九年级上册数学相似三角形常见模型总结复习教案习题4页1
人教版九年级上数学《相似》小结复习及同步练习(含答案)
相似小结与复习教学设计思想本节课系统的对本章内容做以归纳总结，让学生对本章内容更加清晰更加条理化。
通过本章知识结构图，让学生对知识有个总体认识，这样本章知识不再是零散的，而是有内在联系的。
这节课设计思路是让学生回顾所学知识，理清知识的脉络，体会知识之间的联系，然后通过例题与练习思考解决问题的方法，查漏补缺，并在原有基础上有所提高。
教学目标知识与技能：1．能理清本章的知识及其联系，画出知识结构图。
2．会运用相似三角形的识别方法、性质进行有关问题的简单的说理或计算。
3．能熟练运用相似的判定证明三角形相似，提高解决实际问题的能力。
4．熟记三角形相似的周长比和面积比。
过程与方法：经历总结与反思的学习过程，进一步加深对相似图形，相似三角形的判定、相似三角形的性质、位似图形以及利用有关知识解决一些实际问题的认识。
情感态度价值观：发展数学的应用意识，进一步提高反思的意识，养成良好的学习习惯。
教学重难点重点：知识的归类整理难点：知识的记忆和应用方法教学方法小组合作与自主探究相结合教学媒体多媒体教学过程【师】本章内容已经全部学完了，你掌握了哪些知识呢？这节课我们一起做一个总结。
（幻灯片打出本章知识结构图）通过知识结构图，让我们对本章内容一幕了然。
回顾与思考把本章内容从四个方面来划分，这样归纳，调理清晰一、概念梳理。
1．相似图形：形状相同的图形叫做相似图形。
2．相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比。
3．相似三角形：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。
4．位似：相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的两个图形叫做位似图形。
二、性质1．相似多边形的性质：对应角相等，对应边的比相等。
2．位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。
三、相似三角形的判定判定一：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
判定二：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
人教版数学九年级中考复习课《相似三角形》教学设计
5.写作任务：结合本节课所学内容，撰写一篇关于相似三角形在实际生活中的应用的小论文，要求不少于500字，以提高学生的写作能力和几何应用意识。
注意事项：
1.作业布置要注意分层设计，使不同层次的学生都能得到适当的锻炼和提高；
2.鼓励学生独立思考，遇到问题时积极寻求解决方法，培养自主学习能力；
2.逻辑思维能力：运用相似三角形的性质和判定方法解决具体问题，培养学生的逻辑思维；
3.团队合作能力：分组讨论，共同探究相似三角形的性质和应用，培养学生的团队协作精神；
4.解决问题能力：将相似三角形的知识应用于解决实际生活中的问题，提高学生解决问题的能力。
（三）情感态度与价值观
1.积极主动：鼓励学生积极参与课堂讨论，主动探究相似三角形的性质和应用；
c.相似三角形在实际问题中如何应用？
2.汇报交流：各小组汇报讨论成果，分享解题思路和方法，教师进行点评和指导。
（四）课堂练习
1.设计具有代表性的习题，让学生当堂完成，巩固所学知识。
2.练习题包括：
a.判断两个三角形是否相似，并说明理由；
b.利用相似三角形的知识解决实际问题；
c.证明相似三角形的性质。
3.相似三角形的判定方法：讲解AA、SAS、SSS等判定方法，结合实例进行解释，使学生理解并掌握。
4.相似三角形的应用：介绍相似三角形在实际问题中的应用，如测量物体的高度、计算图形的面积等。
（三）学生小组讨论
1.分组讨论：将学生分成若干小组，针对以下问题进行讨论：
a.相似三角形的性质有哪些？
b.如何判断两个三角形是否相似？
（2）终结性评价：通过课后作业、测试等形式，评价学生对相似三角形知识的掌握程度；
九年级中考数学复习课《相似三角形》教学设计
6．了解图形的位似，知道利用位似将一个图形放大或缩小；
7．会用图形的相似解决一些简单的实际问题。
二、考情分析
2015－2020年命题考情分析
年份
题号
题型
分值
考点
2015
考点四：位似图形
1．位似多边形的定义：如果两个相似多边形任意一组对应顶点A、 的连线都经过同一个点0，且有 ，那么这样的两个多边形叫做多边形，点O叫做位似中心，这时的相似比k又称为位似比。
2．位似多边形的性质：①位似多边形一定，位似多边形具有相似多边形的一切性质；②位似多边形上任意一对对应点连线都经过位似中心，并且到位似中心的距离之比等于。
2．如图，在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的中线，BD与CE相交于点O，则
3．如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD、点G在线段AD上，GE∥BD且交AB于点E，GF∥AC且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（ ）
A、 B、 C、 D、
4.如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则D的值为（ ）
6.（2020荆门）如图7，四边形ABCD为平行四边形，E、F为CD边的两个三等分点，连接AF、BE交于点G，则 =（ ）
A.1:3 B.3:1 C.1:9 D.9:1
四、过关测试（中考真题）
1．如图，直线a∥b∥c，直线 、 与这三条平分线分别交于点A、B、C和点D、E、F，若AB：BC＝1：2，DE＝3，则EF的长为
例4.（2020十堰）如图5，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△ ，已知OB＝ ，则△ 与△ABC的面积比为（ ）
