备战高考数学一轮复习第2单元函数的概念、性质与初等函数单元训练(A卷,理,含解析)
2022届高考一轮复习第2章函数的概念及基本初等函数ⅰ第2节函数的单调性与最值课时跟踪检测理含解
第二章 函数的概念及基本初等函数(Ⅰ)第二节 函数的单调性与最值A 级·基础过关 |固根基|1.下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．y ＝x ＋1x解析：选A 函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上是增函数． 2．如果函数f(x)＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0 解析：选D 当a ＝0时，f(x)＝2x －3在定义域R 上单调递增，故在(－∞，4)上单调递增； 当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x ＝－1a ，因为f(x)在(－∞，4)上单调递增， 所以a<0，且－1a ≥4，解得－14≤a<0.综上，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0.3．已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 解析：选D 因为函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f(2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13， 所以0≤2x－1<13，解得12≤x<23.4．设偶函数f(x)的定义域为R ，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( )A ．f (π)>f(－3)>f(－2)B ．f (π)>f(－2)>f(－3)C ．f (π)<f(－3)<f(－2)D ．f (π)<f(－2)<f(－3) 解析：选A 因为f(x)是偶函数， 所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)． 又因为函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数， 所以f(π)>f(3)>f(2)，即f(π)>f(－3)>f(－2)．5．函数y ＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则函数g(x)＝f(log a x)(0<a<1)的单调递减区间是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 B ．[a ，1] C ．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ D ．[a ，a ＋1 ]解析：选B 由图象，知f(x)在(－∞，0)和⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减，而在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上单调递增．又因为当0<a<1时，y ＝log a x 为(0，＋∞)上的减函数，所以要使g(x)＝f(log a x)单调递减，则需log a x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，即0≤log a x ≤12，解得x∈[a ，1]．6．定义新运算⊕：当a≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a<b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f(x)＝(1⊕x)x －(2⊕x)，x∈[－2，2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C 由已知得，当－2≤x≤1时，f(x)＝x －2； 当1<x≤2时，f(x)＝x 3－2.因为f(x)＝x 3－2，f(x)＝x －2在定义域内都为增函数，且f(1)<f(2)， 所以f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.7．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x≥1，2x ，x<1的值域为________．解析：当x≥1时，log 12x≤0；当x<1时，0<2x<2，故f(x)的值域为(0，2)∪(－∞，0]＝(－∞，2)．答案：(－∞，2)8．函数f(x)＝x ＋2x －1 的值域为________． 解析：由2x －1≥0，得x≥12，∴函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 又函数f(x)＝x ＋2x －1在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，∴当x ＝12时，函数取最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，∴函数f(x)的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞9．已知f(x)＝xx －a(x≠a)． (1)若a ＝－2，证明：f(x)在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围． 解：(1)证明：任取x 1<x 2<－2， 当a ＝－2时，f(x 1)－f(x 2)＝ x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2（x 1－x 2）（x 1＋2）（x 2＋2）. ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， ∴f(x 1)－f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)， ∴f(x)在(－∞，－2)上单调递增．(2)任取1<x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a （x 2－x 1）（x 1－a ）（x 2－a ）.∵a>0，x 2－x 1>0，∴要使f(x 1)－f(x 2)>0，只需(x 1－a)(x 2－a)>0在(1，＋∞)上恒成立，∴a≤1.综上所述知a 的取值范围是(0，1]．10．(2019届福建师大附中模拟)定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足下面三个条件： ①对任意正数a ，b ，都有f(a)＋f(b)＝f(ab)； ②当x>1时，f(x)<0； ③f(2)＝－1. (1)求f(1)的值；(2)用单调性的定义证明：函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数； (3)求满足f(3x －1)>2的x 的取值集合．解：(1)由f(a)＋f(b)＝f(ab)，得f(1)＋f(1)＝f(1)，则f(1)＝0. (2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1<x 2，则f(x 1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1＝f(x 2)，所以f(x 2)－f(x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1. 由x 2x 1>1，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1<0，即f(x 2)<f(x 1)，∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数.(3)∵f(2)＝－1，∴f(4)＝f(2)＋f(2)＝－2，又f(4)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝f(1)＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝2.又f(x)的定义域为(0，＋∞)，且在其上是减函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3x －1<14，3x －1>0，解得13<x<512. 故满足要求的x 的取值集合为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，512.B 级·素养提升 |练能力|11.设a>0且a≠1，则“函数f(x)＝a x在R 上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x 3在R 上是增函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若函数f(x)＝a x在R 上为减函数，则有0<a<1；若函数g(x)＝(2－a)x 3在R 上为增函数，则有2－a>0，即a<2，所以“函数f(x)＝a x在R 上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件，故选A ．12．已知在函数f(x)＝lg(a x－b x)＋x 中，常数a ，b 满足a>1>b>0，且a ＝b ＋1，那么f(x)>1的解集为( )A ．(0，1)B ．(1，＋∞)C ．(1，10)D ．(10，＋∞) 解析：选B 由a x－b x>0，a>1>b>0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a b x>1，解得x>0，所以函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．因为a>1>b>0，所以y ＝a x单调递增，y ＝－b x单调递增，所以t ＝a x－b x单调递增．又y ＝lg t 单调递增，所以f(x)＝lg(a x－b x)＋x 为(0，＋∞)上的增函数．而f(1)＝lg(a －b)＋1＝lg 1＋1＝1，所以当x>1时，f(x)>1，故f(x)>1的解集为(1，＋∞)．故选B ．13．如果函数y ＝f(x)在区间I 上是增函数，且函数y ＝f （x ）x 在区间I 上是减函数，那么称函数y＝f(x)是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”．若函数f(x)＝12x 2－x ＋32是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为( )A ．[1，＋∞)B ．[0，3]C ．[0，1]D ．[1，3]解析：选D 因为函数f(x)＝12x 2－x ＋32的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数．又当x≥1时，f （x ）x ＝12x ＋32x －1，令g(x)＝12x ＋32x －1(x≥1)，则g′(x)＝12－32x 2＝x 2－32x 2，由g′(x)≤0，得1≤x ≤3，即函数f （x ）x ＝12x －1＋32x 在区间[1，3]上单调递减，故“缓增区间”I 为[1，3]．故选D ． 14．定义运算：x y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，xy≥0，y ，xy<0，例如：34＝3，(－2)4＝4，则函数f(x)＝x2(2x －x 2)的最大值为________．解析：由已知，得f(x)＝x2(2x －x 2)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x 2（2x －x 2）≥0，2x －x 2，x 2（2x －x 2）<0＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x≤2，2x －x 2，x<0或x>2，易知函数f(x)的最大值为4. 答案：4。
高考数学一轮复习考点与题型总结：第二章 函数的概念与基本初等函数
精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节函数及其表示一、基础知识1．函数与映射的概念2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．求函数定义域的策略(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．(2)如果函数y＝f(x)是用表格给出，则表格中x的集合即为定义域．(3)如果函数y＝f(x)是用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据.两函数值域与对应关系相同时，两函数不一定相同．(4)函数的表示法：表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．关于分段函数的3个注意(1)分段函数虽然由几个部分构成，但它表示同一个函数．(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．(3)各段函数的定义域不可以相交．考点一函数的定义域[典例] (1)(2019·长春质检)函数y ＝ln (1－x )x ＋1＋1x 的定义域是( )A ．[－1,0)∪(0,1)B ．[－1,0)∪(0,1]C ．(－1,0)∪(0,1]D ．(－1,0)∪(0,1)(2)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) B.⎝⎛⎭⎫－1，－12 C ．(－1,0)D.⎝⎛⎭⎫12，1[解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋1>0，x ≠0，解得－1<x <0或0<x <1.所以原函数的定义域为(－1,0)∪(0,1)．(2)令u ＝2x ＋1，由f (x )的定义域为(－1,0)，可知－1<u <0，即－1<2x ＋1<0， 得－1<x <－12.[答案] (1)D (2)B [解题技法]1．使函数解析式有意义的一般准则 (1)分式中的分母不为0； (2)偶次根式的被开方数非负； (3)y ＝x 0要求x ≠0；(4)对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1； (5)正切函数y ＝tan x ，x ≠k π＋π2(k ∈Z)；(6)实际问题中除考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求． 2．抽象函数的定义域问题(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域．[题组训练]1.函数f (x )＝1ln (x ＋1)＋4－x 2的定义域为( )A ．[－2,0)∪(0,2]B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2]解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，ln (x ＋1)≠0，4－x 2≥0，得－1<x ≤2，且x ≠0.2.若函数y ＝f (x )的定义域是[1,2 019]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是________________．解析：因为y ＝f (x )的定义域是[1,2 019]，所以若g (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋1≤2 019，x －1≠0，所以0≤x ≤2 018，且x ≠1.因此g (x )的定义域是{x |0≤x ≤2 018，且x ≠1}． 答案：{x |0≤x ≤2 018，且x ≠1}考点二 求函数的解析式[典例] (1)已知二次函数f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，求f (x )； (2)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x ，求f (x )． [解] (1)法一：待定系数法因为f (x )是二次函数，所以设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)2＋b (2x ＋1)＋c ＝4ax 2＋(4a ＋2b )x ＋a ＋b ＋c .因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝－6，a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－5，c ＝9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)． 法二：换元法令2x ＋1＝t (t ∈R)，则x ＝t －12，所以f (t )＝4⎝⎛⎭⎫t －122－6·t －12＋5＝t 2－5t ＋9(t ∈R)，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)． 法三：配凑法因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5＝(2x ＋1)2－10x ＋4＝(2x ＋1)2－5(2x ＋1)＋9， 所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)．(2)解方程组法由f (－x )＋2f (x )＝2x ， ① 得f (x )＋2f (－x )＝2－x ，② ①×2－②，得3f (x )＝2x ＋1－2－x . 即f (x )＝2x ＋1－2－x3.故f (x )的解析式是f (x )＝2x ＋1－2－x3(x ∈R)．[解题技法] 求函数解析式的4种方法及适用条件 (1)待定系数法先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数．(2)换元法对于形如y ＝f (g (x ))的函数解析式，令t ＝g (x )，从中求出x ＝φ(t )，然后代入表达式求出f (t )，再将t 换成x ，得到f (x )的解析式，要注意新元的取值范围．(3)配凑法由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式．(4)解方程组法已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．[提醒] 由于函数的解析式相同，定义域不同，则为不相同的函数，因此求函数的解析式时，如果定义域不是R ，一定要注明函数的定义域．[题组训练]1.[口诀第2句]已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，则f (x )＝________________.解析：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx . 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x (x ∈R)．答案：12x 2＋12x (x ∈R)2.[口诀第3句]已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )＝________________.解析：令2x ＋1＝t ，得x ＝2t －1，则f (t )＝lg 2t －1，又x >0，所以t >1，故f (x )的解析式是f (x )＝lg2x －1(x >1)． 答案：lg2x －1(x >1) 3.[口诀第4句]已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，则f (x )＝________. 解析：∵2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，①把①中的x 换成1x ，得2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x.② 联立①②可得⎩⎨⎧2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x，解此方程组可得f (x )＝2x －1x(x ≠0)．答案：2x －1x (x ≠0)考点三 分段函数考法(一) 求函数值[典例] (2019·石家庄模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，a x ＋b ，x ≤0(0<a <1)，且f (－2)＝5，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3[解析] 由题意得，f (－2)＝a －2＋b ＝5，① f (－1)＝a －1＋b ＝3，②联立①②，结合0<a <1，得a ＝12，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，⎝⎛⎭⎫12x ＋1，x ≤0，则f (－3)＝⎝⎛⎭⎫12－3＋1＝9，f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2. [答案] B[解题技法] 求分段函数的函数值的策略(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值；(2)当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值；(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．考法(二) 求参数或自变量的值(或范围)[典例] (2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)[解析] 法一：分类讨论法①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)<f (2x )，即为2－(x ＋1)<2－2x，即－(x ＋1)<－2x ，解得x <1. 因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x >0时，不等式组无解．③当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x ≤0，即－1<x ≤0时，f (x ＋1)<f (2x )，即为1<2－2x，解得x <0.因此不等式的解集为(－1,0)．④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x >0，即x >0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)<f (2x )的解集为(－∞，0)． 法二：数形结合法∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，∴函数f (x )的图象如图所示． 结合图象知，要使f (x ＋1)<f (2x )， 则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0，∴x <0，故选D. [答案] D[解题技法]已知函数值(或范围)求自变量的值(或范围)的方法(1)根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围，最后将各段的结果合起来(求并集)即可；(2)如果分段函数的图象易得，也可以画出函数图象后结合图象求解．[题组训练]1．设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0＜x ＜1，2(x －1)，x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C 当0＜a ＜1时，a ＋1＞1，f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴a ＝2a ， 解得a ＝14或a ＝0(舍去)．∴f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6.当a ≥1时，a ＋1≥2，f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴2(a －1)＝2a ，无解． 综上，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝6.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤1，f (x －1)，x >1，则f (f (3))＝________.解析：由题意，得f (3)＝f (2)＝f (1)＝21＝2，∴f (f (3))＝f (2)＝2. 答案：23．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是________．解析：由题意知，可对不等式分x ≤0,0<x ≤12，x >12讨论．①当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，故－14<x ≤0.②当0<x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋12>1，显然成立．③当x >12时，原不等式为2x ＋2x －12>1，显然成立．综上可知，所求x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ 4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是____________．解析：若a <0，则f (a )<1⇔⎝⎛⎭⎫12a－7<1⇔⎝⎛⎭⎫12a <8，解得a >－3，故－3<a <0； 若a ≥0，则f (a )<1⇔a <1，解得a <1，故0≤a <1. 综上可得－3<a <1. 答案：(－3,1)[课时跟踪检测]1．下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ①中当x ＞0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象；②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象；③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象．故选B.2．函数f (x )＝2x －1＋1x －2的定义域为( ) A ．[0,2)B ．(2，＋∞)C ．[0,2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)解析：选C 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥0，且x ≠2.3．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( ) A.74 B ．－74C.43D ．－43解析：选A 令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a ＝74.4．(2019·贵阳检测)下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝ln x C ．y ＝13x －1D ．y ＝x ＋1x －1解析：选D 对于A ，定义域为[1，＋∞)，值域为[0，＋∞)，不满足题意；对于B ，定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足题意；对于C ，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，不满足题意；对于D ，y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，值域也是(－∞，1)∪(1，＋∞)．5．(2018·福建期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋a ，x >0，4x －2－1，x ≤0.若f (a )＝3，则f (a －2)＝( )A ．－1516B ．3C ．－6364或3D ．－1516或3解析：选A 当a >0时，若f (a )＝3，则log 2a ＋a ＝3，解得a ＝2(满足a >0)；当a ≤0时，若f (a )＝3，则4a －2－1＝3，解得a ＝3，不满足a ≤0，所以舍去．于是，可得a ＝2.故f (a －2)＝f (0)＝4－2－1＝－1516.6．已知函数y ＝f (2x －1)的定义域是[0,1]，则函数f (2x ＋1)log 2(x ＋1)的定义域是( )A ．[1,2]B ．(－1,1] C.⎣⎡⎦⎤－12，0 D ．(－1,0)解析：选D 由f (2x －1)的定义域是[0,1]， 得0≤x ≤1，故－1≤2x －1≤1， ∴f (x )的定义域是[－1,1]， ∴要使函数f (2x ＋1)log 2(x ＋1)有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤2x ＋1≤1，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0.7．下列函数中，不满足f (2 018x )＝2 018f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋2D ．f (x )＝－2x解析：选C 若f (x )＝|x |，则f (2 018x )＝|2 018x |＝2 018|x |＝2 018f (x )；若f (x )＝x －|x |，则f (2 018x )＝2 018x －|2 018x |＝2 018(x －|x |)＝2 018f (x )；若f (x )＝x ＋2，则f (2 018x )＝2 018x ＋2，而2 018f (x )＝2 018x ＋2 018×2，故f (x )＝x ＋2不满足f (2 018x )＝2 018f (x )；若f (x )＝－2x ，则f (2 018x )＝－2×2 018x ＝2 018×(－2x )＝2 018f (x )．故选C.8．已知具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数： ①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足题意；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x<1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足题意．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.9．(2019·青岛模拟)函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________． 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x >0，1－x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，－1≤x ≤1⇒0<x ≤1.所以该函数的定义域为(0,1]． 答案：(0,1]10．(2019·益阳、湘潭调研)若函数f (x )＝⎩⎨⎧lg (1－x )，x <0，－2x ，x ≥0，则f (f (－9))＝________.解析：∵函数f (x )＝⎩⎨⎧lg (1－x )，x <0，－2x ，x ≥0，∴f (－9)＝lg 10＝1，∴f (f (－9))＝f (1)＝－2.答案：－211．(2018·张掖一诊)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________．解析：∵f (1)＝2，且f (1)＋f (a )＝0，∴f (a )＝－2＜0，故a ≤0. 依题知a ＋1＝－2，解得a ＝－3. 答案：－312．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，－(x －1)2，x ＞0，使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－(x －1)2≥－1， 解得－4≤x ≤0或0＜x ≤2， 故所求x 的取值范围是[－4,2]． 答案：[－4,2]13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ＜0，2x ，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)．(1)求函数f (x )的解析式；(2)在如图所示的直角坐标系中画出f (x )的图象．解：(1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ＜0，2x ，x ≥0.(2)函数f (x )的图象如图所示．第二节函数的单调性与最值一、基础知识1．增函数、减函数定义：设函数f(x)的定义域为I：(1)增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数．(2)减函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．增(减)函数定义中的x1，x2的三个特征一是任意性；二是有大小，即x1<x2(x1>x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可．2．单调性、单调区间若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.有关单调区间的两个防范(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示．(2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接．3．函数的最值设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M或f(x)≥M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值或最小值．函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．二、常用结论在公共定义域内：(1)函数f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)＋g(x)是增函数；(2)函数f (x )单调递减，g (x )单调递减，则f (x )＋g (x )是减函数； (3)函数f (x )单调递增，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )是增函数； (4)函数f (x )单调递减，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )是减函数；(5)若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反； (6)函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f (x )的单调性相反；(7)复合函数y ＝f [g (x )]的单调性与y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性有关．简记：“同增异减”．考点一 确定函数的单调性(区间))[典例] (1)求函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋1的单调区间． (2)试讨论函数f (x )＝ax x －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．[解] (1)易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x <0. 画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．(2)法一：定义法 设－1<x 1<x 2<1， f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1，则f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 1－1－a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1＝a (x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1).由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0， 故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上单调递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上单调递增． 法二：导数法f ′(x )＝(ax )′(x －1)－ax (x －1)′(x －1)2＝a (x －1)－ax (x －1)2＝－a(x －1)2. 当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1,1)上单调递减； 当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1,1)上单调递增．[解题技法] 判断函数单调性和求单调区间的方法(1)定义法：一般步骤为设元―→作差―→变形―→判断符号―→得出结论．(2)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性．(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调性及区间．(4)性质法：对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及复合函数单调性性质进行判断；复合函数单调性，可用同增异减来确定．