北京市人大附中2020-2021学年度高三上学期10月月考数学试题及答案
中国人大附中2021届高三10月考试卷数学试题 Word版含答案
1 1 29
25
2 6 -
3 150
4 Ⅰ级、φ20钢筋拉环, 与工字钢双面焊接
100
100
100 25 550 20 50 600
100
100
5 M10×80螺杆加M10螺帽 φ16圆钢，末端打扁
600
两块50×50×3、 30×50×3mm钢板焊接 45 700 100 50 50
950 100 700 1100
150
墙体拉结平面图
墙体拉结剖面图
墙体拉结三维效果图
连墙杆1
图号
29
100 100
连墙杆 1800 连墙杆
900
1800 1500
100
900
150
柱子拉结平面图
连墙杆
柱子拉结剖面图
柱子拉结三维效果图
100 100 ≥200 双扣件
100 1800
100
900
150
预埋钢管拉结大样图
预埋钢管拉结三维效果图
总图例
18mm厚木胶合板 安全平网
50×100mm木枋
钢巴网脚手板
钢筋砼结构
竹串片脚手板
φ48钢管刷黄色油漆
混凝土
400
φ48钢管刷红白油漆
水泥砂浆
φ48钢管
灰砂砖砌体
模板挡脚板
400
素土夯实
200 150
模板红白警示线条
密目安全网
目 录
第一部分 施工现场安全生产标准化 第二部分 施工现场文明施工标准化
300
100 木枋侧面与地面之间的缝隙封严
100 400 100 300
400
400
400 100 300 100
北京市人大附中2021届高三年级10月数学月考试题
人大附中2020-2021学年度高三10月统一练习数学一、选择题1．已知集合{}1,0,1A =-，{}1B x x =∈<N ，则A B ⋂=（ ） A ．{}1,0-B ．{}0,1C ．{}0D ．∅2．已知命题():0,P x ∃∈+∞，ln 0x x +<，则p ⌝为（ ） A ．()0,x ∀∈+∞，ln 0x x +< B ．()0,x ∃∉+∞，ln 0x x +< C ．()0,x ∀∈+∞，ln 0x x +≥D ．()0,x ∀∉+∞，ln 0x x +≥3．已知点52cos,16P π⎛⎫⎪⎝⎭是角α终边上一点，则sin α=（ ）A ．12B ．2C ．12-D ．2-4．已知向量()1,1a =，()2,1b =-，若()()2//a b a b λ+-，则实数λ=（ ） A ．8B ．8-C ．2D ．2-5．以下选项中，满足log log 2a b >的是（ ） A ．2a =，4b =B ．8a =，4b =C ．14a =，8b =D ．12a =，14b = 6．下列函数中，既是奇函数又在区间()1,1-内是增函数的是（ ） A ．()33f x x x =- B ．()sin f x x =C ．()1ln1xf x x-=+ D ．()e e x x f x -=+ 7．已知方程210x ax +-=在区间[]0,1上有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)0,+∞B ．(),0-∞C ．(],2-∞D ．[]2,0-8．已知a 是非零向量，m 为实数，则“a m =”是22a m =的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知0a >，若函数()21,11,1x ax x x f x a x -⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩有最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B ．[)1,+∞C ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭10．定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足：当0x π≤<时，()sin f x x =；当x π≥时，()()2f x f x π=-．若方程()0f x x m -+=在区间[]0,5π上恰有3个不同的实根，则m 的所有可能取值集合是（ ）A ．40,3π⎡⎢⎣B ．40,3π⎛⎝C ．[)40,3,43πππ⎡⋃⎢⎣D ．()40,3,43πππ⎡⋃⎢⎣二、填空题 11．已知1cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α=______． 12．在ABC △中，已知2a =，cos cos cos a b cA B C==，则ABC △的面积为______． 13．已知点()1,1P ，O 为坐标原点，点A ，B 分别在x 轴和y 轴，且满足PA PB ⊥，则()PA PB PO +⋅=______，PA PB +的最小值为______．14．已知函数()()e 1x f x a x =+-，若()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是______． 15．将函数sin y x =图象上各点横坐标变为原来的()10ωω>倍，再向左平移5π个单位，得到函数()f x 的图象．已知()f x 在[]0,2π上有且只有5个零点．在下列命题中： ①()f x 的图象关于点,05π⎛⎫-⎪⎝⎭对称； ②()f x 在()0,2π内恰有5个极值点； ③()f x 在区间0,5π⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减； ④ω的取值范围是2530,1111⎡⎫⎪⎢⎣⎭．所有真命题的序号是______． 三、解答题16．在ABC △中，已知22cos a b c A +=． （1）求C ；（2）若5a =，7c =，求b17．已知函数()()22cos sin 0f x x x ωω=+>，若______，写出()f x 的最小正周期，并求函数()f x 在区间5,66ππ⎛⎤⎥⎝⎦内的最小值． 请从①1ω=，②2ω=这两个条件中选择一个，补充在上面的问题中并作答．若选择多个条件分别作答，按第一个判分． 18．已知函数()11f x x =+，()1g x x =-．求证实数a 的取值范围： （1）任意()10,x a ∈，存在()20,x a ∈，使得()()12f x g x =成立； （2）存在[]12,,1x x a a ∈+，使得()()12f x g x <成立．19．研究表明，在一节课40分钟的数学课中，学生的注意力指数()f x 与听课时间x （单位：分钟）之间的变化曲线如图所示．当(]0,16x ∈时，曲线是二次函数图象的一部分；当(]10,40x ∈时，曲线是函数()0.8log y x a =+图象的一部分．（1）求函数()f x 的解析式；（2）如果学生的注意力指数低于75，称为“欠佳听课状态”，则在一节40分钟的数学课中，学生处于“欠佳听课状态”所持续的时间有多长？（精确到1分钟，参考数据：541025=，553125=） 20．已知函数()()()()ln 11f x x a x a x =+-+-． （1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；。
北京市海淀区中国人民大学附属中学2020-2021学年高一10月月考数学试卷(解析版)
故选：B.
【点睛】本题主要考查求集合中元素的个数，涉及分式不等式的解法，属于基础题型.
3.已知函数 的值域是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】先求出每段函数的值域，再求其并集可得函数的值域
【详解】当 时， ，
当 时， ，即 ，
所以函数 的值域是 ，
故选：A
4. 是命题“ ， ”为真命题的
【详解】 时， 成立；但是 时， 不一定成立，所以充分而不必要条件序号是①；
时， 不一定成立；但是 时， 一定成立，所以必要而不充分条件序号是②；
时， 成立； 时， 一定成立，所以充要条件序号是④；
时， 不一定成立，例如： ； 时， 不一定成立，例如 ，所以既不充分也不必要条件序号是③.
故答案为：①；②；④；③.
10.已知函数 是定义在 上的单调函数，若对任意的 ，都有 ，则 的值是
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】B
【详解】试题分析：∵对任意 ，均有 ，且 在 上单调，∴ ， ， 为常数，又∵ ，∴ ，故选B．
考点：1．复合函数；2．函数的性质．
【方法点睛】本题主要考察函数的解析式与函数单调性的，已知复合函数 的表达式，求 可用换元法，根据条件中对任意 ，以及 在 上单调，均有 ，从而可知 为一固定常数，从而求解．
（3）已知函数 ，当 时 的取值范围是 ，求实数 的取值范围．（只需写出答案）
【答案】（1）4；（2）函数 在区间 ， 上是减函数，证明见解析；（3） ， ．
【分析】（1）利用对勾函数的图象的单调性得解；
（2）函数 在区间 ， 上是减函数，利用函数单调性的定义证明；
（3）结合对勾函数的图象直接写出实数 取值范围.
2021年高三上学期10月月考数学试题含答案
2021年高三上学期10月月考数学试题含答案一.填空：（每题5分，计70分）1．已知集合A={－2，－1}，B={－1，2，3}，则▲ ．2．命题：“，”的否定是▲ ．3．的值为▲ ．4．“”是“”的▲ 条件．（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中，选出适当的一种填空）5. 已知幂函数f(x)＝(t3－t＋1)x(t∈N)是偶函数，则实数t的值为___▲_____．6．曲线在它们的交点处的两条切线互相垂直，则的值是▲．7．已知函数()在区间上有最大值和最小值，则的值为▲ ．8.设函数，则的值为▲.9.若函数定义在上的奇函数，且在上是增函数，又，则不等式的解集为▲10、已知点是函数图像上的点，直线是该函数图像在点处的切线，则____▲___.11、存在正数使成立，则的取值范围是____▲___.12．已知点P是函数的图像上一点，在点P处的切线为，交x轴于点M，过点P作的垂线，交x轴于点N，MN的中点为Q，则点Q的横坐标的最大值为▲13．已知函数．若存在，，当时，，则的取值范围是▲．14．设函数若恰有2个零点，则实数的取值范围▲二.解答题：（15、16、17每题14分，18、19、20每题16分）15、（本题14分）已知不等式的解集为，不等式的解集为.(1)求集合及； (2) 若，求实数的取值范围.16．已知命题指数函数在上单调递减，命题关于的方程的两个实根均大于 3.若“或”为真,“且”为假,求实数的取值范围.17、（本题14分）设函数，对任意非零实数、满足，（1）求的值；（2）判断函数的奇偶性；（3）已知在上为增函数且f（4）=1，解不等式18．某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为（0＜＜1，则出厂价相应提高的比例为0.7，年销售量也相应增加.已知年利润=（每辆车的出厂价－每辆车的投入成本）×年销售量.（1）若年销售量增加的比例为0.4，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例应在什么范围内？（2）年销售量关于的函数为，则当为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？19. .已知函数（Ⅰ）求证：函数必有零点（Ⅱ）设函数①若在上是减函数，求实数的取值范围；②是否存在整数，使得的解集恰好是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．20已知函数(a为实常数).(1)若，求证：函数在(1，+∞)上是增函数；(2)求函数在上的最小值及相应的值；(3)若存在，使得成立，求实数a的取值范围.参考答案：1、{}2、，3、4、充分不必要5、16、7、18、9、（0，1）∪（﹣3，﹣1） 10、2 11、 12、13、 14、或15、1) A={x|-1≤x<1}当a=2时，x∈φ当a>2时,{x|2<x<a}当a<2时{x|a<x<2}2）a<-118. 解：（1）由题意得：本年度每辆车的投入成本为10×（1+x ）；出厂价为13×（1+0.7x ）；年销售量为5000×（1+0.4x ）， ……2分 因此本年度的利润为[13(10.7)10(1)]5000(10.4)y x x x =⨯+-⨯+⨯⨯+即： …………………………6分由， 得 ………8分（2）本年度的利润为)55.48.49.0(3240)352(3240)9.03()(232++-⨯=++-⨯⨯-=x x x x x x x f 则),3)(59(972)5.46.97.2(3240)(2'--=+-⨯=x x x x x f ……10分 由当是增函数；当是减函数.∴当时，万元， ……12分因为在（0，1）上只有一个极大值，所以它是最大值， ……14分 所以当时，本年度的年利润最大，最大利润为xx0万元． ……16分19、【解】(1)=,则恒成立，所以方程=0必有解．函数必有零点．（2）①，因为在上是减函数所以或解得或． ②因为的解集恰好是所以根据图像知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-+-≤==b m m a a b G a a G 4)2()2(4)()(2所以消去得，因为为整数，所以或检验且得．20. （1）当时，，当，，故函数在上是增函数．…………………………………………4分（2），当，．若，在上非负（仅当，x=1时，），故函数在上是增函数，此时． …………………………………6分若，当时，；当时，，此时是减函数； 当时，，此时是增函数．故．若，在上非正（仅当，x=e 时，），故函数在上是减函数，此时．………………………………8分综上可知，当时，的最小值为1，相应的x值为1；当时，的最小值为，相应的x值为；当时，的最小值为，相应的x值为．…………………………………………………………10分（3）不等式，可化为．∵, ∴且等号不能同时取，所以，即，因而（）………………………………………………12分令（），又，…………………14分当时，，，从而（仅当x=1时取等号），所以在上为增函数，故的最小值为，所以a的取值范围是．……………16分d20062 4E5E 乞21401 5399 厙39008 9860 顠27652 6C04 氄 ^38284 958C 閌29716 7414 琔38730 974A 靊dr]。
北京市海淀区清华大学附属中学2020届高三上学期10月月考数学试题
1,2,3,…,n，试证：
S
(3)记n阶“期待数列”的前k项和为Sk
.