A.1:3 B.1:4 C.1:5 D.1:9
初中数学初三数学上册《相似三角形的性质及其应用》教案、教学设计
3.引导学生回顾已学的全等三角形的性质和判定方法，为新课的学习做好铺垫。
4.揭示本节课的主题——相似三角形的性质及其应用，激发学生的学习兴趣。
（二）讲授新知
在这一环节中，我将系统地讲授相似三角形的性质和判定方法：
-以小组为单位，共同完成一道具有挑战性的相似三角形综合应用题，要求小组成员分工合作，共同讨论解题策略。
-每个小组将解题过程和答案进行整理，并在下一节课上进行汇报，分享学习成果。
4.思考与反思：
-结合本节课的学习，反思自己在解决相似三角形问题时遇到的困难和挑战，分析原因，并总结经验教训。
-撰写一篇学习心得，谈谈自己对相似三角形性质及其应用的认识和理解。
4.学会运用相似三角形的性质解决与实际生活相关的问题，如测量物体的高度、求解线段长度等。
（二）过程与方法
1.通过自主探究、合作交流等形式，引导学生主动发现相似三角形的性质及其应用。
2.培养学生运用几何直观和逻辑推理解决问题的能力，提高学生的几何思维能力。
3.引导学生运用类比、归纳等方法，从特殊到一般，发现几何图形的性质，培养学生发现问题和解决问题的能力。
5.预习与拓展：
-预习下一节课要学习的相似多边形的性质及其应用，为新课的学习做好准备。
-探索相似三角形与其他数学分支（如代数、平面几何等）的联系，拓展知识面。
3.培养学生的几何直观和逻辑推理能力，提高学生解决几何问题的策略和方法。
4.激发学生的学习兴趣，增强学生对数学学科的情感态度，提升学生的数学素养。
（二）教学设想
1.创设情境，引入新课
-通过展示实际生活中的相似图形，如建筑物的立面图、摄影中的缩放效果等，引起学生对相似三角形性质的兴趣。
人教版九年级数学中考第一轮复习《相似三角形复习1》教学设计
人教版九年级数学中考第一轮复习《相似三角形复习1》教学设计起进行考察，每年必考，占有十分重要的地位。
因此我们分俩节课进行。
本节课我们来梳理知识点，构建知识体系和方法试内容，做到心中有数。
（二）、知识梳理1、比例线段：回顾比例线段的定义及性质巩固练习学生快速完成并展示及时巩固比例的性质学生完成5x=3y化成比例并展示多种结果。
熟练运用比例的性质进行灵活变形。
2、相似三角形的定义3、平行线分线段成比例定理学生回答AC 2、判定定理1:两个角对应相等,两三角形相似。
3、判定定理2:两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
4、判定定理3:三边对应成比例，两三角形相似。
5、相似三角形的传递性。
反思回顾一：判定两个三角形相似的主要方法：ABCDE1、预备定理：∵DE ∥BC, ∴△ADE ∽△ABC 。
（三）、相似三角形基本图形归纳回顾小结：特殊图形（双垂直型和三垂直型）图形演变弱化条件“直角”，而依然满足∠ACE=∠B=∠D，△ABC与△CDE还相似吗？3、巩固练习2.如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是圆上一点，且CD ⊥AB 于D,AD=3,BD=12，则CD=____.)(BE AE CE DE ED BEAE CE •=•=或O C D B A 1.如图，已知⊙O 的两条弦AB 、CD 交于E ，AE=BE=6,ED=4，则CE=____.CDB A EBDAD CD •=2题组二：蝴蝶型双垂直型构造所需的相似基本图形，是我们常用的一种解决几何问题的方法。
B 题组三：复杂图形基本图形分解D EA CM FN 3、如图,AC 是ABCD 的对角线,且AE=EF=FC,求（1）S △AMF: S △CNF（2）S △DMN: S △ACD 。
X 型（四）课堂小结构造相似图形间接求已知相似图形直接求相似基本图形的运用方程思想分类思想学会从复杂图形中分解出基本图形整体思想转化思想课后作业进一步巩固本节课学习的内容，会构造相似的基本图形。
九年级数学相似三角形知识点及习题(最新整理)
EF＋DF)的相似比为( )．下列说法中：①所有的等腰三角形都相似；②所有的正三角形都相似；③所有的正方形都相似；④所________cm.10．(湖南常德)如图X6－4－4，已知四边形ABCD是平行四边形．(1)求证：△MEF∽△MBA；(2)若AF，BE分别是∠DAB，∠CBA的平分线，求证：DF＝EC.11．(广西来宾)如图X6－4－5，在△ABC中，∠ABC＝80°，∠BAC＝40°，AB的垂直平分线分别与AC，AB交于点D，E.(1)用圆规和直尺在图中作出AB的垂直平分线DE，并连接BD；(2)证明：△ABC∽△BDC.12．已知如图X6－4－6，在矩形ABCD中，E是BC上一点，F是BC的延长线上一点，且BE＝CF，BD 与AE相交于点G.求证：(1)△ABE≌△DCF；(2)CF·AE＝BF·GE.B级 中等题13．如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3,4和x，那么x的值( )A．只有1个 B．可以有2个C．有2个以上但有限D．有无数个14．如图X6－4－7，已知在△ABC中，AD＝DB，∠1＝∠2.求证：△ABC∽△EAD.15．如图X6－4－8，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，试证明：BC2＝2CD·AC.的面积最大？并求出这个最大值．图“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。
华师大版-数学-九年级上册-23.3.4 相似三角形的应用 教案
