x f x f x x x --==-=-+-+()f x 当时，， 0x >()3633110112x f x x x x <==≤=++当且仅当时，等号成立，排除ABC 选项.1x =故选：D.7. 中国与卡塔尔合建的卢塞尔体育场是世界上最大跨度的双层索网屋面单体建筑．该体育场配备了先进的紫外线消杀污水过滤系统，已知过滤过程中污水的污染物浓度M （单位：mg/L ）与时间t 的关系为（为最初污染物浓度）．已知前2个小时可消除30%的污染物，那么污染物消除至最初的0e ktM M =0M 49%共需（）A. 3小时B. 4小时C. 8小时D. 9小时【答案】B【解析】【分析】根据指数式的运算结合题意可得，即可确定污染物消除至最初的49%共需4小时. 210.7e k=【详解】由题可得，当时，,所以， 2t =0020.7e k M M M ==210.7e k =再令，即， 000.49e kt M M M ==10.49e kt =因为，所以即，所以， 210.7e k =2210.49e k ⎛⎫= ⎪⎝⎭410.49e k =4t =故选:B.8. 已知，，，比较a ，b ，c 的大小为（） 3log 2a =4log 3b =πsin6c =A. a ＞b ＞cB. a ＞c ＞bC. b ＞c ＞aD. b ＞a ＞c【答案】D【解析】【分析】易得，.又， 12c =12，a b >()2243233434l n l n l n l n l n l n l n l n l n a b ⋅--=-=⋅比较与0的大小即可.()2243l n l n l n ⋅-【详解】，因函数在上单调递增， π1sin 62c ==34l og ，l og y x y x ==()0,∞+则，. 331log 2log 2a =>=441log 3log 22b =>=，因，则()2243233434l n l n l n l n l n l n l n l n l n a b ⋅--=-=⋅240l n ，l n >. ()()()22211242489344l n l n l n l n l n l n l n +>⇒⋅<<=故，综上有.a b <b a c >>故选：D 【点睛】关键点点睛：本题涉及比较对数值大小，难度较大.因，难以找到中间量，故结112，a b <<合换底公式做差，后再利用基本不等式比较大小. a b ，二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 下列计算结果为有理数的有（）A.B. C. D. lg 2lg 5+132ln 22-132⋅【答案】AB【解析】【分析】利用指数运算、对数运算化简选项ABD 并判断结果，再分析选项C 的结果作答.【详解】对于A ，，结果是有理数；lg 2lg 5lg(25)lg101+=⨯==对于B ，结果是有理数；122133133322222===⨯对于C ，因为，且是无理数，因此不是有理数；0ln 21<<ln 2ln 22-对于D ，，而， 133211)352(2222+==⋅⋅=657<+<且是无理数，因此不是有理数. 5+132⋅故选：AB10. 设正实数a ，b 满足，则（）4a b +=A.的最小值为 B. 的最小值为 21a b ++C. 的最大值为2D. 的最小值为822a b +【答案】CD【解析】【分析】根据给定条件，利用均值不等式逐项计算判断作答.【详解】正实数a ，b 满足，4a b +=对于A ，， 21121121()()(3(3444b a a b a b a b a b +=++=++≥+=当且仅当，即时取等号，A 错误； 2b a a b =84a b =-=对于B ，当且仅当时取等号，B 错误； =≤=2a b ==对于C ，当且仅当时取等号，C 正确； 22a b +≤=2a b ==对于D ，，当且仅当时取等号，222222()()2()2(822a ab a b a b ab a b b ++=+-+=+≥-=2a b ==D 正确.故选：CD11. 已知函数（a ＞0，且）的定义域为，值域为．若()log a f x x =1a ≠[](),0m n m n <<[]0,1n m -的最小值为，则实数a 的值可以是（） 14A. B. C. D. 54344345【答案】BC【解析】【分析】根据给定条件，分析判断函数取得最小值0，最大值1的区间在1及左侧可使区间长()f x [,]m n 度最小，再求出a 的取值范围作答.【详解】函数在上单调递减，在上单调递增，， ()log a f x x =(0,1][1,)+∞min ()(1)0f x f ==因为函数在的值域为，则，即， ()log a f x x =[](),0m n m n <<[]0,11[,]m n ∈01m n <≤≤由，得，则有或， 0()1f x =0log 1a x =0x a =01x a =当时，，有01a <<211(1)(1)20a a a a ---=+-=>111(1)(1)11a a a a a a -=-+->->-，当时，，有1a >211(1)(1)20a a a a ---=+-=>111(1)(111a a a a a a -=-+->->-，令方程的两个根为，如图， log 1a x =1212,()x x x x <因此在上函数取得最小值0，最大值1，且最小时，，[],m n ()f x n m -01m n <<=于是，解得或，而的最小值为， max ()()log 1a f x f m m ===m a =1m a =n m -14则有或，解得或， 114a -=1114a -=34a =43a =所以实数a 的值可以是或，即BC 满足，AD 不满足. 3443故选：BC12. 已知函数，则下列结论正确的是（）12()22(R)x f x x x a a -=-++∈A. 函数在上单调递减()f x ()1,+∞B. 函数的图象关于直线x ＝1对称()f x C. 存在实数a ，使得函数有三个不同的零点()f x D. 存在实数a ，使得关于x 的不等式的解集为()5f x ≥(][),13,-∞-+∞ 【答案】BD【解析】【分析】对函数变形，并分析函数的性质，再判断选项ABC ，利用函数性质解不等式判断D 作()f x ()f x 答.【详解】，函数的定义域为R ，R a ∈12()(1)21x f x x a -=-++-对于A ，当时，，而，在上都单调1x >21()(1)21x f x x a -=-++-2(1)1y x a =-+-12x y -=()1,+∞递增，因此函数在上单调递增，A 错误；()f x ()1,+∞对于B ，因为，因此函数的图象关于直线x ＝1对称，B 正12(2)(1)21()x f x x a f x --=-++-=()f x 确；对于C ，对任意实数a ，由选项A 知，函数在上单调递增，则函数在上最多一个()f x [1,)+∞()f x [1,)+∞零点，由对称性知，函数在上最多一个零点，因此函数在R 上最多两个零点，C 错误； ()f x (,1]-∞()f x 对于D ，当时，，而，2a =-12()(1)235x f x x -=-+-≥(1)(3)5f f -==由对称性及选项A 知，在上单调递减，当时，得，()f x (),1-∞1x ≤1x ≤-当时，得，即的解集为，1x ≥3x ≥()5f x ≥(][),13,-∞-+∞ 所以存在实数a ，使得关于x 的不等式的解集为，D 正确.()5f x ≥(][),13,-∞-+∞ 故选：BD【点睛】思路点睛：涉及分段函数解不等式问题，先在每一段上求解不等式，再求出各段解集的并集即可.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知圆心角为的扇形的半径为1，则该扇形的面积为______． π6【答案】## π121π12【解析】【分析】根据给定条件，利用扇形面积公式直接计算作答. 【详解】圆心角为的扇形的半径为1，所以该扇形的面积为. π62ππ161212⨯=⨯故答案为： π1214. 设函数，则______． 1,1()ln ,1x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩(f f =【答案】32【解析】【分析】根据给定的分段函数，依次判断代入计算作答.【详解】函数，则， 1,1()ln ,1x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩1ln 2f ==所以. 113(()1222f f f ==+=故答案为： 3215. 已知函数，若，则______． ()()()sin πcos π3πcos 2f αααα-+=⎛⎫- ⎪⎝⎭πsin3α⎛⎫+=⎪⎝⎭π6f α⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】利用诱导公式化简即可解决.【详解】由题知，， ()()()()sin πcos πsin cos cos 3πsin cos 2f αααααααα-+-===-⎛⎫- ⎪⎝⎭因为，πsin 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以 πππππcos sin sin 66263f αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦16. 已知函数的定义域为，对任意实数m ，n ，都有，且当()f x R ()()()2f m n f m n f m -++=0x >时，．若，对任意，恒成立，则()0f x <()24f =-2()(42)1f x m a m <-+-[]1,1x ∈-[)1,m ∈+∞实数a 的取值范围为______．【答案】(),1-∞-【解析】【分析】根据题设条件证明函数的单调性和奇偶性确定内的最大值为，从而可得[]1,1x ∈-(1)2f -=，再分离参变量即可求实数a 的取值范围.22(42)1m a m <-+-【详解】取则有，所以，0,m n ==()()()000f f f +=()00f =取则有，0,,m n x ==()()()00f x f x f -+==所以为奇函数，()f x 任意则，1212,,,x x x x ∈>R 120x x ->因为，()()()2f m n f m n f m -++=所以，()()()2f m f m n f m n -+=-令， 112,22x x m n x ==-则有， ()11111222222x x x x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫-+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即，()()()12120f x f x f x x -=-<所以在定义域上单调递减，()f x R 所以在上单调递减，()f x []1,1x ∈-令，所以，()()()1,0,1124m n f f f ==+==-()12f =-所以，max ()(1)(1)2f x f f =-=-=因为对任意，恒成立，2()(42)1f x m a m <-+-[]1,1x ∈-[)1,m ∈+∞所以对任意恒成立，22(42)1m a m <-+-[)1,m ∈+∞分离变量可得， 342a m m +<-因为函数对任意恒成立， 3y m m=-[)1,m ∈+∞所以，min 132y =-=-所以解得，422a +<-1a <-故答案为:.