2
k
k
清华附中高三
年月月考试卷数学
201910
一、选择题
，B＝{x|(x1)(x3)0}
，则A∩B=（）
1.已知集合
1}
{x|2x3}
A.{x|x
C.{x|1
B.
D.
x3}
{x|x2x1}
或
【答案】B
【解析】
试题分析：B{x|(x1)(x3)0}{x|1xx3}
ABABADBCAD
ABBCAB1
331818
3
12
3
12
18
.考点：平面向量的数量积.
【此处有视频，请去附件查看】
14.如图，线段AB=8，点C在线段AB上，且
=2，为线段
上一动点，点绕点C
CBA
AC
P
旋转后与点绕点旋转后重合于点．设
B
=x，
的面积为f(x)．则f(x)的定
CPD
P
D
CP
义域为
；f(x)的零点是
③若A⊆B且B⊆A，即A＝B时，则p是q的充要条件．
（3）等价转化法：
p是q的什么条件等价于綈q是綈p的什么条件．
3
cos,(,0)
，则sin2的值为（）
5.已知
4
2
3
37
8
3
37
8
A.
B.
C.
D.
8
8
【答案】D
【解析】
3
7
sin22sincos
，所以
sin1cos1()
高三数学10月月考试题含解析 试题
海淀区中国人民大学附属中学2021届高三数学10月月考试题〔含解析〕一、选择题〔本大题一一共8道小题，每一小题5分，一共40分．在每一小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请把所选答案前的字母按规定求填涂在“答题纸〞第1－6题的相应位置上．〕1.全集=R U ，集合20x A x x ⎧⎫+=≤⎨⎬⎩⎭，那么集合UA 等于〔 〕A. {2x x <-或者}0x >B. {2x x <-或者}0x ≥C. {2x x ≤-或者}0x > D. {2x x ≤-或者}0x ≥【答案】B 【解析】 【分析】求出集合A 中不等式的解集确定出A ，根据全集U =R 求出A 的补集即可．【详解】由A 中的不等式变形得：200x x +≥⎧⎨<⎩或者200x x +≤⎧⎨>⎩，解得：20x -≤<， 即{}|20A x x =-≤<， ∵全集U =R ， ∴UA ={2x x <-或者}0x ≥.应选：B.【点睛】此题考察分式不等式的解法，考察补集及其运算，属于根底题.2.角α的终边与单位圆交于点12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,那么sin α的值是〔 〕A. B. 12-C.2D.12【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的定义即可求出．【详解】根据三角函数的定义可知，1sin 2y α==-． 应选：B ．【点睛】此题主要考察三角函数的定义的应用，属于根底题． 3.以下函数中是奇函数，且在区间()0,∞+上是增函数的是〔 〕 A. 1y x=B. 2xy =C. 1y x x=+D.1y x x=-【答案】D 【解析】 【分析】可先判断奇偶性，再判断单调性．【详解】由奇偶性定义知ACD 三个函数都是奇函数，B 不是奇函数也不是偶函数，1y x =在(0,)+∞上是减函数，1y x x=+是勾形函数，在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递增， 只有1y x x=-在(0,)+∞上递增． 应选：D ．【点睛】此题考察函数的奇偶性与单调性，掌握奇偶和单调性定义是解题根底．4.为了得到函数1cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只要把1cos 2y x =的图象上所有的点〔 〕A. 向左平移3π个单位长度 B. 向右平移3π个单位长度 C. 向左平移23π个单位长度D. 向右平移23π个单位长度【答案】C 【解析】 【分析】把函数式1cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭化为1cos ()2y x a =+形式可得．【详解】112cos cos ()2323y x x ππ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因此把1cos 2y x =的图象上所有的点向左平移23π个单位得到函数1cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象． 应选：C ．【点睛】此题考察三角函数的图象平移变换，解题时对相位变换要注意平移的概念，特别是()f x ω向左平移m 个单位，得[()]f x m ω+不是()f x m ω+．5.“ln ln a b >〞是 > 〔 〕 A. 充分不必要条件； B. 必要不充分条件； C. 充要条件； D. 既不充分也不必要条件.【答案】A 【解析】ln ln 0a b a b >⇒>>⇒>>1,0a b ==，那么ln ln a b >不成立，所以ln ln a b >〞是 >∴选A . 考点：充分条件、必要条件.6.假如实数集R 的子集X 满足：任意开区间(),a b 〔其中a b <〕中都含有X 中的元素，那么称X 在R 中的稠密，假设“R 的子集X 在R 中的不稠密〞，那么〔 〕 A. 任意开区间都不含有X 中的元素 B. 存在开区间不含有X 中的元素 C. 任意开区间都含有X 的补集中的元素 D. 存在开区间含有X 的补集的元素【答案】B 【解析】 【分析】写出命题X 在R 中的稠密的否认即可，【详解】命题“任意开区间(),a b 〔其中a b <〕中都含有X 中的元素〞的否认是：“存在开区间(),a b 〔其中a b <〕不含有X 中的元素〞， 应选：B ．【点睛】此题考察新定义，考察命题的否认．解题关键是正确理解题意，R 的子集X 在R 中的不稠密就是X 在R 中的稠密的否认．由命题的否认可得． 7.函数()sin 2cos f x x x x =+的大致图象有可能是〔 〕A. B.C. D.【解析】 【分析】根据函数的奇偶性排除D 选项.根据()()cos 2sin 1f x x x x =+的零点个数，对选项进展排除，由此得出正确选项. 【详解】函数()f x 是偶函数，排除D ；由()()2sin cos cos cos 2sin 1f x x x x x x x x =+=+，知当()0,2x π∈时，cos 0x =有两个解π3π,22，令12sin 10,sin 2x x x x+==-，而sin y x =与12y x =-在()0,2π有两个不同的交点〔如以下图所示〕，故函数在()0,2π上有4个零点，应选A.【点睛】本小题主要考察函数图像的识别，考察二倍角公式以及零点的个数判断方法，属于中档题.8.()2log f x x =，关于x 的方程()()0f x m m =>的根为1x ，()212x x x <，关于x 的方程()41f x m =+，41m m ⎛⎫≠ ⎪+⎝⎭根为3x ，()434x x x <．当m 变化时，4231x x x x --的最小值为〔 〕 A. 162 B. 8C. 2D. 16【答案】B 【解析】由数形结合思想求出1234,,,x x x x ，计算4231x xx x --并化简，然后由根本不等式求得最小值．【详解】在同一坐标系中作出2log y x =的图象和直线y m =，41y m =+，交点,,,A B C D 的横坐标分别1234,,,x x x x ，由方程2log x m =解得122,2m m x x -==，同理4132m x -+=，4142m x +=，4231x x x x --44411144112222222222mmm m mm m m m m +++--++--==⋅⋅--412m m ++=442(1)11111228m m m m +⋅++-++=≥=，当且仅当411m m +=+，即1m =时等号成立． ∴4231x x x x --的最小值是8．应选：B ．【点睛】此题考察对数函数的图象与性质的综合应用，求出方程的根代入并化简后应用根本不等式解决问题是解题关键．二、填空题〔本大题一一共6道小题，每一小题5分，一共30分．请将每道题的最简答案填写上在“答题纸〞第9－14题的相应位置上．〕9.向量()2,3a =，(),2b t =，假设a 与b 一共线，那么实数t =__________．【答案】43【解析】 【分析】由向量一共线的坐标表示计算．【详解】由题意430t -=，43t =． 故答案为：43． 【点睛】此题考察向量平行的坐标运算，属于根底题同．10.函数()f x =的定义域为______________ . 【答案】(0,1)(1,2]⋃ 【解析】 【分析】根据幂函数的定义域、对数函数的定义域以及分母不等于零，列不等式组求解即可.【详解】要使函数()ln f x x =有意义，那么24000x lnx x ⎧-≥⎪≠⎨⎪>⎩，解得02x <≤且1x ≠，所以函数()f x =的定义域为()(]0,11,2⋃，故答案为()(]0,11,2⋃.【点睛】此题主要考察函数的定义域、不等式的解法，属于中档题. 定义域的三种类型及求法：(1)函数的解析式，那么构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 假设函数()f x 的定义域为[],a b ，那么函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出.11.函数()sin 0,2y A x πωϕωϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的局部图象如下图，那么()f x =__________．【答案】2sin(2)6x π-【解析】 【分析】结合“五点法作图〞可求解．【详解】由题意2A =，2()36T πππ=⨯+=，22πωπ==，2232k ππϕπ⨯+=+，2,6k k Z πϕπ=-∈，∵2πϕ<，∴6πϕ=-．∴()2sin(2)6f x x π=-．故答案为：2sin(2)6x π-．【点睛】此题考察由三角函数图象求解析式，掌握“五点法作图〞是解题关键． 12.如下图，某游乐园内摩天轮的中心O 点距地面的高度为50m ，摩天轮做匀速运动．摩天轮上一点P 自最低点A 点起经过min t 后，点P 的高度40sin 5062h t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭〔单位：m 〕，那么P 的高度在距地面70m 以上的时间是为__________min ．【答案】4 【解析】 【分析】直接解不等式70h ≥即可．【详解】由题意40sin 507062h t ππ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭，1sin()622t ππ-≥，5226626k t k ππππππ+≤-≤+，124128k t k +≤≤+，k Z ∈，取0k =，那么48t ≤≤，844-=．故答案为：4．【点睛】此题考察三角函数模型的应用．考察解三角不等式，属于根底题． 13.如图，在△ABC 中，BO 为边AC 上的中线，2BG GO =，设CD ∥AG ，假设15AD AB AC λ=+()R λ∈，那么λ的值是 ．【答案】65【解析】试题分析：因为所以.又CD ∥AG ，可设从而.因为15AD AB AC λ=+，所以.考点：向量一共线表示14.集合M 是满足以下性质的函数()f x 的全体，存在非零常数T ，对任意R x ∈，有()()f x T Tf x +=成立．〔1〕给出以下两个函数：()1f x x =，()()2201f x a a =<<，其中属于集合M 的函数是__________．〔2〕假设函数()sin f x kx M =∈，那么实数k 的取值集合为__________． 【答案】 (1). 2()f x (2). {|,}k k m m Z π=∈ 【解析】 【分析】〔1〕根据集合M 的性质判断．