23.3.4相似三角形的应用教学目标：（1）进一步巩固相似三角形的知识.（2）能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题）等的一些实际问题.（3）通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力.教学重点：运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度.教学难点：灵活运用三角形相似的知识解决实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）. 教学方法：动手实践、自主探索、小组讨论、合作探究.教学提纲：（1）判断两个三角形相似有哪些方法？（2）相似三角形有哪些性质？（3）怎样利用三角形的相似测量高度和距离？情境导入：小小旅行家走近金字塔：胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一”.塔的４个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约23０多米.据考证，为建成大金字塔，共动用了1０万人花了2０年时间.原高1４６．５９米，但由于经过几千年的风吹雨打,顶端被风化吹蚀.所以高度有所降低.在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯．一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”，这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的．你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？知识点一：利用三角形相似测量高度交流展示1：1.借太阳的光辉助我们解题,你想到了吗?据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.AC E小组讨论得出结论：根据太阳光的光线是互相平行的特点，可知在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体的影子互相平行，从而构造相似三角形，再利用相似三角形的判定和性质，根据已知条件，求出金字塔的高度.2.你还可以用什么方法来测量金字塔的高度？解法一：身高、平面镜等解法二：用镜面反射（如图，点A 是个小镜子，根据光的反射定律：由入射角等于反射角构造相似三角形）.反馈矫正1：1.在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例.在某一时刻,有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米,某一高楼的影长为60米,那么高楼的高度是多少米?【答案】36米知识点二：利用三角形相似测量宽度交流展示2：例.如图，已知： D.E 是△ABC 的边AB.AC 上的点，且∠ADE ＝∠C ．求证： AD ·AB ＝AE ·AC ．【答案】证明∵ ∠ADE ＝∠C ，∠A ＝∠A ，∴ △ADE ∽△ACB （如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似）．∴AB AE AC AD ，∴ AD ·AB ＝AE ·AC ．达标检测:1.如图,铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m,当短臂端点下降0.5m 时,长臂端点升高多少m.【答案】8m.2.小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h.(设网球是直线运动)【答案】1.6m.归纳提升：我对自己说——收获：我对同学说——提醒：我对老师说——困惑：C A BD O。
北师大版数学九上第四章《相似三角形的基本图形》专题复习(教案)
4.利用相似三角形解决实际问题的方法。
5.本章典型例题与习题的复习巩固，如相似三角形的应用题、图形的放大与缩小等。
6.相似多边形的性质及判定方法。
二、核心素养目标
1.培养学生的几何直观能力，通过观察、分析相似三角形的基本图形，提高学生对几何图形的理解和识别能力。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《相似三角形的基本图形》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要测量不可到达的距离或高度的情况？”（如测量旗杆的高度）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索相似三角形的奥秘。
在小组讨论环节，学生们表现得非常积极，能够主动提出自己的观点并与他人交流。但在分享成果时，部分学生的表达能力还有待提高。为了提高学生的表达能力，我计划在接下来的课程中增加一些课堂演讲或辩论环节，让他们有更多机会锻炼自己的口头表达能力。
最后，从这节课的教学过程中，我也意识到了关注学生个体差异的重要性。有些学生可能需要更多的时间来消化和理解相似三角形的知识点，因此在课后，我要针对这些学生进行个别辅导，帮助他们克服学习难点。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握相似三角形的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS）。
-掌握相似三角形的性质，尤其是对应角相等和对应边成比例。
-能够运用相似三角形解决实际问题，如测量不可到达的距离或高度。
-理解并运用直角三角形特殊比例关系（30°-60°-90°和45°-45°-90°）。
其次，在解决实际问题时，部分学生构建相似三角形模型的能力较弱。针对这一点，我打算在接下来的课程中，设计一些更具挑战性的问题，让学生们通过小组合作的方式，一起探讨如何将实际问题转化为数学模型。这样既能提高他们的解决问题的能力，也能培养他们的团队合作精神。
九年级数学相似三角形知识点总结及例题讲解
1. 平行线分线段成比例定理
例.