[题组训练]1．下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( ) A ．f (x )＝2x B ．f (x )＝|x －1| C ．f (x )＝1x－xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：选C 由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A 、D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调；对于f (x )＝1x －x ，因为y ＝1x 与y＝－x 在(0，＋∞)上单调递减，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数．2．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)解析：选D 令t ＝x 2－4，则y ＝log 12t .因为y ＝log 12t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．3．判断函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，＋∞)上的单调性．解：设x 1，x 2是任意两个正数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 1＋a x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋a x 2＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－a )． 当0<x 1<x 2≤a 时，0<x 1x 2<a ，x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 所以函数f (x )在(0，a ]上是减函数； 当a ≤x 1<x 2时，x 1x 2>a ，x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 所以函数f (x )在[a ，＋∞)上是增函数．综上可知，函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．考点二 求函数的值域(最值))[典例] (1)(2019•深圳调研)函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为________．(2)若函数f (x )＝－ax＋b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为⎣⎡⎦⎤12，2，则a ＝________，b ＝________. (3)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－4x ，x ≤0，sin x ，x >0的最大值为________．[解析] (1)图象法函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x ≤－1，3，－1<x <2，2x －1，x ≥2.作出函数的图象如图所示．根据图象可知，函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为[3，＋∞)． (2)单调性法∵f (x )＝－ax ＋b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数， ∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝12，f (x )max ＝f (2)＝2.即⎩⎨⎧－2a ＋b ＝12，－a2＋b ＝2，解得a ＝1，b ＝52.(3)当x ≤0时，f (x )＝－x 2－4x ＝－(x ＋2)2＋4，而－2∈(－∞，0]，此时f (x )在x ＝－2处取得最大值，且f (－2)＝4；当x >0时，f (x )＝sin x ，此时f (x )在区间(0，＋∞)上的最大值为1.综上所述，函数f (x )的最大值为4.[答案] (1)[3，＋∞) (2)1 52 (3)4[提醒] (1)求函数的最值时，应先确定函数的定义域．(2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值．[题组训练]1．函数f (x )＝x 2＋4x 的值域为________．解析：当x >0时，f (x )＝x ＋4x ≥4，当且仅当x ＝2时取等号； 当x <0时，－x ＋⎝⎛⎭⎫－4x ≥4， 即f (x )＝x ＋4x ≤－4，当且仅当x ＝－2取等号，所以函数f (x )的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)． 答案：(－∞，－4]∪[4，＋∞)2．若x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3，则函数y ＝4sin 2x －12sin x －1的最大值为________，最小值为________．解析：令t ＝sin x ，因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3， 所以t ∈⎣⎡⎦⎤－12，1，y ＝f (t )＝4t 2－12t －1， 因为该二次函数的图象开口向上，且对称轴为t ＝32，所以当t ∈⎣⎡⎦⎤－12，1时，函数f (t )单调递减，所以当t ＝－12时，y max ＝6；当t ＝1时，y min ＝－9. 答案：6 －93．已知f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，x ∈[1，＋∞)，且a ≤1.若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立等价于x 2＋2x ＋a >0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，即a >－x 2－2x 在x ∈[1，＋∞)上恒成立．又函数y ＝－x 2－2x 在[1，＋∞)上单调递减， ∴(－x 2－2x )max ＝－3，故a >－3，又∵a ≤1，∴－3<a ≤1. 答案：(－3,1]考点三 函数单调性的应用考法(一) 比较函数值的大小[典例] 设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( )A ．f (π)>f (－3)>f (－2)B ．f (π)>f (－2)>f (－3)C ．f (π)<f (－3)<f (－2)D ．f (π)<f (－2)<f (－3)[解析] 因为f (x )是偶函数，所以f (－3)＝f (3)，f (－2)＝f (2)． 又因为函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数． 所以f (π)>f (3)>f (2)，即f (π)>f (－3)>f (－2)． [答案] A[解题技法] 比较函数值大小的解题思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．考法(二) 解函数不等式[典例] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <2，x 2，x ≥2.若f (a ＋1)≥f (2a －1)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，2]C ．[2,6]D ．[2，＋∞)[解析] 易知函数f (x )在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，∵f (a ＋1)≥f (2a －1)， ∴a ＋1≥2a －1，解得a ≤2.故实数a 的取值范围是(－∞，2]． [答案] B[解题技法] 求解含“f ”的函数不等式的解题思路先利用函数的相关性质将不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，再根据函数的单调性去掉“f ”，得到一般的不等式g (x )>h (x )(或g (x )<h (x ))．考法(三) 利用单调性求参数的范围(或值)[典例] (2019•南京调研)已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．[解析] 设1<x 1<x 2，∴x 1x 2>1. ∵函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数， ∴f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a2－⎝⎛⎭⎫x 2－a x 2＋a 2 ＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1＋a x 1x 2<0.∵x 1－x 2<0，∴1＋ax 1x 2>0，即a >－x 1x 2.∵1<x 1<x 2，x 1x 2>1，∴－x 1x 2<－1，∴a ≥－1. ∴a 的取值范围是[－1，＋∞)． [答案] [－1，＋∞)[解题技法]利用单调性求参数的范围(或值)的方法(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；(2)需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．[题组训练]1．已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >bD ．b >a >c解析：选D 由于函数f (x )的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y 轴对称，故函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52.当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，等价于函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以b >a >c .2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x －14，x ≤1，log a x －1，x >1是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫14，12 B.⎣⎡⎦⎤14，12 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D.⎣⎡⎭⎫12，1解析：选B 由对数函数的定义可得a >0，且a ≠1.又函数f (x )在R 上单调，而二次函数y ＝ax 2－x －14的图象开口向上，所以函数f (x )在R 上单调递减，故有⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，12a≥1，a ×12－1－14≥log a1－1，即⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，0<a ≤12，a ≥14.所以a ∈⎣⎡⎦⎤14，12.[课时跟踪检测]A 级1．下列四个函数中，在x ∈(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |解析：选C 当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数，当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．2．若函数f (x )＝ax ＋1在R 上单调递减，则函数g (x )＝a (x 2－4x ＋3)的单调递增区间是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(4，＋∞)D ．(－∞，4)解析：选B 因为f (x )＝ax ＋1在R 上单调递减，所以a <0. 而g (x )＝a (x 2－4x ＋3)＝a (x －2)2－a .因为a <0，所以g (x )在(－∞，2)上单调递增．3．已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23 B.⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎣⎡⎭⎫12，23解析：选D 因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13. 所以0≤2x －1＜13，解得12≤x ＜23.4．(2019·菏泽模拟)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C 由题意知当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2，又f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在相应的定义域内都为增函数，且f (1)＝－1，f (2)＝6，∴f (x )的最大值为6.5．已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，那么不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(全集为R)( )A ．(－1,2)B ．(1,4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)解析：选D 由函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，知不等式－3＜f (x ＋1)＜1即为f (0)＜f (x ＋1)＜f (3)，所以0＜x ＋1＜3，所以－1＜x ＜2，故不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－ax －5，x ≤1，a x ，x >1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3,0)B ．(－∞，－2]C ．[－3，－2]D ．(－∞，0)解析：选C 若f (x )是R 上的增函数，则应满足⎩⎪⎨⎪⎧－a2≥1，a <0，－12－a ×1－5≤a 1，解得－3≤a ≤－2.7．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为________．解析：设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3，所以函数f (x )的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t ＝x 2－2x －3在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)8．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．解析：当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函数f (x )的最大值为2.答案：29．若函数f (x )＝1x 在区间[2，a ]上的最大值与最小值的和为34，则a ＝________.解析：由f (x )＝1x 的图象知，f (x )＝1x 在(0，＋∞)上是减函数，∵[2，a ]⊆(0，＋∞)，∴f (x )＝1x 在[2，a ]上也是减函数，∴f (x )max ＝f (2)＝12，f (x )min ＝f (a )＝1a ，∴12＋1a ＝34，∴a ＝4. 答案：410．(2019·甘肃会宁联考)若f (x )＝x ＋a －1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．解析：f (x )＝x ＋a －1x ＋2＝x ＋2＋a －3x ＋2＝1＋a －3x ＋2，要使函数在区间(－2，＋∞)上是增函数，需使a －3<0，解得a <3.答案：(－∞，3)11．已知函数f (x )＝1a －1x (a ＞0，x ＞0)．(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的值． 解：(1)证明：任取x 1＞x 2＞0， 则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，∵x 1＞x 2＞0，∴x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0， ∴f (x 1)－f (x 2)＞0， 即f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由(1)可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫12＝1a －2＝12，f (2)＝1a －12＝2， 解得a ＝25.12．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围． 解：(1)证明：当a ＝－2时，f (x )＝xx ＋2.任取x 1，x 2∈(－∞，－2)，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). 因为(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0， 所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 所以f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). 因为a ＞0，x 2－x 1＞0，又由题意知f (x 1)－f (x 2)＞0， 所以(x 1－a )(x 2－a )＞0恒成立，所以a ≤1. 所以0＜a ≤1.所以a 的取值范围为(0,1]．B 级1．若f (x )＝－x 2＋4mx 与g (x )＝2mx ＋1在区间[2,4]上都是减函数，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(0,1]B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0，＋∞)D ．(0,1]解析：选D 函数f (x )＝－x 2＋4mx 的图象开口向下，且以直线x ＝2m 为对称轴，若在区间[2,4]上是减函数，则2m ≤2，解得m ≤1；g (x )＝2m x ＋1的图象由y ＝2mx 的图象向左平移一个单位长度得到，若在区间[2,4]上是减函数，则2m >0，解得m >0.综上可得，m 的取值范围是(0,1]．2．已知函数f (x )＝ln x ＋x ，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则正数a 的取值范围是________． 解析：因为f (x )＝ln x ＋x 在(0，＋∞)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a >a ＋3，a 2－a >0，a ＋3>0，解得－3<a <－1或a >3.又a >0，所以a >3. 答案：(3，＋∞)3．已知定义在R 上的函数f (x )满足：①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋1，②当x >0时，f (x )>－1. (1)求f (0)的值，并证明f (x )在R 上是单调增函数; (2)若f (1)＝1，解关于x 的不等式f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4. 解：(1)令x ＝y ＝0，得f (0)＝－1.在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0，f (x 1－x 2)>－1. 又f (x 1)＝f [(x 1－x 2)＋x 2]＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)＋1>f (x 2)， 所以函数f (x )在R 上是单调增函数． (2)由f (1)＝1，得f (2)＝3，f (3)＝5.由f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4得f (x 2＋x ＋1)>f (3)， 又函数f (x )在R 上是增函数，故x 2＋x ＋1>3， 解得x <－2或x >1，故原不等式的解集为{x |x <－2或x >1}．第三节 函数的奇偶性与周期性一、基础知1．函数的奇偶性函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．若f (x )≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：(1)f (－x )＝f (x )⇔f (－x )－f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝1⇔f (x )为偶函数；(2)f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝－1⇔f (x )为奇函数．2．函数的周期性 (1)周期函数对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．周期函数定义的实质存在一个非零常数T ，使f (x ＋T )＝f (x )为恒等式，即自变量x 每增加一个T 后，函数值就会重复出现一次．(2)最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．二、常用结论1．函数奇偶性常用结论(1)如果函数f (x )是奇函数且在x ＝0处有定义，则一定有f (0)＝0；如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．函数周期性常用结论 对f (x )定义域内任一自变量x ： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0)． (2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a (a >0)． (3)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a (a >0)．3．函数图象的对称性(1)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，即f (a －x )＝f (a ＋x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．(2)若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )或f (－x )＝f (2a ＋x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．(3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，即f (－x ＋b )＋f (x ＋b )＝0，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．考点一 函数奇偶性的判断[典例] 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝36－x 2|x ＋3|－3；(2)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (3)f (x )＝log 2(1－x 2)|x －2|－2；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，x 2－x ，x >0.[解] (1)由f (x )＝36－x 2|x ＋3|－3，可知⎩⎪⎨⎪⎧ 36－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－6≤x ≤6，x ≠0且x ≠－6，故函数f (x )的定义域为(－6,0)∪(0,6]，定义域不关于原点对称，故f (x )为非奇非偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，x 2－1≥0⇒x 2＝1⇒x ＝±1，故函数f (x )的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f (x )＝0，所以f (－x )＝f (x )＝－f (x )，所以函数f (x )既是奇函数又是偶函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，|x －2|－2≠0⇒－1<x <0或0<x <1，定义域关于原点对称．此时f (x )＝log 2(1－x 2)|x －2|－2＝log 2(1－x 2)2－x －2＝－log 2(1－x 2)x ，故有f (－x )＝－log 2[1－(－x )2]－x ＝log 2(1－x 2)x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数． (4)法一：图象法画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，x 2－x ，x >0的图象如图所示，图象关于y 轴对称，故f (x )为偶函数．法二：定义法易知函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，－x >0，故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )；当x <0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x >0时，－x <0，故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )，故原函数是偶函数．法三：f (x )还可以写成f (x )＝x 2－|x |(x ≠0)，故f (x )为偶函数．[题组训练]1．(2018·福建期末)下列函数为偶函数的是( ) A ．y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 B ．y ＝x 2＋e |x | C ．y ＝x cos xD ．y ＝ln|x |－sin x解析：选B 对于选项A ，易知y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4为非奇非偶函数；对于选项B ，设f (x )＝x 2＋e |x |，则f (－x )＝(－x )2＋e |－x |＝x 2＋e |x |＝f (x )，所以y ＝x 2＋e |x |为偶函数；对于选项C ，设f (x )＝x cos x ，则f (－x )＝－x cos(－x )＝－x cos x ＝－f (x )，所以y ＝x cos x 为奇函数；对于选项D ，设f (x )＝ln|x |－sin x ，则f (2)＝ln 2－sin 2，f (－2)＝ln 2－sin(－2)＝ln 2＋sin 2≠f (2)，所以y ＝ln|x |－sin x 为非奇非偶函数，故选B.2．设函数f (x )＝e x －e －x2，则下列结论错误的是( )A ．|f (x )|是偶函数B ．－f (x )是奇函数C ．f (x )|f (x )|是奇函数D ．f (|x |)f (x )是偶函数解析：选D ∵f (x )＝e x －e －x2，则f (－x )＝e －x －e x2＝－f (x )．∴f (x )是奇函数． ∵f (|－x |)＝f (|x |)，∴f (|x |)是偶函数，∴f (|x |)f (x )是奇函数．考点二 函数奇偶性的应用[典例] (1)(2019·福建三明模拟)函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝2x ，则当x >0时，f (x )＝( )A ．－2xB ．2－x C ．－2－xD ．2x(2)(2018·贵阳摸底考试)已知函数f (x )＝a －2e x ＋1(a ∈R)是奇函数，则函数f (x )的值域为( )A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－3,3)D ．(－4,4)[解析] (1)当x >0时，－x <0，∵x <0时，f (x )＝2x ，∴当x >0时，f (－x )＝2－x .∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－2－x .(2)法一：由f (x )是奇函数知f (－x )＝－f (x )，所以a －2e －x＋1＝－a ＋2e x ＋1，得2a ＝2e x＋1＋2e －x ＋1，所以a ＝1e x ＋1＋e x e x ＋1＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1.因为e x ＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，－1<1－2e x ＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1,1)．法二：函数f (x )的定义域为R ，且函数f (x )是奇函数，所以f (0)＝a －1＝0，即a ＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1.因为e x ＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，－1<1－2e x ＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1,1)．[答案] (1)C (2)A[解题技法]应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法(1)求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．(2)求解析式先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式．(3)求函数解析式中参数的值利用待定系数法求解，根据f (x )±f (－x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．(4)画函数图象和判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性．[题组训练]1．(2019·贵阳检测)若函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝log 2(x ＋2)－1，则f (－6)＝( )A ．2B ．4C ．－2D ．－4解析：选C 根据题意得f (－6)＝－f (6)＝1－log 2(6＋2)＝1－3＝－2.2．已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，函数f (x )的最大值为________．解析：法一：当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝x 2＋x .又因为函数f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－x ＝－⎝⎛⎭⎫x ＋122＋14，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14. 法二：当x >0时，f (x )＝x 2－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122－14，最小值为－14，因为函数f (x )为奇函数，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14.答案：143．(2018·合肥八中模拟)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 解析：∵f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即－x ln(a ＋x 2－x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)，从而ln[(a ＋x 2)2－x 2]＝0，即ln a ＝0，故a ＝1.答案：1考点三 函数的周期性[典例] (1)(2018·开封期末)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋2)，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x ＋log 2x ，则f (2 019)＝( )A ．5 B.12C ．2D ．－2(2)(2018·江苏高考)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R)，且在区间(－2,2]上，f (x )＝⎩⎨⎧cos πx2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，则f (f (15))的值为________．[解析] (1)由f (x )＝－f (x ＋2)，得f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为4的周期函数，所以f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)＝f (1＋2)＝－f (1)＝－(2＋0)＝－2.(2)由函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R)， 可知函数f (x )的周期是4， 所以f (15)＝f (－1)＝⎪⎪⎪⎪－1＋12＝12， 所以f (f (15))＝f ⎝⎛⎭⎫12＝cos π4＝22. [答案] (1)D (2)22[题组训练]1．(2019·山西八校联考)已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f ⎝⎛⎭⎫－112＝________. 解析：∵f (x ＋2)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )， ∴f ⎝⎛⎭⎫－112＝f ⎝⎛⎭⎫52，又2≤x ≤3时，f (x )＝x ， ∴f ⎝⎛⎭⎫52＝52，∴f ⎝⎛⎭⎫－112＝52. 答案：522．(2019·哈尔滨六中期中)设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x 2－2，－2≤x ≤0，x ，0<x <1，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫214＝________. 解析：由题意可得f ⎝⎛⎭⎫214＝f ⎝⎛⎭⎫6－34＝f ⎝⎛⎭⎫－34＝4×⎝⎛⎭⎫－342－2＝14，f ⎝⎛⎭⎫14＝14.答案：14[课时跟踪检测]A 级1．下列函数为奇函数的是( ) A ．f (x )＝x 3＋1 B ．f (x )＝ln 1－x1＋xC ．f (x )＝e xD ．f (x )＝x sin x解析：选B 对于A ，f (－x )＝－x 3＋1≠－f (x )，所以其不是奇函数；对于B ，f (－x )＝ln 1＋x 1－x＝－ln1－x 1＋x＝－f (x )，所以其是奇函数；对于C ，f (－x )＝e －x ≠－f (x )，所以其不是奇函数；对于D ，f (－x )＝－x sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，所以其不是奇函数．故选B.2．(2019·南昌联考)函数f (x )＝9x ＋13x 的图象( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于坐标原点对称D ．关于直线y ＝x 对称解析：选B 因为f (x )＝9x ＋13x ＝3x ＋3－x ，易知f (x )为偶函数，所以函数f (x )的图象关于y轴对称．3．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x ＜0，则f (－7)＝( )A ．3B ．－3C ．2D ．－2解析：选B 因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x ＜0，所以f (－7)＝－f (7)＝－log 2(7＋1)＝－3.4．若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝( ) A ．e x －e －x B.12(e x ＋e －x )C.12(e －x －e x ) D.12(e x －e －x )解析：选D 因为f (x )＋g (x )＝e x ，所以f (－x )＋g (－x )＝f (x )－g (x )＝e －x ， 所以g (x )＝12(e x －e －x )．。
高考数学一轮总复习 第2章 函数的概念与基本初等函数 第二节 函数的基本性质课件(理)
奇偶性
定义
图象特点
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 偶函数 都有 f(－x)＝f(x) ，那么函数f(x)是偶 关于
y轴
对
称
函数
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 都有 f(－x)＝－f(x) ，那么函数f(x)是奇 关于
原点
对
称
函数
2.周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使 得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝ f(x) ，那么就 称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最 小的正数，那么这个 最小 正数就叫做f(x)的最小正周期.