(),1-∞-四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知集合，．{}12A x a x a =-≤≤+{}1216x B x =<<（1）当a ＝1时，求；A B ⋃（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a 的范围．x A ∈x B ∈【答案】（1）{|04}x x ≤<（2）1 2.a <<【解析】【分析】（1）化简集合A ，B ，后由集合并集定义可得答案；（2）由“”是“”的充分不必要条件，可得集合A ，B 关系，后可得答案.x A ∈x B ∈【小问1详解】当时，，因函数在R 上单调递增，1a ={|03}A x x =≤≤2x y =则，故.0412*******x x x <<⇔<<⇔<<{|04}B x x =<<则；{|04}A B x x =≤< 【小问2详解】因“”是“”的充分不必要条件，则， x A ∈x B ∈A B ≠⊂故，解得 1024a a ->⎧⎨+<⎩1 2.a <<18. 已知． 4412sin cos 1cos sin 2αααα-=-（1）求的值；tan α（2）求的值．sin cos αα+【答案】（1）； 1tan 3α=（2或. 【解析】【分析】（1）根据给定等式，利用同角正余弦平方和为1，化简变形，再借助齐次式法计算作答. （2）利用（1）的结论，结合同角公式计算作答. 【小问1详解】依题意，()()()22244222222cos sin 12sin cos cos sin 2sin cos cos sin cos sin cos sin cos sin αααααααααααααααα--+-==---+，cos sin 1tan 1cos sin 1tan 2αααααα--===++所以. 1tan 3α=【小问2详解】由（1）知，，为第一象限角或第三象限角， 1tan 03α=>α由，解得或，22sin cos 1sin 1cos 3αααα⎧+=⎪⎨=⎪⎩sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩当为第一象限角时，， αsin cos αα+=当为第三象限角时，． αsin cos αα+=19. 某环保组织自2022年元旦开始监测某水域水葫芦生长的面积变化情况，此后每隔一个月（每月月底）测量一次，通过近一年的观察发现，自2022年元旦起，水葫芦在该水域里生长的面积增加的速度是越来越快的．最初测得该水域水葫芦生长的面积为n （单位：），二月底测得水葫芦的生长面积为2m ，三月底测得水葫芦的生长面积为，水葫芦生长的面积y （单位：）与时间x （单位：224m 264m 2m 月）的关系有两个函数模型可供选择，一个是；另一个是(0,1)x y na n a =>>，记2022年元旦最初测量时间x 的值为0．12(0,0)y px n p n =+>>（1）根据本学期所学，请你判断哪个函数模型更适合？并求出该函数模型的解析式；（2）该水域中水葫芦生长面积在几月份起是元旦开始研究时其生长面积的60倍以上？（参考数据：，）lg 20.3010≈lg 30.4771≈【答案】（1）第一个函数模型满足要求， (01)，x y na n a =>>278(83xy =⋅（2）5月份【解析】【分析】（1）由指数函数与幂函数的增长速度判断函数模型，再由待定系数法求得解析式；（2）建立并求解函数不等式，通过对数运算性质求值. 【小问1详解】因为两个函数模型，在上都是增函数． (0,1)x y na n a =>>12(00)，y px n p n =+>>(0)+∞，随着的增大，的函数值增加得越来越快，而的函数x (01)，x y na n a =>>12(00)，y px n p n =+>>值增加得越来越慢．因为在该水域中水葫芦生长的速度是越来越快，即随着时间增加，该水域中水葫芦生长的面积增加得越来越快，所以第一个函数模型满足要求．(01)，x y na n a =>>由题意知，解得，所以． 232464na na ⎧=⎨=⎩83278a n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩278()83x y =⋅【小问2详解】由，解得，27827(60838x ⋅>⨯83log 60x >又，故， 83lg601lg2lg3 1.7781log 60 4.283lg2lg30.4259lg 3++==≈≈-5≥x 所以该水域中水葫芦生长面积在5月份起是元旦开始研究时其生长面积的60倍以上． 20. 已知，．sin cos x x m +=[]0,1m ∈（1）若x 是第二象限角，用m 表示出；sin cos x x -（2）若关于x 的方程有实数根，求t 的最小值． (sin cos )2sin cos 20t x x x x ++-=【答案】（1）sin cos x x -=（2）2 【解析】【分析】（1）对等式平方得，计算得，根据范围即可得22sin cos 1x x m =-22(sin cos )2x x m -=-x 到答案；（2）由（1）对方程转化为在上有实数根，分和讨论，当230m tm +-=[]0,1m ∈0m =0m ≠0m ≠时，分离参数得，求出右边范围即可. 3t m m=-+【小问1详解】由可得 sin cos x x m +=，22(sin cos )12sin cos x x m x x +==+，解得，所以，22sin cos 1x x m =-22(sin cos )12sin cos 2x x x x m -=-=-又因为x 是第二象限角，所以，所以， sin 0cos 0x x ><，sin cos 0x x ->所以．sin cos x x -=【小问2详解】方程，(sin cos )2sin cos 20t x x x x ++-=可化为在上有实数根． 230m tm +-=[01]m ∈，①当时，显然方程无解；0m =②当时，方程等价于．0m ≠230m tm +-=233m t m m m-+==-+根据减函数加减函数为减函数的结论得：在上单调递减，则， 3y m m =-+(]0,1m ∈3[2,)m m-+∈+∞所以使得方程在上有实数根． [)2,t ∞∈+230m tm +-=[0,1]m ∈故的最小值是2．t 21. 已知函数为上的偶函数． ()4()log 242xf x kx =⋅++R （1）求实数k 的值；（2）若不等式对任意恒成立，求实数a 的范围． 2()log 0f x a ->[]1,1x ∈-【答案】（1） 12k =-（2） 02a <<【解析】【分析】（1）由偶函数定义可得k ，后验证其符合条件即可；（2）对任意恒成立，等价于.2()log 0f x a ->[]1,1x ∈-()2m i nl og a f x <【小问1详解】由函数为R 上的偶函数，()f x 则，即. (1)(1)f f =-445102l og l og k k +=-+即，解得.44451210124l og l og l og k =-==-12k =-当时， 12k =-()()()()12444441242242424222l og l og l og l og l og x xxx xf x x =⋅+-=⋅+-=⋅+-.()4222l og x x -⎡⎤=+⎣⎦()()()()12444441242242424222l og l og l og l og l og xxxx xf x x ----=⋅++=⋅++=⋅++.()4222l og x x -⎡⎤=+⎣⎦则，即为R 上的偶函数； ()()=f x f x -()f x 【小问2详解】对任意恒成立，即，2()log 0f x a ->[1,1]x ∈-()2m i n l og a f x <令，因函数在上单调递增，则.2x t =2x y =[]1,1x ∈-1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦令，则，当且仅当，即时取等号. 12u t t ⎛⎫=+⎪⎝⎭124u t t ⎛⎫=+≥= ⎪⎝⎭1t =0x =而函数为单调递增函数，所以， 4log y u =min [()](0)1f x f ==所以，即．2log 1a <02a <<22. 我们知道，函数图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，()y f x =()y f x =有同学发现可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =(),P m n 为奇函数．已知函数． ()y f x m n =+-4()42x f x =+（1）利用上述结论，证明：函数的图像关于成中心对称图形；()f x 1,12⎛⎫⎪⎝⎭（2）判断函数的单调性（无需证明），并解关于x 的不等式：．()f x ()()212f x ax a f x ++++<【答案】（1）证明见解析（2）为减函数，答案见解析 4()42x f x =+【解析】【分析】（1）由题，证明为奇函数即可； 1()()12g x f x =+-（2）由题可得为减函数，又结合（1）结论可知 4()42xf x =+()()212f x ax a f x ++++<，后分类讨论的值解不等式即()()()221110f x ax a f x x a x a ⇔+++<-⇔+++>a 可.【小问1详解】证明：由题意，只需证明为奇函数，1()()12g x f x =+-又，1214414()()11122241424xx xx g x f x +-=+-=-=-=+⋅++易知函数定义域为.，所以为奇()g x R R R ，，x x ∀∈-∈1114414()()1144114xx x xx xg x g x ------====-+++()g x 函数，所以的图像关于成中心对称图形． ()f x 1(,1)2【小问2详解】易知为增函数，且，对任意的恒成立， 24x y =+240x +>x ∈R 所以为减函数. 又由（1）知，点与点关于点成中心对称，4()42xf x =+(,())x f x (1,(1))x f x --1(,1)2即，()(1)2f x f x +-=所以原不等式等价于， 2(1)2()(1)f x ax a f x f x +++<-=-所以，即，211x ax a x +++>-2(1)0x a x a +++>由解得，2(1)0x a x a +++=121x a x =-=-，当时，原不等式解集为或； 1a >{|x x a <-1}x >-当时，原不等式解集为；1a ={|1}x x ≠-当时，原不等式解集为或．1a <{|1x x <-}x a >-【点睛】关键点点睛：本题涉及函数新定义，以及利用新定义结合函数单调性解决问题.本题关键是读懂信息，第一问将证明函数对称性转化为证明函数奇偶性，第二问则利用所得结论将函数不等式转化为含参二次不等式.。