已知 l 1∥ l 2∥ l 3,
A Dl
B El
: 三条平行线截两条直线
1 2
, 所得的 对应线段成比 .
C
Fl
可得 AB
DE AB 或
DE 等.
BC EF AC DF
2. 推论 : 平行于三角形一边的直线截其它两边
3
( 或两边的延长线 ) 所得的对应线段成比例 .
注意 ：(1) 此性质的证明运用了“设 k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．
(2) 应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．
(3)
可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．
知识点三：黄金分割
1） 定义 ：在线段 AB 上，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC（AC＞BC ），如果 AC AB
ad bc
（两外项的积等于两内项积）
2. 反比性质：
ac bd
bd a c ( 把比的前项、后项交换 )
3. 更比性质 ( 交换比例的内项或外项 ) ：
ac bd
a b ，(交换内项 ) cd d c ，(交换外项 ) ba d b ．(同时交换内外项 ) ca
4. 合比性质
a
：
c
bd
ab b
cd （分子加（减）分母 , 分母不变）
例 4、矩形 ABCD 中， BC=3AB ， E、F，是 BC 边的三等分点，连结 AE 、 AF 、AC ，问图中是否存在非全 等的相似三角形？请证明你的结论。
二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式
例 5、△ ABC 中，在 AC 上截取 AD ，在 CB 延长线上截取 BE ，使 AD=BE ，求证： DF AC=BC FE
湘教版数学九年级上册《3.4.1相似三角形的判定》教学设计4
湘教版数学九年级上册《3.4.1相似三角形的判定》教学设计4一. 教材分析湘教版数学九年级上册《3.4.1相似三角形的判定》是初中的重点和难点内容。
本节内容主要介绍相似三角形的判定方法，通过学习，使学生能够掌握相似三角形的判定方法，并能够运用这些方法解决实际问题。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角形的性质，平行线的性质等知识，具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力。
但是，对于相似三角形的判定，学生可能还存在一定的困难，因此，在教学过程中，需要注重引导学生，让学生通过自主学习、合作学习，理解和掌握相似三角形的判定方法。
三. 教学目标1.了解相似三角形的定义，掌握相似三角形的判定方法。
2.能够运用相似三角形的判定方法解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
四. 教学重难点1.相似三角形的定义。
2.相似三角形的判定方法。
3.相似三角形的应用。
五. 教学方法1.引导法：教师通过提问，引导学生思考，让学生自主探索相似三角形的判定方法。
2.案例分析法：教师通过分析典型案例，使学生理解和掌握相似三角形的判定方法。
3.练习法：学生通过做练习题，巩固所学知识，提高解题能力。
六. 教学准备1.教学PPT：教师需要制作教学PPT，内容包括相似三角形的定义，判定方法，例题和练习题等。
2.教学案例：教师需要准备一些相似三角形的案例，用于分析讲解。
3.练习题：教师需要准备一些练习题，用于学生课后巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问，引导学生回顾三角形的相关知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT呈现相似三角形的定义和判定方法，让学生初步了解相似三角形的判定。
3.操练（10分钟）教师给出一些相似三角形的案例，让学生独立判断，然后集体讲解答案。
4.巩固（10分钟）教师通过PPT呈现一些练习题，让学生独立完成，然后集体讲解答案。
九年级上册数学第四章：相似三角形知识总结与练习
图形的相似复习与练习知识点1：比例线段的有关概念四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即____________，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段. 如果b =c ，那么b 叫做a 、d 的比例 项． 知识点2：比例性质 ①比例式转化为乘积式⇔=dc b a ____________ ②乘积式转化为比例式：若ad=bc ⇔____________；____________；____________；③等比性质⇒≠++===)0( n d b k n m d c b a ____________ ，成立的前提条件是 ____________ 若没有告诉0≠++ n d b 应分____________和____________的情况讨论知识点3：平行线分线段成比例定理①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段____________，字母表示：如图：l 1∥l 2∥l 3．则 ____________；____________；____________②推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的_________字母表示：知识点4：相似多边形①相似多边形的性质：相似多边形的对应角________对应边的比_________几何语言：②相似多边形的判定：如果两个多边形的对应角______，对应边的比_______，那么这两个多边形相似几何语言：知识点5：黄金分割（一）黄金分割的定义：点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果_________，那么称线段被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的_________，_________、_________叫黄金比，比值约等于_________. 