数f(x)在区间D上是减函数
(2)单调性、单调区间的定义 若函数f(x)在区间D上是增函数或 减函数 ，则称函数f(x)在这 一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间. 2.函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
对于任意x∈I，都有 f(x)≤M ；
2
减函数，故 f(x)的单调递增区间为(－∞，－1).故选 C.
答案 C [点评] 判断函数的单调性，应首先求出函数的定义域，在定
义域内求解.
函数的奇偶性解题方略 奇偶性的判断 (1)定义法
答案 [－2，＋∞)
►单调性的两个易错点：单调性；单调区间.
(2)[函数的单调递增(减)区间有多个时，不能用并集表示，：可
以 用 逗 号 或 “ 和 ”] 函 数
f(x)
＝xBiblioteka ＋1 x的
单
调
递
增
高考数学(理)一轮复习课时训练第2章函数的概念与基本初等函数Ⅰ7
【课时训练】第7节 幂函数与二次函数一、选择题 1．(2018湖南长沙模拟)已知函数f (x )＝x12，则()A ．∃x 0∈R ，使得f (x )<0B ．∀x >0, f (x )>0C ．∃x 1，x 2∈[0，＋∞)，使得 f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0D ．∀x 1∈[0，＋∞)，∃x 2∈[0，＋∞)，使得f (x 1)>f (x 2) 【答案】B【解析】由题得，f (x )＝x ，函数的定义域为[0，＋∞)，函数的值域为[0，＋∞)，并且函数是单调递增函数，所以A 不成立，根据单调性可知C 也不成立，而D 中，当x 1＝0时，不存在x 2∈[0，＋∞)，使得f (x 1)>f (x 2)，所以D 不成立．故选B.2．(2018黑龙江哈尔滨六中月考)已知α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，12，1，2，则使f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减的α的值的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】由f (x )＝x α在(0，＋∞)上单调递减，可知αf (x )＝x α为奇函数，所以α只能取－1.3．(2018福建六校联考)若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图象不过原点，则m 的取值是( )A ．－1≤m ≤2B ．m ＝1或m ＝2C ．m ＝2D ．m ＝1 【答案】B【解析】由幂函数性质可知m2－3m＋3＝1，∴m＝1或m，∴m2－m－2≤0，即－1≤m≤2.∴m＝1或m＝2.4．(2018天津河东区模拟)若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax－5)的图象关于直线x＝0对称，则f(x)的最大值是()A．－4 B．4C．4或－4 D．不存在【答案】B【解析】由题意知，函数f(x)是偶函数，则y＝x2＋ax－5是偶函数，故af(x)＝(1－x2)(x2－5)＝－x4＋6x2－5＝－(x2－3)2x2＝3时，f(x)取最大值为4.5．(2018广东惠州一模)已知函数f(x)＝x2－m是定义在区间[－3－m，m2－m]上的奇函数，则下列成立的是()A．f(m)<f(0) B．f(m)＝f(0)C．f(m)>f(0) D．f(m)与f(0)大小不确定【答案】A【解析】因为函数f(x)是奇函数，所以－3－m＋m2－m＝0，解得m＝3或mm＝3时，函数f(x)＝x－1，定义域不是[－6,6]，不合题意；当m＝－1时，函数f(x)＝x3在定义域[－2,2]上单调递增，又m<0，所以f(m)<f(0)．6．(2018湖南岳阳一模)已知函数f(x)＝x2＋2|x|，若f(－a)＋f(a)≤2f(2)，则实数a的取值范围是()A．[－2,2]B．(－2,2]C．[－4,2]D．[－4,4]【答案】A【解析】由题意知f(2)＝8，则f(－a)＋f(a)＝2a2＋4|a|≤16，解得－2≤a≤2.7．(2018云南大理一模)设函数f(x)＝x2－23x＋60，g(x)＝f(x)＋|f(x)|，则g(1)＋g(2)＋…＋g(20)＝()A．56 B．112C．0 D．38【答案】B【解析】由二次函数图象的性质可知，当3≤x≤20时，f(x)＋|f(x)|＝0，∴g(1)＋g(2)＋…＋g(20)＝g(1)＋g(2)＝f(1)＋|f(1)|＋f(2)＋|f(2)|＝112.8．(2018河南南阳第一中学联考)已知函数f(x)＝(m2－m－1)x4m9－m5－1是幂函数，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]a，b∈R，且a＋b>0，ab<0，则f(a)＋f(b)的值() A．恒大于0 B．恒小于0C．等于0 D．无法判断【答案】A【解析】∵函数f(x)＝(m2－m－1)x4m9－m5－1是幂函数，∴m2－m－1＝1，解得m＝2或mf(x)在第一象限是增函数，当m＝2时，指数为4×29－25－1＝2 015>0，满足题意，当m＝－1时，指数为4×(－1)9－(－1)5－1＝－4<0，不满足题意．∴幂函数f(x)＝x2 015，它是定义在R上的奇函数，且是增函数．又∵a，b∈R，且a＋b>0，∴a>－b，∴f(a)>f(－b)＝－f(b)，∴f(a)＋f(b)>0.故选A.二、填空题9．(2018河南百校联盟质检)若关于x的不等式x2－4x≥m对任意x∈(0,1]恒成立，则m的取值范围为________．【答案】(－∞，－3]【解析】因为函数f(x)＝x2－4x在(0,1]上为减函数，所以当x＝1时，f(x)m i n＝1－4＝－3，所以m≤－3.10．(2018四川遂宁零诊)已知点P 1(x 1,2 018)和P 2(x 2，2 018)在二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋9的图象上，则f (x 1＋x 2)的值为________．【答案】9【解析】依题意得x 1＋x 2＝－ba ，则f (x 1＋x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a 2＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＋9＝9. 11．(2019福建泉州质检)．若二次函数f (x )＝ax 2－x ＋b 的最小值为0，则a ＋4b 的取值范围为________．【答案】[2，＋∞)【解析】由已知可得，a >0，且判别式Δ＝1－4ab ＝0，即ab ＝14，∴a ＋4b ≥24ab ＝2，即a ＋4b 的取值范围为[2，＋∞)．12．(2018江苏兴化三校联考)已知函数f (x )＝x |x －2|在[0，a ]上的值域为[0,1]，则实数a 的取值范围是________．【答案】[1,1＋2]【解析】函数f (x )＝x |x －2|＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x >2，2x －x 2，x ≤2，则易知f (x )在(－∞，1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，且过点(0,0)，(2,0)．因为由2x －x 2＝1(x ≤2)解得x ＝1，由x 2－2x ＝1(x >2)解得x ＝1＋2，且f (x )在[0，a ]上的值域为[0,1]，所以1≤a ≤1＋ 2.三、解答题13．(2018杭州模拟)已知函数h (x )＝(m 2－5m ＋1)x m ＋1为幂函数，且为奇函数．(1)求m 的值；(2)求函数g (x )＝h (x )＋1－2h (x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12的值域．【解】(1)∵函数h (x )＝(m 2－5m ＋1)x m ＋1为幂函数，∴m 2－5m ＋1＝1，解得mh (x )为奇函数，∴m ＝0.(2)由(1)可知g (x )＝x ＋1－2x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，令1－2x ＝t ，则x＝－12t 2＋12，t ∈[0,1]，∴f (t )＝－12t 2＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，故g (x )＝h (x )＋1－2h (x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.14．(2018四川成都二诊)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R )．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0，求F (2)＋F (－2)的值； (2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围．【解】(1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0， 且－b2a ＝－1，解得a ＝1，b ＝2. ∴f (x )＝(x ＋1)2.∴F (x )＝⎩⎨⎧(x ＋1)2，x >0，－(x ＋1)2，x <0.∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2－(－2＋1)2＝8.(2)由题意可知， f (x )＝x 2＋bx ，则原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0,1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x －x 在(0,1]上恒成立．又1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2， 所以－2≤b ≤b 的取值范围是[－2,0]．。
高考数学一轮复习第二章函数的概念、基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用2.2函数的单调性与最大(小)值习题
§2.2 函数的单调性与最大(小)值1．函数的单调性(1)增函数与减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I：①如果对于定义域I内某个区间D上的自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是．②如果对于定义域I内某个区间D上的自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是．(2)单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的) ，区间D叫做y＝f(x)的．2．函数的最值(1)最大值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有；②存在x0∈I，使得．那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值．(2)最小值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：①对于任意的x∈I，都有；②存在x0∈I，使得．那么我们称N是函数y＝f(x)的最小值．自查自纠1．(1)①任意两个增函数②任意两个减函数(2)单调性单调区间2．(1)①f(x)≤M②f(x0)＝M(2)①f(x)≥N②f(x0)＝N(2014·北京)下列函数中，定义域是R且为增函数的是( )A．y＝e－x B．y＝x3C．y＝ln x D．y＝|x|解：由所给选项知只有y ＝x 3的定义域是R 且为增函数．故选B .若函数y ＝ax ＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值是( ) A ．2B ．－2C ．2或－2D ．0解：当a >0时，由题意得2a ＋1－(a ＋1)＝2，即a ＝2；当a <0时，a ＋1－(2a ＋1)＝2，即a ＝－2，所以a ＝±2.故选C .(2015·湖南)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( ) A ．奇函数，且在(0，1)上是增函数 B ．奇函数，且在(0，1)上是减函数 C ．偶函数，且在(0，1)上是增函数 D ．偶函数，且在(0，1)上是减函数解：f (x )的定义域为(－1，1)，关于原点对称．又f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，故f (x )为奇函数．显然，f (x )在(0，1)上单调递增．故选A .(2014·天津)函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为________．解：函数y ＝f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y ＝f (x )由y ＝log 12t 与t ＝g (x )＝x 2－4复合而成，又y ＝log 12t 在(0，＋∞)上单调递减，g (x )在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y ＝f (x )在(－∞，－2)上单调递增．故填(－∞，－2)．设a 为常数，函数f (x )＝x 2－4x ＋3.若f ()x ＋a 在[)0，＋∞上是增函数，则a 的取值范围是_______．解：∵f (x )＝x 2－4x ＋3＝()x －22－1，∴f ()x ＋a ＝()x ＋a －22－1，且当x ∈[)2－a ，＋∞时，函数f (x ＋a )单调递增，因此2－a ≤0，即a ≥2.故填[2，＋∞)．类型一 判断函数的单调性，求函数的单调区间(1)(2013·重庆模拟)求下列函数的单调区间： ①y ＝－x 2＋2|x |＋3； ②y ＝1－x 2－3x ＋2；③y ＝log 13(x 2－4x ＋3)．解：①依题意，可得当x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4； 当x ＜0时，y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4.由二次函数的图象知，函数y ＝－x 2＋2|x |＋3在(－∞，－1]，[0，1]上是增函数，在[－1，0]，[1，＋∞)上是减函数．故y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调增区间为(－∞，－1]和[0，1]；单调减区间为[－1，0]和[1，＋∞)．②由x 2－3x ＋2≥0，得x ≥2或x ≤1， 设u ＝x 2－3x ＋2，则y ＝1－u ， 当x ∈(－∞，1]时，u 为减函数， 当x ∈[2，＋∞)时，u 为增函数， 而u ≥0时，y ＝1－u 为减函数．∴y ＝1－x 2－3x ＋2的单调增区间为(－∞，1]，单调减区间为[2，＋∞)． ③令u ＝x 2－4x ＋3>0，得x <1或x >3.∴函数y ＝log 13(x 2－4x ＋3)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．又u ＝x 2－4x ＋3的图象的对称轴为x ＝2，且开口向上，∴u ＝x 2－4x ＋3在(－∞，1)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数． 而函数y ＝log 13u 在(0，＋∞)上是减函数，∴y ＝log 13(x 2－4x ＋3)的单调递减区间为(3，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．(2)判断函数f (x )＝x ＋a x(a >0)在(0，＋∞)上的单调性． 解法一：设0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋a x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a x 2 ＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－a )． 当0<x 1<x 2≤a 时，0<x 1x 2<a ，又x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 所以函数f (x )在(0，a ]上是减函数； 当a ＜x 1<x 2时，x 1x 2>a ，又x 1－x 2<0， 故f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 故函数f (x )在(a ，＋∞)上是增函数．综上可知，函数f (x )＝x ＋ax(a >0)在(0，a ]上是减函数，在(a ，＋∞)上是增函数． 解法二：求导可得f ′(x )＝1－a x2.令f ′(x )＞0，则1－a x 2＞0，解得x ＞a 或x ＜－a (舍)．令f ′(x )≤0，则1－ax2≤0，解得－a ≤x ≤a .∵x ＞0，∴0＜x ≤a .∴f (x )在(0，a ]上是减函数；在(a ，＋∞)上是增函数．【点拨】求函数的单调区间和判断函数的单调性方法一致．通常有以下几种方法：(1)复合函数法：f (g (x ))的单调性遵循“同增异减”的原则；(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义求解；(3)图象法：可由函数图象的直观性写出它的单调区间；(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．特别注意：单调区间必为定义域的子集．(1)函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x 2－3x ＋1的递减区间为__________． 解：作出t ＝2x 2－3x ＋1的图象如图，∵0<12<1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 单调递减．要使y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x 2-3x +1递减，只要x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.故填⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.(2)求证：函数f (x )＝x 3＋x 在(－∞，＋∞)上是增函数． 证法一：(定义法) 任取x 1<x 2，则x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)＝(x 31＋x 1)－(x 32＋x 2) ＝(x 31－x 32)＋(x 1－x 2)＝(x 1－x 2)(x 21＋x 1x 2＋x 22＋1) ＝(x 1－x 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋12x 22＋34x 22＋1＜0，即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )＝x 3＋x 在(－∞，＋∞)上是增函数． 证法二：(导数法)因为f ′(x )＝3x 2＋1>0在(－∞，＋∞)上恒成立，所以f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．类型二 函数单调性的应用(2015·汕头月考)已知函数f (x )＝log a (ax 2－x ＋12)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32上恒正，则实数a的取值范围是________．解：设g (x )＝ax 2－x ＋12，需满足g (x )＝ax 2－x ＋12>0，即a >1x －12x 2.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12x 2max ＝12，从而a >12.函数g (x )＝ax 2－x ＋12的对称轴为x ＝12a <1，所以函数g (x )＝ax 2－x ＋12在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32上单调递增．当a >1时，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32上单调递增，所以f (1)＝log a ⎝⎛⎭⎪⎫a －1＋12>0，解得a >32； 当12<a <1时，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32上单调递减，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫94a －32＋12>0，解得12<a <89.综上得实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，89∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞. 故填⎝ ⎛⎭⎪⎫12，89∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞. 【点拨】利用函数单调性讨论参数的取值范围一般要弄清三个环节：(1)考虑函数的定义域，保证研究过程有意义，如本题中不能忽视g (x )＝ax 2－x ＋12＞0；(2)弄清常见函数单调区间与题中给出的区间的关系，如本题中g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32是它的子集；(3)注意恒成立不等式的等价转化问题．(2015·衡水模拟)若在区间[0，1]上存在实数x 使2x(3x ＋a )<1成立，则实数a 的取值范围是________．解：2x (3x ＋a )＜1可化为a ＜2－x －3x ，则在区间[0，1]上存在实数x 使2x(3x ＋a )＜1成立等价于a ＜(2－x－3x )max (x ∈[0，1])．函数y ＝2－x－3x 在[0，1]上单调递减，∴y ＝2－x－3x 的最大值为20－0＝1，∴a ＜1，故a 的取值范围是(－∞，1)．故填(－∞，1)．类型三 抽象函数的单调性已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数；(2)求f (x )在[－3，3]上的最大值和最小值． 解：(1)证法一：∵函数f (x )对于任意x ，y ∈R 总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，令x ＝y ＝0，得f (0)＝0，再令y ＝－x ，得f (－x )＝－f (x )． 在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0，f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2)．又∵x >0时，f (x )<0，而x 1－x 2>0，∴f (x 1－x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． 因此f (x )在R 上是减函数．证法二：在R 上任取x 1，x 2且x 1>x 2，则x 1－x 2＞0. 则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2＋x 2)－f (x 2) ＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)． 又∵x >0时，f (x )<0，而x 1－x 2>0， ∴f (x 1－x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )在R 上为减函数． (2)∵f (x )在R 上是减函数， ∴f (x )在[－3，3]上也是减函数，∴f (x )在[－3，3]上的最大值和最小值分别为f (－3)与f (3)．而f (3)＝3f (1)＝－2，f (－3)＝－f (3)＝2.∴f (x )在[－3，3]上的最大值为2，最小值为－2.【点拨】对于抽象函数单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x 1，x 2在所给区间内比较f (x 1)－f (x 2)与0的大小，或f （x 1）f （x 2）与1的大小．有时根据需要，需作适当的变形，如x 1＝x 2＋x 1－x 2或x 1＝x 2·x 1x 2等．深挖已知条件，是求解此类题的关键．在客观题的求解中，解这类题目也可考虑用特殊化方法，如本题可依题目条件取f (x )＝－23x .(2013·南昌模拟)f (x )的定义域为(0，＋∞)，且对一切x ＞0，y ＞0都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )，当x ＞1时，有f (x )＞0.(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性并证明；(3)若f (6)＝1，解不等式f (x ＋5)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＜2.解：(1)f (1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x x ＝f (x )－f (x )＝0，x ＞0.(2)f (x )在(0，＋∞)上是增函数．证明：设0＜x 1＜x 2，则由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )，得f (x 2)－f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1，∵x 2x 1＞1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1＞0. ∴f (x 2)－f (x 1)＞0，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(3)∵f (6)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫366＝f (36)－f (6)，又f (6)＝1， ∴f (36)＝2，原不等式化为：f (x 2＋5x )＜f (36)， 又∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5＞0，1x ＞0，x 2＋5x ＜36，解得0＜x ＜4.1．