〔2〕根据集合M 的性质求解，由sin ()sin k x T T kx +=恒成立成立，只有1T =±， 【详解】〔1〕假设1()f x M ∈，那么存在非零点常数T ，使得11()()f x T Tf x +=，那么x T Tx +=，(1)0T x T -+=对x ∈R 恒成立，这是不可能的，1()f x M ∉；假设2()f x M ∈，那么存在非零点常数T ，使得22()()f x T Tf x +=，那么22a Ta =，对x ∈R 恒成立，1T =，2()f x M ∈；〔2〕函数()sin f x kx M =∈，那么存在非零点常数T ，使得()()f x T Tf x +=，即sin ()sin k x T T kx +=，0k =时，()0f x M =∈，0k ≠时，由x ∈R 知kx R ∈，()k x T k R +∈，sin [1,1]kx ∈-，sin ()[1,1]k x T +∈-，因此要使sin ()sin k x T T kx +=成立，只有1T =±，假设1T =，那么sin()sin kx k kx +=，2,T m m Z π=∈，假设1T =-，那么sin()sin kx k kx -=-，即sin()sin kx k kx π-+=，2k m ππ-+=，(21),k m m Z π=--∈，综上实数k 的取值范围是{|,}k k m m Z π=∈． 故答案为：2(),f x {|,}k k m m Z π=∈.【点睛】此题考察新定义问题，此类问题的特点是解决问题只能以新定义规那么为根据，由新定义规那么把问题转化，转化为熟悉的问题进展解决．三、解答题〔本大题一一共6道小题，一共80分．解答题应写出文字说明、演算步骤或者证明过程．请将解答题之答案填写上在“答题纸〞第15－20题的相应位置上．〕15.函数()()22cos cos sin R f x x x x x a x =+-+∈的最大值为5．〔1〕求a 的值和()f x 的最小正周期； 〔2〕求()f x 的单调递增区间． 【答案】〔1〕3a =，T π=．〔2〕[,],36k k k Z ππππ-+∈【解析】 【分析】〔1〕先降幂，由两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求解；〔2〕由正弦函数的单调区间可得．【详解】〔1〕()2cos22sin(2)6f x x x a x a π=++=++，由题意25a +=，3a =，22T ππ==．〔2〕222262k x k πππππ-≤+≤+，解得36k x k ππππ-≤≤+，∴增区间为[,],36k k k Z ππππ-+∈． 【点睛】此题考察三角函数的恒等变换，考察正弦函数的性质：周期性，最值，单调性，掌握正弦函数的性质是解题关键．16.如下图，在平面四边形ABCD 中，DA AB ⊥，22CD AE ED ===，23ADC ∠=π，π3BEC ∠=，CED α∠=.〔1〕求sin α的值； 〔2〕求BE 的长.【答案】〔1〕217；〔2〕7 【解析】 【分析】〔1〕在CDE △中，由余弦定理2222cos EC CD DE CD ED EDC =+-⋅⋅∠，可求得EC ，再由正弦定理得sin sin EC CDEDC α=∠，可求出sin α；〔2〕先求出cos α，结合2π3AEB α∠=-，可得2πcos cos 3AEB α⎛⎫∠=-⎪⎝⎭，再由cos AEBE AEB=∠可求出答案.【详解】〔1〕在CDE △中，由余弦定理，得2222cos 24122cos π37EC CD DE CD ED EDC =+-⋅⋅∠-=+⨯=⨯，在CDE △中，由正弦定理，得sin sin EC CDEDC α=∠.于是，2π3sin22132sin 77CD EC α⋅⨯===. 〔2〕由题设知，π03α<<，于是由〔1〕知，22127cos 1sin 149αα=-=-=. 而2π3AEB α∠=-，所以2πcos cos 3AEB α⎛⎫∠=- ⎪⎝⎭2π2π7cos cos sin sin 3314αα=+=，在直角EAB 中，477BE ==. 【点睛】此题考察正弦定理及余弦定理在解三角形中的应用，考察学生的推理才能与计算才能，属于根底题.17.在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD ，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒〔如图〕．设小正方形边长为x 厘米，矩形纸板的两边AB ，BC 的长分别为a 厘米和b 厘米，其中a ≥b ．〔1〕当a ＝90时，求纸盒侧面积的最大值；〔2〕试确定a ，b ，x 的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值． 【答案】〔1〕当x ＝654时，纸盒的侧面积的最大值为42252平方厘米; 〔2〕当a ＝b ＝60，x ＝10时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米．【解析】试题分析：〔1〕矩形纸板ABCD 的面积为3600，故当90a =时，40b =，列出关于纸盒侧面积S 函数解析式，利用二次函数的性质，即可求得最大值；〔2〕列出盒子体积V 的函数解析式，利用导数求解函数的单调性、最值，即可得到结论． 试题解析：〔1〕因为矩形纸板ABCD 的面积为3600，故当a ＝90时，b ＝40， 从而包装盒子的侧面积S ＝2×x (90－2x)＋2×x(40－2x)＝－8x 2＋260x ，x ∈(0，20) ． 因为S ＝－8x 2＋260x ＝－8(x －)2＋， 故当x ＝时，侧面积最大，最大值为 平方厘米． 答：当x ＝时，纸盒的侧面积的最大值为平方厘米．〔2〕包装盒子的体积V ＝(a －2x)(b －2x) x ＝x[ab －2(a ＋b)x ＋4x 2]，x ∈(0，)，b ≤60． V ＝x[ab －2(a ＋b)x ＋4x 2]≤x(ab －4x ＋4x 2) ＝x(3600－240x ＋4x 2)＝4x 3－240x 2＋3600x ． 当且仅当a ＝b ＝60时等号成立． 设f (x)＝4x 3－240x 2＋3600x ，x ∈(0，30)． 那么f ′ (x)＝12(x －10)(x －30)．于是当0＜x ＜10时，f ′ (x)＞0，所以f (x)在(0，10)上单调递增； 当10＜x ＜30时，f ′ (x)＜0，所以f (x)在(10，30)上单调递减．因此当x ＝10时，f (x)有最大值f (10)＝16000， 此时a ＝b ＝60，x ＝10．答：当a ＝b ＝60，x ＝10时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米． 18.函数()()32413f x x a x a =--∈R ． 〔1〕曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线l 与直线210x y -+=平行，求l 的方程； 〔2〕假设函数()f x 的图象与直线2y =只有一个公一共点，务实数a 的取值范围．【答案】〔1〕11203x y --=；〔2〕(． 【解析】 【分析】〔1〕求出导函数()f x '，由(1)2f '=，求得a ，可得切线方程；〔2〕由导数确定函数的单调性，解不等式2()f x >的极大值即可．【详解】〔1〕由题意22()4f x x a '=-，2(1)42f a '=-=，a =a =45(1)2133f =--=-，切线l 方程是52(1)3y x +=-，即11203x y --=． 〔2〕由〔1〕22()4f x x a '=-， 假设0a =，()f x 在实数集上递增，函数()f x 的图象与直线2y =只有一个公一共点，符合题意， 假设0a ≠，2a x <-或者2a x >时，()0f x '>，22a ax -<<时，()0f x '<， ∴()()2a f x f =-极大值，3()()23a af x f ==-极小值， ∵函数()f x 的图象与直线2y =只有一个公一共点，∴()22af -<，即324()()12322a a a ⨯--⨯--<，39a <，a <，a <<0a ≠，综上可得，a 的范围是(．【点睛】此题考察导数的几何意义，考察有导数研究函数的极值．函数图象与直线的交点个数问题转化为函数极值的不等关系是此题解题关键． 19.设函数()()ln f x x x ax a =⋅+∈R ．〔1〕求函数()y f x =在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值点；〔2〕假设()()()21212g x f x ax a x =+-+，求证：0a ≥是函数()y g x =在()1,2x ∈时单调递增的充分不必要条件． 【答案】〔1〕0a ≥时，最小值点为1e，20a -<<时，最小值点为1a e --，当2a ≤-时，最小值点为e ．〔2〕见解析． 【解析】 【分析】〔1〕求出导函数，研究函数的单调性，确定函数在1[,]e e上单调性得最值．〔2〕求出数()y g x =在()1,2x ∈时单调递增时的a 的取值范围后可得结论． 【详解】〔1〕()ln 1f x x a '=++，由()0f x '=得1a x e --=，当10a x e --<<时，()0f x '<，()f x 递减，1a x e -->时，()0f x '>，()f x 递增， 当11aee--≤，即0a ≥时，()f x 在1[,]e e 递增，()f x 的最小值点为1e ，11ae e e--<<，即20a -<<时，()f x 的极小值点也是最小值点为1a e --， 1a e e --≥，即2a ≤-时，()f x 在1[,]e e递减，()f x 的最小值点为e ．综上，0a ≥时，最小值点为1e，20a -<<时，最小值点为1a e --，当2a ≤-时，最小值点为e ．〔2〕由21()ln (1)2g x x x ax a x =+-+，()ln 1(1)ln (1)g x x ax a x a x '=++-+=+-， 由题意()ln (1)0g x x a x '=+-≥在(1,2)x ∈上恒成立，即1ln x a x-≥-在(1,2)x ∈上恒成立，设1()ln x h x x -=-，21ln 1()(ln )x x h x x +-'=-， 设1()ln m x x x=+，22111()x m x x x x -'=-=，当(1,2)x ∈时，()0m x '>，()m x 递增，∴1()ln (1)1m x x m x=+>=，∴()0h x '<，()h x 在(1,2)上递减， 11111lim()lim lim 11ln x x x x x xx→→→--=-=-=-，∴(1,2)x ∈时，()1h x <-，∴1a ≥-． ∴：0a ≥是函数()y g x =在()1,2x ∈时单调递增的充分不必要条件．【点睛】此题考察用导数研究函数的最值，考察函数的单调性．求函数在某个区间上的最值问题，关键是确定函数的单调性，函数在某个区间上的单调问题转化为不等式恒成立，不等式恒成立经可转化为研究函数的最值．20.如图，设A 是由n n ⨯(2)n ≥个实数组成的n 行n 列的数表，其中ij a (,1,2,,)i j n =表示位于第i 行第j 列的实数，且{1,1}ij a ∈-.定义1122st s t s t sn tn p a a a a a a =+++(,1,2,,)s t n =为第s 行与第t 行的积. 假设对于任意,s t 〔s t ≠〕，都有0st p =，那么称数表A 为完美数表.〔Ⅰ〕当2n =时，试写出一个符合条件的完美数表； 〔Ⅱ〕证明：不存在10行10列的完美数表；〔Ⅲ〕设A 为n 行n 列的完美数表，且对于任意的1,2,,i l =和1,2,,j k =，都有1ij a =，证明：kl n ≤.【答案】〔Ⅰ〕见解析；〔Ⅱ〕〔1〕见解析，〔2〕不存在10行10列的完美数表；〔Ⅲ〕见解析 【解析】 【分析】〔Ⅰ〕根据定义确定112112220a a a a +=一个解即可，〔Ⅱ〕先研究完美数表性质，再利用性质作变换，考虑前三行的情况，列方程组，最后根据所求解得矛盾，即证得结论，〔Ⅲ〕把12n n ln n a a a X +++=作为研究对象，根据条件可得12k X X X l ====，根据定义可得22212n X X X ln +++=.最后根据不等关系：2222221212n k X X X X X X +++≥+++证得结果.【详解】〔Ⅰ〕答案不唯一. 如〔Ⅱ〕假设存在10行10列的完美数表A . 根据完美数表的定义，可以得到以下两个结论： 〔1〕把完美数表的任何一列的数变为其相反数〔即1+均变为1-，而1-均变为1+〕，得到的新数表是完美数表；〔2〕交换完美数表的任意两列，得到的新数表也是完美数表. 完美数表A 反复经过上述两个结论的变换，前三行可以为如下形式：1 1 1 1 11111 1 111-1-1- 1- 111-1-111-1-x 共列y 共列z 共列w 共列在这个新数表中，设前三行中的数均为1的有x 列，前三行中“第1, 2行中的数为1，且第3行中的数为-1”的有y 列，前三行中“第1, 3行中的数为1，且第2行中的数为-1”的有z 列，前三行中“第1行中的数为1，且第2, 3行中的数为-1”的有w 列〔如上表所示〕，那么10x y z w +++=由120p =，得x y z w +=+； 由130p =，得x z y w +=+； 由230p =，得x w y z +=+. 解方程组，，，，得52x y z w ====. 这与,,,x y z w N ∈矛盾， 所以不存在10行10列的完美数表. 〔Ⅲ〕记第1列前l 行中的数的和112111l a a a X +++=，第2列前l 行中的数的和 122222l a a a X +++= ，……，第n 列前l 行中的数的和12n n ln n a a a X +++=， 因为对于任意的1,2,,i l =和1,2,,j k =，都有1ij a =，所以12k X X X l ====.又因为对于任意,s t 〔s t ≠〕，都有0st p =，所以22212n X X X ln +++=. 又因为22222221212n k X X X X X X l k +++≥+++=，所以2ln l k ≥，即kl n ≤.【点睛】解决新定义问题的两个着手点(1)正确理解新定义．耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法那么、新运算的外表，利用所学的知识将生疏的性质转化为我们熟悉的性质，是解决这类问题的打破口．(2)合理利用有关性质是破解新定义型问题的关键．在解题时要擅长从题设条件给出的数式中发现可以使用性质的一些因素，并合理利用．。