一条线段有_______个黄金分割点，较长线段长等于_________AB ，较短线段长等于_________AB ，知识点6：相似三角形相似三角形的判定①________对应相等的两个三角形相似.简记为“________”；②______________的两三角形相似. 简记为“________”；③______________的两三角形相似. 简记为“________”．相似三角形的性质①相似三角形的________相等, ________成比例；②相似三角形对应高的比、对应________的比和对应___________的比都等于相似比；③相似三角形周长的比等于____________；面积的比等于____________．知道相似比求面积比，相等于把相似比_______，知道面积比求相似比，相等于把面积比_______，常见相似基本模型：________～________ ________～________ ________～________比例：______=______=______ 比例：______=______=______ 比例：______=______=_____________～________比例：______=______=______连接AE ，当点C 满足__________时，由__________可证△ABC ～ △ACE ～ △CDE射影定理 由______～_____得_比例式________，乘积式为____________；由______～_____得_比例式________，乘积式为____________；由______～_____得_比例式________，乘积式为____________．知识点7：图形的位似（1）定义：如果两个多边形相似，而且_____的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做_____，这时的相似比又称为_____。
九年级上相似三角形的判定教案新部编本及练习精华版
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校学生编号学生姓名授课教师辅导学科九年级数学教材版本上教课题名称相似三角形的判定课时进度总第（）课时授课时间7月14日教学目标1．了解相似比的定义，掌握判定两个三角形相似的方法：平行于三角形一边的直和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
2．培养学生的观察﹑动手探究、归纳总结的能力，感受相似三角形与相似多边形相似三角形与全等三角形的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系。
3．让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力。
重点难点重点：判定两个三角形相似的预备定理难点：探究两个三角形相似的预备定理的过程//////CACBBA2、相似三角形与全等三角形有什么内在的联系呢？全等三角形是相似比为 1 的特殊的相似三角形。
3、平行于三角形一边的直线与三角形的其它两边（或两边的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形相似用数学语言表述如下：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC猜想1：在△ABC 和△A/B/C/中, ∠A=∠A'，∠B = ∠B'，△ABC与△A/B/C/是否相似？判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
可以简单成：两角对应相等，两三角形相似。
可简述为：两角对应相等，两个三角形相似。
用数学符号表示：∵∠A=∠A'，∠B=∠B'∴ΔABC ∽ΔA'B'C'例1、已知：ΔABC和ΔDEF中，∠A=400，∠B=800，∠E=800，∠F=600。
求证：ΔABC∽ΔDEF证明：∵在ΔABC中，∠A=400，∠B=800，∴∠C=1800－∠A －∠B=1800－400－800＝600∵在ΔDEF中，∠E=800，∠F=600证明：在AB，AC上分别截取AD= A'B' ，AE = A'C'∵AD=A'B',∠A=∠A'，AE=A'C'∴ΔA DE≌ΔA'B'C'，∴∠ADE=∠B'，又∵∠B'=∠B，∴∠ADE=∠B，∴DE//BC，∴ΔADE∽ΔABC。
数学九年级上《相似三角形》复习教学案
相似三角形 复习课[要点复习]要点1：相似三角形的概念、相似比的意义、画图形的放大和缩小要求：（1）理解相似形的概念；（2）掌握相似图形的特点以及相似比的意义，能将已知图形按照要求放大和缩小.要点2：平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线的有关定理要求：理解并利用平行线分线段成比例定理解决一些几何证明和几何计算. 注意：被判定平行的一边不可以作为条件中的对应线段成比例使用. 要点3：相似三角形的概念要求：以相似三角形的概念为基础，抓住相似三角形的特征，理解相似三角形的定义. 要点4：相似三角形的判定和性质及其应用要求：熟练掌握相似三角形的判定定理（包括预备定理、三个判定定理、直角三角形相似的判定定理）和性质，并能较好地应用. 要点5：三角形的重心要求：知道重心的定义并初步应用. 【历年考点例析】考点一 比、比例及有关概念,比例的基本性质例1 ① 在比例尺是1：38000的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约7cm ，则它的实际长度约为______Km 。