高一上学期数学期末测试题(含答案)

高一数学期末测试题（含答案）一、单选题1．函数1()f x x=的定义域是（）A ．RB ． [)1,-+∞C ． ()(),00,∞-+∞D ．[)()1,00,-+∞2．不等式()()1210x x --<的解集是（） A ．{}|12x x <<B ．{} 12x x <>或C ．112x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或 D ．112x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭3．以下函数中，在()0,∞+上单调递减且是偶函数的是（） A ．()3f x x =-B ．()f x x =C ．2()2f x x =-D ．1()f x x=-4．已知函数()246,06,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，则不等式()3f x >的解集是（）A ．()()3,13,-+∞ B ．()(),12,3-∞- C ．()()1,13,-+∞D ．()(),31,3-∞-5．若函数()()212log 45f x x x =-++在区间()32,2m m -+内单调递增，则实数m 的取值范围为（）A ．4,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭6．已知函数()()()3,2,log 13,2,xa a x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩是定义域上的单调增函数，则a 的取值范围是（）A．)32⎡⎣B．C．(D ．()1,27．已知函数()y f x =的图象如下图所示，则函数(||)y f x =的图象为（）A ．B ．C ．D ．8．已知6log 2a =，12log 4b =，18log 6c =，则（） A ．c b a >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．a c b >>9．函数4,0()(),0xt x f x g x x ⎧+≥=⎨<⎩为定义在R 上的奇函数，则21log 3f ⎛⎫ ⎪⎝⎭等于（）A ．23B ．-9C ．-8D ．13-2x1A ．[)10,2,2⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦B ．(]1,11,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．(]1,11,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．[)10,4,4⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭11．函数211()()1x ax f x a R x ++=∈+，若对于任意的*N x ∈，()3f x ≥恒成立，则a 的取值范围是（）A ．8,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．[)1,-+∞12．定义运算：()()a ab a b b a b ⎧≤⎪*=⎨>⎪⎩，如121*=，函数()1x xf x a a -=*-（0a >且1a ≠）的值域为（）A ．()1,+∞B ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[)0,∞+D ．[)0,1二、填空题13．已知m ，R n ∈，22100m n +=，则mn 的最大值是___________.14．函数()22xf x x =+，则不等式()()212f x f x -<-的解集为___________.15．已知()22f x x x =-，()2xg x a =-，[]11,2x ∃∈-，[]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x ≤，则a 的取值范围是___________.16．直线3y a =与函数11(0x y a a +=->且1)a ≠的图像有两个公共点，则a 的取值范围是________三、解答题17．计算(1)160.25371.586-⨯-+⎫⎛ ⎪⎝⎭(2)()32log 232lg 2lg 20lg527log 4log 9+⨯-+⨯．18．已知集合{}22A x a x a =-≤≤+，{|1B x x =≤或}4x ≥．（1）当3a =时，求A B ⋂；（2）“x A ∈”是“R x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(),0x ∈-∞时，()2()1f x x =--.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若()()2220x xf a f -⋅+--<任意x 恒成立，求实数a 的取值范围.20．某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y 212x =-200x ＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？21．设函数()y f x =是定义在R +上的函数，并且满足下面三个条件： ①对任意正数,x y ，都有()()()y f x f x f y =+； ①当1x >时，()0f x <； ①()31f =-．（1）求()()1,9,91f f f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）证明：()f x 在()0,∞+上是减函数；（3）如果不等式()()22f x f x +-<成立，求x 的取值范围．22．已知函数()221xx f x a =-+是定义域为R 的奇函数．(1)求实数a 的值；(2)证明：f （x ）是R 上的减函数(3)当[]3,9x ∈时，不等式()()233log 2log 0f x f m x +-≥恒成立，求实数m 的取值范围参考答案：1．D【分析】列出使函数解析式有意义的不等式，解出x 的取值范围即函数的定义域.【详解】由题，100x x +≥⎧⎨≠⎩，解得[)()1,00,x ∈-+∞.故选： D. 2．D【分析】由一元二次不等式的解法求()()1210x x --<的解集. 【详解】①()()121=0x x --的根为112x =，21x =，作函数()()121y x x =--图象可得观察图象可得不等式()()1210x x --<的解集是112x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，故选：D. 3．C【分析】依次判断各个选项的奇偶性和单调性，即可得解【详解】选项A ，定义域为R ，()3()f x x f x -==-为奇函数，错误；选项B ，定义域为R ，()||()f x x f x -==为偶函数，但,0(),0x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩在()0,∞+上单调递增，错误；选项C ，定义域为R ，2()2()f x x f x -=-=为偶函数，为对称轴为0x =的开口向下的二次函数，故在()0,∞+上单调递减，正确；选项D ，定义域为1{|0},()()x x f x f x x≠-==-为奇函数，错误. 故选：C 4．A【分析】根据给定条件，分段解不等式，再求并集作答.【详解】函数()246,06,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，则不等式()3f x >等价于063x x <⎧⎨+>⎩或者2463x x x ≥⎧⎨-+>⎩，解063x x <⎧⎨+>⎩得：30x -<<，解20463x x x ≥⎧⎨-+>⎩得：01x ≤<或3x >，于是得31x -<<或3x >，所以不等式()3f x >的解集是()()3,13,-+∞.故选：A 5．C【分析】根据复合函数单调性结合对数函数定义域计算得到答案.【详解】()()212log 45f x x x =-++，函数定义域满足：2450x x -++>，解得15x -<<，12log y x=在()0,∞+上单调递减，根据复合函数单调性知，245y x x =-++在()32,2m m -+单调递减，函数对称轴为2x =，故32232225m m m m -≥⎧⎪-<+⎨⎪+≤⎩，解得423m ≤<.故选：C. 6．A【解析】根据题中条件，分别保证每段都单调递增，且必须满足()()23log 213a a -≤-+，进而可求解出结果.【详解】因为函数()()()3,2log 13,2xaa x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩是定义域上的单调增函数，所以()()23113log 213a a a a ⎧->⎪⎪>⎨⎪-≤-+⎪⎩解得：32<a 故选：A. 7．B【分析】保持函数()y f x =的位于y 轴右侧的图象不变，再作其关于y 轴对称的左侧的图象即可.【详解】由已知可得，保持函数()y f x =的位于y 轴右侧的图象不变，再作其关于y 轴对称的左侧的图象即可得到函数(||)y f x =的图象. 故选B.【点睛】本题主要考查函数图象的对称变换，属基础题. 8．A【分析】利用对数性质比较111,,a b c的大小关系，即得,,c b a 的关系. 【详解】由对数运算公式得，221log 61log 3a ==+，441log 121log 3b==+， 661log 181log 3c ==+，易知246log 3log 3log 30>>>，即1111a b c>>>，故c b a >>. 故选：A. 9．C【分析】根据题意，由奇函数的性质可得()0040f t =+=，解可得t 的值，进而求出()2log 3f 的值，由奇函数的性质分析可得答案.【详解】根据题意，()()4,0,0x m x f x g x x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩为定义在R 上的奇函数，则有()0040f t =+=，解可得：1t =-，则()24log 3log 92log 341418f =-=-=，则()()2221log log 3log 383f f f ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭；故选：C.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数以及函数值的计算，在涉及奇函数求参数时，注意结论()00f =的应用，考查计算能力，属于基础题. 10．C【分析】由题意，212x a x >-在(1,1)-上恒成立，令()x g x a =，21()2m x x =-，结合图象，分01a <<和1a >两种情况讨论，列出不等式求解即可得答案．【详解】解：若当(1,1)x ∈-时，均有1()2f x <，即212x a x >-在(1,1)-上恒成立，令()x g x a =，21()2m x x =-，由图象可知：当01a <<时，()1g ()1m ，即11122a -=，所以112a <；当1a >时，()(1)1g m --，即111122a --=，所以12a <；综上，112a <或12a <，即实数a 的取值范围是(]1,11,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：C ． 11．A【分析】恒成立求参数取值范围问题，在定义域满足的情况下，可以进行参变分离，构造新函数，通过求新函数的最值，进而得到参数取值范围.【详解】对任意*x ∈N ，()3f x ≥恒成立，即21131x ax x ++≥+恒成立，即知83a x x ⎛⎫≥-++ ⎪⎝⎭．设8()g x x x =+，*x ∈N ，则(2)6g =，17(3)3g =． ①(2)(3)g g >，①min 17()3g x =， ①8833x x ⎛⎫-++≤- ⎪⎝⎭，①83a ≥-，故a 的取值范围是8,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．故选：A.12．D【解析】1a >时，根据*a b 的定义即可得出10()*110xxxxa x f x a a ax --⎧-=-=⎨->⎩，这样即可求出0()1f x <；同样01a <<时，可得出0()1f x <，即得出()f x 的值域为[0，1)．【详解】解：1a >时，10()*110xxxxa x f x a a ax --⎧-=-=⎨->⎩，此时0()1f x <； 01a <<时，10()*110xxxxa x f x a a ax --⎧-=-=⎨-<⎩，此时0()1f x <， ()f x ∴的值域为[0，1)．故选：D ． 13．50【分析】根据给定条件利用基本不等式求解即得.【详解】因m ，R n ∈，22100m n +=，则有22502m n mn +≤=，当且仅当m n =时取“=”，由m n =且22100m n +=解得：m n ==-m n ==于是得当m n ==-m n ==max ()50mn = 所以mn 的最大值是50. 故答案为：50 14．()1,1-【分析】确定函数的奇偶性与单调性后，利用这些性质解不等式．【详解】显然22()2()2()x xf x x x f x --=+-=+=，()f x 是偶函数，0x ≥时，2()2x f x x =+是增函数，所以不等式()()212f x f x -<-等价于(21)(2)f x f x -<-，即212x x -<-， 22(21)(2)x x -<-，2330x ，解得11x -<<．故答案为：(1,1)-． 15．(],3-∞【分析】题干条件，可转化为()()12min max f x g x ≤，借助二次函数的性质和指数型函数的单调性即得解【详解】由题意，[]11,2x ∃∈-，[]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x ≤ 可转化为：()()12min max f x g x ≤当[]11,2x ∈-，()22f x x x =-为对称轴为1x =的开口向上的二次函数，因此()in 1m (1)1f f x ==-；当[]20,1x ∈，()2xg x a =-单调递增，因此()ax 2m (1)2g g x a ==-；()()12min max 12f x g x a ∴≤⇔-≤-3a ∴≤故答案为：(],3-∞ 16．1(0,)3【分析】根据1a >和01a <<分类讨论，作出函数11x y a +=-的图象与直线3y a =，由它们有两个交点得出a 的范围．【详解】1a >时，作出函数11x y a +=-的图象，如图，此时在1x ≤-时，01y ≤<，而331a >>，因此3y a =与函数11x y a +=-的图象只有一个交点，不合题意；01a <<时，作出函数11x y a +=-的图象，如图，此时在1x ≥-时，01y ≤<，因此3y a=与函数11x y a +=-的图象有两个交点，则031a <<，解得103a <<．综上所述，1(0,)3a ∈．故答案为：1(0,)3．【点睛】方法点睛：本题考查直线与函数图象交点个数问题，掌握指数函数的性质与解题关键，解题方法是作出函数图象，由图象观察直线与函数图象交点个数，形象直观，易于得出结论． 17．(1)110 (2)-3【解析】(1)解：原式113133234422222333⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2108110=+=. (2)()32log 232lg 2lg 20lg527log 4log 9+⨯-+⨯()()()()332log 22lg 22lg3lg 21lg 21lg 23lg3lg 2=++--+⋅ ()()223lg 21lg 224=+--+ 184=-+ 3=-．18．（1）{|11A B x x ⋂=-≤≤或}45x ≤≤；（2）{}|1a a < 【分析】（1）先求出集合{}15A x x =-≤≤，再求A B ⋂；（2）先求出{}|14R B x x =<<，用集合法分类讨论，列不等式，即可求出实数a 的取值范围.【详解】（1）当3a =时，{}15A x x =-≤≤. 因为{|1B x x =≤或}4x ≥，所以{|11A B x x ⋂=-≤≤或}45x ≤≤；（2）因为{|1B x x =≤或}4x ≥，所以{}|14R B x x =<<. 因为“x A ∈”是“R x B ∈”的充分不必要条件，所以AB R.当A =∅时，符合题意，此时有22a a +<-，解得：a <0.当A ≠∅时，要使A B R ，只需222421a a a a +≥-⎧⎪+<⎨⎪->⎩，解得：01a ≤<综上：a <1.即实数a 的取值范围{}|1a a <.19．（1）()()()221,00,01,0x x f x x x x ⎧+>⎪⎪==⎨⎪--<⎪⎩；（2）(],0-∞.【分析】（1）由奇函数的性质可得出()00f =，设()0,x ∈+∞，由奇函数的性质可得出()()f x f x =--可得出()f x 的表达式，综合可得出结果；（2）分析可知函数()f x 为R 上的增函数，由原不等式变形可得出222x x a -⋅<+，利用参变量分离法结合二次函数的基本性质可求得实数a 的取值范围.【详解】（1）因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，且()()f x f x =--. 设()0,x ∈+∞，则(),0x -∈-∞，所以()()()21f x f x x =--=+，所以()()()221,00,01,0x x f x x x x ⎧+>⎪⎪==⎨⎪--<⎪⎩；（2）因为()()2220x x f a f -⋅+--<对任意x 恒成立，所以()()222x xf a f -⋅<---，又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()222x xf a f -⋅<+，作出函数()f x 的图象如下图所示：由图可知，()f x 在R 上单调递增，所以222x x a -⋅<+，即()2222x x a <+⨯恒成立，令20x m =>，22y m m =+，0m >，则函数22y m m =+在()0,∞+上单调递增，所以0y >，所以0a ≤，即实数a 的取值范围(],0-∞. 20．(1)400；(2)不能获利，至少需要补贴35000元.【分析】(1)每月每吨的平均处理成本为yx，利用基本不等式求解即得最低成本； (2)写出该单位每月的获利f (x )关于x 的函数，整理并利用二次函数的单调性求出最值即可作答.【详解】（1）由题意可知：()21200800003006002y x x x =-+≤≤，每吨二氧化碳的平均处理成本为：800002002002002y x x x =+-≥=，当且仅当800002x x=，即400x =时，等号成立， ①该单位每月处理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低；（2）该单位每月的获利：()221110020080000(300)3500022f x x x x x ⎛⎫=--+=--- ⎪⎝⎭，因300600x ≤≤，函数()f x 在区间[]300,600上单调递减，从而得当300x =时，函数()f x 取得最大值，即()max ()30035000f x f ==-，所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴35000元才能使该单位不亏损.21．（1）()()10,9291,2f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭；（2）证明见解析；（3）1⎛ ⎝⎭．【分析】（1）运用赋值法对①式中的,x y 进行赋值可得()1f ，结合①与①可得1(9),9f f ⎛⎫⎪⎝⎭；（2）运用函数单调性的定义和条件①①，可证函数单调递减；（3）利用①与19f ⎛⎫⎪⎝⎭，可将原不等式转化为()129f x x f ⎛⎫⎡⎤-< ⎪⎣⎦⎝⎭，利用函数单调性和定义域可将其转化为具体的不等式求解，得结果．【详解】（1）令1x y ==易得()10f =，而()()()933112f f f =+=--=-，且()()19109f f f ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，得129f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）不妨设1201x x ，故211x x > 由①可得210x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，①()()()22211111·x x f x f x f f x f x x x ⎛⎫⎛⎫==+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ①()f x 在()0,∞+上为减函数. （3）由条件（1）及（1）的结果得：()129f x x f ⎛⎫⎡⎤-< ⎪⎣⎦⎝⎭，其中020x x >⎧⎨->⎩，由（2）可得()129x x ->，解得x的范围是133⎛-+ ⎝⎭.22．(1)12 (2)证明见解析 (3)[)3,+∞【分析】(1)对于定义域是R 的奇函数只要令()00f =，即可求出a 的值.(2)要证明单调性就需要用定义法，即对于定义域内任意的21x x >都有()()21f x f x <，则函数()f x 是单调递减的.(3)解这样的不等式需要应用函数的单调性和奇偶性. (1)①函数是定义域为R 的奇函数，①()0020021f a =-=+，解得12a =．检验：()12221x x f x =-+，()1211221221x x xf x ---=-=-++， ()()0f x f x +-=，故()f x 为奇函数；即所求实数a 的值为12； (2)设1x ∀，2x R ∈且12x x <，则()()1212121212222121x x x x f x f x ⎛⎫-=--- ⎪++⎝⎭()()()()()()21122112122212212221212121x x x x x x x x x x +-+-==++++， ①12x x <，①21220x x ->，()()1221210x x++>，①()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以f （x ）是R 上的减函数， (3)由()()233log 2log 0f x f m x +-≥，可得()()233log 2log f x f m x ≥--．①f （x ）是R 上的奇函数，①()()233log log 2f x f m x ≥-，又f （x ）是R 上的减函数，所以233log log 20x m x -+≤对[]3,9x ∈恒成立，令3log t x =，①[]3,9x ∈，①[]1,2t ∈， ①220t mt -+≤对[]1,2t ∈恒成立，即222t m t t t+≥=+；对于函数()2g t t t=+，当t 12t t ≤，并)12,t t ∞∈+，则()()()212121212121222t t g t g t t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫--=+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于)12,t t ∞∈+，所以212t t >，即()()210g t g t ->，即()g t在t ≥同理可以证明在0t <≤()g t是减函数，故在t 时取最小值；图像如下：()13g =，()23g =，故3m ≥；。