2020-2021学年某校高三(上)月考数学试卷(10月份)有答案
2020-2021学年某校高三（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1. 已知集合A＝{0, 1, 2, 3}，B＝{x|x2−x−2≤0}，则A∩B＝（）A.{0, 1}B.{0, 1, 2}C.{x|0≤x<2}D.{x|0≤x≤3}2. 复数z＝（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 下列函数是奇函数且在区间(0, 2)递增的函数为（）A. B.f(x)＝ln|x|C.f(x)＝sin xD.f(x)＝4. 若a=0.35，b=log0.30.2，c=log32，则（）A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>b>a5. 直线y=kx−1与曲线y=ln x相切，则k=()A.0B.−1C.1D.±16. 若a>0，b>0，则“a>b”是“ln a−b>ln b−a”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7. 设函数f(x)={3x−b,x<12x，x≥1，若f[f(56)]=4，则b=（）A.1B.7C.3D.18. 数列{a n}中，a1＝2，a n+1＝a n2，则下列结论中正确的是（）A.数列{a n}的通项公式为B.数列{a n}为等比数列C.数列{ln a n}为等比数列D.数列{ln a n}为等差数列9. 正方形ABCD的边长为2，点E、F、G满足，则下列各式中值最大的为（）A. B. C. D.10. 在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位mol/L，记作[H+]）和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位mol/L，记作[OH−]）的乘积等于常数10−14．已知pH值的定义为pH＝−lg[H+]，健康人体血液的pH值保持在7.35∼7.45之间，那么健康人体血液中的可以为（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）（）A. B. C. D.二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）命题的否定形式为________>0，（）≥1．已知向量，且，则向量与的夹角大小为________，的值为________．已知x>0，y>0，且log2x+log2y＝2，则的最小值为________．已知函数f(x)=13x3−a2x2+2x+1，且f(x)在区间(−2, −1)内存在单调递减区间，则实数a的取值范围________．已知定义在R 上的函数f(x)满足：①f(x)+f(2−x)＝0；②f(x)−f(−2−x)＝0；③在[−1, 1]上的表达式为f(x)={√1−x 2,x ∈[−1,0]1−x,x ∈(0,1]，则函数f(x)与g(x)={2x ,x ≤0log 12x,x >0 的图象在区间[−3, 3]上的交点的个数为________．三、解答题：已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)，经过点P(1, √32)，离心率是√32．（I ）求椭圆C 的方程；（II ）设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆右顶点M ，求证：直线l 恒过定点．已知函数f(x)＝ln x −ax +1，共中a ∈R ． （1）求f(x)的单调区间；（2）是否存在k ∈Z ，使得对任意x >2恒成立？若存在，请求出k 的最大值；若不存在，请说明理由．已知a 为实数，数列{a n }满足a 1＝a ，．(Ⅰ)当a ＝0.2和a ＝7时，分别写出数列{a n }的前5项； (Ⅱ)证明：当a >3时，存在正整数m ，使得0<a m ≤2；(Ⅲ)当0≤a ≤1时，是否存在实数a 及正整数n ，使得数列{a n }的前n 项和S n ＝2019？若存在，求出实数a 及正整数n 的值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2020-2021学年某校高三（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】可求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】∵A＝{0, 1, 2, 3}，B＝{x|−1≤x≤2}，∴A∩B＝{0, 1, 2}．2.【答案】A【考点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】先由复数的运算化简z，再由复数的几何意义得出其对应点的坐标即可得出结论、【解答】z＝＝＝＝+i，故其对应的点的坐标为（，），位于第一象限．3.【答案】A【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】分别判断函数的奇偶性和单调性是否满足条件即可．【解答】A．f(x)是奇函数，在0，2)递增，满足条件．B．f(x)是偶函数，不满足条件．C．f(x)是奇函数，则0，2)上不单调，不满足条件．D．当x≥0时，对称轴x＝2，即当0<x<2函数为减函数，不满足条件．4.【答案】C对数值大小的比较 【解析】利用对数与指数函数的单调性即可得出大小关系． 【解答】∵ a =0.35<0.32=0.09<12，b =log 0.30.2>log 0.30.3=1，1>c =log 32>log 3√3=12， ∴ b >c >a ． 5. 【答案】 C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】欲k 的值，只须求出切线的斜率的值即可，故先利用导数求出在切处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决． 【解答】解：∵ y =ln x ， ∴ y ′=1x ，设切点为(m, ln m)，得切线的斜率为 1m，所以曲线在点(m, ln m)处的切线方程为： y −ln m =1m ×(x −m)．它过(0, −1)，∴ −1−ln m =−1，∴ m =1， ∴ k =1 故选C ． 6.【答案】 C【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】当a >0，b >0时，若a >b ，则ln a >ln b ，此时a +ln a >b +ln b 成立，即充分性成立，设f(x)＝x +ln x ，当x >0时，f(x)为增函数，则由a +ln a >b +ln b 得f(a)>f(b)，即a >b ，即必要性成立， 则“a >b ”是“a +ln a >b +ln b ”的充要条件， 7. 【答案】 D函数的零点 函数的求值 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由题意，f (56)=3×56−b =52−b ．由f [f (56)]=4，得{52−b <1，3(52−b)−b =4或{52−b ≥1，252−b−b =4.解得b =12． 故选D ． 8.【答案】 C【考点】等差数列的性质 【解析】求出数列{a n }的前3项，利用列举法能判断A 和B 均错误；求出＝2，得到数列{ln a n }为等比数列． 【解答】数列{a n }中，a 1＝2，a n+1＝a n 2，∴ ＝4，＝16＝24，故A 和B 均错误；∵ 数列{a n }中，a 1＝2，a n+1＝a n 2，∴ ＝2，∴ 数列{ln a n }为等比数列，故C 正确，D 错误．9. 【答案】 A【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】建立平面直角坐标系，利用坐标法结合向量坐标公式进行计算即可． 【解答】建立平面直角坐标系如图： ∵ 点E 、F 、G 满足，∴ 点E 、F 、G 都是中点，则A(0, 0)，B(2, 0)，C(2, 2)，D(0, 2)，E(2, 1)，F(1, 2)，G(0, 1)，则＝(2, 0)，＝(2, 1)，＝(1, 2)，＝(0, 1)，＝(1, 1)，则•＝4，•＝2，•＝0，•＝2，故各式中值最大的为•，10.【答案】C【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】由题意可得lg＝2lg[H+]+14，即可求出−0.9<lg<−0.7，代值计算比较即可【解答】由题意可得pH＝−lg[H+]∈(7.35, 7.45)，且[H+]•[OH−]）＝10−14，∴lg＝lg＝lg[H+]2+14＝2lg[H+]+14，∵7.35<−lg[H+]<7.45，∴−7.45<lg[H+]<−7.35，∴−0.9<2lg[H+]+14<−0.7，即−0.9<lg<−0.7，∵lg＝−lg2≈0.30，故A错误，lg＝−lg3≈0.48，故B错误，lg＝−lg6＝−(lg2+lg3)≈−0.78，故C正确，lg＝−1，故D错误，二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）【答案】命题的否定【解析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．【解答】命题是全称命题，则否定为：∃x>0，（）x≥1，【答案】,2【考点】数量积表示两个向量的夹角平面向量数量积的性质及其运算【解析】根据平面向量数量积的公式进行计算即可．【解答】||＝＝＝2，设向量与的夹角大小为θ，则cosθ＝＝，则θ＝，＝＝＝＝2，【答案】【考点】基本不等式及其应用【解析】利用条件求出xy的值，再利用基本不等式即可求解．【解答】由log2x+log2y＝2可得：xy＝4，则，当且仅当，即x＝2时取等号，此时的最小值为，【答案】(−∞, −2√2)【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】求出函数的导数，问题转化为a<(x+2x)max=−2√2，根据不等式的性质求出a的范围即可．