② 若b a =32 则 b b a +=__________ ③ 若b a b a -+22=59则 a ：b=__________④ 已知:2a =3b =5c且3a+2b-c=14 ,则 a+b+c 的值为_____ ⑤ 某同学想利用影子的长度测量操场上旗杆的高度，在某一时刻他测得自己影子长为0.8m ，立即去测量旗杆的影子长为5m ，已知他的身高为1.6m ，则旗杆的高度为___m 。
考点二判断四条线段是否成比例例1 已知线段 a=3cm, b=4cm ,c=5cm, d=2cm.那么这四条线段是否成比例？例2 一个钢筋三角架的三边长分别是20cm 、60cm 、50cm ，现要作一个与其相似的钢筋三角形。
因为只有长为30cm 和50cm 的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段(允许有余料)作为两边，问有几种截法，并指出余料最少的截法截出的三边长各为多少？提示:分三种.有一种不成立,只有一种最少.考点三 比例中项与黄金分割例1 如图，已知线段AB ，点C 在AB 上，且有AC:AB=BC:AC ，则AC ：AB 的数值为______；若AB 的长度与中央电视台的演播舞台的宽度一样长，那么节目主持人应站在_________位置最好。
九年级数学上册 第三章 图形的相似章末复习教案 (新版)湘教版
第三章图形的相似教学目标【知识与技能】掌握本章知识，能熟练运用有关性质和判定，解决具体问题.【过程与方法】通过回顾和梳理本章知识了解图形相似的有关知识.【情感态度】在应用本章知识解决具体问题过程中提高学生分析问题、解决问题的能力.【教学重点】相似图形的特征与识别，相似三角形的有关概念及相似的表示方法和相似比的概念.【教学难点】能熟练运用有关性质和判定解决实际问题.教学过程一、知识框图，整体把握【教学说明】引导学生回顾本章知识点，展示本章知识结构图，使学生系统地了解本章知识之间的关系.二、释疑解惑，加深理解1.比例的概念：如果两个数的比值与另两个数的比值相等，就说这四个数成比例.通常我们把a,b,c，d四个实数成比例表示成a∶b=c∶d或a cb d=，其中a,d叫作比例外项，b,c叫作比例内项.2.比例的基本性质：如果a cb d=，那么ad=bc.3.比例线段的概念：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例线段，简称比例线段.6.平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.7.相似三角形的概念：我们把三个角对应相等，且三条边对应成比例的两个三角形叫作相似三角形.8.相似三角形的表示方法.表示：相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”，相似三角形对应边的比叫作相似比.9.相似多边形的概念：对于两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫作相似多边形.相似多边形的对应边的比叫作相似比.相似多边形的对应角相等，对应边成比例.10.相似三角形的判定：（1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，截得的三角形与原三角形相似.（2）两角分别相等的两个三角形相似.（3）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似(4)三边成比例的两个三角形相似.11.相似三角形的基本性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例.（2）相似三角形对应边上的高的比等于相似比.（3）相似三角形对应角平分线的比等于相似比.（4）相似三角形对应边上的中线的比等于相似比.（5）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.12.位似的概念：一般地，如果一个图形G上的点A、B、C、…、P与另一个图形G′上的点A′、B′、C′、…、P′分别对应，且满足：（1）直线AA′、BB′、CC′、…、PP′都经过同一点O.那么图形G与图形G′是位似图形，这个点O叫作位似中心，常数k叫作位似比.13.位似图形的性质：（1）两个图形位似，则这两个图形不仅相似，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平行.利用位似，可以把一个图形进行放大或缩小.（2）一个多边形的顶点坐标分别扩大或缩小相同的倍数，所得到的图形与原图形是以坐标原点为位似中心的位似图形.（3）在平面直角坐标系中，如果一坐标原点为位似中心，位似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.14.画位似图形的方法：（1）确定位似中心；（2）找对应点；(3)连线；(4)下结论.【教学说明】引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系.三、典例精析，复习新知1.已知点M将线段AB黄金分割(AM＞BM)，则下列各式中不正确的是( )分析：分a ＋b ＋c ≠0和a ＋b ＋c ＝0两种情况． 【答案】 ±13.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝27，D 在AC 上，且BD ＝BC ＝18，DE ∥BC 交AB 于E ，则DE ＝_____．分析：由△ABC ∽△BCD ，列出比例式，求出CD ，再用△ABC ∽△AED ，列出比例式，求出DE ．【答案】 104.已知：如图，F 是四边形ABCD 对角线AC 上一点，EF ∥BC ，FG ∥AD ．求证：1AE CG AB CD＋＝． 分析：利用AC ＝AF ＋FC ．5．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，E为BC中点，延长AC、DE相交于点F，求证：AC AF BC DF＝．分析：过F点作FG∥CB，只需再证GF＝DF．