高一数学上学期期末检测试卷含解析试题

智才艺州攀枝花市创界学校滨海新区二零二零—二零二壹高一上学期期末检测数学试题一、选择题〔本大题一一共12小题，一共分〕1.集合0，，1，，那么A. B.1，C.0，1，D.【答案】A【解析】【分析】直接利用交集的运算法那么化简求解即可．【详解】集合，，那么，应选A．【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，此题本质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.2.函数的定义域是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由对数函数的定义域可知需满足，解出的范围即可．【详解】要使有意义，那么，，的定义域为，应选D．【点睛】此题主要考察函数定义域的定义及求法，以及对数函数的定义域．定义域的三种类型及求法：(1)函数的解析式，那么构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3)假设函数的定义域为，那么函数的定义域由不等式求出.3.函数的零点所在的区间是〔〕A.(0，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，4)【答案】B【解析】【分析】因为函数为上的增函数，故利用零点存在定理可判断零点所在的区间.【详解】因为为上的增函数，为上的增函数，故为上的增函数.又，，由零点存在定理可知在存在零点，应选B.【点睛】函数的零点问题有两种类型，〔1〕计算函数的零点，比方二次函数的零点等，有时我们可以根据解析式猜出函数的零点，再结合单调性得到函数的零点，比方；〔2〕估算函数的零点，如等，我们无法计算此类函数的零点，只能借助零点存在定理和函数的单调性估计零点所在的范围.4.函数在区间上的最小值是A. B.0 C. D.2【答案】A【解析】【分析】函数，可得的对称轴为，利用单调性可得结果．【详解】函数，其对称轴为，在区间内部，因为抛物线的图象开口向上，所以当时，在区间上获得最小值，其最小值为，应选A．【点睛】此题考察二次函数的最值，注意分析的对称轴，属于根底题．假设函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域.5.以下四个函数中，在整个定义域内单调递减的是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据指数函数的性质判断，利用特殊值判断，利用对数函数的性质判断，利用偶函数的性质判断．【详解】对于，，是指数函数，在整个定义域内单调递增，不符合题意；对于，，有，，不是减函数，不符合题意；对于，为对数函数，整个定义域内单调递减，符合题意；对于，，为偶函数，整个定义域内不是单调函数，不符合题意，应选C．【点睛】此题主要考察指数函数的性质、单调性是定义，对数函数的性质以及偶函数的性质，意在考察综合利用所学知识解答问题的才能，属于中档题．，那么A. B.C. D.【答案】A【解析】，所以，应选A7.，都为单位向量，且，夹角的余弦值是，那么A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用，结合数量积的定义可求得的平方的值，再开方即可．【详解】依题意，，应选D．【点睛】此题考察了平面向量数量积的性质及其运算，属根底题．向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的根本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.8.函数在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为A.B.C.D.【答案】A【解析】由函数的图象可得函数的最大值为2，最小值为–2，故有A=2．再由函数的周期性可得，解得ω=2，∴y=2sin〔2x+φ〕．把点〔–，2〕代入函数的解析式可得2sin[2×〔–〕+φ]=2，∴2×〔–〕+φ=2kπ+，k∈Z，解得φ=2kπ+，k∈Z．故函数的解析式为y=2sin〔2x+2kπ+〕，k∈Z，考察四个选项，只有A符合题意．应选A．9.对于函数的图象，关于直线对称；关于点对称；可看作是把的图象向左平移个单位而得到；可看作是把的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍而得到以上表达正确的个数是A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】【分析】由判断；由判断；由的图象向左平移个单位，得到的图象判断；由的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，得到函数的图象判断.【详解】对于函数的图象，令，求得，不是最值，故不正确；令，求得，可得的图象关于点对称，故正确；把的图象向左平移个单位，得到的图象，故不正确；把的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，得到函数的图象，故正确，应选B．【点睛】10.函数，假设当时，恒成立，那么实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】是奇函数，单调递增，所以，得，所以，所以，应选D。

山东省昌乐及第中学2021-2022学年高一上学期期末数学拉练二试卷

高一期末拉练数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{},41,8221≤≤-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<∈=x x N Z x M x 则中元素个数为N M ⋂（） 1.A 3.B 6.C 无数个.D2. 下列函数是相同函数的是与)()(x g x f （）A. 1)(;)1()(2-=-=x x g x x f B.1)(;11)(2+=--=x x g x x x f C.x x x e x g e e x f 211)(;)(=⋅=-+ D.)1lg()();1lg()1lg()(2-=-++=x x g x x x f3. 已知函数14)(2-+=kx x x f 在区间[]2,1上是单调函数，则实数k 的取值范围是（）A. (][)+∞-⋃-∞-,816,B.[]8,16--C.(][)+∞-⋃-∞-,48,D.[]4,8--4. 设函数)2(x f 的定义域是[]4,2，则函数)2(xf 的定义域为（） A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21 B.[]2,1 C.[]8,2 D.[]32,8 5. 抛掷一枚质地均匀的骰子，落地后记事件A 为“奇数点向上”，事件B 为“偶数点向上”，事件C 为“2点或4点向上”则在上述事件中，互斥但不对立的共有（）A ．3对B ．2对C ．1对D ．0对 6. 已知某运动员每次投篮命中的概率为80%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4，5，6，7，8表示命中，9，0表示未命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数：据此估计，该运动员三次投篮均命中的概率为（）A.0.40B.0.45C.0.50D.0.557. 函数)2(log )(-=ax x f a 在[]3,1上单调递增，则a 的取值范围是（）),1.(+∞A )2,0.(B ⎪⎭⎫ ⎝⎛32,0.C ()+∞,2.D8.已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在[)+∞,0单调递减，则11(),4=-22f x x αα⎛⎫= ⎪⎝⎭A.若幂函数过点，则1211231.(0,1),log 2.(0,),log log x B x x C x x x⎛⎫∃∈> ⎪⎝⎭∀∈+∞>21()2x y x =-21212()().()()22x x f x f x B f x x ax b f ++=++≤若函数，则)5(),1.0(log ),4(log 6.093f c f b f a ===的大小关系为（）a cb A >>. bc a B >>. c a b C >>. c b a D >>.二、多项选择题:本大题共4个小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9. 中国的华为公司是全球领先的/CT(信息与通信)基础设施和智能终端提供商，其致力于把数字世界带给每个人、每个家庭、每个组织，构建万物互联的智能世界.其中华为的 5G 智能手机是全世界很多年轻人非常喜欢的品牌.为了研究某城市甲、乙两个华为5G 智能手机专卖店的销售状况，统计了 2020年4月到9月甲、乙两店每月的营业额(单位:万元)，得到如下的折线图，则下列说法正确的是（）A. 根据甲店的营业额折线图可知，该店月营业额的平均值在[]32,31内B. 根据乙店的营业额折线图可知，该店月营业额总体呈上升趋势C. 根据甲、乙两店的营业额折线图可知乙店的月营业额极差比甲店小 D. 根据甲、乙两店的营业额折线图可知7、8、9月份的总营业额甲店比乙店少10. 下列命题是真命题的是（）D.命题“存在1x <,使得21x <”的否定是“ 任意的1x <,使得21x ≥”.11.a b 0,1111111A....1b b B C a b D a b a b a a b a a b>>+<>+>++>++若则下列不等式成立的是（）12.下列命题中正确的是（）A. 函数在区间（0,1）上有且只有1个零点 [][]1.y ,,C x a b b a x =+--如果函数在上单调递增，那么它在上单调递减()()().,D y f x a b y f x a b ==+-若函数的图像关于点对称，则函数为奇函数()()1,1,1-∈-=x x x x f ()恒成立；等式任意0)()(,1,1=+--∈x f x f x .)(2)()1(.212)(12.18由上的单调性，并说明理在）判断（的解析式及值域；求上的奇函数是定义在分）已知函数（本题满分R x f x f R a x f x+-=三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.第15题第一空2分，第二空3分）)2034813.1log 827⎛⎫--⨯= ⎪⎝⎭()()2514.lg lgy 1,1,1,22,1x x x yx f x f x x +=+⎧≥⎪=-=⎨⎪<⎩若则的最小值为15.已知函数则==t t f 则实数若,1)(16.已知函数有以下结论：①②[)有两个不等实数根；方程任意m x f m =+∞∈)(,,0 ③()个零点；上有在，使得函数存在无数个实数31,1-)()(kx x f x g k -=④().1,1-)(上单调递增在区间函数x f其中正确结论有四、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程和演算过程）{}{}()(){}.,122;1.20,481,log ,5610.172的取值范围求实数且若）求（分）已知全集（本题满分a M M C a x a x C N C M x x N x x y y M x x U U =⋃-≤≤=<<=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤==≤≤-=20. (本题满分12分)某学校微信公众号收到非常多的精彩留言，学校从众多留言者中抽取了100人参加“学校满意度调查”，其留言者年龄集中在[]85,25之间，根据统计结果，做出频率分布直方图如下：（1）求这100位留言者年龄的平均数和中位数；（2）学校从参加调查的年龄在[)[)75,6545,35和的留言者中，按照分层抽样的方法，抽出了6人参加“精彩留言”经验交流会，赠与年龄在[)45,35的留言者每人一部价值1000元的手机，年龄在[)75,65的留言者每人一套价值700元的书，现要从这6人中选出3人作为代表发言，求这3位发言者所得纪念品价值超过2300元的概率..21)(2)1(.)(21)13(log )(12.213的取值范围有公共点，求的图像与直线）若函数（的值；求是偶函数分）已知（本题满分a a x y x f y k R x kx x f x +==∈++=[][][][].,,,,)(,2)3();(3)(2)(1,12)12()1().(,21)(12.222222明理由的值；若不存在，则说、若存在，求出值域为的定义域为使得函数是否存在实数的最小值时，求函数）当（的取值范围；，求实数的定义域为若其反函数为分）已知函数（本题满分n m m n m n x h y n m a h x af x f y x m R x mx g x g y x f x =>>+-=-∈++=⎪⎭⎫ ⎝⎛=。

山东高一上学期期末数学试题(解析版)