【解答】解：f′(x)=x2−ax+2，由题意得∃x∈(−2, −1)，使得不等式f′(x)=x2−ax+2<0成立，即x∈(−2, −1)时，a<(x+2x)max，令g(x)=x+2x，x∈(−2, −1)，则g′(x)=1−2x2=x2−2x2，令g′(x)>0，解得：−2<x<−√2，令g′(x)<0，解得：−√2<x<−1，故g(x)在(−2, −√2)递增，在(−√2, −1)递减，故g(x)max=g(−√2)=−2√2，故满足条件a的范围是(−∞, −2√2)，故答案为：(−∞, −2√2)．【答案】6【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】先根据①②知函数的对称中心和对称轴，再分别画出f(x)和g(x)的部分图象，由图象观察交点的个数．【解答】∵ ①f(x)+f(2−x)＝0，②f(x)−f(−2−x)＝0，∴f(x)图象的对称中心为(1, 0)，f(x)图象的对称轴为x＝−1，结合③画出f(x)和g(x)的部分图象，如图所示，据此可知f(x)与g(x)的图象在[−3, 3]上有6个交点．三、解答题：【答案】（I）解：由{1a2+34b2=3 ca=√32a2=b2+c2，解得：{a=2b=1，（II ）证明：（方法一）（1）由题意可知，直线l 的斜率为0时，不合题意． （2）不妨设直线l 的方程为 x =ky +m ．由{x =ky +m x 24+y 2=1，消去x 得(k 2+4)y 2+2kmy +m 2−4=0， 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则有y 1+y 2=−2kmk 2+4…①，y 1y 2=m 2−4k 2+4．…②∵ 以AB 为直径的圆过点M ，∴ MA →⋅MB →=0．由MA →=(x 1−2,y 1)，MB →=(x 2−2,y 2)，得(x 1−2)(x 2−2)+y 1y 2=0． 将x 1=ky 1+m ，x 2=ky 2+m 代入上式，得(k 2+1)y 1y 2+k(m −2)(y 1+y 2)+(m −2)2=0．…③ 将①②代入③，得5m 2−16m+12=0k 2+4，解得m =65或m =2（舍）． 综上，直线l 经过定点(65，0)．（方法二）（1）当k 不存在时，易得此直线恒过点(65，0)．（2）当k 存在时．设直线l 的方程为y =kx +m ，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，M(2, 0)． 由{x 24+y 2=1y =kx +m ，可得(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2−12=0． △=16(4k 2−m 2+1)>0，x 1+x 2=−8km4k 2+1…①，x 1x 2=4m 2−44k 2+1．…②由题意可知MA →⋅MB →=0，MA →=(x 1−2,y 1)，MB →=(x 2−2,y 2)，y 1=kx 1+m ，y 2=kx 2+m ．可得 (x 1−2)•(x 2−2)+y 1y 2=0．整理得 (km −2)(x 1+x 2)+(k 2+1)x 1x 2+4+m 2=0…③ 把①②代入③整理得：12k 2+16km+5m 24k 2+1=0，由题意可知 12k 2+16km +5m 2=0， 解得 m =−2k,m =−65k ．(I) 当m =−2k 时，即y =k(x −2)，直线过定点(2, 0)不符合题意，舍掉． (II) m =−65k 时，即y =k(x −65)，直线过定点(65，0)，经检验符合题意．综上所述，直线l 过定点(65，0)． 【考点】 椭圆的定义 【解析】（II ）通过对直线的斜率进行讨论，不妨设直线l 的方程，利用韦达定理及MA →⋅MB →=0，通过将直线方程代入向量数量积的坐标运算中，计算即得结论．【解答】（I ）解：由{ 1a 2+34b 2=3c a =√32a 2=b 2+c 2，解得：{a =2b =1， 所以椭圆C 的方程是：x 24+y 2=1；（II ）证明：（方法一）（1）由题意可知，直线l 的斜率为0时，不合题意．（2）不妨设直线l 的方程为 x =ky +m ．由{x =ky +m x 24+y 2=1，消去x 得(k 2+4)y 2+2kmy +m 2−4=0， 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则有y 1+y 2=−2km k 2+4…①，y 1y 2=m 2−4k 2+4．…②∵ 以AB 为直径的圆过点M ，∴ MA →⋅MB →=0． 由MA →=(x 1−2,y 1)，MB →=(x 2−2,y 2)，得(x 1−2)(x 2−2)+y 1y 2=0． 将x 1=ky 1+m ，x 2=ky 2+m 代入上式，得(k 2+1)y 1y 2+k(m −2)(y 1+y 2)+(m −2)2=0．…③将①②代入③，得5m 2−16m+12=0k 2+4， 解得m =65或m =2（舍）．综上，直线l 经过定点(65，0)． （方法二）（1）当k 不存在时，易得此直线恒过点(65，0)．（2）当k 存在时．设直线l 的方程为y =kx +m ，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，M(2, 0)．由{x 24+y 2=1y =kx +m，可得(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2−12=0． △=16(4k 2−m 2+1)>0，x 1+x 2=−8km 4k 2+1…①，x 1x 2=4m 2−44k 2+1．…② 由题意可知MA →⋅MB →=0，MA →=(x 1−2,y 1)，MB →=(x 2−2,y 2)，y 1=kx 1+m ，y 2=kx 2+m ．可得 (x 1−2)•(x 2−2)+y 1y 2=0．整理得 (km −2)(x 1+x 2)+(k 2+1)x 1x 2+4+m 2=0…③把①②代入③整理得：12k 2+16km+5m 24k 2+1=0，由题意可知 12k 2+16km +5m 2=0，解得 m =−2k,m =−65k ．(I)当m=−2k时，即y=k(x−2)，直线过定点(2, 0)不符合题意，舍掉．(II)m=−65k时，即y=k(x−65)，直线过定点(65，0)，经检验符合题意．综上所述，直线l过定点(65，0)．【答案】∵f′(x)＝−a，x>0，∴当a<0时，f′(x)>0，即f(x)在(0, +∞)上是增函数，当a>0时，x∈(0，）时，f′(x)>0，f(x)在(0，）上为增函数；x∈（，+∞)时，f′(x)<0，f(x)在（，+∞)上为减函数．综上所述，当a<0时，f(x)的增区间为(0, +∞)；当a>0时，f(x)的单调增区间为(0，），f(x)的单调减区间为（，+∞)；由已知f(x)+ax−2>k(1−），即为x(ln x−1)>k(x−2)，x>1，即x(ln x−1)−kx+2k>0，x>1，令g(x)＝x(ln x−1)−kx+2k，x>1，则g′(x)＝ln x−k，①当k≤0时，g′(x)>0，故g(x)在(1, +∞)上为增函数，由g(1)＝−1−k+2k＝k−1>0，则k>1，矛盾；②当k>0时，由ln x−k>0，解得x>e k，由ln x−k<0，解得1<x<e k，故g(x)在(1, e k)上是减函数，在(e k, +∞)上是增函数，∴g(x)min＝g(e k)＝2k−e k，即讨论g(x)min＝g(e k)＝2k−e k>0(k>0)恒成立，求k的最小值，令ℎ(t)＝2t−e t，则ℎ′(t)＝2−e t，当2−e t>0，即t<ln2时，ℎ(t)单调递增，当2−e t<0，即t>ln2时，ℎ(t)单调递减，∴当t＝ln2时，ℎ(t)max＝ℎ(ln2)＝2ln2−2，∵0<ln2<1，∴0<2ln2−2<1，又∵ℎ(1)＝2−e<0，ℎ(2)＝4−e2<0，∴不存在整数k使2k−e k>0成立；综上所述，不存在满足条件的整数k．【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的最值【解析】（1）求出原函数的导函数，然后对a分类求得函数的单调区间；（2）由已知f(x)+ax−2>k(1−）即为x(ln x−1)>k(x−2)，x>1，即x(ln x−1)−kx+2k>0，k>1．令g(x)＝x(ln x−1)−kx+2k，x>1，求导后分k≤0和k>0求函数的单调区间，进一步求得函数的最值得答案．【解答】∵f′(x)＝−a，x>0，∴当a<0时，f′(x)>0，即f(x)在(0, +∞)上是增函数，当a>0时，x∈(0，）时，f′(x)>0，f(x)在(0，）上为增函数；x∈（，+∞)时，f′(x)<0，f(x)在（，+∞)上为减函数．综上所述，当a<0时，f(x)的增区间为(0, +∞)；当a>0时，f(x)的单调增区间为(0，），f(x)的单调减区间为（，+∞)；由已知f(x)+ax−2>k(1−），即为x(ln x−1)>k(x−2)，x>1，即x(ln x−1)−kx+2k>0，x>1，令g(x)＝x(ln x−1)−kx+2k，x>1，则g′(x)＝ln x−k，①当k≤0时，g′(x)>0，故g(x)在(1, +∞)上为增函数，由g(1)＝−1−k+2k＝k−1>0，则k>1，矛盾；②当k>0时，由ln x−k>0，解得x>e k，由ln x−k<0，解得1<x<e k，故g(x)在(1, e k)上是减函数，在(e k, +∞)上是增函数，∴g(x)min＝g(e k)＝2k−e k，即讨论g(x)min＝g(e k)＝2k−e k>0(k>0)恒成立，求k的最小值，令ℎ(t)＝2t−e t，则ℎ′(t)＝2−e t，当2−e t>0，即t<ln2时，ℎ(t)单调递增，当2−e t<0，即t>ln2时，ℎ(t)单调递减，∴当t＝ln2时，ℎ(t)max＝ℎ(ln2)＝2ln2−2，∵0<ln2<1，∴0<2ln2−2<1，又∵ℎ(1)＝2−e<0，ℎ(2)＝4−e2<0，∴不存在整数k使2k−e k>0成立；综上所述，不存在满足条件的整数k．【答案】（1）当a＝0.2时，a1＝0.2，a2＝3.8，a3＝0.8，a4＝3.2，a5＝0.2；当a＝7时，a1＝7，a2＝4，a3＝1，a4＝3，a5＝1．（2）证明：当a>3时，a n+1＝a n−3．所以，在数列{a n}中直到第一个小于等于3的项出现之前，数列{a n}是以a为首项，−3为公差的递减的等差数列．即a n＝a+(n−1)(−3)＝a+3−3n．所以，当n足够大时，总可以找到n0，使．（1）若，令m＝n0，则存在正整数m，使得0<a m≤2．（2）若，由，得，令m＝n0+1，则存在正整数m，使得0<a m≤2．综述所述，则存在正整数m，使得0<a m≤2．(Ⅲ)①当a＝0时，a1＝0，a2＝4，a3＝1，a4＝3，a5＝1，……当n＝1时，S1＝0≠2019，当n≥2时，(k∈N)，令2n−1＝2019，n＝1010，而此时n＝2k+1为奇数，所以不成立；又2n＝2019不成立，所以不存在正整数n，使得S n＝2019．②当0<a<1时，a1＝a，a2＝−a+4，a3＝−a+1，a4＝a+3，a5＝a，……所以数列{a n}的周期是4，当n＝4k+1，k∈N时，S n＝8k+a＝2(n−1)+a＝2n+a−2；当n＝4k+2，k∈N时，S n＝2(n−2)+a+(−a+4)＝2n；当n＝4k+3，k∈N时，S n＝2(n−3)+a+(−a+4)+(−a+1)＝2n−a+3；当n＝4(k+1)，k∈N时，S n＝2n．所以(k∈N)．所以S n或者是偶数，或者不是整数，即不存在正整数n，使得S n＝2019．③当a＝1时，a1＝1，a2＝3，a3＝1，a4＝3，a5＝1，……，(k∈N)，不存在正整数n，使得S n＝2019．综述所述，不存在实数a正整数n，使得S n＝2019．【考点】数列的求和数列递推式【解析】(Ⅰ)当a＝0.2和a＝7时，利用数列递推式依次求出数列{a n}的前5项；(Ⅱ)当a>3时，a n+1＝a n−3．可知在数列{a n}中直到第一个小于等于3的项出现之前，数列{a n}是以a为首项，−3为公差的递减的等差数列．写出通项公式，可得当n足够大时，总可以找到n0，使．然后分与两类分析；(Ⅲ)分a＝0，0<a<1及a＝1三类，分别写出S n后分析．【解答】（1）当a＝0.2时，a1＝0.2，a2＝3.8，a3＝0.8，a4＝3.2，a5＝0.2；当a＝7时，a1＝7，a2＝4，a3＝1，a4＝3，a5＝1．（2）证明：当a>3时，a n+1＝a n−3．所以，在数列{a n}中直到第一个小于等于3的项出现之前，数列{a n}是以a为首项，−3为公差的递减的等差数列．即a n＝a+(n−1)(−3)＝a+3−3n．所以，当n足够大时，总可以找到n0，使．（1）若，令m＝n0，则存在正整数m，使得0<a m≤2．（2）若，由，得，令m＝n0+1，则存在正整数m，使得0<a m≤2．综述所述，则存在正整数m，使得0<a m≤2．(Ⅲ)①当a＝0时，a1＝0，a2＝4，a3＝1，a4＝3，a5＝1，……当n＝1时，S1＝0≠2019，当n≥2时，(k∈N)，令2n−1＝2019，n＝1010，而此时n＝2k+1为奇数，所以不成立；又2n＝2019不成立，所以不存在正整数n，使得S n＝2019．②当0<a<1时，a1＝a，a2＝−a+4，a3＝−a+1，a4＝a+3，a5＝a，……所以数列{a n}的周期是4，当n＝4k+1，k∈N时，S n＝8k+a＝2(n−1)+a＝2n+a−2；当n＝4k+2，k∈N时，S n＝2(n−2)+a+(−a+4)＝2n；当n＝4k+3，k∈N时，S n＝2(n−3)+a+(−a+4)+(−a+1)＝2n−a+3；当n＝4(k+1)，k∈N时，S n＝2n．所以(k∈N)．所以S n或者是偶数，或者不是整数，即不存在正整数n，使得S n＝2019．③当a＝1时，a1＝1，a2＝3，a3＝1，a4＝3，a5＝1，……，(k∈N)，不存在正整数n，使得S n＝2019．综述所述，不存在实数a正整数n，使得S n＝2019．。