6.已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，M是BC的中点，DM⊥BC于点M，交BA的延长线于点D,交AC于点E.证明：（1）∵∠BAC=90°，M是BC的中点，∴MA=MC，∠1=∠C，∵DM⊥BC，∴∠C=∠D=90°-∠B，∴∠1=∠D，∵∠2=∠2，∴△MAE∽△MDA，∴MA ME MD MA，∴MA2=MD·ME，（2）∵△MAE∽△MDA，【教学说明】通过典型例题，培养学生的识图能力和推理能力.四、复习训练，巩固提高1.如图，AB∥CD，图中共有___对相似三角形【答案】 62.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，AE＝EC，AD＝18，BE＝15，则△ABC的面积是_____．第2题图分析：作EF∥BC交AD于F．设BE交AD于O点，先求出OD长和OB长，最后用勾股定理求出BD的长．【答案】 1443.如图，已知AD∥EF∥BC，且AE＝2EB，AD＝8 cm，BC＝14 cm，则S梯形AEFD︰S梯形BCFE ＝______．第3题图分析：延长EA，与CD的延长线交于P点，则△APD∽△EPF∽△BPC．【答案】20 134.已知C是线段AB的黄金分割点(AC＞BC），则AC∶BC = ()A．(5－1)∶2B．（5+1）∶2C．（3－5）∶2D．（3+5）∶2【答案】 B5.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，在BC边上取一点D，使BD＝BA，连接AD.求证：（1）△ADC∽△BAC；（2）点D是BC的黄金分割点.证明：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝108°，∴∠B＝∠C＝36°，∵BD＝BA，∴∠BAD＝72°，∠CAD＝36°，∴∠CAD＝∠B，∵∠C＝∠C，∴△ADC∽△BAC；（2）∵△ADC∽△BAC，∴AC BC CD AC，∴AC2＝BC·CD，∵AC＝AB＝BD，∴BD2＝BC·CD，∴点D是BC的黄金分割点.6.如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿AO所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？分析：如右图，由于AC∥BD∥OP，故有△MAC∽△MOP，△NBD∽△NOP，然后可由相似三角形的性质求解.解：∵∠MAC=∠MOP=90°，∠AMC=∠OMP，∴△MAC∽△MOP．解得MA=5米；同理，由△NBD∽△NOP，可求得NB=1.5米，∴小明的身影变短了5-1.5=3.5米．【教学说明】解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解答问题.7.如图，BD、CE分别是△ABC的两边上的高，过D作DG⊥BC于G，分别交CE及BA的延长线于F、H，求证：（1）DG2＝BG·CG；（2）BG·CG＝GF·GH.证明：（1）DG为Rt△BCD斜边上的高，∴Rt△BDG∽Rt△DCG．∴CG DGDG BG＝，即DG2＝BG·CG．（2）∵DG⊥BC，∴∠ABC＋∠H＝90°，∵CE⊥AB，∴∠ABC＋∠ECB＝90°．∴∠ABC＋∠H＝∠ABC＋∠ECB．∴∠H＝∠ECB．又∠HGB＝∠FGC＝90°，∴Rt△HBG∽Rt△CFG．∴BG·GC＝GF·GH．8.如图：AD∥EG∥BC，EG分别交AB、DB、AC于点E、F、G，已知AD=6，BC=10，AE=3，AB=5，求EG、FG的长．分析：在△ABC中，根据平行线分线段成比例求出EG，在△BAD中，根据平行线分线段成比例求出EF，即可求出FG=EG-EF．【教学说明】进一步加深对知识的理解，体会本节课所涉及的数学思想和数学规律.同时，学会归纳概括和总结，积累学习经验，为今后的学习奠定基础.五、师生互动，课堂小结通过本节课的学习，你有哪些收获？还存在哪些疑惑？课后作业布置作业:教材“复习题3”中第3、6、7、10、13、15题.教学反思通过本节课的学习，使学生能够掌握用图形相似的有关知识解决实际问题.经过这些习题的练习，使学生能够将本章的内容很好地揉合在一起.。
初三数学相似三角形复习课PPT教案学习
0, 3 或0，2
y
2 3
由图可知BC=2，AC=3, OB=1
分两种情况讨论：
·P
O B· C·
x
1 AC = BC , 3 = 2 ,OP = 3 P0, 3
·A
OP BO OP 1
2 2
2 AC = BC , 3 = 2 ,OP = 2 P0, 2
BO PO 1 PO
3 3
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∴ ∠A= ∠A′ ∠C= ∠C′
∴ △ABC∽△A′B′C′
相似三角形的判定：
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相
等，
那么这两个三角形相似。
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课前热身：
2、在△ABC中，DE∥BC， 若AD：DB=1：3，DE=2，
则BC的长为（ 8 ）
解：∵ DE∥BC
A
b
b
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.
5
1
x 3
y 7
z 9
,则
x 3x
2 已知，x y : 4
yz y 4z
__-_14__, x
y y
z
y : 3,则 x2
2xy 3 y2 x2 y2
7
_1_9____ .
11 __5_____ .
6 已知1, 2, 3三个数，请你再添上一个 数，写出一个比例式。
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求证ห้องสมุดไป่ตู้△ACD∽△ABC∽△CBD.