证明函数的单调性与求函数的单调区间，均可运用函数单调性的定义，具体方法为差式比较法或商式比较法．注意单调性定义还有如下的两种等价形式：设x 1，x 2∈(a ，b )，且x 1≠x 2，那么 (1)f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞0⇔f (x )在(a ，b )内是增函数；f（x1）－f（x2）＜0⇔f(x)在(a，b)内是减函数．x1－x2上式的几何意义：增(减)函数图象上任意两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率恒大于(或小于)零．(2)(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔f(x)在(a，b)内是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔f(x)在(a，b)内是减函数．2．函数单调性的判断(1)常用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法．(2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数；(3)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性；(4)复合函数的单调性：如果y＝f(u)和u＝g(x)的单调性相同，那么y＝f(g(x))是增函数；如果y＝f(u)和u＝g(x)的单调性相反，那么y＝f(g(x))是减函数．在应用这一结论时，必须注意：函数u＝g(x)的值域必须是y＝f(u)的单调区间的子集．(5)在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知的函数的单调性，因此掌握一次函数、二次函数、幂函数、对数函数等的单调性，将大大缩短我们的判断过程．3．函数最值的重要结论(1)设f(x)在某个集合D上有最小值，m为常数，则f(x)≥m在D上恒成立的充要条件是f(x)min≥m；(2)设f(x)在某个集合D上有最大值，m为常数，则f(x)≤m在D上恒成立的充要条件是f(x)max≤m.4．自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系可正逆互推，即若f(x)是增(减)函数，则f(x1)＜f(x2)⇔x1＜x2(x1＞x2)．在解决“与抽象函数有关的不等式”问题时，可以利用函数单调性的“可逆性”，脱去“函数符号f”，化为一般不等式求解，但运算必须在定义域内或给定的范围内进行．1．函数y＝x－1的单调递增区间是( )A．[1，＋∞) B．[0，＋∞)C．(－∞，1] D．(－∞，0]解：y＝x－1的图象由y＝x的图象向右平移1个单位得到，故y＝x－1的单调递增区间是[1，＋∞)．故选A.2．(2014·北京)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A．y＝x＋1 B．y＝(x－1)2C．y＝2－x D．y＝log0.5(x＋1)解：选项B中的函数在(0，1)上为减函数，选项C，D中的函数在(0，＋∞)上为减函数，所以排除B ，C ，D.故选A .3．(2013·西安调研)设f (x )为定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1＋x 2＞0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．恒为正值B ．恒等于零C ．恒为负值D ．无法确定正负解：∵f (x )为定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，∴f (x )在R 上单调递减．又x 1＋x 2＞0，则x 1＞－x 2， ∴f (x 1)＜f (－x 2)＝－f (x 2)， 从而有f (x 1)＋f (x 2)＜0.故选C .4．下列区间中，函数f (x )＝|ln(2－x )|在其上为增函数的是( )A ．(－∞，1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，43 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，32 D ．[1，2) 解：f (x )的定义域为(－∞，2)，且f (1)＝0.当x ∈[1，2)时，f (x )＝－ln(2－x )，f (x )为增函数．故选D .5．设函数f (x )＝log a |x |在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (2)的大小关系是( )A ．f (a ＋1)>f (2)B ．f (a ＋1)<f (2)C ．f (a ＋1)＝f (2)D ．不能确定 解：由y ＝f (x )的图象及已知可得0<a <1，所以1<a ＋1<2，由于函数f (x )为偶函数，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以f (a ＋1)>f (2)．故选A .6．(2015·天津)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a解：∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴2|－x －m |－1＝2|x －m |－1，∴|－x －m |＝|x －m |，(－x －m )2＝(x －m )2，∴mx ＝0，由x ∈R 得m ＝0，∴f (x )＝2|x |－1，∴f (x )在[0，＋∞)上单调递增，并且a ＝f (|log 0.53|)＝f (log 23)，b ＝f (log 25)，c ＝f (0)，∵0＜log 23＜log 25，∴c ＜a ＜b .故选C .7．若函数f (x )＝||2x ＋a 的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝____________． 解法一：函数的对称轴为x ＝－a 2，由对称性可知－a2＝3，∴a ＝－6.解法二：由f (3)＝0⇒a ＝－6.故填－6. 8．(2015·青海模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（2－a ）x ＋1，x ＜1，a x ， x ≥1 满足对任意x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________．解：由已知条件得f (x )为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＞0，a ＞1，（2－a ）×1＋1≤a ，解得32≤a <2，∴a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2.故填⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2. 9．(2015·江淮十校模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≥0，ax 2＋bx ， x <0 为奇函数．(1)求a －b 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，m －2]上单调递增，求实数m 的取值范围． 解：(1)令x <0，－x >0，f (x )＝－f (－x )，即ax 2＋bx ＝－(－x 2－2x )．∴a ＝1，b ＝2，∴a －b ＝－1.(2)由(1)知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≥0，x 2＋2x ，x <0，易知f (x )的单调递增区间为[－1，1]， ∴[－1，m －2]⊆[－1，1]，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2>－1，m －2≤1， 解得1<m ≤3. 故实数m 的取值范围为(1，3]．10．(2015·江淮名校模拟)已知函数g (x )＝ax 2－2ax ＋1＋b (a ＞0)在区间[2，3]上有最大值4和最小值1.设f (x )＝g （x ）x.(1)求a ，b 的值；(2)若不等式f (2x )－k ·2x≥0在x ∈[－1，1]上有解，求实数k 的取值范围． 解：(1)g (x )＝a (x －1)2＋1＋b －a ，因为a ＞0，所以g (x )在区间[2，3]上是增函数，故⎩⎪⎨⎪⎧g （2）＝1，g （3）＝4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0. (2)由(1)知f (x )＝x ＋1x －2，所以f (2x )－k ·2x ≥0可化为2x ＋12x －2≥k ·2x，即1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2·12x ≥k .令t ＝12x ，因为x ∈[－1，1]，故t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.所求不等式问题等价于k ≤t 2－2t ＋1在t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上有解．记h (t )＝t 2－2t ＋1，则k ≤h (t )max .因为t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，故h (t )max ＝1， 所以k 的取值范围是(－∞，1]．11．已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，当x >1时，f (x )>0，且对于任意的正数x ，y 都有f (xy )＝f (x )＋f (y )．(1)证明：函数f (x )在定义域上是单调增函数；(2)如果f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝－1且f (x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －2≥2，求x 的取值范围．解：(1)证明：设0<x 1<x 2.则f (x 2)－f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1·x 1－f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1＋f (x 1)－f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1. 因为x 2x 1>1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1>0， 所以f (x 2)－f (x 1)>0.故f (x )在定义域上是单调增函数．(2)当x ＝y ＝1时，f (1)＝0.令y ＝1x，得f (1)＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )．故由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝－1，得f (3)＝1.于是f (x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －2＝f (x )＋f (x －2)＝f (x 2－2x )≥2，而2＝f (3)＋f (3)＝f (9)，则有f (x 2－2x )≥f (9)．所以x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ≥9，x >0，x －2>0，解得x ≥1＋10.故实数x 的取值范围是[1＋10，＋∞)．已知函数f (x )＝x 2＋ln x －ax 在(0，1)上是增函数．(1)求a 的取值范围；(2)在(1)的结论下，设g (x )＝e 2x＋||e x－a ，x ∈[0，ln3]，求函数g (x )的最小值．解：(1)f ′(x )＝2x ＋1x－a .∵f (x )在(0，1)上是增函数，∴2x ＋1x≥a 在(0，1)上恒成立，即a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x min(x ∈(0，1))，∵2x ＋1x ≥22当且仅当x ＝22时，取等号，所以a 的取值范围为{a |a ≤22}．(2)设t ＝e x，则h (t )＝t 2＋||t －a (显然t ∈[1，3])，当a ≤1时，h (t )＝t 2＋t －a 在区间[1，3]上是增函数，所以h (t )的最小值为h (1)＝2－a .当1<a ≤22时，h (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2－t ＋a ，1≤t ≤a ，t 2＋t －a ，a <t ≤3.因为函数h (t )在区间[a ，3]上是增函数，在区间[1，a ]上也是增函数，又h (t )在[1，3]上是连续函数，所以h (t )在[1，3]上为增函数，所以h (t )的最小值为h (1)＝a ，∴g (x )min ＝⎩⎨⎧2－a ，a ≤1，a ，1<a ≤2 2.。
2023年高考数学一轮复习第二章函数1函数的概念及其表示练习含解析
函数的概念及其表示考试要求 1.了解函数的含义，会求简单函数的定义域和值域.2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用．知识梳理 1．函数的概念一般地，设A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A . 2．函数的三要素(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数． 3．函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 4．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 常用结论1．直线x ＝a 与函数y ＝f (x )的图象至多有1个交点．2．在函数的定义中，非空数集A ，B ，A 即为函数的定义域，值域为B 的子集．3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数．( × ) (2)函数y ＝f (x )的图象可以是一条封闭曲线．( × ) (3)y ＝x 0与y ＝1是同一个函数．( × ) (4)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥0，x 2，x ＜0的定义域为R .( √ )教材改编题1．下列各曲线表示的y 与x 之间的关系中，y 不是x 的函数的是( )答案 C2．(多选)下列各组函数是同一个函数的是( ) A ．f (x )＝x 2－2x －1，g (s )＝s 2－2s －1B ．f (x )＝x －1，g (x )＝x 2－1x ＋1C ．f (x )＝x 2，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0D ．f (x )＝－x 3，g (x )＝x －x 答案 AC3．(2022·长沙质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤0，log 3x ，x >0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12等于( )A ．－1B ．2C.3D.12答案 D解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝log 312<0， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫f⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝31log 23＝12.题型一 函数的定义域例1 (1)(2022·武汉模拟)函数f (x )＝1ln x ＋1＋4－x 2的定义域为( ) A ．[－2,0)∪(0,2]B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2]答案 B解析 要使函数有意义，则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x ＋1≠1，4－x 2≥0，解得－1<x ≤2且x ≠0， 所以x ∈(－1,0)∪(0,2]．所以函数的定义域为(－1,0)∪(0,2]．(2)若函数f (x )的定义域为[0,2]，则函数f (x －1)的定义域为________． 答案 [1,3]解析 ∵f (x )的定义域为[0,2]， ∴0≤x －1≤2，即1≤x ≤3， ∴函数f (x －1)的定义域为[1,3]．延伸探究 将本例(2)改成“若函数f (x ＋1)的定义域为[0,2]”，则函数f (x －1)的定义域为________． 答案 [2,4]解析 ∵f (x ＋1)的定义域为[0,2]， ∴0≤x ≤2， ∴1≤x ＋1≤3， ∴1≤x －1≤3， ∴2≤x ≤4，∴f (x －1)的定义域为[2,4]． 教师备选1．(2022·西北师大附中月考)函数y ＝lg(x 2－4)＋x 2＋6x 的定义域是( ) A ．(－∞，－2)∪[0，＋∞) B ．(－∞，－6]∪(2，＋∞) C ．(－∞，－2]∪[0，＋∞) D ．(－∞，－6)∪[2，＋∞) 答案 B解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4>0，x 2＋6x ≥0，解得x >2或x ≤－6.因此函数的定义域为(－∞，－6]∪(2，＋∞)．2．已知函数f (x )＝x1－2x ，则函数f x －1x ＋1的定义域为( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，－1)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)D ．(－∞，－1)∪(－1,1) 答案 D解析 令1－2x>0， 即2x<1，即x <0.∴f (x )的定义域为(－∞，0)．∴函数f x －1x ＋1中，有⎩⎪⎨⎪⎧x －1<0，x ＋1≠0，解得x <1且x ≠－1.故函数f x －1x ＋1的定义域为(－∞，－1)∪(－1,1)．思维升华 (1)求给定函数的定义域：由函数解析式列出不等式(组)使解析式有意义． (2)求复合函数的定义域①若f (x )的定义域为[m ，n ]，则在f (g (x ))中，由m ≤g (x )≤n 解得x 的范围即为f (g (x ))的定义域．②若f (g (x ))的定义域为[m ，n ]，则由m ≤x ≤n 得到g (x )的范围，即为f (x )的定义域． 跟踪训练1 (1)函数f (x )＝11－4x2＋ln(3x －1)的定义域为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤13，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，14 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 答案 B解析 要使函数f (x )＝11－4x2＋ln(3x －1)有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－4x 2>0，3x －1>0⇒13<x <12. ∴函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12. (2)已知函数f (x )的定义域为[－2,2]，则函数g (x )＝f (2x )＋1－2x的定义域为__________． 答案 [－1,0]解析 由条件可知，函数的定义域需满足⎩⎪⎨⎪⎧－2≤2x ≤2，1－2x≥0，解得－1≤x ≤0，所以函数g (x )的定义域是[－1,0]． 题型二 函数的解析式例2 (1)(2022·哈尔滨三中月考)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，则f (x )的解析式为________．答案 f (x )＝lg2x －1(x >1) 解析 令2x＋1＝t (t >1)，则x ＝2t －1， 所以f (t )＝lg 2t －1(t >1)， 所以f (x )＝lg2x －1(x >1)． (2)已知y ＝f (x )是二次函数，若方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，则f (x )＝________. 答案 x 2＋2x ＋1解析 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b ，∴2ax ＋b ＝2x ＋2， 则a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝x 2＋2x ＋c ， 又f (x )＝0，即x 2＋2x ＋c ＝0有两个相等实根． ∴Δ＝4－4c ＝0，则c ＝1. 故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(3)已知函数对任意的x 都有f (x )－2f (－x )＝2x ，则f (x )＝________. 答案 23x解析 ∵f (x )－2f (－x )＝2x ，① ∴f (－x )－2f (x )＝－2x ，② 由①②得f (x )＝23x .教师备选已知f (x )满足f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2x ，则f (x )＝________.答案 －2x 3－43x解析 ∵f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2x ，①以1x代替①中的x ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －2f (x )＝2x，②①＋②×2得－3f (x )＝2x ＋4x，∴f (x )＝－2x 3－43x.思维升华 函数解析式的求法(1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法；(4)解方程组法． 跟踪训练2 (1)已知f (1－sin x )＝cos 2x ，则f (x )＝________. 答案 －x 2＋2x ，x ∈[0,2] 解析 令t ＝1－sin x ， ∴t ∈[0,2]，sin x ＝1－t ，∴f (t )＝1－sin 2x ＝1－(1－t )2＝－t 2＋2t ，t ∈[0,2]， ∴f (x )＝－x 2＋2x ，x ∈[0,2]．(2)(2022·黄冈质检)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x2＝x 4＋1x4，则f (x )＝__________.答案 x 2－2，x ∈[2，＋∞)解析 ∵f ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x22－2，∴f (x )＝x 2－2，x ∈[2，＋∞)． 题型三 分段函数例3 (1)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cosπx ，x ≤1，f x －1＋1，x >1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f⎝ ⎛⎭⎪⎫－43的值为( ) A.12B ．－12C ．－1D ．1 答案 D解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝f⎝ ⎛⎭⎪⎫43－1＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋1＝cosπ3＋1＝32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3＝cos2π3＝－12， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝32－12＝1.(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋3，x >0，x 2－4，x ≤0，若f (a )＝5，则实数a 的值是__________；若f (f (a ))≤5，则实数a 的取值范围是__________． 答案 1或－3 [－5，－1]解析 ①当a >0时，2a＋3＝5，解得a ＝1； 当a ≤0时，a 2－4＝5， 解得a ＝－3或a ＝3(舍)． 综上，a ＝1或－3.②设t ＝f (a )，由f (t )≤5得－3≤t ≤1. 由－3≤f (a )≤1，解得－5≤a ≤－1. 教师备选1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6，x >1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x <1，则f (f (2022))等于( )A ．－32B.22C.32D. 2 答案 B解析 f (2022)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2022π＋π6＝sin π6＝12，∴f (f (2022))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1212⎛⎫ ⎪⎝⎭＝22. 2．(2022·百校联盟联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≥0，－x 2，x <0，若对于任意的x ∈R ，|f (x )|≥ax ，则a ＝________. 答案 0解析 当x ≥0时，|f (x )|＝x 3≥ax ，即x (x 2－a )≥0恒成立，则有a ≤0； 当x <0时，|f (x )|＝x 2≥ax ，即a ≥x 恒成立， 则有a ≥0，所以a ＝0.思维升华 分段函数求值问题的解题思路(1)求函数值：当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．跟踪训练3 (1)(2022·河北冀州一中模拟)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x－3，x ≥1，x 2＋1，x <1.则f (f (－1))＝________，f (x )的最小值是________． 