人大附中2020-2021学年度高三10月数学统一练习
人大附中2020-2021学年度高三10月统一练习一、选择题共10小题：每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 01．已知集合{}1,0,1A =-，{}1B x x =∈<N ，则AB =（ ）A ．{}1,0-B ．{}0,1C ．{}0D ．∅02．已知命题:(0,)P x ∃∈+∞，ln 0x x +<，则p ⌝为（ ）A ．(0,)x ∀∈+∞，ln 0x x +<B ．(0,)x ∃∉+∞，ln 0x x +<C ．(0,)x ∀∈+∞，ln 0x x +≥D ．(0,)x ∀∉+∞，ln 0x x +≥ 03．已知点5π2cos ,16P ⎛⎫ ⎪⎝⎭是角α终边上一点，则sin α=（ ）A ．12BC ．12-D ． 04．已知向量(1,1)=a ，(2,1)=-b ，若(2)()λ+-a b a b ∥，则实数λ=（ ）A ．8B ．8-C ．2D ．2-05．以下选项中，满足log 2log 2a b >的是（ ）A ．2a =，4b =B ．8a =，4b =C ．14a =，8b = D ．12a =，14b =06．下列函数中，既是奇函数又在区间(1,1)-内是增函数的是（ ）A ．3()3f x x x =-B ．()sin f x x =C ．1()ln1xf x x-=+ D ．()e e x x f x -=+07．已知方程210x ax +-=在区间[0,1]上有解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[0,)+∞B ．(,0)-∞C ．(,2]-∞D ．[2,0]-08．已知a 是非零向量，m 为实数，则“m =a ”是22a m =的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件09．已知0a >，若函数21,1()1,1x ax x x f x a x -⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩有最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(1,)+∞B ．[1,)+∞C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭10．定义在[0,)+∞上的函数()f x 满足：当0πx ≤<时，()sin f x x =；当πx ≥时，()2(π)f x f x =-.若方程()0f x x m -+=在区间[0,5π]上恰有3个不同的实根,则m 的所有可能取值集合是（ ）A ．4π0,3⎡⎢⎣B ．4π0,3⎛ ⎝C ．[)4π0,3π,4π3⎡⎢⎣D ．4π0,(3π,4π)3⎡⎢⎣ 二、填空题共5小题：每小题5分，共25分．11．已知π1cos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α=____．12．在ABC ∆中，已知2a =，cos cos cos a b cA B C==，则ABC ∆的面积为____．13．已知点(1,1)P ，O 为坐标原点，点,A B 分别在x 轴和y 轴，且满足PA PB ⊥，则()PA PB PO +•=____，PA PB +的最小值为____．14．已知函数()e (1)x f x a x =+-，若()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是____． 15．将函数sin y x =图象上各点横坐标变为原来的1(0)ωω>倍,再向左平移π5个单位,得到函数()f x 的图象.已知()f x 在[0,2π]上有且只有5个零点.在下列命题中: ①()f x 的图象关于点π,05⎛⎫- ⎪⎝⎭对称；②()f x 在(0,2π)内恰有5个极值点； ③()f x 在区间π0,5⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减；④ω的取值范围是2530,1111⎡⎫⎪⎢⎣⎭．所有真命题的序号是____．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．在ABC ∆中，已知22cos a b c A +=．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若5a =，7c =，求b ．17．已知函数2()2cos sin (0)f x x x ωω=+>，若____，写出()f x 的最小正周期，并求函数()f x 在区间π5π,66⎛⎤⎥⎝⎦内的最小值． 请从①1ω=，②2ω=这两个条件中选择一个，补充在上面的问题中并作答．若选择多个条件分别作答，按第一个判分． 18．已知函数1()1f x x =+，()1g x x =-．求正实数a 的取值范围： （Ⅰ）任意1(0,)x a ∈，存在2(0,)x a ∈，使得12()()f x g x =成立； （Ⅱ）存在12,[,1]x x a a ∈+，使得12()()f x g x <成立．19．研究表明，在一节课40分钟的数学课中，学生的注意力指数()f x 与听课时间x （单位：分钟）之间的变化曲线如图所示．当(0,16]x ∈时，曲线是二次函数图象的一部分；当(10,40]x ∈时，曲线是函数0.8log ()y x a =+图象的一部分．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）如果学生的注意力指数低于75，称为“欠佳听课状态”，则在一节40分钟的数学课中，学生处于“欠佳听课状态”所持续的时间有多长？（精确到1分钟，参考数据：541025=，553125=）20．已知函数()()ln (1)(1)f x x a x a x =+-+-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）是否存在实数a ，使得()f x 在(0,)+∞具有单调性？若存在，求所有a 的取值构成的集合；若不存在，请说明理由．21．对非空数集,A B ，定义{},A B x y x A y B -=-∈∈，记有限集T 的元素个数为T ．（Ⅰ）若{}135A =，，，{}1,2,4B =，求A A -，B B -，A B -； （Ⅱ）若4A =，*A ⊆N ，{}1,2,3,4B =，当A B -最大时，求A 中最大元素的最小值； （Ⅲ）若5A B ==，21A A B B -=-=，求A B -的最小值．。
北京市海淀区中国人民大学附属中学2020届高三数学上学期10月月考试题(含解析)
北京市海淀区中国人民大学附属中学2020届高三数学上学期10月月考试题（含解析）说明:本试卷共三道大题20道小题，共4页，满分150分，考试时间120分钟;考生务必按要求将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.一、选择题（本大题共8道小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请把所选答案前的字母按规定要求填涂在“答题纸”第1-8题的相应位置上.）1.若集合A ＝{x ∈Z ||x |＜3}，B ＝{x ∈Z |x 2﹣3x ﹣4＜0}，则A ∩B ＝（ ） A. {0，1，2} B. {﹣2，﹣1，0，1，2，3} C. {﹣1，0，1，2，3} D. {﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}【答案】A 【解析】 【分析】化简集合,A B 后利用集合的交集运算进行运算可得. 【详解】因为集合{2,1,0,1,2}A =--,{0,1,2,3}B =, 所以{0,1,2}A B ⋂=, 故选：A【点睛】本题考查了集合的交集运算,含绝对值不等式的解法,一元二次不等式的解法,属于基础题.2.设命题2:,2nP n N n ∃∈>，则P ⌝为（ ） A. 2,2nn N n ∀∈> B. 2,2nn N n ∃∈≤ C. 2,2nn N n ∀∈≤ D. 2,2nn N n ∃∈=【答案】C 【解析】【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为2,2nn N n ∀∈≤，即本题的正确选项为C.【此处有视频，请去附件查看】3.已如函数f （x ）sinxx=，则f ′（π）+f ′（﹣π）＝（ ） A. ﹣2 B. 2 C. 2π-D. 0【答案】D 【解析】 【分析】利用导数公式以及导数的除法法则求导后,代入π和π-计算可得.【详解】因为f （x ）sinx x =,所以cos sin ()2x x x f x x-'=, 所以22cos sin cos()sin()()()()f f ππππππππππ-----''+-=+=-220ππππ-+=.故选:D【点睛】本题考查了导数公式以及导数的除法法则,属于基础题. 4.“sin cos αα=”是“cos20α=”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【详解】试题分析：因为，所以“sin cos αα=”是“cos20α=”的充分不必要条件；故选A ． 考点：1．二倍角公式；2．充分条件和必要条件判定． 【此处有视频，请去附件查看】5.设a ＞0，b ＞0，e 是自然对数的底数 A. 若e a +2a=e b +3b ，则a ＞b B. 若e a +2a=e b +3b ，则a ＜b C. 若e a -2a=e b -3b ，则a ＞bD. 若e a -2a=e b -3b ，则a ＜b 【答案】A 【解析】【详解】若223a b e a b +=+，必有22a b e a e b +>+． 构造函数：()2xf x e x =+，则()()f a f b >，则()20xf x e ='+>恒成立，故有函数()2xf x e x =+在x ＞0上单调递增，所以a ＞b 成立．故选A ． 6.已知曲线y ＝2sin （x 4π+）cos （4x π-）与直线y 12=相交，若在y 轴右侧的交点自左向右依次记为P 1，P 2，P 3，…，则|P 1P 5|等于（ ） A. π B. 2πC. 3πD. 4π【答案】B 【解析】 【分析】 将2sin()cos()44y x x ππ=+-化为1sin 2y x =+,根据已知条件得到关于x 的方程,求出方程的解,进而得到12345,,,,P P P P P 的横坐标,从而可得15||PP 的值. 【详解】因为2sin()cos()2sin[()]cos()44244y x x x x πππππ=+-=---22cos ()1cos(2)1sin 242x x x ππ=-=+-=+,所以由11sin 22x +=,得1sin 22x =-,所以7226x k ππ=+或11226x k ππ=+,k Z ∈,所以712x k ππ=+或1112x k ππ=+,k Z ∈,所以12345,,,,P P P P P 的横坐标依次是7117117,,,,21212121212ππππππππ+++, 所以1577||221212PP ππππ=+-=. 