一、单选题1．sin390°的值是（）A ．B 12C ．D ．12-【答案】A【分析】根据终边相同的角，将化成，再利用的三角函数值与的公式，即可390-︒30-︒30︒sin()α-求出答案．【详解】解：根据题意，得 ()()1sin 390sin 30360sin 302︒=︒+︒=︒=故选：A ．2．“函数为偶函数”是“” 的（）()sin(2)f x x θ=+2πθ=A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】充分性判断：利用偶函数的性质，结合和差角正弦公式求；必要性判断：应用诱导公式θ化简并判断奇偶性，最后由充分、必要性定义确定题设条件间的关系. ()f x 【详解】当为偶函数时， ()sin(2)f x x θ=+sin(2)sin(2)x x θθ-=+则恒成立，即，；2sin 2cos 0x θ=2k πθπ=+Z k ∈当时，为偶函数； ,2πθ=()sin(2)cos 22f x x x π=+=综上，“函数为偶函数”是“”的必要不充分条件.()sin(2)f x x θ=+2πθ=故选：B3．已知函数是幂函数，且为偶函数，则实数（）()2222()1mm f x m m x--=--m =A ．或 B ．C ．D ．21-1-42【答案】D【分析】利用幂函数的定义及偶函数的概念即得.【详解】由幂函数的定义知，解得或．211m m --=1m =-2m =又因为为偶函数，所以指数为偶数，故只有满足． ()f x 222m m --2m =故选：D ． 4．已知，，，则，，的大小关系为 3sin7a π=4cos 7b π=3tan(7c π=-a b cA ．B ．C ．D ．a b c <<b a c <<c b a <<c<a<b 【答案】C【分析】可以看出，直接排除A 、B ，再比较，从而选出正确答案. 0,0,0a b c ><<1,1b c >-<-【详解】可以看出是一个锐角，故；又，故；又37π3sin07a π=>4cos cos 72ππ<10b -<<，而， 34tan tan 77ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭43274πππ<<故；从而得到， 1c <-c b a <<故选C.【点睛】比较大小时常用的方法有①单调性法，②图像法，③中间值法；中间值一般选择0、1、-1等常见数值.5．函数的部分图象大致为（）()sin ln ||f x x x =⋅A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】先根据函数的奇偶性，可排除A ，C ，根据当时，即可排除B ．得出答01x <<()0f x <案.【详解】因为，所以， ()sin ln ||(0)f x x x x =⋅≠()sin()ln ||sin ln ||()f x x x x x f x -=-⋅-=-=-所以为奇函数，故排除A ，C ．()f x 当时，，，则，故排除B ， 01x <<sin 0x >ln ||0x <()0f x <故选:D ．【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.6．函数的最大值和最小值分别是（）()22sin 2cos f x x x =-+A ．B ．C ．D ．2,2-52,2-12,2-5,22-【答案】B 【分析】，函数可化简为,令,本题转化为函数,的最值()2152cos 22f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭cos t x =215222y t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭[]1,1t ∈-求解即可.【详解】根据题意,()222152sin 2cos 2cos 2cos 22cos 22f x x x x x x ⎛⎫=-+=+-=+- ⎪⎝⎭令,则,cos t x =[]1,1t ∈-因为函数的对称轴为,12t =-所以根据二次函数的图像和性质得:当时,;当时,.12t =-min 52y =-1t =max 2y =故选:B.7．要得到函数的图象，只需将函数的图象（）214y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭A ．先向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度 8πB ．先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度 8πC ．先向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度 4πD ．先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度4π【答案】B【解析】根据，可判断.212148y xx ππ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222y x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭【详解】，212148y x xππ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度可得到222y x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭8π的图象.218y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭故选：B.8．已知函数在上单调递减，且关于的方程24,0,()(0,1)log (1)1,0a x a x f x a a x x ⎧+<=>≠⎨++≥⎩R x ()2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则的取值范围是（）aA ．B ．C ．D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦119,4216⎡⎤⎧⎫⋃⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭119,4216⎡⎫⎧⎫⋃⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭【答案】C【分析】由在，上单调递减，得，由在上单调递减，得log (1)1a y x =++[0)∞+01a <<()f x R ，作出函数且在上的大致图象，利用数形结合思想114a ≤<24,0()(0log (1)1,0a x a x f x a x x ⎧+<=>⎨++⎩…1)a ≠R 能求出的取值范围．a 【详解】解：由在上单调递减，得，log (1)1a y x =++[0,)+∞01a <<又由且在上单调递减， 24,0()(0log (1)1,0a x a x f x a x x ⎧+<=>⎨++⎩…1)a ≠R 得，解得，所以， 204(0)1a f +≥=1a 4≥114a ≤<作出函数且在上的大致图象， 24,0()(0log (1)1,0ax a x fx a x x ⎧+<=>⎨++⎩…1)a ≠R由图象可知，在上，有且仅有一个解， [0,)+∞|()|2f x x =-故在上，同样有且仅有一个解， (,0)-∞|()|2f x x =-当，即时，联立，即， 42a >12a >2|4|2x a x +=-242x a x +=-则，解得：， 214(42)0a ∆=--=916a =当时，即，由图象可知，符合条件． 142a ≤≤1142a ≤≤综上：．119,4216a ⎡⎤⎧⎫∈⋃⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭故选：C ．二、多选题9．已知函数：①，②，③，④，其中周期为，且在tan y x =sin y x =sin y x =cos y x =ππ02⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增的是（） A ．① B ．②C ．③D ．④【答案】AC【分析】根据正切函数的性质可判断①正确；根据图象变换分别得到、、sin y x =sin y x =的图象，观察图象可判断②不正确、③正确、④不正确. cos y x =【详解】函数的周期为，且在上单调递增，故①正确；tan y x =π02π⎛⎫⎪⎝⎭，函数不是周期函数，故②不正确；sin y x =函数的周期为，且在上单调递增，故③正确；sin y x =π02π⎛⎫⎪⎝⎭，函数的周期为，故④不正确.cos y x =2π故选：AC.10．已知，且为锐角，则下列选项中正确的是（） 1sin cos 5αα-=αA ． B ． 12sin cos 25αα=7sin cos 5αα+=C ．D ． 0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭4tan 3α=【答案】ABD【分析】根据，并结合为锐角求解即可. ()2sin cos 12sin cos αααα±=±α【详解】解：因为，所以，即 1sin cos 5αα-=242sin cos 25αα=12sin cos 25αα=所以， ()249sin cos 12sin cos 25αααα+=+=因为为锐角，所以， α7sin cos 5αα+=所以，43sin ,cos 55αα==所以， 4tan 13α=>所以,42⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππα故选：ABD11．设函数则（） ()ln ,0,cos ,30,2x x f x xx π>⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩A ．的定义域为B ．的值域为 ()f x [)3,∞-+()f x [)1,-+∞C ．的单调递增区间为D ．的解集为 ()f x [)2,-+∞()12f x =23⎧-⎨⎩【答案】AD【分析】A.根据函数的解析式判断；B.分，，利用对数函数和余弦函数的性质求解0x >30x -≤≤判断；C.利用函数的图象判断；D. 分，，令求解判断. 0x >30x -≤≤1()2f x =【详解】因为函数， ln ,0()πcos ,302x x f x xx >⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩所以的定义域为，故A 正确； ()f x [30](0)[3,)∞-⋃+=-+∞，，当时，，当时，， 0x >()(),f x ∈-∞+∞30x -≤≤[]()1,1f x ∈-所以的值域为，故B 错误； ()f x [11]()()-⋃-∞+∞=-∞+∞，，，如图所示：当时，的单调递增区间为， 0x >()f x (0)+∞，当时，的单调递增区间为， 30x -≤≤()f x [20]-，但在上不单调，故C 错误； [2)∞-+，当时，，解得 0x >1()ln2f x x ==x 当时，，解得，D 正确.30x -≤≤π1()cos 22x f x ==23x =-故选：AD ．12．存在实数a 使得函数有唯一零点，则实数m 可以取值为（）2()223x x f x ma a -=+-+-A ．B ．0C ．D ．14-1412【答案】ABC【分析】把问题转化为与有唯一交点，利用换元法求的最小22x x y -=+23y ma a =-+22x x y -=+值，再转化为关于的二次函数有根，利用判别式大于等于0求得实数的取值范围． a m 【详解】函数有唯一零点，即方程有唯一根， 2()223x x f x ma a -=+-+-22230x x ma a -+-+-=也就是与有唯一交点，22x x y -=+23y ma a =-+令，则， 2x t =112222x x xx y t t-=+=+=+由“对勾函数”的单调性可知，当，即时，有最小值2， 1t =0x =y 可得，即， 232ma a -+=210ma a -+=当时，符合题意， 0m =1a =当时，0m ≠则，解得且． 2(1)40m ∆=-- (1)4m …0m ≠综上，实数的取值范围是，． m (-∞1]4故选：ABC三、填空题13．化简：_____. 22(1tan )cos αα+=【答案】1【详解】，故答案为. ()222222cos sin 1tan cos cos 1cos αααααα++=⋅=114．