母子图
C
AC2 = AD AB
BC2 = BD AB
B
CD2 = AD BD
AC BC = CD AB
D
A
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北师大版初中数学九年级上册《第四章 图形的相似 复习题》 公开课教案_0
增强应用数学意识，加深对数学的人文价值的理解和认识，培养学生对数学的热爱和观察能力。
教学重点
探索并掌握相似三角形的判定方法；能利用相似三角形的性质和判定方法解决实际问题。
教学难点
能利用相似三角形的性质和判定方法解决生活中的一些实际问题，培养学生的思维能力。
教学内容
设计意图
整理整体框架，在通过例题使学生深化印象。
教学设计
课题名称
相似
1. 探索相似三角形的性质，理解相似三角形对应角相等、对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方；
2. 探索并掌握相似三角形的判定方法；
3. 能利用相似三角形的性质和判定方法解决生活中的一些实际问题。
过程与方法
归纳总结本章知识，形成体系，从而巩固提升相似三角形学习内容
当堂检测
设计意图
（收获感悟）
由学生讲解，了解学生解题思路，纠正错误思路。
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相似三角形常见模型 总结习练
1、相似三角形的判定【方法就三种：①两角对应相等； ②两边对应成比例，且夹角相等；③三边对应成比例】 三角形相似的基本图形：
（1）平行型：①如图“A 型”即公共角所对应的边平行，则△ADE ∽△ABC
②“X 型”，即对顶角对的边平行，则△AOB ∽△DOC （2）相交型：①“共角型”，即其公共角的对边不平行，且有另一对角相等，则有△ABC ∽△ADE
②“共角共线型”，即公共角的对边不平行，且有另一对角相等，两个三角形有一条公共边，则△ABC ∽△ACD
③“蝴蝶型”，即对顶角的对边不平行，且有另一对角相等，则△ABC ∽△ADE
“共角型” “共角型” “共角共线型” “蝴蝶型” （3）母子型：直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形与原三角形相似，即△ADC ∽△CDB ∽△ACB
2、相似三角形的性质【对应角相等，对应边成比例；对应高、对应角平分线、对应中线、对应周长之比等于相似比，面积比等于相似比平方】
练习： 1．已知
7
5===f e d c b a ，则_____7272=+-+-f d b e c a ；
2.把一个矩形的硬纸片剪去一个正方形，若剩下的矩形与原矩形相似，那么原矩形的长边和短边之比
为 。
3.已知：).0(,52≠+==d b d c b a 则=++d
b c
a 。
4．已知356
x y z ==，且3y ＝2z ＋6，则x ＝ 、y ＝ 。
5 如图，在平行四边形ABCD 中R 在
BC
的延长线上，
AR 交
BD 于P ，交CD 于Q ，若DQ ∶CQ ＝4:3，则
AP ∶PR ＝
6．在⊿ABC 中，AD 是∠A 的平分线，AB =cm 5，BC =cm 7，AC =cm 9，则BD = 7．顺次连结三角形三边中点构成的三角形与原三角形 。
8．直角三角形中，两直角边在斜边上的射影分别为cm 4和cm 9，则它的较短的直角边的长是 ；
Q R
P
D
C B A
9 、如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，则图中有 对相似三角形，当△ ∽△ 时，则有AF EF BF
FD
=；
若 AC ·CE ＝CB ·CD ，则应找哪两个三角形相似？
10 、如图，在四边形ABCD 中，E 是对角线BD 上的一点，EF ∥AB ，EM ∥CD ，求EF EM AB
CD
+的值。
11、如图，AE 2＝AD ·AB ，且∠ABE ＝∠C ，试说明△BCE ∽△EBD 。
12、如图，CD 是Rt ⊿ABC 的斜边AB 上的高，BD = 16 cm ，AD = 9 cm ，CE 是∠ACB 的平分线，求CE
的长；
13 、如图，⊿ABC 是等边三角形，∠DAE = ︒120， 求证：（1）⊿ABD ∽⊿ECA ；（2）CE DB BC ∙=2
A B
C D E A
B
C
D
E
A B
C
D
E F
M F
E
D
B
A
A B
D
C E
1
2
14、如图，在⊿ABC 中，AD 是角平分线，E 是AD 上的一点，且CE = CD ，求证：AD AC AE AB ∙=∙
15 、如图(1)
，在 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，BC ＝18，E 为OD 的中点，连结CE 并延长交AD 于点F ，求DF 的长。
16如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，P 是AD 上一点，过点C 作 CF ∥AB ，延长BP 交AC 于点E ，交CF 于点F ，说明：BP 2
＝PE ·PF 。
解：
17 、如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，且AD ＝AC ，DE ⊥BC ，DE 与AB 相交于点E ，EC 与AD
相交于点F 。
(1)说明：△ABC ∽△FCD (2)若S △FCD ＝5，BC
18 、如图，在△ABC 中，E 、F 分别是AC 、BC 的中点，AF 与BE 交于点O ，ED ∥AF ，交BC 于点D ， 求BO ∶OE 的值。
A B C D
E A
B C D E F P O F E D C
B A ABCD
19 、在△ABC中，∠C＝900，BC＝8㎝，AC︰AC＝3︰5，点P从点B出发，沿BC向点C以2㎝/s的速度移动，点Q从点C出发沿CA向点A以1㎝/s的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发：
⑴过多少秒△CPQ∽△CBA？⑵经过多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似
A
Q
B C
P。