故选:B【点睛】本题考查了诱导公式,降幂公式,简单的三角方程,本题是一道关于关于三角函数的问题,掌握三角函数的转换公式是答题的关键,属于中档题. 7.函数2sin 2xy x =-的图象大致是 A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】 根据函数22xy sinx =-的解析式，根据定义在R 上的奇函数图像关于原点对称可以排除A ，再求出其导函数，根据函数的单调区间呈周期性变化，分析四个选项即可得到结果【详解】当0x =时，0200y sin =-= 故函数图像过原点，排除A 又12cos 2y x =-'，令0y '= 则可以有无数解，所以函数的极值点有很多个，故排除B D ， 故函数在无穷域的单调区间呈周期性变化 结合四个选项，只有C 符合要求 故选C【点睛】本题主要考查了由函数的表达式判断函数图像的大体形状，解决此类问题，主要从函数的定义域，值域，单调性以及奇偶性，极值等方面考虑，有时也用特殊值代入验证． 8.已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，对任意x R ∈都有()()()63f x f x f +=+，当[]12,0,3x x ∈，且12x x ≠时，()()12120f x f x x x ->-，给出如下命题：①()30f =；②直线6x =-是函数()y f x =的图象的一条对称轴； ③函数()y f x =在[]9,6--上为增函数； ④函数()y f x =在[]9,9-上有四个零点. 其中所有正确命题的序号为（ ） A. ①② B. ②④C. ①②③D. ①②④【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到函数的奇偶性、周期性和单调性，然后逐一进行判定【详解】①令3x =，则由()()()63f x f x f +=+，函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，可得：()()()()33323f f f f =-+=，故()30f =，故①正确②由()30f =可得：()()6f x f x +=，故函数()f x 是周期等于6的周期函数()f x 是偶函数，y 轴是对称轴，故直线6x =-是函数()y f x =的图象的一条对称轴，故②正确③当[]12,0,3x x ∈，且12x x ≠时，()()12120f x f x x x ->-，故()f x 在[]03，上为增函数 ()f x 是偶函数，故()f x 在[]30-，上为减函数函数()f x 是周期等于6的周期函数故()f x 在[]96--，上为减函数，故③错误 ④函数()f x 是周期等于6的周期函数()()()()93390f f f f ，∴-=-===故函数()y f x =在[]9,9-上有四个零点，故④正确 综上所述，则正确命题的序号为①②④ 故选D【点睛】本题考查了函数的性质：奇偶性、周期性以及单调性，在求解过程中熟练运用各性质进行解题，注意零点问题的求解．二、填空题（本大题共6道小题，每小题5分，共30分.请将每道题的最简答案填写在“答题纸”第9-14题的相应位置上.)9.函数()f x =________． 【答案】[2，+∞） 【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.详解：要使函数()f x 有意义，则2log 10x -≥，解得2x ≥，即函数()f x 的定义域为[2,)+∞.点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题. 10.计算112ex dx x ⎛⎫⎰+ ⎪⎝⎭【答案】2e 【解析】 分析】先求出被积函数2x 1x +的原函数，然后根据定积分的定义求出所求即可． 【详解】解：1e⎰（2x 1x+）dx ＝（x 2+lnx ） 1|e＝e 2+lne ﹣1﹣ln 1 ＝e 2 故答案为e 2【点睛】本题主要考查了定积分的运算，定积分的题目往往先求出被积函数的原函数，属于基础题．11.如图，点P 是函数y ＝2sin （ωx +φ）（x ∈R ，ω＞0）图象的一个最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，若△MPN 为直角三角形，则ω＝_____．【答案】4π【解析】 【分析】结合题意得到||4MN =,所以周期8T =,再根据周期公式可得答案. 【详解】三角函数的最大值为2，即三角形MPN 的高为2， ∵△MPN直角三角形，∴根据对称性知△MPN 为等腰直角三角形，即MN ＝4，即三角函数的周期T ＝8，由T 2πω==8，得ω284ππ==， 故答案为:4π. 【点睛】本题考查了正弦型函数的周期性,根据题意得到||4MN =,是答题的关键,属于基础题.12.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若sinC ＝2sinA ，b 2﹣a 212=ac ，则sinB 等于_____．7【解析】 【分析】由sinC ＝2si n A 以及正弦定理得c ＝2a ，再由b 2﹣a 212=ac 得b 2=,然后由余弦定理可求得cos B ,根据同角公式可得sin B .【详解】由sinC ＝2si n A 以及正弦定理得c ＝2a ，又b 2﹣a 212=ac ，得b 2﹣a 212=a ×2a ＝a 2， 即b 2＝2a 2，则b 2=a ，由余弦定理得cosB 22222222423322244a cb a a a a ac a a a +-+-====⋅，因为0B π<<,所以sinB 239771()141616=-=-==， 故答案为:7. 【点睛】本题考查了正弦定理角化边,余弦定理,同角公式,属于基础题.13.已知函数()122,0,20x x c f x x x x ⎧⎪≤≤=⎨⎪+-≤<⎩，其中c >0.那么f (x )的零点是________；若f (x )的值域是，则c 的取值范围是________．【答案】 (1). －1和0 (2). (0,4] 【解析】 【分析】根据分段函数的概念，分x 为正数和负数两种情况讨论，分别解方程即可得到么f （x ）的零点．根据二次函数的图象与性质，求出当x∈[-2，0）时，函数f （x ）的值域恰好是[−14，2]，所以当0≤x≤c 时，f （x ）=12x 的最大值小于等于2，即可解出实数c 的取值范围. 【详解】当x≥0时，令12x =0，得x=0；当x ＜0时，令x 2+x=0，得x=-1或x=0（舍去） ∴f（x ）的零点是-1和0∵函数y=x 2+x=21124x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭ ，在区间[-2，-12）上是减函数，在区间（-12，0）上是增函数∴当x∈[-2，0）时，函数f （x ）最小值为f （-12）=-14，最大值是f （-2）=2∵当0≤x≤c 时，f （x ）=12x 是增函数且值域为[0] ∵f （x ）的值域是[−14，2]≤2，即0＜c≤4【点睛】函数的零点是实数，是方程f （x ）=0的根，若能直接解方程求解，解方程即可；若不方便解方程，可通过图象法，函数的零点也是函数y=f （x ）与x 轴的交点的横坐标.分段函数的值域，是每个分段区间内对应的函数的值域的并集. 14.设集合 {}n P 1,2,,n =，*n N ∈．记 ()f n 为同时满足下列条件的集合 A 的个数：① n A P ⊆； ②若 x A ∈，则 2x A ∉；③若 nP x A ∈，则 nP 2x A ∉．则（1） ()f 4=_____________；（2） ()f n 的解析式（用 n 表示）()f n =_____________．【答案】 (1). 4 (2). ()n2n 122,n ,f n 2,n .+⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数【解析】（1）当4n =时，{}41,2,3,4P =，符合条件的集合A 为{}{}{}{}2,1,4,2,3,1,3,4， 所以()44f =．（2）任取偶数n x P ∈，将x 除以2，若商仍为偶数，再除以2，经过k 次以后，商必为奇数，此时记商为m ，于是2k x m =⋅，其中m 为奇数，k N +∈．由条件知，若m A ∈，则m A k ∈⇔为偶数；若m A ，则m A k ∈⇔为奇数．于是x 是否属于A 由m 是否属于A 确定．设n Q 是n P 中所有奇数的集合，因此()f n 等于n Q 的子集个数．当n 为偶数（或奇数）时，n P 中奇数的个数是2n（或12n +）， 所以()2122,2,nn n f x n 为偶数为奇数+⎧⎪=⎨⎪⎩.点睛：本题主要考查了有关集合的创新性试题和函数的解析式的求解问题，其中解答中涉及到元素与集合的关系，求解函数的解析式，以及集合之间的包含关系等知识点的综合考查，试题比较新颖，具有一定的创新性，解答是需要认真审题，仔细作答，有一定的难度，属于难题.三、解答题（本大题共6道小题，共80分.解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程，请将解答题的答案填写在“答题纸”第15-20题的相应位置上.) 15.在ABC 中，AC=6，4cos .54B C π==， （1）求AB 的长； （2）求()6cos A π-的值.【答案】（1）52（2）726- 【解析】试题分析：（1）利用同角三角函数的基本关系求sin B ，再利用正弦定理求AB 的长；（2）利用诱导公式及两角和与差正余弦公式分别求sin ,cos A A ，然后求cos().6A π-试题解析：解（1）因为4cos B=5，0B π<<，所以2243sin 1cos 1(),55B B =-=-= 由正弦定理知sin sin AC AB B C =，所以26sin 25 2.3sin 5AC CAB B⨯⋅===（2）在ABC 中，A B C π++=，所以，于是cos cos()cos()cos cossin sin,444A B C B B B πππ=-+=-+=-+又43cos ,sin ,55B B ==故42322cos 55A =-+=因为0A π<<，所以sin A ==因此1cos()cos cossin sin6662A A A πππ-=+=+= 【考点】同角三角函数的基本关系、正余弦定理、两角和与差的正余弦公式【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先应从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式是解决三角问题的关键，同时应明确角的范围、开方时正负的取舍等. 【此处有视频，请去附件查看】 16.有时可用函数0.115ln ,(6)(){ 4.4,(6)4ax a xf x x x x +≤-=->-描述学习某学科知识的掌握程度，其中x 表示某学科知识的学习次数（*x ∈N ），()f x 表示对该学科知识的掌握程度，正实数a 与学科知识有关.（1） 证明：当7x ≥时，掌握程度的增加量(1)()f x f x +-总是下降；（2） 根据经验，学科甲、乙、丙对应的a 的取值区间分别为(115,121],(121,127],(121,133].当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科.【答案】（1）见解析（2）乙科 【解析】【详解】⑴中，要证明掌握程度的增加量(1)()f x f x +-总是下降，只需利用函数的单调性证明(1)()f x f x +-单调递减即可；⑵中，根据题意，()60.85f =建立方程求a 的估计值，结合给出的范围，进行判断.⑴证明：当7x ≥时，()()0.41(3)(4)f x f x x x +-=--，(3)(4)0x x -->，函数(3)(4)y x x =--单调递增，故()()1f x f x +-单调递减， 所以当7x ≥时，掌握程度的增加量(1)()f x f x +-总是下降. ⑵解：由题意知0.115ln0.85,6a a +=-整理可得0.05,6ae a =- 所以(]0.050.05620.506123.0,123.0121,127.1e a e =⋅≈⨯=∈-由此可知，该学科为乙科.