已知cos ＝，0<α<，则sin ＝________.4a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭132π4a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭【详解】由已知<α＋<，∴sin >0，4π4π34π4a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴sin 4a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭15．若的最小值为_____. 42log (34)log a b +=a b +【答案】7+【详解】试题分析：由，即，所以，42log (34)log a b +=34ab a b =+304ab a =>-4a >，当且仅当时取等号，所以312477744a ab a a a a +=+=-++≥+=+--4a =+a b +的最小值为．7+【解析】1．对数的性质；2．基本不等式．【名师点睛】本题考查对数的性质、基本不等式，属中档题；利用基本不等式求最值时，首先是要注意基本不等式的使用条件，“一正、二定、三相等”；其次在运用基本不等式时，要特别注意适当“拆”、“拼”、“凑”．16．已知函数，把的图象向左平移个单位长度，纵坐标不变，可得到π()24f x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x π3的图象，若，则的最小值为____________．()g x ()()()122120g x g x x x ⋅=>>12x x +【答案】13π12【分析】根据函数图象的平移可得，进而根据的有界性可知π5π()2312g x f x x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()g x ，根据最值点即可由三角函数的性质求解.()()122g x g x ==【详解】有题意得，由于对任意的，π5π()2312g x f x x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x ∈R ()g x ≤故根据得()()()122120g x g x x x ⋅=>>()()12g x g x ==()()12g x g x ==若且, ()()12g x g x ==12ππ2ππ,,N,5π5π221212x k x m k m +2，2=+2+=∈+m k >因此， 12122ππN ,πN 5π5ππ121212x x n n x x n n 2+2，，+**+++=∈+=∈故当时，取最小值，且最小值为， 1n =12x x +13π12若且, ()()12g x g x ==123π3π2π5π5π12π,,N,2122x k x m k m ++=∈+2，2=+2m k >因此， 121223ππN 5π5π13π1212,πN 12x x n n x x n n **++=∈+=∈+2+2，，+故当时，取最小值，且最小值为， 1n =12x x +25π12故取最小值，且最小值为， 12x x +13π12故答案为：13π12四、解答题17．已知集合，集合，集合{}2|560A x x x =--<{}2|6510B x x x =-+≥. ()(){}|90C x x m x m =---<（1）求；A B ⋂（2）若，求实数的取值范围.A C C = m 【答案】（1）或；（2）.1|13A B x x ⎧⋂=-<≤⎨⎩162x ⎫≤<⎬⎭31m -≤≤-【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求出集合、，即可求出； A B A B ⋂（2）由，可知，得到不等式组，解得.A C C = A C ⊆【详解】解：（1），，{}2|560A x x x =--< {}2|6510B x x x =-+≥()(){}|90C x x m x m =---<，或，{|16}A x x ∴=-<<1|3B x x ⎧=≤⎨⎩12x ⎫≥⎬⎭{|9}C x m x m =<<+或；1|13A B x x ⎧∴⋂=-<≤⎨⎩162x ⎫≤<⎬⎭（2）由，得，解得.A C C = A C ⊆961m m +≥⎧∴⎨≤-⎩31m -≤≤-【点睛】本题考查集合的运算，集合与集合之间的关系，属于基础题.18．在平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，角的终xOy αO x α边经过点，.(,3)A a 4cos 5α=-(1)求和的值；a tan α(2)求的值.sin()2sin()233sin()sin()2πααπαπα-++++-【答案】(1)，；4a =-3tan 4α=-(2). 1115-【分析】（1）根据三角函数的定义求出a ，进而求出；tan α（2）先通过诱导公式对原式化简，进而进行弦化切，然后结合（1）求出答案. 【详解】（1）由题意得：，解得，所以. 4cos 5α==-4a =-3tan 4α=-（2）原式. 32sin 2cos tan 211433cos sin 3tan 1534αααααα+-+-+====--+-+--19．已知函数．()2sin(26f x x π=+(1)求的最小正周期和对称轴； ()f x (2)求在上的最大值和最小值． ()f x ππ[,]64-【答案】(1)最小正周期为，对称轴 πππZ 62k x k =+∈，(2)最小值为，最大值为2 1-【分析】(1)根据周期公式和对称轴公式求解；(2)整体代换，讨论的取值范围即可求解最值. π26x +【详解】（1）的最小正周期为，()f x 2ππT ω==令，可得即为对称轴. ππ2π,Z 62x k k +=+∈ππZ 62k x k =+∈（2）, ππππ2π1π,,2,sin(2)16466326x x x ⎡⎤∈-∴-≤+≤∴-≤+≤⎢⎥⎣⎦，π12sin(226x ∴-≤+≤所以当，即时的最小值为， ππ266x +=-π6x =-()f x 1-当，即时的最大值为2. ππ262x +=π6x =()f x 20．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的剩余污染物数量与过滤开始()/P mg L 后的时间（小时）的关系为.其中为过滤开始时废气的污染物数量，为常数.如果过滤t 0kt P P e -=0P k 开始后经过5个小时消除了的污染物，试求：10%（1）过滤开始后经过10个小时还剩百分之几的污染物？（2）求污染物减少所需要的时间.（计算结果参考数据：，，）50%ln 20.7=ln 3 1.1=ln 5 1.6=【答案】（1）；（2）35个小时81%【分析】（1）由当时，，可得，从而可求出参数5t =()0110%P P =-()500110%k P P e --=，进而可知，当时，； 1ln 0.95k =-10t =081%P P =（2）当时，可求出. 050%P P =ln 0.5ln 25351ln 2ln52ln 3ln 0.95t ==⋅=+-【详解】解：（1）由可知，当时，；当时，.0kt P P e -=0=t 0P P =5t =()0110%P P =-于是有，解得，那么， ()500110%k P P e --=1ln 0.95k =-1ln 0.950P P e ⎛⎫ ⎪⎝⎭=所以，当时，，10t =1ln 0.910ln 0.81500081%P P e P e P ⎛⎫⨯⎪⎝⎭===∴过滤开始后经过10个小时还剩的污染物.81%（2）当时，有. 050%P P =1ln 0.950050%t P P e ⎛⎫⎪⎝⎭=解得 15lnln 0.5ln 2ln 22553519ln 9ln10ln 2ln 52ln 3ln 0.9ln 510t -===⋅=⋅=-+-∴污染物减少所需要的时间为35个小时.50%【点睛】本题考查了函数模型的应用，考查了指数方程的求解，考查了对数的运算性质.由已知条件求出参数的值是本题的关键.本题的易错点是误把当成了已消除的污染的数量.k ()/P mg L 21．已知函数，x ∈[，9]. ()2233()log log 3f x x a x =--13(1)当a =0时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )的最小值为-6，求实数a 的值.【答案】(1)[]3,1-(2)2-【分析】（1）由题意可得，结合定义域，逐步可得函数的值域；()23()log 3f x x =-（2）利用换元法转化为二次函数的值域问题，分类讨论即可得到结果.【详解】（1）当a =0时，，x ∈[，9]. ()23()log 3f x x =-13∴，， []3log 1,2x ∈-()[]23log 0,4x ∈∴，()[]23()log 33,1f x x =-∈-∴函数f (x )的值域为；[]3,1-（2）令，[]3log 1,2t x =∈-即函数的最小值为， []2()23,1,2g t t at t =--∈-6-函数图象的对称轴为，2()23g t t at =--t a =当时，，1a ≤-()min ()1226g t g a =-=-=-解得；2a =-当时，，1a 2-<<()2min ()36g t g a a ==--=-解得a =当时，，2a ≥()min ()2146g t g a ==-=-解得（舍）； 74a =综上，实数a 的值为2-22．已知定义域为的函数是奇函数，且指数函数的图象过点． R ()22x x b n f x b +=--x y b =(2,4)（Ⅰ）求的表达式；()f x （Ⅱ）若方程，恰有个互异的实数根，求实数的取值集()23()0f x x f a x ++-+=(4,)x ∈-+∞2a 合；（Ⅲ）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． [1,1]t ∈-()22(1)0f t a f at -+-≥a 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）. 121()22x x f x +-+=+{}40a a -<<{}0a a ≥【分析】（Ⅰ）先利用已知条件得到的值，再利用奇函数得到，进而得到的值，经检验b ()00f =n 即可得出结果；（Ⅱ）先利用指数函数的单调性判断的单调性，再利用奇偶性和单调性得到()f x，把在恰有个互异的实数根转化为在23x x a x +=-23x x a x +=-(4,)x ∈-+∞2()24f x x x a =+-恰与轴有两个交点，求解即可；（Ⅲ）先利用函数为上的减函数且为奇函(4,)x ∈-+∞x ()f x R 数，得到，把问题转化为对任意的恒成立，令221t a at -≤-2210t at a +--≤[1,1]t ∈-，利用二次函数的图像特点求解即可.()221g t t at a =+--【详解】（Ⅰ）由指数函数的图象过点，x y b =(2,4)得，2b =所以， 2()222x x n f x +=-⋅-又为上的奇函数，()f x R 所以，()00f =得，1n =-经检验，当时，符合，1n =-()()f x f x -=-所以； 121()22x x f x +-+=+（Ⅱ）， 12111()22221x x x f x +-+==-+++因为在定义域内单调递增，21x y =+则在定义域内单调递减， 121x y =+所以在定义域内单调递增减，()f x 由于为上的奇函数，()f x R 所以由，()23()0f x x f a x ++-+=可得，()()23()f x x f a x f a x +=--+=-则在恰有个互异的实数根，23x x a x +=-(4,)x ∈-+∞2即在恰与轴有两个交点，()24f x x x a =+-(4,)x ∈-+∞x 则， ()()4000440204f a a a f a ⎧-><⎧⎪⎪∆>⇒>-⇒-<<⎨⎨⎪⎪-<>-⎩⎩所以实数的取值集合为.a {}40a a -<<（Ⅲ）由（Ⅱ）知函数为上的减函数且为奇函数，()f x R 由， ()22(1)0f t a f at -+-≥得，()()221f t a f at -≥-所以，221t a at -≤-即对任意的恒成立，2210t at a +--≤[1,1]t ∈-令，()221g t t at a =+--由题意， ()()1010g g ⎧-≤⎪⎨≤⎪⎩得，0a ≥所以实数的取值范围为：. a {}0a a ≥【点睛】关键点睛：利用函数的奇偶性求解析式，（Ⅱ）把问题转化为在()24f x x x a =+-恰与轴有两个交点的问题；（Ⅲ）把问题转化为对任意的(4,)x ∈-+∞x 2210t at a +--≤[1,1]t ∈-恒成立是解决本题的关键.。