答案 0 22－3 解析 ∵f (－1)＝2，∴f (f (－1))＝f (2)＝2＋22－3＝0，当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x－3≥22－3，当且仅当x ＝2时取等号，f (x )min ＝22－3， 当x <1时，f (x )＝x 2＋1≥1，x ＝0时取等号， ∴f (x )min ＝1，综上有f (x )的最小值为22－3.(2)(2022·重庆质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >1，x 2－1，x ≤1，则f (x )<f (x ＋1)的解集为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞解析 当x ≤0时，x ＋1≤1，f (x )<f (x ＋1)， 等价于x 2－1<(x ＋1)2－1， 解得－12<x ≤0；当0<x ≤1时，x ＋1>1， 此时f (x )＝x 2－1≤0，f (x ＋1)＝log 2(x ＋1)>0，∴当0<x ≤1时，恒有f (x )<f (x ＋1)；当x >1时，f (x )<f (x ＋1)⇔log 2x <log 2(x ＋1)恒成立．综上知，不等式f (x )<f (x ＋1)的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.课时精练1．(2022·重庆模拟)函数f (x )＝3－xlg x的定义域是( ) A ．(0,3) B ．(0,1)∪(1,3) C ．(0,3] D ．(0,1)∪(1,3]答案 D解析 ∵f (x )＝3－xlg x，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≥0，lg x ≠0，x >0，解得0<x <1或1<x ≤3，故函数的定义域为(0,1)∪(1,3]．2．若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )答案 B解析 A 中函数定义域不是[－2,2]；C 中图象不表示函数；D 中函数值域不是[0,2]． 3．(2022·安徽江淮十校联考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －12，x <1，a x ，x ≥1，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝8，则a 等于( ) A.12 B.34 C ．1 D ．2答案 D解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝4×78－12＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝f (3)＝a 3，得a 3＝8，解得a ＝2.4．设函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝x ，则f (x )的表达式为( )A.1＋x1－x(x ≠－1) B.1＋xx －1(x ≠－1) C.1－x1＋x(x ≠－1) D.2xx ＋1(x ≠－1) 答案 C解析 令t ＝1－x 1＋x ，则x ＝1－t1＋t ，∴f (t )＝1－t 1＋t ，即f (x )＝1－x1＋x(x ≠－1)．5．如图，点P 在边长为1的正方形的边上运动，M 是CD 的中点，当P 沿A －B －C －M 运动时，设点P 经过的路程为x ，△APM 的面积为y ，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )答案 A解析 由题意可得y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，0≤x ＜1，34－x4，1≤x ＜2，54－12x ，2≤x ≤52.画出函数f (x )的大致图象，故选A.6．(多选)下列函数中，与y ＝x 是同一个函数的是( ) A ．y ＝3x 3B ．y ＝x 2C ．y ＝lg10xD ．y ＝10lg x答案 AC解析 y ＝x 的定义域为x ∈R ，值域为y ∈R ，对于A 选项，函数y ＝3x 3＝x 的定义域为x ∈R ，故是同一函数；对于B 选项，函数y ＝x 2＝||x ≥0，与y ＝x 的解析式、值域均不同，故不是同一函数；对于C 选项，函数y ＝lg10x＝x ，且定义域为R ，故是同一函数；对于D 选项，y ＝10lg x＝x 的定义域为(0，＋∞)，与函数y ＝x 的定义域不相同，故不是同一函数．7．(多选)(2022·张家界质检)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x ≤a ，2x，x >a ，若f (1)＝2f (0)，则实数a可以为( ) A ．－1B ．0C ．1D ．2 答案 AB 解析 若a <0，则f (0)＝1，f (1)＝2，f (1)＝2f (0)成立； 若0≤a <1，则f (0)＝1，f (1)＝2，f (1)＝2f (0)成立； 若a ≥1，则f (0)＝1，f (1)＝0，f (1)＝2f (0)不成立． 综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，1)．8．(多选)具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数满足“倒负”变换的函数的是( ) A ．f (x )＝x －1xB ．f (x )＝ln1－x1＋xC ．f (x )＝1ex x-D ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1答案 AD解析 对于A ，f (x )＝x －1x，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足题意； 对于B ，f (x )＝ln1－x1＋x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝ln x －1x ＋1≠－f (x )，不满足； 对于C ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝111e xx -＝ex －1，－f (x )＝1ex x--≠f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，不满足；对于D ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )满足“倒负”变换，故选AD.9．已知f (x 5)＝lg x ，则f (100)＝________. 答案 25解析 令x 5＝100， 则x ＝15100＝2510， ∴f (100)＝25lg 10＝25.10．函数f (x )＝ln(x －1)＋4＋3x －x 2的定义域为________． 答案 (1,4]解析 依题意⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，4＋3x －x 2≥0，解得1<x ≤4，∴f (x )的定义域为(1,4]．11．(2022·广州质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2a x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，则实数a的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 解析 ∵当x ≥1时，f (x )＝ln x ≥ln1＝0， 又f (x )的值域为R ，故当x <1时，f (x )的值域包含(－∞，0)．故⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，1－2a ＋3a ≥0，解得－1≤a <12.12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x <0，1，x >0，则不等式xf (x )＋x ≤2的解集是________．答案 [－2,0)∪(0,1] 解析 当x <0时，f (x )＝x ， 代入xf (x )＋x ≤2得x 2＋x －2≤0， 解得－2≤x <0； 当x >0时，f (x )＝1，代入xf (x )＋x ≤2，解得0<x ≤1. 综上有－2≤x ＜0或0＜x ≤1.13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B ．(0，＋∞) C ．(－1,0) D ．(－∞，0)答案 D解析 当x ≤0时，函数f (x )＝2－x是减函数，则f (x )≥f (0)＝1.作出f (x )的大致图象如图所示，结合图象知，要使f (x ＋1)＜f (2x )，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0，解得x <－1或－1≤x <0，即x <0.14．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋λ，x <1λ∈R，2x，x ≥1，若对任意的a ∈R 都有f (f (a ))＝2f (a )成立，则λ的取值范围是______． 答案 [2，＋∞) 解析 当a ≥1时，2a≥2. ∴f (f (a ))＝f (2a)＝22a＝2f (a )恒成立．当a <1时，f (f (a ))＝f (－a ＋λ)＝2f (a )＝2λ－a ，∴λ－a ≥1，即λ≥a ＋1恒成立， 由题意λ≥(a ＋1)max ，∴λ≥2， 综上，λ的取值范围是[2，＋∞)．15．(多选)若函数f (x )满足：对定义域内任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，有f (x 1)＋f (x 2)>2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，则称函数f (x )具有H 性质．则下列函数中具有H 性质的是( )A ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xB ．f (x )＝ln xC ．f (x )＝x 2(x ≥0) D ．f (x )＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x <π2 答案 ACD解析 若对定义域内任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，有f (x 1)＋f (x 2)>2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，则点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))连线的中点在点⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22的上方，如图⎝⎛⎭⎪⎫其中a ＝f⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，b ＝f x 1＋f x 22.根据函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，f (x )＝ln x ，f (x )＝x 2(x ≥0)，f (x )＝tan x ⎝⎛⎭⎪⎫0≤x <π2的图象可知，函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，f (x )＝x 2(x ≥0)，f (x )＝tan x ⎝⎛⎭⎪⎫0≤x <π2具有H 性质，函数f (x )＝ln x 不具有H 性质．16．设f (x )是定义在R 上的函数，且f (x ＋2)＝2f (x )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，－1<x <0，b e 2x，0≤x ≤1，其中a ，b 为正实数，e 为自然对数的底数，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a b 的取值范围为________． 答案 (2e ，＋∞)解析 因为f (x ＋2)＝2f (x )，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋4＝(2)2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2e b ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋a ＝2(a －1)， 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，所以2(a －1)＝2e b ， 所以a ＝2e b ＋1， 因为b 为正实数， 所以a b＝2e b ＋1b＝2e ＋1b∈(2e ，＋∞)，故a b的取值范围为(2e ，＋∞)．。
高考数学一轮复习第二章函数的概念、基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用2.3函数的奇偶性与周期性习题理
§2.3 函数的奇偶性与周期性1．奇、偶函数的概念 (1)偶函数一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有 ，那么函数f (x )就叫做偶函数．(2)奇函数一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有 ，那么函数f (x )就叫做奇函数．2．奇、偶函数的图象特征偶函数的图象关于 对称；奇函数的图象关于 对称． 3．具有奇偶性函数的定义域的特点具有奇偶性函数的定义域关于 ，即“定义域关于 ”是“一个函数具有奇偶性”的 条件．4．周期函数的概念 (1)周期、周期函数对于函数f (x )，如果存在一个 T ，使得当x 取定义域内 的值时，都有 ，那么函数f (x )就叫做周期函数．T 叫做这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个 的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．5．函数奇偶性与单调性之间的关系(1)若函数f (x )为奇函数，且在[a ，b ]上为增(减)函数，则f (x )在[－b ，－a ]上为 ；(2)若函数f (x )为偶函数，且在[a ，b ]上为增(减)函数，则f (x )在[－b ，－a ]上为 ．6．奇、偶函数的“运算”(共同定义域上)奇±奇＝ ，偶±偶＝ ，奇×奇＝ ，偶×偶＝ ，奇×偶＝ .7．函数的对称性如果函数f (x )，x ∈D ，满足∀x ∈D ，恒有f (a ＋x )＝f (b －x )，那么函数的图象有对称轴x ＝a ＋b 2；如果函数f (x )，x ∈D ，满足∀x ∈D ，恒有f (a －x )＝－f (b ＋x )，那么函数的图象有对称中心⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，0.8．函数的对称性与周期性的关系(1)如果函数f (x )(x ∈D )在定义域内有两条对称轴x ＝a ，x ＝b (a <b )，则函数f (x )是周期函数，且周期T ＝2(b －a )(不一定是最小正周期，下同)．(2)如果函数f (x )(x ∈D )在定义域内有两个对称中心A (a ，0)，B (b ，0)(a <b )，那么函数f (x )是周期函数，且周期T ＝2(b －a )．(3)如果函数f (x )，x ∈D 在定义域内有一条对称轴x ＝a 和一个对称中心B (b ，0)(a ≠b )，那么函数f (x )是周期函数，且周期T ＝4|b －a |.自查自纠1．(1)f (－x )＝f (x ) (2)f (－x )＝－f (x ) 2．y 轴 原点3．原点对称 原点对称 必要不充分4．(1)非零常数 每一个 f (x ＋T )＝f (x ) (2)最小 5．(1)增(减)函数 (2)减(增)函数 6．奇 偶 偶 偶 奇(2015·广东)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A ．y ＝x ＋e xB ．y ＝x ＋1xC ．y ＝2x＋12xD ．y ＝1＋x 2解：令f (x )＝x ＋e x，则f (1)＝1＋e ，f (－1)＝－1＋e －1，有f (1)±f (－1)≠0，∴y ＝x ＋e x 既不是奇函数也不是偶函数，而选项B ，C ，D 中的函数依次是奇函数，偶函数，偶函数．故选A .(2014·福建)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ＞0，cos x ， x ≤0， 则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)解：由f (x )的图象易判断f (x )不是偶函数，不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)．故选D .(2014·湖南)已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解：用“－x ”代替“x ”，得f (－x )－g (－x )＝(－x )3＋(－x )2＋1，化简得f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1，令x ＝1，得f (1)＋g (1)＝1.故选C .(2014·四川)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x ＜0，x ， 0≤x ＜1， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________.解：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋2＝1.故填1. 若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则实数a ＝____________. 解：∵函数f (x )是偶函数，∴f (x )＝f (－x )， 即x ln(x ＋a ＋x 2)＝－x ln(－x ＋a ＋x 2)，∴x ＋a ＋x 2＝1－x ＋a ＋x 2，得a ＝1.故填1.类型一 函数奇偶性的判断判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝(x ＋1)1－x1＋x ；(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ＞0，x 2＋2x －1，x ＜0；(3)f (x )＝4－x2x；(4)f (x )＝x 2－1＋1－x 2；(5)f (x )＝log a (x ＋x 2＋1)(a >0且a ≠1)．解：(1)定义域要求1－x1＋x ≥0，∴－1＜x ≤1，∴f (x )的定义域不关于原点对称， ∴f (x )不具有奇偶性．(2)解法一(定义法)：当x ＞0时，f (x )＝－x 2＋2x ＋1，－x ＜0，f (－x )＝(－x )2＋2(－x )－1＝x 2－2x －1＝－f (x )；当x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x －1，－x ＞0，f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＋1＝－x 2－2x ＋1＝－f (x )．∴f (x )为奇函数．解法二(图象法)：作出函数f (x )的图象，由图象关于原点对称的特征知函数f (x )为奇函数．(3)∵⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，x ≠0， ∴－2≤x ≤2且x ≠0，∴定义域关于原点对称．又f (－x )＝4－（－x ）2－x ＝－4－x2x ，∴f (－x )＝－f (x )． 故函数f (x )为奇函数．(4)∵f (x )的定义域为{－1，1}，关于原点对称，又f (－1)＝f (1)＝0，即f (－1)＝f (1)，且f (－1)＝－f (1)，故f (x )既是奇函数，又是偶函数．(5)∵函数的定义域为R ， 又∵f (－x )＋f (x )＝log a [－x ＋（－x ）2＋1]＋log a (x ＋x 2＋1) ＝log a (x 2＋1－x )＋log a (x 2＋1＋x ) ＝log a [(x 2＋1－x )(x 2＋1＋x )] ＝log a (x 2＋1－x 2)＝log a 1＝0.即f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．【点拨】(1)判断函数奇偶性的步骤是：①求函数定义域，看定义域是否关于原点对称，若不对称，则既不是奇函数，也不是偶函数；②验证f (－x )是否等于±f (x )，或验证其等价形式f (x )±f (－x )＝0或f （－x ）f （x ）＝±1(f (x )≠0)是否成立．(2)对于分段函数的奇偶性应分段验证，但比较繁琐，且容易判断错误，通常是用图象法来判断．(3)对于含有x 的对数式或指数式的函数通常用“f (－x )±f (x )＝0”来判断．(1)(2015·安徽模拟)若函数f (x )＝k －2x1＋k ·2x 在定义域上为奇函数，则实数k ＝________.解：∵f (－x )＝k －2－x 1＋k ·2－x ＝k ·2x －12x＋k， ∴f (－x )＋f (x ) ＝（k －2x ）（2x ＋k ）＋（k ·2x －1）（1＋k ·2x）（1＋k ·2x ）（2x＋k ）＝（k 2－1）（22x＋1）（1＋k ·2x ）（2x＋k ）. 由f (－x )＋f (x )＝0对定义域中的x 均成立可得k 2＝1，∴k ＝±1.故填±1.(2)已知函数f (x )＝ln 1－x1＋x.判断函数的奇偶性．解：由1－x 1＋x ＞0，得－1＜x ＜1，即f (x )＝ln 1－x 1＋x 的定义域为(－1，1)．又f (－x )＝ln1＋x 1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x －1＝－ln 1－x 1＋x ＝－f (x )，故f (x )为奇函数．(3)已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1.判断函数的奇偶性． 解：令1＋9x 2－3x ＞0，得x ∈R ，故函数f (x )的定义域为R .f (x )＋f (－x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1＋ln(1＋9x 2＋3x )＋1＝2，故f (x )不是奇函数； f (x )－f (－x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1－ln(1＋9x 2＋3x )－1＝ln(1＋9x 2－3x )2，不恒为0，故f (x )不是偶函数．综上得f (x )不具有奇偶性．(4)已知函数f (x )＝lg （4－x 2）|x －2|＋|x ＋4|.判断函数的奇偶性．解：由⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2＞0，|x －2|＋|x ＋4|≠0， 得－2＜x ＜2，即函数f (x )的定义域是{x |－2＜x ＜2}．又f (x )＝lg （4－x 2）|x －2|＋|x ＋4|＝lg （4－x 2）2－x ＋x ＋4＝16lg(4－x 2)，∴f (－x )＝16lg[4－(－x )2]＝16lg(4－x 2)＝f (x )，故函数f (x )是偶函数．(5)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ， x ＜0，－x 2＋x ，x ＞0. 判断函数的奇偶性．解：当x ＜0时，f (x )＝x 2＋x ，－x ＞0，f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )；当x ＞0时，f (x )＝－x 2＋x ，－x ＜0，f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－f (x )．∴f (x )是奇函数．类型二 利用函数性质求解析式已知函数f (x )满足f (x )·f (x ＋2)＝13. (1)求证：f (x )是周期函数； (2)若f (1)＝2，求f (99)的值；(3)若当x ∈[0，2]时，f (x )＝x ，试求x ∈[4，8]时函数f (x )的解析式．解：(1)证明：由题意知f (x )≠0，则f (x ＋2)＝13f （x ）.用x ＋2代替x 得f (x ＋4)＝13f （x ＋2）＝f (x )，故f (x )为周期函数，且4为f (x )的周期．(2)若f (1)＝2，则f (99)＝f (24×4＋3)＝f (3)＝13f （1）＝132.(3)当x ∈[4，6]时，x －4∈[0，2]，则f (x －4)＝x －4，又周期为4，所以f (x )＝f (x －4)＝x －4.当x ∈(6，8]时，x －6∈(0，2]，则f (x －6)＝x －6，根据周期为4，则f (x ＋2)＝f (x －6)＝x －6.又f (x )·f (x ＋2)＝13，所以f (x )＝13f （x ＋2）＝13x －6.所以解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，4≤x ≤6，13x －6，6＜x ≤8.【点拨】本题存在规律性：若f (x ＋a )·f (x )＝b (常数)，则2a 为f (x )的周期(a ＞0)；同理，f (x ＋a )＝－f (x )或f (x ＋a )＝1f （x ）或f (x ＋a )＝－1f （x ），均可推得2a 为f (x )的周期(a ＞0)．(2015·山东模拟)设f (x )是定义域为R 的周期函数，最小正周期为2，且f (1＋x )＝f (1－x )．当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x .(1)判定f (x )的奇偶性；(2)试求出函数f (x )在区间[－1，2]上的表达式． 解：(1)∵f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (－x )＝f (2＋x )． 又f (x ＋2)＝f (x )，∴f (－x )＝f (x )， ∴f (x )是偶函数．(2)当x ∈[0，1]时，－x ∈[－1，0]， 则f (x )＝f (－x )＝x ；进而当x ∈[1，2]时，x －2∈[－1，0]，f (x )＝f (x －2)＝－(x －2)＝－x ＋2.