【此处有视频，请去附件查看】17.已知函数f （x ）＝cos （2x 23π+）+2sin （4x π-）sin （4π+x ）． （Ⅰ）求f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）求函数y ＝f （x ）的对称轴方程，并求函数f （x ）在区间[12π-，2π]上的最大值和最小值．【答案】（Ⅰ）[kπ23π-，kπ6π-]，k ∈Z ； （Ⅱ）最小值为﹣1 【解析】【详解】（Ⅰ）f （x ）＝cos （2x 23π+）+2sin （4x π-）sin （4π+x ） ＝cos 2xcos23π-sin 2xsin 23π+2cos （4π+x ）sin （4π+x ）12=-cos 2x sin 2x +sin （2π+2x ）12=-cos 2x sin 2x +cos 2x12=cos 2x sin 2x ＝cos （2x 3π+）， 由2k π﹣π≤2x 3π+≤2k π，k ∈Z 得k π23π-≤x ≤k π6π-，k ∈Z ， 即函数的单调递增区间为[kπ23π-，kπ6π-]，k ∈Z ． （Ⅱ）由2x 3π+=kπ得x 26k ππ=-，即函数的对称轴方程为x 26k ππ=-，k ∈Z ， 当122x ππ-≤≤时，6π-≤2x ≤π，6π≤2x 433ππ+≤，所以当2x 3π+=π,即3x π=时，函数f （x ）取得最小值，最小值为f （x ）＝cosπ＝﹣1，当2x 36ππ+=,即12x π=-时，函数f （x ）取得最大值，最大值为f （x ）＝cos6π=． 【点睛】本题考查了两角和的余弦公式,诱导公式,函数的单调区间,对称轴,最大最小值,属于中档题.18.设函数f （x ）＝x ﹣x 2+3lnx ． （Ⅰ）求函数f （x ）的极值；（Ⅱ）证明：曲线y ＝f （x ）在直线y ＝2x ﹣2的下方(除点(1,0)外)． 【答案】（Ⅰ）极大值3ln 3324-；无极小值； （Ⅱ）见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）求导后,得到函数的单调性,根据单调性可求得极值;（Ⅱ）令g （x ）＝f （x ）﹣2x +2＝﹣x 2﹣x +2+3lnx ，（x ＞0），转化为证明()0g x ≤,利用导数求得最大值即可证明结论.【详解】（Ⅰ）f （x ）的定义域是（0，+∞），f ′（x ）＝1﹣2x ()()2231323x x x x x x x--+-+++==， 令f ′（x ）＞0，解得：0＜x 32＜，令f ′（x ）＜0，解得：x 32＞， 故f （x ）在（0，32）递增，在（32，+∞）递减， 故f （x ）极大值＝f （32）3924=-+3ln 32=3ln 3324-；无极小值；（Ⅱ）令g （x ）＝f （x ）﹣2x +2＝﹣x 2﹣x +2+3lnx ，（x ＞0），g ′（x ）＝﹣2x ﹣1()()2223132323x x x x x x x x x x+---++-+==-=-， 令g ′（x ）＞0，解得：0＜x ＜1，令g ′（x ）＜0，解得：x ＞1， 故g （x ）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减， 故g （x ）max ＝g （1）＝﹣1﹣1+2+3ln 1＝0，故曲线y ＝f （x ）在直线y ＝2x ﹣2的下方(除点(1,0)外)．【点睛】本题考查了利用导数求函数的极值和最值,等价转化思想,易错警示:忽视函数的定义域,本题属于中档题.19.已知函数2(),()()xf x x ax bg x e cx d =++=+.若曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点(0,2)P ,且在点P 处有相同的切线42y x =+.（Ⅰ）求a b c d ,,,的值; （Ⅱ）若2x ≥-时,()()f x kg x ≤,求k的取值范围.【答案】（I ）4,2,2,2a b c d ====；（II ）2[1,e ].【解析】试题分析：（1）先求导,根据题意()()02,02f g ==,由导数的几何意义可知()()'04,'04f g ==,从而可求得a b c d ,,,的值．（2） 由（1）知，()()()242,21x f x x x g x e x =++=+,令()()()F x kg x f x =-,即证2x ≥-时()0F x ≥．先将函数()()()F x kg x f x =-求导,讨论导数的正负得函数的增减区间,根据函数的单调性求其最值．使其最小值大于等于0即可．试题解析：（1）由已知得()()02,02f g ==，()()'04,'04f g == 而()()()'2,'xf x x ag x ecx d c =+=++，4,2,2,2a b c d ∴====（4分）（2）由（1）知，()()()242,21xf x x xg x ex =++=+，设函数()()()()()22142,2xF x kg x f x kex x x x =-=+---≥-，()()()()'2224221x x F x ke x x x ke =+--=+-．由题设可得()00F ≥，即1k ≥，令()'0F x =得12ln ,2x k x =-=-, ．．（6分） ①若21k e ≤<，则120x -<≤，∴当()12,x x ∈-时，()'0F x <，当()1,x x ∈+∞时，()'0F x >，即F （x ）在()12,x x ∈-单调递减，在()1,x +∞单调递增，故()F x 在1x x =取最小值()1F x ， 而()()2111111224220F x x x x x x =+---=-+≥．∴当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()f x kg x ≤恒成立． ．（8分） ②若2k e =，则()()()22'22x F x ex e e =+-，∴当2x ≥-时，()'0F x ≥，∴()F x 在()2,-+∞单调递增，而()20F -=，∴当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()f x kg x ≤恒成立， ③若2k e >，则()()22222220F kee k e ---=-+=--<，∴当2x ≥-时，()()f x kg x ≤不可能恒成立． ．（10分）综上所述，k 的取值范围为21,e ⎡⎤⎣⎦．（12分） 考点：用导数研究函数的性质． 【此处有视频，请去附件查看】20.对于集合M ，定义函数()1,1,.x MM f x x M -∈⎧=∉⎨⎩对于两个集合M ，N ，定义集合()(){|1}.M N M N x f x f x =⋅=-已知{2,A =4，6，8，10}，{1,B =2，4，8，16}．(Ⅰ)写出()1A f 和()1B f 的值，并用列举法写出集合A B ；(Ⅱ)用()Card M 表示有限集合M 所含元素的个数，求()()Card X A Card X B +的最小值；(Ⅲ)有多少个集合对(),P Q ，满足P ，Q A B ⊆⋃，且()()P A Q B A B =？【答案】(1)()11A f =,()11B f =-,{}Δ1,6,10,16A B =，(2)4，（3）128 【解析】试题分析：（Ⅰ）依据定义直接得到答案；（Ⅱ）根据题意可知：对于集合,C X ,①a C ∈且a X ∉,则{}()()(Δ1Card C X a Card C X ∆⋃=-;②若a C ∉且a X ∉,则{}()()(ΔΔ1Card C X a Card C X ⋃=+.，据此结论找出满足条件的集合，从而求出()()ΔΔCard X A Card X B +的最小值．（Ⅲ）由P ，Q ⊆A ∪B ，且（P △A ）△（Q △B ）=A △B求出集合P ，Q 所满足的条件，进而确定集合对（P ，Q ）的个数． 试题解析：(Ⅰ)()11A f =,()11B f =-,{}Δ1,6,10,16A B =. (Ⅱ)根据题意可知：对于集合,C X ,①a C ∈且a X ∉,则{}()()(Δ1Card C X a Card C X ∆⋃=-; ②若a C ∉且a X ∉,则{}()()(ΔΔ1Card C X a Card C X ⋃=+.所以要使()()ΔΔCard X A Card X B +的值最小,2,4,8一定属于集合X ;1,6,10,16是否属于X 不影响()()ΔΔCard X A Card X B +的值;集合X 不能含有A B ⋃之外的元素. 所以当X 为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时,()()ΔΔCard X A Card X B +取到最小值4.(Ⅲ)因为()(){|1}A B A B x f x f x ∆=⋅=-, 所以ΔΔA B B A =.由定义可知：()()()ΔA B A B f x f x f x =⋅.所以对任意元素x ,()()()()()()()ΔΔΔA B C A B C A B C f x f x f x f x f x f x =⋅=⋅⋅,()()()()()()()ΔΔΔA B C A B C A B C f x f x f x f x f x f x =⋅=⋅⋅.所以()()()()ΔΔΔΔA B C A B C f x f x =. 所以()()ΔΔΔΔA B C A B C =.由()()ΔΔΔΔP A Q B A B =知：()()ΔΔΔΔP Q A B A B =. 所以()()()()()ΔΔΔΔΔΔΔΔP Q A B A B A B A B =.所以ΔΔP Q ∅=∅. 所以ΔP Q =∅,即P Q =. 因为,P Q A B ⊆⋃,所以满足题意的集合对(),P Q 的个数为72128=.点睛：本题主要考查新定义问题、集合与集合间的基本关系、函数、集合的基本运算，考查了分类讨论思想与逻辑推理能力.(1)由题意易得结论；(2)根据题意可知：对于集合,C X ,若a C ∈且a X ∉,则{}()()(Δ1Card C X a Card C X ∆⋃=-;若a C ∉且a X ∉,则{}()()(ΔΔ1Card C X a Card C X ⋃=+，由此可得结论；(3)由题意易得ΔΔA B B A =，由定义可知：()()()ΔA B A B f x f x f x =⋅，易知()()()()ΔΔΔΔA B C A B C f x f x =，由()()ΔΔΔΔP A Q B A B =可得()()ΔΔΔΔP Q A B A B =，则结论易得.。
北京市人大附中2020_2021学年高一数学10月段考试题一含解析
即2x2＋3x－3＜0，
解得 ，
即 ＜x＜0.
综上可知，不等式的解集为 .选D.
点睛：根据定义利用分段讨论法，将不等式转化为三个不等式组，分别求解集，最后求并集．
8. 【2017北京西城二模理8】有三支股票A，B，C，28位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票．在不持有A股票的人中，持有B股票的人数是持有C股票的人数的2倍．在持有A股票的人中，只持有A股票的人数比除了持有A股票外，同时还持有其它股票的人数多1．在只持有一支股票的人中，有一半持有A股票．则只持有B股票的股民人数是（ ）
的在 ， 上的最小值，大于或等于4．
（1）当 时，对于一次函数 ，当 时， 最小值为 ，
故有 ，求得 ．
（2）当 时，对于一次函数 ，
当 时， 的最小值为 ，
故有 ，求得 ．
综上可得，存在 或 ，满足题中条件．
【点评】本题主要考查韦达定理，求函数的最值，函数的恒成立问题，属于中档题．
18.已知集合 .求该集合具有下列性质的子集个数：每个子集至少含有 个元素，且每个子集中任意两个元素的差的绝对值大于1.
【答案】见解析
【解析】
【详解】设 是集合 的具有题设性质的子集个数.
集合 的具有题设性质的子集可分为两类：第一类子集包含元素 ，这样的子集有 个（即每个 的这种子集与 的并集，以及 ）；第二类子集不包含 ，这样的子集有 个.
于是，有 .
显然， （即 ）
.
【答案】3
【解析】
【分析】
运用新定义，逐个验证，即可得到结论．
【详解】当 时，
当 时，
当 时，
当 时，
当 时，