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高一上学期数学拉练题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.下列命题中，错误的是( )A ．平行于同一个平面的两个平面平行B ．平行于同一条直线的两个平面平行C ．一个平面与两个平行平面相交，交线平行D ．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交 2.若}2|{x y x M==,{|N x y ==则M N ⋂= ( )A .}1|{>x x B. }1|{≥x x C.}0|{>x x D. R3.某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为5的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为5的等腰三角形．则该几何体的体积为( )A ．24B ．80C ．64D ．240 4.若0a <，则函数(1)1x y a =--的图象必过点（）A.(0,1)B.（0，0）C.（0，-1）D.（1，-1） 5.若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，则函数)()()(x f x f x F +=的图象关于（） A.x 轴对称 B.y 轴对称 C.原点对称 D.以上均不对6.已知221()12,[()](0)x g x x f g x x x -=-=≠，那么)21(f 等于（） A ．1 B ．3 C ．15 D ．30 7.已知函数()y g x =的图象与函数3x y =的图象关于直线y x =对称，则(2)g 的值为（）A ．9BCD ．3log 28.正方体''''ABCD A B C D -中，AB 的中点为M ，'DD 的中点为N ，异面直线'B M 与CN 所成的角是（） A ．30° B ．90° C ．45° D ．60° 9.函数y = ）A ．[1,)+∞B ．2(,)3+∞C ．2[,1]3D ．2(,1]3 10.如图，三棱柱'''ABC A B C -的体积为V ，P 是侧棱'BB ''P ACC A- 的体积是（）A. 23V B. 13V C. 12V D. 34V11.如图是正方体的展开图，则在这个正方体中，以下四个命题中正确的序号是（①BM 与ED 平行． ②CN 与BE 是异面直线． ③DM 与BN 垂直．A.①②B.②③C. ③D.②③E12.已知函数1()lg ()2x f x x =-有两个零点21,x x ，则有（）A.021<x xB.121=x xC.121>x xD.1021<<x x第Ⅱ卷(共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