故所求为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ， x ∈[－1，0），x ， x ∈[0，1），－x ＋2，x ∈[1，2].类型三 奇偶性与单调性的综合设定义在[－2，2]上的偶函数f (x )在区间[0，2]上单调递减，若f (1－m )＜f (m )，则实数m 的取值范围是________________．解：∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )＝f (|x |)． ∴f (1－m )＜f (m )⇔f (|1－m |)＜f (|m |)． 又当x ∈[0，2]时，f (x )是减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧|1－m |＞|m |，－2≤1－m ≤2，－2≤m ≤2.解得－1≤m ＜12.故填⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12. 【点拨】在解题过程中抓住偶函数的性质，将1－m ，m 转化到同一单调区间上，避免了由于单调性不同导致1－m 与m 大小不明确的讨论，从而使解题过程得以优化．另外，不要忘记定义域．设函数f (x )＝x 3＋x ，若0≤θ≤π2时，f (m cos θ)＋f (1－m )>0恒成立，求实数m 的取值范围．解：f (x )＝x 3＋x 是R 上的奇函数与增函数，故由f (m cos θ)＋f (1－m )>0得f (m cos θ)>－f (1－m )＝f (m －1)，m cos θ>m －1，即m (1－cos θ)<1对任意θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2成立．当θ＝0时，不等式m (1－cos θ)<1成立；当θ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2时，cos θ∈[0，1)，1－cos θ∈(0，1]，11－cos θ∈[1，＋∞)．由m (1－cos θ)<1，得m <11－cos θ，即m <1.因此，m 的取值范围是(－∞，1)．类型四 函数周期性和奇偶性的应用(2014·安徽)若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），0≤x ≤1，s inπx ， 1＜x ≤2， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝________.解：由于函数f (x )是周期为4的奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4－34＋f ⎝⎛⎭⎪⎫2×4－76＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－76＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫76＝－316＋12＝516.故填516. 【点拨】借助函数周期性解决求函数值或求函数零点个数等问题是常考问题，在周期未明确指出的情况下，注意运用对称性与周期性的关系等先确定周期．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0，2]上是增函数，则( )A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)＜f (11)解：f (x －8)＝－f (x －4)＝f (x )，∴T ＝8，又f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0. ∵f (x )在[0，2]上是增函数，且f (x )≥0， ∴f (x )在[－2，0]上也是增函数，且f (x )≤0，又x ∈[2，4]时，f (x )＝－f (x －4)≥0，且f (x )为减函数． 同理f (x )在[4，6]上为减函数且f (x )≤0， 从而可得y ＝f (x )的大致图象如图所示．∵f (－25)＝f (－1)＜0，f (11)＝f (3)＞0，f (80)＝f (0)＝0. ∴f (－25)＜f (80)＜f (11)，故选D .1．判断函数的奇偶性时，首先要确定函数的定义域(函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，如果函数定义域不关于原点对称，那么它不具有奇偶性)，若定义域关于原点对称，再判断f(－x)与f(x)的关系，从而确定函数的奇偶性．2．奇、偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据，为了方便判断函数的奇偶性，有时需要将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f(－x)＝±f(x)⇔f(－x)∓f(x)＝0⇔f（－x）f（x）＝±1(f(x)≠0)进行判断．3．判断函数奇偶性的方法通常有(1)定义法：根据定义判断．(2)图象法：函数的图象能够直观地反映函数的奇偶性，f(x)为奇函数的充要条件是函数f(x)的图象关于原点对称；f(x)为偶函数的充要条件是函数f(x)的图象关于y轴对称．(3)运用奇、偶函数的运算结论．要注意定义域应为两个函数定义域的交集．4．判断周期函数的一般方法(1)定义法：应用定义法判断或证明函数是否具有周期性的关键是从函数周期的定义出发，充分挖掘隐含条件，合理赋值，巧妙转化．运用“考点梳理”栏目中有关周期的结论可简化运算．(2)公式法：若函数f(x)是周期函数，且周期为T，则函数f(ax＋b)(a≠0)也为周期函数，且周期T′＝T|a|.5．函数奇偶性和周期性的应用已知奇(偶)函数或周期函数在定义域的某一区间内的解析式，求函数在另一区间或整体定义域内的解析式时，一定要注意区间的转换．如：若x＞0，则－x＜0；若1＜x＜2，则3＜x＋2＜4等．如果要研究其值域、最值、单调性等问题，通常先在原点一侧的区间(对奇(偶)函数而言)或某一周期内(对周期函数而言)考虑，然后推广到整个定义域上．6．解题中要注意以下性质的灵活运用(1)f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|)；(2)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0；(3)若f(x)既是奇函数，又是偶函数，则它的图象一定在x轴上．1．(2015·福建)下列函数为奇函数的是( )A．y＝x B．y＝e xC．y＝cos x D．y＝e x－e－x解：显然A，B，C中的函数均不是奇函数，令f(x)＝e x－e－x，则f(－x)＝e－x－e x＝－f(x)，是奇函数．故选D.2．(2014·课标Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数解：f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，故f (x )g (x )为奇函数，|f (x )|g (x )为偶函数，f (x )|g (x )|为奇函数，|f (x )g (x )|为偶函数．故选C .3．(2013·沈阳一模)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减，则满足不等式f (2x －1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53成立的x 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，43 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，43 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，43 解：因为偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减，所以f (x )在区间(－∞，0]上单调递增，若f (2x －1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，则－53<2x －1<53，解得－13<x <43.故选B . 4．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (2)＝0，对任意的x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )＋f (4)成立，则f (2016)的值为( )A ．4024B ．2016C ．2012D ．0解：函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (2)＝0，则f (－2)＝0. ∵f (x ＋4)＝f (x )＋f (4)，∴令x ＝－2，得f (2)＝f (－2)＋f (4)，∴f (4)＝0. ∴f (x ＋4)＝f (x )，即4为f (x )的周期．∴f (2016)＝f (504×4＋0)＝f (0)，因为y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，则f (0)＝0，故f (2016)＝0.故选D .5．(2015·湖北省襄阳市高三第一次调研)设f (x )为奇函数且在(－∞，0)内是增函数，f (－2)＝0，则xf (x )>0的解集为( )A ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0，2)C ．(－2，0)∪(2，＋∞)D ．(－2，0)∪(0，2)解法一：由题意得f (x )在(0，＋∞)内是增函数，且f (2)＝－f (－2)＝0.作出符合条件的f (x )的大致图象如图所示，易得xf (x )＞0的解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．解法二：由已知得x ＜－2时，f (x )<0，故xf (x )>0；当－2≤x ＜0时，f (x )≥0，xf (x )≤0.又f (x )为奇函数，则f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (2)＝0.故0＜x ≤2时，xf (x )≤0；当x ＞2时，xf (x )>0.因此，xf (x )＞0的解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．故选A .6．(2015·衡水模拟)函数f (x )在定义域R 上的导函数是f ′(x )，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f (2)，c ＝f (log 28)，则( )A ．a <b <cB ．a >b >cC ．c <a <bD ．a <c <b解：当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，得f ′(x )>0，所以函数在(－∞，1)上单调递增，又f (x )＝f (2－x )，得函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以函数f (x )图象上的点距离x ＝1越近函数值越大．又log 28＝3，所以log 28－1>1－0>2－1，得f (2)>f (0)>f (log 28)．故选C .7．已知奇函数f (x )与偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x＋2，且g (b )＝a ，则f (2)的值为．解：∵f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2，f (－x )＋g (－x )＝a －x －a x＋2，又f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，∴f (x )－g (x )＝a x－a －x－2.∴f (x )＝a x －a －x ，g (x )＝2，∴a ＝2，f (2)＝22－2－2＝154.故填154. 8．(2014·课标Ⅱ)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是_________．解：∵f (x )是偶函数，∴f (x －1)>0⇔f (|x －1|)>0＝f (2)，又∵f (x )在[0，＋∞)单调递减，∴|x －1|<2，解之得－1<x <3.故填(－1，3)．9．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且满足： ①f (x )＝f (2－x )；②当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2. (1)判断函数f (x )是否为周期函数；(2)求f (5.5)的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）＝f （2－x ），f （x ）＝f （－x ） ⇒f (－x )＝f (2－x )⇒f (x )＝f (x ＋2)⇒f (x )是周期为2的周期函数．(2)f (5.5)＝f (4＋1.5)＝f (1.5)＝f (2－1.5) ＝f (0.5)＝0.25.10．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x 恒有f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0，2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2，4]时，求f (x )的解析式； (3)计算f (0)＋f (1)＋…＋f (2016)的值． 解：(1)证明：因为f (x ＋2)＝－f (x )， 所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， 因此，f (x )是以4为周期的函数． (2)x ∈[－2，0]时，－x ∈[0，2]，f (－x )＝－2x －x 2，因为f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－(－2x －x 2)＝2x ＋x 2， 当x ∈[2，4]时，x －4∈[－2，0]，所以f (x －4)＝2(x －4)＋(x －4)2，因为f (x )以4为周期， 所以f (x )＝f (x －4)＝(x －4)2＋2(x －4)＝x 2－6x ＋8.高考数学一轮复习第二章函数的概念、基本初等函数（Ⅰ）及函数的应用2.3函数的奇偶性与周期性习题理11 / 11 (3)由(1)、(2)可知f (0)＝0，f (1)＝1，f (2)＝0，f (3)＝－1，所以f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2016)＝504×[f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)]＋f (2016)＝0.11．(2014·上海)设常数a ≥0，函数f (x )＝2x ＋a 2x －a.根据a 的不同取值，讨论函数y ＝f (x )的奇偶性，并说明理由．解：∵f (x )＝2x ＋a 2x －a且a ≥0， ∴①当a ＝0时，f (x )＝1，x ∈R ，∴对任意的x ∈R 都有f (x )＝f (－x )，∴y ＝f (x )为偶函数；②当a ＝1时，f (x )＝2x ＋12x －1，x ≠0， f (－x )＝2－x ＋12－x －1＝1＋2x 1－2x ， ∴对任意的x ≠0且x ∈R 都有f (x )＝－f (－x )，∴y ＝f (x )为奇函数；③当a ≠0且a ≠1时，定义域为{x |x ≠log 2a ，x ∈R }，∴定义域不关于原点对称，∴y ＝f (x )为非奇非偶函数．(2014·全国大纲)奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋2)为偶函数，且f (1)＝1，则f (8)＋f (9)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1解：由f (x ＋2)为偶函数可得f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，由于函数f (x )是奇函数，故f (－x ＋2)＝－f (x －2)，所以f (x ＋2)＝－f (x －2)，以x ＋2代x 得f (x ＋4)＝－f (x )，故f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，所以8是函数f (x )的一个周期，所以f (9)＝f (1)＝1，又f (8)＝f (0)＝0，所以f (8)＋f (9)＝1.故选D .。
高三数学一轮复习《函数的概念与性质》练习题 (含答案)
高三数学一轮复习《函数的概念与性质》练习题 （含答案）函数的概念及其表示一、单选题1.函数11y x =-的定义域是( )A. (0,2]B. (,1)(1,2]-∞⋃C. (1,)+∞D. [1,2]2.设函数21,1()2,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩,则[(3)]f f =( )A ．15 B.3 C. 23 D. 1393.已知函数f (x +1)=3x +2,则f (x )的解析式( )A.3x -1B. 3x +1C. 3x +2D. 3x +44.下列各对函数表示同一函数的是( )(1) ()f x x =与2()g x =；(2) ()2f x x =-与()g x =(3) 2()(0)f x x x π=≥与2()(0)g r r r π=≥； (4) ()f x x =与,0(),0x x g x x x ≥⎧=⎨-<⎩.A.(1)(2)(4)B.(2)(4)C.(3)(4)D.(1)(2)(3)(4)5.已知函数y = f (x )的定义域是[-2,3], 则y =f (2x -1)的定义域是() A. 5[0,]2 B. [1,4]- C. 1[,2]2- D. [5,5]-6.已知函数221,0()3,0x x f x x x +≥⎧=⎨<⎩,且0()3f x =,则实数0x 的值为( )A.-1B.1C.-1或1D.-1或-3二、多选题7.关于函数y =f (x ),以下说法正确的是( )A.y 是关于x 的函数B.对于不同的x ,y 的值也不同C.f (a )表示当x =a 时函数f (x )的值,是一个常量D.f (x )一定可以用一个具体的式子表示出来8.若函数2(),(,0)(0,)1x f x x x =∈-∞⋃+∞+,则下列等式成立的是( ) A. 1()()f x f x = B. 1()()f x f x -= C.11()()f f x x = D. ()()f x f x -=- 三、填空题9.已知函数()1f x ax =+,且(2)1f =-,则(2)f -=_______.10.若函数2(21)2f x x x +=-,则(3)f =_______,()f x =___________.11.已知函数22,2()21,2x ax x f x x x ⎧+≥=⎨+<⎩,若[(1)]0f f >,则实数a 的取值范围是___________.函数的基本性质一、单选题1. 下列函数中,值域为(,0)-∞的是( )A. 2y x =-B. 131()3y x x =-<C. 1y x =D. y =2.下列函数是偶函数，且在(,0]-∞上是增函数的是( )A ．1y x =- B. 2()f x x = C. 3y x = D. ,0,0x x y x x -≥⎧=⎨<⎩3.已知()f x 是实数集上的偶函数，且在区间[0,)+∞上是增函数，则(2)f -，()f π-，(3)f 的大小关系是( )A. ()(2)(3)f f f π->->B. (3)()(2)f f f π>->-C. (2)(3)()f f f π->>-D. ()(3)(2)f f f π->>-4.函数()y f x =在R 上是增函数，且(2)(9)f m f m >-+，则实数m 的取值范围是( )A. (,3)-∞-B. (0,)+∞C. (3,)+∞D. (,3)(3,)-∞-⋃+∞5.函数()y f x =是以3为周期的偶函数，且当(0,1)x ∈时，()21f x x =+，则2021()2f =( ) A.2022 B.2 C.4 D.66.已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞上是单调递增，则满足1(21)()3f x f -<的x 的取值范围是( ) A. 12(,)33 B. 12[,)33 C. 12(,)23 D. 12[,)23二、多选题7.如果函数()f x 在[a ,b ]上是减函数，对于任意的1212,[,]()x x a b x x ∈≠，那么下列结论正确的是( ) A. 1212()()0f x f x x x -<- B. 1212()[()()]0x x f x f x --< C. 12()()()()f a f x f x f b ≥>≥ D. 12()()f x f x <8.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，下列说法正确的是( )A. (0)0f =B.若()f x 在[0,)+∞上有最小值-1，则()f x 在(,0]-∞上有最大值1C. 若()f x 在[1,)+∞上为增函数，则()f x 在(,1]-∞-上为减函数D.若0x >时，2()2f x x x =-，则0x <时，2()2f x x x =--三、填空题9.如图是定义在闭区间[5,5]-上的函数()y f x =的部分图像，根据图像可知函数()y f x =的单调递增区间是_______,单调递减区间是______.10.若()f x 是定义在R 上的奇函数，且1(2)()f x f x +=，则(8)f 的值为___. 11.若2()3f x ax bx a b =+++是偶函数，且定义域为[1,2]a a -，则a =_____,b =______.本章检测 函数的概念和性质一、单选题1. 已知函数2()23f x x mx =-+在[-2,+∞)上单调递增,在(-∞,-2]上单调递减，则f (1)的值为( )A.-3B.13C.7D.52.已知f (x )为奇函数,且在(-∞,0)上为增函数,g (x )为偶函数,且在(-∞,0)上为增函数,则在(0,+∞)_上，下列结论正确的)A.两个都是增函数B.两个都是减函数C. f (x )为增函数,g (x )为减函数D. f (x )为减函数,g (x )为增函数3.已知函数g (x )= f (2x )-x 2是奇函数,且f (1)=2,则f (-1)=( ) _3 A. 32- B.-1 C. 32 D. 744.已知函数(3)5,1()2,1a x x f x a x x -+≤⎧⎪=⎨>⎪⎩是(-∞,+∞)上的减函数，则a 的取值范围是( )A. (0,3)B. (0,3]C. (0,2)D. (0,2]5.已知函数g (x )是定义在[a -16,3a ]上的奇函数,且21,0()(),0x x f x f x a x -≥⎧=⎨+<⎩, 则f (-2020)=( )A.2B. 7C. 10D.-16. 已知定义在R 上的奇函数f (x )满足当x >0时，f(x )=x 2-2x ,则关于x的不等式f (x )<0的解集为( )A. (-2,2)B. (2,0)(0,2)-⋃C. (,2)(2,)-∞-⋃+∞D. (,2)(0,2)-∞-⋃二、多选题7.已知定义在区间[-3,3]上的一个偶函数,它在[-3,0]上的图象如图所示，则下列说法正确的是( )A.这个函数有两个单调递增区间B.这个函数有三个单调递减区间C. f (2)<2D.这个函数的值域为[-2,2]8.已知定义域为R 的函数f (x )是奇函数,且满足f (1-x )=f (1+x ),当0<x ≤1时,f (x )=2x ,则下列结论正确的是( )A. f (x )的最小正周期为2B.当-1<x ≤1时,f (x )=2xC. f (x )在[11,13]上单调递增D. f (x )的最大值为2,最小值为-2三、填空题9.已知函数,0(),0x x f x x x ⎧≥⎪=-<若f (a )+f (-1)=2,则a =_______.10.已知函数f (x )=x 5+ax 3+bx +2,且f (2)=3,则f (-2)=________.11.函数f (x )为奇函数,定义域为R ,若f (x +1)为偶函数,且f (1)=1,则f (2020)+f (2021)=_______。
2019-2020年高考数学一轮总复习第2章函数的概念与基本初等函数第8节函数的模型及其综合应用高考AB卷理
p，第二年的增长率
为 q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为 ( )
p＋ q A. 2
（ p＋1）（ q＋1）－ 1
B.
2
C. pq 解析 设年平均增长率为
D. （ p＋ 1）（ q＋ 1）－ 1 x，原生产总值为 a，则 (1 ＋ p)(1 ＋ q) a＝ a(1 ＋x) 2，解得 x＝
（ 1＋ p）（ 1＋ q）－ 1，故选 D.
2. (xx ·北京， 8) 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程 . 如图描述了甲、
乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况
. 下列叙述中正确的是 (
)
A. 消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米 B. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最多 C. 甲车以 80 千米 / 时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油
答案 D 4. (xx ·陕西， 9) 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于
300 m2 的内接矩形
花园 ( 阴影部分 ) ，则其边长 x( 单位： m)的取值范围是 ( )
A.[15 ， 20]
B.[12 ， 25]
C.[10 ， 30]
D.[20 ， 30]
x 40－ y 解析 设矩形另一边长为 y，40＝ 40 ，则 x＝ 40－y， y＝ 40－ x. 由 xy≥300，即 x(40
而
f
′（x)
＝
2x＋
a，g′
(
x)
＝
x
e(
cx＋
d＋
c)
，故
b＝ 2， d＝2， a＝ 4， d＋ c＝ 4. 从而
a＝4，
b＝ 2， c＝ 2， d＝ 2.