13.幂函数()x f 的图象经过点)41,2(则⎪⎭⎫⎝⎛21f =14.已知各顶点都在一个球面上的正方体棱长为2，则这个球的表面积为_________ 15.已知53()8f x x ax bx =++-,若(2)10f -=,则(2)f =16.设c b a ,,均为正数，且a a21log 2=，b b21log 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛，c c2log 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛.则c b a ,,的大小关系为三、解答题：本大题共6个小题，共74分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据： ⑴求这个组合体的表面积； ⑵若组合体的底部几何体记为ABCD-A 1B 1C 1D 1，如图，其中A 1B 1BA 为正方形. 求证：A 1B⊥平面AB 1C 1D.A BCDA 1B 1C 1D 118.（本小题满分12分）如图，已知△ABC 是正三角形，EA 、CD 都垂直于平面ABC ，且EA=AB=2a,DC=a,F 是BE 的中点，求证：（1）FD ∥平面ABC ；（2）AF ⊥平面EDB ．19.（本小题满分12分）已知二次函数()f x 的最小值为1，且(0)(2)3f f ==。

（1）求()f x 的解析式；（2）若()f x 在区间[2,1]a a +上不单调．．．，求实数a 的取值范围；（3）在区间[1,1]-上，()y f x =的图象恒在221y x m =++的图象上方，试确定实数m 的取值范围.20.（本小题满分12分）已知)(x f 为定义在)1,1(-上的奇函数，当)1,0(∈x 时，122)(+=x xx f（1）求)(x f 在（-1,1）上的解析式；（2）证明函数)(x f 在)1,0(是增函数.21.（本小题满分12分）某品牌茶壶的原售价为80元/个，今有甲、乙两家茶具店销售这种茶壶，甲店用如下方法促销：如果只购买一个茶壶，其价格为78元/个；如果一次购买两个茶壶，其价格为76元/个；… …，一次购买的茶壶数每增加一个，那么购买的全部茶壶的价格减少2元/个，但茶壶的售价不得低于44元/个；乙店一律按原价的75℅销售。

现某茶社要购买这种茶壶x 个，如果全部在甲店购买，则所需金额为1y 元；如果全部在乙店购买，则所需金额为2y 元。

（Ⅰ）分别求出1y 、2y 与x 之间的函数关系式；（Ⅱ）该茶社去哪家茶具店购买茶壶花费较少？22．(本小题满分14分) 已知函数()log (1),()log (1)a a f x x g x x =+=-其中（0>a 且1≠a ），设=)(x h )()(x g x f -. （1）求函数()h x 的定义域，判断()h x 的奇偶性，并说明理由；（2）若(3)2f =，求使()0h x <成立的x 的集合；（3）若1[0,]2x ∈时，函数()h x 的值域是]1,0[，求实数a 的取值范围．高一数学拉练二评分参考 2014．1.3一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分． 1-5 BBBBB 6-10 CDBDA l1-12 CD二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13．4 14．12π 15．-26 16．c b a <<三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.解：⑴此组合体的下部为长方体，上部为半个圆柱：368562642401640+=⨯+++=πππS -----6分⑵在长方体中，AD⊥面A 1B 1BA ，又A 1B ⊂面A 1B 1BA ，所以AD⊥A 1B ，又A 1B 1BA 是边长为8的正方形，所以A 1B⊥AB 1，而AB 1⋂AD=A ，所以A 1B⊥面AB 1C 1D.…12分 18.解：证明 (1)取AB 的中点M,连FM,MC, ∵ F、M 分别是BE 、BA 的中点, ∴ FM∥EA, FM=12EA ∵ EA、CD 都垂直于平面ABC , ∴ CD∥EA∴ CD∥FM ,又 DC=a,∴FM=DC∴四边形FMCD 是平行四边形∴ FD∥MC ∴ FD∥平面ABC…6分（2）因M 是AB 的中点，△ABC 是正三角形，所以CM⊥AB ,又CM⊥AE,所以CM⊥面EAB, CM⊥AF, FD⊥AF, 因F 是BE 的中点, EA=AB 所以AF⊥面EBD .…12分 19.解：（1）由已知，设2()(1)1f x a x =-+，…………….2分由(0)3f =，得2a =，故2()243f x x x =-+。

…………………4分（2）要使函数不单调，则211a a <<+，则102a <<。

……………8分（3）由已知，即2243221x x x m -+>++，得2310x x m -+->…10分设2()31g x x x m =-+-，则只要min ()0g x >，而min ()(1)1g x g m ==--，得1m <-。

…12分20.解：（1）当)0,1(-∈x 时，)0,1(-∈-x 121212)(+=+=---xx x x f ， 121)()(+-=--=∴x x f x f ，当0=x 时，0)0(=f , ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-+=∴1210122)(x xxx f 01010<<-=<<x x x ……6分 A BCDA 1B 1C 1D 1（2）任取1021<<<x x ， )12)(12(22122122)()(2121221121++-=+-+=-x x x x x x x x x f x f 1021<<<x x ，2122x x <∴ 0121>+x 0122>+x ， )()(21x f x f <∴）在（1,0)(x f ∴上是增函数.……12分 21.解：（Ⅰ）对甲茶具店而言：茶社购买这种茶壶x 个时，每个售价为x 280-元则1y 与x 之间的函数关系式为:()()()21802280018,*4418,*x x x x x x N y x x x N ⎧-=-+≤≤∈⎪=⎨>∈⎪⎩ (无定义域或定义域不正确扣1分)对乙茶具店而言：茶社购买这种茶壶x 个时，每个售价为60%7580=⨯元则2y 与x 之间的函数关系式为:()*,0602N x x x y ∈≥= 6分（Ⅱ）020*******221≥+-=-+-=-x x x x x y y 100≤≤⇒x答：茶社购买这种茶壶的数量小于10个时，到乙茶具店购买茶壶花费较少，茶社购买这种茶壶的数量等于10个时，到甲、乙两家茶具店购买茶壶花费一样多，茶社购买这种茶壶的数量大于10个时，到甲茶具店购买茶壶花费较少.…12分 22．解：（1）定义域()1,1-又()()x h xxx x x h a a-=-+-=+-=-11log 11log ………4分（2）2=a ，()0,1,11011-∈∴<<-<⇒-<+x x x x x 又……………8分（3）()()()()()122log log 111112110,112110,00,1322aa x h x x x x x x a h x x h h a φφ+⎛⎫==--=-- ⎪---⎝⎭⎡⎤=-->⎢⎥-⎣⎦⎡⎤⎛⎫=== ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭Q ，令可知在上单调递增，因此时在上单调递增又得 , ()()无解上单调递减在时当a h x h a ,1021,010=⎥⎦⎤⎢⎣⎡<<。

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