2019-2020年高考数学一轮总复习第2章函数的概念与基本初等函数第一节函数的概念AB卷文新人教A版
2019-2020年高考数学一轮总复习第2章函数的概念与基本初等函数第一节函数的概念AB 卷文新人教A 版1.(xx·新课标全国Ⅱ，13)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1，4)，则a ＝________. 解析 由函数f (x )＝ax 3－2x 过点(－1，4)，得4＝a (－1)3－2×(－1)， 解得a ＝－2. 答案 －22.(xx·新课标全国Ⅰ，10)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2（x ＋1），x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( ) A.－74B.－54C.－34D.－14解析 若a ≤1，f (a )＝2a －1－2＝－3，2a －1＝－1(无解)；若a >1，f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3，a ＝7，f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝14－2＝－74.答案 A1.(xx·湖北，7)设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则( )A.|x |＝x |sgn x |B.|x |＝x sgn |x |C.|x |＝|x |sgn xD.|x |＝x sgn x解析 对于选项A ，右边＝x |sgn x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≠0，0，x ＝0，而左边＝|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，显然不正确；对于选项B ，右边＝x sgn|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≠0，0，x ＝0，而左边＝|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，显然不正确；对于选项C ，右边＝|x |sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >00，x ＝0x ，x <0，而左边＝|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，显然不正确；对于选项D ，右边＝x sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，0，x ＝0，－x ，x <0，而左边＝|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，显然正确；故应选D.答案 D2.(xx·陕西，10)设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，有( ) A.[－x ]＝－[x ] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋12＝[x ]C.[2x ]＝2[x ]D.[x ]＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋12＝[2x ] 解析 令x ＝1.1，[－1.1]＝－2，而－[1.1]＝－1， 所以A 错；令x ＝－12，[－12＋12]＝0，[－12]＝－1，所以B 错；令x ＝0.5，[2x ]＝1，2[x ]＝0，所以C 错；故选D. 答案 D3.(xx·湖北，5)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是( )解析 根据其运动情况，开始时匀速行驶，离学校距离越来越近，是一个减函数.后交通堵塞停留了一段时间，距离不变，最后加速行驶，离学校越来越近，且变化趋势越来越快.结合图象，选C.答案 C4.(xx·浙江，11)已知函数f (x )＝x －1.若f (a )＝3，则实数a ＝________. 解析 由a －1＝3，解得a ＝10. 答案 105.(xx·重庆，3)函数f (x )＝log 2(x 2＋2x －3)的定义域是( ) A.[－3，1]B.(－3，1)C.(－∞，－3]∪[1，＋∞)D.(－∞，－3)∪(1，＋∞)解析 需满足x 2＋2x －3＞0，解得x ＞1或x ＜－3，所以f (x )的定义域为 (－∞，－3)∪(1，＋∞). 答案 D6.(xx·湖北，6)函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为( )A.(2，3)B.(2，4]C.(2，3)∪(3，4]D.(－1，3)∪(3，6]解析 依题意，有4－|x |≥0，解得－4≤x ≤4①；且x 2－5x ＋6x －3>0，解得x >2且x ≠3②；由①②求交集得函数的定义域为(2，3)∪(3，4].故选C. 答案 C7.(xx·山东，3)函数f (x )＝1log 2x －1的定义域为( )A.(0，2)B.(0，2]C.(2，＋∞)D.[2，＋∞)解析 由题意可知x 满足log 2x －1＞0，即log 2x ＞log 22，根据对数函数的性质得x ＞2，即函数f (x )的定义域是(2，＋∞). 答案 C8.(xx·重庆，3)函数y ＝1log 2（x －2）的定义域是( )A.(－∞，2)B.(2，＋∞)C.(2，3)∪(3，＋∞)D.(2，4)∪(4，＋∞)解析 由题知⎩⎪⎨⎪⎧x －2＞0，log 2（x －2）≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2，x －2≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2，x ≠3.所以该函数的定义域为(2，3)∪(3，＋∞)，故选C. 答案 C9.(xx·陕西，1)设全集为R ，函数f (x )＝1－x 的定义域为M ，则∁R M 为( ) A.(－∞，1) B.(1，＋∞) C.(－∞，1]D.[1，＋∞)解析 要使f (x )＝1－x 有意义，则须1－x ≥0，即x ≤1， 所以M ＝{x |x ≤1}，∁R M ＝{x |x ＞1}. 答案 B10.(xx·广东，2)函数y ＝lg （x ＋1）x －1的定义域是( )A.(－1，＋∞)B.[－1，＋∞)C.(－1，1)∪(1，＋∞)D.[－1，1)∪(1，＋∞)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，x ＋1＞0，解得x ＞－1且x ≠1，故选C.答案 C11.(xx·安徽，2)设集合A ＝{x |－3≤2x －1≤3}，集合B 为函数y ＝lg(x －1)的定义域，则A ∩B ＝( ) A.(1，2) B.[1，2] C.[1，2)D.(1，2]解析 由题知A ＝[－1，2]，B ＝(1，＋∞)， ∴A ∩B ＝(1，2]，故选D. 答案 D12.(xx·安徽，11)函数y ＝ln(1＋1x)＋1－x 2的定义域为________ .解析 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x ＞0，x ≠0，1－x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－1或x ＞0，x ≠0，－1≤x ≤1⇒x ∈(0，1].答案 (0，1]13.(xx·广东，11)函数y ＝x ＋1x的定义域为________. 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，x ≠0得函数y ＝x ＋1x的定义域为{x |x ≥－1，且x ≠0}. 答案 {x |x ≥－1，且x ≠0}14.(xx·山东，10)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x ＜1，2x ，x ≥1.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝4，则b ＝( )A.1B.78 C.34 D.12解析 由题意，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝3×56－b ＝52－b . 若52－b ≥1，即b ≤32时，252－b ＝4， 解得b ＝12.若52－b ＜1，即b ＞32时，3×⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b －b ＝4，解得b ＝78(舍去).所以b ＝12. 答案 D15.(xx ·陕西，4)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x ，x ＜0，则f (f (－2))＝( )A.－1B.14C.12D.32解析 ∵f (－2)＝2－2＝14＞0，则f (f (－2))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－14＝1－12＝12，故选C. 答案 C16.(xx·江西，4)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x，x ≥02－x ，x ＜0(a ∈R )，若f [f (－1)]＝1，则a ＝( )A.14 B.12C.1D.2解析 因为－1＜0，所以f (－1)＝2－(－1)＝2，又2＞0，所以f [f (－1)]＝f (2)＝a ·22＝1，解得a ＝14.答案 A17.(xx·福建，9)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f (g (π))的值为( ) A.1 B.0 C.－1D.π解析 g (π)＝0，f (g (π))＝f (0)＝0，故选B. 答案 B18.(xx·福建，13)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3，x ＜0，－tan x ，0≤x ＜π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.解析 由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－tan π4＝－1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f (－1)＝2×(－1)3＝－2.答案 －219.(xx·陕西，11)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ＜0，则f (f (－4))＝________.解析 f (－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝16，又f (16)＝16＝4，∴f (f (－4))＝4.答案 4。
高考数学一轮复习 第2单元 函数的概念、性质与初等函数单元训练(A卷,理,含解析)-人教版高三全册数
单元训练金卷▪高三▪数学卷（A ）第2单元 函数的概念、性质与初等函数注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数0.5log (4)y x =-的定义域是（ ） A ．[3,4)B ．(,3]-∞C ．[3,)+∞D ．(,4]-∞2．下列函数中为偶函数的是（ ） A ．3y x x =+B ．24y x =-C ．y x =D ．1y x =+3．已知函数()26f x x kx =--在[2，8]上是单调函数，则k 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．4．下图给出四个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（ ）① ② ③ ④ A ．①13y x =，②2y x =，③12y x =，④1y x -= B ．①，②，③12y x =，④C ．①，②3y x =，③，④12y x = D ．①13y x =，②12y x =，③，④5．函数()1()lg x f x -=的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知2log 6a =，5log 15b =，7log 21c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b c a <<7．已知定义域R 的奇函数()f x 的图像关于直线1x =对称，且当01x ≤≤时，3()f x x =，则212f ⎛⎫=⎪⎝⎭（ ） A ．278-B ．18-C ．18D ．2788．已知定义在R 上的函数()f x 在区间)[0,+∞上单调递增，且()1y f x =-的图象关于1x =对称，若实数a 满足()()2log 2f a f <，则a 的取值范围是（ ） A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．1,44⎛⎫⎪⎝⎭D ．()4,+∞9．函数()2283,1log ,1a x ax x f x x x ⎧-+<⎪=⎨≥⎪⎩在x ∈R 内单调递减，则a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．15,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．5,18⎡⎫⎪⎢⎣⎭10．设函数2,3()(1),3x x f x f x x ⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩，则()2log 6f 的值为（ ）A ．3B ．6C ．8D ．1211．已知函数1f xmx 的零点在区间(1,2)内，则m 的取值范围是（ ）A ．1(,)2-∞-B ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．()1,-+∞D ．1(,1)(,)2-∞-⋃-+∞12．已知定义在R 上的函数()f x 满足(1)(1)0f x f x ++--=，(2)(2)0f x f x +--=．当(]0,2x ∈时，()3x f x =，则(2018)(2019)f f -+=（ ）此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A ．6-B ．3-C ．3D ．12第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知函数22,1()log (1),1x ax f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，若[(0)]2f f =，则实数a 的值是_______． 14．已知函数2x y a =-定义域为R ，则实数a 的取值范围是________．15．函数2212x xy -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为________．16．设函数()21,02,x x f x x x ⎧-≥=⎨+<⎩，若函数()y f x a =-有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是_______．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）化简求值：（1）()113630.0π625248-+++-；（2）7lg142lg lg7lg183-+-．18．（12分）设22332100064lg42lg5a =⨯+++． （1）化简上式，求的值； （2）设集合，全集为，B A N =R，求集合中的元素个数．19．（12分）已知函数．（1）当时，在给定的直角坐标系内画出的图象，并写出函数的单调区间；（2）讨论函数零点的个数．20．（12分）已知二次函数．（1）若为偶函数，求值；（2）若在单调递增，求的取值范围；（3）若与轴交于两点（－3，0），（1，0），求当的值域．21．（12分）某银行柜台异地跨行转账手续费的收费标准为转账金额的，且最低1元笔，最高50元笔，王杰需要在该银行柜台进行一笔异地跨行转账的业务．（1）若王杰转账的金额为x元，手续费为y元，请将y表示为x的函数；（2）若王杰转账的金额为元，他支付的手续费大于5元且小于50元，求t的取值范围．22．（12分）已知．（1）求的值域；（2）若对任意都成立，求m的取值范围．单元训练金卷▪高三▪数学卷（A ）第2单元 函数的概念、性质与初等函数 答 案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】A【解析】要使函数有意义，则0.5log (4)040x x -≥⎧⎨->⎩，解得34x ≤<，故答案选A ．2．【答案】B【解析】对于A ，()()()33f x x x x x f x -=--==-+-，是奇函数．对于B ，()()()2244f x x x f x -=--=-=，是偶函数． C 、D 是非奇非偶函数，所以选B ． 3．【答案】D【解析】根据题意，函数()26f x x kx =--的对称轴为2kx =， 若()f x 在[2，8]上是单调函数，必有22k ≤或82k≥，解得k ≤4或k ≥16，即k 的取值范围是，故选D ．4．【答案】B【解析】②的图象关于y 轴对称，②应为偶函数，故排除选项C ，D ，①由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除A ， 故选B ． 5．【答案】B【解析】由题()f x 是偶函数，其定义域是(,1)(1,)-∞-+∞，且()f x 在(1,)+∞上是增函数，故选B ．6．【答案】B【解析】由于22log 6log 42a =>=，772log 211log 3c >==+，a c ∴>，552log 151log 3b >==+，33log 7log 5>，可得b c >，综合可得a b c >>，故选B ． 7．【答案】B【解析】()f x 为定义域R 的奇函数，得到()()f x f x -=-①； 又由()f x 的图像关于直线1x =对称，得到2421D kx k =+②；在②式中，用1x -替代x 得到()()2f x f x -=， 又由②得()()22f x f x -=--，再利用①式，()()()213f x f x -=+-()()()134f x f x =--=-()4f x =--，()()()24f x f x f x ∴=-=-③；对③式，用4x +替代x 得到()()4f x f x =+，则()f x 是周期为4的周期函数， 当01x ≤≤时，3()f x x =，得1128f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11122f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13122f f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭18=，331228f f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于()f x 是周期为4的周期函数，331222f f ⎛⎫⎛⎫∴-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21128f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，答案选B ． 8．【答案】C【解析】根据题意，()1y f x =-的图象关于1x =对称，则函数()f x 的图象关于y 轴对称， 即函数()f x 为偶函数，又由函数()f x 在区间)[0,+∞上单调递增，则()()()()222log 2log 2log 2f a f f a f a <⇒<⇒<， 即22log 2a -<<，解得144a <<， 即a 的取值范围为1,44⎛⎫⎪⎝⎭，故选C ．9．【答案】B【解析】由题意，函数()2283,1log ,1ax ax x f x x x ⎧-+<⎪=⎨≥⎪⎩在x ∈R 内单调递减，则281220121813log 1a aa a -⎧-≥⎪⨯⎪<<⎨⎪⨯-⨯+≥⎪⎩，即2101580a a a ≥⎧⎪<<⎨⎪-≥⎩，解得1528a ≤≤，即实数a的取值范围是15, 28⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选B．10．【答案】D【解析】函数2,3()(1),3x xf xf x x⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩，因为2log63<，()()22log61log6f f=+，221log6l3og12+=>，故得到()()2log22122log61log612f f+===，故答案为D．11．【答案】B【解析】由题知()f x单调，故(1)(2)0f f⋅<，(1)(21)0m m++<，112m-<<-，故选B．12．【答案】A【解析】令1t x=+，由(1)(1)0f x f x++--=可得()()f t f t=--，所以函数()f x是定义在R上的奇函数，所以(0)0f=．由(2)(2)0f x f x+--=可得(2)(2)f x f x+=-，所以(4)f x+=()()f x f x-=-，所以(8)()f x f x+=，故函数()f x的周期为8，所以(2018)(25282)(2)(2)9f f f f-=-⨯-=-=-=-，(2019)(25283)(3)(1)3f f f f=⨯+===，所以(2018)(2019)6f f-+=-，故选A．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】2【解析】∵0(0)223f=+=，∴[(0)](3)log2af f f==，∵[(0)]2f f=，∴log22a=，因为0a>，所以解得2a=，故答案为2．14．【答案】0a≤【解析】函数的定义域为R，则20x a-≥恒成立，即2xa≤恒成立，20x>，0a∴≤，故答案为0a≤．15．【答案】(]0,2【解析】由题意，设222(1)11t x x x=-=--≥-，又由指数函数12ty⎛⎫= ⎪⎝⎭为单调递减函数，当1t≥-时，02y<≤，即函数2212x xy-⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为(]0,2．16．【答案】[0，2)【解析】函数有两个不同的零点，即有两个不同的交点，所以函数与函数y=a有两个交点，如图所示：所以a的范围是[0，2)．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）13364+；（2）0．【解析】（1）原式536113360.2512424+=+++-=．（2）原式2147lg lg107183⨯===⎛⎫⨯⎪⎝⎭．18．【答案】（1）218；（2）个．【解析】（1）原式22332100064lg42lg5=⨯+++．（2），{}|218RA x x=≤，，所以中元素个数为．19．【答案】（1）图像见解析，在1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，上单调递增，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；（2）①当或14a >时，函数零点的个数1个，②当或14a =时，函数零点的个数2个，③当104a <<时，函数零点的个数3个．【解析】（1）当时，()()()()()1,11,1x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，则函数的图象如图所示，由图易知函数在1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，上单调递增，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减．（2）函数零点的个数等价于函数的图象与直线的交点个数，由（1）得①当或14a >时，函数零点的个数1个，②当或14a =时，函数零点的个数2个， ③当104a <<时，函数零点的个数3个．20．【答案】（1）0；（2）[)2,-+∞；（3）．【解析】（1）∵，为偶函数，()()f x f x ∴-=，0p ∴=．（2）∵的对称轴为2px =-， 因为函数在,2p ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上单调增，所以由已知在上单调增，12p∴-≤，2p ∴≥-，所以的取值范围为．（3）()f x x 与轴交于（－3，0）（1，0）两点，根据根与系数关系，()312p =--+=，3q =-，()223f x x x ∴=+-，()223g x x x ∴=+-，()45g ∴-=，()532g =，所以当时，的值域为．21．【答案】（1）1,02000.005,2001000050,10000x y x x x <≤⎧⎪=<≤⎨⎪>⎩；（2）．【解析】（1）由题意得1,02000.005,2001000050,10000x y x x x <≤⎧⎪=<≤⎨⎪>⎩．（2）从（1）中的分段函数得，如果王杰支付的手续费大于5元且小于50元， 则转账金额大于1000元，且小于10000元，则只需要考虑当时的情况即可，由，得，得，即实数t 的取值范围是．22．【答案】（1）[]4,5；（2）2233m -<<．【解析】（1）令2x t =，，1,44t ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，原函数化为()2211g 5(2)444t t t t =-+=-+，1,44t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，即的值域为．（2）由()232f x m am >++对任意都成立，得2324m am ++<对任意都成立， 2320m am ∴+-<对任意都成立， 令()232h a ma m =+-，，则()()2213201320h m mh m m-=--<=+-<⎧⎪⎨⎪⎩，解得2233m-<<．。
高三理科数学一轮单元卷：第二单元函数的概念及其性质A卷
一轮单元训练金卷？高三？数学卷（A ）第二单元函数的概念及其性质注意事项:1 •答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。
2 •选择题的作答： 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3 •非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4 •考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）131相同的是（xA . 0,3B . 1,3C . 1,0D . 1,3 6 .已知函数1 f x x sin x 1，若 f a 3，则f a 的值为（ ) A . 0B . 3C . 4D . 5、选择题（本大题共 1 •下列函数的定义域与xA • y 2B •y lg xC . y . x 2 •设函数ff 2 x :, x 2则- 1 :xf log 4f 32 x , x 03A • 3+2B •11C . 3+ 33.下列函数 中疋奇 函数的为 ()A • y x 1B • y2 xC . y x 4•设函数f :x2x 11 x 0 , 则fx ()sin xC 是增函数D .是减函数25.函数y x 2x , x 0,3的值域为（(xA .有最大值B •有最小值C. , 1 U 3,且仅有.1个整数，那么a取值范围是（）.11K//-I 0r、B . a| 2 a 0D . a| 2 a 111 .若f x是偶函数且在0, 上为增函数，又A . x x 3或-3 x 0 C . x x 3 或x 3B . x x 3 或0x3 D . x x 3且x 37 . 已知函数a x ,x 1a4 —x 2,x 12R上的增函数，则实数a的取值范围是（A. 1,8B. 1,&已知f x 是奇函数，当x 0时f X x 1 x A . x 1x B . x 1xlog 2 x 1 ,x29.设函数f x x1右f x o1,x22A . ,0U2,1，则x o的取值范围是（）B. 0,2C. 4,8D. 4,8，当x 0时，f x等于( ) C. x 1 x D. x 1 x10 •如图，函数f x的图象为两条射线CA, CB组成的折线，如果不等式 2f x x a的解集中有D . 1,3f 3 1，则不等式f x 1的解集为（二、填空题(本大题有 4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在题中横线上) __ 113.函数y 寸x 2 --------------- 的定义域为 ________ .4 xx 1 x a14•设函数f x ------------------------- 为奇函数，则实数 a ____________ .x 15.函数f x ■^丄 的单调递减区间为 ____________ .2x 1三、解答题(本大题有 6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)2x 1, x 117. (10分)已知函数f X 2,x 2x, x 1(1) 试比较f f 3与f f 3 的大小； (2) 画出函数的图象； (3) 若f x 1，求x 的值.(1) 求 f 0 , f 1 ； (2) 求函数f x 的表达式; (3)判断并证明函数在区间 0,上的单调性.|2x 1,x 212.已知函数1 『x3 若方程f x,x 2x 1( )A . 0,1B . 0,2C0,3 D . 1,3a 0有三个不同的实数根， 则实数a 的取值范围为16 .若函数 yx 的图象经过点 1,3，则函数 y x 1的图象必定经过的点的坐标是18. (12分)已知x 是定义在 1,1上的偶函数，且x 1,0 时,x 2 119. （12 分）已知函数 f x lg x 2 lg 2 x . (1) 求f X 的疋义域；(2) 判断f x 的奇偶性并予以证明; (3) 求不等式f x 1的解集.(1) 用分段函数的形式表示该函数. (2) 画出该函数的图象.(3) 写出该函数的单调区间及值域.21. (12分)已知函数f x 是定义在|R 上的偶函数，且当x 0时，f x x 2 2x •现已画出函数f x 在y 轴左侧的图象，如图所示，请根据图象. (1) 写出函数f x x R 的增区间. (2) 写出函数f x x R 的解析式.(3) 若函数g x f x 2ax 2 x 1,2 ，求函数g x 的最小值.20. (12分)已知函数f x 1 2 x x 1 x 2（＞ ；\2 :«-4 LriJ-I 1 Li 1「1122. （12分）已知f x为奇函数，g x为偶函数，且f x g x 2log2 1 x .（1）求f x及g x的解析式及定义域；（2）若关于x的不等式f 2x m 0恒成立，求实数m的取值范围.（3）如果函数F x 2gx，若函数y F 2x 1 3k 2x 1 2k有两个零点，求实数k的取值范围.一轮单元训练金卷？高三？数学卷答案2. 【答案】A【解析】因为函数f x 4. 【答案】A 第二单元函数的概念及其性质、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 【答案】D【解析】y 「一的定义域是•Xy 2的定义域是R , y lg x的定义域是xy . x的定义域是x 独的定义域是xx 0，故选D.所以f 3 1 2 ；可得f1log4 3咲2町3•一3 ,1所以f iog43 故选A.3. 【答案】D【解析】y x 1为非奇非偶函数，y x2与y x为偶函数，y x为奇函数•故选 D .1 -【解析】fx 2x — 1 2 x — 1x0，从而可以确定函数 f x在，—2上单调增，XX 2在,0上单调减，所以函数 f x有最大值，故选 A .25. 【答案】D2 2 2【解析】•/ y x 2x x 1 1 ,.••函数y x 2x开口向上，对称轴为x 1 ,•••函数y x2 2x在0,1上单调递减，1,3单调递增，.••当x 1时，函数值最小，最小值为 1 ;当x 3时，函数值最大，最大值为3,即函数的值域为1,3，故选D6.【答案】D【解析】由题意fa a si na 1 3，所以 a sin a4,又 f a a sin a 1 a sin a 1 4 1 5 , 故选D.7.【答案】Da x,x 1【解析】•••函数f x a是R上的增函数,4 —x 2,x 12解得a 4,8，故选D.&【答案】A【解析】当x 0时，x 0,则 f x x 1 x .又f x是R上的奇函数，所以当x 0 时f x f x x 1 x .故项A .9.【答案】C【解析】由题意f x01等价于lo g2 X 1 1和x—2 1 1，分别解得x 3和x 1 ;x 2x2a>14 2>010. 【答案】A不等式f x x 2 a 等价于a x 2 f x 人 2x 2 2x 2,x令 g x x 2 f x ，即 g x 2x x 2,x作出g x 的大致图象，如图所示：11. ［答案】D12. 【答案】A的取值范围是 0,1 ,故选A .所以X 0的取值范围是1 U 3, ，故选 C .【解析】根据题意可知,2x 2,x 0 f xx 2,x2 , g 1 112 0 •••要使不等式的解集中有且只有12 2 1 ,1个整数,2 a 0 .本题选择 A 选项.【解析】Q f x 是偶函数,1 , Q f x 1 , f f 3 , Q f x 在 0, 上是增函数,不等式f x 1的解集为xx 3且x 3，故选D .【解析】Q 函数|2x 1 ,xx3------ ,x x 1作出函数 f x 图象，如图所示，Q 方程f x a 0有三个不同的实数根, 等价于函数y f x 的图象与y a 有三个不同的交点，根据图象可知，当0 a 1时，函数yf x 的图象与y a 有三个不同的交点,方程f x a 0有三个不同的实数根,所以a、填空题（本大题有 4小题，每小题5分，共20分•请把答案填在题中横线上）13 .【答案】x x14.【答案】 1【答案】【解析】(1)v 3 1 , • f 32772-27 35【解析】由题意，解得x2且X 4，故答案为xx【解析】•••函数x 1 x a为奇函数，.••对于定义域内任意 x 均有f x f x0，即 2 1 a 00 ,.•• a 1，故答案为15.函数f xx 1 2x 1的单调递减区间为【解析】f xx 2x1 x —2 2x，定义域是 x| x•••单调减区间为 .故答案为16.【答案】 1,4【解析】设x此时4，即y x 1的图象过点1,4 ,故答案为 1,4 .三、解答题（本大题有 6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.【答案】（1） f f；（2 ）见解析.(3) 由 f X 1的函数图象综合判断可知，当x,1时，得f x2x+1=1，解得x 0 ;当x1,时，得f X x2 2x 1，解得x 1 ,2 或x 1 .2(舍去)综上可知X的值为0或1 2 .(2)设X2 1 , • X2 X1 0 , X1X2•••31, • f 3 32 2 3 3, • f f 3 3 ,••• f f 3 f f 3 (2)函数图象如图所示:18.【答案】(1) (2)xx2 1x~~2x0,1(3) f x 在0,1 为单调减函数.【解析】(1) f 0 0,因为函数f x为偶函数, 所以有所以f xxX21‘ x0，(3)设xX21, X1,x X21 ,f X2 X1X2X22 1X1x12 1x2x1x1x2 11X22 1 X12x2 x在0,1为单调减函数.1,，解得2x2 .故所求函数f x 的定义域为 2,(2)由(1)知f x 的定义域为 2,2，设 x 2,，贝U x2,2 .且f xlgx 2 lg 2 xf x ，故 f X 为奇函数.(3)因为 f x 在定义域 2,2内是增函数，因为f x 1 , 所以x 2 10，解得x 11 .所以不2 x 18等式f x111的解集是 一,2 .181 x 0 x 220.【答案】（1） f x'；（ 2 ）见解析；（3）见解析.1 3x, 1 x 0【解析】0x2 时，|x| x , f x 1 2x x 1 x ,f X max f 1 4 , f X 皿山 f 0 1，故 f X 值域为 1,4 .19.【答案】(1) 2, ; (2)见解析；(3)11 18 【解析】(1)要使函数 x 有意义.则x 2 02x01 x 0 时，x（2）x(3)由(2)可知，f x 单调减区间为1,0，单调增区间为 0,2 ,2x 2x,x 0(2) f x 2x 2x,x 01 2a, a 0(3) g X min a 2a 1,0 a 12 4 a, a 1【解析】（1）函数图像如图所示，函数 f x x R的增区间：1,0 U 1,③当1 a 1 2，即0 a 1时，函数g x的最小值为g a 1 a2 2a 1 ；1 2a, a 02综上所述，g X min a 2a 1,0 a 1 .4a, a 1122.［答案】（1）见解析；（2）m 0, ；（3）k ，—U 0,.2［解析】（1）因为f x是奇函数，g x是偶函数，所以 f x f x , g x g x , Qfx g x 2log 2 1 x，①21.【答案】(1) 1,0 U 1,(2)当x 0时, c 2 20，f x x 2 x x22x ,又函数f x 是定义在R上的偶函数，所以f x x2 2x .所以函数f x x 的解析式为f x2x 2x,x 0x2 2x,x 0（3）由（2）知, 2x x 2a 2 x 2 x 1,2 ，对称轴为x2a 2 a 1①当a 1 1，即0时，函数g x的最小值为g 1 1 2a ；②当 1 2，即a 1时，函数g x的最小值为g 2 2 4a ；即 f x g x 2log 2 1 x ，②联立①②可得， f xlog 1 x log 1x log 1 x21 x 1 ,1 xg x log 1 xlog 1 x log 2 1 x 2 1 x 1 .(2)因为f xlog 21 1 x ,所以 xf 2x1 log 21x 2 x，2xx设t 二T ，则t 匕三 1 J ，因为f X 的定义域为1,1 , 2x0 ,12 12 12 所以 0 2x 1 , 1 12x 2, 11 , 01 2 1，，2 1 2x1 2x即0 t 1, log 2t 0 ,因为关于x 的不等式f 2x m 0恒成立，则m f 2 又Q f 2x 0， m 0 ,故m 的取值范围为m 0, .(3) F x 1 x 2, x 1,1 ,1 2x 11，可得 x ,1 ,x 2 xy 1 2x1 3k 2x 1 2k , x ,1 ,设 t |2x 10,1 , yt 2 3kt 2k 1 , t 0,1 ,•••当t 0,1 , y t 与y 2x 1有两个交点， 要使函数y F 2x 1 3k 2x 1 2k 有两个零点,即方程t 2 3kt 2k 1 0在0,1只有一个实根，且0 ,2 1令 utt 2 3kt 2k 1，则使 u0 u1 0，即得 k 或 k 021 k的取值范围k ,2 U0,:•令x x 代入上式得f xg x 2log 2 1 x ,xmax即使得函数yt 2 3kt 2k 1在t 0,1有一个零点,(t 0时x 0 , y 只有 个零点）。
高考数学一轮总复习第2章函数的概念与基本初等函数第6节函数的图象高考AB卷理
【2019最新】精选高考数学一轮总复习第2章函数的概念与基本初等函数第6节函数的图象高考AB卷理图象的识别1.(2016·全国Ⅰ，7)函数y＝2x2－e|x|在[－2，2]的图象大致为( )解析f(2)＝8－e2>8－2.82>0，排除A；f(2)＝8－e2<8－2.72<1，排除B；在x>0时，f(x)＝2x2－ex，f′(x)＝4x－ex，当x∈时，f′(x)<×4－e0＝0，因此f(x)在上单调递减，排除C，故选D.答案D2.(2015·全国Ⅱ，10)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P 到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为( )解析当点P沿着边BC运动，即0≤x≤时，在Rt△POB中，|PB|＝|OB|tan∠POB＝tan x，在Rt△PAB中，|PA|＝＝，则f(x)＝|PA|＋|PB|＝＋tan x，它不是关于x的一次函数，图象不是线段，故排除A和C；当点P与点C重合，即x＝时，由上得f＝＋tan＝＋1，又当点P 与边CD的中点重合，即x＝时，△PAO与△PBO是全等的腰长为1的等腰直角三角形，故f＝|PA|＋|PB|＝＋＝2，知f＜f，故又可排除D.综上，选B.答案B3.(2014·全国Ⅰ，6)如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]上的图象大致为( )解析由题意知，f(x)＝|cos x|·sin x，当x∈时，f(x)＝cos x·sin x＝sin 2x；当x∈时，f(x)＝－cos x·sin x＝－sin 2x，故选C.答案C4.(2012·全国，10)已知函数f(x)＝，则y＝f(x)的图象大致为( )解析令g(x)＝ln(x＋1)－x，g′(x)＝－1＝，∴当－1<x<0时，g′(x)>0，当x>0时，g′(x)<0，∴g(x)max＝g(0)＝0.∴f(x)<0，排除A，C，又由f(x)的定义域为{x|x≠0}，可排除D，故选B.答案B图象的应用及变换5.(2016·全国Ⅱ，12)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则(xi＋yi)＝( )A.0B.mC.2mD.4m解析法一特殊函数法，根据f(－x)＝2－f(x)可设函数f(x)＝x＋1，由y＝，解得两个点的坐标为此时m＝2，所以(xi＋yi)＝m，故选B.法二由题设得(f(x)＋f(－x))＝1，点(x，f(x))与点(－x，f(－x))，关于点(0，1)对称，则y ＝f(x)的图象关于点(0，1)对称. 又y ＝＝1＋，x≠0的图象也关于点(0，1)对称.则交点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm ，ym)成对，且关于点(0，1)对称.则故选B.()111,02,2m m m i i i i i i i m x y x y m ====+=+⨯=∑∑∑答案 B图象的识别1.(2013·山东，8)函数y ＝xcos x ＋sin x 的图象大致为( )解析 因f(－x)＝－x·cos(－x)＋sin(－x)＝－(xcos x ＋sin x)＝－f(x)，故该函数为奇函数，排除B ，又x∈，y>0，排除C ，而x ＝π时，y ＝－π，排除A ，故选D.答案 D2.(2013·四川，7)函数y ＝的图象大致是( )解析 当x ＝0时函数无意义，排除A ，又当x<0时，y>0，排除B ，经验证可知f(3)>f(5)，易知C 正确.答案 C图象的应用及变换3.(2015·安徽，9)函数f(x)＝的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A.a>0，b>0，c<0B.a<0，b>0，c>0C.a<0，b>0，c<0D.a<0，b<0，c<0 解析 由图可知－c>0，∴c<0，又当x<－c 时，由图象形状可知，a<0且b>0，故选C.答案 C4.(2015·北京，7)如图，函数f(x)的图象为折线ACB ，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是( )A.{x|－1＜x≤0}B.{x|－1≤x≤1}C.{x|－1＜x≤1}D.{x|－1＜x≤2}解析如图，由图知：f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1<x≤1}.答案C。
高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 2.3 函数的奇偶性与周期性真题演练集训 理 新
奇偶性与周期性真题演练集训理新人教A版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ2.3 函数的奇偶性与周期性真题演练集训理新人教A版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018版高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ2.3 函数的奇偶性与周期性真题演练集训理新人教A版的全部内容。
的奇偶性与周期性真题演练集训理新人教A版1．［2015·福建卷］下列函数为奇函数的是（）A．y＝错误!B．y＝|sin x｜C．y＝cos x D．y＝e x－e－x答案：D解析：对于D，f(x)＝e x－e－x的定义域为R，f(－x）＝e－x－e x＝－f(x)，故y＝e x－e－x 为奇函数．而y＝错误!的定义域为{x|x≥0｝，不具有对称性,故y＝错误!为非奇非偶函数．y＝｜sin x｜和y＝cos x为偶函数．2．［2014·新课标全国卷Ⅰ］设函数f（x），g(x）的定义域都为R,且f（x）是奇函数，g(x）是偶函数，则下列结论中正确的是（）A．f（x)g(x）是偶函数B．|f(x)|g（x)是奇函数C．f(x)｜g(x)｜是奇函数D．｜f（x)g(x)｜是奇函数答案：C解析：A：令h(x)＝f(x）g(x)，则h(－x）＝f(－x)·g（－x)＝－f（x）g（x)＝－h(x）,∴h（x）是奇函数，A错．B:令h(x）＝｜f(x）|g(x）,则h（－x)＝|f（－x)｜·g(－x）＝｜－f（x）｜g(x)＝｜f（x）|g（x)＝h(x)，∴h(x）是偶函数，B错．C：令h（x)＝f(x)|g（x）|,则h（－x）＝f（－x）｜g(－x）|＝－f(x）|g(x)｜,∴h(x）是奇函数，C正确．D:令h(x）＝|f(x）g(x）|，则h（－x)＝|f(－x）g(－x）|＝｜－f(x)g(x）|＝|f（x)g （x)｜＝h（x），∴h(x）是偶函数，D错．3．[2016·山东卷］已知函数f（x)的定义域为R.当x＜0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时,f(－x）＝－f(x)；当x＞错误!时，f错误!＝f错误!，则f（6)＝（）A．－2 B．－1C．0 D．2答案:D解析：由题意可知,当－1≤x≤1时，f（x）为奇函数，且当x>12时，f(x＋1)＝f（x），所以f（6）＝f（5×1＋1)＝f（1)．而f（1)＝－f（－1）＝－［（－1）3－1］＝2,所以f(6)＝2。
高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 2.8 函数与方程真题演练集训 理 新人教A版(
方程真题演练集训理新人教A版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ2.8 函数与方程真题演练集训理新人教A版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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与方程真题演练集训理新人教A版1．[2015·山东卷]设函数f(x)＝错误!则满足f（f（a）)＝2f（a）的a的取值范围是( ) A。
错误!B．[0,1］C.错误!D．［1，＋∞）答案：C解析：由f（f(a))＝2f(a）得，f(a）≥1。
当a<1时，有3a－1≥1，∴a≥错误!，即错误!≤a〈1.当a≥1时，有2a≥1，∴a≥0，即a≥1;综上，a的取值范围为错误!,故选C。
2．［2015·天津卷]已知函数f（x）＝错误!函数g（x）＝b－f(2－x)，其中b∈R。
若函数y＝f(x)－g（x)恰有4个零点①，则b的取值范围是（)A.错误!B．错误!C。
错误!D．错误!答案：D解析：当x>2时，g（x)＝x＋b－4，f(x）＝(x－2）2；当0≤x≤2时,g(x）＝b－x，f(x）＝2－x；当x〈0时，g(x）＝b－x2，f（x)＝2＋x.由于函数y＝f(x）－g(x）恰有4个零点,所以方程f(x）－g（x）＝0恰有4个根．当b＝0时，当x>2时,方程f（x)－g(x)＝0可化为x2－5x＋8＝0，无解;当0≤x≤2时，方程f(x）－g（x)＝0可化为2－x－(－x)＝0,无解；当x〈0时，方程f（x)－g(x）＝0可化为x2＋x＋2＝0，无解．所以b≠0，排除答案B。